Λφσεις των θεμάτων ΔΕΤΣΕΡΑ 28 MAΪΟΤ 2012 ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΚΑΣΕΤΘΤΝΘ

Transcript

1 ΑΡΟΛΥΤΗΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γϋ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΡΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γϋ ΤΑΞΗΣ ΕΡΑΛ (ΟΜΑΔΑ Βϋ) ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΚΑΣΕΤΘΤΝΘ ΔΕΤΣΕΡΑ 8 MAΪΟΤ Λφσεις των θεμάτων Ζκδοση η (8/5/, :4)

2 Οι απαντιςεισ και οι λφςεισ είναι αποτζλεςμα ςυλλογικισ δουλειάσ των Επιμελθτϊν των φακζλων του Λυκείου του Δικτυακοφ Τόπου mahmaica.gr με βάςθ υλικό που αναρτικθκε ςτο mahmaica hp:// υνεργάστηκαν οι: Αντωνζασ τράτθσ, Ανδρζασ Βαρβεράκθσ, Φωτεινι Καλδι, πφροσ Καπελλίδθσ, πφροσ Καρδαμίτςθσ, Νίκοσ Κατςίπθσ, Χριςτοσ Κυριαηισ, Γρθγόρθσ Κωςτάκοσ, Ροδόλφοσ Μπόρθσ, Μίλτοσ Παπαγρθγοράκθσ Λευτζρθσ Πρωτοπαπάσ, ωτιρθσ τόγιασ, Αλζξανδροσ υγκελάκθσ, Κώςτασ Σθλζγραφοσ, Χριςτοσ Σςιφάκθσ Το Δελτίο διατίκεται ελεφκερα από το δικτυακό τόπο mahmaica.gr

3 ΑΠΑΝΣΘΕΙ ΠΑΝΕΛΛΘΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΘ ΘΜΕΡΘΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΤΣΕΡΑ 8 MAΪΟΤ ΕΞΕΣΑΗΟΜΕΝΟ ΜΑΘΘΜΑ: ΜΑΘΘΜΑΣΙΚΑ ΚΑΣΕΤΘΤΝΘ ΘΕΜΑ Α A. Αποδεικνφουμε το κεϊρθμα ςτθν περίπτωςθ που είναι f (). Ζςτω, Δ με. Θα δείξουμε ότι f ( ) f ( ). Ρράγματι, ςτο διάςτθμα [, ] θ f ικανοποιεί τισ προχποκζςεισ του Θ.Μ.Τ. Επομζνωσ, υπάρχει ξ, ) τζτοιο, ϊςτε f ( ) f ( ) f ( ξ), οπότε ζχουμε ( ) f ( ) f ( ξ)( ) f ) f ( ), οπότε f ) f ( ). ζχουμε ( ( f. Επειδι f (ξ) και (, Α. Μια ςυνάρτθςθ f κα λζμε ότι είναι ςυνεχισ ςε ζνα κλειςτό διάςτθμα,, όταν είναι ςυνεχισ ςε κάκε ςθμείο του ( α, β) και επιπλζον lim f () f ( ). lim f () f ( ) και Α3. Μια ςυνάρτθςθ f, με πεδίο οριςμοφ Α, κα λζμε ότι παρουςιάηει ςτο A τοπικό μζγιςτο, όταν υπάρχει, τζτοιο ϊςτε f () f ( ) για κάκε A (, ). Το λζγεται κζςθ ι ςθμείο τοπικοφ μεγίςτου, ενϊ το f ( ) τοπικό μζγιςτο τθσ f. Α4. α) Σωςτό β) Σωςτό γ) Λάκοσ δ) Λάκοσ ε) Λάκοσ ΘΕΜΑ Β Β. Είναι z z 4 ( z )( z ) ( z )( z ) 4 z z z z z z 4 z z. Άρα, ο γεωμετρικόσ τόποσ των εικόνων των μιγαδικϊν z είναι ο κφκλοσ με κζντρο το O (,) και ακτίνα. 3

4 Β. Ζχουμε ότι z z. Επίςθσ: z z z z ( ) z z R( z z ) R( z z ). R( ). z z. z z z z zz Άρα, Β3. Ζςτω w yi, όπος, y. Τόηε w 5 w yi 5( yi) 4 6 iy άρα ιςοδφναμα παίρνουμε y y y i Σςνεπώρ ο γευμεηπικόρ ηόπορ ηηρ εικόναρ (, y) ηος μιγαδικού w είναι η πποηγούμενη έλλειτη. Οι κοπςθέρ ηηρ έλλειτηρ είναι A(3,), A ( 3,) και B(, ), B (, ). Ο μεγάλορ άξοναρ έσει μήκορ a (AA ) 6 και ο μικπόρ άξοναρ (BB ) 4. Είναι γνυζηό από ηα μαθημαηικά καηεύθςνζηρ ηηρ Β Λςκείος (ζελίδα 4) όηι για οποιοδήποηε ζημείο M ηηρ έλλειτηρ ιζσύει όηι (MO). Άπα, w 3. Για w i ή w i έσοςμε όηι min w και για w 3 ή w 3 έσοςμε όηι ma w 3. Β4. Από τθν τριγωνικι ανιςότθτα z w z w z w βάηοντασ όπου w το w παίρνουμε τθν z w z w z w. Άρα αφενόσ z w z w 3 4 και αφετζρου z w z w w z ζχουμε: w z w z w z 3 4 ΘΕΜΑ Γ Γ. Η ςυνάρτθςθ f είναι παραγωγίςιμθ για κάκε διότι προκφπτει από πράξεισ μεταξφ των παραγωγίςιμων ςυναρτιςεων f ( ) (πολυϊνυμο), f ( ) ln (λογαρικμικι ςυνάρτθςθ). ln Είναι f ( ) ln. Ζχουμε f (). Αν τότε ln ln και. Επομζνωσ ln και ζτςι f ( ) για. Άρα θ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο,. 4

5 Αν τότε ln ln και. Επομζνωσ ln και ζτςι f ( ) για. Άρα θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο [, ). Η f είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο (,] και ςυνεχισ ςε αυτό άρα f (,] f (), lim f ( ) [, ) διότι lim f ( ) lim ( ) ln. Η f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο [, ) και ςυνεχισ ςε αυτό άρα f [, ) f (), lim f ( ) [, ) διότι lim f ( ) lim ( ) ln. Οπότε τελικά το ςφνολο τιμϊν τθσ f είναι [, ). Γ. Η εξίςωςθ γράφεται ιςοδφναμα: 3 ( ) ln 3 ( ) ln f ( ) Πμωσ επειδι f (,] [, ), θ f είναι ςυνεχισ ςτο (,] (, ) και [, ) άρα από το κεϊρθμα ενδιαμζςων τιμϊν υπάρχει (,) ϊςτε f( ). Επειδι επιπλζον θ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο (,], το είναι θ μοναδικι λφςθ τθσ εξίςωςθσ f( ) ςτο (,). Ριο αναλυτικά: Αφοφ lim f( ) τότε lim f( ) οπότε f( ) για κάκε κοντά ςτο. Συνεπϊσ υπάρχει k κοντά ςτο (άρα k ) ϊςτε f( k ) δθλαδι f( k ). Η ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο k, και f () f ( k ) οπότε εφαρμόηοντασ το κεϊρθμα ενδιαμζςων τιμϊν ςτο διάςτθμα k, ζχουμε το παραπάνω ςυμπζραςμα. Πμοια αφοφ f [, ) [, ), θ f είναι ςυνεχισ ςτο [, ) (, ) και [, ) άρα από το κεϊρθμα ενδιαμζςων τιμϊν (θ αναλυτικι δικαιολόγθςθ είναι όμοια με τθν παραπάνω) υπάρχει (, ) ϊςτε f( ). Επειδι επιπλζον θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο (, ), άρα το είναι θ μοναδικι λφςθ τθσ εξίςωςθσ f( ) ςτο (, ). Άρα τελικά θ αρχικι εξίςωςθ ζχει ακριβϊσ δφο κετικζσ λφςεισ και. Γ3. Θζλουμε να δείξουμε ότι θ εξίςωςθ f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ζχει λφςθ ςτο διάςτθμα (, ). Θεωροφμε τθ ςυνάρτθςθ ( ) ( ) H f, [, ]. Η ςυνάρτθςθ H είναι ςυνεχισ ςτο [, ] διότι προκφπτει από πράξεισ ςυνεχϊν και παραγωγίςιμθ ςτο (, ) διότι προκφπτει από πράξεισ παραγωγιςίμων ςυναρτιςεων με H ( ) f ( ) f ( ). Επίςθσ H( ) H( ) διότι από το προθγοφμενο ερϊτθμα ιςχφει f ( ) f ( ). Συνεπϊσ ιςχφουν οι προχποκζςεισ του κεωριματοσ Roll για τθν H ςτο [, ]. Άρα υπάρχει (, ) ϊςτε 5

6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H f f f f. Γ4. Επειδι το ςφνολο τιμϊν τθσ f είναι το [, ) άρα για κάκε ιςχφει f ( ) f ( ) g( ). Επίςθσ θ μοναδικι ρίηα τθσ εξίςωςθσ f( ) άρα και τθσ g ( ) είναι το. Συνεπϊσ το ηθτοφμενο εμβαδό είναι το ( ) E g( ) d ( )ln d ln d ( ) ( ) ( ) ln d d ( ) ( ) d ln ΘΕΜΑ Δ Δ. Θεωροφμε ςυνάρτθςθ g( ) f ( ) d, (, ). Από τθν υπόκεςθ ζχουμε ότι: g( ) g( ) g () για κάκε (, ), οπότε θ g παρουςιάηει ολικό ελάχιςτο για, οπότε παρουςιάηει και τοπικό ελάχιςτο για. H ςυνάρτθςθ g είναι ςυνεχισ και παραγωγίςιμθ ςτο (, ) (ωσ διαφορά ςυνεχϊν και παραγωγίςιμων ςυναρτιςεων), παρουςιάηει και τοπικό ελάχιςτο για που είναι εςωτερικό ςθμείο του A g (, ), οπότε από το κεϊρθμα του Frma ζχουμε ότι g '(). Πμωσ g '( ) f ( )( ), οπότε g'() f() και αφοφ g '(), ζχουμε ότι f() f() (). Η ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο (, ) και ιςχφει f( ) για κάκε (, ), οπότε διατθρεί πρόςθμο και κατά ςυνζπεια λόγω τθσ () ζχουμε ότι f( ). ln Τότε από τθν υπόκεςθ ζχουμεln d f ( ) () f() Αφοφ f( ) για κάκε (, ), από τθν () βρίςκουμε ότι Θζτουμε G( ) ln ln d f ( ) f ( ) ln d, θ οποία είναι παραγωγίςιμθ ςτο (, ) *δικαιολόγθςθ: Η ζς- f() νάπηηζη με ηύπο ln είναι ζςνεσήρ ζηο (, + ) υρ διαθοπά ζςνεσών ζςναπηήζευν και α- (3) 6

7 θού η f είναι ζςνεσήρ ζηο (, + ) με f(), για κάθε >, η ζςνάπηηζη ln f() είναι επίζηρ ζςνεσήρ ζηο, υρ πηλίκο ζςνεσών ζςναπηήζευν. Επομένυρ οπίζεηαι η ζςνάπηηζη ln ln d ζηο, ζηο οποίο είναι παπαγυγίζιμη] με G '() οπότε θ (3) παίρνει τθ μορφι: f() f () G '( ) G( ) G'( ) G( ) G( ) c, c (4) Για θ (4) γίνεται: (), άρα από τθν (4) ζχουμε: G c c ln G ( ) ( ) (5) G d f() Το πρϊτο μζλοσ τθσ (5) είναι παραγωγίςιμθ ςυνάρτθςθ. Επίζηρ παπαγυγίζιμη είναι και η ζςνάπηηζη υρ διαθοπά ηυν παπαγυγίζιμυν ζςναπηήζευν (εκθεηική) και (ζηαθε- ln πή). Ραραγωγίηοντασ τθν (5) βρίςκουμε ότι: f ( ) ( ln ). f( ) Η ζςνάπηηζη f είναι παπαγυγίζιμη ζηο, υρ γινόμενο ηυν παπαγυγίζιμυν ζςναπηήζευν [ζύνθεζη ηυν παπαγυγίζιμυν (εκθεηική) και (πολςυνςμική)] και ln [διαθοπά ηυν παπαγυγίζιμυν ln (λογαπιθμική) και (πολςυνςμική)]. Δ. Για (,) ζχουμε ότι: lim. Τότε για τον υπολογιςμό του ορίου ln lim f( ) lim, άρα για (,) ζχουμε ότι: f( ), αφοφ lim f ( ) f ( ) f ( ) lim f ( ) f ( ) lim lim lim ln, κζτουμε lim και f( ), οπότε lim αφοφ lim και δεδομζνου ότι για το όριο lim ικανοποιοφνται οι προχποκζςεισ του κεωριματοσ του D L Hospial, αφοφ lim( ) lim και υπάρχει το lim ' ' lim. Δ3. Η ςυνάρτθςθ f είναι ςυνεχισ ςτο (, ), οπότε ορίηεται θ F( ) f ( ) d και είναι παραγωγίςιμθ με F'() f () (ln ). a H F' είναι παραγωγίςιμθ αφοφ θ f είναι παραγωγίςιμθ ςτο (, ) με 7

8 F ''( ) f '( ) ( ln ) ln αφοφ ln, (, ). Επιπλζον αφοφ ιςχφει για κάκε, ζχουμε ότι F ( ) για κάκε (, ), οπότε θ ςυνάρτθςθ F είναι κυρτι ςτο (, ) και θ F' είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο (, ). Η ςυνάρτθςθ F είναι ςυνεχισ ςτα [, ],[,3 ] (, ) με αφοφ είναι παραγωγίςιμθ ςτο (, ), είναι παραγωγίςιμθ ςτα (, ),(,3 ) (, ) με αφοφ είναι παραγωγίςιμθ ςτο (, ), οπότε από το κεϊρθμα μζςθσ τιμισ του διαφορικοφ λογιςμοφ υπάρχουν (, ), F( ) F( ) F( ) F( ) (,3 ) ϊςτε F'( ) (6) και F(3 ) F( ) F(3 ) F( ) F'( ) 3 (7). Πμωσ και θ F' είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο (, ), οπότε F '( ) F '( ) και από τισ (6), (7) βρίςκουμε: F( ) F( ) F(3 ) F( ) F( ) F( ) F(3 ) F( ) F( ) F(3 ) F( ), αφοφ. Δ4. Ζχουμε ότι: ln ln, και,, άρα ( ln ),, οπότε F '( ) f ( ),, άρα θ ςυνάρτθςθ F είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο (, ). Θεωροφμε τθ ςυνάρτθςθ h( ) F( ) F( ) F(3 ), [, ] (, ). H ςυνάρτθςθ h είναι ςυνεχισ ςτο [, ], ωσ άκροιςμα των ςυνεχϊν ςυναρτιςεων F (αποδείξαμε νωρίτερα ότι είναι παραγωγίςιμθ) και τθσ ςτακεράσ F( ) F(3 ), με h( ) F( ) F( ) F(3 ) F( ) F (3 ) (αφοφ θ ςυνάρτθςθ F είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο (, ) και 3 ) h( ) F( ) F( ) F (3 ) (από το ερϊτθμα Δ3), οπότε h( ) h ( ), δθλαδι από το κεϊρθμα Bolzano υπάρχει (, ) ζτςι ϊςτε h( ) F( ) F( ) F (3 ). Το παραπάνω είναι μοναδικό αφοφ θ ςυνάρτθςθ h() είναι γνθςίωσ φκίνουςα αφοφ για κάκε είναι h '(). ΧΟΛΙΑ: Α4. Εξιγθςθ των προτάςεων ςφμφωνα με το ςχολικό βιβλίο: α) ωστό (ςελ. 9 ςχολικοφ βιβλίου: «Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνεσ M ( α, β) και M ( α, β) δφο ςυηυγϊν μιγαδικϊν z α βi και z α βi είναι ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον πραγματικό άξονα.») 8

9 β) ωστό ( ςελ. 5 ςχολικοφ βιβλίου: «Από τον παραπάνω οριςμό προκφπτει ότι μια ςυνάρτθςθ f είναι, αν και μόνο αν: Για κάκε ςτοιχείο y του ςυνόλου τιμϊν τθσ θ εξίςωςθ f ( ) y ζχει ακριβϊσ μια λφςθ ωσ προσ.») γ) Λάθος (ςελ. 78 ςχολικοφ βιβλίου: «Αν lim f ( ), τότε f () κοντά ςτο») δ) Λάθος (ςελ. 3 ςχολικοφ βιβλίου: «( ζθ )») ε) Λάθος (ςελ. 336 ςχολικοφ βιβλίου: «β β β f ( ) g ( ) d [ f ( ) g( )] f ( ) g( ) d, όπου f, g είναι ςυνεχείσ ςυναρτιςεισ ςτο [, β] Β. Εναλλακτικά θ Ρροςζγγιςθ: Ζςτω z yi όπος y, α ημ α»). Τότε z z yi yi ( ) ( ) y y 4 άρα ιςοδφναμα y που παριςτάνει κφκλο με κζντρο το (,) και ακτίνα ρ=. Άρα ο γεωμετρικόσ τόποσ των εικόνων των μιγαδικϊν z ςτο επίπεδο είναι κφκλοσ με κζντρο τθν αρχι των αξόνων και ακτίνα ρ=. θ Ρροςζγγιςθ: Αν κεωριςουμε τα ςθμεία M(z),A(,),B(,), όπου M(z) είναι θ εικόνα του μιγαδικοφ z, το Α είναι θ εικόνα του μιγαδικοφ ενϊ το Β είναι θ εικόνα του μιγαδικοφ -. Ραρατθροφμε ότι θ ςχζςθ γράφεται MA MB AB οπότε ςτο τρίγωνο ΑΜΒ ι- MB. Συνεπϊσ το ςθμείο Μ κινείται ςε κφκλο κζ- ςχφει το πυκαγόρειο κεϊρθμα άρα MA ντρου Ο(,) και ακτίνασ ρ=. α α Β. Εναλλακτικά θ Ρροςζγγιςθ: Από το προθγοφμενο ερϊτθμα ζχουμε z z οπότε από τον κανόνα του παραλλθλογράμμου z z z z z z (Άςκθςθ 9 ςχολικό βιβλίο ςελίδα. Η ςχζςθ αυτι δε μπορεί να χρθςιμοποιθκεί εάν προθγουμζνωσ δεν αποδειχκεί), ζ- χουμε z z z z. θ Ρροςζγγιςθ: Αφοφ τα ςθμεία A( z), B( z ) είναι ςθμεία του προθγοφμενου κφκλου και ( AB) z z άρα θ ΑΒ είναι πλευρά κανονικοφ τετραγϊνου εγγεγραμμζνου ςτον κφκλο. Τότε από τθν Β Λυκείου είναι γνωςτό ότι το απόςτθμα a 4 είναι το μιςό τθσ πλευράσ AB και αν M το μζςον θσ AB τότε OM OA OB αρα OM OA OB ι a4 z z δθλαδι z z ( AB ). Β3. Εναλλακτικά Αν PQ, εςτίεσ τθσ ζλλειψθσ το w είναι το μικοσ τθσ διαμζςου m του τριγϊνου SPQ ό- που S τυχαίο ςθμείο τθσ ζλλειψθσ και είναι w 3 με w όταν το S βρεκεί ςτο ά- κρο του μικροφ άξονα και w 3 όταν το S βρεκεί ςτο άκρο του μεγάλου άξονα. Γ. Εναλλακτικι προςζγγιςθ για τθν μονοτονία τθσ f 9

10 θ Ρροςζγγιςθ: f ( ) ln. Είναι f () και παρατθροφμε ότι για ιςχφει f ( ) και για f ( ). θ Ρροςζγγιςθ: Είναι: f ( ) ln, (, ). Η ςυνάρτθςθ f είναι και αυτι παραγωγίςιμθ άρα και ςυνεχισ ςτο (, ) ωσ πράξεισ παραγωγίςιμων ςυναρτιςεων ςτο εν λόγω διάςτθμα με f ( ),. Επομζνωσ πρόκει- ται για κυρτι ςυνάρτθςθ ςτο (, ) δθλαδι θ f' είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο (, ). Ραρατθρϊ ότι f () ln και για είναι: f ( ) f () f ( ) απ' όπου (λόγω τθσ ςυνζχειασ τθσ ςυνάρτθςθσ) προκφπτει πωσ θ ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο (,]. Ραρόμοια αν f ( ) f () f ( ), επομζνωσ λόγω τθσ ςυνζχειασ τθσ ςυνάρτθςθσ f αυτι είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο [, ). Γ3. Εναλλακτικι Ρροςζγγιςθ Θεωρϊ τθ ςυνάρτθςθ με τφπο: h( ) f ( ) f ( ),, h( ) ln ( )ln 3,, Η h είναι ςυνεχισ ςτο [, ] ωσ πράξεισ ςυνεχϊν ςυναρτιςεων και: ( )ln 3 h( ) ln ( ) ln 3 ln, αφοφ είναι άκροιςμα αρνθτικϊν. (Είναι ln και ) Επιπλζον ( )ln 3 h( ) ln ( ) ln 3 ln αφοφ πρόκειται για άκροιςμα κετικϊν. (Είναι: ln και ) Επομζνωσ ιςχφουν οι προχποκζςεισ του κεωριματοσ Bolzano ςυνεπϊσ υπάρχει τουλάχιςτον ζνα (, ) ϊςτε h( ) f ( ) f ( ). Δ. Εναλλακτικά για το πρόςθμο τθσ f 3 / 4 f ()d f ()d f ()d Για ζχουμε Πμωσ θ f ωσ ςυνεχισ και μθ μθδενικι διατθρεί ςτακερό πρόςθμο. Αν ιταν f () κα είχαμε 3 4 f ()d άτοπο άρα το πρόςθμο τθσ f είναι αρνθτικό. τότε Εναλλακτικά για τθν απόδειξθ τθσ παραγωγιςιμότθτασ τθσ f πριν τθν εφρεςθ του τφπου τθσ Ζςτω n. Τότε.

11 + Είναι () n () () () ςυνεπϊσ. f () f () f f ( ) n n Επομζνωσ για είναι d d και για f ( ) f ( ) n n n d d d. f ( ) f ( ) f ( ) n n Τζλοσ για είναι d οπότε τελικά d για κάκε. f() f() Σθμείωςθ: Το ολοκλιρωμα γίνεται μθδζν μόνο για αφοφ ln. f( ) n Άρα f( ) οπότε θ f είναι παραγωγίςιμθ. n d f() Ραρατιρθςθ: Η εκφϊνθςθ τθσ άςκθςθσ προχποκζτει τθν φπαρξθ ςυνάρτθςθσ f που ικανοποιεί τα δεδομζνα (ςε αντίκεςθ με τθν εκφϊνθςθ «Να βρεκεί θ ςυνάρτθςθ f ϊςτε»). Χωρίσ λοιπόν να είναι απαραίτθτθ θ επαλικευςθ ςτθ ςυγκεκριμζνθ άςκθςθ αν επαλθκεφςουμε διαπιςτϊνουμε ότι πράγματι τζτοια ςυνάρτθςθ που ικανοποιεί τα δεδομζνα του προβλιματοσ υπάρχει και είναι θ ςυνάρτθςθ που βρικαμε. ln ln d f ( ) d ( ln ) f ( ) ( ln ) d ( ln ) ( ) ( ln ) ln Εναλλακτικά για τθν εφρεςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f από τθ ςχζςθ (3) ln ln ln Από τθ ςχζςθ d (3) αν ορίςουμε H( ) d, τότε θ τελευταία f ( ) f ( ) f () γίνεται: H '() H() και λόγω τθσ εφαρμογισ του ςχολικοφ βιβλίου (ςελ. 5) παίρνουμε. Η ςυ- H() νάρτθςθ H είναι παραγωγίςιμθ ωσ άκροιςμα παραγωγιςίμων (θ αναλυτικι δικαιολόγθςθ βρίςκεται ςτθ λφςθ του Δ παραπάνω) και θ είναι παραγωγίςιμθ. Ραραγωγίηοντασ τθν τελευταία ςχζςθ και ςυνεχίηοντασ όπωσ ςτθν λφςθ παραπάνω, βρίςκουμε τθ ςυνάρτθςθ τον τφπο τθσ ςυνάρτθςθσ f. H() c θ οποία για = δίνει H() c c c. Άρα τελικά Δ3. Εναλλακτικά για το ο μζροσ του ερωτιματοσ

12 Αφοφ F είναι κυρτι, θ C F βρίςκεται πάνω από τθν εφαπτομζνθ τθσ (μοναδικό κοινό ςθμείο τουσ είναι το ςθμείο επαφισ). Θεωροφμε τθν εφαπτομζνθ ςτο που ζχει εξίςωςθ y( ) F( ) F '( )( ) τότε είναι F(3 ) y(3 ) F( ) F '( )(3 ) F( ) F '( ), 3 και F( ) y( ) F( ) F '( )( ) F( ) F '( ),. Ρροςκζτοντασ τισ δυο προθγοφμενεσ ζχουμε F(3 ) F( ) F( ) για κάκε άρα F( ) F(3 ) F( ) F( ) F(3 ) F( )