L(t)dt = n = 2 + 2[φ], n = 2 + 2[φ], n = [λ] + 4[φ]

Transcript

1 23/49 3η διάλεξη: Ομάδα Ανακανονικοποίησης Η διάσταση της Λαγκρανζιανής πυκνότητας είναι 4, σε μονάδες μάζας [L] = 4 μιας και η δράση S είναι αδιάστατο μέγεθος S = Ltdt = d 4 xl Επομένως, πηγαίνοντας σε n διαστάσεις, η διάσταση της Λαγρανζιανής πυκνότητας είναι n. Στην θεωρία 4, όπου L = 1 2 µ m ! λ4 επειδή [ µ ] = 1 αντιστοιχεί σε ορμή, και βέβεια [m] = 1, θα πρέπει n = 2 + 2[], n = 2 + 2[], n = [λ] + 4[] οπότε [] = n 2 2, [λ] = n 4n = 4 n 2 2

2 24/49 Δηλαδή σε n διαστάσεις η σταθερά σύζευξης λ δεν είναι αδιάστατη! Για να την κρατήσουμε αδιάστατη γράουμε στη θέση της λµ 4 n όπου τώρα το λ είναι αδιάστατο και τις διαστάσεις τις κουβαλάει η παράμετρος µ με μονάδες μάζας. Ακριβώς, η ανάγκη να μην εξαρτάται το υσικό αποτέλεσμα από την παράμετρο αυτή θα μας οδηγήσει στην Ομάδα Ανακανονικοποίησης θυμηθείτε το a στην κατά Weirstrass περιγραή της συνάρτησης Γάμμα. Η ανακανονικοποιημένη συνάρτηση Green που περιγράεται από ένα διάγραμμα με N εξωτερικά πόδια έχει τη μορή G N x 1, x 2,..., x N = 0 T x 1 x 2... x N 0 = = Z N/2 0 T x 1 x 2...x N 0 = = Z N/2 G N x 1, x 2,..., x N 10 όπου χρησιμοποιήσαμε τον επαναορισμό της κυματοσυνάρτησης ακριβώς ανάλογα με την Εξ.5. = Z 1/2

3 Στο χώρο των ορμών θα γράαμε 25/49 G N p 1, p 2,..., p N = Z N/2 G N p 1, p 2,..., p N Αν πάμε στις ανακανονικοποιημένες συναρτήσεις Green που περιγράουν τα 1PI διαγράμματα χωρίς τους εξωτερικούς διαδότες amputated, Γ N, τότε θα πρέπει να γράψουμε Γ N p 1, p 2,..., p N = Z N/2 Γ N p 1, p 2,..., p N = Z N = Z N/2 Γ N p 1, p 2,..., p N Ο λόγος που διαιρούμε με τον παράγοντα Z N είναι ότι για να πάμε από τις G στις Γ θα πρέπει να ααιρέσουμε N διαδότες και από τις δύο πλευρές της Εξ.10 Ααιρούμε δηλαδή και από τις δύο πλευρές της ισότητας 2N πεδία. Η σχέση = Z 1/2 μας οδηγεί στον παράγοντα Z N που εμανίζεται στην παραπάνω εξίσωση.

4 Ας δούμε αναλυτικότερα τις εξαρτήσεις των συναρτήσεων Γ. Η μη ανακανονικοποιημένη Γ θα εξαρτάται από 26/49 Γ N p, λ, m όπου p περιγράει το σύνολο των ορμών p 1, p 2,..., p N. Η σταθερά ανακανονικοποίησης θα εξαρτάται από τη σταθερά σύζευξης και με παρουσία και της παραμέτρου µ μιας και είμαστε πια σε n διαστάσεις Γ Z λµ 4 n, n και η ανακανονικοποιημένη συνάρτηση Green σε n διαστάσεις p, λ n, λµ 4 n, mzm 1 n, λµ 4 n, µ, n Ο όρος mzm 1 Εξ.3. Ξαναγράουμε λοιπόν Γ N δεν είναι παρά η m, ακριβώς ανάλογα με την p, λ n, λµ 4 n, mz 1 m n, λµ 4 n, µ, n = = Z N/2 λµ 4 n, nγ N p, λ, m

5 27/49 Την ανακανονικοποιημένη συνάρτηση Green σε 4 διαστάσεις την παίρνουμε Γ N = lim Γ N n 4 Το ότι τα υσικά μεγέθη δεν μπορούν να εξαρτώνται από το µ μας οδηγεί στο μηδενισμό της παραγώγου ως προς µ της µ d N Γ dµ = µ µ + µ λ µ λ + µm = N 2 Z N/2 1 µ Z µ ΓN p, λ, m = N 2 µ Z µ 1 N Γ Z Z 1 m µ m και πηγαίνοντας όλα στο αριστερό μέλος παίρνουμε Γ N Γ N =

6 28/49 µ µ + µ λ Z 1 m + µm N µ λ µ m 2 µ Z 1 µ Z µ µ + βλ µm 1 Z m λ Zm 2 N µ m 2 γλ µ µ + βλ m γ m λ N λ m 2 γλ όπου ορίσαμε Γ N Γ N Γ N = 0 = 0 βλ = µ λ µ, γ mλ = µ ln Z m µ, γλ = µ ln Z µ = 0 11 Πηγαίνοντας στις 4 διαστάσεις παίρνουμε τις αντίστοιχες ποσότητες βλ, γ m λ και γλ που είναι όλες πεπερασμένες. Είναι η συνάρηση β, η συνάρτηση γ m της μάζας και η ανώμαλη διάσταση της κυματοσυνάρτησης γ.

7 29/49 Θέλουμε να δούμε τώρα πώς συμπεριέρεται η Γ N όταν οι εξωτερικές ορμές γίνουν από p i σε αp i με α αδιάστατος αριθμός. Αν D Γ είναι η διάσταση της Γ N, τότε ο τελεστής α α + µ µ + m θα μας δώσει την διάσταση της Γ N α α + µ µ + m m m Γ N = D Γ Γ N Χρησιμοποιώντας το όρο µ µ ΓN από την Εξ.11 θα πάρουμε α α + β N λ 2 γ m γ m + D Γ Γ N m = 0 Αυτή η διαορική εξίσωση λύνεται και η λύση είναι Γ N αp, m, λ, µ = [ = α D Γ exp N α dα ] 2 α γ λ α Γ N p, m, λ, µ 1 12

8 30/49 όπου m και λ είναι λύσεις των διαορικών εξισώσεων α λ α α = β λ α, α m α α = m α 1 + γ m λ α Οι λ α και m α είναι οι λεγόμενες τρέχουσες running λ και m. Η αγκύλη στην Εξ.12 σχετίζεται με την ανώμαλη διάσταση της συνάρτησης Γ, μιας και η κανονική διάσταση είναι η D Γ. Προσέξτε ότι μπορούμε να γράψουμε exp [ N 2 α 1 dα ] α γ λ α = α N/2 α 1 dα α γ λ α / ln α Ας δούμε λίγο καλύτερα τη συνάρτιση β. Ας θυμηθούμε ότι α είναι ο παράγοντας που μεγαλώνουμε την ενέργεια-ορμή α = E/E 0. Αν ορίσουμε τη νέα παράμετρο t = ln α θα πάρουμε α λ α α = β λ α λ t t = β λ t

9 Η λύση αυτής της διαορικής θα μας δώσει την εξάρτηση της σταθεράς λ από την t με αρχική συνθήκη την τιμή της λ για μια αρχική t 0. Επιλέγοντας t 0 = 0, δηλαδή α = 1, η αρχική τιμή της λ είναι η πειραματικά μετρούμενη τιμή στην ενέργεια E 0. Επομένως, η λύση λ t μας δίνει την εξάρτηση της λ από την ενέργεια. 31/49

10 32/49 Εαρμογή στη θεωρία 4 Ας εαρμόσουμε τη συνταγή αυτή στη θεωρία μας. Γράοντας στην διαστατική ομαλοποίηση λµ n 4 = λ + ν=1 a ν λ n 4 ν m 2 = Z m m 2 = m2 + m2 Z = 1 + ν=1 c ν λ n 4 ν ν=1 b ν λ n 4 ν όπου a ν, b ν και c ν είναι κατάλληλα ώστε να απαλείψουν τους πόλους που εμανίζονται στα διαγράμμα Feynman προσέξτε, ότι σε διαγράμματα με περισσότερους τους ενός βρόχου θα εμανιστούν πόλοι ανώτερης τάξης, αποδεικνύεται ότι βλ = a 1 λ a 1 λ, γλ = λ c 1 λ, γ m λ = λ b 1 λ 13

11 33/49 Ο υπολογισμός του Σ, Εξ.2, δίνει Σ = 1 λ 16π 2 n 4 m2 + λ πεπερασμένο τμήμα Επειδή, όπως ήδη το αναέραμε, σε ένα βρόχο, το Σ δεν εξαρτάται από την εξωτερική ορμή, δεν υπάρχει ανακανονικοποίηση της κυματοσυνάρτησης και επομένως c 1 = 0. Για την ανακανονικοποίηση της μάζας θα έχουμε m 2 = m 2 + m2 n 4 λ 16π 2 = m2 + m2 n 4 λ 16π 2 οπότε, b 1 = λ /16π 2. Ο υπολογισμός του Γ, Εξ.7, δίνει Γ = µ4 n λ π 2 n 4 + λ2 πεπερασμένο τμήμα Επομένως λ = µ 4 n λ 1 3λ 1 16π 2 n 4 και επομένως, a 1 = 3λ /16π 2.

12 34/49 Οπότε, και βλ = 1 16π 2 3λ 2 λ γ m λ = 1 16π 2 λ 3λ 2 λ λ λ = 3λ2 16π 2 = λ 16π 2 Ας βρούμε την εξάρτηση της λ από την ενέργεια dλ dt 1 λ + 1 λ 0 = όπου λ 0 = λe 0. = 3λ2 λ 16π 2 dλ λ 0 λ 2 3t 16π 2 1 λ = 1 λ 0 λ = = 3 t 16π 2 dt 0 λ 0 3t 16π 2 1 3λ 0 16π 2 lne/e 0 14

13 Παράρτημα Αποδεικνύουμε πώς από την ανάπτυξη της σταθεράς σύζευξης λµ n 4 a ν λ = λ + n 4 ν ν=1 καταλήγουμε στη σχέση που μας δίνει την συνάρτηση β a 1 λ βλ = a 1 λ λ λ Η παραγώγιση του αριστερού μέλους της πρώτος σχέσης δίνει µ λµ n 4 = n 4λµ n 4 = µ a ν λ = n 4 λ + n 4 ν = n 4λ + a 1 λ + a 2λ n ν=1 Η παραγώγιση στο δεξί μέλος, δίνει µ µ = µ λ µ µ λ 1 + a 1 λ µ n 4 + a 2 λ n λ 15 46/49

14 όπου a είναι η παράγωγος του a ως προς λ. Η παράσταση µ λ µ είναι πεπερασμένη συνάρτηση, οπότε μπορούμε να γράψουμε οπότε µ λ µ µ λ µ = x 0 + x 1 n 4 + x 2 n a 1 λ n 4 + a 2 λ n = = x 0 + x 1 n 4 + x 2 n a 1 λ n 4 + a 2 λ n απ όπου οι συντελεστές των αντίστοιχων δυνάμεων τον n 4 είναι n 4 0 : x 0 + x 1 a 1 + x 2 a , n 4 : x 1 + x 2 a 1 + x 3 a n 4 2 : x 2 + x 3 a , n 4 3 : x 3 + x 4 a n 4 1 : x 0 a 1 + x 1 a , n 4 2 : x 0 a 2 + x 1 a /49

15 48/49 Τα παραπάνω θα πρέπει να εξισωθούν με τις αντίστοιχες δυνάμεις του n 4 στην Εξ.15. Για την δεύτερη, τρίτη και παραπάνω δυνάμεις του n 4 έχουμε 0 = x 2 + x 3 a 1λ +..., 0 = x 3 + x 4 a 1λ +...,... απ όπου αίνεται ότι x ν = 0 για ν 2 Για την μηδενική και πρώτη δύναμη του n 4 έχουμε χρησιμοποιώντας και το προηγούμενό μας συμπέρασμα a 1 λ = x 0 +x 1 a 1λ, g = x 1 x 0 = a 1 λ g a 1λ ενώ από τις αρνητικές δυνάμεις του n 4 παίρνουμε την ομάδα των ταυτοτήτων x 0 a ν 1λ + x 1 a νλ = a ν λ, ν 2

16 49/49 Επομένως, από τον ορισμό της συνάρτησης β, για n = 4, β µ λ µ = a 1 a 1 λ λ