Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες"

Transcript

1 Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις και τις συγκρίνουµε µε το σώµα των µιγαδικών αριθµών. 7.1 Απλές επεκτάσεις Στην ενότητα αυτή ϑα εξετάσουµε ποιες επεκτάσεις σωµάτων είναι απλές. Εστω F ένα πεπερασµένο σώµα µε char F = p και E/F µία επέκταση του Galois. Αφού [E : F ] <, έπεται ότι το E είναι πεπερασµένο σώµα. Σύµφωνα µε το Πόρισµα υπάρχει a E, τέτοιο ώστε E = GF(p)(a). Αφού E = GF(p)(a) F (a) E, συµπεραίνουµε ότι E = F (a). είξαµε λοιπόν ότι κάθε επέκταση του Galois E/F είναι απλή επέκταση, όταν char F = p και E <. Θα δούµε ότι το αντίστοιχο ισχύει για επεκτάσεις Galois E/F, όταν η χαρακτηριστική του F είναι µηδέν. Θεώρηµα Εστω ότι E/F είναι επέκταση του Galois µε char F = 0. Τότε υπάρχει a E έτσι ώστε E = F (a). Απόδειξη. Αν το E = F, το συµπέρασµα είναι προφανές. Εστω, λοιπόν, ότι E F. Αφού [E : F ] <, σύµφωνα µε την άσκηση , υπάρχουν b 1,..., b n έτσι ώστε E = F (b 1,..., b n ). Με απλή επαγωγή στο n, ϐλέπουµε ότι αρκεί να αποδείξουµε ότι E είναι απλή επέκταση του F στην περίπτωση που το E = F (b, c) και το c / F (b), δηλ. όταν F (b) F (b, c) = E. ( ) Σύµφωνα µε την άσκηση , τα πολυώνυµα irr (F,b) (x) και irr (F,c) (x) αναλύονται σε γινόµενα γραµµικών παραγόντων στο E[x]. Αφού char F = 0, τα ανάγωγα πολυώνυµα του F [x] είναι διαχωρίσιµα. Εστω b 1,..., b n E οι ϱίζες του irr (F,b) (x) στο E, παίρνοντας ως b 1 το b, και όπου n = deg irr (F,b) (x). Αντίστοιχα, έστω και c 1,..., c m E οι ϱίζες του irr (F,c) (x) στο E µε c 1 = c, όπου m = deg irr (F,c) (x). Στη συνέχεια, ϑεωρούµε το παρακάτω (πεπερασµένο) υποσύνολο του E: { bi b } : 1 < i n, 1 < j m E. c c j 113

2 114 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάµπους Θεωρία Galois Αφού το F είναι άπειρο, υπάρχει κάποιο στοιχείο του F, διάφορο του µηδενός, που να µην ανήκει στο παραπάνω σύνολο, έστω d. Ετσι, d b i b c c j, άρα d(c c j ) b i b και εποµένως (b + dc) (b i + dc j ), ( ) όπου 1 < i n και 1 < j m. Εστω τώρα το στοιχείο a = b + dc. Το a ανήκει ϐέβαια στο E. Αν a F τότε c = a b F (b), d άτοπο, αφού είµαστε στην περίπτωση της ( ). Εποµένως a / F. Επίσης, από τη σχέση ( ) προκύπτει ότι, για 1 < i n και 1 < j m, Θα δείξουµε ότι F (a) = E. Εστω a b i + dc j. ( ) h(x) = irr (F,b) (a dx) F (a)[x]. Παρατηρούµε ότι το c είναι κοινή ϱίζα των h(x) και irr (F,c) (x), ενώ δεν υπάρχει άλλη κοινή ϱίζα αυτών των πολυωνύµων. Πράγµατι, h(c) = irr (F,b) (a dc) = irr (F,b) (b) = 0. Αν, τώρα, c j ήταν ϱίζα του h(x), για κάποιο j 1, τότε irr (F,b) (a dc j ) = 0 και εποµένως a dc j πρέπει να είναι ένα από τα b i, όπου i = 1,..., n. Αν a dc j = b 1, τότε αφού a = b 1 + dc 1, έχουµε ότι b 1 + dc 1 dcj = b 1 c = c j, άτοπο, αφού οι ϱίζες c 1,..., c m του irr (F,c) (x) είναι διακεκριµένες και j 1. Αν a dc j = b i, για i 1, οδηγούµαστε πάλι σε άτοπο, από τη σχέση ( ). Άρα το c είναι η µόνη κοινή ϱίζα των h(x) και irr (F,c) (x). Εστω q(x) F (a)[x] ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των h(x) και irr (F,c) (x) στον δακτύλιο F (a)[x]. Ο µέγιστος κοινός διαιρέτης υπολογίζεται σύµφωνα µε τον Ευκλείδειο αλγόριθ- µο. Ετσι, το q(x) είναι µέγιστος κοινός διαιρέτης των h(x) και irr (F,c) (x)(x) στον δακτύλιο E[x], ϐλ. Θεώρηµα III.3. Αφού το c είναι η µόνη κοινή ϱίζα στο E των h(x) και irr (F,c) (x) στον E και γνωρίζουµε πλήρως την ανάλυση των δύο αυτών πολυωνύµων σε γραµµικούς παράγοντες στον E[x], συµπεραίνουµε ότι q(x) = x c. Οµως, το q(x) F (a)[x] και άρα c F (a). Επίσης, αφού b = a dc συµπεραίνουµε ότι b F (a) και εποµένως F (a) F (b, c) F (a). δηλ. F (a) = F (b, c) και η επέκταση F (b, c) είναι απλή. Σηµειώνουµε ότι αν F = GF(p)(x p, y p ) και E = GF(p)(x, y) τότε η επέκταση E/F είναι πεπερασµένη. Οµως το E δεν είναι απλή επέκταση του F (ϐλ. άσκηση 7.3.3).

3 Κεφάλαιο 7. Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις Στην Ενότητα 6.3 αποδείξαµε ότι το C είναι αλγεβρικά κλειστό και ότι είναι το µικρότερο σώµα µε αυτήν την ιδιότητα που περιέχει το R. Σε αυτήν την ενότητα ϑα γενικεύσουµε τα παραπάνω για τυχαία σώµατα. Ορισµός Εστω E/F επέκταση σωµάτων. Η αλγεβρική ϑήκη (algebraic closure) του F στο E συµβολίζεται µε F E και είναι το σύνολο F E = {a E : a είναι αλγεβρικό πάνω από το F }. Πρόταση Εστω E/F επέκταση σωµάτων. Τότε η αλγεβρική ϑήκη F E είναι σώµα. Απόδειξη. Αν a, b F E, τότε από το Πόρισµα προκύπτει ότι F (a, b)/f είναι αλγε- ϐρική επέκταση. Εποµένως κάθε στοιχείο του F (a, b) ανήκει στην F E. Άρα a b και a/b ανήκουν στην F E και εποµένως F E είναι σώµα. Παραδείγµατα Εστω E = Q( 2). Η αλγεβρική ϑήκη Q E είναι το το σώµα E, αφού κάθε στοιχείο του E είναι αλγεβρικό πάνω από το Q, ϐλ. Πόρισµα Αν E/F είναι αλγεβρική επέκταση, τότε F E = E. 3. Η επέκταση Q R /Q είναι άπειρη και αριθµήσιµη (countable), δηλ. υπάρχει µία α- ϱιθµήσιµη ϐάση του σώµατος Q R πάνω από το Q, ϐλ. άσκηση Ορισµός Ενα σώµα F λέγεται αλγεβρικά κλειστό (algebraic closure) αν F E = F, για κάθε σώµα E που περιέχει το F. Είναι ϕανερό ότι ένα σώµα F είναι αλγεβρικά κλειστό αν και µόνο αν κάθε µη σταθερό πολυώνυµο στο F [x] έχει σώµα ανάλυσης το F. Βέβαια, για να δείξει κανείς ότι ένα σώµα είναι αλγεβρικά κλειστό, αρκεί να δείξει ότι κάθε µη σταθερό πολυώνυµο στο F [x], έχει τουλάχιστον µία ϱίζα στο F. Παραδείγµατα Q και R δεν είναι αλγεβρικά κλειστά σώµατα. 2. Το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας λέει ότι το C είναι αλγεβρικά κλειστό. 3. Εστω F ένα πεπερασµένο σώµα. Το F δεν είναι αλγεβρικά κλειστό, (άσκηση 7.3.5). Το επόµενο συµπέρασµα γενικεύει το Θεώρηµα Θεώρηµα Εστω F σώµα και έστω p 1 (x),..., p n (x) F [x]. Τότε υπάρχει επέκταση E/F, τέτοια ώστε [E : F ] < και κάθε ένα από τα πολυώνυµα p 1 (x),..., p n (x) να αναλύεται σε γινόµενο γραµµικών παραγόντων στο E. Απόδειξη. Θα εφαρµόσουµε επαγωγή στο n. Αν n = 1 τότε, είµαστε στην περίπτωση του Θεωρήµατος Υποθέτουµε τώρα, ότι η πρόταση είναι αληθής για n 1 πολυώνυµα. Εστω, λοιπόν, E /F µία επέκταση σωµάτων έτσι ώστε [E : F ] < και κάθε ένα από τα p 2 (x),..., p n (x) να αναλύεται σε γινόµενο γραµµικών παραγόντων στο E. Αφού F E, ϑεωρούµε το p 1 (x) ως πολυώνυµο του E [x]. Από το Θεώρηµα , υπάρχει σώµα ανάλυσης E του p 1 (x) πάνω από το E και [E : E ] <. Εποµένως, από την Πρόταση , έπεται ότι [E : F ] = [E : E ] [E : F ] < και το E έχει τις επιθυµητές ιδιότητες της πρότασης.

4 116 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάµπους Θεωρία Galois Το επόµενο παράδειγµα ϑα ϐοηθήσει να γίνει κατανοητή η κατασκευή της απόδειξης του Θεωρήµατος Παράδειγµα Εστω f 1 (x) = x 2 2 και f 2 (x) = x 3 5 πολυώνυµα στον Q[x]. Περνά- µε τώρα στον δακτύλιο πολυωνύµων µε τρεις ανεξάρτητες µεταβλητές, R = Q[X 1, X 2, X 3 ]. Στη συνέχεια, ϑεωρούµε τα πολυώνυµα f 1 (X 1 ) και f 2 (X 2 ) του R. Εστω I το παρακάτω ιδεώδες του R I = X , X Για παράδειγµα, το πολυώνυµο g(x 1, X 2, X 3 ) = (X 1 X 3 )f 1 (X 1 ) + (X 1 + 2)f 2 (X 2 ) ανήκει στο I. Επίσης, το g( 2, 3 5, X 3 ) είναι το µηδενικό πολυώνυµο στο Q( 2, 3 5)[x], αφού g( 2, 3 5, X 3 ) = ( 2X 3 )f 1 ( 2) + ( 2 + 2)f 2 ( 3 5) = ( 2X 3 )0 + ( 2 + 2)0 = 0. Θεώρηµα Εστω F σώµα. Υπάρχει επέκταση L/F, τέτοια ώστε κάθε µη σταθερό πολυώνυµο να έχει µία ϱίζα στο L. Απόδειξη. Εστω S = {f : f F [x], deg f 1}. Σε κάθε στοιχείο f του S αντιστοιχούµε µία ανεξάρτητη µεταβλητή X f. Θεωρούµε R, τον πολυωνυµικό δακτύλιο στις (άπειρες) µεταβλητές {X f } f S και I το ιδεώδες που παράγεται από τα πολυώνυµα f(x f ) στον R. Αν g I τότε g = r 1 f 1 (X f1 ) + + r n f n (X fn ) για κάποιο n N, f i S και r i R. ( ) Χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 7.2.6, µπορεί να δείξει κανείς ότι το I είναι γνήσιο ιδεώδες του R. Πράγµατι, ϑα υποθέσουµε ότι I = R και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Εστω, λοιπόν, ότι I = R, δηλ. ότι 1 I. Τότε το 1 έχει µία έκφραση της µορφής ( ). Άρα 1 = r 1 f 1 (X f1 ) + + r n f n (X fn ) για κάποιο n N, f i S και r i R. ( ) Από το Θεώρηµα 7.2.6, υπάρχει µία επέκταση E του F τέτοια ώστε κάθε ένα από τα f i (x) F [x] να έχει από µία ϱίζα, έστω a i E, για i = 1,..., n. Στην έκφραση ( ), αντικαθιστούµε τις τιµές a 1,..., a n για τις µεταβλητές X f1,..., X fn και 0 για κάθε µετα- ϐλητή X f, αν f f 1,..., f n. Με την αντικατάσταση αυτή προκύπτει ότι 0 = 1. Καταλήξαµε σε άτοπο, γιατί υποθέσαµε ότι I = R. Εποµένως I είναι γνήσιο ιδεώδες του R και σύµφωνα µε την Πρόταση II.9, υπάρχει µέγιστο ιδεώδες M του R που να περιέχει το I. Εστω το σώµα L = R/M. Τότε F : L, c c + M είναι εµφύτευση του F στο L. Εστω τώρα f(x) µη σταθερό πολυώνυµο στο F [x]. Τότε f(x f + M) = f(x f ) + M = M, δηλ. 0, αφού το f(x f ) ανήκει στο I και εποµένως X f + M είναι ϱίζα του f(x) στο L.

5 Κεφάλαιο 7. Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες 117 Η κύρια ιδέα της απόδειξης του επόµενου Θεωρήµατος είναι η διαδοχική εφαρµογή του Θεωρήµατος Με αυτόν τον τρόπο κατασκευάζεται µία αλυσίδα σωµάτων F = L 0 L 1 L 2 ( ) τέτοια ώστε, για κάθε i 0, ο οµοµορφισµός φ i,i+1 : L i L i+1 να είναι εµφύτευση σωµάτων και κάθε πολυώνυµο του L i [x] να έχει µία ϱίζα στο L i+1. Παρατηρούµε ότι, παίρνοντας τις διαδοχικές συνθέσεις των εµφυτεύσεων, ϐρίσκουµε εµφυτεύσεις φ i,j : L i L j, για κάθε i j, όπου ϐέβαια φ i,i : L i L i είναι ο ταυτικός αυτοµορφισµός του L i. Η µαθηµατική κατασκευή του ευθέως ορίου (direct limit) των L i, lim L i, δίνει ένα σώµα E = lim L i µαζί µε ένα σύστηµα εµφυτεύσεων φ i : L i E, έτσι ώστε το διάγραµµα του σχήµατος (7.1) να είναι αντιµεταθετικό (commutative), δηλ. φ i = φ j φ i,j. L i φ i φ i,j L j E = lim L i φ j Σχήµα 7.1: Ευθύ όριο επεκτάσεων σωµάτων. Χωρίς να µπούµε στις λεπτοµέρειες της κατασκευής, σηµειώνουµε ότι αν στην αλυσίδα ( ), οι εµφυτεύσεις είναι εγκλεισµοί, αν δηλ. για i 0, L i L i+1, τότε E = lim L i = i L i. Γενικότερα, µπορούµε να σκεφτούµε το ευθύ όριο των L i, ως την ένωση των L i, όπου όµως για κάθε j i, ταυτίζουµε τα στοιχεία των L i µε τις εικόνες τους στα L j. Ετσι, αν για κάποιο λόγο, η διαδοχική εφαρµογή του Θεωρήµατος 7.2.8, µας οδηγεί σε ένα σηµείο σταθερότητας m, όπου για κάθε i m, το L i = L m, όπως δείχνουµε στη παρακάτω αλυσίδα, F = L 0 L 1 L 2 L m L m τότε lim L i = L m. Θα αγνοήσουµε, για τις ανάγκες αυτού του κειµένου, τις περαιτέρω τεχνικότητες της κατασκευής και ϑα εστιάσουµε στη παρακάτω παρατήρηση : κάθε στοιχείο του E, προκύπτει από κάποια εµφύτευση φ i : L i E. Ετσι για οποιαδήποτε πεπε- ϱασµένη συλλογή στοιχείων του E µπορούµε να επιλέξουµε κατάλληλο µεγάλο δείκτη n και να ϑεωρήσουµε ότι όλα τα στοιχεία αυτής της συλλογής προέρχονται από εµφύτευση στοιχείων του L n. Θα δείξουµε τώρα ότι κάθε µη σταθερό πολυώνυµο στο E έχει µία ϱίζα στο E. Εστω, λοιπόν, p(x) = a i x i E[x], deg p(x) 1 και n ϕυσικός αριθµός, έτσι ώστε p(x) = φn (b i )x i, όπου b i L n. Θεωρούµε το πολυώνυµο q(x) = b i x i L n [x]. Παρατηρούµε ότι deg q(x) 1. Από το ϐήµα κατασκευής της αλυσίδας ( ), το q(x) έχει µία ϱίζα, έστω a, στο L n+1 [x]. Εποµένως, φn,n+1 (b i )a i = 0.

6 118 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάµπους Θεωρία Galois Σύµφωνα µε το αντιµεταθετικό διάγραµµα του Σχήµατος (7.1), προκύπτει ότι : ai φ n+1 (a) i = φ n+1 (φ n,n+1 (b i )) φ n+1 (a i ) = φ n+1 ( φ n,n+1 (b i )a i ) = 0 και εποµένως φ n+1 (a) είναι ϱίζα του p(x). Αποδείξαµε λοιπόν το παρακάτω συµπέρασµα : Θεώρηµα Εστω F σώµα. Υπάρχει αλγεβρικά κλειστό σώµα E, τέτοιο ώστε το F να εµφυτεύεται στο E. Αφού το C είναι αλγεβρικά πάνω από το R και το C είναι αλγεβρικά κλειστό, είναι ϕανερό ότι το C = R C. Το C είναι το µικρότερο αλγεβρικά κλειστό σώµα που περιέχει το R. Ορισµός Εστω L/F επέκταση σωµάτων. Το E λέγεται αλγεβρική ϑήκη (algebraic cover) του F αν το L είναι αλγεβρικά κλειστό και εάν η επέκταση του L/F είναι αλγεβρική. Οπως είδαµε προηγουµένως, το C είναι η αλγεβρική ϑήκη του R. Το επόµενο ϑεώρηµα αφορά την ύπαρξη αλγεβρικών ϑηκών. Θεώρηµα Εστω F σώµα. αλγεβρική ϑήκη του F. Υπάρχει επέκταση E/F έτσι ώστε το E να είναι η Απόδειξη. Από το Θεώρηµα 7.2.9, υπάρχει επέκταση E/F έτσι ώστε το E να είναι αλγεβρικά κλειστό. Θεωρούµε την αλγεβρική ϑήκη L του F στο E, δηλ. L = F E. Για να δείξουµε ότι L = L, πρέπει να δείξουµε ότι το L είναι αλγεβρικά κλειστό σώµα. Εστω p(x) L[x]. Τότε το p(x) E[x] και αφού το E είναι αλγεβρικά κλειστό, υπάρχει κάποια ϱίζα a του p(x) στο E. Εποµένως η επέκταση L(a)/L είναι αλγεβρική. Αφού η επέκταση L/F είναι επίσης αλγεβρική, συµπεραίνουµε ότι L(a)/F είναι αλγεβρική, ϐλ. Πρόταση Άρα a είναι αλγεβρικό πάνω από το F και εποµένως ανήκει στην αλγεβρική ϑήκη του F στο E. Συνεπώς a L και το L είναι αλγεβρικά κλειστό. Είναι η αλγεβρική ϑήκη µοναδική µε προσέγγιση F -ισοµορφίας ; Η απάντηση είναι ϑετική, όπως µπορεί να δείξει κανείς χρησιµοποιώντας το Λήµµα του Zorn. Πρώτα, όµως, είναι χρήσιµο να δείξουµε ότι, αν η E/F είναι αλγεβρική επέκταση σωµάτων και L/F ένα µία επέκταση σωµάτων, όπου L = L, τότε υπάρχει F -εµφύτευση φ : E L, όπου φ(c) = c, για κάθε c F. E φ L = L αλγεβρική φ F = id F F Σχήµα 7.2: F -εµφύτευση αλγεβρικής επέκτασης σε αλγεβρικά κλειστό σώµα

7 Κεφάλαιο 7. Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες 119 Η συνήθης τεχνική, για την απόδειξη της F -εµφύτευσης, είναι να ϑεωρήσει κανείς το µη κενό µερικά διατεταγµένο σύνολο Ω, µε στοιχεία Ϲεύγη (K, ψ), όπου K είναι ενδιάµεσο σώµα της επέκτασης E/F και ψ : K L µία F -εµφύτευση. Το σύνολο Ω είναι όντως µη κενό, αφού περιέχει το Ϲεύγος (F, i), όπου i είναι η εµφύτευση του F στο L. Η σχέση διάταξης στο Ω συγκρίνει ταυτόχρονα και τις δύο ενότητες του Ϲεύγους : (K 1, ψ 1 ) (K 2, ψ 2 ) αν K 1 K 2, και ψ 2 K1 = ψ 1. Στη συνέχεια ελέγχουµε ότι κάθε αλυσίδα στο Ω έχει άνω ϕράγµα, και συµπεραίνει ότι το Ω έχει µέγιστο στοιχείο, από το Λήµµα του Zorn. Τέλος, δείχνουµε ότι το µέγιστο στοιχείο του Ω είναι της µορφής (E, φ). Εφαρµόζοντας τα παραπάνω, όταν το E και το L είναι αλγεβρικές ϑήκες του F, προκύπτουν F -ισοµορφισµοί φ : E L και ψ : L E. Ετσι οδηγούµαστε στο συµπέρασµα της µοναδικότητας της αλγεβρικής ϑήκης. Ο αναγνώστης καλείται να συµπληρώσει τις λεπτοµέρειες της απόδειξης. Θεώρηµα Η αλγεβρική ϑήκη ενός σώµατος F είναι µοναδική µε προσέγγιση F - ισοµορφίας, δηλ. αν E 1 και E 2 είναι δύο αλγεβρικές ϑήκες του F τότε υπάρχει φ : E 1 E 2, τέτοια ώστε φ(c) = c, για κάθε c F. Ως τελευταία παρατήρηση, ας αναφέρουµε έναν ακόµη συλλογισµό εξηγώντας το γιατί δεν τον χρησιµοποιήσαµε για να επιχειρηµατολογήσουµε για την ύπαρξη της αλγεβρικής ϑήκης του F : έστω S η συλλογή S = {K : F/K αλγεβρική επέκταση του F }, µε σχέση διάταξης τον εγκλεισµό συνόλων. Τότε, η S περιέχει το F και κάθε αλυσίδα στην S K 1 K 2 έχει άνω ϕράγµα στο S το σύνολο K i. i Αποδεικνύεται ότι η K/F είναι αλγεβρική επέκταση σωµάτων. Από το Λήµµα του Zorn, προκύπτει ότι η S έχει µέγιστο στοιχείο E. Στη συνέχεια µπορεί να αποδειχθεί ότι το E είναι αλγεβρικά κλειστό και άρα είναι η αλγεβρική ϑήκη του F. Είναι, όµως, η συλλογή S όπως έχει οριστεί (και για να µπορούµε να εφαρµόσουµε το Λήµµα του Zorn) σύνολο, ή επισέρχονται τα παράδοξα της Θεωρίας Συνόλων ; Ξεφεύγει από τους στόχους του συγγράµµατος αυτό το ερώτηµα. Ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης µπορεί να µελετήσει περαιτέρω το ϑέµα. Για µία σχετική ιδέα αναφέρουµε και την άσκηση Ασκήσεις 1. Να αποδείξετε ότι κάθε αλγεβρικά κλειστό σώµα F είναι τέλειο. 2. Να δείξετε ότι Q( 3 2, 5, 7) είναι απλή επέκταση πάνω από το Q. 3. Να δείξετε ότι αν F = GF(p)(x p, y p ) και E = GF(p)(x, y) τότε η επέκταση E/F είναι πεπερασµένη. Οµως, το σώµα E δεν είναι απλή επέκταση του F.

8 120 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάµπους Θεωρία Galois 4. Να αποδείξετε ότι η επέκταση Q R /Q είναι άπειρη και αριθµήσιµη, δηλ. υπάρχει µία αριθµήσιµη ϐάση του σώµατος Q R πάνω από το Q. 5. Εστω F ένα πεπερασµένο σώµα. Να αποδείξετε ότι το F δεν είναι αλγεβρικά κλειστό. 6. Να αποδείξετε ότι η οµάδα Gal(C/Q) είναι άπειρη. (Σηµειώστε και την εκφώνηση της άσκησης ) Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 7 [1] Dummit, D.S., Foote, R.M. Abstract Algebra. J. Wiley and Sons, Inc, [2] Lang, S. Algebra. Springer, [3] Rotman, J. Θεωρία Galois. Leader Books, 2000.

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων.

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. Κεφάλαιο 4 Πεπερασµένα σώµατα Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. 4.1 Βασικές Εννοιες Εστω F ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο

Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο Κεφάλαιο 8 Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα Σε αυτό το κεφάλαιο αρχικά αποδεικνύουµε ότι υπάρχει επέκταση σωµάτων µε οµάδα Galois την S n. Για το σκοπό αυτό εξετάζουµε τα συµµετρικά πολυώνυµα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Κυκλοτοµικά πολυώνυµα. 5.1 Ρίζες της µονάδας. char F = p και ο p δεν διαιρεί τον n.

Κεφάλαιο 5. Κυκλοτοµικά πολυώνυµα. 5.1 Ρίζες της µονάδας. char F = p και ο p δεν διαιρεί τον n. Κεφάλαιο 5 Κυκλοτοµικά πολυώνυµα Σε αυτό το κεφάλαιο εφαρµόζουµε τη ϑεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στο Κεφάλαιο 3, για τα πολυώνυµα x n 1 και x n a. Επίσης εξετάζουµε τις κυκλοτοµικές, τις κυκλικές

Διαβάστε περισσότερα

Θεµελιώδες Θεώρηµα της Θεωρίας Galois

Θεµελιώδες Θεώρηµα της Θεωρίας Galois Κεφάλαιο 3 Θεµελιώδες Θεώρηµα της Θεωρίας Galois Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε λεπτοµερέστερα τις οµάδες Galois και µελετάµε τις επεκτάσεις ισοµορφισµών σωµάτων. Στη συνέχεια ορίζουµε τις επεκτάσεις Galois

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Σώµατα και ϐαθµοί επεκτάσεων. 2.1 Αλγεβρικά στοιχεία πάνω από ένα σώµα.

Κεφάλαιο 2. Σώµατα και ϐαθµοί επεκτάσεων. 2.1 Αλγεβρικά στοιχεία πάνω από ένα σώµα. Κεφάλαιο 2 Σώµατα και ϐαθµοί επεκτάσεων Στο κεφάλαιο αυτό µελετούµε τις επεκτάσεις σωµάτων. Ιδιαίτερα σηµαντικό εργαλείο για τη µελέτη µας αυτή είναι τα πολυώνυµα, έτσι ϑα εφαρµόσουµε το περιεχόµενο του

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

irr Q,b (x) = x 3 2, irr Q,ω (x) = x 2 + x + 1 irr (Q(ω),b) (x) = irr (Q,b) (x) = x 3 2,

irr Q,b (x) = x 3 2, irr Q,ω (x) = x 2 + x + 1 irr (Q(ω),b) (x) = irr (Q,b) (x) = x 3 2, Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 13 Δεκεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 3 Μεταθέσεις και ομάδες Galois 41 3.1 Οι ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

a pn 1 = 1 a pn = a a pn a = 0,

a pn 1 = 1 a pn = a a pn a = 0, Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 14 Ιανουαρίου 2015 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 60

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville

Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Υπερβατικοί Αριθµοί και Θεώρηµα του Liouville Χρήστος Κονταράτος 14 Νοεµβρίου 2014 1 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 3 2 Το Θεώρηµα του Liouville 4 3 Η Υπερβατικότητα του ξ 6 4 Αριθµοί του Liouville 8 2 1 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εφαρµογές. 6.1 Επιλυσιµότητα µε ϱιζικά. F = F 0 F 1 F i F i+1 F s = E, ( ) F i+1 = F i ( n i ai ), a i F i [x].

Κεφάλαιο 6. Εφαρµογές. 6.1 Επιλυσιµότητα µε ϱιζικά. F = F 0 F 1 F i F i+1 F s = E, ( ) F i+1 = F i ( n i ai ), a i F i [x]. Κεφάλαιο 6 Εφαρµογές Στο Κεφάλαιο αυτό ϑα χρησιµοποιήσουµε τα εργαλεία της Θεωρίας Galois, για να απαντήσουµε σε ερωτήµατα που ϑέσαµε στην αρχή του συγγράµµατος. Ετσι, δοθέντος ενός πολυωνύµου, ϑα ϐρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m )

f(n) = a n f(n + m) = a n+m = a n a m = f(n)f(m) f(a n ) = b n f : G 1 G 2, f(a n a m ) = f(a n+m ) = b n+m = b n b m = f(a n )f(a m ) 302 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες ως προς τη σχέση ισοµορφίας. Ε- πίσης ϑα αποδείξουµε ένα σηµαντικό κριτήριο ισοµορφίας

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Κεφάλαιο 10 Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε ειδικούς τύπους ιδεωδών σε έναν δακτύλιο και την επίδραση που έχουν οι επιπλέον ιδιότητες τις οποίες ικανοποιούν τα ιδεώδη αυτά

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p.

Κεφάλαιο 9. Οµάδες συγκεκριµένης τάξης. 9.1 Οµάδες τάξης pq. Z p 2 και Z p Z p. Κεφάλαιο 9 Οµάδες συγκεκριµένης τάξης Στο κεφάλαιο αυτό ϑα εφαρµόσουµε τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κεφάλαια για να περιγράψουµε οµάδες τάξης pq, όπου p, q είναι διακεκριµένοι πρώτοι αριθµοί,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Προκαταρκτικά Σώµα = Αντιµεταθετικό σώµα, χαρακτηριστικής µηδενός Τα σώµατα αυτά καλούνται και αριθµητικά σώµατα Θα τα συµβολίζουµε µε τα γράµµατα F, F, L κλπ Έστω ότι κάποια ανάγκη

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Στο εδάφιο αυτό ϑα περιγράψουµε τα τρία ϐασικά ϑέµατα που ϑα µας απασχολήσουν σε αυτό το κείµενο :

Στο εδάφιο αυτό ϑα περιγράψουµε τα τρία ϐασικά ϑέµατα που ϑα µας απασχολήσουν σε αυτό το κείµενο : Κεφάλαιο 1 Βασικές Εννοιες Στο Κεφάλαιο αυτό δίνουµε τις απαραίτητες προκαταρτικές γνώσεις από τη ϑεωρία πολυωνύµων και τη ϑεωρία σωµάτων που απαιτούνται για τα επόµενα κύρια κεφάλαια. Στο Εδάφιο 1.1 παρουσιάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi07/asi07.html Παρασκευή 9 Μαίου 07 Για κάθε µετάθεση

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου ακαδηµαϊκού έτους 29-2 Τρίτη, 3 Αυγούστου 2 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2 Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 11 Νοεμβρίου 2014 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi06/asi06.html Πέµπτη Απριλίου 06 Ασκηση. Θεωρούµε τα

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγικές Εννοιες. 1.1 Σύνολα Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Εννοιες Σ αυτό το κεφάλαιο ϑα αναφερθούµε συνοπτικά σε ϐασικές έννοιες για σύνολα και απεικονίσεις. Επιπλέον, ϑα αναφερθούµε στη µέθοδο της επαγωγής, η οποία αποτελεί µία από τις

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Διανυσµατικοί Υποχώροι και Κατασκευές Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 ιανυσµατικοι Υποχωροι και Κατασκευες Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης

Θεωρια Αριθµων. Θεωρητικα Θεµατα. Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Θεωρια Αριθµων Θεωρητικα Θεµατα Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης & Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 2 Απριλίου 2013 Το παρόν κείµενο

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenius ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: Επαγόµενοι Χαρακτήρες και το Θεώρηµα του Frobenus Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε τους επαγόµενους αρακτήρες µε τη βοήθεια των οποίων αποδεικνύουµε το θεώρηµα των συµπληρωµάτων του Frobenus Οι

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιμοποιώντας τανυστικά γινόμενα και εφαρμόζοντας το θεώρημα των Wedderbur-Art ( 33) θα αποδείξουμε δύο θεμελιώδη θεωρήματα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις

Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Κεφάλαιο 1 Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα αναπτύξουµε τα ϐασικά στοιχεία από τη ϑεωρία σχέσεων µερικής διάταξης, σχέσεων ισοδυναµίας και διαµερίσεων οι οποίες ορίζονται επί ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Πολυωνυµικές σχέσεις - πολυώνυµα µίας µεταβλητής Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Σηµειώσεις, Άνοιξη 2016 (σε εξέλιξη) Χαρά Χαραλαµπους Τµήµα Μαθηµατικών, ΑΠΘ Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1: 3 1.1 Απαρχές της Αντιµεταθετικής Άλγεβρας...................

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα