Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ"

Transcript

1 Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι

2 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ ο Ερωτήσεις του τύπου σωστό λάθος. Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. Αν = α + βi και α,β 0, τότε = + i α β. 3. Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () = κ. 4. Αν = x + (y ) i και Ιm () = 0, τότε y =. 5. Αν, C με Re ( + ) = 0, τότε Re ( ) + Re ( ) = Οι εικόνες των φανταστικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται πάνω στον άξονα y y. 7. Αν i = τότε i 003 = i. 8. Οι εικόνες των αντίθετων μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα x x. 9. Για κάθε μιγαδικό αριθμό 0 ορίζεται 0 =. 0. Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών και αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο και ο άξονας x x είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος Μ Μ, τότε είναι =. Αν = α + βi, C, και + = α, τότε =.. Αν Re () = τότε οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται πάνω στην ευθεία x =. 3. Αν Ιm ( + i) = 8 τότε οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία y = Η εξίσωση x x + λ = 0, λ R, μπορεί να έχει ρίζες τους μιγαδικούς + i και i. 5. Αν η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0, α, β, γ R έχει 5 ρίζα τον + i θα έχει και τον + i. 6. Η εξίσωση x + βx + γ = 0, α, β, γ, R * έχει πάντοτε λύση στο C. 7. Αν Re ( ) = 0 τότε ισχύει πάντα Re ( ) Re ( ) = Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει =. 9. Για κάθε, C ισχύει + = +.

3 0. Η εξίσωση =, C, παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος που έχει άκρα τα σημεία Α ( ) και B ( ).. Η εξίσωση = με άγνωστο το C και, C έχει μόνο μια λύση.. Η εξίσωση = ρ, ρ > 0 παριστάνει στο μιγαδικό 0 επίπεδο κύκλο με κέντρο Κ ( 0 ) και ακτίνα ρ. 3. Στο μιγαδικό επίπεδο η εικόνα του μιγαδικού αριθμού + 3i είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου = Όλα τα σημεία της ευθείας y = x στο μιγαδικό επίπεδο είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών = α + αi με α R. 5. Στο μιγαδικό επίπεδο του διπλανού σχήματος η εξίσωση του κύκλου είναι = 4. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α. x + yi = i + - yi β. y + i = 3 ( + i) x γ. 4y 3yi x = - 5xi + 9i δ. (x + ) i + x = x xi 3. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = x x 9i και w = y i, x, y R. α. Να βρείτε τους x, y ώστε = w. β. Αν x =, να βρείτε τον. 3. Δίνεται ο μιγαδικός = 6i (3 4i) x 3yi (3i ) x + (4 yi), x, y R. α. Να γράψετε τον στη μορφή α + βi. β. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) Re () = 0 ii) = 0 4. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = ( + i) x + (y ) i 5, x, y R. α. Να τον γράψετε στη μορφή α + βi. β. Να γράψετε τον συναρτήσει του x, αν Im () = 0. γ. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Re () = Im (). 5. Δίνονται οι μιγαδικοί 3

4 = + i, = + 3 i, 3 = i, 4 = i, 5 = + i, 6 54 Να βρείτε το άθροισμα των 00 όρων Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς: α. = i 3 + i 04 3i i 7 +3i, β. = ( i ) ( + i + ) + i i. 7. Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς: α. 3i ( 5i) β. ( + i) ( i + 3) γ. i + 3i i + δ. ε. ζ. i i + i 8. Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς: 3 4i ( )( ) α. ( 3i) (4 5i) + 7i β. i i + 3 i + 3i + γ. + i δ. 3+i 3 i ε. ( i) 3 9. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε οι μιγαδικοί = α + βi και = + 8i 5 + 3i + 3i 3i να είναι ίσοι. 0. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε να ισχύει: (α + βi) + 5i =. i. Να υπολογιστεί το x R ώστε να ισχύει: + i = 3. Να βρεθούν τα x, y R ώστε οι μιγαδικοί: + xi xi. = x + y i και = (4x y) i να είναι συζυγείς. 3. Αν φανταστικός αριθμός με -i να αποδείξετε ότι ο αριθμός ω = 3 i + i είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός. 4

5 4. α. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα + ( ) = 3 + i. β. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την ισότητα =. 5. α. Για τις διάφορες τιμές του ν Ν να βρεθεί η τιμή της παράστασης f (ν) = ν+ i i. β. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = i ν + i ν+ i, για τις διάφορες τιμές του θετικού ακέραιου ν. 6. Να αποδείξετε ότι για κάθε ν Ν ισχύει ( + i) 0ν = ( i) 0ν. 7. α. Να δείξετε ότι κάθε πραγματικός αριθμός είναι ίσος με το συζυγή του και αντιστρόφως. β. Να δείξετε ότι αν ω = και ω R τότε ο είναι φανταστικός αριθμός. + i γ. Αποδείξτε ότι ο αριθμός u = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 i + i + ν 3 + i 3 i 8. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = x + yi, x, y R. ν, είναι πραγματικός. α. Να γράψετε στη μορφή α + βi τον μιγαδικό w = + 8i + 6. β. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Im (w) = 0. γ. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Re (w) = 0. δ. Να δείξετε ότι η προηγούμενη σχέση (γ) είναι εξίσωση κύκλου και να βρείτε το κέντρο του και την ακτίνα του. β. Να δείξετε ότι ο προηγούμενος κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 9. α. Η εξίσωση + α + β =0, α, β R έχει ρίζα τον μιγαδικό αριθμό i. i. Να βρείτε την άλλη ρίζα. ii. Να βρείτε τα α και β. β. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης = 0, να αποδείξετε ότι + 5i 5i + + i =. 0. Να βρείτε τους μιγαδικούς = x + yi, x, y R, για τους οποίους ισχύει: + + = 0.. α. Αν η εικόνα του μιγαδικού = λ + (λ ) i στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία y = 4x +, να βρεθεί ο λ R. 5

6 β. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = 4 + μi και = (μ + 3) i, μ R και R. Αν η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο, αποδείξτε ότι + R. γ. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς = (λ + ) + (λ 3)i, λ R. Να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, για τις διάφορες τιμές του λ R.. Να συμπληρώσετε το διπλανό σχήμα y με το σημείο Μ (). Μετά να βρείτε τα σημεία Μ ( ), Μ 3 ( ) και M() Μ 4 ( ). Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου Μ Μ Μ 3 Μ x 3. Ο μιγαδικός = + i να αναλυθεί σε άθροισμα δύο μιγαδικών, που οι εικόνες τους βρίσκονται αντίστοιχα στις ευθείες y = x και y = x. 4. Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών αριθμών: α. = + i 3i β. = ( i ) + i 5. Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών αριθμών: + i α. = 3i β. = + i i ν, ν Ν. 6. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την ισότητα + = + i. 7. Αν C και + 9 = 3 +, αποδείξτε ότι = Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός ω. α. Να δειχθεί ότι αν ω φανταστικός αριθμός, τότε ω = ω και αντιστρόφως. β. Με βάση το προηγούμενο ή με άλλο τρόπο δείξτε ότι αν ο αριθμός ω = +,, είναι φανταστικός, τότε =. 9. Να γράψετε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς αν ξέρουμε ότι η απόλυτη τιμή του πραγματικού μέρους του είναι 3 και η απόλυτη τιμή του φανταστικού μέρους του είναι 4. Πού βρίσκονται οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των παραπάνω μιγαδικών αριθμών; 6

7 30. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: 3. Να λυθεί στο C η εξίσωση: i = 0. = =. 3. Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει: >, δείξτε ότι Re () <. 33. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο που ικανοποιούν τη σχέση = 4 βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας. 34. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο αν ο αριθμός w = + i +, είναι πραγματικός. 35. Ο μιγαδικός αριθμός ικανοποιεί ( συγχρόνως ) τις σχέσεις: Re () () Im() () (3) Να γραμμοσκιάσετε στο μιγαδικό επίπεδο το χωρίο που αντιπροσωπεύει το σύνολο των εικόνων του και να βρείτε το εμβαδόν του. 36. Να βρεθεί στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού για κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α. + i = 3 β. i < 4 γ. < + i < 37. Ο κύκλος του διπλανού σχήματος εφάπτεται του άξονα των τετμημένων και είναι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθ- y K μού = x + yi, x, y R στο μιγαδικό επίπεδο x α. Από τις παρακάτω εξισώσεις, να επιλέξετε δύο που τον αντιπροσωπεύουν: i. (x - 3) + (y - ) = 9 ii. 3x + y = 4 iii. 3+ i = 4 iv. x + y - 6x - 4y + 9 = 0 v. 3 i = β. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 7

8 38. Στο διπλανό σχήμα η μεσοκάθετος (ε) του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού y (ε) = x + yi, x, y R στο μιγαδικό επίπεδο. α. Από τις παρακάτω εξισώσεις, να επιλέξετε τρεις που τον αντιπροσωπεύουν: i. x - i = y + 4 x 0 A M B 3 4 x ii. i = 4 iii. 4 = 0 y iv. y = 4x 5 v. Re () = Im () vi. 8Re () = 5 + Im () β. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 39. Στο διπλανό σχήμα το ΟΑΒΓ είναι τετράγω νο. Αν Α, Β και Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών = 3 + 4i, = x + yi και 3 = κ + λi x y A 3 4 x B αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο: α. Να δειχθεί ότι 3κ + 4λ = 0. y G β. Να βρεθούν οι και Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = 3+i, = 3i. α. Αποδείξτε ότι = i. β. Αν α πραγματικός αριθμός και w = γ. Αποδείξτε ότι = 0. a + a, αποδείξτε ότι w 006 =. 4. Έστω ο μιγαδικός αριθμός = x + yi και οι αριθμοί = + i και = + i. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο αν ι- σχύει Im( ) = Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο αν ισχύει 8 Re = Im(i). 8

9 43. Οι μιγαδικοί αριθμοί και w συνδέονται με τη σχέση = 4w + Re(w). Aν η ει- x y κόνα του στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στην έλλειψη + = να δείξετε 5 6 ότι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w κινείται σε κύκλο με εξίσωση x + y =. 44. Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στην ευθεία με εξίσωση y = x, να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού w = ( + i) κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση. 45. α. Nα λύσετε ως προς την εξίσωση 46. Αν (4συνθ) + 4 = 0, 0 < θ < π, C β. Να δείξετε ότι καθώς το θ μεταβάλλεται στο διάστημα (0, π), οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης κινούνται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση Αν, = είναι φανταστικός., τότε αποδείξτε ότι Re( ) =. C και ισχύει + =, να αποδείξετε ότι ο αριθμός 48. Αν,, είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: 3 = = = 7 και + + = 7, αποδείξτε ότι = Έστω μιγαδικός αριθμός διάφορος του και του. Θεωρούμε τη συνάρτηση ν ( )( + ) ν ( )( ) f()= +. α. Αποδείξτε ότι f() = f, 0. β. Αν επιπλέον ισχύει =, τότε αποδείξτε ότι f () = f(). 50. Δίνεται η συνάρτηση + i f() = με C και i. i α. Αποδείξτε ότι f() =. β. Αν ( f() ) = f ( ), αποδείξτε ότι ο αριθμός είναι φανταστικός. 5. α. Αν για τον μιγαδικό αριθμό ισχύει i + 3= να βρεθεί η εξίσωση της καμπύλης στην οποία κινούνται οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού w, για τον οποίο ισχύει w = 3 + i 5. 9

10 β. Αν για το μιγαδικό αριθμό = (x 3) + (y )i, x, y R, ισχύει η σχέση +3i =, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων (x, y) στο μιγαδικό επίπεδο. 5. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί,, 3, με = = = ρ, ρ > 0 και Α, Β, 3 Γ οι εικόνες τους, αντιστοίχως, στο μιγαδικό επίπεδο. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς w =, w = 3, w 3 = 3 με εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία Δ, Ε, Ζ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο τότε και το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο. 53. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί, w και Ρ, Σ οι εικόνες τους αντιστοίχως,στο μιγαδικό επίπεδο. Αν ισχύει w iw = (+3i), να αποδείξετε ότι αν το σημείο Ρ κινείται στην μεσοκάθετη του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία Α(0, ) και Β(, 3), τότε το Σ κινείτε στον κύκλο με εξίσωση x + y =. 54. A. α. Nα αποδείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού, που ικανοποιεί τη σχέση (4 + 3i) + (4 3i) + 50 = 0, κινούνται στο μιγαδικό επίπεδο στην ευθεία με εξίσωση 4x 3y + 5 = 0. β. Ποιος από τους παραπάνω μιγαδικούς έχει το ελάχιστο μέτρο ; Β. α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού ο οποίος ικανοποιεί τη συνθήκη ( + 3 3i) ( i) = 4. β. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του. 55. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός και έστω + i f()=,. α. Αποδείξτε ότι f() =. β. Αποδείξτε ότι f() = f() + i. γ. Αν = και Μ η εικόνα του f() στο μιγαδικό επίπεδο, αποδείξτε ότι το Μ κινείται στην ευθεία με εξίσωση y = x Δίνεται η εξίσωση = 3i, C. α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο είναι η μεσοκάθετη (ε) του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με άκρα Α (, 0) και Β (0, 3). β. Να δειχθεί ότι η εξίσωση της (ε) είναι x 3y + 4 = 0. γ. Να γίνει η γραφική παράσταση της (ε). δ. Να βρεθεί η εικόνα του για τον οποίο το είναι ελάχιστο. 0

11 57. Αν μιγαδικός και f (ν) = i ν, ν Ν * τότε: Να δειχθεί ότι f (4λ) + f (4λ + ) + f (4λ + ) + f (4λ + 3) = 0, λ Ν *. 58. Αν μιγαδικός αριθμός με Re =, τότε: 4 α. Να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με κέντρο Κ (, 0) και ακτίνα ρ =, εκτός του σημείου Ο(0,0). β. Να δειχθεί ότι αν για το ισχύει Im() =, τότε Re() = + 3 Re() = Για τους μιγαδικούς και w ισχύουν αντιστοίχως + i ( ) = και το σύνολο των σημείων των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία (ε) με εξίσωση y = x +. Να δειχθεί ότι: α. O γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος C με κέντρο Κ (0, ) και ακτίνα ρ =. β. Η ευθεία (ε) τέμνει τον κύκλο C του ερωτήματος (α) σε δύο σημεία αντι διαμετρικά. γ. Αν t, t είναι οι μιγαδικοί που οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο είναι οι τομές των (ε) και C, τότε ισχύει: 3ν ν 3ν+ t+ t + t t =. 60. α. Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο Ρ() = β. Να λύσετε την εξίσωση = 0, C. γ. Να παραστήσετε στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία που αντιστοιχούν στις εικόνες των ριζών. δ. Τι είδους τρίγωνο σχηματίζουν οι εικόνες των ριζών ; Ν α υπολογίσετε το εμβαδόν του. 6. Θεωρούμε την εξίσωση t 4t t 4e + 4e + e = 0, C, t R. α. Να λύσετε την εξίσωση στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. β. Έστω Α, Β οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο. Αποδείξτε ότι τα σημεία Α, Β κινούνται σε παραβολή. γ. Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό t αν το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο στο Ο. ( Ο η αρχή των αξόνων ). 6. Δίνεται η εξίσωση 8 + λ + 9 = 0, λ R με ρίζες, C. α. Αν = 5 να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό λ. β. Αν λ = ±4, αποδείξτε ότι = 4+3i, = 4 3i. γ. Να δείξετε ότι + 6, όπου τυχαίος μιγαδικός αριθμός.

12 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟ Ι ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 5. Σ. Λ 6. Σ 3. Σ 7. Λ 4. Σ 8. Σ 5. Σ 9. Λ 6. Σ 0. Σ 7. Λ. Λ 8. Λ. Σ 9. Σ 3 Σ 0. Σ 4 Σ. Σ 5 Σ. Σ 3. Λ 4. Σ Απαντήσεις - υποδείξεις στις ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) x = 4, y= /3, β) x =, y = 7, γ) x = 3, y =, δ) x =. β) = 77 36i. 3. ii) x = 4, y = 4. γ) x y = ( ) + i ( = 4 6i, = 7. ζ) 3/5 +/5 i ) = άθροισμα γ.π. 8. α) 8 5i, β) / i, γ) + i, δ) i 4 7 7, ε) + i α =, β = 0

13 0. (α = 3, β = ) ή (α = 3, β = ). x =. x =, y = 5 3. Έστω = λi, βρίσκουμε ω = (λ λ + ) < 0 4. α) = + i ή = - + i 3 β) = 0 ή = ή = - ± i 5. α) Αν ν = 4κ, Α = β), -i, -, -3i ν = 4κ +, Α = + i ν = 4κ +, Α = i ν = 4κ +3, Α = 0 6. Η δοθείσα γράφεται 0ν 0ν 0ν +i ( +i)( +i) i 5ν 4 = =...= = ( i ) = -i ( -i)( +i) β) 4x + 3y + 4 = 0 γ) x + y + 6x + 8y = 0 δ) (x + 3) + (y + 4) = 5 9. α) + i β) α = 4, β = 5 0., + i, i. α) λ = 3, γ) ψ = χ 5. Ε = 3 τ.μ. 3. = - i, = + 3i 4. α) 5. α) β) 6 β) 6. = i = 9 + ( + 9) ( + 9 ) = 9 ( + )( + ) ( + 9) ( + 9) = 9 ( + ) ( + ) κ.λπ. 8. β) ω = ω + = + ( ) ( + ) = ( + ) ( ) = = = 3

14 i, 3 + 4i, 3 4i, 3 4i κύκλος Κ (0, 0), R = Έστω = x + yi. Βρίσκουμε x =, y = ± = i > - > ( - ) ( - ) > > + < Re() < Re() < 33. Υψώνουμε στο τετράγωνο κ.λπ. Βρίσκουμε = 34. x + y + = α) Κ (, ), R = 3 β) Κ (, ), R < 4 γ) Κ (, ), < R < 37. iv, v 38. ii, iv, vi 39. β) = 7 + i, 3 = 4 3i. 4. x + y 3 = Ο άξονας y y εκτός από το σημείο Ο(0,0), ή ο κύκλος x + y = y = x x + y = 4 5. i) (x 4) + (y + 5) = 36 ii) ( x 7/4 ) + (y + /4 ) = / A) ii) = 4+3i Β) i) (x+3) + (y 3) min = + 3 = 4 ii) max = δ) Η εικόνα του είναι το σημείο τομής της (ε) και της κάθετης προς αυτήν που διέρχεται από το Ο (0, 0). Βρίσκουμε = + i β) Στην εξίσωση x + y 4x = 0 θέτουμε y = και βρίσκουμε x = + 3 ή x = α) x + (y ) = γ) Σημεία τομής Α (, ), Β (, 0). (ΑΒ) = ρ δ) t = + i, t = 60. α) Ρ() = ( i)( + i)( 3) δ) ισοσκελές, Ε = 6 τμ. 6. α) = e t + ie t, = e t ie t β) t t t t Α(e, e ), Β(e, e ), η παραβολή έχει εξίσωση γ) t = - ln. 6. α) λ= - 4 ή λ=4. y = x. γ) +, άρα 6 = +. (Το συμπέρασμα προκύπτει από την τριγωνική ανισότητα). 4

15 ΜΙΙΓΓΑΔΙΙΚΟΙΙ ΑΡΡΙΙΘΜΟΙΙ ΜΕΡΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΡΟ Παρατηρήσεις : Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού αριθμού με εκθέτη ακέραιο, ορίζονται ακριβώς όπως και στους πραγματικούς αριθμούς. Επίσης για 0 ορίζουμε 0 = και Δεν έχει νόημα η διάταξη στους μιγαδικούς αριθμούς. Διότι σύμφωνα με το νόμο της τριχοτομίας θα έπρεπε: i > 0 ή i = 0 ή i < 0 i > 0 ή i = 0 ή i > 0 > 0 ή = 0 ή >0 αδύνατο ν =, για κάθε θετικό αριθμό ν. ν Δεν έχει νόημα το σύμβολο της στους μιγαδικούς αριθμούς, διότι δεν ορίζετε μονοσήμαντα. Δηλαδή δεν γράφουμε. Για τους συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς = α + βi και = a βi ισχύουν : i) + = α. Δηλαδή το άθροισμα δυο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι πραγματικός αριθμός. Το αντίστροφο δεν ισχύει: μπορεί δυο μιγαδικοί αριθμοί να έχουν άθροισμα πραγματικό αριθμό χωρίς να είναι συζυγείς π. χ. = + 3i, = 5 3i. ii) = βi. Δηλαδή η διαφορά δυο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι φανταστικός αριθμός. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί που έχουν διαφορά φανταστικό αριθμό χωρίς να είναι συζυγείς π. χ. = 5 + 3i, = 5 i. iii) Αποδεικνύονται εύκολα οι προτάσεις = α + β R = I = 5

16 Παρατήρηση: (οι προτάσεις αυτές όταν χρησιμοποιούνται πρέπει να αποδεικνύονται). Δυο ίσοι μιγαδικοί έχουν ίσα μέτρα. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Υπάρχουν άπειροι μιγαδικοί αριθμοί με το ίδιο μέτρο. Π.χ. = + i, = + i, = i κ.τ.λ. 3 Για το μέτρο των μιγαδικών αριθμών ισχύουν: i) == ii) = iii) = ν ν iv) = v) =0 =0 vi) + + Το μέτρο της διαφοράς δυο μιγαδικών αριθμών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους στο μιγαδικό επίπεδο. Βασικοί γεωμετρικοί τόποι: = ρ, ρ > 0, κύκλος με κέντρο το σημείο ( ) i) 0 Α και ακτίνα ρ. ii) =, η μεσοκάθετη του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία A( ), B( ). iii) = ρ, ρ, ρ > 0, απολλώνιος κύκλος. iv) + = α, α > 0, και < α, έλλειψη. v) = α, α > 0, και > α, υπερβολή. Χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή στο λογισμό των μιγαδικών αριθμών γιατί προφανείς σχέσεις που ισχύουν στους πραγματικούς αριθμούς μπορεί να μην ισχύουν στους μιγαδικούς αριθμούς. π.χ. i) Αν, w μιγαδικοί αριθμοί και + w = 0, δεν συνεπάγεται κατ ανάγκη ότι =0 ή w=0 ( θεωρείστε π.χ τους μιγαδικούς = + i, w = i ). 0 ii) Ισχύει ( + ) 0, ενώ ( ) 0, διότι + = α R, ενώ = βi I. κ.λ.π.. 6

17 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ Εύρεση του συνόλου των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που επαληθεύουν δοθείσα σχέση ή προσδιορισμός της γραμμής πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών. ος τρόπος : Υποθέτουμε ότι = x + yi, x, y R, με εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο το σημείο Μ (x, y). Αντικαθιστούμε το στη δοθείσα σχέση και αφού εκτελέσουμε όλες τις πράξεις που απαιτούνται καταλήγουμε σε μια εξίσωση με αγνώστους x, y ή μόνο με άγνωστο x ή μόνο με άγνωστο y, η οποία είναι η εξίσωση της γραμμής πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών. ος τρόπος : Υπενθυμίζουμε ότι : = ΟΜ = (ΟΜ), όπου Μ = Μ() η εικόνα του και Ο (0, 0). = Μ M = (M Μ ), όπου M = Μ () η εικόνα του και M = M ( ) η εικόνα του. ( Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών εκφράζει την απόσταση των εικόνων τους). Μετατρέπουμε τη σχέση των μιγαδικών σε ισοδύναμη γεωμετρική και προσδιορίζουμε το ζητούμενο γεωμετρικό τόπο. Για την καλύτερη κατανόηση του ου τρόπου αναφέρουμε τις περιπτώσεις: ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΜΚ = ρ ή ( ΜΚ ) = ρ - =ρ, όπου ρ>0 o και = x+yi o Ο Ο σταθερός μιγαδικός αριθμός. όπου Μ=Μ() και Ο Κ=Κ( Ο ) Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Κ(x, y ), σταθερή απόσταση ρ. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι ο κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα ρ. Ο (x x o ) + (y y o ) = ρ 7

18 ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΜΚ ρ ή ρ, όπου o ρ>0 και = x+yi o Ο Ο σταθερός μιγαδικός αριθμός. ( ΜΚ ) ρ όπου Μ=Μ() και Κ=Κ( Ο ) Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Κ(x, y Ο Ο), α- πόσταση μικρότερη ή ίση του ρ. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι ο κυκλικός δίσκος με κέντρο Κ και ακτίνα ρ. (x x o ) + (y y o ) ρ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ > ρ, όπου ρ>0 o και = x+yi o Ο Ο σταθερός μιγαδικός αριθμός. ΜΚ > ρ ή ( ΜΚ ) > ρ όπου Μ = Μ() και Κ= Κ( Ο ) Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Κ(x, y ) Ο Ο, απόσταση μεγαλύτερη του ρ. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι το σύνολο των εξωτερικών σημείων του κύκλου με κέντρο Κ και ακτίνα ρ. (x x o ) + (y y o ) > ρ 8

19 ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ = όπου = x + y i και = x + y i σταθεροί μιγαδικοί αριθμοί. ΜΑ ΜΒ (ΜΑ) = (ΜΒ) όπου Μ = Μ() A = A( ) και B = B( ) Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού ι- σαπέχει από τα σταθερά σημεία Α(x, y ) και Β(x, y ). Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. ή \ ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ = όπου = x + y i και = x + y i σταθεροί μιγαδικοί αριθμοί. ΜΑ ΜΒ (ΜΑ) (ΜΒ) όπου Μ = Μ() A = A( ) και B = B( ) Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Α(x, y) απόσταση μικρότερη ή ίση από την απόσταση που απέχει από το σημείο Β(x, y ). Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι το ημιεπίπεδο (ε, Α), όπου ε είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. ή 9

20 ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ + = α όπου = γ +0i και = γ +0i σταθεροί αντίθετοι πραγματικοί αριθμοί με α > = γ >0 ΜΕ + ΜΕ =α ή (ΜΕ ) + (ΜΕ) = α όπου Μ = Μ(), Ε = Ε ( ) και Ε = Ε( ) Παρατηρούμε ότι το ά- θροισμα των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία E ( γ,0) και E(γ, 0) είναι σταθερό και μεγαλύτερο του Ε Ε. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε, Ε και μήκος μεγάλου άξονα α. x α y + = β ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ + = α Όπου = 0 + ( γ)i και = 0 + γ i σταθεροί αντίθετοι φανταστικοί αριθμοί με α > = γ >0. ΜΕ + ΜΕ =α ή (ΜΕ ) + (ΜΕ) = α όπου Μ = Μ(), Ε = Ε ( ) και Ε = Ε( ) Παρατηρούμε ότι το ά- θροισμα των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία E (0, γ) και E(0, γ) είναι σταθερό και μεγαλύτερο του Ε Ε. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε, Ε και μήκος μεγάλου άξονα α. x β y + = α 0

21 ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΜΕ ΜΕ =α = α όπου = γ +0i και = γ +0i σταθεροί αντίθετοι πραγματικοί αριθμοί με γ = > α >0 ή (ΜΕ ) (ΜΕ) = α όπου Μ = Μ(), Ε = Ε ( ) και Ε = Ε( ) Παρατηρούμε ότι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού α- ριθμού από τα σταθερά σημεία Ε ( γ, 0) και Ε (γ, 0) είναι σταθερή και μικρότερη του Ε Ε. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε, Ε. x α y β = ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ = α ΜΕ ΜΕ =α όπου = γ +0i και = γ +0i σταθεροί αντίθετοι πραγματικοί αριθμοί με γ = > α >0 ή (ΜΕ ) (ΜΕ) = α όπου Μ = Μ(), Ε = Ε ( ) και Ε = Ε( ) Παρατηρούμε ότι η διαφορά των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε ( γ, 0) και Ε (γ, 0) είναι σταθερή, μικρότερη του Ε Ε και ( ΜΕ ) > ( ΜΕ). Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι ο δεξιός κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε, Ε. x α y β =, x > 0

22 ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ = α ΜΕ ΜΕ =α όπου = 0 + ( γ)i και = 0 + γ i σταθεροί αντίθετοι φανταστικοί αριθμοί με γ = > α > 0 ή (ΜΕ ) (ΜΕ) = α όπου Μ = Μ(), Ε = Ε ( ) και Ε = Ε( ) Παρατηρούμε ότι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε (0, γ) και Ε (0, γ) είναι σταθερή και μικρότερη του Ε Ε. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι η υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε, Ε y α x β = ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ = α όπου = 0 + ( γ)i και = 0 + γ i σταθεροί αντίθετοι φανταστικοί αριθμοί με γ = > α >0 ΜΕ ΜΕ =α ή (ΜΕ ) (ΜΕ) = α όπου Μ = Μ(), Ε = Ε ( ) και Ε = Ε( ) Παρατηρούμε ότι η διαφορά των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε (0, γ) και Ε (0, γ) είναι σταθερή, μικρότερη του Ε Ε και ( ΜΕ ) > ( ΜΕ). Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι ο άνω κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε, Ε y α x β =, y > 0

23 Λυμένα Παραδείγματα στους γεωμετρικούς τόπους. Α ΟΜΑΔΑ : Παράδειγμα ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στις περι- 4 6i πτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός w = είναι : + 4 α) φανταστικός και β) πραγματικός Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M (x, y). Ο μιγαδικός αριθμός w ορίζεται αν και μόνο αν 4 (x, y) ( 4, 0). Έχουμε 4 6i x + yi 4 6i (x 4) + (y 6)i w = = = = + 4 x+ yi+ 4 (x+ 4) + yi [(x 4) + (y 6)i ] [(x + 4) yi] [(x + 4) + yi ] [(x + 4) yi] (x + 4) + y x 6 (x 4)yi (x 4)(y 6)i (y 6)y (x + 4) + y x y 6y 6 ( xy 4y xy 6x 4y 4)i x + y 6y 6 6x + 8y 4 = + i, με (x, y) ( 4, 0). (x + 4) + y (x + 4) + y α. Ο αριθμός w είναι φανταστικός αν και μόνο αν = = x + y 6y 6 (x + 4) + y x + y 6y 6= 0 = 0 (x, y) ( 4, 0) x + y 6y + 9= 5 (x, y) ( 4, 0) (Συμπλήρωση τετραγώνου) x + (y 3) = 5 (x, y) ( 4, 0) Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κύκλος με κέντρο τοσημείο Κ (0, 3) και ακτίνα ρ = 5, που έχει εξίσωση x + (y 3) = 5, με εξαίρεση το σημείο του Α( 4, 0). 3

24 β. Ο αριθμός w είναι πραγματικός αν και μόνο αν 6x + 8y 4 (x + 4) + y = 0 6x + 8y 4 = 0 (x, y) ( 4, 0) 3x 4y + = 0 (x, y) ( 4, 0) Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η ευθεία ( ε ) με εξίσωση 3 x 4y + = 0, με εξαίρεση το σημείο της Α( 4, 0). Παράδειγμα ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στις περι- + i πτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός w = είναι : + + i α) φανταστικός και β) πραγματικός Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M (x, y). Ο μιγαδικός αριθμός w ορίζεται αν και μόνο αν i (x, y) (, ). Έχουμε + i x yi + i (x ) (y )i w = = = = + + i x + yi + + i (x + ) + (y + )i x (x )(y + )i (x + )(y )i (y ) = = (x + ) + (y + ) (x + ) + (y + ) x y (xy x y xy x y )i = [(x ) (y )i ] [(x + ) (y + )i] [(x + ) + (y + )i ] [(x + ) (y + )i] x y ( xy) = + i, με (x, y) (, ). (x + ) + (y + ) (x + ) + (y + ) α. Ο αριθμός w είναι φανταστικός αν και μόνο αν x (x + ) y + (y + ) = 0 x y = 0 (x, y) (, ) (x y)(x + y) = 0 y = ± x (x, y) (, ) (x, y) (, ) Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων, δηλαδή οι ευθείες δ : y = x και : y = x, με εξαίρεση το σημείο Α(, ). δ = 4

25 β. Ο αριθμός w είναι πραγματικός αν και μόνο αν ( xy) (x + ) + (y + ) = 0 xy = (x, y) (, ) xy= 0 (x, y) (, ) y = x (x, y) (, ) Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η υπερβολή με εξίσωση y =, με εξαίρεση το σημείο x της Α(, ). Παράδειγμα 3 ο Έστω Μ, Λ, Ν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, + 3 και + 4i αντίστοιχα. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών, όταν : α) Τα σημεία Μ, Λ, Ν είναι συνευθειακά β) ΜΛΝ = 90 Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο Μ (x, y). ο Ο μιγαδικός αριθμός Λ (x + 3, y), + 3 = (x + yi) + 3 = (x + 3) + yi έχει εικόνα το σημείο ενώ ο μιγαδικός αριθμός + 4i = x + yi + 4i = x + (y + 4)i έχει εικόνα το σημείο Ν ( x, y + 4). Είναι : ΜΛ = (x + 3 x, y y) = (x + 3, y) και ΛΝ = (x x 3, y + 4 y) = ( x 3, 4 y). α. Τα σημεία Μ, Λ, Ν είναι συνευθειακά αν και Μ Λ //ΛΝ det Μ Λ,ΛΝ = 0 x = 3 μόνο αν ( ) x + 3 x 3 y 4 y = 0 (x + 3)(4 y) ( x 3)y= 0 4x xy + 3y + xy + 3y = 0 4x + = 0 Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η κατακόρυφη ευθεία ε : x = 3. 5

26 β. Η γωνία ΜΛΝ είναι ορθή αν και μόνο αν ΜΛ ΛΝ ΜΛ ΛΝ = 0 (x + 3)( x 3) + y(4 y) = 0 x 6x 9 + 4y y = 0 x + y + 6x 4y + 9 = 0 () Η εξίσωση () είναι της μορφής x + y + Αx + Βy + Γ= 0 με Α = 6, Β = 4 και Γ = 9. Είναι Α + Β 4Γ = = 6 > 0, άρα η εξίσωση ( ) παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο Α Κ Β,, δηλαδή το ( 3, ) Κ και ακτίνα ρ = Α + Β 4Γ = Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο ( 3, ) Κ και ακτίνα ρ =, που έχει εξίσωση (x + 3) + (y ) = 4. Β ΟΜΑΔΑ : Παράδειγμα ο Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, όταν = (λ + ) + (λ )i, λ R. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y). x = λ + ( ) x = λ Είναι y = λ y = λ Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις και έχουμε x + y = 3 y = x 3. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στην ευθεία ε : y = x 3. Παράδειγμα ο Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, όταν = 4 + λ i, λ R. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το 6

27 σημείο M ( x, y), οπότε είναι x = 4 y = λ Παρατηρούμε ότι τα σημεία M ( x, y) έχουν σταθερή τετμημένη x = 4 και μεταβλητή τεταγμένη y = λ με λ R. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στην ευθεία ε : x = 4. Παράδειγμα 3 ο Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδι- κών αριθμών, όταν = λ 3i, λ R. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y), οπότε είναι x = λ y = 3 Παρατηρούμε ότι τα σημεία M (x, y) έχουν σταθερή τεταγμένη y = 3 και μεταβλητή τετμημένη x = λ, η οποία παίρνει μη αρνητικές τιμές. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στην y = 3 ημιευθεία Αζ : x 0 Παράδειγμα 4 ο Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, όταν = + iημφ, φ R. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y), οπότε είναι x = y = ημφ Παρατηρούμε ότι τα σημεία M (x, y) έχουν σταθερή τετμημένη x = και μεταβλητή τεταγμένη y = ημφ, η οποία παίρνει τιμές από το διάστημα [, ]. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, όπου Α (, ) και Β (, ). 7

28 Παράδειγμα 5 ο Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, όταν = ημφ + iσυνφ, φ R. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y), οπότε είναι Για κάθε φ R ισχύει x = ημφ y = συνφ ημ φ + συν φ = x + y = Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στον κύκλο με κέντρο το σημείο ( 0, 0) ακτίνα ρ =, που έχει εξίσωση x + y =. Σημείωση Στο προηγούμενο παράδειγμα, αν το π π φ, ( ο ή 4 ο τεταρτημόριο ), τότε το σ υνφ > 0, οπότε τα σημεία M ( x, y) έχουν y = συνφ > 0, δηλαδή Ο και θετική τεταγμένη. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται στο άνω ημικύκλιο Α ΒΑ του κύκλου x + y = με εξαίρεση τα άκρα του Α (, 0) και Α (, 0). Παράδειγμα 6 ο Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, όταν = ( + συνφ) + (ημφ )i, φ R. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το x = + συνφ σημείο M ( x, y), οπότε είναι y = ημφ x y + Για κάθε = συνφ = ημφ φ R ισχύει 8

29 ημ φ + συν φ = ( x ) + ( y + ) = Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στον κύκλο με κέντρο το Κ καιακτίνα ρ =, που έχει εξίσωση ( x ) + ( y + ) =. σημείο (, ) Παράδειγμα 7 ο Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, όταν = 3συνφ + 5iημφ, φ R. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το x = 3συνφ σημείο M ( x, y), οπότε είναι y = 5ημφ x = συνφ 3 y = ημφ 5 Για κάθε φ R ισχύει ημ φ + συν φ = x 9 + y 5 = x y Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στην έλλειψη + =. 9 5 Παράδειγμα 8 ο Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, όταν = + iεφφ, φ κπ +, κ Z. συνφ π Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το x = σημείο M ( x, y), οπότε είναι συνφ y = εφφ Για κάθε + εφ φ = συν φ π φ κπ +, κ Z ισχύει + y = x x y = Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στην ισοσκελή υπερβολή x y =. 9

30 Σημείωση η Στο προηγούμενο παράδειγμα, αν το π π φ, ( ο ή 4 ο τεταρτημόριο ), τότε το σ υνφ > 0, οπότε τα σημεία M ( x, y) έχουν x = > 0, δηλαδή θετική τετμημένη. συνφ Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται πάνω στο δεξιό κλάδο της ισοσκελούς υπερβολής x y =. Σημείωση η Στο 8ο παράδειγμα, π 3π αν το φ 0, π, ( ο ή 3 ο τεταρτημόριο ), τότε η εφφ 0, οπότε τα σημεία M ( x, y) έχουν y = εφφ 0, δηλαδή μη αρνητική τεταγμένη. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται στους δύο άνω ημικλάδους της ισοσκελούς υπερβολής x y =. Γ ΟΜΑΔΑ : Παράδειγμα ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση + 3i = 5. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y). Είναι 3i 5 ( 3i ) 5 (ΜΚ) 5, + = = = όπου Μ = Μ() η εικόνα του και Κ(, 3). Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Κ (, 3), σταθερή απόσταση 5. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των 30

31 εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (, 3) και ακτίνα ρ = 5, που έχει εξίσωση (x ) + (y + 3) = 5. Παράδειγμα ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση + 3i 5. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y). Είναι 3i 5 ( 3i ) 5 (ΜΚ) 5, + όπου Μ = Μ() η εικόνα του και Κ(, 3). Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Κ(, 3), απόσταση μικρότερη ή ίση του 5. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κυκλικός δίσκος με κέντρο το σημείο Κ (, 3) και ακτίνα ρ = 5, που έχει εξίσωση (x ) + (y + 3) 5. Παράδειγμα 3 ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση + 3i > 5. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y). όπου Μ= Μ() η εικόνα του και Είναι + 3i > 5 ( 3i ) > 5 (ΜΚ) > 5, Κ(, 3). Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Κ(, 3) απόσταση μεγαλύτερη του 5. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι το σύ- νολο των εξωτερικών σημείων του κύκλου (x ) + (y + 3) = 5 που έχει κέντρο το σημείο Κ(, 3) και ακτίνα ρ = 5. Παράδειγμα 4 ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση + + 8i = 5i. Λύση 3

32 Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M( x, y). Είναι: + + 8i = 5i ( 8i) = ( + 5i) (Μ Α= ) (ΜΒ), όπου Μ = Μ() η εικόνα του, Α(, 8) και Β(, 5 ). Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού ισαπέχει από τα σταθερά σημεία Α(, 8) και Β(, 5 ). Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η μεσοκάθετος ( ε ) τουευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Η εξίσωση της μεσοκαθέτου ( ε ) είναι : + + 8i = 5i x + yi + + 8i = x + yi 5i (x + ) + (y + 8)i = (x ) + (y 5)i (x + ) + (y+ 8) = (x ) + (y 5) x + 4x + 4+ y + 6y+ 64 = x x + + y 0y+ 5 6x + 6y + 4 = 0 3x + 3y + = 0 Παράδειγμα 5 ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση + + 8i 5i. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M( x, y). Είναι: + + 8i 5i ( 8i ) ( + 5i ) (Μ Α ) (ΜΒ), όπου Μ = Μ() η εικόνα του, Α(, 8) και Β(, 5 ). Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Α(, 8) απόσταση μικρότερη ή ίση από την απόσταση που απέχει από το σταθερό σημείο Β(, 5). Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι 3

33 το ημιεπίπεδο( ε, Α ), όπου (ε) είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Η εξίσωση του ημιεπιπέδου είναι 3x + 3y + 0. Παράδειγμα 6 ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση = 0. Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το Σημείο M ( x, y). Είναι: = 0 ( 4 + 0i ) + ( 4 + 0i ) = 0 Λύση (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 0, όπου Μ= Μ() η εικόνα του, Ε ( 4, 0) και Ε(4, 0 ). Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε, Ε είναι α=0 σταθερό και μεγαλύτερο του Ε Ε = 8. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε ( 4, 0) και Ε(4, 0 ), άρα γ = 4 και μήκος μεγάλου άξονα α = 0 α = 5, οπότεβ = α γ β = 5 6 β = 9 β = 3, η οποία έχει x y x y εξίσωση + = + = α β 5 9 Παράδειγμα 7 ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τησχέση + 8i + 8i = 0. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M( x, y). Είναι + 8i + 8i = 0 ( 0 8i) + ( 0 + 8i) = 0 (ΜΕ ) + (ΜΕ) = 0, όπου Μ = Μ() η εικόνα του, Ε ( 0, 8) και Ε(0, 8 ). Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των αποστάσεων 33

34 της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε, Ε είναι α = 0 σταθερό και μεγαλύτεροτου Ε Ε = 6. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε ( 0, 8) και Ε(0, 8 ), άρα γ = 8 και μήκος μεγάλου άξονα α = 0 α= 0, οπότε β = α γ β = β = 36 β = 6, η οποία έχει x y x y εξίσωση + = + = β α Παράδειγμα 8 ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση = 8. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M( x, y). Είναι: = 8 ( 5 + 0i ) ( 5 + 0i ) = 8 (ΜΕ ) (ΜΕ) = 8, όπου Μ= Μ() η εικόνα του, Ε ( 5, 0) και Ε(5, 0 ). Παρατηρούμε ότι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε, Ε είναι α = 8 σταθερή και μικρότερη του Ε Ε = 0. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η υπερβολήμε εστίες τα σημεία Ε ( 5, 0 ) και Ε (5, 0 ), άρα γ = 5, με α = 8 α = 4, οπότε β = γ α β = 5 6 β = 9 β = 3, η οποία έχει εξίσωση: x α y β x y = 6 9 Παράδειγμα 9 ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση = 8. Λύση = 34

35 Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M ( x, y). Είναι: = 8 ( 5+ 0i) ( 5 + 0i) = 8 (ΜΕ ) (ΜΕ) = 8, όπου Μ= Μ() η εικόνα του, Ε ( 5, 0) και Ε(5, 0 ). Παρατηρούμε ότι η διαφορά των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε, Ε είναι α = 8 σταθερή, μικρότερη του Ε Ε = 0 και ( ΜΕ ) > (ΜΕ). Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο δεξιός κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε ( 5, 0) και Ε(5, 0 ), άρα γ = 5 με α = 8 α = 4, οπότε β = γ α β = 5 6 β = 9 β = 3, η οποία έχει εξίσωση x α y β x y = 6 9 = Παράδειγμα 0 ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση + 0i 0i =. Λύση Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο Το σημείο M ( x, y). Είναι: + 0i 0i = ( 0 0i) ( 0 + 0i) = (ΜΕ ) (ΜΕ) =, όπου Μ= Μ() η εικόνα του, Ε ( 0, 0) και Ε( 0, 0). Παρατηρούμε ότι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε, Ε είναι α = σταθερή και μικρότερη του Ε Ε = 0. 35

36 Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η υπερβολή εστίες τα σημεία Ε ( 0, 0 ) και Ε( 0, 0), άρα γ = 0, με α = α = 6, οπότε β = γ α β = β = 64 β = 8, η οποία έχει εξίσωση y α x β y x = = Παράδειγμα ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση + 0i 0i =. Έστω = x + yi, x, y R με εικόνα στο επίπεδο Το σημείο M ( x, y). Είναι τότε: + 0i 0i = ( 0 0i) ( 0 + 0i) = (ΜΕ ) (ΜΕ) =, όπου Μ= Μ() η εικόνα του, Ε ( 0, 0) και Ε( 0, 0). Λύση Παρατηρούμε ότι η διαφορά των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε, Ε είναι α = σταθερή, μικρότερη του Ε Ε = 0 και ( ΜΕ ) > (ΜΕ). Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο άνω κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε ( 0, 0) και Ε(0, 0 ), άρα γ = 0 με α = α = 6, οπότε β = γ α β = β = 64 β = 8, η οποία έχει y x y x εξίσωση = = α β

37 Λυμένα Θέματα Θέμα ο 3 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς = + i και = + α. Αποδείξτε ότι: i. + + =0 ii. = 3 iii. ν+ = ν+, ν = ν ( ν N * ) β. Να γράψετε στη μορφή α + βi τους α. Είναι: 36 και Λύση = + i = i = i. 4 4 Άρα: i = + i i = 0 ii. ( )( ) + + = = 0 = 0 =. iii. Είναι = δηλαδή =. Επομένως : = ( ) ν+ ( ) ν = = = = ν+ 4ν+ ν+ 3ν = = = = =. ν 4ν ν 3ν ν ν β. Λόγω της (iii) έχουμε: ( ) 6 6 = = = = + 0i 3 = = = = = = + i 37

38 Θέμα ο Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = x + yi, x,y α. Αποδείξτε ότι f-i=3+3i ( ). R. Αν είναι f() = -i -,. β. Αποδείξτε ότι ο αριθμός ( f i ( )) 004 είναι πραγματικός αριθμός. γ. Έστω Α, Β οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών f-i ( ) και f+i ( ) στο μιγαδικό επίπεδο. Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο στο Ο. (Ο η αρχή των αξόνων) α. ( ) ( ) ( ) Λύση : i i+i 3 3i f i = = = 3 + 3i i i β. ( ( )) ( ) ( ( )) f i = 3 + 3i = 3 + i = 00 ( ) ( ) i = 3 i = 3 R γ. ( ) ( ) ( ) + i i i + i i + i +i άρα Α ( 3, 3 ), Β (,- ) είναι ( )( ) f + i = = = = i + i i i OA OB = 3, 3, = 3 3 = 0 άρα το τρίγωνο ΟΑΒ έχει O = 90. Θέμα 3 ο Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός και έστω η συνάρτηση f () ν =i α. Αποδείξτε ότι: f () +f ( 6 ) +f ( 7 ) +f ( 6 ) =0 β. Αποδείξτε ότι: f(ν) + f(ν + ) + f ( ν + 4 ) +f ( ν + 6 ) = 0 γ. Αν = αποδείξτε ότι f ( 00 ) + f ( 004 ) =. Λύση: f + f 6 + f 7 + f 6 = i + i + i + i α. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 i + i + i + = i i + = 0 β. f ( ν ) +f ( ν+ ) +f ( ν+4 ) +f ( ν+6 ) = ν ν ν ν i i + i i = 0 = ν, ν є Ν *. ν ν+ ν+4 ν+6 i + i + i + i = γ. f ( 00 ) +f ( 004 ) = i +i = i+ = ( +i ) = = 38

39 Θέμα 4 ο Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = x + yi, x,y R α. Αποδείξτε ότι αν -( Im( ) + ) += 0, τότε οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην παραβολή y= x. β. Από τους μιγαδικούς αριθμούς του (α) ερωτήματος να βρεθούν αυτοί που έ- χουν μέτρο 8. γ. Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό ρ υπάρχουν πάντα δυο μιγαδικοί αριθμοί, που ικανοποιούν το (α) ερώτημα τέτοιοι ώστε να ισχύει = ρ. Λύση ( ) ( ) ( ) α. Im() + + =0 x +y y + + = 0 x + y y y + = 0 x y = 0 y = x (I) β. Η δοθείσα σχέση γράφεται: ( 8) ( y+ ) + = 0 8 ( y + ) + = 0 ( y + ) = 9 y + = ±3 y = ή y = 4(απορρίπτεται) βρίσκουμε = + i, = + i γ. ( ) ρ y + += 0 ρ y y += 0 y +y ρ = 0 Δ = 4 + 4ρ > 0 και y y = ρ < 0 άρα το τριώνυμο έχει δυο ρίζες ετερόσημες από τις οποίες δεχόμαστε λόγω της (Ι) μόνο τη θετική, η οποία μας δίνει δυο τιμές για το χ. Θέμα 5 ο α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις: = και Re( ) 0. β. Αν οι εικόνες του ανήκουν στο σύνολο (Σ) να βρεθεί ο γεωμετρικό τόπος των εικόνων του μιγαδικού w = 4 + 3i. γ. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός w με το ελάχιστο μέτρο. Λύση α. Οι σχέσεις = και Re() 0 ορίζουν το ημικύκλιο με διάμετρο το τμήμα του 39

40 άξονα y y με άκρα τα σημεία Β(0, ) και Β (0, ) που διέρχεται από το σημείο Α (, 0) του άξονα x x. β. Έστω w = α + βi και = x + yi τότε: w = 4 + 3i = w + 4 3i x + yi = ( α + 4 ) + ( β 3i ) ισχύει όμως: 0 x και y άρα : 0 α α και β 3 β 5 (I) Η σχέση = w + 4 3i γίνεται =w + 4 3i w + 4 3i=. Δηλαδή οι εικόνες του w κινούνται σε κύκλο με κέντρο Κ ( 4, 3) και ακτίνα ρ =. Επειδή όμως 4 α και β 5 ο γεωμ. τόπος των εικόνων του w είναι το δεξί ημικύκλιο του παραπάνω κύκλου με διάμετρο στην ευθεία χ = 4. γ. Η ΚΟ έχει εξίσωση y = λx και επειδή διέρχεται από το Κ ( 4, 3 ) επαληθεύεται από αυτό, δηλαδή ( ) 3 3 = λ 4 λ =. 4 3 y= x Λύνοντας το σύστημα 4 ( x+ 4) + ( y 3) = 4, 4 x προκύπτει το ζητούμενο. Θέμα 6 ο Δίδονται οι μιγαδικοί αριθμοί και w με εικόνες τα σημεία Α και Β αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο. Re w = OA OB. ( Ο η αρχή των αξόνων). α. Αποδείξτε ότι ( ) β. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x η ευθεία που ορίζεται από τις εικόνες των μιγαδικών αριθμών, i. γ. Αποδείξτε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών,, i στο μιγαδικό επίπεδο, σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο.. Λύση: α. Έστω = x + yi και w = α + βi τότε A( x,y ) και ( ) ( ) ( ) ( ) OA OB = x, y α, β = αx + βy I B α, β οπότε: w = ( x + yi)( α βi ) = αx βxi + αyi + βy = ( αx + βy ) + ( αy βx) i ( II) 40

41 Από (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει Re( w) = OA OB. β. = ( x ) + yi άρα η εικόνα του είναι το σημείο Γ( x,y) i = x+ ( y ) i άρα η εικόνα του είναι το σημείο Δ( x, y- ).. y y λ = ΓΔ = επομένως η ΓΔ σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 35. x x+ γ. A( x, y ), Γ( x,y), Δ( x, y ) παρατηρούμε ότι ΑΓ // x x και ΑΔ // y y άρα ΑΓ ΑΔ επομένως το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ορθογώνιο στο Α. Θέμα 7 ο = + =. 6 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει ( ) 6 α. Αποδείξτε ότι: i) = και ii) + += 0. (I) β. Ένα τρίγωνο έχει κορυφές τις εικόνες των ριζών της εξίσωσης (Ι) και την εικόνα α. i. του μιγαδικού αριθμού 3 =. Να βρεθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις πλευρές του. Λύση 6 6 = = = = =. 6 6 ii. ( + ) = + = + = ( + )( + ) = = + + = = = + + = β. Οι ρίζες της εξίσωσης = 0 είναι: 3 3 = + i, = i, οπότε οι κορυφές του τριγώνου θα είναι τα σημεία 3 3 A(, 0 ), B,, Γ,, βρίσκουμε ότι: (ΑΒ) = (ΑΓ) = (ΒΓ) = 3 άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο. 4

42 Θέμα 8 ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει: = και =. α. Aποδείξτε ότι Re( ) = β. Να προσδιοριστεί ο θετικός πραγματικός αριθμός λ, για τον οποίο ισχύει: = ( λi). γ. Για λ = αποδείξτε ότι =. δ. Αν Α η εικόνα του και Β η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο, αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο στο Α και ισοσκελές. (Ο η αρχή των αξόνων). Λύση α. ( )( ) = = = + = + = Re( ) = Re( ) = = λi = λi = λi β. ( ) άρα = λi = λi λ = άρα λ, ( λ 0) γ. = ( λi) για λ= έχουμε = ( i) άρα = >. = i =. = = και επειδή το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών δ. είναι η απόσταση των εικόνων τους θα είναι ( AB ) =. Είναι ( ) OA = και ( OB ) =. Με το Πυθαγόρειο Θεώρημα αποδεικνύουμε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α και επειδή ( OA ) = ( AB ) είναι και ισοσκελές. 4

43 Θέματα για λύση Θέμα ο α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις: = 3 και Im( ) 0. β. Να αποδείξτε ότι αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού ανήκει στο σύνολο (Σ) τότε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού ω = f ( ν ) = i κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα το οποίο βρίσκεται στον άξονα χχ. Θέμα ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί f () + f ( 6 ) + f ( 7 ) + f ( 6 ) = 0 όπου α, β R και ω = + i 3 όπου ο συζυγής του. α. Αποδείξτε ότι Re(ω) = α + β 3 και Im(ω) = α + β. β. Να αποδείξετε ότι αν οι εικόνες του ω στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y = 3x +, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y = 5x + 7. γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία y = 5x + 7 έχει ελάχιστο μέτρο. Θέμα 3 ο α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τη σχέση 3 i. β. Αποδείξτε ότι : ( 3 + i ) ( 3 i ) = 6. γ. Αποδείξτε ότι : δ. Αν, είναι δυο μιγαδικοί που ικανοποιούν τη συνθήκη του ερωτήματος (α) να αποδείξετε ότι 4. Θέμα 4 ο Για τους μιγαδικούς αριθμούς και w ισχύουν: + + = 3, w = λ ( λ+) i, λ R. α. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται σε κύκλο (C) με κέντρο Κ(-, 0) και ακτίνα ρ =. β. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία (ε) ν 43

44 με εξίσωση : χ + y + = 0. γ. Αποδείξτε ότι η ευθεία (ε) τέμνει τον κύκλο (C) σε δυο αντιδιαμετρικά σημεία. δ. Να βρεθεί ο μιγαδικός που έχει το μέγιστο μέτρο. ε. Να βρεθεί η εικόνα Μ του μιγαδικού w που έχει το ελάχιστο μέτρο. Θέμα 5 ο ν Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός 0 και η συνάρτηση f()( v = i ), ν Ν *. α. Να δείξετε ότι για κάθε ν Ν * ισχύει: f ( ν) f ( ν + ) f ( ν + ) f ( ν + 3 ) = 0. β. Αν ισχύει f () 5 = 3 + i, δείξτε ότι = + i. γ. Αν = + i. Αποδείξτε ότι f ( ν + 3) f ( ν + ) = 5, για κάθε ν Ν *. Θέμα 6 ο Έστω ο μιγαδικός αριθμός και w =. + α. Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγματικός αριθμός, τότε ο είναι πραγματικός αριθμός ή =. 3 β. Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών, την εξίσωση : = + 3. γ. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (β) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : K = ( )005 i Θέμα 7 ο. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, 3 με = = 3 = 3. 9 α. Αποδείξτε ότι =. β. Αποδείξτε ότι ο αριθμός + είναι πραγματικός. γ. Αποδείξτε ότι + + = δ. Αν 9 Re =. = = αποδείξτε ότι ( ) 44

45 Θέμα 8 ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς 0, για τους οποίους ισχύει: = = (Ι) α. Αποδείξτε ότι + =. β. Αποδείξτε ότι οι μιγαδικοί αριθμοί που ικανοποιούν τις ισότητες (Ι) είναι οι 3 3 = + i, = i. γ. Αν Α, Β οι εικόνες των, αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, να υπολογίσετε τη κυρτή γωνία AOB, ( Ο η αρχή των αξόνων). δ. Αποδείξτε ότι ο αριθμός ω = ( + ) ν ν ν + είναι πραγματικός αριθμός. Θέμα 9 ο Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός και έστω + i w = + α. Αποδείξτε ότι αν ο είναι φανταστικός αριθμός τότε = και αντιστρόφως. β. Αποδείξτε ότι αν w = τότε ισχύει: Re( ) = Im( ). γ. Αποδείξτε ότι αν ο w είναι φανταστικός αριθμός, οι εικόνες του βρίσκονται στην ευθεία y = x ή στην y = x. δ. Αποδείξτε ότι αν w = οι εικόνες του βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Θέμα 0 ο Έστω = x + yi και w =, 0 δυο μιγαδικοί αριθμοί. Θεωρούμε ότι ισχύει: w w=. α. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν στο κύκλο ( ) x + + y =. β. Να βρείτε τους μιγαδικούς με το ελάχιστο και το μέγιστο μέτρο. γ. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου του μιγαδικού αριθμού u = w +. 45

46 Θέμα ο i + i Θεωρούμε τη συνάρτηση f () =, i. και τους μιγαδικούς αριθμούς i ω = i και ω = f( ) i. α. Αποδείξτε ότι ω ω = i. β. Αν οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν στο κύκλο x + y = 4 i. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του ω κινούνται σε κύκλο με κέντρο Κ (0, ) και ακτίνα ρ =. ii. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του ω. Θέμα ο Έστω 3 5 w = + i i, όπου = x + yi, x, y R. α. Αποδείξτε ότι Re( w ) = ( x y ) και Im( w ) = ( x y ). β. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία y = x. γ. Να βρεθεί ο μιγαδικός w που η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο απέχει την ελάχιστη απόσταση από την εικόνα του μιγαδικού u = 5 i. δ. Αποδείξτε ότι w = x y 5. ε. Να βρεθεί ο γ. τ. των εικόνων των μιγαδικών αριθμών = x + yi για τους οποίους ισχύει Θέμα 3 ο w = 5. Δίδονται οι μιγαδικοί, w και u= w και έστω ότι ισχύει: w = + w. α. Αποδείξτε ότι ο μιγαδικός είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει =. β. Αποδείξτε ότι αν ο u είναι φανταστικός αριθμός, ο ω = w είναι φανταστικός. γ. Αν w = i, αποδείξτε ότι οι εικόνες του στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στον άξονα y y. δ. Ισχύει το συμπέρασμα του (γ) ερωτήματος για οποιαδήποτε τιμή του w; (Δικαιολογήστε την απάντησή σας). 46

47 Θέμα 4 ο Δίδονται οι μιγαδικοί αριθμοί = i και = 3 +4i. α. Αν = x + yi, x, y R να αποδείξετε ότι x = και y =. β. Αν μια ρίζα της εξίσωσης x + βx+γ = 0, όπου β, γ R είναι η τις τιμές των β και γ., να βρείτε γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει =. Θέμα 5 ο Δίνεται η συνάρτηση f με () f = + i, όπου μιγαδικός αριθμός με 0. α. Αν f( ) = f(), να αποδείξετε ότι ο είναι πραγματικός αριθμός. β. Αν f( ) =, να βρεθεί ο γ. τ. των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο. γ. Αν Re( f ( )) =, να αποδείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού, βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του. Θέμα 6 ο 4 Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό για τον οποίο ισχύει: + = i + i +. α. Να βρεθεί ο γ.τ. των εικόνων του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο. β. Αν Μ, Μ οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, του παραπάνω γ. τ. οι οποίες είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων, να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του. Θέμα 7 ο Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό για τον οποίο ισχύει: i + 3 = 5. α. Να βρεθεί ο γ. τ. των εικόνων του μιγαδικού αριθμού ω = -+i. β. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του ω. γ. Να προσδιοριστεί ο μιγαδικός αριθμός ω με το ελάχιστο μέτρο. Θέμα 8 ο Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = x + yi, x, y R για τον οποίο ισχύει: 4 4 Im() = 0. α. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στη 47

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ 4 α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Οι µιγαδικοί αριθµοί και w συνδέονται µε την σέση a β w =, όπου γ α,β,γ R Όταν =0 τότε w= και όταν =-i τότε w=- i Να βρείτε τις σταθερές α,β,γ α Αν το άθροισµα και το γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1. .. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. Ε ι σ α γ ω γ ή Στο 3 ο θέμα των μαθηματικών θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης του 006, δίνονταν τρεις μιγαδικοί,, 3 με = = 3 = και + + 3 = 0 και, μεταξύ άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο

Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο Συνδυαστικά θέματα στον κύκλο 1. Δίνεται ο κύκλος C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο Α(-3,4).Να βρείτε : i) εξίσωση του κύκλου ii) την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

φέρουμε μια οποιαδήποτε χορδή ΑΒ του κύκλου και την προεκτείνουμε κατά τμήμα

φέρουμε μια οποιαδήποτε χορδή ΑΒ του κύκλου και την προεκτείνουμε κατά τμήμα 1. Δίνεται ο κύκλος + y ρ, όπου ρ>0. Από το σημείο A( - ρ,0) του C C :x = φέρουμε μια οποιαδήποτε χορδή ΑΒ του κύκλου και την προεκτείνουμε κατά τμήμα BM = AB. Να αποδείξετε ότι το Μ κινείται πάνω σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς Σελίδα από 8 Θέματα από τους μιγαδικούς Θέμα ο Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης K, με, A γ) Αν, Aμε,να βρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

2(z 2) οι εικόνες των z 1

2(z 2) οι εικόνες των z 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ 3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου Θεωρούμε το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα