ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) P( x) ( 4) x ( 8) x ( 5 6) x 16 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.
|
|
- Μαριάμ Δαμασκηνός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ (ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΙΜΗ,ΠΡΑΞΕΙΣ,ΙΣΟΤΗΤΑ) 1. Δίνονται τα πολυώνυμα: P ( x) x x, Q( x) x x 1. Να βρεθούν: a) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x) ) P( x) Q( x). Να βρεθεί η τιμή του λ R για την οποία το πολυώνυμο: Ρ(x) = ( λ+)x -(λ +λ-)x+λ - να είναι το μηδενικό πολυώνυμο.. Να βρεθεί η τιμή του λ R για την οποία το πολυώνυμο: P( x) ( ) x ( 8) x ( 5 6) x 16 είναι το μηδενικό πολυώνυμο.. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυμο Ρ (x)= (α - β) x + (β - γ) x + γ - α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 5. Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο Ρ (x) = (κ - ) x + (λ + 6) x + κ + λ - είναι διάφορο του μηδενικού. 6. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x)=(α+)x +(λ-)x+α+λ Να δείξετε ότι το Ρ(x) δεν μπορεί να είναι το μηδενικό πολυώνυμο. 7. Να βρείτε το λ,ώστε το πολυώνυμο είναι σταθερό 8. Να βρεθεί για ποιες τιμές των κ, λ, μ είναι ίσα τα πολυώνυμα: Ρ(x) =λx -(λ-κ)x+μ-λ Q(x)=(μ-λ)x +x+κ +λ. P(x) ( )x ( 9)x ( 5 6)x να 9. Να βρεθούν οι κ,λ R για τους οποίους είναι ίσα τα πολυώνυμα 5 1 x x 515 P(x) και Q(x) x x Να βρεθούν οι κ,λ R για τους οποίους είναι ίσα τα πολυώνυμα P(x) 1 x x και Q(x) ( )x Να προσδιοριστεί ο α R ώστε το πολυώνυμο Ρ(x)=9x -x +8x+7 να παίρνει τη μορφή α (x +x) x + (x - ) (x + x + 9). 1. Να βρεθεί πολυώνυμο Κ (x) τέτοιο ώστε το τετράγωνό του να ισούται με το: Ρ(x)=x +x -x -x+. 1. Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο Ρ(x)=(κ- 1)x 5 +(κ +)x +κx δεν έχει ρίζα το
2 1. Αν το πολυώνυμο Ρ (x) = x + (α - 1) x + α έχει ρίζα το - 1 αποδείξτε ότι το ίδιο ισχύει και για το Κ (x) = x + x + ( α 1)x Το αντίστροφο ισχύει; 15. Να βρεθεί πολυώνυμο Ρ (x) για το οποίο ισχύει: (x + 1)Ρ(x)=x 5 +x +x -x -x Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = x + x + 5. Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός α αν ισχύει: Ρ (α - 1) = Αν η διαφορά δύο πολυωνύμων βαθμού ν είναι το μηδενικό πολυώνυμο δείξτε ότι τα πολυώνυμα αυτά είναι ίσα. 18. Δίνονται τα πολυώνυμα P( x) ax x x Q( x) (a ) x x ( ) x Να βρείτε τις τιμές των α,β,γ για τις οποίες το πολυώνυμο f ( x) P( x) Q( x) είναι : α) βαθμού β) βαθμού μικρότερου η ίσου του γ) βαθμού 1 δ) το μηδενικό πολυώνυμο 19. Δίνεται το πολυώνυμο P( x) ( ) x ( 8 ) x ( ) x Να βρείτε τον βαθμό του Ρ(x) όταν το λ διατρέχει το R. 0. Να βρείτε για τις διάφορες τιμές του λ R το βαθμό του πολυωνύμου P(x) x x 1 1. Δίνεται το πολυώνυμο i.σταθερό πολυώνυμο iii.μηδενικού βαθμού P x ( ) ( ) x 1.Να βρείτε το λ,ώστε το P(x) να είναι : ii.μηδενικό πολυώνυμο. Δίνονται τα πολυώνυμα P(x)=x +βx +α x+6, Q(x)=x +αx+5 και f(x)=x+l. Αν P(x)- f(x) = Q(x)f(x) να βρείτε τις τιμές των α και β.. Αν το πολυώνυμο Ρ(x)=x -αx +βx +x+ έχει ως ρίζες τους αριθμούς 1 και, να βρείτε τις τιμές των α και β. Να βρείτε τα α,β,ώστε για το πολυώνυμο P(x) 7 x 18 x x 1 να ισχύει 1 Ρ(0)= και να έχει ρίζα το 5. Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ(x)=(α+β)x +(β-γ)x+,q(x)=x -(α+γ)x+α+β. Να βρείτε για ποιες τιμές των α, β, γ είναι ίσα τα πολυώνυμα. 6. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x)=x(x -10)+x +. Να προσδιοριστούν οι α,β R ώστε το πολυώνυμο Ρ(x) παίρνει τη μορφή : α(x -x)+β(x -x)+(x-) -(x -x+1)(x+1) 7. Να βρείτε πολυώνυμο Ρ(x) δευτέρου βαθμού αν ισχύουν: P(l-x)=P(x+l), Ρ(0)=1 και Ρ(1)= Να βρείτε πολυώνυμο Ρ(x) δευτέρου βαθμού αν ισχύουν: Ρ(x)+Ρ(-x)=(x +) 9. Να αποδειχθεί ότι για κάθε λ R το πολυώνυμο f(x)=(λ+)x +(λ +1)x +λx -(λ-1)x+1999 δεν μπορεί να έχει ως ρίζα τον αριθμό Έστω το πολυώνυμο P(x)=x +αx+. Να βρείτε τον α ώστε το Ρ(x) να παίρνει τη μορφή
3 P(x) = (x-κ) (x-λ) 1. Να βρείτε πολυώνυμο ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς 1, και, αν είναι: Ρ(0)=-6.. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x)=x -x +x+. Να προσδιοριστεί ο πραγματικός αριθμός κ αν ισχύει Ρ(κ+1)=.. Να βρείτε πολυώνυμα Ρ(x) και Q(x) πρώτου βαθμού για τα οποία ισχύει: (x-l) P(x)+(x -x+l) Q(x)=l.. Αν το πολυώνυμο Ρ(x) έχει ως ρίζα τον αριθμό, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Q(x)=P(x-l) έχει ως ρίζα τον αριθμό Να βρείτε πολυώνυμο Ρ(x),το οποίο να είναι ου βαθμού,η πολυωνυμική συνάρτηση Ρ(x) 1 να είναι περιττή και να ισχύουν : P( 1) και P()=5. 6. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ R για τους οποίους το πολυώνυμο x x x παίρνει τη μορφή x 6x 7. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς λ, μ για τους οποίους το πολυώνυμο P(x) x x x έχει ρίζα τον αριθμό και ισχύει P(1)=8 8. Δίνοντας το πολυώνυμο P (x) x και Q(x) x x να προσδιορίσετε τους α, β όταν ο αριθμός 1 είναι κοινή τους ρίζα. ΔΙΑΙΡΕΣΗ 9. Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 7x + x -15) : (x +5) γ) (x - αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α )x + 9α ] : (x - α) 0. Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις: α) 6x 19x 0x 10 : x 5x 6 β) x 1 : x 1 γ) x 6x x x 1 : 1 x x δ) x x x : x x 1. Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις: α) x x x x 1 : x x 5 β) x x : x x. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων:
4 α)(x -x +5x-6): (x-) β) (x 5 - x + 6x + ) : (x + 1) γ) [6x - (α + 6α )x + α ] : (x - α), α є R δ) (x 6 x 5 + x - ) : (x - 1) ε) (x 5 x + λx - ) : (λx + 1), λ є R*. Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο των παρακάτω διαιρέσεων: α) 5x 7x 8x 1 : x β) x x x 9 : x 5 5 γ) x x x 1 : x δ) x x 5 : x 6 ε) 5x 8x 6x 1 : 5x στ) x 6x 1 : x 5. Αν f (x) x x x να βρείτε με το σχήμα Horner το f(-) Αν f (x) x x 5x 6 να βρείτε με το σχήμα Horner το f,f 6. Να εξετάσετε με το σχήμα Horner αν τα πολυώνυμα x+1, x- είναι παράγοντες του f (x) x 11x 1x 9 7. Να εξετάσετε με το σχήμα Horner αν τα πολυώνυμα x+1, x- είναι παράγοντες του f (x) x 11x 1x 9 8. Να βρείτε το πολυώνυμο f (x) το οποίο όταν διαιρεθεί με το x + 1, δίνει πηλίκο x - 1 και υπόλοιπο x Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ ώστε αν το πολυώνυμο Ρ (x) =x + 1 διαιρεθεί με το πολυώνυμο x + κx + λ να αφήνει υπόλοιπο Αν το πολυώνυμο f (x) = x + αx + βx + διαιρείται ακριβώς με το x - και εάν επιπλέον f (1) = 8, να προσδιοριστούν τα α, β. 51. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = x + αx 1x + β. Αν το Ρ (x) διαιρείται με το x -x - 6, να προσδιορίσετε τα α, β R. 5. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = x + αx +βx-6 με α,β R. α) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του P(x) με το x+. β) Αν το πηλίκο της παραπάνω διαίρεσης είναι το : (x) x x να βρείτε τους αριθμούς α και β,καθώς και το υπόλοιπο της παραπάνω διαίρεσης γ) Για τις τιμές των α και β που βρήκατε,να γράψετε την ταυτότητα διαίρεσης P(x): (x+1) 5. Δίνονται τα πολυώνυμα Q(x) x x x ( 5)x P(x) x x x 6 και
5 α) Να κάνετε τις διαιρέσεις P(x) : (x 1) και Q(x) : (x 1) και να γράψετε τις αντίστοιχες ταυτότητες β) Αν οι παρακάτω διαιρέσεις έχουν το ίδιο υπόλοιπο,να βρείτε τα α,β R γ) Για τις τιμές των α και β που βρήκατε,να κάνετε τη διαίρεση Q(x):(x 1) 5. Δίνεται πολυώνυμο P(x),για το οποίο ισχύει :P(1)= και P(-)=11.Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x)με το (x-1)(x+) 55. Δίνεται πολυώνυμο P(x) με σταθερό όρο -1 και το άθροισμα των συντελεστών του είναι ίσο με.να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x) : (x x) Δίνεται το πολυώνυμο P(x) (x ) x 6 για το οποίο ισχύει P(-)=1.Να βρείτε : α) Τον αριθμό λ R β) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x+)(x+5) 57. Δίνεται πολυώνυμο P(x) για το οποίο ισχύει P()=1 και P()=.Να βρείτε το το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου : Q(x) P(5 x) P(x) με το (x-)(x-) Δίνεται το πολυώνυμο P(x) (x ) x,με α,β R. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x-1)(x-) είναι υ(x)=x-7,να βρείτε τους αριθμούς α και β. 59. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = λ x + ( λ - λ + 1)x - (λ + 1). Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ (x) : (x + ) είναι ανεξάρτητο του λ. 60. Να εξηγήσετε γιατί τα παρακάτω πολυώνυμα δεν έχουν παράγοντα της μορφής x-ρ: 6 α) P(x) x 5x x 1 8 β) Q(x) x 5x Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x x (1)x.Να βρείτε για ποια τιμή του λ R,το x+1 είναι διαιρέτης του P(x). 6. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x x (1 )x.αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x+ είναι -6,να βρείτε την τιμή του α R. 6. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x x x 17.Να βρείτε για ποια τιμή του α R,το x- είναι παράγοντας του P(x). 6. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x x.να βρείτε για ποιές τιμές του α R έχει παράγοντα το x - α Το πολυώνυμο P(x) (x ) x x έχει παράγοντα το x.να βρείτε : α) τον αριθμό λ R β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x
6 66. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x x x.το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x- είναι 1,ενώ το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x+1είναι Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x x x 1.Το P(x) έχει παράγοντα το x-,ενώ το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x+1 είναι -8.Να βρείτε τις τιμές των α,β R 68. Το πολυώνυμο P(x) x x x x έχει παράγοντες το x+1και το x-. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R β) Να παραγοντοποιήσετε το P(x) 69. Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυμο Ρ (x) έχει παράγοντα το x - 5, τότε το πολυώνυμο Ρ (x - ) έχει παράγοντα το x Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε το πολυώνυμο Ρ (x) = x - κx + (λ - 1) x + 5 να έχει για παράγοντα το (x - 1) (x + ). 71. Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο Ρ (x) = x - x - ( + α) x + β + 10 να έχει για παράγοντα το (x - ). 7. Το πολυώνυμο Ρ (x) διαιρούμενο με x - αφήνει υπόλοιπο 10 και διαιρούμενο με x + αφήνει υπόλοιπο 5. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ (x) με το (x - ) (x + ). 7. Το πολυώνυμο Ρ (x) διαιρούμενο με x + αφήνει υπόλοιπο και διαιρούμενο με x - x + αφήνει υπόλοιπο x + 7. Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης: Ρ (x) : (x + ) (x - x + ). 7. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x) δια του x x x 5x είναι x 5x 7x. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x):(x-) 75. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x) δια του x x x 6 είναι x x x 5. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x):(x-) 76. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x):(x-) είναι 1 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) διά του x+1 είναι - να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x):(x-)(x+1) 77. Να αποδείξετε ότι το : α) Το x- είναι παράγοντας του β) Το x+1 είναι παράγοντας του P(x) x x 1x P(x) (x ) (8x) x 5x 78. Το πολυώνυμο P(x) x x 8x έχει παράγοντα το x-1.να βρείτε : α) Την τιμή του α R β) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x+ 6
7 79. Το πολυώνυμο P(x) 6x 7x x έχει παράγοντα το x-,ενώ το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x): (x-1) είναι α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R β) Να εξετάσετε αν το x+ είναι παράγοντας του P(x). 80. Το πολυώνυμο P(x) x 1x x έχει παράγοντα το x -1.Να βρείτε : α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R β) Το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x 5x x 9 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε τις ταυτότητες τους. α)p(x):(x+1) β) P(x):(x-) 8. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x x x,με α γ 0 το οποίο έχει παράγοντα το αx+β. Να αποδείξετε ότι το P(x) έχει παράγοντα και το γx+δ 8. Αν το πολυώνυμο Ρ (x) = αx ν+1 + βx ν + 1 έχει παράγοντα το (x - 1) αποδείξτε ότι το πολυώνυμο Q (x) = (ν + 1) αx ν + νβx ν-1 έχει παράγοντα το x Αν το πολυώνυμο Ρ (x) = (ν + 1) x ν - νx ν+1 + α διαιρείται με το x - 1, τότε αποδείξτε ότι διαιρείται και με το (x - 1) Αν x, y θετικοί, ν φυσικός και A x y δείξε ότι το x-y είναι παράγοντας της Α. 86. Δείξε ότι το 1991 διαιρεί το Δείξε ότι το 15 1 διαιρείται δια Αν το P(x) έχει παράγοντα το x-7 δείξε ότι το P(x+) έχει παράγοντα το x Αν το x-1 διαιρεί το f(x) τότε δείξε ότι το x+ διαιρεί το f(-5x) 90. Δείξε ότι το x x διαιρεί το x x Δείξε ότι x 6 x διαιρεί το 8x 1 9. Αν τα πολυώνυμα x-,x-1διαιρούν ακριβώς το πολυώνυμο Ρ(x) και δίνουν πηλίκα π1(x), π(x) αντίστοιχα να δείξετε ότι π1(1)= π(1) 9. Αν το f(x) διαιρεί τα P1 x,p x δείξε ότι το f(x) διαιρεί το P x P x x P x P1 1 και το 7
8 9. Αν 1 x είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης f 1 x : x και x της διαίρεσης f x : x δείξε την ισοδυναμία: το δ(x) διαιρεί το f x f x x x είναι το υπόλοιπο 95. Δίνονται τα πολυώνυμα : P(x) x x (1 )x και Q(x) ( 1)x x (1)x 5.Τα πολυώνυμα P(x) και Q(x),όταν διαιρεθούν με το x-1,αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο. α) Να βρείτε τον αριθμό λ R β) Αν R(x)=Q(x)-P(x),τότε: i) Να αποδείξετε ότι το x-1 είναι διαιρέτης του R(x) ii) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του R(x) με το (x-1). 96. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x x x 1x το οποίο έχει παράγοντα το x-1,διαιρούμενο με x δίνει υπόλοιπο 9 και διαιρούμενο με x+1 δίνει υπόλοιπο 16. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β,γ R β) Να αποδείξετε ότι το Ρ(x) είναι τετράγωνο ενός άλλου πολυωνύμου Q(x),το οποίο και να βρείτε Δίνονται τα πολυώνυμα P(x) x x 1 και Q(x) P(P(x)) P(x). Να βρείτε : α) τον σταθερό όρο του Q(x) β) το άθροισμα των συντελεστών του Q(x) γ) το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q(x) με το x -x 98. Tα πολυώνυμα x- και x-5 είναι διαιρέτες του πολυωνύμου P(x).Δίνεται επίσης το πολυώνυμο : Q(x) P(x ) x x 6. Να βρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων ; α) Q(x):(x 1) και Q(x):(x ) β) Q(x) : (x x ) 99. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x x x x 51το οποίο όταν διαιρεθεί με το x - δίνει υπόλοιπο υ(x)=10x+. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R β) Να βρείτε το κ,λ R,ώστε το πολυώνυμο Q(x) P(x) x να έχει παράγοντα το x x 100.Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x ( 1)x ( )x ( )x α) Να αποδείξετε ότι το x-1 είναι παράγοντας του P(x) β) Να βρείτε για ποιες τιμές του α,το P(x) έχει παράγοντα το (x-1) 101.Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x x x To P(x) διαιρούμενο με x δίνει υπόλοιπο - α) Να βρείτε την τιμή του α R β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x+1είναι -,να
9 βρείτε τις τιμές του θ. 10.Δίνεται πολυώνυμο P(x) με Ρ(0)=1.Επίσης το P(x) διαιρούμενο με x-α δίνει πηλίκο x x και διαιρούμενο με x-β δίνει πηλίκο x 5x 10 α) Να βρείτε το πολυώνυμο P(x) β) Να βρείτε τα κ,λ R ώστε το πολυώνυμο Q(x) P(x) x να έχει παράγοντα το (x-1) 10.Tο πολυώνυμο διαιρούμενο με x-α δίνει υπόλοιπο β, διαιρούμενο με x-β δίνει υπόλοιπο γ και διαιρούμενο με x-γ δίνει υπόλοιπο α,όπου α, β,γ R διαφορετικοί ανά δύο α) Αν π(x) είναι το πηλίκο της διαίρεσης P(x) με το x-γ,να αποδείξετε ότι : ( ) ( ) Β) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Q(x) P(P(P(x))) x έχει παράγοντα το (x-α)(x-β) 10.α) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x-α)(x-β),με α β, ( ) ( ) ( ) ( ) είναι ίσο με: (x) x β) Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x x x i)να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x-)(x+1) ii)να βρείτε τα κ,λ R ώστε το (x-)(x+1) να είναι παράγοντας του P(x). ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 105.Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 10x 0 5 β) x 9x γ) x 8x 0 δ) x x x 0 δ) x (x ) 9(x ) ε) (x 1) (x 1) (x 1) Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 α) x 0 β) 7 γ) (x ) 1 0 δ) (x 1) x Να λύσετε τις εξισώσεις : x x x i) ii)) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x Να λύσετε τις εξισώσεις : 6 α) x 7x 8 0 β) 6 γ) (x ) 16(x ) 6 0 δ) (x 5) 10(x 5) 9 0 (x 5) (x 5) 109.Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις δεν έχουν ακέραιες ρίζες: 9
10 α) x 5x x 0 β) x x 7x Να λύσετε τις εξισώσεις : α)x -8x+7=0 γ)(x -x)x+x+=0 ε)x -x -7x +8x+1=0 β)x -5x +6x +x-=0 δ)(x- 1)(x +)- (x+)=0 111.Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x 5x 5x 1 0 β) x 10x x 0 5 γ) x x 10x 8 0 δ) 6x 19x 1x 19x 6 0 ε) x 1x 1x 0στ) x x 6x 8 0 ζ) x 5x 10x 8 0 η) x 6x x 9 θ) x 8x 16x 16 0ι) x 5x 8x 7x 0 11.Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x x 7x 6 0 β) x 5x 11x 0 γ) x x 10x 0 δ) x 9x 7x Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x x 7x 8x 1 0 β) x x 6x 6x 8 0 γ) x 8x x 0 δ) x x x Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x(x 1) x 5 (x ) β) (x 1) 15x (x )(x ) γ) (x )(x ) x(x 1) x(1 x) (x ) δ) 1 x(x 1) 7x (x )(x ) 115.Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων με τον άξονα χ χ: α) f (x) x 8x 15x β) f (x) x x x 9x Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων f και g α) f (x) x x 5x 7x και g(x) x x 6 β) f (x) x x 7 και g(x) x 5x 5x x x 117.Δίνεται η συνάρτηση : f (x) x 15x 10x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f. 118.Να λύσετε τις εξισώσεις: 10
11 α) x x x 0β) x x x x γ) x x x x δ) x x x x Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 5 α) x x 6x 1x 8x 0 β) x 5x x 15x 6x 0 10.Να λύσετε τις εξισώσεις: 6 α) x 6x 11x β) x 5x x γ) x 1x δ) x 6x 0 11.Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (x 1) 8(x 1) 17(x 1) 10 0 β) (x ) (x ) 11 0 γ) (x x ) 10(x x 1) 9 0 δ) (x x 5) 5(x x ) 7(x x ) Να λύσετε τις εξισώσεις: α)x 6-9x +8=0 β)(x +x-) 6-9(x +x-) +8=0 γ)(x+) 8 -(x+) -=0 δ) (x - 11 x + 1) - (x - 11 x + 1) - = 0 x 1 x 1 ε) ( ) 5( ) 6 0 x x 1.Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6x 5x 8x 5x 6 0 β) 1x 8x 9x 8x Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (x 1)(x )(x )(x ) β) (x 1)(x )(x )(x 5) Να λύσετε τις εξισώσεις : 6 α) x 1 7 x β) x x 1 8 x x 1 0 γ) x x 10 x x δ) x 1x 10x 0 16.Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x 1 7 x 1 8 β) 6 x 5 x 8 0 x x γ) x 15 x 6 x 7 0 x x x 17.Αν κ ακέραιος αριθμός να δείξετε ότι η εξίσωση: 5x
12 δεν έχει ακέραιες ρίζες. 18.Αν κ, λ ακέραιοι αριθμοί να δείξετε ότι η εξίσωση: ακέραια λύση. 8 x (k 1)x 1 0 δεν έχει 19.Δίνεται η εξίσωση x 5 - αx + βx + x - 1 = 0. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε η εξίσωση να έχει το ανώτερο δυνατό πλήθος ακέραιων ριζών Δίνεται το πολυώνυμο : P(x) (x 1) (x 1) (x) x x α) Να βρείτε τον σταθερό όρο του P(x) β) Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες του P(x) 11. Το πολυώνυμο : P(x) x x (1)x 8 έχει παράγοντα το x-. β) Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0 1. Δίνεται το πολυώνυμο : P(x) x x x x 1.Tο υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x+1 είναι -1. β) Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0 1. Το πολυώνυμο P(x) x x x έχει παράγοντα το x+.tο υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x-1 είναι -18. α)να βρείτε τις τιμές των α,β R β)να λύσετε την εξίσωση P(x)=0 1. Δίνεται το πολυώνυμο x x. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R β) Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0 15. Δίνεται το πολυώνυμο x x 1. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R β) Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0 P(x) x x x x 6,το οποίο έχει παράγοντα το P(x) x x x x 6,το οποίο έχει παράγοντα το Το πολυώνυμο : P(x) 8x 0x x 1 έχει παράγοντα το x. β) Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0 17. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) x x 11x διέρχεται από το σημείο Μ(-1,6). β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ χ 18. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y y στο σημείο με τεταγμένη 6. f (x) x x 5x τέμνει τον άξονα 1
13 β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα χ χ 19. Δίνεται η εξίσωση x x ( )x 0,με α Z α) Να βρείτε για ποια τιμή του α Z η παραπάνω εξίσωση έχει ακέραια ρίζα β) Για τη μικρότερη τιμή του α που βρήκατε στο ερώτημα (α),να λύσετε την παραπάνω εξίσωση 10. Το πολυώνυμο P(x) x x x 5 x,με α,β Z έχει δύο ακέραιες και αρνητικές ρίζες. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β Z β) Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0 11. Το πολυώνυμο P(x) 6x x x x 1,με α,β Z έχει δύο ακέραιες ρίζες. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β Z β) Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0 1. Το πολυώνυμο P(x) x x x,με α,β,γ Z και α 0 έχει δύο ακέραιες και περιττές ρίζες. α) Να βρείτε την τιμή του β και να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και γ είναι αντίθετοι β) Να εκφράσετε την τρίτη ρίζα του P(x) σαν συνάρτηση του α 1. Το πολυώνυμο : P(x) x x 9x 9 x έχει παράγοντα το x. α) Να αποδείξετε ότι β=0 β) Αν το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης P(x)=0 είναι,να βρείτε το α. 1.Δίνεται η εξίσωση x 5 + x + κx + λ = 0. Να προσδιοριστούν οι κ, λ ώστε το πολυώνυμο να έχει ρίζα το - 1 με πολλαπλότητα (διπλή ρίζα). Μετά να βρεθούν και οι άλλες ρίζες της εξίσωσης. 15.Αν το p x διαιρεί το P(x)=x +αx+β τότε δείξε ότι 0 16.Αν το x p είναι παράγοντας του πολυωνύμου P(x)=x +αx +βx+γ δείξε ότι ο p είναι ρίζα της εξίσωσης αx +βx+γ=0 17.Αν το x p διαιρεί το f(x)=x -αx+β 18.Δείξτε ότι το x είναι παράγοντας του Ρ(x)= x 7x x 1x 6 και στη συνέχεια να λυθεί η εξίσωση P(x)=0. x 19.Να βρεθούν τα α, β ώστε το P(x)= x 9x x τους x- και x-. να έχει παράγοντες 150.Να βρεθεί ο α ώστε το πολυώνυμο P(x)= x 1 x 5x διαιρούμενο με x+1 να δίνει υπόλοιπο 15 και κατόπιν να λυθεί η εξίσωση P(x)=15. 1
14 151. Να βρεθούν τα α, β ώστε το P(x) = x x x 5x να διαιρείται με τη μεγαλύτερη δυνατή δύναμη του x-1 και κατόπιν να λυθεί η εξίσωση P(x)= Αν το P1 x x x x x έχει παράγοντα το 1 P x x x x έχει παράγοντα το x-1. x δείξτε ότι το 15. Δείξτε ότι το πολυώνυμο P x 1 x x x 1, * όλους τους παράγοντες του x x x έχει παράγοντες 15.Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x-)(x-) αν είναι γνωστό ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x- είναι 10 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x- είναι ίσο με το Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x x 8x. Να βρείτε τα α,β R διαιρείται με το (x+)(x-). να 156.Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε το πολυώνυμο P x x 1 x να διαιρείται δια του x Για ποιες τιμές των α,β R το P x x x x x έχει παράγοντες τους x-1, x+. Για τις τιμές αυτές να λυθεί η εξίσωση P(x)=0 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 158. Να λύσετε τις ανισώσεις : )x x 7x 6 0 )x 5x 6x 8 0 )x x 11x 11 0 )x x Να λύσετε τις ανισώσεις : )x x 5x 0 ) x x 7x 0 )x x 0 )x 5x x Να λύσετε τις ανισώσεις : )x x x 0 )x x 9x 9x 0 )x (x ) 10x (x 1) 6 17x )x x 5x 9 )x x 6x 161.Να λύσετε τις ανισώσεις : α) x x 7x 1x 6 0 β) γ) x x x 7x 6 0 δ) x 5x 6 0 x x x 8x 1 0 1
15 16.Να λύσετε τις ανισώσεις : α) x x x x 0 β) x 7x 16x 15x 9 0 γ) x 6x 1x 1x 0 δ) x 5x 10x 1x Να λύσετε τις ανισώσεις : α) x x 5x 6 0 β) x x x 1 0 γ) x 5x 0 δ) x x x 0 ε) x x 1 0 στ) x 11x 1x 9 0 ζ) x x x 10x Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) x 7x 17x 17x 6 βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ 165.Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) x x x x 6 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ 166.Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) x 7x x 10 βρίσκεται πάνω από τον άξονα χ χ 167.Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) x x x 11x 6 βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ 168.Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) x 7x x 10 βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) x x Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) x x x 5 δεν βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της 5 συνάρτησης g(x) x x x x Να λύσετε τις ανισώσεις : 6 α) x x 0x 7 0 β) 6 x 1x 11x Το πολυώνυμο : P(x) x x x 15 έχει παράγοντα το x-. β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) Το πολυώνυμο P(x) x x 1x έχει παράγοντα το x+1.tο υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x- είναι -. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R β) Να λύσετε την ανίσωση P(x)<0 17. Δίνονται τα πολυώνυμα P(x) x x ( )x 17 και 15
16 Q(x) x ( 1)x x.το P(x) διαιρούμενο με x- αφήνει υπόλοιπο -9,ενώ το Q(x) έχει παράγοντα το x-1. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) Q(x) 17. H γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) x x 17x διέρχεται από το σημείο Μ(,-6). β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται : i) πάνω από τον άξονα χ χ ii) κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) x 7x Το πολυώνυμο P(x) x x 10x 1 έχει παράγοντα το x-1. β) Να λύσετε την ανίσωση P(x)< Το πολυώνυμο P(x) x x 7x x x έχει παράγοντα το x -1. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) Το πολυώνυμο P(x) x 5x x διαιρούμενο με x-1 αφήνει υπόλοιπο 5. β) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του P(x) με το x-1 γ) Να λύσετε την ανίσωση P(x) Το πολυώνυμο P(x) x 5x 11x έχει παράγοντα το x+1. β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) x Το πολυώνυμο P(x) x x 1x 5 έχει παράγοντα το x-1. β) Να λύσετε την ανίσωση P(x)>0 γ) Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου ( 99) ( ) ( ) ( 7) (009) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 180.Να λύσετε τις εξισώσεις: x α) x x x 1 x(x 8) γ) x x x x 181.Να λύσετε τις εξισώσεις: (x ) x x x x x x 9x 10x 0 10 x x x x x x 16 α) γ) 1(x 1) β) x (x 1) x x 7x 10 δ) x x x x 1 7 x x 1 β) x 1 x 1 x 1 7x 10 δ) x x x x
17 18.Να λύσετε τις εξισώσεις: 5x α) x 1 x x x x x 1 x γ) x x 1 x x 18.Να λύσετε τις ανισώσεις: x 8 α) x 0 x 1 x x 6 γ) x 0 x 18.Να λύσετε τις ανισώσεις: x 8 α) x 0 x 1 x x 6 γ) x 0 x 185.Να λύσετε τις ανισώσεις: x (x ) x 10 α) x x x x x x x γ) x x 1 x x x 1 x x 1 β) x 1 x 1 x 1 (x 1) x x x 1 δ) (x 1) x x x(x 1) 5(x 1) β) x x 0 x (x x 1) δ) x x x 5(x 1) β) x x 0 x (x x 1) δ) x x x x 6x 5 x 5 β) 0 x 9 x x (x x 1) δ) x x x 186.Να λύσετε τις ανισώσεις: x i ) x 1 x x ii) x 1 x 1 x 1 x x 1 x 187.Να λυθεί η ανίσωση: x x 1 x 1 x Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x 5 x 0 β) x x 0 γ) x 6 x 8 0 δ) x 10 x 5 0 ε) x x 8 0 στ) x 6 x Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x x 0 β) γ) x x (x 1) x 1 0 δ) x x x Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x x x x x x 1x β) x x x 17
18 γ) x 1 x 1 x 1 0 x x x x 1 x 1 δ) 5 0 x x 191. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x x 18 x 0 0 β) x x 8 x Να λύσετε τις εξισώσεις : α) γ) x x 9 x x 1 β) x 1 x 1 x 1 x 1 δ) x x 1 x x 6x 1x 7 x 1 x 1 5 x 1 x Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x 5 x x 0 β) 19. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x 5 x x 0 β) 195. Να λύσετε τις εξισώσεις : )( x 1) 6( x 1) 7 0 ) x 5 x 5 x 0 ) x 5 x 5 x 0 x x x x 0 x x 11 x x 5 0 ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 196.Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x β) x 1 0 β) x x 5 δ) 5 x Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 18 x β) 0 18x x 0 γ) x x δ) x 0 x ε) x 1 x 7 ζ) 6x 1 1 x 198.Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 1 x β) 1 x x γ) x x 5 5 δ) x 1 x 11 0 ε) x x 6 0 ζ) x 6 11x Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 8 x β) x 5 x 8 γ) x 1 x δ) x x 1 ε) x 1 x 1 στ) x 7 6 x 5 00.Να λύσετε τις εξισώσεις: 18
19 α) γ) 9 x x 5 β) x x 6 8 x 1 x x 1 x δ) x x x 01.Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 5x 17x 1 x β) x x x x (x 1) 0.Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 1 x 1 x β) 1 x 6 x γ) x 1 x δ) 5 x x 0.Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 0 β) x 1 x γ) x 7 x 1 δ) 5x 1 8 x x 1 0.Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 11 x β) x 1 x x 1 γ) x x 1 8 δ) x 1 x 1 x 7 05.Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 1 x β) x x Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 1 x 1 β) x 1 x 6 x 07.Να λύσετε τις εξισώσεις: x 1 x 1 α) 1 x 1 β) x 6 x x 08.Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x β) x γ) x x δ) ε) x 1 x 09.Να λύσετε τις εξισώσεις : x x 19
20 i) x 5x 10 8 ii) x x 1 iii) x 8 x iv) x x 16 v) x 5 1 x vi) x 1 1 x 1 x x 0 vii) viii) x x x 1 ix x x x x x x x x ) 1 1 ) Να λυθεί η εξίσωση 11.Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 1 1 β) 8 7y y y x x x 1 γ) x 6x x 6x 1. ΑΡΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1.Να λύσετε τις ανισώσεις : α) ε) η) x 1 0 β) x 5 0 γ) x 5 0 x στ) x x 1 0 x 9 ζ) x 0 1.Να λύσετε τις ανισώσεις : α) x 1 9 x β) 1 x x γ) x 6 x 0 δ) x 1 x 0 1.Να λύσετε τις ανισώσεις : α) x x 5 β) x x 7 γ) x x 0 δ) x x 0 15.Να λύσετε τις ανισώσεις : α) 7 x x 1 β) x x γ) x 6 x δ) x x 1 16.Να λύσετε τις ανισώσεις : 0
21 α) γ) x x x β) x x x δ) x x 10 x 5 x 9x 8 x 8x 17.Να λύσετε τις ανισώσεις : α) x x β) x 1 x 5 γ) x x δ) 1 x 18.Να λύσετε τις ανισώσεις : x α) x 5 x 1 β) 5 x x 0 19.Να λύσετε τις ανισώσεις : α) x x β) x x 5 x x 1 0.Να λύσετε τις ανισώσεις : i) x 7 x ii) x 1 x 5 1 iii) x x x ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 50x 51x 51x 50 0 β) 6x 5x 6x 5x 6 0.Να λύσετε τις εξισώσεις : i) x x 6x x 1 0 ii)6x 5x 1x 5x 6 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x x 1 0 β) 6x 19x 19x 6 0 γ) x x x 1 0. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x x 5x x 1 0 β) x 9x 6x 9x 0 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1
22 5.Το πολυώνυμο Q(x) x ( )x ( )x είναι ίσο με το πηλίκο της διαίρεσης του (x) x x x με x+.να βρείτε τις τιμές των α,β,γ,δ R. 6.Δίνεται το πολυώνυμο P( x) ax ( 1) x x 6,όπου α,β πραγματικοί αριθμοί. α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x+1 είναι ίσο με,τότε να δείξετε ότι α= και β= β) Για τις τιμές των α και β του ερωτήματος α) να λύσετε την εξίσωση Ρ(x)=0. 7.Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x)=κx -(κ+λ)x +λx+1. 1 α. Αν ( ) 7 ( 1),να αποδείξετε ότι κ = -6 και λ=-5 β. Να γίνει διαίρεση του Ρ(x) για κ= -6 και λ=-5,με το πολυώνυμο x+1 και να γραφεί το P(x) με την ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης γ. Να λυθεί η ανίσωση P(x) > 7 για κ= -6 και λ=-5 8.Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x)=x -8x +(5α-1)x +8x-α-6,όπου α R. α) Να κάνετε τη διαίρεση του P(x) δια του x -1 και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα β) Να βρείτε την τιμή του α,ώστε η διαίρεση να είναι τέλεια γ) Για α=,να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης P(x)=0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης P(x) είναι κάτω από τον χ χ 9.Έστω πολυώνυμο ου βαθμού το οποίο διαιρείται με το πολυώνυμο x +1,έχει ρίζα το 0 και το άθροισμα των συντελεστών του είναι ίσο με. α) Να αποδείξετε ότι P(x) x x β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) P(x) P(x) 0.Δίνονται τα πολυώνυμα P(x) και Q(x) με Q(x) x 1x x 1.Το P(x) διαιρούμενο με x x αφήνει υπόλοιπο x-5,ενώ το Q(x) έχει παράγοντα το x P(1) P(). β) Να λύσετε την εξίσωση Q(x)=0 1.Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x x x x Η διαίρεση του P(x) με το x αφήνει υπόλοιπο x-. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R β) Να λύσετε την εξίσωση P(x)=x- 9 7.Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x x x 010 όπου α,β,γ 0 πραγματικοί αριθμοί. α) Να εξετάσετε αν το P(x) μπορεί να έχει παράγοντα το x 1 β) Να βρείτε τον βαθμό του πολυωνύμου Q(x) P(x) P( x) γ) Αν ισχύει Ρ(009)=-0,να βρείτε την τιμή Ρ(-009).Το πολυώνυμο P(x) x x διαιρούμενο με α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R x x δίνει υπόλοιπο 11x-6
23 β) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο ενός άλλου πολυωνύμου γ) Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0 Q(x) P(x) (x ) είναι τέλειο τετράγωνο.δίνεται πολυώνυμο P(x) για το οποίο ισχύει P(x) P(x 1) 6x 8x 16. Το υπόλοιπο της διαίρεση του P(x) με το x+1 είναι 10 α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το x x β) Αν το πηλίκο της παραπάνω διαίρεσης είναι x-9,τότε να λύσετε την ανίσωση P(x) 0x Καθένα από τα πολυώνυμα έχει παράγοντα το x-1. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R x 1 x x β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) Q(x) x P(x) x x 5x και Q(x) x x (1 5 )x Το πολυώνυμο P(x) x 5x x 6x ( 1)x 1 έχει παράγοντα το x-1. β) Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0 7.Το πολυώνυμο P(x) 8x 1x x x έχει παράγοντα το x. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R β) Να λύσετε την ανίσωση P(x) 0 γ) Να λύσετε την εξίσωση 8 x 6 x ( x 1) x x 5 8.Δίνεται το πολυώνυμο P(x) x 6x 6. α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R για τις οποίες το P(x) παίρνει τη μορφή P(x) (x ) (x ) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0 9.Τα πολυώνυμα 009 P(x) (x ) x 5 και διαιρεθούν με το x x δίνουν το ίδιο υπόλοιπο α) Να βρείτε τις τιμές των α,β R β) Να λύσετε την ανίσωση Q(x) 0 Q(x) x 19x x,όταν 0.To πολυώνυμο P(x) (x x 1) 7(x 1) x έχει σταθερό όρο β) Να λύσετε την εξίσωση P(x)=0 1.Το πολυώνυμο x x P(x) 16x x x x είναι ίσο με το τετράγωνο του α) Να βρείτε τις τιμές των α,β, γ,δ R β) Να λύσετε την εξίσωση x x x x 8 1
8. Να εξετάσετε με το σχήμα Horner αν τα πολυώνυμα x+1, x-3 είναι παράγοντες
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 1. Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x 3 + x - 9) : (x - 1) β) (x 7x 3 + x -15) : (x 3 +5) γ) (3x 3 - αx + α ) : (x - α) δ) [7x 3 - (9α + 7α )x + 9α ] : (x - α). Να γίνουν
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. β) x 9x. ε) (x 1) 3(x 1) 2(x 1) 0. (2x 1) x 128 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x x 10x 0 5 x 9x γ) x 8x 0 x x x 0 x (x ) 9(x ) ε) (x 1) (x 1) (x 1) 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: 5 α) x 0 7 γ) (x ) 1 0 (x 1)
K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έννοια του πολυωνύμου. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια μεταβλητή x που μπορεί να πάρει κάθε πραγματική τιμή. Μονώνυμο του x, είναι κάθε παράσταση της μορφής : x όπου α είναι
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος
Κεφάλαιο ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό
4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Αν η εξίσωση α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +... +α 1 x+α 0 = 0 με α ν,α ν-1,...,α 1,α 0 Ζ : έχει ρίζα τον ακέραιο αριθμό ρ, τότε το ρ διαιρεί το α 0. έχει ρίζα το κλάσμα,
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος
Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...
3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α
β) Αν επιπλέον το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = - 3x + 5, τότε να βρείτε το Δ(x). (Απ. α) 5 ος β) Δ(x) = x 5 5x 4 + 6x 3 + 4x 2 11x + 5)
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ B Λυκείου Γενικής Παιδείας Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 4ο - Φ Υ Λ Λ Ο Νο 2 Δ Ι Α Ι Ρ Ε Σ Η ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ένα πολυώνυμο Δ(x),
4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0
Επαναληπτικές Ασκήσεις
Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x
( ) Άρα το 1 είναι ρίζα του P, οπότε το x 1 είναι παράγοντάς του. Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x 1) είναι:
( x) Άρα το είναι ρίζα του P, οπότε το x είναι παράγοντάς του 4 Το πηλίκο της διαίρεσης ( x 3x + 5x 3) : ( x ) είναι: 3 π ( x) = x + x x + 3 Η ταυτότητα της προηγούμενης διαίρεσης είναι: 4 3 x 3x + 5x
4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ. ΛΥΣΗ 1 2 =κ κ κ 1+43κ κ = =0
4.1 ΕΝΝΟΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ -ΒΑΘΜΟΣ-ΙΣΟΤΗΤΑ-ΡΙΖΕΣ 4.1.1 Να δειχθεί ότι για κάθε κ R το πολυώνυμο P (x) = (κ - 1) x 5 + (3κ 2 + 2) x 3 + κx δεν έχει ρίζα το 1. 2 1 2 =κ 11 2 +3κ + 2 1 + 2 1 2 =0 κ 1+43κ + 2+16κ
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός
7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). x 1. Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:
1. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P (x) = (α - β) x 2 + (β - γ) x + γ - α είναι
_ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Αν α + β + γ = αβγ και α + β + γ 0, δείξτε ότι το πολυώνυµο P () = (α - β) + (β - γ) + γ - α είναι το µηδενικό πολυώνυµο.. Να δειχθεί ότι το πολυώνυµο P () = (κ - ) + (λ + 6) +
4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου
4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της
9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων
4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε
2.1 Πολυώνυμα. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; 3 2 ii. x iii. 3 iv. vi.
.1 Πολυώνυμα 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα; i. 1 x + x ii. x + 7 x iii. 5 x + 7x x iv. 1 x + x v. 1 4 4 x + x + 4x vi. 1 x + 5x. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα
1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =
4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου
4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:
Ανισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /
Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88
( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει
μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,
1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R
1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση
ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΛΛΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1
ΘΕΜΑ Α ΦΥΛΛΟ 1 Α1. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x - ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ = P(ρ). Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: A ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ A Α1. Να αποδείξετε ότι: αβ α β (Μονάδες 15) A. Χαρακτηρίστε ως Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις ακόλουθες προτάσεις: 1. Η εξίσωση
Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 1 0 / 1 2 /
Πολυώνυμα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 66 99 77... 00 00... 88 88... 88 88 Kgllykos..gr 1 0 / 1 / 0 1 8 Άλγεβρα Κεφάλαιο 4 174 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
Πολυώνυμα. Πολυωνυμικές εξισώσεις. Athens Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης. 14/2/2012
Πολυώνυμα Πολυωνυμικές εξισώσεις Άλγεβρα 01 Β Λυκείου Athens 01 13 14//01 1. Περί πολυωνύμων (Α) Πολυώνυμα P x a x a x... a x a v v 1 Πολυώνυμο ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής: όπου a v, a v-1,,a
1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : π α) f() = + ηµ β) g() = + συν( ) 6 π π γ) f() = ηµ( ) δ) g() = συν( ) Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Α. Να βρεθού οι κ,λ R για τους οποίους είαι ίσα τα πολυώυµα ( λ + 1) x ( κ ) x λ + 1 (x) = και Q(x) = κx λx + κ Β. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ R για τους
4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Πολυωνυµική εξίσωση Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) πολυώνυµο.. Ρίζα πολυωνυµικής εξίσωσης Λέγεται κάθε ρίζα του αντίστοιχου πολυωνύµου.
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ
Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ln 4 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να δείξετε ότι η παραπάνω συνάρτηση γράφεται: ln iii Να λύσετε την εξίσωση ln 5 ln 3 4 a a1 4,, a i Να βρείτε τον αριθμό
1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε.
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Το πολυώνυµο P (x) = 3 (x - 1) 2-3x 2 + 5 είναι Α. µηδενικού βαθµού Β. πρώτου βαθµού Γ. δευτέρου βαθµού. το µηδενικό πολυώνυµο Ε. τρίτου βαθµού 2. Αν το πολυώνυµο P (x)
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει
Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και
ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο
ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα
Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό
Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 2 0 / 7 /
Πολυώνυμα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 66 99 77... 00 00... 88 88... 88 88 Kgllykos..gr 0 / 7 / 0 1 8 Άλγεβρα Κεφάλαιο 17 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ.
ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab
Πολυώνυμα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α
Πολυώνυμα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 1 / 1 / 0 1 6 Άλγεβρα Κεφάλαιο 4 174 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.
β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
ιαίρεση Πολυωνύμων η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να διαιρέσουμε δύο πολυώνυμα Δίνονται τα πολυώνυμα: P x x x x 8x 4 = + +4 και δ ( x) = x x α) Να βρεθεί το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Τι καλούμε μονώνυμο, τι πολυώνυμο, τι όροι,τι συντελεστές
1ο Κεφάλαιο: Συστήματα
ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ
(x) = δ(x) π(x) + υ(x)
Μάθηµα 12 Κεφάλαιο 4ο: Πολυώνυµα Πολυωνυµικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες: Α. ιαίρεση Πολυωνύµων Β. Σχήµα Horner Η ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης Αν ( χ), δ ( χ) δύο πολυώνυµα µε δ ( χ) 0 και βαθµούς
( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x
ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και
α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων
Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές
0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α - Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ
1. ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 1. Φυσικοί αριθμοί : Ν = {0,1,,3,4,...}. Ακέραιοι αριθμοί : Ζ = {...-4,-3,-,-1,0,1,,3,4,...} 3. Ρητοί αριθμοί : Q = { ì í, μ Ζ, ν Ζ* } Σημ. Το σύνολο Q των ρητών αριθμών ταυτίζεται με
- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ
- ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ν Μονώνυμο του χ ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής α χ με χ R και ν Ν. Πολυώνυμο του χ
A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)
ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ B. Β.1. Γνωρίζουμε ότι τα σημεία Α(π,4) και Β(-2π,6) ανήκουν στην ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ Α Α.1. Η απόδειξη βρίσκεται στη σελίδα 175 του σχολικού βιβλίου. Α.. Η διατύπωση του ορισμού βρίσκεται στη σελίδα 163 του σχολικού βιβλίου «εκθετική συνάρτηση». Α.3. i) Λάθος ii) Λάθος iii) Σωστό
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
0 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΜΑΘ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία µμου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.
ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1
Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες
2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ
ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι
ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.
ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β
2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις
. Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (
Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α
ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,
Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι
2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x +0x=. x + 0x β) Να λύσετε την εξίσωση x. ίνεται η εξίσωση: x λx+(λ +λ )=0 (), λ R. α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί
Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα
Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...
ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις
ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,
Px α x α x... α x α. Ο αριθμός κ λέγεται βαθμός
ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΪΟΣ ΙΟΥΝΙΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ Α Α1. Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Px με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για
1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................
1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,
x y z xy yz zx, να αποδείξετε ότι x=y=z.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. ο A. Ταυτότητες, ιδιότητες δυνάμεων, διάταξη.1 Να παραγοντοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: 1. 15a x 15a y 5a x 5a y. a x a x a x a x 3 3 4 3 3 3 3. x 4xy 16 4 y
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. x x x x β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +
1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
1 1.7 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ταυτότητα Ευκλείδειας διαίρεσης : Για δύο οποιαδήποτε πολυώνυµα (x) και δ(x) µε δ(x) µπορούµε να βρούµε δύο άλλα πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε να ισχύει (x) = δ(x)π(x)
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)
Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΘΕΜΑ 1. ημ x. 1 σφx 1 σφx 4 ΘΕΜΑ γ ε. 2 δ. 1
1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Να αποδείξετε ότι: 1 σφ 1 σφ ΘΕΜΑ 1. Nα λύσετε την εξίσωση: ημ 1 σφ 1σφ 4 ΘΕΜΑ Α. Να βρεθούν οι παρακάτω τριγωνομετρικοί αριθμοί: α. συν330 ο = β. συν (-300 ο ) = γ. συν (-10 ο ) = δ.
2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. , ισχύει ότι:. α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Έστω ότι για μια γωνία ω, όπου, ισχύει ότι:. 1 α. Να υπολογίσετε όλους τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω. β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:
Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;
Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Αν έχω τριώνυμο της μορφής :,. Υπολογίζω την Διακρίνουσα 4 Αν Δ> τότε η εξίσωση έχει άνισες ρίζες έστω Ομόσημο του α Ετερόσημο του α, τότε: Ομόσημο του α Αν Δ= τότε η εξίσωση έχει διπλή
) = 0. Λύσεις/Ρίζες της εξίσωσης. Ακριβώς δύο άνισες πραγματικές λύσεις, τις: Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις
4. Εξισώσεις 2ου βαθμού αx 2 + βx + γ = 0, α 0 α, β, γ παράμετροι και x η μεταβλητή Αν ρ ρίζα/λύση της εξίσωσης, τότε αρ 2 + βρ + γ = 0 Αν ρ 1, ρ 2 ρίζες/λύσεις της εξίσωσης, τότε το τριώνυμο γράφεται
2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων
. ιαίρεση Πολυωνύμων 1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η διαίρεση δύο πολυωνύμων στηρίζεται στο παρακάτω θεώρημα: «Για κάθε ζεύγος Δ ( x) και δ ( x) με δ ( x)
ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας
. Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο