Πανεπιςτιμιο Κφπρου ΟΙΚ 223: Μακθματικά για οικονομολόγουσ ΙΙ Διδάςκων:

Transcript

1 Πανεπιςτιμιο Κφπρου ΟΙΚ 3: Μακθματικά για οικονομολόγουσ ΙΙ Διδάςκων: Φάμπιο Αντωνίου τοιχεία Επικοινωνίασ: ; Σθλ: Προςωπικι Ιςτοςελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο Οικονομικοφ, Γραφείο 3. Ώρεσ Γραφείου: Δευτζρα , Πζμπτθ

2 Περιιγθςθ: Κυρτότθτα πολυμεταβλθτισ ςυνάρτθςθσ Θεώρθμα 7 (Κυρτότθτα πολυμεταβλθτών ςυναρτιςεων): Ζςτω Η ο Hessian πίνακασ μιασ διπλά παραγωγίςιμθσ ςυνάρτθςθσ f f... f H f f... f f f... f n n n n nn y f x x x n (,,..., ) ) Ο Η είναι κετικά οριςμζνοσ αν και μόνο αν οι ορίηουςεσ των κφριων υποπινάκων ζιναι όλεσ κετικζσ 0, H H H n τθν περίπτωςθ αυτι θ ςυνάρτθςθ είναι αυςτθρά κυρτι. H H H n 0, f f... f n f f H f,0, H f f f f... H n f f... f n f f f n fn... f nn ) Ο Η είναι κετικά θμίοριςμζνοσ αν και μόνο αν οι ορίηουςεσ των κφριων υποπινάκων ζιναι όλεσ κετικζσ. τθν περίπτωςθ αυτι θ ςυνάρτθςθ είναι κυρτι

3 Περιιγθςθ: Κυρτότθτα πολυμεταβλθτισ ςυνάρτθςθσ Θεώρθμα 7 υνζχεια (Κυρτότθτα πολυμεταβλθτών ςυναρτιςεων): Ζςτω Η ο Hessian πίνακασ μιασ διπλά παραγωγίςιμθσ ςυνάρτθςθσ f f... f H f f... f f f... f n n n n nn y f x x x n (,,..., ) 3) Ο Η είναι αρνθτικά οριςμζνοσ αν και μόνο αν οι ορίηουςεσ των κφριων υποπινάκων αλλάηουν πρόςθμο, αρχίηοντασ από αρνθτικό πρόςθμο. H 0 0, 0...} n αν n ζσγός H H n 0 τθν περίπτωςθ αυτι θ ςυνάρτθςθ είναι αυςτθρά κοίλθ. 4) Ο Η είναι αρνθτικά θμιοριςμζνοσ αν και μόνο αν οι ορίηουςεσ των κφριων υποπινάκων αλλάηουν πρόςθμο, αρχίηοντασ από μθ κετικό πρόςθμο. H 0 αν n ζσγός H 0, H 0...} n H n 0 αν n περιττός τθν περίπτωςθ αυτι θ ςυνάρτθςθ είναι κοίλθ. H αν n περιττός

4 Περιιγθςθ: Κυρτότθτα πολυμεταβλθτισ ςυνάρτθςθσ Παράδειγμα 0 (Κυρτότθτα πολυμεταβλθτών ςυναρτιςεων): Να εξετάςετε αν είναι κυρτι/κοίλθ θ f ( x x ) >0 ( x x ) ( x x ) H 4 4 ( x x ) ( x x ) ( ) 0 H x x 4 y f ( x x ) με x, x 0 Βιμα : Βρίςκουμε τισ μερικζσ παραγώγουσ ά τάξθσ. f ( x x ) >0 Βιμα : Βρίςκουμε τισ μερικζσ παραγώγουσ β τάξθσ Βιμα 3: Βρίςκουμε τουσ υποπίνακεσ και υπολογίηουμε το πρόςθμο H 0 Άρα ςφμφωνα με το Θεώρθμα 7, περίπτωςθ 4, θ ςυνάρτθςθ είναι κοίλθ.

5 Θεώρθμα και Οριςμόσ: ταυροειδισ παράγωγοι Ολικό διαφορικό y f ( x, x,..., x n ) Θεώρθμα 8 (Young s Theorem): Ζςτω παραγώγουσ α και β τάξθσ. Σότε, f f για κάκε ηευγάρι i, j,..., n ij ji με ςυνεχείσ Οριςμόσ 6 (Ολικό διαφορικό): Ζςτω θ, το ολικό διαφορικό δίνεται από: y f ( x, x ) f ( x, x ) f ( x, x ) dy dx dx x x Σο ολικό διαφορικό δείχνει το αποτζλεςμα ςτθν εξαρτθμζνθ μεταβλθτι όταν κάκε μια από τισ ανεξάρτθτεσ μεταβλθτζσ αλλάηει ταυτόχρονα με τισ υπόλοιπεσ

6 Παραδείγματα: Ολικό διαφορικό Παράδειγμα : Να βρεκεί το ολικό διαφορικό τθσ: 3 f ( x, y, z) x xy z x φμφωνα με τον οριςμό το ολικό διαφορικό δίνεται: f ( x, y, z) f ( x, y, z) f ( x, y, z) df dx dy dz x y z Οι μερικοί παράγωγοι δίνονται ωσ: f ( x, y, z) 3 f ( x, y, z) f ( x, y, z) x y z x x y z Επομζνωσ το ολικό διαφορικό δίνεται απο: 3 df ( x y z ) dx xdy 3z xdz 3 zx

7 Αριςτοποίθςθ ςυναρτιςεων με πολλζσ μεταβλθτζσ Οι ςυνκικεσ για το ςθμείο ςταςιμότθτασ των ςυναρτιςεων με πολλζσ μεταβλθτζσ είναι παρόμοιεσ με αυτζσ των ςυναρτιςεων μιασ μεταβλθτισ Θεώρθμα 9. (Αναγκαία υνκικθ) Ζςτω μια πολυμεταβλθτι, παραγωγίςιμθ ςυνάρτθςθ ςτο πραγματικό χώρο. Σο ςθμείο ( x είναι ςθμείο, x,..., x n) ςταςιμότθτασ αν και μόνο αν f f f f... 0 x x x x 3 n τθν περίπτωςθ των ςυναρτιςεων μιασ μεταβλθτισ, τα ςθμεία ςταςιμότθτασ είναι είτε ακρότατα είτε ςθμεία καμπισ. τθν περίπτωςθ των πολυμεταβλθτών ςυναρτιςεων υπάρχει επίςθσ ζνα διαφορετικό ςθμείο ςταςιμότθτασ, το ςαγματικό ςθμείο.

8 Αριςτοποίθςθ ςυναρτιςεων με πολλζσ μεταβλθτζσ Όπωσ και ςτισ ςυναρτιςεισ με μια μεταβλθτι, χρειαηόμαςτε τισ παραγώγουσ β τάξθσ για να ταξινομιςουμε τα ςθμεία ςταςιμότθτασ ςε μζγιςτα/ελάχιςτα κ ςθμεία ςζλασ. Θεώρθμα 0. Ζςτω μια πολυμεταβλθτι, παραγωγίςιμθ ςυνάρτθςθ ςτο πραγματικό χώρο και ικανοποιοφνται οι εξισ ςυνκικεσ: (Ι) (Αναγκαία υνκικθ) f f f f... 0 x x x x 3 n (ΙΙ) (Ικανι υνκικθ) Ο Ηessian τθσ f ςτο ςθμείο ςταςιμότθτασ είναι κετικά (αρνθτικά) οριςμζνοσ Σότε το ( x, x,..., x ) n είναι τοπικό ελάχιςτο (μζγιςτο). (ΙΙΙ) (Ικανι υνκικθ) Ο Ηessian τθσ f είναι κετικά (αρνθτικά) οριςμζνοσ τότε ολικό ελάχιςτο (μζγιςτο ( x, x,..., x ) n

9 Γεωμετρικι απεικόνιςθ Μζγιςτο αγματικό θμείο

10 Εφαρμογι: θμεία ςταςιμότθτασ. Εφαρμογθ 5 (Ολιγοπώλιο - Cournot): Δφο επιχειριςεισ παράγουν το ίδιο προιόν κ ζχουν αντίςτροφθ ςυνάρτθςθ ηιτθςθσ p 00 ( q q ) και μθδενικό κόςτοσ. υνάρτθςθ κερδών: pq 00 q ( q q ) q, i, i i i i Βιμα : θμεία ςταςιμότθτασ 0 00 q q 0 q q q 0 00 q q 0 q Βιμα : Είναι μζγιςτα; 0 και 0 q q p ΠΡΟΟΧΗ: Αυτό είναι πρόβλθμα μονομεταβλθτισ αριςτοποίθςθσ από επιχειριςεισ που επιλζγουν ταυτόχρονα τθν παραγωγι τουσ.

11 Εφαρμογι: θμεία ςταςιμότθτασ. Εφαρμογθ 6 (Μονοπώλιο): Μια επιχείρθςθ παράγει δυο αγακά i=,. Η ςυνάρτθςθ ηιτθςθσ για το είναι p 00 q για το p 60 q και μθδενικό κόςτοσ. υνάρτθςθ κερδών: p q p q 00q q 60q q Βιμα : θμεία ςταςιμότθτασ 0 00 q 0 q q 0 q q 50 και q 5 p 50 και p 30 Βιμα : Είναι μζγιςτα;, 4 και = =0 0 H, 0 και 8 0 ολικό max 0 4

12 Αριςτοποίθςθ ςυναρτιςεων με πολλζσ μεταβλθτζσ ςε διάςτθμα x i Κάκε ανεξάρτθτθ μεταβλθτι περιορίηεται ςε διάςτθμα a x b για i i i Θεώρθμα. Άν το ςθμείο ςτο διάςτθμα απο τισ δφο ςυνκικεσ: ( x, x,..., x ) f a x b, i,.., n i i i n είναι το ςθμείο μεγίςτου τθσ τότε πρζπει να ιςχφει τουλάχιςτον μια (Ι) f ( x, x,..., x ) 0 και ( x a ) f ( x, x,..., x ) 0 i n i i i n (ΙΙ) f ( x, x,..., x ) 0 και ( b x ) f ( x, x,..., x ) 0 i n i i i n

13 Αριςτοποίθςθ ςυναρτιςεων με πολλζσ μεταβλθτζσ ςε διάςτθμα x i a x b Κάκε ανεξάρτθτθ μεταβλθτι περιορίηεται ςε διάςτθμα για i i i Θεώρθμα. Άν το ςθμείο ςτο διάςτθμα ai xi bi απο τισ δφο ςυνκικεσ: ( x, x,..., xn ) είναι το ςθμείο ελαχίςτου τθσ f, i,.., n τότε πρζπει να ιςχφει τουλάχιςτον μια (Ι) f ( x, x,..., x ) 0 και ( x a ) f ( x, x,..., x ) 0 i n i i i n (ΙΙ) f ( x, x,..., x ) 0 και ( b x ) f ( x, x,..., x ) 0 i n i i i n

14 Αριςτοποίθςθ ςυναρτιςεων με πολλζσ μεταβλθτζσ ςε διάςτθμα Παράδειγμα. Να βρεκεί το ςθμείο που μεγιςτοποιεί τθν f ( x, x ) 0x 5 x,0 x 0,0 x 0 Βιμα : Βρίςκουμε τθν πρώτθ παράγωγο: f 0, f 5 Βιμα : Γράφουμε τισ ςυνκικεσ για μζγιςτο (Ι) (ΙΙ) f ( x, x ) =0 0 και ( x 0) f ( x, x ) 0 Δεν ιςχφει f ( x, x ) =0 0 και (0 x ) f ( x, x ) 0 Ιςχφει x 0 Μζγιςτο (Ι) (ΙΙ) f ( x, x ) =-5 0 και ( x 0) f ( x, x ) 0 f ( x, x ) =-5 0 και (0 x ) f ( x, x ) 0 Ιςχφει Δεν ιςχφει x 0 Μζγιςτο

15 Αριςτοποίθςθ ςυναρτιςεων με πολλζσ μεταβλθτζσ ςε διάςτθμα Παράδειγμα 3. Να βρεκεί το ςθμείο που μεγιςτοποιεί τθν f ( x, x ) x 3x 0, x 0, x 8 Βιμα : Βρίςκουμε τθν πρώτθ παράγωγο: f 4 x, f 6x Βιμα : Γράφουμε τισ ςυνκικεσ για μζγιςτο (Ι) (ΙΙ) 4 x 0 και ( x )(4 x ) 0 4 x 0 και (0 x )4x 0 Ικανοποιείται θ (ΙΙ) για x 0 Μζγιςτο (Ι) (ΙΙ) 6 x 0 και ( x )( 6 x ) 0 6 x 0 και (8 x )( 6 x ) 0 Ικανοποιείται θ (Ι) για x Μζγιςτο

16 Αριςτοποίθςθ πολυμεταβλθτών με ιςοτικοφσ περιοριςμοφσ. Γενικι μορφι προβλθμάτων: Προβλθμάτα με δφο μεταβλθτζσ: max/min f ( x, x,..., x n ) (, ) g( x, x,..., x ) 0 Θεώρθμα 3: Ζςτω ότι είναι θ λφςθ του προβλιματοσ υπό τον περιοριςμό g( x, x ) 0 τότε το ικανοποιεί τισ: n x x max/ min f x x ( x, x ) (, ) (Ι) (ΙΙ) f (, ) g (, ) f ( x, x ) g ( x, x ) g( x, x ) 0

17 Αριςτοποίθςθ πολυμεταβλθτών με ιςοτικοφσ περιοριςμοφσ. υνκικεσ α Σάξθσ Οριςμόσ: Η μζκοδοσ Lagrange για τθν εφρεςθ του μεγίςτου (ι ελαχίςτου) του προβλιματοσ max/min f ( x, x,..., xn ) s.t. g( x, x,..., xn ) 0 υνίςταται ςτθν εφρεςθ των μερικών παραγώγων πρώτθσ τάξθσ και ςτθ ςυνζχεια των ςθμείων ςταςιμότθτασ τθσ εξίςωςθσ Lagrange: L( x, x, ) f ( x, x ) g( x, x) υνκικεσ Α Σαξθσ L( x, x, ) f x x g x x x L( x, x, ) f x x g x x x 0 (, ) (, ) 0 0 (, ) (, ) 0 L( x, x, ) g x x 0 (, ) 0 Σο λ ονομάηεται πολλαπλαςιαςτισ Lagrange και ςτο ςθμείο αριςτοποιιςθσ μασ δείχνει τισ επιπτώςεισ ςτθν άριςτθ τιμι τθσ ςυνάρτθςθσ απο μια ελάχιςτθ μεταβολι του περιοριςμοφ.

18 Αριςτοποίθςθ πολυμεταβλθτών με ιςοτικοφσ περιοριςμοφσ Παράδειγμα 4. Να βρεκοφν τα ςθμεία ςταςιμότθτασ τθσ f ( x, x ) x x, s.t. 00 x 4x Βιμα : Φτιάχνουμε τθ ςυνάρτθςθ L. Βιμα : υνκικεσ α τάξθσ: L( x, x, ) x x (00 x 4 x ) L( x, x, ) x x x L( x, x, ) x x x 0 (0.5) 0 0 (0.75) 4 0 (0.5) x x 3 x x (0.75) x x 3 x (.5) 8.75 L( x, x, ) x x x 4( x) 0 x.5 48

19 Αριςτοποίθςθ πολυμεταβλθτών με ιςοτικοφσ περιοριςμοφσ. υνκικεσ β Σάξθσ L( x, x, ) f ( x, x ) g( x, x ) ( x, x, ) Θεώρθμα 4. Σο ςθμείο ςταςιμότθτασ τθσ εξίςωςθσ Lagrange είναι : (Ι) Μζγιςτο αν θ ορίηουςα του επαυξθμζνου πίνακα Hessian είναι κετικά οριςμζνθ. (ΙΙ) ) Ελάχιςτο αν θ ορίηουςα του επαυξθμζνου πίνακα Hessian είναι αρνθτικά οριςμζνθ. Ο επαυξθμζνοσ πίνακασ Hessian δίνεται ώσ: 0 g g H g L L g L L

20 Παράδειγμα: Αριςτοποίθςθ πολυμεταβλθτών με ιςοτικοφσ περιοριςμοφσ. f ( x, x ) x x Παράδειγμα 5: max/min s.t. x x 0 Βιμα : Καταςκευθ τθσ Lagrange και εφρεςθ των ςθμείων ςταςιμότθτασ : L( x, x, ) x x ( x x) Βιμα : υνκικεσ Α τάξθσ: L L L( x, x, ) 0 ( ) 0 x x L( x, x, ) 0 0 x L( x, x, ) L 0 x x 0 Βιμα 3: υνκικεσ Β τάξθσ Επαυξθμζνοσ Hessian: x 4 0 x 3 H x ( x) H x H 0 Ελάχιςτο

21 Αριςτοποίθςθ πολυμεταβλθτών με ιςοτικοφσ περιοριςμοφσ Εφαρμογθ 6. (Ανταγωνιςτικι Ιςορροπία): Ζςτω μια οικονομία με δφο άτομα (Α,Β) και δφο αγακά (,). Σο άτομο Α ζχει μια μονάδα απο το αγακό, και μθδζν απο το. Σο άτομο Β ζχει μονάδα απο το και μθδζν απο το. Οι ςυναρτιςεισ χρθςιμότθτασ δίνονται απο: U log( A ) log( A ), U log( B) log( B ) A B Πόςο πρζπει να καταναλώςει το κάκε άτομο, για τιμι του, Ρ και τιμι του, P. L A A p p A p A L p 0 A A log( ) log( ) ( ) L B B p pb pb L p 0 A A L p p A p A 0 Ιςορροπία: υναρτιςεισ ηιτθςθσ A 3 A p 3p p A B 3 p p A B 3p log( ) log( ) ( ) L p 0 B B p L B p 0 p B B L B p pb pb 0 υναρτιςεισ ηιτθςθσ p A, A, B, B, p