ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ"

Transcript

1 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός

2 . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό τους προσημό Σε ετερόσημους κάνω αφαίρεση και βάζω το προσημό του μεγαλύτερου αριθμού πχ. + + = = = = - ΧΡΗΣΙΜΟ Κάθε αριθμός χωρίς πρόσημο δεχόμαστε ότι είναι θετικός, δηλαδή α = +α πχ. = +. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ, ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους βάζουμε πρόσημο (+), ενώ σε ετερόσημους (-) πχ. +(+) = + +(-) = - -(+) = - -(-) = + α β α β α : β ΑΝΑΓΩΓΗ ΟΜΟΙΩΝ ΟΡΩΝ (ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ) (κάνουμε πράξεις, πρόσθεση κι αφαίρεση, μόνο με τα όμοια) πχ. x + = ΤΙΠΟΤΑ (έπρεπε να έχω μόνο x ή μόνο νούμερα) x -x = ΤΙΠΟΤΑ (έπρεπε να έχω μόνο x ή μόνο x) 6x + = ΤΙΠΟΤΑ (έπρεπε να έχω μόνο x ή μόνο νούμερα) x + y = ΤΙΠΟΤΑ (έπρεπε να έχω μόνο x ή μόνο y) α+β = ΤΙΠΟΤΑ (έπρεπε να έχω μόνο α ή μόνο β) x +7x = 0x x - x = -x 8α -α = α ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΑ x x = x = x 0x = 0 x = 0 x + x = x x x = x x x = x x x = x x = 6x x x = x. ΠΡΟΣΘΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΛΩΝ ΟΡΩΝ πχ. μόνο με αριθμούς A= Γράφω πρώτα τα (+), μετά τα (-) (τα μετράμε στο σύνολο μην ξεχάσουμε κανένα) A= Διαγράφουμε αντίθετους (+α, -α), αν υπάρχουν A= Προσθέτουμε όλα τα (+) και βάζουμε (+), προσθέτουμε όλα τα (-) και βάζουμε (-) Α= +0-7 Κάνουμε μόνο μία αφαίρεση Α= -7

3 πχ. με αναγωγές, x, x, αριθμούς B= x-x +6-x-7-x++7x -x-++x +6x -x-8x --6x--x Γράφω πρώτα τα x, μετα τα x, μετά τους αριθμούς (με την σειρά που τα συναντώ) (τα μετράμε στο σύνολο μην ξεχάσουμε κανένα) B= -x +7 x +x +6x -8x +x-x-x-x-x-6x-x Χωρίζουμε σε κάθε όμοιο όρο τους θετικούς απο τους αρνητικούς B= + 7x +x +6x -x -8x +x-x-x-x-x-6x-x Διαγράφουμε αντίθετους (+α, -α), αν υπάρχουν B= + 7x + x +6x -x -8x + x -x -x-x-x-6x-x Προσθέτουμε σε κάθε όρο τα (+) και βάζουμε (+), προσθέτουμε τα (-) και βάζουμε (-) B= + x -8x -0x +-0 Κάνω μία αφαίρεση σε κάθε όρο (στα x, στα x, στους αριθμούς) B= + x -0x-9 Σταματάω, γιατι τέλειωσαν οι αναγωγές ομοιών όρων (δεν γίνονται άλλες πράξεις). ΑΠΑΛΟΙΦΗ ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΩΝ Το (-) έξω από παρένθεση αλλάζει όλα τα πρόσημα όταν βγαίνει η παρένθεση, ενώ το (+) τα αφήνει όπως είναι. πχ. (x -x+y-α+)= -x +x-y+α- + (x -x+8β-x +9)= +x -x+8β-x ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ (ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗ) (ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ) (όταν έχω αριθμό με παρένθεση συνεχόμενα ή παρενθέσεις διαδοχικά, εννοείται το επί) πχ. ( x 7 x) 6 0x x (αριθμός επί παρένθεση, υπολογίζω το ( ) του -) x x x (παρένθεση επί παρένθεση) - = ( x x x ) x 6x x 6 (αριθμός επί δυο παρενθέσεις, πρώτα τις δυό παρενθέσεις και ό,τι βρω σε παρένθεση και μετά επιμεριστική με τον αριθμό) x x x (9x x 6) 7x 7x 8 (αριθμός επί ταυτότητα, πρώτα την ταυτότητα και ό,τι βρώ σε παρένθεση και μετά επιμεριστική τον αριθμο με την παρένθεση) 7. ΔΥΝΑΜΕΙΣ 0 0 a... έ / προσοχή: '' ά '' '' ύ '' 9 7 ( ) ενώ δηλαδή - = -9, ενώ (-) = +9, αντίστροφος του α 7 7 πχ. 6 6

4 8. ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ (ΣΕΙΡΑ ΠΡΑΞΕΩΝ) Α. Χωρίς Παρενθέσεις. Δυνάμεις. Πολλαπλασιασμοί Διαιρέσεις. Προσθέσεις - Αφαιρέσεις 8 : 6 : ( ) : 6 : 7 : 9 7 : 0 0 Κάνουμε πρώτα μόνο τις δυνάμεις και αφήνουμε τα υπόλοιπα όπως είναι 8 8 : 6 : ( ) 6 : 6 : 7 : 9 9 : Μετά κάνουμε μόνο τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις προσέχοντας τα πρόσημα Τέλος κάνουμε προσθέσεις κι αφαιρέσεις, χωρίζοντας τους θετικούς από τους αρνητικούς Προσθέτω όλα τα (+) και βάζω (+), προσθέτω όλα τα (-) και βάζω (-) Β. Με Παρενθέσεις Κάνουμε τις πράξεις μόνο μέσα στις παρενθέσεις με τη παραπάνω σειρά (--), αφήνοντας τα υπόλοιπα έξω απο τις παρενθέσεις όπως είναι και μόλις φύγουν οι παρενθέσεις κανουμε τις πράξεις όπως πριν (με την σειρά --) 0 ( 7 : ) 7 6 : : 8 6 : : Κάνουμε τις πράξεις μόνο μέσα στις παρενθέσεις με την γνωστή σειρά και αφήνουμε τα υπόλοιπα όπως είναι, μέχρι σε κάθε παρένθεση να μείνει ένας αριθμός ( 7 :) 9 6 : 6 : : : ( 7) : : ( ) : : ( ) 9 6 : : ( ) 6 : : Τότε κάνω τις πράξεις με την παραπάνω σειρά προσέχοντας τα πρόσημα ( )6 6 : : Γ. Με Άγκιστρα, Αγκύλες, Παρενθέσεις Τα απαλείφουμε (βγάζουμε) από μέσα προς τα έξω πχ. με μεταβλητές και αριθμούς (αλγεβρική παράσταση) (ταυτότητες με δυνάμεις, επιμεριστικές, απαλοιφή παρενθέσεων και αναγωγές) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 7 6 x x x x x x x x x x x x 8x x x 6 x 6x 8x x x x

5 6x x 8x x x 6 x x 6x x 6 x x Χωρίζω τους όμοιους όρους, δηλαδή πρώτα τα x, μετά τα x,και τέλος τα νούμερα x x x 6x x 8x x x 6x x x 6 6 Χωρίζω στους όμοιους όρους τα (+) από τα (-), δηλαδή στα x, στα x, και στα νούμερα x x x 6x 8x x x x 6x x x 6 6 Προσθέτω όλα τα (+) και βάζω (+), προσθέτω όλα τα (-) και βάζω (-), στους όμοιους όρους x 90x x 6 ΣΧΟΛΙΟ x 7x 6 Κάθε αριθμός που δεν είναι κλάσμα γράφεται σαν κλάσμα με παρονομαστή την 9. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΑ a 7 μονάδα, δηλαδή a πχ. 7 Ομώνυμα κάνουμε μόνο σε πρόσθεση κι αφαίρεση, όχι σε πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Ομώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή (το ΕΚΠ των παρονομαστών) ,,, α. : 7 7 (αντιστρέφω διαιρέτη και αντί για διαίρεση κάνω πολλαπλασιασμό) 7 (πολλαπλασιάζω τους άκρους όρους και το γινόμενο μπαίνει β. 7 αριθμητής, πολλαπλασιάζω τους μέσους όρους και το γινόμενο : 7 μπαίνει παρονομαστής) (+),(-) ομώνυμα, 7 αφού βρούμε το ΕΚΠ, στα καπελάκια βάζουμε τον αριθμό (ΕΚΠ/παρονομαστή) ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΡΙΖΕΣ Κάνω πρόσθεση, αφαίρεση ριζών μόνο όταν έχω ίδιες ρίζες, σαν την αναγωγή. πχ. = ΤΙΠΟΤΑ = ΤΙΠΟΤΑ,, 9, ,, 9,...,

6 6 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις μπορεί να είναι σωστή, μπορεί όμως να είναι λάθος.γράψτε δίπλα από κάθε πρόταση το Σ αν αυτή είναι σωστή και το Λ αν αυτή είναι λάθος. Ο αριθμός χ είναι ένας αρνητικός ρητός αριθμός. Ο αριθμός χ είναι ο αντίθετος του αριθμού χ και μπορεί να είναι θετικός ή αρνητικός αν ο χ είναι αρνητικός ή θετικός αντίστοιχα... Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν αντίθετες απόλυτες τιμές.. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν την ίδια πάντα απόλυτη τιμή αφού αυτή εκφράζει την απόσταση των σημείων του άξονα στα οποία αυτοί μπαίνουν από την αρχή του... Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός. Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού μπορεί να είναι και αρνητικός αριθμός... Ο αντίθετος του χ είναι ίσος με το γινόμενο του με τον χ δηλαδή χ = (-) χ Οι ομόσημοι αριθμοί έχουν γινόμενο αριθμό ομόσημο μ αυτούς. Οι ομόσημοι αριθμοί έχουν γινόμενο έναν θετικό αριθμό. Οι ετερόσημοι έχουν γινόμενο έναν αρνητικό αριθμό. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν γινόμενο αρνητικό αριθμό. Αν α ένας ρητός αριθμός τότε α = α και α 0 = 0. Οι αντίστροφοι αριθμοί έχουν γινόμενο 0 Οι αντίστροφοι αριθμοί έχουν γινόμενο Οι αντίστροφοι αριθμοί έχουν γινόμενο. Να γίνουν οι πράξεις: ),,, (,, : ), ( ) ), ( ), (, ) : ) : ) δ 6 γ 6 6 β 6 α. Να βρεθούν οι παραστάσεις: 6 δ 6 6 γ 6 β 6 α ) : ) ) ). Στη παράσταση -7x+(-y+x)-(x-y) να απαλείψετε τις παρενθέσεις και να βρείτε την αριθμητική της τιμή για x=-, y=-. Το ίδιο να κάνετε για τη παράσταση -x+(-9y+x)-(x-7y) θέτοντας όπου x=- και y=-.. Γνωρίζοντας ότι α β = - και χ + ψ = 7 να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων με την βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας: Π = -α + β +χ +ψ Π =. (χ + ψ + α) - 0β Π = α + α - β + 7χ + ψ +ψ Π = α β + χ + 8ψ ψ + χ Π = χα +ψα χβ ψβ

7 6. Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων. ( ) ( ) Α = : Β = : ( ) Γ = : ( ) ( ) ( ) ( 0) : ( ) ( ) Δ= : Ε= : 00 6 : 8 Β ΔΥΝΑΜΕΙΣ 7. Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε τη σωστή απάντηση: ν + - ν + = Α.: ν + Β.: ν Γ.: ν + (ν + ):(ν + ) Δ.: Ε.: ν ν + = Α.: -6 ν + Β.: -6 ν + Γ.: -6 ν + Δ.: 8 ν + Ε.: ν + ν + +6(-) ν + = Α.: ν + Β.: (- ) (ν + ) Γ.: ν + Δ.: (-) ν Ε.: (-) ν + x 8. Αν x, τότε o ακέραιος αριθμός x είναι.. Α.: Β.: - Γ.: ένας περιττός ακέραιος Δ.: ένας άρτιος ακέραιος Επιλέξτε την σωστή απάντηση. 9. Αν, τότε ποια από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστή; Α.: κ = λ Β.: κ + λ 0 Γ.: α = 0 Δ.: α 0 και κ = -λ κ λ α 0. Αν α 0, τότε : (α α ) α = Α.: α α Β.: Γ.: α α Δ.: α Επιλέξτε την σωστή απάντηση.. Να υπολογισθούν οι παραστάσεις 7 ( ) ( ) ( ) α) 6 β) ( ) : 7

8 . Nα υπολογισθούν οι παραστάσεις Α=6(- ) (-) ] () Β= +8(- ) - - +[ ( ) 8 ](-) Γ=8( ) (-) ] () Δ= ( ):(0 9. ). Αν α=, β=, και γ=- να υπολογισθεί η τιμή της παράσταση α α β γ Α= : β γ β. Αν αβ=- και α+β=6 να συμπληρωθούν με την βοήθεια των δυνάμεων οι ισότητες 0 0 α β α) (α ) β) (α - β - ) 0 :(α - +β - α β. Να γράψετε τις παραστάσεις με μορφή μιας δύναμης. Α=8 9 6, Β=( ) + 0 : , Γ= - 6 Δ= Ε= 0 ( x) y 8 0 ( ) y x , 6. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : x 6x x x x x A= x αν x=- 7. Αν x=- και y=- και z= να βρεθεί ο αντίστροφος του Α=-6x -y - +z - 8. Αν x=- και y=- και z= να βρεθεί ο αντίστροφος του Α=-x +y - -z 9. Nα βρείτε την τιμή της παράστασης : A=(-α βγ ) : α β για α=-,β=, γ=. 0. Να υπολογιστεί ο x σε καθεμιά από τις ακόλουθες περιπτώσεις : α) x x =, β) x = 9 8, γ) x, δ) x = x 7 8

9 . Στις παρακάτω ισότητες να υπολογίσετε τον ακέραιο x. Αν i) 6 = x x+ ii)(0,) - x = iii) (-) x+ και x ψ χ α y x y α, α 9 x =7 iv) 8 -x+ =, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης x - + y -, όπου οι αριθμοί α, x, y είναι θετικοί πραγματικοί,. Έστω ότι ισχύει : ν ν ν μ [ 9 7 ] ( ) 7, όπου μ, ν φυσικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί μ και ν είναι διαδοχικοί φυσικοί.. Να υπολογίσετε τους αριθμούς α, β αν γνωρίζετε ότι: αβ και α β.. Μία μπάλα όταν πέφτει από κάποιο ύψος αναπηδά και φτάνει στο μισό αυτού του ύψους. Αφήνουμε την μπάλα να πέσει από κάποιο ύψος χ. α) Να υπολογίσετε σε σχέση με το χ το ύψος που θα φτάσει η μπάλα μετά από: αναπήδηση. αναπηδήσεις. αναπηδήσεις. ν αναπηδήσεις. β) Αν αφήσουμε την μπάλα από ύψος m να βρείτε μετά από ποια αναπήδηση θα φτάσει σε ύψος 6, cm. γ) Να υπολογίσετε από ποιο ύψος αφήσαμε την μπάλα να πέσει αν μετά την 0 η αναπήδηση έφτασε στα -9 m. 6. Εφαρμόζοντας ιδιότητες δυνάμεων να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις και στη συνέχεια να τις υπολογίσετε - x y (x y ) (x y ) A για x = (-0) και y = (x y ) B (x y) (x y ) (x y ) (xy ) για x = (-) - και y = - Γ (x y ) (x y ) (x :y ) (x y ) για x = 0 και y = (-0,) - Δ - (x : y ) x 6 (y : x ) : y για x = - και y = - 9

10 Ε (x - :y ) x για χ = - και y = - y 6 :(x ) Γ ΡΙΖΕΣ 7. Να συμπληρώσετε τις ισότητες : α) 0,0... β)... γ) δ) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : a 6 α) 0, β) γ)... δ) a 9. Συμπληρώστε τις προτάσεις: Αν a x με α, χ μη αρνητικούς αριθμούς τότε ισχύει.. Αν a a τότε ο αριθμός α πρέπει να είναι Αν a a, τότε ο αριθμός α πρέπει να είναι Αν α οποιοσδήποτε αριθμός τότε a... Αν 0 a τότε a... Αν a 0 τότε a a... Αν x 0 x τότε x... Αν x = και x 0 τότε x=. Αν x = και x<0 τότε x=. 0. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: α)6 ε) β) στ )0 γ)x 6 x 00 x δ) αν x 0. Σε κάθε περίπτωση να γίνουν οι πράξεις: 7 ) 0 ) ) 8 90 ) ) 0 6) 6 8 7) 8 7 8)

11 . Ομοίως ) ) 8) ) ) ) 6 0 : 6) 7) 8 8 9) : 0) Nα υπολογιστεί η παράσταση : A= Να γίνουν οι πράξεις : i) 0, ii) 8 0. Nα δείξετε ότι οι παραστάσεις Α= και Β= είναι ίσες. 6. Εάν είναι α και β να δείξετε ότι ισχύει η σχέση α -6α+=β -β+. 7. Να μετατρέψετε τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρανομαστή 9 0 α) β) γ) δ) 0 8. Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: 0 ) ) ) 6 ) 9. Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης : A= : : 0. Αν είναι x, y=, 6 x y x y x y z να επαληθευτεί η ισότητα: z x z. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης x x ) x= ) x=-. όταν είναι :

12 . Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : A= 6 6, B= 0 0. Nα υπολογίσετε τις παραστάσεις : A= 7, B= 0, Γ= 0 6. Να δείξετε ότι : 0.. Αν είναι 6 να δείξετε ότι Α = και να εξετάσετε εάν ισχύει ότι Α=-. 6. Έστω οι θετικοί αριθμοί α, χ για τους οποίους ισχύει α) Να δείξετε ότι ισχύει β) Αν να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 7. Να υπολογίσετε τις τιμές των παρακάτω παραστάσεων: Α= 00 8 Β= 9, 8. Να υπολογίσετε τους αγνώστους χ, ψ, ω αν 00, 90, 9. Αν το τετράγωνο ενός αρνητικού αριθμού χ είναι, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α= ( ) Δ ΣΥΝΘΕΤΑ - ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0. Δίνεται ότι x y 0.Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 6 0x x y 0 x y x z y z (Απ: -0)

13 . Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Π = ( ) ( ) (Ε.Μ.Ε. 999). Αν για τους αριθμούς α, β ισχύει:, να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α =, Β =, Γ =. Να δείξετε ότι : α βγ α β γ α β βγ γα x y x y x y. Να απλοποιηθεί η παράσταση : A= και να υπολογιστεί η x y y τιμή της,όταν x=(-0) και y= 0. α β. Να βρείτε την τιμή της παράστασης : A= α είναι αντίστροφοι α β β, αν οι αριθμοί α,β 6. Έστω οι θετικοί αριθμοί α, β, γ για τους οποίους ισχύει: α = β + γ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 7. Αν ισχύει ότι x y,να δείξετε ότι το κλάσμα x y x y xy έχει σταθερή τιμή. (Απ ) 8. Να δείξετε ότι η παράσταση 8 A 6 8 8,είναι πολλαπλάσιο του 7.

14 9. Αν, είναι μη αρνητικοί αριθμοί, να δείξετε ότι η παράσταση A 9 έχει σταθερή τιμή. (Απ : Α=7) 60. Να δείξετε ότι 6. Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων: Α = Β = Αν το τετράγωνο ενός αρνητικού αριθμού χ είναι, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A (x x ) 6. Να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης: 0 Π = 7 είναι ίση με 7.

15 . ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΟΡΙΣΜΟΙ Αλγεβρική παράσταση λέγεται μια έκφραση, που δηλώνει μια σειρά πράξεων μεταξύ αριθμών, ορισμένοι από τους οποίους παριστάνονται με γράμματα (μεταβλητές). Αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης, λέγεται ο αριθμός που προκύπτει, αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με συγκεκριμένους αριθμούς και μετά εκτελέσουμε τις πράξεις. (Η εκτέλεση των πράξεων γίνεται σύμφωνα με τη γνωστή προτεραιότητα των πράξεων ) Μια αλγεβρική παράσταση θα λέγεται: Άρρητη, όταν περιέχει μεταβλητή κάτω από σύμβολο τετραγωνικής ρίζας Κλασματική, όταν περιέχει γράμμα σε παρονομαστή Ακέραια, όταν δεν είναι ούτε άρρητη ούτε κλασματική. ΜΟΝΩΝΥΜΑ Μονώνυμο ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση, που περιέχει μόνο πολλαπλασιασμό μεταξύ αριθμών και μεταβλητών. Σε κάθε μονώνυμο λοιπόν υπάρχει μόνο ένας αριθμητικός παράγοντας. Ο παράγοντας αυτός γράφεται πρώτος και λέγεται συντελεστής του μονωνύμου. Όλοι οι άλλοι παράγοντες (μεταβλητές), αποτελούν το κύριο μέρος του μονωνύμου. παράδειγμα Βαθμός μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή, είναι ο εκθέτης της μεταβλητής αυτής.

16 Βαθμός μονωνύμου (ως προς όλες τις μεταβλητές που περιέχει), είναι το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών που περιέχει, π.χ. το μονώνυμο χ ψ z, είναι τρίτου βαθμού ως προς x, πέμπτου βαθμού ως προς y, πρώτου βαθμού ως προς z, μηδενικού βαθμού ως προς ω και 9 ου βαθμού ως προς όλες τις μεταβλητές του (διότι ++=9). παράδειγμα Μηδενικό μονώνυμο, είναι κάθε μονώνυμο με συντελεστή μηδέν, Π.χ. 0χψ ω Όμοια μονώνυμα, λέγονται αυτά που έχουν το ίδιο κύριο μέρος. Π.χ τα χ ψω και -7ωχ ψ είναι όμοια, ενώ τα χ ψ, χψ δεν είναι Αντίθετα μονώνυμα, λέγονται αυτά που είναι όμοια και έχουν αντίθετους συντελεστές. Π.χ. τα χ ψ ω και -χ ψ ω είναι αντίθετα. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΟΝΩΝΥΜΩΝ Άθροισμα όμοιων μονωνύμων, είναι ένα όμοιο προς αυτά μονώνυμο που έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους. Π.χ. χψ+χψ =...,χ ω -7χ ω =..., ενώ η πρόσθεση χ ψ+χψ δεν γίνεται. Το άθροισμα δυο αντίθετων μονωνύμων, είναι το μηδενικό μονώνυμο. Το άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια, δεν είναι μονώνυμο, αλλά είναι μια αλγεβρική παράσταση που την ονομάζουμε πολυώνυμο. Γινόμενο μονωνύμων, είναι ένα μονώνυμο που έχει ως συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και ως κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές με εκθέτη σε καθεμιά το άθροισμα των εκθετών της. Π.χ. (χ ψ ω)(-χ ψ 6 ω z) =... Το πηλίκο μονωνύμων, όπως και στους αριθμούς βρίσκεται, με πολλαπλασιασμό επί τον αντίστροφο του διαιρέτη. (Δεν είναι πάντοτε μονώνυμο). 6

17 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Στις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε τη σωστή επιλογή α) Έχουμε τα μονώνυμα: Α= x z, Β=-,y z, Γ=x z, Δ=xz, Ε=-,y z. Όμοια είναι τα εξής: Α. Τα Α, Γ, Δ Β. Τα Α, Β Γ. Τα Β, Ε Δ. Τα Α, Ε β) Το μονώνυμο -x έχει συντελεστή: Α. Το x Β. Το -x Γ. Το Δ. Το -. γ) Το γινόμενο (α βγ) ισούται με: Α. - 6 α βγ Β. - 6 α β γ Γ α β γ Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα δ) Το πηλίκο των μονωνύμων -α β γ και αβ γ είναι: Α. Μονώνυμο Β. Πολυώνυμο Γ. Αριθμός Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Ποιες απο τις παρακάτω ποσότητες είναι μονώνυμα ; (Αν όχι, τότε γιατί ;) χ+ψ, χψ 7, χψ ω -,, χ(χ+),. Να βρείτε τον συντελεστή, το κύριο μέρος και το βαθμό σε καθένα από τα παρακάτω μονώνυμα. χψ. χψ, ψ ω, χψω. Να χωρίσετε τα παρακάτω μονώνυμα σε ζεύγη ομοίων μονωνύμων χ ψ, χω, -χ ψ, χ ψ κ, 6ω χ, -ψχ, ψ χ, -κψ χ. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ +ψ β) χ +6χ γ) χ ω-7ωχ δ) χ +χ ε) χ +χ ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ κ) χ -χ λ) χ -χ μ) χ-χ 6. Να εκτελέσετε τις αναγωγές ομοίων όρων. α) χ -χ +χ -χ+χ +χ β) χ ψ+χψ +ψχ-χ ψ +ψ χ+χ ψ-χ ψ -χψ 7. Να εκτελέσετε τους πολλαπλασιασμούς 7

18 α) (χ ψ)(-χψ ) β) (χψω )(χ ψ ) γ) (-χψ)(-χψ) δ) (-χψ )(χ ψ) 8. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Μονώνυμο Συντελεστής Βαθμός ως προς x Βαθμός ως προς y Βαθμός ως προς x και y x y 6 -xy x y 7 x ΣΥΝΘΕΤΑ - ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 9. Δίνονται τα μονώνυμα x y και x y. Να βρείτε τα α, μ, κ ώστε τα μονώνυμα να είναι: i) ίσα ii) αντίθετα 0. Δίνονται τα μονώνυμα x y και Να βρείτε τα α, κ, λ ώστε μονώνυμα να είναι: i) όμοια ii) ίσα iii) αντίθετα x y. Δίνεται η παράσταση x y x y. Να βρείτε τις τιμές των, ώστε η παραπάνω παράσταση να είναι μονώνυμο.. α. Αν x=- Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης x +x + β. Αν x=- Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης x -x+ γ. Αν x=- Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης x + δ. Αν x=7 Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης +x+ x. Να βρείτε τους ακέραιους κ,λ ώστε η παράσταση να είναι μονώνυμο A x y 8x y κ λ 8

19 .. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Πολυώνυμο, ονομάζουμε ένα αλγεβρικό άθροισμα μονωνύμων,όπου δύο τουλάχιστο από αυτά δεν είναι όμοια. Όρους του πολυωνύμου, ονομάζουμε τα μονώνυμα και συντελεστές του πολυωνύμου, ονομάζουμε τους συντελεστές των μονωνύμων. Βαθμός πολυωνύμου ως προς μία μεταβλητή (ή ως προς περισσότερες μεταβλητές του) λέγεται πιο μεγάλος βαθμός όλων των όρων του ως προς την μεταβλητή αυτή (ή ως προς τις μεταβλητές αυτές). Πολυώνυμο μιας μεταβλητής Τα πολυώνυμα με μία μεταβλητή π.χ. x + x +-7 για συντομία συμβολίζονται P(x) ή Q(x) ή A(x) Αν ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής γραφτεί με την ανηγμένη του μορφή κατά τέτοιο τρόπο, ώστε οι εκθέτες της μεταβλητής να ελαττώνονται, τότε λέμε ότι είναι διατεταγμένο κατά τις φθίνουσες δυνάμεις της μεταβλητής του. Π.χ. χ +χ -χ+7 Ο όρος με τον μεγαλύτερο εκθέτη λέγεται μεγιστοβάθμιος (δηλαδή το χ ), ενώ ο όρος μηδενικού βαθμού λέγεται σταθερός όρος (δηλ. το 7). Ένα πολυώνυμο το λέμε ομογενές ως προς μερικές ή ως προς όλες τις μεταβλητές του, όταν όλοι οι όροι του είναι του ίδιου βαθμού ως προς τις μεταβλητές αυτές. παράδειγμα Πολυώνυμο Βαθμός Βαθμός ως προς x Βαθμός ως προς y 6 Α x y x y 8 6 B x x x - 9

20 Ίσα πολυώνυμα Δύο πολυώνυμα είναι ίσα, όταν έχουν όρους ίσα μονώνυμα. παράδειγμα Τα πολυώνυμα (-α)x - x + x+ και βx + γx + είναι ίσα, αν α = και β = -,γ=. ΆΘΡΟΙΣΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Αναγωγή ομοίων όρων Αν σε ένα πολυώνυμο αντικαταστήσουμε τα όμοια μονώνυμα (αν υπάρχουν) με το άθροισμά τους, τότε λέμε ότι κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. Η τελική μορφή η οποία δεν έχει όμοιους όρους, λέγεται ανηγμένη μορφή του πολυωνύμου. Πολυώνυμο με δυο όρους το ονομάζουμε και διώνυμο. Πολυώνυμο με τρεις όρους το ονομάζουμε και τριώνυμο. Άθροισμα πολυωνύμων Μπορούμε να προσθέτουμε ή να αφαιρούμε πολυώνυμα χρησιμοποιώντας : τις γνωστές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. την αναγωγή ομοίων όρων παράδειγμα τα πολυώνυμα A(x) = x - x - 7x - και B(x) = x - x + x έχουν άθροισμα ή διαφορά που βρίσκουμε ως εξής: A(x)+B(x) = (x - x - 7x - ) + (x - x + x) = = x - x - 7x - + x - x + x = 8x - x - 6x -. (Απαλείφουμε τις παρενθέσεις) (Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων) Όμοια, έχουμε A(x)-B(x) = (x - x - 7x - ) - (x - x + x) = = x - x - 7x - - x + x - x = = x - x - 8x -. 0

21 . ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο επί πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. παράδειγμα x (x + 7x) = =x x + x 7x = 6x + x Για να πολλαπλασιάσουμε δυο πολυώνυμα, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός με κάθε όρο του άλλου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. παράδειγμα x y x xy x x x xy x y x y xy y x x y x x y xy y Όταν κάνουμε τον πολλαπλασιασμό μονωνύμου με πολυώνυμο ή δυο πολυωνύμων, λέμε πολλές φορές ότι αναπτύσσουμε τα γινόμενα αυτά και το αποτέλεσμα το λέμε ανάπτυγμα του γινομένου. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Στις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε τη σωστή επιλογή α) Η αλγεβρική παράσταση x -x +-(7x -x+) μετά την απαλοιφή των παρενθέσεων και τις αναγωγές ομοίων όρων ισούται με: Α. -x -x +6-x B. x -x +-7x -x+ Γ. x -x +-7x +x- Δ. Τίποτα από τα πάρα-πάνω β) Το γινόμενο (α+β)(γ-δ) ισούται με: Α. α+βγ-δ Β. αγ-βδ Γ. αγ-αδ+βγ-βδ Δ. αγ+αδ+βγ+βδ. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) Αν το πολυώνυμο P(x) έχει βαθμό και το πολυώνυμο Q(x) έχει βαθμό, τότε το πολυώνυμο P(x) Q(x) έχει βαθμό 8. β)αν το πολυώνυμο P(x) Q(x) έχει βαθμό 6 και το πολυώνυμο P(x) έχει βαθμό, τότε το πολυώνυμο Q(x) έχει βαθμό.. Ποιες από τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις είναι πολυώνυμα; A x x, A x y x y x x, x x

22 Α ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΟΡΙΣΜΟΥΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί α) χ -χ+ψ β) χψ -χ ψ+χ ψ 6 -χ+ψ- γ) χ ψ+χψ χ ψ +χ-ψ+. Να εκτελέσετε τους πολλαπλασιασμούς α) χ(χ+) β) χ(χ-) γ) χ(χ-) δ) χ (χ -) ε) χ(χ -χ +χ-) 6. Να εκτελέσετε τους πολλαπλασιασμούς, να κάνετε τις αναγωγές ομοίων όρων και να τακτοποιήσετε τα πολυώνυμα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις. α) (x-)(x+) β) (x+)(x+) γ) (x -)(x +) δ) (x+)(x+) ε) (x +)(x-) ζ) (x -)(x+) η) (χ +)(χ -) θ) (χ +χ-)(χ+) ι) (χ -)(χ +χ-) κ) (x +x+)(x-) λ) (x +)(x-) μ) (x +x-)(x -6x-) ν) (x-)(x+)(x-) ξ) (x-)(x+)(x-) ο) x(x+)(x-) 7. Να γίνουν οι πράξεις: x x x x x 6 x x 8. Να γίνουν οι πράξεις: αβ α β αβ α β α α β 9. Να γίνουν οι πράξεις : α α αβ β α β 0. Να γίνουν οι πράξεις: x 8 x x x x x. Δίνονται τα πολυώνυμα Α=x -x+, B=x -, Γ=-x +x -. Να βρείτε τα πολυώνυμα α) Α Β Γ β) Α.Β και στην συνέχεια την αριθμητική τους τιμή για x=-. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ x x x και Qx x x 8. Nα βρείτε τα πολυώνυμα Px Qx, P x Qx και. Να γίνουν οι πράξεις : α α α α 8. Να γίνουν οι πράξεις : xx x x x P x Q x. Να γίνουν οι πράξεις: xx x x x x x x x x x 6. Να γίνουν οι πράξεις: x x

23 Β ΣΥΝΘΕΤΑ - ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7. Δίνονται τα πολυώνυμα Να βρείτε τα α, κ, λ,μ ώστε μονώνυμα να είναι ίσα. A x y και B x y 8. Δίνονται τα πολυώνυμα Ax 6 x x x και Bx x x. Να βρείτε τα α, β, γ,δ ώστε μονώνυμα να είναι ίσα. Q x, y x y x y x. 9. Δίνεται η παράσταση Να βρείτε τις ακέραιες τιμές των, ώστε η παραπάνω αλγεβρική παράσταση να είναι πολυώνυμο. 0. Δίνονται τα πολυώνυμα x x x x και Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: P x Q x P x Q x P Q x x x α) β) γ) x δ) P x P x ε) Qx στ) Px Qx ζ) P x Qx η) P Q. Δίνεται το πολυώνυμο P x x x x α) Για ποια τιμή του το P x είναι τρίτου βαθμού β) Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου όταν γ) Για P P, να υπολογίσετε την παράσταση. Δίνεται το πολυώνυμο P x x x x x α) Για ποια τιμή του το P x είναι πρώτου βαθμού β)να δείξετε ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός,ώστε γ) Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου όταν 0 δ) Για P P, να υπολογίσετε την παράσταση. Δίνονται τα πολυώνυμα x x x και Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: P Q x P x Q x x α) β) Q x x P 0 0 γ) P Qx Px. Έστω τα πολυώνυμα P(x) x x, Q(x) x x και H (x) για τα οποία ισχύει : Q(x) H(x) P(x). α. Να βρείτε τον βαθμό του Η x. β. Να βρείτε το και το Η x.. γ. Αν Ax P(P( x)) να βρείτε το κ ώστε A 0

24 . ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΟΡΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Οι ταυτότητες είναι ισότητες που περιέχουν μεταβλητές και ισχύουν για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών. Μας επιτρέπουν να εκτελούμε πράξεις με μεγαλύτερη ταχύτητα και ευκολία. Οι κυριότερες είναι :. (α+β) = α + αβ + β. (α-β) = α - αβ + β. (α+β)(α-β) = α - β. (α+β) = α + α β + αβ + β. (α-β) = α - α β + αβ - β 6. α +β = (α + β)(α - αβ + β ) 7. α -β = (α -β)(α + αβ + β ) 8. (α+β+γ) = α +β +γ +αβ+βγ+αγ. ΣΥΜΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α + β = (α + β) - αβ α + β = (α -β) +αβ α + β = (α + β) - αβ(α + β). (α + β )(x + y ) = (αx + βy) + (αy - βx) (Ταυτότητα Lagrange).

25 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Στις παρακάτω προτάσεις να σημειώσετε τη σωστή επιλογή α) Το (x-) ισούται με: Α. x +9 Β. x -9 Γ. x +9-x Δ. 9+x -x β) Το (-α-β) ισούται με: Α. α -αβ+β Β. α +αβ+β Γ. α +αβ-β Δ. -α -αβ-β γ) Αν x+ x = τότε x + x ισούται με: Α. 6 Β. Γ.8 Δ. δ) Το (α+β+γ)(α-β+γ) ισούται με: Α. α +γ -β Β. (α+γ) -β Γ. α +γ +αγ-β Δ. Το Β και το Γ ε) Tο (-x-y)(x-y) ισούται με: Α. y -x Β. x -y Γ. x +y Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα ε) Το x + -x ισούται με: Α. x Β. x Γ. x + Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα στ) Το (x-y) ισούται με: Α. (y-x) Β. (x+y) Γ. (-x-y) Δ. [x+(-y)] ζ) Το (x+y) ισούται με x +y : Α. Πάντοτε Β. Ποτέ Γ. Όταν x=y=0 Δ. Όταν x=0 ή y=0. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ) αν είναι λανθασμένες. α) x x β) γ) δ) x y x x y xy y ε) x x x x στ) x x x x

26 Α ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΝΩ ΠΡΑΞΕΙΣ. Χρησιμοποιώντας τις βασικές ταυτότητες,να κάνετε τις πράξεις.. (χ+) =. (ψ-) =. (χ+) =. (α+/) =. (χ+/χ) = 6. (χ/+ψ/) = 7. (χ-) = 8. (χ+ψ) = 9. (χ-ψ) = 0. (χ+)(χ-) =. (χ-)(χ+)=. (χ-ψ)(χ+ψ)=. (χ-/ψ)(χ+/ψ)=. (α/-β/)(α/+β/)=. (χ+) = 6. (χ-) = 7. (χ-) = 8. (χ/-) =. Να γίνουν οι πράξεις: α) x x x β) x y x y (x xy y ). Να κάνετε τις πράξεις:. (x - ) + (x -). (x + ) - (x - )(x + ). (x + y) - (x - y)(x + y) + (x y). (x - ) + (x + ) - (x - (x +). (α + ) + (α - ) 6. (α -) - (α + )(α - α + ) 7. (α + α) - (α - α) 8. (α - ) - α(α + )(α - ) 6. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να προκύψουν ταυτότητες: ( -.) = χ ψ ( -.) = χ ψ ( +.) = χ ψ ( +.) = χ ψ (χ ψ)(. +.) = χ ψ = (. -..)( ) χ + ψ = (. +..)( ) 7. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (χ + ) (χ ) (χ + ) ( χ) (χ + ψ) (κ λ) (χ + ) (χ ) x ψ χ ψ 6

27 8. Να κάνετε τις πράξεις χρησιμοποιώντας την ταυτότητα (α + β)(α β) = α β : (χ + )(χ -) (χ )(χ + ) (χ - )(χ +) ( χ)( + χ) (χ + ψ)(χ ψ) (κ λ)(κ + λ) (χ + )(χ ) (χ )(χ + ) x ψ x ψ χ ψ χ ψ 9. Να βρείτε τα αναπτύγματα: (α + ) (χ + ) (α + ) ( + α) (α + β) (κ λ) (χ - ) (χ ) x x χ x 0. Να βρείτε τα αναπτύγματα: x x x x (-χ + ) (- χ) (-χ - ψ) x (χ 00 - ) (χ κ ψ λ ) χ ψ a β ψ χ x. Να κάνετε τις πράξεις χρησιμοποιώντας την ταυτότητα (α + β)(α β) = α β : (χ + )(χ -) (χ )(χ + ) (χ - )(χ +) ( χ)( + χ) (χ + ψ)(χ ψ) (κ λ)(κ + λ) (χ + )(χ ) (χ )(χ + ) x ψ x ψ χ ψ χ ψ. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: 8x = (.. - ) χ ψ = ( +..) 6α β 9 = (. - ). Με τη βοήθεια της ταυτότητας α β =(α β)(α + β) να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = = Β = - = Γ = 7 = Δ = 7,, = 7

28 Β ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΩ ΙΣΟΤΗΤΕΣ. Να αποδείξετε ότι: α β αβ α β α β αβ α β α β α β αβ α β α β α β αβ α β α β γ αβ βγ αγ α β β γ γ α. α) Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: i) α β γ α β γ αβ βγ αγ ii) α β γ α β γ αβ βγ αγ β) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: A x y z x y z B x y z x y z 6. Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: a β α β α β β) α α α α α) γ) α α 9 α δ) α α α α 7 7 ε) x y y z z x x y z x y z στ) α β α β β α α β β α β α 8α ζ) α β γ α β γ α β γ α β γ 8βγ 7. Να αποδείξετε ότι: i) α β αβ α β ii) α β γ δ αγ βδ αδ βγ 8

29 Γ ΣΥΝΘΕΤΑ - ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8. Να κάνετε τις πράξεις: i) x x x x x ii) α β α β α β α β iii) x x x x x x x iv) 9. Αν α β και α β, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i) α β ii) α β 0. α) Να αποδείξετε τις παρακάτω ταυτότητες: i) a β α β αβ α β αβ ii) α β α β αβ α β α βα αβ β iii) α β α β αβ α β α βα αβ β β) Αν γ) Αν x a, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: x A x και B x x x x β, να υπολογίσετε τις παραστάσεις: x A x και B x x x. α) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α + β + γ) = α + β + γ +αβ + βγ + αγ. β) Αν αβ + βγ + αγ = α + β + γ, να δείξετε ότι η παράσταση Α = (α + ) + (β + ) + (γ + ) είναι τέλειο τετράγωνο. γ) Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόμενα: a a a a 9 a a 9 i) ii) x x x x x x. Δίνονται οι παραστάσεις: Α Β α) Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων Α, Β β) Να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης Γ Α Β είναι ίση με 9

30 . Έστω a και β α) Να υπολογίσετε το άθροισμα και το γινόμενο των α, β. β) Με τη βοήθεια της ταυτότητας α + β = (α + β) αβ, να υπολογίσετε το άθροισμα τετραγώνων των α, β.. Με την βοήθεια των εμβαδών στο παρακάτω σχήμα να δείξετε την ταυτότητα (α - β) = α - αβ + β. α β α β β 0. Το άθροισμα δύο αντίστροφων αριθμών είναι. Να υπολογιστούν α) Το άθροισμα των τετραγώνων τους. β) Το άθροισμα των κύβων τους γ) Το τετράγωνο της διαφοράς τους δ) Τη διαφορά τους.. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Με την βοήθεια των εμβαδών στο παρακάτω σχήμα να δείξετε την ταυτότητα α β = (α β)(α + β). α β β α β 0

31 . Αν α + β = χ ψ =, να δείξετε ότι οι τιμές των παρακάτω παραστάσεων Α, Β είναι ίσες με. Α = (α + β ) (α + β ) + αβ. Β = (χ ψ ) (χ + ψ ) χψ. Αν α 8 = β , να υπολογίσετε την τιμή του γινομένου: (α β)(α + β)(α + β )(α + β ). α) Να δείξετε ότι κ λ κ λ κλ β) Να βρείτε δύο θετικούς ακέραιους αριθμούς κ, λ ώστε κλ = και κ + λ = γ) Να κάνετε την παράσταση + τέλειο τετράγωνο. δ) Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του + 6. α) Να αποδείξετε την ταυτότητα (α + β + γ) = α + β + γ +αβ + βγ + αγ. β) Αν αβ + βγ + αγ = α + β + γ, να δείξετε ότι η παράσταση Α = (α + ) + (β + ) + (γ + ) είναι τέλειο τετράγωνο. 7. Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων α +αβ + β =(α + β), α - αβ + β =(α - β) να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: Α = = Β = = Γ = (α ) (α ) + (α + ) = Δ = ( χ) + ( + χ) - (χ 9) =

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ

Σειρά: ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ Tίτλος: ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Συγγραφέας: ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Φώτης Κουνάδης Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Τ Α Γ Ι Α Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ ΕΚ ΟΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΛΙΒΑΝΗ ΑΘΗΝΑ 2007 Σειρά:

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις ανισότητες

Εισαγωγή στις ανισότητες Σελίδα 1 από ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ Εισαγωγή στις ανισότητες Μπάμπης Στεργίου, 004 Το άρθρο αυτό είχε την τύχη να ολοκληρωθεί σε βιβλίο, το οποίο κυκλοφορεί με τον τίτλο : Μπάμπης Στεργίου Νίκος Σκομπρής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 2 Πρόσθεση αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Προσθετέοι 18+17=35 α Προσθετέοι + β = γ Άθοι ρ σμα Άθοι ρ σμα 13 + 17 = 17 + 13 Πρόσθεση φυσικών αριθμών Πρόσθεση είναι η πράξη με την οποία από

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου

Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Σειρά: Τράπεζα Θεμάτων Γυμνασίου Θέματα Προαγωγικών και Απολυτηρίων εξετάσεων Γυμνασίων του Νομού Δωδεκανήσου Σχολικό Έτος: 01-013 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Δωδεκανήσου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2. αx 2 + βx + γ = 0, α 0. x = Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ (α + β) = α + αβ + β α + β + γ = 0, α 0 = β ± β 4αγ α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πράξεις με Πραγματικούς αριθμούς. Μονώνυμα - Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα - Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής

Κλάσματα. Στις προηγούμενες ερωτήσεις απαντήσαμε με την βοήθεια των κλασμάτων. πόσα μέρη πήραμε σε πόσαίσα μέρη χωρίσαμε : αριθμητής Κλάσματα Ένα βράδυ τρεις φίλοι αγοράζουν πίτσα και την χωρίζουν σε οκτώ κομμάτια. Ο ένας έφαγε το ένα, ο δεύτερος τα τρία και ο τρίτος δύο κομμάτια. Μπορείς να βρεις το μέρος της πίτσας που έφαγε ο καθένας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/2014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04/01/2014 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1 Α4 και δίπλα το γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ

6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ 6.2 ΛΟΓΟΣ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. Λόγος οµοειδών µεγεθών : Ονοµάζουµε λόγο δύο οµοιειδών µεγεθών, που εκφράζονται µε την ίδια µονάδα µέτρησης, το πηλίκο των µέτρων τους. 2. Αναλογία: Η ισότητα δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση

Υπενθύμιση Δ τάξης. Παιχνίδια στην κατασκήνωση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Υπενθύμιση Δ τάξης Παιχνίδια στην κατασκήνωση Συγκρίνω δυο αριθμούς για να βρω αν είναι ίσοι ή άνισοι. Στην περίπτωση που είναι άνισοι μπορώ να βρω ποιος είναι μεγαλύτερος (ή μικρότερος). Ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1,

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1, Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΥΜΝΑΣΙΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 011-01 ΝΟΜΟΣ: ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Β. ΙΩΑΝΝΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΠΕ03 ΡΟΔΟΣ, ΣΕΠΤΕΒΡΙΟΣ 01 Θέματα προαγωγικών και απολυτηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις 2 ου βαθμού

Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι Συνολο λεγεται καθε συλλογη 3. Να δειχτει αντικειμενων, οτι α + 0 που προερχονται 0α. Ποτε ισχυει απ την το εμπειρια ισον; μας η τη διανοηση 3 3. μας, Aν α, ειναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

t, όπου t Ζ. , t Ζ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Επίλυση Γραμμικής Διοφαντικής Εξίσωσης Έστω η εξίσωση x y, όπου,, ακέραιοι με και Αν αναζητούμε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης αυτής, ηλαή ζεύγη ακεραίων

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Άλγεβρα. Ν.Σ. Μαυρογιάννης. Α' Λυκείου. Σχολικές Σημειώσεις.

ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Άλγεβρα. Ν.Σ. Μαυρογιάννης. Α' Λυκείου. Σχολικές Σημειώσεις. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Άλγεβρα Α' Λυκείου Σχολικές Σημειώσεις Εκδοχή 02 Σχολικό Έτος 2013-2014 Εκδοχή 02 Σχολικό Έτος 2013-2014 ÈÖÓØÙÔÓ È Ö Ñ Ø Ó Ò Ó ÄÙ Ó Ù Ð ËÕÓÐ

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ 1 1.5 ΧΑΡΑΚΤΗΡΕΣ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ ΜΚ ΕΚΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΡΩΤΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πολλαπλάσια του α : Είναι οι αριθµοί που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουµε τον α µε όλους τους φυσικούς. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 11 ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΠΕΝΤΑΨΗΦΙΟΙ ΚΑΙ ΕΞΑΨΗΦΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών ΑΡ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Μαθηματικά Α Τάξης Γυμνασίου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα