ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο 2x 2 5x+3. x 2. β) ίνεται η συνάρτηση f(x)=

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο 2x 2 5x+3. x 2. β) ίνεται η συνάρτηση f(x)="

Transcript

1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο x 5x+6 x β) ίνεται η συνάρτηση f(x)= x 5x+ 6 i) Να βρείτε το πεδίο ορισµού A της συνάρτησης ii) Να δείξετε ότι για κάθε x A ισχύει f(x)= 1 x 3 ίνεται η συνάρτηση f(x)=αx+β α) Αν η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σηµεία Α(1,6) και Β( 1,4), να βρείτε τα α, β β) Για α=1 και β=5, να βρείτε τα σηµεία τοµής της C f µε τους άξονες x'x και y'y x 5x+ 6 3 ίνεται η συνάρτηση f(x)= x 3 α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f γ) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τους άξονες x'x και y'y x 5x+ 3 4 ίνεται η συνάρτηση f(x)= x 1 α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της Α β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο x 5x+3 γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x A ισχύει f(x)= x 3 x+ 1 5 ίνεται η συνάρτηση f(x)=x +x 15, x R α) Να υπολογίσετε το άθροισµα f( 1)+f(0)+f(1) β) Να βρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής της παράστασης της f µε τους άξονες x 5, x 3 6 ίνεται η συνάρτηση f, µε f(x)= x,3< x< 10 α) Να γράψετε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f σε µορφή διαστήµατος β) Να υπολογίσετε τις τιµές f( 1), f(3) και f(5) γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=5 7 ίνεται η συνάρτηση f(x)= x + 4, x < 0 x 1, x 0 α) Να δείξετε ότι f( 1)=f(3) β) Να προσδιορίσετε τις τιµές του x R, ώστε f(x)=0 x+ 8 ίνεται η συνάρτηση f(x)= x x 6 α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f β) Να δείξετε ότι f()+f(4)=0

2 1 9 ίνεται η συνάρτηση f, µε τύπο f(x)= x 1 α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης β) Να βρείτε τις δυνατές τιµές του πραγµατικού αριθµού α, ώστε το σηµείο M, 1 α 8 να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f 10 Η απόσταση y (σε χιλιόµετρα) ενός αυτοκινήτου από µια πόλη Α, µετά από x λεπτά, δίνεται από τη σχέση y=35+0,8x α) Ποια θα είναι η απόσταση του αυτοκινήτου από την πόλη Α µετά από 5 λεπτά; β) Πόσα λεπτά θα έχει κινηθεί το αυτοκίνητο, όταν θα απέχει 75 χιλιόµετρα από την πόλη Α; 11 α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο x +x 3 x + x 3 β) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f(x)= x 1 απλοποιήσετε τον τύπο της γ) Να παραστήσετε γραφικά την παραπάνω συνάρτηση και στη συνέχεια να 1 Η θερµοκρασία Τ σε βαθµούς Κελσίου ( C), σε βάθος x χιλιοµέτρων κάτω από την επιφάνεια της Γης, δίνεται κατά προσέγγιση από τη σχέση T=15+5 x, όταν 0 x 00 α) Να βρείτε τη θερµοκρασία ενός σηµείου που βρίσκεται 30 χιλιόµετρα κάτω από την επιφάνεια της Γης Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας β) Να βρείτε το βάθος στο οποίο η θερµοκρασία είναι ίση µε 90 C Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας γ) Σε ποιο βάθος µπορεί να βρίσκεται ένα σηµείο, στο οποίο η θερµοκρασία είναι µεγαλύτερη από 440 C; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 13 ίνεται η συνάρτηση f, µε f(x)= 8 x, x < 0 x+ 5, x 0 α) Να δείξετε ότι f ( 5) = f (4) β) Να βρείτε τις τιµές του x R, ώστε f (x)=9 14 ίνεται η συνάρτηση f(x)=αx+β, µε α, β R, για την οποία ισχύει f(0)=5 και f(1)=3 α) Να δείξετε ότι α= και β=5 β) Να βρείτε τα σηµεία που η γραφική παράσταση της f τέµνει τους άξονες x'x και y y γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f 3 x 16x 15 ίνεται η συνάρτηση f(x)= x 4 α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f και να αποδείξετε ότι, για τα x που ανήκουν στο πεδίο ορισµού της, ισχύει f(x)=x +4x β) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες ισχύει f(x)=3 16 ίνεται η συνάρτηση f(x)=x+ 1 x, x 0 1 α) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης A= f +f(1) f() β) Να λύσετε την εξίσωση f(x)= 5

3 17 α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση Α=x 3 x +3x 3 β) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)= 3 x και g(x)=x x+3 έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο, το Α(1,3) 18 ίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x 3 και g(x)=x, x R α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέµνονται σε τρία σηµεία τα οποία και να βρείτε β) Αν Α, Ο, Β είναι τα σηµεία τοµής των παραπάνω γραφικών παραστάσεων, όπου Ο(0,0), να αποδείξτε ότι Α, Β είναι συµµετρικά ως προς το Ο x 6 x 19 ίνεται η συνάρτηση f, µε f(x)= x 6 α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού A της συνάρτησης f β) Να αποδείξετε ότι f(x)= x, για κάθε x A γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f για x>0 0 Στο παρακάτω σύστηµα συντεταγµένων δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f α) Nα προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης β) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών: x 1 1 y 1 3 γ) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης µε τους άξονες δ) Να προσδιορίσετε τα διαστήµατα του πεδίου ορισµού στα οποία η συνάρτηση παίρνει αρνητικές τιµές

4 1 Στο διπλανό σύστηµα συντεταγµένων δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f α) Nα προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης β) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών: x y 4 γ) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης µε τους άξονες δ) Να προσδιορίσετε το διάστηµα του πεδίου ορισµού στο οποίο η συνάρτηση παίρνει θετικές τιµές ίνεται η συνάρτηση g(x)= x διέρχεται από το σηµείο Α(1, 4), α) να δείξετε ότι µ= 6 β) να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης γ) για µ= 6 να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης 4x+µ Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης g x+ 1 x+ 3 ίνεται η συνάρτηση f, µε f(x)= 9 x α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f β) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f µε τους άξονες γ) Αν Α και Β είναι τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f µε τους άξονες x'x και y'y αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα Α και Β 4 ίνονται οι συναρτήσεις: f(x)=x και g(x)=λx+(1 λ), x R και λ παράµετρος µε λ 0 α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C f και C g έχουν για κάθε τιµή της παραµέτρου λ ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο β) Για ποια τιµή της παραµέτρου λ οι C f και C g έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο; Ποιο είναι το σηµείο αυτό; γ) Αν λ και x 1, x είναι οι τετµηµένες των κοινών σηµείων των C f και C g, να βρεθεί η παράµετρος λ ώστε να ισχύει (x 1 +x ) = x 1 +x + 5 Ένας αθλητής κολυµπάει ύπτιο και καίει 9 θερµίδες το λεπτό, ενώ όταν κολυµπάει πεταλούδα καίει 1 θερµίδες το λεπτό Ο αθλητής θέλει, κολυµπώντας, να κάψει 360 θερµίδες α) Αν ο αθλητής θέλει να κολυµπήσει ύπτιο 3 λεπτά, πόσα λεπτά πρέπει να κολυµπήσει πεταλούδα για να κάψει συνολικά 360 θερµίδες β) Ο αθλητής αποφασίζει πόσο χρόνο θα κολυµπήσει ύπτιο και στη συνέχεια υπολογίζει πόσο χρόνο πρέπει να κολυµπήσει πεταλούδα για να κάψει 360 θερµίδες

5 i) Αν x είναι ο χρόνος (σε λεπτά) που ο αθλητής κολυµπάει ύπτιο, να αποδείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης που εκφράζει το χρόνο που πρέπει να κολυµπήσει πεταλούδα για να κάψει 360 θερµίδες είναι f(x)=30 3 x 4 ii) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης του ερωτήµατος β(i),στο πλαίσιο του συγκεκριµένου προβλήµατος γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήµατος (β), να βρείτε τα σηµεία τοµής της µε τους άξονες και να ερµηνεύσετε τη σηµασία τους στο πλαίσιο του προβλήµατος 6 υο φίλοι αποφάσισαν να κάνουν το χόµπι τους δουλειά Τους άρεσε να ζωγραφίζουν µπλουζάκια και έστησαν µια µικρή επιχείρηση για να τα πουλήσουν µέσω διαδικτύου Τα έξοδα κατασκευής (σε ευρώ) για x µπλουζάκια δίνονται από τη συνάρτηση Κ(x)=1,5x+10 και τα έσοδα από την πώλησή τους (σε ευρώ), σε διάστηµα ενός µηνός, από τη συνάρτηση E(x)=15,5x α) Ποια είναι τα πάγια έξοδα της επιχείρησης; β) Τι εκφράζει ο αριθµός 1,5 και τι ο αριθµός 15,5 στο πλαίσιο του προβλήµατος; γ) Να βρείτε πόσα µπλουζάκια πρέπει να πουλήσουν ώστε να έχουν έσοδα όσα και έξοδα (δηλαδή να µην «µπαίνει µέσα» η επιχείρηση) δ) Αν πουλήσουν 60 µπλουζάκια θα έχουν κέρδος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 7 Για την κάλυψη, µε τετράγωνα πλακάκια, µέρους ενός τοίχου, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε πλακάκια τύπου Α µε πλευρά d cm ή πλακάκια τύπου Β µε πλευρά (d+1)cm α) Να βρείτε, ως συνάρτηση του d, το εµβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου Α και κάθε πλακάκι τύπου Β β) Αν η επιφάνεια µπορεί να καλυφθεί είτε µε 00 πλακάκια τύπου Α είτε µε 18 τύπου Β, να βρείτε: i) Τη διάσταση που έχει το πλακάκι κάθε τύπου ii) Το εµβαδόν της επιφάνειας που καλύπτουν 8 Μια µπάλα που εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, αφού διαγράψει µια τροχιά, µετά από κάποιο χρόνο θα πέσει στο έδαφος Το ύψος h (σε m) από το έδαφος, στο οποίο βρίσκεται η µπάλα κάθε χρονική στιγµή t (σε sec) κατά την κίνησή της, προσδιορίζεται από τη συνάρτηση h(t)= 5t +10t+1,05 α) Να βρείτε τις τιµές h(0), h(1) και h(), και να εξηγήσετε τι παριστάνουν στο πλαίσιο του προβλήµατος β) Να βρείτε µετά από πόσο χρόνο η µπάλα θα φτάσει στο έδαφος γ) Να δείξετε ότι το ύψος στο οποίο βρίσκεται η µπάλα κάθε χρονική στιγµή t µπορεί να προσδιοριστεί και από τον τύπο h(t)=5[1,1 (t 1) ] δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει χρονική στιγµή t 1 (σε sec) που το ύψος h της µπάλας από το έδαφος θα είναι πάνω από 6,05m 9 Για την τύπωση επαγγελµατικής κάρτας επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευράς x cm (5 x 10) στο οποίο η περιοχή τύπωσης περιβάλλεται από περιθώρια cm στο πάνω και στο κάτω µέρος της και 1 cm δεξιά και αριστερά (όπως στο σχήµα) α) Να δείξετε ότι το εµβαδόν Ε της περιοχής τύπωσης των επαγγελµατικών στοιχείων εκφράζεται από τη συνάρτηση E(x)=(x )(x 4) β) Να βρεθεί η τιµή του x ώστε το εµβαδόν της περιοχής τύπωσης των επαγγελµατικών στοιχείων να είναι 35 cm

6 γ) Να βρεθούν οι τιµές που µπορεί να πάρει η πλευρά x του τετραγώνου, αν η περιοχή τύπωσης των επαγγελµατικών στοιχείων έχει εµβαδόν τουλάχιστον 4 cm 30 Για την τύπωση επαγγελµατικής κάρτας επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευράς x cm (5 x 10), στο οποίο η περιοχή τύπωσης περιβάλλεται από περιθώρια cm στο πάνω και στο κάτω µέρος της και 1 cm δεξιά και αριστερά (όπως στο σχήµα) α) Να δείξετε ότι το εµβαδόν Ε της περιοχής τύπωσης των επαγγελµατικών στοιχείων εκφράζεται από τη συνάρτηση E(x)=x 6x+8 β) Να βρεθεί το η τιµή του x ώστε το εµβαδόν της περιοχής τύπωσης των επαγγελµατικών στοιχείων να είναι 4 cm γ) Αν το εµβαδόν της περιοχής τύπωσης των επαγγελµατικών στοιχείων είναι το πολύ 35 cm, να βρεθούν οι τιµές που µπορεί να πάρει η πλευρά x του τετραγώνου 31 Για τη µέτρηση θερµοκρασιών χρησιµοποιούνται οι κλίµακες βαθµών Κελσίου (Celsius), Φαρενάιτ (Fahrenheit) και Κέλβιν (Kelvin) Οι µετατροπές της θερµοκρασίας από Κελσίου σε Φαρενάιτ και από Κελσίου σε Κέλβιν, περιγράφονται από τις προτάσεις Π1 και Π: Π1: Για να µετατρέψουµε τη θερµοκρασία από βαθµούς Κελσίου ( 0 C) σε βαθµούς Φαρενάιτ ( 0 F), πολλαπλασιάζουµε τους βαθµούς Κελσίου µε 1,8 και προσθέτουµε 3 Π: Για να µετατρέψουµε τη θερµοκρασία από βαθµούς Κελσίου ( 0 C) σε βαθµούς Κέλβιν ( 0 K), προσθέτουµε στους βαθµούς Κελσίου ( 0 C) το 73 α) Να εκφράσετε συµβολικά τη σχέση που περιγράφει η κάθε πρόταση β) Να δείξετε ότι η εξίσωση που παριστάνει τη σχέση µεταξύ της θερµοκρασίας σε βαθµούς Κέλβιν ( 0 K) και της θερµοκρασίας σε βαθµούς Φαρενάιτ ( 0 F) είναι η K= F ,8 γ) Στη διάρκεια µιας νύχτας η θερµοκρασία σε µια πόλη κυµάνθηκε από 78 0 Κ µέχρι 83 0 Κ Να βρείτε το διάστηµα µεταβολής της θερµοκρασίας σε 0 F 3 ίνονται οι συναρτήσεις f(x)=4x+ και g(x)=x 9 µε πεδίο ορισµού το R α) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g µε τον άξονα x'x β) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέµνει τους άξονες σε κάποιο από τα σηµεία (3,0) και ( 3,0) γ) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει σηµείο του άξονα x'x που η τετµηµένη του να ικανοποιεί τη σχέση f(x)=g(x) δ) Να βρείτε συνάρτηση h που η γραφική της παράσταση να είναι ευθεία και να τέµνει τη γραφική παράσταση της g σε σηµείο του άξονα x'x 33 ίνονται οι συναρτήσεις f(x)=αx α+ και g(x)=x α+3 µε α R α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο (1,) για κάθε τιµή του πραγµατικού αριθµού α β) Αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέµνονται σε σηµείο µε τετµηµένη 1, τότε: i) Να βρείτε την τιµή του α ii) Για την τιµή του α που βρήκατε υπάρχει άλλο σηµείο τοµής των γραφικών παραστάσεων των f και g; Αιτιολογήστε την απάντησή σας γ) Να βρείτε για ποιες τιµές του α οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν δύο σηµεία τοµής

7 34 Στο παρακάτω σύστηµα συντεταγµένων το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µε Α(0,100) και Β(10,50) παριστάνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης δ(x) των ετήσιων δαπανών µιας εταιρείας, σε χιλιάδες ευρώ, στα x χρόνια της λειτουργίας της To ευθύγραµµο τµήµα Γ µε Γ(0,50) και (10,150) παριστάνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης των ετήσιων εσόδων ε(x) της εταιρείας, σε χιλιάδες ευρώ, στα x χρόνια της λειτουργίας της Οι γραφικές παραστάσεις αναφέρονται στα δέκα πρώτα χρόνια λειτουργίας της εταιρείας α) Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων να εκτιµήσετε τα έσοδα και τα έξοδα τον πέµπτο χρόνο λειτουργίας της εταιρείας β) i) Να προσδιορίσετε τους τύπους των συναρτήσεων δ(x), ε(x) και να ελέγξετε αν οι εκτιµήσεις σας στο α) ερώτηµα ήταν σωστές ii) Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής των τµηµάτων ΑΒ και Γ και να τις ερµηνεύσετε στο πλαίσιο του προβλήµατος x 5 x ίνεται η συνάρτηση f(x)= x 3 α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης f β) Να αποδείξετε ότι για κάθε x A ισχύει f(x)= x γ) Για x A, να λύσετε την εξίσωση (f(x)+) 4f(x) 5=0 36 ίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x 4x+α και g(x)=αx 5, µε α R α) Αν ισχύει f()=g(), να βρείτε την τιµή του α β) Για α=1: i) να λύσετε την εξίσωση f(x)=g(x) ii) να λύσετε την ανίσωση f(x) g(x) και µε τη βοήθεια αυτής, να λύσετε την εξίσωση f(x) g(x) =f(x) g(x) 37 Για δεδοµένο λ R, θεωρούµε τη συνάρτηση f, µε f(x)=(λ+1)x (λ+1)x+, x R α) Να δείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιµή του λ, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σηµείο A(0,) β) Για λ= 1, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f γ) Αν η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα x'x στο σηµείο B(,0), να βρείτε την τιµή του λ και να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση τέµνει τον άξονα x'x και σε άλλο σηµείο δ) Για λ=1, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα x'x

8 38 ίνεται η συνάρτηση f(x)=x +x+1, x R α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f δεν τέµνει τον άξονα x'x β) Να βρείτε τις τετµηµένες των σηµείων της C f που βρίσκονται κάτω από την ευθεία y=x+3 γ) Έστω M(x,y) σηµείο της C f Αν για την τετµηµένη x του σηµείου Μ ισχύει x 1 <3, τότε να δείξετε ότι το σηµείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία y=x+3 x+, x< 0 39 ίνεται η συνάρτηση f, µε f(x)= x+, x 0 α) Να βρείτε το σηµείο τοµής της γραφικής παράστασης C f της f µε τον άξονα y'y β) i) Να χαράξετε τη C f και την ευθεία y=3, και στη συνέχεια να εκτιµήσετε τις συντεταγµένες των σηµείων τοµής τους ii) Nα εξετάσετε αν τα σηµεία αυτά είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα y'y Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας γ) i) Για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού α, η ευθεία y=α τέµνει τη C f σε δυο σηµεία; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας ii) Για τις τιµές του α που βρήκατε στο ερώτηµα (γi), να προσδιορίσετε αλγεβρικά τα σηµεία τοµής της C f µε την ευθεία y=α και να εξετάσετε αν ισχύουν τα συµπεράσµατα του ερωτήµατος (βii), αιτιολογώντας τον ισχυρισµό σας 40 ίνονται οι συναρτήσεις f και g, µε f(x)=x x και g(x)=3x 4, x R α) Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g β) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από εκείνη της g γ) Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία της µορφής y=α, α< 1, βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της f 41 ίνεται η συνάρτηση f(x)= x α x+ α) Να βρείτε τις τιµές του πραγµατικού αριθµού α, ώστε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f να είναι το σύνολο R β) Αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σηµείο 1 A 0,, τότε: i) Να αποδείξετε ότι α=1 και να γράψετε τον τύπο της χωρίς το σύµβολο της τετραγωνικής ρίζας ii) Να λύσετε την εξίσωση f(x)= 1 4 ίνεται η εξίσωση x x+(λ λ )=0, µε παράµετρο λ R (1) α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Να βρείτε το λ ώστε η συνάρτηση f(x)= x x+λ λ να έχει πεδίο ορισµού το R (x 1)(x 4) 43 ίνεται συνάρτηση g(x)=, η οποία έχει πεδίο ορισµού το R {,1} x + kx+λ α) Να βρείτε τις τιµές των κ και λ β) Για k=1 και λ= :

9 i) Να απλοποιήσετε τον τύπο της g ii) Να δείξετε ότι g(α+3)>g(α), όταν 1<α< 44 ίνεται το τριώνυµο f(x)=x x+(λ λ ), λ R α) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ R β) Για ποια τιµή του λ το τριώνυµο έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Αν λ 1 και x 1, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου µε x 1 <x, τότε: x + x i) να αποδείξετε ότι x 1 < 1 <x ii) να διατάξετε από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο τους αριθµούς: x1+ x f(x ), f, f(x +1) (x 1)(x 4) 45 ίνεται συνάρτηση g(x)=, η οποία έχει πεδίο ορισµού το R {,1} x + kx+λ α) Να βρείτε τις τιµές των κ και λ β) Για k=1 και λ= : i) Να απλοποιήσετε τον τύπο της g ii) Να δείξετε ότι g(α) g(β)>0, όταν 1<α< και 1<β< 46 Μία υπολογιστική µηχανή έχει προγραµµατιστεί έτσι ώστε, όταν εισάγεται σε αυτήν ένας πραγµατικός αριθµός x, να δίνει ως εξαγόµενο τον αριθµό λ που δίνεται από τη σχέση λ=(x+5) 8x (1) α) Αν ο εισαγόµενος αριθµός είναι το 5, ποιος είναι ο εξαγόµενος; β) Αν ο εξαγόµενος αριθµός είναι το 0, ποιος µπορεί να είναι ο εισαγόµενος; γ) Να γράψετε τη σχέση (1) στη µορφή 4x +1x+(5 λ)=0 και στη συνέχεια: i) να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τιµή και να έχει ο εισαγόµενος αριθµός x, ο εξαγόµενος αριθµός λ δεν µπορεί να είναι ίσος µε 5 ii) να προσδιορίσετε τις δυνατές τιµές του εξαγόµενου αριθµού λ 47 Μια περιβαλλοντική οργάνωση ξεκινά να καταγράφει τον πληθυσµό των ελαφιών σε µια δασική περιοχή από το 000 όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Έτος Αριθµός ελαφιών Αν ο πληθυσµός των ελαφιών συνεχίσει να αυξάνεται µε τον ίδιο σταθερό ρυθµό και µετά το 004: α) Να βρείτε µια σχέση που να επιτρέπει τον υπολογισµό του πληθυσµού των ελαφιών στο τέλος κάθε έτος από το 000 και µετά β) Με τη βοήθεια της σχέσης αυτής: i) Να προσδιορίσετε τον πληθυσµό των ελαφιών στο τέλος του 01 ii) Να προβλέψετε το έτος στο τέλος του οποίου ο αρχικός πληθυσµός των 1300 ελαφιών θα αυξηθεί κατά 60% iii) Να προβλέψετε το έτος που ο πληθυσµός των ελαφιών δε θα υπερβεί τα 600 ελάφια 48 Θεωρούµε το τριώνυµο f(x)=3x +κx 4, µε παράµετρο κ R α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιµή του κ, το τριώνυµο έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες β) Οι ρίζες του τριωνύµου είναι οµόσηµες ή ετερόσηµες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

10 σας γ) Αν x 1 και x είναι οι ρίζες του τριωνύµου και α, β δυο πραγµατικοί αριθµοί ώστε να ισχύει α<x 1 <x <β, να προσδιορίσετε το πρόσηµο του γινοµένου α f(α) β f(β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 49 Μια µπάλα που εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, αφού διαγράψει µια τροχιά, µετά από κάποιο χρόνο θα πέσει στο έδαφος Το ύψος h (σε m) από το έδαφος, στο οποίο βρίσκεται η µπάλα κάθε χρονική στιγµή t (σε sec) κατά την κίνησή της, προσδιορίζεται από τη συνάρτηση h(t)= 5t +10t+1,05 α) Να βρείτε τις τιµές h(0), h(1) και h() και να εξηγήσετε τι παριστάνουν στο πλαίσιο του προβλήµατος β) Να βρείτε µετά από πόσο χρόνο η µπάλα θα φτάσει στο έδαφος γ) Να δείξετε ότι το ύψος στο οποίο βρίσκεται η µπάλα κάθε χρονική στιγµή t µπορεί να προσδιοριστεί και από τον τύπο h(t)=5[1,1 (t 1) ] δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει χρονική στιγµή t 1 (σε sec) που το ύψος h της µπάλας από το έδαφος θα είναι πάνω από 6,05 m 50 Αν ένας κάτοικος µιας πόλης Α καταναλώσει x κυβικά νερού σε ένα χρόνο, το ποσό που θα 1+ 0,5x,0 x 30 πρέπει να πληρώσει δίνεται (σε ευρώ) από τη συνάρτηση f(x)= 0,7x+ 6, x> 30 α) Να βρείτε πόσα ευρώ θα πληρώσει όποιος: i) έλειπε από το σπίτι του και δεν είχε καταναλώσει νερό ii) έχει καταναλώσει 10 κυβικά µέτρα νερού iii) έχει καταναλώσει 50 κυβικά µέτρα νερού β) Σε µια άλλη πόλη Β το ποσό (σε ευρώ) που αντιστοιχεί σε κατανάλωση x κυβικών µέτρων δίνεται από τον τύπο g(x)=1+0,6x, για x 0 Ένας κάτοικος της πόλης Α και ένας κάτοικος της πόλης Β κατανάλωσαν τα ίδια κυβικά νερού, για το 013 Αν ο κάτοικος της πόλης Α πλήρωσε µεγαλύτερο ποσό στο λογαριασµό του από τον κάτοικο της πόλη Β, να αποδείξετε ότι ο κάθε ένας από τους δύο κατανάλωσε περισσότερα από 60 κυβικά µέτρα νερού 51 Στο παρακάτω σχήµα, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις C f και C g των συναρτήσεων f και g αντίστοιχα, µε f(x)= x και g(x)= 1 x+, x R 3 3 α) Να εκτιµήσετε τις συντεταγµένες των σηµείων τοµής των C f και C g β) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά την απάντησή σας στο ερώτηµα α) γ) Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων, να βρείτε για ποιες τιµές του x η C f βρίσκεται πάνω από τη Cg δ) Με τη βοήθεια του ερωτήµατος γ), να βρείτε για ποιες τιµές του x έχει νόηµα

11 πραγµατικού αριθµού η παράσταση K= 3 x (x+ ) 5 Θεωρούµε τις συναρτήσεις f(x)=x +1 και g(x)=x+α, µε x R και α R α) Για α=1, να προσδιορίσετε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g β) Να βρείτε για ποιες τιµές του α οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g τέµνονται σε δυο σηµεία γ) Για α>1, να εξετάσετε αν οι τετµηµένες των σηµείων τοµής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g είναι οµόσηµες ή ετερόσηµες 53 Για την ενοικίαση ενός συγκεκριµένου τύπου αυτοκινήτου για µία ηµέρα, η εταιρεία Α χρεώνει τους πελάτες της σύµφωνα µε τον τύπο y=60+0,0x, όπου x είναι η απόσταση που διανύθηκε σε Km και y είναι το ποσό της χρέωσης σε ευρώ α) Τι ποσό θα πληρώσει πελάτης της εταιρείας Α, ο οποίος σε µία ηµέρα ταξίδεψε 400Km ; β) Πόσα χιλιόµετρα οδήγησε ένας πελάτης ο οποίος, για µία ηµέρα, πλήρωσε 150 ευρώ; γ) Μία άλλη εταιρεία, η Β, χρεώνει τους πελάτες της ανά ηµέρα σύµφωνα µε τον τύπο y=80+0,10x, όπου, όπως προηγουµένως, x είναι η απόσταση που διανύθηκε σε Km και y είναι το ποσό της χρέωσης σε ευρώ Να εξετάσετε ποια από τις δύο εταιρείες µας συµφέρει να επιλέξουµε, ανάλογα µε την απόσταση που σκοπεύουµε να διανύσουµε δ) Αν f(x)=60+0,0x και g(x)=80+0,10x είναι οι συναρτήσεις που εκφράζουν τον τρόπο χρέωσης των εταιρειών Α και Β αντίστοιχα, να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g και να εξηγήσετε τι εκφράζει η τιµή καθεµιάς από αυτές τις συντεταγµένες σε σχέση µε το πρόβληµα του ερωτήµατος (γ) 54 Ο αγώνας δρόµου ανάµεσα στη χελώνα και το λαγό γίνεται σύµφωνα µε τους ακόλουθους κανόνες: Η διαδροµή είναι τµήµα ενός ευθύγραµµου δρόµου Ο λαγός ξεκινάει τη χρονική στιγµή t=0 από ένα σηµείο Ο Το τέρµα βρίσκεται σε σηµείο Μ µε ΟΜ>600 µέτρα Η χελώνα ξεκινάει τη στιγµή t=0 µε προβάδισµα, δηλαδή από ένα σηµείο Α που βρίσκεται µεταξύ του Ο και του Μ, µε ΟΑ=600 µέτρα Υποθέτουµε ότι, για t 0, η απόσταση του λαγού από το Ο τη χρονική στιγµή t min δίνεται από τον τύπο S Λ (t)=10t µέτρα, ενώ η απόσταση της χελώνας από το Ο τη στιγµή t min δίνεται από τον τύπο S Χ (t)=600+40t µέτρα α) Να βρείτε σε πόση απόσταση από το Ο θα πρέπει να βρίσκεται το τέρµα Μ, ώστε η χελώνα να κερδίσει τον αγώνα β) Υποθέτουµε τώρα ότι η απόσταση του τέρµατος Μ από το Ο είναι ΟΜ=50 µέτρα Να βρείτε: i) Ποια χρονική στιγµή ο λαγός φτάνει τη χελώνα ii) Ποιος από τους δύο δροµείς προηγείται τη χρονική στιγµή t = 1min και ποια είναι τότε η µεταξύ τους απόσταση iii) Ποια χρονική στιγµή τερµατίζει ο νικητής του αγώνα

12 55 ίνονται οι συναρτήσεις f(x)=(x 1) 4 και g(x)= x 1 +, µε x R α) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x'x β) Να δείξετε ότι, για κάθε τιµή του x η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x γ) Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g 56 Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f:r R και της συνάρτησης g(x)= x+ Με τη βοήθεια του σχήµατος, να βρείτε: α) Τις τιµές του x για τις οποίες ισχύει f(x)= x+ β) Τις τιµές f( 1), f(0), f(1) γ) Τις τιµές του x, για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g δ) Τις τιµές του x, για τις οποίες η παράσταση Α= f( x) + x έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού 57 Ο Στέφανος ζεσταίνει νερό, αρχικής θερµοκρασίας 5 C, και µε χρήση ενός θερµοµέτρου παρατηρεί ότι η θερµοκρασία του νερού αυξάνεται µε σταθερό ρυθµό 5 C ανά λεπτό α) Είναι η αντιστοιχία χρόνος θερµοκρασία συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας β) Να µεταφέρετε στην κόλλα σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών: Χρόνος (t) σε min 1 3 Θερµοκρασία (θ) σε C γ) Να παραστήσετε γραφικά την αντιστοιχία χρόνος θερµοκρασία, τοποθετώντας το χρόνο (t) στον οριζόντιο άξονα δ) Με χρήση της γραφικής παράστασης, να εκτιµήσετε µετά από πόσα λεπτά θα βράσει το νερό (το νερό βράζει στους 100 C) Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας ε) Να εκφράσετε αλγεβρικά τη σχέση που περιγράφει την αντιστοιχία χρόνος θερµοκρασία και να υπολογίσετε µετά από πόσα λεπτά θα βράσει το νερό 58 Σε µια πόλη της Ευρώπης µια εταιρεία ΤΑΧΙ µε το όνοµα RED χρεώνει 1 ευρώ µε την είσοδο στο ΤΑΧΙ και 0,6 ευρώ για κάθε χιλιόµετρο που διανύει ο πελάτης Μια άλλη εταιρεία ΤΑΧΙ µε το όνοµα YELLOW χρεώνει ευρώ µε την είσοδο στο ΤΑXΙ και 0,4 ευρώ για κάθε χιλιόµετρο που διανύει ο πελάτης Οι παραπάνω τιµές ισχύουν για αποστάσεις µικρότερες από 15 χιλιόµετρα α) i) Αν f (x) είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία RED για µια διαδροµή x χιλιοµέτρων να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα

13 x (km) 0 8 f (x) (ευρώ) ii) Αν g(x) είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία YELLOW για µια διαδροµή x χιλιοµέτρων να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα x (km) g (x) (ευρώ) 3, 4,8 β) Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων f, g και τους τύπους τους f (x), g(x) γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g και να βρείτε για ποιες αποστάσεις η επιλογή της εταιρείας RED είναι πιο οικονοµική, αιτιολογώντας την απάντησή σας δ) Αν δυο πελάτες Α και Β µετακινηθούν µε την εταιρεία RED και ο πελάτης Α διανύσει 3 χιλιόµετρα παραπάνω από τον Β, να βρείτε πόσο παραπάνω θα πληρώσει ο Α σε σχέση µε τον Β 59 Οι ανθρωπολόγοι για να προσεγγίσουν το ύψος ενός ενήλικα, χρησιµοποιούν τις παρακάτω εξισώσεις που παριστάνουν τη σχέση µεταξύ του µήκους y (σε cm) οστού του µηρού και του ύψους x (σε cm) του ενήλικα ανάλογα µε το φύλο του : Γυναίκα: y=0,43x 6 Άνδρας: y=0,45x 31 α) Ένας ανθρωπολόγος ανακαλύπτει ένα µηριαίο οστό µήκους 38,5cm που ανήκει σε γυναίκα Να υπολογίσετε το ύψος της γυναίκας β) Ο ανθρωπολόγος βρίσκει µεµονωµένα οστά χεριού, τα οποία εκτιµά ότι ανήκουν σε άντρα ύψους περίπου 164cm Λίγα µέτρα πιο κάτω, ανακαλύπτει ένα µηριαίο οστό µήκους 4,8cm που ανήκει σε άντρα Είναι πιθανόν το µηριαίο οστό και τα οστά χεριού να προέρχονται από το ίδιο άτοµο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας γ) Να εξετάσετε αν µπορεί ένας άνδρας και µια γυναίκα ίδιου ύψους να έχουν µηριαίο οστό ίδιου µήκους 60 Μια µικρή µεταλλική σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος Το ύψος y (σε m) στο οποίο θα βρεθεί η σφαίρα τη χρονική στιγµή t (σε sec) µετά την εκτόξευση, δίνεται από τη σχέση y=60t 5t α) Μετά από πόσο χρόνο η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος; β) Ποιες χρονικές στιγµές η σφαίρα θα βρεθεί στο ύψος y=175 m; γ) Να βρεθεί το χρονικό διάστηµα στη διάρκεια του οποίου η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος µεγαλύτερο από 100 m 61 ίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x +3x+ και g(x)=x+1, x R α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο, το οποίο στη συνέχεια να προσδιορίσετε β) ίνεται η συνάρτηση g(x)=x+α Να δείξετε ότι: i) αν α>1, τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g έχουν δύο κοινά σηµεία ii) αν α<1, τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g δεν έχουν κοινά σηµεία 6 Ένα δηµοτικό κολυµβητήριο έχει σχήµα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ, µε διαστάσεις 15m και 5m Ο δήµος, για λόγους ασφάλειας, θέλει να κατασκευάσει γύρω από το κολυµβητήριο µια πλακοστρωµένη ζώνη µε σταθερό πλάτοs x m (x>0), όπως

14 φαίνεται στο παρακάτω σχήµα α) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν της ζώνης δίνεται από τη σχέση: Ε(x)=4x +80x, x>0 β) Να βρεθεί το πλάτος x τηs ζώνης, αν αυτή έχει εµβαδό Ε=500 m γ) Ποιο µπορεί να είναι το πλάτος της ζώνης, αν αυτή έχει εµβαδόν µικρότερο από 500 m ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας 63 Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει περίµετρο Π=40cm Αν x cm είναι το µήκος του παραλληλογράµµου, τότε: α) να αποδείξετε ότι 0<x<0 β) να αποδείξετε ότι το εµβαδόν Ε(x) του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση E(x)=0 x γ) να αποδείξετε ότι ισχύει Ε(x) 100, για κάθε x (0,0) δ) να αποδείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια µε σταθερή περίµετρο 40cm, εκείνο που έχει το µεγαλύτερο εµβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς 10cm 64 υο φίλοι αποφασίζουν να συνεταιριστούν και ανοίγουν µια επιχείρηση που γεµίζει τόνερ (toner) για φωτοτυπικά µηχανήµατα Τα πάγια µηνιαία έξοδα της εταιρείας ανέρχονται στο ποσό των 6500 ευρώ (για ενοίκιο, παροχές, µισθούς, φόρους κα ) Το κόστος γεµίσµατος ενός τόνερ είναι 15 ευρώ, η δε τιµή πώλησης του ενός τόνερ καθορίζεται σε 5 ευρώ α) Να γράψετε µια σχέση που να περιγράφει το µηνιαίο κόστος Κ(ν) της επιχείρησης, αν γεµίζει ν τόνερ το µήνα β) Να γράψετε µια σχέση που να εκφράζει τα µηνιαία έσοδα Ε(ν) της επιχείρησης από την πώληση ν αριθµού τόνερ το µήνα γ) Να βρείτε πόσα τόνερ πρέπει να πωλούνται κάθε µήνα ώστε η επιχείρηση i) να µην έχει ζηµιά ii) να έχει µηνιαίο κέρδος τουλάχιστον 500 ευρώ 65 Στο παρακάτω σχήµα, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις C f και C g των συναρτήσεων f και g αντίστοιχα, µε f(x)= x και g(x)=1, x R

15 α) i) Να εκτιµήσετε τα σηµεία τοµής των C f και C g ii) Να εκτιµήσετε τις τιµές του x, για τις οποίες η C f είναι κάτω από τη C g β) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τις απαντήσεις σας στο προηγούµενο ερώτηµα γ) Να βρείτε για ποιες τιµές του x έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού η παράσταση Α= 1 f (x) f (x) x 5x ίνεται η συνάρτηση f(x)= x α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f β) Να αποδειχθεί ότι f(x)= x 3, x > x + 3, x < γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της και να βρεθούν τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της µε τους άξονες x'x και y'y δ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) 0 4x ( α+ 3)x+ 3α 67 ίνεται η συνάρτηση f(x)=, όπου α R x 3 α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f β) Να αποδειχθεί ότι f(x)=x α, για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισµού της f γ) Να βρεθεί η τιµή του α αν η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σηµείο (1, 1) δ) Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της µε τους άξονες x'x και y'y 68 Για τους πραγµατικούς αριθµούς α,β R ισχύει ότι: 1 3α < Η απόσταση του αριθµού β από τον αριθµό είναι µικρότερη του 1 α) Να αποδειχθεί ότι 1 3 <α<1 β) Να αποδειχθεί ότι β 3α 1 <3 γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f(x)= σύνολο των πραγµατικών αριθµών 4x 4( β )x+β έχει πεδίο ορισµού όλο το 69 Μια µικρή εταιρεία πουλάει βιολογικό ελαιόλαδο στο διαδίκτυο Στο παρακάτω σχήµα, παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης που περιγράφει τα έξοδα Κ(x) και τα έσοδα Ε(x) από την πώληση x λίτρων λαδιού σε ένα µήνα α) Να εκτιµήσετε τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής των δύο ευθειών και να ερµηνεύσετε τη σηµασία του β) Ποια είναι τα αρχικά (πάγια) έξοδα της εταιρείας; γ) Πόσα λίτρα ελαιόλαδο πρέπει να πουλήσει η εταιρεία για να µην έχει ζηµιά δ) Να βρείτε τον τύπο των συναρτήσεων K(x) και Ε(x) και να επαληθεύσετε αλγεβρικά την απάντηση του ερωτήµατος (γ)

16 70 ίνονται οι συναρτήσεις f(x)=x +3x+ και g(x)=x+1, x R α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο, το οποίο στη συνέχεια να προσδιορίσετε β) ίνεται η συνάρτηση h(x)=x+α Να δείξετε ότι: i) αν α>1, τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, h έχουν δύο κοινά σηµεία ii) αν α<1, τότε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, h δεν έχουν κοινά σηµεία 71 ίνονται οι συναρτήσεις f(x)=4x+ και g(x)=x 9 µε πεδίο ορισµού το R α) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g µε τον άξονα x'x β) Να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση της f τέµνει τους άξονες σε κάποιο από τα σηµεία (3,0) και ( 3,0) γ) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g δεν έχουν κοινό σηµείο πάνω σε κάποιον από τους άξονες δ) Να βρείτε συνάρτηση h της οποίας η γραφική παράσταση είναι ευθεία, διέρχεται από το Α(0,3) και τέµνει τη γραφική παράσταση της g σε σηµείο του ηµιάξονα Οx 7 υο φίλοι αποφάσισαν να κάνουν το χόµπι τους δουλειά Τους άρεσε να ζωγραφίζουν µπλουζάκια και έστησαν µια µικρή επιχείρηση για να τα πουλήσουν µέσω διαδικτύου Σε διάστηµα ενός µηνός τα έξοδα κατασκευής (σε ευρώ) για x µπλουζάκια δίνονται από τη συνάρτηση Κ(x)=1,5x+10 και τα έσοδα από την πώλησή τους (σε ευρώ) από τη συνάρτηση E(x)=15,5x α) Αν η επιχείρηση κάποιο µήνα δεν κατασκευάσει µπλουζάκια έχει έξοδα; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας β) Τι εκφράζει ο αριθµός 1,5 και τι ο αριθµός 15,5 στο πλαίσιο του προβλήµατος; γ) Να βρείτε πόσα µπλουζάκια πρέπει να πουλήσουν ώστε να έχουν έσοδα όσα και έξοδα (δηλαδή να µην «µπαίνει µέσα» η επιχείρηση) δ) Αν πουλήσουν 60 µπλουζάκια θα έχουν κέρδος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας

[TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

[TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση α) Να υπολογίσετε το άθροισμα (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της f με τους άξονες.

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1,

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1, Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί

Διαβάστε περισσότερα

γ) Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήματος.

γ) Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήματος. α) Να λύσετε την εξίσωση: x+ 1 x+ 1+ 4 = 3 5 2 3 (Μονάδες 9) β) Nα λύσετε την ανίσωση: - x 2 +2x +3 0 (Μονάδες 9) γ) Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος είναι και λύσεις της ανίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4. για να κάψει 360 θερμίδες είναι: f( x)

ΘΕΜΑ 4. για να κάψει 360 θερμίδες είναι: f( x) Ένας αθλητής κολυμπάει ύπτιο και καίει 9 θερμίδες το λεπτό, ενώ όταν κολυμπάει πεταλούδα καίει 12 θερμίδες το λεπτό. Ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας, να κάψει 360 θερμίδες. α) Αν ο αθλητής θέλει να κολυμπήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο Ερωτήσεις κλειστού τύπου Αποδείξεις θεωρίας Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων του Υπουργείου Προτεινόμενες Ασκήσεις Διαγωνίσματα Γενικά Επαναληπτικά Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4. . Αν για την τετμημένη x του σημείου M ισχύει:, τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την. , με παράμετρο α 0.

ΘΕΜΑ 4. . Αν για την τετμημένη x του σημείου M ισχύει:, τότε να δείξετε ότι το σημείο αυτό βρίσκεται κάτω από την. , με παράμετρο α 0. ΘΕΜΑ 4 ΘΕΜΑ Δίνονται η συνάρτηση f x x x, x α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν τέμνει τον άξονα xx. β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της ευθεία ψ x 3. (Μονάδες 0) γ) Έστω

Διαβάστε περισσότερα

= και g ( x) = x +, x R. Δίνονται η συνάρτηση ( ) α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C

= και g ( x) = x +, x R. Δίνονται η συνάρτηση ( ) α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C ΘΕΜΑ Δίνονται η συνάρτηση ( ) ΘΕΜΑ 4 f x = x + x +, x R. α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f δεν τέμνει τον άξονα xx. (Μονάδες 5) β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της Cfπου

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων. Άλγεβρα Α Λυκείου. Το 4 ο Θέμα

Τράπεζα Θεμάτων. Άλγεβρα Α Λυκείου. Το 4 ο Θέμα Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Το 4 ο Θέμα Επιμέλεια: Γιάνναρος Β. Μιχάλης-Μαθηματικός Άσκηση 1 Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 6.3 Ασκήσεις: όλες Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση f, με x 5x+ 6 f ( x) =. x 3 α) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9)

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9) α) Να λύσετε την ανίσωση: 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2 β) Να λύσετε την ανίσωση: x+ 5 3. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4. Δίνεται η εξίσωση. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5)

ΘΕΜΑ 4. Δίνεται η εξίσωση. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5) Δίνεται η εξίσωση (8-λ)x 2-2(λ-2)x+1=0, με παράμετρο λ R. α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η εξίσωση να είναι 1 ου βαθμού. (Μονάδες 5) β) Αν η εξίσωση είναι 2 ου βαθμού, να βρείτε τις τιμές του λ ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

-1- ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

-1- ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ . GI_A_ALG 474 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Θεωρούμε την ακολουθία α των θετικών περιττών αριθμών:,3,5,7,... ν --. Να αιτιολογήσετε

Διαβάστε περισσότερα

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0.

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 2x2 3x+1<0. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x +0x=. x + 0x β) Να λύσετε την εξίσωση x. ίνεται η εξίσωση: x λx+(λ +λ )=0 (), λ R. α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς

Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Μεθοδική Επανάληψη www.askisopolis.gr Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΏΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ της Α Λυκείου δίνοντας τους τις εκφωνήσεις μαζί με τις λύσεις (ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0.

6. α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 =3. β) Αν α, β με α< β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (α), τότε να λύσετε την εξίσωση αx 2 +βx+3=0. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Δίνεται η εξίσωση λx=x+λ, με λr. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα (λ )x=(λ )(λ+), λr. β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα

Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ ανά ενότητα Ιούνιος 04 . Έννοια της πιθανότητας GI_A_ALG 497 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται µε ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 3 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 3. Ασκήσεις: -5 Θεωρία ως και την 3.3 Ασκήσεις: 6-8 Άσκηση Δίνεται η παράσταση: A= 3 5 +

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (141) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 868 936 064 073 080

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ : y = α.x ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται η ευθεία y = 3x. α) Να υπολογίσετε την κλίση της ευθείας. β) Να κάνετε την γραφική της παράσταση. 2. Μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0

4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0 1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 4 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 4 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 4 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 4.1 Ασκήσεις: 1-12 Θεωρία ως και την 4.2 Ασκήσεις: 13-25 Άσκηση 1 α) Να λύσετε την ανίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας

ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας . Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άσκηση 1102 Δίνονται δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες α) Να υπολογίσετε την (Μονάδες 9) β) i) Να υπολογίσετε με διάγραμμα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. 2.1 Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους. 2.2 Διάταξη Πραγματικών Αριθμών Άλγεβρα Α Λυκείου, Κεφάλαιο ο ΘΕΩΡΙΑ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ο : Ο ι Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ί Α ρ ι θ μ ο ί. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x 1 4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f () A Ομάδας Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 164 167 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η ευθεία = + = 3 1 i = + 1 iv) = 3 + εφω = 1 ω = 45 ο εφω = 3 ω = 60 ο i εφω

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

a = f( x ) =. (Μονάδες 8) 2 = =,από όπου προκύπτει ( υψώνοντας στο τετράγωνο ), x =, επομένως x = 0 x = ή Άσκηση 4679 Δίνεται η συνάρτηση:

a = f( x ) =. (Μονάδες 8) 2 = =,από όπου προκύπτει ( υψώνοντας στο τετράγωνο ), x =, επομένως x = 0 x = ή Άσκηση 4679 Δίνεται η συνάρτηση: Άσκηση 4679 Δίνεται η συνάρτηση: a = + 4 f( x) x x α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f να είναι το σύνολο. (Μονάδες 0) β) Αν είναι γνωστό ότι η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις ευτέρου Βαθµού 108 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθµό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Αν έχω τριώνυμο της μορφής :,. Υπολογίζω την Διακρίνουσα 4 Αν Δ> τότε η εξίσωση έχει άνισες ρίζες έστω Ομόσημο του α Ετερόσημο του α, τότε: Ομόσημο του α Αν Δ= τότε η εξίσωση έχει διπλή

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα

Εκφωνήσεις θεμάτων Άλγεβρας Τράπεζας θεμάτων ανά ενότητα. 2ο θέμα .497 Πιιθαννότητεεςς ο θέμα Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες: η Ειρήνη (Ε)

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1

Στοιχεία Συναρτήσεων. 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: στ. x 1 Στοιχεία Συναρτήσεων 1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 1 α. f() β. f() 3 6 8 3 1 γ. g() δ. g() ( 6)( 5) 4 ε. h() 4 στ. h() 4 ζ. ε. στ. 1 φ() η. 1 1 1 r() 5 6 1 r() 1 5 6 φ() 5. Στις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (2) -2- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; 2. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: 1 Παρατηρήσεις Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: Απόλυτες τιμές:.504(δεν χρειάζεται το α

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α Α ΟΜΑ Α Πιθανότητες: 1. Να βρείτε τον δ.χ. των παρακάτω πειραµάτων τύχης. ι) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν 3 κεφαλές και γράµµατα ιι) Ρίχνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ i) Να αποδείξετε την ταυτότητα α β γ αββγγα α β βγ γα ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους αβγ,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; α β γ αβ βγ γα Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων β,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10 ΓΕ.Λ. ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ A ΑΊ. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΛΙΒΑΔΕΙΑ 4 ΜΑΪΟΥ 05 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y . Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη. Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα