ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Διπλωματική Εργασία Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Διπλωματική Εργασία Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης"

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διπλωματική Εργασία Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης «Γλωσσικά μοντέλα μορφολογικά περίπλοκων γλωσσών» Δημήτρης Μπαμπανιώτης Επιβλέπων: Ίων Ανδρουτσόπουλος Βοηθός Επιβλέπων: Δημήτρης Μαυροειδής ΑΘΗΝΑ, ΙΟΥΝΙΟΣ 2012

2 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή Θεωρητικό Υπόβαθρο Στατιστικά γλωσσικά μοντέλα Εξομάλυνση Good Turing Εντροπία και διασταυρωμένη εντροπία Εντροπία γλώσσας Διασταυρωμένη εντροπία και περιπλοκή γλωσσικού μοντέλου Πειράματα με Δείκτη Αξιολόγησης την Περιπλοκή Σύνολα δεδομένων Πειράματα με μοντέλα n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων Πειράματα με μοντέλα n-γραμμάτων ψευδο-καταλήξεων Πειράματα με μοντέλα n-γραμμάτων ψευδο-θεμάτων Πειράματα με τον πιθανοτικό ταξινομητή του Lang Πειράματα με μοντέλα n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων και περιορισμένο λεξιλόγιο Πειράματα αξιολόγησης γλωσσικών μοντέλων μέσω ενσωμάτωσής τους σε συστήματα μηχανικής μετάφρασης Πειράματα Πειράματα χωρίς γλωσσικό μοντέλο Πειράματα με μοντέλο n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων Πειράματα με μοντέλο n-γραμμάτων ψευδο-καταλήξεων Πειράματα με μοντέλο n-γραμμάτων ψευδο-θεμάτων Πειράματα με συνδυασμό μοντέλου n-γραμμάτων ψευδο-θεμάτων και μοντέλου n-γραμμάτων ψευδο-καταλήξεων

3 4.1.6 Πειράματα με συνδυασμό μοντέλου n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων και μοντέλου n-γραμμάτων ψευδο-καταλήξεων Πειράματα με συνδυασμό μοντέλου n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων και μοντέλου n-γραμμάτων ψευδο-θεμάτων Πειράματα με συνδυασμό μοντέλου n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων, μοντέλου n-γραμμάτων ψευδο-θεμάτων και μοντέλου n-γραμμάτων ψευδοκαταλήξεων Συμπέρασμα πειραμάτων μέτρησης BLEU Συμπεράσματα και Μελλοντικές Κατευθύνσεις Έρευνας Βιβλιογραφία

4 1. Εισαγωγή Σκοπός της εργασίας ήταν να διερευνήσει τις επιδόσεις υπαρχόντων στατιστικών γλωσσικών μοντέλων, κυρίως μοντέλων n-γραμμάτων, σε γλώσσες με μορφολογικές διαφορές, ιδιαίτερα γλώσσες με περίπλοκη μορφολογία (π.χ. κλίσεις ουσιαστικών, ρημάτων κλπ.) όπως τα ελληνικά. Πιο συγκεκριμένα, αρχικά δημιουργήθηκαν στατιστικά γλωσσικά μοντέλα n- γραμμάτων για τα ελληνικά, αγγλικά, γερμανικά και ισπανικά, χρησιμοποιώντας το ιδιαίτερα διαδεδομένο εργαλείο κατασκευής γλωσσικών μοντέλων SRILM και το σώμα κειμένων Europarl, που περιλαμβάνει κείμενα από τα πρακτικά του Ευρωπαϊκού Κοινοβουλίου σε πολλές γλώσσες 1 Τα γλωσσικά αυτά μοντέλα αξιολογήθηκαν βάσει της περιπλοκής τους (perplexity). Στη συνέχεια, με τον ίδιο τρόπο δημιουργήθηκαν και αξιολογήθηκαν στατιστικά γλωσσικά μοντέλα n- γραμμάτων χρησιμοποιώντας, όμως, τώρα μόνο τις ψευδο-καταλήξεις και τα ψευδοθέματα των λέξεων ονομάζουμε ψευδο-καταλήξεις και ψευδο-θέματα τα τελευταία τρία και τα πρώτα τρία, αντίστοιχα, γράμματα των λέξεων. Επίσης, αξιολογήθηκε στο ίδιο σώμα κειμένων το γλωσσικό μοντέλο του Lang (2011), το οποίο υποστηρίζεται από το SRILM και βασίζεται σε έναν πιθανοτικό ταξινομητή. Κατόπιν ενσωματώθηκαν τα παραπάνω γλωσσικά μοντέλα (και συνδυασμοί τους) στο σύστημα στατιστικής μηχανικής μετάφρασης MOSES. 2 Τα συστήματα μηχανικής μετάφρασης χρησιμοποιούν, μεταξύ άλλων, γλωσσικά μοντέλα (της γλώσσαςστόχου) και ο σκοπός αυτού του σταδίου της εργασίας ήταν να διερευνήσει ποια από τα παραπάνω γλωσσικά μοντέλα (ή συνδυασμοί τους) βοηθούν περισσότερο ένα σύστημα μηχανικής μετάφρασης να παραγάγει καλύτερες μεταφράσης. Η ποιότητα των παραγόμενων μεταφράσεων αξιολογήθηκε με το δείκτη BLEU, που συγκρίνει τις παραγόμενες μεταφράσεις με μεταφράσεις ανθρώπων μεταφραστών. Το υπόλοιπο κείμενο της εργασίας είναι διαρθρωμένο ως εξής: το κεφάλαιο 2 εξηγεί περιληπτικά βασικές έννοιες των στατιστικών γλωσσικών μοντέλων το κεφάλαιο 3 παρουσιάζει τα πειράματα με τα οποία μετρήθηκε η περιπλοκή των διάφορων 1 Βλ. και 2 Βλ. 4

5 γλωσσικών μοντέλων το κεφάλαιο 4 παρουσιάζει τα πειράματα με τα οποία μετρήθηκε ο δείκτης BLEU του MOSES με διαφορετικά γλωσσικά μοντέλα ή συνδυασμούς τους και το κεφάλαιο 5 συνοψίζει τα αποτελέσματα της εργασίας και προτείνει μελλοντικές κατευθύνσεις έρευνας. 5

6 2. Θεωρητικό Υπόβαθρο Το κεφάλαιο αυτό εξηγεί περιληπτικά βασικές έννοιες των στατιστικών γλωσσικών μοντέλων. Περισσότερες πληροφορίες για τα στατιστικά γλωσσικά μοντέλα, αλλά και τα συστήματα στατιστικής μηχανικής μετάφρασης, παρέχει το βιβλίο των Jurafsky και Martin (2009), καθώς και το βιβλίο του (Koehn, 2010) Στατιστικά γλωσσικά μοντέλα Ένα στατιστικό γλωσσικό μοντέλο προσπαθεί να εκτιμήσει την πιθανότητα εμφάνισης μιας δεδομένης ακολουθίας λέξεων (π.χ. μιας προτάσεως). Χρησιμοποιούμε το συμβολισμό ως συντομογραφία του. Η πιθανότητα εμφάνισης μιας ακολουθίας λέξεων είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Τα γλωσσικά μοντέλα n-γραμμάτων κάνουν την παραδοχή ότι ( ) ( ). Για παράδειγμα, στην περίπτωση ενός μοντέλου 2-γραμμάτων έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) όπου θεωρούμε ότι κάθε ακολουθία λέξεων ξεκινά με την ψευδο-λέξη. Ομοίως, στην περίπτωση μοντέλου 3-γραμμάτων έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) όπου θεωρούμε ότι κάθε ακολουθία λέξεων ξεκινά με τις ψευδο-λέξεις και. 2.2 Εξομάλυνση Good Turing Οι παραπάνω πιθανότητες εκτιμώνται από ένα σώμα κειμένων εκπαίδευσης. Προκειμένου να αποφευχθούν μηδενικές εκτιμήσεις πιθανοτήτων για n-γράμματα που δεν εμφανίζονται στο σώμα εκπαίδευσης, χρησιμοποιούνται διάφορες τεχνικές εξομάλυνσης των πιθανοτήτων. 3 Βλ. επίσης τις σχετικές διαφάνειες του Ι. Ανδρουτσόπουλου για το μάθημα «Γλωσσική Τεχνολογία» του ΟΠΑ (http://eclass.aueb.gr/courses/inf210/). 6

7 Μεταξύ των πιο διαδεδομένων στα γλωσσικά μοντέλα είναι η εξομάλυνση Good Turing. Αν δεν έχουμε συναντήσει μια λέξη w στο σώμα εκπαίδευσης, θέτουμε: ( ) όπου N 1 είναι ο αριθμός των (διαφορετικών) λέξεων που έχουμε συναντήσει ακριβώς μία φορά στο σώμα εκπαίδευσης («άπαξ λεγόμενα») και C είναι το σύνολο των εμφανίσεων λέξεων (word occurrences) του σώματος εκπαίδευσης. Με άλλα λόγια, η πιθανότητα να συναντήσουμε μια λέξη που δεν έχουμε ξανασυναντήσει θεωρούμε ότι ισούται με την πιθανότητα να συναντήσουμε μια λέξη που έχουμε συναντήσει μία μόνο φορά. Στην περίπτωση που έχουμε συναντήσει την w ακριβώς c φορές (c > 0) στο σώμα εκπαίδευσης, τότε ο τύπος που χρησιμοποιούμε είναι: ( ) όπου είναι ο αριθμός των (διαφορετικών) λέξεων που έχουμε συναντήσει ακριβώς c + 1 φορές και είναι ο αριθμός των (διαφορετικών) λέξεων που έχουμε συναντήσει ακριβώς c φορές. Ομοίως, αν δεν έχουμε συναντήσει κατά την εκπαίδευση την ακολουθία θεωρούμε ότι:, τότε ( ) ( ) όπου εδώ είναι ο αριθμός των (διαφορετικών) 3-γραμμάτων που έχουμε συναντήσει ακριβώς μία φορά στο σώμα εκπαίδευσης και ( ) είναι ο αριθμός εμφανίσεων του 2- γράμματος στο σώμα εκπαίδευσης. Διαφορετικά, αν έχουμε ξανασυναντήσει κατά την εκπαίδευση την ακολουθία, τότε: ( ) ( ) όπου εδώ το είναι ο αριθμός των 3-γραμμάτων που έχουμε συναντήσει c + 1 φορές. Αντίστοιχα ορίζονται οι πιθανότητες για 4-γράμματα, 5-γράμματα κλπ. 7

8 2.3 Εντροπία και διασταυρωμένη εντροπία Η Εντροπία μιας τυχαίας μεταβλητής C δείχνει πόσο αβέβαιοι είμαστε για την τιμή της C, ισοδύναμα πόση είναι η αναμενόμενη ελάχιστη ποσότητα πληροφορίας (μετρούμενη σε δυφία (bits) και χρησιμοποιώντας τη ιδανική κωδικοποίηση) που πρέπει να μας δοθεί για να γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή της C. Ο τύπος της εντροπίας είναι: ( ) ( ) ( ) όπου είναι οι δυνατές τιμές της C και ( ) είναι ο αριθμός των διφύων που απαιτούνται για τη μετάδοση του, όταν χρησιμοποιείται η ιδανική κωδικοποίηση. Αν έχουμε κωδικοποίηση βασισμένη σε μη ακριβείς εκτιμήσεις πιθανοτήτων P m αντί των σωστών P, τότε θα χρειαστεί να μεταδώσουμε περισσότερα δυφία. Ο αναμενόμενος αριθμός δυφίων που θα χρειαστεί να μεταδώσουμε δίδεται από τον παρακάτω τύπο της διασταυρωμένης εντροπίας (cross-entropy): ( ) ( ) ( ) Η διασταυρωμένη εντροπία μιας τυχαίας μεταβλητής είναι πάντα μεγαλύτερη από (ή ίση με) την εντροπία της. Αν έχουμε δύο μοντέλα ( ) ( ), ακριβέστερες εκτιμήσεις των πραγματικών ( ) δίνει το μοντέλο με τη χαμηλότερη διασταυρωμένη εντροπία. 2.4 Εντροπία γλώσσας Στην περίπτωση που αντί για μια τυχαία μεταβλητή C έχουμε τις τυχαίες μεταβλητές που αντιστοιχούν σε ακολουθίες λέξεων μιας γλώσσας L, τότε η εντροπία της ακολουθίας τυχαίων μεταβλητών είναι: ( ) ( ) ( ) ( ) όπου ( ) είναι το λεξιλόγιο της L. Η εντροπία ( ) δείχνει πόσο αβέβαιοι είμαστε για το ποια ακριβώς ακολουθία λέξεων θα προκύψει, αν διαλέξουμε στην τύχη μια ( ) 8

9 ακολουθία λέξεων από ένα μεγάλο σώμα κειμένων της γλώσσας L. Συνήθως η παραπάνω εντροπία κανονικοποιείται ως προς το μήκος της ακολουθίας (per word entropy): ( ) ( ) ( ) ( ) Η εντροπία μιας γλώσσας L ορίζεται ως εξής: 1 n L lim H( W1 L) n n ( ) ( ) ( ) Αποδεικνύεται (για στάσιμες και εργοδικές γλώσσες) ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο μία, αλλά πολύ μεγάλη, ακολουθία Ν λέξεων της γλώσσας (π.χ. ένα μεγάλο σώμα κειμένων) για να εκτιμήσουμε την εντροπία της γλώσσας. 2.5 Διασταυρωμένη εντροπία και περιπλοκή γλωσσικού μοντέλου Αν έχουμε δύο γλωσσικά μοντέλα ( ) ( ) για μια γλώσσα L, καλύτερο είναι το μοντέλο με τη χαμηλότερη διασταυρωμένη εντροπία. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9

10 Επειδή οι τιμές της διασταυρωμένης εντροπίας είναι πολύ κοντά στο 0 συνήθως δημοσιεύονται αποτελέσματα περιπλοκής (perplexity). Η περιπλοκή ενός γλωσσικού μοντέλου ( ) ορίζεται ως εξής: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Οπότε, αν χρησιμοποιούμε, π.χ., μοντέλο 2-γραμμάτων, η περιπλοκή του είναι: ( ) Όσο μικρότερη είναι η περιπλοκή, τόσο καλύτερο είναι το γλωσσικό μοντέλο που εξετάζουμε. Σε ένα μοντέλο n-γραμμάτων, μπορεί επίσης να σκεφτεί κανείς την περιπλοκή (και τη διασταυρωμένη εντροπία) ως ένα μέτρο του κατά πόσον το γλωσσικό μοντέλο προβλέπει με βεβαιότητα την κάθε λέξη, δεδομένων των προηγούμενων n 1. 10

11 3. Πειράματα με Δείκτη Αξιολόγησης την Περιπλοκή Όπως προαναφέρθηκε, στη διάρκεια της εργασίας αξιολογήθηκαν μοντέλα n-γραμμάτων (για n = 3, 4, 5) ολόκληρων λέξεων, ψευδο-καταλήξεων (τρία τελευταία γράμματα των λέξεων), ψευδο-θεμάτων (τρία πρώτα γράμματα), καθώς και το μοντέλο του Lang (2011). Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται πειράματα με τα οποία μετρήθηκε η περιπλοκή των γλωσσικών αυτών μοντέλων, για μεταβλητό μέγεθος σώματος εκπαίδευσης. Χρησιμοποιήθηκαν οι υλοποιήσεις των γλωσσικών μοντέλων που παρέχει το SRILM. 3.1 Σύνολα δεδομένων Τα πειράματα αυτού του κεφαλαίου έγιναν σε κείμενα του Europarl, που περιλαμβάνει πρακτικά των συνεδριάσεων του Ευρωπαϊκού Κοινοβουλίου (Koehn, 2005). Πιο συγκεκριμένα, χρησιμοποιήθηκε ένα υποσύνολο του Europarl σε τέσσερις γλώσσες, τα ελληνικά, αγγλικά, γερμανικά και ισπανικά. Χρησιμοποιώντας τα εργαλεία προ-επεξεργασίας του συστήματος μηχανικής μετάφρασης MOSES (Koehn κ.ά. 2007), τα κείμενα χωρίστηκαν σε προτάσεις, διαχωρίστηκαν οι λεκτικές μονάδες (tokenization) και όλα τα γράμματα μετατράπηκαν σε πεζά. Για την περαιτέρω επεξεργασία των κειμένων (π.χ. την μετατροπή των λέξεων σε ψευδοκαταλήξεις ή ψευδο-θέματα), αναπτύχθηκε πρόσθετο λογισμικό σε Java. Για την πραγματοποίηση των πειραμάτων αυτού του κεφαλαίου, χρησιμοποιήθηκαν 1,000,000 προτάσεις εκπαίδευσης (κάθε φορά της γλώσσας στην οποία εκπαιδευόταν το γλωσσικό μοντέλο) και 20,000 προτάσεις αξιολόγησης (της ίδιας γλώσσας, χωρίς επικάλυψη με τις προτάσεις εκπαίδευσης). Επαναλάβαμε κάθε πείραμα πολλές φορές, χρησιμοποιώντας σε κάθε επανάληψη ένα διαφορετικό ποσοστό των προτάσεων εκπαίδευσης, αλλά το ίδιο πάντα σύνολο προτάσεων αξιολόγησης. Στα παρακάτω διαγράμματα, ο κατακόρυφος άξονας παριστάνει την περιπλοκή που πετυχαίνει το γλωσσικό μοντέλο στα δεδομένα αξιολόγησης, ενώ ο οριζόντιος άξονα παριστάνει το ποσοστό των προτάσεων εκπαίδευσης που έχει χρησιμοποιηθεί για την εκπαίδευση του γλωσσικού μοντέλου. 11

12 3.2 Πειράματα με μοντέλα n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων Αρχικά εξετάστηκε η περιπλοκή γλωσσικών μοντέλων n-γραμμάτων (για n = 3, 4, 5), χρησιμοποιώντας ακέραιες λέξεις (π.χ. χωρίς αποκοπή καταλήξεων), με εξομάλυνση Good- Turing. Υπενθυμίζεται ότι όσο πιο μικρή είναι η περιπλοκή, τόσο καλύτερο είναι το γλωσσικό μοντέλο. Αρχικός στόχος ήταν να επιβεβαιωθεί η υπόθεσή μας ότι ένα μοντέλο n-γραμμάτων θα έχει χειρότερες επιδόσεις σε γλώσσες με πιο περίπλοκη μορφολογία (π.χ. ελληνικά, γερμανικά) και καλύτερες επιδόσεις σε γλώσσες με απλούστερη μορφολογία (π.χ. αγγλικά, ισπανικά), επειδή όσο πιο περίπλοκη μορφολογικά είναι μια γλώσσα (δηλαδή όσο πιο πολλούς τύπους διαθέτει κάθε λήμμα) τόσο πιο δύσκολη θα γίνεται η εκτίμηση των πιθανοτήτων των n- γραμμάτων (π.χ. θα αυξάνονται τα n-γράμματα των προτάσεων αξιολόγησης που δεν θα τα έχουμε συναντήσει κατά την εκπαίδευση). Τα επόμενα διαγράμματα παρουσιάζουν τα αποτελέσματα αυτών των πειραμάτων για μοντέλα 3-γραμμάτων, 4-γραμμάτων και 5-γραμμάτων, αντίστοιχα. Βλέπουμε ότι επιβεβαιώνεται η υπόθεσή μας. Η περιπλοκή των μοντέλων στα ελληνικά είναι πάντα χειρότερη (μεγαλύτερη) της περιπλοκής των ίδιων μοντέλων στα αγγλικά και τα ισπανικά. Ομοίως, η περιπλοκή των μοντέλων στα γερμανικά είναι πάντα χειρότερη της περιπλοκής στα αγγλικά και τα ισπανικά. Μεταξύ αγγλικών και ισπανικών, η διαφορά στην περιπλοκή είναι μικρή, ενώ μεταξύ γερμανικών και ελληνικών, η περιπλοκή είναι μεγαλύτερη στα γερμανικά, ενδεχομένως λόγω των πολύ περισσότερων σύνθετων λέξεων των γερμανικών. Επίσης, όπως θα περίμενε κανείς τα αποτελέσματα που επιτυγχάνουν τα μοντέλα 4-γραμμάτων είναι ελαφρά καλύτερα από τα αποτελέσματα των αντίστοιχων μοντέλων 3-γραμμάτων, αλλά οι διαφορές μεταξύ μοντέλων 4- γραμμάτων και 5-γραμμάτων είναι πολύ μικρές ή ανύπαρκτες. 12

13 13

14 14

15 15

16 3.3 Πειράματα με μοντέλα n-γραμμάτων ψευδο-καταλήξεων Στα παρακάτω πειράματα μετρήθηκε η περιπλοκή των ίδιων μοντέλων n-γραμμάτων που είχαν χρησιμοποιηθεί και στην προηγούμενη ενότητα, αλλά τώρα τα μοντέλα εκπαιδεύονταν και αξιολογούνταν σε κείμενα στα οποία όλες οι λέξεις είχαν αντικατασταθεί από τις ψευδο-καταλήξεις τους (τελευταία τρία γράμματα). Ο σκοπός αυτών των πειραμάτων ήταν να επιβεβαιωθεί η υπόθεσή μας ότι στις μορφολογικά πιο περίπλοκες γλώσσες, οι καταλήξεις μεταφέρουν περισσότερη πληροφορία (π.χ. για το μέρος του λόγου, τον αριθμό, την πτώση κλπ. μιας κλιτής λέξης), με αποτέλεσμα να μπορεί κανείς να προβλέψει ευκολότερα (μικρότερη περιπλοκή) την κατάληξη της επόμενης λέξης από τις καταλήξεις των προηγούμενων λέξεων, σε σχέση με τις προβλέψεις που μπορεί να κάνει κανείς για τις καταλήξεις μορφολογικά πιο απλών γλωσσών. Αν η υπόθεση αυτή είναι σωστή, τότε ενδέχεται τα γλωσσικά μοντέλα καταλήξεων να δίνουν επίσης μια καλή εκτίμηση της φυσικότητας (πιθανότητας εμφάνισης) μιας ακολουθίας λέξεων, παρ όλο που δεν εξετάζουν τα θέματα των λέξεων. Για παράδειγμα, ένα μοντέλο 2-γραμμάτων ψευδο-καταλήξεων (ως τριών τελευταίων γραμμάτων) ενδεχομένως θα έδινε χαμηλή πιθανότητα στην λανθασμένη πρόταση: «Οι αναγνώστης διαβάζουν τα κείμενο» παρ όλο που εξετάζει μόνο τις καταλήξεις των λέξεων, δηλαδή την ακολουθία: «Οι της ουν τα ενο» αν τα ζεύγη διαδοχικών ψευδο-καταλήξεων «οι της», «της ουν», «τα ενο» είναι σπάνια. Κάτι τέτοιο θα ήταν ενδεχομένως χρήσιμο σε ένα σύστημα μηχανικής μετάφρασης που μεταφράζει προς τα ελληνικά, αφού το μοντέλο καταλήξεων θα μπορούσε να απορρίψει (λόγω χαμηλής πιθανότητας) τη λανθασμένη πρόταση, εξετάζοντας μόνο τις ψευδο-καταλήξεις των λέξεών της. Τα επόμενα διαγράμματα παρουσιάζουν τα αποτελέσματα αυτών των πειραμάτων για μοντέλα 3-γραμμάτων, 4-γραμμάτων και 5-γραμμάτων ψευδο-καταλήξεων. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι τα ελληνικά μοντέλα n-γραμμάτων καταλήξεων έχουν 16

17 καλύτερη (χαμηλότερη) περιπλοκή από τα αντίστοιχα των αγγλικών και είναι παρόμοια με των ισπανικών, δηλαδή επιβεβαιώνουν την υπόθεση ότι η πρόβλεψη καταλήξεων είναι ευκολότερη στα ελληνικά, συγκρινόμενη με την πρόβλεψη καταλήξεων στα αγγλικά και εξίσου εύκολη στα ισπανικά, ενώ αντίθετα η περιπλοκή των αντιστοίχων μοντέλων n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων ήταν χειρότερη (υψηλότερη) στα ελληνικά και καλύτερη στα αγγλικά και τα ισπανικά (βλ. διαγράμματα προηγούμενης ενότητας). Τα αποτελέσματα των επόμενων διαγραμμάτων δείχνουν, επίσης, ότι η περιπλοκή των μοντέλων n-γραμμάτων καταλήξεων είναι καλύτερη (χαμηλότερη) στα ελληνικά συγκρινόμενη με τα γερμανικά, κάτι που συνέβαινε και με τα μοντέλα n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων. Αντίθετα από την υπόθεσή μας, όμως, τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η πρόβλεψη καταλήξεων στα μορφολογικά περίπλοκα γερμανικά δεν είναι ευκολότερη από την πρόβλεψη καταλήξεων στα μορφολογικά απλούστερα αγγλικά. Είναι επίσης σημαντικό να τονιστεί ότι τα αποτελέσματα περιπλοκής της προηγούμενης ενότητας (ολόκληρες λέξεις) δεν είναι απευθείας συγκρίσιμα με τα αποτελέσματα περιπλοκής αυτής της ενότητας (ψευδο-καταλήξεις), γιατί πρόκειται ουσιαστικά για μοντέλα διαφορετικών γλωσσών (π.χ. της γλώσσας των ελληνικών ψευδο-καταλήξεων, αντί της γλώσσας των ολόκληρων ελληνικών λέξεων). 17

18 18

19 19

20 20

21 3.4 Πειράματα με μοντέλα n-γραμμάτων ψευδο-θεμάτων Στα παρακάτω πειράματα μετρήθηκε η περιπλοκή των ίδιων μοντέλων n-γραμμάτων που είχαν χρησιμοποιηθεί και στην προηγούμενη ενότητα, αλλά τώρα τα μοντέλα εκπαιδεύονταν και αξιολογούνταν σε κείμενα στα οποία όλες οι λέξεις είχαν αντικατασταθεί από τα ψευδο-θέματά τους (τα πρώτα τρία γράμματα). Ο σκοπός αυτών των πειραμάτων ήταν να διερευνηθεί αν κρατώντας μόνο τα ψευδο-θέματα των λέξεων (αγνοώντας, δηλαδή, προσεγγιστικά τις καταλήξεις) βελτιώνεται η περιπλοκή στις μορφολογικά περίπλοκες γλώσσες, όπου υπάρχουν πολλοί τύποι κάθε λήμματος, οι οποίοι διαφέρουν συχνά κυρίως στις καταλήξεις τους. Τα επόμενα διαγράμματα παρουσιάζουν τα αποτελέσματα αυτών των πειραμάτων για μοντέλα 3-γραμμάτων, 4-γραμμάτων και 5-γραμμάτων ψευδο-θεμάτων. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι, πράγματι, όταν λαμβάνονται υπόψη μόνο τα ψευδο-θέματα, η περιπλοκή στα ελληνικά είναι καλύτερη (χαμηλότερη) από την περιπλοκή στα (μορφολογικά απλούστερα) αγγλικά και ισπανικά, αντίθετα από ό,τι συνέβαινε στην περίπτωση των μοντέλων που εκπαιδεύονταν σε ολόκληρες λέξεις. Η διαφορά της περιπλοκής μεταξύ γερμανικών και αγγλικών επίσης μειώνεται πολύ, όταν χρησιμοποιούνται ψευδο-θέματα αντί για ολόκληρες λέξεις. Και πάλι, όμως, είναι σημαντικό να τονιστεί ότι τα αποτελέσματα περιπλοκής αυτής και των προηγούμενων δύο ενοτήτων (ολόκληρες λέξεις, ψευδο-καταλήξεις, ψευδο-θέματα) δεν είναι απευθείας συγκρίσιμα, γιατί πρόκειται ουσιαστικά για μοντέλα διαφορετικών γλωσσών (π.χ. της γλώσσας των ελληνικών ψευδο-θεμάτων ή ψευδο-καταλήξεων, αντί της γλώσσας των ολόκληρων ελληνικών λέξεων). 21

22 22

23 23

24 24

25 3.5 Πειράματα με τον πιθανοτικό ταξινομητή του Lang Στα πειράματα αυτής της ενότητας επαναλήφθηκαν τα πειράματα με τις ολόκληρες λέξεις, αλλά αυτή τη φορά χρησιμοποιώντας το μοντέλο του Lang (2011). Το μοντέλο αυτό είναι παρόμοιο με ένα μοντέλο n-γραμμάτων, αλλά χρησιμοποιεί έναν πιθανοτικό ταξινομητή, παρόμοιο με ταξινομητή μεγίστης εντροπίας (maximum entropy), για να υπολογίζει τις πιθανότητες ( ). Ο ταξινομητής εκτιμά κάθε ( ), δηλαδή εκτιμά πόσο πιθανό είναι να εμφανιστεί η λέξη μετά την «ιστορία», βασιζόμενος σε χαρακτηριστικά (features) που εξάγονται από τις λέξεις της ιστορίας αλλά και από τα ευρύτερα συμφραζόμενα της δείτε την εργασία του Lang (2011) για περισσότερες πληροφορίες. Ο Lang (2011) έχει δημοσιεύσει αποτελέσματα που δείχνουν ότι το μοντέλο του επιτυγχάνει καλύτερες επιδόσεις από εκείνες των κλασικών μοντέλων n-γραμμάτων. Θέλαμε να επιβεβαιώσουμε το συμπέρασμα αυτό, αλλά και να διερευνήσουμε τις επιδόσεις του μοντέλου του Lang σε μορφολογικά περίπλοκες γλώσσες. Τα επόμενα διαγράμματα παρουσιάζουν τα αποτελέσματα αυτών των πειραμάτων για μοντέλα 3-γραμμάτων, 4-γραμμάτων και 5-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων με το μοντέλο του Lang. Τα αποτελέσματα φαίνεται να επιβεβαιώνουν τους ισχυρισμούς του Lang. Για παράδειγμα, η περιπλοκή των ελληνικών όταν χρησιμοποιούνται 3-γράμματα καταλήγει να είναι περίπου 40 με το μοντέλο του Lang, ενώ η αντίστοιχη τιμή με το κλασικό μοντέλο n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων ήταν περίπου 70. Μάλιστα η περιπλοκή των ελληνικών φαίνεται να είναι καλύτερη (χαμηλότερη) της περιπλοκής των αγγλικών. Σημειώνουμε, όμως, ότι το μοντέλο του Lang χρησιμοποιεί ένα περιορισμένο λεξιλόγιο, το οποίο επιλέγεται κατά την εκπαίδευση, ώστε να περιλαμβάνει μόνο συχνές λέξεις. 4 Όποια λέξη δεν ανήκει στο λεξιλόγιο, αντικαθίσταται από την ψευδο-λέξη UNK (unknown, άγνωστη). Με τον τρόπο αυτό, όμως, κατασκευάζεται ουσιαστικά ένα γλωσσικό μοντέλο για απλοποιημένες γλώσσες, στις οποίες οι πιο σπάνιες λέξεις έχουν 4 Στα πειράματα αυτής της ενότητας, το λεξιλόγιο επελέγη από προτάσεις που δεν είχαν χρησιμοποιηθεί ούτε για εκπαίδευση ούτε για αξιολόγηση. 25

26 αντικατασταθεί με UNK. Σε μορφολογικά περίπλοκες γλώσσες όπως τα ελληνικά, μάλιστα, οι σπάνιες λέξεις είναι περισσότερες, επειδή τα λήμματα έχουν περισσότερους τύπους, με αποτέλεσμα να αντικαθίστανται περισσότερες λέξεις με UNK και η απλοποίηση να γίνεται εντονότερη. Επομένως τα αποτελέσματα περιπλοκής των παρακάτω πειραμάτων δεν είναι άμεσα συγκρίσιμα με τα αποτελέσματα της ενότητας 3.2, στην οποία είχαμε μετρήσει την περιπλοκή των κλασικών μοντέλων n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων. Προκειμένου να είναι πιο άμεσα συγκρίσιμα τα αποτελέσματα της μεθόδου του Lang με τα αντίστοιχα αποτελέσματα των κλασικών μοντέλων n-γραμμάτων, επαναλάβαμε στην επόμενη ενότητα τα πειράματα των κλασικών μοντέλων n-γραμμάτων με ολόκληρες λέξεις, χρησιμοποιώντας το ίδιο λεξιλόγιο με εκείνο της μεθόδου του Lang, δηλαδή αντικαθιστώντας τις (ίδιες) σπάνιες λέξεις με UNK. 26

27 27

28 28

29 29

30 3.6 Πειράματα με μοντέλα n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων και περιορισμένο λεξιλόγιο Στα πειράματα αυτής της ενότητας, επαναλάβαμε τα πειράματα των κλασικών μοντέλων n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων, χρησιμοποιώντας το ίδιο λεξιλόγιο με εκείνο της μεθόδου του Lang (βλ. προηγούμενη ενότητα), δηλαδή αντικαθιστώντας τις (ίδιες) σπάνιες λέξεις με UNK. Τα επόμενα διαγράμματα παρουσιάζουν τα αποτελέσματα αυτών των πειραμάτων για κλασικά μοντέλα 3-γραμμάτων, 4-γραμμάτων και 5-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων με περιορισμένο λεξιλόγιο. Παρατηρούμε ότι η χρήση περιορισμένου λεξιλογίου μειώνει σημαντικά την τιμή της περιπλοκής. Για παράδειγμα, στη σύγκριση ελληνικών αγγλικών χρησιμοποιώντας κλασικά γλωσσικά μοντέλα 5-γραμμάτων, η τιμή της περιπλοκής στα ελληνικά χωρίς της χρήση περιορισμένου λεξιλογίου κατέληγε περίπου στο 78, ενώ με τη χρήση περιορισμένου λεξιλογίου περίπου στο 35. Σε σχέση με το μοντέλο του Lang, η περιπλοκή των κλασικών μοντέλων n-γραμμάτων (με περιορισμένο λεξιλόγιο) είναι ελαφρά μόνο χειρότερη, όμως ο χρόνος εκτέλεσης των πειραμάτων με τα κλασικά μοντέλα n-γραμμάτων ήταν 10 φορές μικρότερος σε σχέση με το μοντέλο του Lang, επειδή το τελευταίο απαιτεί περισσότερο χρόνο για την εκπαίδευση και χρήση του πιθανοτικού ταξινομητή. Συμπεραίνουμε ότι οι βελτιώσεις στα αποτελέσματα περιπλοκής που είχε παρατηρήσει ο Lang, όταν συνέκρινε το μοντέλο του με κλασικό μοντέλο n-γραμμάτων, οφείλονται σε πολύ μεγάλο βαθμό στη χρήση περιορισμένου λεξιλογίου πολύ παρόμοιες βελτιώσεις στα αποτελέσματα της περιπλοκής παρατηρούνται και στην περίπτωση κλασικών μοντέλων n-γραμμάτων όταν χρησιμοποιηθεί και σε εκείνα περιορισμένο λεξιλόγιο. 30

31 31

32 32

33 33

34 4. Πειράματα αξιολόγησης γλωσσικών μοντέλων μέσω ενσωμάτωσής τους σε συστήματα μηχανικής μετάφρασης Στο προηγούμενο κεφάλαιο αξιολογήθηκαν γλωσσικά μοντέλα διαφόρων ειδών μετρώντας την περιπλοκή τους. Ένας άλλος τρόπος (έμμεσης) αξιολόγησης των γλωσσικών μοντέλων είναι να εξετάσουμε κατά πόσον βελτιώνουν τις παραγόμενες μεταφράσεις, όταν τα γλωσσικά μοντέλα ενσωματώνονται σε συστήματα μηχανικής μετάφρασης. Ένα ευρέως διαδεδομένο σύστημα στατιστικής μηχανικής μετάφρασης είναι το MOSES (Koehn κ.ά., 2003). Το MOSES απαιτεί παράλληλα σώματα κειμένων εκπαίδευσης, δηλαδή σώματα κειμένων στα οποία τα ίδια κείμενα αποδίδονται σε πολλές γλώσσες επίσης οι προτάσεις της κάθε γλώσσας είναι ευθυγραμμισμένες με τις αντίστοιχες προτάσεις των άλλων γλωσσών, αλλά δεν είναι γνωστή η ευθυγράμμιση μικρότερων φράσεων ή λέξεων. Η χρήση του MOSES χωρίζεται σε τρία στάδια: το στάδιο της εκπαίδευσης, κατά το οποίο ευθυγραμμίζονται λέξεις και φράσεις των παράλληλων κειμένων εκπαίδευσης και το σύστημα εκτιμά τις κατανομές πιθανοτήτων που χρειάζεται το μεταφραστικό μοντέλο, το στάδιο επιλογής βαρών, κατά το οποίο το σύστημα εκτιμά τα βάρη που πρέπει να δώσει στην απόκριση του γλωσσικού μοντέλου, καθώς και σε ιδιότητες του μεταφραστικού μοντέλου και άλλων εμπλεκόμενων μοντέλων, που συνδυάζονται με ένα γραμμικό συνδυασμό των λογαρίθμων τους, και το στάδιο της μετάφρασης, κατά το οποίο το σύστημα καλείται να μεταφράσει νέα κείμενα. 5 Για την αξιολόγηση των μεταφράσεων, χρησιμοποιείται ο δείκτης BLEU (Papineni κ.ά., 2002), ο οποίος συγκρίνει τις μεταφράσεις του αξιολογούμενου συστήματος με τις αντίστοιχες μεταφράσεις ανθρώπων-μεταφραστών, μετρώντας χοντρικά τα κοινά τους 4-γράμματα, 3-γράμματα, 2-γράμματα και 1-γράμματα. 5 Βλ. για περισσότερες πληροφορίες. 34

35 4.1 Πειράματα Το σώμα κειμένων που χρησιμοποιήθηκε στα πειράματα αυτού του κεφαλαίου ήταν το ίδιο με εκείνο του 3 ου Κεφαλαίου, δηλαδή χρησιμοποιήθηκαν κείμενα του Ευρωπαϊκού Κοινοβουλίου. Για την εκπαίδευση του κάθε μεταφραστικού μοντέλου του MOSES χρησιμοποιήθηκαν παράλληλες προτάσεις, το 10% δηλαδή των προτάσεων που είχαν χρησιμοποιηθεί στα πειράματα του 3 ου Κεφαλαίου η μείωση αυτή ήταν απαραίτητη, επειδή ο χρόνος εκπαίδευσης των μεταφραστικών μοντέλων του MOSES ήταν ιδιαίτερα μεγάλος. Παρ όλα αυτά τα γλωσσικά μοντέλα εκπαιδεύτηκαν σε προτάσεις, όπως στο 3 ο Κεφάλαιο. Στο στάδιο της επιλογής βαρών του MOSES χρησιμοποιήθηκαν παράλληλες προτάσεις, οι οποίες δεν χρησιμοποιήθηκαν για κανέναν άλλο σκοπό. Τέλος, για τον υπολογισμό του δείκτη BLEU χρησιμοποιήθηκαν παράλληλες προτάσεις, οι οποίες επίσης δεν είχαν χρησιμοποιηθεί για άλλους σκοπούς. Τα ζεύγη γλωσσών (γλώσσα-πηγή, γλώσσα-στόχος) για τα οποία μετρήθηκε ο δείκτης BLEU ήταν: σε Γερμανικά σε Γερμανικά σε. Τα πειράματα έγιναν ενσωματώνοντας στο MOSES τα παρακάτω γλωσσικά μοντέλα το «+» χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις όπου ενσωματώθηκαν στο MOSES περισσότερα του ενός γλωσσικά μοντέλα μαζί και το n είχε τιμές 3, 4 ή 5. μοντέλο n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων μοντέλο n-γραμμάτων ψευδο-καταλήξεων μοντέλο n-γραμμάτων ψευδο-θεμάτων μοντέλο n-γραμμάτων ψευδο-θεμάτων + μοντέλο n-γραμμάτων ψευδοκαταλήξεων μοντέλο n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων + μοντέλο n-γραμμάτων ψευδοκαταλήξεων 35

36 μοντέλο n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων + μοντέλο n-γραμμάτων ψευδοθεμάτων μοντέλο n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων + μοντέλο n-γραμμάτων ψευδοθεμάτων + μοντέλο n-γραμμάτων ψευδο-καταλήξεων. Μετρήθηκε επίσης ο δείκτης BLEU στην περίπτωση όπου το MOSES χρησιμοποιείται χωρίς γλωσσικό μοντέλο Πειράματα χωρίς γλωσσικό μοντέλο Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται τα αποτελέσματα BLEU χωρίς της χρήση γλωσσικού μοντέλου. Αποτελέσματα BLEU χωρίς την χρήση γλωσσικού μοντέλου σε Γερμανικά σε Γερμανικά σε Από τη σύγκριση του παραπάνω πίνακα με τους πίνακες των επόμενων ενοτήτων προκύπτει ότι οι μεταφράσεις που παράγει το MOSES χωρίς γλωσσικό μοντέλο δεν είναι καθόλου καλές. Επίσης, τα αποτελέσματα BLEU είναι καλύτερα όταν η γλώσσα-στόχος (για την οποία χρησιμοποιείται συνήθως το γλωσσικό μοντέλο) είναι μορφολογικά απλούστερη. 36

37 4.1.2 Πειράματα με μοντέλο n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων Στα πειράματα αυτά ενσωματώσαμε στο MOSES γλωσσικό μοντέλο n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων (για n = 3, 4, 5). Αυτού του είδους τα μοντέλα είναι τα πιο διαδεδομένα στη μηχανική μετάφραση. Παρακάτω φαίνονται τα αποτελέσματα BLEU που προέκυψαν. Αποτελέσματα BLEU με μοντέλα n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων σε Γερμανικά σε Γερμανικά σε n = 3 n = 4 n = Στο παρακάτω διάγραμμα συγκρίνονται τα αποτελέσματα BLEU του MOSES χωρίς γλωσσικό μοντέλο (baseline) και με γλωσσικό μοντέλο n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων (για n = 5). Όπως θα περίμενε κανείς, η προσθήκη γλωσσικού μοντέλου βελτιώνει αισθητά τα αποτελέσματα. 37

38 Moses results comparison B L E U Baseline LM with entire words 0 en to el de to el es to el de to en es to en Πειράματα με μοντέλο n-γραμμάτων ψευδο-καταλήξεων Στα πειράματα αυτά ενσωματώσαμε στο MOSES γλωσσικό μοντέλο n-γραμμάτων ψευδο-καταλήξεων (για n = 3, 4, 5). Θέλαμε να εξετάσουμε αν η χρησιμοποίηση γλωσσικών μοντέλων ψευδο-καταλήξεων μπορεί να βοηθήσει ή και να αντικαταστήσει τα γλωσσικά μοντέλα ολόκληρων λέξεων. Για την πραγματοποίηση αυτών των πειραμάτων, στο κάθε σώμα κειμένων (σώμα εκπαίδευσης, σώμα επιλογής βαρών, σώμα αξιολόγησης) προστέθηκαν ως παράγοντες (factors) οι ψευδοκαταλήξεις των λέξεων, ώστε το MOSES να επιλέγει τις ψευδο-καταλήξεις όταν θέλει να «συμβουλευτεί» το γλωσσικό μοντέλο ψευδο-καταλήξεων. Παρακάτω φαίνονται τα αποτελέσματα BLEU που προέκυψαν. 38

39 Αποτελέσματα BLEU με μοντέλα n-γραμμάτων ψευδο-καταλήξεων σε Γερμανικά σε Γερμανικά σε n = 3 n = 4 n = Στα παρακάτω διαγράμματα συγκρίνονται τα αποτελέσματα BLEU του MOSES με γλωσσικό μοντέλο n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων και με γλωσσικό μοντέλο n- γραμμάτων ψευδο-καταλήξεων (για n = 5). Παρατηρούμε ότι τα γλωσσικά μοντέλα ολόκληρων λέξεων οδηγούν σε καλύτερα αποτελέσματα BLEU, αλλά η διαφορά από τα αποτελέσματα που επιτυγχάνονται με γλωσσικά μοντέλα ψευδο-καταλήξεων είναι μικρή, κάτι που είναι ενδιαφέρον, δεδομένου ότι τα μοντέλα ψευδο-καταλήξεων εξετάζουν μόνο τα τρία τελευταία γράμματα κάθε λέξης. 39

40 30 MOSES results comparison 25 B L E U LM with entire words LM with suffixes 5 0 σε Γερμανικά σε 35 MOSES results comparison B L E U LM with entire words LM with suffixes 0 Γερμανικά σε 40

41 4.1.4 Πειράματα με μοντέλο n-γραμμάτων ψευδο-θεμάτων Στα πειράματα αυτά ενσωματώσαμε στο MOSES γλωσσικό μοντέλο n-γραμμάτων ψευδο-θεμάτων (για n = 3, 4, 5). Θέλαμε να εξετάσουμε αν η χρησιμοποίηση γλωσσικών μοντέλων ψευδο-θεμάτων μπορεί να βοηθήσει ή και να αντικαταστήσει τα γλωσσικά μοντέλα ολόκληρων λέξεων. Παρακάτω φαίνονται τα αποτελέσματα BLEU που προέκυψαν. Αποτελέσματα BLEU με μοντέλα n-γραμμάτων ψευδο-θεμάτων σε Γερμανικά σε Γερμανικά σε n = 3 n = 4 n = Στα παρακάτω διαγράμματα συγκρίνονται τα αποτελέσματα BLEU του MOSES με γλωσσικό μοντέλο n-γραμμάτων ολόκληρων λέξεων και με γλωσσικό μοντέλο n- γραμμάτων ψευδο-θεμάτων (για n = 5). Παρατηρούμε ότι τα γλωσσικά μοντέλα ολόκληρων λέξεων οδηγούν και πάλι σε καλύτερα αποτελέσματα BLEU, αλλά η διαφορά από τα αποτελέσματα που επιτυγχάνονται με γλωσσικά μοντέλα ψευδοθεμάτων είναι μικρή. 41

Ασκήσεις μελέτης της 16 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 16 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 16 ης διάλεξης 16.1. (α) Έστω ένα αντικείμενο προς κατάταξη το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Επικοινωνία Ανθρώπου Υπολογιστή

Επικοινωνία Ανθρώπου Υπολογιστή Επικοινωνία Ανθρώπου Υπολογιστή Β1. Εισαγωγή στη γλωσσική τεχνολογία, γλωσσικά μοντέλα, διόρθωση και πρόβλεψη κειμένου (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ Οι διαφάνειες αυτές βασίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Γλωσσική Τεχνολογία. Εισαγωγή. Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Γλωσσική Τεχνολογία. Εισαγωγή. Ίων Ανδρουτσόπουλος. Γλωσσική Τεχνολογία Εισαγωγή 2015 16 Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/in/ Τι θα ακούσετε Εισαγωγή στη γλωσσική τεχνολογία. Ύλη και οργάνωση του μαθήματος. Προαπαιτούμενες γνώσεις και άλλα προτεινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Γλωσσική Τεχνολογία. 8 η Ενότητα: Μηχανική μετάφραση. Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Γλωσσική Τεχνολογία. 8 η Ενότητα: Μηχανική μετάφραση. Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Γλωσσική Τεχνολογία 8 η Ενότητα: Μηχανική μετάφραση 2014 15 Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/in/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στην ύλη του βιβλίου «Speech and Language Prcessing»

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 18η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 18η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 18η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται: στο βιβλίο Machine Learning του T. Mitchell, McGraw- Hill, 1997,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 1 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ σ. 2 Α. ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2 Β. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΕΥΝΑ 1. Γενικά Έννοιες.. 2 2. Πρακτικός Οδηγός Ανάλυσης εδοµένων.. 4 α. Οδηγός Λύσεων στο πλαίσιο

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 21η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 21η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 21η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: «Artificial Intelligence A Modern Approach» των. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Η εξέλιξη στα συστήματα Μηχανικής Μετάφρασης

Η εξέλιξη στα συστήματα Μηχανικής Μετάφρασης Η εξέλιξη στα συστήματα Μηχανικής Μετάφρασης Σοφιανόπουλος Σωκράτης Ινστιτούτο Επεξεργασίας του Λόγου Δομή παρουσίασης Τι είναι η Μηχανική Μετάφραση (Machine Translation) Ιστορική αναδρομή Είδη συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 19 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 19 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 19 ης διάλεξης 19.1. Δείξτε ότι το Perceptron με (α) συνάρτηση ενεργοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης 4.1. (α) Αποδείξτε ότι αν η h είναι συνεπής, τότε h(n

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός και Διεξαγωγή Πειραμάτων

Σχεδιασμός και Διεξαγωγή Πειραμάτων Σχεδιασμός και Διεξαγωγή Πειραμάτων Πρώτο στάδιο: λειτουργικοί ορισμοί της ανεξάρτητης και της εξαρτημένης μεταβλητής Επιλογή της ανεξάρτητης μεταβλητής Επιλέγουμε μια ανεξάρτητη μεταβλητή (ΑΜ), την οποία

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 4η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 4η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 4η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται κυρίως στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 17η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 17η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 17η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται: στο βιβλίο Artificia Inteigence A Modern Approach των S. Russe και

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη συστήματος ερωταποκρίσεων για αρχεία ελληνικών εφημερίδων

Ανάπτυξη συστήματος ερωταποκρίσεων για αρχεία ελληνικών εφημερίδων Ανάπτυξη συστήματος ερωταποκρίσεων για αρχεία ελληνικών εφημερίδων Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Επιστήμη των Υπολογιστών» Διπλωματική Εργασία Μαρία-Ελένη Κολλιάρου 2

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκτηση Πληροφορίας

Ανάκτηση Πληροφορίας Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Ανάκτηση Πληροφορίας Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διάλεξη #08 Συµπίεση Κειµένων Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Ανάκτηση Πληροφορίας 1 Άδεια χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση της εργασίας στο μάθημα Νέες Τεχνολογίες στην Επιστημονική Έρευνα: Διαδίκτυο και Εκπαίδευση (Εαρινό 2016) Β Μέρος. Γιώργος Μικρός ΕΚΠΑ

Παρουσίαση της εργασίας στο μάθημα Νέες Τεχνολογίες στην Επιστημονική Έρευνα: Διαδίκτυο και Εκπαίδευση (Εαρινό 2016) Β Μέρος. Γιώργος Μικρός ΕΚΠΑ Παρουσίαση της εργασίας στο μάθημα Νέες Τεχνολογίες στην Επιστημονική Έρευνα: Διαδίκτυο και Εκπαίδευση (Εαρινό 2016) Β Μέρος Γιώργος Μικρός ΕΚΠΑ Γλωσσικά χαρακτηριστικά Θα αναλύσουμε την συχνότητα ορισμένων

Διαβάστε περισσότερα

Σεραφείµ Καραµπογιάς. Πηγές Πληροφορίας και Κωδικοποίηση Πηγής 6.3-1

Σεραφείµ Καραµπογιάς. Πηγές Πληροφορίας και Κωδικοποίηση Πηγής 6.3-1 Ο αλγόριθµος Lempel-iv Ο αλγόριθµος Lempel-iv ανήκει στην κατηγορία των καθολικών universal αλγορίθµων κωδικοποίησης πηγής δηλαδή αλγορίθµων που είναι ανεξάρτητοι από τη στατιστική της πηγής. Ο αλγόριθµος

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ. Μάθημα 10 ο : Αποσαφήνιση εννοιών λέξεων. Γεώργιος Πετάσης. Ακαδημαϊκό Έτος:

ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ. Μάθημα 10 ο : Αποσαφήνιση εννοιών λέξεων. Γεώργιος Πετάσης. Ακαδημαϊκό Έτος: ΓΛΩΣΣΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Μάθημα 10 ο : Αποσαφήνιση εννοιών λέξεων Γεώργιος Πετάσης Ακαδημαϊκό Έτος: 2012 2013 ΤMHMA MHXANIKΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ, Πανεπιστήμιο Πατρών, 2012 2013 Οι διαφάνειες αυτού του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (Δ.Π.Μ.Σ.)

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (Δ.Π.Μ.Σ.) ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ (Δ.Π.Μ.Σ.) «Διερμηνεία και Μετάφραση» Tων Τμημάτων: Φιλολογίας, Αγγλικής Γλώσσας και Φιλολογίας, Γαλλικής Γλώσσας και

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017. HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται δύο κριτήρια απόρριψης απομακρυσμένων από τη μέση τιμή πειραματικών μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους και συγκεκριμένα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Πτυχιακή Εργασία Στατιστική μηχανική μετάφραση από τα Αρχαία Ελληνικά στα Αγγλικά Βασίλειος Καλογηράς Επιβλέπων: Ίων Ανδρουτσόπουλος Βοηθός επιβλέπων:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΥ ΙΣΤΟΥ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. WordNet

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΥ ΙΣΤΟΥ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. WordNet ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟΥ ΙΣΤΟΥ ΚΑΙ ΓΛΩΣΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ WordNet Σημασιολογικά Δίκτυα Ένα δίκτυο που αναπαριστά συσχετίσεις μεταξύ εννοιών. Οι κορυφές παριστάνουν έννοιες και οι ακμές σημασιολογικές

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων

Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών. Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Κάνοντας ακριβέστερες μετρήσεις με την βοήθεια των Μαθηματικών Ν. Παναγιωτίδης, Υπεύθυνος ΕΚΦΕ Ν. Ιωαννίνων Αν κάναμε ένα τεστ νοημοσύνης στους μαθητές και θέταμε την ερώτηση: Πως μπορεί να μετρηθεί το

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes

Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Λήψη αποφάσεων κατά Bayes Σημειώσεις μαθήματος Thomas Bayes (1701 1761) Στυλιανός Χατζηδάκης ECE 662 Άνοιξη 2014 1. Εισαγωγή Οι σημειώσεις αυτές βασίζονται στο μάθημα ECE662 του Πανεπιστημίου Purdue και

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων Σφάλματα Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την

Διαβάστε περισσότερα

Η Αυτοματοποιημένη και μη-αυτοματοποιημένη αξιολόγηση συστήματος Στατιστικής Μηχανικής Μετάφρασης για το γλωσσικό ζεύγος Ελληνικά - Ιταλικά

Η Αυτοματοποιημένη και μη-αυτοματοποιημένη αξιολόγηση συστήματος Στατιστικής Μηχανικής Μετάφρασης για το γλωσσικό ζεύγος Ελληνικά - Ιταλικά 111 Η Αυτοματοποιημένη και μη-αυτοματοποιημένη αξιολόγηση συστήματος Στατιστικής Μηχανικής Μετάφρασης για το γλωσσικό ζεύγος Ελληνικά - Ιταλικά Πολυξένη Κανελλιάδου* Κωνσταντίνος Χατζηθεοδώρου** Machine

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 1: Μέθοδοι Αναγνώρισης Προτύπων Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 15η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 15η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 15η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται σε ύλη του βιβλίου Artificial Intelligence A Modern Approach των

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Συστημάτων Πολυμέσων

Θέματα Συστημάτων Πολυμέσων Θέματα Συστημάτων Πολυμέσων Ενότητα # 6: Στοιχεία Θεωρίας Πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος K. Πολύζος Τμήμα: Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Επιστήμη των Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής:

Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής: Άσκηση 1: Ένα κουτί περιέχει 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες. Αφαιρούμε τυχαία δύο μπάλες διαδοχικά. Ποια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα να είναι άσπρη και η δεύτερη μπάλα να είναι μαύρη; Λύση: Αρχικά ορίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ 3 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΦΥΛΛΟ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ 3 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 η θεματική ενότητα: Εφαρμογές του εκπαιδευτικού λογισμικού IP 2005 ΦΥΛΛΟ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ 3 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Θέμα Οριζόντια βολή δραστηριότητας: Μάθημα και Τάξη Φυσική Α Λυκείου στην οποία απευθύνεται: Εκπαιδευτικοί:

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Ένα Ερευνητικό Παράδειγμα Σκοπός της έρευνας ήταν να διαπιστωθεί εάν ο τρόπος αντίδρασης μιας γυναίκας απέναντι σε φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΓΛΩΣΣΙΑ VIII ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: ΜΑΪΣΤΡΟΣ ΓΙΑΝΗΣ, ΠΑΠΑΚΙΤΣΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΑΣΚΗΣΗ: ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ (Β )

ΤΕΧΝΟΓΛΩΣΣΙΑ VIII ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: ΜΑΪΣΤΡΟΣ ΓΙΑΝΗΣ, ΠΑΠΑΚΙΤΣΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΑΣΚΗΣΗ: ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ (Β ) ΤΕΧΝΟΓΛΩΣΣΙΑ VIII ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: ΜΑΪΣΤΡΟΣ ΓΙΑΝΗΣ, ΠΑΠΑΚΙΤΣΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΑΣΚΗΣΗ: ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ (Β ) ΣΚΟΠΟΣ Σκοπός της άσκησης είναι ο σχεδιασμός και η υλοποίηση συστήματος διόρθωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ - 9900 ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ ΠΘ ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

ΜΕ - 9900 ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ ΠΘ ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΕΠΕΑΕΚ: ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΟΥ ΤΕΦΑΑ ΠΘ ΑΥΤΕΠΙΣΤΑΣΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ & ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΜΕ9900 ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Έρευνα και Συγγραφή Λέκτορας Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version

Συστήματα Αρίθμησης. Συστήματα Αρίθμησης 1. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version Συστήματα Αρίθμησης Στην καθημερινή μας ζωή χρησιμοποιούμε το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Στο σύστημα αυτό χρησιμοποιούμε δέκα διαφορετικά σύμβολα τα :,, 2, 3, 4, 5, 6,7 8, 9. Για τον αριθμό 32 θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασμός Ψηφιακών Εκπαιδευτικών Εφαρμογών ΙI

Σχεδιασμός Ψηφιακών Εκπαιδευτικών Εφαρμογών ΙI Σχεδιασμός Ψηφιακών Εκπαιδευτικών Εφαρμογών ΙI Εργασία 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑΣ: Τσελίγκα Αρετή, 1312009161, Στ εξάμηνο, κατεύθυνση: Εκπαιδευτική Τεχνολογία και Διαπολιτισμική Επικοινωνία Το γνωστικό αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 4 Θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής

Άσκηση 4 Θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής Άσκηση 4 Θεμελιώδης νόμος της Μηχανικής Σύνοψη Η άσκηση αυτή διαφέρει από όλες τις άλλες. Σκοπός της είναι η πειραματική επαλήθευση του θεμελιώδους νόμου της Μηχανικής. Αυτό θα γίνει με τη γραφική ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 3: Συνδυασμός αντιστάσεων και πηγών Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Χρόνου, Πόρων & Κόστους

Ανάλυση Χρόνου, Πόρων & Κόστους ΠΜΣ: «Παραγωγή και ιαχείριση Ενέργειας» ιαχείριση Ενέργειας και ιοίκηση Έργων Ανάλυση Χρόνου, Πόρων & Κόστους Επ. Καθηγητής Χάρης ούκας, Καθηγητής Ιωάννης Ψαρράς Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & ιοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική. Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εισαγωγή στο μάθημα Πιθανότητες - Στατιστική Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 1 Πειραματικά Μοντέλα Μοντέλα:» Καθοριστικά» (π.χ. ο νόμος του Ohm)» Στοχαστικά ή πιθανοτικά» (π.χ. ένταση

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Διαλογικά Συσ τήματα Αποδείξεων Διαλογικά Συστήματα Αποδείξεων Αντώνης Αντωνόπουλος Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα 17/2/2012

Διαλογικά Συσ τήματα Αποδείξεων Διαλογικά Συστήματα Αποδείξεων Αντώνης Αντωνόπουλος Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα 17/2/2012 Αντώνης Αντωνόπουλος Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα 17/2/2012 Εισαγωγή Ορισμός Επέκταση του NP συστήματος αποδείξεων εισάγωντας αλληλεπίδραση! Ενα άτομο προσπαθεί να πείσει ένα άλλο για το ότι μία συμβολοσειρά

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 7: Θεωρία πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 7: Θεωρία πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 7: Θεωρία πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Γ. ΑΓΓΕΛΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ. Προτεινόμενα θέματα εξετάσεων Εργαστήριο. Μέρος 1 ό. ΤΕΙ Λάρισας- Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής

Προγραμματισμός Η/Υ. Προτεινόμενα θέματα εξετάσεων Εργαστήριο. Μέρος 1 ό. ΤΕΙ Λάρισας- Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Προγραμματισμός Η/Υ Προτεινόμενα θέματα εξετάσεων Εργαστήριο Μέρος 1 ό ΤΕΙ Λάρισας- Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Ιανουάριος 2011 Καλογιάννης Γρηγόριος Επιστημονικός/ Εργαστηριακός

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων

Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων Θέματα Παγκύπριων Εξετάσεων 2009 2014 Σελίδα 1 από 24 Ταλαντώσεις 1. Το σύστημα ελατήριο-σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση μεταξύ των σημείων Α και Β. (α) Ο χρόνος που χρειάζεται το σώμα για να κινηθεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο

Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Κεφάλαιο 15 Έλεγχοι χ-τετράγωνο Copyright 2009 Cengage Learning 15.1 Ένα Κοινό Θέμα Τι πρέπει να γίνει; Τύπος Δεδομένων; Πλήθος Κατηγοριών; Στατιστική Μέθοδος; Περιγραφή ενός πληθυσμού Ονομαστικά Δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΑΠΟΡΡΟΗΣ ΤΩΝ ΟΜΒΡΙΩΝ ΣΕ ΚΡΙΣΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΠΕΡΙΟΧΕΣ ΤΩΝ ΟΔΙΚΩΝ ΧΑΡΑΞΕΩΝ Ν. Ε. Ηλιού Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Γ. Δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΘΑΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ 30ο ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΑΘΑΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ 30ο ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ 1. Τίτλος της έρευνας. Απόδοση των φωτοβολταϊκών σε διαφορετικές συνθήκες φωτισμού. Λέξεις κλειδιά: Φωτοβολταϊκά Φωτεινή ένταση Απόσταση Απόχρωση Απόδοση 2. Παρουσίαση του προβλήματος. Πραγματοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Συστημάτων

Μοντελοποίηση Συστημάτων Εργασία για το μάθημα Μοντελοποίηση Συστημάτων 5 Νοεμβρίου 2015 Α. Στόχος Στην εργασία αυτή θα εξοικειωθείτε με τα πρώτα στάδια σχεδιασμού λογισμικού. Συγκεκριμένα, μετά την εκπόνηση της εργασίας θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΔΙΠΛΩΜΑ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ (ΜSc) ΣΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΔΙΠΛΩΜΑ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ (ΜSc) ΣΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΔΙΠΛΩΜΑ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ (ΜSc) ΣΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Ορθογραφική διόρθωση και κανονικοποίηση κριτικών προϊόντων» Δημήτρης Προκοπίου Μ313019 Επιβλέπων

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη"

Σχέδιο Μαθήματος - Ευθεία Απόδειξη Σχέδιο Μαθήματος - "Ευθεία Απόδειξη" ΤΑΞΗ: Α Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Τίτλος Ενότητας: Μέθοδοι Απόδειξης - Ευθεία απόδειξη Ώρες Διδασκαλίας: 1. Σκοποί Να κατανοήσουν οι μαθητές την διαδικασία της ευθείας

Διαβάστε περισσότερα

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού

Σύµφωνα µε την Υ.Α /Γ2/ Εξισώσεις 2 ου Βαθµού. 3.2 Η Εξίσωση x = α. Κεφ.4 ο : Ανισώσεις 4.2 Ανισώσεις 2 ου Βαθµού Σύµφωνα µε την Υ.Α. 139606/Γ2/01-10-2013 Άλγεβρα Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΛ Ι. ιδακτέα ύλη Από το βιβλίο «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου» (έκδοση 2013) Εισαγωγικό κεφάλαιο E.2. Σύνολα Κεφ.1

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ΈΡΕΥΝΑΣ: Η ΣΧΕΣΗ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΗ

ΘΕΜΑ ΈΡΕΥΝΑΣ: Η ΣΧΕΣΗ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΗ Μαθήτρια: Αίγλη Θ. Μπορονικόλα Καθηγητής : Ιωάννης Αντ. Παπατσώρης ΜΑΘΗΜΑ: ΈΡΕΥΝΑ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ ΈΡΕΥΝΑΣ: Η ΣΧΕΣΗ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΩΝΙΑ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΚΑΙ ΤΗ ΔΥΝΑΜΗ ΕΛΞΗΣ ΓΙΑ ΝΑ ΙΣΟΡΡΟΠΗΣΕΙ ΕΝΑ ΣΩΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα