ΑΝΩΣΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Διαφορικόσ και Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ Δφο ή Περιςςοτζρων Μεταβλητϊν

Transcript

1 ΑΝΩΣΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Διαφορικόσ και Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ Δφο ή Περιςςοτζρων Μεταβλητϊν 1

2 υναρτιςεισ Περιςςοτζρων Μεταβλθτϊν Παράδειγμα.(E.F. Dbois S =επιφάνεια ςϊματοσ W =βάροσ ςϊματοσ H =φψοσ ςϊματοσ S = ( W 0.45 H 0.75 δθλαδι S = (W H Παρατθρείςτε S( = 1.7 S( = 1.7 κλπ Ιςοβαρείσ καμπφλεσ ι Ιςουψείσ... ΓΕΝΙΚΑ ιςοςταθμικζσ καμπφλεσ ιςεμβαδικζσ καμπφλεσ

3 Προφίλ τθσ S ωσ προσ W ι τθσ S ωσ προσ H Αν H = 140 cm Αν W = 40 kg S = (0.5841W 0.45 S = (0.0445H 0.75 Παράδειγμα Ηλ. Ακτινοβολ. (S.A.Bowers & R.D.Hanks Παράδειγμα (Θερμ. φφλλων (R.C. Simmons

4 Παράδειγμα Παραβολοειδζσ = + Σριδιάςτατθ παράςταςθ Ιςοςτακμικζσ με = c Ιςοςτακμικζσ με = c 4

5 Συςτήματα Συντεταγμζνων Καρτεςιανό τριςορκογϊνιο ςφςτθμα φςτθμα Κυλινδρικϊν / Ημιπολικϊν υντ/νων r θ = rσυνθ = rημθ = r = + τοξεφ( αν > 0 θ = π + τοξεφ( αν < 0 = φςτθμα φαιρικϊν / Πολικϊν υντ/νων r θ φ = rημφσυνθ = rημφημθ = rσυνφ r = + + τοξεφ( αν > 0 θ = π + τοξεφ( αν < 0 = τοξσυν( r Πολλζσ Μεταβλθτζσ-Μωυςιάδθσ Πολ. Κακ. Σμ. Μακθματικϊν 5

6 Τόποσ D: α β 1 ( ( D: γ δ g 1 ( g ( ι Όριο - Συνζχεια lim ( = λ 0 0 lim ( = λ P P 0 ( ςυνεχισ ςτο P 0 = ( 0 0 αν-ν λ = ( 0 0 Διαφζρουν από τα διπλά όρια P 6

7 Μερικι Παράγωγοσ ςυμβολιςμόσ ( 0 0 ή ( 0 0 ή ή ( ( 0 0 ( 0 0 ( 0 0 lim 0 ( 0 0 ( 0 0 ( 0 0 lim 0 Θεωρείται το ωσ ςτακερά παράμετροσ Θεωρείται το ωσ ςτακερά παράμετροσ ςτο ςθμείο (1 ( Παράδειγμα 4 (1 4 9 (1 6 (1 6 4 (1 7

8 Αλυςςωτοί νόμοι παραγϊγιςθσ Ζςτω = (. Αν = g(r s και = (r s τότε : = F(r s. Ζςτω = (. Αν = g( = ( τότε : = F(. Πωσ ςυνδζονται οι παράγωγοι ωσ προσ r s με αυτζσ ωσ προσ ; Πωσ ςυνδζονται οι παράγωγοι ωσ προσ r s με αυτήν ωσ προσ ; r r r s s s d d d d d d Ιακωβιανή των ωσ προσ όπου είναι παραγωγίςιμεσ ςυναρτιςεισ των D( D( = = Ιςχφει: D( D( D( D( 1 8

9 ΑΚΗΗ Τπολογιςμόσ παραγϊγων απευκείασ από τουσ τφπουσ 9 ( ό 4 1

10 ( 1 d d d d d d d d d d

11 Περίπτωςθ 11 ( ό d d d d d d d d d d 0 ( 1

12 1 0 1 ( 6 4( ( 0 1 ( 6 4( ( ( ( ( 1 0 ( 6 4( ( 1 0

13 1 d d d d d d d d d d ( ό d d 6 4( 6 4( 6 4( ( 6 4(

14 Ιακωβιανή 14 (110 (? ( ( w D w D w w w w D w D ( (

15 Δεφτερθ Μερικι Παράγωγοσ Μεικτζσ παράγωγοι. Είναι ίςεσ υπό προχποθζςεισ άλλοι ςυμβολιςμοί Παράδειγμα ( e ( e e ( ( 0 0 ( ( ( e e (1 e (1 Πολλζσ Μεταβλθτζσ-Μωυςιάδθσ Πολ. Κακ. Σμ. Μακθματικϊν 15

16 16 d d d d d d d d d d d d d d d d d d dd d d d e e ό (

17 17 e e ό ( e e e e 0 d d d d d d d d dd d d d

18 Αλλαγή μεταβλητϊν Ζςτω = ( και = ( δφο νζεσ μεταβλθτζσ Πωσ μεταβάλλεται το ςτοιχειϊδεσ εμβαδό dd ; dd = dd = D( D( dd D( D( dd Παράδειγμα Αλλαγι μεταβλθτϊν ςτο επίπεδο: Καρτεςιανζσ ςε Πολικζσ r r Είναι τότε: dd rdrd διότι: D( ( r ( r r Dr ( ( r ( r r r r( r r Ολικό Διαφορικό Για τθν = ( ορίηουμε: d d d 18

19 Παράγωγοσ Πεπλεγμζνησ Συνάρτηςησ Ζςτω = ( θ πεπλεγμζνθ που ορίηεται με τθ ςχζςθ: F( = 0 Θεωροφμε = F( = 0 με = = ( άρα: = Φ(. d d d 0 d d d d F d F Παράδειγμα Παραγωγίςτε τθν πεπλεγμζνθ που ορίηεται με: / + / = α / Είναι / / / F( 0 Παράδειγμα Οι πεπλεγμζνεσ που ορίηονται από τισ: τζμνονται κάκετα ςτθν αρχι των αξόνων F F (00 1/ 1/ (/ 1/ (/ 4 F F F (00 Φ 19

20 Ακρότατα Θ. Ζςτω ότι υπάρχουν οι παράγωγοι αϋ και βϋ τάξθσ τθσ ( και ( 0 0 κρίςιμο ςημείο δθλαδι τζτοιο ϊςτε: ( 0 0 ( ( 0 0 ( 0 0 ( 0 0 A B Θζτουμε: Σότε αν: ΑΓ Β > 0 Α > 0 ΑΓ Β > 0 Α < 0 ΑΓ Β < 0 ( ζχει τοπικό ελάχιςτο ςτο ςθμείο ( 0 0 ( ζχει τοπικό μζγιςτο ςτο ςθμείο ( 0 0 ( δεν ζχει τοπικό ακρότατο ςτο ςθμείο ( 0 0 ΑΓ Β = 0 δεν γνωρίηουμε 0

21 Παράδειγμα Ποια θ μζγιςτθ τιμι του γινομζνου όταν το άκροιςμα + + = c ςτακερό. Αρκεί να βρεκεί το μζγιςτο τθσ V( = (c Είναι V V ( c ( c ( c 0 c c Κρίςιμα ςθμεία (00 ( c0 (0 c ( c 0 Για 00 c 0 0 c είναι ΑΓ Β = c < 0 Δεν ζχει ακρότατο Για c c είναι Α = Γ = c Β = c A < 0 ΑΓ Β = c > 0 Μζγιςτο V ma c c c c c c 7 1

22 Όγκοσ κάτω από τθν επιφάνεια = ( Διπλό Ολοκλιρωμα V D ( dd Αν ο τόποσ D: τότε V ( ( dd 1 ( Αν ο τόποσ D: το κεωρείται ςτακερό τότε V g ( ( dd g1 ( το κεωρείται ςτακερό

23 Παράδειγμα Να υπολογιςτεί το ολοκλιρωμα V ( dd D όπου D ο τόποσ που περικλείεται από τισ καμπφλεσ: = = 1 (4 = τότε V = 1 (4 + d D: = + = d = 1 =(4 1 (4 / = d = 5.90

24 Παράδειγμα Να υπολογιςτεί το ολοκλιρωμα I ( dd D όπου D ο τόποσ που βρίςκεται ςτο αϋ τεταρτθμόριο και περικλείεται από τισ υπερβολζσ: = 1 = 9 = = D*: 4 8 D( I ( dd ( dd D D* D( Θζτοντασ = = ο τόποσ D γίνεται D τότε D( D( 4( άρα I dd dd D*