ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ [Κεφ..: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με z = και w = 6 + 8i. Να δείξετε ότι: 7 z + w Ισχύει z w z+ w z+ w. Όμως z = και w = = 0. Άρα 0 z + w z + w

2 Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με z = 4 και w = 4i. Να δείξετε ότι: z w 9 Ισχύει z w z+ w z + w (). Ακόμα w = = 5. Θέτουμε στην () όπου w το -w και έχουμε: z w z w z + w. Όμως w = w, έτσι: z w z w z + w δηλαδή 4 5 z w 4+ 5 z w 9

3 Άσκηση. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει z i =, να δείξετε ότι: z 4 8 Γράφουμε z 4 = ( z i) + ( i 4 ), οπότε z i i 4 ( z i) + ( i 4) z i + i 4 δηλαδή 5 z z 4 8

4 Άσκηση 4. Αν για τον μιγαδικό z ισχύει z 6i 4 να δείξετε ότι: 6 z Είναι z + 8 = ( z 6i) + ( 6i + 8 ). Άρα z 6i 8 + 6i ( z 6i) + ( 6i + 8) z 6i i (). Όμως z 6i 4 z 6i 0 6 z 6i 8 + 6i 6 άρα 6 z 6i 8 + 6i () και z 6i 4 z 6i z 6i 8 + 6i 4 () Από τις (),(),() προκύπτει ότι 6 z 6i (z 6i) + (6i + 8) z 6i + 6i Δηλαδή 6 z

5 Άσκηση 5. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τον οποίο ισχύει: α) z = z+ 4 β) z z+ 4 γ) 4 +,z 0 z z δ) z 4i = z 0i και Re(z) Έστω z= x+ yi,x,y R α) Έχουμε z = z+ 4 z = z+ 4 (z )(z ) = (z+ 4)(z+ 4) zz z z + 9 = zz + 4z + 4z + 6 7(z + z) = 7 z + z = Re(z) = Re(z) = x =. Άρα οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία x =. β) Έχουμε z z+ 4 ή z ( + 0i) z ( 4 + 0i). Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι το ημιεπίπεδο που ορίζει η μεσοκάθετος του ΑΒ όταν Α(,0) και Β(-4,0) δηλαδή η ευθεία x = όπως βρήκαμε και στο α) ερώτημα με το σημείο Α(,0). γ) Είναι 4 z z+ 4 + z z+ 4,z 0. Δηλαδή έχουμε το β) ερώτημα. z z z z δ) Είναι z 4i = z 0i (z 4i)(z + 4i) = (z 0i)(z + 0i) zz + 4zi 4zi + 6 = zz 0zi + 0zi (z z)i = 84 6i Im(z) = 84 y = 84 y = 7. Άρα οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία y=7. Όμως Re(z) για αυτό τελικά οι εικόνες κινούνται στην ημιευθεία y=7 με αρχή Α(,7). 5

6 Άσκηση 6. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z για τον οποίο ισχύει: α) z = β) z 4 = γ) z 4i = δ) z (4 + 4i) = α) Έστω z= x+ yi,x, y R τοτε κύκλος κέντρου K (0,0) και ακτίνας ρ =. z = x + y =. Έτσι ο γεωμετρικός τόπος είναι β) Είναι z (4 + 0i) =. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου K (4,0) και ακτίνας ρ = δηλαδή ο κύκλος με εξίσωση (x 4) + y = 9. γ) Είναι z (0 + 4i) =. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου K (0, 4) και ακτίνας ρ = δηλαδή ο κύκλος με εξίσωση x + (y 4) = 9. δ) Είναι z (4 + 4i) =. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου K 4(4, 4) και ακτίνας ρ 4 = δηλαδή ο κύκλος με εξίσωση (x 4) + (y 4) = 9. 6

7 Άσκηση 7. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των Μ(x,y) για τα οποία ισχύουν: z= ( x ) + ( y+ i ) και z 4 + i = 6 Είναι z 4 + i = 6 ( x ) + ( y + ) i 4 + i = 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 5 + y+ 5 i = 6 x 5 + y+ 5 i = 6 x 5 + y+ 5 = 6. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου Κ(5,-5) και ακτίνας 6. 7

8 Άσκηση 8. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει: α) z < β) < z + 6i < 4 α) Είναι z <. Έστω z=x+yi x, y R τότε x + y < 9. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι όλα τα σημεία τα εσωτερικά του κύκλου κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας. β) Είναι < z + 6i < 4 < z + i < < z ( i) <. Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι τα σημεία του κυκλικού δακτυλίου που δημιουργείται από δύο ομόκεντρους κύκλους κέντρου Κ(,-) και ακτίνων ρ = και ρ =. 8

9 Άσκηση Αν για το μιγαδικό z ισχύει ( z ) ( z ) = + να αποδείξετε ότι η εικόνα του ανήκει σε κύκλο του οποίου να υπολογίσετε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ. Έστω z= x+ yi,x,y R Έχουμε ( z ) ( z ) = + τότε z = z + ( ) ( ) ( ) ( ) z = z + z = z + z z = z + z + ( ) 4 z z z+ = z + z+ z+ z z+ z = 0 x + y x = 0 x + y x = 0 (x ) + y = Άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος με κέντρο Κ(,0) και ακτίνα ρ= 9

10 Άσκηση 0. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με z = 4 και w = 5 + i. Να αποδείξετε ότι 9 z + w 7. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z w z+ w z + w () Είναι z = 4 και w = ( 5) + = 69 =, οπότε από () έχουμε: 4 z + w z + w 7 0

11 Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με z = 8 + 6i και w =. Να αποδείξετε ότι 4 z + w 6. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z w z + w z + w z w z+ w z+ w () Είναι z = ( 8) + 6 = 00 = 0 και w =, οπότε από () έχουμε: 0 z + w z + w 6

12 Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με z = και w = + i. Να αποδείξετε ότι z w. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z w z+ w z + w () Αν στην () θέσουμε, όπου w το z w z + ( w) z + w w έχουμε: Είναι w = w, οπότε ισχύει: z w z w z + w () Είναι z = και ( ) w = + = 4 =, οπότε από () έχουμε: z w + z w

13 Άσκηση. Αν z και z + i =, να αποδείξετε ότι z 5 + 7i 7. Είναι z 5+ 7i = (z + i) + ( + 4i) = z+ z, όπου z = z + i και z = + 4i. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z z z+ z z + z () Είναι z = z + i = και 5 z+ z + 5 z 5+ 7i 7 z 4i ( ) = + = + = =, οπότε από () έχουμε:

14 Άσκηση 4. Αν z και z+ i = 6, να αποδείξετε ότι 4 z + 9 4i 6. Έχουμε z + i = z + + i = z + + i = z + + i. Άρα z + + i = 6. Είναι z + 9 4i = (z+ + i) + (8 6i) = z+ z, όπου z = z+ + i και z = 8 6i. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z z z+ z z + z () Είναι z = z+ + i = 6 και z 8 6i 8 ( 6) 00 0 = = + = =, οπότε από () έχουμε: 6 0 z+ z z + 9 4i 6 4

15 Άσκηση 5. Αν z και z 4 i, να αποδείξετε ότι z + i 8. Είναι z+ i = (z 4 i) + (4 + i) = z+ z, όπου z = z 4 i και z = 4 + i. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z z z+ z z + z () Είναι z = z 4 i z 5, άρα z 5 και οπότε από () έχουμε: z 4 i = + = + = =, z 5 z+ z z z+ z + 5 z+ i 8 5

16 Άσκηση 6. Αν z,w, z + i και w 4 + 5i, να αποδείξετε ότι z w 9. Είναι z w = (z+ i) (w 4 + 5i) + ( 4 + i) = z z + z, όπου z = z+ i, z = w 4 + 5i και z = 4+ i. Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: ( ) z z + z = z z + z z z + z z + z + z, για κάθε z,z,z () Είναι z = z+ i, z = w 4 + 5i και z = 4 + i = ( 4) + = 5 = 5, οπότε από () έχουμε: z z + z z w 9 6

17 Άσκηση 7. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. z 8= 0 στο μιγαδικό επίπεδο είναι Είναι: ( )( ) ( )( ) z 8 0 z 0 z z z 0 z z z 4 0 = = + + = + + = ± i z = 0 ή z + z+ 4= 0 z= ή z= z= ή z= ± i Άρα η εξίσωση z 8= 0 έχει ρίζες τους αριθμούς z =, z = + i και z = i. Έστω Α, Β, Γ οι εικόνες των μιγαδικών z, z και z αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο. Είναι: ( ) ( ) ( ΑΒ ) = z z = + i = i = + = = () ( ) ( ) ( ΒΓ ) = z z = + i i = i = i = () ( ) ( ) ( ΓΑ ) = z z = i = i = ( ) + = = () Από (), () και () έχουμε ( ΑΒ ) = ( ΒΓ ) = ( ΓΑ ), οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. 7

18 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Αν z,w, να αποδείξετε ότι: α) z z w + z+ w β) w z w + z+ w γ) z + w z w + z+ w α) Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z+ z z + z, για κάθε z,z C () Αν θέσουμε z = z wκαι z = z+ w, τότε από τη σχέση () έχουμε: (z w) + (z+ w) z w + z+ w z z w + z+ w z w + z+ w z z w+ z+ w z () β) Από τριγωνική ανισότητα έχουμε: z z z + z, για κάθε z,z C () Αν θέσουμε z = z w και z = z+ w, τότε από τη σχέση () έχουμε: (z w) (z+ w) z w + z+ w w z w + z+ w z w + z+ w w z w+ z+ w w (4) γ) Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις σχέσεις () και (4) έχουμε: z w + z+ w z + w z + w z w + z+ w 8

19 Άσκηση. Έστω Α, Β, Γ οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z,w,uαντίστοιχα στο επίπεδο. Αν 00w + u z = () και w u, να αποδείξετε ότι: 0 α) Τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. β) w z < w u γ) Το σημείο Α είναι εσωτερικό σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ. α) Αρκεί να δείξουμε ότι: Τα σημεία Α, Β, Γ είναι διαφορετικά μεταξύ τους ανά δύο. ( ΒΑ ) + ( ΑΓ ) = ( ΒΓ ) δηλαδή w z + z u = w u. Είναι: Από υπόθεση είναι w u, άρα Β Γ. Αν υποθέσουμε ότι z = w, τότε από τη σχέση () έχουμε 00w + u w = 0 0w = 00w + u w = u, άτοπο. Άρα z w, οπότε Α Β. Αν υποθέσουμε ότι z = u, τότε από τη σχέση () έχουμε 00w + u u = 0 00w + u = 0u 00w = 00u w = u, άτοπο. Άρα z w, οπότε Α Γ. Επομένως τα Α, Β, Γ είναι τρία σημεία διαφορετικά μεταξύ τους ανά δύο. 00w + u 00w + u ( ΒΑ ) + ( ΑΓ ) = w z + z u = w + u = 0 0 0w 00w u 00w + u 0u w u 00 w u = + = + = w u = = w u = ( ΒΓ ) 0 9

20 β) Τα σημεία Α, Β, Γ είναι διαφορετικά μεταξύ τους ανά δύο και ικανοποιούν τη σχέση ( ΒΑ ) + ( ΑΓ ) = ( ΒΓ ) (), άρα ( ΒΑ ) < ( ΒΓ ) (), οπότε w z < w u. γ) Από τις σχέσεις () και () συμπεραίνουμε ότι το Α είναι εσωτερικό σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ΒΓ. 0

21 Άσκηση. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z = +συν( π t) + ( 5 +ηµ ( πt) ) i, t [ 0, + ). α) Να αποδείξετε ότι z 5i =. β) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z. γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει t [ 0, + ) τέτοιος, ώστε η εικόνα του z να βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση δ :y= x. δ) Έστω w τέτοιος, ώστε w = w i. Να αποδείξετε ότι z w. α) Είναι z 5i = συν( π t) + i ηµ ( π t) = συν ( π t) + ηµ ( π t) =. β) Επειδή z ( + 5i) =, η εικόνα M(z) κινείται στον κύκλο C με κέντρο K (,5) και ακτίνα ρ=. Καθώς η εικόνα M(z) κινείται στον κύκλο C, διαπιστώνουμε ότι ισχύει : ( OM ) ( OM) ( OM ) ( OM ) z ( OM ), όπου M,M είναι τα σημεία τομής της ευθείας ΟΚ και του κύκλου C. Επομένως: Η ελάχιστη τιμή του z είναι: min z = ( OK) ρ= 9 Η μέγιστη τιμή του z είναι max z = ( OK) +ρ= 9 +

22 5 γ) Βρίσκουμε την απόσταση d(k, δ ) = = > =ρ, άρα ο κύκλος C και η ευθεία δ δεν έχουν κοινό σημείο, επομένως δεν υπάρχει εικόνα M(z) η οποία να ανήκει στην ευθεία δ. δ) Επειδή w = w i, η εικόνα N(w) κινείται στην ευθεία δ : y= x. Καθώς η εικόνα M(z) κινείται στον κύκλο C και η εικόνα N(w) κινείται στην ευθεία δ : y ότι η ελάχιστη τιμή του z w = ( MN) είναι min z w = ( M0N0) = d ( K, δ ) ρ= =. = x διαπιστώνουμε Επομένως ισχύει: z w.

23 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,z,z,διαφορετικοί ανά δύο, που ικανοποιούν τη σχέση z z = i z z. Αν ΑΒΓ,, οι εικόνες τους αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. Είναι: z z = = = + z z z z i i z z z z z z z z z z = z z = z z ( ΑΒ ) = ( ΒΓ) (). Χρησιμοποιώντας τη γνωστή ιδιότητα των αναλογιών έχουμε: α γ α+β γ+δ = = β δ β δ, με βδ, 0, z z i z z + z z i+ z z i z z z z z z = = = z z z z z z = i = + = z z z z z z z z = z z ( ΑΓ ) = ( ΒΓ ) (). Από () και () έχουμε ( ΑΒ ) = ( ΒΓ ) = ( ΑΓ ), οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.

24 Άσκηση. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w, οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση z i w =,z i. iz + α) Να αποδείξετε ότι (w + i)(z i) =. β) Αν η εικόνα του z κινείται στον κύκλο γραμμή πάνω στην οποία κινείται η εικόνα του w. γ) Να αποδείξετε ότι z w 5. δ) Να αποδείξετε ότι z+ w. C με κέντρο ( 0,) Κ και ακτίνα ρ =, να βρείτε τη α) Είναι: z i z i (z i) i w + i = + i = = = i(z i) i(z i) i(z i) z i Άρα (w + i)( z i) = (z i) =. z i β) Είναι: z (0 + i) = z i = και από το (α) ερώτημα έχουμε (w + i)(z i) = w + i z i = w + i =. Άρα η εικόνα του w κινείται στον κύκλο C με κέντρο ( 0, ) Λ και ακτίνα ρ =. γ) Ο αριθμός z w εκφράζει την απόσταση ενός σημείου του κύκλου C από ένα σημείο του κύκλου C. Είναι ( OB) z w ( AΓ) d ( ρ +ρ) z w d + ( ρ +ρ) z w 5 αφού d = ( ΚΛ ) = και ρ +ρ = + =. 4

25 δ) Έχουμε z + w z ( w). Οι εικόνες των μιγαδικών w και w στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Ο ( 0,0), οπότε οι εικόνες των μιγαδικών w κινούνται σε C με κέντρο ( 0,) κύκλο ίδια συμμετρία. Α και ακτίνα ρ=, που είναι ο συμμετρικός κύκλος του C στην Η μέγιστη απόσταση των κύκλων C, C είναι η ( Ο ) =, οπότε z+ w. 5

26 Άσκηση. Έστω z,w C με zw 0 και z zw + w = 0 (). Να αποδείξετε ότι: α) z+ w 0 και z + w = 0. β) Οι εικόνες Α, Β αντίστοιχα των μιγαδικών z,w και η αρχή των αξόνων O(0, 0) είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. γ) Οι εικόνες Α, Β, Γ αντίστοιχα των μιγαδικών z,w, w είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα την ΒΓ. δ) 0 0 z w + = w z α) Αν υποθέσουμε ότι z+ w = 0, τότε z= wκαι από τη σχέση () έχουμε: ( w) ( w) w + w = 0 w = 0 w = 0, που είναι άτοπο. Άρα z+ w 0. Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της σχέσης () με z+ w 0έχουμε: (z + w)(z zw + w ) = 0 (z + w) z + w = 0 () β) Από τη σχέση () έχουμε z = w, οπότε z w z w z w z w = = = = (). Αν αφαιρέσουμε και από τα δύο μέλη της () το zw έχουμε: z zw + w = zw (z w) = zw, οπότε (z w) zw z w zw = = () z w = z w z w = z = w z w = z = w (AB) = (OA) = (OB). Άρα το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο. 6

27 γ) Αρκεί να δείξουμε ότι (AB) + (A Γ ) = ( ΒΓ ), όπου (AB) = z w, (A Γ ) = z+ w και ( ΒΓ ) = w. Είναι: (AB) (A ) z w z w + Γ = + + = = (z w)(z w) + (z+ w)(z+ w) = = (z w)(z w) + (z+ w)(z + w) = ( ) = zz zw zw+ ww+ zz+ zw+ zw+ ww= z + w = 4w = w = ( ΒΓ ) δ) Είναι z z z + w = 0 z = w = = = = ( ) = z z z z z w w w w w w w, ομοίως w z, οπότε 0 w =. z Άρα 0 0 () z w z w z + w zw + = + = = =. w z w z zw zw 7

28 Άσκηση 4. Έστω z,w με zw 0, 4z + w = και z = (). Να αποδείξετε ότι: w z α) z w =± i z. β) Οι εικόνες Α, Β αντίστοιχα των μιγαδικών z,w και αρχή των αξόνων O(0, 0) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. γ) δ) z w = = w z 0 0 z w + = w z α) Είναι 4z w 4z w zw z z zw w 0 z (z w) 0 w + = + = + + = + = z (z w) = z (z w) = (i z) z w =± i z (). β) Από τη σχέση () έχουμε: () z w= ± i z z w= i z z w = (AB) = z± i z= w w = (± i )z (), οπότε w = (± i )z w = ± i z w = w = (OB) = Είναι (AB) + (OA) = z w + z = ( ) + = 4 και (OB) = w = = 4, άρα (AB) + (OA) = (OB), οπότε το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο. γ) Από τη σχέση () έχουμε: w i z = + ή w i z =. Αν w i z = +, τότε: w = + i και z w 9 8 = + i = + i i = = z

29 z ( i ) ( i ) = = = = i w + i (+ i ) ( i ) 4, οπότε z 9 8 = i = i + i = = w Αν w i z =, τότε ομοίως βρίσκουμε ότι z w = =. w z δ) Είναι z w z z w w + = + = w z w w z z 670 z 670 w z w z w 4z w = ( ) + ( ) = + = + = + = = w z w z w z w z 9

30 Άσκηση 5. Έστω z μιγαδικός αριθμός. Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( z) = iz. =, να αποδείξετε ότι o z είναι πραγματικός. =, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z. γ) Aν z,z είναι δύο μιγαδικοί με f( z) = f( z) =, να αποδείξετε ότι z z. i δ) Θεωρούμε τον μιγαδικό w =. Nα βρείτε τους μιγαδικούς z που ικανοποιούν τις α) Aν ισχύει f( z) f( z) β) Αν f( z) σχέσεις f( z) = και z-w =. α) Από τη σχέση f( z) f( z) = έχουμε ( )( ) ( )( ) iz = iz iz = iz iz iz = iz iz z = x + yi iz iz = 0 i z z = 0 z = z x + yi = x yi yi = 0 y = 0, άρα z. ( ) β) f( z) = z = x + yi iz = i(z+ i) = i z+ i = z+ i = z ( i) = ( ) x + y+ = (), άρα ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του z είναι κύκλος με κέντρο το 4 σημείο K( 0, ) και ακτίνας ρ=. γ) Οι μιγαδικοί z,z ανήκουν στον παραπάνω κύκλο, επομένως το z z εκφράζει το μήκος της χορδής με άκρα τις εικόνες των z,z, που είναι μικρότερο ή ίσο της διαμέτρου του παραπάνω κύκλου. Δηλαδή z z. i δ) H σχέση z w =, δηλαδή z = «δηλώνει» κύκλο κέντρου R =. Eπομένως αρκεί να βρούμε τα κοινά σημεία των κύκλων: Λ 0, και ακτίνας ( ) + + = και 4 C:x y C :x + y = 0

31 Κατ αρχάς παρατηρούμε ότι ( ΚΛ ) = (0 0) + + = και ρ+ R = + = δηλαδή ( ΚΛ ) = ρ + R, οπότε οι δύο κύκλοι εφάπτονται και μάλιστα εξωτερικά. Λύνουμε το σύστημα: ( ) x + y+ = 4 και βρίσκουμε ένα κοινό σημείο το x + y = Μ 0,, δηλαδή z= 0 i= i.

32 Άσκηση 6. Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει z 4 i =, τότε: α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z. β) Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή του z. γ) Ποιος μιγαδικός αριθμός z έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο μέτρο; δ) Αν z,z είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου, να αποδείξετε ότι z z 4. ε) Αν z,z είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου τέτοιοι, ώστε z z = 4, να αποδείξετε ότι z+ z = 0. α) Έστω z = x+ yi, x,y με εικόνα στο επίπεδο το σημείο M(x, y). Είναι z 4 i = z ( 4 + i ) = ( ΜΚ ) =, όπου Μ=Μ(z) η εικόνα του z και Κ (4,). Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού z απέχει από το σταθερό σημείο Κ (4,), σταθερή απόσταση. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (4,) και ακτίνα ρ=, που έχει εξίσωση (x 4) + (y ) = 4. β) Είναι ( ΟΚ ) = (4 0) + ( 0) = 5. Η ευθεία ΟΚ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α, Β, όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Είναι γνωστό από τη Γεωμετρία ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ του κύκλου ισχύει ( ΟΑ) ( ΟΜ) ( ΟΒ ). Άρα ο μιγαδικός με το ελάχιστο μέτρο έχει εικόνα το σημείο Α και ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο έχει εικόνα το σημείο Β. Επομένως έχουμε: min z = ( ΟΑ ) = ( ΟΚ) ρ = 5 = max z = ( Ο B) = ( ΟΚ ) + ρ = 5 + = 7

33 yk yo 0 γ) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΟΚ είναι: λ= = =. x x Η εξίσωση της ευθείας ΟΚ είναι: y y O =λ(x x O) y = x. 4 Για να βρούμε τις συντεταγμένες των Α, Β, λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων της ευθείας ΟΚ και του κύκλου. 9 (x 4) + (y ) = 4 (x 4) + x = 4 (x 4) + ( x 4) = y= x 4 y x y = x = ( x 4) = 4 ( x 4) = x 4=± x = 4± x = ή x = y= x y= x y= x y= x y= x K O 9 8 (x, y) =, ή, Είναι Α, 5 5 και 8 Β,, οπότε ο μιγαδικός αριθμός με το ελάχιστο μέτρο είναι ο z= + i και ο μιγαδικός αριθμός με το μέγιστο μέτρο είναι ο z= + i δ) Το μέτρο z z εκφράζει την απόσταση των εικόνων των μιγαδικών z και z. Αφού οι εικόνες των μιγαδικών z, z κινούνται πάνω σε κύκλο, η απόστασή τους γίνεται μέγιστη όταν αυτές είναι αντιδιαμετρικά σημεία, δηλαδή όταν z z = ρ= = 4. Είναι max z z = 4, άρα γενικά z z 4.

34 ε) Είναι z z = 4, άρα από το προηγούμενο ερώτημα συμπεραίνουμε ότι τα σημεία Μ(z ) και Μ (z ) είναι αντιδιαμετρικά. Αν Μ είναι η εικόνα του μιγαδικού z+ z, τότε έχουμε: z + z = ΟΜ = ΟΚ = ΟΚ = 5 = 0. 4

35 Άσκηση 7. Έστω z και ν (+ iz) = + i, ν * (). α) Να αποδείξετε ότι ο z δεν είναι πραγματικός αριθμός. β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν στον κύκλο, με Κ 0, και ακτίνα ρ=. κέντρο ( ) γ) Να αποδείξετε ότι 4 z+ 5i 6. δ) Αν z,z και ικανοποιούν την (), να αποδείξετε ότι z z. ε) Αν z,z ικανοποιούν την () και z z =, να υπολογίσετε το z+ z. α) Έστω z, τότε από την () έχουμε ν ν ( + iz) = + i + iz = + + iz = ν + iz = + z = z = 0, όμως για z= 0 η () γράφεται άτοπο. Άρα ο z δεν είναι πραγματικός αριθμός. + i =, που είναι β) Από την () έχουμε: + iz = iz i = i z i = z i =, άρα οι εικόνες του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι σημεία K 0, και ακτίνα ρ=. του κύκλου (C) με κέντρο το ( ) 5

36 γ) Το z + 5i = z ( + 5i) και παριστάνει την απόσταση των εικόνων Μ (z) των μιγαδικών αριθμών z από το σημείο Σ(,5). Αν Β, Γ είναι τα σημεία τομής της ευθείας ΣΚ με τον κύκλο, τότε έχουμε: ΣB ΣM ΣΓ, όμως ΣΚ = + 4 = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ΣΒ ) = ( ΣΚ ) ρ = 5 = 4 και ( ΣΓ ) = ( ΣΚ ) + ρ = 5+ = 6, επομένως 4 z + 5i 6. δ) Το μέτρο z z εκφράζει την απόσταση των εικόνων των μιγαδικών z και z. Αφού οι εικόνες των μιγαδικών z, z κινούνται πάνω σε κύκλο, η απόστασή τους γίνεται μέγιστη όταν αυτές είναι αντιδιαμετρικά σημεία, δηλαδή όταν z z = ρ= =. Είναι max z z =, άρα γενικά z z. ε) Είναι z z =, άρα από το προηγούμενο ερώτημα συμπεραίνουμε ότι τα σημεία Μ(z ) και Μ(z ) είναι αντιδιαμετρικά. Αν Μ είναι η εικόνα του μιγαδικού z + z, τότε έχουμε: z+ z = ΟΜ = ΟΚ = ΟΚ = = 6

37 Άσκηση 8. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,z,z,διαφορετικοί ανά δύο, με εικόνες αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία Α, Β, Γ. Αν ισχύουν οι σχέσεις: z = z = z =ρ> 0 και z + z + z = 0, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο με πλευρά ρ. Αρκεί να δείξουμε ότι z z = z z = z z. Έχουμε z z = z z z+ z+ z = z z z z+ z = z+ z z + z = z + z ( z z )( z z ) ( z z )( z z ) + + = + + 4z z + z z + z z + z z = z z + z z + z z + 4z z 4ρ + zz+ zz +ρ =ρ + zz+ zz + 4ρ 0= 0 που ισχύει Όμως αποδεικνύουμε και οι z z = z z Επειδή z = z = z = ρ, οι εικόνες των μιγαδικών ανήκουν σε κύκλο με κέντρο το Ο(0,0) και ακτίνα ρ. Επειδή ακόμα οι κορυφές της σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο, η πλευρά του τριγώνου αυτού είναι ίση με ρ 7

38 Άσκηση 9. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z(t) =, t. Να αποδείξετε ότι: + it α) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z(t), ανήκουν σε κύκλο με κέντρο και ακτίνα ρ=. 4 β) Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z(t) και προηγούμενου κύκλου. Κ,0 4 4 z,t * είναι αντιδιαμετρικά σημεία του t γ) Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z(), z( 4) και z(0) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. α) Έχουμε z(t) =, t άρα + it * z(t), για κάθε t. Παρατηρούμε ότι: ( ) it + it ( ) 4( it) 4( it) 4 + it z(t) = = = = = 4 + it it Συνεπώς οι εικόνες των μιγαδικών z(t), ανήκουν στον κύκλο εκτός του σημείου O( 0,0 ). C: x + y = 4 4 β) Στο (α) ερώτημα αποδείξαμε ότι για κάθε t ο μιγαδικός αριθμός z(t) = ανήκει + it στoν κύκλο (C) με κέντρο το σημείο Κ,0 4 και ακτίνα 4 ρ=, άρα και για ο 4 t 4 μιγαδικός αριθμός z ανήκει στον ίδιο κύκλο. t Αρκεί τώρα να δείξουμε ότι 4 z(t) z = ρ= =. t 4 8

39 Είναι 4 t t z(t) z = = = = t + it 4 + it t 4i + it ( t i + i ) t it it it + it = = = = = + it + it + it + + ( ) ( ) ( it) ( it). Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z(t) και του κύκλου (C) για κάθε t. 4 z είναι αντιδιαμετρικά σημεία t 4 γ) Για t σημεία του κύκλου (C), σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα = οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z() και z = z( 4) Είναι z() z(0) z( 4). Πράγματι είναι αντιδιαμετρικά + i + 0i 4i i 0i 4i + i + 0i 4i αληθές, οπότε οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z(), z( 4) και z(0) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν οι εικόνες των μιγαδικών z() και z( 4). 9