Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Transcript

1 Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι

2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ ο Ερωτήσεις του τύπου σωστό λάθος. Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. Αν = α + βi και α,β 0, τότε = + i α β. 3. Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () = κ. 4. Αν = x + (y ) i και Ιm () = 0, τότε y =. 5. Αν, C με Re ( + ) = 0, τότε Re ( ) + Re ( ) = Οι εικόνες των φανταστικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται πάνω στον άξονα y y. 7. Αν i = τότε i 003 = i. 8. Οι εικόνες των αντίθετων μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα x x. 9. Για κάθε μιγαδικό αριθμό 0 ορίζεται 0 =. 0. Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών και αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο και ο άξονας x x είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος Μ Μ, τότε είναι =. Αν = α + βi, C, και + = α, τότε =.. Αν Re () = τότε οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται πάνω στην ευθεία x =. 3. Αν Ιm ( + i) = 8 τότε οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία y = Η εξίσωση x x + λ = 0, λ R, μπορεί να έχει ρίζες τους μιγαδικούς + i και i. 5. Αν η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, α, β, γ R έχει 5 ρίζα τον + i θα έχει και τον + i. 6. Η εξίσωση x + βx + γ = 0, α, β, γ, R * έχει πάντοτε λύση στο C. 7. Αν Re ( ) = 0 τότε ισχύει πάντα Re ( ) Re ( ) = Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει =. 9. Για κάθε, C ισχύει + = +.

3 0. Η εξίσωση =, C, παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος που έχει άκρα τα σημεία Α ( ) και B ( ).. Η εξίσωση = με άγνωστο το C και, C έχει μόνο μια λύση.. Η εξίσωση = ρ, ρ > 0 παριστάνει στο μιγαδικό 0 επίπεδο κύκλο με κέντρο Κ ( 0 ) και ακτίνα ρ. 3. Στο μιγαδικό επίπεδο η εικόνα του μιγαδικού αριθμού + 3i είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου = Όλα τα σημεία της ευθείας y = x στο μιγαδικό επίπεδο είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών = α + αi με α R. 5. Στο μιγαδικό επίπεδο του διπλανού σχήματος η εξίσωση του κύκλου είναι = 4. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α. x + yi = i + - yi β. y + i = 3 ( + i) x γ. 4y 3yi x = - 5xi + 9i δ. (x + ) i + x = x xi 3. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = x x 9i και w = y i, x, y R. α. Να βρείτε τους x, y ώστε = w. β. Αν x =, να βρείτε τον. 3. Δίνεται ο μιγαδικός = 6i (3 4i) x 3yi (3i ) x + (4 yi), x, y R. α. Να γράψετε τον στη μορφή α + βi. β. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) Re () = 0 ii) = 0 4. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = ( + i) x + (y ) i 5, x, y R. α. Να τον γράψετε στη μορφή α + βi. β. Να γράψετε τον συναρτήσει του x, αν Im () = 0. γ. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Re () = Im (). 5. Δίνονται οι μιγαδικοί 3

4 = + i, = + 3 i, 3 = i, 4 = i, 5 = + i, 6 54 Να βρείτε το άθροισμα των 00 όρων Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς: α. = i 3 + i 04 3i i 7 +3i, β. = ( i ) ( + i + ) + i i. 7. Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς: α. 3i ( 5i) β. ( + i) ( i + 3) γ. i + 3i i + δ. ε. ζ. i i + i 8. Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς: 3 4i ( )( ) α. ( 3i) (4 5i) + 7i β. i i + 3 i + 3i + γ. + i δ. 3+i 3 i ε. ( i) 3 9. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε οι μιγαδικοί = α + βi και = + 8i 5 + 3i + 3i 3i να είναι ίσοι. 0. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε να ισχύει: (α + βi) + 5i =. i. Να υπολογιστεί το x R ώστε να ισχύει: + i = 3. Να βρεθούν τα x, y R ώστε οι μιγαδικοί: + xi xi. = x + y i και = (4x y) i να είναι συζυγείς. 3. Αν φανταστικός αριθμός με -i να αποδείξετε ότι ο αριθμός ω = 3 i + i είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός. 4

5 4. α. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα + ( ) = 3 + i. β. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την ισότητα =. 5. α. Για τις διάφορες τιμές του ν Ν να βρεθεί η τιμή της παράστασης f (ν) = ν+ i i. β. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = i ν + i ν+ i, για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου ν. 6. Να αποδείξετε ότι για κάθε ν Ν ισχύει ( + i) 0ν = ( i) 0ν. 7. α. Να δείξετε ότι κάθε πραγματικός αριθμός είναι ίσος με το συζυγή του και αντιστρόφως. β. Να δείξετε ότι αν ω = και ω R τότε ο είναι φανταστικός αριθμός. + i γ. Αποδείξτε ότι ο αριθμός u = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 i + i + ν 3 + i 3 i 8. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = x + yi, x, y R. ν, είναι πραγματικός. α. Να γράψετε στη μορφή α + βi τον μιγαδικό w = + 8i + 6. β. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Im (w) = 0. γ. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Re (w) = 0. δ. Να δείξετε ότι η προηγούμενη σχέση (γ) είναι εξίσωση κύκλου και να βρείτε το κέντρο του και την ακτίνα του. β. Να δείξετε ότι ο προηγούμενος κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 9. α. Η εξίσωση + α + β =0, α, β R έχει ρίζα τον μιγαδικό αριθμό i. i. Να βρείτε την άλλη ρίζα. ii. Να βρείτε τα α και β. β. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης = 0, να αποδείξετε ότι + 5i 5i + + i =. 0. Να βρείτε τους μιγαδικούς = x + yi, x, y R, για τους οποίους ισχύει: + + = 0.. α. Αν η εικόνα του μιγαδικού = λ + (λ ) i στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία y = 4x +, να βρεθεί ο λ R. 5

6 β. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = 4 + μi και = (μ + 3) i, μ R και R. Αν η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο, αποδείξτε ότι + R. γ. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς = (λ + ) + (λ 3)i, λ R. Να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, για τις διάφορες τιμές του λ R.. Να συμπληρώσετε το διπλανό σχήμα y με το σημείο Μ (). Μετά να βρείτε τα σημεία Μ ( ), Μ 3 ( ) και M() Μ 4 ( ). Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου Μ Μ Μ 3 Μ x 3. Ο μιγαδικός = + i να αναλυθεί σε άθροισμα δύο μιγαδικών, που οι εικόνες τους βρίσκονται αντίστοιχα στις ευθείες y = x και y = x. 4. Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών αριθμών: α. = + i 3i β. = ( i ) + i 5. Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών αριθμών: + i α. = 3i β. = + i i ν, ν Ν. 6. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την ισότητα + = + i. 7. Αν C και + 9 = 3 +, αποδείξτε ότι = Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός ω. α. Να δειχθεί ότι αν ω φανταστικός αριθμός, τότε ω = ω και αντιστρόφως. β. Με βάση το προηγούμενο ή με άλλο τρόπο δείξτε ότι αν ο αριθμός ω = +,, είναι φανταστικός, τότε =. 9. Να γράψετε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς αν ξέρουμε ότι η απόλυτη τιμή του πραγματικού μέρους του είναι 3 και η απόλυτη τιμή του φανταστικού μέρους του είναι 4. Πού βρίσκονται οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των παραπάνω μιγαδικών αριθμών; 6

7 30. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: 3. Να λυθεί στο C η εξίσωση: i = 0. = =. 3. Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει: >, δείξτε ότι Re () <. 33. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο που ικανοποιούν τη σχέση = 4 βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας. 34. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο αν ο αριθμός w = + i +, είναι πραγματικός. 35. Ο μιγαδικός αριθμός ικανοποιεί ( συγχρόνως ) τις σχέσεις: Re () () Im() () (3) Να γραμμοσκιάσετε στο μιγαδικό επίπεδο το χωρίο που αντιπροσωπεύει το σύνολο των εικόνων του και να βρείτε το εμβαδόν του. 36. Να βρεθεί στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού για κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α. + i = 3 β. i < 4 γ. < + i < 37. Ο κύκλος του διπλανού σχήματος εφάπτεται του άξονα των τετμημένων και είναι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθ- y K μού = x + yi, x, y R στο μιγαδικό επίπεδο x α. Από τις παρακάτω εξισώσεις, να επιλέξετε δύο που τον αντιπροσωπεύουν: i. (x - 3) + (y - ) = 9 ii. 3x + y = 4 iii. 3+ i = 4 iv. x + y - 6x - 4y + 9 = 0 v. 3 i = β. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 7

8 38. Στο διπλανό σχήμα η μεσοκάθετος (ε) του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού y (ε) = x + yi, x, y R στο μιγαδικό επίπεδο. α. Από τις παρακάτω εξισώσεις, να επιλέξετε τρεις που τον αντιπροσωπεύουν: i. x - i = y + 4 x 0 A M B 3 4 x ii. i = 4 iii. 4 = 0 y iv. y = 4x 5 v. Re () = Im () vi. 8Re () = 5 + Im () β. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 39. Στο διπλανό σχήμα το ΟΑΒΓ είναι τετράγω νο. Αν Α, Β και Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών = 3 + 4i, = x + yi και 3 = κ + λi x y A 3 4 x B αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο: α. Να δειχθεί ότι 3κ + 4λ = 0. y G β. Να βρεθούν οι και Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = 3+i, = 3i. α. Αποδείξτε ότι = i. β. Αν α πραγματικός αριθμός και w = γ. Αποδείξτε ότι = 0. a + a, αποδείξτε ότι w 006 =. 4. Έστω ο μιγαδικός αριθμός = x + yi και οι αριθμοί = + i και = + i. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο αν ι- σχύει Im( ) = Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο αν ισχύει 8 Re = Im(i). 8

9 43. Οι μιγαδικοί αριθμοί και w συνδέονται με τη σχέση = 4w + Re(w). Aν η ει- x y κόνα του στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στην έλλειψη + = να δείξετε 5 6 ότι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w κινείται σε κύκλο με εξίσωση x + y =. 44. Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στην ευθεία με εξίσωση y = x, να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού w = ( + i) κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. 45. α. Nα λύσετε ως προς την εξίσωση 46. Αν (4συνθ) + 4 = 0, 0 < θ < π, C β. Να δείξετε ότι καθώς το θ μεταβάλλεται στο διάστημα (0, π), οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης κινούνται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση Αν, = είναι φανταστικός., τότε αποδείξτε ότι Re( ) =. C και ισχύει + =, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 48. Αν,, είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: 3 = = = 7 και + + = 7, αποδείξτε ότι = Έστω μιγαδικός αριθμός διάφορος του και του. Θεωρούμε τη συνάρτηση ν ( )( + ) ν ( )( ) f()= +. α. Αποδείξτε ότι f() = f, 0. β. Αν επιπλέον ισχύει =, τότε αποδείξτε ότι f () = f(). 50. Δίνεται η συνάρτηση + i f() = με C και i. i α. Αποδείξτε ότι f() =. β. Αν ( f() ) = f ( ), αποδείξτε ότι ο αριθμός είναι φανταστικός. 5. α. Αν για τον μιγαδικό αριθμό ισχύει i + 3= να βρεθεί η εξίσωση της καμπύλης στην οποία κινούνται οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού w, για τον οποίο ισχύει w = 3 + i 5. 9

10 β. Αν για το μιγαδικό αριθμό = (x 3) + (y )i, x, y R, ισχύει η σχέση +3i =, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων (x, y) στο μιγαδικό επίπεδο. 5. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί,, 3, με = = = ρ, ρ > 0 και Α, Β, 3 Γ οι εικόνες τους, αντιστοίχως, στο μιγαδικό επίπεδο. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς w =, w = 3, w 3 = 3 με εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία Δ, Ε, Ζ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο τότε και το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο. 53. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί, w και Ρ, Σ οι εικόνες τους αντιστοίχως,στο μιγαδικό επίπεδο. Αν ισχύει w iw = (+3i), να αποδείξετε ότι αν το σημείο Ρ κινείται στην μεσοκάθετη του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία Α(0, ) και Β(, 3), τότε το Σ κινείτε στον κύκλο με εξίσωση x + y =. 54. A. α. Nα αποδείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού, που ικανοποιεί τη σχέση (4 + 3i) + (4 3i) + 50 = 0, κινούνται στο μιγαδικό επίπεδο στην ευθεία με εξίσωση 4x 3y + 5 = 0. β. Ποιος από τους παραπάνω μιγαδικούς έχει το ελάχιστο μέτρο ; Β. α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού ο οποίος ικανοποιεί τη συνθήκη ( + 3 3i) ( i) = 4. β. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του. 55. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός και έστω + i f()=,. α. Αποδείξτε ότι f() =. β. Αποδείξτε ότι f() = f() + i. γ. Αν = και Μ η εικόνα του f() στο μιγαδικό επίπεδο, αποδείξτε ότι το Μ κινείται στην ευθεία με εξίσωση y = x Δίνεται η εξίσωση = 3i, C. α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο είναι η μεσοκάθετη (ε) του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με άκρα Α (, 0) και Β (0, 3). β. Να δειχθεί ότι η εξίσωση της (ε) είναι x 3y + 4 = 0. γ. Να γίνει η γραφική παράσταση της (ε). δ. Να βρεθεί η εικόνα του για τον οποίο το είναι ελάχιστο. 0

11 57. Αν μιγαδικός και f (ν) = i ν, ν Ν * τότε: Να δειχθεί ότι f (4λ) + f (4λ + ) + f (4λ + ) + f (4λ + 3) = 0, λ Ν *. 58. Αν μιγαδικός αριθμός με Re =, τότε: 4 α. Να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με κέντρο Κ (, 0) και ακτίνα ρ =, εκτός του σημείου Ο(0,0). β. Να δειχθεί ότι αν για το ισχύει Im() =, τότε Re() = + 3 Re() = Για τους μιγαδικούς και w ισχύουν αντιστοίχως + i ( ) = και το σύνολο των σημείων των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία (ε) με εξίσωση y = x +. Να δειχθεί ότι: α. O γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος C με κέντρο Κ (0, ) και ακτίνα ρ =. β. Η ευθεία (ε) τέμνει τον κύκλο C του ερωτήματος (α) σε δύο σημεία αντι διαμετρικά. γ. Αν t, t είναι οι μιγαδικοί που οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο είναι οι τομές των (ε) και C, τότε ισχύει: 3ν ν 3ν+ t+ t + t t =. 60. α. Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο Ρ() = β. Να λύσετε την εξίσωση = 0, C. γ. Να παραστήσετε στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία που αντιστοιχούν στις εικόνες των ριζών. δ. Τι είδους τρίγωνο σχηματίζουν οι εικόνες των ριζών ; Ν α υπολογίσετε το εμβαδόν του. 6. Θεωρούμε την εξίσωση t 4t t 4e + 4e + e = 0, C, t R. α. Να λύσετε την εξίσωση στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. β. Έστω Α, Β οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο. Αποδείξτε ότι τα σημεία Α, Β κινούνται σε παραβολή. γ. Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό t αν το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο στο Ο. ( Ο η αρχή των αξόνων ). 6. Δίνεται η εξίσωση 8 + λ + 9 = 0, λ R με ρίζες, C. α. Αν = 5 να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό λ. β. Αν λ = ±4, αποδείξτε ότι = 4+3i, = 4 3i. γ. Να δείξετε ότι + 6, όπου τυχαίος μιγαδικός αριθμός.

12 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟ Ι ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 5. Σ. Λ 6. Σ 3. Σ 7. Λ 4. Σ 8. Σ 5. Σ 9. Λ 6. Σ 0. Σ 7. Λ. Λ 8. Λ. Σ 9. Σ 3 Σ 0. Σ 4 Σ. Σ 5 Σ. Σ 3. Λ 4. Σ Απαντήσεις - υποδείξεις στις ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) x = 4, y= /3, β) x =, y = 7, γ) x = 3, y =, δ) x =. β) = 77 36i. 3. ii) x = 4, y = 4. γ) x y = ( ) + i ( = 4 6i, = 7. ζ) 3/5 +/5 i ) = άθροισμα γ.π. 8. α) 8 5i, β) / i, γ) + i, δ) i 4 7 7, ε) + i α =, β = 0

13 0. (α = 3, β = ) ή (α = 3, β = ). x =. x =, y = 5 3. Έστω = λi, βρίσκουμε ω = (λ λ + ) < 0 4. α) = + i ή = - + i 3 β) = 0 ή = ή = - ± i 5. α) Αν ν = 4κ, Α = β), -i, -, -3i ν = 4κ +, Α = + i ν = 4κ +, Α = i ν = 4κ +3, Α = 0 6. Η δοθείσα γράφεται 0ν 0ν 0ν +i ( +i)( +i) i 5ν 4 = =...= = ( i ) = -i ( -i)( +i) β) 4x + 3y + 4 = 0 γ) x + y + 6x + 8y = 0 δ) (x + 3) + (y + 4) = 5 9. α) + i β) α = 4, β = 5 0., + i, i. α) λ = 3, γ) ψ = χ 5. Ε = 3 τ.μ. 3. = - i, = + 3i 4. α) 5. α) β) 6 β) 6. = i = 9 + ( + 9) ( + 9 ) = 9 ( + )( + ) ( + 9) ( + 9) = 9 ( + ) ( + ) κ.λπ. 8. β) ω = ω + = + ( ) ( + ) = ( + ) ( ) = = = 3

14 i, 3 + 4i, 3 4i, 3 4i κύκλος Κ (0, 0), R = Έστω = x + yi. Βρίσκουμε x =, y = ± = i > - > ( - ) ( - ) > > + < Re() < Re() < 33. Υψώνουμε στο τετράγωνο κ.λπ. Βρίσκουμε = 34. x + y + = α) Κ (, ), R = 3 β) Κ (, ), R < 4 γ) Κ (, ), < R < 37. iv, v 38. ii, iv, vi 39. β) = 7 + i, 3 = 4 3i. 4. x + y 3 = Ο άξονας y y εκτός από το σημείο Ο(0,0), ή ο κύκλος x + y = y = x x + y = 4 5. i) (x 4) + (y + 5) = 36 ii) ( x 7/4 ) + (y + /4 ) = / A) ii) = 4+3i Β) i) (x+3) + (y 3) min = + 3 = 4 ii) max = δ) Η εικόνα του είναι το σημείο τομής της (ε) και της κάθετης προς αυτήν που διέρχεται από το Ο (0, 0). Βρίσκουμε = + i β) Στην εξίσωση x + y 4x = 0 θέτουμε y = και βρίσκουμε x = + 3 ή x = α) x + (y ) = γ) Σημεία τομής Α (, ), Β (, 0). (ΑΒ) = ρ δ) t = + i, t = 60. α) Ρ() = ( i)( + i)( 3) δ) ισοσκελές, Ε = 6 τμ. 6. α) = e t + ie t, = e t ie t β) t t t t Α(e, e ), Β(e, e ), η παραβολή έχει εξίσωση γ) t = - ln. 6. α) λ= - 4 ή λ=4. y = x. γ) +, άρα 6 = +. (Το συμπέρασμα προκύπτει από την τριγωνική ανισότητα). 4

15 ΜΙΙΓΓΑΔΙΙΚΟΙΙ ΑΡΡΙΙΘΜΟΙΙ ΜΕΡΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΡΟ Παρατηρήσεις : Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού αριθμού με εκθέτη ακέραιο, ορίζονται ακριβώς όπως και στους πραγματικούς αριθμούς. Επίσης για 0 ορίζουμε 0 = και Δεν έχει νόημα η διάταξη στους μιγαδικούς αριθμούς. Διότι σύμφωνα με το νόμο της τριχοτομίας θα έπρεπε: i > 0 ή i = 0 ή i < 0 i > 0 ή i = 0 ή i > 0 > 0 ή = 0 ή >0 αδύνατο ν =, για κάθε θετικό αριθμό ν. ν Δεν έχει νόημα το σύμβολο της στους μιγαδικούς αριθμούς, διότι δεν ορίζετε μονοσήμαντα. Δηλαδή δεν γράφουμε. Για τους συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς = α + βi και = a βi ισχύουν : i) + = α. Δηλαδή το άθροισμα δυο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι πραγματικός αριθμός. Το αντίστροφο δεν ισχύει: μπορεί δυο μιγαδικοί αριθμοί να έχουν άθροισμα πραγματικό αριθμό χωρίς να είναι συζυγείς π. χ. = + 3i, = 5 3i. ii) = βi. Δηλαδή η διαφορά δυο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι φανταστικός αριθμός. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί που έχουν διαφορά φανταστικό αριθμό χωρίς να είναι συζυγείς π. χ. = 5 + 3i, = 5 i. iii) Αποδεικνύονται εύκολα οι προτάσεις = α + β R = I = 5

16 Παρατήρηση: (οι προτάσεις αυτές όταν χρησιμοποιούνται πρέπει να αποδεικνύονται). Δυο ίσοι μιγαδικοί έχουν ίσα μέτρα. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Υπάρχουν άπειροι μιγαδικοί αριθμοί με το ίδιο μέτρο. Π.χ. = + i, = + i, = i κ.τ.λ. 3 Για το μέτρο των μιγαδικών αριθμών ισχύουν: i) == ii) = iii) = ν ν iv) = v) =0 =0 vi) + + Το μέτρο της διαφοράς δυο μιγαδικών αριθμών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους στο μιγαδικό επίπεδο. Βασικοί γεωμετρικοί τόποι: = ρ, ρ > 0, κύκλος με κέντρο το σημείο ( ) i) 0 Α και ακτίνα ρ. ii) =, η μεσοκάθετη του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία A( ), B( ). iii) = ρ, ρ, ρ > 0, απολλώνιος κύκλος. iv) + = α, α > 0, και < α, έλλειψη. v) = α, α > 0, και > α, υπερβολή. Χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή στο λογισμό των μιγαδικών αριθμών γιατί προφανείς σχέσεις που ισχύουν στους πραγματικούς αριθμούς μπορεί να μην ισχύουν στους μιγαδικούς αριθμούς. π.χ. i) Αν, w μιγαδικοί αριθμοί και + w = 0, δεν συνεπάγεται κατ ανάγκη ότι =0 ή w=0 ( θεωρείστε π.χ τους μιγαδικούς = + i, w = i ). 0 ii) Ισχύει ( + ) 0, ενώ ( ) 0, διότι + = α R, ενώ = βi I. κ.λ.π.. 6

17 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ Εύρεση του συνόλου των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που επαληθεύουν δοθείσα σχέση ή προσδιορισμός της γραμμής πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών. ος τρόπος : Υποθέτουμε ότι = x + yi, x, y R, με εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο το σημείο Μ (x, y). Αντικαθιστούμε το στη δοθείσα σχέση και αφού εκτελέσουμε όλες τις πράξεις που απαιτούνται καταλήγουμε σε μια εξίσωση με αγνώστους x, y ή μόνο με άγνωστο x ή μόνο με άγνωστο y, η οποία είναι η εξίσωση της γραμμής πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών. ος τρόπος : Υπενθυμίζουμε ότι : = ΟΜ = (ΟΜ), όπου Μ = Μ() η εικόνα του και Ο (0, 0). = Μ M = (M Μ ), όπου M = Μ () η εικόνα του και M = M ( ) η εικόνα του. ( Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών εκφράζει την απόσταση των εικόνων τους). Μετατρέπουμε τη σχέση των μιγαδικών σε ισοδύναμη γεωμετρική και προσδιορίζουμε το ζητούμενο γεωμετρικό τόπο. Για την καλύτερη κατανόηση του ου τρόπου αναφέρουμε τις περιπτώσεις: ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΜΚ = ρ ή ( ΜΚ ) = ρ - =ρ, όπου ρ>0 o και = x+yi o Ο Ο σταθερός μιγαδικός αριθμός. όπου Μ=Μ() και Ο Κ=Κ( Ο ) Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Κ(x, y ), σταθερή απόσταση ρ. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι ο κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα ρ. Ο (x x o ) + (y y o ) = ρ 7

18 ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΜΚ ρ ή ρ, όπου o ρ>0 και = x+yi o Ο Ο σταθερός μιγαδικός αριθμός. ( ΜΚ ) ρ όπου Μ=Μ() και Κ=Κ( Ο ) Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Κ(x, y Ο Ο), α- πόσταση μικρότερη ή ίση του ρ. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι ο κυκλικός δίσκος με κέντρο Κ και ακτίνα ρ. (x x o ) + (y y o ) ρ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ > ρ, όπου ρ>0 o και = x+yi o Ο Ο σταθερός μιγαδικός αριθμός. ΜΚ > ρ ή ( ΜΚ ) > ρ όπου Μ = Μ() και Κ= Κ( Ο ) Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Κ(x, y ) Ο Ο, απόσταση μεγαλύτερη του ρ. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι το σύνολο των εξωτερικών σημείων του κύκλου με κέντρο Κ και ακτίνα ρ. (x x o ) + (y y o ) > ρ 8

19 ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ = όπου = x + y i και = x + y i σταθεροί μιγαδικοί αριθμοί. ΜΑ ΜΒ (ΜΑ) = (ΜΒ) όπου Μ = Μ() A = A( ) και B = B( ) Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού ι- σαπέχει από τα σταθερά σημεία Α(x, y ) και Β(x, y ). Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. ή \ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ = όπου = x + y i και = x + y i σταθεροί μιγαδικοί αριθμοί. ΜΑ ΜΒ (ΜΑ) (ΜΒ) όπου Μ = Μ() A = A( ) και B = B( ) Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Α(x, y) απόσταση μικρότερη ή ίση από την απόσταση που απέχει από το σημείο Β(x, y ). Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι το ημιεπίπεδο (ε, Α), όπου ε είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. ή 9

20 ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ + = α όπου = γ +0i και = γ +0i σταθεροί αντίθετοι πραγματικοί αριθμοί με α > = γ >0 ΜΕ + ΜΕ =α ή (ΜΕ ) + (ΜΕ) = α όπου Μ = Μ(), Ε = Ε ( ) και Ε = Ε( ) Παρατηρούμε ότι το ά- θροισμα των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία E ( γ,0) και E(γ, 0) είναι σταθερό και μεγαλύτερο του Ε Ε. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε, Ε και μήκος μεγάλου άξονα α. x α y + = β ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ + = α Όπου = 0 + ( γ)i και = 0 + γ i σταθεροί αντίθετοι φανταστικοί αριθμοί με α > = γ >0. ΜΕ + ΜΕ =α ή (ΜΕ ) + (ΜΕ) = α όπου Μ = Μ(), Ε = Ε ( ) και Ε = Ε( ) Παρατηρούμε ότι το ά- θροισμα των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία E (0, γ) και E(0, γ) είναι σταθερό και μεγαλύτερο του Ε Ε. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε, Ε και μήκος μεγάλου άξονα α. x β y + = α 0

21 ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΜΕ ΜΕ =α = α όπου = γ +0i και = γ +0i σταθεροί αντίθετοι πραγματικοί αριθμοί με γ = > α >0 ή (ΜΕ ) (ΜΕ) = α όπου Μ = Μ(), Ε = Ε ( ) και Ε = Ε( ) Παρατηρούμε ότι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού α- ριθμού από τα σταθερά σημεία Ε ( γ, 0) και Ε (γ, 0) είναι σταθερή και μικρότερη του Ε Ε. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε, Ε. x α y β = ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ = α ΜΕ ΜΕ =α όπου = γ +0i και = γ +0i σταθεροί αντίθετοι πραγματικοί αριθμοί με γ = > α >0 ή (ΜΕ ) (ΜΕ) = α όπου Μ = Μ(), Ε = Ε ( ) και Ε = Ε( ) Παρατηρούμε ότι η διαφορά των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε ( γ, 0) και Ε (γ, 0) είναι σταθερή, μικρότερη του Ε Ε και ( ΜΕ ) > ( ΜΕ). Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι ο δεξιός κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε, Ε. x α y β =, x > 0

22 ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ = α ΜΕ ΜΕ =α όπου = 0 + ( γ)i και = 0 + γ i σταθεροί αντίθετοι φανταστικοί αριθμοί με γ = > α > 0 ή (ΜΕ ) (ΜΕ) = α όπου Μ = Μ(), Ε = Ε ( ) και Ε = Ε( ) Παρατηρούμε ότι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε (0, γ) και Ε (0, γ) είναι σταθερή και μικρότερη του Ε Ε. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε, Ε y α x β = ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ = α όπου = 0 + ( γ)i και = 0 + γ i σταθεροί αντίθετοι φανταστικοί αριθμοί με γ = > α >0 ΜΕ ΜΕ =α ή (ΜΕ ) (ΜΕ) = α όπου Μ = Μ(), Ε = Ε ( ) και Ε = Ε( ) Παρατηρούμε ότι η διαφορά των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε (0, γ) και Ε (0, γ) είναι σταθερή, μικρότερη του Ε Ε και ( ΜΕ ) > ( ΜΕ). Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι ο άνω κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε, Ε y α x β =, y > 0

23 Λυμένα Παραδείγματα στους γεωμετρικούς τόπους. Α ΟΜΑΔΑ : Παράδειγμα ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στις περι- 4 6i πτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός w = είναι : + 4 α) φανταστικός και β) πραγματικός Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M (x, y). Ο μιγαδικός αριθμός w ορίζεται αν και μόνο αν 4 (x, y) ( 4, 0). Έχουμε 4 6i x + yi 4 6i (x 4) + (y 6)i w = = = = + 4 x+ yi+ 4 (x+ 4) + yi [(x 4) + (y 6)i ] [(x + 4) yi] [(x + 4) + yi ] [(x + 4) yi] (x + 4) + y x 6 (x 4)yi (x 4)(y 6)i (y 6)y (x + 4) + y x y 6y 6 ( xy 4y xy 6x 4y 4)i x + y 6y 6 6x + 8y 4 = + i, με (x, y) ( 4, 0). (x + 4) + y (x + 4) + y α. Ο αριθμός w είναι φανταστικός αν και μόνο αν = = x + y 6y 6 (x + 4) + y x + y 6y 6= 0 = 0 (x, y) ( 4, 0) x + y 6y + 9= 5 (x, y) ( 4, 0) (Συμπλήρωση τετραγώνου) x + (y 3) = 5 (x, y) ( 4, 0) Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κύκλος με κέντρο τοσημείο Κ (0, 3) και ακτίνα ρ = 5, που έχει εξίσωση x + (y 3) = 5, με εξαίρεση το σημείο του Α( 4, 0). 3

24 β. Ο αριθμός w είναι πραγματικός αν και μόνο αν 6x + 8y 4 (x + 4) + y = 0 6x + 8y 4 = 0 (x, y) ( 4, 0) 3x 4y + = 0 (x, y) ( 4, 0) Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η ευθεία ( ε ) με εξίσωση 3 x 4y + = 0, με εξαίρεση το σημείο της Α( 4, 0). Παράδειγμα ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στις περι- + i πτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός w = είναι : + + i α) φανταστικός και β) πραγματικός Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M (x, y). Ο μιγαδικός αριθμός w ορίζεται αν και μόνο αν i (x, y) (, ). Έχουμε + i x yi + i (x ) (y )i w = = = = + + i x + yi + + i (x + ) + (y + )i x (x )(y + )i (x + )(y )i (y ) = = (x + ) + (y + ) (x + ) + (y + ) x y (xy x y xy x y )i = [(x ) (y )i ] [(x + ) (y + )i] [(x + ) + (y + )i ] [(x + ) (y + )i] x y ( xy) = + i, με (x, y) (, ). (x + ) + (y + ) (x + ) + (y + ) α. Ο αριθμός w είναι φανταστικός αν και μόνο αν x (x + ) y + (y + ) = 0 x y = 0 (x, y) (, ) (x y)(x + y) = 0 y = ± x (x, y) (, ) (x, y) (, ) Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων, δηλαδή οι ευθείες δ : y = x και : y = x, με εξαίρεση το σημείο Α(, ). δ = 4

25 β. Ο αριθμός w είναι πραγματικός αν και μόνο αν ( xy) (x + ) + (y + ) = 0 xy = (x, y) (, ) xy= 0 (x, y) (, ) y = x (x, y) (, ) Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η υπερβολή με εξίσωση y =, με εξαίρεση το σημείο x της Α(, ). Παράδειγμα 3 ο Έστω Μ, Λ, Ν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, + 3 και + 4i αντίστοιχα. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών, όταν : α) Τα σημεία Μ, Λ, Ν είναι συνευθειακά β) ΜΛΝ = 90 Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο Μ (x, y). ο Ο μιγαδικός αριθμός Λ (x + 3, y), + 3 = (x + yi) + 3 = (x + 3) + yi έχει εικόνα το σημείο ενώ ο μιγαδικός αριθμός + 4i = x + yi + 4i = x + (y + 4)i έχει εικόνα το σημείο Ν ( x, y + 4). Είναι : ΜΛ = (x + 3 x, y y) = (x + 3, y) και ΛΝ = (x x 3, y + 4 y) = ( x 3, 4 y). α. Τα σημεία Μ, Λ, Ν είναι συνευθειακά αν και Μ Λ //ΛΝ det Μ Λ,ΛΝ = 0 x = 3 μόνο αν ( ) x + 3 x 3 y 4 y = 0 (x + 3)(4 y) ( x 3)y= 0 4x xy + 3y + xy + 3y = 0 4x + = 0 Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η κατακόρυφη ευθεία ε : x = 3. 5

26 β. Η γωνία ΜΛΝ είναι ορθή αν και μόνο αν ΜΛ ΛΝ ΜΛ ΛΝ = 0 (x + 3)( x 3) + y(4 y) = 0 x 6x 9 + 4y y = 0 x + y + 6x 4y + 9 = 0 () Η εξίσωση () είναι της μορφής x + y + Αx + Βy + Γ= 0 με Α = 6, Β = 4 και Γ = 9. Είναι Α + Β 4Γ = = 6 > 0, άρα η εξίσωση ( ) παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Α Κ Β,, δηλαδή το ( 3, ) Κ και ακτίνα ρ = Α + Β 4Γ = Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο ( 3, ) Κ και ακτίνα ρ =, που έχει εξίσωση (x + 3) + (y ) = 4. Β ΟΜΑΔΑ : Παράδειγμα ο Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, όταν = (λ + ) + (λ )i, λ R. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y). x = λ + ( ) x = λ Είναι y = λ y = λ Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις και έχουμε x + y = 3 y = x 3. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στην ευθεία ε : y = x 3. Παράδειγμα ο Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, όταν = 4 + λ i, λ R. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το 6

27 σημείο M ( x, y), οπότε είναι x = 4 y = λ Παρατηρούμε ότι τα σημεία M ( x, y) έχουν σταθερή τετμημένη x = 4 και μεταβλητή τεταγμένη y = λ με λ R. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στην ευθεία ε : x = 4. Παράδειγμα 3 ο Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδι- κών αριθμών, όταν = λ 3i, λ R. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y), οπότε είναι x = λ y = 3 Παρατηρούμε ότι τα σημεία M (x, y) έχουν σταθερή τεταγμένη y = 3 και μεταβλητή τετμημένη x = λ, η οποία παίρνει μη αρνητικές τιμές. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στην y = 3 ημιευθεία Αζ : x 0 Παράδειγμα 4 ο Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, όταν = + iημφ, φ R. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y), οπότε είναι x = y = ημφ Παρατηρούμε ότι τα σημεία M (x, y) έχουν σταθερή τετμημένη x = και μεταβλητή τεταγμένη y = ημφ, η οποία παίρνει τιμές από το διάστημα [, ]. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, όπου Α (, ) και Β (, ). 7

28 Παράδειγμα 5 ο Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, όταν = ημφ + iσυνφ, φ R. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y), οπότε είναι Για κάθε φ R ισχύει x = ημφ y = συνφ ημ φ + συν φ = x + y = Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στον κύκλο με κέντρο το σημείο ( 0, 0) ακτίνα ρ =, που έχει εξίσωση x + y =. Σημείωση Στο προηγούμενο παράδειγμα, αν το π π φ, ( ο ή 4 ο τεταρτημόριο ), τότε το σ υνφ > 0, οπότε τα σημεία M ( x, y) έχουν y = συνφ > 0, δηλαδή Ο και θετική τεταγμένη. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται στο άνω ημικύκλιο Α ΒΑ του κύκλου x + y = με εξαίρεση τα άκρα του Α (, 0) και Α (, 0). Παράδειγμα 6 ο Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, όταν = ( + συνφ) + (ημφ )i, φ R. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το x = + συνφ σημείο M ( x, y), οπότε είναι y = ημφ x y + Για κάθε = συνφ = ημφ φ R ισχύει 8

29 ημ φ + συν φ = ( x ) + ( y + ) = Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στον κύκλο με κέντρο το Κ καιακτίνα ρ =, που έχει εξίσωση ( x ) + ( y + ) =. σημείο (, ) Παράδειγμα 7 ο Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, όταν = 3συνφ + 5iημφ, φ R. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το x = 3συνφ σημείο M ( x, y), οπότε είναι y = 5ημφ x = συνφ 3 y = ημφ 5 Για κάθε φ R ισχύει ημ φ + συν φ = x 9 + y 5 = x y Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στην έλλειψη + =. 9 5 Παράδειγμα 8 ο Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, όταν = + iεφφ, φ κπ +, κ Z. συνφ π Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το x = σημείο M ( x, y), οπότε είναι συνφ y = εφφ Για κάθε + εφ φ = συν φ π φ κπ +, κ Z ισχύει + y = x x y = Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στην ισοσκελή υπερβολή x y =. 9

30 Σημείωση η Στο προηγούμενο παράδειγμα, αν το π π φ, ( ο ή 4 ο τεταρτημόριο ), τότε το σ υνφ > 0, οπότε τα σημεία M ( x, y) έχουν x = > 0, δηλαδή θετική τετμημένη. συνφ Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στο δεξιό κλάδο της ισοσκελούς υπερβολής x y =. Σημείωση η Στο 8ο παράδειγμα, π 3π αν το φ 0, π, ( ο ή 3 ο τεταρτημόριο ), τότε η εφφ 0, οπότε τα σημεία M ( x, y) έχουν y = εφφ 0, δηλαδή μη αρνητική τεταγμένη. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται στους δύο άνω ημικλάδους της ισοσκελούς υπερβολής x y =. Γ ΟΜΑΔΑ : Παράδειγμα ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση + 3i = 5. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y). Είναι 3i 5 ( 3i ) 5 (ΜΚ) 5, + = = = όπου Μ = Μ() η εικόνα του και Κ(, 3). Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Κ (, 3), σταθερή απόσταση 5. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των 30

31 εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (, 3) και ακτίνα ρ = 5, που έχει εξίσωση (x ) + (y + 3) = 5. Παράδειγμα ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση + 3i 5. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y). Είναι 3i 5 ( 3i ) 5 (ΜΚ) 5, + όπου Μ = Μ() η εικόνα του και Κ(, 3). Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Κ(, 3), απόσταση μικρότερη ή ίση του 5. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κυκλικός δίσκος με κέντρο το σημείο Κ (, 3) και ακτίνα ρ = 5, που έχει εξίσωση (x ) + (y + 3) 5. Παράδειγμα 3 ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση + 3i > 5. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y). όπου Μ= Μ() η εικόνα του και Είναι + 3i > 5 ( 3i ) > 5 (ΜΚ) > 5, Κ(, 3). Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Κ(, 3) απόσταση μεγαλύτερη του 5. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι το σύ- νολο των εξωτερικών σημείων του κύκλου (x ) + (y + 3) = 5 που έχει κέντρο το σημείο Κ(, 3) και ακτίνα ρ = 5. Παράδειγμα 4 ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση + + 8i = 5i. Λύση 3

32 Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M( x, y). Είναι: + + 8i = 5i ( 8i) = ( + 5i) (Μ Α= ) (ΜΒ), όπου Μ = Μ() η εικόνα του, Α(, 8) και Β(, 5 ). Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού ισαπέχει από τα σταθερά σημεία Α(, 8) και Β(, 5 ). Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η μεσοκάθετος ( ε ) τουευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Η εξίσωση της μεσοκαθέτου ( ε ) είναι : + + 8i = 5i x + yi + + 8i = x + yi 5i (x + ) + (y + 8)i = (x ) + (y 5)i (x + ) + (y+ 8) = (x ) + (y 5) x + 4x + 4+ y + 6y+ 64 = x x + + y 0y+ 5 6x + 6y + 4 = 0 3x + 3y + = 0 Παράδειγμα 5 ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση + + 8i 5i. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M( x, y). Είναι: + + 8i 5i ( 8i ) ( + 5i ) (Μ Α ) (ΜΒ), όπου Μ = Μ() η εικόνα του, Α(, 8) και Β(, 5 ). Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Α(, 8) απόσταση μικρότερη ή ίση από την απόσταση που απέχει από το σταθερό σημείο Β(, 5). Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι 3

33 το ημιεπίπεδο( ε, Α ), όπου (ε) είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Η εξίσωση του ημιεπιπέδου είναι 3x + 3y + 0. Παράδειγμα 6 ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση = 0. Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το Σημείο M ( x, y). Είναι: = 0 ( 4 + 0i ) + ( 4 + 0i ) = 0 Λύση (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 0, όπου Μ= Μ() η εικόνα του, Ε ( 4, 0) και Ε(4, 0 ). Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε, Ε είναι α=0 σταθερό και μεγαλύτερο του Ε Ε = 8. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε ( 4, 0) και Ε(4, 0 ), άρα γ = 4 και μήκος μεγάλου άξονα α = 0 α = 5, οπότεβ = α γ β = 5 6 β = 9 β = 3, η οποία έχει x y x y εξίσωση + = + = α β 5 9 Παράδειγμα 7 ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τησχέση + 8i + 8i = 0. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M( x, y). Είναι + 8i + 8i = 0 ( 0 8i) + ( 0 + 8i) = 0 (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 0, όπου Μ = Μ() η εικόνα του, Ε ( 0, 8) και Ε(0, 8 ). Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των αποστάσεων 33

34 της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε, Ε είναι α = 0 σταθερό και μεγαλύτεροτου Ε Ε = 6. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε ( 0, 8) και Ε(0, 8 ), άρα γ = 8 και μήκος μεγάλου άξονα α = 0 α= 0, οπότε β = α γ β = β = 36 β = 6, η οποία έχει x y x y εξίσωση + = + = β α Παράδειγμα 8 ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση = 8. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M( x, y). Είναι: = 8 ( 5 + 0i ) ( 5 + 0i ) = 8 (ΜΕ ) (ΜΕ) = 8, όπου Μ= Μ() η εικόνα του, Ε ( 5, 0) και Ε(5, 0 ). Παρατηρούμε ότι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε, Ε είναι α = 8 σταθερή και μικρότερη του Ε Ε = 0. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η υπερβολήμε εστίες τα σημεία Ε ( 5, 0 ) και Ε (5, 0 ), άρα γ = 5, με α = 8 α = 4, οπότε β = γ α β = 5 6 β = 9 β = 3, η οποία έχει εξίσωση: x α y β x y = 6 9 Παράδειγμα 9 ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση = 8. Λύση = 34

35 Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y). Είναι: = 8 ( 5+ 0i) ( 5 + 0i) = 8 (ΜΕ ) (ΜΕ) = 8, όπου Μ= Μ() η εικόνα του, Ε ( 5, 0) και Ε(5, 0 ). Παρατηρούμε ότι η διαφορά των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε, Ε είναι α = 8 σταθερή, μικρότερη του Ε Ε = 0 και ( ΜΕ ) > (ΜΕ). Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο δεξιός κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε ( 5, 0) και Ε(5, 0 ), άρα γ = 5 με α = 8 α = 4, οπότε β = γ α β = 5 6 β = 9 β = 3, η οποία έχει εξίσωση x α y β x y = 6 9 = Παράδειγμα 0 ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση + 0i 0i =. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο Το σημείο M ( x, y). Είναι: + 0i 0i = ( 0 0i) ( 0 + 0i) = (ΜΕ ) (ΜΕ) =, όπου Μ= Μ() η εικόνα του, Ε ( 0, 0) και Ε( 0, 0). Παρατηρούμε ότι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε, Ε είναι α = σταθερή και μικρότερη του Ε Ε = 0. 35

36 Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η υπερβολή εστίες τα σημεία Ε ( 0, 0 ) και Ε( 0, 0), άρα γ = 0, με α = α = 6, οπότε β = γ α β = β = 64 β = 8, η οποία έχει εξίσωση y α x β y x = = Παράδειγμα ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση + 0i 0i =. Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο Το σημείο M ( x, y). Είναι τότε: + 0i 0i = ( 0 0i) ( 0 + 0i) = (ΜΕ ) (ΜΕ) =, όπου Μ= Μ() η εικόνα του, Ε ( 0, 0) και Ε( 0, 0). Λύση Παρατηρούμε ότι η διαφορά των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε, Ε είναι α = σταθερή, μικρότερη του Ε Ε = 0 και ( ΜΕ ) > (ΜΕ). Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο άνω κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε ( 0, 0) και Ε(0, 0 ), άρα γ = 0 με α = α = 6, οπότε β = γ α β = β = 64 β = 8, η οποία έχει y x y x εξίσωση = = α β

37 Λυμένα Θέματα Θέμα ο 3 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς = + i και = + α. Αποδείξτε ότι: i. + + =0 ii. = 3 iii. ν+ = ν+, ν = ν ( ν N * ) β. Να γράψετε στη μορφή α + βi τους α. Είναι: 36 και Λύση = + i = i = i. 4 4 Άρα: i = + i i = 0 ii. ( )( ) + + = = 0 = 0 =. iii. Είναι = δηλαδή =. Επομένως : = ( ) ν+ ( ) ν = = = = ν+ 4ν+ ν+ 3ν = = = = =. ν 4ν ν 3ν ν ν β. Λόγω της (iii) έχουμε: ( ) 6 6 = = = = + 0i 3 = = = = = = + i 37

38 Θέμα ο Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = x + yi, x,y α. Αποδείξτε ότι f-i=3+3i ( ). R. Αν είναι f() = -i -,. β. Αποδείξτε ότι ο αριθμός ( f i ( )) 004 είναι πραγματικός αριθμός. γ. Έστω Α, Β οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών f-i ( ) και f+i ( ) στο μιγαδικό επίπεδο. Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο στο Ο. (Ο η αρχή των αξόνων) α. ( ) ( ) ( ) Λύση : i i+i 3 3i f i = = = 3 + 3i i i β. ( ( )) ( ) ( ( )) f i = 3 + 3i = 3 + i = 00 ( ) ( ) i = 3 i = 3 R γ. ( ) ( ) ( ) + i i i + i i + i +i άρα Α ( 3, 3 ), Β (,- ) είναι ( )( ) f + i = = = = i + i i i OA OB = 3, 3, = 3 3 = 0 άρα το τρίγωνο ΟΑΒ έχει O = 90. Θέμα 3 ο Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός και έστω η συνάρτηση f () ν =i α. Αποδείξτε ότι: f () +f ( 6 ) +f ( 7 ) +f ( 6 ) =0 β. Αποδείξτε ότι: f(ν) + f(ν + ) + f ( ν + 4 ) +f ( ν + 6 ) = 0 γ. Αν = αποδείξτε ότι f ( 00 ) + f ( 004 ) =. Λύση: f + f 6 + f 7 + f 6 = i + i + i + i α. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 i + i + i + = i i + = 0 β. f ( ν ) +f ( ν+ ) +f ( ν+4 ) +f ( ν+6 ) = ν ν ν ν i i + i i = 0 = ν, ν є Ν *. ν ν+ ν+4 ν+6 i + i + i + i = γ. f ( 00 ) +f ( 004 ) = i +i = i+ = ( +i ) = = 38

39 Θέμα 4 ο Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = x + yi, x,y R α. Αποδείξτε ότι αν -( Im( ) + ) += 0, τότε οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην παραβολή y= x. β. Από τους μιγαδικούς αριθμούς του (α) ερωτήματος να βρεθούν αυτοί που έ- χουν μέτρο 8. γ. Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό ρ υπάρχουν πάντα δυο μιγαδικοί αριθμοί, που ικανοποιούν το (α) ερώτημα τέτοιοι ώστε να ισχύει = ρ. Λύση ( ) ( ) ( ) α. Im() + + =0 x +y y + + = 0 x + y y y + = 0 x y = 0 y = x (I) β. Η δοθείσα σχέση γράφεται: ( 8) ( y+ ) + = 0 8 ( y + ) + = 0 ( y + ) = 9 y + = ±3 y = ή y = 4(απορρίπτεται) βρίσκουμε = + i, = + i γ. ( ) ρ y + += 0 ρ y y += 0 y +y ρ = 0 Δ = 4 + 4ρ > 0 και y y = ρ < 0 άρα το τριώνυμο έχει δυο ρίζες ετερόσημες από τις οποίες δεχόμαστε λόγω της (Ι) μόνο τη θετική, η οποία μας δίνει δυο τιμές για το χ. Θέμα 5 ο α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις: = και Re( ) 0. β. Αν οι εικόνες του ανήκουν στο σύνολο (Σ) να βρεθεί ο γεωμετρικό τόπος των εικόνων του μιγαδικού w = 4 + 3i. γ. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός w με το ελάχιστο μέτρο. Λύση α. Οι σχέσεις = και Re() 0 ορίζουν το ημικύκλιο με διάμετρο το τμήμα του 39

40 άξονα y y με άκρα τα σημεία Β(0, ) και Β (0, ) που διέρχεται από το σημείο Α (, 0) του άξονα x x. β. Έστω w = α + βi και = x + yi τότε: w = 4 + 3i = w + 4 3i x + yi = ( α + 4 ) + ( β 3i ) ισχύει όμως: 0 x και y άρα : 0 α α και β 3 β 5 (I) Η σχέση = w + 4 3i γίνεται =w + 4 3i w + 4 3i=. Δηλαδή οι εικόνες του w κινούνται σε κύκλο με κέντρο Κ ( 4, 3) και ακτίνα ρ =. Επειδή όμως 4 α και β 5 ο γεωμ. τόπος των εικόνων του w είναι το δεξί ημικύκλιο του παραπάνω κύκλου με διάμετρο στην ευθεία χ = 4. γ. Η ΚΟ έχει εξίσωση y = λx και επειδή διέρχεται από το Κ ( 4, 3 ) επαληθεύεται από αυτό, δηλαδή ( ) 3 3 = λ 4 λ =. 4 3 y= x Λύνοντας το σύστημα 4 ( x+ 4) + ( y 3) = 4, 4 x προκύπτει το ζητούμενο. Θέμα 6 ο Δίδονται οι μιγαδικοί αριθμοί και w με εικόνες τα σημεία Α και Β αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο. Re w = OA OB. ( Ο η αρχή των αξόνων). α. Αποδείξτε ότι ( ) β. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x η ευθεία που ορίζεται από τις εικόνες των μιγαδικών αριθμών, i. γ. Αποδείξτε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών,, i στο μιγαδικό επίπεδο, σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο.. Λύση: α. Έστω = x + yi και w = α + βi τότε A( x,y ) και ( ) ( ) ( ) ( ) OA OB = x, y α, β = αx + βy I B α, β οπότε: w = ( x + yi)( α βi ) = αx βxi + αyi + βy = ( αx + βy ) + ( αy βx) i ( II) 40

41 Από (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει Re( w) = OA OB. β. = ( x ) + yi άρα η εικόνα του είναι το σημείο Γ( x,y) i = x+ ( y ) i άρα η εικόνα του είναι το σημείο Δ( x, y- ).. y y λ = ΓΔ = επομένως η ΓΔ σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 35. x x+ γ. A( x, y ), Γ( x,y), Δ( x, y ) παρατηρούμε ότι ΑΓ // x x και ΑΔ // y y άρα ΑΓ ΑΔ επομένως το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ορθογώνιο στο Α. Θέμα 7 ο = + =. 6 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει ( ) 6 α. Αποδείξτε ότι: i) = και ii) + += 0. (I) β. Ένα τρίγωνο έχει κορυφές τις εικόνες των ριζών της εξίσωσης (Ι) και την εικόνα α. i. του μιγαδικού αριθμού 3 =. Να βρεθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις πλευρές του. Λύση 6 6 = = = = =. 6 6 ii. ( + ) = + = + = ( + )( + ) = = + + = = = + + = β. Οι ρίζες της εξίσωσης = 0 είναι: 3 3 = + i, = i, οπότε οι κορυφές του τριγώνου θα είναι τα σημεία 3 3 A(, 0 ), B,, Γ,, βρίσκουμε ότι: (ΑΒ) = (ΑΓ) = (ΒΓ) = 3 άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. 4

42 Θέμα 8 ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει: = και =. α. Aποδείξτε ότι Re( ) = β. Να προσδιοριστεί ο θετικός πραγματικός αριθμός λ, για τον οποίο ισχύει: = ( λi). γ. Για λ = αποδείξτε ότι =. δ. Αν Α η εικόνα του και Β η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο, αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο στο Α και ισοσκελές. (Ο η αρχή των αξόνων). Λύση α. ( )( ) = = = + = + = Re( ) = Re( ) = = λi = λi = λi β. ( ) άρα = λi = λi λ = άρα λ, ( λ 0) γ. = ( λi) για λ= έχουμε = ( i) άρα = >. = i =. = = και επειδή το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών δ. είναι η απόσταση των εικόνων τους θα είναι ( AB ) =. Είναι ( ) OA = και ( OB ) =. Με το Πυθαγόρειο Θεώρημα αποδεικνύουμε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α και επειδή ( OA ) = ( AB ) είναι και ισοσκελές. 4

43 Θέματα για λύση Θέμα ο α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις: = 3 και Im( ) 0. β. Να αποδείξτε ότι αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού ανήκει στο σύνολο (Σ) τότε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού ω = f ( ν ) = i κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα το οποίο βρίσκεται στον άξονα χχ. Θέμα ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί f () + f ( 6 ) + f ( 7 ) + f ( 6 ) = 0 όπου α, β R και ω = + i 3 όπου ο συζυγής του. α. Αποδείξτε ότι Re(ω) = α + β 3 και Im(ω) = α + β. β. Να αποδείξετε ότι αν οι εικόνες του ω στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y = 3x +, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y = 5x + 7. γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία y = 5x + 7 έχει ελάχιστο μέτρο. Θέμα 3 ο α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση 3 i. β. Αποδείξτε ότι : ( 3 + i ) ( 3 i ) = 6. γ. Αποδείξτε ότι : δ. Αν, είναι δυο μιγαδικοί που ικανοποιούν τη συνθήκη του ερωτήματος (α) να αποδείξετε ότι 4. Θέμα 4 ο Για τους μιγαδικούς αριθμούς και w ισχύουν: + + = 3, w = λ ( λ+) i, λ R. α. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται σε κύκλο (C) με κέντρο Κ(-, 0) και ακτίνα ρ =. β. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία (ε) ν 43

44 με εξίσωση : χ + y + = 0. γ. Αποδείξτε ότι η ευθεία (ε) τέμνει τον κύκλο (C) σε δυο αντιδιαμετρικά σημεία. δ. Να βρεθεί ο μιγαδικός που έχει το μέγιστο μέτρο. ε. Να βρεθεί η εικόνα Μ του μιγαδικού w που έχει το ελάχιστο μέτρο. Θέμα 5 ο ν Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός 0 και η συνάρτηση f()( v = i ), ν Ν *. α. Να δείξετε ότι για κάθε ν Ν * ισχύει: f ( ν) f ( ν + ) f ( ν + ) f ( ν + 3 ) = 0. β. Αν ισχύει f () 5 = 3 + i, δείξτε ότι = + i. γ. Αν = + i. Αποδείξτε ότι f ( ν + 3) f ( ν + ) = 5, για κάθε ν Ν *. Θέμα 6 ο Έστω ο μιγαδικός αριθμός και w =. + α. Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγματικός αριθμός, τότε ο είναι πραγματικός αριθμός ή =. 3 β. Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, την εξίσωση : = + 3. γ. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (β) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : K = ( )005 i Θέμα 7 ο. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, 3 με = = 3 = 3. 9 α. Αποδείξτε ότι =. β. Αποδείξτε ότι ο αριθμός + είναι πραγματικός. γ. Αποδείξτε ότι + + = δ. Αν 9 Re =. = = αποδείξτε ότι ( ) 44

45 Θέμα 8 ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς 0, για τους οποίους ισχύει: = = (Ι) α. Αποδείξτε ότι + =. β. Αποδείξτε ότι οι μιγαδικοί αριθμοί που ικανοποιούν τις ισότητες (Ι) είναι οι 3 3 = + i, = i. γ. Αν Α, Β οι εικόνες των, αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, να υπολογίσετε τη κυρτή γωνία AOB, ( Ο η αρχή των αξόνων). δ. Αποδείξτε ότι ο αριθμός ω = ( + ) ν ν ν + είναι πραγματικός αριθμός. Θέμα 9 ο Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός και έστω + i w = + α. Αποδείξτε ότι αν ο είναι φανταστικός αριθμός τότε = και αντιστρόφως. β. Αποδείξτε ότι αν w = τότε ισχύει: Re( ) = Im( ). γ. Αποδείξτε ότι αν ο w είναι φανταστικός αριθμός, οι εικόνες του βρίσκονται στην ευθεία y = x ή στην y = x. δ. Αποδείξτε ότι αν w = οι εικόνες του βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Θέμα 0 ο Έστω = x + yi και w =, 0 δυο μιγαδικοί αριθμοί. Θεωρούμε ότι ισχύει: w w=. α. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν στο κύκλο ( ) x + + y =. β. Να βρείτε τους μιγαδικούς με το ελάχιστο και το μέγιστο μέτρο. γ. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου του μιγαδικού αριθμού u = w +. 45

46 Θέμα ο i + i Θεωρούμε τη συνάρτηση f () =, i. και τους μιγαδικούς αριθμούς i ω = i και ω = f( ) i. α. Αποδείξτε ότι ω ω = i. β. Αν οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν στο κύκλο x + y = 4 i. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του ω κινούνται σε κύκλο με κέντρο Κ (0, ) και ακτίνα ρ =. ii. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του ω. Θέμα ο Έστω 3 5 w = + i i, όπου = x + yi, x, y R. α. Αποδείξτε ότι Re( w ) = ( x y ) και Im( w ) = ( x y ). β. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία y = x. γ. Να βρεθεί ο μιγαδικός w που η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο απέχει την ελάχιστη απόσταση από την εικόνα του μιγαδικού u = 5 i. δ. Αποδείξτε ότι w = x y 5. ε. Να βρεθεί ο γ. τ. των εικόνων των μιγαδικών αριθμών = x + yi για τους οποίους ισχύει Θέμα 3 ο w = 5. Δίδονται οι μιγαδικοί, w και u= w και έστω ότι ισχύει: w = + w. α. Αποδείξτε ότι ο μιγαδικός είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει =. β. Αποδείξτε ότι αν ο u είναι φανταστικός αριθμός, ο ω = w είναι φανταστικός. γ. Αν w = i, αποδείξτε ότι οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στον άξονα y y. δ. Ισχύει το συμπέρασμα του (γ) ερωτήματος για οποιαδήποτε τιμή του w; (Δικαιολογήστε την απάντησή σας). 46

47 Θέμα 4 ο Δίδονται οι μιγαδικοί αριθμοί = i και = 3 +4i. α. Αν = x + yi, x, y R να αποδείξετε ότι x = και y =. β. Αν μια ρίζα της εξίσωσης x + βx+γ = 0, όπου β, γ R είναι η τις τιμές των β και γ., να βρείτε γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει =. Θέμα 5 ο Δίνεται η συνάρτηση f με () f = + i, όπου μιγαδικός αριθμός με 0. α. Αν f( ) = f(), να αποδείξετε ότι ο είναι πραγματικός αριθμός. β. Αν f( ) =, να βρεθεί ο γ. τ. των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο. γ. Αν Re( f ( )) =, να αποδείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού, βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του. Θέμα 6 ο 4 Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό για τον οποίο ισχύει: + = i + i +. α. Να βρεθεί ο γ.τ. των εικόνων του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο. β. Αν Μ, Μ οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, του παραπάνω γ. τ. οι οποίες είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων, να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του. Θέμα 7 ο Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό για τον οποίο ισχύει: i + 3 = 5. α. Να βρεθεί ο γ. τ. των εικόνων του μιγαδικού αριθμού ω = -+i. β. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του ω. γ. Να προσδιοριστεί ο μιγαδικός αριθμός ω με το ελάχιστο μέτρο. Θέμα 8 ο Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = x + yi, x, y R για τον οποίο ισχύει: 4 4 Im() = 0. α. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στη 47