λ n-1 λ n Σχήµα 1 - Γράφος µεταβάσεων διαδικασίας γεννήσεων- θανάτων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "λ n-1 λ n Σχήµα 1 - Γράφος µεταβάσεων διαδικασίας γεννήσεων- θανάτων"

Transcript

1 Κεφάαιο 4. Απά οντέα συστηάτων αναονής Στο κεφάαιο αυτό παρουσιάζουε απά οντέα αναονής (συστήατα ε ένα σταθό εξυπηρέτησης) ενώ τα οντέα δικτύων αναονής θα εξεταστούν σε επόενο κεφάαιο. 4. Μοντέα αναονής γεννήσεων-θανάτων Μια διαδικασία γεννήσεων-θανάτων αποτεεί ια ειδική περίπτωση αυσίδας Markov στην οποία εταβάσεις γίνονται ονάχα εταξύ γειτονικών καταστάσεων. Εισάγουε τις παραέτρους και οι οποίες αντιπροσωπεύουν τον ρυθό γεννήσεων και τον ρυθό θανάτων αντίστοιχα όταν η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση. Οι ρυθοί και είναι ανεξάρτητοι του χρόνου άρα η αυσίδα Markov είναι οογενής. Θα ισχύει: q q q + ( + ) εφ όσον ο ορισός των διαδικασιών γεννήσεων-θανάτων επιβάει ότι q j για j >. Επίσης είναι προφανές ότι. Στο Σχήα παριστάνεται ο γράφος εταβάσεων για τη διαδικασία γεννήσεων-θανάτων Σχήα - Γράφος εταβάσεων διαδικασίας γεννήσεων- θανάτων Ονοάζουε (t) την πιθανότητα να βρίσκεται η διαδικασία στην κατάσταση την χρονική στιγή t. Οι πιθανότητες (t) δε διαφέρουν από τις πιθανότητες π (t) που ορίστηκαν παραπάνω. Ενδιαφερόαστε για την ύπαρξη των οριακών πιθανοτήτων: lm t ( t) Αν υποθέσουε προς το παρόν ότι η κατανοή υπάρχει και αντιπροσωπεύει την στατική κατανοή για τη διαδικασία τότε θα ισχύουν οι εξισώσεις: Η διαδικασία Posso είναι ια διαδικασία γεννήσεων-θανάτων ε και για όα τα. Συστήατα Αναονής Σείδα από 2

2 ( + ) (4.) + Οι εξισώσεις αυτές αντιστοιχούν απά στο σύστηα πˆ Qˆ το οποίο πρέπει να ικανοποιούν οι στατικές πιθανότητες ιας εργοδικής αυσίδας Markov συνεχούς χρόνου. Επιπέον θα πρέπει να ισχύει η σχέση: (4.2) Στο σηείο θα προσπαθήσουε να αναύσουε περαιτέρω τις εξισώσεις (4.). Οι εξισώσεις αυτές περιγράφουν τη δυναική εξέιξη της διαδικασίας και θα πορούσαε να πούε ότι εκφράζουν τη ροή της πιθανότητας έσα από τις διάφορες καταστάσεις. Παρατηρώντας τα βέη στις ακές του γράφου στο Σχήα πορούε να θεωρήσουε ότι: Ρυθός ροής προς την κατάσταση Ρυθός ροής από την κατάσταση ( + ) Εφόσον ενδιαφερόαστε για τη όνιη (στατική) κατάσταση της διαδικασίας το σύστηα πρέπει να βρίσκεται σε ισορροπία και οι ρυθοί αυτοί να είναι ίσοι πράγα το οποίο εκφράζεται από την πρώτη εξίσωση στις (4.). Για το όγο αυτό οι εξισώσεις (4.) ονοάζονται εξισώσεις ισορροπίας του συστήατος. Η έννοια της ισορροπίας της ροής δεν ισχύει ονάχα σε κάθε κατάσταση αά για οποιοδήποτε σύνοο καταστάσεων θεωρώντας τις ροές από και προς το συγκεκριένο σύνοο. Για παράδειγα αν θεωρήσουε το σύνοο καταστάσεων { -} η ισορροπία της ροής δίνει: (4.3) Εύκοα διαπιστώνει κανείς ότι το σύνοο των εξισώσεων που προκύπτουν από την (4.3) για 2 είναι ισοδύναο ε το σύνοο των εξισώσεων που περιγράφεται από τις (4.). Η απή αυτή τεχνική επισκόπησης είναι ιδιαίτερα χρήσιη στην ανάυση των διαδικασιών Markov. Η γενική ύση του συστήατος εξισώσεων βρίσκεται εύκοα: (4.4) ι όπου η πιθανότητα προσδιορίζεται ε βάση την συνθήκη (4.2): (4.5) + + Οι στατικές πιθανότητες θα υπάρχουν αν ισχύει: Σείδα 2 από 2 Συστήατα Αναονής

3 (4.6) S + + < δηαδή εάν ισχύει >. Η σηασία της τεευταίας συνθήκης γίνεται πιο εφανής διαισθητικά αν θεωρήσουε ότι η διαδικασία γεννήσεων-θανάτων περιγράφει ένα από σύστηα αναονής όπου οι γεννήσεις και οι θάνατοι αντιπροσωπεύουν αντίστοιχα αφίξεις και αναχωρήσεις πεατών. Η συνθήκη > εκφράζει απά ότι για να είναι ια ουρά ευσταθής θα πρέπει κατά καιρούς να αδειάζει. Από την (4.6) παρατηρούε ότι η σειρά S συγκίνει αν υπάρχει κάποιο τέτοιο ώστε για κάθε να ισχύει / < ή σε σχέση ε το σύστηα αναονής οι αφίξεις να γίνονται ε ικρότερο ρυθό από τις αναχωρήσεις. Πρόταση: Μια εργοδική διαδικασία γεννήσεων θανάτων είναι στην όνιη κατάσταση χρονικά αντιστρέψιη. Στην συνέχεια θα εφαρόσουε τη γενική ύση (4.4) και (4.5) σε ορισένες από τις πιο σηαντικές περιπτώσεις απών συστηάτων αναονής. 4.2 Το σύστηα αναονής M/M/ Το σύστηα M/M/ είναι το απούστερο σύστηα αναονής και χαρακτηρίζεται από αφίξεις Posso (εκθετικά κατανεηένους χρόνους εταξύ αφίξεων) και εκθετικά κατανεηένους χρόνους εξυπηρέτησης. Οι ρυθοί γεννήσεων-θανάτων είναι ανεξάρτητοι από την κατάσταση του συστήατος: Με εφαρογή στην γενική ύση βρίσκουε: (/) εφόσον ισχύει η συνθήκη: S < Η παραπάνω σειρά συγκίνει για < στην τιή /(-/) οπότε: (4.7) -/ Η ποσότητα ρ/ όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή ονοάζεται ένταση κυκοφορίας (traff testy) του συστήατος. Σύφωνα ε την (4.7) η ένταση κυκοφορίας εκφράζει την πιθανότητα να ην είναι άδειο το σύστηα ή ισοδύναα να είναι απασχοηένη η ονάδα εξυπηρέτησης για αυτό ονοάζεται και βαθός Συστήατα Αναονής Σείδα 3 από 2

4 χρησιοποίησης (utlzato) της ονάδας εξυπηρέτησης. Με χρήση του ρ η πιθανότητα να υπάρχουν πεάτες στο σύστηα θα είναι: (-ρ)ρ δηαδή ο αριθός των πεατών στο σύστηα ακοουθεί γεωετρική κατανοή. Ο έσος αριθός πεατών στο σύστηα θα είναι: ) ( N και ε βάση το θεώρηα του Lttle ο έσος χρόνος παραονής στο σύστηα θα είναι: N T / Ο χρόνος παραονής ενός πεάτη στο σύστηα είναι το άθροισα του χρόνου αναονής και του χρόνου εξυπηρέτησης. Ο έσος χρόνος αναονής είναι: T W Με εφαρογή του θεωρήατος Lttle ο έσος αριθός πεατών σε αναονή είναι: W N W Το σύστηα αναονής M/M/: ονάδες εξυπηρέτησης Θεωρούε σύστηα αναονής ε ίδιες ονάδες εξυπηρέτησης. Έχουε: 2... ) m( 2... Η εφαρογή της γενικής ύσης δίνει την στατική κατανοή του αριθού πεατών στο σύστηα:!! ) ( όπου <. Η ποσότητα αυτή εκφράζει το αναενόενο ποσοστό απασχοηένων ονάδων εξυπηρέτησης ή ισοδύναα το βαθό χρησιοποίησης κάθε ονάδας εξυπηρέτησης. Τέος η πιθανότητα θα είναι: Σείδα 4 από 2 Συστήατα Αναονής

5 ( )! ( ) +!( ) Οι εκφράσεις για τα διάφορα έτρα επιδόσεων του συστήατος M/M/ είναι σχετικά πούποκες. Ένα σύστηα M/M/ έχει κατώτερες επιδόσεις από ένα σύστηα M/M/ ε ισοδύναο ρυθό εξυπηρέτησης δηαδή ε ρυθό εξυπηρέτησης. Αυτό συβαίνει γιατί στο σύστηα M/M/ δεν χρησιοποιούνται πάντα όες οι δυνατότητές του (όταν υπάρχουν ιγότεροι από πεάτες κάποιες ονάδες εξυπηρέτησης δεν εργάζονται). Πρόταση: Η έξοδος από ένα σύστηα M/M/ είναι διαδικασία Posso Tadem queues Η αντιστρεψιότητα στο χρόνο της ουράς M/M/ έχει σηαντικές συνέπειες στη θεωρία αναονής. Για παράδειγα θεωρείστε ένα σύστηα δύο εξυπηρετητών στο οποίο οι πεάτες φθάνουν ε αφίξεις Posso ρυθού στον πρώτο εξυπηρετητή. Μετά την εξυπηρέτησή τους από τον πρώτο εξυπηρετητή πηγαίνουν στη δεύτερη ουρά του δεύτερου εξυπηρετητή. Θεωρούε άπειρο χώρο αναονής και στους δύο εξυπηρετητές. Κάθε εξυπηρετητής εξυπηρετεί έναν πεάτη ε ρυθό 2. Ένα σύστηα αναονής όπως αυτό (βέπε Σχήα 2) ονοάζεται tadem ή sequetal system. Εξυπηρετητής Εξυπηρετητής 2 αναχώρηση Σχήα 2 - Tadem queue εδοένου ότι η έξοδος από τον πρώτο εξυπηρετητή αποτεεί διαδικασία Posso συνεπάγεται ότι ο δεύτερος εξυπηρετητής αποτεεί επίσης σύστηα M/M/. Λήα: Σε ια εργοδική ουρά M/M/ στη όνιη κατάσταση: ο αριθός των πεατών που βρίσκονται στο σύστηα είναι ανεξάρτητος της σειράς των χρόνων αναχώρησης στο παρεθόν ο χρόνος παραονής στο σύστηα (χρόνος αναονής στην ουρά και εξυπηρέτησης) ενός πεάτη είναι ανεξάρτητος της διαδικασίας αναχωρήσεων πριν την αναχώρησή του. Θεώρηα: Για ια εργοδική tadem queue στη όνιη κατάσταση: οι αριθοί των πεατών που βρίσκονται στον εξυπηρετητή και τον εξυπηρετητή 2 είναι ανεξάρτητοι και: Συστήατα Αναονής Σείδα 5 από 2

6 P [ πεάτες στον m πεάτες στον 2] ( ) ( )( ) ( ) 2 2 ο χρόνος αναονής ενός πεάτη στον εξυπηρετητή είναι ανεξάρτητος του χρόνου αναονής στον εξυπηρετητή 2. m 4.4 Το σύστηα αναονής M/M/ : άπειρες ονάδες εξυπηρέτησης Στο σύστηα αυτό πορούε να θεωρήσουε είτε ότι υπάρχει ια ονάδα εξυπηρέτησης η οποία επιταχύνει τον ρυθό της γραικά όσο έρχονται περισσότεροι πεάτες είτε ότι διατίθεται πάντα ια καινούργια ονάδα για κάθε πεάτη που φθάνει στο σύστηα. Εδώ ο αριθός των πεατών στο σύστηα ισοδυναεί ε τον αριθό πεατών που εξυπηρετούνται εφ όσον δεν υπάρχει αναονή. Η στατική κατανοή υπάρχει πάντα και δίνεται από τη σχέση: e! 2... όπου /. Παρατηρούε ότι πρόκειται για κατανοή Posso. Ο έσος αριθός πεατών στο σύστηα είναι: N / και ο έσος χρόνος απόκρισης είναι προφανώς Τ / ίσος ε το έσο χρόνο εξυπηρέτησης. 4.5 Το σύστηα αναονής M/M//K: Πεπερασένος χώρος αναονής Το σύστηα M/M//K αποτεεί ένα ακριβέστερο οντέο πραγατικών συστηάτων σε σχέση ε οντέα απείρου χώρου αναονής στο οποίο ένας πεάτης πορεί να εξυπηρετείται και το πού K- να περιένουν. Υποθέτουε ότι οι πεάτες που φθάνοντας βρίσκουν K πεάτες στο σύστηα φεύγουν και χάνονται. Οι ρυθοί γεννήσεων-θανάτων θα είναι: < K K K > K Παρατηρούε ότι πρόκειται για ια αείωτη αυσίδα Markov ε πεπερασένο αριθό καταστάσεων η οποία είναι πάντα εργοδική και εποένως υπάρχει πάντα η στατική κατανοή πιθανότητας: 2... K όπου /. Εύκοα βρίσκουε ότι: Σείδα 6 από 2 Συστήατα Αναονής

7 + K Για την περίπτωση ή ισχύει: 2... K K Το σύστηα αναονής M/M//: εξυπηρετητές απώειες Στο σύστηα αυτό γίνονται δεκτοί όνο οι πεάτες που βρίσκουν διαθέσιη ονάδα εξυπηρέτησης διαφορετικά οι πεάτες χάνονται. Κασσική εφαρογή ενός τέτοιου οντέου είναι το τηεφωνικό κέντρο ε γραές εξυπηρέτησης (-) Σχήα 3 - Σύστηα αναονής εξυπηρετητών ε απώειες Για το σύστηα αυτό οι ρυθοί γεννήσεων-θανάτων είναι: < > Και στην περίπτωση αυτή η αυσίδα Markov είναι πάντα εργοδική οπότε η στατική κατανοή πιθανότητας βρίσκεται: 2...! θέτοντας όπως συνήθως /. Η πιθανότητα δίνεται από τη σχέση:! Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η πιθανότητα να είναι απασχοηένες όες οι ονάδες εξυπηρέτησης η οποία ισοδυναεί ε το ποσοστό των πεατών που χάνονται: Συστήατα Αναονής Σείδα 7 από 2

8 (4.8) + + 2! 2! ! Η σχέση (4.8) είναι γνωστή στην τηεφωνία σαν ο τύπος απώειας του Erlag (Loss formula) και υποογίστηκε για πρώτη φορά από τον A.K. Erlag το Το σύστηα αναονής M/M///M: Πεπερασένος πηθυσός πεατών ένας εξυπηρετητής Στο σύστηα αναονής αυτό θεωρούε ότι ο πηθυσός από τον οποίο προέρχονται οι πεάτες είναι πεπερασένος. Υπάρχουν δηαδή ονάχα M πεάτες του συστήατος. Ένας πεάτης θα βρίσκεται είτε στο σύστηα (εξυπηρετούενος ή σε αναονή) είτε εκτός συστήατος (φθάνοντας στο σύστηα). Στη δεύτερη περίπτωση ο χρόνος που απαιτείται έχρι την άφιξη είναι ια τυχαία εταβητή κατανεηένη εκθετικά ε έση τιή /. Όοι οι πεάτες δρουν ανεξάρτητα ο ένας από τον άο. Όταν υπάρχουν k πεάτες στο σύστηα (αναονή και εξυπηρέτηση) υπάρχουν M-k πεάτες οι οποίοι φθάνουν στο σύστηα και κατά συνέπεια ο συνοικός έσος ρυθός αφίξεων στην κατάσταση αυτή είναι (M-k). Το σύστηα ρυθίζει τις επιδόσεις του όνο του. ηαδή σε περίπτωση που ποοί πεάτες περιένουν προκειένου να εξυπηρετηθούν ο ρυθός αφίξεων ειώνεται ανάογα εαττώνοντας το φαινόενο της συφόρησης. M (M-) 2 2 M-2 M- M Σχήα 4 - Σύστηα αναονής M/M///M Οι παράετροι της διαδικασίας γεννήσεων-θανάτων είναι: k k ( M k) k M αού k 2... Το σύστηα είναι εργοδικό. 4.8 Άα αρκοβιανά οντέα αναονής Τα οντέα αναονής τα οποία εξετάστηκαν παραπάνω χαρακτηρίζονται από εκθετικά κατανεηένους χρόνους εταξύ αφίξεων ή χρόνους εξυπηρέτησης γεγονός το οποίο επιτρέπει τη χρήση της θεωρίας των διαδικασιών γεννήσεων-θανάτων για την επίυσή τους. Σείδα 8 από 2 Συστήατα Αναονής

9 4.8. Κατανοή Erlag-k Ας θεωρήσουε ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης σε ένα σύστηα αναονής ακοουθεί κατανοή Erlag-k 2. Θα πορούσαε τότε να παραστήσουε την κατάσταση όπως στο Σχήα 5. Σύφωνα ε την παράσταση αυτή ένας πεάτης θα πρέπει να διασχίσει k στάδια εξυπηρέτησης καθένα από τα οποία είναι εκθετικά κατανεηένο ε παράετρο. 2 k Σχήα 5 - k-στάδια εξυπηρέτησης Σύφωνα ε την παράσταση αυτή ένας πεάτης θα πρέπει να διασχίσει k στάδια εξυπηρέτησης καθένα από τα οποία είναι κατανεηένο εκθετικά ε παράετρο. Κάθε στιγή όνο ένας πεάτης πορεί να βρίσκεται σε κάποιο από τα k στάδια της εξυπηρέτησης. Σύφωνα ε την ερηνεία αυτή αν έχουε αφίξεις Posso (σύστηα M/E k /) η συπεριφορά του συστήατος πορεί να περιγραφεί από ια αυσίδα Markov συνεχούς χρόνου. Η κατάσταση της αυσίδας Markov θα παριστάνεται από το ζεύγος ( j) όπου ο αριθός πεατών στο σύστηα και j ο αριθός του σταδίου στο οποίο βρίσκεται ο πεάτης που εξυπηρετείται. Μια ισοδύναη περιγραφή θα προέκυπτε αν θεωρούσαε ότι κάθε πεάτης που φθάνει στο σύστηα ισοδυναεί ε k στάδια εξυπηρέτησης. Έτσι θα πορούσαε αντί για την προηγούενη δι-διάστατη περιγραφή να θεωρήσουε σαν κατάσταση του συστήατος τον αριθό σταδίων εξυπηρέτησης που αποένουν κάθε στιγή. Μια τεείως αντίστοιχη περιγραφή προκύπτει στην περίπτωση που τα διαστήατα εταξύ αφίξεων ακοουθούν κατανοή Erlag-k αν φανταστούε ότι κάθε τέτοιο διάστηα ισοδυναεί ε τη διάσχιση k σταδίων άφιξης. Θυίζουε ότι η κατανοή Erlag-k έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: f ( x) k ( x) e ( k )! x x ε ετασχηατισό Lalae: Φ ( s ) ( ) + s k Υπερεκθετική κατανοή τάξης k Συχνά η κατανοή του χρόνου εξυπηρέτησης πορεί να παρασταθεί σαν είγα εκθετικών κατανοών. Έστω ότι υπάρχουν k τύποι πεατών που εφανίζονται ε πιθανότητες α 2 k και κάθε πεάτης τύπου έχει χρόνο εξυπηρέτησης 2 Η κατανοή του αθροίσατος k ανεξάρτητων τυχαίων εταβητών που ακοουθούν την ίδια εκθετική κατανοή. Συστήατα Αναονής Σείδα 9 από 2

10 κατανεηένο εκθετικά ε έση τιή / 2 k. Προκύπτει η υπερ-εκθετική κατανοή τάξης k ε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας: f ( x) k a e x ι x > της οποίας ο ετασχηατισός Lalae είναι: Φ ( k s) a + s Και στην περίπτωση αυτή ο χρόνος εξυπηρέτησης πορεί να παρασταθεί ε τη βοήθεια k εκθετικών σταδίων όνο που εδώ τα στάδια δεν είναι στη σειρά αά παράηα και κάθε φορά επιέγεται κάποιο από τα k στάδια σύφωνα ε τις πιθανότητες α (βέπε Σχήα 6). Κάθε στιγή όνο ένας πεάτης πορεί να βρίσκεται σε κάποιο από τα k στάδια. α α 2 2 α k k Σχήα 6 - Επιογή ενός από k στάδια εξυπηρέτησης Κατανοή Cox Συνδυασός των προηγούενων περιπτώσεων ας οδηγεί στην γενικευένη έθοδο των σταδίων σύφωνα ε την οποία η αντίστοιχη κατανοή παριστάνεται από k παράηες γραές κάθε ία από τις οποίες περιαβάνει ένα αριθό σταδίων στη σειρά (βέπε Σχήα 7). 2 m α m2 α 2 α k k k2 k mk Σχήα 7 - Επιογή ενός από k στάδια εξυπηρέτησης ε m k στάδια εξυπηρέτησης έκαστο Σείδα από 2 Συστήατα Αναονής

11 Ο ετασχηατισός Lalae για την κατανοή αυτή θα είναι: Φ ( s) k m j j j + a s Οι κατανοές αυτές ανήκουν σε ια γενική κατηγορία κατανοών οι οποίες είναι γνωστές σαν κατανοές Cox και επιτρέπουν την ανάυση των αντιστοίχων συστηάτων αναονής ε βάση τη θεωρία των διαδικασιών Markov. Οι κατανοές αυτές έχουν ιδιαίτερη χρησιότητα στη εέτη των δικτύων αναονής (βέπε Κεφάαιο Error! Referee soure ot foud.). Θεωρούε την παράσταση ιας κατανοής Cox ε τη βοήθεια k εκθετικών σταδίων όπως φαίνεται στο Σχήα 8 Υποθέτουε ότι κάθε στιγή όνο ένας πεάτης βρίσκεται ανάεσα στα σηεία Α και Β. Πριν από κάθε στάδιο + k- ο πεάτης επιέγει αν θα συνεχίσει τη διάσχιση ή θα σταατήσει σύφωνα ε τις αντίστοιχες πιθανότητες a και b όπου a +b. Μετά το στάδιο k φεύγει ε πιθανότητα b k. Α a a a 2 a k- 2 k b k b b b 2 b k- B Σχήα 8 - Παράσταση κατανοής Cox Ο ετασχηατισός Lalae της κατανοής Cox δίνεται από τη σχέση: k j j j + (4.9) Φ ( s) b + Ab όπου: A a a... a 2... k s είναι η πιθανότητα να φθάσει ο πεάτης στο στάδιο. Το δεξιό έος της (4.9) είναι ρητή συνάρτηση του s: πορεί να γραφεί ε τη ορφή P(s)/Q(s) όπου P(s) και Q(s) είναι πουώνυα και ο βαθός του Q(s) είναι εγαύτερος ή ίσος από το βαθό του P(s). Επίσης όες οι ρίζες του Q(s) είναι πραγατικές και ισχύει Φ(). Αντίστροφα κάθε κατανοή της οποίας ο ετασχηατισός Lalae ικανοποιεί τις πιο πάνω συνθήκες πορεί να παρασταθεί ε εκθετικά στάδια όπως στο Σχήα 8. Κάθε γραικός συνδυασός κατανοών Cox είναι επίσης κατανοή Cox. Επιπέον οποιαδήποτε κατανοή πιθανότητας πορεί να προσεγγισθεί ε οσοδήποτε ακρίβεια από ια κατανοή Cox. Συστήατα Αναονής Σείδα από 2

12 Τεειώνοντας αναφέρουε δύο ειδικές περιπτώσεις αρκοβιανών συστηάτων αναονής ε ιδιαίτερο ενδιαφέρον η εέτη των οποίων χρησιοποιεί αναυτικές εθόδους ανάογες ε αυτές που χρησιοποιούνται στην παράσταση ε εκθετικά στάδια. Πρόκειται για συστήατα ε οαδικές αφίξεις (bulk arrvals) ή οαδική εξυπηρέτηση (bulk serves). Σείδα 2 από 2 Συστήατα Αναονής

Καθ. Γιάννης Γαροφαλάκης. ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Καθ. Γιάννης Γαροφαλάκης. ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Α Α Π Σ Δ 10: Δ Γ -Θ Καθ Γιάννης Γαροφαάκης ΜΔΕ Επιστήης και Τεχνοογίας Υποογιστών Τήα Μηχανικών Η/Υ & Πηροφορικής Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων Defini on (Birth-Death-Process (BDP)) Μία στοχαστική διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

εξυπηρετείται εισέλθει στο σύστηµα, ο πελάτης που εξυπηρετείται

εξυπηρετείται εισέλθει στο σύστηµα, ο πελάτης που εξυπηρετείται ΕΝΑ ΠΡΟΤΥΠΟ ΟΥΡΑΣ ΜΕ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ Υποθέσεις: Υπάρχουν s θέσεις εξυπηρέτησης Υπάρχουν Ν κατηγορίες προτεραιοτήτων (η κατηγορία έχει τη εγαύτερη προτεραιότητα και η κατηγορία Ν τη ικρότερη) Για κάθε κατηγορία

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . αρακτηριστικές Παράετροι Κατανοών - Αναενόενη ή έση τιή ιας διακριτής τυχαίας εταβητής. Στο προηγούενο κεφάαιο είδαε ότι σε κάθε τ.. αντιστοιχεί ία κατανοή. Αν και η συνάρτηση κατανοής F ή ισοδύναα η

Διαβάστε περισσότερα

ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M.

ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M. ΙΚΤΥΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ C.A.M. Aναονητικά Συστήατα, Γραές Παραγωγής, F.M.S. Γιάννης Α. Φίης Ιανουάριος 3 Πουτεχνείο Κρήτης Π Ε Ρ Ι Ε X Ο Μ Ε Ν Α EIΣΑΓΩΓΗ...3 ΟΥΡΕΣ H ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ...6. Μοντέα Γέννησης Θανάτου...

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση στο Μάθημα "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ" 6ο Εξάμηνο Ηλεκτρολόγων Μηχ. & Μηχ. Υπολογιστών Θέματα και Λύσεις

Γραπτή Εξέταση στο Μάθημα ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 6ο Εξάμηνο Ηλεκτρολόγων Μηχ. & Μηχ. Υπολογιστών Θέματα και Λύσεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τοέας Επικοινωνιών, Ηεκτρονικής & Συστηάτων Πηροφορικής Εραστήριο Διαχείρισης και Βέτιστου Σχεδιασού Δικτύων - NETMODE Ηρώων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Περίληψη της Ύλης της Επιχειρησιακής Έρευνας

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Περίληψη της Ύλης της Επιχειρησιακής Έρευνας ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Περίηψη της Ύης της Επιχειρησιακής Έρευνας Ακαδηαϊκό Έτος 003-004 Πρόογος Το φυάδιο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. 1. Παράµετρος, εκτιµητής, εκτίµηση

Εισαγωγή. 1. Παράµετρος, εκτιµητής, εκτίµηση Εκτίηση Σηείου Εκτίηση Σηείου Εισαγωγή Σε πολλές περιπτώσεις στη στατιστική έχουε συναντήσει προβλήατα για τα οποία απαιτείται να εκτιηθεί ια παράετρος. Η έθοδος που ακολουθεί στις περιπτώσεις αυτές κανείς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΕΦ. 2 ΑΛΥΣΙ ΕΣ MARKOV

ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΕΦ. 2 ΑΛΥΣΙ ΕΣ MARKOV ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΕΦ ΑΛΥΣΙ ΕΣ MARKOV Πίνακας Περιεχοένων Γενικά3 Εργοδικότητα 3 Πιθανότητες πρώτης ετάβασης Αναενόενος χρόνος8 4 Κλάσεις Ισοδυναίας Κατάταξη Καταστάσεων6 5 Γενική δοή

Διαβάστε περισσότερα

ΧΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ

ΧΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΧΙΙ. ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ Α. ΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΕΠΙ ΠΟΛΛΩΝ ΚΕΦΑΛΩΝ Ορισένες φορές ένα ασφαλιστήριο καλύπτει περισσότερες από ία ζωές. Ένα προφανές παράδειγα είναι η ασφάλιση θανάτου για δύο συζύγους, καθένας

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασός Στοχαστικών Συστηάτων Ακαδ. Έτος 2018-2019 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Σύστηµα Ουράς. Πειθαρχία ουράς ή Πειθαρχία εξυπηρέτησης

Σύστηµα Ουράς. Πειθαρχία ουράς ή Πειθαρχία εξυπηρέτησης ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΑΣ Ουρές ή Γρές Ανονής: Φινόενο που δηιουργείτι ότν η τρέχουσ ζήτηση γι ί εξυπηρέτηση είνι εγύτερη πό την τρέχουσ ικνότητ εξυπηρέτησης του συστήτος Αντικειενικός σκοπός του προβήτος της ουράς:

Διαβάστε περισσότερα

Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση

Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Απλα Συστήματα Αναμονής Υπενθύμιση Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1) Μη συνεργατική ισορροπία

1) Μη συνεργατική ισορροπία ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: ΔΙΕΘΕΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΕΣ ΣΥΜΩΝΙΕΣ ΩΣ ΕΝΑ ΠΑΙΓΝΙΟ «ΔΙΛΛΗΜΑΟ ΤΟΥ ΦΥΛΑΚΙΣΜΕΝΟΥ» Υποθέτουε ότι υπάρχουν Ν χώρες, όπου N={,, }, η κάθε ία από τις οποίες παράγει αγαθά και εκπέπει e τόνους διοξειδίου

Διαβάστε περισσότερα

Η. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( T) ( 1) ( 2) 3 x =

Η. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( T) ( 1) ( 2) 3 x = Αν είναι "εκ προοιίου φανερό" ότι η παραπάνω διαδικασία είναι συνεπής προς τον υπολογισό της Παραγράφου ΣΤ το προηγούενο παράδειγα επελέγη ε στόχο την επίδειξη αυτής της συνέπειας Η ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σε ένα πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα ας απασχολήσουν έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων που αναφέρονται στις έσες τιές και αναλογίες πληθυσών

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρα martingale. Κεφάλαιο Εισαγωγή. 4.2 εσευένη έση τιή

Μέτρα martingale. Κεφάλαιο Εισαγωγή. 4.2 εσευένη έση τιή Κεφάλαιο 4 Μέτρα martingale 4.1 Εισαγωγή Είδαε στο Κεφάλαιο 2 ότι σε αγορές ιας περιόδου, αν ένα παράγωγο πορεί να αναπαραχθεί, τότε πορούε να το τιολογήσουε σύφωνα ε την αρχή της η επιτηδειότητας και

Διαβάστε περισσότερα

Υποδείγατα αγορών ιας περιόδου

Υποδείγατα αγορών ιας περιόδου Κεφάλαιο 2 Υποδείγατα αγορών ιας περιόδου 2.1 Εισαγωγή Θα αρχίσουε τώρα να κάνουε υποθέσεις για τη δυναική των πρωτογενών προϊόντων και θα ερευνήσουε αν ε αυτές τις επιπλέον υποθέσεις πορούε να εξαγάγουε

Διαβάστε περισσότερα

Το οντέλο Black & Scholes ως όριο διωνυικών υποδειγάτων

Το οντέλο Black & Scholes ως όριο διωνυικών υποδειγάτων Κεφάλαιο 6 Το οντέλο Blac & Scoles ως όριο διωνυικών υποδειγάτων 61 Εισαγωγή Σ αυτό το κεφάλαιο θα θεωρήσουε διωνυικά υποδείγατα για τη δυναική του πρωτογενούς προϊόντος στο διάστηα [0,T], όπου το πλήθος

Διαβάστε περισσότερα

Στην Στατιστική Φυσική και στην Θερµοδυναµική αποδεικνύεται ότι δύο συστήµατα που δεν είναι θερµικά µονωµένα, σε ισορροπία έχουν την ίδια

Στην Στατιστική Φυσική και στην Θερµοδυναµική αποδεικνύεται ότι δύο συστήµατα που δεν είναι θερµικά µονωµένα, σε ισορροπία έχουν την ίδια ΦΥΣ 347: Υπολογιστική Φυσική Eβδοάδα 3 3. Μέθοδος etropols onte Carlo. Oι έθοδοι τύπου etropols onte Carlo εφαρόζονται για την ελέτη κλασσικών και κβαντικών συστηάτων (ε Ν>> βαθούς ελευθερίας σε ισορροπία.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΑ 2 (Παράδοση:.) Λύση Ι. Το πεδίο ορισµού Α, θα προκύψει από την απαίτηση ο παρονοµαστής να είναι διάφορος του µηδενός.

ΕΡΓΑΣΙΑ 2 (Παράδοση:.) Λύση Ι. Το πεδίο ορισµού Α, θα προκύψει από την απαίτηση ο παρονοµαστής να είναι διάφορος του µηδενός. ΕΡΓΑΣΙΑ (Παράδοση:.) Σηείωση: Οι ασκήσεις είναι βαθολογικά ισοδύναες Άσκηση Να προσδιορίσετε τα όρια: sin( ) I. lim, II. lim sin, III. lim ( ln ) sin z Όπου χρειαστεί να θεωρήσετε γνωστό ότι lim z z Ι.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο) Απαντήσεις στην 2 η Σειρά ασκήσεων

ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο) Απαντήσεις στην 2 η Σειρά ασκήσεων ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 8-9 Ηιαγωγοί και Ηιαγώγιες οές (7 ο Εξάηνο) Απαντήσεις στην η Σειρά ασκήσεων 1. α) Αν υποθέσουε ότι δύο ηιαγώγια υλικά, όπως τα S και G, έχουν περίπου ίδιες

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση στο Μάθημα "ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ" 6ο Εξάμηνο Ηλεκτρολόγων Μηχ. & Μηχ. Υπολογιστών Θέματα και Λύσεις. μ 1.

Γραπτή Εξέταση στο Μάθημα ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 6ο Εξάμηνο Ηλεκτρολόγων Μηχ. & Μηχ. Υπολογιστών Θέματα και Λύσεις. μ 1. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηεκτρονικής & Συστημάτων Πηροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance)

Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς µε έναν παράγοντα (One way Analysis of Variance) Ενότητα 7: Ανάλυση ιασποράς ε έναν παράγοντα Oe wy yss of Vrce Σε αυτή την ενότητα θα εξετάσουε ένα ειδικό πρόβληα γραικής παλινδρόησης το ο- ποίο εφανίζεται αρκετά συχνά στις εφαρογές. Συγκεκριένα θέλουε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμ. Εξαρτημ. λ Βλάβ./hr x10e-5. Αριθμ. Εξαρτημ.

Αριθμ. Εξαρτημ. λ Βλάβ./hr x10e-5. Αριθμ. Εξαρτημ. Rel-S-Jan-5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Κεφάαιο -. Ένα ηεκτρονικό εξάρτηα έχει σταθερό ρυθό βαβών ίσο ε.5% /hr και η ωφέιη περίοδος ζωής του είναι hr. α) Αν το εξάρτηα έχει επιβιώσει για 9 hr,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις

Μάθηµα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Ασκήσεις Μάθηα: ΙΚΤΥΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 7 ου εξαήνου ΣΕΜΦΕ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΙΚΤΥΩΝ Ασκήσεις Αποστέλλονται πακέτα σταθεού ήκους ytes από τον κόβο # στον κόβο #4 έσω των κόβων # και #3 σε σειά, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τοµέας Επικοινωνιών, Ηεκτρονικής & Συστηµάτων Πηροφορικής Εργαστήριο ιαχείρισης & Βετίστου Σχεδιασµού ικτύων - NETMODE Πουτεχνειούποη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9: Ελεύθερα Ηλεκτρόνια σε Μαγνητικό Πεδίο. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Κεφάλαιο 9: Ελεύθερα Ηλεκτρόνια σε Μαγνητικό Πεδίο. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Σχολή Εφαροσένων Μαθηατικών και Φυσικών Επιστηών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Κεφάλαιο 9: Ελεύθερα Ηλεκτρόνια σε Μαγνητικό Πεδίο Λιαροκάπης Ευθύιος Άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ιδιότητες μονάδων - συστήματος που βασίζονται σε διάφορους τύπους γήρανσης

Κεφάλαιο 3. Ιδιότητες μονάδων - συστήματος που βασίζονται σε διάφορους τύπους γήρανσης Κεφάλαιο Ιδιότητες ονάδων - συστήατος που βασίζονται σε διάφορους τύπους γήρανσης Έχουε ήδη αναφερθεί στην έννοια της «γήρανσης» ιας ονάδας ή ενός συστήατος κατά την ελέτη IF / DF χρόνων ζωής Συγκεκριένα

Διαβάστε περισσότερα

ικαιώατα αερικανικού τύπου

ικαιώατα αερικανικού τύπου Κεφάλαιο 5 ικαιώατα αερικανικού τύπου 5.1 Εισαγωγή Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούε πώς πορούε να τιολογήσουε δικαιώατα αερικανικού τύπου ε βάση το διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων. Θα δούε επίσης την έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ακαδημαϊκό έτος Λύσεις για την Προαιρετική Εργασία

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ακαδημαϊκό έτος Λύσεις για την Προαιρετική Εργασία Τεχνικές Εκτίμησης Υποογιστικών Συστημάτων Ακαδημαϊκό έτος 2016-17 Λύσεις για την Προαιρετική Εργασία Φεβρουάριος 2017 Πρόβημα 1 Δίνεται το παρακάτω μητρώο με τις πιθανότητες μετάβασης μιας Μαρκοβιανής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Θεωρήµατα οµής

Κεφάλαιο 4. Θεωρήµατα οµής Κεφάαιο 4 Θεωρήαα οής Σ' αυό ο εφάαιο θ αποδείξουε α Θεωρήαα οής για πεπερασένα παραγόενα R-πρόυπα, όπου R αέραια περιοχή υρίων ιδεωδών, (απι) 4 Ανάυση σε άθροισα περιοδιού αι εεύθερου, ανάυση σοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ ΓΙΑ GOMPERTZ ΚΑΙ MAKEHAM

ΣΤ. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ ΓΙΑ GOMPERTZ ΚΑΙ MAKEHAM ΣΤ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ ΓΙΑ GOMPERTZ ΚΑΙ MAKEHAM Όπως σηειώσαε παραπάνω, οι πιθανότητες που εξαρτώνται από τη σειρά των θανάτων πορούν να εφρασθούν συναρτήσει "πιθανοτήτων πρώτου θανάτου" Κατά συνέπεια,

Διαβάστε περισσότερα

εξυπηρετητής Σχήµα 1 - Γενικό σύστηµα αναµονής

εξυπηρετητής Σχήµα 1 - Γενικό σύστηµα αναµονής Κεφάαιο. Εισαγωγή στη Θεωρία Αναµονής Η θεωρία αναµονής (Quuig hory) εξετάζει τα φαινόµενα, τα οποία παρατηρούνται σε ουρές, που σχηµατίζονται οποτεδήποτε φθάνουν πεάτες σε ένα σταθµό εξυπηρέτησης. Στην

Διαβάστε περισσότερα

υναική του Συστήατος Lorenz

υναική του Συστήατος Lorenz ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΝ Πρόγραα Μεταπτυχιακών Σπουδών Μαθηατική Μοντελοποίηση Στις Φυσικές Επιστήες και τις Σύγχρονες Τεχνολογίες Μεταπτυχιακή Εργασία υναική του Συστήατος Lorenz ΚΟΛΑΖΑ ΕΥΓΕΝΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!

, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998! Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του

Διαβάστε περισσότερα

Το διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων

Το διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων Κεφάλαιο Το διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιάσουε ένα διακριτό αλλά περισσότερο ρεαλιστικό υπόδειγα αγοράς, το διωνυικό υπόδειγα πολλών περιόδων. Θα διαερίσουε

Διαβάστε περισσότερα

Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για σύστηµα µεταβλητής µάζας

Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για σύστηµα µεταβλητής µάζας Ο δεύτερος νόος του Νεύτωνα για σύστηα εταβλητής άζας Όταν εξετάζουε ένα υλικό σύστηα εταβλητής άζας, δηλαδή ένα σύστη α που ανταλλάσσει άζα ε το περιβάλλον του, τότε πρέπει να είαστε πολύ προσεκτικοί

Διαβάστε περισσότερα

Πλεονασµός Πληροφορικών Συστηµάτων (redundancy)

Πλεονασµός Πληροφορικών Συστηµάτων (redundancy) Πεονασός Πηροφορικών Συστηάτων redundancy συστήατα ανεκτικά σε βάβες, έχουν την ικανότηταναανιχνεύσουν, να αοονώσουν και να αρακάψουν ια σειρά κοινών βαβών χωρίς την: ανθρώινη αρέβαση αξιοσηείωτη καθυστέρηση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης

Λύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης Λύσεις Προαιρετικής Eργασίας Τεχνικές Εκτίμησης 2010-2011 kolako@ced.upatras.gr 10 Μαρτίου 2011 Πρόβημα 1 Ερώτημα ) Έστω W S και W B ο μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά του σταθμού S και B αντίστοιχα. Λαμβάνοντας

Διαβάστε περισσότερα

οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθµός.

οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθµός. 1 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙ Μήκος τόξου : Το ήκος ενός τόξου ο δίνεται από τον τύπο = πρ όπου ρ η ακτίνα του κύκλου στον οποίο ανήκει και π ο γνωστός αριθός.. Το ακτίνιο (rad): Ονοάζουε τόξο ενός ακτινίου (rad)

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντεοποίηση, Ανάυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2018-2019 Διδάσκων: Βασίης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

dn T dv T R n nr T S 2

dn T dv T R n nr T S 2 Τήα Χηείας Μάθηα: Φυσικοχηεία Ι Εξετάσεις: Περίοδος εκεβρίου 00- (0) Θέα (0 ονάδες) Α) ( ονάδες) Η θεελιώδης εξίσωση θεροδυναικού συστήατος δίνεται από την σχέση: l l όπου και σταθερές και και τα γνωστά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Αναπλ. Καθηγητής Μιχαήλ Γεωργιάδης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Αναπλ. Καθηγητής Μιχαήλ Γεωργιάδης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ 6 ου ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Αναπλ. Καθηγητής Μιχαήλ Γεωργιάδης Απρίλιος 8 ΜΕΡΟΣ Ι ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εκτίµηση άγνωστων κατανοµών πιθανότητας

Εκτίµηση άγνωστων κατανοµών πιθανότητας KE 3 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας Εκτίηση άγνωστων κατανοών πιθανότητας ΤήαΕπιστήης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήιο Πελοποννήσου 7 coas Tsaatsous Εισαγωγή Παραετρικές έθοδοι Μη παραετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

14. ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

14. ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Η µέθοδος Newn-Raphsn για µη γραµµική ανάυση Η γενική εξίσωση ισορροπίας ενός µη γραµµικού συστήµατος γράφεται: F ( ) = F q () όπου είναι οι εσωτερικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΒΑΚΤΗΡΙΩΝ ΣΕ ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΥΣ ΑΝΤΙ ΡΑΣΤΗΡΕΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΑΝΤΡΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΒΑΚΤΗΡΙΩΝ ΣΕ ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΥΣ ΑΝΤΙ ΡΑΣΤΗΡΕΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΑΝΤΡΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΒΑΚΤΗΡΙΩΝ ΣΕ ΒΙΟΧΗΜΙΚΟΥΣ ΑΝΤΙ ΡΑΣΤΗΡΕΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΑΝΤΡΗ Επιβλέπων καθηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

Διάδοση των Μιονίων στην Ύλη

Διάδοση των Μιονίων στην Ύλη 4 Διάδοση των Μιονίων στην Ύλη Εισαγωγή Σε αυτό το Κεφάλαιο περιγράφουε τις φυσικές διαδικασίες που συνεισφέρουν στην απώλεια ενέργειας ενός ιονίου καθώς αυτό διαδίδεται σε ένα έσο, όπως το νερό ή ο πάγος.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΧΟΛΗ Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑΣ & Η/Υ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ και ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ρ. Α. ΜΑΓΟΥΛΑΣ Επικ. Καθηγητης Σ.Ν.. 13 I ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1 Συστήατα συντεταγένων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΣΑΦHΣ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΣΑΦHΣ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΑΣΑΦHΣ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ 6. ΑΠΟ ΤΗΝ ΚΛΑΣΙΚΗ ΣΤΗΝ ΑΣΑΦΗ ΛΟΓΙΚΗ Η θεωρία της λογικής (Logc theory) ελετά τις εθόδους και τις αρχές του συλλογισού (Reasog), δηλαδή, ε ποιο τρόπο

Διαβάστε περισσότερα

TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ας θεωρήσουμε το σύστημα ανοικτού βρόχου που περιγράφεται από τις εξισώσεις κατάστασης (.) και (.2): x Ax+ Bu (.)

Διαβάστε περισσότερα

Ασαφής Λογική και Αναγνώριση Προτύπων

Ασαφής Λογική και Αναγνώριση Προτύπων Ασαφής Λογική και Αναγνώριση Προτύπων Ορισός Έστω Χ ένα τυπικό σύνολο αντικειένων, που το καλούε σύπαν, του οποίου τα στοιχεία τα συβολίζουε ε. Η σχέση του περιέχεσθε για ένα τοπικό υποσύνολο του Α του

Διαβάστε περισσότερα

t 0 με Ε[t] = 1/λ Εισαγωγικά Στοιχεία

t 0 με Ε[t] = 1/λ Εισαγωγικά Στοιχεία http://uer.uom.gr/~acg Στοιχεία από τη Θεωία Γαών Αναονής (Queueig Theory) Πηγή Πεατών ιαδικασία Αφίξεων Ουά Αναονής Πειθαχία Μηχανισός Εξυπηέτησης Έξοδος Ιστοικά Στοιχεία Μαθηατικά οντέα για τη εέτη των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού.

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ = Ο. Μαγνητικό πεδίο ευθύγραµµου ρευµατοφόρου αγωγού. Μαγνητικό πεδίο κυκλικού ρευµατοφόρου αγωγού. ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Μαγνητικό πεδίο είναι ο χώρος που έχει την ιδιότητα να ασκεί αγνητικές δυνάεις σε κατάλληλο υπόθεα (αγνήτες, ρευατοφόροι αγωγοί ) Το αγνητικό πεδίο το ανιχνεύουε ε την βοήθεια ιας αγνητικής

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 3 ο. Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυμάτων

Μάθημα 3 ο. Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυμάτων Μάθηα ο Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων Εξίσωση της Κίνησης Εξίσωση του Κύατος Εξίσωση Διανυσατικού Κύατος Στάσια Κύατα Ελαστικά Κύατα Χώρου Επιφανειακά Κύατα ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Αριθµητικός Υπολογισµός των Κρίσιµων Εκθετών στο µαγνητικό µοντέλο 2D-Ising µε χρήση µεθόδου Monte Carlo

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Αριθµητικός Υπολογισµός των Κρίσιµων Εκθετών στο µαγνητικό µοντέλο 2D-Ising µε χρήση µεθόδου Monte Carlo ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Αριθητικός Υπολογισός των Κρίσιων Εκθετών στο αγνητικό οντέλο D-Iing ε

Διαβάστε περισσότερα

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Παραλλαγές του αλγόριθµου Least Mean Square (LMS)

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Παραλλαγές του αλγόριθµου Least Mean Square (LMS) ΒΕΣ 6 Προσαροστικά Συστήατα στις Τηλεπικοινωνίες Προσαροστικοί Αλγόριθοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Παραλλαγές του αλγόριθου Least Mean Square (LMS) Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo

Διαβάστε περισσότερα

Μπαεσιανοί Ταξινοµητές (Bayesian Classifiers)

Μπαεσιανοί Ταξινοµητές (Bayesian Classifiers) KE 3 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας Μπαεσιανοί Ταξινοητές Bayesan Classfers ΤήαΕπιστήης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήιο Πελοποννήσου 7 Ncolas Tsapatsouls Εισαγωγή Θεωρία Bayes και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Συστήματα Γεννήσεων Θανάτων (I) 1. Σφαιρικές & Τοπικές Εξισώσεις Ισορροπίας 2. Ουρές Markov M/M/1, M/M/1/N Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 21/3/2018 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 34 7-8 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθεσία παράδοσης 6//7 Άσκηση Α) Οι δυνάεις που δρουν σε κάθε άζα φαίνονται στο Σχήα. Αναλύοντας σε ορθογώνιο σύστηα αξόνων (διακεκοένες

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = =

Παράδειγμα Το γνωστό παράδειγμα με τα βάρη 30 ατόμων ταξινομημένα σε 5 ομάδες. Η μέση τιμή για το δείγμα έχει βρεθεί x = 77. = = Παράδειγα Το γωστό παράδειγα ε τα βάρη 0 ατόω ταξιοηέα σε 5 οάδες. Η έση τιή για το δείγα έχει βρεθεί 77. Τάξη Απόλυτες συχότητες Κετρική τιή τάξης Απόκλιση από το έσο 65-69 67,5 9,5 70-7 6 7,5,5 75-79

Διαβάστε περισσότερα

Ανίχνευση Νετρίνων Εισαγωγή

Ανίχνευση Νετρίνων Εισαγωγή 3 Ανίχνευση Νετρίνων Εισαγωγή Τα νετρίνα ανιχνεύονται από τηλεσκόπια Cherenkov έσω της παρατήρησης της ακτινοβολίας Cherenkov (βλέπε Παράγραφο 4.1) που εκπέπεται από τα φορτισένα σωάτια που παράγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Συστήματα Γεννήσεων Θανάτων: 1. Σφαιρικές & Λεπτομερείς Εξισώσεις Ισορροπίας 2. Ουρές Markov M/M/1, M/M/1/N Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 27/3/2019 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ 2

ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ 2 ΦΡΑΓΚΙΣΚΟΣ ΚΟΥΤΕΝΤΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΔΗΜΟΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 006 ΕΙΣΑΓΩΓΗ.... ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΤΗΣ ΕΥΗΜΕΡΙΑΣ... 3. Τα θεελιώδη θεωρήατα της

Διαβάστε περισσότερα

6.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

6.7 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 6.7 σκήσεις σχοικού βιβίου σείδας 139 140 Ερτήσεις Κατανόησης 1. Ποιος είναι ο γεετρικός τόπος τν σηείν του επιπέδου που i) Έχουν απόσταση ρ από ένα σταθερό σηείο Ο ii) Ισαπέχουν από δύο σταθερά σηεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Η Ουρά Μ/Μ/1/N Σφαιρικές & Τοπικές Εξισώσεις Ισορροπίας Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 22/3/2017 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ ΘΑΝΑΤΩΝ (1/4) Birth Death Processes

Διαβάστε περισσότερα

(9.1) (9.2) B E = t (9.3) (9.4) (9.5) J = t

(9.1) (9.2) B E = t (9.3) (9.4) (9.5) J = t ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Λ. Περιβολαροπουλος ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL Σκοπός Το κεφάλαιο αυτό έχει τέσσερις βασικούς στόχους. Πρώτον, τη ελέτη των εξισώσεων του Maxwell στην τελική τους ορφή, όπου περιλαβάνεται και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΚΕΑΛΑΙΟ 8 ΚΕΑΛΑΙΟ 8 ΣΙ ΗΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 8. Μαγνήτες, πόλοι, αγνήτιση Στην κλασική ιστορική θεώρηση των αγνητικών φαινοένων ία αγνητισένη ράβδος χαρακτηρίζεται από δύο πόλους, ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ SET02: ΜΕΓΕΘΟΣ ΑΓΟΡΑΣ

ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ SET02: ΜΕΓΕΘΟΣ ΑΓΟΡΑΣ ΔΕΛΤΙΟ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΕΙΚΤΗ ΟΡΙΣΜΟΣ - ΣΚΟΠΙΜΟΤΗΤΑ Ο δείκτης προσδιορίζει το ύψος του Ακαθάριστου Εγχώριου Προϊόντος (ΑΕΠ) ανά Περιφέρεια και Νοό και εκφράζει το έγεθος της αγοράς, η οποία δυνητικά ενοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Χαρακτηριστικά - Ιδιότητες W Πρότυπο Weinberg Salam: Σχέση m z m Σχέση m, m t, m H Μέτρηση m Επιταχυντές pp (pp bar Επιταχυντές e - e + ba

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Χαρακτηριστικά - Ιδιότητες W Πρότυπο Weinberg Salam: Σχέση m z m Σχέση m, m t, m H Μέτρηση m Επιταχυντές pp (pp bar Επιταχυντές e - e + ba W mass Μπαλωενάκης Στέλιος ΑΕΜ 1417 W mass 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Χαρακτηριστικά - Ιδιότητες W Πρότυπο Weinberg Salam: Σχέση m z m Σχέση m, m t, m H Μέτρηση m Επιταχυντές pp (pp bar Επιταχυντές e - e + bar ) W

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 (20%) (α) Πότε είναι εργοδικό το παραπάνω σύστημα; Για πεπερασμένο c, το σύστημα είναι πάντα εργοδικό.

Θέμα 1 (20%) (α) Πότε είναι εργοδικό το παραπάνω σύστημα; Για πεπερασμένο c, το σύστημα είναι πάντα εργοδικό. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης & Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE

Διαβάστε περισσότερα

1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0

1 + ρ ρ ρ3. iπ i = Q = λ λ i=0. n=0 tn. n! Qn, t 0 Στοχαστικές Διαδικασίες ΙΙ Ιανουάριος 07 Διαδικασίες Markov σε Συνεχή Χρόνο - Παραδείγματα Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα. Εστω ένα σύστημα M/M//3 στο οποίο οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ και οι δύο υπηρέτες

Διαβάστε περισσότερα

EIOPACP 13/011 EL. Κατευθυντήριες γραές σχετικά ε την. προαίτηση εσωτερικών υποδειγάτων

EIOPACP 13/011 EL. Κατευθυντήριες γραές σχετικά ε την. προαίτηση εσωτερικών υποδειγάτων EIOPACP 13/011 EL Κατευθυντήριες γραές σχετικά ε την προαίτηση εσωτερικών υποδειγάτων EIOPA Westhafen Tower, Westhafenplatz 1 60327 Frankfurt Germany Tel. + 49 6995111920; Fax. + 49 6995111919; site: www.eiopa.europa.eu

Διαβάστε περισσότερα

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1] 20 3Τοποογικοί διανυσματικοί χώροι 3. Βασικές έννοιες και ορισμοί. Έστω διανυσματικός χώρος υπεράνω του σώματος K ( K Rή C) = και A. (α) Το A έγεται κυρτό αν, για κάθε x, y A, για κάθε [ 0,] ισχύει ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ

ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ Α. Πεπερασµένες διαφορές Εστω δεδοµένος πραγµατικός αριθµός. Για τυχούσα συνάρτηση f = f() ορίζουµε ως διαφορά (πρώτης τάξης) της f() την συνάρτηση f µε f() =

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής

Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβλητής Αριθµητικά χαρακτηριστικά µιάς τυχαίας µεταβητής (Α) Mέση τιµή Ορισµός Η µέση τιµή ή µαθηµατική επίδα µιας τ.µ. Χ µε πυκνότητα πιθανότητας f (x) είναι ο αριθµός: µ E() + xf (x) xf (x)dx διακριτή συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Τήα Επιστήης και Τεχνολογίας Υλικών Πανεπιστήιο Κρήτης Γιώργος Κιοσέογλου ΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΥΛΙΚΑ 4. ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ ΠΑΡΑΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ Τα κύρια συπεράσατα της κλασσικής θεωρίας τροποποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

14. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΒΙΟΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΩΝ

14. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΒΙΟΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΩΝ 14. ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΒΙΟΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΩΝ ΒΙΟΑΝΤΙΔΡΑΣΤΗΡΑΣ ΔΙΑΛΕΙΠΟΝΤΟΣ ΕΡΓΟΥ (BATCH BIOREACTOR): Όπως αναπτύξαε σε προηγούενο κεφάλαιο, τα ισοζύγια άζας για κάθε ουσία εντός του βιοαντιδραστήρα διαλείποντος

Διαβάστε περισσότερα

ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών στα Προηγµένα Συστήµατα Υπολογιστών και Επικοινωνιών Γιαννάκης Περικλής

ιαπανεπιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών στα Προηγµένα Συστήµατα Υπολογιστών και Επικοινωνιών Γιαννάκης Περικλής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ιαπανεπιστηιακό ιατηατικό Πρόγραα Μεταπτυχιακών Σπουδών στα Προηγένα Συστήατα Υπολογιστών και Επικοινωνιών ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»

Διαβάστε περισσότερα

Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου, Αθήνα, Τηλ: , Fax: URL

Ηρώων Πολυτεχνείου 9, Ζωγράφου, Αθήνα, Τηλ: , Fax: URL ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Εργαστήριο Διαχείρισης και Βέλτιστου Σχεδιασμού Δικτύων - NETMODE

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Στάσιμο κύμα. ημ 2π. συν = 2A. + τα οποία T. t x. T λ T λ ολ

2.3 Στάσιμο κύμα. ημ 2π. συν = 2A. + τα οποία T. t x. T λ T λ ολ .3 Στάσιμο Κύμα.3 Στάσιμο κύμα.3.1 Μαθηματική Επεξεργασία Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μία χορδή και σε αυτήν την χορδή διαδίδονται δύο πανομοιότυπα κύματα σε αντίθετες κατευθύνσεις. Δηαδή αν το δούμε από

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν

Ακολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν Ακοουθίες στον.4. Ορισµός Έστω ( ) ακοουθία διανυσµάτων στον 9, θα έµε ότι η ακοουθία ( ) συγκίνει στο θα γράφουµε, li = ή αν η ακοουθία πραγµατικών 0 Ισοδύναµα: li ( ε) + 0 0 : 0 = για κάθε ε > 0 υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα των μηδενικών ιδιοτιμών.

Το πρόβλημα των μηδενικών ιδιοτιμών. Το πρόβημα των μηδενικών ιδιοτιμών. Από την προηγούμενη συζήτηση έχει γίνει φανερό ότι αν η ομογενής διαφορική εξίσωση L ϕ ( = 0έχει μη μηδενική ύση (ή ύσεις που να ικανοποιεί τις (ομογενείς συνοριακές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6: Διαμαγνητισμός και Παραμαγνητισμός. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Κεφάλαιο 6: Διαμαγνητισμός και Παραμαγνητισμός. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Σχολή Εφαροσένων Μαθηατικών και Φυσικών Επιστηών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Κεφάλαιο 6: ιααγνητισός και Παρααγνητισός Λιαροκάπης Ευθύιος Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Δίκτυα Ουρών Β. Μάγκλαρης, Σ. Παπαβασιλείου 10-7-2014 Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανελίξεων : Ανέλιξη Poisson και Κίνηση Brown

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανελίξεων : Ανέλιξη Poisson και Κίνηση Brown ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανείξεων : Ανέιξη Pi και Κίνηση Bw Είναι γνωστό ότι, αν το αποτέεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι ένας αριθμός στο R, τότε αυτό να μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Άσκηση Προσομοίωσης Στατιστικές Εξόδου Ουράς Μ/Μ/1 - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Μ/Μ/1 - Θεώρημα Jackson

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Άσκηση Προσομοίωσης Στατιστικές Εξόδου Ουράς Μ/Μ/1 - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Μ/Μ/1 - Θεώρημα Jackson ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Άσκηση Προσομοίωσης Στατιστικές Εξόδου Ουράς Μ/Μ/1 - Θεώρημα Burke Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Μ/Μ/1 - Θεώρημα Jackson Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 26/4/2017 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7: Μαγνητικά Υλικά και Ιδιότητες Ι. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών

Κεφάλαιο 7: Μαγνητικά Υλικά και Ιδιότητες Ι. Λιαροκάπης Ευθύμιος. Διηλεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υλικών Σχοή Εφαροσένων Μαθηατικών και Φυσικών Επιστηών Εθνικό Μετσόβιο Πουτεχνείο Διηεκτρικές, Οπτικές, Μαγνητικές Ιδιότητες Υικών Κεφάαιο 7: Μαγνητικά Υικά και Ιδιότητες Ι Λιαροκάπης Ευθύιος Άδεια Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης Μάθηµα ασκήσεων 11/12/2006

Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης Μάθηµα ασκήσεων 11/12/2006 Τήα Επιστήης και Τεχολογίας Υλικώ Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης Μάθηα ασκήσεω //006 Μελέτη οοδιάστατου στοιχειακού στερεού ε δύο τροχιακά αά άτοο ε χρήση υβριδικώ ατοικώ τροχιακώ Θεωρούε δύο τροχιακά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ανοικτά Δίκτυα Ουρών arkov - Θεώρημα Jackson (1) Παράδειγμα Επίδοσης Δικτύου Μεταγωγής Πακέτου (2) Παράδειγμα Ανάλυσης Υπολογιστικού Συστήματος Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr

Διαβάστε περισσότερα

Έστω η πραγµατική συνάρτηση f(t) της πραγµατικής µεταβλητής t (π.χ χρόνος). Ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση:

Έστω η πραγµατική συνάρτηση f(t) της πραγµατικής µεταβλητής t (π.χ χρόνος). Ο µετασχηµατισµός Laplace της συνάρτησης f(t) δίνεται από τη σχέση: ΜΑΘΗΜΑ : Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE. Εισαγωγή Ο µετασχηµατισµός pl και ο µετασχηµατισµός Z είναι δύο πού χρήσιµα µαθηµατικά εργαεία για την ανάυση και σχεδίαση συστηµάτων αυτοµάτου και ιδιαίτερα ΓΧΑ Γραµµικών

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α

... λέγονται στοιχεία του πίνακα Α και οι δείκτες i και j δηλώνουν τη γραμμή και τη στήλη, αντίστοιχα, που ανήκει το στοιχείο α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΙΝΑΚΕΣ Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούε ε το ορισό και τις στοιχειώδεις ιδιότητες τω πιάκω, που είαι ορθογώιες παρατάξεις αριθώ ή άλλω στοιχείω Οι πίακες εφαίζοται στη θεωρία τω γραικώ συστηάτω,

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ. ΤΟΜΟΣ 2 ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ 1 ο

ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ. ΤΟΜΟΣ 2 ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ 1 ο ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ. ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΥΤΗΣ ΤΟΜΟΣ ΟΣ ΒΙΒΛΙΟ ο ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΑΜΥΝΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ www.rmscotrol.fo

Διαβάστε περισσότερα

] 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Υπόδειξη α. Πιθανότητα ανάκλασης: R=1-T 2 Τελικά R = όταν α c R 1 (ολική ανάκλαση) β. Θα πρέπει: de

] 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Υπόδειξη α. Πιθανότητα ανάκλασης: R=1-T 2 Τελικά R = όταν α c R 1 (ολική ανάκλαση) β. Θα πρέπει: de ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3.1 Φαινόενο σήραγγας α. Θεωρείστε το φαινόενο σήραγγας δια έσου ενός φράγατος δυναικής ενέργειας ύψους V 0 και πλάτους α, σαν αυτό της εικόνας 3.16. Ποια είναι η πιθανότητα να ανακλαστεί το ηλεκτρόνιο;

Διαβάστε περισσότερα

Για τις προτάσεις Α1 έως και Α5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή επιλογή.

Για τις προτάσεις Α1 έως και Α5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή επιλογή. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Σεπτέβριος 016 ΘΕΜΑ A Για τις προτάσεις Α1 έως και Α5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθό της πρότασης και, δίπλα, το γράα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΧWELL KAI TA ΠΕ ΙΑ Β ΚΑΙ Η. Κ.Ε.Αργυρόπουλος ιδάκτωρ Φυσικής Ε.Μ.Π Σχ.Σύµβουλος ΠΕ04 ( J)

( ) ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΧWELL KAI TA ΠΕ ΙΑ Β ΚΑΙ Η. Κ.Ε.Αργυρόπουλος ιδάκτωρ Φυσικής Ε.Μ.Π Σχ.Σύµβουλος ΠΕ04 ( J) ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΧWELL KAI TA ΠΕ ΙΑ Β ΚΑΙ Η. Κ.Ε.Αργυρόπουλος ιδάκτωρ Φυσικς Ε.Μ.Π Σχ.Σύβουλος ΠΕ4. Οι εξισώσεις Maxwell Η κατάσταση στην οποία βρισκόταν η ηλεκτροαγνητικ θεωρία πάνω από ένα αιώνα πριν

Διαβάστε περισσότερα

Martingales. Κεφάλαιο Εισαγωγή. 4.2 εσευένη έση τιή

Martingales. Κεφάλαιο Εισαγωγή. 4.2 εσευένη έση τιή Κεφάλαιο 4 Martingales 4.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα εισαγάγουε την έννοια της δεσευένης έσης τιής για διακριτές τυχαίες εταβλητές και θα δούε πότε χαρακτηρίζουε ια στοχαστική διαδικασία διακριτού

Διαβάστε περισσότερα