Α Κ Η Δ Ι (Έλεγχος ηης μέζης ηιμής και ηης διακύμανζης ενός δείγμαηος)

Transcript

1 1 Α Κ Η Δ Ι (Έλεγχος ηης μέζης ηιμής και ηης διακύμανζης ενός δείγμαηος) Άζκηζη 1.(5) Οη κέζεο κεληαίεο ζεξκνθξαζίεο ηνπ Ματνπ θαηά ηα ηειεπηαία ρξόληα ζε έλα ζηαζκό δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα [Πίλαθαο 1.(5)] ΠΙΝΑΚΑ 1.(5) Διέγμαηε αλ ε κέζε ηηκή ηνπο δηαθέξεη ζηαηηζηηθά ζεκαληηθά από ηελ κέζε ηηκή ηνπ πιεζπζκνύ κ= ν C. Με ηε βνήζεηα ηεο ζρέζεο (.1) ππνινγίζζεθε ε κέζε ηηκή ηνπ δείγκαηνο κεγέζνπο Ν=4, x = ν C. Από ηε ζρέζε (.16) ππνινγίζζεθε ε ηππηθή απόθιηζε ηνπ δείγκαηνο s =.871,νπόηε ε s δεηγκαηηθή απόθιηζε ηεο κέζεο ηηκήο ηζνύηαη κε s x = N Από ηε ζρέζε (5.1) βξίζθνπκε ηειηθά t = Θέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε H o : x =κ=, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : x κ ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 ε δίπιεπξν έιεγρν γηα λ=ν-1=4-1=3 βαζκνύο ειεπζεξίαο από ηνλ Πίλαθα ηεο t-θαηαλνκήο (Πίλαθαο 7Α.) έρνπκε t α=0.05 =.069. Αθνύ t =1.891< t α=0.05 =.069 πξνθύπηεη όηη γίλεηαη δεθηή ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05. Άζκηζη.(5) Γίλνληαη νη κέζεο ειάρηζηεο ζεξκνθξαζίεο ηνπ αέξα ηνπ Ιαλνπαξίνπ ελόο νξεηλνύ ζηαζκνύ [Πίλαθαο.(5)].Να ειεγρζεί αλ ε κέζε ηηκή ηνπ δείγκαηνο είλαη κηθξόηεξε ηεο ηηκήο c=0. ΠΙΝΑΚΑ.(5) Με ηε βνήζεηα ηεο ζρέζεο (.1) ππνινγίζζεθε ε κέζε ηηκή ηνπ δείγκαηνο κεγέζνπο Ν=1, x = ν C. Από ηε ζρέζε (.16) ππνινγίζζεθε ε ηππηθή απόθιηζε ηνπ δείγκαηνο s = 0.63,νπόηε ε s δεηγκαηηθή απόθιηζε ηεο κέζεο ηηκήο ηζνύηαη κε s x = N Από ηε ζρέζε (5.1) βξίζθνπκε ηειηθά t = Θέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε H o : x <c=0, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : x c=0 ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 ε κνλόπιεπξν έιεγρν γηα λ=ν- 1=1-1=11 βαζκνύο ειεπζεξίαο από ηνλ Πίλαθα ηεο t-θαηαλνκήο (Πίλαθαο 7Α.) έρνπκε t α=005 = Αθνύ t = < t α=0.05 = πξνθύπηεη όηη γίλεηαη δεθηή ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05.

2 Άζκηζη 3.(5) ε 8 αζζελείο πνπ παξνπζίαζαλ ηαρππαικία [Πίλαθαο 3.(5)] κεηξήζεθε ν ρξόλνο επίδξαζεο ελόο θάξκαθνπ γηα ηελ απνθαηάζηαζε ησλ παικώλ. Να ειεγρζεί αλ ν κέζνο ρξόλνο επίδξαζεο ηνπ θάξκαθνπ είλαη κεγαιύηεξνο από ηνλ πξνβιεπόκελν ρξόλν ησλ 4.5 ιεπηώλ πνπ δόζεθε από ηελ εηαηξία παξαζθεπήο ηνπ ζθεπάζκαηνο. ΠΙΝΑΚΑ 3.(5) Με ηε βνήζεηα ηεο ζρέζεο (.1) ππνινγίζζεθε ε κέζε ηηκή ηνπ δείγκαηνο κεγέζνπο Ν=8, x = ν C. Από ηε ζρέζε (.16) ππνινγίζζεθε ε ηππηθή απόθιηζε ηνπ δείγκαηνο s = ,νπόηε ε s δεηγκαηηθή απόθιηζε ηεο κέζεο ηηκήο ηζνύηαη κε s x = N Από ηε ζρέζε (5.1) βξίζθνπκε ηειηθά t = 0.6 Θέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε H o : x >4.5, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : x 4.5 ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 ε κνλόπιεπξν έιεγρν γηα λ=ν- 1=8-1=7 βαζκνύο ειεπζεξίαο από ηνλ Πίλαθα ηεο t-θαηαλνκήο (Πίλαθαο 7Α.) έρνπκε t α=005 = Αθνύ t = 0.6< t α=0.05 = απνξξίπηεηαη ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05. Άζκηζη 4.(5) Να ειεγρζεί αλ ε δηαθύκαλζε ηνπ δείγκαηνο ηεο άζθεζεο 1.(5) είλαη ζηαηηζηηθά ζεκαληηθά ίζε κε ηελ ηηκή ηεο δηαθύκαλζεο ζ =4 ηνπ πιεζπζκνύ. Από ηελ άζθεζε 1.(5) έρνπκε s=.871 νπόηε ε δηαθύκαλζε ηνπ δείγκαηνο ηζνύηαη κε s = Σα όξηα ηεο δηαθύκαλζεο ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 είλαη: x ζ x 0.05 ζ θαη. N 1 N 1 Θέηνληαο ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : s =ζ έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : s ζ από ηνλ πίλαθα ηεο x -θαηαλνκήο έρνπκε γηα Ν-1 = 4-1=3 βαζκνύο ειεπζεξίαο ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 ζε δίπιεπξν έιεγρν x =11.7 θαη x 0.05=38.1, νπόηε ηα όξηα εκπηζηνζύλεο ηεο δηαθύκαλζεο είλαη: 38.14/3 = 6.65 θαη 11.74/3 =.034. Η ηηκή s =8.434 είλαη κεγαιύηεξε ηνπ νξίνπ ησλ 6.65 σο εθ ηνύηνπ απνξξίπηεηαη ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν. Άζκηζη 5.(5) Να ειεγρζεί αλ ε δηαθύκαλζε ηνπ δείγκαηνο ηεο άζθεζεο.(5) είλαη κηθξόηεξε ηεο δηαθύκαλζεο ηνπ πιεζπζκνύ ζ = 1. Από ηελ άζθεζε.(5) έρνπκε: s = 0.63,σο εθ ηνύηνπ s = Θέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : s < ζ, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : s ζ ηελ νπνία ειέγρνπκε ζε κνλόπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05. Από ηνλ πίλαθα ηεο x -θαηαλνκήο (Πίλαθαο 8Α.) έρνπκε γηα Ν-1 = 11 βαζκνύο ειεπζεξίαο x 0.05,11=19.7,ελώ

3 3 από ηε ζρέζε (5.3) πξνθύπηεη όηη x = /1 = 4.366,νπόηε ηειηθά πξνθύπηεη όηη x = < x 0.05,11=19.7 άξα γίλεηαη απνδεθηή ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν Άζκηζη 6.(5) Να ειεγρζεί αλ ε δηαθύκαλζε ηνπ δείγκαηνο ηεο άζθεζεο 3.(5) είλαη κεγαιύηεξε ηεο δηαθύκαλζεο ηνπ πιεζπζκνύ ζ = Η δηαθύκαλζε ηνπ δείγκαηνο ηεο άζθεζεο 3.(5) ηζνύηαη κε s = Θέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : s > ζ, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : s ζ ηελ νπνία ειέγρνπκε ζε κνλόπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05.από ηνλ πίλαθα ηεο x -θαηαλνκήο (Πίλαθαο 8Α.) έρνπκε γηα Ν-1 = 7 βαζκνύο ειεπζεξίαο x 0.05,7=.17,ελώ από ηε ζρέζε (5.3) πξνθύπηεη όηη x = /0.05 = νπόηε ηειηθά πξνθύπηεη όηη x = 9.738> x 0.05,7=.17, άξα γίλεηαη δεθηή ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν Άζκηζη 7.(5) ε νθηώ καζεηέο δόζεθε κηα άζθεζε πξνο επίιπζε θαη κεηξήζεθε ν ρξόλνο πνπ ρξεηάζζεθαλ λα ηελ ιύζνπλ.η δηαθύκαλζε απηνύ ηνπ ρξόλνπ ππνινγίζζεθε όηη είλαη.69min.να δεηρζεί αλ ε ηηκή απηή είλαη κεγαιύηεξε ηεο ηηκήο ησλ min. Θέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν :s =.69> έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : s =.69 ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζηελ ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α= Από ηε ζρέζε (5.3) έρνπκε x = 7.69/ = Από ηνλ Πίλαθα 8Α. έρνπκε γηα 8-1 = 7 βαζκνύο ειεπζεξίαο ζηε ζηάζκε α = 0.05 όηη x 0.95,7 = Δπνκέλσο αθνύ, x = 9.415< x 0.95,7 = , ηειηθά απνξξίπηεηαη ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν. Άζκηζη 8.(5) Διέγρνληαο ην δείγκα ηνπ βάξνπο 7 λενγέλλεησλ, βξέζεθε όηη ε δηαθύκαλζε ηνπ βάξνπο ηνπο είλαη ίζε κε s =.5. Αλ ε δηαθύκαλζε ηνπ βάξνπο ησλ λενγέλλεησλ ζηνλ πιεζπζκό είλαη ζ = Να ειεγρζεί αλ ε δηαθύκαλζε ηνπ δείγκαηνο είλαη κεγαιύηεξε από απηή ηνπ πιεζπζκνύ. Θέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : s =.5> ζ = 0.48, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : s =.5 ζ = ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05 ζε κνλόπιεπξν έιεγρν. Από ηε ζρέζε (5.3) έρνπκε x =(7-1).5/0.48 = 31.5.Η θξίζηκε ηηκή x (1-α),(Ν-1) = x 0.95,(6) = Αθνύ x =31.5> x 0.95,6 =1.59 γίλεηαη δεθηή ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν. (Έλεγχος ηης μέζης ηιμής και ηης διακύμανζης δύο δειγμάηων) Άζκηζη 11.(5) ηνλ Πίλαθα 4.(5) δίλνληαη νη ζεξκνθξαζίεο ηνπ αέξα δύν ζηαζκώλ. Να ειεγρζεί αλ νη δηαθπκάλζεηο ησλ ηηκώλ ηεο ζεξκνθξαζίαο ησλ δύν ζηαζκώλ είλαη ίζεο κεηαμύ ηνπο ή όρη. ΠΙΝΑΚΑ 4.(5)

4 4 Σηαθμός Α Σηαθμός Β Θεσξώληαο όηη ηα δείγκαηα πξνέξρνληαη από πιεζπζκνύο θαλνληθά θαηαλεκεκέλνπο ππνινγίδνπκε ηηο δηαθπκάλζεηο ησλ ηηκώλ ησλ δύν δεηγκάησλ ησλ ζηαζκώλ Α θαη Β. Έρνπκε: s Α = θαη s Β = 1.16 Δπεηδή s Α> s Β, ππνινγίδνπκε ηνλ ιόγν F = s Α/ s Β = 1.793/1.16 = Θέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : s Α = s Β έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : s Α s Β ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζηηο ζηάζκεο ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05 θαη α = Από ηνλ Πίλαθα ηηο F θαηαλνκήο (Πίλαθεο 9Α.) ζε δίπιεπξν έιεγρν γηα 11-1 =10 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ αξηζκεηή θαη 8-1=7 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ παξνλνκαζηή νη θξίζηκεο ηηκέο είλαη: F α=0.05,(10,7) = 4.76 θαη F α=0.01,(10,7) = Γεδνκέλνπ όηη F = 1.475< F α=0.05,(10,7) = 4.76< F α=0.01,(10,7) = 8.38 γίλεηαη απνδεθηή ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν,δειαδή νη δηαθπκάλζεηο ησλ δύν δεηγκάησλ είλαη ζηαηηζηηθά ίζεο ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 άξα κπνξνύκε λα δερζνύκε όηη ηα δύν δείγκαηα πξνέξρνληαη από δύν πιεζπζκνύο κε ίζεο δηαθπκάλζεηο. Αθνύ έγηλε δεθηή ε Η ν ε θνηλή δηαθύκαλζε ησλ πιεζπζκώλ κπνξεί λα ππνινγηζζεί από ηελ ζρέζε (5.6), (11 1) (8 1) 1.16 ζ Άζκηζη 1.(5) Γίλνληαη δύν δείγκαηα κε κεγέζε Ν 1 = 5 θαη Ν = 31 θαη ηππηθέο απνθιίζεηο s 1 = 5.31 θαη s = 7.94.Να ειεγρζεί αλ νη δηαθπκάλζεηο ησλ ηηκώλ ησλ δύν δεηγκάησλ δηαθέξνπλ ζηαηηζηηθά ζεκαληηθά κεηαμύ ηνπο Θεσξνύκε όηη ηα δείγκαηα πξνέξρνληαη από πιεζπζκνύο θαλνληθά θαηαλεκεκέλνπο. Δπεηδή s 1 = 8.17< s = , ππνινγίδνπκε ηνλ ιόγν F = s / s 1 = /8.17 =.34. Θέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : s 1 = s έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : s 1 s ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζηηο ζηάζκεο ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05 θαη α = Από ηνλ Πίλαθα ηηο F θαηαλνκήο (Πίλαθεο 9Α.) ζε δίπιεπξν έιεγρν γηα 31-1 =30 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ αξηζκεηή θαη 5-1=4 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ παξνλνκαζηή νη θξίζηκεο ηηκέο είλαη: F α=0.05,(30,4) =.1 θαη F α=0.01,(30,4) =.87. Γεδνκέλνπ όηη. F α=0.05,(30,4) =.1< F=.34< F α=0.01,(30,4) =.87 ζπκπεξαίλνπκε όηη πηζαλόλ λα ηζρύεη ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν (ηζρύεη ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο 0.01 θαη δελ ηζρύεη ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο Άζκηζη 13.(5) ε ζύλνιν 16 γελλήζεσλ είρακε Ν 1 = 7 αγόξηα θαη Ν = 9 θνξίηζηα. Σα βάξε ησλ λενγέλλεησλ δίλνληαη ζηνλ Πίλαθα 5.(5).Να ειεγρζεί αλ ε δηαθύκαλζε ηνπ βάξνπο ησλ αγνξηώλ είλαη ζηαηηζηηθά κεγαιύηεξε από απηή ησλ θνξηηζηώλ ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = ΠΙΝΑΚΑ 5.(5) Αγόρια Κορίηζια

5 5 Θεσξώληαο όηη ηα δείγκαηα πξνέξρνληαη από πιεζπζκνύο θαλνληθά θαηαλεκεκέλνπο ππνινγίδνπκε ηηο δηαθπκάλζεηο ησλ δύν δεηγκάησλ από ηε ζρέζε (.14). Έρνπκε: s A = θαη s Κ = Οξίδνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : s A > s Κ έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : s A s Κ ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α= Γεδνκέλνπ όηη s A< s Κ ππνινγίδνπκε ηελ πνζόηεηα F = s Κ/ s A = / = Από ηνλ Πίλαθα ηεο F θαηαλνκήο (Πίλαθαο 9Α.) γηα 9-1=8 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ αξηζκεηή θαη 7-1 = 6 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ παξνλνκαζηή έρνπκε ζε κνλόπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05, F 0.05,(8,6) = 4.15 Γεδνκέλνπ όηη F = 6.154> F 0.05,(8,6) = 4.15 απνξξίπηεηαη ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν, δειαδή ε δηαθύκαλζε ηνπ βάξνπο ησλ αγνξηώλ δελ είλαη ζηαηηζηηθά ζεκαληηθά κεγαιύηεξε από απηή ησλ θνξηηζηώλ. Άζκηζη 14.(5) (Έλεγχος ηων διαθορών ηων μέζων ηιμών δύο δειγμάηων) ηνπο Πίλαθεο 6.(5) θαη 7.(5) δίλνληαη νη ηηκέο ηεο ρνιεζηεξόιεο πνπ κεηξήζεθαλ ζε δύν νκάδεο ησλ 30 θαη ησλ 0 αηόκσλ αληίζηνηρα. Σα δείγκαηα αθνξνύλ άλδξεο θαλνληθνύ βάξνπο θαη ηεο απηήο πεξίπνπ ειηθίαο. Να ειεγρζεί αλ νη κέζεο ηηκέο ηεο εμεηαδόκελεο κεηαβιεηήο ησλ δύν δεηγκάησλ δηαθέξνπλ ζηαηηζηηθά ζεκαληηθά κεηαμύ ηνπο. ΠΙΝΑΚΑ 6.(5) Γείγμα 1. [Ν 1 = 30] ΠΙΝΑΚΑ 7.(5) Γείγμα. [Ν = 0] Με ηνλ ηξόπν πνπ επηιέρζεθαλ ηα δείγκαηα κπνξνύκε λα ζεσξήζνπκε όηη είλαη αλεμάξηεηα. Σν κέγεζνο ηνπ ελόο δείγκαηνο είλαη Ν 1 = 30 θαη ηνπ άιινπ Ν = 0, άξα πξόθεηηαη γηα δείγκαηα άληζνπ κεηαμύ ηνπο κεγέζνπο. Θα ειέγμνπκε αξρηθά ηηο δηαθπκάλζεηο ησλ δύν δεηγκάησλ. Οξίδνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : s 1 = s, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : s 1 s ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05 ζε δίπιεπξν έιεγρν. Έρνπκε: s 1= θαη s = Αθνύ s 1 < s ζα ιάβνπκε ηνλ ιόγν F = s Από ηνλ Πίλαθα ηεο F θαηαλνκήο (Πίλαθαο 9.Α), έρνπκε γηα s = 19 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ αξηζκεηή θαη 30-1 = 9 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ παξνλνκαζηή ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05, F α=0.05,(19,9) =.3.Δπνκέλσο,αθνύ F = 1.737< F α=0.05,(19,9) =.3, γίλεηαη δεθηή ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν, δειαδή αλαθεξόκεζα ζε δύν δείγκαηα κε ίζεο δηαθπκάλζεηο. ηε ζπλέρεηα ππνινγίδνπκε ηηο κέζεο ηηκέο ησλ δύν δεηγκάησλ x , x Θέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : x1 x, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : 1 x x ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζε δίπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = Από ηε ζρέζε (5.10) έρνπκε:

6 6 t Από ηνλ Πίλαθαο 7Α. ηεο t-θαηαλνκήο γηα = 48 βαζκνύο ειεπζεξίαο ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 βξίζθνπκε ηελ θξίζηκε ηηκή ζε δίπιεπξν έιεγρν t 0.05,() =.011. Αθνύ t = 1.88< t 0.05,() =.011, γίλεηαη δεθηή ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν, δειαδή ηα δύν δείγκαηα έρνπλ ζηαηηζηηθά ίζεο κέζεο ηηκέο, γεγνλόο πνπ καο πιεξνθνξεί όηη πξνέξρνληαη από πιεζπζκνύο κε ίζεο κέζεο ηηκέο. Σα όξηα εκπηζηνζύλεο ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ δύν δεηγκάησλ κπνξνύλ λα βξεζνύλ από ηε ζρέζε (5.11): < x 1 < < x 1 = 4.07< θαη < x < < x = 76.6< Αθνύ ηα δύν δείγκαηα πξνέξρνληαη από πιεζπζκνύο κε ίζεο κέζεο ηηκέο θαη ίζεο δηαθπκάλζεηο, κπνξνύλ λα ελσζνύλ ζε έλα δείγκα ηνπ νπνίνπ ε κέζε ηηκή δίλεηαη από ηε ζρέζε (5.13): x = 55.88, ηεο νπνίαο ηα όξηα εκπηζηνζύλεο δίλνληαη από 30 0 ηε ζρέζε (5.14): x = x < x =55.88< Σέινο ηα όξηα εκπηζηνζύλεο ηεο δηαθνξάο ησλ κέζσλ ηηκώλ δίλνληαη από ηε ζρέζε (5.1): < x1 x < <( x1 x )=-34.53<.38. Άζκηζη 15.(5) ηελ πξνεγνύκελε άζθεζε λα ειεγρζεί αλ ε κέζε ηηκή ηνπ δεύηεξνπ δείγκαηνο είλαη κεγαιύηεξε από ηελ κέζε ηηκή ηνπ πξώηνπ δείγκαηνο. Όπσο θαη πξνεγνύκελα αλαθέξακε ζε άληζα δείγκαηα κε ίζεο δηαθπκάλζεηο ζέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : x1 x, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : x1 x ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05 ζε κνλόπιεπξν έιεγρν. Η ηηκή ηνπ t = έρεη ππνινγηζζεί από ηελ πξνεγνύκελε άζθεζε. Από ηνλ πίλαθα ηεο t- θαηαλνκήο έρνπκε όηη ε θξίζηκε ηηκή γηα = 48 βαζκνύο ειεπζεξίαο ζε κνλόπιεπξν έιεγρν ηζνύηαη κε t 0.05(1) = Αθνύ t = < t 0.05(1) = απνξξίπηεηαη ε Η ν. Άζκηζη 16.(5) Από ηα δείγκαηα ηεο άζθεζεο 14.(5) ιακβάλνπκε από ην πξώην δείγκα ηηο δεηγκαηνιεςίεο ηεο δεύηεξεο θαη ηεο ηξίηεο γξακκήο θαη όιν ην δεύηεξν δείγκα. Έηζη έρνπκε δύν δείγκαηα ίζνπ κεγέζνπο (Ν 1 =Ν =0). Να ειεγρζεί αλ νη κέζεο ηηκέο ηεο εμεηαδόκελεο κεηαβιεηήο είλαη ίζεο κεηαμύ ηνπο.

7 7 Θα ειέγμνπκε αξρηθά ηηο δηαθπκάλζεηο ησλ δύν δεηγκάησλ. Θέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : s 1 = s, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : s 1 s ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05 ζε δίπιεπξν έιεγρν. Από ηα δείγκαηα βξίζθνπκε s 1= θαη s = Αθνύ s 1 < s ζα ιάβνπκε ηνλ ιόγν F = s Από ηνλ Πίλαθα ηεο F θαηαλνκήο (Πίλαθαο 9Α.) έρνπκε γηα 0- s = 19 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ αξηζκεηή θαη 0-1 = 19 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ παξνλνκαζηή ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05, F α=0.05,(19,19) =.53. Δπνκέλσο,αθνύ F = 1.735< F α=0.05,(19,19) =.53, γίλεηαη δεθηή ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν, δειαδή αλαθεξόκεζα ζε δύν δείγκαηα κε ίζεο δηαθπκάλζεηο. Τπνινγίδνπκε ηηο κέζεο ηηκέο ησλ δύν δεηγκάησλ x , x 76.6θαη ζέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : x1 x, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : x1 x ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζε δίπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = Τπνινγίδνπκε από ηηο ζρέζεηο (5.7) θαη (5.15) ηελ πνζόηεηα t, t = Από ηνλ Πίλαθα 7Α. ηεο t- θαηαλνκήο γηα 0+0- = βαζκνύο ειεπζεξίαο έρνπκε ζε δίπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05 t 0.05() =.04.Αθνύ t = 1.548< t 0.05,() =.04, γίλεηαη δεθηή ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν, δειαδή ηα δύν δείγκαηα έρνπλ ζηαηηζηηθά ίζεο κέζεο ηηκέο Άζκηζη 17.(5) Από ηα δείγκαηα ηεο άζθεζεο 14.(5) ιακβάλνπκε από ην πξώην δείγκα ηηο δεηγκαηνιεςίεο ηεο πξώηεο θαη δεύηεξεο γξακκήο θαη από ην δεύηεξν δείγκα ηηο δεηγκαηνιεςίεο ηεο πξώηεο γξακκήο. Έηζη έρνπκε δύν δείγκαηα κε κεγέζε Ν 1 = 0 θαη Ν = 10. Να ειεγρζεί αλ νη κέζεο ηηκέο ηεο εμεηαδόκελεο κεηαβιεηήο είλαη ίζεο κεηαμύ ηνπο. Θα ειέγμνπκε αξρηθά ηηο δηαθπκάλζεηο ησλ δύν δεηγκάησλ. Θέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : s 1 = s, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : s 1 s ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05 ζε δίπιεπξν έιεγρν. Από ηα δείγκαηα βξίζθνπκε s 1=101.0 θαη s = Αθνύ s 1 < s ζα ιάβνπκε ηνλ ιόγν F = s Από ηνλ Πίλαθα ηεο F θαηαλνκήο (Πίλαθαο 9Α.) έρνπκε γηα 10-1 s = 9 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ αξηζκεηή θαη 0-1 = 19 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ παξνλνκαζηή ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05, F α=0.05,(9,19) =.88. Δπνκέλσο,αθνύ F = 3.15> F α=0.05,(9,19) =.88, απνξξίπηεηαη ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν, δειαδή αλαθεξόκεζα ζε δύν δείγκαηα κε άληζεο δηαθπκάλζεηο. Τπνινγίδνπκε ηηο κέζεο ηηκέο ησλ δύν δεηγκάησλ x 1 7., x 98.θαη ζέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : x1 x, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : x1 x ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζε δίπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = Από ηηο ζρέζεηο (5.16), (5.17) ππνινγίδνπκε ηελ ηηκή t *, * t = Θέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : x1 x, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : x1 x ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζε δίπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = Οη θξίζηκεο ηηκέο ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05 δίλνληαη από ηε ζρέζε (5.18). Από ηνλ πίλαθα ηεο t- θαηαλνκήο (Πίλαθαο 7Α.) ζε δίπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε

8 8 ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05 έρνπκε γηα ην πξώην δείγκα γηα 0-1 =19 βαζκνύο ειεπζεξίαο t 1 =.093 θαη γηα ην δεύηεξν δείγκα γηα 10-1 = 9 βαζκνύο ειεπζεξίαο t =.6. Καηόπηλ απηνύ από ηε ζρέζε (5.18) βξίζθνπκε: t * 0 10 α =.39. Αθνύ * t =.564> t * α=0.05 =.39, απνξξίπηεηαη ε Η ν. Άζκηζη 18.(5) Θεσξνύκε ηα κεληαία ύςε βξνρήο δύν ζηαζκώλ πνπ δίλνληαη ζηνπο Πίλαθεο 8.(5) θαη 9.(5).Να ειεγρζεί αλ κπνξεί λα ζεσξεζνύλ όηη ηα δεδνκέλα ησλ δύν δεηγκάησλ κπνξνύλ λα ελσζνύλ γηα λα πάξνπκε έλα κεγαιύηεξν δείγκα. ΠΙΝΑΚΑ 8.(5) Μεληαία ύςε βξνρήο ζηαζκνύ Α ΠΙΝΑΚΑ 9.(5) Μεληαία ύςε βξνρήο ζηαζκνύ Β Γηα λα κπνξνύλ ηα δύν δείγκαηα λα ελσζνύλ ζε έλα ζα πξέπεη λα απνδεηρζεί όηη πξνέξρνληαη από πιεζπζκνύο κε ίζεο δηαθπκάλζεηο θαη ίζεο κέζεο ηηκέο. Θεσξνύκε ηα δύν δείγκαηα αλεμάξηεηα κεηαμύ ηνπο θαη ππνινγίδνπκε από ηηο ζρέζεηο (.1) θαη (.16) ηηο κέζεο ηηκέο θαη ηηο ηππηθέο απνθιίζεηο ησλ δύν δεηγκάησλ. Έρνπκε: Ν 1 = 7, x 1 = 56.1 θαη s 1 = 3.00 Ν = 6, x = 61.5 θαη s =.30 ηε ζπλέρεηα ζα ειέγμνπκε αλ ππάξρεη ή όρη ηζόηεηα ησλ δηαθπκάλζεσλ ησλ δύν δεηγκάησλ. Θέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : s 1 = s, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : s 1 s ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζε δίπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = s1 9 Αθνύ s 1 = 3.00> s =.30,γηα ηνλ F- έιεγρν ζα ιάβνπκε ηνλ ιόγν F = = s 5.9 Από ηνλ Πίλαθα ηεο F θαηαλνκήο [Πίλαθαο 9Α.] γηα 7-1 = 6 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ αξηζκεηή θαη 6-1 = 5 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ παξνλνκαζηή ζε δίπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 έρνπκε F 0.05()[6,5] = Αθνύ F = 1.689< F 0.05()[6,5] = 6.98, γίλεηαη δεθηή ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν, άξα ηα δείγκαηα έρνπλ ίζεο ζηαηηζηηθά δηαθπκάλζεηο. Γηα ηνλ έιεγρν ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ δύν δεηγκάησλ ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηε ζρέζε (5.10) ε νπνία αλαθέξεηαη ζε δείγκαηα άληζνπ κεγέζνπο κε ίζεο δηαθπκάλζεηο. Οξίδνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : x 1= x, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : x1 x ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζε δίπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05. Από ηε ζρέζε (5.10) έρνπκε: t (.3) Από ηνλ Πίλαθα 7Α. ηεο t-θαηαλνκήο γηα 7+6-=11 βαζκνύο ειεπζεξίαο ζε δίπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 έρνπκε t 0.05() =.01.

9 9 Αθνύ t =3.35> t 0.05() =.01, απνξξίπηεηαη ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν δειαδή νη κέζεο ηηκέο ησλ δύν δεηγκάησλ δηαθέξνπλ ζηαηηζηηθά ζεκαληηθά κεηαμύ ηνπο σο εθ ηνύηνπ δελ κπνξεί λα γίλεη έλσζε ησλ δύν δεηγκάησλ. Αλ δελ ιακβάλακε ππόςε ηελ ηζόηεηα ησλ δηαθπκάλζεσλ ησλ δύν δεηγκάησλ ζα κπνξνύζακε λα ειέγμνπκε ηελ δηαθνξά ησλ κέζσλ ηηκώλ ησλ δύν δεηγκάησλ ηα νπνία είλαη κηθξά δείγκαηα κε ηελ βνήζεηα ηεο ζρέζεο (5.16) νπόηε ζα είρακε : t 3.4. Σελ ηηκή απηή ζπγθξίλνπκε θαη πάιη κε ηελ θξίζηκε ηηκή t ηνπ 3 (.3) 7 6 Πίλαθα ηεο t- θαηαλνκήο [Πίλαθαο 7Α.] ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηα α=0.05 ζε δίπιεπξν έιεγρν γηα βαζκνύο ειεπζεξίαο νη νπνίνη ππνινγίδνληαη από ηελ ζρέζε (5.0): 3 (.3) 6 5 βαζκνί ειεπζεξίαο = = (.3) Έηζη έρνπκε t 0.05() =.151 νπόηε t = 3.4> t 0.05() =.151, άξα θαη πάιη απνξξίπηεηαη ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν. Άζκηζη 19.(5) Γίλνληαη δύν δείγκαηα κε κεγέζε Ν 1 = 5, Ν = 30, κέζεο ηηκέο x 1= 17.4, x = 13.6 θαη ηππηθέο απνθιίζεηο s 1 = 4.1 θαη s =.6. Να ειεγρζεί αλ νη κέζεο ηηκέο ησλ δύν δεηγκάησλ δηαθέξνπλ ζηαηηζηηθά ζεκαληηθά κεηαμύ ηνπο. Θεσξνύκε ηα δύν δείγκαηα αλεμάξηεηα κεηαμύ ηνπο, νπόηε ζα ειέγμνπκε ζε πξώηε θάζε ηηο δηαθπκάλζεηο ησλ δύν δεηγκάησλ. Θέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : s 1 = s, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : s 1 s ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζε δίπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = s Αθνύ s 1 = 4.1> s =.6,γηα ηνλ F- έιεγρν ζα ιάβνπκε ηνλ ιόγν F = =.487. s 6.76 Από ηνλ Πίλαθα ηεο F θαηαλνκήο [Πίλαθαο 9Α.] γηα 5-1 = 4 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ αξηζκεηή θαη 30-1 = 9 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ παξνλνκαζηή ζε δίπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 έρνπκε F 0.05()[4,9] =.15. Αθνύ F =.487>F 0.05()[6,5] =.15, απνξξίπηεηαη ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν, άξα ηα δείγκαηα έρνπλ ζηαηηζηηθά άληζεο κεηαμύ ηνπο δηαθπκάλζεηο. ηε ζπλέρεηα αθνύ νξίζνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : x 1= x, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : x1 x ζα εξγαζζνύκε κε ηελ βνήζεηα ησλ ζρέζεσλ (5.16) θαη (5.17) πνπ αλαθέξνληαη ζηελ πεξίπησζε δεηγκάησλ κε άληζα κεγέζε ησλ δεηγκάησλ θαη άληζεο δηαθπκάλζεηο. Καη ζα ηελ ειέγμνπκε ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 ζε δίπιεπξν έιεγρν. Έηζη έρνπκε: * t = 4.01 (4.1) (.6) 5 30 Από ηε ζρέζε (5.18) ζα ππνινγίζνπκε ηελ θξίζηκε ηηκή t * α αθνύ πξνεγνπκέλσο ππνινγίζνπκε ηηο ηηκέο t ηνπ t- ειέγρνπ ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05 ζε δίπιεπξν έιεγρν γηα 5-1 = 4 βαζκνύο ειεπζεξίαο θαη γηα 30-1 = 9 βαζκνύο ειεπζεξίαο.

10 10 Έρνπκε: t α=0.05(),[4] =.064 θαη t α=0.05(),[9] =.045. Καηόπηλ απηνύ (4.1) (.6) * 5 30 t a0.05 =.059. (4.1) (.6) 5 30 Αθνύ t * = 4.01>t * α=0.05 =.059 απνξξίπηεηαη ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν ΗΜΔΙΩΗ. Θα κπνξνύζακε επίζεο λα εξγαζζνύκε ρσξίο λα ειέγμνπκε ηελ ηζόηεηα ή όρη ησλ δηαθπκάλζεσλ ησλ δύν δεηγκάησλ. ηελ πεξίπησζε απηή κε δεδνκέλν όηη ην έλα δείγκα είλαη κηθξό ζα ρξεζηκνπνηήζνπκε γηα ηνλ έιεγρν ηηο ζρέζεηο (5.16) θαη (5.17) νπόηε έρνπκε: θαη πάιη t * =4.01 αιιά νη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη ηώξα: (4.1) (.6) 4 9 Βαζκνί ειεπζεξίαο = = (4.1) (.6) Γηα 4 βαζκνύο ειεπζεξίαο ζε δίπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 από ηνλ πίλαθα ηεο t-θαηαλνκήο [Πίλαθαο 7Α.] έρνπκε t 0.05() =.018. Αθνύ t = 4.01> t 0.05() =.018, απνξξίπηεηαη ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν. Άζκηζη 0.(5) Γίλνληαη δύν δείγκαηα κε κεγέζε Ν 1 = 10, Ν = 150, κέζεο ηηκέο x 1= 35, x = 31 θαη ηππηθέο απνθιίζεηο s 1 = 10 θαη s = 9.5.Να ειεγρζεί αλ κπνξνύλ λα ζεσξεζνύλ νη κέζεο ηηκέο ησλ δεηγκάησλ ζηαηηζηηθά ίζεο κεηαμύ ηνπο. Καη αξράο ζεσξνύκε όηη ηα δείγκαηα είλαη αλεμάξηεηα κεηαμύ ηνπο, νπόηε ζηε ζπλέρεηα ζα ειέγμνπκε ηελ ηζόηεηα ή όρη ησλ δηαθπκάλζεσλ. Θέηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : s 1 = s έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : s 1 s ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε κε ηελ βνήζεηα ηνπ F-ειέγρνπ ζε δίπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05. s Δπεηδή s 1 > s 1 100, ζα ππνινγίζνπκε ηνλ ιόγν F = = Γηα 10-1 = 119 s 90.5 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ αξηζκεηή θαη = 149 βαζκνύο ειεπζεξίαο ηνπ παξνλνκαζηή από ηνλ πίλαθα ηεο F-θαηαλνκήο [Πίλαθαο 9Α.] ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α=0.05 ζε δίπιεπξν έιεγρν έρνπκε F 0.05(),[119,149] 1.40.Αθνύ F = 1.108< F 0.05(),[119,149] 1.40 γίλεηαη δεθηή ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν δειαδή ηα δύν δείγκαηα έρνπλ ίζεο δηαθπκάλζεηο. ηε ζπλέρεηα νξίδνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε Η ν : x 1= x, έλαληη ηεο ελαιιαθηηθήο ππόζεζεο Η 1 : x1 x ηελ νπνία ζα ειέγμνπκε ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05 ζε δίπιεπξν έιεγρν. Τπνινγίδνπκε ηελ ηηκή t από ηε ζρέζε (5.10) ε νπνία αλαθέξεηαη ζε έιεγρν δύν δεηγκάησλ κε ίζεο δηαθπκάλζεηο θαη δείγκαηα άληζνπ κεγέζνπο t = (9.5) Από ηνλ πίλαθα ηεο t-θαηαλνκήο [Πίλαθαο 7Α.] γηα = 68 βαζκνύο ειεπζεξίαο ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = 0.05 ζε δίπιεπξν έιεγρν έρνπκε t 0.05() = Αθνύ t = 3.358> t 0.05() = απνξξίπηεηαη ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν,δειαδή δελ κπνξνύκε λα ζεσξήζνπκε ζηαηηζηηθά ίζεο ηηο κέζεο ηηκέο ησλ δύν δεηγκάησλ. ΗΜΔΙΩΗ. Δπεηδή ην όξην ηεο t-θαηαλνκήο γηα κεγάιν αξηζκό βαζκώλ ειεπζεξίαο είλαη ε θαλνληθή θαηαλνκή, εθ όζνλ ηα δείγκαηα είλαη πνιύ κεγάια κπνξνύκε αληί ηνπ t-ειέγρνπ λα

11 11 εθαξκόζνπκε z έιεγρν θαη λα γίλεη ν έιεγρνο κε ηελ βνήζεηα ησλ πηλάθσλ ηεο ηππνπνηεκέλεο θαλνληθήο θαηαλνκήο. Από ηνλ Πίλαθα 4Α. ηεο ηππνπνηεκέλεο θαλνληθήο θαηαλνκήο έρνπκε : Ρ(0<z<3.36) = , άξα ε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο είλαη α* = ( ) = Δξγαδόκαζηε ζε δίπιεπξν έιεγρν ζηε ζηάζκε ζεκαληηθόηεηαο α = Δπνκέλσο αθνύ α=0.05>α*= απνξξίπηεηαη ε κεδεληθή ππόζεζε Η ν. ηζόηεηαο ησλ κέζσλ ηηκώλ.