ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ"

Transcript

1 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός

2 . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό τους προσημό Σε ετερόσημους κάνω αφαίρεση και βάζω το προσημό του μεγαλύτερου αριθμού πχ. + + = = = = - ΧΡΗΣΙΜΟ Κάθε αριθμός χωρίς πρόσημο δεχόμαστε ότι είναι θετικός, δηλαδή α = +α πχ. = +. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ, ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους βάζουμε πρόσημο (+), ενώ σε ετερόσημους (-) πχ. +(+) = + +(-) = - -(+) = - -(-) = + α β α β α : β ΑΝΑΓΩΓΗ ΟΜΟΙΩΝ ΟΡΩΝ (ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ) (κάνουμε πράξεις, πρόσθεση κι αφαίρεση, μόνο με τα όμοια) πχ. x + = ΤΙΠΟΤΑ (έπρεπε να έχω μόνο x ή μόνο νούμερα) x -x = ΤΙΠΟΤΑ (έπρεπε να έχω μόνο x ή μόνο x) 6x + = ΤΙΠΟΤΑ (έπρεπε να έχω μόνο x ή μόνο νούμερα) x + y = ΤΙΠΟΤΑ (έπρεπε να έχω μόνο x ή μόνο y) α+β = ΤΙΠΟΤΑ (έπρεπε να έχω μόνο α ή μόνο β) x +7x = 0x x - x = -x 8α -α = α ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΑ x x = x = x 0x = 0 x = 0 x + x = x x x = x x x = x x x = x x = 6x x x = x. ΠΡΟΣΘΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΛΩΝ ΟΡΩΝ πχ. μόνο με αριθμούς A= Γράφω πρώτα τα (+), μετά τα (-) (τα μετράμε στο σύνολο μην ξεχάσουμε κανένα) A= Διαγράφουμε αντίθετους (+α, -α), αν υπάρχουν A= Προσθέτουμε όλα τα (+) και βάζουμε (+), προσθέτουμε όλα τα (-) και βάζουμε (-) Α= +0-7 Κάνουμε μόνο μία αφαίρεση Α= -7

3 πχ. με αναγωγές, x, x, αριθμούς B= x-x +6-x-7-x++7x -x-++x +6x -x-8x --6x--x Γράφω πρώτα τα x, μετα τα x, μετά τους αριθμούς (με την σειρά που τα συναντώ) (τα μετράμε στο σύνολο μην ξεχάσουμε κανένα) B= -x +7 x +x +6x -8x +x-x-x-x-x-6x-x Χωρίζουμε σε κάθε όμοιο όρο τους θετικούς απο τους αρνητικούς B= + 7x +x +6x -x -8x +x-x-x-x-x-6x-x Διαγράφουμε αντίθετους (+α, -α), αν υπάρχουν B= + 7x + x +6x -x -8x + x -x -x-x-x-6x-x Προσθέτουμε σε κάθε όρο τα (+) και βάζουμε (+), προσθέτουμε τα (-) και βάζουμε (-) B= + x -8x -0x +-0 Κάνω μία αφαίρεση σε κάθε όρο (στα x, στα x, στους αριθμούς) B= + x -0x-9 Σταματάω, γιατι τέλειωσαν οι αναγωγές ομοιών όρων (δεν γίνονται άλλες πράξεις). ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΩΝ Το (-) έξω από παρένθεση αλλάζει όλα τα πρόσημα όταν βγαίνει η παρένθεση, ενώ το (+) τα αφήνει όπως είναι. πχ. (x -x+y-α+)= -x +x-y+α- + (x -x+8β-x +9)= +x -x+8β-x ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ (ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗ) (ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ) (όταν έχω αριθμό με παρένθεση συνεχόμενα ή παρενθέσεις διαδοχικά, εννοείται το επί) πχ. ( x 7 x) 6 0x x (αριθμός επί παρένθεση, υπολογίζω το ( ) του -) x x x (παρένθεση επί παρένθεση) - = ( x x x ) x 6x x 6 (αριθμός επί δυο παρενθέσεις, πρώτα τις δυό παρενθέσεις και ό,τι βρω σε παρένθεση και μετά επιμεριστική με τον αριθμό) x x x (9x x 6) 7x 7x 8 (αριθμός επί ταυτότητα, πρώτα την ταυτότητα και ό,τι βρώ σε παρένθεση και μετά επιμεριστική τον αριθμο με την παρένθεση) 7. ΔΥΝΑΜΕΙΣ 0 0 a... έ / προσοχή: '' ά '' '' ύ '' 9 7 ( ) ενώ δηλαδή - = -9, ενώ (-) = +9, αντίστροφος του α 7 7 πχ. 6 6

4 8. ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ (ΣΕΙΡΑ ΠΡΑΞΕΩΝ) Α. Χωρίς Παρενθέσεις. Δυνάμεις. Πολλαπλασιασμοί Διαιρέσεις. Προσθέσεις - Αφαιρέσεις 8 : 6 : ( ) : 6 : 7 : 9 7 : 0 0 Κάνουμε πρώτα μόνο τις δυνάμεις και αφήνουμε τα υπόλοιπα όπως είναι 8 8 : 6 : ( ) 6 : 6 : 7 : 9 9 : Μετά κάνουμε μόνο τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις προσέχοντας τα πρόσημα Τέλος κάνουμε προσθέσεις κι αφαιρέσεις, χωρίζοντας τους θετικούς από τους αρνητικούς Προσθέτω όλα τα (+) και βάζω (+), προσθέτω όλα τα (-) και βάζω (-) Β. Με Παρενθέσεις Κάνουμε τις πράξεις μόνο μέσα στις παρενθέσεις με τη παραπάνω σειρά (--), αφήνοντας τα υπόλοιπα έξω απο τις παρενθέσεις όπως είναι και μόλις φύγουν οι παρενθέσεις κανουμε τις πράξεις όπως πριν (με την σειρά --) 0 ( 7 : ) 7 6 : : 8 6 : : Κάνουμε τις πράξεις μόνο μέσα στις παρενθέσεις με την γνωστή σειρά και αφήνουμε τα υπόλοιπα όπως είναι, μέχρι σε κάθε παρένθεση να μείνει ένας αριθμός ( 7 :) 9 6 : 6 : : : ( 7) : : ( ) : : ( ) 9 6 : : ( ) 6 : : Τότε κάνω τις πράξεις με την παραπάνω σειρά προσέχοντας τα πρόσημα ( )6 6 : : Γ. Με Άγκιστρα, Αγκύλες, Παρενθέσεις Τα απαλείφουμε (βγάζουμε) από μέσα προς τα έξω πχ. με μεταβλητές και αριθμούς (αλγεβρική παράσταση) (ταυτότητες με δυνάμεις, επιμεριστικές, απαλοιφή παρενθέσεων και αναγωγές) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 7 6 x x x x x x x x x x x x 8x x x 6 x 6x 8x x x x

5 6x x 8x x x 6 x x 6x x 6 x x Χωρίζω τους όμοιους όρους, δηλαδή πρώτα τα x, μετά τα x,και τέλος τα νούμερα x x x 6x x 8x x x 6x x x 6 6 Χωρίζω στους όμοιους όρους τα (+) από τα (-), δηλαδή στα x, στα x, και στα νούμερα x x x 6x 8x x x x 6x x x 6 6 Προσθέτω όλα τα (+) και βάζω (+), προσθέτω όλα τα (-) και βάζω (-), στους όμοιους όρους x 90x x 6 ΣΧΟΛΙΟ x 7x 6 Κάθε αριθμός που δεν είναι κλάσμα γράφεται σαν κλάσμα με παρονομαστή την 9. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΑ a 7 μονάδα, δηλαδή a πχ. 7 Ομώνυμα κάνουμε μόνο σε πρόσθεση κι αφαίρεση, όχι σε πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Ομώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή (το ΕΚΠ των παρονομαστών) ,,, α. : 7 7 (αντιστρέφω διαιρέτη και αντί για διαίρεση κάνω πολλαπλασιασμό) 7 (πολλαπλασιάζω τους άκρους όρους και το γινόμενο μπαίνει β. 7 αριθμητής, πολλαπλασιάζω τους μέσους όρους και το γινόμενο : 7 μπαίνει παρονομαστής) (+),(-) ομώνυμα, 7 αφού βρούμε το ΕΚΠ, στα καπελάκια βάζουμε τον αριθμό (ΕΚΠ/παρονομαστή) ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΡΙΖΕΣ Κάνω πρόσθεση, αφαίρεση ριζών μόνο όταν έχω ίδιες ρίζες, σαν την αναγωγή. πχ. = ΤΙΠΟΤΑ = ΤΙΠΟΤΑ,, 9, ,, 9,...,

6 6 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή, μπορεί όμως να είναι λάθος.γράψτε δίπλα από κάθε πρόταση το Σ αν αυτή είναι σωστή και το Λ αν αυτή είναι λάθος. Ο αριθμός χ είναι ένας αρνητικός ρητός αριθμός. Ο αριθμός χ είναι ο αντίθετος του αριθμού χ και μπορεί να είναι θετικός ή αρνητικός αν ο χ είναι αρνητικός ή θετικός αντίστοιχα... Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν αντίθετες απόλυτες τιμές.. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν την ίδια πάντα απόλυτη τιμή αφού αυτή εκφράζει την απόσταση των σημείων του άξονα στα οποία αυτοί μπαίνουν από την αρχή του... Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός. Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού μπορεί να είναι και αρνητικός αριθμός... Ο αντίθετος του χ είναι ίσος με το γινόμενο του με τον χ δηλαδή χ = (-) χ Οι ομόσημοι αριθμοί έχουν γινόμενο αριθμό ομόσημο μ αυτούς. Οι ομόσημοι αριθμοί έχουν γινόμενο έναν θετικό αριθμό. Οι ετερόσημοι έχουν γινόμενο έναν αρνητικό αριθμό. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν γινόμενο αρνητικό αριθμό. Αν α ένας ρητός αριθμός τότε α = α και α 0 = 0. Οι αντίστροφοι αριθμοί έχουν γινόμενο 0 Οι αντίστροφοι αριθμοί έχουν γινόμενο Οι αντίστροφοι αριθμοί έχουν γινόμενο. Να γίνουν οι πράξεις: ),,, (,, : ), ( ) ), ( ), (, ) : ) : ) δ 6 γ 6 6 β 6 α. Να βρεθούν οι παραστάσεις: 6 δ 6 6 γ 6 β 6 α ) : ) ) ). Στη παράσταση -7x+(-y+x)-(x-y) να απαλείψετε τις παρενθέσεις και να βρείτε την αριθμητική της τιμή για x=-, y=-. Το ίδιο να κάνετε για τη παράσταση -x+(-9y+x)-(x-7y) θέτοντας όπου x=- και y=-.. Γνωρίζοντας ότι α β = - και χ + ψ = 7 να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων με την βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας: Π = -α + β +χ +ψ Π =. (χ + ψ + α) - 0β Π = α + α - β + 7χ + ψ +ψ Π = α β + χ + 8ψ ψ + χ Π = χα +ψα χβ ψβ

7 6. Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων. ( ) ( ) Α = : Β = : ( ) Γ = : ( ) ( ) ( ) ( 0) : ( ) ( ) Δ= : Ε= : 00 6 : 8 Β ΔΥΝΑΜΕΙΣ 7. Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε τη σωστή απάντηση: ν + - ν + = Α.: ν + Β.: ν Γ.: ν + (ν + ):(ν + ) Δ.: Ε.: ν ν + = Α.: -6 ν + Β.: -6 ν + Γ.: -6 ν + Δ.: 8 ν + Ε.: ν + ν + +6(-) ν + = Α.: ν + Β.: (- ) (ν + ) Γ.: ν + Δ.: (-) ν Ε.: (-) ν + x 8. Αν x, τότε o ακέραιος αριθμός x είναι.. Α.: Β.: - Γ.: ένας περιττός ακέραιος Δ.: ένας άρτιος ακέραιος Επιλέξτε την σωστή απάντηση. 9. Αν, τότε ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστή; Α.: κ = λ Β.: κ + λ 0 Γ.: α = 0 Δ.: α 0 και κ = -λ κ λ α 0. Αν α 0, τότε : (α α ) α = Α.: α α Β.: Γ.: α α Δ.: α Επιλέξτε την σωστή απάντηση.. Να υπολογισθούν οι παραστάσεις 7 ( ) ( ) ( ) α) 6 β) ( ) : 7

8 . Nα υπολογισθούν οι παραστάσεις Α=6(- ) (-) ] () Β= +8(- ) - - +[ ( ) 8 ](-) Γ=8( ) (-) ] () Δ= ( ):(0 9. ). Αν α=, β=, και γ=- να υπολογισθεί η τιμή της παράσταση α α β γ Α= : β γ β. Αν αβ=- και α+β=6 να συμπληρωθούν με την βοήθεια των δυνάμεων οι ισότητες 0 0 α β α) (α ) β) (α - β - ) 0 :(α - +β - α β. Να γράψετε τις παραστάσεις με μορφή μιας δύναμης. Α=8 9 6, Β=( ) + 0 : , Γ= - 6 Δ= Ε= 0 ( x) y 8 0 ( ) y x , 6. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : x 6x x x x x A= x αν x=- 7. Αν x=- και y=- και z= να βρεθεί ο αντίστροφος του Α=-6x -y - +z - 8. Αν x=- και y=- και z= να βρεθεί ο αντίστροφος του Α=-x +y - -z 9. Nα βρείτε την τιμή της παράστασης : A=(-α βγ ) : α β για α=-,β=, γ=. 0. Να υπολογιστεί ο x σε καθεμιά από τις ακόλουθες περιπτώσεις : α) x x =, β) x = 9 8, γ) x, δ) x = x 7 8

9 . Στις παρακάτω ισότητες να υπολογίσετε τον ακέραιο x. Αν i) 6 = x x+ ii)(0,) - x = iii) (-) x+ και x ψ χ α y x y α, α 9 x =7 iv) 8 -x+ =, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης x - + y -, όπου οι αριθμοί α, x, y είναι θετικοί πραγματικοί,. Έστω ότι ισχύει : ν ν ν μ [ 9 7 ] ( ) 7, όπου μ, ν φυσικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί μ και ν είναι διαδοχικοί φυσικοί.. Να υπολογίσετε τους αριθμούς α, β αν γνωρίζετε ότι: αβ και α β.. Μία μπάλα όταν πέφτει από κάποιο ύψος αναπηδά και φτάνει στο μισό αυτού του ύψους. Αφήνουμε την μπάλα να πέσει από κάποιο ύψος χ. α) Να υπολογίσετε σε σχέση με το χ το ύψος που θα φτάσει η μπάλα μετά από: αναπήδηση. αναπηδήσεις. αναπηδήσεις. ν αναπηδήσεις. β) Αν αφήσουμε την μπάλα από ύψος m να βρείτε μετά από ποια αναπήδηση θα φτάσει σε ύψος 6, cm. γ) Να υπολογίσετε από ποιο ύψος αφήσαμε την μπάλα να πέσει αν μετά την 0 η αναπήδηση έφτασε στα -9 m. 6. Εφαρμόζοντας ιδιότητες δυνάμεων να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις και στη συνέχεια να τις υπολογίσετε - x y (x y ) (x y ) A για x = (-0) και y = (x y ) B (x y) (x y ) (x y ) (xy ) για x = (-) - και y = - Γ (x y ) (x y ) (x :y ) (x y ) για x = 0 και y = (-0,) - Δ - (x : y ) x 6 (y : x ) : y για x = - και y = - 9

10 Ε (x - :y ) x για χ = - και y = - y 6 :(x ) Γ ΡΙΖΕΣ 7. Να συμπληρώσετε τις ισότητες : α) 0,0... β)... γ) δ) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : a 6 α) 0, β) γ)... δ) a 9. Συμπληρώστε τις προτάσεις: Αν a x με α, χ μη αρνητικούς αριθμούς τότε ισχύει.. Αν a a τότε ο αριθμός α πρέπει να είναι Αν a a, τότε ο αριθμός α πρέπει να είναι Αν α οποιοσδήποτε αριθμός τότε a... Αν 0 a τότε a... Αν a 0 τότε a a... Αν x 0 x τότε x... Αν x = και x 0 τότε x=. Αν x = και x<0 τότε x=. 0. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: α)6 ε) β) στ )0 γ)x 6 x 00 x δ) αν x 0. Σε κάθε περίπτωση να γίνουν οι πράξεις: 7 ) 0 ) ) 8 90 ) ) 0 6) 6 8 7) 8 7 8)

11 . Ομοίως ) ) 8) ) ) ) 6 0 : 6) 7) 8 8 9) : 0) Nα υπολογιστεί η παράσταση : A= Να γίνουν οι πράξεις : i) 0, ii) 8 0. Nα δείξετε ότι οι παραστάσεις Α= και Β= είναι ίσες. 6. Εάν είναι α και β να δείξετε ότι ισχύει η σχέση α -6α+=β -β+. 7. Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρανομαστή 9 0 α) β) γ) δ) 0 8. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: 0 ) ) ) 6 ) 9. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης : A= : : 0. Αν είναι x, y=, 6 x y x y x y z να επαληθευτεί η ισότητα: z x z. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης x x ) x= ) x=-. όταν είναι :

12 . Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : A= 6 6, B= 0 0. Nα υπολογίσετε τις παραστάσεις : A= 7, B= 0, Γ= 0 6. Να δείξετε ότι : 0.. Αν είναι 6 να δείξετε ότι Α = και να εξετάσετε εάν ισχύει ότι Α=-. 6. Έστω οι θετικοί αριθμοί α, χ για τους οποίους ισχύει α) Να δείξετε ότι ισχύει β) Αν να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 7. Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: Α= 00 8 Β= 9, 8. Να υπολογίσετε τους αγνώστους χ, ψ, ω αν 00, 90, 9. Αν το τετράγωνο ενός αρνητικού αριθμού χ είναι, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α= ( ) Δ ΣΥΝΘΕΤΑ - ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0. Δίνεται ότι x y 0.Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 6 0x x y 0 x y x z y z (Απ: -0)

13 . Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Π = ( ) ( ) (Ε.Μ.Ε. 999). Αν για τους αριθμούς α, β ισχύει:, να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α =, Β =, Γ =. Να δείξετε ότι : α βγ α β γ α β βγ γα x y x y x y. Να απλοποιηθεί η παράσταση : A= και να υπολογιστεί η x y y τιμή της,όταν x=(-0) και y= 0. α β. Να βρείτε την τιμή της παράστασης : A= α είναι αντίστροφοι α β β, αν οι αριθμοί α,β 6. Έστω οι θετικοί αριθμοί α, β, γ για τους οποίους ισχύει: α = β + γ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 7. Αν ισχύει ότι x y,να δείξετε ότι το κλάσμα x y x y xy έχει σταθερή τιμή. (Απ ) 8. Να δείξετε ότι η παράσταση 8 A 6 8 8,είναι πολλαπλάσιο του 7.

14 9. Αν, είναι μη αρνητικοί αριθμοί, να δείξετε ότι η παράσταση A 9 έχει σταθερή τιμή. (Απ : Α=7) 60. Να δείξετε ότι 6. Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων: Α = Β = Αν το τετράγωνο ενός αρνητικού αριθμού χ είναι, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A (x x ) 6. Να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης: 0 Π = 7 είναι ίση με 7.

15 . ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΟΡΙΣΜΟΙ Αλγεβρική παράσταση λέγεται μια έκφραση, που δηλώνει μια σειρά πράξεων μεταξύ αριθμών, ορισμένοι από τους οποίους παριστάνονται με γράμματα (μεταβλητές). Αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης, λέγεται ο αριθμός που προκύπτει, αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με συγκεκριμένους αριθμούς και μετά εκτελέσουμε τις πράξεις. (Η εκτέλεση των πράξεων γίνεται σύμφωνα με τη γνωστή προτεραιότητα των πράξεων ) Μια αλγεβρική παράσταση θα λέγεται: Άρρητη, όταν περιέχει μεταβλητή κάτω από σύμβολο τετραγωνικής ρίζας Κλασματική, όταν περιέχει γράμμα σε παρονομαστή Ακέραια, όταν δεν είναι ούτε άρρητη ούτε κλασματική. ΜΟΝΩΝΥΜΑ Μονώνυμο ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση, που περιέχει μόνο πολλαπλασιασμό μεταξύ αριθμών και μεταβλητών. Σε κάθε μονώνυμο λοιπόν υπάρχει μόνο ένας αριθμητικός παράγοντας. Ο παράγοντας αυτός γράφεται πρώτος και λέγεται συντελεστής του μονωνύμου. Όλοι οι άλλοι παράγοντες (μεταβλητές), αποτελούν το κύριο μέρος του μονωνύμου. παράδειγμα Βαθμός μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή, είναι ο εκθέτης της μεταβλητής αυτής.

16 Βαθμός μονωνύμου (ως προς όλες τις μεταβλητές που περιέχει), είναι το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών που περιέχει, π.χ. το μονώνυμο χ ψ z, είναι τρίτου βαθμού ως προς x, πέμπτου βαθμού ως προς y, πρώτου βαθμού ως προς z, μηδενικού βαθμού ως προς ω και 9 ου βαθμού ως προς όλες τις μεταβλητές του (διότι ++=9). παράδειγμα Μηδενικό μονώνυμο, είναι κάθε μονώνυμο με συντελεστή μηδέν, Π.χ. 0χψ ω Όμοια μονώνυμα, λέγονται αυτά που έχουν το ίδιο κύριο μέρος. Π.χ τα χ ψω και -7ωχ ψ είναι όμοια, ενώ τα χ ψ, χψ δεν είναι Αντίθετα μονώνυμα, λέγονται αυτά που είναι όμοια και έχουν αντίθετους συντελεστές. Π.χ. τα χ ψ ω και -χ ψ ω είναι αντίθετα. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΟΝΩΝΥΜΩΝ Άθροισμα όμοιων μονωνύμων, είναι ένα όμοιο προς αυτά μονώνυμο που έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους. Π.χ. χψ+χψ =...,χ ω -7χ ω =..., ενώ η πρόσθεση χ ψ+χψ δεν γίνεται. Το άθροισμα δυο αντίθετων μονωνύμων, είναι το μηδενικό μονώνυμο. Το άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια, δεν είναι μονώνυμο, αλλά είναι μια αλγεβρική παράσταση που την ονομάζουμε πολυώνυμο. Γινόμενο μονωνύμων, είναι ένα μονώνυμο που έχει ως συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και ως κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές με εκθέτη σε καθεμιά το άθροισμα των εκθετών της. Π.χ. (χ ψ ω)(-χ ψ 6 ω z) =... Το πηλίκο μονωνύμων, όπως και στους αριθμούς βρίσκεται, με πολλαπλασιασμό επί τον αντίστροφο του διαιρέτη. (Δεν είναι πάντοτε μονώνυμο). 6

17 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Στις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε τη σωστή επιλογή α) Έχουμε τα μονώνυμα: Α= x z, Β=-,y z, Γ=x z, Δ=xz, Ε=-,y z. Όμοια είναι τα εξής: Α. Τα Α, Γ, Δ Β. Τα Α, Β Γ. Τα Β, Ε Δ. Τα Α, Ε β) Το μονώνυμο -x έχει συντελεστή: Α. Το x Β. Το -x Γ. Το Δ. Το -. γ) Το γινόμενο (α βγ) ισούται με: Α. - 6 α βγ Β. - 6 α β γ Γ α β γ Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα δ) Το πηλίκο των μονωνύμων -α β γ και αβ γ είναι: Α. Μονώνυμο Β. Πολυώνυμο Γ. Αριθμός Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Ποιες απο τις παρακάτω ποσότητες είναι μονώνυμα ; (Αν όχι, τότε γιατί ;) χ+ψ, χψ 7, χψ ω -,, χ(χ+),. Να βρείτε τον συντελεστή, το κύριο μέρος και το βαθμό σε καθένα από τα παρακάτω μονώνυμα. χψ. χψ, ψ ω, χψω. Να χωρίσετε τα παρακάτω μονώνυμα σε ζεύγη ομοίων μονωνύμων χ ψ, χω, -χ ψ, χ ψ κ, 6ω χ, -ψχ, ψ χ, -κψ χ. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ +ψ β) χ +6χ γ) χ ω-7ωχ δ) χ +χ ε) χ +χ ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ κ) χ -χ λ) χ -χ μ) χ-χ 6. Να εκτελέσετε τις αναγωγές ομοίων όρων. α) χ -χ +χ -χ+χ +χ β) χ ψ+χψ +ψχ-χ ψ +ψ χ+χ ψ-χ ψ -χψ 7. Να εκτελέσετε τους πολλαπλασιασμούς 7

18 α) (χ ψ)(-χψ ) β) (χψω )(χ ψ ) γ) (-χψ)(-χψ) δ) (-χψ )(χ ψ) 8. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Μονώνυμο Συντελεστής Βαθμός ως προς x Βαθμός ως προς y Βαθμός ως προς x και y x y 6 -xy x y 7 x ΣΥΝΘΕΤΑ - ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9. Δίνονται τα μονώνυμα x y και x y. Να βρείτε τα α, μ, κ ώστε τα μονώνυμα να είναι: i) ίσα ii) αντίθετα 0. Δίνονται τα μονώνυμα x y και Να βρείτε τα α, κ, λ ώστε μονώνυμα να είναι: i) όμοια ii) ίσα iii) αντίθετα x y. Δίνεται η παράσταση x y x y. Να βρείτε τις τιμές των, ώστε η παραπάνω παράσταση να είναι μονώνυμο.. α. Αν x=- Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης x +x + β. Αν x=- Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης x -x+ γ. Αν x=- Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης x + δ. Αν x=7 Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης +x+ x. Να βρείτε τους ακέραιους κ,λ ώστε η παράσταση να είναι μονώνυμο A x y 8x y κ λ 8

19 .. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Πολυώνυμο, ονομάζουμε ένα αλγεβρικό άθροισμα μονωνύμων,όπου δύο τουλάχιστο από αυτά δεν είναι όμοια. Όρους του πολυωνύμου, ονομάζουμε τα μονώνυμα και συντελεστές του πολυωνύμου, ονομάζουμε τους συντελεστές των μονωνύμων. Βαθμός πολυωνύμου ως προς μία μεταβλητή (ή ως προς περισσότερες μεταβλητές του) λέγεται πιο μεγάλος βαθμός όλων των όρων του ως προς την μεταβλητή αυτή (ή ως προς τις μεταβλητές αυτές). Πολυώνυμο μιας μεταβλητής Τα πολυώνυμα με μία μεταβλητή π.χ. x + x +-7 για συντομία συμβολίζονται P(x) ή Q(x) ή A(x) Αν ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής γραφτεί με την ανηγμένη του μορφή κατά τέτοιο τρόπο, ώστε οι εκθέτες της μεταβλητής να ελαττώνονται, τότε λέμε ότι είναι διατεταγμένο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις της μεταβλητής του. Π.χ. χ +χ -χ+7 Ο όρος με τον μεγαλύτερο εκθέτη λέγεται μεγιστοβάθμιος (δηλαδή το χ ), ενώ ο όρος μηδενικού βαθμού λέγεται σταθερός όρος (δηλ. το 7). Ένα πολυώνυμο το λέμε ομογενές ως προς μερικές ή ως προς όλες τις μεταβλητές του, όταν όλοι οι όροι του είναι του ίδιου βαθμού ως προς τις μεταβλητές αυτές. παράδειγμα Πολυώνυμο Βαθμός Βαθμός ως προς x Βαθμός ως προς y 6 Α x y x y 8 6 B x x x - 9

20 Ίσα πολυώνυμα Δύο πολυώνυμα είναι ίσα, όταν έχουν όρους ίσα μονώνυμα. παράδειγμα Τα πολυώνυμα (-α)x - x + x+ και βx + γx + είναι ίσα, αν α = και β = -,γ=. ΆΘΡΟΙΣΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Αναγωγή ομοίων όρων Αν σε ένα πολυώνυμο αντικαταστήσουμε τα όμοια μονώνυμα (αν υπάρχουν) με το άθροισμά τους, τότε λέμε ότι κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. Η τελική μορφή η οποία δεν έχει όμοιους όρους, λέγεται ανηγμένη μορφή του πολυωνύμου. Πολυώνυμο με δυο όρους το ονομάζουμε και διώνυμο. Πολυώνυμο με τρεις όρους το ονομάζουμε και τριώνυμο. Άθροισμα πολυωνύμων Μπορούμε να προσθέτουμε ή να αφαιρούμε πολυώνυμα χρησιμοποιώντας : τις γνωστές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. την αναγωγή ομοίων όρων παράδειγμα τα πολυώνυμα A(x) = x - x - 7x - και B(x) = x - x + x έχουν άθροισμα ή διαφορά που βρίσκουμε ως εξής: A(x)+B(x) = (x - x - 7x - ) + (x - x + x) = = x - x - 7x - + x - x + x = 8x - x - 6x -. (Απαλείφουμε τις παρενθέσεις) (Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων) Όμοια, έχουμε A(x)-B(x) = (x - x - 7x - ) - (x - x + x) = = x - x - 7x - - x + x - x = = x - x - 8x -. 0

21 . ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο επί πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. παράδειγμα x (x + 7x) = =x x + x 7x = 6x + x Για να πολλαπλασιάσουμε δυο πολυώνυμα, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός με κάθε όρο του άλλου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. παράδειγμα x y x xy x x x xy x y x y xy y x x y x x y xy y Όταν κάνουμε τον πολλαπλασιασμό μονωνύμου με πολυώνυμο ή δυο πολυωνύμων, λέμε πολλές φορές ότι αναπτύσσουμε τα γινόμενα αυτά και το αποτέλεσμα το λέμε ανάπτυγμα του γινομένου. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Στις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε τη σωστή επιλογή α) Η αλγεβρική παράσταση x -x +-(7x -x+) μετά την απαλοιφή των παρενθέσεων και τις αναγωγές ομοίων όρων ισούται με: Α. -x -x +6-x B. x -x +-7x -x+ Γ. x -x +-7x +x- Δ. Τίποτα από τα πάρα-πάνω β) Το γινόμενο (α+β)(γ-δ) ισούται με: Α. α+βγ-δ Β. αγ-βδ Γ. αγ-αδ+βγ-βδ Δ. αγ+αδ+βγ+βδ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) Αν το πολυώνυμο P(x) έχει βαθμό και το πολυώνυμο Q(x) έχει βαθμό, τότε το πολυώνυμο P(x) Q(x) έχει βαθμό 8. β)αν το πολυώνυμο P(x) Q(x) έχει βαθμό 6 και το πολυώνυμο P(x) έχει βαθμό, τότε το πολυώνυμο Q(x) έχει βαθμό.. Ποιες από τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις είναι πολυώνυμα; A x x, A x y x y x x, x x

22 Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΟΡΙΣΜΟΥΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί α) χ -χ+ψ β) χψ -χ ψ+χ ψ 6 -χ+ψ- γ) χ ψ+χψ χ ψ +χ-ψ+. Να εκτελέσετε τους πολλαπλασιασμούς α) χ(χ+) β) χ(χ-) γ) χ(χ-) δ) χ (χ -) ε) χ(χ -χ +χ-) 6. Να εκτελέσετε τους πολλαπλασιασμούς, να κάνετε τις αναγωγές ομοίων όρων και να τακτοποιήσετε τα πολυώνυμα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις. α) (x-)(x+) β) (x+)(x+) γ) (x -)(x +) δ) (x+)(x+) ε) (x +)(x-) ζ) (x -)(x+) η) (χ +)(χ -) θ) (χ +χ-)(χ+) ι) (χ -)(χ +χ-) κ) (x +x+)(x-) λ) (x +)(x-) μ) (x +x-)(x -6x-) ν) (x-)(x+)(x-) ξ) (x-)(x+)(x-) ο) x(x+)(x-) 7. Να γίνουν οι πράξεις: x x x x x 6 x x 8. Να γίνουν οι πράξεις: αβ α β αβ α β α α β 9. Να γίνουν οι πράξεις : α α αβ β α β 0. Να γίνουν οι πράξεις: x 8 x x x x x. Δίνονται τα πολυώνυμα Α=x -x+, B=x -, Γ=-x +x -. Να βρείτε τα πολυώνυμα α) Α Β Γ β) Α.Β και στην συνέχεια την αριθμητική τους τιμή για x=-. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ x x x και Qx x x 8. Nα βρείτε τα πολυώνυμα Px Qx, P x Qx και. Να γίνουν οι πράξεις : α α α α 8. Να γίνουν οι πράξεις : xx x x x P x Q x. Να γίνουν οι πράξεις: xx x x x x x x x x x 6. Να γίνουν οι πράξεις: x x

23 Β ΣΥΝΘΕΤΑ - ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7. Δίνονται τα πολυώνυμα Να βρείτε τα α, κ, λ,μ ώστε μονώνυμα να είναι ίσα. A x y και B x y 8. Δίνονται τα πολυώνυμα Ax 6 x x x και Bx x x. Να βρείτε τα α, β, γ,δ ώστε μονώνυμα να είναι ίσα. Q x, y x y x y x. 9. Δίνεται η παράσταση Να βρείτε τις ακέραιες τιμές των, ώστε η παραπάνω αλγεβρική παράσταση να είναι πολυώνυμο. 0. Δίνονται τα πολυώνυμα x x x x και Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: P x Q x P x Q x P Q x x x α) β) γ) x δ) P x P x ε) Qx στ) Px Qx ζ) P x Qx η) P Q. Δίνεται το πολυώνυμο P x x x x α) Για ποια τιμή του το P x είναι τρίτου βαθμού β) Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου όταν γ) Για P P, να υπολογίσετε την παράσταση. Δίνεται το πολυώνυμο P x x x x x α) Για ποια τιμή του το P x είναι πρώτου βαθμού β)να δείξετε ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός,ώστε γ) Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου όταν 0 δ) Για P P, να υπολογίσετε την παράσταση. Δίνονται τα πολυώνυμα x x x και Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: P Q x P x Q x x α) β) Q x x P 0 0 γ) P Qx Px. Έστω τα πολυώνυμα P(x) x x, Q(x) x x και H (x) για τα οποία ισχύει : Q(x) H(x) P(x). α. Να βρείτε τον βαθμό του Η x. β. Να βρείτε το και το Η x.. γ. Αν Ax P(P( x)) να βρείτε το κ ώστε A 0

24 . ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΟΡΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Οι ταυτότητες είναι ισότητες που περιέχουν μεταβλητές και ισχύουν για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών. Μας επιτρέπουν να εκτελούμε πράξεις με μεγαλύτερη ταχύτητα και ευκολία. Οι κυριότερες είναι :. (α+β) = α + αβ + β. (α-β) = α - αβ + β. (α+β)(α-β) = α - β. (α+β) = α + α β + αβ + β. (α-β) = α - α β + αβ - β 6. α +β = (α + β)(α - αβ + β ) 7. α -β = (α -β)(α + αβ + β ) 8. (α+β+γ) = α +β +γ +αβ+βγ+αγ. ΣΥΜΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α + β = (α + β) - αβ α + β = (α -β) +αβ α + β = (α + β) - αβ(α + β). (α + β )(x + y ) = (αx + βy) + (αy - βx) (Ταυτότητα Lagrange).

25 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Στις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε τη σωστή επιλογή α) Το (x-) ισούται με: Α. x +9 Β. x -9 Γ. x +9-x Δ. 9+x -x β) Το (-α-β) ισούται με: Α. α -αβ+β Β. α +αβ+β Γ. α +αβ-β Δ. -α -αβ-β γ) Αν x+ x = τότε x + x ισούται με: Α. 6 Β. Γ.8 Δ. δ) Το (α+β+γ)(α-β+γ) ισούται με: Α. α +γ -β Β. (α+γ) -β Γ. α +γ +αγ-β Δ. Το Β και το Γ ε) Tο (-x-y)(x-y) ισούται με: Α. y -x Β. x -y Γ. x +y Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα ε) Το x + -x ισούται με: Α. x Β. x Γ. x + Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα στ) Το (x-y) ισούται με: Α. (y-x) Β. (x+y) Γ. (-x-y) Δ. [x+(-y)] ζ) Το (x+y) ισούται με x +y : Α. Πάντοτε Β. Ποτέ Γ. Όταν x=y=0 Δ. Όταν x=0 ή y=0. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) x x β) γ) δ) x y x x y xy y ε) x x x x στ) x x x x

26 Α ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΝΩ ΠΡΑΞΕΙΣ. Χρησιμοποιώντας τις βασικές ταυτότητες,να κάνετε τις πράξεις.. (χ+) =. (ψ-) =. (χ+) =. (α+/) =. (χ+/χ) = 6. (χ/+ψ/) = 7. (χ-) = 8. (χ+ψ) = 9. (χ-ψ) = 0. (χ+)(χ-) =. (χ-)(χ+)=. (χ-ψ)(χ+ψ)=. (χ-/ψ)(χ+/ψ)=. (α/-β/)(α/+β/)=. (χ+) = 6. (χ-) = 7. (χ-) = 8. (χ/-) =. Να γίνουν οι πράξεις: α) x x x β) x y x y (x xy y ). Να κάνετε τις πράξεις:. (x - ) + (x -). (x + ) - (x - )(x + ). (x + y) - (x - y)(x + y) + (x y). (x - ) + (x + ) - (x - (x +). (α + ) + (α - ) 6. (α -) - (α + )(α - α + ) 7. (α + α) - (α - α) 8. (α - ) - α(α + )(α - ) 6. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν ταυτότητες: ( -.) = χ ψ ( -.) = χ ψ ( +.) = χ ψ ( +.) = χ ψ (χ ψ)(. +.) = χ ψ = (. -..)( ) χ + ψ = (. +..)( ) 7. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (χ + ) (χ ) (χ + ) ( χ) (χ + ψ) (κ λ) (χ + ) (χ ) x ψ χ ψ 6

27 8. Να κάνετε τις πράξεις χρησιμοποιώντας την ταυτότητα (α + β)(α β) = α β : (χ + )(χ -) (χ )(χ + ) (χ - )(χ +) ( χ)( + χ) (χ + ψ)(χ ψ) (κ λ)(κ + λ) (χ + )(χ ) (χ )(χ + ) x ψ x ψ χ ψ χ ψ 9. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α + ) (χ + ) (α + ) ( + α) (α + β) (κ λ) (χ - ) (χ ) x x χ x 0. Να βρείτε τα αναπτύγματα: x x x x (-χ + ) (- χ) (-χ - ψ) x (χ 00 - ) (χ κ ψ λ ) χ ψ a β ψ χ x. Να κάνετε τις πράξεις χρησιμοποιώντας την ταυτότητα (α + β)(α β) = α β : (χ + )(χ -) (χ )(χ + ) (χ - )(χ +) ( χ)( + χ) (χ + ψ)(χ ψ) (κ λ)(κ + λ) (χ + )(χ ) (χ )(χ + ) x ψ x ψ χ ψ χ ψ. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: 8x = (.. - ) χ ψ = ( +..) 6α β 9 = (. - ). Με τη βοήθεια της ταυτότητας α β =(α β)(α + β) να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = = Β = - = Γ = 7 = Δ = 7,, = 7

28 Β ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΩ ΙΣΟΤΗΤΕΣ. Να αποδείξετε ότι: α β αβ α β α β αβ α β α β α β αβ α β α β α β αβ α β α β γ αβ βγ αγ α β β γ γ α. α) Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: i) α β γ α β γ αβ βγ αγ ii) α β γ α β γ αβ βγ αγ β) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: A x y z x y z B x y z x y z 6. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: a β α β α β β) α α α α α) γ) α α 9 α δ) α α α α 7 7 ε) x y y z z x x y z x y z στ) α β α β β α α β β α β α 8α ζ) α β γ α β γ α β γ α β γ 8βγ 7. Να αποδείξετε ότι: i) α β αβ α β ii) α β γ δ αγ βδ αδ βγ 8

29 Γ ΣΥΝΘΕΤΑ - ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8. Να κάνετε τις πράξεις: i) x x x x x ii) α β α β α β α β iii) x x x x x x x iv) 9. Αν α β και α β, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i) α β ii) α β 0. α) Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: i) a β α β αβ α β αβ ii) α β α β αβ α β α βα αβ β iii) α β α β αβ α β α βα αβ β β) Αν γ) Αν x a, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: x A x και B x x x x β, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: x A x και B x x x. α) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α + β + γ) = α + β + γ +αβ + βγ + αγ. β) Αν αβ + βγ + αγ = α + β + γ, να δείξετε ότι η παράσταση Α = (α + ) + (β + ) + (γ + ) είναι τέλειο τετράγωνο. γ) Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόμενα: a a a a 9 a a 9 i) ii) x x x x x x. Δίνονται οι παραστάσεις: Α Β α) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων Α, Β β) Να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης Γ Α Β είναι ίση με 9

30 . Έστω a και β α) Να υπολογίσετε το άθροισμα και το γινόμενο των α, β. β) Με τη βοήθεια της ταυτότητας α + β = (α + β) αβ, να υπολογίσετε το άθροισμα τετραγώνων των α, β.. Με την βοήθεια των εμβαδών στο παρακάτω σχήμα να δείξετε την ταυτότητα (α - β) = α - αβ + β. α β α β β 0. Το άθροισμα δύο αντίστροφων αριθμών είναι. Να υπολογιστούν α) Το άθροισμα των τετραγώνων τους. β) Το άθροισμα των κύβων τους γ) Το τετράγωνο της διαφοράς τους δ) Τη διαφορά τους.. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Με την βοήθεια των εμβαδών στο παρακάτω σχήμα να δείξετε την ταυτότητα α β = (α β)(α + β). α β β α β 0

31 . Αν α + β = χ ψ =, να δείξετε ότι οι τιμές των παρακάτω παραστάσεων Α, Β είναι ίσες με. Α = (α + β ) (α + β ) + αβ. Β = (χ ψ ) (χ + ψ ) χψ. Αν α 8 = β , να υπολογίσετε την τιμή του γινομένου: (α β)(α + β)(α + β )(α + β ). α) Να δείξετε ότι κ λ κ λ κλ β) Να βρείτε δύο θετικούς ακέραιους αριθμούς κ, λ ώστε κλ = και κ + λ = γ) Να κάνετε την παράσταση + τέλειο τετράγωνο. δ) Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του + 6. α) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α + β + γ) = α + β + γ +αβ + βγ + αγ. β) Αν αβ + βγ + αγ = α + β + γ, να δείξετε ότι η παράσταση Α = (α + ) + (β + ) + (γ + ) είναι τέλειο τετράγωνο. 7. Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων α +αβ + β =(α + β), α - αβ + β =(α - β) να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = = Β = = Γ = (α ) (α ) + (α + ) = Δ = ( χ) + ( + χ) - (χ 9) =

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις.

Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις. Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις. Μέρος Α Θεωρία. 1. Πως προσθέτουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 2. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 3. Ποιες είναι οι ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Μονώνυμα Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πράξεις με μονώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι να μάθουν

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

2ay κλάσµα πρέπει πάντα ο παρανοµαστής να είναι διάφορος το µηδενός δηλαδή στο παράδειγµα

2ay κλάσµα πρέπει πάντα ο παρανοµαστής να είναι διάφορος το µηδενός δηλαδή στο παράδειγµα Θεωρία για τα µονώνυµα-πολυώνυµα Σελ. 1 1. Εκφράσεις στις οποίες συνδυάζονται πράξεις µεταξύ αριθµών και µεταβλητών (γραµµάτων) τις ονοµάζουµε αλγεβρικές παραστάσεις. Πχ. -3x+4ψ, 3 x4 α 3 x + y, 3z α.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε

Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε Κανόνες των προσήμων Στην πρόσθεση Όταν οι αριθμοί είναι ομόσημοι Βάζουμε το κοινό πρόσημο και προσθέτουμε (+) και (+) κάνει (+) + + 3 = +5 (-) και (-) κάνει (-) - - 3 = -5 Όταν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 51 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολυώνυμα Όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο όμοιο

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Παραγοντοποίηση. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Παραγοντοποίηση. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 Παραγοντοποίηση Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 0 1 Ενότητα 4 η Ταυτότητες Παραγοντοποίηση Σκοπός Ο σκοπός της 4 η ενότητας είναι να αποκτήσουν την ικανότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί

Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Αν αβ τότε α+γβ+γ Αν αβ τότε α-γβ-γ Αν αβ τότε α γ α β γ β Αν αβ τότε γ γ με γ 0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα του θετικού αριθμού α, ονομάζεται ο θετικός αριθμός χ, όταν χ = α. Ορίζουμε επίσης ότι: 0 0. Δηλαδή αν α, x > 0 και x, τότε x. Συνέπειες του ορισμού Για κάθε πραγματικό αριθμό x ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού.

Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Ενότητα 3 Ρίζες Πραγματικών Αριθμών Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τη λύση ή ρίζα ενός πολυωνύμου της μορφής Ρ x x ν α. Να υπολογίζουμε τη ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Τις ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με

Διαβάστε περισσότερα

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ . A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ - Πράξεις ρητών 1. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 5 7 ii. 8 6 iii. 6 4 iv. 9 5 v. 15 15 vi. 17 0 vii. 0 15 viii. 13 14 ix. 12 16 2. Να υπολογιστούν τα παρακάτω αθροίσματα: i. 6,35

Διαβάστε περισσότερα

απλοποιείται, γιατί οι όροι της είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα το xy. Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον κοινό παράγοντα,

απλοποιείται, γιατί οι όροι της είναι γινόμενα και έχουν κοινό παράγοντα το xy. Αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους με τον κοινό παράγοντα, ΜΕΡΟΣ Α 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις Μια αλγεβρική παράσταση με την μορφή κλάσματος που οι όροι του είναι πολυώνυμα λέγεται ρητή αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου, Κεφάλαιο 1ο 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 1. Τι ονομάζουμε μονώνυμο;. Τι ονομάζουμε ρητή αλγεβρική παράσταση; 3. Ποιες τιμές δεν μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΓΡΑΠΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 009 ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 Ο : α) Ποια μονώνυμα λέγονται αντίθετα; Γράψτε ένα παράδειγμα δύο αντίθετων μονωνύμων. β) Ποια αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Θέματα απολυτήριων εξετάσεων Γ Γυμνασίου σχολικού έτους 013-014 ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ)

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΓΙΟΡΤΕΣ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ) 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.

Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων. Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.

Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης. Τα κόκκινα κομμάτια αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ 1 7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κανόνας πολλαπλασιασµού : Το γινόµενο δύο οµοσήµων αριθµών είναι θετικός ενώ το γινόµενο δύο ετεροσήµων είναι αρνητικός ηλαδή (+) (+) = + και ( ) ( ) = + Ενώ (+) (

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε οµόσηµους και ποιους ετερόσηµους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ακέραιους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ρητούς; Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού; Τι παριστάνει η απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ημήτριος Αργυράκης Παναγιώτης Βουργάνας Κωνσταντίνος Μεντής Σταματούλα Τσικοπούλου Μιχαήλ Χρυσοβέργης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΕΡΟΣ Α Τόμος

Διαβάστε περισσότερα