ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Transcript

1 ν ν æ α + i ö æ i - α ö Να βρείτε όλες τις τιμές της παράστασης Α = ç, νî Ν αi + ç αi è - ø è + ø και α Î R Να αναλύσετε το μιγαδικό = 5 + i σε άθροισμα δύο μιγαδικών,, των οποίων οι εικόνες βρίσκονται αντίστοιχα πάνω στις παραβολές C : y = 4x και C : y = -4x 3 Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης = 0, να αποδείξετε ότι + + 4i ο w = είναι φανταστικός αριθμός + 8i 4 Αν = x + 3yi, x, yî R και η εικόνα του επίπεδο είναι σημείο του άξονα y y, να αποδείξετε ότι: α) το σημείο Μ( x, y ) ανήκει σε έλλειψη β) η εικόνα του ανήκει σε κύκλο - 6 w = με ¹ -6 στο μιγαδικό Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού, αν είναι γνωστό ότι οι εικόνες των μιγαδικών i, και i είναι συνευθειακά σημεία 6 Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών, i και αντίστοιχα, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού όταν ΑΒ ^ ΑΓ 7 α) Να λύσετε την εξίσωση : - (σ υνθ) συν θ = 0 με θî R β) Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο Σελίδα από 3

2 8 Έστω ο μιγαδικός αριθμός = x + yi με x, yî R α) Nα γράψετε τον αριθμό στη μορφή α + β i, όπου α, β R Î β) Να αποδείξετε ότι : æ ö æö æ ö æö i ) Re ç - = Re() -Reç i i ) Im ç - = Im() -Imç è ø è ø è ø è ø γ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών, æ ö æ ö όταν Re ç - = -x Imç è ø è ø 9 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός και η συνάρτηση f(ν) i ν =, ν Î Ν α) Να αποδείξετε ότι f () + f(6) + f (7) + f (6) = 0 β ) Να αποδείξετε ότι για κάθε ν Î Ν ισχύει f (ν) + f (ν + ) + f (ν + 4) + f(ν + 6) = 0 γ) Αν =, να αποδείξετε ότι f (007) + f (008) = 0 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός 0 ¹ και η συνάρτηση f (ν) ( i -) ν =, ν Î Ν α) Να αποδείξετε ότι f (ν) f(ν + ) f(ν + ) f (ν + 3) = 0, για κάθε ν Î Ν β ) Αν f (5) = -3 + i, να αποδείξετε ότι = + i γ ) Αν = + i, να αποδείξετε ότι f (ν + 3) -f (ν + ) = 5, για κάθε ν Î Ν Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών, όταν : α) = 0 β) + 6i + - 6i = 0 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών, όταν α) = 6 β) = 4 γ) - 3i - + 3i = 0 Σελίδα από 3

3 3 Έστω S= + i +i +i 3 + +i ν, νîν-{ 0 } Αν S=i 009 +,να δείξετε ότι το ν- είναι πολλαπλάσιο του 4 4 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς = x + yi με x, yî R που ικανοποιούν τη σχέση ( Im( ) + ) + = 0 - Να αποδείξετε ότι : α) Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών ανήκουν στην παραβολή y = x β) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς, έτσι ώστε = x - -+ i x + i α) Να δείξετε ότι οι εικόνες Μ() ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Κ(-,0) και ακτίνα 5 ( )( ) Δίνεται ο μιγαδικός =, x ÎR ρ= β) Να βρείτε τα xî R, ώστε: i) νάχω και ii) νάχω min max 6 Οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού ανήκουν σε κύκλο (C ) με κέντρο Κ(,) και ακτίνα ρ=επίσης, έστω ο μιγαδικός w= - α) Να δείξετε ότι οι εικόνες του w ανήκουν σε κύκλο (C ) β) i) Να βρείτε τη σχετική θέση των δύο κύκλων ii) Να βρείτε την ελάχιστη-τη μέγιστη τιμή του Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών = x + yi, x, yî R ν ν που ικανοποιούν τη σχέση ( + i) = ( + i), ν Î Ν με ν ³ 3, είναι συνευθειακά σημεία Σελίδα 3 από 3

4 8 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς ¹ 0 για τους οποίους ισχύει α) Να αποδείξετε ότι + = β) Να αποδείξετε ότι οι μιγαδικοί αριθμοί που ικανοποιούν τις ισότητες () 3 3 είναι οι = + i και = - i γ) Αν Α, Β οι εικόνες των, αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, Ù να υπολογίσετε την κυρτή γωνία AOB, όπου Ο η αρχή των αξόνων δ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός w ( + ) ν = είναι πραγματικός αριθμός ν ν + = - = () 9 Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών = x + yi, x, yî R που ικανοποιούν τη σχέση ( ) = ( + ), ν Î Ν ομοκυκλικά σημεία ν ν + με ν ³ 3, είναι i - + 4i 0 Δίνεται συνάρτηση f() =, ¹ i - i Αν u = i και w = f () i, τότε : α ) Να αποδείξετε ότι u w = 3 + 4i () α ) Αν u = w, να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς u, u που ικανοποιούν την () β) Αν w = i, να υπολογίσετε τον μιγαδικό αριθμό γ) Αν f() Î R, να αποδείξετε ότι η εικόνα Μ(x, y) του διαγράφει κύκλο με εξαίρεση ένα σημείο του Αν - 0 = 3 -, Î C, τότε να αποδείξετε ότι : α) - = 3 β) + - 4i 8 Πότε ισχύουν οι ισότητες ; Σελίδα 4 από 3

5 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς = λ + (3 λ)i, λ Î R α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του β) Να αποδείξετε ότι + - i ³ 5 γ) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου για τους οποίους ισχύει - i = 3 3 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, 3 οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση : - - = i 3 και έστω Α, Β, Γ οι εικόνες τους αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο 4 Έστω f() = i -, όπου Î C α) Αν () f ( ) f =, να αποδείξετε ότι ο είναι πραγματικός β) Αν f () = 5, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών γ) Αν, είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί με f( ) = f ( ) = 5, τότε να αποδείξετε ότι - 0 δ) Αν w = 3 + 3i να αποδείξετε ότι f (w) = 5 και στη συνέχεια να βρείτε το μιγαδικό, ώστε f () = 5 και - w = 0 5 α) Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο ( Σ ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών, που ικανοποιούν τις σχέσεις : = και Re ( ) ³ 0 β) Αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών ανήκουν στο σύνολο ( Σ ), τότε w = να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού 3i γ) Να βρείτε το μιγαδικό αριθμό w που έχει το μικρότερο μέτρο Σελίδα 5 από 3

6 6 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, 3 με = = 3 = και = 0 α) Να αποδείξετε ότι :i ) - = 3 - = - 3 ii ) - 4 και Re( ) ³ - β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των,, 3 στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν 7 α) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς, αν + = 4 + 4i και - = 5 + 5i β) Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς, w ισχύουν - - 3i και w i, τότε : i ) Nα δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί, w έτσι, ώστε =w ii ) Nα βρείτε τη μέγιστη τιμή του - w 8 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, 3 με = = 3 = 3 Να αποδείξετε ότι : 9 α) = β) ο αριθμός + είναι πραγματικός γ) = Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, 3 με = = 3 = και = 0 Να αποδείξετε ότι : α) = + β) - = 3 - = - 3 γ) - = 3 και Re( ) = - δ) Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών,, 3 στο μιγαδικό επίπεδο σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο και βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση Σελίδα 6 από 3

7 30 α) Να λύσετε το σύστημα (Σ) +w= -3+0i i+w= -- 6i β) Αν 0 = i, w 0 = -3+6i και ισχύει: v- 0 =5, t- w 0 =0, να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί v, t ώστε v t min, το οποίο και να βρεθεί 3 Οι μιγαδικοί αριθμοί κινούνται σε κύκλο με κέντρο Κ(,0) και ακτίνα ρ= Επίσης, έστω ο μιγαδικός w= + α) Να δείξετε ότι οι εικόνες του w κινούνται σε κύκλο με κέντρο Λ(,0) και ακτίνα R= β) Να δείξετε ότι οι δύο κύκλοι διέρχονται ο ένας από το κέντρο του άλλου γ) Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο θέσεις, ώστε νάχω -w min και να βρεθεί το -w min Επίσης, να βρεθούν οι,w για τους οποίους έχω -w min 3 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί =(λ-)+(λ+4)i, λî R και w=+i α) Να δείξετε ότι η εικόνα Μ() κινείται σε ευθεία με εξίσωση ψ=x+5 β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του -w γ) Να βρείτε το μιγαδικό αριθμό για τον οποίο ισχύει -w min 33 Αν για το μιγαδικό ισχύει -+ i =,να βρεθεί: α) ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του στο μιγαδικό επίπεδο β) η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του -, όπου =4+3i 34 Για τους μιγαδικούς αριθμούς, w ισχύουν: =λ+(λ+)i, λî R και w-+i = α) Να δείξετε ότι η εικόνα Μ() κινείται σε ευθεία με εξίσωση ψ=x+ β) Να δείξετε ότι η εικόνα Ν(w) κινείται σε κύκλο,του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα γ) Να δείξετε ότι -w min =0 και να βρεθούν οι μιγαδικοί,w για τους οποίους ισχύει -w min =0 Σελίδα 7 από 3

8 35 Για το μιγαδικό αριθμό ισχύει: + + ( - ) i = α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του μιγαδικού αριθμού β) Να βρείτε το μιγαδικό αριθμό για τον οποίο έχουμε min 36 Η εικόνα του μιγαδικού αριθμού κινείται στην ευθεία (ε) με εξίσωση ψ=x+ Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w α) αν w =, ¹ - + β) αν w =, ¹ - 37 Η εικόνα του μιγαδικού αριθμού κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ(,0) και ακτίνα ρ= Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w α) αν w =, ¹ 3-3 β) αν w =, ¹ α) Να βρείτε που ανήκει ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: - 4 β) Να αποδείξετε ότι, αν ο μιγαδικός αριθμός w με w ¹ 0 δεν ανήκει στον κυκλικό δίσκο με κέντρο Κ(,0) και ακτίνα 4, τότε ο μιγαδικός αριθμός w ανήκει στον κυκλικό δίσκο αυτό 39 Για το μιγαδικό αριθμό ισχύει: - > Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w α) αν w =, ¹ 3-3 β) αν w =, ¹ - γ) αν w =, ¹ 4-4 Σελίδα 8 από 3

9 uuuur 40 Δίνονται τα διανύσματα OA = (, -) και OB = (-,) Αν Α, Β οι εικόνες των μιγαδικών,w στο μιγαδικό επίπεδο και Ο η αρχή των αξόνων : α) Να υπολογίσετε την παράσταση Π= 3 +w 3 β ) Να δείξετε ότι οι μιγαδικοί,w είναι πάνω σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ= 5 β ) Να δείξετε ότι -w = 5 uuuur 4 Δίνεται η εξίσωση -+κ=0, κî R i) Να βρείτε τις τιμές του κ ώστε η εξίσωση νάχει μη πραγματικές ρίζες ii) Αν = x- i, xî R είναι ρίζα της εξίσωσης, να βρείτε: α) το x και β) το κ 4 Να δείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός w = (α+α i) 3 -(α-α i) 3, αî R είναι φανταστικός Στη συνέχεια να βρείτε το α, αν ισχύει w =5i 43 Για τους μιγαδικούς αριθμούς, w, v ισχύουν: + w + v = 0 και + w + v = 0 Να δείξετε ότι = w = v 44 α) Να δείξετε ότι αν (+ i) ν =(- i) ν,τότε ν=4κ, κî Z ν ν æ+i ö æ- i ö β) Αν f(ν)= ç + ç,να δείξετε ότι f(ν+4)+f(ν)=0 è ø è ø 45 Δίνεται το τριώνυμο f(x)=x + w -w x+(+ w ) (+ w ),όπου w,w δύο μιγαδικοί αριθμοί μεww ¹ - i) Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 δεν έχει πραγματικές ρίζες ii) Αν, οι ρίζες της εξίσωσης και Re( )=-,τότε ισχύει w + w ³ Σελίδα 9 από 3

10 46 Για τους μιγαδικούς αριθμούς,w,v ισχύουν: = w = v = ρ και Re( w ) = Re( v w ) = Re( v ) = - Να αποδείξετε ότι ισχύει: i) + w + v =0 ii) το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο, όπου Α,Β,Γ, οι εικόνες των,w,v αντίστοιχα 47 Για τους μιγαδικούς αριθμούς,w,v ισχύουν: = w = v = ρ και + w + v =0 Να αποδείξετε ότι ισχύουν: i ) w + w v + v = 0 και ii) 3 = w 3 =v 3 48 Αν, Î C και + =, να δείξετε ότι το τρίγωνο που έχει κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών 0,, είναι ισόπλευρο 49 Να δείξετε ότι η εξίσωση ( i) δεν έχει πραγματική ρίζα v + i 3 + =, 3 + i vî N, Î C 50 Αν για τους μιγαδικούς, ισχύει - i = +, να δείξετε ότι η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημείο του αρνητικού ημιάξονα O y 5 Αν Α, Β, Γ, Δ είναι οι εικόνες των μιγαδικών,, 3, 4 αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο, να δείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο αν ισχύει + 3 = + 4 -, α Î R, αν είναι γνωστό ότι έχει πραγματική ρίζα 5 Να λύσετε την εξίσωση ( α - 3i) + ( - αi) = 0 Σελίδα 0 από 3

11 53 α) Να λύσετε στο C την εξίσωση ( -i) -4i= 0 - β) Αν Α, Β είναι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο και c είναι ο κύκλος με διάμετρο ΑΒ, να βρείτε τις τιμές του λ Î R ώστε η ευθεία με εξίσωση ε :x - y + λ = 0 να εφάπτεται στον κύκλο c 4 54 α) Αν ¹ 0 και - =, να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του β) Αν η εικόνα του μιγαδικού ¹ 0 κινείται σε ευθεία με εξίσωση y = x, να αποδείξετε ότι η εικόνα του w = + κινείται σε μια υπερβολή 55 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί και w με ¹ 6, + = - 4 και α) Να αποδείξετε ότι - 6 = 4 και να βρείτε τον γεωμετρικό -0 w = - 6 τόπο της εικόνας του στο μιγαδικό επίπεδο β) Να αποδείξετε ότι η εικόνα του w στο μιγαδικό επίπεδο διαγράφει κύκλο Επίσης, να βρείτε τη σχετική θέση των δύο γεωμετρικών τόπων 56 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί και w με w = + Έστω Α και Β οι εικόνες των και w αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΑΒ διέρχεται από την αρχή των αξόνων β) Αν το Α κινείται πάνω στην ευθεία y =, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του Β γ) Αν το Β κινείται πάνω στην ευθεία y =, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του Α 57 Έστω μια συνεχής συνάρτηση f :[ α, β] R με 0<α<β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς = x + if ( x) και x - if ( x ) όπου, x [ α, β] = - =, x Î με x ¹ x Αν ισχύει +, να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x x σε ένα τουλάχιστον σημείο Σελίδα από 3

12 æ 3 ö 5 = ç +, όπου = x + yi, x, y Î R è ø Re ( f ), Im ( f ( ) ) M f στο μιγαδικό επίπεδο 58 Έστω f() i - i i) Να βρεθούν τα : ( ) ii) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ( ( )) iii) Να δειχτεί ότι f ( ) x - y 5 = iv) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύει f ( ) = 5 = x + iy 59 α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε μιγαδικούς αριθμούς, = ισχύει + -, αν και μόνο αν Re( ) 0 β) Έστω μια συνάρτηση f :[ α, β] R συνεχής στο [,β] α = + if( α), w = f() β + iβ με α β ¹ 0 w = w - = α και οι μιγαδικοί αριθμοί Αν +, να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( x) 0 τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ α,β] (Θέμα 995) f = έχει μια 60 i) Αν + 6 = 4 + (), να δείξετε ότι = 4 ii) Αν - i = - (), να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ευθεία, που διέρχεται από την αρχή των αξόνων iii) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις () και () iv) Αν Α( ), Β( ), Γ( 3 ), όπου 3 = -4i, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και να βρείτε το εμβαδόν του 6 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,w τέτοιοι, ώστε - = - και - w= i) Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών κινούνται σε κύκλους οι οποίοι εφάπτονται εσωτερικά ii) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του + - Σελίδα από 3

13 6 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,w για τους οποίους ισχύουν: w=α+(α-)i,αî R και +-i = () ) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών, w ) Αν οι μιγαδικοί αριθμοί, ικανοποιούν την (), i) να δείξετε ότι - και ii) αν - =,να δείξετε ότι + = 3) Να δείξετε ότι -w 63 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,w για τους οποίους ισχύουν: - +i και w=,¹ Να βρείτε το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών, w και να δείξετε - ότι υπάρχουν άπειρα σημεία στο μιγαδικό επίπεδο τέτoια, ώστε =w Σελίδα 3 από 3