lim x και lim f(β) f(β). (β > 0)
|
|
- Θήρα Πρωτονοτάριος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 . Δίνεται θ παραγωγίςιμθ ςτο * α, β + ( 0 < α < β ) ςυνάρτθςθ f για τθν οποία ιςχφουν: f(α) lim (-) a και lim ( f(β)) = Να δείξετε ότι: α. f(α) < α και f(β) > β β. Αν g() = τότε θ C f και C g ζχουν ζνα τουλάχιςτον κοινό ςθμείο ( 0, y 0 ) με 0 (α, β) γ. Υπάρχει ξ (α,β) ώςτε f(ξ) α. f(α) a lim lim lim(f(α) a ) =. (-) (-) Αλλά lim και lim(f(α) a) f(α) a. (-) Άρα πρζπει f(α) a 0 f(α) < α (). Επίςθσ: lim ( f(β)) lim f(β) Αλλά lim και lim f(β) f(β). (β > 0) Άρα f(β) 0 f(β) 0 f(β) > β ()
2 β. Θεωρώ τθ ςυνάρτθςθ h με h() f() () f() g θ οπoία είναι ςυνεχισ ςτο * α, β+, ωσ άκροιςμα ςυνεχών ςυναρτιςεων αφοφ f παραγωγίςιμθ ςτο * α, β+ ). Επίςθσ h( a) f(α) a 0, από ( ) και h ( ) f(β) 0, από ( ). Δθλαδι h( ). h ( ) 0. Άρα ςυμφώνα με το Θ. Bolzano κα υπάρχει ζνα τουλάχιςτον χ 0 ( α, β ) τζτοιο ώςτε : h( ) 0 f( ) g( ) 0 f( ) g ( ) γ. Για τθ ςυνάρτθςθ f εφαρμόηεται το Θ. Μ. Τ. ςτο * α, β +. Άρα υπάρχει ξ ( α, β ) ώςτε f(ξ) f(β) f(α). a Άλλα από το ( α ) ερώτθμα ζχουμε : f(β) και f( ) a f(α) a. Με πρόςκεςθ κατά μζλθ ζχουμε f(β) f(α) και τελικά f(β) f(α) a αφοφ 0. Άρα f(ξ). a, a, a,..., a (0,).. Δίνονται οι πραγματικοί αρικμοί Να δείξετε ότι θ εξίςωςθ a a... a ζχει μία τουλάχιςτον μθ αρνθτικι ρίηα. Θεωροφμε τθ ςυνάρτθςθ f() a a... a 009, [0,] 009 Για τθν f διαπιςτώνουμε ότι: Θ f ςυνεχισ ςτο * 0, + (γιατί;) f(0) a a... a 009 a a... a f() a a... a a a... a ( a a... a )
3 Δθλαδι ( a a... a ) f(0).f() ( a a... a ) 0 Αν f(0).f() 0 τότε ςφμφωνα με το Θ. Bolzano κα υπάρχει χ 0 ( 0, ) τζτοιο ώςτε f( 0) 0. Αν f(0).f() 0 τότε f(0) 0 ή f() 0 δθλαδι το μθδζν ι το δφο ρίηεσ τθσ f. Άρα από τα παραπάνω προκφπτει ότι θ εξίςωςθ f() 0 ζχει τουλάχιςτον μία ρίηα ςτο * 0, + [ 0, ), προφανώσ μθ αρνθτικι. 3. Ζςτω οι παραγωγίςιμεσ ςυναρτιςεισ f, g στο για τισ οποίεσ για κάκε να ιςχφει g () 0 και ακόμθ:f (). g() f(). g (). Να λυκεί θ ανιςότθτα: f(). g(009) f(009). g (). Για κάκε βρίςκουμε από τθν υπόκεςθ διαδοχικά: f (). g( ) f(). g '( ) f '(). g() f(). g '() 0 f '(). g() f(). g'() f() 0 0 f g ( g()) g() γν. αφξουςα. Όποτε διαδοχικά ζχουμε: f(). g(009) f(009). g() f() f(009) g() g(009) δθλαδι θ f g f () (009) 009 g.
4 3 4. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f : με f()= 3 α. Να μελετθκεί θ f ωσ προσ τθν μονοτονία και τα ακρότατα. β. Nα λυκεί θ εξίςωςθf() = 0. γ. Aν Η μιγαδικόσ αρικμόσ για τον οποίο ιςχφει: 3 z z.3, να βρεκεί ο γεωμετρικόσ τόποσ των εικόνων του μιγαδικοφ Η. δ. Μία μζλιςςα κινείτε ςτον παραπάνω γεωμετρικό τόπο. Κακώσ 3 περνάει από το ςθμείο Α (, ), θ τεταγμζνθ y ελαττώνεται με ρυκμό 5 μονάδεσ το δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυκμό μεταβολισ τθσ τετμθμζνθσ χ τθ χρονικι ςτιγμι ποφ θ μζλιςςα περνάει από το ςθμείο Α. α. Θ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο με f ()=3 3.ln3 0, δθλαδι θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο και επομζνωσ δεν ζχει ακρότατα. β. Παρατθροφμε ότι f ()= =-=0, δθλαδι το είναι ρίηα τθσ εξίςωςθσ f ()=0 και επειδι θ f είναι γν. αφξουςα ςυμπεραίνουμε ότι θ εξίςωςθ f ()=0 ζχει μοναδικι ρίηα το ςτο. γ. Ζχουμε Άρα z z z z 3 3 z 3 3 z.3 3 z 3 z 3 z 3 z z z z f ( z ) f(), αφοφ θ f είναι γν. αφξουςα κα είναι και - άρα. Δθλαδι οι εικόνεσ του μιγαδικοφ z βρίςκονται ςε κφκλο με κζντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=. δ. Ζςτω ( t ) y=y(t) οι ςυντεταγμζνεσ τθσ μζλιςςασ, τθ χρονικι ςτιγμι t. Τθ χρονικι ςτιγμι t 0 που θ μζλιςςα βρίςκεται ςτθ κζςθ Α, 3 3, ζχουμε t ( 0) και yt ( 0). Επίςθσ ζχουμε: ( t 0) 5 /sc. Επειδι θ μζλιςςα κινείται ςτον κφκλο Διαδοχικά ζχουμε. y, είναι ( ( t)) ( y ( t)) 0 ( t) ( t) y( t) y ( t ) 0. ( t) y ( t ).
5 Άρα τθ χρονικι ςτιγμι t 0 ζχουμε: ( t0) ( t0) y( t0) y ( t 0) 0 yt ( 0) 5 3 / Επομζνωσ ( t0) y ( t0) 5 3 /sc. t ( ) / 0 5. α. Αν θ ςυνάρτθςθ f είναι - και ζχει ςυνεχι παράγωγο ςτο διάςτθμα *α, β+, να δείξετε ότι: β f(β) f()d+ f ()d=βf(β) f(α). α f(α) β. Αν f()=, με [0, ]. Να βρείτε τθν f γ. Να δείξετε ότι: α. Στο ολοκλιρωμα d+ ln(+)d=. 0 0 f(β) I= f ()d, f(α) () εφόςον ορίηεται. κζτουμε =f(u) () οπότε είναι d=f (u)du. Για =f(α) από την () έχουμε: f(α)=f(u) u, αφοφ θ ςυνάρτθςθ f είναι -. Όμοια για =f(β) έχουμε: () f(β)=f(u) β=u. Άρα είναι f(β) β β I= f ( )d= f (f(u))f (u)du= uf (u)du, αφοφ f(α) α α f (f(u)) u. Επομζνωσ ζχουμε β α β I=[uf(u)] (u) f(u)du βf(β) αf(α) f(u)du α βf(β) αf(α) f()d. β α Συνεπώσ ζχουμε: β f(β) β β f()d+ f ()d= f()d+βf(β) αf(α) f()d=βf(β) αf(α) α f(α) α α β α β. Για f()=, με [0, ] ζχουμε: f ()=.>0 ςτο (0, ) άρα θ f γν. αφξουςα ςτο *0, + και επομζνωσ -.
6 ln( y ) = ln(y+) y+= y=f() y= y> y> y+>0 0 ln(y+) ln ln(y+) ln = ln(y+) y> y = ln(y+) 0 y Άρα f () ln(+) με [0, -] γ. Ζτςι για α=0 και β= ζχουμε: f(α)=f(0)= 0 -=0 και f(β)=f()=-=0 Άρα από το α) και β) ερώτθμα ζχουμε: ( )d+ ln(+)d=( ) 0= Ζςτω ςυνάρτθςθ f : με ςφνολο τιμών f( )=. Αν θ f είναι γνθςίωσ μονότονθ και θ C f διζρχεται από τα ςθμεία Α(,5) και Β(4,) τότε: α. Να αποδείξετε ότι θ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα. β. Να λυκεί θ εξίςωςθ: f ( f ( 6+6)) γ. Να λυκεί θ ανίςωςθ: (f()) 6f() 5 α. Είναι f()=5 και f(4)= δθλαδι ζχουμε 4 f()>f(4) και επειδι θ f είναι γνθςίωσ μονότονθ άρα είναι γνθςίωσ φκίνουςα. β. Αφοφ θ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα, κα είναι και -, οπότε υπάρχει θ f θ οποία είναι και αυτι γνθςίωσ φκίνουςα και διζρχεται από τα ςυμμετρικά ςθμεία των Α και Β ωσ προσ τθν ευκεία y=. Δθλαδι ιςχφει f()=5 f (5) και f(4)= f () 4. Άρα ζχουμε: f ( f ( 6+6)) f ( f ( 6+6)) f (5)
7 γ. f ( 6+6)=5 f ( 6+6)=4 f ( 6+6)=f () 6+6= 6+5=0 = ι =5. (f()) 6f() 5, κζτουμε f()=y και ζχουμε y 6y 5 y 6y+5 0 y 5 f(4) f() f() 4 4. (Αφοφ f γνθςίωσ φκίνουςα). Άρα [,4]. 7. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w για τουσ οποίουσ ιςχφουν: z z i και w 3. α. Να βρεκοφν οι γεωμετρικοί τόποι των εικόνων των μιγαδικών z και w. β. Αν Α και Β οι εικόνεσ των μιγαδικών z και w για τισ οποίεσ θ παράςταςθ z w παίρνει τθν ελάχιςτθ τιμι, να βρεκοφν τα Α και Β κακώσ και θ ελάχιςτθ τιμι τθσ παράςταςθσ z w. α. Ζςτω z=+yi τότε: z z i ( ) yi ( y ) i ( ) y ( y ) y y y y. Άρα οι εικόνεσ του μιγαδικοφ z βρίςκονται ςτθν ευκεία ε: y δθλαδι ςτθν διχοτόμο του 0 και 3 0 τεταρτθμορίου. Επειδι w 3 οι εικόνεσ του w βρίςκονται ςε κφκλο με κζντρο Κ(3,0) και ακτίνα (-3) y. ι διαφορετικά ςε κφκλο με εξίςωςθ
8 β. ε:y= Α Β Κ(3,0) Θ εξίςωςθ τθσ ΑΒ ε είναι: y 0 ( 3) ι y 3. Θ ε και θ ΑΒ ζχουν κοινό ςθμείο το Α με ςυντεταγμζνεσ ποφ προκφπτουν από τθ λφςθ του ςυςτιματοσ: 3 y 3 3 Άπα Α(, ) y 3 3 y Οι ςυντεταγμζνεσ του Β προκφπτουν από τθ λφςθ του ςυςτιματοσ y 3 y 3 y 3 ( 3) y ( 3) ( 3) y 3 y 3 3 ή 3 4 ή όταν 4 τότε y= όταν τότε y Άρα Β(,) και 3 3 min z w ( AB ) 4 4
9 8. Ζςτω ο μιγαδικόσ z ώςτε z i. 3 3 α. Να δείξετε ότι ο άξονασ y y εφάπτεται ςτον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικοφ z. β. Να υπολογίςετε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w 3z i και V w i. γ. Αν w, w είναι δφο μιγαδικοί αρικμοί από τουσ w του β ερωτιματοσ να υπολογίςετε το w w όταν το w w είναι μζγιςτο. α. Ο γεωμετρικόσ τόποσ του z είναι κφκλοσ με κζντρο Κ(, ) και 3 ακτίνα 3. Άρα 0 επομζνωσ ο κφκλοσ εφάπτεται ςτον y y. β. z i 3z 6i 3z i i 6i 3 3 w 3 4i. Επομζνωσ ο γεωμετρικόσ τόποσ του w είναι κφκλοσ κζντρο Λ(3,-4) ακτίνα ρ =. Ζχουμε w 3 4i w 3 4i w 3 4i w i i 3 4i V 5i. Επομζνωσ ο γεωμετρικόσ τόποσ του V είναι κφκλοσ κζντρο Μ(,5) ακτίνα ρ 3 =. γ. Το w w γίνεται μζγιςτο όταν οι εικόνεσ τουσ είναι ςθμεία αντιδιαμετρικά, ζςτω Α(w ) και Β(w ) τα άκρα μιασ διαμζτρου τότε ζχουμε: w w OA OB O (3 ) ( 4 0) 5 0
10 y λ Λ χ Ο 3 χ Β -4 Λ Α y Θυμθκείτε w w A B Μ Γ
11 9. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f θ οποία είναι ςυνεχισ ςτο *0,4+ και ιςχφει f () 5 για κάκε (0,4). Αν f(0) 4, να αποδείξετε ότι: α. 4 f(4) 6 β. Θ γραφικι παράςταςθ τθσ f τζμνει ακριβώσ μια φορά τον άξονα όταν (0,4) γ. Ορίηεται θ αντίςτροφθ τθσ f ςτο *0,4] δ. Να λυκεί θ εξίςωςθ f(-3+f ( 3)) 4ςτο *0,4+ όταν το Μ(3,-) ανικει ςτθ γραφικι παράςταςθ τθσ f. α. Θ f ικανοποιεί τισ ςυνκικεσ του Θ.Μ.Τ ςτο διάςτθμα *0,4+, οπότε f(4) f(0) f(4)+4 υπάρχει ξ (0,4) τζτοιο, ώςτε f(ξ)=. Αλλά, από υπόκεςθ ζχουμε f () 5 για κάκε (0,4), οπότε f(4) f(4) f(4) 6. 4 β. Θ f είναι ςυνεχισ ςτο *0,4+ και f(0) 4 δθλ. f(0) < 0 από το α ερώτθμα προκφπτει ότι f(4) > 0, άρα f(0).f(4) <0 επομζνωσ ςφμφωνα με το κεώρθμα Bolzano κα υπάρχει ζνα τουλάχιςτον 0 (0,4) τζτοιο ώςτε f( 0 ) 0. Επειδι όμωσ f () 5 για κάκε (0,4) θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο *0,4+ άρα το 0 είναι μοναδικό. Δθλαδι θ f τζμνει ακριβώσ μια φορά τον άξονα ςτο (0,4). γ. Επειδι όμωσ f () 5 για κάκε (0,4) θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο *0,4+ άρα και - επομζνωσ ορίηεται θ αντίςτροφι τθσ. δ. Το Μ(3,-) C f άρα ζχουμε f(3) και f ( )=3 επομζνωσ ζχουμε f(-3+f ( 3))= 4 f(-3+f ( 3))=f(0) και επειδι f - ζχουμε: και επειδι -3+f ( 3)=0 f ( 3)=3 f ( 3)=f ( ) f - ζχουμε 3= 3+=0 = η =.
12 0. Δίνεται ο μιγαδικόσ z για τον οποίο ιςχφει: z z α. Να βρεκεί ο γεωμετρικόσ τόποσ των εικόνων των μιγαδικών αρικμών z κακώσ και θ καρτεςιανι εξίςωςι του. β. Ζνα κουνοφπι κινείτε ςτον παραπάνω γεωμετρικό τόπο. Κακώσ 3 4 περνάει από το ςθμείο Α (, ), θ τεταγμζνθ y ελαττώνεται με 5 5 ρυκμό 6 μονάδεσ το δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυκμό μεταβολισ τθσ τετμθμζνθσ χ τθ χρονικι ςτιγμι ποφ το κουνοφπι περνάει από το ςθμείο Α. α. Ζχουμε z z z z z z z z 4zz z z zz z z 4 3zz 3 zz z z Άρα οι εικόνεσ των μιγαδικών z βρίςκονται ςε κφκλο με κζντρο Ο(0,0) και ακτίνα. Συνεπώσ θ καρτεςιανι του εξίςωςθ είναι y. β. Ζςτω ( t ) y=y(t) οι ςυντεταγμζνεσ του κουνουπιοφ, τθ χρονικι ςτιγμι t. Τθ χρονικι ςτιγμι t 0 που το κουνοφπι βρίςκεται ςτθ κζςθ Α 3, 4 5 5, ζχουμε 3 4 t ( 0) και yt ( 0). 5 5 Επίςθσ ζχουμε: ( t 0) 6 /sc. Επειδι το κουνοφπι κινείται ςτον κφκλο y, είναι ( t) y ( t ). Διαδοχικά ζχουμε. ( ( t)) ( y ( t)) 0 ( t) ( t) y( t) y ( t ) 0. Άρα τθ χρονικι ςτιγμι t 0 ζχουμε: ( t0) ( t0) y( t0) y ( t 0) 0 yt ( 0) 6.4/5 Επομζνωσ ( t0) y ( t0) 8 /sc. t ( ) 3/5 0
13 . Α. Δίνεται θ ςυνάρτθςθ g()=(+)ln+-, >0. Να μελετιςετε τθν g ωσ προσ τθ μονοτονία και τα ακρότατα Β. Αν f()=ln +ln-, >0 α. να υπολογίςετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τθν γραφικι παράςταςθ τθσ f, τον άξονα και τισ ευκείεσ = και =. β. να δείξετε ότι θ f δεν ζχει οριηόντια ι πλάγια αςφμπτωτθ. γ. να βρείτε τθν κατακόρυφθ αςφμπτωτθ και τθ γωνία που ςχθματίηει θ κατακόρυφθ αςφμπτωτθ τθσ C f με τθν εφαπτομζνθ τθσ ςτο ςθμείο Α(, f () ). Α. g ()= 4 ln 4, g ()= αφοφ -4 +-<0 για κάκε (Δ= -3<0) Άρα θ g είναι γν. φκίνουςα ςτο (0,+ ) προφανισ ρίηα τθσ g () είναι θ = αφοφ g ()=+0+-4=0 για > g ( ) g () g ( ) 0 για < g ( ) g () g ( ) 0 0 g () + - g() Άρα g γν. αφξουςα ςτο (0,+, g γν. φκίνουςα ςτο *,+ ) και θ g παρουςιάηει ςτο = μζγιςτο το g()= - Άρα g() g() g( ) 0 g( ) 0 για κάκε >0 ln ln g( ) Β. α. f ()= ln ln 0 κάκε >0 Άρα f γν. φκίνουςα ςτο (0,+ ) Ε= f ( ) d για > Άρα f() < 0 ςτο *,] Επομζνωσ Ε= f (. ) f ( ) f () f ( ) 0 ( ( )) ( ln ln ) f d d = για
14 ln d ln d 3 d 3 ln ( ) = ln d ln d [ln ] - 0 ln d... ln ln d ln d Άρα Ε= τ.μ β. Ελζγχουμε μόνο ςτο + (λόγω πεδίου οριςμοφ) f ( ) ln ln ln lim lim lim ln = ln ln lim = + (0 0 ) ln ln ln αφοφ : lim ( DLH ) lim lim ( DLH ) lim 0 ln και lim ( DLH ) lim 0 Άρα θ C f δεν ζχει πλάγια αςφμπτωτθ ςτο + Επίςθσ lim f ( ) lim (ln ln ) lim 0 Επομζνωσ δεν ζχει οριηόντια αςφμπτωτθ ςτο + d ln ln γ. lim f ( ) lim ln ln lim ln ln ln = + ( ) άρα θ ευκεία =0 (0 y y) είναι κατακόρυφθ αςφμπτωτθ Θ εφαπτομζνθ ςτο =: y+= - (-) : y Θ ε ςχθματίηει με τον y y γωνία 45 f()= -, f ()= -
15 . Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f: για τθν οποία ιςχφει 009 (f()) f()+ α+β = 0 () για κάκε, όπου α, β με α < 4β. Δίνεται επίςθσ και ο μιγαδικόσ z()=f() + if(-). α. Αν Im[(z(0)) ] =-00 τότε να δειχκεί ότι θ f δεν είναι ςυνεχισ ςτο [0, ]. β. Αν θ f είναι ςυνεχισ ςτο *0, + και f( )=009 να δείξετε ότι θ εξίςωςθ f()=0 ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο (0, ). γ. Αν θ f είναι ςυνεχισ ςτο και ιςχφει R(z()) + Im(z())=-408, τότε να υπολογίςετε το 0 f()d. α. z(0) = f(0) + if() άρα [z(0)] = [f(0)] -[f()] +if(0)f() άρα Im[z(0)] =f(0)f() και επομζνωσ f(0)f() = -005 (). Αν θ f είναι ςυνεχισ ςτο *0, + τότε από τθν (): f(0)f() < 0 και ςυμφώνα με το Θ.Bolzano κα υπάρχει 0 (0, ) ώςτε f( 0 ) = 0. Από τθν () για = 0 ζχουμε: 009 (f( 0)) f( 0)+ 0 α 0+β = 0 0 α 0+β = 0 άτοπο αφοφ θ τελευταία εξίςωςθ είναι αδφνατθ γιατί Δ = α -4β < 0. Άρα θ f δεν είναι ςυνεχισ ςτο *0, +. β. Θ () για =0 γίνεται: f(0) f(0)+β=0 f(0)[f(0) ] β β άρα f(0)= < f(0) 008 f(0) > 0. γιατί 4β > α 0 δθλ. β >0 και Επομζνωσ θ f είναι ςυνεχισ ςτο *0, ]
16 f(0) < 0 f( ) f(0).f( ) 0 Άρα ςφμφωνα με το Θ.Bolzano κα υπάρχει ζνα τουλάχιςτον ξ (0, ) τζτοιο ώςτε f(ξ)=0. Δθλαδι θ εξίςωςθ f()=0 ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο (0, ). γ. R(z()) + Im(z())=-408 f() + f(-) = -408 f()d + f(-)d= 408 d για το δεφτερο ολοκλιρωμα κζτω u=- οπότε όταν =0 τότε u= d=-du όταν = τότε u=0 0 f()d - f(u)du = -408 f()d + f(u)du = f()d=-408 f()d=
α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνεσ δφο ςυηυγϊν μιγαδικϊν είναι ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον πραγματικό άξονα
ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΤΣΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΤ ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ ΤΝΟΛΟ ΕΛΙΔΩΝ: ΣΕΕΡΙ A. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f θ
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 14 ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ Η ΕΡΓΑΣΙΑ. Ημερομηνία παράδοςησ: 12 Νοεμβρίου (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 10 μονάδεσ θ κάκε μία)
ΦΥΕ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ 007-008 Η ΕΡΓΑΣΙΑ Ημερομηνία παράδοςησ: Νοεμβρίου 007 (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 0 μονάδεσ θ κάκε μία) Άςκηςη α) Να υπολογιςκεί θ προβολι του πάνω ςτο διάνυςμα όταν: (.
Διαβάστε περισσότεραδ) Αf=R-{ 2}=(-,-2)U(-2,2)U(2,+ ). f (x) f(x) ε) Αf=R- 3 =(-,- 3 )U(- 3, 3 )U( 3,+ ).
ΡΑΡΑΝΙΚΟΛΑΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ) Nα μελετιςετε ωσ προσ τθ μονοτονία τισ ςυναρτιςεισ: β) f ( ) α) f ( ) γ) f ( ) δ) Αf=R-{ }=(-,-)U(-,)U(,+ ) ( 4) ( 4) ( 4) fϋ()= ( 4) f ( ) δ) f ( ) ε)
Διαβάστε περισσότεραΑΝΣΙΣΡΟΦΗ ΤΝΑΡΣΗΗ. f y x y f A αντιςτοιχίηεται ςτο μοναδικό x A για το οποίο. Παρατθριςεισ Ιδιότθτεσ τθσ αντίςτροφθσ ςυνάρτθςθσ 1. Η. f A τθσ f.
.. Αντίςτροφθ ςυνάρτθςθ Ζςτω θ ςυνάρτθςθ : A θ οποία είναι " ". Τότε ορίηεται μια νζα ςυνάρτθςθ, θ μζςω τθσ οποίασ το κάκε ιςχφει y. : A με Η νζα αυτι ςυνάρτθςθ λζγεται αντίςτροφθ τθσ. y y A αντιςτοιχίηεται
Διαβάστε περισσότεραέχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι για κάθε x. x 2
. Έστω η συνάρτηση f: τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει f(). α. Να δείξετε ότι η εξίσωση f() έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση ρίζα στο. e για κάθε. t 3 63 e dt 7 έχει
Διαβάστε περισσότεραΑν η ςυνάρτηςη ƒ είναι ςυνεχήσ ςτο να προςδιορίςετε το α.
1 AΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογιςθοφν τα παρακάτω όρια Ι. ΙΙ. ΙΙΙ. Ιν. ν. νι. νιι. νιιι. 2. Να βρεθοφν τα όρια Ι. ΙΙ. 3. Αν ƒ(χ)= α. Να βρείτε το πεδίο οριςμοφ Β. Να βρείτε τα όρια Ι. ΙΙ. 4. Δίνεται η ςυνάρτηςη
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότερα1. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚΗ τότε το πεδίο οριςμοφ είναι το διότι για κάκε x θ f(x) δίνει πραγματικό αρικμό.
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΙΚΟΤΜΕ ΣΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΜΟΤ ΤΝΑΡΣΗΗ Για να οριςκεί μια ςυνάρτθςθ πρζπει να δοκοφν δφο ςτοιχεία : Σο πεδίο οριςμοφ τθσ Α και Η τιμι τθσ f() για κάκε Α. Οριςμζνεσ φορζσ μασ δίνουν μόνο τον
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΥΤΕΡΑ IOYNIOY 4 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΛφσεις των θεμάτων ΣΕΣΑΡΣΘ 18 MAΪΟΤ 2016 ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ (ΚΑΣΕΤΘΤΝΘ)
ΑΠΟΛΤΣΗΡΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ (ΚΑΣΕΤΘΤΝΘ) ΣΕΣΑΡΣΘ 8 MAΪΟΤ 6 Λφσεις των θεμάτων Ζκδοση η (8/5/6, 3:) Οι ααντιςεισ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) και (z ) Αν f() ( z )( z )( z )( z
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με R(z ) = και R(z ) = Αν f() ( z )( z )( z
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και
Διαβάστε περισσότεραΗ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f(x)=αx+β είναι μια ευκεία με εξίςωςθ y=αx+β θ οποία τζμνει τον άξονα των y ςτο ςθμείο Β(0,β) και ζχει κλίςθ λ=α.
ε καρτεςιανό ςφςτθμα ςυντεταγμζνων Οxy δίνεται ευκεία ε. Σί ονομάηουμε : α) γωνία που ςχθματίηει θ ευκεία ε με τον άξονα xϋx; β) ςυντελεςτι διευκφνςεωσ τθσ ευκείασ ε; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Παρατιρθςθ β) Παρατιρθςθ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο
Διαβάστε περισσότεραy = 2 x και y = 2 y 3 } ή
ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z,
Διαβάστε περισσότεραlim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 151 ο. x -f(t) 2f(x)+f (x)= 2 e dt και f(0) = 0.
ΘΕΜΑ 5 ο Έστω συνάρτηση f :[0, + ) παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, + ) για την οποία ισχύει : 2 -f(t) 2f()+f ()= 2 e dt και f(0) = 0. i) Να δείξετε ότι + f() 0 για κάθε є [0, + ). ii) Να δείξετε ότι η f
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση f, η οποία
Διαβάστε περισσότερα1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΤελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.
Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν
Διαβάστε περισσότεραρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης
ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ευτέρα, Ιουνίου 4 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Β κύκλος
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β κύκλος ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει : [f()] 8 +α[f()] = -e f(), α>,για κάθε. α) Να δείξετε ότι f()=c, για κάθε,όπου c αρνητική σταθερά. β) Να βρείτε τις
Διαβάστε περισσότεραΠ Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ
Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) Α.. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΠ Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ
Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Πολλές φορές στις πανελλαδικές εξετάσεις
Διαβάστε περισσότεραρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ευτέρα, 8 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
Διαβάστε περισσότερα. Β2. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με: 1 1 1, και f ( x) ( ln(ln x) ).
4 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Σε όλη την ύλη) ΘΕΜΑ Α Σχολικό βιβλίο, σελίδα 4 Σχολικό βιβλίο, σελίδα Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6 4 α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β Θέτουμε f()
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ευτέρα, 6 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει
Διαβάστε περισσότεραΛφσεις των θεμάτων ΔΕΤΣΕΡΑ 28 MAΪΟΤ 2012 ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΚΑΣΕΤΘΤΝΘ
ΑΡΟΛΥΤΗΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γϋ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΡΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γϋ ΤΑΞΗΣ ΕΡΑΛ (ΟΜΑΔΑ Βϋ) ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΚΑΣΕΤΘΤΝΘ ΔΕΤΣΕΡΑ 8 MAΪΟΤ Λφσεις των θεμάτων Ζκδοση η (8/5/, :4) Οι απαντιςεισ και οι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά ΙΙ Αςκήςεισ 11 ησ Ενότητασ
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Αςκήςεισ 11 ησ Ενότητασ Λουκάσ Βλάχοσ Τμιμα Φυςικισ Α.Π.Θ. Θεςςαλονίκθ, 2014 Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται ςε άδειεσ χριςθσ
Διαβάστε περισσότεραΚατεύθυνσης. Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων
4 Ιουνίου Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων Θέμα Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 4 Α. Σχολικό
Διαβάστε περισσότερα1 ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα 1 ο
ο Τεστ προετοιμασίας Θέμα ο Σε κάθε μια από τις ακόλουθες προτάσεις αφού πρώτα σημειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασμένη), στη συνέχεια να δώσετε μια σύντομη τεκμηρίωση της όποιας απάντησή σας Αν για
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το
Διαβάστε περισσότεραβ) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ
Διαβάστε περισσότεραΘέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,
Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε
Διαβάστε περισσότερα1 1 1 (x yi) x yi = = = 2 (x - 1) + y 2
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 98 Α. Σχολικό
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα (Μονάδες 2) β. Μια συνάρτηση f μπορεί να μην είναι συνεχής στα άκρα ακαι β αλλά να είναι συνεχής στο [ α, β ].
ΘΕΜΑ Α Διαγώνισμα 1 A 1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. (Μονάδες
Διαβάστε περισσότερα5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες
ΘΕΜΑ A 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 5 Διάρκεια: 3 ώρες A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν f ()
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιςτιμιο Κφπρου ΟΙΚ 223: Μακθματικά για οικονομολόγουσ ΙΙ Διδάςκων:
Πανεπιςτιμιο Κφπρου ΟΙΚ 3: Μακθματικά για οικονομολόγουσ ΙΙ Διδάςκων: Φάμπιο Αντωνίου τοιχεία Επικοινωνίασ: email: fantoniou@aueb.gr ; fabio@ucy.ac.cy Σθλ:893683 Προςωπικι Ιςτοςελίδα: fantoniou.wordpress.com
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η
Διαβάστε περισσότερα6 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 51.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 η ΕΚΑ Α 5. ίνεται η συνάρτηση ln, αν > 0 f () 0, αν 0 Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 i Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιµών
Διαβάστε περισσότερα5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότερα= R {x συν x = 0} ισχύει: 1 ( εφ x)' = συν
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x
ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,
Διαβάστε περισσότεραΑΝΩΣΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Διαφορικόσ και Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ Δφο ή Περιςςοτζρων Μεταβλητϊν
ΑΝΩΣΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Διαφορικόσ και Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ Δφο ή Περιςςοτζρων Μεταβλητϊν 1 υναρτιςεισ Περιςςοτζρων Μεταβλθτϊν Παράδειγμα.(E.F. Dbois S =επιφάνεια ςϊματοσ W =βάροσ ςϊματοσ H =φψοσ ςϊματοσ
Διαβάστε περισσότερα52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.:
5 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ.: 107601470-107600179 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 01 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ 1 ο Α. i) Θεωρία, σχολικό
Διαβάστε περισσότεραςυςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων
κεφάλαιο 7 Α ςυςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων αςικζσ ζννοιεσ Γραμμικά, λζγονται τα ςυςτιματα εξιςϊςεων ςτα οποία οι άγνωςτοι εμφανίηονται ςτθν πρϊτθ δφναμθ. Σα γραμμικά ςυςτιματα με δφο εξιςϊςεισ και δφο
Διαβάστε περισσότεραΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο. Έστω f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα Δίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα Ορίζουμε τις συναρτήσεις: ftgtdt,,,
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1) Nα βρείτε τα Σ.Κ. τθσ ςυνάρτθςθσ
ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ Nα βρείτε τα ΣΚ τθσ ςυνάρτθςθσ - 0 - Άρα A [-] - 0 - + - + KK KA KK KA ΣΚ ΣΚ ΣΚ Τα ςθμεία Α Β00 και Γ είναι ςθμεία καμπισ Nα βρείτε τα ΣΚ τθσ ςυνάρτθςθσ ϋϋ0 θμ0 κπ κη κπ κπ+π
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο
Διαβάστε περισσότερααβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΓ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Α ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Α ΜΕΡΟΣ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει : f ()+f()=, για κάθε και f()=e+ α) Να δείξετε ότι f()=+e -, β) Να βρείτε το όριο lim ( lim f(y)) y γ) Να δείξετε
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης
Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................
Διαβάστε περισσότεραΚατεύθυνσης. Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων
8 Μαΐου 0 Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων Θέμα Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 53 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 9 Α3. Σχολικό βιβλίο σελ.
Διαβάστε περισσότεραΚατεύθυνσης. Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων
8 Μαΐου 0 Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Απαντήσεις Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων Θέμα Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 53 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 9 Α3. Σχολικό βιβλίο σελ.
Διαβάστε περισσότεραΜΑ032: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εαρινό εξάμηνο , Διδάςκων: Γιώργοσ Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΗ ΕΞΕΣΑΗ, 21 Μαρτίου, 2012 Διάρκεια: 2 ώρεσ
ΜΑ: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εαρινό εξάμηνο -, Διδάςκων: Γιώργοσ Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΗ ΕΞΕΣΑΗ, Μαρτίου, Διάρκεια: ώρεσ ΟΝΟΜΑ: Αρ. Πολ. Σαυτ. Πρόβλημα. Θεωροφμε τα διανφςματα u =,,,, v =,,,4, w =,,,, (α) Υπολογίςτε
Διαβάστε περισσότεραΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης τη f(x) στο σηµείο x ο είναι f x ) (Μονάδες 4)
Αµυραδάκη, Νίκαια (-493576) ΘΕΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 3 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη στο ο ; Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το θεώρηµα Rolle ; Γ. Να αποδείξετε ότι ( ) a = a ln a (Μονάδες 5) (Μονάδες
Διαβάστε περισσότεραAΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z z 0 που είναι τριώνυμο με διακρίνουσα. 2 Re z 4Im z R. x 2 y x y 2
AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Βλ σχολ βιβλίο σελ 5 Α Βλ σχολ βιβλίο σελ Α Σ Σ Σ 4 Σ 5 - Λ ΘΕΜΑ Β Β Η εξίσωση () z ισοδυναμεί με την z z που είναι τριώνυμο με διακρίνουσα 4 διότι 4 Άρα οι ρίζες είναι συζυγείς μιγαδικές
Διαβάστε περισσότεραx x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου
Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα Α Α. Να αποδείξετε ότι αν f () στο (α, o) και f () στο ( o,β), τότε το f ( o) είναι τοπικό μέγιστο της f. (8 μονάδες)
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 16 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 6 MAΪΟΥ Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (6/5/,
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά ΙΙ
ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΝΟΙΚΣΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΣΑ Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Ενότητα 5 η : Μερικι Παράγωγοσ Ι Λουκάσ Βλάχοσ Κακθγθτισ Αςτροφυςικισ Άδειεσ Χρήςησ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότερα8 τριγωνομετρία. βαςικζσ ζννοιεσ. γ ςφω. εφω και γ. κεφάλαιο
κεφάλαιο 8 τριγωνομετρία Α βαςικζσ ζννοιεσ τθν τριγωνομετρία χρθςιμοποιοφμε τουσ τριγωνομετρικοφσ αρικμοφσ, οι οποίοι ορίηονται ωσ εξισ: θμω = απζναντι κάκετθ πλευρά υποτείνουςα Γ ςυνω = εφω = προςκείμενθ
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι αν () 0 στο, ) και ()
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. σας προτείνουν για άλλη μια χρονιά, ένα ολοκληρωμένο
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αγαπητοί μαθητές και μαθήτριες, Τα σας προτείνουν για άλλη μια χρονιά, ένα ολοκληρωμένο επαναληπτικό υλικό στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου,
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της
Διαβάστε περισσότεραaμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014
aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ Α Α. Σελ 5 Α. Σελ 73 Α3. Σελ 5 Α4. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β B. Θέτω z yi στην εξίσωση και έχουμε: z z z i 4 i yi yi yi i 4 i y i 4 i y i 4 i y 4 i Συνεπώς πρέπει να
Διαβάστε περισσότεραe 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3)
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο,, 3) ΘΕΜΑ Α. (i) Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...
Διαβάστε περισσότεραΓ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 8 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f ln, * είναι παραγωγίσιµη στο * και ισχύει: ln Μονάδες Α Πότε µια συνάρτηση f λέµε ότι είναι συνεχής σε
Διαβάστε περισσότεραα) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον
Διαβάστε περισσότερα2ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
wwwaskisopolisgr ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα, Αν: η f είναι συνεχής στο, f f να
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) α) νδο η συνάρτηση f '' = c. (Υπόδ: παραγωγίζω την δοσμένη σχέση 2 φορές)
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ (Γ Λυκείου) Θ) Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι φορές ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ στο R και α
Διαβάστε περισσότεραx R, να δείξετε ότι: i)
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 53 (Απόδειξη) Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 9 (Ορισμός) Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9-5- ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 79 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 7 Α. α) ΣΩΣΤΟ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΛΑΘΟΣ ε) ΣΩΣΤΟ
Διαβάστε περισσότεραΔιάδοση θερμότητας σε μία διάσταση
Διάδοση θερμότητας σε μία διάσταση Η θεωρητική μελζτη που ακολουθεί πραγματοποιήθηκε με αφορμή την εργαςτηριακή άςκηςη μζτρηςησ του ςυντελεςτή θερμικήσ αγωγιμότητασ του αλουμινίου, ςτην οποία διαγωνίςτηκαν
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ..: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,
Διαβάστε περισσότερα