Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας."

Transcript

1 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί του R. Λάθος. Το x 2 2 είναι ανάγωγο επί του Q ενώ στο R διασπάται στο (x 2)(x + 2). 3. Υπάρχουν άπειρα το πλήθος ανάγωγα πολυώνυμα επί του Q με ένα συγκεκριμένο βαθμό n. Σωστό. To x n + px n 1 + px n p για p πρώτο αριθμό είναι ανάγωγο με βάση το κριτήριο Eisenstein. Ξέρουμε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι. 4. Δύο πολυώνυμα σχετικά πρώτα έχουν διαφορετικούς βαθμούς. Λάθος. Τα x 2 1 και x 2 4 είναι σχετικά πρώτα επί του Q. 5. Κάθε σώμα έχει γνήσιες επεκτάσεις. Σωστό. Αν έχουμε σώμα F τότε ο πολυωνυμικός δακτύλιος F[x] είναι ακέραια περιοχή και επομένως το σώμα κλασμάτων του F[x] είναι η επιθυμητή γνήσια επέκταση. 6. Κάθε σώμα έχει γνήσιες αλγεβρικές επεκτάσεις. Λάθος. Ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα όπως το C δεν περιέχει γνήσιες αλγεβρικές επεκτάσεις. 7. Κάθε σώμα έχει γνήσιες πεπερασμένες επεκτάσεις. Λάθος. Κάθε πεπερασμένη επέκταση είναι αλγεβρική. 8. Κάθε απλή επέκταση ενός σώματος είναι αλγεβρική. Λάθος. Το Q(π) είναι απλή επέκταση του Q αλλά όχι αλγεβρική. 9. Κάθε απλή επέκταση ενός σώματος είναι πεπερασμένη. Λάθος. Κάθε πεπερασμένη επέκταση είναι αλγεβρική. Θα έπρεπε τότε κάθε απλή επέκταση να είναι αλγεβρική. Άτοπο. 10. Κάθε πεπερασμένη επέκταση είναι απλή. Λάθος. Έστω Z p (x, y) το σώμα των ρητών εκφράσεων ως προς δύο ανεξάρτητες μεταβλητές x, y στο σώμα Z p με p-πρώτο. Το Z p (x p, y p ) είναι γνήσιο υπόσωμα αφού δεν μπορούμε να βρούμε ρητή έκφραση των x p, y p που να μας δίνει τα x, y. Z p (x, y) : Z p (x p, y p ) = Z p (x, y) : Z p (x p, y) Z p (x p, y) : Z p (x p, y p ) = p 2. Έστω τώρα Z p (x, y) = Z p (a). Τότε a p Z p (x p, y p ) και επομένως το ανάγωγο πολυώνυμο του είναι βαθμού το πολύ p. Άτοπο. Ότι a p Z p (x p, y p ): το a θα είναι μια ρητή έκφραση ως προς x, y. Αν για παράδειγμα τώρα a = x2 +y 4 x+y τότε a p = ( ) x 2 +y 4 p 2 x+y = (x 2 +y 4 ) p 2 (x+y 2 ) p Είναι εύκολο να γενικεύσουμε. = (x2 ) p +(y 4 ) p x p +(y 2 ) p = (xp ) 2 +(y p ) 4 x p +(y p ) 2 Z p (x p, y p ). 1

2 11. Κάθε αλγεβρική επέκταση ενός σώματος είναι πεπερασμένη. Λάθος. Η αλγεβρική θήκη του Q δεν είναι πεπερασμένη μιας και περιέχει αλγεβρικά στοιχεία με ανάγωγα πολυώνυμα οσοδήποτε μεγάλου βαθμού. 12. Κάθε πεπερασμένη επέκταση ενός σώματος είναι αλγεβρική. Σωστό. Έστω n ο βαθμός της επέκτασης. Για ένα στοιχείο a της επέκτασης τα n + 1 στοιχεία 1, a, a 2,..., a n είναι γραμμικώς εξαρτημένα. Επομένως μπορούμε να βρούμε ένα μη μηδενικό πολυώνυμο που να μηδενίζεται από το a. 13. Κάθε επέκταση ενός πεπερασμένου σώματος είναι αλγεβρική. Αν F το σώμα τότε στην επέκταση Frac(F [x]) το στοιχείο x 1 είναι υπερβατικό. 14. Κάθε στοιχείο του C είναι αλγεβρικό επί του R. Σωστό. Αν z = a + bi τότε (x z)(x z) = x 2 2ax + (a 2 + b 2 ) R[x]. 15. Δύο απλές υπερβατικές επεκτάσεις ενός σώματος είναι ισόμορφες. Σωστό. Έστω F το σώμα. Μια απλή υπερβατική επέκταση του F είναι ισόμορφη με το σώμα κλασμάτων του πολυωνυμικού δακτυλίου F[x]. Άρα δύο απλές υπερβατικές επεκτάσεις θα είναι ισόμορφες μεταξύ τους. Ότι F (a) Frac(F [x]) για a υπερβατικό επί του F : Παίρνουμε την απεικόνιση f(x) g(x) Frac(F [x]) f(a) g(a) F (a) που έχει νόημα αφού g(a) 0 για κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο g(x) (a υπερβατικό). Η απεικόνιση είναι προφανώς ομοιομορφισμός. Είναι επί γιατί κάθε στοιχείο του F (a) είναι ρητή έκφραση του a. Είναι 1-1 γιατι αν υποθέσουμε ότι f 1(a) g 1(a) = f 2(a) g 2(a) τότε f 1(a)g 2 (a) f 2 (a)g 1 (a) = 0 και άρα f 1 (x)g 2 (x) f 2 (x)g 1 (x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο αφού a υπερβατικός. Επομένως f 1(x) g 1 (x) = f 2(x) g 2 (x). 16. Τα σώματα Q(π) και Q(e) δεν είναι ισόμορφα. Λάθος. π, e υπερβατικά και από προηγούμενο ερώτημα είναι ισόμορφα. 17. Τα σώματα Q(π) και Q(π 2 ) είναι ισόμορφα. Σωστό. π, π 2 υπερβατικά. 18. Δύο πεπερασμένες επεκτάσεις ενός σώματος του ιδίου βαθμού είναι ισόμορφες. Λάθος. Τα Q[x]/ x 2 + 1, Q[x]/ x 2 2 είναι ίδιου βαθμού αλλά όχι ισόμορφα. Για παράδειγμα το πρώτο διαθέτει θέση μηδενισμού του x ενώ το δεύτερο όχι. 19. Κάθε διανυσματικός χώρος είναι ισόμορφος με μια επέκταση του σώματος συντελεστών του. Λάθος. Ο R 3 δεν είναι ισόμορφος με καμία επέκταση του R αφού ο R δεν περιέχει γνήσιες επεκτάσεις περιττού βαθμού. 20. Έστω a, b δύο υπερβατικά στοιχεία επί ενός σώματος F, τότε τα στοιχεία a + b και a b είναι υπερβατικά επί του F. Λάθος. Αν c 0 αλγεβρικό τότε αν p(x) F[x] μηδενίζεται από το c, τότε το q(x) F[x] που προκύπτει απο το p(x) αλλάζοντας τα πρόσημα των συντελεστών των περιττών δυνάμεων μηδενίζει το c. Επίσης το r(x) = x n p( 1 x ) F[x], όπου n = deg p(x), μηδενίζεται από το 1 c. Άρα τα c, 1 c είναι αλγεβρικά. Επομένως τα a, 1 a υπερβατικά. Αλλά a + ( a) = 0 και a 1 a = 1. 2

3 21. Έστω a, b δύο αλγεβρικά στοιχεία επί ενός σώματος F με βαθμούς m και n αντίστοιχα, έτσι ώστε (m, n) = 1. Το a b είναι αλγεβρικό επί του F βαθμού m n F F(a) F(a, b) και F F(b) F(a, b). Άρα m = [F(a) : F] διαιρεί το [F(a, b) : F] και n = [F(b) : F] διαιρεί το [F(a, b) : F]. Άφου (m, n) = 1 τότε [F(a, b) : F] πολλαπλάσιο του m n. Ισχύει [F(a, b) : F] = [F(a, b) : F(b)][F(b) : F] [F(a, b) : F] = n[f(a, b) : F(b)]. Όμως [F(a, b) : F(b)] = [F(b)(a) : F(b)] m και επομένως [F(a, b) : F] = m n. Άφου F(a b) F(a, b) το a b θα είναι αλγεβρικό με βαθμό το πολύ m n. 22. Υπάρχουν πολυώνυμα p(x), q(x) Q[x] σχετικά πρώτα με το ίδιο σώμα ριζών. Σωστό. Το σώμα ριζών των σχετικά πρώτων x και x είναι το Q(i). 23. Οι επεκτάσεις C : R, C : R, R : Q είναι κανονικές και διαχωρίσιμες. Είναι διαχωρίσιμες αφού τα Q, R είναι χαρακτηριστικής 0. Οι δύο πρώτες είναι κανονικές αφού το C είναι αλγεβρικά κλειστό ως προς Q, R και επομένως περιέχει τις ρίζες κάθε ανάγωγου πολυωνύμου τους. Η R : Q δεν είναι κανονική γιατί το x 3 2 είναι ανάγωγο στο Q, έχει μια πραγματική ρίζα αλλά οι υπόλοιπες ρίζες δεν είναι πραγματικές. 24. Υπάρχει γνήσια επέκταση του σώματος των πραγματικών αριθμών, R, η οποία είναι περιττού βαθμού. Λάθος. Μια γνήσια επέκταση L πεπερασμένου βαθμού θα είναι αλγεβρική. Το R δεν περιέχει ανάγωγα πολυώνυμα περιττού βαθμού μεγαλύτερου του 1 αφού κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού διαθέτει πραγματική ρίζα. Αν a L \ R τότε όπως είπαμε a αλγεβρικό και [L : R] = [L : R(a)][R(a) : R]. Από προηγούμενη παρατήρηση [R(a) : R] άρτιος αφού το ανάγωγο πολυώνυμο του a είναι άρτιου βαθμού. Άρα [L : R] άρτιος. Επομένως είτε [L : R] άπειρος είτε άρτιος. 25. Κάθε διαχωρίσιμη επέκταση του Q είναι απλή. Λάθος. Κάθε επέκταση F του Q είναι διαχωρίσιμη αφού το Q είναι χαρακτηριστικής 0. Αν υπήρχε a F ώστε F = Q(a) τότε το F είναι αριθμήσιμο αφού στο αριθμήσιμο Q προσθέτουμε ένα αριθμήσιμο το πολύ αριθμό στοιχείων δηλαδή όλες τις ρητές εκφράσεις του a με ρητούς συντελεστές. Όμως δεν είναι όλες οι επεκτάσεις του Q σώματα με αριθμήσιμο πλήθος στοιχείων. Π.χ. αν πάρουμε F = R. 26. Κάθε κανονική επέκταση του Z p είναι διαχωρίσιμη. Σωστό. Το Z p είναι τέλειο σώμα. Κάθε αλγεβρική επέκταση ενός τέλειου σώματος είναι διαχωρίσιμη. Ισχύει ότι η διαχωρίσιμη θήκη ενός τέλειου σώματος είναι αλγεβρικά κλειστή. Δεν υπάρχουν όμως κανονικές επεκτάσεις πέρα της αλγεβρικής θήκης αφού η αλγεβρική θήκη είναι το σώμα ριζών όλων των πολυωνύμων. Άρα κάθε κανονική επέκταση θα είναι και αλγεβρική και διαχωρίσιμη. 27. Κάθε πεπερασμένη, διαχωρίσιμη επέκταση E : F ενός σώματος F είναι απλή. Σωστό. Υπάρχει θεώρημα που λέει ότι αν μια πεπερασμένη επέκταση είναι επέκταση Galois τότε είναι απλή. Αρκεί να δείξουμε ότι η E : F είναι επέκταση Galois. Αν η E : F κανονική επέκταση τότε αφού είναι και διαχωρίσιμη πρόκειται για επέκταση Galois. Αν δεν είναι κανονική τότε αφού η E : F είναι πεπερασμένη θα ισχύει ότι E = F(a 1, a 2,..., a n ) όπου a 1, a 2,..., a n τα στοιχεία της βάσης. Έστω p 1, p 2,..., p n τα αντίστοιχα ανάγωγα πολυώνυμα επί του F. Τότε το f(x) = p 1 (x) p 2 (x)... p n (x) είναι 3

4 διαχωρίσιμο επί του F αφού κάθε ανάγωγος παράγοντας ως πολυώνυμο με μια ρίζα στο E δε θα διαθέτει επαναλαμβανόμενες ρίζες. Αν L το σώμα ριζών του f(x) τότε L E αφού περιλαμβάνει τα a 1, a 2,..., a n και η L : F είναι επέκταση Galois ως σώμα ριζών του διαχωρίσιμου επί του F πολυωνύμου f(x). Αν τώρα η E : F είχε άπειρο πλήθος ενδιάμεσων σωμάτων τότε και η L : F θα είχε άπειρο πλήθος ενδιάμεσων σωμάτων, άτοπο αφού είναι επέκταση Galois. 28. Κάθε πεπερασμένη επέκταση ενός σώματος F είναι κανονική. Λάθος η επέκταση Q[x]/ x 3 2 στο Q είναι πεπερασμένη αλλά δεν είναι κανονική γιατί περιέχει την πραγματική ρίζα του ανάγωγου x 3 2 αλλά δεν περιέχει τις υπόλοιπες μιγαδικές. 29. Κάθε πεπερασμένη επέκταση ενός σώματος F είναι διαχωρίσιμη. Λάθος. Στο F = Frac(Z p [t]) χαρακτηριστικής p το πολυώνυμο t F δεν έχει κάποια p-οστή ρίζα. Το πολυώνυμο x p t του F[x] είναι ανάγωγο στο F. Πράγματι έστω E το σώμα ριζών του και a E μια ρίζα. Τότε x p t = x p a p = (x a) p. Αν δεν είναι ανάγωγο στο F τότε για p > k 1 το (x a) k F[x] και επομένως a k F αφού a k είναι ο σταθερός συντελεστής του (x a) k (με ίσως διαφορετικό πρόσημο). Αφού p πρώτος τότε (k, p) = 1 και άρα για κάποιους ακέραιους l, m θα ισχύει lk + mp = 1. Τότε a = a 1 = a lk+mp = (a k ) l (a p ) m = (a k ) l t m F. Άτοπο γιατί είπαμε ότι a / F. Το x p t τελικά ανάγωγο και το E ως σώμα ριζών του θα είναι μια κανονική πεπερασμένη επέκταση αλλά μη διαχωρίσιμη γιατί το a είναι ρίζα με πολλαπλότητα p > Έστω E : F επέκταση του F. Η ομάδα G(E, F) είναι πάντα: Πεπερασμένη Κυκλική Αβελιανή Η ομάδα G(C, Q) δεν είναι πεπερασμένη. Για τα υπόλοιπα η απάντηση είναι εξίσου αρνητική σύμφωνα με το ερώτημα Η ομάδα G(C, Q) είναι πεπερασμένη. Η C : Q είναι κανονική και διαχωρίσιμη. Άρα είναι επέκταση Galois. Αν G(C, Q) πεπερασμένο τότε και C : Q πεπερασμένο. Άτοπο. 32. Από τη σχέση G(E, F) = 1 έπεται ότι E = F. Λάθος. G(Q( 3 2), Q) = Έστω E : F επέκταση του F με G(E, F) = 1. Η E είναι κανονική επέκταση του F. Λάθος. G(Q( 3 2), Q) = 1. Η Q( 3 2) δεν είναι κανονική επέκταση επί του Q αφού το ανάγωγο πολυώνυμο x 3 2 επί του Q περιέχει μία ρίζα στο Q( 3 2) αλλά οι άλλες δύο ρίζες ως μιγαδικές δεν ανήκουν. 34. Έστω E : F επέκταση του F με πεπερασμένο το πλήθος ενδιάμεσα σώματα. Η ομάδα G(E, F) είναι πεπερασμένη. Σωστό. Το E μπορεί να προκύψει από την επισύναψη πεπερασμένου πλήθους στοιχείων αλλιώς αν είχαμε συνεχώς γνήσιες επεκτάσεις με την επισύναψη καινούριων κάθε φορά στοιχείων τότε θα είχαμε άπειρα ενδιάμεσα σώματα. Επίσης κανένα στοιχείο δεν είναι υπερβατικό γιατί αν L ενδιάμεσο σώμα που προκύπτει μετά από επισύναψη ενός υπερβατικού στοιχείου π τότε F... 4

5 L(π 8 ) L(π 4 ) L(π 2 ) L. Άρα η E : F είναι πεπερασμένη επέκταση. Αφού είναι πεπερασμένη επέκταση με πεπερασμένο πλήθος ενδιάμεσων σωμάτων θα είναι και απλή. Έστω E = F(a). Κάθε αυτομορφισμός σ G(E, F) καθορίζεται λοιπόν πλήρως από την τιμή του στο στοιχείο a. Έστω p(x) το ανάγωγο πολυώνυμο του a στο F. Τότε σ(a) ρίζα του p(x). Έχουμε πεπερασμένο αριθμό ριζών του p(x) και επομένως πεπερασμένο πλήθος αυτομορφισμών που κρατάνε σταθερό το σώμα F. 35. Έστω E : F επέκταση του F με G(E, F) πεπερασμένη. Η E : F είναι πεπερασμένη. Λάθος. Η R : Q είναι μη πεπερασμένη επέκταση με G(R, Q) = 1. Έστω τ G(R, Q). Πρώτα δείχνουμε ότι η τ είναι συνεχής. Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ακολουθία πραγματικών (x n ) με x n x και x x n ρητό ισχύει ότι τ(x n ) τ(x). Πράγματι x x n = τ(x x n ) = τ(x) τ(x n ). Όμως x x n 0 και επομένως τ(x n ) τ(x). Έστω τώρα μια ακολουθία ρητών q n που τείνει στο x R. Τότε q n = τ(q n ) τ(x). Επομένως τ(x) = x. 36. Έστω p(x) = x n 1 Q[x] και E το σώμα ριζών του, η ομάδα G(E, F) είναι πάντα Κυκλική Αβελιανή G(E, F) = n E = Q(ω n ) όπου ω n μια πρωταρχική ρίζα της μονάδας τάξης n. Κάθε σ G = G(E, F) απεικονίζει το ω n σε μια άλλη μιγαδική ρίζα της μονάδας ωn i και το i καθορίζει πλήρως τον αυτομορφισμό σ. Έστω σ i ο αυτομορφισμός που καθορίζεται από τον εκθέτη i. Ο εκθέτης i πρέπει να είναι σχετικά πρώτος με το n γιατί το ωn i θα πρέπει να παράγει όλες τις ρίζες της μονάδας. Επίσης αν οι εκθέτες i, j αντιστοιχούν στους αυτομορφισμούς σ i, σ j G τότε ο ij θα αντιστοιχεί στον σ ij = σ i σ j G. Άρα η G θα είναι ισόμορφη με μια υποομάδα της U(Z n ). Ως υποομάδα της U(Z n ) θα είναι Abel αφού η U(Z n ) είναι Abel. Όμως U(Z n ) < n αφού το 0 δεν είναι αντιστρέψιμο στοιχείο της πολλαπλασιαστικής ομάδας Z n. Άρα δε θα ισχύει η τρίτη ιδιότητα. Αν εξειδικεύσουμε για n = 8 η G είναι υποομάδα της U(Z 8 ). U(Z 8 ) = {1, 3, 5, 7} U(Z 8 ) = 4. Το ανάγωγο πολυώνυμο του ω 8 είναι το x και αφού E : F επέκταση Galois θα ισχύει G = E : F = 4 = U(Z 8 ). Άρα G U(Z 8 ) και επομένως δεν είναι κυκλική. 37. Έστω p(x) = x n 2 Q[x] και Q το σώμα ριζών του, η ομάδα G(E, Q) είναι πάντα Κυκλική Αβελιανή G(E, F) = n Θεωρούμε n = 3. Τότε p(x) = x 3 2 ανάγωγο στο Q και E = Q( 3 2, ω 3 ) με ω 3 πρωταρχική τρίτη ρίζα της μονάδας. Αφού E σώμα διάσπασης του διαχωρίσιμου p(x) τότε η επέκταση E : Q είναι Galois με G(E, Q) = E, Q = Q( 3 2, ω 3 ) : Q( 3 2) Q( 3 2) : Q = 3 Q( 3 2, ω 3 ) : Q( 3 2) 6. Όμως G(E, Q) ισόμορφη με μια υποομάδα της S 3. Άρα G(E, Q) S 3 και επομένως δεν ισχύει καμία από τις παραπάνω ιδιότητες. 38. Έστω t υπερβατικό επί του F. Η ομάδα G(F(t), F) είναι τετριμμένη. 5

6 Λάθος. G(Q(π), Q) είναι μη τετριμμένη αφού για κάθε q Q υπάρχει τ q G(Q(π), Q) η οποία απεικονίζει τον υπερβατικό π στον υπερβατικό π + q. 39. Κάθε κανονική επέκταση ενός πεπερασμένου σώματος είναι επέκταση Galois. Σωστό. Κάθε πεπερασμένο σώμα είναι τέλειο και από επιχειρηματολογία ερωτήματος 26 κάθε κανονική επέκταση ενός τέλειου σώματος είναι αλγεβρική και διαχωρίσιμη. Επομένως θα είναι επέκταση Galois. 40. Κάθε επέκταση με ριζικά ενός σώματος είναι πεπερασμένη. Σωστό. Μια επέκταση με ριζικά είναι πεπερασμένη ακολουθία από διαδοχικές πεπερασμένες επεκτάσεις. 41. Κάθε πεπερασμένη επέκταση ενός σώματος είναι επέκταση με ριζικά. Λάθος. Υπάρχει ανάγωγο πολυώνυμο p(x) του Q πέμπτου βαθμού που δεν επιλύεται με ριζικά και το Q/ p(x) είναι προφανώς πεπερασμένη επέκταση που περιλαμβάνει μια ρίζα του p(x). 42. Το σώμα ριζών του x Z 7 [x] έχει: 7 3 το πλήθος στοιχεία. 7 6 το πλήθος στοιχεία. To x είναι ανάγωγο στο Z 7 αφού αλλιώς ως τρίτου βαθμού θα έπρεπε να περιέχει μια ρίζα στο Z 7. Αν μια ρίζα είναι το a τότε ρίζες θα είναι τα a, 2a, 4a που είναι διακριτά αφού a 0. Επομένως το σώμα ριζών είναι το Z 7 (a). Όμως Z 7 (a) : Z 7 = 3 και άρα έχουμε 7 3 στοιχεία. 43. Η επέκταση Q( a) : Q, a Z, είναι επέκταση Galois και G(Q( a), Q) = 2. Αν a δεν είναι τέλειο τετράγωνο τότε το ανάγωγο πολυώνυμο του a στο Q είναι το x 2 a = (x a)(x + a). Άρα το σώμα ριζών του x 2 a είναι το Q( a) και επομένως η επέκταση είναι κανονική. Είναι και διαχωρίσιμη αφού Q χαρακτηριστικής 0. Άρα είναι και Galois και ταυτόχρονα G(Q( a), Q) = Q( a) : Q = Έστω a μια ρίζα ενός μονικού ανάγωγου πολυωνύμου ϕ(x) F[x] με deg ϕ(x) = p, p-πρώτος. Η ομάδα G(F(a), F) είναι κυκλική. Σωστό. H επέκταση F(a) : F δεν έχει γνήσια ενδιάμεσα σώματα γιατί αλλιώς ο βαθμός επέκτασης του ενδιάμεσου σώματος θα έπρεπε να διαιρεί το p. Κάθε στοιχείο της ομάδας G = G(F(a), F) κρατάει σταθερό κάποιο σώμα και από προηγούμενη παρατήρηση αυτό είναι είτε το F(a) είτε το F. Το μοναδικό στοιχείο που κρατάει σταθερό το F(a) είναι ο ταυτοτικός αυτομορφισμός και επομένως αν όλα τα στοιχεία της G κρατάνε σταθερό το F(a) τότε G = 1 και η G θα είναι κυκλική. Αν το σταθερό σώμα κάποιου αυτομορφισμού του G είναι το F τότε το σταθερό σώμα της G είναι το F και άρα η F(a) : F είναι επέκταση Galois. Επακόλουθα η τάξη της G θα είναι ίση με F(a) : F = p και κάθε μη ταυτοτικό στοιχείο σ της θα έχει τάξη p. Το σ θα παράγει όλη τη G και καταλήγουμε λοιπόν ότι σε κάθε περίπτωση η G θα είναι κυκλική. 45. Έστω ϕ(x) F[x] ένα μονικό πολυώνυμο με degϕ(x) = p, p-πρώτος και E το σώμα ριζών του, τότε G(E, F) = p. Λάθος. Ερώτημα 37 για το x

7 46. Έστω E K F διαδοχικές επεκτάσεις με E : K και K : F να είναι Galois, τότε η E : F είναι Galois. Αντίστροφα, αν η E : F είναι Galois, τότε οι E : K και K : F είναι Galois. Η κανονικότητα της επέκτασης δεν ικανοποιεί τη μεταβατική ιδιότητα. Για παράδειγμα η Q( 4 2) : Q( 2) είναι κανονική, η Q( 2) : Q είναι κανονική αλλά η Q( 4 2) : Q δεν είναι κανονική. Όμως η κανονικότητα είναι απαραίτητη προϋπόθεση για την περίπτωση των πεπερασμένων επεκτάσεων. Το αντίστροφο πάλι δεν ισχύει. Η Q( 3 2, ω 3 ) : Q για ω 3 πρωταρχική τρίτη ρίζα της μονάδας είναι επέκταση Galois ως σώμα ριζών του ανάγωγου x 3 2 στο χαρακτηριστικής 0 σώμα Q. Όμως η επέκταση Q( 3 2) : Q δεν είναι Galois. 47. Υποθέτουμε ότι το σημείο (0, a) του επιπέδου δεν μπορεί να κατασκευασθεί από το σύνολο{(0, 0), (0, 1)} με κανόνα και διαβήτη. Τότε το a είναι υπερβατικό επί του Q. Λάθος. Αρκεί το ανάγωγο πολυώνυμο του a επί του Q να μην είναι δύναμη του Η γωνία με μέτρο μια μοίρα είναι κατασκευάσιμη με κανόνα και διαβήτη. Λάθος. Αλλιώς κάθε γωνία με ακέραιο πλήθος μοιρών θα ήταν κατασκευάσιμη και από όσο ξέρουμε υπάρχει μια τέτοια γωνία που δεν είναι κατασκευάσιμη. 49. Η γωνία με μέτρο π/5 τριχοτομείται. Σωστό. Αρκεί να μπορεί να κατασκευαστεί μια γωνία 12 μοιρών ή να μπορεί να κατασκευαστεί ένα κανονικό 30-γωνο. Αναλύωντας σε πρώτους παράγοντες: 30 = = 2 ( ) ( ) και από θεώρημα Gauss έπεται ότι το κανονικό 30-γωνο μπορεί να κατασκευαστεί. 50. Οι πραγματικές ρίζες των πολυωνύμων x 3 + 9x x + 3, x 3 + 4x 2 9x 6 Q[x] είναι κατασκευάσιμες με κανόνα και διαβήτη. Το x 3 + 9x x + 3 είναι ανάγωγο στο Q[x] από κριτήριο Eisenstein για p = 3. Άρα ο βαθμός επέκτασης Q(ρ) : Q για κάθε ρίζα ρ δεν είναι δύναμη του 2 και επομένως δεν είναι κατασκευάσιμη καμία πραγματική του ρίζα. Στη δεύτερη περίπτωση x 3 + 4x 2 9x 6 = (x 2)(x 2 + 6x + 3) και όλες οι πραγματικές του ρίζες επομένως είναι κατασκευάσιμες Δείξτε ότι τα Q( 3) και Q(i) είναι ισόμορφα ως διανυσματικοί χώροι, αλλά δεν είναι ισόμορφα ως σώματα. Αν ήταν ισόμορφα ως σώματα δε θα μπορούσε το πολυώνυμο x να έχει ρίζα στο ένα και να μην έχει στο άλλο. Η απεικόνιση σ που απεικονίζει το a + b 3 Q( 3) στο a + bi Q(i) με a, b Q είναι γραμμικός ισομορφισμός. Η απεικόνιση έχει νόημα γιατί τα {1, 3} και {1, i} είναι βάσεις των αντίστοιχων διανυσματικών χώρων. Εύκολα είναι 1-1 και επί. Είναι γραμμική γιατί για λ, a 1, a 2, b 1, b 2 Q ισχύει σ(λ(a 1 + b 1 3) + (a2 + b 2 3)) = σ((λa1 + a 2 ) + (λb 1 + b 2 ) 3) = (λa 1 + a 2 ) + (λb 1 + b 2 )i = λ(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i)

8 5. Έστω το πολυώνυμο ϕ(x) = x n + x n x + 1 Z 2 [x]. Να δειχθεί ότι αν ο n + 1 είναι σύνθετος, τότε το ϕ(x) δεν είναι 6. ανάγωγο επί του Z 2 (ούτε επί του Z). Ισχύει και το αντίστροφο; Δηλαδή, αν n + 1 πρώτος, είναι το ϕ(x) ανάγωγο επί του Z 2 ; Έστω n + 1 = kl για φυσικούς k, l > 1. Τότε ϕ(x) = (1 + x x k 1 ) + (x k + x k x 2k 1 ) + (x kl k + x kl k x kl 1 ) = 1(1 + x x k 1 ) + x k (1 + x x k 1 ) x k(l 1) (1 + x x k 1 ) = (1 + x k x k(l 1) )(1 + x x k 1 ). Αφού k, l > 1 τότε κανένας από τους δύο παράγοντες δεν είναι σταθερό πολυώνυμο. Άρα ϕ(x) μη ανάγωγο. Δεν ισχύει το αντίστροφο. Έχουμε το εξής αντιπαράδειγμα: (1 + x + x 3 )(1 + x 2 + x 3 ) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x Έστω a ένα αλγεβρικό στοιχείο επί ενός σώματος F. Να βρεθεί το αντίστροφο ενός b F(a) Να βρεθεί το αντίστροφο του 3 5 Q( 5). (3 5)(3 + 5) = 4 (3 5)( ) = 1 (3 5) 1 = Q( 5) 10. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα f(x), g(x) Z p [x] με την ιδιότητα f(a) = g(a) για όλα τα a Z p Θα πρέπει x p x f(x) g(x). Πράγματι από αλγόριθμο διαίρεσης f(x) = (x p x)f 1 (x)+f 2 (x), g(x) = (x p x)g 1 (x)+g 2 (x) με f 2 (x), g 2 (x) μηδενικά ή βαθμού το πολύ p 1. f(x) g(x) = (x p x)(f 1 (x) g 1 (x)) + (f 2 (x) g 2 (x)). Όμως f(a) = g(a) και a p = a για κάθε a Z p. Άρα f 2 (a) g 2 (a) = 0 για κάθε a Z p και επομένως το f 2 (x) g 2 (x) έχει p θέσεις μηδενισμού. Άρα ή είναι το μηδενικό ή είναι βαθμού τουλάχιστον p. Όμως είναι βαθμού το πολύ p 1 και επομένως f 2 (x) = g 2 (x) και f(x) g(x) = (x p x)(f 1 (x) g 1 (x)) x p x f(x) g(x). 8

9

10

11

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

a pn 1 = 1 a pn = a a pn a = 0,

a pn 1 = 1 a pn = a a pn a = 0, Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 14 Ιανουαρίου 2015 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 60

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2 Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 11 Νοεμβρίου 2014 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα

Περιεχόμενα Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 3 1.1 Μάθημα 1..................................... 3 1.1.1 Στοιχεία αλγεβρικής θεωρίας....................... 4 1.2 Μάθημα 2.....................................

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 11 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 24 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο

Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο Κεφάλαιο 8 Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα Σε αυτό το κεφάλαιο αρχικά αποδεικνύουµε ότι υπάρχει επέκταση σωµάτων µε οµάδα Galois την S n. Για το σκοπό αυτό εξετάζουµε τα συµµετρικά πολυώνυµα.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Σώµατα και ϐαθµοί επεκτάσεων. 2.1 Αλγεβρικά στοιχεία πάνω από ένα σώµα.

Κεφάλαιο 2. Σώµατα και ϐαθµοί επεκτάσεων. 2.1 Αλγεβρικά στοιχεία πάνω από ένα σώµα. Κεφάλαιο 2 Σώµατα και ϐαθµοί επεκτάσεων Στο κεφάλαιο αυτό µελετούµε τις επεκτάσεις σωµάτων. Ιδιαίτερα σηµαντικό εργαλείο για τη µελέτη µας αυτή είναι τα πολυώνυµα, έτσι ϑα εφαρµόσουµε το περιεχόµενο του

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Α Δ Ι Ε Υ Μ Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 28 Ι 2014 Το παρόν κείμενο

Διαβάστε περισσότερα

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0} 1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Η συνάρτηση φ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n > 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εφαρµογές. 6.1 Επιλυσιµότητα µε ϱιζικά. F = F 0 F 1 F i F i+1 F s = E, ( ) F i+1 = F i ( n i ai ), a i F i [x].

Κεφάλαιο 6. Εφαρµογές. 6.1 Επιλυσιµότητα µε ϱιζικά. F = F 0 F 1 F i F i+1 F s = E, ( ) F i+1 = F i ( n i ai ), a i F i [x]. Κεφάλαιο 6 Εφαρµογές Στο Κεφάλαιο αυτό ϑα χρησιµοποιήσουµε τα εργαλεία της Θεωρίας Galois, για να απαντήσουµε σε ερωτήµατα που ϑέσαµε στην αρχή του συγγράµµατος. Ετσι, δοθέντος ενός πολυωνύµου, ϑα ϐρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πολυωνυμικοί-Κυκλικοί Κώδικες. 3.1 Πολυωνυμικοί κώδικες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πολυωνυμικοί-Κυκλικοί Κώδικες. 3.1 Πολυωνυμικοί κώδικες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πολυωνυμικοί-Κυκλικοί Κώδικες Στα προηγούμενα ασχοληθήκαμε με τους γραμμικούς κώδικες και είδαμε πώς η δομή ενός γραμμικού κώδικα, ως διανυσματικού χώρου, καθιστά τις διαδικασίες κωδικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac, ad + bc)

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac, ad + bc) ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Ασκήσεις 1. Δείξτε ότι ο a 1 διαιρεί τον a n 1 για κάθε a Z και κάθε n N. 2. Δίνονται οι ακέραιοι a = 126 και b = 434. (α Υπολογίστε το µκδ(a, b. (β Βρείτε x, y Z

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Αργύρης Φελλούρης Αν. Καθηγητής ΕΜΠ

Αργύρης Φελλούρης Αν. Καθηγητής ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Εισαγωγή Αργύρης Φελλούρης Αν. Καθηγητής ΕΜΠ Η εργασία αυτή έχει στόχο να αποτελέσει βοήθημα των μαθητών που συμμετέχουν στις Ελληνικές και στις Διεθνείς Μαθηματικές Ολυμπιάδες.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος 6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γραμμικοί Κώδικες 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα Μέχρι τώρα θεωρούσαμε έναν κώδικα C με παραμέτρους (n, M, d) απλώς ως ένα υποσύνολο του συνόλου A n, όπου A είναι ένα αλφάβητο. Είχαμε, όμως,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

A B. (f; B) = f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + 0.x k x n f(x 2 ) = a 12 x 1 + a k2 x k + 0.x k x n

A B. (f; B) = f(x 1 ) = a 11 x 1 + a k1 x k + 0.x k x n f(x 2 ) = a 12 x 1 + a k2 x k + 0.x k x n ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ III ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN 1 Εστω f : V V γραμμική απεικόνιση Εστω A = ker(f i ) και B = ker(f i+1 ) Δείξτε ότι (i) A B και (ii) f(b) A Αποδ: (i) Εστω x ker(f i ) Τότε f i (x)

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Η θεωρία αριθμών και οι αλγεβρικές δομές τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην κρυπτολογία. Αριθμο-θεωρητικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κεφάλαιο Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund, Katznelson 4 και Stein and Shakarchi.. Μερικά βασικά περί μιγαδικών αριθμών Υποθέτουμε ως γνωστές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 11 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2016 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οικονομικές Συναρτήσεις με μεταβλητούς ρυθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα & Κρυπτογραφία. Σημειώσεις σύμφωνα με τις παραδόσεις του Αριστείδη Κοντογεώργη

Πεπερασμένα σώματα & Κρυπτογραφία. Σημειώσεις σύμφωνα με τις παραδόσεις του Αριστείδη Κοντογεώργη Πεπερασμένα σώματα & Κρυπτογραφία Σημειώσεις σύμφωνα με τις παραδόσεις του Αριστείδη Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ιωάννης, Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών, 2012 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Ευχαριστώ ιδιαίτερα τη ϕοιτήτριά µου Μαρίνα Παλαιστή για τη µεταφορά του χειρογράφου µου σε κείµενο "tex" Κεφάλαιο 1 Βασικές Ιδιότητες Ισοδυναµιών Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2015-2016 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2015/ringtheory2015.html 4 εκεµβρίου 2015 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2014-2015 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2014/ringtheory2014.html 15 εκεµβρίου 2014 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες

Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Εισαγωγή στις Ελλειπτικές Καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 4 Νοεµβρίου 2014, 1/19 Το ϑεώρηµα Riemann-Roch Θεωρούµε µια επιφάνεια Riemann M και το σώµα των F των

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2016/ringtheory2016.html 15 Φεβρουαρίου 2017 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 009 Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις ΑΜ Ημ/ία Αίθουσα 1 Σύνολο Η εξέταση αποτελείται από θέματα. Κάθε θέμα αξίζει 4 μονάδες. Το άριστα είναι μονάδες και η βάση

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4

n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4 Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων.

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. Κεφάλαιο 4 Πεπερασµένα σώµατα Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. 4.1 Βασικές Εννοιες Εστω F ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Γιάννη Α. Αντωνιάδη Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Εφαρμοσμένη Άλγεβρα. Σημειώσεις Μάριου Μαγιολαδίτη

Γιάννη Α. Αντωνιάδη Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Εφαρμοσμένη Άλγεβρα. Σημειώσεις Μάριου Μαγιολαδίτη Γιάννη Α. Αντωνιάδη Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης Εφαρμοσμένη Άλγεβρα Σημειώσεις Μάριου Μαγιολαδίτη Έκδοση ΕΠΕΑΕΚ «Μαθηματικά για το» Ηράκλειο, Εφαρμοσμένη Άλγεβρα Εισαγωγή Η θεωρία των πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα