Από την Άλγεβρα του Λυκείου στην Άλγεβρα των Ερευνητών. Χαρά Χαραλάµπους. Τµήµα Μαθηµατικών, ΑΠΘ

Transcript

1 Από την Άλγεβρα του Λυκείου στην Άλγεβρα των Ερευνητών Χαρά Χαραλάµπους Τµήµα Μαθηµατικών,

2 Η Άλγεβρα είναι ο κλάδος των Μαθηµατικών που µελετά δεδοµένες πράξεις σε καθορισµένα σύνολα. Θα ξεχωρίσουµε τη Βασική Άλγεβρα από τη Μοντέρνα Άλγεβρα. R = k [ x, y ] I = ( x 2, y 2 ) S = R / I ( x + I)*( x+ I) = I

3 Η βασική άλγεβρα είναι η άµεση γενίκευση της αριθµητικής. 3 4= X+Y=Y+X Στη βασική/στοιχειώδη άλγεβρα οι αριθµοί συχνά αντιπροσωπεύονται µε σύµβολα και µελετούνται οι κανόνες που αφορούν τις µαθηµατικές εκφράσεις και εξισώσεις που περιλαµβάνουν αυτά τα σύµβολα. Μία βασική ανησυχία αφορά την εύρεση λύσεων πολυωνυµικών εξισώσεων

4 Η µοντέρνα/σύγχρονη άλγεβρα ορίζει µε αξιωµατικό τρόπο αλγεβρικά συστήµατα. Οι ιδιότητες των πράξεων χαρακτηρίζουν τα συστήµατα. Έτσι συναντάµε οµάδες, δακτυλίους, σώµατα, άλγεβρες, modules,, κλπ.

5 Είδη πράξεων συµβολισµός Εσωτερικές Α x A A * = 4 (1 + i)(1 -i) = 2 η εξωτερικές Β x Α A # = i 6 2i

6 Ιδιότητες ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου στοιχείου a*e=a=e*a ύπαρξη αντιστρόφου στοιχείου a*b=b*a=e η προσεταιριστική ιδιότητα a*(b*c)=(a*b)*c η αντιµεταθετική ιδιότητα a*b=b*a η επιµεριστική ιδιότητα a*( a*(b#c)=(a* )=(a*b)#(a*c)

7 Εκτεταµένη χρήση της Άλγεβρας στα σύγχρονα Μαθηµατικά και στη Μαθηµατική Φυσική Συµµετρία, κβαντοµηχανική Οµάδες και Άλγεβρες του Lie (υπερσυµµετρία και αντίστοιχες άλγεβρες) Θεωρία κατηγοριών µελετά και συγκρίνει διάφορα αλγεβρικά συστήµατα

8 Οι πράξεις είναι αφηρηµένη µορφή πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού. Η ελλειπτική καµπύλη µε αυτή τη πρόσθεση είναι αβελιανή οµάδα. To µηδέν είναι το σηµείο στο άπειρο

9 Οι αρχές της Άλγεβρας Ευκλείδης ( π.χ.) Στοιχεία ιόφαντος ( µ.χ.) Αριθµητικά Al-Kwarismi ( µ.χ.) Hisab al-jabr w'al-muqabala

10 Επίλυση πολυωνυµικών εξισώσεων Βαθµός Τύπος γνωστός από αρχαιότητα 16 ος αιώνας Del Ferro, Tartaglia, Cardan, Ferrari

11 Αναγκαστικά αντιµέτωποι µε τους µιγαδικούς αριθµούς 4, 2 3, (Bombelli 1572) Viète In artem analyticam isagoge 1591 κάνει για πρώτη φορά χρήση συµβόλων

12 Abel-Ruffini 1824 και 1799 εν υπάρχει τύπος για τις λύσεις των εξισώσεων πέµπτου βαθµού. Θεµελιώδες θεώρηµα της Άλγεβρας Κάθε πολυωνυµική εξίσωση µε συντελεστές µιγαδικούς έχει µία µιγαδική λύση. Gauss ( ) 1855)

13 Ιδιοφυία του Galois ( ) (Η αρχή της Θεωρίας Οµάδων) Για ποιες εξισώσεις υπάρχει τύπος για τις λύσεις Οµάδα των αυτοµορφισµών των σωµάτων που περιέχουν τις λύσεις

14 Τετραδικοί αριθµοί και Hamilton ( ) Γενίκευση των µιγαδικών αριθµών σε διάσταση 4. Το σύνολο αυτό δεν είναι σώµα, όµως κάθε στοιχείο του είναι αντιστρέψιµο Άλγεβρα των διανυσµάτων και Grassman ( ) 1809

15 Hilbert (1862( ) Φορµαλισµός Αξιωµατικές αποδείξεις Λίστα µε τα 23 προβλήµατα 1900 στο Παγκόσµιο Συνέδριο των Μαθηµατικών Θεωρία των αναλλοιώτων, Θεωρία δακτυλίων, γεωµετρία, θεωρία αριθµών, ανάλυση, διαφορικές εξισώσεις, µαθηµατική φυσική, κ.ο.κ.ε Gordan1: Αυτά δεν είναι Μαθηµατικά. Είναι Θεολογία. (1890) Gordan2: Είµαι πεπεισµένος ότι η Θεολογία έχει και αυτή τα πλεονεκτήµατα της. (1899)

16 Emily Noether ( ) 1935) Θεµελίωση του κλάδου της Αντιµεταθετικής Άλγεβρας 30 = ( x 2 z 3, xyz 3 ) = ( x) ( z 3 ) ( x 2, y) ακτύλιοι της Noether Θεώρηµα της Noether (στη φυσική), θεωρία αναλλοιώτων,, µη αντιµεταθετική άλγεβρα Το πρώτο βιβλίο της Μοντέρνας Άλγεβρας (1924) του van der Waerden βασίστηκε στις παραδόσεις της

17 Fermat ( ) Από τους Fermat και Galois στη Σύγχρονη Άλγεβρα n n x + y = Απόδειξη του τελευταίου θεωρήµατος του Fermat (1995) z n Wiles (1954- ) Πρόβληµα της θεωρίας αριθµών. + εικασία των Taniyama-Shimura (τοπολογία) + αλγεβρικά εργαλεία, θεωρία οµάδων, αντιµεταθετική άλγεβρα, θεωρία Galois +

18 Γενίκευση της Γραµµικής Άλγεβρας Αντιµεταθετική Άλγεβρα διανυσµατικοί χώροι πάνω από σώµατα modules πάνω από αντιµεταθετικούς δακτυλίους Στενούς δεσµούς µε την Αλγεβρική Γεωµετρία R I I I = k[ x, y] = ( x 2 + = ( xy) = ( xy, x y 1) 1) y 2

19 2000 Mathematics Subject Classification 00-xxGeneral 01-xxHistory and biography 03-xxMathematical logic and foundation 05-xxCombinatorics {For finite fields, see 11Txx} 06-xxOrder, lattices, ordered algebraic structures [See also 18B35] 08-xxGeneral algebraic systems 11-xxNumber theory 12-xxField theory and polynomials 13-xxCommutative rings and algebras 14-xxAlgebraic geometry 15-xxLinear and multilinear algebra; matrix theory 16-xxAssociative rings and algebras {For the commutative case, see 13-xx} 17-xxNonassociative rings and algebras 18-xxCategory theory; 19-xx$K$-theory [See also 16E20, 18F25] 20-xxGroup theory and generalizations 22-xxTopological groups, Lie groups

20 13-xx Prev: 12 Up: Top Next: 14 Commutative rings and algebras General reference works (handbooks, dictionaries, bibliographies, ies, etc.) Instructional exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) Research exposition (monographs, survey articles) Historical (must also be assigned at least one classification number from Section 01) Explicit machine computation and programs (not the theory of computation or programming) Proceedings, conferences, collections, etc. 13Axx General commutative ring theory 13Bxx Ring extensions and related topics 13Cxx Theory of modules and ideals 13Dxx Homological methods {For noncommutative rings, see 16Exx; ; for general categories, see 18Gxx} 13Exx Chain conditions, finiteness conditions 13Fxx Arithmetic rings and other special rings 13G05 Integral domains 13Hxx Local rings and semilocal rings 13Jxx Topological rings and modules [See also 16W60, 16W80] 13K05 Witt vectors and related rings 13L05 Applications of logic to commutative algebra [See also 03Cxx, 03Hxx] 13Mxx Finite commutative rings {For number-theoretic aspects, see 11Txx} 13Nxx Differential algebra [See also 12H05, 14F10] 13Pxx Computational aspects of commutative algebra [See also 68W30]

21 Ταξινόµηση των πεπερασµένων απλών οµάδων Ολοκληρώθηκε το ,000+ σελίδες σε όγκο 500 εργασίες 100 µαθηµατικούς 3 δεκαετίες. Z p A n «κλασσικές» οµάδες, οµάδες τύπου Lie, σποραδικές οµάδες (26 είδη)

22 Η Θεωρία Αναπαραστάσεων Οµάδων/Αλγεβρών παραπέµπει στη γενικευµένη Θεωρία Galois Σε κάθε στοιχείο της οµάδας/άλγεβρας αντιστοιχείται οµοµορφικά ένας τετραγωνικός πίνακας σταθερής διάστασης Μελετάµε ιδιότητες της οµάδας µέσα από τις ιδιότητες των πινάκων.