Μαθηματικά προσανατολισμού ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ

Transcript

1 Μαθηματικά προσανατολισμού ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ Μπάμπης Στεργίου - Χρήστος Νάκης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Τάκης Χρονόπουλος ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ : ος ΚΥΚΛΟΣ (7-5-08) Θέματα..0 Απαντήσεις.. α) Κ.Π. με πλευρικά όρια β) με ΚΠ, γ) i), είναι δ) y = ε) (α,β,γ) = (,,0).. α) Α=0, Β=, Γ=0 β) () lim (),() Κ.Π. με πλευρικά όρια γ) y = - δ) Θ.Bolzano για h()=()-g() στο [,].. α) Κ.Π. με πλευρικά όρια β) i) γ) Θ.Bolzano για h()=()+ -- στο [0,] δ) y = +, E = / τ.μ... α) =+h β) i) / γ) y = -6 δ) -6, διαιρώ με h.5. α) αιτιολόγηση παραγώγου σύνθετης β) είναι ' e e γ) y = +, E = / τ.μ..6. α) Θ.Rolle για () στο [0,] β) Θ.Bolzano για g()=εφ+- στο [0,] ή από το ερώτημα (α) δ) y = -.7. α) y = - + β) Θ.Bolzano για () στα [-,0], [0,] γ) Θ.Rolle για () στο [, ] του ερωτήματος (β) δ) άμεσο από (γ).8. α) (α, β) = (0,-) β) y= - + στα (/,g(/)) και (,h()) γ) 0 με o, y o και, h το σημείο επαφής, Δ > 0 ' ', από S,P.9. α) i) y=-+,i y=9-5,y=9+7 iv) y=-+, y= 5/ +/

2 β) ',,,,, T.Μ. για =-, Τ.Ε. για = γ) (R)=R, ρίζες δ) i) 0.0 α) μονοτονία της g()=ημ-συν στο [0,π/], g ()=ημ ' 0 β) 0, 0,, γ) i) ολοκληρώνουμε την (i) 6.. α) D,, ' '' e β) D D R γ) =0, είναι ()=(0) δ) -< < 0 με ε) ''' e κοίλη στο,0 e, Σ.Κ. στο =0 και κυρτή στο 0, στ) y=, C πάνω από εφαπτ. στο (0, ) ζ) Ε= e + ln τ.μ... α) όριο = () β) i) y=-, N(-,(-)), (-) = () Ε= 7 / τ.μ. γ) i) Α=/5, θέτω = -y B= / (-ln) δ) -, ε) (-,-), (0,0), (,), 0, 0 ζ) Ε = τ.μ. η) εφάπτεται στο (-, g(-)).. α) συνέχεια στο 0 β) ' ln e για > 0 e γ) μονοτονία + πλήθος ριζών για g() = ln + + e, βγαίνει g δ) θέτω h() τον αριθμητή της ' ln e h e e h ' g ln e είναι [πινακάκι h, h,, ].. α) i) β) i) ()=συν +συν- ()= (συν+)(συν-) 0,,, T.Μ. στο = π /, Τ.Ε. στο = 0, 0, γ) (ABΓ) = (θ) Ο.Μ. για = π /, ισόπλευρο 7.5. α) (,()) με min g 8, 0,9 g ' β) λ (ε) = /, λ ΑΜ = -, οπότε λ (ε) λ ΑΜ = - γ) ΘΜΕΤ στο [0,9] για την B h a Σελίδα από 0

3 δ) Κ= /8.6. α) το Γ β) το Γ γ) το Β, το Α, το B αντίστοιχα δ) το Α ε) τα Α, Β,Γ διένυσαν 8,7, μ.μ. αντίστοιχα.7. α) g ', 0 0,,, g, Ο.Μ. στο = β) ' ' ' g, 0 είναι γ) () > () δ) Για =, είναι () = 0 ε) () < () στ) ΘΜΤ για κοίλη g στα,,, και διάταξη g (ξ ), g (ξ ) ζ) φ() 0 με φ()=eln-, μετά την λογαρίθμιση.8. β) i) ' o o o B e o ' i e o ' γ).9. α) y = - '' o β) (,0), / γ) δ) i) R h -, R i,,.0. α) g ()=0 β) g()=0 o o, αντίστοιχα o o γ) μηδεν όταν αρνητική στο θετική στα ' δ) h 7, 7, 7 0,,, e 7 7 h,, 0,,, ' ε) 5 5,, 0,,, T.Μ. στο =π/, π, Τ.Ε. στο =0, 5π /.. α) y= + β) (0,), / γ) δ) i) h -, R i δεν υπάρχουν iv),,, αντίστοιχα.. α) -, β) (0) = 0 γ), μονοτονία h e, R e 5 5 δ) =0,, είναι ε) όπου 0 e e e.. α) D R, ' '' 6 β) = και =-, y = στα Σελίδα από 0

4 δ) ρίζες για κάθε R, είναι () = α.. α) ' γ) β) '' 0 ln E τ.μ..5. α) ', β) ', 0,,, 0 0,, R, Ο.Ε. στο = D 0, γ) 0 δ) (,0), g h.6. α) =, y= (α) ' ', y = - β) παραγωγίζουμε ως προς την δοθείσα, =, y= γ) παραγωγίζουμε ως προς από το ερώτ. και χρησιμοποιούμε το (β), + επαλήθευση δ) y = / e ε) Ε = (e-) / τ.μ..7. α) g, g ' g θετική όταν >0, αρνητική όταν <0, g(0)=0 β) ' 0 γ) -, δ) Ε = (e -) / 8 τ.μ., 0, R 0,.8. α) ορισμός συνέχειας και DLH β) y = / + / γ) ' ln, 0,, είναι συνεχής δ) θέτω τον αριθμητή νέα συνάρτηση, (προφανή ρίζα + μονοτονία) 0,, D 0, ln '', 0 ε) θέτω τον αριθμητή νέα συνάρτηση (προφανή ρίζα + μονοτονία, μετά πρόσημο πηλίκου) κοίλη, δεν έχει Σ.Κ. στ) δεν έχει ασύμπτωτες.9. α) ορισμός συνέχειας και DLH β) ', είναι συνεχής e e, 0, 0 γ) θέτω τον αριθμητή νέα συνάρτηση δ) ε) (προφανή ρίζα + μονοτονία, μετά πρόσημο πηλίκου) 0,, D 0, e e e '', 0 θέτω τον αριθμητή νέα συνάρτηση (προφανή ρίζα + μονοτονία) κυρτή, δεν έχει Σ.Κ. y Σελίδα από 0

5 στ) Α=0 ζ) Β= με DLH η ) = 0 (μοναδική) διακρίνω περιπτώσεις για >0 και <0 θ) Αν α = β,... Αλλιώς ΘΜΤ για στα,,, και κυρτότητα της.0. α) = y = 0, y = 0, y = - και όπου το. Mε επαλήθευση στο τέλος. β) ' e '' e γ) λύσεις,αν 0, e λύση αν,0 e 0 λύσεις αν, e δ) i) A=0 με Κ.Π. Β= e,0 e i Γ= - \ iv), e e, e e y=0 ασύμπτωτη στο Σελίδα 5 από 0

6 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ : ος ΚΥΚΛΟΣ (7-5-08) Θέματα α) R β) (-) = - () ε) ' '' κυρτή,,0, κοίλη 0, στ) δεν έχει ασύμπτωτες ζ) i) Α= ln B= ln η) με D.L.H. θ) = 0, προσθέτω και στα δυο μέλη και είναι h()=h(), όπου h()=()+, - ως γν. μονότονη ι) i) g()= ()-, είναι g() g(0) για 0 () ' ln.. α) 0, e, e, O.Μ. για =e β) (e) π γ) ( ) (e) δ) (α) > (α+) ε) στ ), e ζ) () = α () = () = (), ρίζες αν a 0, e ρίζα αν a,0 0 ρίζες αν a, e e η) ΘΜΤ για g(t)=ln t στο [,+] με > 0 θ) 0 με Κ.Π. ι) Θ. Bolzano για h()=ln+ln-- sto [,e] ια) = π /, είναι (ημ) = (συν).. α) δυνατοί τύποι,, -,, - β), 0, 0 i (-,-),(0,0),(,) iv) E= / τ.μ. γ) Ε= y y a, y y τ.μ. i Ο (0,0), Α α,α, Β (- / α, /α ) (ΑΟΓ)=, ( t) ' t ( t) iv) A =, B = ' t,.. α) h ln, e = e (μοναδική ρίζα) h' e 0 β) = e, είναι () = g(), δηλ. h()=0 γ) i) E(λ)=(λ-e)(lnλ-) A = δ) φ() φ(), Θ. Fermat Σελίδα 6 από 0

7 e e eln, e ' e, ' 0 e '' e 0 0 [με προφανή ρίζα + μονοτονία βρίσκω πρόσημο].5. α) y = / e β) E= (e-) / τ.μ. γ) 0 δ) i) ' 5 I, I e e.6. α) i) u = π - u = π - β) i) i i u = α - ln I ανάλυση σε άθροισμα απλών κλασμάτων J ln J d, 0 u = συν, K J I d, 0 g d, g 0 g g.7. α) ',,,,,,, R β) '', Σ.Κ. για =0, =, =,, 0,0,, γ) y = 0 ασύμπτωτη σε δ) Ε= ln / τ.μ. ε) = π/, είναι (ημ) = (συν).8. α) E= τ.μ. β) i) y =, y = -+π γ) Α=0, Β= Ε= (π -8) / τ.μ. δ) Ι = /5 (e π +) J= ln /, θέτω ημ= u ανάλυση σε άθροισμα απλών κλασμάτων.9. α) A: y= - +, Β: y= - 6 β) Γ(,-), εμβαδά / και / γ) Ι= ln(/9) δ) Α=0 ανάλυση σε άθροισμα απλών κλασμάτων J= 8+ ln(/9) με διαίρεση πολυωνύμων.0. α) Α(/, 5/), Β (,0) β) Ε= 6 / τ.μ. γ) Κ=e, Λ= δ) = ().. α) ( -) 0 β) αν α= β, ισχύει αν α < β, ΘΜΤ για στο [α,β] ομοίως αν α > β Σελίδα 7 από 0

8 γ) (()) = (ln( +)) με c=0 ' δ) i) κυρτή ',,, κοίλη,,, Σ.Κ. για = -, = A= ln -.. α) =g = π /, 5π / Ε= β) i) O: y=, A: y= - + π Ε= (π -8) / τ.μ. γ) Α = 0, Β = δ) Ι = π.. α) ()= e +>0, (R)=R β) μοναδικό λόγω (α) γ) -, D - = (R)=R δ) =, =, είναι (- )=(8-) ε) δεν υπάρχουν στ) Α= / ζ) i) A= B=.. α) y = e β) E = (e-) / τ.μ. γ) Ι= ln(9/8) ανάλυση σε άθροισμα απλών κλασμάτων J=Ι= ln(9/8), u = e δ) Α=, Β=0.5. α) =0, y=0 σε β) () = - / () = 6 / >0 γ) i) E, / i A= B=,, 0.6. α) i) ', y=0 ασύμπτωτη σε Ε = ln τ.μ. ' β) Ι 0 = ln /, I = (-ln) / I = (-+ln) /.7. α) ( ()) = (g ()) ()= g () + c ( ()) = (g() + c ) ()= g() + c + c, με c =,c =0 β) Θ. Bolzano για στο [α,β] γ) Ε = τ.μ. δ) i) y = + y= α) άτοπο με Θ. Fermat ή με μονοτονία β) ()>0, R, (0)=0 ()<0 όταν <0 ()>0 όταν >0 γ) i) (0)= 0 e e e.9. α) g()=e -+ g ()=e -, O.E. για =0 g() g(0)= β) ()=+e - -e - =g() / e >0 (R)=R γ) ()=(-)e -, κυρτή,, κοίλη, Σ.Κ. για = δ) = π/, είναι (ημ)= (συν).50. α) (,0) y=-+8, (-,0) y=-8 Σελίδα 8 από 0

9 β) E = 6 / τ.μ. γ) E = / τ.μ., Ε / Ε = / δ) Ε =5 / 6 τ.μ. ε).5. α) ορισμός συνέχειας, 0 β) πλευρικά όρια παραγώγου, y=-, 0 γ) I = / β) y= - δ) A= γ) Β (-, (-)), είναι (-) = ().5. α) (0)=0 δ) Ε = 7 / τ.μ. () = e --, (0)=0 ε) Ε = 7 / τ.μ. () = e -, (0)=0 στ) Α = e () = e > α) y = /e [με προφανή ρίζα + μονοτονία βρίσκω πρόσημο] β) E = (e-) / τ.μ. R, (R)=R β) δεν υπάρχουν γ) i) 0 με D.L.H 0 λόγω (i) και D.L.H γ) ()>0 για >0 δ) E = (e -e+) / e τ.μ. δ) Α= e e [ολοκλήρωμα γινομένου].5. α) συνεχής στο R.57. α) Α (,0), ' β) Ε = /, γ) i) Α=e B=0 β) = δ) i) I=0 J=π- γ), Ελάχιστο για, δ) A= -/.5. α) ()=0 () = ln + -, ()=0 () = / + >0 [με προφανή ρίζα + μονοτονία βρίσκω πρόσημο] 0,,, β) 0, γ) () 0 O.Ε. για = δ) y=ln(e) - 5, κυρτή άρα πάνω από την εφαπτομένη(εκτός από το σημείο επαφής) ε) () 0, για α) α) Α: y=, Β: y= -, O(0,0) β) E = / τ.μ. γ) y 5 δ), y.59. α) D R ' y y, '' ασύμπτωτες: =, = -, σε β) Α=0 με Κ.Π., Β= γ) ) Ι= - ln / ανάλυση σε άθροισμα απλών κλασμάτων Σελίδα 9 από 0

10 J= ln /, u = συν.60. α) () = e -α () = e -α (α, - α ) κοίλη,, κυρτή, β) Στο (,0) :, 0 : y 8 Στο (, 0 ) : y 8 γ) E =6 / τ.μ. δ) i) Ι(α) = -e -α α / + α + Α= Σελίδα 0 από 0