Parametarski zadane neprekidne distribucije
|
|
- Πᾰλαιμον Καραβίας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Kristijan Šućur Parametarski zadane neprekidne distribucije Završni rad Osijek, 217.
2 Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Kristijan Šućur Parametarski zadane neprekidne distribucije Završni rad Mentor: izv. prof. dr. sc. Nenad Šuvak Komentor: doc. dr. sc. Dragana Jankov Maširević Osijek, 217.
3 Sažetak Ovaj završni rad govori o parametarski zadanim neprekidnim slučajnim varijablama. U radu su definirane neke od najznačajnijih parametarski zadanih neprekidnih slučajnih varijabli te su za svaku od njih izračunate funkcija distribucije i pripadne numeričke karakteristike. Takoder je svaka vrsta potkrijepljena primjerima za lakše razumijevanje. Ključne riječi: parametarski zadane neprekidne slučajne varijable, uniformna slučajna varijabla, eksponencijalna slučajna varijabla, dvostrana eksponencijalna (Laplaceova) slučajna varijabla, Gama (Γ) slučajna varijabla, normalna slučajna varijabla, χ 2 slučajna varijabla Abstract This bachelor s thesis is about parametric continuous random variables. In this thesis, some of the most important parametric continuous random variables are defined and for each of them distribution function and its corresponding numerical characteristics are calculated. Also, for every type we consider some examples, for easier understanding. Key words: parametric continuous random variables, uniform random variable, exponential random variable, double exponential (Laplace) random variable, Gamma (Γ) random variable, normal random variable, χ 2 random variable
4 Sadržaj 1 Uvod Osnovni pojmovi i definicije Slučajna varijabla Neprekidna slučajna varijabla Funkcija distribucije neprekidne slučajne varijable Numeričke karakteristike neprekidne slučajne varijable Parametarski zadane neprekidne slučajne varijable Uniformna slučajna varijabla Funkcija distribucije uniformne slučajne varijable Numeričke karakteristike uniformne slučajne varijable Primjeri uniformne slučajne varijable Eksponencijalna slučajna varijabla Funkcija distribucije eksponencijalne slučajne varijable Numeričke karakteristike eksponencijalne slučajne varijable Primjeri eksponencijalne slučajne varijable Dvostrana eksponencijalna (Laplaceova) slučajna varijabla Funkcija distribucije dvostrane eksponencijalne slučajne varijable Numeričke karakteristike dvostrane eksponencijalne slučajne varijable Primjeri dvostrane eksponencijalne slučajne varijable Gama (Γ) slučajna varijabla Funkcija distribucije Gama slučajne varijable Numeričke karakteristike Gama slučajne varijable Primjeri Gama slučajne varijable Normalna slučajna varijabla Funkcija distribucije normalne slučajne varijable Numeričke karakteristike normalne slučajne varijable Primjeri normalne slučajne varijable χ 2 slučajna varijabla Funkcija distribucije, očekivanje i varijanca χ 2 slučajne varijable Primjeri χ 2 slučajne varijable
5 1 Uvod Kolika je vjerojatnost da će trajanje leta od jednog mjesta do drugog biti u odredenom vremenskom intervalu? Kolika je vjerojatnost da ćete čekati u redu ispred telefonske govornice više od nekog odredenog vremena? Kolika je vjerojatnost da se automobilske gume nakon odredenog broja prijedenih kilometara neće istrošiti? Kolika je vjerojatnost da će student zakasniti na predavanje? Ovo su samo neka od mnogih pitanja iz stvarnog života na koja ćemo pokušati dati odgovor koristeći teoriju vjerojatnosti. Cilj ovog završnog rada je upoznavanje s parametarskim neprekidnim slučajnim varijablama. Za početak ćemo se upoznati s neprekidnim slučajnim varijablama te navesti njihove osnovne karakteristike. Detaljnim proučavanjem raznih parametarski zadanih neprekidnih slučajnih varijabli dat ćemo odgovore na pitanja s početka poglavlja, ali i na brojna druga pitanja iz stvarnog života. 1.1 Osnovni pojmovi i definicije Kako bi što bolje shvatili pojam slučajne varijable za početak ćemo ponoviti osnovne pojmove iz teorije vjerojatnosti. Upoznat ćemo se s pojmom σ-algebre, definirati vjerojatnost te vidjeti što je to vjerojatnosni prostor. Definicija 1.1 Važni pojmovi vezani uz slučajan pokus: ˆ elementarni dogadaj - to je svaki mogući ishod jednog izvodenja slučajnog pokusa (oznaka ω) ˆ skup elementarnih dogadaja - skup svih mogućih ishoda slučajnog pokusa (oznaka Ω) ˆ slučajan dogadaj - svaki podskup skupa elementarnih dogadaja. Definicija 1.2 (σ-algebra) Neka je Ω. Familija skupova F koja sadrži podskupove skupa Ω naziva se σ-algebra (na Ω) ako zadovoljava sljedeća svojstva: ˆ F ˆ ako je A F onda je i A c F ˆ ako je dana familija skupova (A i, i I), I N iz F onda je i njihova unija takoder element iz F, tj. i I A i F. Definicija 1.3 (Vjerojatnost) Neka je Ω skup elementarnih dogadaja i F σ- algebra na njemu. Funkcija P : F R je vjerojatnost na Ω ako zadovoljava sljedeća svojstva, koja nazivamo i aksiomima vjerojatnosti: 1
6 ˆ P (A), za svaki A F (nenegativnost) ˆ P (Ω) = 1 (normiranost) ˆ ako je dana familija medusobno disjunktnih skupova (A i, i I) iz F onda je P ( A i ) = P (A i ) (σ-aditivnost). i I i I Definicija 1.4 Uredena trojka (Ω, F, P ) skupa Ω, σ-algebre F na njemu i vjerojatnosti P : F R naziva se vjerojatnosni prostor. 2 Slučajna varijabla U ovom poglavlju upoznat ćemo se sa slučajnom varijablom. Definirat ćemo ju i steći osnovu za daljnje razumijevanje ovog rada. Najprije, navedimo njezinu definiciju. Definicija 2.1 Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor i B R σ-algebra na R generirana svim otvorenim podskupovima od R, a nazivamo ju Borelova σ-algebra. Svaka funkcija X : Ω R takva da je skup {ω Ω : X(ω) B} dogadaj iz F, za svaki B B R, tj. {ω Ω : X(ω) B} F za svaki B B R, tj. X 1 (B) F, za svaki B B R je slučajna varijabla. Definicija 2.2 Skup svih vrijednosti koje može poprimiti slučajna varijabla X naziva se slika slučajne varijable i označava se s R(X). Postoje dvije vrste slučajnih varijabli: diskretne i neprekidne. Diskretna slučajna varijabla je slučajna varijabla kojoj je slika diskretan skup. Sljedeće dvije definicije će nam pobliže opisati diskretnu slučajnu varijablu. Definicija 2.3 Slučajna varijabla X : Ω R na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ) je diskretna ako postoji diskretan skup D R tako da je P (X D) = 1, tj. ako joj je slika diskretan skup. Definicija 2.4 Na diskretnom vjerojatnosnom prostoru (Ω, P(Ω), P ) je svaka funkcija X : Ω R slučajna varijabla i to diskretna. Kako diskretne slučajne varijable nisu predmet ovoga rada, o njima čitatelj može saznati više u [2, str. 55]. U sljedećem poglavlju ćemo se detaljnije upoznati s neprekidnom slučajnom varijablom. 2
7 2.1 Neprekidna slučajna varijabla Ako slika slučajne varijable nije diskretan skup, nego je npr. neki interval realnih brojeva, cijeli R i tome slično u tom slučaju govorimo o neprekidnim slučajnim varijablama koje su tema ovog rada. Definicija 2.5 Neka je dan vjerojatnosni prostor (Ω, F, P ) i funkcija X : Ω R za koju vrijedi: ˆ {ω Ω : X(ω) x} = {X x} F za svaki x R, ˆ postoji nenegativna realna funkcija realne varijable f, takva da je: P {ω Ω : X(ω) x} = P {X x} = x f(t) dt, za svaki x R. Funkciju X zovemo neprekidna slučajna varijabla na Ω, a funkciju f tada zovemo funkcija gustoće slučajne varijable X. Bitna svojstva funkcije gustoće neprekidne slučajne varijable (vidi [2, str. 61]): 1) nenegativnost: f(x) za sve x R, 2) normiranost: f(x)dx = 1, 3) vjerojatnost da slučajna varijabla X, čija je funkcija gustoće f, primi vrijednost iz intervala a, b] može se izračunati korištenjem funkcije gustoće na sljedeći način: P {X a, b]} = P {a < X b} = b Dokaz: 2) Očito je n f(x)dx = lim f(x)dx. n a f(x)dx. Uz pomoć neprekidnosti vjerojatnosti u odnosu na monotono rastuću familiju dogadaja imamo: n lim f(x)dx = lim P {X, n]} = P {Ω} = 1. n n 3) Tvrdnja slijedi iz svojstava vjerojatnosti i integrala: P {X a, b]} = P {X b} P {X a} = 3 b f(x)dx a f(x)dx = b a f(x)dx.
8 2.1.1 Funkcija distribucije neprekidne slučajne varijable Definicija 2.6 Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor i X : Ω R slučajna varijabla na njemu. Funkciju F X : R [, 1] koja svakom realnom broju x R pridružuje vjerojatnost da je slučajna varijabla X manja ili jednaka tom broju, tj. funkciju definiranu s F X (x) = P {X x} = P {ω Ω : X(ω) x} nazivamo funkcija distribucije slučajne varijable X. Teorem 2.1 (Svojstva funkcije distribucije) Neka je (Ω, F, P ) vjerojatnosni prostor, X : Ω R slučajna varijabla na njemu i F X : R [, 1] njena funkcija distribucije. Tada vrijede sljedeća svojstva: 1) funkcija distribucije F X je monotono rastuća, tj. za sve x 1, x 2 R takve da je x 1 x 2 vrijedi F X (x 1 ) F X (x 2 ), 2) lim x F X(x) = F X () =, 3) lim F X(x) = F X ( ) = 1, x 4) funkcija distribucije F X je neprekidna zdesna za svaki x R, tj. lim F X(x + h n ) = F X (x), n gdje je (h n, n N) monotono padajući niz pozitivnih realnih brojeva tako da je lim n h n =. Dokaz: 1) Ako je x 1 x 2, tada je {X x 1 } {X x 2 }. Primjenom svojstva monotonosti vjerojatnosti na prethodnu inkluziju dobivamo P {X x 1 } P {X x 2 }, tj. F X (x 1 ) F X (x 2 ). 2) Neka je (a n, n N) monotono padajući niz realnih brojeva koji divergira u i neka je A n = {ω Ω : X(ω) a n } = {X a n }, n N. Sada je lim F X(x) = lim F X (a n ) = lim P {X a n } = lim P {A n } = P { A n } = P { } =. x n n n n N 4
9 3) Neka je (b n, n N) monotono rastući niz koji divergira u + i definirajmo pomoćne skupove B n = {ω Ω : X(ω) b n } = {X b n }, n N. Koristeći prethodne oznake zaključujemo da je lim F X(x) = lim F X (b n ) = lim P {X b n } = lim P {B n } = P { B n } = P {Ω} = 1. x n n n n N 4) Vrijedi iz čega slijedi F X (x + h n ) F X (x)=p {X x + h n } P {X x} =P {X, x + h n ]} P {X, x]} =P {X, x + h n ] \, x]} =P {X x, x + h n ]} =P X { x, x + h n ]}, lim (F X(x+h n ) F X (x)) = lim P X { x, x + h n ]} = P X { x, x + h n ]} = P X { } =. n n n N Sada je lim F X(x + h n ) lim F X (x) =, n n iz čega dobivamo traženu tvrdnju. Napomena 2.1 Iz definicije 2.5 i definicije 2.6 jasno je da ukoliko je X neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće f, vrijednost pripadne funkcije distribucije za proizvoljan realan broj x R odredujemo s F (x ) = P {X x } = x f(t)dt, x R. Takoder, možemo uočiti da je funkcija distribucije neprekidne slučajne varijable neprekidna funkcija u svakoj točki x R (vidi [2, str. 67]) Numeričke karakteristike neprekidne slučajne varijable Sva vjerojatnosna svojstva slučajne varijable dana su njenom funkcijom distribucije, odnosno tablicom distribucije kod diskretne slučajne varijable i funkcijom gustoće kod neprekidne slučajne varijable. Zbog moguće kompliciranosti tih funkcija javlja se potreba za uvodenjem nekih karakterističnih brojeva koji nam daju dodatne informacije o slučajnoj varijabli i zvat ćemo ih numeričke karakteristike slučajnih varijabli. Numeričke karakteristike neprekidne slučajne varijable definiramo pomoću pripadne funkcije gustoće f : R R čija svojstva smo već naveli u Poglavlju 2.1. Jedna od najvažnijih numeričkih karakteristika slučajne varijable je njezino očekivanje čiju definiciju navodimo u nastavku. 5
10 Definicija 2.7 Neka je X neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće f. Ako je konačan integral x f(x)dx, onda kažemo da slučajna varijabla X ima očekivanje i broj µ = EX = xf(x)dx zovemo matematičko očekivanje (ili samo očekivanje) neprekidne slučajne varijable X. Definicija 2.8 Ako postoji E(X EX) 2 onda taj pozitivan realan broj nazivamo varijanca slučajne varijable X i označavamo s V arx ili σ 2. Napomena 2.2 Varijanca je očekivano kvadratno odstupanje slučajne varijable od njenog očekivanja. Standardna devijacija je korijen iz varijance, tj. σ = V arx >. Teorem 2.2 Neka je X slučajna varijabla, na vjerojatnosnom prostoru (Ω, F, P ), koja ima varijancu. Tada vrijede sljedeća svojstva: 1) V arx = EX 2 (EX) 2, 2) V ar(ax + b) = a 2 V arx, gdje su a, b R. Dokaz: Vidi [2, str. 93]. Napomena 2.3 Neka je X neprekidna slučajna varijabla s funkcijom gustoće f. Tada vrijedi: 1) ako je g : R R zadana funkcija, onda je Eg(X) = g(x)f(x)dx 2) V arx = 3) EX r = (x EX) 2 f(x)dx x r f(x)dx je r-ti moment slučajne varijable X. 3 Parametarski zadane neprekidne slučajne varijable Kao što znamo, neprekidne slučajne varijable odredene su svojom funkcijom gustoće. Takoder, postoje neke slučajne varijable koje su zadane odredenim parametrima, odnosno njihove funkcije gustoće i distribucije te sve numeričke karakteristike izražene su pomoću tih parametara. Takve slučajne varijable nazivamo parametarskim slučajnim varijablama i one su tema ovoga rada. U nastavku ovog poglavlja opisat ćemo razne vrste parametarskih neprekidnih slučajnih varijabli. 6
11 3.1 Uniformna slučajna varijabla Uniformna neprekidna slučajna varijabla se koristi za pokuse za koje je poznato da mogu primiti vrijednost iz ograničenog intervala a, b. Vjerojatnost realizacije intervala a 1, a 2 ovisit će samo o njegovoj duljini sve dok je sadržan u a, b sa svojstvom da su jednako dugi intervali jednako vjerojatni. Definicija 3.1 Za neprekidnu slučajnu varijablu X kažemo da ima uniformnu distribuciju na intervalu a, b, a < b, ako joj je funkcija gustoće dana izrazom { 1, x a, b f(x) = b a, x / a, b. Ako slučajna varijabla X ima uniformnu distribuciju na intervalu a, b, koristimo oznaku X U(a, b). Slika 1: Funkcija gustoće uniformne slučajne varijable na segmentu [1, 3] Za svaku neprekidnu slučajnu varijablu X vrijedi P {X = x } =, x R, pa ne trebamo praviti razliku izmedu uniformne distribucije na a, b i uniformne distribucije na [a, b], odnosno na nekom od intervala a, b], [a, b Funkcija distribucije uniformne slučajne varijable Nakon što smo vidjeli kako izgleda funkcija gustoće uniformne slučajne varijable odredit ćemo pripadnu funkciju distribucije koja će nam uvelike pomoći u rješavanju zadataka. U izvodu funkcije distribucije uniformne slučajne varijable razlikujemo nekoliko slučajeva: 1) ako je x, a], onda je F X (x) = x 7 f(t)dt =.
12 2) Za x a, b dobivamo F X (x) = x f(t)dt = a f(t)dt + x a f(t)dt = x a 1 b a dt = x a b a. 3) Naposljetku, za x [b, + F X (x) = x f(t)dt = a f(t)dt + b a f(t)dt + x b f(t)dt = b a 1 b a dt = b a b a = 1. Sada dolazimo do funkcije distribucije uniformne slučajne varijable:, x, a] x a F X (x) =, x a, b b a. 1, x [b, + Slika 2: Funkcija distribucije uniformne slučajne varijable na segmentu [1, 3] Numeričke karakteristike uniformne slučajne varijable Odredimo očekivanje uniformne slučajne varijable: b EX= xf(x)dx = a = b2 a 2 2(b a) = (b a)(b + a) 2(b a) 8 x b a dx = 1 b a = a + b 2. x 2 2 b a
13 Za izračunavanje varijance uniformne slučajne varijable potreban nam je drugi moment: b EX 2 = x 2 x 2 f(x)dx = a b a dx = 1 x 3 b b a 3 a = b3 a 3 3(b a) = (b a)(b2 + ab + a 2 ) 3(b a) Sada dolazimo do varijance uniformne slučajne varijable: = b2 + ab + a 2. 3 V arx=ex 2 (EX) 2 = b2 + ab + a 2 = b2 2ab + a 2 12 = 3 (b a)2. 12 b2 + 2ab + a Primjeri uniformne slučajne varijable Primjer 3.1 Policiji je dojavljeno da svake noći izmedu 2 i 3 sata kroz crveno svjetlo na semaforu projuri jedan te isti auto. Vjerojatnost prolaska auta jednaka je u jednako dugim intervalima. Kolika je vjerojatnost da će auto proći kroz crveno izmedu 2 sata i 2 sata i 15 minuta? Rješenje: U našem primjeru funkcija distribucije zadana je s F X (x) =, x, 2] x 2, x 2, 3. 1, x [3, Da bi mogli riješiti zadatak trebamo najprije odrediti koliko je 2 sata i 15 minuta izraženo u satima. Kao što znamo, jedan sat ima 6 minuta pa dolazimo do zaključka da je 15 minuta jednako.25 sata odakle slijedi da je 2 sata i 15 minuta jednako 2.25 sata. Izračunajmo sada traženu vjerojatnost. P {X 2, 2.25]}=P {X, 2.25] \, 2]} = P {X 2.25} P {X 2} =F X (2.25) F X (2) = =.25. 9
14 Primjer 3.2 Vrijeme trajanja leta izmedu Zagreba i Berlina je slučajna varijabla X koja je distribuirana prema uniformnoj distribuciji. Let obično traje izmedu 9 i 1 minuta. Kolika je vjerojatnost da let traje izmedu 92 i 97 minuta? Rješenje: U ovom primjeru funkcija distribucije zadana je s F X (x) =, x, 9] x 9 1, x 9, 1. 1, x [1, Odredimo traženu vjerojatnost da je vrijeme trajanja leta izmedu 92 i 97 minuta: P {92 < X < 97}=P {X 97} P {X 92} = F X (97) F X (92) = =.5. Vjerojatnost da je vrijeme trajanja leta izmedu 92 i 97 minuta je Eksponencijalna slučajna varijabla Ovaj tip distribucije često se javlja kod slučajnih varijabli koje modeliraju vremena čekanja do pojave nekog dogadaja ako se karakteristike ne mijenjaju tijekom vremena, npr. vrijeme do kvara (tj. vrijeme trajanja) jedne žarulje, vrijeme do pojave neke nesreće, itd. Definicija 3.2 Neprekidna slučajna varijabla X ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom λ >, u oznaci X E(λ), ako joj je funkcija gustoće zadana s f(x) = λe λx, x, inače. 1
15 Slika 3: Funkcija gustoće eksponencijalne slučajne varijable s parametrom λ = Funkcija distribucije eksponencijalne slučajne varijable Ako je x <, tada je F X (x) = P {X x} =, jer slučajna varijabla ne može primiti negativne vrijednosti. Ako je x, tada je F X (x) = P {X x} = x f(t)dt = x λe λt dt = e λt x = 1 e λx. Dakle, funkcija distribucije eksponencijalne slučajne varijable dana je s F X (x) = 1 e λx, x, inače. Slika 4: Funkcija distribucije eksponencijalne slučajne varijable s parametrom λ = 2 11
16 3.2.2 Numeričke karakteristike eksponencijalne slučajne varijable Odredimo očekivanje eksponencijalne slučajne varijable. t = λx x = t EX= xf(x)dx = λxe λx λ dx = = 1 λ dt = λdx u = t dv = e t dt = = 1 ( te t ) + e t dt λ du = dt v = e t = 1 λ ( lim a ( te t a e t a)) = 1 ( λ ) lim ae a lim e a + 1. a a te t dt Primjenom L Hospitalovog pravila računamo sljedeći limes ( ) a lim a ae a = lim a e = 1 = lim a a e =. a Iz prethodnog računa dobivamo EX = 1 λ ( + 1) = 1 λ. Za izračunavanje varijance eksponencijalne slučajne varijable potreban nam je EX 2 : u = x 2 dv = e λx dx EX 2 = x 2 f(x)dx = λ x 2 e λx dx = du = 2xdx v = e λx λ ( =λ x2 λ e λx + 2 λ = lim a ( a 2 e λa + ) + 2 λ 2. ) xe λx dx = x 2 e λx + 2 xe λx dx 12
17 Ponovnom primjenom L Hospitalovog pravila dobivamo ( ) ( ) a 2 lim a e = 2a = lim λa a λe = = lim λa a 2 =, λ 2 eλa iz čega slijedi da je EX 2 = 2 λ 2, pa dolazimo do varijance eksponencijalne slučajne varijable: V arx=ex 2 (EX) 2 = 2 λ 2 1 λ 2 = 1 λ Primjeri eksponencijalne slučajne varijable Primjer 3.3 Pretpostavimo da je duljina telefonskog poziva u minutama eksponencijalno distribuirana s parametrom λ = 1. Ako je netko prije Vas došao u telefonsku 1 govornicu, izračunajte vjerojatnost da ćete čekati ispred više od 1 minuta. Rješenje: Neka je X slučajna varijabla kojom se modelira duljina telefonskog poziva u minutama, tj. X E( 1 ). Nas zanima vjerojatnost da će osoba čekati ispred telefonske 1 govornice više od 1 minuta, odnosno P {X > 1}. Uz pomoć funkcije distribucije dobivamo traženu vjerojatnost: P {X > 1} = 1 F X (1) = 1 (1 e ) = e 1 =.368. Primjer 3.4 Vremenski razmak izmedu vozila koja prelaze preko pješačkog prijelaza slučajna je varijabla koja ima eksponencijalnu distribuciju. Prometno opterećenje ulice iznosi u prosjeku 6 vozila po satu. Izračunajte vjerojatnost da vremenski razmak izmedu vozila koja prelaze preko pješačkog prijelaza bude izmedu 5 i 1 sekundi. Rješenje: Eksponencijalna je distribucija odredena parametrom λ = 1 EX. Budući se očekuje 6 vozila po satu, to je, u sekundama, očekivani vremenski razmak izmedu dva vozila koja prelaze preko pješačkog prijelaza EX = 36 6 = 6s. Vjerojatnost da se vremenski razmak izmedu vozila koja prelaze pješački prijelaz nalazi u intervalu 5, 1 je P {5 < X < 1} = 1 e 1 6 (1 e 5 6 ) = e e 5 6 =
18 3.3 Dvostrana eksponencijalna (Laplaceova) slučajna varijabla Dvostrana eksponencijalna (Laplaceova) slučajna varijabla je generalizacija eksponencijalne slučajne varijable. Za razliku od eksponencijalne, dvostrana eksponencijalna slučajna varijabla prima vrijednosti iz cijelog R. Definicija 3.3 Neprekidna slučajna varijabla X ima dvostranu eksponencijalnu distribuciju s parametrom λ >, u oznaci X DE(λ), ako je njena funkcija gustoće dana izrazom f(x) = 1 2 λe λ x, x R. Slika 5: Funkcija gustoće dvostrane eksponencijalne slučajne varijable s parametrom λ = Funkcija distribucije dvostrane eksponencijalne slučajne varijable Odredimo sada funkciju distribucije za ovu slučajnu varijablu. 1) Za x, dobivamo da je x F X (x)= f(t)dt = λ 2 = λ 2 lim a e λt λ x x lim a a e λt dt = λ e λt dt 2 x = 1 a 2 lim a (eλx e λa ) = 1 2 eλx. 14
19 2) Ako je x [, funkcija distribucije je dana s x x F X (x)= f(t)dt = f(t)dt + = λ 2 lim a a e λt dt λ 2 e λt f(t)dt = λ 2 x = λ λ 2 lim e λt a λ a e λt dt + λ e λx x = 1 2 lim a (1 eλa ) 1 2 e λx = e λx = e λx. e λt dt Iz prethodnog računa dobivamo F X (x) = 1 2 eλx, x, e λx, x [,. Slika 6: Funkcija distribucije dvostrane eksponencijalne slučajne varijable s parametrom λ =.5 15
20 3.3.2 Numeričke karakteristike dvostrane eksponencijalne slučajne varijable Očekivanje dvostrane eksponencijalne slučajne varijable iznosi, što ćemo u nastavku i pokazati. EX= xf(x)dx = λ 2 = λ ( lim 2 a xeλx λ a = 1 2 ( lim a e λx λ ( xe λx dx + lim a e λx dx lim λ ) a = 1 λ 2 a e λx a xe λx ) xe λx dx a ) e λx + λ λ dx ( 1 λ + 1 ) =. λ Kao što znamo, za izračun varijance treba nam EX 2 pa ga i odredimo. EX 2 = λ 2 x 2 e λ x dx = λ x 2 e λx dx = 2 λ 2, gdje smo prethodni integral već izračunali u Poglavlju Varijanca dvostrane eksponencijalne slučajne varijable iznosi: V arx = EX 2 (EX) 2 = 2 λ 2 = 2 λ Primjeri dvostrane eksponencijalne slučajne varijable Primjer 3.5 Neka je X dvostrana eksponencijalna slučajna varijabla s parametrom λ =.6. Izračunaj vjerojatnost da X prima vrijednosti iz segmenta [ 1, 2]. Rješenje: Tražena vjerojatnost iznosi P { 1 X 2}=P {X 2} P {X 1} = F X (2) F X ( 1) =1 1 2 e e.6 = =.575. Primjer 3.6 Neka je X dvostrana eksponencijalna slučajna varijabla s parametrom λ = 2. Izračunaj vjerojatnost da je X.5. Rješenje: Za λ = 2 tražimo P {X.5}. Ta je vjerojatnost jednaka P {X.5} = F X (.5) = e 2.5 = =
21 3.4 Gama (Γ) slučajna varijabla Gama distribucija je generalizacija eksponencijalne distribucije. Naime, pretpostavimo da promatramo slučajan pokus koji se sastoji od ponavljanja nekog dogadaja u vremenu sa zadanim konstantnim intenzitetom λ. Slučajna varijabla koja daje vrijeme potrebno da se dogadaj dogodi odredeni broj puta (označimo ga s α) ima Gama distribuciju s parametrima α i λ. Uzmimo primjer eksponencijalne distribucije (primjer 3.3), gdje je λ = 1. Slučajan pokus u kome promatramo da će se neki dogadaj dogoditi α puta 1 modeliramo pomoću Gama distribucije, odnosno imamo X Γ(α, 1 ). 1 Primjeri dogadaja koji mogu biti modelirani Gama distribucijom su: količina padaline akumulirane u spremniku, opterećenje na web poslužiteljima, protok predmeta kroz proizvodnju. U svrhu definiranja funkcije gustoće slučajne varijable koja ima Gama distribuciju, u nastavku najprije navodimo definiciju Gama funkcije. Definicija 3.4 Gama funkcija je funkcija Γ :, + R definirana s Γ(x) := t x 1 e t dt. Definicija 3.5 Slučajna varijabla X ima Gama distribuciju s parametrima α > i β > ako joj je funkcija gustoće f(x) = 1 x α 1 e x Γ(α)β α β, x >, inače. Ako slučajna varijabla X ima Gama distribuciju s parametrima α i β, koristimo oznaku X Γ(α, β). Slika 7: Funkcija gustoće Gama slučajne varijable X Γ(α, β) za α = 1, β = 4 17
22 3.4.1 Funkcija distribucije Gama slučajne varijable Funkciju distribucije ove slučajne varijable možemo zapisati u terminima nepotpune Gama funkcije te stoga u nastavku navodimo njenu definiciju. Definicija 3.6 Nepotpuna Gama funkcija je funkcija definirana s γ(p, r) = r x p 1 e x dx, x >. Odredimo funkciju distribucije Gama slučajne varijable: F X (x)= 1 x s = t t α 1 e t Γ(α)β α β dt = ; t = βs β dt = βds = 1 x β s α 1 e s ds = γ(α, x) β Γ(α) Γ(α). Slika 8: Funkcija distribucije Gama slučajne varijable X Γ(α, β) za α = 1, β = Numeričke karakteristike Gama slučajne varijable U ovom poglavlju odredit ćemo očekivanje i varijancu Gama slučajne varijable. Dobivamo da je t = x β EX= 1 x α e x Γ(α)β α β dx = x = βt = β t α e t dt = β Γ(α + 1), Γ(α) Γ(α) dx = βdt 18
23 gdje smo u zadnjoj jednakosti koristili definiciju Gama funkcije, tj. t α e t dt = Γ(α + 1). Uz pomoć jednog od osnovnih svojstava Gama funkcije, Γ(α+1) = αγ(α), zaključujemo da je EX = β αγ(α) = αβ. Γ(α) Primjenom iste supstitucije kao i kod računanja očekivanja dobivamo EX 2 = 1 Γ(α)β α x α+1 e x β 2 β dx = Γ(α + 2) = β2 Γ(α) Sada je varijanca Gama slučajne varijable: V arx = β 2 α(α + 1) α 2 β 2 = β 2 α Primjeri Gama slučajne varijable Γ(α) (α + 1)αΓ(α) = β2 α(α + 1). Primjer 3.7 Neka je X Gama slučajna varijabla s parametrima α = 3 i β = 4. Izračunaj vjerojatnost da X prima vrijednosti iz, 4]. Rješenje: Za zadane parametre α = 3 i β = 4 tražena vjerojatnost iznosi P {X 4} = F X (4) = γ(3, 1) Γ(3) = =.83. Primjer 3.8 Neka je X Gama slučajna varijabla s parametrima α = 4 i β = 2. Izračunaj vjerojatnost da X prima vrijednosti iz [1, +. Rješenje: U ovom primjeru imamo α = 4 i β = 2 te tražena vjerojatnost iznosi P {X 1} = 1 P {X 1} = 1 F X (1) = 1 γ(4, 5) Γ(4) = = Normalna slučajna varijabla Ova slučajna varijabla se najviše koristi u statističkoj teoriji i primjeni. Teorija je pokazala da ona vrlo dobro opisuje pokuse čiji su ishodi posljedica sume mnogo medusobno nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli. Takoder, tu distribuciju imaju mnoge slučajne varijable koje opisuju situacije iz stvarnog života kao što su rezultati mjerenja (npr. visina, bodovi na pismenom ispitu, masa), greške pri mjerenju, a često se javlja i u prirodnim znanostima te rezultatima psiholoških testova i fizikalnih pojava. 19
24 Definicija 3.7 Za neprekidnu slučajnu varijablu kažemo da ima Gaussovu ili normalnu distribuciju s parametrima µ i σ 2 ako je njezina funkcija gustoće dana izrazom f(x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2, x R, gdje su µ i σ realni brojevi i σ >. Ako slučajna varijabla X ima normalnu distribuciju s parametrima µ i σ 2, koristimo oznaku X N (µ, σ 2 ). Slika 9: Funkcija gustoće normalne slučajne varijable X N (, 1) koju još nazivamo standardna normalna slučajna varijabla Funkcija distribucije normalne slučajne varijable Funkcija distribucije normalne slučajne varijable dana je s F X (x) = 1 σ 2π x e (t µ)2 2σ 2 dt, x R. Ovaj integral ne možemo izračunati pomoću elementarnih funkcija pa vjerojatnosti možemo računalno izračunati ili pogledati u tablicama za normalnu distribuciju (vidi Tablicu 1 (str. 22) preuzetu iz [8]). 2
25 Slika 1: Funkcija distribucije normalne slučajne varijable X N (, 1) Numeričke karakteristike normalne slučajne varijable Izvedimo sada očekivanje normalne slučajne varijable: t = x µ σ EX= 1 σ xe (x µ)2 2σ 2 dx = 2π x = µ + σt = 1 σ 2π dt = dx σ = µ 2π e t2 2 dt + σ 2π te t2 2 dt. (µ + σt)e t2 2 σdt Neka je g(t) = te t2 2. Funkcija g je neparna, odnosno g( t) = g(t), pa je g(t)dt =, iz čega slijedi EX= µ 2π π e t2 2 dt = 2µ e t2 2 dt. Pri rješavanju ovog integrala pomoći će nam Gama funkcija: u = t2 e t2 2 2 dt= = e u 1 du = 1 2u 2 du = tdt = 1 e u u du = 1 ( ) 1 Γ e u u 1 2 du
26 Dobiveno rješenje uvrstimo u očekivanje, pri čemu uz poznatu činjenicu da je Γ( 1 2 ) = π dobivamo: EX= µ π Γ ( ) 1 = µ π = µ. 2 π Izračunajmo sada drugi moment normalne slučajne varijable. Koristeći istu supstituciju kao i kod računanja očekivanja dobivamo EX 2 = 1 σ x 2 e (x µ)2 2σ 2 dx = 1 (µ + σt) 2 e t2 2 dt 2π 2π = µ2 2π 2µ 2 = π e t2 2 dt + 2µσ π e t2 2 dt + 2µσ π te t2 2 dt + σ 2 2π te t2 2 dt + 2σ 2 π t 2 e t2 2 dt t 2 e t2 2 dt. Kod očekivanja normalne slučajne varijable smo pokazali da je t 2 te 2 dt = i e t 2 2 dt = 1 2 Γ ( ) 1 2. Preostaje nam izračunati integral t 2 e t 2 2 dt, koji takoder računamo pomoću Gama funkcije: u = t2 t 2 e t2 2 2 dt= = 2 e u u 1 2 du = 2 e u u du = ( ) 3 2Γ. 2 du = tdt Dobiveno rješenje uvrstimo u EX 2, pri čemu je Γ( 3 2 ) = π 2 i dobijemo EX 2 = µ2 π Γ ( ) 1 + 2σ2 Γ 2 π Sada dolazimo do varijance normalne slučajne varijable: ( ) 3 = µ 2 + σ 2. 2 V arx=µ 2 + σ 2 µ 2 = σ 2. 22
27 Ako sa Φ(x) označimo sljedeći integral Φ(x) = 1 2π x e t2 2 dt, koji očito predstavlja funkciju distribucije standardne normalne slučajne varijable onda iz sljedeće tablice možemo čitati vrijednosti funkcije Φ na sljedeći način: npr. ako tražimo vrijednost za Φ(1.55), tj. P {X 1.55}, onda iz pripadne tablice s lijeve strane nademo broj 1.5 te onda pogledamo stupac s brojem 5 jer nam je 5 druga decimala te očitamo da je Φ(1.55) = Tablica 1: Tablica vrijednosti funkcije distribucije standardne normalne slučajne varijable 23
28 3.5.3 Primjeri normalne slučajne varijable Primjer 3.9 Vijek trajanja neke automobilske gume je normalno distribuiran s očekivanjem 34 km i standardnom devijacijom od 4 km. Izračunajte vjerojatnost da guma traje više od 4 prijedenih kilometara. Rješenje: Neka je X slučajna varijabla kojom se modelira vijek trajanja gume, tj. X N (34, 4 2 ). Dakle µ = 34, σ = 4. Sada je Z = X µ N (, 1) te je σ { X µ P {X > 4}=P σ > 4 µ } = P {Z > 1.5} σ =1 P {Z 1.5} = 1 Φ(1.5) = =.668. Pri rješavanju zadatka koristili smo Tablicu 1 u kojoj možemo naći da je Φ(1.5) = Vjerojatnost da guma traje više od 4 km je.668. Primjer 3.1 Pretpostavimo da je vrijeme putovanja nekog studenta od kuće do fakulteta približno normalno distribuirano s očekivanjem 4 minuta i standardnom devijacijom od 7 minuta. Student želi stići na predavanje koje počinje u 12:15 sati. Ako je student krenuo od kuće u 11:4, izračunajte vjerojatnost da on zakasni na predavanje. Rješenje: Neka je X slučajna varijabla kojom se modelira vrijeme putovanja studenta od kuće do fakulteta, tj. X N (4, 7 2 ). Nas zanima kolika je vjerojatnost da student zakasni na predavanje, a student će zakasniti ako mu treba više od 35 minuta od kuće do fakulteta pa onda tražimo P {X > 35}: { X 4 P {X > 35}=P 7 > } { 35 4 X 4 = P 7 7 } >.7143 =1 P {Z.7143} = 1 Φ(.7143) = Φ(.7143) = U rješenju smo koristili, uz Tablicu 1, svojstvo da je Φ( x) = 1 Φ(x) i tako dobili vjerojatnost.7611 da je student zakasnio na predavanje. 3.6 χ 2 slučajna varijabla U teoriji vjerojatnosti i statistici, χ 2 distribucija s k stupnjeva slobode je distribucija zbroja kvadrata k nezavisnih standardnih normalnih slučajnih varijabli (vidi [5]). χ 2 slučajna varijabla poseban je slučaj Gama slučajne varijable, odnosno χ 2 (k) Γ( k, 2). 2 Važnost χ 2 slučajne varijable proizlazi iz činjenice da se njena distribucija često koristi u testiranju statističkih hipoteza, tj. pojavljuje se kao distribucija odredenih teststatistika. Na primjer, bacamo simetričan novčić 1 puta. Očekujemo da će glava i 24
29 pismo pasti točno 5 puta svaka, to nam je hipoteza, no u stvarnom slučaju to nije tako pa nam χ 2 distribucija pomaže u procjeni odstupanja odnosno varijance te hipoteze. Definicija 3.8 Slučajna varijabla X ima χ 2 distribuciju s n N stupnjeva slobode ako je X Γ( n, 2). Dakle, 2 f(x) = 1 x n Γ( n 2 )2 n 2 1 e x 2, x > 2, inače. Slika 11: Funkcija gustoće X χ 2 (3) slučajne varijable Funkcija distribucije, očekivanje i varijanca χ 2 slučajne varijable Kao što znamo, χ 2 slučajna varijabla je specijalni slučaj Gama slučajne varijable pa u ovom poglavlju nećemo raditi detaljne izvode funkcije distribucije, očekivanja i varijance, jer je sve napravljeno u poglavljima i Iz navedenih poglavlja i veze izmedu χ 2 i Gama slučajne varijable odmah dobivamo da je funkcija distribucije χ 2 slučajne varijable dana s F X (x) = γ( n 2, x 2 ) Γ( n 2 ), 25
30 Slika 12: Funkcija distribucije X χ 2 (3) slučajne varijable a očekivanje i drugi moment χ 2 slučajne varijable iznose EX = n, EX 2 = (n + 2)n. Jednostavnim računom dobivamo da je varijanca V arx = 2n Primjeri χ 2 slučajne varijable Primjer 3.11 Neka je X χ 2 (3) slučajna varijabla. prima vrijednosti iz, 5]. Izračunaj vjerojatnost da X Rješenje: Tražena vjerojatnost iznosi P {X 5} = F X (5) = γ( 3, 5) 2 2 Γ( 3) =.734 π 2 2 = Primjer 3.12 Neka je X χ 2 (1) slučajna varijabla. prima vrijednosti iz [.2, +. Izračunaj vjerojatnost da X Rješenje: Za n = 1 tražimo P {X.2}. Ta vjerojatnost jednaka je P {X.2} = 1 P {X.2} = 1 F X (.2) = 1 γ( 1 2,.1) Γ( 1 2 ) = π =
31 Literatura [1] G. P. Beaumont, Probability and random variables, Horwood publishing limited, Chichester, England, 25. [2] M. Benšić, N. Šuvak, Uvod u vjerojatnost i statistiku, Sveučilište J. J. Strossmayera, Odjel za matematiku, Osijek, 214. [3] N. Elezović, Vjerojatnost i statistika, Element, Zagreb, 27. [4] N. Elezović, Zbirka zadataka iz teorije vjerojatnosti, Sveučilišna naklada Liber, Zagreb, [5] Revolvy, URL: [6] N. Sarapa, Teorija vjerojatnosti, Školska knjiga, Zagreb, treće izdanje, 22. [7] J. J. Shynk, Probability, random variables, and random processes, John Wiley and sons, Inc., New Yersey, USA, 213. [8] dr. sc. Ivana Slamić, Odjel za matematiku, Sveučilište u Rijeci URL: 27
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραSlučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa
Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST popravni kolokvij veljače 2017.
Zadatak 1. (20 bodova) (a) (4 boda) Precizno definirajte pojam σ-algebre događaja na nepraznom skupu Ω. (b) (6 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i A, B F događaji. Pomoću aksioma vjerojatnosti
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραSlučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike
Slučajne varijable Materijali za nastavu iz Statistike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 1 Slučajna varijabla Slučajna varijabla je funkcija X koja elementarnim dogadajima pridružuje
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραSadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI
Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραDiskretan slučajni vektor
Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Mia Ćurić Diskretan slučajni vektor Završni rad Osijek, 206 Sveučilište J J Strossmayera u Osijeku
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραKarakteristične funkcije
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Matea Spajić Karakteristične funkcije Završni rad Osijek, 2015. Sveučilište J. J. Strossmayera u
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST I STATISTIKA 2. kolokvij lipnja 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 0 min Ukupan broj bodova: 50 Zadatak.. kolokvij - 0. lipnja 0. (a Ako su X i Y diskretne slučajne varijable, dokažite da vrijedi formula E [X + Y ] = E [X] + E [Y ].
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραJednodimenzionalne slučajne promenljive
Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραPISMENI ISPIT IZ STATISTIKE
1. a) Trgovina odjeće prodaje odjeću u tri različite veličine: 32% veličine S, 44% veličine M i ostatak veličine L. Pokazalo se da je postotak odjeće s greškom redom 1%, 5% i 2%. Ako je trgovina ustanovila
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραSlučajni vektor. Poglavlje 3
Poglavlje 3 Slučajni vektor Ukoliko u jednom istraživanju za dani slučajni pokus pratimo nekoliko različitih slučajnih varijabli, moguće veze među njima nećemo dokučiti ako ih proučavamo samo svaku za
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραUvod u vjerojatnost i matematičku statistiku
Uvod u vjerojatnost i matematičku statistiku - vježbe - Danijel Krizmanić 28. rujna 2007. Sadržaj Osnove vjerojatnosti 2 2 Kombinatorika i vjerojatnost 5 3 Uvjetna vjerojatnost. Nezavisnost 9 4 Geometrijske
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραIntegrali Materijali za nastavu iz Matematike 1
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 202/3 / 44 Definicija primitivne funkcije i neodredenog integrala Funkcija F je primitivna funkcija (antiderivacija)
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραKONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE
KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE Kontinuirana slučajna varijabla može poprimiti neprebrojivo (beskonačno mnogo vrijednosti. KONTINUIRANE SLUČAJNE VARIJABLE UVOD Razlike diskretnih i kontinuiranih slučajnih
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραGRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI. Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA.
GRAĐEVINSKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U RIJECI Specijalistički diplomski stručni studij građevinarstva NORMALNA RAZDIOBA Seminarski rad KOLEGIJ: Odabrana poglavlja inženjerske matematike AKADEMSKA GODINA: 2016/2017
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROJATNOSTI
2. OSNOVNI POJMOVI TEORIJE VJEROJATNOSTI 2. ALGEBRA DOGAĐAJA 2.. Intuitivna definicija Slučajan pokus (eksperiment) jest takav pokus čiji ishodi nisu jednoznačno određeni skupom uvjeta pokusa. Sa Ω označavamo
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραKontinuirane slučajne varijable.
Kontinuirane slučajne varijable. Diskretne slučajne varijable povezane su s prebrojavanjem u nekom pokusu. One primaju konačan skup vrijednosti (ili možda beskonačan, ali je tada nužno prebrojiv i diskretan).
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότερα5. lekcija. Kontinuirane slučajne varijable.
5. lekcija. Kontinuirane slučajne varijable. Diskretne slučajne varijable povezane su s prebrojavanjem u nekom pokusu. One primaju konačan skup vrijednosti (ili možda beskonačan, ali je tada nužno prebrojiv
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραNeprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST 1. kolokvij studenog 2013.
Zadatak 1 (10 bodova (a (5 bodova Iskažite i dokažite teorem o strukturi vjerojatnosti na partitivnom skupu prebrojivog skupa. Zašto u slučaju prebrojivog skupa možemo promatrati samo vjerojatnosti definirane
Διαβάστε περισσότερα