Με αφορμή την άσκηση 2.47

Transcript

1 Με αφορμή την άσκηση 2.47 Σε κάποιο σημείο ενός ομογενούς εαστικού μέσου βρίσκεται μία πηγή Π παραγωγής εγκαρσίων κυμάτων d με εξίσωση y=a ημ(ωt). Στο σημείο Σ βρίσκεται δέκτης κυμάτων που απέχει απόσταση α από την πηγή. Τα κύματα φτάνουν στο δέκτη είτε απευθείας από την H πηγή ακοουθώντας τη διαδρομή ΠΣ, είτε ακοουθώντας τη διαδρομή ΠΣ αφού τα κύματα Π Ο Σ ανακαστούν στον ανακαστήρα που βρίσκεται α πάνω στη μεσοκάθετο του τμήματος ΠΣ. i) Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος στο σημείο του ανακαστήρα αμέσως μετά την ανάκαση του κύματος στον ανακαστήρα. ii) Nα βρεθεί η εξίσωση του κύματος ενός σημείου Κ κατά μήκος του ευθυγράμμου τμήματος Σ μετά την ανάκαση του κύματος στον ανακαστήρα. iii) ν μετακινήσουμε τον ανακαστήρα παρατηρούμε ότι όταν απέχει απόσταση Η από το Ο, το σημείο Σ παραμένει συνέχεια ακίνητο, ενώ, για πρώτη φορά, κάνει ταάντωση με μέγιστο πάτος, όταν ο ανακαστήρας μετακινείται κατά d. Να βρείτε το μήκος του κύματος. iv) Να υθεί το ερώτημα iii) αν γνωρίζετε ότι ύστερα από την ανάκαση του κύματος στον ανακαστήρα αάζει η φάση του κύματος κατά φ 0. Ως t=0 θεωρείται η στιγμή που ξεκινά τη ειτουργία της η πηγή Π. πάντηση Στοιχεία Θεωρίας νάκαση και διάθαση κυμάτων ν ένα κύμα που διαδίδεται σε ένα μέσο συναντήσει ασυνέχεια, δηαδή δεύτερο μέσο με διαφορετικές ιδιότητες από το πρώτο, διαχωρίζεται γενικά σε δύο κύματα. Το ένα ανακάται και διαδίδεται στο πρώτο μέσο, και ονομάζεται ανακώμενο κύμα, ενώ το άο διαδίδεται στο δεύτερο μέσο και έγεται διαθώμενο κύμα. (Σε ειδικές συνθήκες ένα από τα δύο κύματα μπορεί να μην υπάρχει). Οι ταχύτητες διάδοσης του κύματος στα δύο μέσα είναι διαφορετικές και εξαρτώνται από την γραμμική πυκνότητα (μ=dm/dx) των δύο μέσων, δηαδή τη μάζα ανά μονάδα μήκους του μέσου. νάκαση Κύματος σε κόνητο Άκρο ν ένα κύμα διαδίδεται σε χορδή που το ένα άκρο της είναι ακόνητο, δηαδή είναι σαν ασυνέχεια με μ 1 υ 1 μ 2 μ 2, δεν υπάρχει διαθώμενος παμός. Ο προσπίπτων παμός, όταν φτάσει στο πακτωμένο προσπίπτον άκρο, ασκεί δύναμη σ αυτό, οπότε όγω του 3 ου ανακώμενο Νόμου του Νεύτωνα και το ακόνητο άκρο ασκεί υ 1 Σχήμα 1. αντίθετη δύναμη (ίδιου μέτρου και αντίθετης φοράς) στη χορδή, με αποτέεσμα να αναστραφεί ο παμός. Λόγω της αρχής διατήρησης της ενέργειας ο ανακώμενος παμός είναι ανεστραμμένος και έχει την ίδια μορφή με τον προσπίπτοντα. υτό μπορεί να δειχθεί και ποσοτικά. Θεωρώντας το ακόνητο σημείο, ως αρχή του άξονα x δηαδή x=0, τα δύο αρμονικά κύματα, προσπίπτον και ανακώμενο, περιγράφονται αντίστοιχα από τη σχέση 1

2 t x y1 A0 2 (οδεύει κατά τη θετική φορά του άξονα x) T t x και y2 A 0 2 (οδεύει κατά την αρνητική φορά του άξονα x) T Σε κάθε χρονική στιγμή στη θέση x=0, έχουμε y 1 +y 2 =0. Για t=t/4 στη θέση x=0 προκύπτει 0 +A 0=0 0 = A 0 0 / A 0= 1 Δη. τα πάτη είναι ίσα και το αρνητικό πρόσημο ισοδυναμεί με ανακώμενο κύμα που παρουσιάζει διαφορά φάσης π rad με το προσπίπτον. οπότε 0 ημωt = A 0ημωt, 0 ημωt = 0ημ(ωt+π) Έτσι το κύμα ανακάται πήρως και τα δύο κύματα έχουν διαφορά φάσης π και ίδιο πάτος. Την ίδια συμπεριφορά εμφανίζει και ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα όταν προσπίπτει σε σκηρό αδιαπέραστο μέσο, (μ ). (σχήμα 2.) Πηγή του ανακώμενου κύματος είναι το υικό σημείο του τοίχου, το οποίο σύμφωνα με τη εγόμενη αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων μετέχει σε δύο κινήσεις. φού το υικό σημείο είναι ακίνητο εκτεεί δύο τααντώσεις με διαφορά φάσης π rad. προσπίπτον ανακώμενο Σχήμα 2. υ υ i) Ο ανακαστήρας αάζει την πορεία του κύματος και σύμφωνα με το νόμο της κατοπτρικής ανάκασης η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με την γωνία ανάκασης δη. θ π =θ αν. θ π θ Επιπέον ο ανακαστήρας θεωρείται σκηρό αδιαπέραστο αν μέσο και με βάση τα παραπάνω το ανακώμενο κύμα θα έχει ίδιο πάτος με το προσπίπτον και η φάση του θα μεταβηθεί Π Ο κατά π rad σε σχέση με το προσπίπτον. Πηγή του Σχήμα 3. ανακώμενου κύματος είναι το υικό σημείο του τοίχου, το οποίο σύμφωνα με τη εγόμενη αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων μετέχει σε δύο κινήσεις. φού το υικό σημείο είναι ακίνητο εκτεεί δύο τααντώσεις με διαφορά φάσης π rad. Θεωρούμε ως t=0 μια στιγμή που το κύμα ξεκινά από την πηγή Π και η πηγή είναι στη θέση y=0 με +υ max. Το κύμα μόις φτάνει στον ανακαστήρα έχει εξίσωση t y A 2 T Ενώ μετά την ανακασή του θα έχει γίνει t t 1 y A 2 y A 2 T T 2 Σ 2

3 Ο ανακαστήρας ειτουργεί ως δευτερογενής πηγή εκπομπής κυμάτων με εξίσωση y=aημ[ω(t t A ) +π], όπου t ο χρόνος έευσης του προσπίπτοντος κύματος στον ανακαστήρα. ii) Το κύμα από τον ανακαστήρα φτάνει σε ένα σημείο Κ κατά μήκος του ευθυγράμμου τμήματος Σ μετά από χρόνο t =r/u και η εξίσωση ταάντωσής του θα είναι: t t 1 y A 2 T 2 r υ t r / 1 y A 2 υ T 2 Κ t r 1 Π Ο Σ y A 2 Σχήμα 4. T 2 t r 1 y A 2 T 2 iii) Στο σημείο Σ συμβάουν τα κύματα που προέρχονται το ένα απευθείας από την πηγή ακοουθώντας τη διαδρομή ΠΣ και το άο αφού ανακαστεί στον ανακαστήρα ακοουθώντας τη διαδρομή ΠΣ. d Τα κύματα που συμβάουν είναι το: t y1 A 2 απευθείας από την πηγή Π T και το Π Σχήμα 5. Ο α Σ H r t 2 1 y2 A 2 ύστερα από την ανάκαση του κύματος στον T 2 ανακαστήρα Η συμβοή των κυμάτων είναι σαν να προέρχεται από δύο Π 2 πηγές που ξεκίνησαν ταυτόχρονα να τααντώνονται υ παρουσιάζοντας μεταξύ τους διαφορά φάσης π rad. Η μία πηγή απέχει από το Σ απόσταση ίση με r 1 =ΠΣ και η άη r 2 =ΠΣ =2Π. Για δύο τέτοιες πηγές η συνθήκη ενίσχυσης r 2 και απόσβεσης είναι διαφορετική από αυτή που προκύπτει από σύγχρονες πηγές. Β. στον ακόουθο σύνδεσμο την υ άσκηση «συμβοή από σύμφωνες πηγές» Π 1 r 1 %CE%B2%CE%BF%CE%BB%CE%AE- Σχήμα 6. %CE%B1%CF%80%CF%8C- %CF%83%CF%8D%CE%BC%CF%86%CF%89%CE%BD%CE%B5%CF%82- %CF%80%CE%B7%CE%B3%CE%AD%CF%82/ Σ 3

4 Για ενίσχυση στο σημείο Σ η διαφορά των αποστάσεων πρέπει να ικανοποιεί τη Δr=(2k+1)/2 ΠΣ ΠΣ =(2k+1)/2 Για απόσβεση στο σημείο Σ η διαφορά των αποστάσεων πρέπει να ικανοποιεί τη Δr=k ΠΣ ΠΣ =ν ρχικά στο Σ υπάρχει απόσβεση, έτσι: ΠΣ ΠΣ =ν (1) Κατόπιν μετακινώντας προς τα πάνω τον ανακαστήρα κατά d υπάρχει ενίσχυση στο Σ, έτσι: Π Σ ΠΣ =(2k+1)/2 (2) (2) (1) Π Σ ΠΣ= (2k+1)/2 ν Π Σ ΠΣ= k +/2 ν (3) Η διαφορά Π Σ ΠΣ είναι η εάχιστη καθώς ο ανακαστήρας μεταβαίνει από απόσβεση στην αμέσως επόμενη ενίσχυση. Έτσι ν=k και η (3) Π Σ ΠΣ= / Π 2Π =/2 2 ( ( ( iv) ποφεύχθηκε να χρησιμοποιηθεί το υδάτινο κύμα. υτό γιατί η συμπεριφορά των υδάτινων κυμάτων δεν είναι ίδια με αυτή των εγκαρσίων. Οι τροχιές των σωματιδίων ενός υδάτινου κύματος είναι σχεδόν κυκικές αν δεν ηφθεί υπόψη η μεταφορά μάζας, (τα υδάτινα μεταφέρουν και μάζα). υτό έχει σαν αποτέεσμα όταν το κύμα χτυπήσει στον ανακαστήρα, το ανακώμενο κύμα να έχει τυχαία μεταβοή στη φάση του. Στο σημείο Σ φτάνουν κάποια στιγμή τα αρμονικά κύματα: t y1 2 T και t 0 y2 2 T 2 Σύμφωνα με την αρχή της επαηίας : y y1 y2 4

5 t t 0 y 22 T T 2 2 t 2 2 t 2 2 t 2 2 t y 2A T T T T ( ) 0 4 t 2 ( ) 0 y 2A 2 2 2T 2 4 ( - ) φ t ( + ) φ 0 2 4π T 2 4π 0 y = 2Aσυν2π - ημ2π - + ( - ) 0 πό την παραπάνω εξίσωση φαίνεται πως το πάτος 2A εξαρτάται και από τη διαφορά δρόμων και από τη φάση φ 0. Για ενίσχυση: ( ) 0 2 2A ( ) 0 ( ) 0 ( ) φ π =κ + κ = 0,1, 2... Για απόσβεση: ( ) 0 ' 0 2A ( ) ( ) ( ) φ0 - = = 0,1, π 2 Για ενίσχυση στο σημείο Σ η διαφορά των αποστάσεων πρέπει να ικανοποιεί τη φ0 - =κ + π 2 Για απόσβεση στο σημείο Σ η διαφορά των αποστάσεων πρέπει να ικανοποιεί τη φ0 - = π 2 5

6 ρχικά στο Σ υπάρχει απόσβεση, έτσι: φ0 - = π 2 (1) Κατόπιν μετακινώντας προς τα πάνω τον ανακαστήρα κατά d υπάρχει ενίσχυση στο Σ, έτσι: φ0 - =κ + (2) π 2 (2) (1) Π Σ ΠΣ= κ (2ν+1)/2 Π Σ ΠΣ= κ ν /2 (3) Η διαφορά Π Σ ΠΣ πρέπει να είναι θετική. Επιπέον επειδή είναι η εάχιστη καθώς ο ανακαστήρας μεταβαίνει από απόσβεση στην αμέσως επόμενη ενίσχυση. Θα ισχύει k=ν+1 και η (3) Π Σ ΠΣ= / Π 2Π =/2 2 ( ( ( Σχόια 1. Θα μπορούσαμε να πάρουμε ως δεδομένο ότι ο ανακαστήρας αντιστρέφει το κύμα προκαώντας του μεταβοή της φάσης κατά π rad; Ίσως αν βασιστούμε στο σχήμα της σείδας 52 του σχοικού βιβίου της παραγράφου 2.5 Στάσιμα κύματα. Όμως δεν ξεκαθαρίζεται ρητά η ααγή της φάσης παρά μόνο αν στηριχτούμε στο σχήμα 2.15 όπου ο παμός είναι ανεστραμμένος. ά και πάι το σχήμα περιγράφει κύμα σε χορδή με ακόνητο άκρο και όχι υδάτινο κύμα. Σχ Ο κυματικός παμός ανακάται στο σταθερό εμπόδιο και διαδίδεται αντίθετα. Κρατάμε την εεύθερη άκρη ενός τεντωμένου σχοινιού, που η άη του άκρη είναι στερεωμένη σε ακόνητο σημείο και της δίνουμε μια ώθηση. Με αυτό τον τρόπο δημιουργείται ένας κυματικός παμός ο οποίος διαδίδεται κατά μήκος του σχοινιού. Όταν η κυματική διαταραχή φτάσει στην άκρη του σχοινιού το σχοινί ασκεί μια δύναμη στο σημείο στήριξης. Η αντίδραση σε αυτή τη δύναμη δημιουργεί έναν ανακώμενο παμό που κινείται στην αντίθετη κατεύθυνση (σχ. 2.15). 6

7 2. Το συμπέρασμα είναι ότι η ααγή της φάσης αάζει την συνθήκη ενίσχυσης και απόσβεσης, αά στο τεικό αποτέεσμα στον υποογισμό του μήκους κύματος δεν υπεισέρχεται μέσα στην τεική σχέση καθώς απαείφεται και δεν αάζει το αποτέεσμα. Χ. γριόδημας 7