Θέματα από τους μιγαδικούς

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θέματα από τους μιγαδικούς"

Transcript

1 6/0/0 Θέματα από τους μιγαδικούς Μπάμπης Στεργίου Σεπτέμβριος 0 Θέμα ο ***Οι λύσεις έγιναν από τον Αλέξη Μιχαλακίδη Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης K, με, A γ) Αν, Aμε,να βρείτε την τιμή της παράστασης N 0i δ) Να αποδείξετε ότι το σύνολο Β αποτελείται από σημεία του μιγαδικού επιπέδου που βρίσκονται σε μια έλλειψη και να βρείτε τη μέγιστη τιμή του w, όπου A. Θέμα ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί a,b,c με a b c 0 και abc.να αποδείξετε ότι : α) a b και a c β) a abb 0 και a b. γ) Ο αριθμός a b είναι ρίζα της εξίσωσης 0, την οποία και να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. δ) a 0 b 0 c 0 0. ε) Αν A,C,B,O είναι αντίστοιχα οι εικόνες των μιγαδικών a,c,b,0 να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ACBO είναι ρόμβος, του οποίου να υπολογιστούν οι γωνίες. Θέμα ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, με = = =. α). Να αποδείξετε ότι: = 9 Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

2 6/0/0 β). Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός. γ). Να αποδείξετε + + = + + Θέμα 4 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = α + βi, όπου α,βir και w= i +4, όπου είναι ο συζυγής του. α). Να αποδείξετε ότι Re(w)=α β+4 και Ιm(w)=β α. β). Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y = x, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x. γ). Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x, έχει το ελάχιστο μέτρο. Θέμα 5 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί = α+βi και w = με β 0. Δίνεται επίσης ότι w IR. α). Να αποδειχθεί ότι w =., όπου α, β IR β). Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο. γ). Αν ο αριθμός είναι φανταστικός και αβ>0, να υπολογισθεί ο και να Θέμα 6 ο αποδειχθεί ότι ( + + i) 0 ( + i) 0 = 0. Δίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί αριθμοί α,β, γ που έχουν ίσα μέτρα και Να αποδείξετε ότι α + β + γ = 0 α) αβ + βγ + γα = 0 β) α = β = γ γ) Οι εικόνες των αριθμών α, β, γ είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου δ) Οι εικόνες των αριθμών αβ, βγ, γα είναι επίσης κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

3 6/0/0 Θέμα 7 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ οι οποίοι έχουν εικόνες τα διαφορετικά σημεία αντίστοιχα. β α Αν α β +β γ +γ α = και w =, να αποδείξετε ότι: γ α Α, Β, Γ α) w w. β) Ο w είναι πραγματικός αριθμός. γ) Τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Θέμα 8 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, w με,w 0, w = και = w. A. Να αποδείξετε ότι: α) = w =. β) και w. w γ) = w. δ) w = και =. Β. α) Να βρείτε τους μιγαδικούς, w β) Να βρείτε τον 004. Θέμα 9 ο I. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ με α = β = γ = Να αποδείξετε ότι: α β β γ γ α α) Ο αριθμός V = γ α β είναι πραγματικός και ο αριθμός U = α β β γ γ α γ α β είναι φανταστικός. αβ βγ γα β) Ο αριθμός w έχει μέτρο και οι εικόνες των α, β, γ, w είναι α β γ ομοκυκλικά σημεία. γ) α + + β + + αβ +, α β και Re( α β ) δ) α + + α + + α + ε) α + β - γ + β + γ - α + γ + α β II. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς α, β, γ δίνεται επιπλέον ότι α + β + γ = 0. Α. Να αποδείξετε ότι: α) αβ + βγ + γα = 0, α + β + γ = 0 και α + β + γ = α β + β γ + γ α β) α = βγ, β = γα, γ = αβ και α = β = γ Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

4 6/0/0 γ) Re( α β ) = Re( β γ ) = Re( γ α ) = B. Να αποδείξετε ότι : α) οι αριθμοί α, β, γ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. β) α β = β γ = γ α = Γ. Να αποδείξετε ότι : i) Οι εικόνες Α, Β, Γ των μιγαδικών α, β, γ είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. ii) Οι εικόνες Κ, Λ, Μ των μιγαδικών αριθμών κ = α, λ = β, μ = γ αντίστοιχα, Θέμα 0 ο είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμού α, β, γ διαφορετικοί ανά δύο με α = β = γ. Να αποδείξετε ότι : α) Οι αριθμοί είναι μη μηδενικοί και έχουν ίσα μέτρα. β) α + αβ + β = 0 και α + β + γ = 0 γ) Οι εικόνες των α, β, γ σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. δ) Οι εικόνες των α, β, γ σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. Θέμα ο Δίνονται οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ με α = β = γ και Να αποδείξετε ότι Re( ) Re( ) Re( ) α), α + β + γ = 0 και α + β + γ = αβ + βγ + γα = 0 β) α = β = γ γ) το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των αριθμών α, β, γ είναι ισόπλευρο. Θέμα ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί xyi, i και w i Α. Να αποδείξετε ότι το πραγματικό και το φανταστικό μέρος του w είναι αντίστοιχα : Re(w) x y x y x y 4, Im(w) x (y) x (y) Β. Έστω ότι ο w είναι πραγματικός.να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας M του και στη συνέχεια να βρεθεί : α) Η ελάχιστη τιμή του, Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 4 από 44

5 6/0/0 β) Ο αριθμός 0 με το ελάχιστο μέτρο. Γ. Έστω ότι ο w είναι φανταστικός.να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας M του και στη συνέχεια να βρεθεί : α) Η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του. β) Οι αριθμοί, με το ελάχιστο και μέγιστο μέτρο αντίστοιχα. Θέμα ο Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί και w με i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: i i και w=i i.. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. Να αποδείξετε ότι i= i. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι - w 4. Να αποδείξετε ότι: w Θέμα 4 ο Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει = i Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία με εξίσωση ψ = Β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς, να βρείτε εκείνους που έχουν μέτρο ίσο με Β. Έστω = + i και = + i οι μιγαδικοί αριθμοί που βρήκατε στο ερώτημα Β. Θέμα 5 ο Να αποδείξετε ότι =-8 Οι μιγαδικοί αριθμοί, w συνδέονται με τη σχέση κύκλο με κέντρο Κ(-,0) και ακτίνα ρ=. w w και η εικόνα του w ανήκει στον α) Να δείξετε ότι η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ=. β) Αν () και,, είναι οι εικόνες τριών μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει η σχέση (), να αποδείξετε ότι: i) Ο αριθμός είναι πραγματικός. ii) Αν επιπλέον 0, τότε Re. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 5 από 44

6 6/0/0 Θέμα 6 ο Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί, είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές, για τις οποίες ισχύουν B. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς, + = και = 5 B. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση w + w =, να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με εξίσωση (x+) + y = 4 B. Από τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β να βρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει : Θέμα 7 ο Δίνεται η εξίσωση + =, όπου C με 0 B. Να βρείτε τις ρίζες και της εξίσωσης. B. Να αποδείξετε ότι =0 Re(w) + Im(w) = 0 B. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει w -4+i = -, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο. B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β, να αποδείξετε ότι w 7 Θέμα 8 ο Δίνεται η εξίσωση + λ + μ = 0, όπου λ, μ είναι πραγματικοί αριθμοί. Α. Αν ο αριθμός = + i είναι ρίζα της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι λ = 6, μ = 6 και να βρείτε τη δεύτερη ρίζα της εξίσωσης. Β. Να αποδείξετε ότι: β. Θέμα 9 ο α Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς και w ισχύουν Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 6 από 44

7 6/0/0 ( i ) 6 και w ( i) w ( i) τότε να βρείτε: α). το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. β). το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w. γ). την ελάχιστη τιμή του w δ). την ελάχιστη τιμή του w. Θέμα 0 ο Δίνονται οι μιγαδικοί,w για τους οποίους ισχύουν ότι, για τους οποίους ισχύουν ότι και w Α) Να βρείτε τη γραμμή C που ανήκουν οι εικόνες του w. Β) Να βρείτε το ελάχιστο w. Γ) Να αποδείξετε ότι το σημείο N(,0) και οι εικόνες των,w είναι σημεία συνευθειακά. Δ) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w. Ε) Αν οι μιγαδικοί w, wέχουν εικόνες στη γραμμή C και w w 4, να βρεθεί o αριθμός Θέμα ο w w Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι : 4i α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας Mτου β) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του γ) Έστω, δύο από τους μιγαδικούς που επαληθεύουν τη δοσμένη σχέση με 4. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων : i) ii) A B Θέμα ο Α. Να λυθεί η εξίσωση 0 και να αποδειχθεί ότι οι ρίζες της έχουν μέτρο. B. Αν είναι ρίζα της παραπάνω εξίσωσης, να αποδειχθεί ότι 00. Γ. Να βρεθούν οι μιγαδικοί, για τους οποίους ισχύει ότι : 0 0 και Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 7 από 44

8 6/0/0 Θέμα ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α,β,γ με = = = και + + = α) Να αποδειχθεί ότι : ( + )( + )( + ) β) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης : K γ) Να αποδειχθεί ότι Θέμα 4 ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ που έχουν μέτρο και άθροισμα διάφορο του μηδενός. Αν ισχύει ότι 0, να αποδειχθεί ότι : α) β) 0 γ) Οι εικόνες των αριθμών,,,, είναι ομοκυκλικά σημεία. δ) Θέμα 5 ο Τρεις μιγαδικοί αριθμοί a,b,c έχουν μέτρο και ικανοποιούν τη σχέση : Να αποδειχθεί ότι : α) ab bc ca abc abc β) Ένας τουλάχιστον από τους μιγαδικούς a,b,c είναι ίσος με a b c γ) δ) Αν οι αριθμοί a,b,c είναι διαφορετικοί ανά δύο, τότε οι εικόνες τους σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 8 από 44

9 6/0/0 ************************************************* ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ Επιμέλεια λύσεων : Αλέξης Μιχαλακίδης Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Υ/Η ΘΕΜΑ ο : Α) Είναι 00i, οπότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο μοναδιαίος κύκλος με κέντρο Κ(0, 0), ακτίνα ρ = και καρτεσιανή εξίσωση : C:x y. Β) Αφού οι δύο μιγαδικοί, ανήκουν στο σύνολο Α, τότε η μέγιστη τιμή του μέτρου θα είναι όσο και η διάμετρος του μοναδιαίου κύκλου, δηλαδή ίση με Γ) Αφού έχουμε:. max, A, ί (), ( ), (),() () Άρα η ζητούμενη τιμή της παράστασης βρίσκεται ως εξής: () 0i 0i 0i 0 Δ) Από το Α. ερώτημα ισχύει ότι x y (4), όπου x yi.επομένως : (4) x yi x yi x yi w xyi xyi xyi xyi x yi x yi x yi x y xyixyixyi Έστω w = α + βi.η εικόνα του w θα είναι τότε Μ(w) = (α, β), οπότε: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 9 από 44

10 6/0/0 x x y y Αλλά τα x, y επαληθεύουν την σχέση (4),οπότε : x y. 9 x Άρα η εικόνα του w κινείται στην έλλειψη y, η οποία έχει τις εστίες της στον άξονα 9 x x, μεγάλο άξονα 6 και μικρό άξονα. Για να βρούμε τη μέγιστη τιμή του μέτρου w θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση που συνδέει τις εικόνες των δύο μιγαδικών, w και στην ουσία δίνει την αλληλεξάρτηση των μιγαδικών στο επίπεδο. Είναι επομένως : w max Η τιμή λοιπόν της παράστασης w είναι σταθερή και ίση με. ΘΕΜΑ ο : Α) Έστω ότι a = b.τότε: ab abc aa c a c a c c a που είναι άτοπο. Άρα a b. Ομοίως, έστω ότι a = c.τότε : ac που είναι άτοπο, αφού b 0.Άρα a c. abcaba b0 b 0, Β) Ισχύει ότι: a b c a b c, ό a (), b (), c () a b c x(ab) a b ab0 (4) a c a a b a a b aa a b a b aa aa ab ab bb (),(),() a b a b ab ab bb 0 a b b b a b b a b a Ισχύει πλέον ότι: ab a b ab0 ab a b ab 0a b 0a b Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 0 από 44

11 6/0/0 Γ) Ο αριθμός a b είναι ρίζα της εξίσωσης αφού την επαληθεύει: a b a a a a 0 0 0a abb 0, b b b b που ισχύει. Είναι : 4 0, οπότε η εξίσωση έχει μιγαδικές και συζυγείς λύσεις: Δ) Είναι Άλλος τρόπος :, i i i i,, b c 0 b a b a b c a [ ] a [ ] a a a a b b 0 0 a [ ] a [ ] a a a [ ] a [ ] a 00 Παρατηρούμε από την αρχική σχέση του θέματος ότι: ( ) a b c a b ab c a b c ab a b c a b Έτσι είναι : a b c () ab c ab c () abcabc0ab ( c) 0, οπότε από ταυτότητα Euler παίρνουμε : () a b a b c ab c a b c c c a b c a c a c Άρα στην ουσία έχουμε εξάγει το αποτέλεσμα a b c (). Άρα η ζητούμενη παράσταση γράφεται: () () a a b c a a b c a b c a a a b a c a b c 0 E) Από τη δοσμένη σχέση a b c εξάγεται το συμπέρασμα ότι η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού c είναι η συνισταμένη των αντίστοιχων διανυσματικών ακτίνων a, b. Άρα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα οι διανυσματικές ακτίνες OA,OB των a, b σχηματίζουν παραλληλόγραμμο: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

12 6/0/0 Αφού όμως το παραλληλόγραμμο αυτό έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες ( a b OA OB ), τότε το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος. Ισχύει, όμως, ότι: OA OB AC OC BC οπότε τα τρίγωνα OAC, OBC είναι ισόπλευρα. Επομένως : CB 0 OAC OBC 60. ΘΕΜΑ ο : Α) Είναι οπότε ισχύουν οι σχέσεις : 9 9, (), (), ( ), Β) Αρκεί να αποδείξουμε ότι: w w, όπου w. Είναι όμως : 9 9 (),(),() w w w 9 9 Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

13 6/0/0 Γ) Ισχύει ότι, άρα: ΘΕΜΑ 4 ο : Α) Αφού i, με αντικατάσταση έχουμε: Ά Rew4, Im w w i i i 4 i i i 4 i i 4 4 i Β) Αφού οι εικόνες του w κινούνται στο μιγαδικό επίπεδο στην ευθεία y x τότε επαληθεύουν την ευθεία αυτή, άρα: Im(w) Re(w) Άρα οι εικόνες των μιγαδικών θα κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y x. Γ) Όπως φαίνεται και στο Σχήμα, φέρουμε την κάθετη ευθεία από την αρχή των αξόνων στην ευθεία y =x. H κάθετη έχει συντελεστή λ = - και εξίσωση y = -x (διχοτόμος ου 4 ου τεταρτημορίου). Το σημείο τομής Β των δύο ευθειών, είναι η εικόνα του μιγαδικού με το ελάχιστο μέτρο (με την ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων). Για να βρούμε τις συντεταγμένες της εικόνας του ζητούμενου μιγαδικού λύνουμε το παρακάτω σύστημα: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

14 6/0/0 Σχήμα yx x x x x B,. yx yx yx y Άρα ο ζητούμενος μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι ο w = i. ΘΕΜΑ 5 ο : Α) Αφού = α + βi, είναι : i i i i w i i i i 4 i i i i 4 4 i Άρα ο w θα είναι: 4 4i 4 4 w i i Ισχύει όμως από την υπόθεση της άσκησης ότι: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 4 από 44

15 6/0/ w Imw () () Άρα ο w τελικά θα είναι: () () w Β) Αφού οι συντεταγμένες της εικόνας του = α + βi επαληθεύουν την σχέση () ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι ο κύκλος με κέντρο Κ(-, 0) και ακτίνα ρ =. Είναι όμως 0, οπότε πρέπει να εξαιρέσουμε τα σημεία Ο (0,0), Ν( 4,0) I Re 0 Γ) Ο ισούται με i i.άρα: 0 () οπότε οι, γράφονται: ii, ii Αντικαθιστούμε τώρα στη ζητούμενη παράσταση που θέλουμε να υπολογίσουμε: 0 0 i i i i i i i i i i i i i i 0 0 Σχόλιο! Ας σημειώσουμε ότι αφού ( ) 4, με βρίσκουμε ότι και έτσι i.επομένως η παραπάνω διαδικασία απλουστεύεται αρκετά. ΘΕΜΑ 6 ο : Α) Έστω ότι: (), (), () Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 5 από 44

16 6/0/ (4) Β) Επειδή οι αριθμοί α,β, β γ είναι διάφοροι του μηδενός, ισχύει ότι: Άρα, που είναι η ζητούμενη. Γ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι. Είναι όμως : 0 4 4, ύ. Όμοια είναι : 0 4 4, ύ. Άρα, που σημαίνει ότι οι εικόνες των αριθμών α, β, γ είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. Δ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι.είναι όμως :, ύ, ύ Άρα, οι εικόνες δηλαδή των αριθμών αβ, βγ, γα είναι επίσης κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 6 από 44

17 6/0/0 ΘΕΜΑ 7 ο : Α) Ισχύει η σχέση: () Έστω ότι w w, οπότε έχουμε: w w 0 0 0, ύ. Άρα έχουμε αποδείξει ότι w w. Β) Από το Α) προκύπτει άμεσα ότι w. Γ) Ισχύει ότι w (). Έστω τώρα,, οι διανυσματικές ακτίνες των α, β, γ αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο. Εκφράζοντας τη σχέση () με την βοήθεια των παραπάνω διανυσματικών ακτίνων προκύπτει ότι: απ όπου προκύπτει ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. ΘΕΜΑ 8 ο : Α) α) Ισχύει ότι: w w w () w w w ( ) Η () λόγω της () γίνεται: () w w 0 0 και η () τελικά γίνεται: w w w β) Από τις σχέσεις του προηγούμενου σκέλους προκύπτει ότι: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 7 από 44

18 6/0/0 w w ww w w γ) Από τις αρχικές σχέσεις του θέματος έχουμε: w 0 w 0 () w (4) w 0 0 (5) w (6) w Αφαιρώντας κατά μέλη τις (), (5) προκύπτει: w w 0ww 0ww 0 w w w w w 0 ή 0,ά. (4),(6) w 0 ή w 0 w 0 ή w w 0 w 0ή 0 Άρα τελικά w 0 w(7) δ) Από τις σχέσεις (4), (6) προκύπτει: w w w w w w w w Β) α) Λύνοντας τις εξισώσεις που προέκυψαν στο Α)δ) έχουμε: 0 0, i, i w 0ww w0 w, w i, w i Άρα τα ζεύγη των λύσεων που ικανοποιούν όλες τις συνθήκες του θέματος είναι τα,w,,w,,w. 004 β) Για να βρούμε τον αριθμό χρησιμοποιούμε τη γνωστή δύναμη : Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 8 από 44

19 6/0/0 ΘΕΜΑ 9 ο : Ι.A) Ισχύει ότι:,, Αρκεί να αποδείξουμε ότι V V και U U. Ο αριθμός V γράφεται με κάποιες πράξεις ως εξής: V Υπολογίζουμε τον συζυγή του V: V Παρατηρούμε ότι VV V. Ομοίως, με ύστερα από τις πράξεις, ο U γράφεται: U Υπολογίζουμε τον συζυγή του U.Είναι : U U Άρα U I, όπου με Ι συμβολίζουμε το σύνολο των φανταστικών αριθμών. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 9 από 44

20 6/0/0 Β) Για να απαντήσουμε στο ερώτημα, αρκεί να αποδείξουμε ότι w.είναι όμως : w Άρα οι εικόνες των μιγαδικών α, β, γ, w βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο, οπότε είναι ομοκυκλικά σημεία. Γ) Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: Είναι επίσης : (). Υψώνοντας τη συγκεκριμένη στο τετράγωνο: Re 4 Re Re Δ) Είναι : Ε) Από την ανισότητα w w παίρνουμε : ( ) ( ) () Κυκλικά παίρνουμε τις σχέσεις : και ( ) ( ) () ( ) ( ) () Προσθέτουμε τις τρεις αυτές σχέσεις κατά μέλη, βγάζουμε στο πρώτο μέλος κοινό παράγοντα το, απλοποιούμε και παίρνουμε τη ζητούμενη, ΙΙ. Α) α) Συνολικά ισχύει ότι: 0() () Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 0 από 44

21 6/0/0 Από την () παίρνουμε : () Είναι επίσης : () (4) β)από τη σχέση () που προέκυψε έχουμε: 0() (6) x x x (5) (6) (9), (0), () (7) (8) Από τις σχέσεις (9), (0), () προκύπτει ότι. γ) Παίρνοντας τα μέτρα από τη δοσμένη σχέση () έχουμε: 0 Re Re () 0 ReRe () 0 Β. α) Έστω ότι.τότε : Re Re (4) 0, ά. 0, ά. Άρα. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

22 6/0/0 β) Παίρνοντας τα ζητούμενα μέτρα στο τετράγωνο, υπολογίζουμε ότι: Re (5) Re (6) Re 7 Γ. i) Στο προηγούμενο σκέλος αποδείξαμε ότι κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών α, β, γ είναι ισόπλευρο με πλευρά., οπότε το τρίγωνο με ii) Αρκεί να αποδείξουμε ότι.είναι όμως :, ύ., ύ. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών,, είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. ΘΕΜΑ 0 ο : Α) Αφού οι αριθμοί είναι διαφορετικοί ανά δύο ισχύει ότι:, οπότε δεν μπορεί να είναι μηδενικοί αφού θα ίσχυε 0. Παίρνοντας μέτρα στη δοθείσα σχέση έχουμε: (), (). Από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι. Β) Χρησιμοποιώντας την αρχική σχέση του θέματος έχουμε: 0 () 0 0 Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

23 6/0/0 Ομοίως είναι : 0 0 Αφαιρώντας κατά μέλη τις (), (4) προκύπτει: 0 (4) Γ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι: (5) Είναι όμως :. 4 4, ύ. 4 4, ύ. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών α, β, γ σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. Δ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι. Είναι όμως :, ύ., ύ. ΘΕΜΑ ο : Τα δεδομένα μας είναι ότι:,, () Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

24 6/0/0 Έχουμε επίσης ότι : Re Re Re () Α) Έστω ότι α = β, τότε από την () παίρνουμε : Re Re Re, άτοπο. Άρα. Ομοίως είναι. Έχουμε λοιπόν : 0 0 () 0 0 (4) x( ) Re x( ) Re Αφαιρώντας κατά μέλη τις (), (4) προκύπτει: (5) Από την () έχουμε: Άρα 0 0 (6). Υψώνοντας την (5) στο τετράγωνο προκύπτει: (7) 0 Β) Από την () και την (4) προκύπτει επιπλέον ότι: (8) (9) Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 4 από 44

25 6/0/0 Γ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι.είναι όμως : 4 4 ύ., 4 4, ύ. Άρα οι εικόνες των α, β, γ σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο. ΘΕΜΑ ο : Α) Αφού = x + yi, τότε ο w γράφεται: x yi x yi w i x yi i x x y x y x yi x y i y i x y i x y i x x x y ixyiy y x xxyixiyi4ixyiy y x x y y y x 4 i x y y x y x 4 i x y x y x y Β) Αφού ο w είναι πραγματικός τότε Im(w) = 0, παίρνουμε ότι: yx 4 w Im w 0 0 yx40 yx0 xy0 ( ) x y α) Φέρουμε την κάθετη ευθεία (μ), στην ευθεία (ε) όπως στο παρακάτω σχήμα. Η ελάχιστη τιμή του είναι η απόσταση του σημείου τομής των ευθειών από την αρχή των αξόνων. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 5 από 44

26 6/0/0 Η ευθεία (μ) αφού περνάει από την αρχή των αξόνων έχει μορφή y = λx με λ:, ( ) : y x. Για να βρούμε το σημείο τομής Β λύνουμε το σύστημα των δύο εξισώσεων των ευθειών: Είναι επομένως : yx yx yx yx y xy xx x x x min d O,B 0 0 β) Ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο είναι αυτός του οποίου η εικόνα είναι το σημείο (, -). Άρα ο μιγαδικός i είναι ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο. 0 Γ) Αν ο w είναι φανταστικός τότε: x y yx wi Rew0 0 x y yx 0 x xy y0 x y Ά x x y y 0 x y () ρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας Μ του είναι ο κύκλος με Κ(, -) και ρ = α) Η ελάχιστη τιμή του είναι όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα 0 αφού ο κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Αντίστοιχα η μέγιστη τιμή του είναι η απόσταση ΟΑ = ρ =. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 6 από 44

27 6/0/0 β) Ο μιγαδικός με την ελάχιστη τιμή είναι ο = 0 και ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο είναι αυτός του οποίου η εικόνα είναι το σημείο Α. Βρίσκουμε την ευθεία (ε): 0 Είναι :. 0 Αφού η ευθεία έχει μορφή y = λx, τότε η εξίσωσή της είναι y = -x. Για να βρούμε το σημείο Α λύνουμε σύστημα την εξίσωση του κύκλου με την ευθεία: yx yx yx yx x y x x x x x yx yx y y0 ή A, x x x x 0 Άρα ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο είναι ο i. ΘΕΜΑ ο (Θέμα πανελληνίων 0): Α. Από τη σχέση που δίνεται έχουμε: i i i i i i i i () Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 7 από 44

28 6/0/0 Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο C:x y () K 0, και ακτίνα ρ=: Β. Από τη σχέση () έχουμε: i i i i i () i Γ. Επίσης από τη σχέση που δίνεται έχουμε: i i w i ii Re. i Έτσι έχουμε αποδείξει ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ίσος με Re(). Από τον παραπάνω γεωμετρικό τόπο όμως, γνωρίζουμε ότι το Re() κινείται μεταξύ - και, κάτι το οποίο φαίνεται από το παρακάτω σχήμα: Έτσι έχουμε: Re Re w Δ. Έχουμε αποδείξει παραπάνω ότι: w, οπότε χρησιμοποιώντας τη συγκεκριμένη σχέση εύκολα αποδεικνύουμε ότι: w. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 8 από 44

29 6/0/0 ΘΕΜΑ 4 ο : Β. Στην δοθείσα σχέση αντικαθιστώ όπου = x + yi: i xyi xyii x y x y x y x y x y x y x y x y 4y4 4y4 y Β. Οι παραπάνω μιγαδικοί αφού ανήκουν στην ευθεία y = έχουν μορφή = x + i.είναι : x x 4 x x, οπότε οι μιγαδικοί που έχουν μέτρο είναι οι i, i. Β. Αντικαθιστούμε όπου i, iκαι παίρνουμε : i i i i i i 4i 4i ΘΕΜΑ 5 ο : Α) Αφού η εικόνα του w ανήκει σε κύκλο με κέντρο Κ(-, 0) και ρ = ισχύει: w 0i w w ( ) Τη δοθείσα σχέση τη λύνουμε ως προς w και παίρνουμε : w w (w)w w ww w w w (),, ύ έ ίύ. Στην () αντικαθιστώ την (): () w 4 4 () Εξετάζω αν το σημείο (-, 0) ανήκει στον κύκλο που προέκυψε.είναι : 0 4,οπότε το (-, 0) δεν ανήκει στον κύκλο και δεν έχω κανέναν απολύτως περιορισμό. Άρα η εικόνα του ανήκει σε κύκλο με κέντρο Κ(0, 0) και ακτίνα ρ =. Β) i) Ισχύει: (4), (5), (6) Ο αριθμός α γράφεται: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 9 από 44

30 6/0/0 Αρκεί να αποδείξουμε ότι. Ο γράφεται: (4),(5),(6) ii) Χρησιμοποιώντας τον τύπο Re, το Re γράφεται: Re 0 ΘΕΜΑ 6 ο : Β. Από τις σχέσεις Vieta,αφού γνωρίζουμε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης η δευτεροβάθμια εξίσωση θα είναι η SP 0, όπου S είναι το άθροισμα ριζών και P το γινόμενο των ριζών. Άρα λύνουμε την εξίσωση: , Β. Έστω ότι w = x + yi. 6i 4i, i Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 0 από 44

31 6/0/0 Αντικαθιστούμε στη δοθείσα σχέση όπου i, i: w w w i w i i i w i w i i i w i w i w i w i 6 w w wi w i wi i 4 w w wi w i wi i 4 6 w ww60 w ww0 x y x0 x xy 0 x y 4 Β. Λύνοντας το σύστημα των σχέσεων (), () προκύπτουν οι ζητούμενοι μιγαδικοί: όπου (): x y 4 (): RewImw0 xy0 yx,όw xyi,x,y x y 4 x x 4 x x4x 4 5x x0 x y 0 y x yx yx x x ή x 5 x 5 ή 6 y yx y 5 6 Άρα οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι: i, i 5 5 ΘΕΜΑ 7 ο (Θέμα πανελληνίων 00) Α. Οι ρίζες της εξίσωσης είναι: 4i i i 0, Β. Η ζητούμενη παράσταση γίνεται: i i i i i i i i i i 0 Γ. Αντικαθιστούμε στη σχέση που δίνεται όπου, τις ρίζες της παραπάνω εξίσωσης: w4i ii ii i w4i w4i Ο γεωμετρικός τόπος που προκύπτει είναι κύκλος με K4, και ρ =, με καρτεσιανή μορφή: C: x 4 y 4. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

32 6/0/0 Δ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η ελάχιστη τιμή του w είναι και η μέγιστη είναι 7. Από το σχήμα παρακάτω παρατηρούμε ότι: w OB OK 5 w O 57 min Άρα, όντως, ισχύει ότι: w 7. max ΘΕΜΑ 8 ο : Α) Αφού η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει πραγματικούς συντελεστές τότε η δεύτερη ρίζα θα είναι η συζυγής της. Άρα ii. Από τους τύπους του Vietta βρίσκουμε ότι: S ii P i i i έ : S 6 P 6 Β) α) Είναι : i i i i 0 Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

33 6/0/0 β) Αντικαθιστώντας πάλι όπου i, iπαίρνουμε : i i i i i i i i i i ΘΕΜΑ 9 ο (Θέμα πανελληνίων 008) Α) Από τη δοθείσα σχέση προκύπτει ότι: i 6 i () Άρα ο γεωμετρικός τόπος του είναι το κύκλος με κέντρο Κ(0, 0) και ρ = με καρτεσιανή εξίσωση C:x y 4. Β) Έστω w = α + βi. Αντικαθιστώντας έχουμε: w i w i ii ii () Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία (ε) x y 4 = 0, η οποία είναι η μεσοκάθετος του τμήματος ΑΒ, όπου Α(, -) και Β(, -). Γ) Φέρουμε την κάθετη ευθεία (μ) στην (ε), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η ελάχιστη τιμή του w είναι ίση με την απόσταση (ΑΒ) της ευθείας (ε) από την αρχή των αξόνων: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα από 44

34 6/0/0 Άρα w ABdO, min. Δ) Η εικόνα του κινείται στον κύκλο: x y 4 και η εικόνα του w κινείται στην ευθεία με εξίσωση x y 8 = 0. Σχεδιάζουμε στο ίδιο σύστημα τον κύκλο με την ευθεία. Παρατηρούμε λοιπόν ότι η ελάχιστη τιμή του w είναι ίση με την απόσταση (ΑΒ), οπότε: min w d O, ΘΕΜΑ 0 ο : Α) Λύνουμε τη δοθείσα σχέση ως προς w: w w w (). Παίρνοντας μέτρα στη σχέση () έχουμε: w w w w w0i () Από την () συμπεραίνουμε ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με Κ(, 0) και ρ = με καρτεσιανή μορφή: C: x y 4 () Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 4 από 44

35 6/0/0 Β) Όπως φαίνεται από το παρακάτω σχήμα η ελάχιστη τιμή του w είναι ίση με την απόσταση (ΟΒ). Είναι επομένως : min w Γ) Έστω = x + yi και w = α + βi οι μιγαδικο ί. Ο ι εικόνες τους είναι τότε τα σημεία x,y,,. Σχηματίζουμε τα διανύσματα, : x ( ), y 0x, y, 0, det N, 0. Αρκεί να αποδείξουμε ότι x y det N, x y (4) Από τη δοθείσα σχέση του θέματος έχουμε ότι: w i xyi ixyi x y i0 x (5) y (6) Αντικαθιστώντας στην σχέση (4) προκύπτει: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 5 από 44

36 6/0/0 (5),(6) det N, x y yx y x y x y x xy y xy y 0 N N,M, ά. Σχόλιο! Για τους μιγαδικούς αριθμούς u,,w είναι : w u w u () ( ) wu Επομένως οι εικόνες Γ, Β, Α των u,,w είναι συνευθειακά σημεία. αφού ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ. Δ) Για να βρούμε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή του w χρησιμοποιούμε τη σχέση που μας δίνει την αλληλεξάρτηση των εικόνων των μιγαδικών: min w 0 i Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι η μέγιστη και ελάχιστη τιμή του w βρίσκεται αν υπολογίσουμε την μέγιστη και ελάχιστη τιμή της απόστασης της εικόνας του μιγαδικού από το σημείο Ν(-, 0). Βρίσκουμε λοιπόν ότι : w 0 αφού ο κινείται στο κύκλο C όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: min min Η μέγιστη τιμή του μέτρου όπως φαίνεται και στο σχήμα είναι ίση με την απόσταση (ΚΝ) που είναι η διάμετρος του κύκλου C και έχει μήκος : Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 6 από 44

37 6/0/0 w (KN) d. max ύ Ε) Αφού οι εικόνες των μιγαδικών w,w ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του Α) ερωτήματος δηλαδή στον κύκλο C: x y 4 και απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με 4, τότε υποχρεωτικά οι εικόνες αυτών των μιγαδικών είναι αντιδιαμετρικά σημεία (όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα). Έστω ότι οι εικόνες των w,w είναι τα σημεία Β, Γ και Κ το κέντρο του C, το οποίο είναι και το μέσο του ΒΓ. Αφού το άθροισμα δύο μιγαδικών είναι ίσο με το άθροισμα των διανυσματικών τους ακτίνων, αντικαθιστούμε στο μέτρο τις διανυσματικές τους ακτίνες: OK ά w w OBO ΘΕΜΑ ο : Α) Έστω ο = x + yi και Μ(x, y) η εικόνα του. Από τη δοσμένη σχέση έχουμε: 4i 4i () Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 7 από 44

38 6/0/0 Άρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του είναι ο κύκλος με κέντρο Κ(, 4) και ακτίνα ρ =.Η καρτεσιανή εξίσωση του κύκλου αυτού είναι : C: x y4 4 Β) Όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα, η ελάχιστη τιμή του είναι ίση με την απόσταση (ΟΒ), ενώ η μέγιστη είναι ίση με την απόσταση O. Επομένως είναι min max OB OK Γ) i) Αφού οι εικόνες των, ανήκουν στον κύκλο C και η μεταξύ τους απόσταση είναι 4, υποχρεωτικά οι εικόνες των συγκεκριμένων μιγαδικών είναι αντιδιαμετρικά σημεία. Έστω ότι οι εικόνες των, είναι τα σημεία Β, Γ και Κ το κέντρο του C, το οποίο είναι και το μέσο του ΒΓ. Αφού το άθροισμα δύο μιγαδικών είναι ίσο με το άθροισμα των διανυσματικών τους ακτίνων, αντικαθιστούμε στο μέτρο τις διανυσματικές τους ακτίνες: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 8 από 44

39 6/0/0 Είναι : OK ά OBO 50 ii) Αν θεωρήσουμε την εικόνα Ρ ενός τυχαίου μιγαδικού πάνω στον κύκλο C, τότε η ζητούμενη παράσταση παριστάνει το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων (ΡΑ) και (ΡΒ), όπου Α, Β αντιδιαμετρικά σημεία από πριν. Είναι 90,αφού είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο και βαίνει σε ημικύκλιο. Επομένως παίρνουμε :.. ύ d 4. Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 9 από 44

40 6/0/0 ΘΕΜΑ ο : Α) Η εξίσωση είναι δευτεροβάθμια με πραγματικούς συντελεστές οπότε: i i 4 0,, ( i 4 4 i 4 4 ) Αν Β) Έστω ότι i.είναι τότε : i i 8 i i , ύύ ό : i, τότε: i i i i i 9 i i i 8 i i ύύ ό : i i i i i 9 i 9 8 Γ) Ισχύει ότι: ( ) Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 40 από 44

41 6/0/0 Re0 Re Re Im Im Im 4 Im Ά ίύ άί :, i μια και ικανοποιούν τη δοσμένη εξίσωση. Η επαλήθευση είναι απαραίτητη διότι κατά την πορεία επίλυσης χρησιμοποιήθηκε συνεπαγωγή. Άλλος τρόπος : Παίρνοντας συζυγείς στη δοσμένη εξίσωση και επειδή, παίρνουμε την ισοδύναμη εξίσωση Πρέπει επομένως : Αλλά τότε η δοσμένη εξίσωση τελικά γίνεται ισοδύναμη με την συνήθη τρόπο. ΘΕΜΑ ο : Α) Ισχύει ότι: 0που λύνεται με το (), (), () και έτσι (),(),() w 444 Αρκεί να αποδείξουμε ότι w w. Ο w γράφεται: w w w Β) Ισχύει ότι: Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 4 από 44

42 6/0/0 Επομένως : 4, ό, : Γ) Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε: ΘΕΜΑ 4 ο : Ισχύει ότι: (), (), () Α) Έχουμε : έ ί 0, 0 (4) Ομοίως παίρνουμε: (4), ύ., ύ. Β) Με τη βοήθεια των σχέσεων (), (), (): (),(),() 0 0 Γ) Ισχύει ότι, ό. Άρα οι εικόνες των μιγαδικών α, β, γ, αβγ ανήκουν στον μοναδιαίο κύκλο,αφού το μέτρο τους είναι ίσο με. Αρκεί να αποδείξουμε ακόμα ότι.είναι όμως : Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 4 από 44

43 6/0/0 Δ) Με χρήση της ταυτότητας για την ποσότητα α +β + γ έχουμε: (4) ( ) ΘΕΜΑ 5 ο : Α) Ισχύει ότι a b c a b c a (), b (), c () a b c Χρησιμοποιώντας την σχέση που δίνεται, παίρνουμε : (),(),() abcabc a bc bcacab abc (4) a b c Β) Από την σχέση που προέκυψε στο προηγούμενο ερώτημα έχουμε: a bc cba bc ac ab abc bc ac ab abc 0 bc a a c b 0 bc a a a 0 a bca 0 a bcbc 0 a c b c 0 a c b 0 a b c 0a ή bή c (5) Γ) Αν a =, τότε b c0 bc0 bc 0 b c (6), οπότε: (),(),() (6) b c c c a b c b c c c Μπορούμε βέβαια να συντομέψουμε τη λύση όπως στη συνέχεια : Αν b =, τότε ac0ac0 a c 0 a c (7) και όμοια παίρνουμε : a b c a c c c Τέλος, αν c =,τότε ab0ab0 a b 0 a b (8) και με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι : Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 4 από 44

44 6/0/ (),(),() (8) a b b b a b c a b b b Δ) Έχουμε αποδείξει στο προηγούμενο σκέλος ότι τουλάχιστον ένας από τους μιγαδικούς a, b, c θα είναι πραγματικός και ίσος με, δεδομένων των συνθηκών του θέματος. Έστω ότι a = και έστω,, C οι διανυσματικές ακτίνες αντίστοιχα των μιγαδικών a, b, c. Τότε θα ισχύει ότι: OA x,y,0, OB x,y C x,y. Αν w 0i και OD,0 A A B B C C η διανυσματική του ακτίνα τότε, η δοσμένη σχέση γράφεται: abcabc w και αντικαθιστώντας με τις διανυσματικές ακτίνες παίρνουμε : OA OB OC OD, 0 OB OC, 0 OB OC 0 OB OC x,y x, y x x y y B B C C B C B C Υπολογίζω τα διανύσματα AB, AC : AB OB OA x, y, 0 x, y ACOCOA x,y,0 x, y,0 x, y B B B B C C B B B B Υπολογίζοντας το εσωτερικό τους γινόμενο παίρνουμε : ABAC x,y x, y x x y x y B B B B B B B B B b xbyb xbyb xb yb xb yb 0 Επομένως παίρνουμε AB AC A ˆ 90. Ομοίως, αν b =, τότε ˆB 90 και αν c =, τότε 90. Γεωμετρική λύση : Αν a, τότε η δοσμένη σχέση δίνει b c0 b c, οπότε οι εικόνες Β,Γ των b,cείναι αντιδιαμετρικά σημεία. Έτσι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στην κορυφή Α. Ανάλογα εργαζόμαστε και στις άλλες περιπτώσεις. Ευχαριστίες!!! Ευχαριστώ τον εκλεκτό συνάδελφο Αλέξη Μιχαλακίδη για πρωτοβουλία του να συντάξει τις ωραίες αυτές λύσεις και να τις χαρίσει στον κόσμο του mathematica.gr Μπάμπης Στεργίου & Αλέξης Μιχαλακίδης Σελίδα 44 από 44

Θέματα από τους μιγαδικούς

Θέματα από τους μιγαδικούς Σελίδα από 8 Θέματα από τους μιγαδικούς Θέμα ο Δίνονται τα σύνολα : A C/ και α) Να εκφράσετε γεωμετρικά το σύνολο Α BwC/w,A β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης K, με, A γ) Αν, Aμε,να βρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου

Μιγαδικοί Αριθμοί. Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα. Κωνσταντίνος Παπασταματίου Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μιγαδικοί Αριθμοί Στοιχεία Θεωρίας Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος Τηλ. 40598 Κεφ. ο ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ. Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. α+βi =γ+δi α=γ και β=δ Το σύνολο C των μιγαδικών αριθμών είναι ένα υπερσύνολο του R, του συνόλου των πραγματικών αριθμών, στο οποίο ισχύουν: Επεκτείνονται οι πράξεις της πρόσθεσης του πολλαπλασιασμού έτσι ώστε, να έχουν τις

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1.

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Α ΟΜΑ ΑΣ 1. .. Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 94 97 Α ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τις τιµές του λ R, ώστε ο z (λ )( ) να είναι : πραγµατικός αριθµός φανταστικός αριθµός z λ λ 6 (λ ) (6 λ) z πραγµατικός 6 λ 0 λ 6 z φανταστικός

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Η έννοια του μιγαδικού Το σύνολο των μιγαδικών. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ!

ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! ΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, Η ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΟΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ Η ΣΟΦΙΑ! - Κύριε, πόσο μας χρειάζονται αυτά που μάθαμε πέρσι στα μαθηματικά της κατεύθυνσης; - Σοφία, αν όχι όλα, αρκετά από αυτά. - Για πείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ ο Ερωτήσεις του τύπου σωστό λάθος. Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

2(z 2) οι εικόνες των z 1

2(z 2) οι εικόνες των z 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ 3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Γεωμετρική ερμηνεία του μέτρου Θεωρούμε το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ

5, 5 = 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ 30 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + 10 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ + ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΜΕ ΑΝΑΛΥΣΗ 4 α Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του Έστω οι μιγαδικοί για τους οποίους

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δίνεται η εξίσωση w w + i 0 () και το πολυώνυμο 3 P ( ) + a + β -,, R α) Να λύσετε την εξίσωση () β)αν ο αριθμός w που βρήκατε στο ερώτημα α) είναι ρίζα της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1 Θέµα: Τα διανύσµατα ❶ ❷ ❸ ❹ ❺ Η έννοια του διανύσµατος Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός αριθµού µε διάνυσµα Συντεταγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΕΤΡΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. Ε ι σ α γ ω γ ή Στο 3 ο θέμα των μαθηματικών θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης του 006, δίνονταν τρεις μιγαδικοί,, 3 με = = 3 = και + + 3 = 0 και, μεταξύ άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς

Μεθοδολογία στους Μιγαδικούς ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στους ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ.Περιγράψτε το σύνολο των μιγαδικών αριθμών και δώστε τους ορισμούς της πρόσθεσης, του πολ/σμού και της ισότητας δύο μιγαδικών αριθμών.(σελ. 86-87, τα μπλε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς. χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.

Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς. χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Σελίδα από Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς Η ανισότητα α β α ± β α + β με α, β C χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. και η Μπάμπης Στεργίου Μαθηματικός, Ιούνιος 008 Α. Εισαγωγή Το κείμενο αυτό ξεκίνησε να

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0.

Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997. 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν. για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. Αρχιμήδης Μεγάλοι 1996-1997 1. Έστω μια ακολουθία θετικών αριθμών για την οποία: i) α ν 2 α ν = 1 4 για κάθε ν φυσικό διαφορετικό του 0. ii) α n 1 α n Να αποδείξετε: α ν 1 =1 για κάθε n - ν 1 α ν α) ότι

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

Πράξεις διανυσμάτων. Πρόσθεση. Αφαίρεση. Συντεταγμένες στο επίπεδο. Συντεταγμένες διανύσματος και. Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμηματος

Πράξεις διανυσμάτων. Πρόσθεση. Αφαίρεση. Συντεταγμένες στο επίπεδο. Συντεταγμένες διανύσματος και. Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμηματος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ Πράξεις διανυσμάτων Πρόσθεση Αφαίρεση Συντεταγμένες στο επίπεδο Συντεταγμένες διανύσματος με (x 1, y1) (x, y ) (x x, y y ) 1 Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμηματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης

ΤΡΥΦΩΝ ΠΑΥΛΟΣ Μαθηµατικά Γ Λυκείου - Κατεύθυνσης Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Οι µιγαδικοί αριθµοί και w συνδέονται µε την σέση a β w =, όπου γ α,β,γ R Όταν =0 τότε w= και όταν =-i τότε w=- i Να βρείτε τις σταθερές α,β,γ α Αν το άθροισµα και το γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΥΚΛΟΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΛΛΕΙΨΗ. Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ) (χ-χ 0 ΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΟ Εξίσωση Κέντρο Ακτίνα Εφαπτομένη στο Α( x ), y + y = r χ +ψ =ρ Κ(0,0) ρ x x y (χ-χ 0 ) +(ψ-ψ 0 ) =ρ Κ(χ 0,ψ 0 ) ρ (χ-χ 0 ) (χ -χ 0 )+(ψ-ψ 0 ) (ψ-ψ )=ρ Παρατήρηση : Η εξίσωση : χ +ψ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 73 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 20 Οκτωβρίου 2012 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 9 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-3684 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou)

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8/05/0, :40) Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1)

Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία x x στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο. Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i = 1) α.. Άξονας Λέγεται κάθε προσανατολισμένη ευθεία στην οποία ορίζουμε ως αρχή ένα σημείο Ο και το μοναδιαίο διάνυσμα i ( i 1). Ο i I Οι ημιευθείες Ο και O λέγονται αντίστοιχα θετικός ημιάξονας και αρνητικός

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις)

Β Λυκείου- Μαθηματικά Κατεύθυνσης. Μέρος Α Θεωρία. (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) 1 Μέρος Α Θεωρία (Ορισμοί, θεωρήματα, αποδείξεις, παρατηρήσεις) Η έννοια του διανύσματος Ορισμός του Διανύσματος Διάνυσμα ονομάζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13,

πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13, 1 Η Ευθεία στο Επίπεδο Η Ευθεία στο Επίπεδο 1 Να βρεθεί το είδος των γωνιών του τριγώνου που οι πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+3=0, 3χ+4ψ+4=0, χ-7ψ+8=0. (90, 45, 45 ) 2 Να βρεθεί το μήκος των

Διαβάστε περισσότερα