Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας."

Transcript

1 Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί του R. Λάθος. Το x 2 2 είναι ανάγωγο επί του Q ενώ στο R διασπάται στο (x 2)(x + 2). 3. Υπάρχουν άπειρα το πλήθος ανάγωγα πολυώνυμα επί του Q με ένα συγκεκριμένο βαθμό n. Σωστό. To x n + px n 1 + px n p για p πρώτο αριθμό είναι ανάγωγο με βάση το κριτήριο Eisenstein. Ξέρουμε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι. 4. Δύο πολυώνυμα σχετικά πρώτα έχουν διαφορετικούς βαθμούς. Λάθος. Τα x 2 1 και x 2 4 είναι σχετικά πρώτα επί του Q. 5. Κάθε σώμα έχει γνήσιες επεκτάσεις. Σωστό. Αν έχουμε σώμα F τότε ο πολυωνυμικός δακτύλιος F[x] είναι ακέραια περιοχή και επομένως το σώμα κλασμάτων του F[x] είναι η επιθυμητή γνήσια επέκταση. 6. Κάθε σώμα έχει γνήσιες αλγεβρικές επεκτάσεις. Λάθος. Ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα όπως το C δεν περιέχει γνήσιες αλγεβρικές επεκτάσεις. 7. Κάθε σώμα έχει γνήσιες πεπερασμένες επεκτάσεις. Λάθος. Κάθε πεπερασμένη επέκταση είναι αλγεβρική. 8. Κάθε απλή επέκταση ενός σώματος είναι αλγεβρική. Λάθος. Το Q(π) είναι απλή επέκταση του Q αλλά όχι αλγεβρική. 9. Κάθε απλή επέκταση ενός σώματος είναι πεπερασμένη. Λάθος. Κάθε πεπερασμένη επέκταση είναι αλγεβρική. Θα έπρεπε τότε κάθε απλή επέκταση να είναι αλγεβρική. Άτοπο. 10. Κάθε πεπερασμένη επέκταση είναι απλή. Λάθος. Έστω Z p (x, y) το σώμα των ρητών εκφράσεων ως προς δύο ανεξάρτητες μεταβλητές x, y στο σώμα Z p με p-πρώτο. Το Z p (x p, y p ) είναι γνήσιο υπόσωμα αφού δεν μπορούμε να βρούμε ρητή έκφραση των x p, y p που να μας δίνει τα x, y. Z p (x, y) : Z p (x p, y p ) = Z p (x, y) : Z p (x p, y) Z p (x p, y) : Z p (x p, y p ) = p 2. Έστω τώρα Z p (x, y) = Z p (a). Τότε a p Z p (x p, y p ) και επομένως το ανάγωγο πολυώνυμο του είναι βαθμού το πολύ p. Άτοπο. Ότι a p Z p (x p, y p ): το a θα είναι μια ρητή έκφραση ως προς x, y. Αν για παράδειγμα τώρα a = x2 +y 4 x+y τότε a p = ( ) x 2 +y 4 p 2 x+y = (x 2 +y 4 ) p 2 (x+y 2 ) p Είναι εύκολο να γενικεύσουμε. = (x2 ) p +(y 4 ) p x p +(y 2 ) p = (xp ) 2 +(y p ) 4 x p +(y p ) 2 Z p (x p, y p ). 1

2 11. Κάθε αλγεβρική επέκταση ενός σώματος είναι πεπερασμένη. Λάθος. Η αλγεβρική θήκη του Q δεν είναι πεπερασμένη μιας και περιέχει αλγεβρικά στοιχεία με ανάγωγα πολυώνυμα οσοδήποτε μεγάλου βαθμού. 12. Κάθε πεπερασμένη επέκταση ενός σώματος είναι αλγεβρική. Σωστό. Έστω n ο βαθμός της επέκτασης. Για ένα στοιχείο a της επέκτασης τα n + 1 στοιχεία 1, a, a 2,..., a n είναι γραμμικώς εξαρτημένα. Επομένως μπορούμε να βρούμε ένα μη μηδενικό πολυώνυμο που να μηδενίζεται από το a. 13. Κάθε επέκταση ενός πεπερασμένου σώματος είναι αλγεβρική. Αν F το σώμα τότε στην επέκταση Frac(F [x]) το στοιχείο x 1 είναι υπερβατικό. 14. Κάθε στοιχείο του C είναι αλγεβρικό επί του R. Σωστό. Αν z = a + bi τότε (x z)(x z) = x 2 2ax + (a 2 + b 2 ) R[x]. 15. Δύο απλές υπερβατικές επεκτάσεις ενός σώματος είναι ισόμορφες. Σωστό. Έστω F το σώμα. Μια απλή υπερβατική επέκταση του F είναι ισόμορφη με το σώμα κλασμάτων του πολυωνυμικού δακτυλίου F[x]. Άρα δύο απλές υπερβατικές επεκτάσεις θα είναι ισόμορφες μεταξύ τους. Ότι F (a) Frac(F [x]) για a υπερβατικό επί του F : Παίρνουμε την απεικόνιση f(x) g(x) Frac(F [x]) f(a) g(a) F (a) που έχει νόημα αφού g(a) 0 για κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο g(x) (a υπερβατικό). Η απεικόνιση είναι προφανώς ομοιομορφισμός. Είναι επί γιατί κάθε στοιχείο του F (a) είναι ρητή έκφραση του a. Είναι 1-1 γιατι αν υποθέσουμε ότι f 1(a) g 1(a) = f 2(a) g 2(a) τότε f 1(a)g 2 (a) f 2 (a)g 1 (a) = 0 και άρα f 1 (x)g 2 (x) f 2 (x)g 1 (x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο αφού a υπερβατικός. Επομένως f 1(x) g 1 (x) = f 2(x) g 2 (x). 16. Τα σώματα Q(π) και Q(e) δεν είναι ισόμορφα. Λάθος. π, e υπερβατικά και από προηγούμενο ερώτημα είναι ισόμορφα. 17. Τα σώματα Q(π) και Q(π 2 ) είναι ισόμορφα. Σωστό. π, π 2 υπερβατικά. 18. Δύο πεπερασμένες επεκτάσεις ενός σώματος του ιδίου βαθμού είναι ισόμορφες. Λάθος. Τα Q[x]/ x 2 + 1, Q[x]/ x 2 2 είναι ίδιου βαθμού αλλά όχι ισόμορφα. Για παράδειγμα το πρώτο διαθέτει θέση μηδενισμού του x ενώ το δεύτερο όχι. 19. Κάθε διανυσματικός χώρος είναι ισόμορφος με μια επέκταση του σώματος συντελεστών του. Λάθος. Ο R 3 δεν είναι ισόμορφος με καμία επέκταση του R αφού ο R δεν περιέχει γνήσιες επεκτάσεις περιττού βαθμού. 20. Έστω a, b δύο υπερβατικά στοιχεία επί ενός σώματος F, τότε τα στοιχεία a + b και a b είναι υπερβατικά επί του F. Λάθος. Αν c 0 αλγεβρικό τότε αν p(x) F[x] μηδενίζεται από το c, τότε το q(x) F[x] που προκύπτει απο το p(x) αλλάζοντας τα πρόσημα των συντελεστών των περιττών δυνάμεων μηδενίζει το c. Επίσης το r(x) = x n p( 1 x ) F[x], όπου n = deg p(x), μηδενίζεται από το 1 c. Άρα τα c, 1 c είναι αλγεβρικά. Επομένως τα a, 1 a υπερβατικά. Αλλά a + ( a) = 0 και a 1 a = 1. 2

3 21. Έστω a, b δύο αλγεβρικά στοιχεία επί ενός σώματος F με βαθμούς m και n αντίστοιχα, έτσι ώστε (m, n) = 1. Το a b είναι αλγεβρικό επί του F βαθμού m n F F(a) F(a, b) και F F(b) F(a, b). Άρα m = [F(a) : F] διαιρεί το [F(a, b) : F] και n = [F(b) : F] διαιρεί το [F(a, b) : F]. Άφου (m, n) = 1 τότε [F(a, b) : F] πολλαπλάσιο του m n. Ισχύει [F(a, b) : F] = [F(a, b) : F(b)][F(b) : F] [F(a, b) : F] = n[f(a, b) : F(b)]. Όμως [F(a, b) : F(b)] = [F(b)(a) : F(b)] m και επομένως [F(a, b) : F] = m n. Άφου F(a b) F(a, b) το a b θα είναι αλγεβρικό με βαθμό το πολύ m n. 22. Υπάρχουν πολυώνυμα p(x), q(x) Q[x] σχετικά πρώτα με το ίδιο σώμα ριζών. Σωστό. Το σώμα ριζών των σχετικά πρώτων x και x είναι το Q(i). 23. Οι επεκτάσεις C : R, C : R, R : Q είναι κανονικές και διαχωρίσιμες. Είναι διαχωρίσιμες αφού τα Q, R είναι χαρακτηριστικής 0. Οι δύο πρώτες είναι κανονικές αφού το C είναι αλγεβρικά κλειστό ως προς Q, R και επομένως περιέχει τις ρίζες κάθε ανάγωγου πολυωνύμου τους. Η R : Q δεν είναι κανονική γιατί το x 3 2 είναι ανάγωγο στο Q, έχει μια πραγματική ρίζα αλλά οι υπόλοιπες ρίζες δεν είναι πραγματικές. 24. Υπάρχει γνήσια επέκταση του σώματος των πραγματικών αριθμών, R, η οποία είναι περιττού βαθμού. Λάθος. Μια γνήσια επέκταση L πεπερασμένου βαθμού θα είναι αλγεβρική. Το R δεν περιέχει ανάγωγα πολυώνυμα περιττού βαθμού μεγαλύτερου του 1 αφού κάθε πολυώνυμο περιττού βαθμού διαθέτει πραγματική ρίζα. Αν a L \ R τότε όπως είπαμε a αλγεβρικό και [L : R] = [L : R(a)][R(a) : R]. Από προηγούμενη παρατήρηση [R(a) : R] άρτιος αφού το ανάγωγο πολυώνυμο του a είναι άρτιου βαθμού. Άρα [L : R] άρτιος. Επομένως είτε [L : R] άπειρος είτε άρτιος. 25. Κάθε διαχωρίσιμη επέκταση του Q είναι απλή. Λάθος. Κάθε επέκταση F του Q είναι διαχωρίσιμη αφού το Q είναι χαρακτηριστικής 0. Αν υπήρχε a F ώστε F = Q(a) τότε το F είναι αριθμήσιμο αφού στο αριθμήσιμο Q προσθέτουμε ένα αριθμήσιμο το πολύ αριθμό στοιχείων δηλαδή όλες τις ρητές εκφράσεις του a με ρητούς συντελεστές. Όμως δεν είναι όλες οι επεκτάσεις του Q σώματα με αριθμήσιμο πλήθος στοιχείων. Π.χ. αν πάρουμε F = R. 26. Κάθε κανονική επέκταση του Z p είναι διαχωρίσιμη. Σωστό. Το Z p είναι τέλειο σώμα. Κάθε αλγεβρική επέκταση ενός τέλειου σώματος είναι διαχωρίσιμη. Ισχύει ότι η διαχωρίσιμη θήκη ενός τέλειου σώματος είναι αλγεβρικά κλειστή. Δεν υπάρχουν όμως κανονικές επεκτάσεις πέρα της αλγεβρικής θήκης αφού η αλγεβρική θήκη είναι το σώμα ριζών όλων των πολυωνύμων. Άρα κάθε κανονική επέκταση θα είναι και αλγεβρική και διαχωρίσιμη. 27. Κάθε πεπερασμένη, διαχωρίσιμη επέκταση E : F ενός σώματος F είναι απλή. Σωστό. Υπάρχει θεώρημα που λέει ότι αν μια πεπερασμένη επέκταση είναι επέκταση Galois τότε είναι απλή. Αρκεί να δείξουμε ότι η E : F είναι επέκταση Galois. Αν η E : F κανονική επέκταση τότε αφού είναι και διαχωρίσιμη πρόκειται για επέκταση Galois. Αν δεν είναι κανονική τότε αφού η E : F είναι πεπερασμένη θα ισχύει ότι E = F(a 1, a 2,..., a n ) όπου a 1, a 2,..., a n τα στοιχεία της βάσης. Έστω p 1, p 2,..., p n τα αντίστοιχα ανάγωγα πολυώνυμα επί του F. Τότε το f(x) = p 1 (x) p 2 (x)... p n (x) είναι 3

4 διαχωρίσιμο επί του F αφού κάθε ανάγωγος παράγοντας ως πολυώνυμο με μια ρίζα στο E δε θα διαθέτει επαναλαμβανόμενες ρίζες. Αν L το σώμα ριζών του f(x) τότε L E αφού περιλαμβάνει τα a 1, a 2,..., a n και η L : F είναι επέκταση Galois ως σώμα ριζών του διαχωρίσιμου επί του F πολυωνύμου f(x). Αν τώρα η E : F είχε άπειρο πλήθος ενδιάμεσων σωμάτων τότε και η L : F θα είχε άπειρο πλήθος ενδιάμεσων σωμάτων, άτοπο αφού είναι επέκταση Galois. 28. Κάθε πεπερασμένη επέκταση ενός σώματος F είναι κανονική. Λάθος η επέκταση Q[x]/ x 3 2 στο Q είναι πεπερασμένη αλλά δεν είναι κανονική γιατί περιέχει την πραγματική ρίζα του ανάγωγου x 3 2 αλλά δεν περιέχει τις υπόλοιπες μιγαδικές. 29. Κάθε πεπερασμένη επέκταση ενός σώματος F είναι διαχωρίσιμη. Λάθος. Στο F = Frac(Z p [t]) χαρακτηριστικής p το πολυώνυμο t F δεν έχει κάποια p-οστή ρίζα. Το πολυώνυμο x p t του F[x] είναι ανάγωγο στο F. Πράγματι έστω E το σώμα ριζών του και a E μια ρίζα. Τότε x p t = x p a p = (x a) p. Αν δεν είναι ανάγωγο στο F τότε για p > k 1 το (x a) k F[x] και επομένως a k F αφού a k είναι ο σταθερός συντελεστής του (x a) k (με ίσως διαφορετικό πρόσημο). Αφού p πρώτος τότε (k, p) = 1 και άρα για κάποιους ακέραιους l, m θα ισχύει lk + mp = 1. Τότε a = a 1 = a lk+mp = (a k ) l (a p ) m = (a k ) l t m F. Άτοπο γιατί είπαμε ότι a / F. Το x p t τελικά ανάγωγο και το E ως σώμα ριζών του θα είναι μια κανονική πεπερασμένη επέκταση αλλά μη διαχωρίσιμη γιατί το a είναι ρίζα με πολλαπλότητα p > Έστω E : F επέκταση του F. Η ομάδα G(E, F) είναι πάντα: Πεπερασμένη Κυκλική Αβελιανή Η ομάδα G(C, Q) δεν είναι πεπερασμένη. Για τα υπόλοιπα η απάντηση είναι εξίσου αρνητική σύμφωνα με το ερώτημα Η ομάδα G(C, Q) είναι πεπερασμένη. Η C : Q είναι κανονική και διαχωρίσιμη. Άρα είναι επέκταση Galois. Αν G(C, Q) πεπερασμένο τότε και C : Q πεπερασμένο. Άτοπο. 32. Από τη σχέση G(E, F) = 1 έπεται ότι E = F. Λάθος. G(Q( 3 2), Q) = Έστω E : F επέκταση του F με G(E, F) = 1. Η E είναι κανονική επέκταση του F. Λάθος. G(Q( 3 2), Q) = 1. Η Q( 3 2) δεν είναι κανονική επέκταση επί του Q αφού το ανάγωγο πολυώνυμο x 3 2 επί του Q περιέχει μία ρίζα στο Q( 3 2) αλλά οι άλλες δύο ρίζες ως μιγαδικές δεν ανήκουν. 34. Έστω E : F επέκταση του F με πεπερασμένο το πλήθος ενδιάμεσα σώματα. Η ομάδα G(E, F) είναι πεπερασμένη. Σωστό. Το E μπορεί να προκύψει από την επισύναψη πεπερασμένου πλήθους στοιχείων αλλιώς αν είχαμε συνεχώς γνήσιες επεκτάσεις με την επισύναψη καινούριων κάθε φορά στοιχείων τότε θα είχαμε άπειρα ενδιάμεσα σώματα. Επίσης κανένα στοιχείο δεν είναι υπερβατικό γιατί αν L ενδιάμεσο σώμα που προκύπτει μετά από επισύναψη ενός υπερβατικού στοιχείου π τότε F... 4

5 L(π 8 ) L(π 4 ) L(π 2 ) L. Άρα η E : F είναι πεπερασμένη επέκταση. Αφού είναι πεπερασμένη επέκταση με πεπερασμένο πλήθος ενδιάμεσων σωμάτων θα είναι και απλή. Έστω E = F(a). Κάθε αυτομορφισμός σ G(E, F) καθορίζεται λοιπόν πλήρως από την τιμή του στο στοιχείο a. Έστω p(x) το ανάγωγο πολυώνυμο του a στο F. Τότε σ(a) ρίζα του p(x). Έχουμε πεπερασμένο αριθμό ριζών του p(x) και επομένως πεπερασμένο πλήθος αυτομορφισμών που κρατάνε σταθερό το σώμα F. 35. Έστω E : F επέκταση του F με G(E, F) πεπερασμένη. Η E : F είναι πεπερασμένη. Λάθος. Η R : Q είναι μη πεπερασμένη επέκταση με G(R, Q) = 1. Έστω τ G(R, Q). Πρώτα δείχνουμε ότι η τ είναι συνεχής. Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ακολουθία πραγματικών (x n ) με x n x και x x n ρητό ισχύει ότι τ(x n ) τ(x). Πράγματι x x n = τ(x x n ) = τ(x) τ(x n ). Όμως x x n 0 και επομένως τ(x n ) τ(x). Έστω τώρα μια ακολουθία ρητών q n που τείνει στο x R. Τότε q n = τ(q n ) τ(x). Επομένως τ(x) = x. 36. Έστω p(x) = x n 1 Q[x] και E το σώμα ριζών του, η ομάδα G(E, F) είναι πάντα Κυκλική Αβελιανή G(E, F) = n E = Q(ω n ) όπου ω n μια πρωταρχική ρίζα της μονάδας τάξης n. Κάθε σ G = G(E, F) απεικονίζει το ω n σε μια άλλη μιγαδική ρίζα της μονάδας ωn i και το i καθορίζει πλήρως τον αυτομορφισμό σ. Έστω σ i ο αυτομορφισμός που καθορίζεται από τον εκθέτη i. Ο εκθέτης i πρέπει να είναι σχετικά πρώτος με το n γιατί το ωn i θα πρέπει να παράγει όλες τις ρίζες της μονάδας. Επίσης αν οι εκθέτες i, j αντιστοιχούν στους αυτομορφισμούς σ i, σ j G τότε ο ij θα αντιστοιχεί στον σ ij = σ i σ j G. Άρα η G θα είναι ισόμορφη με μια υποομάδα της U(Z n ). Ως υποομάδα της U(Z n ) θα είναι Abel αφού η U(Z n ) είναι Abel. Όμως U(Z n ) < n αφού το 0 δεν είναι αντιστρέψιμο στοιχείο της πολλαπλασιαστικής ομάδας Z n. Άρα δε θα ισχύει η τρίτη ιδιότητα. Αν εξειδικεύσουμε για n = 8 η G είναι υποομάδα της U(Z 8 ). U(Z 8 ) = {1, 3, 5, 7} U(Z 8 ) = 4. Το ανάγωγο πολυώνυμο του ω 8 είναι το x και αφού E : F επέκταση Galois θα ισχύει G = E : F = 4 = U(Z 8 ). Άρα G U(Z 8 ) και επομένως δεν είναι κυκλική. 37. Έστω p(x) = x n 2 Q[x] και Q το σώμα ριζών του, η ομάδα G(E, Q) είναι πάντα Κυκλική Αβελιανή G(E, F) = n Θεωρούμε n = 3. Τότε p(x) = x 3 2 ανάγωγο στο Q και E = Q( 3 2, ω 3 ) με ω 3 πρωταρχική τρίτη ρίζα της μονάδας. Αφού E σώμα διάσπασης του διαχωρίσιμου p(x) τότε η επέκταση E : Q είναι Galois με G(E, Q) = E, Q = Q( 3 2, ω 3 ) : Q( 3 2) Q( 3 2) : Q = 3 Q( 3 2, ω 3 ) : Q( 3 2) 6. Όμως G(E, Q) ισόμορφη με μια υποομάδα της S 3. Άρα G(E, Q) S 3 και επομένως δεν ισχύει καμία από τις παραπάνω ιδιότητες. 38. Έστω t υπερβατικό επί του F. Η ομάδα G(F(t), F) είναι τετριμμένη. 5

6 Λάθος. G(Q(π), Q) είναι μη τετριμμένη αφού για κάθε q Q υπάρχει τ q G(Q(π), Q) η οποία απεικονίζει τον υπερβατικό π στον υπερβατικό π + q. 39. Κάθε κανονική επέκταση ενός πεπερασμένου σώματος είναι επέκταση Galois. Σωστό. Κάθε πεπερασμένο σώμα είναι τέλειο και από επιχειρηματολογία ερωτήματος 26 κάθε κανονική επέκταση ενός τέλειου σώματος είναι αλγεβρική και διαχωρίσιμη. Επομένως θα είναι επέκταση Galois. 40. Κάθε επέκταση με ριζικά ενός σώματος είναι πεπερασμένη. Σωστό. Μια επέκταση με ριζικά είναι πεπερασμένη ακολουθία από διαδοχικές πεπερασμένες επεκτάσεις. 41. Κάθε πεπερασμένη επέκταση ενός σώματος είναι επέκταση με ριζικά. Λάθος. Υπάρχει ανάγωγο πολυώνυμο p(x) του Q πέμπτου βαθμού που δεν επιλύεται με ριζικά και το Q/ p(x) είναι προφανώς πεπερασμένη επέκταση που περιλαμβάνει μια ρίζα του p(x). 42. Το σώμα ριζών του x Z 7 [x] έχει: 7 3 το πλήθος στοιχεία. 7 6 το πλήθος στοιχεία. To x είναι ανάγωγο στο Z 7 αφού αλλιώς ως τρίτου βαθμού θα έπρεπε να περιέχει μια ρίζα στο Z 7. Αν μια ρίζα είναι το a τότε ρίζες θα είναι τα a, 2a, 4a που είναι διακριτά αφού a 0. Επομένως το σώμα ριζών είναι το Z 7 (a). Όμως Z 7 (a) : Z 7 = 3 και άρα έχουμε 7 3 στοιχεία. 43. Η επέκταση Q( a) : Q, a Z, είναι επέκταση Galois και G(Q( a), Q) = 2. Αν a δεν είναι τέλειο τετράγωνο τότε το ανάγωγο πολυώνυμο του a στο Q είναι το x 2 a = (x a)(x + a). Άρα το σώμα ριζών του x 2 a είναι το Q( a) και επομένως η επέκταση είναι κανονική. Είναι και διαχωρίσιμη αφού Q χαρακτηριστικής 0. Άρα είναι και Galois και ταυτόχρονα G(Q( a), Q) = Q( a) : Q = Έστω a μια ρίζα ενός μονικού ανάγωγου πολυωνύμου ϕ(x) F[x] με deg ϕ(x) = p, p-πρώτος. Η ομάδα G(F(a), F) είναι κυκλική. Σωστό. H επέκταση F(a) : F δεν έχει γνήσια ενδιάμεσα σώματα γιατί αλλιώς ο βαθμός επέκτασης του ενδιάμεσου σώματος θα έπρεπε να διαιρεί το p. Κάθε στοιχείο της ομάδας G = G(F(a), F) κρατάει σταθερό κάποιο σώμα και από προηγούμενη παρατήρηση αυτό είναι είτε το F(a) είτε το F. Το μοναδικό στοιχείο που κρατάει σταθερό το F(a) είναι ο ταυτοτικός αυτομορφισμός και επομένως αν όλα τα στοιχεία της G κρατάνε σταθερό το F(a) τότε G = 1 και η G θα είναι κυκλική. Αν το σταθερό σώμα κάποιου αυτομορφισμού του G είναι το F τότε το σταθερό σώμα της G είναι το F και άρα η F(a) : F είναι επέκταση Galois. Επακόλουθα η τάξη της G θα είναι ίση με F(a) : F = p και κάθε μη ταυτοτικό στοιχείο σ της θα έχει τάξη p. Το σ θα παράγει όλη τη G και καταλήγουμε λοιπόν ότι σε κάθε περίπτωση η G θα είναι κυκλική. 45. Έστω ϕ(x) F[x] ένα μονικό πολυώνυμο με degϕ(x) = p, p-πρώτος και E το σώμα ριζών του, τότε G(E, F) = p. Λάθος. Ερώτημα 37 για το x

7 46. Έστω E K F διαδοχικές επεκτάσεις με E : K και K : F να είναι Galois, τότε η E : F είναι Galois. Αντίστροφα, αν η E : F είναι Galois, τότε οι E : K και K : F είναι Galois. Η κανονικότητα της επέκτασης δεν ικανοποιεί τη μεταβατική ιδιότητα. Για παράδειγμα η Q( 4 2) : Q( 2) είναι κανονική, η Q( 2) : Q είναι κανονική αλλά η Q( 4 2) : Q δεν είναι κανονική. Όμως η κανονικότητα είναι απαραίτητη προϋπόθεση για την περίπτωση των πεπερασμένων επεκτάσεων. Το αντίστροφο πάλι δεν ισχύει. Η Q( 3 2, ω 3 ) : Q για ω 3 πρωταρχική τρίτη ρίζα της μονάδας είναι επέκταση Galois ως σώμα ριζών του ανάγωγου x 3 2 στο χαρακτηριστικής 0 σώμα Q. Όμως η επέκταση Q( 3 2) : Q δεν είναι Galois. 47. Υποθέτουμε ότι το σημείο (0, a) του επιπέδου δεν μπορεί να κατασκευασθεί από το σύνολο{(0, 0), (0, 1)} με κανόνα και διαβήτη. Τότε το a είναι υπερβατικό επί του Q. Λάθος. Αρκεί το ανάγωγο πολυώνυμο του a επί του Q να μην είναι δύναμη του Η γωνία με μέτρο μια μοίρα είναι κατασκευάσιμη με κανόνα και διαβήτη. Λάθος. Αλλιώς κάθε γωνία με ακέραιο πλήθος μοιρών θα ήταν κατασκευάσιμη και από όσο ξέρουμε υπάρχει μια τέτοια γωνία που δεν είναι κατασκευάσιμη. 49. Η γωνία με μέτρο π/5 τριχοτομείται. Σωστό. Αρκεί να μπορεί να κατασκευαστεί μια γωνία 12 μοιρών ή να μπορεί να κατασκευαστεί ένα κανονικό 30-γωνο. Αναλύωντας σε πρώτους παράγοντες: 30 = = 2 ( ) ( ) και από θεώρημα Gauss έπεται ότι το κανονικό 30-γωνο μπορεί να κατασκευαστεί. 50. Οι πραγματικές ρίζες των πολυωνύμων x 3 + 9x x + 3, x 3 + 4x 2 9x 6 Q[x] είναι κατασκευάσιμες με κανόνα και διαβήτη. Το x 3 + 9x x + 3 είναι ανάγωγο στο Q[x] από κριτήριο Eisenstein για p = 3. Άρα ο βαθμός επέκτασης Q(ρ) : Q για κάθε ρίζα ρ δεν είναι δύναμη του 2 και επομένως δεν είναι κατασκευάσιμη καμία πραγματική του ρίζα. Στη δεύτερη περίπτωση x 3 + 4x 2 9x 6 = (x 2)(x 2 + 6x + 3) και όλες οι πραγματικές του ρίζες επομένως είναι κατασκευάσιμες Δείξτε ότι τα Q( 3) και Q(i) είναι ισόμορφα ως διανυσματικοί χώροι, αλλά δεν είναι ισόμορφα ως σώματα. Αν ήταν ισόμορφα ως σώματα δε θα μπορούσε το πολυώνυμο x να έχει ρίζα στο ένα και να μην έχει στο άλλο. Η απεικόνιση σ που απεικονίζει το a + b 3 Q( 3) στο a + bi Q(i) με a, b Q είναι γραμμικός ισομορφισμός. Η απεικόνιση έχει νόημα γιατί τα {1, 3} και {1, i} είναι βάσεις των αντίστοιχων διανυσματικών χώρων. Εύκολα είναι 1-1 και επί. Είναι γραμμική γιατί για λ, a 1, a 2, b 1, b 2 Q ισχύει σ(λ(a 1 + b 1 3) + (a2 + b 2 3)) = σ((λa1 + a 2 ) + (λb 1 + b 2 ) 3) = (λa 1 + a 2 ) + (λb 1 + b 2 )i = λ(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i)

8 5. Έστω το πολυώνυμο ϕ(x) = x n + x n x + 1 Z 2 [x]. Να δειχθεί ότι αν ο n + 1 είναι σύνθετος, τότε το ϕ(x) δεν είναι 6. ανάγωγο επί του Z 2 (ούτε επί του Z). Ισχύει και το αντίστροφο; Δηλαδή, αν n + 1 πρώτος, είναι το ϕ(x) ανάγωγο επί του Z 2 ; Έστω n + 1 = kl για φυσικούς k, l > 1. Τότε ϕ(x) = (1 + x x k 1 ) + (x k + x k x 2k 1 ) + (x kl k + x kl k x kl 1 ) = 1(1 + x x k 1 ) + x k (1 + x x k 1 ) x k(l 1) (1 + x x k 1 ) = (1 + x k x k(l 1) )(1 + x x k 1 ). Αφού k, l > 1 τότε κανένας από τους δύο παράγοντες δεν είναι σταθερό πολυώνυμο. Άρα ϕ(x) μη ανάγωγο. Δεν ισχύει το αντίστροφο. Έχουμε το εξής αντιπαράδειγμα: (1 + x + x 3 )(1 + x 2 + x 3 ) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x Έστω a ένα αλγεβρικό στοιχείο επί ενός σώματος F. Να βρεθεί το αντίστροφο ενός b F(a) Να βρεθεί το αντίστροφο του 3 5 Q( 5). (3 5)(3 + 5) = 4 (3 5)( ) = 1 (3 5) 1 = Q( 5) 10. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα f(x), g(x) Z p [x] με την ιδιότητα f(a) = g(a) για όλα τα a Z p Θα πρέπει x p x f(x) g(x). Πράγματι από αλγόριθμο διαίρεσης f(x) = (x p x)f 1 (x)+f 2 (x), g(x) = (x p x)g 1 (x)+g 2 (x) με f 2 (x), g 2 (x) μηδενικά ή βαθμού το πολύ p 1. f(x) g(x) = (x p x)(f 1 (x) g 1 (x)) + (f 2 (x) g 2 (x)). Όμως f(a) = g(a) και a p = a για κάθε a Z p. Άρα f 2 (a) g 2 (a) = 0 για κάθε a Z p και επομένως το f 2 (x) g 2 (x) έχει p θέσεις μηδενισμού. Άρα ή είναι το μηδενικό ή είναι βαθμού τουλάχιστον p. Όμως είναι βαθμού το πολύ p 1 και επομένως f 2 (x) = g 2 (x) και f(x) g(x) = (x p x)(f 1 (x) g 1 (x)) x p x f(x) g(x). 8

9

10

11

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη

Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών. Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Σηµειώσεις Θεωρίας Αριθµών Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη Ευχαριστώ ιδιαίτερα τη ϕοιτήτριά µου Μαρίνα Παλαιστή για τη µεταφορά του χειρογράφου µου σε κείµενο "tex" Κεφάλαιο 1 Βασικές Ιδιότητες Ισοδυναµιών Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015

Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Φροντιστήριο #5 Ασκήσεις σε Συναρτήσεις Αρχή του Περιστερώνα 23/04/2015 Άσκηση Φ5.1: (α) Έστω οι συναρτήσεις διάγραμμα. f : A B, : g B C και h: C D που ορίζονται στο παρακάτω Υπολογίστε την συνάρτηση h

Διαβάστε περισσότερα

10.05.12 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

10.05.12 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 10.05.12 Χ. Χαραλάμπους 1. Έχει κάθε πολυώνυμο ρίζα? 2. Πόσες ρίζες έχει ένα πολυώνυμο βαθμού n? 3. Μπορούμε να καθορίσουμε πότε οι ρίζες είναι ρητές, πραγματικές, θετικές, κλπ? 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ»

H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ» H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ» Δημ. Ι. Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών (Δημοσιεύτηκε στο τεύχος 6, 2009, του περιοδικού «φ») Στο τελευταίο τεύχος (5 ο, 2008) του

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E.

Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ. Ορισµός 2 A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ. Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Ι. ΠΡΑΞΕΙΣ A. ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΡΑΞΗ Ορισµός Έστω E ένα µη κενό σύνολο. Κάθε απεικόνιση f: E x E E λέγεται εσωτερική πράξη επί του E. Παραδείγµατα:. Η ισότητα x y = x y είναι µια πράξη επί του *. 2. Η ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ΙΑΒΗΤΗ

ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ΙΑΒΗΤΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KAI ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 011-01 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laiihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2013-2014 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ:

n. Έστω αποτελείται από όλους τους πίνακες που αντιμετατίθενται με ένα συγκεκριμένο μη μηδενικό nxn πίνακα Τ: Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ καθώς είναι από τα σημαντικότερα κομμάτια της Άλγεβρας με τις περισσότερες εφαρμογές ΔΕΝ πρέπει να αποστηθίζεται και κυρίως ΔΕΝ πρέπει να γίνεται αντιπαθητική. Για τη σωστή εκμάθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 6: ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Δημητρης Χατζακος Modular forms και Ελλειπτικες καμπυλες Μεταπτυχιακη Εργασια Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Μαθηματικών Αθήνα 3 Σεπτεμβρίου 2012 Εισηγητης: Αριστείδης Κοντογεώργης Αντώνης Μελάς Γιάννης Εμμανουήλ

Διαβάστε περισσότερα

834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013

834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 834. Θεωρία Ομάδων Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 Περιεχόμενα 1 Βασικές Έννοιες 1 1.1 Ορισμοί - παραδείγματα.............................. 1 1.2 Υποομάδες και Σύμπλοκα..............................

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση

1 ης εργασίας ΕΟ13 2013-2014. Υποδειγματική λύση ης εργασίας ΕΟ3 03-04 Υποδειγματική λύση (όπως θα παρατηρήσετε η εργασία περιέχει και κάποια επιπλέον σχόλια, για την καλύτερη κατανόηση της μεθοδολογίας, τα οποία φυσικά μπορούν να παραλειφθούν) Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τα συστήματα: (Σ 1 ): { (Σ 2 ): { (Σ 3 ): { (Σ 4 ): { με εκείνη από τις απαντήσεις Α, Β, Γ που νομίζετε ότι είναι η σωστή.

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Η Υποθεση του Riemann

Η Υποθεση του Riemann Η Υποθεση του Riemann Πτυχιακη Εργασια Νικολεντζος Πολυχρονης Α.Μ.: 311/2003066 Εισηγητης : Κοντογεωργης Αριστειδης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Καρλοβασι, 2008 Εξεταστικη Επιτροπη: Ανούσης

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Δ Ακρίβης Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (πανεπιστημιακές παραδόσεις) ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 2003 i Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί, μαζί με την Ανάλυση, το θεμέλιο των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2)

Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις. x1+ 5 x2 + 5 (x1+ 5)(x2 2) (x2 + 5)(x1 2) = = = x 2 x 2 (x 2)(x 2) = = (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) Να μελετηθεί η συνάρτηση Β Λυκείου - Ασκήσεις Συναρτήσεις x+ 5 f(x = ως προς τη μονοτονία. x Το πεδίο ορισμού της f(x είναι το {}. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Έστω x1 < x

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4.0.1 Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε κάποιο διάστημα τιμών της μεταβλητής της, οδηγεί στην εφαρμογή του θεωρήματος Βlzan ως εξής: i) Μεταφέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις

Κεφάλαιο 8 1. Γραµµικές Απεικονίσεις Σελίδα 1 από 9 Κεφάλαιο 8 1 Γραµµικές Απεικονίσεις Τα αντικείµενα µελέτης της γραµµικής άλγεβρας είναι σύνολα διανυσµάτων που χαρακτηρίζονται µε την αλγεβρική δοµή των διανυσµατικών χώρων. Όπως λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 25 Μαιου 2013 2

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους

Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Άσκηση 10.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z)

Απόδειξη. Η ιδιότητα(vi) του ορισμού δεν ισχύει στην πράξη αυτή. Πράγματι, έχουμε. 1 (x, y, z) =(1 x, 1 y, 2 1 z) =(x, y, 2z) 1 ιανυσματικοί χώροι Άσκηση 1.1 Στο σύνολο R 3 όλων των διατεταγμένων τριάδων διατηρούμε την πρόσθεση, που ορίσαμε στο αντίστοιχο παράδειγμα, και ορίζουμε εξωτερικό πολλαπλασιασμό με τη σχέση λ(a 1,a 2,a

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες)

Πρόβληµα 2 (15 µονάδες) ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Γραμμική Άλγεβρα. Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής. uv, u v ΠΑΤΡΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Γραμμική Άλγεβρα. Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής. uv, u v ΠΑΤΡΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γραμμική Άλγεβρα Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής 00 uv, u v ( ) ΠΑΤΡΑ dsourlas@physics.upatras.gr www.physics.upatras.gr II ΠΕΡΙΕΧΌΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... V ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι... ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Γραμμική Άλγεβρα. Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής. uv, u v ΠΑΤΡΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Γραμμική Άλγεβρα. Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής. uv, u v ΠΑΤΡΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γραμμική Άλγεβρα Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής uv, u v ( ) ΠΑΤΡΑ dsourlas@physics.upatras.gr www.physics.upatras.gr II ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... V ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι... ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα