ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1) Nα βρείτε τα Σ.Κ. τθσ ςυνάρτθςθσ

Transcript

1 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ Nα βρείτε τα ΣΚ τθσ ςυνάρτθςθσ Άρα A [-] KK KA KK KA ΣΚ ΣΚ ΣΚ Τα ςθμεία Α Β00 και Γ είναι ςθμεία καμπισ Nα βρείτε τα ΣΚ τθσ ςυνάρτθςθσ ϋϋ0 θμ0 κπ κη κπ κπ+π κπ+π + - KA KK ΣΚ ΣΚ ΣΚ Άρα ζχει ΣΚ ςτα ςθμεία με τετμθμζνεσ κπ και κπ+π τα ςθμεία Ακπκπ και Βκπ+πκπ+π Nα βρείτε τα ΣΚ τθσ ςυνάρτθςθσ ϋ + ϋϋ ϋϋ γιατί 0 -- ι KA KK KA ΣΚ ΣΚ Παρουςιάηει ΣΚ τα ςθμεία Α-- -- και Β-+ -+ Να δείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ ζχει τρία ΣΚ τα οποία είναι ςυνευκειακά και ϋϋ Hornr ι -- ι KK KA KK KA ΣΚ ΣΚ ΣΚ Παρουςιάηει ΣΚ ςτα ςθμεία: και Γ y y και

2 y y Άρα λ ΑΒ λ ΑΓ ΑΒ//ΑΓ και επειδι ζχουν κοινό ςθμείο το Α ςυμπίπτουν Άρα τα ςθμεία ΑΒ και Γ είναι ςυνευκειακά 5 Δίνεται θ ςυνάρτθςθ -α +β+γ Να υπολογίςετε τα α β γr ϊςτε θ γραφικι παράςταςθ C τθσ ςυνάρτθςθσ να διζρχεται από το ςθμείο Α7 να ζχει ελάχιςτο ςτο ςθμείο τθσ με τετμθμζνθ 0 και να ζχει ΣΚ ςτο ςθμείο τθσ Α -α +β+γ ϋ -α+β ϋϋ6-α Να δείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ -λ +6λ -λ R δεν ζχει ΣΚ -λ +6λ -λ ϋ -6λ +6λ -λ+ ϋϋ -λ+6λ -λ+ 6 -λ+λ -λ+ Εάν είχε ΣΚ ςτο ςθμείο με τετμθμζνθ 0 επειδι είναι πολυωνυμικι κα είναι παραγωγίςιμθ ςτο 0 άρα ϋϋ 0 0 -λ+λ -λ+0 Θ ου βακμοφ ωσ προσ εξίςωςθ είναι όμωσ αδφνατθ γιατί ζχει διακρίνουςα: Δλ -λ -λ+ -λ +8λ-<0 αφοφ θ τελευταία είναι ου βακμοφ ωσ προσ λ με Δϋ-80<0 Άτοπο Άρα θ δεν ζχει ΣΚ 7 Να βρεκεί πολυωνυμικι ςυνάρτθςθ ου βακμοφ που ικανοποιεί τισ ςυνκικεσ: i ζχει παράγοντα το + ii ζχει ΣΚ ςτο ςθμείο τθσ με τετμθμζνθ - iii θ εφαπτομζνθ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ ςτο ςθμείο τθσ με τετμθμζνθ - ζχει εξίςωςθ y-65 Ζςτω α +β +γ+δ ϋα +β+γ ϋϋ6α+β y-65 y -7 / -- 7 / -8α+β-γ+δ- 7 / y-65 y+ 5 / ϋ- α -β+γ Αφοφ ζχει παράγοντα το + ζχει ρίηα το - δθλαδι -0 -α+β-γ+δ0 Αφοφ ζχει ΣΚ ςτο ςθμείο τθσ με τετμθμζνθ - κα είναι ϋϋ-0 -α+β0 Λφνοντασ το ςφςτθμα των και βρίςκουμε α β γ9 και δ Άρα Να δείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ α +β με αβ 0 ζχει δυο ακρότατα και ζνα ΣΚ τα οποία είναι ςυνευκειακά και μάλιςτα το ΣΚ διχοτομεί το τμιμα που ορίηουν τα ακρότατα ϋα +β ϋϋ6α+β Ακρότατα: ϋ0 α +β0 0 ι Επειδι θ ϋ είναι πολυϊνυμο ου βακμοφ εκατζρωκεν των ριηϊν και αλλάηει πρόςθμο οπότε παρουςιάηει ακρότατα ςτα 0 το 0 και ςτο το 7 Κυρτότητα: ϋϋ0 6α+β0 Επειδι θ ϋ είναι πολυϊνυμο ου βακμοφ εκατζρωκεν τθσ ρίηασ αλλάηει πρόςθμο οπότε παρουςιάηει ΣΚ ςτο το 7 Αρκεί να δείξουμε ότι το ςθμείο Μ y είναι μζςο του τμιματοσ που ορίηουν τα ςθμεία Μ y και Μ y 0 και 0 7 7

3 9 Δίνεται θ ςυνάρτθςθ -λ +- Να υπολογίςετε το λr ϊςτε θ γραφικι παράςταςθ C τθσ ςυνάρτθςθσ να δζχεται οριηόντια εφαπτομζνθ ςτο ΣΚ τθσ ϋ -λ+ ϋϋ6-λ ϋϋ0 6-λ KK KA ΣΚ Στο ςθμείο Α ι Α5 ζχει ΣΚ Για να δείξουμε ότι θ γραφικι παράςταςθ τθσ Επειδι θ ϋϋ είναι πολυϊνυμο ου βακμοφ εκατζρωκεν τθσ ρίηασ αλλάηει πρόςθμο οπότε παρουςιάηει ΣΚ ςτο Για να δζχεται οριηόντια εφαπτομζνθ ςτο ΣΚ τθσ πρζπει 0 0 λ 0 Να δείξετε ότι αν μια άρτια ςυνάρτθςθ : RR ςτρζφει τα ΚΑ ςτο *0+ τότε ςτρζφει επίςθσ τα ΚΑ ςτο -0] Αφοφ άρτια - για κάκε R τθν οποία παραγωγίηουμε: [-]ϋϋ ϋ--ϋϋ ϋ-- Παραγωγίηουμε τθν : [ϋ-+ϋ[-+ϋ ϋϋ--ϋ-ϋ -ϋϋ--ϋ ϋϋ-ϋ Θ ςθμαίνει ότι θ ςυνάρτθςθ ϋϋ είναι άρτια και επομζνωσ ζχει άξονα ςυμμετρίασ τον άξονα yϋoy Επομζνωσ αν ϋϋ0 ςτο -0] κα είναι και ϋϋ0 ςτο *0+ οπότε εάν ςτρζφει τα ΚΑ ςτο -0] τότε ςτρζφει επίςθσ τα ΚΑ ςτο [0+ Να δείξετε ότι θ γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ R ζχει το ΣΚ τθσ και κζντρο ςυμμετρίασ ϋ -+ ϋϋ6- ϋϋ0 6-0 ςυνάρτθςθσ ζχει το ΣΚ τθσ Α και κζντρο ςυμμετρίασ αρκεί να δείξουμε οτι 5 για κάκε R βλζπε ςχιμα παραπάνω Ζχουμε Να δείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ ςτρζφει τα ΚK ςτο 0π/ Ζςτω g- θμ-ςυν+θμ gϋ-θμ- ςυν-ςυν+θμ+ςυν - ςυν<0 ςτο 0π/ Άρα g ςτο 0π/ και επομζνωσ >0 g<g0 - θμ-ςυν+θμ<0 Άρα ϋϋ<0 και θ ςτρζφει τα ΚK ςτο 0π/ Ζςτω οι ςυναρτιςεισ g:rr δυο φορζσ παραγωγίςιμεσ ςτο R και ςτρζφουν τα ΚΚ ςτο R Αν ϋ>0 για κάκε R να δείξετε ότι θ ςφνκεςι τουσ og ςτρζφει τα ΚΚ ςτο R

4 [og]ϋ*g]ϋ ϋggϋ [og]ϋϋ*ϋggϋ+ϋ [ϋg]ϋgϋ+ϋggϋϋ ϋϋg[gϋ] +ϋggϋϋ0 γιατί: ϋϋg0 αφοφ ςτρζφει ΚΚ [gϋ] 0 ϋ>0 ϋg>0 και gϋϋ0 αφοφ g ςτρζφει ΚΚ Άρα θ ςυνάρτθςθ og ςτρζφει τα ΚΚ ςτο R Δίνεται θ ςυνάρτθςθ : ΔR ςυνεχισ ςτο διάςτθμα Δ Να δείξετε ότι: i αν θ ςτρζφει τα ΚΑ ςτο Δ τότε για κάκε Δ με ιςχφει ii αν θ ςτρζφει τα ΚΚ ςτο Δ τότε για κάκε Δ με ιςχφει Να δϊςετε μια γεωμετρικι ερμθνεία των παραπάνω ςχζςεων Εφαρμογή: i Να δείξετε ότι για κάκε αβ*0π/+ ιςχφει ii Να δείξετε ότι για κάκε αβr ιςχφει a i Αρκεί να δείξουμε ότι: ι ι ι Εφαρμόηουμε το ΘΜΤ για τθν ςτα διαςτιματα και Προφανϊσ ικανοποιοφνται οι ςυνκικεσ του κεωριματοσ οπότε υπάρχουν ξ και ξ άρα ξ <ξ τζτοια ϊςτε και Επειδι θ ςτρζφει τα ΚΑ ςτο Δ τότε ϋ ςτο Δ Άρα ξ <ξ ϋξ <ϋξ Γεωμετρική ερμηνεία: Για κάκε Δ το μζςο Κ του ευκφγραμμου τμιματοσ που ορίηουν τα ςθμεία Α Β είναι πάνω από το ςθμείο τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ ii Επειδι θ ςτρζφει τα ΚΚ ςτο Δ τότε ϋ ςτο Δ Άρα ξ <ξ ϋξ >ϋξ Γεωμετρική ερμηνεία: Για κάκε Δ το μζςο Κ του ευκφγραμμου τμιματοσ που ορίηουν τα ςθμεία Α Β είναι κάτω από το ςθμείο τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ

5 Εφαρμογή: i Αρκεί να δείξουμε ότι θ ςυνάρτθςθ θμ ςτρζφει τα ΚΚ ςτο 0π/ Πράγματι ϋςυν και ϋϋ-θμ<0 ςτο 0π/ ii Αρκεί να δείξουμε ότι θ ςυνάρτθςθ ςτρζφει τα ΚA ςτο R Πράγματι: ϋ και ϋϋ >0 ςτο R ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΘΝΙΕΣ 5 Να υπολογίςτε το αr ϊςτε θ ςυνάρτθςθ a a 0 7 να παρουςιάηει ΣΚ ςτο / Μετά για τθν τιμι του α που βρικατε να ςχθματίςετε τον πίνακα μεταβολϊν Α δζςμθ 990 ϋα- -α+-0 ϋϋα--α+ Επειδι παραγωγίηεται ςτο R ωσ πολυωνυμικι ϋϋ/0 α--α-0 α Άρα 0 7 ϋ --0 ϋϋ- - - / ΚΚ ΚΚ ΚΑ ΚΑ ΤΜ ΣΚ ΤΕ 6 Να δείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ 5 7 5a δεν παρουςιάηει ΣΚ για καμιά τιμι του αr Α δζςμθ 99 Λφςθ: ϋϋ0 5 0 H είναι εξίςωςθ ου βακμοφ ωσ προσ και είναι αδφνατθ γιατί ζχει διακρίνουςα Δ6α -6α -α+56α -α +α-5 6-α +α-5<0 αφοφ -α +α-5<0 γιατί Δϋ-<0 Άρα δεν παρουςιάηει ΣΚ για καμιά τιμι του αr 7 Θζμα ον 00 Ζςτω μια ςυνάρτθςθ ςυνεχισ ς ζνα διάςτθμα *αβ+ που ζχει ςυνεχι δεφτερθ παράγωγο ςτο αβ Αν ιςχφει α β0 και υπάρχουν αρικμοί γαβ δαβ ζτςι ϊςτε γ δ<0 να αποδείξετε ότι: α Υπάρχει μία τουλάχιςτον ρίηα τθσ εξίςωςθσ 0 ςτο διάςτθμα αβ Μονάδεσ 8 β Υπάρχουν ςθμεία ξ ξ αβ τζτοια ϊςτε ϋϋξ <0 και ϋϋξ >0 Μονάδεσ 9 γ Υπάρχει ζνα τουλάχιςτον ςθμείο καμπισ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ Μονάδεσ 8 α Είναι γ δ διότι αν γ δ τότε γγ < 0 γ < 0 άτοπο Χωρίσ βλάβθ τθσ γενικότθτασ ζςτω γ < δ Θ είναι ςυνεχισ ςτο *γδ+ *αβ+ και γδ<0 Άρα ςφμφωνα με το κεϊρθμα του Bolzano υπάρχει μία τουλάχιςτον ρίηα ρ τθσ εξίςωςθσ 0 ςτο διάςτθμα γδ αβ β Εφαρμόηουμε για τθν το κεϊρθμα μζςθσ τιμισ διαδοχικά ςτα διαςτιματα *αγ+ *γρ+ *ρδ+ και *δβ+ και παίρνουμε αντίςτοιχα : υπάρχει ζνα τουλάχιςτον λ αγ τζτοιο ϊςτε ϋλ υπάρχει ζνα τουλάχιςτον λ γρ τζτοιο ϊςτε ϋλ υπάρχει ζνα τουλάχιςτον λ ρδ τζτοιο ϊςτε ϋλ υπάρχει ζνα τουλάχιςτον λ δβ τζτοιο ϊςτε ϋλ Επειδι είναι γδ<0 κα είναι : γ<0 και δ>0 ι γ>0 και δ<0 Αν γ<0 και δ>0 τότε : ϋλ <0 ϋλ >0 ϋλ >0 ϋλ <0 Εφαρμόηουμε για τθν ϋ το ΘΜΤ διαδοχικά ςτα διαςτιματα *λ λ ] *λ λ + και παίρνουμε αντίςτοιχα: υπάρχει ζνα τουλάχιςτον ξ λ λ τζτοιο ϊςτε ϋϋξ >0 υπάρχει ζνα τουλάχιςτον ξ λ λ τζτοιο ϊςτε ϋϋξ <0 Αν γ > 0 και δ < 0 τότε : ϋλ >0 ϋλ <0 ϋλ <0 ϋλ >0

6 Εφαρμόηουμε για τθν ϋ το κεϊρθμα μζςθσ τιμισ διαδοχικά ςτα διαςτιματα *λ λ ] *λ λ + και παίρνουμε αντίςτοιχα : υπάρχει ζνα τουλάχιςτον ξ λ λ τζτοιο ϊςτε ϋϋξ <0 υπάρχει ζνα τουλάχιςτον ξ λ λ τζτοιο ϊςτε ϋϋξ >0 Σε κάκε περίπτωςθ λοιπόν υπάρχουν ςθμεία ξ ξ αβ τζτοια ϊςτε ϋϋξ <0 και ϋϋξ >0 γ Επειδι θ ϋϋ είναι ςυνεχισ ςτο αβ κα ζχει ςτακερό πρόςθμο ςε κακζνα από τα διαδοχι-κά διαςτιματα που ορίηονται από τισ το πολφ πεπεραςμζνεσ ςε πλικοσ ρίηεσ τθσ ϋϋ0 Όμωσ επειδι από το β θ ϋϋ αλλάηει πρόςθμο ςτο αβ υπάρχουν δφο τουλάχιςτον διαδοχικά διαςτιματα με διαφορετικό πρόςθμο και ζςτω α το ςθμείο αλλαγισ του προςιμου Στο α ορίηεται θ ϋ α δθλαδι ορίηεται εφα-πτομζνθ τθσ C ςτο α και θ ϋϋ αλλάηει πρόςθμο άρα ςτο ςθμείο Α α α θ C παρουςιάηει καμπι 8 ΘΕΜΑ ο 00 ίνεται θ ςυνάρτθςθ µε τφπο ln α Να βρείτε το πεδίο οριςµοφ τθσ ςυνάρτθςθσ να µελετιςετε τθν µονοτονία τθσ και να βρείτε τα ακρότατα Μονάδεσ 0 β Να µελετιςετε τθν ωσ προσ τθν κυρτότθτα και να βρείτε τα ςθµεία καµπισ Μονάδεσ 8 γ Να βρείτε το ςφνολο τι µϊν τθσ Μονάδεσ 7 α Πρζπει >0 A0+ ϋln+ ln+ ln+ ϋ0 ln+0 0 ln+0 ln ϋ>0 ln+>0 0 ln+>0 ln> > και ϋ<0 < Μονοτονία: Στο διάςτθμα και ςτο διάςτθμα Ακρότατα: Στο 0 β ϋϋln++ γ ln+ ϋϋ0 ln+0 ln ϋϋ>0 ln+>0 ln> > ϋϋ<0 < ΚΚ 0 είναι είναι παρουςιάηει ΤΕ το ΚΑ + Στο διάςτθμα 0 ςτρζφει τα ΚΚ και ςτο ςτρζφει τα ΚΑ Στο 0 ζχει ΣΚ το lim 0

7 0 γιατί lim lim ln ln lim 0 ln lim DLH 0 lim 0 lim 0 0 lim lim lim ln γιατί ++ + Άρα 0+ 0 U 9 Θέκα νλ 007 Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε --εκ ζ όπνπ ζr κηα ζηαζεξά κε ζθπ+ π / i Να απνδείμεηε όηη ε παξνπζηάδεη έλα ηνπηθό κέγηζην έλα ηνπηθό ειάρηζην θαη έλα ζεκείν θακπήο Μνλάδεο 7 ii Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε 0 έρεη αθξηβώο ηξεηο πξαγκαηηθέο ξίδεο ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο Μνλάδεο 8 iii Αν είναι οι κζςεισ των τοπικϊν α- κροτάτων και θ κζςθ του ςθμείου καμπισ τθσ να αποδειχκεί ότι τα ςθμεία Α B και Γ βρίςκονται ςτθν ευκεία y θμ κ Μνλάδεο i ΤΜ ΤΔ Άξα παξνπζηάδεη ΤΜ ζην - ην --εκ ζ -εκ ζ ζπλ ζ θαη ΤΔ ζην ην --εκ ζ ΚΚ ΚΑ ΣΚ Άξα έρεη ζεκείν θακπήο ζην 0 ην 0- εκ ζ ii Έζηω Α θαη Α Α στο -- Α lim - ζπλ ζ Δπεηδή ζθπ+ π / ζπλζ0 θαη 0-ζπλ ζ άξα ε εμίζωζε 0 έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην Α θαη επεηδή είλαη είλαη κνλαδηθή Α στο[-] [-][-+εκ ζζπλ ζ] Δπεηδή 0[-+εκ ζζπλ ζ] ε εμίζωζε 0 έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην Α θαη επεηδή είλαη είλαη κνλαδηθή Α στο lim [-+εκ ζ+] Δπεηδή 0[-+εκ ζ+] ε εμίζωζε 0 έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην Α θαη επεηδή είλαη είλαη κνλαδηθή Άξα ε εμίζωζε 0 έρεη αθξηβώο ηξεηο ξίδεο iii A-ζπλ ζ B--εκ ζ Γ0- εκ ζ ε: y θμ κ y θμ κ θμ κ ζπλ ζ Άξα Αε ε: y θμ 0 κ y θμ κ Άξα Γε ε: y θμ κ y - θμ κ Άξα Βε 0 Θέκα ν 009 Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε: α -ln+ >- όπνπ α ζηαζεξόο πξαγκαηηθόο κε 0<α A Αλ ηζρύεη γηα θάζε >- λα απόδείμεηε όηη α Μνλάδεο 8 B Γηα α i Να δείμεηε όηη ε είλαη θπξηή Μνλάδεο 5

8 ii λα απνδείμεηε όηη ε ζπλάξηεζε είλαη ζην δηάζηεκα -0] θαη ζην δηάζηεκα [0+ Μνλάδεο 6 iii αλ βγ-0u0+ λα απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε 0 έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην δηάζηεκα Μνλάδεο 6 A α lnα- 0 Επνκέλσο παξνπζηάδεη ΤΕ ζην 0 θαη επεηδή είλαη παξαγσγίζηκε από ην ζ Frmat ζα έρνπκε 00 lnα-0 lnα lnαln α B Γηα α i α ln α+ άξα ε είλαη θπξηή >0 ii Επεηδή ε είλαη θπξηή ε είλαη Η εμίζσζε 0 έρεη πξνθαλή ξίδα ην 0 Γηα <0-0] Γηα >0 < 0 <0 άξα ε είλαη ζην > 0 >0 άξα ε είλαη ζην [0+ iii Γηα έρνπκε: 0 β--+γ--0 Εθαξκόδνπκε γηα ηελ ζπλάξηεζε gβ--+γ-- ην ζ Bolzano ζην δηάζηεκα [] g ζπλερήο ζην [] σο πνιπσλπκηθή g-β+<0 γηαηί γηα θάζε >- gγ->0 γηαηί γηα θάζε >- κε κόλν γηα 0[] ιόγσ ηνπ i εξσηήκαηνο gg<0 Άξα εθαξκόδεηαη ην ζ Bolzano θαη ε εμίζσζε g0 β--+γ--0 0 έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην δηάζηεκα Θέκα Γ 00 Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε: +ln + R Γ Να κειεηήζεηε σο πξνο ηελ κνλνηνλία ηελ ζπλάξηεζε Μνλάδεο 5 Γ Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε: ln Μνλάδεο 7 Γ Να απνδείμεηε όηη ε έρεη δπν ζεκεία θακπήο θαη όηη νη εθαπηνκέλεο ηεο γξαθηθήο ηεο παξάζηαζεο ζηα ζεκεία θακπήο ηεο ηέκλνληαη ζε ζεκείν ηνπ άμνλα ςς Μνλάδεο 6 Γ 0 γηαηί ην ηξηώλπκν ++>0 αθνύ Δ-<0 Άξα ζην R Γ ln -6+ln[- +]-ln + + ln +6-+ln[- +] + ln +-+ln[- +] - " " ή Γ ΣΚ ΣΚ Ζχουμε δυο ςθμεία καμπισ Α+ln και B--+ln ϋ ϋ- Εξιςϊςεισ εφαπτομζνων: ε Α : y-ϋ- y-+ln- 0 y-+ln Ε B : y--ϋ-+ y--+ln+ 0 y-+ln Άρα οι εφαπτομζνεσ τζμνονται ςτο ςθμείο Γ0-+ln του άξονα ψψϋ Θέκα Γ 0 Δίλεηαη ε ζπλάξηεζε :RR δπν θνξέο παξαγσγίζηκε ζην R κε 0 00 ε νπνία ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε: γηα θάζε R A Να δείμεηε όηη ln - R Μνλάδεο 8

9 B Να κειεηήζεηε ηελ σο πξνο ηελ κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα Μνλάδεο C Να απνδείμεηε όηη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο έρεη αθξηβώο δπν ζεκεία θακπήο Μνλάδεο 7 D Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε ln -ζπλ έρεη αθξηβώο κηα ιύζε ζην δηάζηεκα 0 Μνλάδεο 7 A [ -] - +c 0 c- Άξα - - ln ln k 0 k0 Άξα ln Θέησ g - R Τόηε g - g 0 g >0 >0-0 g <0 < g - + g Άξα ε g παξνπζηάδεη ΤΕ ζην 0 επνκέλσο gg0 - Άξα -0 B γιατί -0 δικ/ση στο τέλος θαη επεηδή ->0 νη ξίδεο θαη ην πξόζεκν ηεο είλαη ίδηα κε ηηο ξίδεο θαη ην πξόζεκν ηνπ - πνπ ην έρνπκε εμεηάζεη ζην έλζεην πξνεγνπκέλσο Άξα ε ζπλάξηεζε είλαη ζην -0] θαη ζην [0+ Σην 0 0 έρεη ΤΕ ην 00 C Γηα λα έρεη δπν αθξηβώο ΣΚ πξέπεη ε ζπλάξηεζε h - - λα έρεη αθξηβώο δπν ξίδεο ζηηο νπνίεο λα αιιάδεη πξόζεκν h - Επεηδή >0 γηα θάζε R ην πξόζεκν ηεο h είλαη ίδην κε ην πξόζεκν ηνπ h + - h Οιηθό ma h- h lim h h -- Επεηδή 0-- ε h έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην -0 πνπ ιόγσ κνλνηνλίαο είλαη κνλαδηθή θαη αιιάδεη πξόζεκν εθαηέξσζελ απηήο h+ h h lim h -- Επεηδή 0-- ε h έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην + πνπ ιόγσ κνλνηνλίαο είλαη κνλαδηθή θαη αιιάδεη πξόζεκν εθαηέξσζελ απηήο Άξα ε h έρεη δπν αθξηβώο δπν ξίδεο ζηηο νπνίεο λα αιιάδεη πξόζεκν D ln -ζπλ ln --ζπλ0 -ζπλ0 Έζησ h-ζπλ ζπλερήο ζην [0π/] σο δηαθνξά ζπλερώλ ζπλαξηήζεσλ h0-ζπλ0- hπ/-ζπλπ/-->0 h0hπ/<0 θαη από ην ζ Bolzano ε εμίζσζε h0 ln -ζπλ έρεη κηα ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην 0π/ θαη επεηδή h +εκ>0 ζην 0π/ είλαη κνλαδηθή Xg γιατί ημ>0 στο 0π/ και >0 όταν >0