ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ"

Transcript

1 Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις ιδιότητες όπως στο R, με το μηδέν (0) να είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, και το ένα (), να είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, υπάρχει ένα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i κάθε στοιχείο του C γράφεται κατά μοναδικό τρόπο με τη μορφή α+βi, όπου α,β R Η έκφραση α+βi, α,β R είναι ακριβώς αυτό που λέμε μιγαδικό αριθμό. Είναι η ένωση δύο αριθμών του πραγματικού α, και του βi, τον οποίο ονομάζουμε φανταστικό αριθμό. Το α είναι το πραγματικό του μέρος και συμβολίζεται με Re()α και το β είναι το φανταστικό του μέρος και συμβολίζεται με Ιm()β ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ α+βi γ+δi αγ και βδ Από τον ορισμό της ισότητας συμπεραίνουμε ότι ο μιγαδικός α+βi γράφεται κατά μοναδικό τρόπο. Επειδή 00+0i. Έχουμε ότι α+βi0 α0 και β0 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ β Μ(α,β) Έστω α+βi το σημείο Μ(α,β) είναι η ΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑΑ εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικός επίπεδο Το διάνυσμα ΟΜ ταυτίζεται με τον μιγαδικό Ο αριθμό α ΠΡΟΣΟΧΗ Η διάταξη και οι ιδιότητές της δεν μεταφέρονται στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Μπορούμε να αντικαταστήσουμε τους μιγαδικούς με τα διανύσματά τους και να εργαζόμαστε στον διανυσματικό λογισμό (εκτός της πράξης του πολλαπλασιασμού που ορίζεται διαφορετικά από ότι στα διανύσματα) Ο οριζόντιος άξονας είναι ο άξονας των πραγματικών αριθμών Ο κατακόρυφος άξονας είναι ο άξονας των φανταστικών αριθμών ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Εστω α + βi και γ + δi δύο μιγαδικοί αριθμοί ΠΡΟΣΘΕΣΗ + (α + βi ) + (γ + δi ) (α + γ) + (β + δ)i ΑΦΑΙΡΕΣΗ Αντίθετο του μιγαδικού ενός μιγαδικού γ+δi είναι ο μιγαδικός -γ-δi + ( ) (α + βi ) + ( γ δi ) (α γ) + (β δ)i

2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΌΣ (α + βi ) (γ + δi ) εκτελούμε κανονικά την επιμεριστική ιδιότητα και έχουμε (αγ βδ) + (αδ + βγ)i ΔΙΑΙΡΕΣΗ Συζυγή ενός μιγαδικού α+βi ονομάζω τον μιγαδικό α-βi, τον οποίο συμβολίζω με α βi α + βi γ + δi (α + βi )(γ δi) (γ + δi)(γ δi) (αγ + βδ) + (βγ αδ)i γ + δ αγ + βδ βγ αδ γ + + δ γ + δ i Μ( + ) Β( ) Ο Α( ) Β( ) Ο Α( ) Μ( ) Γεωμετρική παράσταση πρόσθεσης Γ( ) Γεωμετρική παράσταση αφαίρεσης Γεωμετρική παράσταση πρόσθεσης και αφαίρεσης ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στο παραλληλόγραμμο ΟΑΜΒ το διάνυσμα ΟΜ + και το διάνυσμα ΒΑ ΟΜ Β( ) Α( ) Μ( + ) Ο Γ( ) Μ ( ) Δύναμη Μιγαδικού, και γενικά για νϵν αν ν 0 τότε και αν ν θετικός ακέραιος ορίζουμε Ειδικά αν υ 0 i i i i (i ) i i i αν υ αν υ i αν υ 3

3 ΑΚΟΜΗ Αν α ν είναι ο νιοστός όρος αριθμητικής προόδου με διαφορά ω και α ο πρώτος όρος τότε ο νιοστός όρος δίδεται από τον τύπο Αν α ν είναι ο νιοστός όρος γεωμετρικής προόδου με λόγο λ και α ο πρώτος όρος τότε ο νιοστός όρος δίδεται από τον τύπο α ν α + (ν )ω και άθροισμα των ν πρώτων όρων είναι: S ΑΣΚΗΣΗ ν (α + α ν ) ν [α + (ν )ω] ν α ν α λ ν και το άθροισμα των ν πρώτων όρων είναι: S ν α λ ν λ Να υπολογισθεί το αθροίσματα α. i + i + i i 99 + i 00 β. + i + i + i i 99 + i 00 α. Είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το i, λόγο λi και πλήθος όρων ν00 i + i + i + + i + i i i i i (i ) i i i 0 β. Είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο το, λόγο λi και πλήθος όρων ν0. Επομένως + i + i + i i 99 + i 00 i0 i ΑΣΚΗΣΗ i4 5 i Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης (i + ) 0 + (i ) 0 (i4 ) 5 i i i i (i + ) i + i + + i + i και (i ) i i + i + i Επομένως (i + ) + (i ) ((i + ) ) + ((i ) ) (i) + ( i) i + ( ) i i + i ΑΣΚΗΣΗ 3 Αν ν Z, να δείξετε ότι : i ν + i ν + i ν + i ν3 0 i + i + i + i i ( + i + i + i ) i ( + i i) 0 ΑΣΚΗΣΗ 4 3

4 Να υπολογίσετε το άθροισμα (α + βi) 30 + (β αi) 30 (α + βi) + (β αi) (α + βi) + i β i α (α + βi) + i βi i α (α + βi) + [i( βi α)] (α + βi) + [i(α βi] [(α + βi) ] + [i (α βi) ] (α + αβi β ) + [ (α αβi β )] (α + αβi β ) [(α αβi β )] 0 ΑΣΚΗΣΗ 5 Α. Να βρείτε τον ακέραιο ν, ώστε να ισχύει: i 5ν + i ν ν + i Β. Να βρείτε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο ν για τον οποίο ισχύει: i ΛΥΣΗ Α. i + i i (i + ) i i ν 4κ + με κ Z Β. + i ( + i) i ( + i)( i) + i i Επομένως + i i i ν 4ρ με ρ Z και επομένως ν 4 ΑΣΚΗΣΗ 6 Α. Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης i i i 3 i ν, με ν Ν Β. Να υπολογισθεί η τιμή του ν Ν ώστε i i i 3 i ν Α. i i i i i i () Το γινόμενο δύο διαδοχικών φυσικών αριθμών είναι ν(ν + ) άρτιος φυσικός αριθμός Επομένως το ν(ν + ) είναι ένας φυσικός αριθμός και επομένως i () i, κ Z αν κ 4ρ i κ i αν κ 4ρ + με ρ Ν αν κ 4ρ + i αν κ 4ρ + 3 Β. Από το Α ερώτημα έχω: i i i i i κ 4ρ με ρ Ν 4

5 ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Αν α+βi τότε ο συζυγής του είναι ο α βi με εικόνα συμμετρική με άξονα συμμετρίας τον άξονα χ χ Βασικές ιδιότητες β Μ() + α Re() και βiιm()i ± + Ο α και ( ) () η οποία χρησιμοποιείται συνήθως για την εύρεση των συζυγών των μιγαδικών που είναι υψωμένοι σε δύναμη π.χ 3 + ı 3ı 3 + ı 3ı 3 + ı 3ı 3 i + 3i ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για ένα μιγαδικό να αποδείξετε ότι: Ο είναι πραγματικός αν και μόνο αν Ο είναι φανταστικός αν και μόνο αν (Η άσκηση αυτή έχει θέση θεωρίας και μπορει να χρησιμοποιείται χωρίς απόδειξη για την λύση άλλων ασκήσεων) ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι μιγαδικοί αριθμοί των οποίων το πραγματικό μέρος είναι μηδέν αποτελούν το σύνολο των φανταστικών αριθμών, το οποίο συμβολίζεται με Ι Έστω χ+ψi χ + ψi χ ψi ψi 0 ψ 0 R χ + ψi (χ ψi) χ + ψi χ + ψi χ 0 χ 0 Ι ΑΣΚΗΣΗ Αν, διαφορετικοί μιγαδικοί αριθμοί και ισχύει 4, να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός είναι φανταστικός ( ) 3 + ( ) + ( ) + ( + ( ) ΑΣΚΗΣΗ 3 4 ( ) ) + -β Μ () ( ) + είναι φανταστικός ( )

6 Θεωρούμε τους μη μηδενικούς και διαφορετικούς ανά δύο μιγαδικούς αριθμούς,, 3, με γεωμετρικές εικόνες Α,Β,Γ αντίστοιχα. Αν Ο είναι η αρχή των αξόνων. Να αποδείξετε: α. Αν τότε τα σημεία Ο,Α,Β είναι συνευθειακά β. Αν τότε τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά α. Εστω Α(χ, ψ ), Β(χ, ψ ), Γ(χ, ψ ). Για να είναι συνευθειακά τα Α, Β, Ο θά πρέπει ΟΑ λοβ, λ R λ λ Αρκεί επομένως να αποδείξω ότι ο είναι πραγματικός. Αρκεί γι αυτό να δείξω ότι ισχύει από τα δεδομένα. Άλλος τρόπος το οποίο Αρκεί να δείξω ότι τα διανύσματα ΟΑ και ΟΒ είναι παράλληλα. ΟΑ (χ, ψ ) και ΟΒ (χ, ψ ). Αρκεί να δείξω ότι: det ΟA, ΟΒ χ χ ψ χ ψ χ ψ 0. Διότι: Ιm( ) 0. Αλλά Ιm( ) Ιm(χ + ψ i)(χ ψ i) 0 Ιm(χ χ + ψ ψ + (χ ψ χ ψ )i) 0 χ ψ χ ψ 0 β. Το διάνυσμα ΑΒ (χ χ, ψ ψ ) και το ψ διάνυσμα ΑΓ (χ χ, ψ ψ ). Για να είναι συνευθειακά τα Α,Β,Γ θα πρέπει: detαβ, ΑΓ χ χ ψ ψ χ χ ψ ψ 0 (χ χ )(ψ ψ ) (χ χ )(ψ ψ ) 0 Α( ) Β( ) Γ( ) Ο χ ψ χ ψ χ ψ + χ ψ χ ψ + χ ψ + χ ψ χ ψ 0 χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ + χ ψ + χ ψ 0 το οποίο ισχύει διότι Ιm( + + ) 0 Ιm[(χ + ψ i)(χ ψ i) + (χ + ψ i)(χ ψ i) + (χ + ψ i)(χ ψ i)] 0 ψ χ χ ψ + ψ χ χ ψ + χ ψ χ ψ 0 Άλλος τρόπος Το διάνυσμα ΑΒ πρέπει να είναι παράλληλο στο διάνυσμα ΑΓ δηλ. ΑΒ λαγ ΟΒ ΟΑ λογ ΟΑ λ( ) λ R. Αρκεί να δείξω το οποίο ισχύει από τα δεδομένα. ΑΣΚΗΣΗ 4 6

7 Να δειχθεί ότι για κάθε λ R και για κάθε ν Ν ο αριθμός α. (λ + i) ν + (λ i) ν είναι πραγματικός β. (λ + i) ν (λ i) ν είναι φανταστικός ν ν λ + i γ. λ i λ i + λ + i είναι πραγματικός α. (λ + ) + (λ ) (λ + ) + (λ ) λ + + λ (λ i) + (λ + i) Επομένως ο R β. (λ + ) (λ ) (λ + ) (λ ) λ + + λ (λ i) + (λ + i) Επομένως ο είναι φανταστικός γ. λ + λ + λ λ + λ + λ + λ λ + λ + λ i λ + i + λ + i λ i R λ + λ λ + ΑΣΚΗΣΗ 5 Μέτρο μιγαδικού αριθμού Αν χ+ψi τότε μέτρο ονομάζω την απόσταση της εικόνας του από την αρχή των αξόνων και συμβολίζεται με ΟΜ χ + ψ Προφανώς και ψ Ο χ Μ(χ,ψ) Γεωμετρική παράσταση αθροίσματος και διαφοράς Έστω δύο μιγαδικοί αριθμοί, + ΟΜ Από τριγωνική ανισότητα έχω + + Η δεξιά ισότητα ισχύει όταν τα διανύσματα των μιγαδικών είναι Δ( ομόρροπα ) και η από αριστερά όταν τα διανύσματα των μιγαδικών είναι αντίρροπα. Το μέτρο της διαφοράς δείχνει την απόσταση των εικόνων των, (απόσταση μιγαδικών) Ο 7 Α( ) Μ( + ) + ) Ε( ) Β( )

8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ + +, να αποδειχθεί ότι ο είναι πραγματικός αριθμός Επομένως Αρα τα διανύσματα των μιγαδικών, είναι ομόρροπα και επομένως λ λ R + 0 ( ) 0 αφού 0, 0 R Άλλος τρόπος υψώνουμε την δοθείσα εις το τετράγωνο και έχω ( + ) + ( ) ( + )( ) ( + )( + ) + ( )( ) + ( + )( ) ( + )( ) 4 ( + )( ) 0 η. Αρα R ΑΣΚΗΣΗ Αν C και ν Ν* και, ν, να αποδειχθεί ότι ο αριθμός ( + )ν w + ν είναι πραγματικός + )ν και επομένως w ( + ν ( + )ν + ν ( ) + ( + ) ( + ) + ( + ) + w w R + 8

9 ΑΣΚΗΣΗ 3 Αν, είναι διαφορετικοί μιγαδικοί αριθμοί, με ρ > 0, να δείξετε ότι ο μιγαδικός w ρ + είναι φανταστικός ρ ρ ρ ρ ρ w ρ + (ρ + ) ( ) ρ + ρ + ρ ρ ρ ρ + w w φανταστικός ΑΣΚΗΣΗ 4 Αν είναι μιγαδικός αριθμός διάφορος του μηδενός και ισχύουν οι σχέσεις + και Re( ) 5 Να αποδειχθεί ότι ρ + ρ ρ (ρ + ) ρ ρ ρ ( ) Re( ) ΑΣΚΗΣΗ 5 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς,, 3 για τους οποίους ισχύει 3. Να αποδείξετε ότι: α) β) ( + )( + 3 )( 3 + ) R 3 α),, και

10 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ β) ( + )( + )( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + )( + )( + ) ( + )( + )( + ) ΑΣΚΗΣΗ 6 Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει: ( 3) ν ( + 3) ν, ν Ν Να δείξετε ότι ο είναι φανταστικός ( Ι) Έστω χ + ψi ( 3) ( + 3) ( 3) ( + 3) χ + ψi 3 χ + ψi + 3 (χ 3) + ψ (χ + 3) + ψ (χ 3) + ψ (χ + 3) + ψ (χ 3) (χ + 3) χ 6χ + 9 χ + 6χ + 9 χ 0 χ 0 και επομένως ο είναι φανταστικός ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όταν μία άσκηση αναφέρεται σε μια ισότητα μιγαδικών παραστάσεων που περιέχουν, ως συνήθως δυνάμεις μιγαδικών, παίρνουμε τα μέτρα των παραστάσεων για να απαλλαγούμε από την δύναμη, χρησιμοποιώντας βέβαια τις ιδιότητες των μέτρων. ΠΡΟΣΟΧΗ όμως διότι δεν ισχύει η ισοδυναμία ν w ν ν w ν Ισχύει η συνεπαγωγή ν w ν ν w ν ΚΑΙ ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ η συνεπαγωγη ν w ν ν w ν Γενικά όταν τα μέτρα είναι ίσα οι μιγαδικοί δεν είναι κατ ανάγκη ίσοι π.χ Οι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρείτε τον θετικό ακέραιο ν, για τον οποίο ισχύει ( i) ν 6 Απαιτείται επαλήθευση για την τιμή του ν που θα βρούμε και γιατί; ( i) 6 τότε θα ισχύει ( i) 6 i ν 4 ν 8 0

11 Πρέπει να γίνει η επαλήθευση διότι βρήκαμε την τιμή του ν για να είναι τα μέτρα ίσα και όχι οι μιγαδικοί αριθμοί ίσοι ( i) i + i i. Επομένως ( i) (( i) ) ( i) 6i 6 6 ΑΣΚΗΣΗ 8 Αν για τους μιγαδικούς και και 0 ισχύει η σχέση τότε να αποδείξετε ότι α. β. 5 5 i ή 5 5 i γ. Ο μιγαδικός w 5 είναι φανταστικός α β. + 0 i 0 ( + i )( i ) 0 i ή i γ. Από την i ( i ) i οπότε w i i Από την i (i ) i οπότε w i Άρα ο w είναι φανταστικός i

12 ΒΑΣΙΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ Αν χ+ψi με χ,ψϵr τότε το σύνολο Μ(χ,ψ) των εικόνων του προσδιορίζεται από την εξίσωση η ανίσωση ως προς χ,ψ οι οποίες θα προκύψουν από τη διατήρηση των ισοδυναμιών, από την συνθήκη f(). ΕΥΘΕΙΑ. Αν από την f() προκύψει εξίσωση της μορφής Αχ+Βψ+Γ0 με Α + Β 0 τότε ο Γ.Τ είναι ευθεία ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί ο Γ.Τ των εικόνων του για τους οποίους ισχύει: I. lm()re() II. 4 Ι Έστω χ+ψi και από την lm()re() ψχ. Άρα ο Γ.Τ είναι η ευθεία ψχ που είναι και η διχοτόμος της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων ψχ ΙΙ. 4 χ ψi 4 χ ψi χ 4 0 χ. Αρα ο γεωμετρικός τόπος είναι η κατακόρυφη ευθεία χ χ. Αν η σχέση που θα προκύψει είναι της μορφής μορφής Αχ+Βψ+Γ>0 με Α + Β 0 τότε ο Γ.Τ είναι τα σημεία του ενός από τα δύο ημιεπίπεδα που δημιουργεί η ευθεία Αχ+Βψ+Γ0. Αν καταλήξουμε στη σχέση Αχ+Βψ+Γ 0 τότε είναι και τα σημεία της ευθείας Αχ+Βψ+Γ0. Για να επιλέξω το ημιεπίπεδο, επιλέγω ένα τυχαίο σημείο ενός ημιεπιπέδου και αν επαληθεύει την ανίσωση, τότε επιλέγω το ημιεπίπεδο που ανήκει το σημείο πού επέλεξα, αν δεν την επαληθεύει επιλέγω το άλλο ημιεπίπεδο. ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί ο Γ.Τ των σημείων των εικόνων του για τα οποία ισχύει: 4 4 χ ψi 4 χ ψi ψ χ χ 4 0 χ. Αρα ο γεωμετρικός τόπος είναι τα χχχ χ σημεία του ημιεπιπέδου (ψ ψ, Α) Α Υπενθυμίση ψ στο ημιεπίπεδο (ψ ψ, Α) ανήκουν και τα σημεία της ευθείας ψ ψ 3. (ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ) Είναι το σύνολο των σημείων που απέχουν την ίδια απόσταση από τα δύο σταθερά σημεία ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί το σύνολο των σημείων των εικόνων του για τα οποία ισχύει -+3i +

13 ος τρόπος Έστω χ+ψi τότε από την δοθείσα έχω + 3i + χ + ψi + 3i χ + ψi + (χ ) + (ψ + 3)i χ + + ψi (χ ) + (ψ + 3) (χ + ) + ψ (χ ) + (ψ + 3) (χ + ) + ψ χ 4χ ψ + 6ψ + 9 χ + χ + + ψ 4χ ψ + 9 χ + 6χ + 6ψ + 0 χ + ψ + 0 ος τρόπος + 3i + ( 3i) ( + 0i) Ο γεωμετρικός τόπος είναι τα σημεία που ισαπέχουν από τα σημεία Α(,-3) και Β(-,0). Πού είναι η μεσοκάθετος του ευθ. τμήματος ΑΒ. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ είναι: λ 3 0 ( ) 3 3. Τό μέσον του ΑΒ έχει συντεταγμένες Μ + ( ), Μ, 3. Η μεσοκάθετος επομένως διέρχεται από το Μ και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ μ για τον οποίο ισχύει λ μ λ λ μ. Επομένως έχει εξίσωση ψ 3 χ ψ + 3 χ ψ + 3 χ χ + ψ χ+ψ+0 ΚΥΚΛΟΣ(ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ) Aν η συνθήκη είναι της μορφής 0 ρ με α + βi και ρϵr και ρ > 0 τότε ο Γ. Τ είναι κύκλος με κέντρο Κ(α,β) και ακτίνα ρ με εξίσωση του είναι :(χ α) + (ψ β) ρ K( ) ρ ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί ο Γ.Τ των εικόνων του για τα οποία ισχύει + i + i ( i). Είναι κύκλος Κέντρου Κ(, ) και ακτίνας ρ με εξίσωση (χ ) + (ψ + ) 4 3

14 Αν 0 ρ τότε ο Γ. Τ των εικόνων του είναι ο κυκλικός δίσκος κέντρου Κ( 0 ) και ακτίνας ρ Αν 0 > ρ τότε είναι μόνο τα εσωτερικά σημεία του κύκλου Μ() K( ) Αν 0 ρ τότε ο Γ.Τ των εικόνων του είναι είναι τα εξωτερικά σημεία του κύκλου και τα σημεία του κύκλου. Αν 0 > ρ τότε ο Γ.Τ των εικόνων του είναι μόνο τα εξωτερικά σημεία του κύκλου. K( ) Μ() Αν ρ 0 ρ τότε ο Γ. Τ των εικόνων του είναι ο κυκλικός δακτύλιος που σχηματίζεται από τους κύκλους (Κ( 0, ρ) και (Κ( 0, ρ ), όπως στο σχήμα. Αποτελείται από τα σημεία τα μεταξύ των δύο κύκλων και με τα σημεία των κύκλων. Αν ρ < 0 < ρ τότε από τα παραπάνω σημεία δεν περιλαμβάνουμε τα σημεία των κύκλων. Κ( ) ρ Μ() ρ ΕΛΛΕΙΨΗ Ως γνωστός ο Γ.Τ των σημείων που απέχουν σταθερή απόσταση από δύο σταθερά σημεία, και ίση με α είναι έλλειψη της οποίας οι εστίες είναι τα δύο σταθερά σημεία. + γ + γ α με εξίσωση αναλυτική Μ() με 0 < γ < α + + με β α γ και εστίες Ε (-γ,0) και Ε(γ,0) -α α Ε (-γ,0) Ε(γ,0) 4

15 ΑΣΚΗΣΗ Nα βρεθεί ο Γ.Τ των σημείων που ικανοποιούν τη σχέση: (-3) Μ() Άρα είναι έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε (-3,0) καιε(3,0). Ο μεγάλος άξονας είναι α0 α5. Αφού το γ3 τότε β α γ Και έχει εξίσωση χ 5 + ψ 6 Ε (-3,0) Ε(3,0) ΥΠΕΡΒΟΛΗ είναι ο Γ.Τ των σημείων των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία είναι σταθερή και ίση με α. Εστίες είναι τα σταθερά σημεία. Η εξίσωσή της είναι : χ α ψ β. Ασύμπτωτες είναι οι ευθείες ψ ± β χ. Εστίες τα σταθερά α σημεία Ε (γ, 0)και Ε ( γ, 0)και β γ α Για του μιγαδικούς αριθμούς η σχέση είναι: + α Αν ισχύει: + α η + α, με α > 0 τότε έχουμε τον ένα από τους δύο κλάδους της υπερβολής. Με εστίες τις εικόνες των μιγαδικών, Συγκεκριμένα ( + γ γ ) α: τότε η εξίσωση της υπερβολής είναι χ α ψ χ γ με 0 < α < γ α α ψ β με β γ α και για τους δύο κλάδους της υπερβολής έχω + γ γ α που είναι ο ξεξιός κλάδος και γ + γ α που είναι ο αριστερός κλάδος και με εστίες Ε ( γ, 0), Ε(γ, 0) 5

16 ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθεί ο Γ.τ των μιγαδικών στις παρακάτω περιπτώσεις Για την το γ 5, το α 4 και το β με εξίσωση χ 4 ψ 3 Για την είναι υπερβολή με εξίσωση χ 4 ψ με χ < α Για την είναι υπερβολή με εξίσωση χ 4 ψ 3 με χ > α

17 ΠΑΡΑΒΟΛΗ Παραβολή είναι ο Γ.Τ των σημείων όπου απέχουν σταθερή ίση απόσταση από σταθερή ευθεία την χ ρ (διευθετούσα) και σταθερό σημείο Ε ρ, 0 (Εστία) ρ + ρ iιm() η παραβολή ψ ρχ (ρ 0). Αυτό διότι αν χ + ψi με χ, ψ R, τότε η παραπάνω εξίσωση γράφεται: ρ>0 χ-ρ/ Ο Ε(ρ/,0) χ ρ + ψi χ + ψi + ρ iψ χ + ψi χ + χ χρ + + ψ χ + χρ + ψ ρχ ρ<0 Ε(ρ/,0) χ-ρ/ ΑΣΚΗΣΗ Να βρείτε το Γ.Τ των σημείων που ικανοποιούν τη σχέση + iιm() Έστω χ+ψi τότε από την + iιm() + iιm() (χ ) + ψ (χ + ) χ 4χ ψ χ + 4χ + 4 ψ 8χ ΜΕΓΙΣΤΟ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Αν C, ώστε 3i, να δείξετε ότι: 5 ος τρόπος Από την τριγωνική ανισότητα + + και από το ότι γνωρίζουμε δεξιά ισότητα (μέγιστο του + ) ισχύει όταν τα διανύσματα των μιγαδικών είναι ομόρροπα και η από αριστερά (ελάχιστο του + ) όταν τα διανύσματα των μιγαδικών είναι αντίρροπα. ΔΗΛΑΔΗ Αν Α, Β είναι οι εικόνες των, αντίστοιχα τότε τα διανύσματα των μιγαδικών και 7

18 είναι αντίστοιχα ΟΑ και ΟΒ ΟΑ, ΟΒ οι ισότητες ισχύουν όταν ΟΑ λ ΟΒ, λ R λ λ, 0 Επομένως 3i + ( 3i) καιαπό τα προηγούμενα έχω: 3i 3i φανταστικός. Επομένως αν χ + ψi τότε χ 0. Από δε την 3i ψi 3i (ψ 3)i (ψ 3) (ψ 3) 4 ψ 3 ± ψ5 η ψ. Και επομένως ο 5i η i, οπότε το μέγιστο μέτρο είναι 5i 5 και η ελάχιστη τιμή του μέτρου είναι i ος τρόπος Εφαρμόζοντας τη τριγωνική ανισότητα έχω: 3i + ( 3i) οπότε 3i + ( 3i) + 3i 3 3i και και που ισχύει 5 3ος τρόπος Ο Γ.Τ των μιγαδικών που ικανοποιούν τη σχέση 3i είναι κύκλος κέντρου (0,3) και ακτίνας. Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Από το σχήμα παρατηρούμε ότι από όλους τους μιγαδικούς που κινούνται στον κύκλο κέντρου (0,3) και ακτίνας, αυτός που έχει το ελάχιστο μέτρο είναι ο μιγαδικός του οποίου η εικόνα είναι το Α, δηλαδή ο μιγαδικός 0+i, ενώ αυτός που έχει το μέγιστο μέτρο είναι αυτός που έχει εικόνα το Β, δηλ. ο μιγαδικός 0+5i 5. Και τελικά για κάθε μιγαδικό του ανωτέρω κύκλου θα έχω 5 Όταν ο Γ.Τ είναι ευθεία και ζητείται ο μιγαδικός με την ελάχιστο μέτρο τότε από την αρχή των αξόνων φέρνω την κάθετη προς την ευθεία που την τέμνει στο Α. Τότε το Α είναι η εικόνα του μιγαδικού που ζητάμε και το μήκος του ΟΑ είναι η ελάχιστη απόσταση. ΑΣΚΗΣΗ Δίδονται οι μιγαδικοί αριθμοί,w με α+βi, α,βϵr και w3-i +4 I. Να αποδείξετε ότι Re(w)3α-β+4 και lm(w)3β-α II. Να αποδείξετε ότι αν οι εικόνες του w κινούνται στην ευθεία με εξίσωση με III. ψχ-, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με ψχ-. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς, που οι εικόνες κινούνται στην ευθεία ψχ-, έχει το ελάχιστο μέτρο Ι w 3(α + βi) i(α βi) + 4 3α + 3βi αi β + 4 w 3α β (3β α)i Re(w) 3α β + 4 και lm(w) 3β α ΙΙ 8

19 αν w χ + ψi τότε χ 3α β + 4 και ψ 3β α και ψ χ οπότε έχουμε 3β α 3α β + 4 4β 4α 8 β α Άρα οι οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με ψχ- ΙΙΙ Από τους μιγαδικούς που κινούνται στην ψχ- εκείνος που έχει το ελάχιστο μέτρο είναι αυτός που έχει εικόνα το σημείο Α. Όπου ΟΑ κάθετος στην ψχ-. Και αφού η ευθεία ΟΑ είναι κάθετος στην ψχ- θα έχει συντελεστή διεύθυνσης - και αφού διέρχεται από την αρχή των αξόνων θα έχει εξίσωση ψ-χ. Το σημείο Α θα έχει συντεταγμένες τις λύσεις του συστήματος ψ χ ψ χ ψ χ χ χ χ, ψ και επομένως ο μιγαδικός που έχει το ελάχιστο είναι ο -i χ 0 ψ - - Ο - Α - Όταν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών,w είναι δύο κύκλοι. Τότε για να βρούμε το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο w ψχ- ψ-χ Α Α Κ ρ Κ Β Γ Λ Ρ Δ Φέρνω τη διάκεντρο που τέμνει του κύκλους στα σημεία Α,Β,Γ,Δ. Η μέγιστη απόσταση είναι η -w ΑΔΚΛ+ρ+Ρ και η η ελάχιστη είναι -w ΒΓΚΛ-ρ-Ρ. Για να βρούμε τις εικόνες των μιγαδικών λύνουμε τα συστήματα που προκύπτουν από τις εξισώσεις των κύκλων και της ευθείας της διακέντρου. ΑΣΚΗΣΗ Δίδονται οι μιγαδικοί αριθμοί,w για τους οποίους ισχύουν 3 4i 5 και w 6 8i 0 I. Να βρείτε το Γ.Τ των εικόνων των,w II. Να βρείτε το μέγιστο μέτρο των,w III. IV. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του -w Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους το -w γίνεται μέγιστο και ελάχιστο 9

20 Έστω χ+ψi και wα+βi τότε 3 4i 5 (3 + 4i) 5. Αρα οι εικόνες των είναι τα σημεία του κυκλικού δίσκου κέντρου Κ(3,4) και ακτίνας ρ 5 και η εξίσωση του κύκλου είναι: (χ 3) + (ψ 4) 5 w 6 8i 0 w (6 + 8i) 0 Αρα οι εικόνες του w είναι τα σημεία του κυκλικόυ δίσκου κέντρου Λ(6,8)και ακτίνας ρ 0 και η εξίσωση του κύκλου είναι: (α 6) + (β 8) 00 Κ(3,4) Λ(6,8) Η ευθεία ΟΚ έχει έξίσωση ψ 4 χ. Για να βρούμε το μέγιστο φέρνουμε την ΟΚ πού τέμνει 3 τον Κύκλο κέντρου Κ στο Α. Τότε το μέγιστο μέτρο ΟΚ + ΚΑ ρ 0 και το μέγιστο μέτρο w ΟΛ + ΑΒ ρ 0 Το μέγιστο w ΟΒ ρ + ρ Για να βρούμε και τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους το w γίνεται μέγιστο πρέπει να βρούμε τους μιγαδικούς που έχουν εικόνες το Ο και Β Ο μιγαδικός που έχει εικόνα το Ο είναι ο 0 + 0i και για τον μιγαδικό που έχει εικόνα το Β πρέπει να λύσω το σύστημα: ψ 4 3 χ ψ 4 3 χ ψ 4 (χ 6) + (ψ 8) 00 (χ 6) χ 3 χ 8 00 (χ 6) (χ 6) 00 ψ 4 3 χ ψ 4 3 χ (χ 6) χ 6 ± 9 00 ψ 4 3 χ 5 ±6 χ 6 η χ 0 Β ψ 0 και χ 0 ή χ 6 και ψ ο ένας είναι 0+0i και ο άλλος είναι 6+i που είναι η εικόνα του Β όπως φαίνεται από το σχήμα Α όταν ο Γ.Τ ενός μιγαδικού αριθμού είναι μια ευθεία και του άλλου ένας κύκλος που δεν έχουν κοινά σημεία τότε, το ελάχιστο της μέτρο διαφοράς το βρίσκουμε όταν φέρουμε από το κέντρο του κύκλου κάθετη στην ευθεία. Αυτή η κάθετος τέμνει τον κύκλο σε ένα σημείο Α και την ευθεία σε ένα σημείο Β τότε η ελάχιστη διαφορά είναι το ευθ. τμήμα ΑΒ 0

21 σχήμα Β Α ΑΣΚΗΣΗ O μιγαδικός αριθμός κινείται στον κύκλο που ορίζεται από τη σχέση --i, και ο μιγαδικός w κινείται στην ευθεία που ορίζεται από τα σημεία (4,) και (3,0). Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του w- και του μιγαδικούς για τους οποίους έχουμε το ελάχιστο. Να βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη απόσταση των από την ευθεία των w i ( + i) που σημαίνει ότι ο μιγαδικός κινείται σε κύκλο κέντρου Κ(,) και ακτίνας ρ Η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία (4,) και (3,0) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 4 3 και εξίσωση ψ (χ 3) ψ χ 3 Η μέγιστη απόσταση των από την ευθεία είναι η ΓΒΚΒ+ΓΚ που είναι η απόσταση του κέντρου Κ από την χ-ψ-30 και είναι ίση με 3 ΓΒ ΚΒ + ρ d(κ, ε) + ρ και η ελάχιστη w ΑΒ ΚΒ ρ που είναι και η ελάχιστη των από την ευθεία Όταν ο Γ.Τ είναι έλλειψη το μέγιστο το έχουν οι μιγαδικοί που έχουν εικόνα τα άκρα του μεγάλου άξονα και το ελάχιστο μέτρο αυτοί που οι εικόνες τους είναι τα άκρα του μικρού άξονα. Αν οι εικόνες των,w κινούνται πάνω σε έλλειψη τότε -w γίνεται μέγιστο(α) όταν οι εικόνες των,w είναι στα άκρα του μεγάλου άξονα και ελάχιστο όταν οι εικόνες είναι στα άκρα του μικρού άξονα (β) ΑΣΚΗΣΗ Αν Μ και Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών και αντίστοιχα και + 4, να αποδείξετε ότι Οταν το Μ κινείται σε κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας 4, τότε το Μ κινείται σε μία έλλειψη. Να βρείτε επίσης το μέγιστο και ελάχιστο μέτρο του. Αν 3, 4 είναι σημεία της παραπάνω έλλειψης να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο 3 4 και τις εικόνες τους. Εστω α + βi και χ + ψi. Αφού ο κινείται σε κύκλο κέντρου (0,0)και ακτίνας 4, το το σύνολο των εικόνων του θα έχει εξίσωση α + β 6 Το σύνολο των εικόνων του έχει εξίσωση + 4 χ + ψi α + βi + 4 α + βi

22 χ + ψi α + βi + 4(α βi) α + β χ + ψi α + α 4 + β β 5α i χ 4 4 στην α + β 6 6χ 5 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4(α βi) (α βi) χ + ψi α + βi + α + βi ψ 9 Μέγιστο μέτρο έχουν οι μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες βρίσκονται στα άκρα του μεγάλου άξονα. Άρα είναι οι μιγαδικοί 5+0i και -5+0i Ελάχιστο μέτρο έχουν οι μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες βρίσκονται στα άκρα του μικρού άξονα. Άρα είναι οι μιγαδικοί 3i και -3i. Το μέγιστο μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών που κινούνται πάνω στην έλλειψη είναι όσο το μήκος του μεγάλου άξονα α0 και το ελάχιστο όσο το μήκος του μικρού άξονα β6. και ψ 3β 4 α 4χ 5 και β 4ψ 3 6 χ 5 + ψ 9 και αντικαθιστώ Αν ο Γ.τ είναι υπερβολή τότε το ελάχιστο μέτρο έχουμε όταν ο μιγαδικός έχει εικόνα μια από τις κορυφές της υπερβολής. Μέγιστη τιμή το μέτρο δεν έχει. ΑΣΚΗΣΗ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, w και w τέτοιους ώστε w i και w α αi, αεr. Να δείξετε ότι, αν ο α μεταβάλλεται στο R και ισχύει w w, τότε η εικόνα Ρ του στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε μια υπερβολή.. Να βρεθεί το ελάχιστο μέτρο του μιγαδικού. Αν οι μιγαδικοί και κινούνται σε διαφορετικούς κλάδους της υπερβολής τότε να βρεθεί το ελάχιστο του καθώς και οι, Εστω χ + ψi τότε w w i α + αi χ + ψi (χ + ψi )i α + αi χ + ψi χi ψi α + αi χ + ψi χi + ψ α + αi χ + ψ + (ψ χ)i α + αi χ ψ χ + ψ α ψ χ Που είναι η εξίσωση ισοσκελούς υπερβολής που έχει τις εστίες της στον ψ ψα β και γ α + β Ε 0, και Ε0, Οι μιγαδικοί που έχουν το ελάχιστο μέτρο είναι εκείνοι που οι εικόνες τους είναι οι κορυφές της υπερβολής

23 δηλ. οι μιγαδικοί 0+i και 0-i Το ελάχιστο μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών που κινούνται στην υπερβολή είναι: α 3

24 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3i. Αν και Μ η γεωμετρική του εικόνα να υπολογισθεί η ακτίνα του κύκλου i (χ-) +(ψ-) ρ αν είναι γνωστό ότι το Μ είναι σημείο του κύκλου.. Αν, o αριθμός + είναι πραγματικός, να αποδειχθεί ότι ή 3. Αν, να δειχθεί ότι + αν και μόνο αν ο αριθμός είναι θετικός πραγματικός 4. Αν 3 και 3 0 τότε ισχύει 0 5. Αν να δειχθεί ότι Για τους μιγαδικούς αριθμούς, να αποδειχθεί ότι αν τότε 3 7. Αν για τους μιγαδικούς,, 3 ισχύει να αποδειχθεί ότι Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει α Β Να προσδιορισθεί το σύνολο των εικόνων του αν οι εικόνες Α(),Β(),Γ(+ ) είναι σημεία συνευθειακά και διαφορετικά ανά δύο 0. Αν να προσδιορισθούν τα για τα οποία το 5 γίνεται ελάχιστο. Αν i 3 να προσδιορισθούν οι μιγαδικοί για τους οποίους το 3 i γίνεται μέγιστο ή ελάχιστο. v v. Στο μιγαδικό επίπεδο θεωρούμε τα σημεία Α( και Β ) ( με ν ) με και. Αν Ο η αρχή των αξόνων να δείξετε ότι τα σημεία Ο,Α,Β είναι συνευθειακά. 3. Θεωρούμε τα σημεία Α( ), Β( ), Γ( 3 ) με 3.Να δειχθεί ότι

25 4. Δίνεται ο μιγαδικός με 0 και. Αν για τον μιγαδικό w ισχύει 3 3w+66 w. να βρεθεί το μέτρο του w. Αν για το μιγαδικό v ισχύει 3 3 ( v )( v ) 6ww 4 να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του v. 5. Αν να αποδείξετε ότι, α. Re β. Im i και 6. Θεωρούμε τα σημεία Α,Β,Γ,Δ που είναι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών 0,3,3+3i,6+3i αντίστοιχα α. Εξετάστε το είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ β. να βρείτε την ελάχιστη τιμή του τύπου f ( ) 3 3 3i 6 3i, 7. Δίνονται οι μιγαδικοί, με Αν για τον ισχύει ( ) ( )+( ) ( )4 α. Να βρείτε το Γ.Τ των εικόνων του β. Να βρεθεί το μέγιστο της παράστασης 8 Έστω, με και 3. Να δείξετε ότι, Θεωρούμε την εξίσωση και τις ρίζες της, με Im( ) > 0) και τα σημεία Α( ), B( ) του μιγαδικού επιπέδου. Σε κάθε σημείο Μ() διάφορο του Ο αντιστοιχίζουμε το σημείο M ( ) από τη σχέση Α. Να προσδιορισθούν τα σημεία Α, Β στα οποία αντιστοιχίζονται τα Α,Β Β. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία Ο,Μ,Μ είναι συνευθειακά και ότι (ΟΜ)(ΟΜ ) Γ. Να αποδειχθεί ότι για κάθε 0 είναι <> και <> 0. Δίνεται η εξίσωση ( + συνθ) + ( + συνθ) 0 με θϵ0, Συμβολίζουμε με, τις μιγαδικές της ρίζες με Ιm( )>0 α. Να αποδειχθεί ότι όταν το θ μεταβάλλεται το σημείο M ( ) κινείται σε κύκλο τον οποίο και να προσδιορίσετε. 5

26 β. Αν Α,Μ είναι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών +0i και +συνθ+ημθi αντιστοίχως, να αποδειχθεί ότι οι ευθείες ΟΜ και ΑΜ είναι παράλληλες και να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΜΜ. Να βρείτε το σύνολο των εικόνων του μιγαδικού επιπέδου των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τα σταθερά σημεία 3 και 3 είναι ίσος με. Δίνονται οι μιγαδικοί, w με χ+ψi και w Α. Αν ο w είναι φανταστικός να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του Β. Αν, είναι δύο μιγαδικοί του παραπάνω γεωμετρικού τόπου να βρείτε το μέγιστο της παράστασης 3. A. Av, είναι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει i και 5 + 5i τότε να βρείτε τα, B. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς,w ισχύουν 3i και w 3 i τότε ) Να αποδείξετε υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί,w τέτοιοι ώστε w ) Nα βρείτε τη μέγιστη τιμή του w 4. Aν ϵc και - και - να αποδειχθεί ότι ισχύει 3 5. Αν ν θετικός ακέραιος και για τον μιγαδικό ισχύει η σχέση Να αποδείξετε ότι: α. β. γ. Ο μιγαδικός w + είναι πραγματικός 6

27 ΛΥΣΕΙΣ. + 3і ( + 3і)( і) 5 5і Εστω χ + ψі Αλλά 5 і χ + ψі + і 5 5 Άρα χ5 και ψ- και αφού είναι τα σημείο του κύκλου θα πρέπει (5 ) + ( ) ρ άρα ρ 5 ρ 5, ρ > 0. Αφού + είναι πραγματικός θα πρέπει ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 η Αρα ϵr η 3. Από την σχέση ( + ) Άρα + > 0 ( + ) 4 + > 0 ( ) 0 + > 0 λ, λϵr (λ ) + (λ ) > 0 λ, λϵr λ > 0 λ, λϵr λ > 0 4. Αφού Παρόμοια, Αρα Αφού Παρόμοια, Αρα

28 6.Αφού και από την ισότητα + ( + )( ) ( )( ) Από την σχέση ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) Παρομοίως ( ) ( )( )( ) και( ) ( )( )( ) Άρα( ) ( ) ( ) 8. Από την σχέση Έχω -(-3+0і) + -(3+0і) 0 δηλ. το άθροισμα των αποστάσεων του από τα σημεία (-3,0) και (3,0) είναι σταθερό και ίσο με α 5 α5 και γ3. Επειδή β α γ β 4 Άρα η έλλειψη έχει εξίσωση χ 5 + ψ 6 Από τη σχέση (-3+0і) - -(3+0і) 4 που λέει ότι η διαφορά των αποστάσεων του από τα σημεία (-3,0) και (3,0) είναι 4 που καλύπτεται από τον ορισμό της υπερβολής. Δεν είναι και οι δύο κλάδοι της υπερβολής αλλά ο ένας και μάλιστα ο δεξιός καθότι η απόσταση από το σημείο (-3,0) είναι μεγαλύτερη από την απόσταση του από το σημείο (3,0). Με α, γ 3 και επειδή β γ α β 5 χ 4 ψ 5 8

29 9. Αφού τα Α,Β,Γείναι συνευθειακά θα ισχύει ΑΒ λαγ λ( + ) λϵr.επομένως θα ισχύει ότι ( ) ( )( + ) 0 ( )( ) 0 η 0 η 0 Από έχω ότι είναι πραγματικός άρα όλα τα σημεία του άξονα χ χ εκτός από το 0. Από την 0 έχω θέτοντας χ+ψі ότι χ + ψ χ + ψі χ ψі 0 χ + ψ χ 0 (χ ) + ψ που είναι τα σημεία του κύκλου κέντρου (,0) και ακτίνας εκτός από το σημείο (0,0) Εκτός από το σημείο Ο(0,0) Σημείωση Αν τα σημεία μπορούν και να ταυτιστούν τότε στο σύνολο των εικόνων συμπεριλαμβάνεται και το σημείο (0,0). Δηλαδή τότε 0 και επομένως το Α ταυτίζεται με το Γ και το Β έχει εκόνα το σημείο (0,0) 0 Αφού τα θα βρίσκονται στον Κυκλικό δίσκο κέντρου (0,0) και ακτίνας. Από +5 -(-5+0і). Το που απέχει τη μικρότερη απόσταση από το -5 Είναι το Β(-,0) άρα ο ζητούμενος Μιγαδικός είναι -+0і 9

30 . Αφού +-і 3 -(-+і) 3 και επομένως οι εικόνες των βρίσκονται στον κυκλικό δίσκο με κέντρο (-,) και ακτίνας 3. Από την -3+і -(3-і) δηλαδή η η απόσταση των από το σημείο (3,-) Η εξίσωση του κύκλου είναι (χ + ) + (ψ ) 9 και της ευθείας ΑΒ 3χ + 4ψ 0 Από την επίλυση του συστήματος έχω χ 7 5, ψ 4 5 και χ 7 5, ψ 4 5 Άρα -3+і γίνεται μέγιστο όταν Z і και 3 + і і 8 και ελάχιστο όταν і και 3 + і Για να είναι τα σημεία Ο,Α,Β συνευθειακά θα πρέπει ΟΑ λοβ, λϵr ( + ) λ( ) ( + ) λϵr ( ) Αφού Παρόμοια ( + ) ( ) ( ) + ( ) Αν Ο το κέντρο του κύκλου και το ΑΒΓ τρίγωνο ισοσκελές τότε η γωνία ΒΟΓ ΒΟΑ ΑΟΓ 0 Προεκτείνω την ΑΟ που κόβει τον κύκλο στο Δ Με ΒΟΟΔΟΓ και ΒΟΔ ΔΟΓ 60 Άρα και ΔΒΟ ΔΓΟ 60 Άρα το ΒΔΓΟ ρόμβος Επομένως ΟΒ + ΟΓ ΟΔ Αν Επειδή το τέλος του διανύσματος που αντιστοιχεί 30

31 4. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ στον μιγαδικό είναι σημείο του κύκλου και ΟΒΟΔΟΓ και το ΒΟΓΔ παρ/μο, άρα ρόμβος Και επομένως τα τρίγωνα ΔΟΓ και ΔΟΒ είναι ισόπλευρα Άρα ΒΟΓ 0 Από την σχέση 3w w (3 + )w 6( ) w 6( ) w + 6 w (v 3 ) v 3 4 6ww v 3 4 v w v v Γνωρίζουμε ότι Re() +, Im() i Αρα Re + +, Im i i i 6. Είναι προφανές ότι ΓΔ3 και ΑΒ3 με ΑΒ//ΓΔ. Άρα το ΑΒΔΓ είναι παρ/μο ƒ() (3+3і) + -(6+3і) δείχνει την απόσταση του μιγαδικού από τα σημεία Α,Β,Γ,Δ. Γεωμετρικά αυτό το σημείο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του παρ/μου. Που είναι το σημείο τομής των ευθειών χ3 και της ΑΔ που έχει εξίσωση ψ χ Αρα το σημείο τομής είναι 0(3, 3 ) και ο ζητούμενος μιγαδικός 3

32 είναι і 7. Η δοθείσα σχέση γράφεται ( )() + ( )( ) 4 + Και. Άρα το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των,, είναι ορθογώνιο. Και επομένως ο Γ.Τ είναι κύκλος Διαμέτρου Αν Α( ), Β( ), Γ( ) Θα έχω ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ 9 ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ + ΟΑ ΟΒ + ΟΑ ΟΓ + ΟΒ ΟΓ ΟΑ ΟΒ συν(οα, ΟΒ ) + ΟΒ ΟΓ συν(οβ συν(οα, ΟΒ ) + συν(οβ, ΟΓ ) + συν(οα, ΟΓ ) 3, ΟΓ ) + ΟΑ ΟΓ συν(οα, ΟΓ ) 9 Επομένως συν(οα, ΟΒ ), συν(οβ, ΟΓ ) και συν(οα, ΟΓ ) και επομένως οι γωνίες των διανυσμάτων είναι μηδενικές και επομένως τα διανύσματα ομόρροπα και αφού έχουν το ίδιο μέτρο είναι ίσα άρα και οι μιγαδικοί ίσοι. 9. Από εξίσωση έχω Δ-6 με ρίζες ±і Άρα + і και і Άρα το Α αντιστοιχεί στον μιγαδικό + і і + і 4 + і Και Β αντιστοιχεί στον μιγαδικό і + і і 4 і Για να είναι συνευθειακά τα Ο,Μ,Μ θα πρέπει ΟΜ λομ λ, λϵr λϵr ϵr (ΟΜ)(ΟΜ ) 3

33 Επειδή ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ έχω 0. ( + συνθ) ± 4( + συνθ) 8( + συνθ) ( + συνθ) ± 4 + 8συνθ + 4συν θ 8 8συνθ + συνθ ± 4συν θ 4 + συνθ ± іημθ + συνθ ± іημθ Επειδή θϵ(0, π ) και Ιm( ) > 0 έχω + συνθ + ιημθ αν χ + ψі τότε χ + συνθ και ψ ημθ Αρα χ συνθ και ψ ημθ και (χ ) + ψ συν θ + ημ Θ με κέντρο κ(,0)και ακτίνα ρ Αφού Ιm( ) > 0 θα είναι τα σημεία του ημικυκλίου με ψ>0 χωρίς τα σημεία (0,0) και (,0). Μ ( + συνθ, ημθ), Ο(0,0) Αρα λ ημθ + συνθ ημθσυνθ συν θ ημθ συνθ εφθ Και Α(,0) και Μ( + συνθ, ημθ) με λ ημθ + συνθ ημθ εφθ Αρα ΟΜ//ΑΜ συνθ ΑΜ ( + συνθ, ημθ 0) (συνθ, ημθ) ΑΜ (συνθ, ημθ) Ε det (AM, AM συνθ ημθ συνθ ημθ συνθ ημθ συνθ ημθ συνθ ημθσυνθ (συν θ )ημθ συν θ ημθ συν θ ημθ ημθ ημθ. Θα πρέπει χ 3 + ψі χ ψі (χ 3) + ψ 4(χ + 3) + 4ψ χ 6χ ψ 4(χ + 6χ ψ ) χ 6χ ψ 4χ + 4χ ψ 3χ + 3ψ + 30χ χ + ψ + 0χ (χ + 5) +ψ 6 Άρα κύκλος κέντρου (5,0) και ακτίνας 4 33

34 . Αφού w φανταστικός θα έχω w w ( + ) χ + ψ 6χ χ + ψ 3χ + 0 (χ 3 ) + ψ 4 Αρα κύκλος κέντρου ( 3, 0) και ακτίνας Αν, είναι σημεία του κύκλου δηλ η απόσταση δύο σημείων του κύκλου γίνεται μέγιστη όταν τα, είναι αντιδιαμετρικά Άρα η μέγιστη τιμή του είναι δ i 5 + 5i i 5 + 5i і i χ + ψі + χ ψі 3 + 3і 3χ + ψі 3 + 3і i i χ, ψ i 3і + 3і 3 + і Από τις δοθείσες έχω -(+3і) και w-(3+і) Το βρίσκεται σε κυκλικό δίσκο κέντρου (,3) και ακτίνας Το w βρίσκεται σε κυκλικό δίσκο κέντρου (3,) και ακτίνας Tα βρίσκονται σε κύκλο με εξίσωση (χ ) + (ψ 3) Τα w βρίσκονται σε κύκλο με εξίσωση (χ 3) + (ψ ) Από τις δύο αυτές εξισώσεις έχω χ χ + + ψ 6ψ + 9 χ 6χ ψ ψ + 4χ 4ψ 0 ψ χ και αντικαθιστώντας σε μία από τις προηγούμενες έχω (χ ) + (χ 3) χ χ + + χ 6χ + 9 χ 8χ χ Άρα και ψ. 34

35 Άρα οι κύκλοι είναι εφαπτόμενοι εξωτερικά αφού έχουν ένα κοινό σημείο και τα κέντρα τους είναι τα σημεία (3,) και (,3) Και -w θα είναι μέγιστη όταν τα,w βρίσκονται εκεί που η διάκεντρος τέμνει τους κύκλους εκτός του κοινού τους σημείου. Άρα η μέγιστη τιμή θα είναι ίση με 4ρ4 4. Τα σημεία που ικανοποιούν την - ανήκουν σε κυκλικό δίσκο κέντρου Κ(,0) Και ακτίνας. Με εξίσωση κύκλου (χ ) + ψ Τα σημεία που ικανοποιούν την - ανήκουν σε κύκλο κέντρου Λ(,0) και ακτίνας με εξίσωση (χ ) + ψ Από τις παραπάνω εξισώσεις έχω (χ ) + ψ (χ ) + ψ χ χ + χ 4χ + 4 χ 3 χ και Επομένως ( ) + ψ ψ ψ ± Άρα Α 3, 3 και Β 3, 3 και Κ(,0) Τα σημεία που ικανοποιούν και τις δύο αρχικές σχέσεις είναι τα σημεία του τόξου ΑΚΒ και επομένως το σημείο που απέχει μεγαλύτερη απόσταση είναι το Α και την μικρότερη το Κ. (ΟΑ) και (ΟΚ) 4 (ΟΚ) (ΟΑ) 3 35

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ ο Ερωτήσεις του τύπου σωστό λάθος. Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς Σελίδα από 8 Θέματα από τους μιγαδικούς Θέμα ο Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης K, με, A γ) Αν, Aμε,να βρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ MIΓΑ ΙΚΟΣ

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ MIΓΑ ΙΚΟΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ [] ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ MIΓΑ ΙΚΟΣ λέγεται κάθε αριθµός ο οποίος έχει ή µπορεί να πάρει τη µορφή α+βi όπου α, β είναι πραγµατικοί αριθµοί και i η φανταστική µονάδα για την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1. .. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Οι µιγαδικοί αριθµοί και w συνδέονται µε την σέση a β w =, όπου γ α,β,γ R Όταν =0 τότε w= και όταν =-i τότε w=- i Να βρείτε τις σταθερές α,β,γ α Αν το άθροισµα και το γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν : 4, 5 και α)να αποδείξετε ότι 10 β)να βρείτε τη γωνία των και. 5. 8 γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13,

πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13, 1 Η Ευθεία στο Επίπεδο Η Ευθεία στο Επίπεδο 1 Να βρεθεί το είδος των γωνιών του τριγώνου που οι πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+3=0, 3χ+4ψ+4=0, χ-7ψ+8=0. (90, 45, 45 ) 2 Να βρεθεί το μήκος των

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

2(z 2) οι εικόνες των z 1

2(z 2) οι εικόνες των z 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ 3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου Θεωρούμε το

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα