Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς"

Transcript

1 Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς

2

3 Ε. Σύνολα i. Τι είναι το σύνολο; ii. Ποιοι είναι οι βασικοί τρόποι παράστασης συνόλων και τι γνωρίζετε γι αυτούς; iii. Πότε δύο σύνολα είναι ίσα; iv. Πότε ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β; v. Ποιο σύνολο λέγεται κενό; vi. Ποιο σύνολο λέγεται ένωση δύο συνόλων Α,Β; vii. Ποιο σύνολο λέγεται τομή των συνόλων Α,Β; viii. Ποιο σύνολο λέγεται συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού συνόλου Ω; Πιθανότητες Δειγματικός χώρος - ενδεχόμενα i. Ποιο πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό; ii. Ποιο πείραμα ονομάζεται πείραμα τύχης; iii. Τι είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης; iv. Τι ονομάζεται ενδεχόμενο του πειράματος; v. Ποιο ενδεχόμενο ονομάζεται απλό και ποιο σύνθετο; vi. Ποιο ενδεχόμενο λέγεται αδύνατο και ποιο βέβαιο; vii. Να σχεδιάσετε με διαγράμματα Venn τα παρακάτω ενδεχόμενα και να γράψετε το συμβολισμό τους: α) Πραγματοποιούνται συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β. β) Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β. γ) Δεν πραγματοποιείται το Α. δ) Πραγματοποιείται το Α και όχι το Β. ε) Πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β. στ) Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β. viii. Πότε δύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα; Έννοια της πιθανότητας i. Τι ονομάζεται στατιστική ομαλότητα ή νόμος των μεγάλων αριθμών; ii. Ποιος είναι ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας; iii. Ποια ενδεχόμενα έχουν πιθανότητα και 0 αντίστοιχα; iv. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει: PA B PA PB v. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και A ισχύει: PA PA vi. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: PA B PA PB PA B vii. Να αποδείξετε ότι A B, ό PA PB viii. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: PA B PA PA B

4 ix. Αν Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω,να γράψετε τη σχέση από την οποία υπολογίζουμε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β καθώς και τη πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β.. Για τα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου είναι γνωστό ότι PA PB PA B 0,6 και PA B 0,. Να βρείτε την PA. PA,. Για τα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω δίνεται ότι PB P A B και. Να βρείτε την PA B., Αν P A P A 4 να βρείτε τις πιθανότητες PA και PA.. Το 0% των ατόμων ενός πληθυσμού έχουν υπέρταση, το 6% στεφανιαία καρδιακή ασθένεια και το % έχουν και τα δύο. Για ένα άτομο που επιλέγεται τυχαία ποια είναι η πιθανότητα να έχει: α) τουλάχιστον μία ασθένεια; β) μόνο μία ασθένεια; 4. Από τους μαθητές ενός σχολείου το 80% μαθαίνει αγγλικά, το 0% γαλλικά και το 0% και τις δύο γλώσσες. Επιλέγουμε τυχαίως ένα μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα να μη μαθαίνει καμιά από τις δύο γλώσσες. 5. Σε μια κωμόπολη το 5% των νοικοκυριών δεν έχουν τηλεόραση, το 40% δεν έχουν βίντεο και το 0% δεν έχουν ούτε τηλεόραση ούτε βίντεο. Επιλέγουμε τυχαίως ένα νοικοκυριό. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει τηλεόραση και βίντεο. 6. Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα, το 0% συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου και το 5% των μαθητών συμμετέχει και στις δύο ομάδες. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Αν ονομάσουμε τα ενδεχόμενα: Α: «ο μαθητής να συμμετέχει στη θεατρική ομάδα» και Β: «ο μαθητής να συμμετέχει στην ομάδα ποδοσφαίρου», α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα: i) Α Β ii) Α Β iii) Β-Α iv) Α β) να υπολογίσετε τις πιθανότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων i) ο μαθητής που επιλέχθηκε να συμμετέχει μόνο στην ομάδα ποδοσφαίρου ii) ο μαθητής που επιλέχθηκε να μη συμμετέχει σε καμία ομάδα. 7. Δίνονται δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω και οι πιθανότητες: 5 ( ), ( ) και ( ) α) Να υπολογίσετε την ( ) β) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να παραστήσετε στη γλώσσα των συνόλων το ενδεχόμενο «Α ή Β». γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης του παραπάνω ενδεχομένου.

5 8. Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί Αγγλικά είναι τετραπλάσια από την πιθανότητα να παρακολουθεί Γαλλικά. Τέλος, η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί μαθήματα τουλάχιστον μιας από τις δύο γλώσσες είναι 0,9. α) Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη. i) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα και των δύο γλωσσών; ii) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα μόνο μιας από τις δύο γλώσσες; β) Αν 4 μαθητές παρακολουθούν μόνο Αγγλικά, πόσοι είναι οι μαθητές του τμήματος; 9. Αν 0 P A, να αποδείξετε ότι P A PA 4. Οι πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις και οι ιδιότητες τους i. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών; ii. Πως ορίζεται η αφαίρεση και η διαίρεση δύο πραγματικών αριθμών; iii. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ιδιότητες δυνάμεων: 0..., 0..., 0... : iv. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες: v. Να γράψετε τις ιδιότητες των αναλογιών που απορρέουν από την ισότητα, 0 0. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) x y x. Να αποδείξετε ότι: : y x y x y β). Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ, δ με β 0 και δ γ ώστε να

6 ισχύουν: 4 και 4 α) Να αποδείξετε ότι και 5. β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης:.. α) Να αποδείξετε ότι β) Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης,65 0,65,65 4. Δίνονται οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί α, β, με για τους οποίους ισχύει:. α) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι. ( ) β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( ) 8 5 i. Πότε ένας αριθμός α είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό β; ii. Αν δύο αριθμοί α,β είναι ομόσημοι τότε τι συμπεραίνετε για το άθροισμα, το γινόμενο και το πηλίκο τους; iii. Αν δύο αριθμοί α,β είναι ετερόσημοι τότε τι συμπεραίνετε για το γινόμενο και το πηλίκο τους; iv. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: v. Να αποδείξετε ότι για θετικούς αριθμούς, και θετικό ακέραιο ν ισχύει η ισοδυναμία: 5. Αν 0, τότε α) να αποδείξετε ότι: Διάταξη πραγματικών αριθμών. β) να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς: 0,,,,. 6. Δίνονται πραγματικοί αριθμοί α, β, με 0 και 0. Να αποδείξετε ότι: α) Δίνονται οι παραστάσεις: β) και, όπου,. α) Να δείξετε ότι: 6 9 β) Να δείξετε ότι:, για κάθε τιμή των,. γ) Για ποιες τιμές των, ισχύει η ισότητα ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 8. α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει: (x ) (y ) x y x 6y 0 4

7 β) Να βρείτε τους αριθμούς x, y ώστε: x y x 6y Αν x και y, να βρείτε μεταξύ ποιων ορίων βρίσκεται η τιμή καθεμιάς από τις παρακάτω παραστάσεις: x α) x y β) x y γ) y 0. Από το ορθογώνιο ΑΒΖΗ αφαιρέθηκε το τετράγωνο ΓΔΕΗ πλευράς y. α) Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του γραμμοσκιασμένου σχήματος ΕΖΒΑΓΔ που απέμεινε δίνεται από τη σχέση: Π = x + 4y β) Αν ισχύει 5x 8 και y, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η τιμή της περιμέτρου του παραπάνω γραμμοσκιασμένου σχήματος.. Αν, να αποδείξετε ότι:. i. Τι ονομάζεται απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού α; ii. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: Αν 0, τότε x... x... iii. Να αποδείξετε ότι: iv. Να αποδείξετε ότι:... v. Πως συμβολίζεται η απόσταση δύο αριθμών α,β και με τι είναι ίση; vi. Έστω ότι τα σημεία Α και Β παριστάνουν στον άξονα τα άκρα, του διαστήματος,. Αν Mx 0 το μέσο ΑΒ, να αποδείξετε ότι x0. vii. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: Για x 0, 0ισχύει: x x 0... x... Για x 0, 0ισχύει: x x 0... x.... Να γράψετε χωρίς την απόλυτη τιμή την παράσταση x x 4, όταν: α) x β) x 4 γ) x. Αν ο πραγματικός αριθμός x ικανοποιεί τη σχέση: x, α) να δείξετε ότι x,. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 5

8 β) να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης: K = ανεξάρτητος του x. x x 4 είναι αριθμός 4. Για τον πραγματικό αριθμό x ισχύει: dx, x α) Να αποδείξετε ότι x. β) Αν x, να αποδείξετε ότι η παράσταση: K x x είναι ανεξάρτητη του x. 5. α) Αν 0, να αποδειχθεί ότι: β) Αν 0, να αποδειχθεί ότι: 6. Αν, να δείξετε ότι: α) β) 7. Τι σημαίνει για τους αριθμούς x και y: α) η ισότητα x y 0 β) η ανισότητα x y 0 ; 8. Να αποδείξετε ότι. 9. α) Να βρείτε για ποιες πραγματικές τιμές του y ισχύει : y. β) Αν x, y είναι τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με x και y 4, τότε να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η τιμή του εμβαδού Ε του ορθογωνίου. 0. Αν x και y, να αποδείξετε ότι: α) x y β) x y. Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός x που ικανοποιεί τη σχέση: dx,5 9. α) Να αποδώσετε την παραπάνω σχέση λεκτικά. β) Με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών, να παραστήσετε σε μορφή διαστήματος το σύνολο των δυνατών τιμών του x. γ) Να γράψετε τη σχέση με το σύμβολο της απόλυτης τιμής και να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο το συμπέρασμα του ερωτήματος (β). δ) Να χρησιμοποιήσετε το συμπέρασμα του ερωτήματος (γ) για να δείξετε ότι: x 4 x Δίνονται τα σημεία Α, Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς -, 7 και x αντίστοιχα, με x 7. α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων. i) x ii) x 7 β) Με τη βοήθεια του άξονα να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος: x x 7. γ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης A x x 7 γεωμετρικά. 6

9 δ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το προηγούμενο συμπέρασμα.. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β για τους οποίους ισχύει η ανίσωση: 0. α) Να αποδείξετε ότι το είναι μεταξύ των α, β. β) Αν επιπλέον 4, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας είτε γεωμετρικά είτε αλγεβρικά. i. Να δώσετε τον ορισμό της τετραγωνικής ρίζας ενός μη αρνητικού αριθμού α. ii. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις:......, 0...,, 0..., 0, 0 iii. Τι ονομάζεται νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; iv. Αν, 0 να συμπληρώσετε τις παρακάτω σχέσεις: ,,, ν θετικός ακέραιος v. Να αποδείξετε ότι Ρίζες πραγματικών αριθμών 4. Να αποδείξετε ότι:. 5. Να αποδείξετε ότι: α) β) Να αποδείξετε ότι: α) β) 8 7. Να αποδείξετε ότι: 50 7 α) Να αποδείξετε ότι: β) γ) α) β) γ) Να τραπούν τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή: 7

10 α) β) γ) 7 δ) Να αποδείξετε ότι: 5 α) 5 β) 7 γ) Αν είναι 5, και 6 5, τότε: α) Να αποδείξετε ότι 5. β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς Α, Β Δίνονται οι αριθμοί: A ( ) και ( ) α) Να δείξετε ότι: 4 β) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς:,,. 4. α) Να δείξετε ότι : 0 4. β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς 0, Δίνεται η παράσταση: x 4 x x 4 x α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του x. 45. Δίνονται οι παραστάσεις: (x ) και B ( x) όπου x πραγματικός αριθμός α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση A; β) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση B; γ) Να δείξετε ότι, για κάθε x, ισχύει A B. 46. Δίνεται η παράσταση: x 4 6 x α) Για ποιες τιμές του x ορίζεται η παράσταση Α; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του x σε μορφή διαστήματος. β) Για x 5,να αποδείξετε ότι: 6 0. Εξισώσεις i. Να λύσετε την εξίσωση x 0 για τις διαφορετικές τιμές των,. ii. Ποιος αριθμός λέγεται ρίζα της εξίσωσης; 47. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 4x x x Εξισώσεις ου βαθμού x x 4 β) γ) x x 4 xx 4 x 4 0 δ) x x x 4x 4 8

11 ε) x x x 0 στ) x x x 48. Δίνεται η εξίσωση x x, με παράμετρο. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: x,. β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση την οποία και να βρείτε. γ)για ποια τιμή του λ η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 49. Δίνεται η εξίσωση: x 9, με παράμετρο. α) Να λύσετε την εξίσωση στις παρακάτω περιπτώσεις: i) όταν ii) όταν β) Να βρείτε τις τιμές του α, για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση και να προσδιορίσετε τη λύση αυτή. 50. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 5 β) x 4 x γ) x x δ) x 4 x 4 ε) x x x στ) x 5 ζ) x x x 5 η) x x x θ) x x 4 5. Δίνονται οι παραστάσεις: x 4 και B x, όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός. α) Για κάθε x να αποδείξετε ότι B x. x, ώστε να ισχύει B ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. β) Υπάρχει 5. Δίνεται η εξίσωση x 4. α) Για ποιες τιμές των α,β η εξίσωση έχει μοναδική λύση; β) Για ποιες τιμές των α,β η εξίσωση είναι αδύνατη; γ) Για ποιες τιμές των α,β η εξίσωση είναι ταυτότητα; i. Να γράψετε τη λύση της εξίσωσης x, 0, ν περιττός φυσικός αριθμός. ii. Να γράψετε τις λύσεις της εξίσωσης x, 0, ν άρτιος φυσικός αριθμός. iii. Να γράψετε τη λύση της εξίσωσης x, 0, ν περιττός φυσικός αριθμός. iv. Να γράψετε τη λύση της εξίσωσης x, 0, ν άρτιος φυσικός αριθμός. 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 5 0 β) ε) 4 x x 0 στ) 54. Nα λυθούν οι εξισώσεις: Η εξίσωση 5 x 4 0 γ) 5 x 6x 0 ζ) 9 x x 64 0 δ) 5 x 8x 0 x 64 η) 5x 0 α) x β) x γ) 5 x 4 0

12 Εξισώσεις ου βαθμού i. Να λύσετε την εξίσωση x x 0, 0 ii. Πότε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού έχει δύο ρίζες άνισες και ποιες; iii. Πότε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού έχει μια διπλή ρίζα; Ποια είναι η ρίζα; iv. Πότε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού είναι αδύνατη; v. Να αποδείξετε τους τύπους του Vietta, δηλαδή ότι αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x x 0, 0, τότε το άθροισμα των ριζών είναι S, το γινόμενο των ριζών είναι P και η εξίσωση παίρνει τη μορφή x Sx P Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 6x x 0 β) 56. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 0 0 x x 0 γ) x 0 β) x xx x x 57. Δίνεται το τριώνυμο α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο. 58. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) x 4 x 0 x x 0 β) 59. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x x 0 έχει πραγματικές ρίζες. 60. Δίνεται η εξίσωση: x x 0.Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε η εξίσωση να έχει: α) ρίζα το β) δύο ρίζες πραγματικές και άνισες γ) δύο ίσες πραγματικές ρίζες γ) καμία πραγματική ρίζα. 6. Να βρείτε το πρόσημο των ριζών των παρακάτω εξισώσεων, χωρίς να τις λύσετε. α) x 5x 0 β) x x 5 0 γ) x 8x 4 0 δ) x 6x 0, 0 6. Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης x x 5 0, να βρείτε τις εξισώσεις που έχουν ρίζες τα ζεύγη: α) x, x β) kx,kx γ) x,x x x δ) xx,xx ε) στ) x, x x x 0

13 6. Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης: x x 0, να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες ισχύει x 5x x 5x x x 5 x x Δίνεται η εξίσωση α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. γ) Αν x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης τότε να βρείτε για ποια τιμή του λ ισχύει x x x x 5 0. x 65. Δίνονται οι παραστάσεις και x B, όπου ο x είναι πραγματικός αριθμός. x x α) Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει: xκαι x 0. β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει A B. 66. α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: x 0x. x 0x β) Να λύσετε την εξίσωση: 0 x 67. Δίνεται το τριώνυμο x x 5, όπου. α) Αν μια ρίζα του τριωνύμου είναι ο αριθμός x0, να προσδιορίσετε την τιμή του λ. β) Για, να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο. 68. Έστω, πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν: και α) Να αποδείξετε ότι:. β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς, και να τους βρείτε. 69. Δίνεται ορθογώνιο με περίμετρο 0cm και εμβαδό E 4cm. α) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση ου βαθμού που έχει ως ρίζες τα μήκη των πλευρών αυτού του ορθογωνίου. β) Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. 70. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση x x 0 έχει ρίζες αντίστροφες. 7. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για την οποία η εξίσωση x 9 x 0 έχει ρίζες αντίθετες. 7. Δίνεται το τριώνυμο: x x, 0 α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε 0. β) Αν x, x είναι οι ρίζες του τριωνύμου, να εκφράσετε το άθροισμα S x x συναρτήσει του 0 και να βρείτε την τιμή του γινομένου P x x των ριζών γ) Αν 0, τότε: i) το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

14 ii) να αποδείξετε ότι x x xx, όπου x, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου α) Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: x 7x 0. Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. β) Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε τη 4 διτετράγωνη εξίσωση: x x 0 () με παραμέτρους,. Να δείξετε ότι: Αν 0, 0 και διαφορετικές πραγματικές ρίζες. 74. Δίνεται η εξίσωση: α) Να αποδείξετε ότι αν x 5x 0, με παράμετρο 0 4 0, τότε η εξίσωση () έχει τέσσερις. 5, τότε η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικούς αριθμούς, που είναι αντίστροφοι μεταξύ τους. β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης, όταν. γ) Να λύσετε την εξίσωση: 4 Ανισώσεις x 5 x 0. x x Ανισώσεις ου βαθμού i. Να λύσετε την ανίσωση x 0, όπου, συγκεκριμένοι αριθμοί. 75. Να λύσετε τις ανισώσεις: α) x x x β) x 4 5 x 6 6 γ) x 0 δ) x 5 0 ε) x 6x 9 5 στ) x ζ) x η) x α) Να λύσετε την ανίσωση x 5. β) Να λύσετε την ανίσωση x 5. γ) Να παραστήσετε τις λύσεις των δυο προηγούμενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα των πραγματικών αριθμών. Με τη βοήθεια του άξονα, να προσδιορίσετε το σύνολο των κοινών τους λύσεων και να το αναπαραστήσετε με διάστημα ή ένωση διαστημάτων. 77. α) Να λύσετε την εξίσωση: x 4 x. β) Να λύσετε την ανίσωση: x 5. γ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήματος και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήματος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 78. α) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x για τους οποίους ισχύει x 4. β) Θεωρούμε πραγματικό αριθμό x που η απόστασή του από το 4 στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι μικρότερη από. i) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλάσιου του αριθμού αυτού από το 4

15 είναι μεγαλύτερη του και μικρότερη του 4. ii) Να βρείτε μεταξύ ποιων ορίων περιέχεται η τιμή της απόστασης του x από το Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: α) 4x 6 β) x Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x 6 x 6 β) x x 8. Έστω Α και Β τα σημεία που παριστάνουν σε έναν άξονα τους αριθμούς 4 και 6 και Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ. α) Ποιος αριθμός αντιστοιχεί στο σημείο Μ; β) Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της ανίσωσης x 6 x 4 και να βρείτε τις λύσεις της. γ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το συμπέρασμά σας. 8. Έστω Α και Β τα σημεία που παριστάνουν σε έναν άξονα τους αριθμούς και 5 και Μ το μέσο του τμήματος ΑΒ. α) Ποιος αριθμός αντιστοιχεί στο σημείο Μ; β) Να διατυπώσετε γεωμετρικά το ζητούμενο της εξίσωσης x x 5 6 και να βρείτε τις λύσεις της. γ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το συμπέρασμά σας. Ανισώσεις ου βαθμού i. Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο διακρίνουσας Δ. ii. Πότε το τριώνυμο iii. Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου iv. Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου v. Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου x x, 0 για τις διαφορετικές τιμές της x x, 0 είναι ομόσημο του και πότε ετερόσημο του ; x x, 0 όταν 0. x x, 0 όταν 0. x x, 0 όταν Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: x x 4x x 9 α) β) x x x 5x γ) α) Να τραπούν σε γινόμενο παραγόντων οι παραστάσεις:. β) Να απλοποιηθεί η παράσταση Να λύσετε τις ανισώσεις: α) 5x 0x β) x x 4 γ) ε) x x 5 0 στ) x x 0 0 ζ) 5 και x 4 4x δ) x 9 6x x 4x Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: x x 4.

16 87. Δίνεται το τριώνυμο x x. α) Να βρείτε τις ρίζες του. β) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες: x x 0. γ) Να εξετάσετε αν οι αριθμοί 88. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Δίνεται η παράσταση: και είναι λύσεις της ανίσωσης x x 0. x 0x 0. x x 0x. i) Για x 7, να δείξετε ότι: x x 4 x,7, για τις οποίες ισχύει 6. ii) Να βρείτε τις τιμές του 89. α) Να αποδείξετε ότι x 4x 5 0, για κάθε πραγματικό αριθμό x. β) Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση: B x 4x 5 x 4x α) i) Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύμου: ii) Να λύσετε την εξίσωση: x 9x 8. x x 9x 8 0. β) i) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου τιμές του πραγματικού αριθμού x. ii) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει: x 9x 8, για τις διάφορες x 9x 8 x 9x Δίνονται οι ανισώσεις: x και α) Να βρείτε τις λύσεις τους. x 4x 0. β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x,. γ) Αν οι αριθμοί και ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δυο ανισώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθμός είναι κοινή τους λύση. 9. Δίνεται το τριώνυμο f x x x. α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου fx για τις διάφορες τιμές του x. β) Να προσδιορίσετε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, το πρόσημο του f,999 f, 00. γινομένου: γ) Αν, να βρείτε το πρόσημο του αριθμού:. 9. Δίνεται η εξίσωση 4x 8x 7 4 0,. Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση: α) έχει ρίζες άνισες β) έχει ρίζες ίσες γ) είναι αδύνατη 94. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση πραγματικού αριθμού λ. x x 0 έχει ρίζες άνισες για κάθε τιμή του 95. Δίνεται η εξίσωση x x 0, με παράμετρο. α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε. γ) Αν x, x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιμή 4

17 του λ ισχύει: x x x x 96. Δίνεται η εξίσωση: x x ( ) 0 (), με παράμετρο. α) Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε η εξίσωση () να έχει ρίζες πραγματικές. β) Να λύσετε την ανίσωση: S P 0, όπου S και P είναι αντίστοιχα το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της (). 97. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση κάθε x. 98. Δίνεται το τριώνυμο x x,. x x 0 αληθεύει για α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να λύσετε την ανίσωση 0. x x 0, β) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η ανίσωση αληθεύει για κάθε. 99. Δίνεται η εξίσωση: x x 0, με παράμετρο. () α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση A,όπου S, P το άθροισμα και το γινόμενο των S P ριζών της εξίσωσης () αντίστοιχα, έχει νόημα πραγματικού αριθμού για κάθε πραγματικό αριθμό λ. f x x x, 00. Δίνεται το τριώνυμο α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου και να αποδείξετε ότι το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. β) Για ποια τιμή του λ το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Αν και x, x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύμου με x x, τότε : x x i) να αποδείξετε ότι x x ii) να διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς x x f (x ),f,f (x ) 0. Δίνεται η εξίσωση x x 0 () με παράμετρο. α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση () έχει ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Να αποδείξετε ότι αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (), τότε και ο αριθμός είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης. γ) Για, να αποδείξετε ότι: i) Οι ρίζες x, x της εξίσωσης () είναι αριθμοί θετικοί. ii) x 4x Δίνονται οι εξισώσεις x x 0 () και α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (). 4 x x 0 (). 5

18 β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (). γ) Να βρείτε τριώνυμο της μορφής x x που οι ρίζες του να είναι κάποιες από τις ρίζες της εξίσωσης () και επιπλέον, για κάθε αρνητικό αριθμό x, να έχει θετική τιμή. 0. Δίνεται το τριώνυμο: x x 8 α) Να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού x β) Αν k, είναι η τιμή της παράστασης: k k 8 μηδέν, θετικός ή 4444 αρνητικός αριθμός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. γ) Αν ισχύει 4 4, τι μπορείτε να πείτε για το πρόσημο της τιμής της παράστασης: 8 ;Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 04. α) Δίνεται το τριώνυμο x x, x.να βρείτε το πρόσημο του τριωνύμου. β) Θεωρούμε πραγματικούς αριθμούς α, β διαφορετικούς από το 0 με για 0. τους οποίους ισχύει Να αποδείξετε ότι ισχύει. 5 Πρόοδοι Ακολουθίες i. Τι είναι η ακολουθία πραγματικών αριθμών; Ποιος αριθμός καλείται πρώτος όρος και ποιος ν-οστός όρος; 05. Να ορίσετε αναδρομικά τις ακολουθίες: α) 5 β) 06. Να βρείτε το ν-οστό όρο των ακολουθιών: α), β), 5 i. Ποια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος; Τι είναι η διαφορά της προόδου; ii. Ποια σχέση συνδέει τους διαδοχικούς όρους και της προόδου; iii. Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο και διαφορά ω. είναι: iv. Να αποδείξετε ότι τρείς αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν. v. Να γράψετε τους τύπους από τους οποίους υπολογίζετε το άθροισμα S των ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου Αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω. 6

19 07. Να βρείτε το ν-οστό όρο των αριθμητικών προόδων: α) 7, 0,,... β) 5,,, Ο 5ος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι 5 και ο 5ος όρος της είναι. Να βρείτε τον 50ο όρο της προόδου. 09. Ποιος όρος της αριθμητικής προόδου με 80 και ισούται με 97 ; 0. Να υπολογίσετε το άθροισμα Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι 4. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι αριθμητική πρόοδος και να γράψετε τον πρώτο όρο και τη διαφορά της ω.. Μεταξύ των αριθμών και 80 θέλουμε να βρούμε άλλους 0 αριθμούς που όλοι μαζί να είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου. Να βρεθούν οι αριθμοί αυτοί.. Ένα μικρό γήπεδο μπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισμάτων και κάθε σειρά έχει α καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη. Η 7η σειρά έχει 6 καθίσματα και το πλήθος των καθισμάτων του σταδίου είναι 00. α) Αποτελούν τα καθίσματα του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου; Να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας. β) Πόσα καθίσματα έχει κάθε σειρά; 4. α) Να βρείτε το άθροισμα των ν πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων,,, ν β) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να πάρουμε άθροισμα τον αριθμό Δίνεται η εξίσωση: x x 4 0, () με παράμετρο β R. α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες τις: x και x β) Αν x, x είναι οι ρίζες της (), να εξετάσετε αν οι αριθμοί x,, x, με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας. 6. Δίνεται αριθμητική πρόοδος ( ) με διαφορά ω. 5 9 α) Να δείξετε ότι:. 0 7 β) Αν 5 9 8, να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου. 7. Ένας μελισσοκόμος έχει τοποθετήσει 0 κυψέλες σε μια ευθεία η οποία διέρχεται από την αποθήκη του Α. Η πρώτη κυψέλη απέχει μέτρο από την αποθήκη Α, η δεύτερη 4 μέτρα από το Α, η τρίτη 7 μέτρα από το Α και γενικά κάθε επόμενη κυψέλη απέχει από την αποθήκη Α, επιπλέον μέτρα, σε σχέση με την προηγούμενη κυψέλη. α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις των κυψελών από την αποθήκη Α αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου και να βρείτε το νιοστό όρο αυτής της προόδου. Τι εκφράζει ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου και τι η διαφορά της; β) Σε πόση απόσταση από την αποθήκη Α είναι η 0η κυψέλη; γ) Ο μελισσοκόμος ξεκινώντας από την αποθήκη Α συλλέγει το μέλι, από μία κυψέλη κάθε φορά, και το μεταφέρει πάλι πίσω στην αποθήκη Α. i) Ποια είναι απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέλι από την 7

20 η κυψέλη; ii) Ποια είναι η συνολική απόσταση που θα διανύσει ο μελισσοκόμος για να συλλέξει το μέλι και από τις 0 κυψέλες; 8. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν) με διαφορά ω. α) Να αποδείξετε ότι β) Αν και, να αποδείξετε ότι. γ) Ποιος είναι ο πρώτος όρος της προόδου που ξεπερνάει το 0; δ) Πόσοι όροι της παραπάνω προόδου είναι μικρότεροι του 60; 9. Οι αριθμοί : x 5, x x, x 4, με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του αριθμού x. β) Αν x και ο αριθμός x 5 είναι ο 4ος όρος της προόδου, να βρείτε: i) Τη διαφορά ω της αριθμητικής προόδου. ii) Τον πρώτο όρο της προόδου. iii) Το άθροισμα S Σε μια αριθμητική πρόοδο (αν), ο ος όρος είναι 8 και ο 8ος όρος είναι 8. α) Να αποδείξετε ότι ο ος όρος της αριθμητικής προόδου είναι και η διαφορά της. β) Να υπολογίσετε τον ο όρο της. S γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα:. Σε μια αίθουσα θεάτρου με 0 σειρές καθισμάτων, το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς αυξάνει καθώς ανεβαίνουμε από σειρά σε σειρά, κατά τον ίδιο πάντα αριθμό καθισμάτων.η η σειρά έχει 6 καθίσματα και η 7η σειρά έχει 8 καθίσματα. α) Να δείξετε ότι οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Να βρείτε τον πρώτο όρο της και τη διαφορά αυτής της προόδου. β) Να βρείτε το γενικό όρο της προόδου. γ) Πόσα καθίσματα έχει όλο το θέατρο; δ) Αν στην η σειρά της αίθουσας αυτής υπάρχουν 6 κενά καθίσματα, στη η υπάρχουν 9 κενά καθίσματα, στην η υπάρχουν κενά καθίσματα και γενικά, τα κενά καθίσματα κάθε σειράς, από τη η και μετά, είναι κατά περισσότερα από αυτά της προηγούμενης, τότε: i) Να βρείτε από ποια σειρά και πέρα θα υπάρχουν μόνο κενά καθίσματα. ii) Να βρείτε πόσοι είναι οι θεατές. i. Ποια ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος; Τι είναι ο λόγος της προόδου; ii. Ποια σχέση συνδέει τους διαδοχικούς όρους και της προόδου; iii. Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο και λόγο λ είναι:. iv. Να αποδείξετε ότι τρείς αριθμοί,, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν. Γεωμετρική πρόοδος v. Να γράψετε τον τύπο με τον οποίο υπολογίζετε το άθροισμα S των ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου με λόγο λ. 8

21 . Να βρείτε το ν-οστό όρο των γεωμετρικών προόδων: α), 6,,... β) 8, 6,,.... Ο 4ος όρος μιας γεωμετρικής προόδου είναι 5 και ο 0ος όρος της είναι Να βρείτε τον 4ο όρο της προόδου. 4. Ποιος όρος της γεωμετρικής προόδου, 6,, ισούται με 768 ; 5. α) Αν οι αριθμοί 4 x, x, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό x. β) Αν οι αριθμοί 4 x, x, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, να προσδιορίσετε τον αριθμό x. γ) Να βρεθεί ο αριθμός x ώστε οι αριθμοί 4 x, x, να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου. 6. Δίνεται η εξίσωση: x 5x 0 (), με παράμετρο 0. α) Να δείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες τις: x και x. β) Αν x, x είναι οι ρίζες της (), να εξετάσετε αν οι αριθμοί x,, x, με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου και να αιτιολογήσετε το συλλογισμό σας. 7. Να βρείτε τον πρώτο όρο της γεωμετρικής προόδου 4, 8, 6,... που υπερβαίνει το Να υπολογίσετε το άθροισμα Ο ν-οστός όρος μιας ακολουθίας είναι. Να αποδείξετε ότι η ακολουθία αυτή είναι γεωμετρική πρόοδος και να γράψετε τον πρώτο όρο και το λόγο λ. 0. Μια οικογένεια, προκειμένου να χρηματοδοτήσει τις σπουδές του παιδιού της, έχει να επιλέξει μεταξύ δυο προγραμμάτων που της προτείνονται: Για το πρόγραμμα Α πρέπει να καταθέσει τον ο μήνα ευρώ, το ο μήνα ευρώ, τον ο μήνα 4 ευρώ και γενικά, κάθε μήνα που περνάει, πρέπει να καταθέτει ποσό διπλάσιο από αυτό που κατέθεσε τον προηγούμενο μήνα. Για το πρόγραμμα Β πρέπει να καταθέσει τον ο μήνα 00 ευρώ, το ο μήνα 0 ευρώ, τον ο μήνα 0 ευρώ και γενικά, κάθε μήνα που περνάει πρέπει να καταθέτει ποσό κατά 0 ευρώ μεγαλύτερο από εκείνο που κατέθεσε τον προηγούμενο μήνα. α) i) Να βρείτε το ποσό αν που πρέπει να κατατεθεί στο λογαριασμό το νιοστό μήνα σύμφωνα με το πρόγραμμα Α. ii) Να βρείτε το ποσό β ν που πρέπει να κατατεθεί στο λογαριασμό το νιοστό μήνα σύμφωνα με το πρόγραμμα Β. iii) Να βρείτε το ποσό A ν που θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά από ν μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα Α. iv) Να βρείτε το ποσό Β ν που θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά από ν μήνες σύμφωνα με το πρόγραμμα Β. β) i) Τι ποσό θα υπάρχει στο λογαριασμό μετά τους πρώτους 6 μήνες, σύμφωνα με κάθε πρόγραμμα; ii) Αν κάθε πρόγραμμα ολοκληρώνεται σε μήνες, με ποιο από τα δύο 9

22 προγράμματα το συνολικό ποσό που θα συγκεντρωθεί θα είναι μεγαλύτερο;. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών α, β και εμβαδόν Ε, τέτοια ώστε οι αριθμοί α, Ε, β, με τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. α) Να αποδείξετε ότι. 5 β) Αν τότε: i) Να κατασκευάσετε μια εξίσωση ου βαθμού με ρίζες τα μήκη α, β. ii) Να βρείτε τα μήκη α, β.. Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος (αν) με λόγο λ για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα: 4, 5 6 και 0. α) Να βρείτε τον πρώτο όρο α και το λόγο λ της προόδου β) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία (βν), με αποτελεί επίσης γεωμετρική πρόοδο με λόγο τον αντίστροφο του λόγου της (α ν ). γ) Αν S 0 και S 0 είναι τα αθροίσματα των 0 πρώτων όρων των προόδων (α ν ) και (β ν ) αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση: S 0 S Βασικές έννοιες των συναρτήσεων i. Τι ονομάζεται συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β; Πως ονομάζεται το σύνολο Α; ii. Στη συνάρτηση y f x ποια είναι η ανεξάρτητη και ποια η εξαρτημένη μεταβλητή; iii. Ποιο σύνολο ονομάζεται σύνολο τιμών της συνάρτησης f; Πως συμβολίζεται;. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: 4 x 6 α) f x 5 β) fx x x 4x δ) fx ε) f x x x x x ζ) f x x 4x η) fx 4. Δίνεται η συνάρτηση f x x 4. γ) fx x f x x 4 στ) x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. f, f 0, f, f 6. β) Να υπολογίσετε τις τιμές γ) Να αποδείξετε ότι f 4f 8 f f 4. δ) Να λύσετε την εξίσωση f 8 Η έννοια της συνάρτησης θ) fx x x x 0

23 x 5, x f x. x, x 0 α) Να γράψετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f σε μορφή διαστήματος. f, f f Δίνεται η συνάρτηση f, με: β) Να υπολογίσετε τις τιμές και γ) Να λύσετε την εξίσωση f x Δίνεται η εξίσωση: x x 0, με παράμετρο. () α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε. β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση () έχει δύο ρίζες ίσες; γ) Να βρείτε το λ, ώστε η συνάρτηση f x x x να έχει πεδίο ορισμού το. 7. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ A 90 με κάθετες πλευρές που έχουν μήκη x, y τέτοια, ώστε: x y 0. α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του x δίνεται από τον τύπο : (x) ( x 0x), x (0,0). 5 β) Να αποδείξετε ότι E(x) x 0,0. για κάθε γ) Για ποια τιμή του x 0,0 το εμβαδόν Ex γίνεται μέγιστο, δηλαδή ίσο με 5 ; Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο ΑΒΓ; 8. Για τους πραγματικούς αριθμούς, ισχύει ότι Η απόσταση του αριθμού β από τον αριθμό είναι μικρότερη του. α) Να αποδειχθεί ότι. β) Να αποδειχθεί ότι. γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f x 4x 4( )x έχει πεδίο ορισμού όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Γραφική παράσταση συνάρτησης i. Έστω A, ένα σημείο του καρτεσιανού επιπέδου. - Τι συντεταγμένες έχει το συμμετρικό του Α ως προς τον x x; - Τι συντεταγμένες έχει το συμμετρικό του Α ως προς τον y y; - Τι συντεταγμένες έχει το συμμετρικό του Α ως προς την αρχή Ο των αξόνων; - Τι συντεταγμένες έχει το συμμετρικό του Α ως προς τη διχοτόμο της ης ης γωνίας των αξόνων;; ii. Τι ονομάζεται γραφική παράσταση της συνάρτησης f και πως συμβολίζεται; iii. Κάθε κατακόρυφη ευθεία πόσα κοινά σημεία μπορεί να έχει με τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης; iv. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βάση ποιας συμμετρίας προκύπτει από τη γραφική παράσταση της f;

24 9. Δίνεται η συνάρτηση f x x. Να βρείτε: α) Τα σημεία τομής της C f με τους άξονες. β) Τις συντεταγμένες των σημείων της C f που βρίσκονται πάνω από τον άξονα χ χ. 40. Δίνονται οι συναρτήσεις f x x 5x 4 και α) Τα κοινά σημεία των C f και C g. g x x 6. Να βρείτε: β) Τις τετμημένες των σημείων της C f που βρίσκονται κάτω από την 4. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f. Να βρείτε: α) Το πεδίο ορισμού της. β) Το σύνολο τιμών της. γ) Τις τιμές f0, f 4, f,f και να αποδείξετε ότι f 4 f f 0 f. δ) Να λύσετε την εξίσωση f x 0. ε) Να λύσετε την ανίσωση f x 0. C g. 4. Δίνεται η συνάρτηση f, με fx x 5x 6 x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f. γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x x και y' y. x 4. Δίνεται η συνάρτηση f (x), α,β x διέρχεται από τα σημεία A, και B,., της οποίας η γραφική παράσταση 7 i. Να αποδείξετε ότι και. 4 ii. Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x. iii. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y =. 44. Δίνονται οι συναρτήσεις: f x x και gx x, x και λ παράμετρος με λ 0. α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις C f και C g έχουν για κάθε τιμή της παραμέτρου λ ένα τουλάχιστον κοινό σημείο. β) Για ποια τιμή της παραμέτρου λ οι C f και C έχουν ένα μόνο κοινό σημείο; Ποιο είναι το σημείο αυτό; γ) Αν λ και x, x είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των να βρεθεί η παράμετρος λ ώστε να ισχύει: g x x x x. C f και C g

25 45. Δίνεται η συνάρτηση fx x 5 x 6 x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης f. f x x. β) Να αποδείξετε ότι για κάθε xa ισχύει: γ) Για xa, να λύσετε την εξίσωση: f x 4f x Δίνονται οι συναρτήσεις: f x x 4x και α) Αν ισχύει f g, να βρείτε την τιμή του α. β) Για, i) να λύσετε την εξίσωση: f x gx ii) να λύσετε την ανίσωση: f x gx την εξίσωση: f x gx f x gx 47. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: και της συνάρτησης g x x. Με τη βοήθεια του σχήματος, να βρείτε: α) τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει f x x. β) τις τιμές f, f 0, f. γ) τις τιμές του x, για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g. g x x 5,με. και, με τη βοήθεια αυτής, να λύσετε δ) τις τιμές του x, για τις οποίες η παράσταση f x x έχει νόημα πραγματικού αριθμού. 48. Δίνονται οι συναρτήσεις f x x 4 και g x x, με x. α) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. β) Να δείξετε ότι, για κάθε τιμή του x η γραφική παράσταση της συνάρτησης g βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x. γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g. Η συνάρτηση f x x i. Ποια είναι η γωνία που σχηματίζει μια ευθεία ε με τον άξονα χ χ και ποιες τιμές παίρνει; ii. Τι ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης ή κλίση της ευθείας; iii. Ποια συνάρτηση λέγεται σταθερή; iv. Ποιες είναι οι εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών των αξόνων; v. Πότε οι ευθείες : y x και : y x είναι παράλληλες και πότε ταυτίζονται; f x x. vi. Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

26 49. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x η ευθεία: α) y x β) y x γ) y x δ) y x 50. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία: α) Έχει κλίση και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο B0,. και τέμνει τον άξονα y y στο σημείο και διέρχεται από το σημείο A,. β) Σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 45 γ) Είναι παράλληλη με την ευθεία y x 5. Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση: x, x 0 f x, 0 x x, x 5. Δίνεται η συνάρτηση y x, όπου α, β πραγματικοί αριθμοί. α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία B 0,. A,6, (,4), να βρείτε τις τιμές των α, β. β) Αν και 5, να προσδιορίσετε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες x x και y y. 5. Δίνεται η συνάρτηση f x f. x, με,, για την οποία ισχύει: f 0 5 και α) Να δείξετε ότι και 5. β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες x x και y y. γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. f x x 54. Δίνονται οι συναρτήσεις και gx x, x. α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. β) Αν Α, Ο, Β είναι τα σημεία τομής των παραπάνω γραφικών παραστάσεων, όπου Ο(0,0), να αποδείξτε ότι Α, Β είναι συμμετρικά ως προς το Ο. x f x. 9 x α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες. γ) Αν Α και Β είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες x x και y y αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα Α και Β. 55. Δίνεται η συνάρτηση f, με 56. Ένας αθλητής κολυμπάει ύπτιο και καίει 9 θερμίδες το λεπτό, ενώ όταν κολυμπάει πεταλούδα καίει θερμίδες το λεπτό. Ο αθλητής θέλει, κολυμπώντας, να κάψει 60 θερμίδες. α) Αν ο αθλητής θέλει να κολυμπήσει ύπτιο λεπτά, πόσα λεπτά πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει συνολικά 60 θερμίδες. β) Ο αθλητής αποφασίζει πόσο χρόνο θα κολυμπήσει ύπτιο και στη συνέχεια υπολογίζει πόσο χρόνο πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει 60 θερμίδες. i) Αν x είναι ο χρόνος (σε λεπτά) που ο αθλητής κολυμπάει ύπτιο, να αποδείξετε ότι ο 4

27 τύπος της συνάρτησης που εκφράζει το χρόνο που πρέπει να κολυμπήσει πεταλούδα για να κάψει 60 θερμίδες είναι: f x 0 x. 4 ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης του ερωτήματος β(i),στο πλαίσιο του συγκεκριμένου προβλήματος. γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήματος (β), να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες και να ερμηνεύσετε τη σημασία τους στο πλαίσιο του προβλήματος. f x x x, 57. Για δεδομένο λ, θεωρούμε τη συνάρτηση f, με x. α) Να δείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του λ, η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο A(0,). β) Για, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. γ) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x x στο σημείο B(, 0), να βρείτε την τιμή του λ και να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα x x και σε άλλο σημείο. δ) Για, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται ολόκληρη πάνω από τον άξονα x x. x, x 0. x, x 0 α) Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης C f της f με τον άξονα y' y. β) i) Να χαράξετε τη C f και την ευθεία y, και στη συνέχεια να εκτιμήσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής τους. ii) Να εξετάσετε αν τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα y y. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 58. Δίνεται η συνάρτηση f, με fx γ) i) Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α, η ευθεία y τέμνει τη C f σε δυο σημεία; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ii) Για τις τιμές του α που βρήκατε στο ερώτημα (γi), να προσδιορίσετε αλγεβρικά τα σημεία τομής της C f με την ευθεία y και να εξετάσετε αν ισχύουν τα συμπεράσματα του ερωτήματος (βii), αιτιολογώντας τον ισχυρισμό σας. 5

28 59. Δίνεται η συνάρτηση fx Θέματα εξετάσεων x x x. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της γ. Να αποδείξετε ότι: x 4x. x x α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να απλοποιηθεί ο τύπος της. f f β. Να υπολογιστεί η παράσταση A. f Δίνεται η συνάρτηση: fx γ. Να λυθεί η εξίσωση f 5x f x. 6. Δίνονται οι παραστάσεις: α. Να αποδείξετε ότι Α = β. Να αποδείξετε ότι Β =. γ. Να λύσετε την εξίσωση 6. α) Να βρείτε για ποιες τιμές του 4 και x A A A A B η εξίσωση x x x έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Αν x, x οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, να βρείτε για ποιες τιμές του οι ρίζες αυτές ικανοποιούν τη σχέση x x xx. γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει x x 0 6. Δίνεται η εξίσωση. x x x για κάθε πραγματικό x. α) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές; β) Για ποιες τιμές του η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και αντίστροφες; γ) Αν x και x είναι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρεθούν τα ώστε να ισχύει x x x x. δ) Αν x και x είναι οι δυο πραγματικές ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί η εξίσωση που έχει ρίζες και x x. 64. Δίνεται η εξίσωση x x 0 i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του λ. x,x οι ρίζες της εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε ii. Αν l x x xx 0 iii. Για λ=, να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού με ρίζες x και x. 6

29 65. Δίνεται η συνάρτηση x 5, 5 x f x,, x, x 5 f f 4 f f. Για την οποία ισχύουν: και α) Να δείξετε ότι α= - και β= - 5. : y x f και 4 β) Να βρείτε το λ ώστε οι ευθείες : y 4 x f να είναι παράλληλες. γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση: f x Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f x x x, x, όπου α) Να αποδείξετε ότι α = 6. β) Να υπολογίσετε την τιμή f. γ) Να λύσετε την εξίσωση: f x f δ) Να λύσετε την ανίσωση: f x f Η εξίσωση x - λx + λ = Ο, όπου λ, έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες x, x. α) Να αποδείξετε ότι λ < 0 ή λ >. β) Για λ = - 4 : i) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες x, x της εξίσωσης είναι ετερόσημες. ii) Αν x είναι η αρνητική ρίζα της εξίσωσης, να λύσετε την ανίσωση x 0 x. iii) Αν x είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης, να δείξετε ότι x x. 68. Δίνεται το τριώνυμο 4x 4x 5, α. Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύμου και το πρόσημό της για τις διάφορες τιμές του λ. β. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες: i. Το τριώνυμο έχει δύο ρίζες άνισες. ii. Η συνάρτηση f x 4x 4x 5 έχει πεδίο ορισμού το. γ. Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του λ, για την οποία το τριώνυμο έχει δύο ρίζες x, x με x x xx. δ. Αν Α είναι ένα ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου Ω και Α' το συμπληρωματικό του, να αποδείξετε ότι για κάθε x ισχύει: 4x 4 x 5 4x 4A x 5 ' 4x 4 x Δίνεται η εξίσωση x x 0 () όπου Δ είναι η διακρίνουσα της. α. Να βρείτε τις τιμές του Δ και το πλήθος των ριζών της (). Για Δ = 5, θεωρούμε τις συναρτήσεις x x gx x xx x 5x x, f x όπου x, x είναι οι ρίζες x της εξίσωσης (). g x x 5 β. i) Να αποδείξετε ότι ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να απλοποιήσετε τον τύπο της. iii) Να βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C g. 70. Έστω η συνάρτηση f x x kx, k της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται 7

30 από το σημείο Α(, -4). α. Να αποδείξετε ότι k = - και να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες x x και y y. B,f β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο και είναι παράλληλη στην ευθεία ζ με εξίσωση: y = x γ. Έστω Κ(,α), Λ(,β), Μ(5, γ) τρία σημεία που ανήκουν στην ευθεία ε. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α, β, γ με τη σειρά που δίνονται αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου. x 4 x 8 0 (), με παράμετρο λ. 7. Δίνεται η εξίσωση α. i. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει διακρίνουσα: Δ = 4(λ - )(4λ -). ii. Να βρείτε τις τιμές λ, λ της παραμέτρου λ, με λ < λ, ώστε η εξίσωση () να έχει διπλή ρίζα. Στη συνέχεια, να βρείτε τη διπλή ρίζα x 0, για λ = λ. β. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν Ρ( Α) =x 0, PA B και P A B,να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Β. γ. Να προσδιορίσετε τις τιμές των ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ρίζες άνισες, τις x, x. Για ποιές απ τις τιμές της παραμέτρου ισχύει: 4xx x x Δίνεται η συνάρτηση f(x) x 4x 05, 0 Α) Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(,-08) i) να δείξετε ότι λ=. ii) Να λύσετε την ανίσωση f (x) x 0. iii) Να δείξετε ότι 4. f () 0 f () 0 B) Αν x, x οι ρίζες της εξίσωσης f (x) 0,να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες ισχύει 4 x x Έστω Ρ(Α) και Ρ(Β) οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω. Για τον αριθμό Ρ(Α) ισχύει: PA PA, ενώ ο αριθμός Ρ(Β) είναι ρίζα της εξίσωσης: 6x -x-=0. α. Να βρείτε τους αριθμούς Ρ(Α) και Ρ(Β). β. Αν Ρ(Α)= και Ρ(Β)= και η πιθανότητα να συμβούν ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Α και Β είναι, να υπολογίσετε: 6 i. Την πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β. ii. Την πιθανότητα να συμβεί το πολύ ένα από τα Α και Β. 8

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου

ΑΛΓΕΒΡΑ. 14ο Λύκειο Περιστερίου ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 4ο Λύκειο Περιστερίου Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν ααννάά εεννόόττηητταα ΑΛΓΕΒΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις:

Παρατηρήσεις. Προβλήματα είχαν οι ασκήσεις: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ Στέλιιος Μιιχαήλογλου-Δημήτρης Πατσιιμάς Εκκφωννήήσσεει ιςς κκααι ι λλύύσσεει ιςς θθεεμμάάττωνν Άλλγγεεββρρααςς Τρράάππεεζζααςς θθεεμμάάττωνν

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ & ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ τράπεζαθεμάτων θέμαδεύτεροκαιτέταρτο Επιμέλεια: ΕμμανουήλΚ.Σκαλίδης ΑντώνηςΚ.Αποστόλου ΚόμβοςΑτσιποπούλου014-15 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Ένα κουτί περιέχει 5 άσπρες,

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 4 ο (141) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (141) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις

ΘΕΜΑ 2. Δίνονται οι συναρτήσεις ΘΕΜΑ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις (, x R 3 f ( x) = x και g x) = x α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέμνονται σε τρία σημεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13) β) Αν Α, Ο,

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1,

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1, Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟΔΟΙ 1. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος με α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άσκηση 1 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη οµάδα, το 30% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΠΡΟΟ ΟΙ 1. ίνεται η αριθµητική πρόοδος µε α 2 =0 και α 4 =4. α) Να δείξετε ότι ω=2 και α 1 = 2. β) Να δείξετε ότι α ν =2ν 4 και να βρείτε ποιος όρος της είναι το 98. (51 ος ) 2. α) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α Α ΟΜΑ Α Πιθανότητες: 1. Να βρείτε τον δ.χ. των παρακάτω πειραµάτων τύχης. ι) Ρίχνουµε ένα νόµισµα και σταµατάµε όταν έρθουν 3 κεφαλές και γράµµατα ιι) Ρίχνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Πεδίο ορισμού. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i) f ( ) 5 6 ii) f ( ) 7 iii) iv) f( ) 4 f( ) 8 v) f ( ) 6 vi) f ( ) 0 5. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λύσετε τα συστήματα: 4 1 17 x y α) 19 x y δ) 1 4 17 5 5 x y β) 15 1 1 y x 1 1 0 x y ε) 1 1 8 x y στ) γ) 5 5 a 1 7 1 1 5 x y 1 7 x y. Να λυθούν τα συστήματα:

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΟΔΗΓΙΕΣ: α) Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. β) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού. γ) Να γράφετε μόνο με μπλε μελάνι. (Για τα σχήματα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 014 ςεδς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α) x - + y = - + - y β) y + = 3 - ( + ) x γ) 4y - 3y - x = - 5x + 9 δ) (x

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9-3 A Oμάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0, 3,... = + (ν ) ω = 7 + (ν ) 3 = 7 + 3ν 3 = 3ν + 4.ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα