Το θεώρημα virial1 στην κβαντική μηχανική

Transcript

1 Το θεώρημα val στην κβαντική μηχανική Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 7 Φεβρουαρίου 08 Η λέξη val προέρχεται από το λατινικό vs, που σημαίνει «δύναμη», «ενέργεια», «ισχύς» (σθένος). Δεν είναι το όνομα του επιστήμονα που σχετίζεται με τη διατύπωση του θεωρήματος. Επομένως, καλό είναι να γράφεται με μικρό v (val). hp://wodnfo.nfo/un/485/p:4/l:v hps://en.wkpeda.og/wk/val_heoe 7//08

2 Copygh Σπύρος Κωνσταντογιάννης, 08. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Επιτρέπεται μόνο η μη εμπορική χρήση περιεχομένου από το παρόν έγγραφο, με την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. 7//08

3 Περιεχόμενα Το θεώρημα val στην κβαντική μηχανική... Περιεχόμενα... 3 Εισαγωγή Το θεώρημα val στη μία διάσταση... 5 Παραδείγματα...3. Το θεώρημα val στις τρεις διαστάσεις Αναφορές //08

4 Εισαγωγή Υπολογίζουμε πρώτα τρεις χρήσιμους μεταθέτες και τους χρησιμοποιούμε για να εξάγουμε, με τη βοήθεια του θεωρήματος του Ehenfes, την έκφραση του β νόμου του Νεύτωνα στην κβαντική μηχανική. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε πάλι τους προηγούμενους μεταθέτες, και το θεώρημα του Ehenfes, για να αποδείξουμε το θεώρημα val στη μία διάσταση. Εφαρμόζουμε το θεώρημα val στον αρμονικό ταλαντωτή, σε ένα γενικό ελκτικό δυναμικό, στο απλό ελκτικό δυναμικό δέλτα, και στο μονοδιάστατο άτομο του υδρογόνου, όπου δείχνουμε ότι οι δέσμιες ενέργειές του είναι αρνητικές και οι αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις μηδενίζονται στο μηδέν. Στην τελευταία ενότητα, με τρόπο παρόμοιο με αυτόν που χρησιμοποιήσαμε στη μία διάσταση, αποδεικνύουμε το θεώρημα val στις τρεις διαστάσεις. Λέξεις-Κλειδιά: θεώρημα val, θεώρημα Ehenfes, μονοδιάστατο άτομο υδρογόνου, δέσμιες ιδιοκαταστάσεις 4 7//08

5 . Το θεώρημα val στη μία διάσταση Θα υπολογίσουμε πρώτα τους μεταθέτες é p,v ( ) ù, é p, H ù, και é, H ù. Γενικά, οι μεταθέτες δεν εξαρτώνται από την αναπαράσταση, επομένως μπορούμε να τους υπολογίσουμε σε όποια αναπαράσταση μάς βολεύει. Επιλέγουμε τον χώρο των θέσεων (αναπαράσταση θέσης), όπου και p -h d. d. é p,v ( ) ù Έστω y ( ) μια τυχαία κυματοσυνάρτηση στον χώρο των θέσεων. Η δράση του μεταθέτη στην y ( ) μάς δίνει d d é ù éd ù æd ö ê -h d,v ( ) y ( ) -h ê d,v ( ) y ( ) -h çè d (V ( )y ( ) ) - V ( ) d y ( ) ø -h (V ( )y ( ) + V ( )y ( ) - V ( )y ( ) ) -hv ( )y ( ) d é ù ê -h d,v ( ) y ( ) -hv ( )y ( ) Επειδή η κυματοσυνάρτηση y ( ) είναι τυχαία, d é ù ê -h d,v ( ) -hv ( ) Επειδή ο μεταθέτης δεν εξαρτάται από την αναπαράσταση, καταλήγουμε ότι é p,v ( ) ù -hv ( ) () Παρατηρήσεις ) Για V ( ) a, η () γράφεται [ p, a ] -ha Για a, παίρνουμε 5 7//08

6 [ p, ] -h ή [, p ] h, καταλήγουμε δηλαδή στον γνωστό μεταθέτη θέσης ορμής. ) Για V ( ) a, η () γράφεται é p,v ( ) ù 0, και επειδή é ù ê é p ù ê p, T{ ê p, 0, ê Τελεστής ê κινητικής ενέργειας είναι é p, H ù é p, T + V ù é p, T ù + é p, V ù 0 Επομένως é H, p ù 0 Έτσι, αν χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Ehenfes, η χρονική εξέλιξη της μέσης τιμής της ορμής στο σταθερό δυναμικό V ( ) a είναι, εφόσον ο τελεστής της ορμής δεν εξαρτάται από τον χρόνο, d p 0 p σταθερή Η μέση τιμή της ορμής είναι επομένως χρονικά σταθερή, όπως συμβαίνει και στην κλασική μηχανική για κίνηση σε χωρικά σταθερό δυναμικό. Σημείωση 6 7//08

7 Το θεώρημα του Ehenfes μάς λέει ότι η χρονική εξέλιξη της μέσης τιμής ενός ερμιτιανού τελεστή A δίνεται από τη σχέση d A é ù A H, A + h όπου H είναι η Χαμιλτονιανή του συστήματος. Ο δείκτης στις μέσες τιμές δηλώνει ότι οι μέσες τιμές αφορούν τη χρονική στιγμή. Αν ο τελεστής A δεν εξαρτάται ρητά από τον χρόνο, δηλαδή αν A 0, τότε το θεώρημα του Ehenfes γράφεται d A é ù H, A h. é p, H ù Είναι é p ù é p, H ù é p, T + V ù é p, T ù + é p, V ù ê p, + é p, V ( ) ù é p, V ( ) ù -hv ( ) όπου στην τελευταία ισότητα χρησιμοποιήσαμε την (). Επομένως é p, H ù -hv ( ) () Αν χρησιμοποιήσουμε πάλι το θεώρημα του Ehenfes, και τον μεταθέτη (), η χρονική εξέλιξη της μέσης τιμής της ορμής στο τυχαίο δυναμικό V ( ) είναι, εφόσον ο τελεστής της ορμής δεν εξαρτάται από τον χρόνο, d p é H, p ù - é p, H ù } hv ( ) -V ( ) h d p -V ( ) 7 7//08

8 Αν F ( ) - dv ( ) -V ( ) είναι ο τελεστής της δύναμης, η προηγούμενη σχέση d γράφεται d p F ( ) (3) Καταλήγουμε δηλαδή στον β νόμο του Νεύτωνα, με τη διαφορά ότι στην κβαντική μηχανική ισχύει για τις μέσες τιμές της δύναμης και της ορμής. 3. é, H ù Είναι é ù é, H ù é, T + V ù é, T ù + é, V ( ) ù ê, p é, p ù [, pp ] h h) hp p [, p ] p + p [, p ]) ( hp + p ( h é, H ù p (4) Αν χρησιμοποιήσουμε πάλι το θεώρημα του Ehenfes, και τον μεταθέτη (4), η χρονική εξέλιξη της μέσης τιμής της θέσης στο τυχαίο δυναμικό V ( ) είναι, εφόσον ο τελεστής της θέσης δεν εξαρτάται από τον χρόνο, d é H, ù - é, H ù } h - p h p p ή, επειδή d (5) d p v v, 8 7//08

9 Αν παραγωγίσουμε την (5) ως προς τον χρόνο και αντικαταστήσουμε την (3), παίρνουμε F ( ) d (6) που είναι μια ισοδύναμη έκφραση του β νόμου του Νεύτωνα για τις μέσες τιμές της δύναμης και της θέσης. Θα προχωρήσουμε τώρα στην απόδειξη του θεωρήματος val στη μία διάσταση. Προς τούτο, θα χρησιμοποιήσουμε πάλι το θεώρημα του Ehenfes για να γράψουμε. τη χρονική εξέλιξη της μέσης τιμής του τελεστή p δεν εξαρτάται από τον χρόνο, Επειδή ο τελεστής p d p é H, p ù h (7) Σημείωση ) p p ¹ p. δεν είναι ερμιτιανός, αφού ( p Ο τελεστής p + p είναι ερμιτιανός, όπως μπορούμε εύκολα να Ωστόσο, ο τελεστής p διαπιστώσουμε. + p, θα πάρουμε Αν εφαρμόσουμε το θεώρημα του Ehenfes για τον τελεστή p + p d p é H, p + p ù, h + p δεν εξαρτάται από τον χρόνο. αφού ο τελεστής p Όμως + p d p d p + d p και é H, p + p ù é H, p ù + é H, p ù é H, p ù + é H, p ù Επομένως d p + d p + d p d p ( é H, p ù ) h é H, p ù h é H, p ù + é H, p ù, h h ù + é H, p + é H, p ù h απ όπου βλέπουμε ότι 9 7//08

10 d p é H, p ù h é H, p ù h και d p ù γράφεται Ο μεταθέτης é H, p é H, p ù p é H, ù + é H, p ù - p é, H ù - é p, H ù Αν αντικαταστήσουμε τους μεταθέτες é p, H ù και é, H ù από τις () και (4), αντίστοιχα, παίρνουμε h h é H, p ù - p p - ( -hv ( ) ) - p + hv ( ) h é H, p ù - p + hv ( ) Επειδή ο μεταθέτης év ( ), ù είναι μηδέν, αφού ο τελεστής της θέσης μετατίθεται με τον εαυτό του, παίρνουμε ( ) V ( ) V ù γράφεται Οπότε ο μεταθέτης é H, p h é H, p ù - p + hv ( ) Αν αντικαταστήσουμε στην (7), θα πάρουμε d p h ( ) - p + hv h ( ) p - V d p ( ) p - V (8) Όμως 0 7//08

11 T p p Άρα p T Αν αντικαταστήσουμε στην (8), θα πάρουμε d p ( ) T - V (9) Θα θεωρήσουμε τώρα ότι οι προηγούμενες μέσες τιμές λαμβάνονται σε μια (τυχαία) δέσμια ιδιοκατάσταση της ενέργειας, οπότε d p 0 (0) Απόδειξη Επειδή η κατάσταση ας τη συμβολίσουμε με y είναι δέσμια, το σωμάτιο είναι είναι, κάθε στιγμή, εντοπισμένο στον χώρο και η μέση τιμή του τελεστή p πεπερασμένη. Έτσι, η μέση τιμή του προηγούμενου τελεστή τη χρονική στιγμή γράφεται, στον χώρο των θέσεων (αναπαράσταση θέσης), p d ö æ * * ò- dy (, ) çè -h d ø y (, ) -h-ò dy (, ) ( y (, ) ) -h ò dy * (, ) ( y (, ) ) p - όπου ο τόνος συμβολίζει παραγώγιση ως προς τη θέση. Επομένως d p d -h ò dy * (, ) ( y (, ) ) - () Σημείωση 7//08

12 Η μέση τιμή δεν εξαρτάται από την αναπαράσταση, επομένως μπορούμε να την υπολογίσουμε σε όποια αναπαράσταση μάς βολεύει. Επειδή η κατάσταση y είναι ιδιοκατάσταση της ενέργειας, η χρονική της εξέλιξη y ( ) είναι æ E ö y è h ø y ( ) ep ç - όπου E είναι η ενέργεια της κατάστασης. Η κυματοσυνάρτηση y (, ) που περιγράφει την προηγούμενη κατάσταση στον χώρο των θέσεων μια τυχαία χρονική στιγμή είναι, επομένως, æ E ö y ( ) è h ø y (, ) ep ç - όπου y ( ) είναι η κυματοσυνάρτηση τη χρονική στιγμή μηδέν. Με τη βοήθεια της τελευταίας σχέσης, η ολοκληρωτέα συνάρτηση της σχέσης () γράφεται * æ ö æ ö æ E ö æ E ö y (, ) ( y (, ) ) ç ep ç - y ( ) ç ep ç y ( ) è h ø è h ø è ø è ø æ E ö * æ E ö * ep ç y ( ) ep ç ( y ( ) ) y ( ) ( y ( ) ) è h ø è h ø * y * (, ) ( y (, ) ) y * ( ) ( y ( ) ) Βλέπουμε ότι η ολοκληρωτέα συνάρτηση δεν εξαρτάται από τον χρόνο, επομένως ούτε το ολοκλήρωμα στο δεξιό μέλος της () εξαρτάται από τον χρόνο, άρα d dy * (, ) ( y (, ) ) 0 ò - και τότε η () μάς δίνει τη (0), δηλαδή d p 0 Με τη βοήθεια της (0), η (9) γράφεται 7//08

13 T ( ) V () Η σχέση () είναι το θεώρημα val στη μία διάσταση. Είναι φανερό ότι η σχέση (), δηλαδή το θεώρημα val, ισχύει και για δέσμιες καταστάσεις που δεν είναι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας, αρκεί για τις καταστάσεις αυτές να ισχύει η (0). Παραδείγματα Ι. V ( ) w (αρμονικός ταλαντωτής) Τότε V ( ) w Þ V ( ) w V ( ) V ( ) V ( ) Έτσι, το θεώρημα val γράφεται T V όπου, για απλότητα, παραλείπουμε τον δείκτη του χρόνου και το σύμβολο των τελεστών. ΙΙ. V ( ) k n, k > 0, n,,... Τότε V ( ) nk n - Þ V ( ) nk n nv ( ) V ( ) nv ( ) Έτσι, το θεώρημα val γράφεται T n V Επίσης 3 7//08

14 E T + V n V + V ( n + ) V E ( n + ) V Αν το σύστημα βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση της ενέργειας, E E, οπότε E ( n + ) V ΙΙΙ. V ( ) -ld ( ), l > 0 (απλό ελκτικό δυναμικό δέλτα) Για να βρούμε την παράγωγο του δυναμικού, δηλαδή την παράγωγο της συνάρτησης δέλτα, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση d ( ) 0. Αν παραγωγίσουμε και τα δύο μέλη της τελευταίας εξίσωσης, θα πάρουμε ( d ( ) ) 0 Þ d ( ) + d ( ) 0 Þ d ( ) -d ( ) Οπότε V ( ) - l d ( ) ld ( ) -V ( ) V ( ) -V ( ) Έτσι, το θεώρημα val γράφεται T + V 0 Θυμίζουμε ότι το απλό ελκτικό δυναμικό δέλτα έχει μόνο μία δέσμια κατάσταση. IV. Μονοδιάστατο άτομο του υδρογόνου Το δυναμικό σε αυτήν την περίπτωση είναι V ( ) - l, l >0 Για > 0, V ( ) V ( ) l l, οπότε Þ V ( ) l -V ( ) 4 7//08

15 V ( ) -V ( ) Για < 0, V ( ) V ( ) - l l, οπότε Þ V ( ) - l -V ( ) V ( ) -V ( ) Έτσι, σε κάθε περίπτωση, V ( ) -V ( ), ¹ 0 Έτσι, το θεώρημα val γράφεται T + V 0 ή T - V Αν το σύστημα βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση της ενέργειας, E E, και E T + V - V V + V Επομένως V E (3). Με τη βοήθεια της (3), δηλαδή με τη βοήθεια του θεωρήματος val, θα δείξουμε ότι οι δέσμιες ενέργειες του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου είναι αρνητικές. Απόδειξη Η μέση τιμή του δυναμικού σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση y της ενέργειας του συστήματος γράφεται, στον χώρο των θέσεων, 5 7//08

16 V ( ) y ( ) ò d y ( ) V ( ) -l ò d ò dy ( ) V{ * - Βαθμωτή συνάρτηση - y ( ) - V -l ò d y ( ) - (4) H y ( ), ως ιδιοσυνάρτηση, πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητη, επομένως δεν μπορεί να είναι ταυτοτικά μηδενική, δηλαδή θα πρέπει να παίρνει και μη μηδενικές τιμές, οπότε θα υπάρχει 0 Î έτσι ώστε y ( 0 ) ¹ 0. Τότε, επειδή η y ( ) είναι συνεχής (ως κυματοσυνάρτηση), θα παίρνει μη μηδενικές τιμές σε μια γειτονιά του 0 και άρα εκεί y ( ) > 0, οπότε ò d - y ( ) > 0, άρα, από τη (4), V < 0, και από τη (3) (θεώρημα val), E < 0, δηλαδή οι δέσμιες ενέργειες του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου είναι αρνητικές.. Θα χρησιμοποιήσουμε πάλι την έκφραση του θεωρήματος val, δηλαδή τη σχέση (3), για να δείξουμε ότι η κυματοσυνάρτηση μιας τυχαίας δέσμιας κατάστασης του συστήματος μηδενίζεται στο μηδέν. Απόδειξη Η κυματοσυνάρτηση μιας τυχαίας δέσμιας κατάστασης είναι γραμμικός συνδυασμός κυματοσυναρτήσεων δέσμιων ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας, επομένως αρκεί να δείξουμε ότι η κυματοσυνάρτηση y ( ) μιας τυχαίας δέσμιας ιδιοκατάστασης της ενέργειας μηδενίζεται στο μηδέν. Έστω ότι η y ( ) δεν μηδενίζεται στο μηδέν. Τότε, επειδή είναι συνεχής, ως κυματοσυνάρτηση, θα παίρνει μη μηδενικές τιμές σε μια γειτονιά του 0 0, επομένως θα υπάρχει > 0 έτσι ώστε y ( ) ³ και y ( ) ³, στη γειτονιά του 0 0. Έτσι, αν το διάστημα [ -e, e ] ανήκει είναι δηλαδή υποσύνολο της προηγούμενης γειτονιάς, 6 7//08

17 e òe d y ( ) - e e ³ ò d -e { ò d 0 ( ln e - ln 0 ) Άρτια συνάρτηση αφού ln e πεπερασμένο και ln 0 -. Επομένως e ò d y ( ) -e Επειδή η ολοκληρωτέα συνάρτηση ò d y ( ) ³ - e ò d -e y ( ) y ( ) είναι μη αρνητική, Οπότε ò d - y ( ) Τότε, από τη (4), V -, και από τη (3) (θεώρημα val), E -, δηλαδή η ενέργεια της ιδιοκατάστασης είναι -. Αυτό όμως είναι αδύνατο, αφού το μονοδιάστατο άτομο του υδρογόνου έχει πεπερασμένη ελάχιστη ενέργεια (για την απόδειξη, δείτε την αναφορά 4). Επομένως, η y ( ) μηδενίζεται στο μηδέν, και επειδή είναι τυχαία, όλες οι κυματοσυναρτήσεις των δέσμιων ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας μηδενίζονται στο μηδέν, και κατ επέκταση, όλες οι κυματοσυναρτήσεις των δέσμιων καταστάσεων όχι απαραίτητα ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου μηδενίζονται στο μηδέν. Ως συνέπεια του προηγούμενου, η κυματοσυνάρτηση της βασικής κατάστασης του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου έχει ένα μηδενικό, στο μηδέν. 7 7//08

18 . Το θεώρημα val στις τρεις διαστάσεις Με το σκεπτικό που χρησιμοποιήσαμε στη μία διάσταση, θα υπολογίσουμε τους () μεταθέτες é p, V ù, é p, H ù, και é, H ù, και στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Ehenfes. Στις τρεις διαστάσεις, ισχύουν οι μεταθετικές σχέσεις é j, k ù 0 é p j, p k ù 0 é j, p k ù hd jk όπου j, k,, 3, με τον δείκτη να αναφέρεται στη συντεταγμένη, τον στην y, και τον 3 στη z. Το στο δεξιό μέλος της τελευταίας σχέσης είναι η φανταστική μονάδα. Το σύμβολο d jk είναι το δέλτα του Κρόνεκερ, δηλαδή ì, j k î0, j ¹ k d jk í Όπως στην περίπτωση της μίας διάστασης, επιλέγουμε τον χώρο των θέσεων (αναπαράσταση θέσης) για να υπολογίσουμε τους προηγούμενες μεταθέτες. Ας συμβολίσουμε με e, e, e3 τα μοναδιαία διανύσματα στους καρτεσιανούς άξονες, y, z, αντίστοιχα. () Η δράση του μεταθέτη é p, V ù σε μια τυχαία κυματοσυνάρτηση y ( ) μάς δίνει é ù ê é p,v ùy ( ) ê p j e j,v ( ) y ( ) ( p j e jv ( ) - V ( ) p j e j )y ( ) ê { j είναι δείκτης ê Οάθροισης, με ê τιμές,,3 æ æ ( p jv ( )y ( ) - V ( ) p jy ( ) ) e j h V y V ç ( ) ( ) ( ) çç -h ( ) { ç j j è è p j - h () j º, º y, 3 º z 8 ö ö y ( ) e j ø ø 7//08

19 æ V ( ) V ( ) y ( ) ö -h ç V ( )y ( ) ) - V ( ) e j -h y ( ) e j -h e j y ( ) ( ç j ø j j è j 44 3 ÑV ( ) -hñv ( )y ( ) é p, V ùy ( ) -hñv ( )y ( ) () Επειδή η κυματοσυνάρτηση y ( ) είναι τυχαία, é p, V ù -hñv ( ) () (5) Θα υπολογίσουμε τώρα τον μεταθέτη é p, H ù. Είναι é p ù é p ù é p, H ù é p, T + V ù é p, T ù + é p,v ù ê p, é p, V ù ê p, + h Ñ V ( ) όπου στην τελευταία ισότητα χρησιμοποιήσαμε τη (5). Επομένως é p ù é p, H ù ê p, h Ñ V ( ) (6) Όμως é p ù é p j e j, p k ù é p j, p k ù e j ê p, όπου οι δείκτες j, k είναι δείκτες άθροισης, με τιμές,,3. Επειδή ο μεταθέτης é p j, p k ù είναι μηδέν, ο μεταθέτης é p j, p k ù είναι επίσης μηδέν, é p ù επομένως και ο μεταθέτης ê p, είναι μηδέν, οπότε η (6) γράφεται é p, H ù -hñv ( ) (7) Θα υπολογίσουμε τώρα τον μεταθέτη é, H ù. 9 7//08

20 Είναι é ù ê é, H ù é, T + V ù é, T ù + é,v ù ê j e j, p + é j e j,v ( ) ù ê { j είναι ê Οδείκτης ê άθροισης é ù ê ê é j, p k ù e j j e j, { p k + é j, V ( ) ù e j ê Ο k είναι 0 ê δείκτης άθροισης é, H ù é j, p k ù e j (8) όπου οι δείκτες j, k είναι δείκτες άθροισης, με τιμές,,3. Όμως, είναι é j, p k ù é j, p k p k ù p k é j, p k ù + é j, p k ù p k p k hd jk + hd jk p k hd jk p k hp j é j, p k ù hp j Σημείωση Στον μεταθέτη é j, p k ù, ο δείκτης k επαναλαμβάνεται, αφού p k p k p k, οπότε αθροίζεται, είναι δηλαδή δείκτης άθροισης. Αντίθετα, ο δείκτης j δεν επαναλαμβάνεται, οπότε δεν είναι δείκτης άθροισης. Στο δεξιό μέλος της (8), και οι δύο δείκτες j, k επαναλαμβάνονται, οπότε είναι και οι δύο δείκτες άθροισης. Γενικά, σε μια παράσταση με δείκτες, όταν ένα δείκτης επαναλαμβάνεται, τότε είναι δείκτης άθροισης. Οι δείκτες που αθροίζονται, δεν εμφανίζονται στο τελικό αποτέλεσμα. Έτσι, για παράδειγμα, το αποτέλεσμα του υπολογισμού του μεταθέτη é j, p k ù εξαρτάται μόνο από τον δείκτη j. Έτσι, η (8) γράφεται 0 7//08

21 é, H ù hp j e j h p j e j h p é, H ù h p (9) Εξάλλου, η (7) γράφεται V ( ) V ( ) é p j e j, H ù -h e j Þ é p j, H ù e j -h ej j j Επειδή τα μοναδιαία διανύσματα e j, j,, 3, είναι γραμμικά ανεξάρτητα, από την τελευταία ισότητα παίρνουμε V ( ) é p j, H ù -h (0) j Με τον ίδιο τρόπο, από τη (9) παίρνουμε h é j, H ù p j () Προχωράμε τώρα στον υπολογισμό της χρονικής εξέλιξης της μέσης τιμής του p, που είναι το εσωτερικό γινόμενο του (διανυσματικού) τελεστή της ορμής με τον (διανυσματικό) τελεστή της θέσης. Προσοχή! Για το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσματικών τελεστών ΔΕΝ ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, που ισχύει για το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων. Επειδή ο τελεστής p δεν εξαρτάται από τον χρόνο, η χρονική εξέλιξη της μέσης τιμής του, όπως δίνεται από το θεώρημα του Ehenfes, είναι d p é ù H, p h () Όπως και στην περίπτωση της μίας διάστασης, ο δείκτης στις μέσες τιμές δηλώνει ότι οι μέσες τιμές λαμβάνονται τη χρονική στιγμή. 7//08

22 Ο μεταθέτης é H, p ù γράφεται é ù ê h V ê é H, p ù - é p, H ù p j j, H p j é j, H ù + é p j, H ù j p j p j - h j Χώρος{ ê{ j θέσεων j είναι ê Οδείκτης ê άθροισης όπου στην τελευταία ισότητα χρησιμοποιήσαμε τις (0) και (). Επομένως p é H, p ù p j h p j - h V j h j - hj V h p - h ÑV ( ) h T - ÑV ( ) j j ( é H, p ù h T - ÑV ( ) ( ) (3) Με τη βοήθεια της (3), η () γράφεται d p h T - ÑV ( ) h ( ) - T - ÑV ( ) - T + ÑV ( ) d p - T + ÑV ( ) (4) Στον χώρο των θέσεων, η χρονική εξέλιξη της μέσης τιμής του τελεστή p γράφεται d p d d 3 y * (, ) p y (, ) ò - (5) Αν, όπως στην περίπτωση της μίας διάστασης, θεωρήσουμε ότι η κατάσταση y είναι δέσμια ιδιοκατάσταση ενέργειας E, τότε æ E ö y ( ) è h ø y (, ) ep ç Επομένως 7//08 )

23 æ E ö * æ E ö p ep ç y ( ) { y ( ) h è h ø è ø Δεν εξαρτάται y * (, ) p y (, ) ep ç από τον χρόνο æ E ö æ E ö * * ep ç ep ç y ( ) p y ( ) y ( ) p y ( ) è h ø è h ø y * (, ) p y (, ) y * ( ) p y ( ) Βλέπουμε ότι η ολοκληρωτέα συνάρτηση y * (, ) p y (, ) δεν εξαρτάται από τον χρόνο, επομένως ούτε το ολοκλήρωμα στο δεξιό μέλος της (5) εξαρτάται από τον χρόνο, άρα d d 3 y * (, ) p y (, ) 0 ò - Οπότε, από την (5) παίρνουμε d p 0 (6) Έτσι, η (4) γράφεται T ÑV ( ) (7) Η σχέση (7) είναι το θεώρημα val στις τρεις διαστάσεις. Όπως και στη μία διάσταση, η σχέση (7), δηλαδή το θεώρημα val, ισχύει και για δέσμιες καταστάσεις που δεν είναι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας, αρκεί για τις καταστάσεις αυτές να ισχύει η (6). 3. Αναφορές [] Eugen Mezbache, Quanu Mechancs (Wley, Thd Edon, 998). [] Davd J. Gffhs, Inoducon o Quanu Mechancs (Pence Hall, Inc., 995). [3] S. LeBohec, Quanu echancal appoaches o he val, 30 June 05, hp:// [4] Gulleo Pala and Ulch Raff, The One Densonal Hydogen Ao Revsed, hps://av.og/abs/quan-ph/ //08