Transcript

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 21 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (2008), σελ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ ΣΕΙΣΜΩΝ Ε. Α. Βότση 1, Γ. Τσακλίδης 1, Ε. Παπαδημητρίου 2 1 Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. tsakld@math.auth.gr 2 Τμήμα Γεωφυσικής Α.Π.Θ. rtsa@geo.auth.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία γίνεται μελέτη ενός αριθμού στοχαστικών μοντέλων, έλεγχος της προσαρμοστικότητάς τους στα δεδομένα και η επιλογή των καταλληλότερων από αυτά για την περιγραφή και την πρόγνωση των σεισμών στην περιοχή των κεντρικών νησιών του Ιονίου πελάγους. Τα στοχαστικά μοντέλα αναλύονται κι εφαρμόζονται σε ιστορικούς καταλόγους της περιοχής των κεντρικών νησιών του Ιονίου πελάγους. Αρχικά μελετάμε κι εφαρμόζουμε το απλό μοντέλο απελευθέρωσης τάσης, που είναι μια εκδοχή του στοχαστικού μοντέλου του Knopoff, βασισμένη στη θεωρία Ελαστικής Ανάπαλσης. Προκειμένου να αναγνωρίσουμε στατιστικά διακριτές περιοχές, χωρίζουμε τη συνολική περιοχή σε δύο υποπεριοχές, την υποπεριοχή της Κεφαλονιάς και την υποπεριοχή της Λευκάδας, με βάση τα κύρια σεισμοτεκτονικά χαρακτηριστικά τους κι εφαρμόζουμε το ανεξάρτητο μοντέλο απελευθέρωσης τάσης. Τέλος, επειδή προηγούμενα ερευνητικά αποτελέσματα παρείχαν ισχυρές ενδείξεις για τη μεταφορά τάσης και την αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο υποπεριοχών, εφαρμόζουμε μια γενίκευση του απλού μοντέλου απελευθέρωσης τάσης, το συζευγμένο μοντέλο απελευθέρωσης τάσης. 1. ΥΠΟ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΟΧΗ Η περιοχή των κεντρικών νησιών του Ιονίου πελάγους αποτελεί την σεισμικά πιο ενεργή ζώνη στην ευρύτερη περιοχή του Αιγαίου. Διαθέτει καταγραφή σεισμών που εκτείνεται πίσω τουλάχιστον στο 1850 για σεισμούς μεγέθους τουλάχιστον 6.0. Το πιο κυρίαρχο γνώρισμα από τεκτονικής άποψης είναι το ρήγμα μετασχηματισμού της Κεφαλονιάς (Cephalona Transform Fault (CTF)). Η παραπάνω πρόταση υποστηρίχθηκε από τον Σκορδίλη κ.α. (1985), όπου παρατηρήθηκε ότι ο σεισμός του 1983 στην Κεφαλονιά (Μ=7.0) συνδέεται με ένα δεξιόστροφο ρήγμα παράταξης, με βορειοανατολική διεύθυνση, και κλίνει προς τα δυτικά. Το ρήγμα ακολουθεί την υ- ποθαλάσσια δυτική κοιλάδα της Κεφαλονιάς από την αλυσίδα νησιών που εκτείνεται από την Λευκάδα ως την Κεφαλονιά. Οι Louvar et al. (1999) μελέτησαν το CTF ρήγμα και διαπίστωσαν ότι εκτείνεται στην δυτική ακτή της Λευκάδας. Αναφορικά με το νησί της Λευκάδας, κατάλληλη ιστορική πληροφορία αποκαλύπτει τη μεγάλη συχνότητα των ισχυρών σεισμών (M 6.0), που προκαλούν τη μεγαλύτερη κατα

2 στροφή στο δυτικό τμήμα του νησιού, επιβεβαιώνοντας έτσι τη σύνδεσή τους με ένα ρήγμα που ακολουθεί κατά μήκος τη δυτική ακτή. Καθορισμός του συνόλου δεδομένων Η συγκεκριμένη περιοχή ενδιαφέροντος χαρακτηρίζεται από μια καταγραφή ενός ικανοποιητικού επιπέδου ιστορικής και στατιστικής αξιοπιστίας. Ο ιστορικός κατάλογος προέρχεται από την τράπεζα δεδομένων του Εργαστηρίου Γεωφυσικής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, αποτελεί έναν από τους πιο παλιούς και πιο εκτεταμένους υπάρχοντες καταλόγους, και θεωρείται πλήρης για γεγονότα μεγέθους Μ6.0. Xρησιμοποιούμε την τιμή Μ=6.0 ως το κατώτερο όριο των μεγεθών. Η περιοχή οριοθετείται από τα γεωγραφικά πλάτη 20.1 ο E και ο E, τα γεωγραφικά μήκη 37.8 ο N και 39.0 ο N, και τα δεδομένα καλύπτουν τη χρονική περίοδο ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ 2.1 Απλό μοντέλο απελευθέρωσης τάσης (Smple Stress Release Model) Το απλό μοντέλο απελευθέρωσης τάσης (Smple stress release Model (SSRM)) προτάθηκε από τον Vere-Jones (1978) ως μια στοχαστική εκδοχή της θεωρίας Ελαστικής Ανάπαλσης. Η μεταβλητή-κλειδί ή κατάσταση είναι το επίπεδο τάσης X(t) της περιοχής το οποίο ελέγχει την πιθανότητα να συμβεί σεισμός εντός της περιοχής. Το επίπεδο τάσης αυξάνεται σύμφωνα με ένα φυσικό νόμο μεταξύ δύο σεισμών και μειώνεται στοχαστικά ως αποτέλεσμα της γένεσης ενός σεισμού. Η εξέλιξη της τάσης ως προς το χρόνο δίνεται από τη σχέση X(t) = X(0) + p t - S(t), όπου X(0) είναι η αρχική τιμή της τάσης, p ο σταθερός ρυθμός τεκτονικής φόρτισης από εξωτερικές δυνάμεις, και S(t) η συνολική αποδέσμευση τάσης από σεισμούς ε- ντός της περιοχής κατά τη διάρκεια της περιόδου [0,t), δηλαδή, S(t) = S(t ), 0t <t όπου t, S(t) συμβολίζουν, αντίστοιχα, το χρόνο και την πτώση τάσης για τον σεισμό. Οι Kanamor και Anderson (1975) έδειξαν ότι το εκτιμώμενο μέγεθος M είναι ανάλογο του λογαρίθμου της σεισμικής ενέργειας E που απελευθερώνεται κατά τη γένεση ενός σεισμού σύμφωνα με τη σχέση 2 M= log10e+σταθερά. 3 Η πτώση τάσης S κατά τη διάρκεια ενός σεισμού είναι ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας της εκλυόμενης ενέργειας, δηλαδή S E (Benoff stran). 1/2 Επομένως, S= (M-M 0 ),

3 M 0 όπου είναι το κανονικοποιημένο μέγεθος. Ως επιλέγουμε το μικρότερο μέγεθος σεισμού που περιλαμβάνεται στο σύνολο των δεδομένων μας, δηλαδή M = 6.0. Μια συνάρτηση Ψ(Χ(t)) που πληροί τις προϋποθέσεις που προαναφέραμε 0 κι άρα μπορεί να ληφθεί ως συνάρτηση κινδύνου είναι η εκθετική. Έτσι, επιλέγουμε M 0 Ψ(X(t)) = exp(μ + ν X(t)), όπου μ R και ν 0. Eίναι * λ (t,s)dtds = P{να συμβεί σεισμός στο (t, t + dt) και πτώση τάσης στο (S,S + ds)/h t = Ψ(X(t)) J(S/X(t))dtdS. } Τότε για τη συνάρτηση πιθανοφάνειας έχουμε (Daley and Vere-Jones, 1988) και με λ *(t) = Ψ(X(t)), N =1 τ * * 0 φ L= λ (t,s(t )) exp{- λ (t,s)dtds} παίρνουμε N =1 T * * o logl = logλ (t ) - λ (t)dt. Μεγιστοποιώντας το λογάριθμό της συνάρτησης πιθανοφάνειας εκτιμούμε τις τιμές των παραμέτρων του μοντέλου. Μόλις οι τιμές των a, b, c προσδιοριστούν, η συνάρτηση λ (t) παίζει τον ρόλο της συνάρτησης κινδύνου κι επομένως μπορεί να χρησι- * μοποιηθεί για την προσομοίωση των χρόνων μεταξύ των διαδοχικών σεισμών. Εφαρμογή του μοντέλου SSRM Για την εφαρμογή του μοντέλου κατασκευάσαμε κώδικα στη γλώσσα προγραμματισμού R, με τη βοήθεια υπορουτίνων της Statstcal Sesmology Lbrary (SSlb) προκειμένου να υπολογίσουμε τους ζητούμενους εκτιμητές. Για τις παραμέτρους προκύπτει Πίνακας 2.1. Παράμετροι, τυπικά σφάλματα και 95% διαστήματα εμπιστοσύνης. Εκτίμηση Τυπικό Διάστημα εμπιστοσύνης σφάλμα a ( , ) b ( , ) c (1.2348, )

4 Σχήμα 2.1 SSRM.Υπό συνθήκη συνάρτηση του θετικού ρυθμού εμφάνισης σεισμών για το χρονικό διάστημα (έτη 0-141) Απλό μοντέλο απελευθέρωσης τάσης t Ht Έτη από το 1862 Σε επίπεδο σημαντικότητας a=0.05 με το τεστ Kolmogorov-Smrnov δεν μπορούμε να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση σύμφωνα με την οποία τα υπόλοιπα ακολουθούν Posson κατανομή με παράμετρο 1 (ks=0.8535, p-value=1). 2.2 Ανεξάρτητο μοντέλο απελευθέρωσης τάσης (Independent Smple Stress Release Model) Με σκοπό να αναγνωρίσουμε περιοχές των οποίων η στατιστική συμπεριφορά διαφοροποιείται, κι επομένως κρίνεται προτιμότερο να μελετηθούν ξεχωριστά κι όχι ως μια ολότητα, εφαρμόζουμε το ανεξάρτητο μοντέλο απελευθέρωσης τάσης. Με βάση τα σεισμοτεκτονικά και τα γεωμορφολογικά χαρακτηριστικά της περιοχής, την διαμερίζουμε σε δύο υποπεριοχές, την υποπεριοχή της Κεφαλονιάς (υποπεριοχή 1) και την υποπεριοχή της Λευκάδας (υποπεριοχή 2). Για την περίπτωση των δύο υποπεριοχών έχουμε: N T * * * j 0 j=1 λ (t) = exp{a + b [t - c S (t)]} και logl = logλ (t ) - λ (u)du, = 1, 2. Πίνακας 2.2. Παράμετροι SRM και AIC. Περιοχή a b c -logl AIC ΣAIC

5 Η επιλογή του καλύτερου μοντέλου γίνεται με το κριτήριο Akake (AIC). Σχήμα 2.2 ISRM. Υπό συνθήκη συνάρτηση του θετικού ρυθμού εμφάνισης σεισμών για το χρονικό διάστημα (έτη 0-141) t Ht Kefalona ISRM Lefkada ISRM Έτη από το Συζευγμένο μοντέλο απελευθέρωσης τάσης (Lnked Stress Release Model) Η εξέλιξη της τάσης X(t,) στην υποπεριοχή ως προς το χρόνο λαμβάνει τη μορφή X(t,) = X(0,) + ρ t- θ S(t, j), όπου θ j συμβολίζει το σταθερό ποσοστό της πτώσης τάσης που αναπτύσσεται αρχικά στην υποπεριοχή j και μεταφέρεται στην υποπεριοχή. Υποθέτοντας ότι Ψ(X(t,)) = exp(μ + ν X(t,)) παίρνουμε * λ (t,) = Ψ(X(t,)) = exp{a + ν [ρ t- θ S(t, j)]} j j j για την υποπεριοχή, όπου a(=μ + ν X(0,)), ν, ρ παράμετροι. Οι εκτιμητές των παραμέτρων υπολογίζονται μεγιστοποιώντας την λογαριθμική πιθανοφάνεια T * * logl = logλ (t j,) - λ (t,)dt, 0 j όπου το διάστημα (0,Τ) περιλαμβάνει γεγονότα στους χρόνους 0<t 1 <...<t N <T. Οι τιμές των παραμέτρων και τα διαστήματα εμπιστοσύνης έχουν ως εξής: j

6 Πίνακας 2.3. Παράμετροι, τυπικά σφάλματα και 95% διαστήματα εμπιστοσύνης. Εκτίμηση Τυπικό σφάλμα Διάστημα εμπιστοσύνης a ( , ) a ( , ) b ( ) b ( , ) c ( , ) c ( , ) c ( , ) c ( , ) Διαπιστώνουμε ότι οι τιμές των παραμέτρων b 1 και c 11 προέκυψαν αρνητικές. Επειδή κατά την απαλοιφή των μετασεισμών από τα δεδομένα θέτουμε θ =1, όπου =1,2, η παραμετροποίηση c j = θ j / ρ για την υποπεριοχή 1 μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι c 11 =1/ ρ 1, απ όπου προκύπτει ότι ρ 1 <0. Θεωρώντας ότι ο ρυθμός τεκτονικής φόρτισης μιας περιοχής είναι θετικός, η αρνητική τιμή της παραμέτρου c 11 δεν γίνεται α- ποδεκτή. Επιλέγουμε, λοιπόν, να μετακινηθούμε σε μια κοντινή περιοχή του ολικού ελαχίστου που να μας δίνει αποδεκτή λύση. Σαρώνοντας για την παράμετρο b 1 τις τιμές του θετικού υποδιαστήματος εμπιστοσύνης της, δηλαδή τιμές του διάστηματος [0, 0.032] με βήμα 0.01, και όμοια για την παράμετρο c 11, δηλαδή για τιμές στο διάστημα [0,1.602] με βήμα 0.10, αναζητούμε ένα κοντινό σημείο του ολικού ελαχίστου. Έτσι κινούμαστε σε πλέγμα τιμών για τις παραμέτρους b 1 και c 11. Σχεδιάστηκαν τα γραφήματα για τις συναρτήσεις του θετικού ρυθμού εμφάνισης των σεισμών για τις δυο υποπεριοχές. Aφού διερευνήσαμε όλες τις περιπτώσεις καταλήξαμε στο ότι η ελάχιστη τιμή της -logl είναι που προκύπτει για τις τιμές των παραμέτρων του Πίνακα 2.3 με τη διαφορά ότι b 1 =0.01 και c 11 =0.50. Επομένως η μελέτη της γειτονιάς του ολικού ελαχίστου μας οδηγεί σε ένα τοπικό ελάχιστο που συμφωνεί με τη φυσική σημασία των παραμέτρων. Η ερμηνεία των εκτιμώμενων παραμέτρων είναι εφικτή μετά το μετασχηματισμό τους. Στη συνέχεια έγινε προσομοίωση με χρήση της μεθόδου αραίωσης της χρονικής κατανομής των σεισμών στις δύο υποπεριοχές (Σχήματα 2.3 και 2.4). Συμπεράσματα Από την εφαρμογή των στοχαστικών μοντέλων διαπιστώσαμε ότι το απλό μοντέλο απελευθέρωσης τάσης είναι καταλληλότερο από το ανεξάρτητο μοντέλο απελευθέρωσης τάσης για συμπερασματολογία, προσομοίωση και πρόγνωση σεισμών μεγέθους M 6.0. Οι δύο υποπεριοχές παρουσιάζουν όμοια στατιστική συμπεριφορά, κι επομένως είναι προτιμότερο να μελετηθούν ως μια ολότητα κι όχι μεμονωμένα. Ε- φαρμογές των στοχαστικών μοντέλων στην πρόγνωση σεισμών οδήγησαν στην αναγκαιότητα της μείωσης του κατώτερου ορίου των μεγεθών των σεισμών που περιλαμβάνονται στους ιστορικούς καταλόγους με στόχο την αύξηση του δειγματικού μεγέθους και της στατιστικής αξιοπιστίας. Λαμβάνοντας υπόψη

7 Σχήμα 2.3. Προσομοίωση του χρόνου γένεσης του επόμενου σεισμού από το 2004 (150 προσομοιώσεις) στην υποπεριοχή της Κεφαλονιάς Συχνότητα Χρόνος εμφάνισης του επόμενου σεισμού από προσομοίωση του LSRM για την Κεφαλονιά. Σχήμα 2.4. Προσομοίωση του χρόνου γένεσης του επόμενου σεισμού από το 2004 (150 προσομοιώσεις) στην υποπεριοχή της Λευκάδας Συχνότητα Χρόνος εμφάνισης του επόμενου σεισμού από προσομοίωση του LSRM για την Λευκάδα

8 αυτήν την αναγκαιότητα εφαρμόσαμε το συζευγμένο μοντέλο απελευθέρωσης τάσης επιλέγοντας ως κατώτερο όριο των μεγεθών το Μ=5.5. Μετά τη διερεύνηση όλων των δυνατών περιπτώσεων διαπιστώθηκε αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο υποπεριοχών, αν και τα σφάλματα μας καθιστούν επιφυλακτικούς στον ακριβή υπολογισμό της έκτασης αυτής της αλληλεπίδρασης. Σε γενικές γραμμές και με βάση το συγκεκριμένο δείγμα προέκυψαν ενδείξεις ότι οι σεισμοί της Κεφαλονιάς προκαλούν α- σθενή διέγερση της Λευκάδας, ενώ υπάρχουν ασθενείς ενδείξεις ότι οι σεισμοί της Λευκάδας αποδιεγείρουν την περιοχή της Κεφαλονιάς. ABSTRACT We study and apply the smple stress release model, a development of Knopoff s model based on the elastc rebound theory. In order to dentfy statstcally dstnct regons, the entre regon s dvded nto two subregons, namely Kefalona and Lefkada, on the bass of sesmotectonc features. Prevous results evdenced the exstence of stress transfer between the Kefalona and Lefkada fault segments. A generalzaton of the smple stress release model, the lnked stress release model, s used for the consderaton of stress transfer and nteracton. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Bebbngton, M. and Harte, D. (2001): On the Statstcs of the Lnked Stress Release Model. J. Appl. Probab., 38A, Bebbngton, M. and Harte, D. (2003): The Lnked Stress Release Model for Spato- Temporal Sesmcty: Formulatons, Procedures and Applcatons. Geophys. J. Int, 154, Karakostas, B., Papadmtrou, E. and Papazachos, C. (2004): Propertes of the 2003 Lefkada, Ionan Islands, Greece, Earthquake Sesmc Sequence and Sesmcty Trggerng. Bull. Sesm. Soc. Am., 155, Lu, J., Chen, Y. and Vere-Jones, D. (1999): Coupled Stress Release Model for Tmedependent Sesmcty. Pure appl. geophys., 155, Lu, C. and Vere-Jones, D. (2000): Applcaton of Lnked Stress Release Model to Hstorcal Earthquake Data: Comparson between Two Knds of Tectonc Sesmcty. Pure appl. geophys., 157, Lu, C., Harte, D. and Bebbngton, M. (1999): A Lnked Stress Release Model for Hstorcal Japanese Earthquakes: Couplng among Major Sesmc Regons. Earth Planets Space, 51, Papadmtrou, E. (2002): Mode of Strong Earthquake Reccurence n the Central Ionan Islands (Greece): Possble Trggerng due to Coulomb Stress Changes, Generated by the Occurence of Prevous Strong Shocks. Bull. Sesm. Soc. Am. 92, Zheng, X. and Vere-Jones, D. (1991): Applcaton of Stress Release Models to Hstorcal Earthquakes from North Chna. Pure appl. geophys., 135, Zheng, X. and Vere-Jones, D. (1994): Further Applcatons of Stochastc Stress Release Model to Hstorcal Earthquake Data. Tectonophyscs, 229,