Statistika. primjeri i zadaci. Ante Mimica, Marina Ninčević. 30. kolovoza 2010.

Transcript

1 Statistika primjeri i zadaci Ante Mimica, Marina Ninčević 3. kolovoza.

2

3 Sadržaj Opisna statistika 5. Zadaci za vježbu Neprekidne slučajne varijable 47. Normalna distribucija Eksponencijalna distribucija Γ-distribucija χ -distribucija Studentova t-distribucija Fisherova F-distribucija Zadaci za vježbu Neprekidni slučajni vektori. Uvjetno očekivanje 6 3. Neprekidni slučajni vektori Uvjetno očekivanje Zadaci za vježbu Procjena parametara 8 4. Metoda maksimalne vjerodostojnosti Metoda momenata Pouzdani intervali za parametre normalne razdiobe Aproksimativni pouzdani intervali Zadaci za vježbu Testiranje statističkih hipoteza 97 3

4 4 SADRŽAJ 5. Zadaci za vježbu Linearni regresijski modeli 9 6. Zadaci za vježbu χ -test i Kolmogorov-Smirnovljev test 9 7. χ -test o pripadnosti distribuciji Kolmogorov-Smirnovljev test χ -test o nezavisnosti χ -test o homogenosti Zadaci za vježbu

5 Opisna statistika Zadatak. Kocku smo bacali puta i zabilježili smo sljedeće rezultate: (a) Nacrtajte histogram relativnih frekvencija. (b) Odredite aritmetičku sredinu, mod i medijan uzorka. (c) Odredite varijancu i standardnu devijaciju uzorka. (d) Odredite raspon uzorka. (e) Odredite donji i gornji kvartil te interkvartil uzorka. (f) Nacrtajte dijagram pravokutnika ( box and whisker plot ). Rješenje: (a) Frekvencijska tablica: Histogram relativnih frekvencija: i y i f i r i = f i / Σ. 5

6 6. OPISNA STATISTIKA (b) Aritmetička sredina iznosi x = f y + +f 6 y 6 = = 3.6. f + +f Mod uzorka je 3. Podatke x,...,x n poredane po veličini označavamo s x (),...,x (n). Pri tome za s = k +r, gdje je k Z,r [,, vrijedi formula x (s) = x (k) +r [ x (k+) x (k) ]. (.) Uredimo podatke po veličini:,,,,,,3,3,3,3,3,3,4,5,5,5,6,6,6,6. Medijan uzorka je m = x ( n+ ) = x ( + ) = x (+ ) = x () + [x () x () ] = 3+ (3 3) = 3. (c) Varijanca uzorka iznosi s = pa je standardna devijacija s =.64. = (d) Raspon uzorka je R = x () x () = 6 = 5. (e) Donji kvartil je q L = x ( n+ 4 ) = x ( + 4 ) = x (5+ 4) = x (5) + 4 [x (6) x (5) ] = + ( ) =. 4

7 . OPISNA STATISTIKA 7 Gornji kvartil je q U = x ( 3(n+) 4 ) = x ( 3(+) 4 ) = x (5+ 4) = x 3 (5) [x (6) x (5) ] = 5+ 3 (5 5) = 5. 4 Interkvartil iznosi d q = q U q L = 5 = 3. (f) Dijagram pravokutnika: Riješimo sada ovaj zadatak u R-u. Ubacimo podatke u vektor rezultati: > rezultati<-c(6,3,3,6,3,5,6,,4,6,3,5,5,,,,,3,,3) Ispišimo podatke > rezultati [] Duljina uzorka je > n<-length(rezultati) > n [] Tablica frekvencija je

8 8. OPISNA STATISTIKA > frekv<-data.frame(table(rezultati)) > frekv rezultati Freq Promijenimo imena stupaca i dodajmo stupac relativnih frekvencija: > frekv<-data.frame(frekv,frekv[]/sum(frekv[])) > frekv rezultati frekvencije frekvencije > names(frekv)[3]<-"rel. frekvencije" > frekv rezultati frekvencije rel. frekvencije Histogram dobijemo na sljedeći način > hist(rezultati) Histogram of rezultati Frequency rezultati

9 . OPISNA STATISTIKA 9 Ako naredbu hist upotrijebimo bez dodatnih argumenata, onda se razredi odreduju automatski i možda nećemo dobiti željeni histogram, kao što vidimo na gornjem histogramu. > hist(rezultati,probability=true,breaks=c(.5,.5,.5,3.5,4.5,5.5,6.5), xlab="broj na kocki",ylab="relativne frekvencije",main="histogram",col="red") Histogram relativne frekvencije broj na kocki Dodatnim argumentom prob=true dobijemo površinu histograma jednaku. Koristeći breaks=c(.5,.5,.5,3.5,4.5,5.5,6.5) odredujemo granice razreda i u ovom slučaju razredu odgovara točno jedna kvalitativna vrijednost te su na y-osi zaista relativne frekvencije. Možemo izračunati: aritmetičku sredinu > mean(rezultati) [] 3.6 uzoračku varijancu > var(rezultati) [] mod Prvo trebamo definirati funkciju > statmod <- function(x) { + z <- table(as.vector(x)) + names(z)[z == max(z)] + } i tada je mod

10 . OPISNA STATISTIKA > statmod(rezultati) [] "3" raspon uzorka > max(rezultati)-min(rezultati) [] 5 medijan > median(rezultati) [] 3 Medijan možemo dobiti i preko funkcije quantile: > quantile(rezultati,.5,type=6) 5% 3 donji i gornji kvartil > quantile(rezultati,.5,type=6) 5% > quantile(rezultati,.75,type=6) 75% 5 ili sve zajedno > quantile(rezultati,type=6) % 5% 5% 75% % interkvartil > IQR(rezultati) [] 3 dijagram pravokutnika > boxplot(rezultati)

11 . OPISNA STATISTIKA Napomena: ( x (),q L,m,q U,x (n) ) se zove karakteristična petorka uzorka. Napomena: Pri formiranju dijagrama pravokutnika outlieri su sve vrijednosti koje su od donjeg ili gornjeg kvartila udaljene za više od 3 d q. Brkovi su najmanja i najveća vrijednost koje nisu outlieri. Outlieri se posebno naznačavaju na dijagramu pravokutnika. Primijetite da u prethodnom zadatku nema outliera. Zadatak. Na nekom fakultetu je odabran uzorak od 4 studenata i izmjerene su im visine: (a) Odredite karakterističnu petorku uzorka. (b) Nacrtajte dijagram pravokutnika. Rješenje: (a) Uredimo podatke:

12 . OPISNA STATISTIKA Tada je n = 4, x () = 4, q L = x ( 4+ 4 ) = x (+ 4) = x () + 4 [x () x () ] = 7+ (7 7) = 7.5, 4 m = x ( 4+ ) = x (+ ) = x () + [x () x () ] = 8+ (8 8) = 8.5, q U = x ( 3(4+) 4 ) = x (3+ 4) = x 3 (3) [x (3) x (3) ] = (87 87) = 87, 4 x (4) = 5. Karakteristična petorka je (4, 7.5, 8.5, 87, 5). (b) Interkvartil iznosi d q = q U q L = = 6.75 pa je q L 3 d q = 45.5 i q U + 3 d q =.5. Dijagram pravokutnika: Riješimo zadatak u R-u. Na pronadite datoteku visine.dat i snimite je u radni direktorij. Učitajmo podatke iz datoteke: > visine<-read.table("visine.dat",header=false) > visine

13 . OPISNA STATISTIKA 3 V Naredbom quantile dobijemo karakterističnu petorku uzorka:

14 4. OPISNA STATISTIKA > quantile(visine$v,type=6) % 5% 5% 75% % Dijagram pravokutnika: > boxplot(visine$v) Zadatak.3 U 5 država izmjerena je prosječna konzumacija alkohola jednog stanovnika tijekom jedne godine. Nacrtajte histogram dobivenih sljedećih podataka u litrama: 4.7 (Meksiko) 8.4 (SAD).8 (Španjolska). (Njemačka).9 (Madarska) 5.8 (Luksemburg) 7.9 (Japan) 9. (Australija).9 (Danska) 3. (Češka) 3.9 (Irska) 8. (Italija).6 (Francuska).8 (V. Britanija) 8.3 (Kanada) Rješenje: Sada imamo neprekidno statističko obilježje, tj. podaci dolaze iz [, +. Odredimo broj razreda. Uzmimo na primjer k = 6.

15 . OPISNA STATISTIKA 5 Odredimo širinu razreda. Vrijedi x (5) x () = =.85. k 6 Ako dobijemo broj koji ima veći broj decimalnih mjesta od broja decimalnih mjesta na koji su zaokruženi podaci, onda za širinu razreda c uzimamo broj koji je za jednu značajnu decimalu veći. U ovom slučaju je c =.9. Odredimo granice razreda. One moraju biti odredene za jedno decimalno mjesto više (zbog jednoznačnog svrstavanja podataka u razrede). Frekvencijska tablica: Histogram: i I i f i r i r i /c x i [4.45, 6.35 / [6.35, 8.5 / [8.5,.5 3 3/ [.5,.5 6 6/5.. 5 [.5, 3.95 / [3.95, 5.85 / Σ U R-u: > drzave<-c(4.7,8.4,.8,.,.9,5.8,7.9,9.,.9,3.,3.9,8.,.6,.8,8.3) > drzave [] > k<-6

16 6. OPISNA STATISTIKA > c<-round((max(drzave)-min(drzave))/k,) > c [].9 > hist(drzave,probability=true,breaks=seq(4.45,by=c,length=k+), +xlab="prosjecna konzumacija/l",ylab="relativne frekvencije", +main="drzave",col="green") drzave relativne frekvencije prosjecna konzumacija/l Zadatak.4 Mjereno je vrijeme života litijske baterija koja se upotrebljava u kalkulatorima. Dobiveni su sljedeći podaci u satima:

17 . OPISNA STATISTIKA 7 (a) Odredite stem and leaf dijagram. (b) Nacrtajte histogram podataka. Rješenje: (a) Stem and leaf dijagram: (b) Vrijedi n = 5, x () = 4, x (5) = 485. Za k = 7 x (5) x () k Frekvencijska tablica: = = 6.4 c = 6. i I i f i r i r i /c x i [3.5, [64.5, [35.5, [846.5, [457.5, [368.5, [3679.5, Σ 5.

18 8. OPISNA STATISTIKA Histogram: Riješimo zadataku R-u. Na pronadite datoteku baterije.dat i snimite je u radni direktorij. > baterije<-read.table("baterije.dat",header=false) > baterije V

19 . OPISNA STATISTIKA > n<-length(baterije$v) > n [] 5 > stem(baterije$v,scale=.5) The decimal point is 3 digit(s) to the right of the

20 . OPISNA STATISTIKA 4 3 > k<-7 > c=ceiling((max(baterije$v)-min(baterije$v))/k) > c [] 6 > hist(baterije$v,probability=true,breaks=seq(3.5,by=c,length=k+), +xlab="trajanje baterije/sti",ylab="relativne frekvencije", +main="baterije",col="yellow") baterije relativne frekvencije e+ e 4 4e 4 6e trajanje baterije/sti Zadatak.5 Izmjeren je kapacitet 485 istovrsnih kondenzatora. Rezultati mjerenja su izraženi u µf: i razred frekvencija Σ 485 (a) Izračunajte aritmetičku sredinu i standardnu devijaciju uzorka. (b) Izračunajte medijan te donji i gornji kvartil.

21 . OPISNA STATISTIKA Rješenje: Budući da nemamo točno izmjerene podatke, već samo razrede i pripadne frekvencije, aritmetičku sredinu i standardnu devijaciju računamo tako da umjesto y i promatramo sredine razreda x i. Kod računanja s u formuli možemo umjesto n uzeti n jer je n = 485 velik. Tada je x = n k f i x i i s = n k f i (x i x). Kako sredine razreda x i čine aritmetički niz, možemo pojednostavniti formule za x i s. Odaberemo referentnu vrijednost, najčešće uzmemo mod uzorka, ovdje x = 9.9. Stavimo d i = x i x c x i = x +cd i, i =,,...,k. Sada je x = n k f i x i = n x = c n k k f i d i +x, f i (x +cd i ) = c n k k f i d i +x f i n }{{} = ( ) s = k f i (x i x) = k f i x +cd i c k f j d j x = n n n j= ( ( ) = c k f i d i n k k f j d j )d i + f j d j = n n j= j= ( ) ( ) = c k f i d k k i f j d j + f j d j n n n j= j= ( ) s = c k f i d k i f j d j. n n j= (a) Vratimo se zadatku. Širina razreda je c =.5 i tablica frekvencija glasi:

22 . OPISNA STATISTIKA i I i f i d i f i d i f i d i r i x i F i [9.575, [9.65, [9.675, [9.75, [9.775, [9.85, [9.875, [9.95, [9.975, [.5, [.75, [.5, [.75, [.5, Σ Pri tome su F i kumulativne relativne frekvencije, odnosno Sada je F = r, F i = F i +r i, i =,...,k. x = = 9.93µF, 485 [ ( ) ] s = =. s =.µf. 485 (b) Za m,q L i q U crtamo graf kumulativnih relativnih frekvencija (vidi sliku.) i onda m,q L i q U odredimo linearnom interpolacijom: m = q L = q U = m = = 9.93,.7 q L = = 9.86,.53 q U = =...44

23 . OPISNA STATISTIKA 3 F i x Slika.: Graf kumulativnih relativnih frekvencija Zadatak.6 Pokažite da za varijancu uzorka x,...,x n vrijedi ( ) s = x i n nx. Rješenje: Po definiciji je s = n = n = n (x i x) = ( x n i x i x+x ) = ( ) x i x x i +nx ( ) x i nx. ( ) = x i n x nx+nx = Napomena: Ako u nizu ima više istovrsnih mjerenja tako da se vrijednosti y,...y k

24 4. OPISNA STATISTIKA pojavljuju s frekvencijama f,...,f k, onda iz.6 slijedi s = ( k ) f i yi nx, gdje je x = f + +f k f + +f k k f i y i. Zadatak.7 Pokažite da je aritmetička sredina podataka x,...,x n jedinstveni broj u kojem funkcija v: R R, v(µ) = (x i µ) postiže minimum. Rješenje: Neka je µ R. v(µ) = = = v(µ) = (x i µ) = (x i x) + [(x i x)+(x µ)] = (x i x)(x µ)+ (x µ) = ( ) (x i x) +(x µ) x i nx +n(x µ) (x i x) +n(x µ) }{{} }{{} = (x i x) = v(x) Dakle, funkcija v postiže minimum u µ = x. Nadalje, Stoga je točka minimuma jedinstvena. v(µ) = v(x) n(x µ) = x = µ. Zadatak.8 Ako su podaci dobiveni afinom transformacijom y i = ax i +b, i =,...,n, a, podataka x,...,x n, pokažite da je aritmetička sredina transformiranih podataka jednaka y = ax+b, a uzoračka varijanca s (y) = a s. Rješenje: Aritmetička sredina je y = n y i = n (ax i +b) = a n x i + nb = ax+b, n

25 . OPISNA STATISTIKA 5 a uzoračka varijanca s (y) = n = n = a ( ) yi ny a x i +ab [ ] = (ax i +b) n(ax+b) = n x i }{{} =nx ( ) x i n nx = a s. +nb na b abnx nb = Napomena: Za standardnu devijaciju slijedi s(y) = s (y) = a s = a s. Zadatak.9 (Čebievljevanejednakost)Nekajex,...,x n skuppodatakaiε >. Pokažite da tada vrijedi: Rješenje: Vrijedi s = n n #{i: x i x ε} (n )s ε. (x i x) = n {i: x i x ε} #{i: x i x ε} (n )s ε. {i: x i x ε} (x i x) }{{} ε + ε = n #{i: x i x ε} ε n {i: x i x <ε} (x i x) }{{} Zadatak. Neka je x,...,x n skup podataka. Tada postoji jedinstveni broj m R koji minimizira funkciju d(µ) = x i µ ako i samo ako je n neparan ili je n = l i vrijedi x (l) = x (l+). Rješenje: Poredajmo podatke: x () x ()... x (n). Ako je µ x (), onda je d(µ) = x i µ = (x (i) µ) = x (i) nµ.

26 6. OPISNA STATISTIKA Ako je µ x (n), onda je d(µ) = x i µ = (µ x (i) ) = nµ Ako je x (k) µ x (k+), za neki k n, onda je x (i). d(µ) = = k x (i) µ = x (i) µ + x (i) µ = k (µ x (i) )+ i=k+ (x (i) µ) = (k n)µ k x (i) + x (i). i=k+ i=k+ Sada možemo skicirati grafove funkcije d za n neparan i n paran. Ako je n = l, iz slike. vidimo da je jedinstveni minimum funkcije m = x (l). Ako je n = l, iz slike.3 vidimo da funkcija d poprima minimum za sve µ [x (l),x (l+) ] pa je minimum m jedinstven ako i samo ako je x (l) = x (l+). x x x l x l x l x n x n Slika.: Graf funkcije d za n=l-.

27 . OPISNA STATISTIKA 7 x x x l x l x l x l x n x n Slika.3: Graf funkcije d za n=l. Pretpostavimo da imamo dvodimenzionalno obilježje dano kontingencijskom tablicom: X\Y b b b c Σ a f f f c f a f f f c f..... a r f r f r f rc f r Σ g g g c n Mjera statističke nezavisnosti obilježja je definirana sa Zadatak. Pokažite da je f := n r c j= (nf ij f i g j ) f i g j. (a) f = r c j= f ij f i g j, (b) f min{r,c}, (c) f = min{r,c} ako i samo ako je r c (r c) i u svakom retku (stupcu) kontingencijske tablice je točno jedna frekvencija različita od nule.

28 8. OPISNA STATISTIKA Rješenje: (a) f = n r = n ( r = r c j= c j= (nf ij f i g j ) f i g j = c j= f ij f i g j n n f ij f i g j r r c j= c j= f ij }{{} =n nf ij f i g j f i g j + + n ( r }{{} =n r c j= )( c f i j= }{{} =n ) (f i g j ) = f i g j ) r g j = c j= f ij f i g j. (b) Očito je f. r r c j= c j= f ij f i g j = f ij f i g j = r r c j= c j= Dakle, f min{r,c}. (c) Pretpostavimo da je r c. f ij f i }{{} f ij f ij g j f ij f i g }{{} j c r f ij g j= j r f i }{{} =g j c j= f ij }{{} =f i = c f c = r f r Ako u nekom retku i postoje barem dvije frekvencije različite od nula, tada je f i j < f i, za svaki j =,...,c pa vrijedi f = < r r c j= f ij f i g j = c,i i j= f ij g j + r c,i i j= c j= f ij g j = f ij f }{{} i c f ij g j + r c j= f ij g j= j }{{} =g j f i j f i }{{} < f ij g j = c = min{r,c}. Neka je u svakom retku točno jedna frekvencija različita od nula. Označimo ih

29 . OPISNA STATISTIKA 9 sa f j,f j,...,f rjr. Tada vrijedi f i = f iji, za svaki i =,...,r, pa je f = = r r c j= c k= f ij f i g j = f ik g k = Slučaj r c se pokazuje na isti način. r c f ij i f i g ji = r f ik g k k= }{{} =g k r f iji g ji = = c = min{r,c}. Napomena: f = min{r,c} postoji funkcijska veza izmedu obilježja. Zadatak. U cilju istraživanja imaju li muškarci i žene isti stav prema boksu, anketirano je 35 osoba i dobiveni su sljedeći podaci: (a) Odredite marginalne distribucije. spol \ stav pozitivan negativan ravnodušan muškarci žene (b) Izračunajte stupanj statističke zavisnosti. Rješenje: (a) Vrijedi spol \ stav pozitivan negativan ravnodušan Σ muškarci žene Σ Marginalne distribucije su: f =,f = 5,g = 7,g =,g 3 = 58. (b) Mjera statističke nezavisnosti obilježja iznosi f = r c j= f ij f i g j = = = =

30 3. OPISNA STATISTIKA Stupanj statističke zavisnosti je o = f min{r,c} = min{,3} = , tj. oko 4.95% pa je statistička zavisnost stava o boksu i spola slaba. U R-u: > r<- > c<-3 > spol<-matrix(c(3,4,3,4,8,8),nrow=r,ncol=c,byrow=t) > spol [,] [,] [,3] [,] [,] > sume_stupaca<-colsums(spol) > sume_redaka<-rowsums(spol) > sume_stupaca [] 7 58 > sume_redaka [] 5 > marginalne<-matrix(kronecker(sume_redaka,sume_stupaca),nrow=r,ncol=c,byrow=t) > marginalne [,] [,] [,3] [,] [,] > f<-sum(spol^/marginalne)- > f [] > o=f/(min(r,c)-) > o [] Zadatak.3 Visine i udaljenosti koje su bile potrebne za osvajanje zlatne medalje na olimpijskim igrama u disciplinama skoka u vis i bacanju diska za atletičare dane su u metrima u sljedećoj tablici. Odredite uzoračku kovarijancu i Pearsonov koeficijent korelacije.

31 . OPISNA STATISTIKA 3 godina skok u vis bacanje diska godina skok u vis bacanje diska Rješenje: Stavimo X=visina u skoku u vis, Y =udaljenost u bacanju diska. i x i y i x i yi x i y i Σ

32 3. OPISNA STATISTIKA Radi se o dvodimenzionalnom neprekidnom statističkom obilježju. Iz prethodne tablice slijedi n = 6,x =.4,y = i vrijedi S XX = S YY = S XY = (x i x) = (y i y) = x i nx = =.43, yi ny = = , (x i x)(y i y) = Dakle, uzoračka kovarijanca je C(X,Y) = n x i y i nxy = = Nadalje, Pearsonov koeficijent korelacije je pa su X i Y pozitivno korelirane. Riješimo zadatak u R-u. r XY = Pronadite datoteku olimpijade.dat na (x i x)(y i y) = n S XY =.368. S XY SXX S YY =.96 i spremite je u radni direktorij. U datoteci su podaci o visinama i udaljenostima koje su bile potrebne za osvajanje zlatne medalje na olimpijskim igrama od 896. godine. Učitajmo podatke: > olimp<-read.table("olimpijade.dat",header=true) > olimp godina skok_u_vis bacanje_diska

33 . OPISNA STATISTIKA Tada je Pearsonov koeficijent korelacije > cor(olimp$skok_u_vis,olimp$bacanje_diska,method="pearson") [] Drugi način: > attach(olimp) > SXX=sum((skok_u_vis-mean(skok_u_vis))^) > SYY=sum((bacanje_diska-mean(bacanje_diska))^) > SXY=sum((skok_u_vis-mean(skok_u_vis))*(bacanje_diska-mean(bacanje_diska))) > pearsonov_koef<-sxy/sqrt(sxx*syy) > pearsonov_koef [] Zadatak.4 Pokažite da je Pearsonov koeficijent korelacije podataka (x,y ),...,(x n,y n ) jednak uzoračkoj kovarijanci standardiziranih podataka ( x x s x, y ) ( y xn x,...,, y ) n y. s y s x s y

34 34. OPISNA STATISTIKA Rješenje: Ako stavimo x i = x i x i y i = y i x za i =,...,n, uzoračka kovarijanca s x s x standardiziranih podataka je jednaka S X Y = (x i x n )(y i y ) = ( xi x x x )( yi y y y ) = n s x s x s y s y = (x i x)(y i y) = s x s y n n S S XY XY = = r XY. SXX S YY S XX n S Y Y n Zadatak.5 Pokažite da je Pearsonov koeficijent korelacije invarijantan na afine transformacije s istim predznakom koeficijenata smjera, odnosno ako su a,b,c,d R,a c, onda je r ax+b,cy+d = sgn(ac)r XY. Rješenje: Prema zadatku.8 vrijedi r ax+b,cy+d = S ax+b,cy+d SaX+b,aX+b S cy+d,cy+d = = = n n (ax i +b (ax+b))(cy i +d (cy +d)) = (ax i +b (ax+b)) n j= (cy j +d (cy +d)) ac n (x i x)(y i y) a c = n (x i x) n j= (y j y) = acs XY ac S XX S YY = sgn(ac)r XY. Zadatak.6 Aproksimirajte podatke (x,y ),...,(x n,y n ) pravcem y = α+βx metodom najmanjih kvadrata, tj. odredite točku (ˆα, ˆβ) R u kojoj funkcija L(α,β) = (α+βx i y i ),α,β R ima jedinstveni globalni minimum. Napomena: Ako je x = x = = x n, onda je traženi pravac x = x. Rješenje: Pretpostavimo da su barem dvije vrijednosti x i -ova različite. Iz α L = (α+βx i y i ) i β L = (α+βx i y i )x i,

35 . OPISNA STATISTIKA 35 nužan uvjet za lokalni ekstrem (ˆα, ˆβ) glasi odakle je ˆα (ˆα+ ˆβx i y i ) = (ˆα+ ˆβx i y i )x i = ˆαn+ ˆβ x i + ˆβ x i x i y i = x i y i = ˆαn+ ˆβnx ny = / x ˆαnx+ ˆβ(S XX +nx ) (S XY +nxy) = ˆβ = S XY S XX i ˆα = y ˆβx. Provjerimo sada dovoljan uvjet. Hesseova matrica glasi HL(ˆα, ˆβ) α L(ˆα, ˆβ) α β L(ˆα, ˆβ) n n x i = = β α L(ˆα, ˆβ) β L(ˆα, ˆβ) n x i. n x i Vrijedi n > i n n n x i n x i x i = 4n ( ) x i 4 x i > zbog aritmetičko-kvadratne nejednakosti i pretpostavke s početka. Stoga, prema Sylvesterovom kriteriju, funkcija L ima u točki (ˆα, ˆβ) strogi lokalni minimum. Budući da je jedina stacionarna točka, (ˆα, ˆβ) je jedinstveni globalni minimum. Zadatak.7 Za podatke iz zadatka.3 procijenite metodom najmanjih kvadrata visinu u skoku u vis i udaljenost u bacanju diska potrebne za osvajanje zlatne medalje na olimpijskim igrama u Pekingu 8. godine. Rješenje: (a) Stavimo X = vrijeme (godine) i Y = visina u skoku u vis (m). Tablica podataka:

36 36. OPISNA STATISTIKA i x i y i x i x i y i Σ Slijedi n = 6,x = 95.3,y =.438 pa je S XX = S XY = x i nx = = , x i y i nxy = = Prema prethodnom zadatku je Stoga je traženi pravac ˆβ = S XY S XX = i ˆα = y ˆβx = y = x pa je procjena visine u skoku uvis za olimpijske igre 8. godine y(8) =.436m. (b) Stavimo X = vrijeme (godine) i Y =udaljenost u bacanju diska (m). Tablica podataka:

37 . OPISNA STATISTIKA 37 i x i y i x i x i y i Σ Dakle, n = 6,x = 95.3,y = i vrijedi S XX = S XY = x i nx = = , x i y i nxy = =.5. Sada je ˆβ = S XY S XX =.3438 i ˆα = y ˆβx = Traženi pravac je y = x, a procjena y(8) = m. U R-u: Pogledajmo kako se visina u skoku u vis mijenjala s godinama: > plot(godina,skok_u_vis)

38 38. OPISNA STATISTIKA skok_u_vis godina Procjena za 8. godinu metodom najmanjih kvadrata: > n=length(godina) > SXX<-sum(godina^)-n*mean(godina)^ > SXY<-sum(godina*skok_u_vis)-n*mean(godina)*mean(skok_u_vis) > beta<-sxy/sxx > alpha=mean(skok_u_vis)-beta*mean(godina) > f<-function(t) + alpha+beta*t > f(8) [] Pogledajmo kako pravac opisuje podatke: > plot(godina,skok_u_vis) > abline(c(alpha,beta))

39 . OPISNA STATISTIKA 39 skok_u_vis godina Do pravca regresije možemo doći i koristeći naredbu lm(podaci~podaci): > regr<-lm(skok_u_vis~godina) > regr Call: lm(formula = skok_u_vis ~ godina) Coefficients: (Intercept) godina > plot(godina,skok_u_vis) > abline(regr$coefficients) Zadatak.8 U tablici su prikazane eksperimentalne vrijednosti tlaka nekog plina konstantne mase koje odgovaraju različitim volumenima V. volumen (V/m 3 ) tlak (p/pa) Iz termodinamike je poznata jednadžba pv γ = C, gdje su γ i C konstante.

40 4. OPISNA STATISTIKA (a) Odredite konstante γ i C. (b) Odredite p za V = m 3. Rješenje: Logaritmiranjem jednadžbe pv γ = C slijedi lnp = lnc γlnv. Stavimo li x = lnv,y = lnp,α = lnc i β = γ, dobivamo pravac y = α+βx. Procijenimo sada α i β metodom najmanjih kvadrata. Podaci su dani sljedećom tablicom: i x i y i x i x i y i Σ pa je n = 6,x =.699,y =.3 i vrijedi S XX = S XY = x i nx = (.699) =.943, x i y i nxy = (.699) (.3) = Prema zadatku.6 je i traženi pravac y =.39.4x. ˆβ = S XY S XX =.4 i ˆα = y ˆβx =.39 (a) Za konstante γ i C vrijedi ˆα = lnc i ˆβ = γ pa je C = eˆα =.5 i γ = ˆβ =.4. Dakle, plin zadovoljava jednadžbu pv.4 =.5. (b) Za V = m 3 iz dobivene jednadžbe slijedi p.4 =.5 p =.5.

41 . OPISNA STATISTIKA 4. Zadaci za vježbu.9 Izabran je slučajan uzorak od 33 osobe koje slušaju radio i zabilježeno koliko sati slušaju radio tjedno. Podaci su sljedeći: (a) Nacrtajte histogram relativnih frekvencija. (b) Odredite aritmetičku sredinu, mod i medijan uzorka. (c) Odredite varijancu i standardnu devijaciju uzorka. (d) Odredite raspon uzorka. (e) Odredite donji i gornji kvartil te interkvartil uzorka. (f) Nacrtajte dijagram pravokutnika ( box and whisker plot ).. Pet novčića smo bacali puta i zabilježili dobiveni broj glava. Broj bacanja u kojima je palo,,, 3, 4 i 5 glava dan je u sljedećoj tablici: broj glava broj bacanja Σ (a) Nacrtajte histogram podataka. (b) Odredite aritmetičku sredinu, varijancu i standardnu devijaciju uzorka.. Izabran je slučajan uzorak od 4 brucoša nekog fakulteta i zabilježeno koliko minuta gledaju televiziju tjedno. Podaci su dani u sljedećoj tablici:

42 4. OPISNA STATISTIKA (a) Nacrtajte histogram podataka. vrijeme gledanja broj studenata Σ 4 (b) Izračunajte aritmetičku sredinu i standardnu devijaciju uzorka. (c) Izračunajte medijan te donji i gornji kvartil.. Dokažite da je x jedinstveni minimum funkcije v iz zadatka.7 koristeći prvu i drugu derivaciju..3 Od grupe pacijenata koji su se žalili na probleme sa spavanjem nekima je dana tableta za spavanje dok je drugima dana tableta sa šećerom (makar su svi mislili da su dobili tabletu za spavanje). Kasnije su upitani je li im tableta pomogla ili ne. Dobiveni su sljedeći podaci: Spavali dobro Nisu spavali dobro Uzeli tabletu za spavanje 44 Uzeli tabletu sa šećerom 8 35 (a) Odredite marginalne distribucije. (b) Izračunajte stupanj statističke zavisnosti..4 Bez upotrebe Hesseove matrice dokažite da je točka (ˆα, ˆβ) iz zadatka.6 jedinstveni globalni minimum funkcije L..5 Uzimajući u obzir podatke iz zadatka.3 samo od 896. do 988. godine, odredite Pearsonov koeficijent korelacije i uzoračku kovarijancu. Nadalje, procijenite metodom najmanjih kvadrata visinu u skoku u vis i udaljenost u bacanju diska potrebne za osvajanje zlatne medalje na olimpijskim igrama u Pekingu 8. godine, te usporedite dobiveni rezultat sa zadatkom.7. Rješenja:.9. (a) Vidi sliku.4. (b) x = , mod=8, m=7 (c) s =.496, s =.5799 (d) R = 6 (e) g L = 6,q U = 8,d q = (f) Vidi sliku.5... (a) Vidi sliku.6. (b) x =.47,s =.443, s =.55.. (a) Vidi sliku.7. (b) x = 75,s = (c) Vidi sliku.8: m = 78.34, q L = , q U = (a) f = 54,f = 6,g = 5,g = 45 (b) o = Za X=visina i Y =udaljenost je r XY =.954, C(X,Y ) = Procjena visine je.45465, a udaljenosti

43 . OPISNA STATISTIKA Slika.4: Histogram relativnih frekvencija za zadatak Slika.5: Dijagram pravokutnika za zadatak.9.

44 44. OPISNA STATISTIKA Slika.6: Histogram relativnih frekvencija za zadatak Slika.7: Histogram relativnih frekvencija za zadatak..

45 . OPISNA STATISTIKA x m F i Slika.8: Graf kumulativnih frekvencija za zadatak..

46 46. OPISNA STATISTIKA

47 Neprekidne slučajne varijable Definicija: Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor. Funkcija X: Ω R je slučajna varijabla ako za sve a,b R, a < b vrijedi Funkciju F = F X : R [,] definiranu sa {a X b} F. F(a) := P(X a), a R zovemo funkcija distribucije slučajne varijable X. Napomena: Primjetite da je {X a} = { n X a} F n= pa je funkcija distribucije dobro definirana. Definicija: Slučajna varijabla X je neprekidna slučajna varijabla ako postoji nenegativna (izmjeriva) funkcija f: R R takva da je P(a X b) = b a f(x)dx, za sve a,b R, a < b. Funkciju f zovemo (vjerojatnosna) funkcija gustoće slučajne varijable X. Napomena: (a) Vrijedi ( ) F(x) = P(X x) = P { n X x} = n= = lim P( n X x) = lim n n x n f(t)dt = x f(t)dt. 47

48 48. NEPREKIDNE SLUČAJNE VARIJABLE Dakle, F(x) = x f(t)dt. f(t)dt, da bi funkcija f bila vjerojat- x (b) Zbog = lim F(x) = lim f(t)dt = x + x + nosna funkcija gustoće, mora vrijediti (i) f(x), x R, (ii) f(t)dt =. (c) P(X = a) = (d) Vrijedi a a f(t)dt = P(a < X b) = P({X b}\{x a}) = P({X b}) P({X a}) = F(b) F(a). Slijedi P(a X b) = P(X = a)+p(a < X b) = P(a < X b) = F(b) F(a). Analogno dobijemo P(a X < b) = P(a < X < b) = F(b) F(a). Definicija: Neka je X neprekidna slučajna varijabla s gustoćom f. Ako nepravi integral + x f(x)dx konvergira, onda broj EX := + xf(x)dx zovemo (matematičko) očekivanje slučajne varijable X i kažemo da slučajna varijabla X ima očekivanje. Napomena: Ako je g: R R (izmjeriva) funkcija, onda je i g(x) slučajna varijabla i vrijedi + E[g(X)] := g(x)f(x) dx. Definicija: Za r N sa M r := E[X r ] definiramo r-ti moment slučajne varijable X ukoliko očekivanje postoji. Ako postoji drugi moment slučajne varijable X, onda definiramo varijancu slučajne varijable X sa VarX := E[(X EX) ] = E[X ] (EX). Broj σ := VarX zovemo standardna devijacija slučajne varijable X.

49 . NEPREKIDNE SLUČAJNE VARIJABLE 49. Normalna distribucija Definicija: Slučajna varijabla X ima normalnu distribuciju s parametrima µ i σ > ako joj je funkcija gustoće Pišemo: X N(µ,σ ) Zadatak. Neka je X N(µ,σ ). (a) Pokažite da je X dobro definirana. f(x) = σ (x µ) π e σ, x R. (b) Izračunajte prvi moment, drugi moment i varijancu od X. Rješenje: (a) Trebamo pokazati da je pripadna funkcija f vjerojatnosna funkcija gustoće: (i) f(x), x R. (ii) Vrijedi + Izračunajmo I := f(x)dx = σ π + I = I I = e t dt. ( + + e (x µ) ) e t dt σ dx = ( + { } t = x µ σ dt = dx = + e t dt. σ π e t dt ) = {Fubinijev teorem} = = = + + π I = π e s +t dsdt = re r drdϕ = π + s = rcosϕ t = rsinϕ s +t = r = J = cosϕ rsinϕ sinϕ rcosϕ = r re r dr = π( e r ) = π f(x)dx = π I =.

50 5. NEPREKIDNE SLUČAJNE VARIJABLE (b) EX = + xf(x)dx = σ π + xe (x µ) σ dx = = + µ (µ+σt)e t dt = π π + e t dt { } t = x µ σ dt = dx = σ + σ π + te t dt = µ VarX = E[(X µ) ] = = + }{{} = π (x µ) f(x)dx = σ π + }{{} = jer je t te t neparna funkcija na simetričnoj domeni (x µ) e (x µ) σ dx = { } t = x µ + { σ dt = dx = σ u = t du = dt t e t dt = σ π dv = te t v = e t π ( te t ) + = σ }{{} = + σ π E[X ] = VarX +(EX) = σ +µ. + e t dt = σ. }{{} = π } = Zadatak. Neka je X N(µ,σ ). Pokažite da je X µ σ Rješenje: Stavimo Y := X µ. σ ( X µ F Y (x) = P(Y x) = P σ = µ+σx σ e (x µ) σ dt = π Y N(,). N(,). ) x = P(X µ+σx) = { } s = t µ σ ds = dt = x e s ds σ π Napomena: Funkciju distribucije jedinične normalne razdiobe označavamo sa Φ(x) = x π e t dt.

51 . NEPREKIDNE SLUČAJNE VARIJABLE 5 Vrijedi Φ( x) = Φ(x). Zadatak.3 Neka je X N(µ,σ ). Izračunajte Rješenje: Zbog X µ σ Slijedi P( X µ kσ), za k =,,3. N(,) je P( X µ kσ) = P( kσ X µ kσ) = P = Φ(k) Φ( k) = Φ(k). ( k X µ ) k = σ P( X µ σ) = Φ().843 =.686, P( X µ σ) = Φ().977 =.9544, P( X µ 3σ) = Φ(3).9987 = Zadatak.4 Neka je Y N(, 4). Izračunajte vjerojatnost da jednadžba 4x +4Yx+Y + = ima samo realna rješenja. Rješenje: Zbog µ = i σ = je Y ako je diskriminanta N(, ). Jednadžba ima samo realna rješenja D = (4Y) 4 4(Y +), Y Y, (Y +)(Y ). Tražena vjerojatnost je P(D ) = P((Y +)(Y ) ) = P({Y } {Y }) = {σ aditivnost} = ( Y = P(Y )+P(Y ) = P ) ( Y +P ) = = Φ( )+( Φ(/)) = Φ()+ Φ(/) =.467.

52 5. NEPREKIDNE SLUČAJNE VARIJABLE. Eksponencijalna distribucija Definicija: Slučajna varijabla X ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom λ > ako joj je funkcija gustoće Pišemo: X Exp(λ). f(x) = { λe λx, x >, inače = λe λx ½,+ (x). Zadatak.5 Neka je X Exp(λ). (a) Pokažite da je X dobro definirana. (b) Odredite funkciju distribucije slučajne varijable X. (c) Izračunajte EX,E[X ] i VarX. Rješenje: (a) (i) f(x), x R. + (ii) f(x)dx = λ + e λx dx = λ ( λ ) + e λx =. (b) P(X ) = f(x)dx = X > (g.s.) x F(x) = P( X }{{} > }{{}) = P( ) =. x x > F(x) = P(X x) = x x f(t)dt = λ = λ ( λ ) x e λt = e λx. e λt dt = F(x) = { e λx, x >, x.

53 . NEPREKIDNE SLUČAJNE VARIJABLE 53 (c) EX = E[X ] = + xf(x)dx = λ = ( xe λx) + + }{{} + = + + x f(x)dx = λ { } u = x du = dx xe λx dx = dv = e λx dx v = = λ e λx e λx dx = + λ λ e λx dx = λ, + = ( x e λx) + + }{{} = } {{ } = { } u = x x e λx du = xdx dx = dv = e λx dx v = = λ e λx + VarX = E[X ] (EX) = λ ( λ xe λx dx = + λ λ xe λx dx = λ, ) = λ. } {{ } =EX.3 Γ-distribucija Definicija: Γ-funkcija je funkcija Γ:,+ R definirana sa Γ(x) := t x e t dt. Zadatak.6 Pokažite sljedeća svojstva Γ-funkcije: (a) Γ(x+) = xγ(x), za x >. (b) Γ() =, Γ(n+) = n!, za n N. (c) Γ( ) = π, Γ( 3 ) = π. Rješenje:

54 54. NEPREKIDNE SLUČAJNE VARIJABLE (a) Γ(x+) = t x e t dt = = t x e t +x { } u = t x du = xt x dx dv = e t v = e t = dt t x e t dt = xγ(x). (b) Γ() = e t dt = e t =, Γ(n+) (a) = nγ(n) (a) = n(n )Γ(n ) = = n!γ() = n!. (c) Γ Γ ( ) = = { } t e t t = u dt = = dt = udu ( ) 3 (a) = ( ) Γ = e u du = π. + e u du }{{} = π u u e udu = = π, Definicija: Slučajna varijabla X ima Γ-distribuciju s paramerima α > i β > ako joj je funkcija gustoće f(x) = Γ(α)β α xα e x β, x > =, inače Γ(α)β α xα e x β ½, (x). Pišemo: X Γ(α,β). Napomena: X Exp(λ) f X (x) = λe λ ½, (x) = x Γ() /λ e /λ ½, (x) X Γ(,/λ). Zadatak.7 Neka je X Γ(α,β).

55 . NEPREKIDNE SLUČAJNE VARIJABLE 55 (a) Pokažite da je X dobro zadana. (b) Izračunajte EX i Var X. Rješenje: (a) (i) f(x), x R. (b) (ii) + EX = E[X ] = f(x)dx = + Γ(α)β α xf(x)dx = + Γ(α)β α x α e x β dx = { t = x β dt = dx β + } = Γ(α) x x α e x β dx = Γ(α)β α + = Γ(α+)βα+ x (α+) e x Γ(α)β α Γ(α+)β α+ β dx } {{ } = + x f(x)dx = Γ(α)β α + = Γ(α+)βα+.6 = (α+)αγ(α)β Γ(α)β α Γ(α) x x α e x β dx = Γ(α)β α = α(α+)β, t α e t dt =. } {{ } =Γ(α) + x α e x β dx =.6 = β αγ(α) Γ(α) = αβ, + x α+ e x β dx = VarX = E[X ] (EX) = α(α+)β (αβ) = αβ..4 χ -distribucija Definicija: Slučajna varijabla X ima χ -distribuciju s n stupnjeva slobode ako je X Γ ( n,). Dakle, x n f(x) = Γ( n e x, x > )n = x n, inače Γ( n e x ½,+ (x). )n Pišemo: X χ (n).

56 56. NEPREKIDNE SLUČAJNE VARIJABLE Zadatak.8 Neka je X N(,). Odredite distribuciju slučajne varijable Y = X. Rješenje: x < F Y (x) = P(Y x) = P( X }{{} x }{{}) = P( ) =. < x F Y (x) = P(Y x) = P(X x) = P( X x) = Y χ (). = P( x X x) = π = π = x x Γ( ) x x { } t = u e t dt = dt = du u x u e u du = e t dt = = x π Γ( ) e u du u = u e u ½,+ (u)du..5 Studentova t-distribucija Definicija: Slučajna varijabla ima (Studentovu) t-distribuciju s n stupnjeva slobode ako joj je gustoća f(x) = Γ ( ) n+ nπ Γ ( ) n (. + x )n+ n Pišemo: X t(n). Napomena: Slučajna varijabla X ima Cauchyevu distribuciju ako je X t(). Dakle, f(x) = Γ() π Γ ( ) +x = π π +x = π(+x ). Zadatak.9 Neka je X t(n). Odredite EX i VarX kada postoje. Rješenje: n = + x f(x)dx = π + X nema očekivanje ni varijancu. x +x dx = π ln(+x ) + = +

57 . NEPREKIDNE SLUČAJNE VARIJABLE 57 n EX = + VarX = E[X ] = I = n Γ ( ) n+ nπ Γ ( ) n xf(x)dx = Γ ( ) n+ nπ Γ ( ) n + n> = Γ ( ) n+ nπ Γ ( ) n + Γ ( n+ = n (n )π Γ ( ) n = n I = n n n + x ( + x n )n+ }{{} = jer je podintegralna funkcija neparna na simetričnoj domeni x f(x)dx = Γ ( ) n+ nπ Γ ( ) n + ( + x n ) + Γ ( ) n (n )π Γ ( ) n n ( ) + x n ( + x )n+ n dx = )n+ ( + t )n n + ( + t n + dx = x ( + x n )n+ dx = } {{ } divergira za n =, konvergira za n > dx = I I, gdje je { t n = x n dt n = dx n dt.6 = ) (n )+ } {{ } = ) Γ ( n+ nπ Γ ( ) n + ( + x n )n+ } {{ } = dx = n. VarX = n(n ) n = n n n X ima očekivanje za n i varijancu za n 3. dt } = = n(n ) n,.6 Fisherova F-distribucija Definicija: Slučajna varijabla X ima (Fisherovu) F-distribuciju s parametrima m N i n N ako joj je funkcija gustoće f(x) = Γ( ) m+n Γ ( ) ( m Γ n )m m n x m n ½,+ (x). (mx+n) m+n

58 58. NEPREKIDNE SLUČAJNE VARIJABLE Pišemo: X F(m,n). Zadatak. Neka je X F(m,n). Odredite distribuciju slučajne varijable Y = X. Rješenje: Y je dobro definirana jer je X > (g.s.). ( x F Y (x) = P(Y x) = P }{{} X > ( x > F Y (x) = P(Y x) = P X x Y F(n,m). = Γ( ) m+n Γ ( ( m ) Γ n )m m n n = Γ( ) m+n Γ ( ) ( m Γ n = Γ( ) n+m Γ ( ( n ) Γ m )m m n n )n n m m x }{{} + x x x ) = ) = P( ) =. ( X ) = x u m (mu+n) m+n v m + ( m v +n)m+n v n (nv +m) n+m v m+n v m+n du = { } u = v du = dv = v dv v = ½,+ (v)dv. Zadatak. Na slučajan način biramo točku iz pravokutnika stranica duljine 3 cm i 4 cm. Izračunajte očekivanu udaljenost točke od najbliže stranice pravokutnika. Rješenje: Označimo s X udaljenost točke od najbliže stranice pravokutnika. Tada je za x [,3/] F X (x) = P(X x) = P(X > x) = (4 x)(3 x) 4 3, x < F X (x) = x 3 + 7x, x 3/ 6, x > 3/ ( f X (x) = F X (x) = x ) [,3/] (x) 6 = x 3 + 7x 6. EX = 3/ x ( x ) dx = =.565

59 . NEPREKIDNE SLUČAJNE VARIJABLE 59.7 Zadaci za vježbu. Slučajna varijabla X ima uniformnu distribuciju s parametrima a, b R ako joj je funkcija gustoće { f(x) = b a, x [a,b]., x / [a,b] Pišemo X U(a,b). Odredite funkciju distribucije i izračunajte P ( ) a X a+b..3 Neka je X N(µ,σ ). Izračunajte treći i četvrti moment od X..4 Neka je X N(3,4). Odredite c R t. d. je P(X > c) = P(X c)..5 Neka je X Exp(λ). Izračunajte P ( X λ)..6 Neka je X Γ(α,β). Izračunajte treći i četvrti moment od X..7 Neka X ima Cauchyevu distribuciju. Odredite funkciju distribucije..8 Neka je X slučajna varijabla s funkcijom gustoće f(x) = e x, x R. Odredite funkciju distribucije te izračunajte P(X > ) i P( < X < )..9 Beta-funkcija je funkcija B: R + R + R + definirana sa B(p,q) := Dokažite da je B(p,q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p+q). x p ( x) q dx.. Slučajna varijabla X ima beta-distribuciju s parametrima p > i q > ako joj je funkcija gustoće f(x) = B(p,q) xp ( x) q, x,., x /, Pišemo X B(p,q). Izračunajte EX,VarX i E[X n ],n N.. Neka je X U(a, b). Odredite funkciju distribucije slučajne varijable Y ako je: (a) Y = αx +β,α,

60 6. NEPREKIDNE SLUČAJNE VARIJABLE (b) Y = e X.. Neka je X U(,). Odredite funkciju distribucije slučajne varijable Y = X..3 Neka je X N(µ,σ ). Odredite funkciju distribucije slučajne varijable Y = αx +β..4 Neka je X N(, ). Odredite funkciju distribucije slučajne varijable Y ako je: (a) Y = /X, (b) Y = X, (c) Y = X 3..5 Neka je X Exp(λ). Odredite funkciju distribucije slučajne varijable Y ako je: (a) Y = αx +β, (b) Y = X 3..6 Neka je X Exp(). Odredite funkciju distribucije slučajne varijable Y = X..7 Ako je X U(,), kojom transformacijom od X se dobije Y Exp(λ)?.8 Ako je X Exp(λ), kojom transformacijom od X se dobije Y sa Cauchyevom distribucijom?.9 Slučajna varijabla X ima funkciju distribucije { e x α, x > F(x) =, x, gdje je α >. Odredite funkciju distribucije slučajne varijable Y = /X. Rješenja:.. F X (x) =, x < a x a b a, a x b,, x > b P(a X a+b ) = /.3. E[X3 ] = µ 3 + 3µσ,E[X 4 ] = 3σ 4 + µ 4 + 6µ σ.4. c.4.5. e.6. E[X 3 ] = α(α + )(α + )β 3,E[X 4 ] = α(α + )(α + )(α + 3)β 4.7. F(x) = π arctgx +.8. { e x /, x F(x) = e x,p(x > ) = /,P( < X < ) = (e e )/.. EX = p /, x < p+q,varx = pq (p+q) (p+q+),e[xn ] = B(p+n,q).. (a) Za α > je F B(p,q) Y (x) = F X ( x β α ), za α < je F Y (x) = F X ( x β α ) (b) F Y (x) =, x <.. F Y (x) = x, x,.3. Y N(αµ + β,α σ ).4. (a) F Y (x) =, x > { FX ( x) F X ( x), x > (c) F, x Y (x) = F X ( 3 x).5. (a) Za α > je F Y (x) = F X ( x β { { (b) F Y (x) = { F Y (x) = e λ 3 x, x >, x, x e ( x)α, x <.6. F Y (x) = e x, x >, x 3/ F X (/y), x > /, x = / + F X (/y), x < { FX (lny), y >, y (b) F Y (x) = α ), za α < je F Y (x) = F X ( x β α ).7. Y = λ ln( X).8. Y = tg[π( e λx )].9.

61 3 Neprekidni slučajni vektori. Uvjetno očekivanje 3. Neprekidni slučajni vektori Definicija: Nekaje(Ω,F,P)vjerojatnosniprostor. Funkcija(X,Y): Ω R jeslučajni vektor ako za sve a,b,c,d R, a < b,c < d vrijedi {a X b,c Y d} F. Funkciju F = F X,Y : R [,] definiranu sa F(a,b) := P(X a,y b), a,b R zovemo funkcija distribucije slučajnog vektora (X, Y). Definicija: Slučajni vektor (X, Y) je neprekidni slučajni vektor ako postoji nenegativna (izmjeriva) funkcija f: R R takva da je P(a X b,c Y d) = b d a c f(x,y)dxdy, za sve a,b,c,d R, a < b,c < d. Funkciju f zovemo (vjerojatnosna) funkcija gustoće slučajnog vektora (X, Y). Napomena: (a) P(X = a,y = b) = a b a b f(x,y)dxdy = (b) Ako je g: R R (izmjeriva) funkcija, onda je E[g(X,Y)] := g(x,y)f(x,y)dxdy. R 6

62 6 3. NEPREKIDNI SLUČAJNI VEKTORI. UVJETNO OČEKIVANJE (c) Za C R izmjeriv, uz g(x,y) := ½C(x,y) je P((X,Y) C) = C f(x,y)dxdy. (d) P(a X b) = P(a X b,y R) = b + a X je neprekidna slučajna varijabla i f X (x) = f(x,y)dxdy = + Analogno, Y je neprekidna slučajna varijabla i f Y (y) = f(x,y)dy. + b a ( + f(x,y)dx. X i Y zovemo marginalne distribucije slučajnog vektora (X, Y). ) f(x,y)dy dx Zadatak 3. Funkcija gustoće slučajnog vektora (X, Y) je dana s f(x,y) = { e (x+y), x >,y >, inače. (a) Odredite marginalne distribucije. (b) Odredite funkciju gustoće slučajne varijable X Y. Rješenje: (a) Vrijedi f X (x) = + f(x,y)dy = f X (x) = + e (x+y) ½,, (x,y)dy = + e (x+y) dy, x > = =, x { e x, x >, x X Exp(). Analogno, Y Exp(). (b) ( X a FX(a) = P Y }{{} Y > a > ) }{{} a = P( ) =.

63 3. NEPREKIDNI SLUČAJNI VEKTORI. UVJETNO OČEKIVANJE 63 ( ) X FX(a) = P Y Y a = f(x,y)dxdy = x y a = = ay fx(a) = F X Y Y e (x+y) dxdy = e y ( e x ay ) dy = ) = ( e y + e (a+)y a+ e y = (a+), a >., a ay e x y a,x>,y> e x dx dy = e y( e ay) dy = = a+ (x+y) dxdy = Zadatak 3. Na slučajan način biramo točku iz kruga radijusa R. Ako točku označimo s (X,Y), onda je (X,Y) neprekidni slučajni vektor s uniformnom distribucijom na krugu radijusa R, tj. { c, x +y R f(x,y) =, x +y > R. (a) Odredite c. (b) Odredite marginalne distribucije X i Y. (c) Izračunajte vjerojatnost da je udaljenost D točke (X, Y) od ishodišta manja ili jednaka a. (d) Izračunajte ED. Rješenje: (a) = R f(x,y)dxdy = x +y R cdxdy = c x +y R dxdy = c R π c = R π.

64 64 3. NEPREKIDNI SLUČAJNI VEKTORI. UVJETNO OČEKIVANJE (b) Vrijedi R x + f X (x) = f(x,y)dy = dy, x R dy = R π R π x +y R R x, x > R R x x R = R π., x > R R y y R Analogno, f Y (y) = R π., y > R (c) Tražena vjerojatnost je F D (a), gdje je D = X +Y. Vrijedi D R. a < F D (a) = P( D }{{} a > R F D (a) = P( D }{{} R a R a }{{}) = P( ) = < a }{{} >R ) = P(Ω) = F D (a) = P(D a) = P( X +Y a) = P(X +Y a ) = a π = f(x,y)dxdy = dxdy = R π R π = a R. x +y a x +y a (d) Dakle, a f D (a) = R, a R, inače R ED = a da = R R 3. Zadatak 3.3 Neka je (X, Y) neprekidni slučajni vektor s funkcijom gustoće f. Odredite funkciju gustoće slučajne varijable: (a) X +Y (b) X Y Rješenje:

65 3. NEPREKIDNI SLUČAJNI VEKTORI. UVJETNO OČEKIVANJE 65 (a) F X+Y (a) = P(X +Y a) = f(x,y)dxdy = f X+Y (z) = = = a x a x+y a f(x,y)dy dx = f(x,z x)dz dx = f(x,z x)dx = { } y = z x dy = dx { } z = x+y = dz = dy a = + + f(x,z x)dx dz f(z y,y)dy. (b) F X Y (a) = P(X Y a) = f(x,y)dxdy = = = = = f X Y = a x f a a a x y a f(x,y)dy dx+ + ( f x, z ) dz dx+ x x ( f x, z ) dz dx+ x x ( f x, z ) dz dx = x x ( x, z ) dx x x. + + a a x f(x,y)dy dx = a a + ( f x, z ) dz dx = x x ( f x, z ) dz dx = x x ( f x, z ) dx dz x x { } z = x y = dz = xdy Napomena: Akoje(X,Y)slučajnivektorsfunkcijomgustoćef X,Y imarginalnimgustoćama f X i f Y, onda vrijedi X i Y su nezavisne f X,Y (x,y) = f X (x)f Y (y), x,y R.

66 66 3. NEPREKIDNI SLUČAJNI VEKTORI. UVJETNO OČEKIVANJE Zadatak 3.4 NekasuX Γ(α,β)iY Γ(α,β)nezavisne slučajne varijable. Pokažite da je tada X +Y Γ(α +α,β). Rješenje: Zbog nezavisnosti slučajnih varijabli X i Y vrijedi Slijedi f X,Y (x,y) = f X (x)f Y (y). f X+Y (z) = + f X,Y (z y,y)dy = + f X (z y)f Y (y)dy = = Γ(α )β α Γ(α )β α z f X+Y (z) =. z > + e z y β (z y) α ½, (z y)e y β y α ½, (y)dy f X+Y (z) = Γ(α )Γ(α )β α +α e = Γ(α )Γ(α )β α +α e z β z (z y) α y α dy = z β z α +α Zbog toga što je f X+Y funkcija gustoće, vrijedi = + f X+Y (z)dz = C = Cβ α +α + + { x = y } z dx = dy = z ( x) α x α dx = C e z β z α +α e z β z α +α dz = { w = z } β dw = dz = β w α +α e w dw = Cβ α +α Γ(α +α ) C = Γ(α +α )β α +α X +Y Γ(α +α,β) Napomena: Ako su X i Γ(α i,β),i =,...,n, nezavisne slučajne varijable, onda je X + +X n Γ(α + +α n,β).

67 3. NEPREKIDNI SLUČAJNI VEKTORI. UVJETNO OČEKIVANJE 67 Ako su X i χ (α i ),i =,...,n, nezavisne slučajne varijable, onda je X + +X n χ (α + +α n ). Ako su X i Exp(λ),i =,...,n, nezavisne slučajne varijable, onda je ( X + +X n Γ n, ). λ Ako su X,...,X n N(µ,σ ) nezavisne slučajne varijable, onda su X µ,..., X n µ N(, ) nezavisne slučajne varijable pa su σ σ ( ) ( ) X µ Xn µ,..., χ () nezavisne slučajne varijable, odakle je σ σ ( ) Xi µ χ (n). σ Zadatak 3.5 Neka su X χ (n) i Y N(,) nezavisne slučajne varijable i neka je Dokažite da je Z t(n). Z = Y. X n Rješenje: Prvo odredimo funkciju gustoće slučajne varijable x < F X(x) = P n x ( X n x ) = P( ) =. X n. F nx { } t = ny X(x) = P(X nx x ) = f X (t)dt = = f n dt = nydy X (ny )nydy f X(x) = nxf X (nx ) ½, (x). n

68 68 3. NEPREKIDNI SLUČAJNI VEKTORI. UVJETNO OČEKIVANJE Zbog nezavisnosti slučajnih varijabli X i Y slijedi f Z (z) = Z t(n) = f X n,y(x,zx) x dx = nxf X (nx )f Y (zx)xdx = n + n n πγ( n ( u = n = = n + n n πγ( n ) = + z n n n nπγ( n ) ( + z ) ( x x = n u n ( + z )n n n )n+ f X(x)f Y (zx) x dx n dx = e u x n e n ) ) / ( u ) n + z n ( ) du n + z u n n ( + z n du ) u = ( ) + z x n dx = u n+ e u du = Γ( n+ nπ Γ( n) ) ( + z Zadatak 3.6 Neka su X χ (n) i Y χ (m) nezavisne slučajne varijable te neka je Dokažite da je Z F(m,n). Z = Rješenje: Prvo odredimo funkciju gustoće slučajne varijable Y m. ( ) Y F Y (y) = P m m y = P(Y my) = f Y (y) = mf Y (my) m Analogno je fx(x) = nf X (nx). n Sada je zbog nezavisnosti f Z (z) = fx n, Y m z f Z (z) =. my Y m X n (x,zx) x dx = nm. f Y (t)dt = n )n+ { } y t = mu = f dt = mdu Y (mu)mdu f X (nx)f Y (mzx) x dx.

69 3. NEPREKIDNI SLUČAJNI VEKTORI. UVJETNO OČEKIVANJE 69 z > f Z (z) = = m m n n Γ( m )Γ(n )m+n m m n n Γ( m )Γ(n )m+n = Γ(m+n ) n Γ( m n )Γ(n )mm z m z m { } x m+n e (mz+n)x u = (mz+n)x dx = du = mz+n = dx m+n (mz +n) m+n z m (mz +n) m+n u m+n e u du = Z F(m,n) 3. Uvjetno očekivanje Definicija: Neka je (X,Y) slučajni vektor s funkcijom gustoće f = f X,Y : R R. Ako je y R takav da je f Y (y) >, onda definiramo uvjetnu funkciju gustoće f( y) = f X Y ( y): R R slučajne varijable X uz uvjet Y=y formulom f X Y (x y) := f X,Y(x,y). f Y (y) Napomena: Ako je y R takav da je f Y (y) >, onda definiramo P(X A Y = y) := f X Y (x y)dx. A Sjetite se da u tom slučaju za diskretni slučajni vektor (X,Y) vrijedi f X Y (x y) = f X,Y(x,y) f Y (y) = P(X = x,y = y) P(Y = y) = P(X = x Y = y). Napomena: Ako su X i Y nezavisne slučajne varijable, onda je f X Y (x y) = f X,Y(x,y) f Y (y) = f X(x)f Y (y) f Y (y) = f X (x).

70 7 3. NEPREKIDNI SLUČAJNI VEKTORI. UVJETNO OČEKIVANJE Definicija: Neka su X i Y slučajne varijable i neka slučajna varijabla X ima konačno očekivanje. Uvjetno (matematičko) očekivanje slučajne varijable X uz dano Y = y je definirano za sve y R takve da je f Y (y) > formulom x xf X Y(x y), za diskretne slučajne varijable E[X Y = y] := + xf X Y (x y)dx, za neprekidne slučajne varijable. Napomena: Ako jeh: R R(izmjeriva) funkcija i slučajna varijablah(x) ima konačno očekivanje, onda za sve y R takve da je f Y (y) > vrijedi x h(x)f X Y(x y), za diskretne slučajne varijable E[h(X) Y = y] := + h(x)f X Y (x y)dx, za neprekidne slučajne varijable. Napomena: Na ovaj način je dobro definirana funkcija g: {y R: f Y (y) > } R, g(y) = E[X Y = y]. Ako definiramo g(y) :=, za y R takve da je f Y (y) =, onda sa E[X Y] označavamo funkciju slučajne varijable Y koja je za Y = y jednaka g(y), odnosno Tada je E[X Y] slučajna varijabla i vrijedi E[X Y] := g(y). E[E[X Y]] = E[X]. Zadatak 3.7 Bacamo dvije simetrične kocke. Neka je X manji, a Y veći od brojeva koji su pali na kockama. (a) Odredite distribuciju slučajnog vektora (X, Y). (b) Odredite marginalne distribucije. (c) Odredite f X Y (x 4). (d) Odredite E[X Y = y]. (e) Odredite E[E[X Y]]. (f) Odredite EX. Rješenje: (a) Distribucija slučajnog vektora (X, Y) je dana sljedećom tablicom: