ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

Transcript

1 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. Αν γνωρίζουμε την εξίσωση της αομάκρυνσης ενός αρμονικού κύματος μορούμε να βρούμε την εξίσωσης της ταχύτητας και της ειτάχυνσης όγω αρμονικής ταάντωσης των σημείων του. Πράγματι η εξίσωση =A. x ημ χ. Άρα, θα ισχύουν και οι σχέσεις: u=ω. Α συν είναι εξίσωση ταάντωσης για κάθε σημείο και α=-ω. Α ημ χ χ. Κάθε υικό σημείο του εαστικού μέσου στο οοίο διαδίδεται ένα κύμα, αό τη στιγμή ου έχει αρχίσει να τααντώνεται εκτεεί αή αρμονική ταάντωση άτους Α, και ισχύουν όσα ξέρουμε για την αρμονική ταάντωση. Για να βρούμε την ταχύτητα ταάντωσης u, όταν γνωρίζουμε την αομάκρυνση, εφαρμόζουμε την Α.Δ.Ε.Τ. για την ταάντωση του σημείου. Αό την εφαρμογή της Α.Δ.Ε.Τ. έχουμε: Κ U E mu D DA mu mω mω A u ω (Α ) u ω Α 3. Κάθε χρονική στιγμή τα σημεία ενός κύματος έχουν διαφορετικές φάσεις όγω ταάντωσης. Μηδενική φάση έχει το σημείο ου εκείνη τη χρονική στιγμή αρχίζει να τααντώνεται όγω του κύματος ου φθάνει σε αυτό το σημείο. Εάν θεωρήσουμε κύμα ου διαδίδεται ρος τα θετικά του άξονα x x, κάθε σημείο ου βρίσκεται /4 αριστερά του σημείου στο οοίο έχει φθάσει το κύμα, η φάση του αυξάνεται κατά / ad. Ας ροσέξουμε το αρακάτω στιγμιότυο κύματος.

2 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ Το σημείο Α έχει φάση φ Α =0 και αρχίζει ταάντωση με θετική φορά ρος τα άνω. Το σημείο Β έχει φάση φ Β =/ ad και βρίσκεται για ρώτη φορά σε =+A. Το σημείο Γ έχει φάση φ Γ = ad και διέρχεται αό την Θ.Ι. για ρώτη φορά με u=u max. Το σημείο Δ έχει φάση φ Δ =3/ ad και βρίσκεται για ρώτη φορά σε =-A. Το σημείο Ε έχει φάση φ Ε = ad και έχει εκτεέσει μια ήρη ταάντωση. Το σημείο Ζ έχει φάση φ Ζ =+/ ad και βρίσκεται για δεύτερη φορά σε =+A. 4. Πώς σχεδιάζουμε το στιγμιότυο ενός κύματος μια χρονική στιγμή Ακοουθούμε την αρακάτω διαδικασία ο βήμα: Θέτουμε στην εξίσωση του κύματος όου = για να βρούμε την εξίσωση =f(x) της οοίας τη γραφική αράσταση θέουμε να σχεδιάσουμε. ο βήμα: Βρίσκουμε όσο μακριά έχει φτάσει αό την αρχή Ο(χ=0) το κύμα και συγκρίνουμε την αόσταση αυτή ου βρήκαμε με το μήκος κύματος. Ο ιο ασφαής τρόος για να βρούμε όσο μακριά έχει φτάσει το κύμα την χρονική στιγμή = είναι να μηδενίσουμε τη φάση του κύματος, αν τα μόρια ξεκινούν να κινούνται αό τη θέση ισορροίας τους με φορά ρος τα άνω ή να θέσουμε τη φάση ίση με ad, αν τα μόρια ξεκινούν να κινούνται αό τη θέση ισορροίας τους με φορά ρος τα κάτω. Διαφορετικά, εάν έχουμε κύμα χωρίς αρχική φάση εφαρμόζουμε τη σχέση x =u δ., ενώ εάν ρόκειται για κύμα με αρχική φάση εφαρμόζουμε την σχέση χ=χ ο + u δ., όου x o είναι η συντεταγμένη του σημείου του εαστικού μέσου στο οοίο βρίσκεται το κύμα την χρονική στιγμή =0. 3 ο βήμα: Βρίσκουμε την αομάκρυνση του σημείου Ο(x=0) τη χρονική στιγμή θέτοντας στην εξίσωση ου βρήκαμε στο ο βήμα όου χ=0. 4 ο βήμα: Βρίσκουμε την αομάκρυνση του σημείου ου βρίσκεται στη θέση x=+ 4 τη χρονική στιγμή θέτοντας στην εξίσωση ου βρήκαμε στο ο βήμα όου χ= ο βήμα: Σχεδιάζουμε το στιγμιότυο ξεκινώντας τη γραφική αράσταση αό την αρχή Ο(χ=0).

3 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ 3 Εφαρμογή Εγκάρσιο αρμονικό κύμα με εξίσωση =0,4ημ(-0x) (S.I.) διαδίδεται σε γραμμικό εαστικό μέσο ρος τη θετική κατεύθυνση του άξονα x Ox. Na σχεδιάσετε σε βαθμοογημένους άξονες το στιγμιότυο του κύματος, στο θετικό ημιάξονα, τη χρονική στιγμή =,5s. Λύση Το μήκος κύματος είναι: χ 0χ 0, m Βρίσκουμε μέχρι οιο σημείο έχει φτάσει το κύμα τη χρονική στιγμή =,5s θέτοντας στην φάση του κύματος φ=(-0x) όου φ=0 και = =,5s. (.,5-0χ)=0,5χ-0χ=0 χ=0,5m=+ Εομένως ρέει να φτιάξουμε για το θετικό ημιάξονα Οχ τη γραφική αράσταση της συνάρτησης: x, =0,4ημ(5-0χ) για Οχ+0,5m () Θέτοντας στην εξίσωση () όου x=0 βρίσκουμε την αομάκρυνση του υικού σημείου Ο(x=0) αό τη θέση ισορροίας του τη χρονική στιγμή : O, =0,4ημ5=0 Ενώ θέτοντας στην εξίσωση () όου x=+/4=+0,05m βρίσκουμε την αομάκρυνση του υικού σημείου x=+/4 αό τη θέση ισορροίας του τη χρονική στιγμή : (χ=+/4) =0,4ημ(5-0,5)=0,4ημ4,5=0,4ημ(4+/)=+0,4m Με βάση τα δεδομένα αυτά το στιγμιότυο του κύματος φαίνεται στο σχήμα. +0,4 +0,5 x(m) -0,4

4 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ 4 5. Προσδιορισμός της κατεύθυνσης κίνησης ενός υικού σημείου του εαστικού μέσου κατά μήκος του οοίου διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα. ος τρόος: (με τη χρονική εξίσωση της ταχύτητας ταάντωσης) Ένας τρόος να ροσδιορίσουμε την κατεύθυνση κίνησης ενός υικού σημείου του εαστικού μέσου μία χρονική στιγμή είναι να υοογίσουμε την ταχύτητα ταάντωσής του την χρονική στιγμή. Συγκεκριμένα, για κύμα ου διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα χ χ, η εξίσωση αρμονικού κύματος είναι: x =A ημ Έτσι, η χρονική εξίσωση της ταχύτητας ταάντωσης ενός υικού σημείου Κ ου βρίσκεται στη θέση x K, είναι: u K =ω. xκ A συν Αντικαθιστώντας στην αραάνω σχέση όου =, υάρχουν δύο εριτώσεις: Εάν u K() > 0, το υικό σημείο Κ τη χρονική στιγμή κινείται ρος τη θέση της μέγιστης θετικής του αομάκρυνσης (ρος τα άνω). Εάν u K() < 0, το υικό σημείο Κ τη χρονική στιγμή κινείται ρος τη θέση της μέγιστης αρνητικής του αομάκρυνσης (ρος τα κάτω). ος τρόος: (με τη βοήθεια του στιγμιότυου) Εάν δίνεται το στιγμιότυο του κύματος τη χρονική στιγμή και ζητείται η φορά ταάντωσης ενός υικού σημείου Κ τη χρονική αυτή στιγμή, τότε, γνωρίζοντας τη φορά διάδοσης του κύματος, μορούμε να σχεδιάσουμε ένα νέο στιγμιότυο μια χρονική στιγμή +d. Αυτό γίνεται ρακτικά μετατοίζοντας το δοθέν στιγμιότυο ίγο ρος τα δεξιά (εάν η φορά διάδοσης του κύματος είναι ρος τη θετική κατεύθυνση) ή ρος τ αριστερά (εάν η φορά διάδοσης του κύματος είναι ρος τη αρνητική κατεύθυνση). Αό το νέο αυτό στιγμιότυο μορούμε να δουμε εάν το υικό σημείο Κ βρίσκεται σε μία θέση ιο άνω ή ιο κάτω αό αυτή ου βρισκόταν τη χρονική στιγμή. Εφαρμογή: Στο διανό διάγραμμα φαίνεται το στιγμιότυο ενός αρμονικού κύματος τη χρονική στιγμή. Το κύμα αυτό διαδίδεται σε γραμμικό εαστικό μέσο το οοίο ταυτίζεται με τον άξονα χ χ, ρος τη θετική φορά του άξονα. Να βρείτε την κατεύθυνση κίνησης του υικού σημείου Ο τη χρονική στιγμή ου αεικονίζεται στο στιγμιότυο.

5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ 5 Λύση: oς τρόος Αφού γνωρίζουμε ότι το κύμα διαδίδεται ρος τη θετική φορά του άξονα, μορούμε να σχεδιάσουμε ένα νέο στιγμιότυο τη χρονική στιγμή +d, μετατοίζοντας το δοθέν στιγμιότυο ρος τα δεξιά, όως φαίνεται στο αρακάτω σχήμα. Αό το νέο στιγμιότυο ροκύτει ότι το υικό σημείο Ο τη χρονική στιγμή +d βρίσκεται σε μια θέση ιο κάτω αό αυτή ου βρισκόταν τη χρονική στιγμή. Συνεώς το υικό σημείο Ο τη χρονική στιγμή κινείται με φορά ρος τα κάτω. oς τρόος Αφού το κύμα διαδίδεται ρος τα δεξιά, η κοιάδα ου βρίσκεται αριστερά του σημείου Ο(x=0) ροχωρεί και αυτή ρος τα δεξιά, οότε μετά αό ίγο φτάνει και αυτή στο σημείο Ο, με αοτέεσμα το υικό σημείο του εαστικού μέσου να βρεθεί στην κάτω ακραία θέση. Αυτό σημαίνει ότι το υικό σημείο Οx=0) τη χρονική στιγμή κινείται με φορά ρος τα κάτω. 6. Υοογισμός της αόστασης μεταξύ δύο υικών σημείων του εαστικού μέσου σε δεδομένη χρονική στιγμή Εάν ζητείται η αομάκρυνση δύο υικών σημείων Κ και Λ του εαστικού μέσου δεδομένη χρονική στιγμή, τότε θα ρέει να υοογίσουμε την αομάκρυνση K και Λ αό τη θέση ισορροίας του κάθε σημείου του εαστικού μέσου τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Όως φαίνεται στο αρακάτω σχήμα, η αόσταση d των δύο υικών σημείων υοογίζεται αό τη σχέση: d x x K Λ K Λ Λ Κ Λ χ Λ d χ Κ χ Κ χ Λ K

6 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ 6 7. Πρέει να διακρίνουμε την ταχύτητα ταάντωσης(u τ ) κάθε υικού σημείου του μέσου διάδοσης αό την ταχύτητα διάδοσης του κύματος(u δ ), δηαδή την ταχύτητα με την οοία διαδίδεται η διαταραχή. Η ταχύτητα διάδοσης (u δ ) του κύματος σε ορισμένο εαστικό μέσο είναι σταθερή, εξαρτάται αό το είδος του κύματος και τις ιδιότητες του μέσου και υοογίζεται: Εάν γνωρίζουμε την αόσταση Δχ ου έχει διατρέξει το κύμα κατά μήκος του εαστικού μέσου σε ορισμένη χρονική διάρκεια Δ: Δχ u δ Δ Με εφαρμογή του θεμειώδους νόμου της κυματικής: f u δ Η ταχύτητα ταάντωσης (u τ ) κάθε υικού σημείου μεταβάεται με το χρόνο και μάιστα αοκτά τη μέγιστη κατά μέτρο(κατ αόυτη τιμή) τιμή της όταν το υικό σημείο διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του. Για κύμα ου διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση, η εξίσωση ταάντωσης έχει εξίσωση: x u τ ωασυν 8. Αό τη μεέτη των γραφικών αραστάσεων φ=f(x) (φάση συναρτήσει της θέσης μιας χρονική στιγμή ) και φ=f() (φάση συναρτήσει του χρόνου για ένα σημείο στη θέση χ ) μορούν να υοογιστούν ορισμένα χαρακτηριστικά μεγέθη του κύματος. a. Γραφική αράσταση φ=f(x) μια χρονική στιγμή φ (ad) 6 =3s Αυτή είναι η φάση της κυματικής ηγής τη χρονική στιγμή 0 3 χ(m) Μέχρι αυτή τη θέση έχει διαδοθεί το κύμα τη χρονική στιγμή 0 x 3 Για =3s,χ=0, φ ηγ =6 ad: φ ηγ 6 Τ s Τ x 3 3 Για =3s,χ=3m, φ=0 ad: φ 0... Τ

7 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ 7 β. Γραφική αράσταση φ=f() για ένα σημείο στη θέση χ φ (ad) χ =m 3 Δφ κίση εφθ ω Δ Αυτή είναι η φάση του σημείου στη θέση χ =m τη χρονική στιγμή,5s 0 θ,5 (s) η χρονική στιγμή =s, το κύμα φτάνει στη θέση χ =m, οότε η φάση του συγκεκριμένου σημείου ξεκινά να αυξάνεται αό την τιμή μηδέν x Για =s, φ=0 ad, χ =m: φ 0... Τ x,5 Για =,5s, φ=3 ad, χ =m: φ 3... Τ Όως φαίνεται αραάνω, ροκύτουν δύο εξισώσεις με τα και Τ, οότε αό την είυση του συστήματος των δύο μορούμε να υοογίσουμε το μήκος κύματος και την ερίοδο ταάντωσης Τ. Είσης, αό την κίση της γραφικής αράστασης μορούμε να υοογίσουμε την κυκική συχνότητα ω.

8 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ 8 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ 9. Όταν μας ζητούν το άτος της συνιστάμενης ταάντωσης, τότε ισχύει: ( ) Α' Α συν ενώ για την αομάκρυνση ισχύει: ( ) Α συν ημ (χωρίς αόυτη τιμή) 0. Το αοτέεσμα της συμβοής δύο κυμάτων ου ροέρχονται αό σύγχρονες ηγές σ ένα ορισμένο σημείο Μ του μέσου, εξαρτάται αό τη διαφορά φάσης των τααντώσεων ου αναγκάζεται να εκτεέσει το σημείο αυτό εξαιτίας των δύο κυμάτων. Η διαφορά φάσης οφείεται στη χρονική διαφορά με την οοία φτάνουν τα κύματα στο συγκεκριμένο σημείο, όγω των διαφορετικών αοστάσεων, ου διανύουν αό κάθε ηγή μέχρι το σημείο. Συγκεκριμένα, έστω ότι το σημείο Μ εκτεεί εξαιτίας κάθε κύματος τις τααντώσεις: A ημ και A ημ Έστω ότι <, οότε η συμβοή ξεκινά τη χρονική στιγμή: u Η διαφορά φάσης των δύο τααντώσεων δίνεται αό τη σχέση ( < φ >φ ): Δφ φ φ ( ) Αντικαθιστώντας στον τύο ου δίνει το άτος ταάντωσης μετά τη συμβοή έχουμε: ( Α' Α συν ) Α συν Δφ Α' Α συν Δφ Α' Α συν Αν τα κύματα συμβάοντας στο σημείο Μ βρίσκονται σε συμφωνία φάσης (Δφ=κ), τότε: κ Α' Α συν Α συν(κ) Α, δηαδή έχουμε ενίσχυση Αν τα κύματα συμβάοντας στο σημείο Μ βρίσκονται σε αντίθεση φάσης [Δφ=(κ+)], τότε: Α' (κ Α συν ) 0, δηαδή έχουμε αόσβεση

9 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ 9. Όταν ζητείται να βρούμε τα σημεία ενισχυτικής και ακυρωτικής συμβοής στο ευθύγραμμο τμήμα ου συνδέει τις δύο σύγχρονες ηγές Π και Π εργαζόμαστε ως εξής: Σημεία ενισχυτικής συμβοής Τα σημεία ενισχυτικής συμβοής ικανοοιούν τη σχέση: N με Ν=0,,,3,.. = N. () Για τα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος Π Π ισχύει ειέον: + =d () Προσθέτοντας κατά μέη τις εξισώσεις () και () ροκύτει: = N. +d = N d με Ν=0,,,3,.. (Οι θετικές του Ν δίνουν τα σημεία ενισχυτικής συμβοής ου βρίσκονται δεξιά αό την μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος Π Π, ενώ οι αρνητικές τα σημεία ου βρίσκονται αριστερά αό την μεσοκάθετο). Πρέει όμως να ισχύει: 0 d 0 N - d N d d d d - Ν 0 N d d Σημεία ακυρωτικής συμβοής Τα σημεία ακυρωτικής συμβοής ικανοοιούν τη σχέση: (N ) με Ν=0,,,3,.. = (N ) (3) Για τα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος Π Π ισχύει ειέον: + =d (4) Προσθέτοντας κατά μέη τις εξισώσεις (3) και (4) ροκύτει: = (N ) +d = d d (N ) + 4 (Η τιμή Ν=0 και οι υόοιες θετικές τιμές του Ν δίνουν τα σημεία ακυρωτικής συμβοής ου βρίσκονται δεξιά αό την μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος Π Π, ενώ οι αρνητικές τα σημεία ου βρίσκονται αριστερά αό την μεσοκάθετο). Πρέει όμως να ισχύει: d 0 d 0 (N ) d 0 (Ν ) d 4d 4 d d d d - d (N ) d - Ν - Ν d d Ν

10 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ 0. Όταν μας ζητούν την αομάκρυνση ενός σημείου αό τη θέση ισορροίας του κάοια χρονική στιγμή, ρέει να εξετάζουμε ότε φτάνει το κάθε κύμα στο συγκεκριμένο σημείο. Το σημείο Ζ δεν ξεκινά να τααντώνεται τη χρονική στιγμή =0. Μέχρι να φτάσει το ρώτο κύμα σε αυτό, το σημείο Ζ είναι ακίνητο στη Θ.Ι.( Z =0). Z Π Π Αό τη στιγμή ου φτάνει το ρώτο κύμα(ροέρχεται αό την ιο κοντινή ηγή, εδώ η Π ) η εξίσωση ταάντωσής του είναι: z =Aημ όου < όου: : η χρονική στιγμή ου στο σημείο φτάνει το κύμα αό την ιο κοντινή ηγή, και : η χρονική στιγμή ου φτάνει το κύμα και αό την ιο αομακρυσμένη ηγή και ξεκινά η συμβοή (στο συγκεκριμένο σχήμα Π ). Αό τη στιγμή ου φτάνει και το δεύτερο κύμα η εξίσωση ταάντωσης είναι: ( ) Ζ A συν ημ όου Στο διανό διάγραμμα βέουμε ώς μορεί να είναι η γραφική αράσταση =f() για ένα τυχαίο σημείο της ειφάνειας του υγρού ου βρίσκεται άνω στον ρώτο κροσσό ενίσχυσης μετά την μεσοκάθετη. Ας ροσέξουμε και ένα ετό σημείο Μετά την έναρξη της συμβοής σε ένα σημείο, η κίση της γραφικής αράστασης αομάκρυνσης του ΠΑΝΤΑ ΑΥΞΑΝΕΤΑΙ. Κάθε σημείο, μόις φθάσει σε αυτό ένα κύμα ροερχόμενο αό ηγή χωρίς αρχική φάση, αοκτά θετική ταχύτητα u max, γιατί με τέτοια ταχύτητα ξεκίνησε την ταάντωσή της και η ηγή. Εομένως, μόις αρχίζει μία σύνθετη ταάντωση, κατά τη συμβοή κυμάτων, η ταχύτητα του σημείου αγεβρικά αυξάνεται, αφού ίγο ριν είχε ταχύτητα u όγω του ρώτου κύματος, και αμέσως μετά την έναρξη της συμβοής έχει ταχύτητα u=u +u max,. Όοια τιμή και να έχει η u, αφού η u max, θα είναι θετική, θα ισχύει u>u. Γνωρίζουμε ότι η ταχύτητα εκφράζεται αό την κίση της καμύης στο διάγραμμα - και έτσι η αγεβρική τιμή της κίσης άντα αυξάνεται αμέσως μετά τη συμβοή.

11 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ 3. Πηγές ου δεν είναι σύγχρονες Όσα έχουν αναφερθεί μέχρι τώρα στη συμβοή κυμάτων, ισχύουν για σύγχρονες ηγές ου αρχίζουν την ίδια χρονική στιγμή να εκτεούν αρμονική ταάντωση ρος τη θετική κατεύθυνση. Άρα, οι εξισώσεις ταάντωσης των δύο ηγών είναι =Aημ(ω) και =Aημ(ω). Αν οι δύο ηγές δεν αρχίζουν ταυτόχρονα την ταάντωσή τους, τότε θα αρουσιάζουν διαφορά φάσης θ. Αν είναι =Aημ(ω) η εξίσωση ταάντωσης της ηγής Π και =Aημ(ω+θ) η εξίσωση ταάντωσης της ηγής Π, η εξίσωση των δύο κυμάτων, θα είναι: Aημ και θ Aημ Εφαρμόζοντας της αρχή της εαηίας θα έχουμε: θ ημ ημ A Λόγω της τριγωνομετρικής ταυτότητας ημα+ημβ= Β Α Β Α συν ημ η ροηγούμενη σχέση γίνεται: θ συν θ Aημ Άρα, η εξίσωση της σύνθετης ταάντωσης ενός σημείου θα είναι: 4 θ ημ θ συν A Τώρα οι θέσεις των κροσσών ενίσχυσης και αόσβεσης θα είναι ροφανώς διαφορετικές και θα εξαρτώνται αό τη γωνία θ. Πράγματι τώρα το άτος της σύνθετης ταάντωσης ενός σημείου δίνεται αό τη σχέση: θ συν A Α' Στη χαρακτηριστική ερίτωση ου είναι θ= ad, δηαδή η μία ηγή αρχίζει Τ/ ριν την άη, τότε στη μεσοκάθετη των δύο ηγών (όου = ) θα είναι: 0 συν A Α' δηαδή η μεσοκάθετη θα είναι κροσσός αόσβεσης.

12 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤA ΣAΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ x 4. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος =Aσυν ημ ισχύει: a. Στην ερίτωση της συμβοής δύο κυμάτων ου τη χρονική στιγμή =0 φθάνουν στην αρχή των συντεταγμένων κινούμενα με αντίθετες ταχύτητες διάδοσης. Στην ερίτωση αυτή το στάσιμο κύμα υάρχει στην εριοχή συμβοής ου είναι η εριοχή στην οοία υάρχουν και τα δύο κύματα. Κάοια χρονική στιγμή, η εριοχή της συμβοής εκτείνεται αό u. δ έως +u. δ, ενώ έξω αό την εριοχή αυτή υάρχει κάθε κύμα μόνο του. b. Στην ερίτωση ου έχει αρχίσει η συμβοή ριν αό άγνωστο χρονικό διάστημα και θεωρούμε ότι τη χρονική στιγμή =0 η αρχή των συντεταγμένων ου είναι κοιία διέρχεται αό τη θέση ισορροίας της με θετική ταχύτητα. Σε μια τέτοια ερίτωση υάρχει στάσιμο κύμα σε όα τα σημεία του άξονα διάδοσης των κυμάτων και δεν έχει νόημα να μιάμε για εριοχή συμβοής. 5. Στάσιμο κύμα και διαφορά φάσης Τα σημεία ου βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών έμε ότι βρίσκονται στην ίδια άτρακτο. Όα τα σημεία ου βρίσκονται στην ίδια άτρακτο φτάνουν ταυτόχρονα στη μέγιστη θετική ή αρνητική ακραία θέση τους, συνεώς οι τααντώσεις τους έχουν μηδενική διαφορά φάσης(δφ=0ad). Προσοχή!!! Το γεγονός ότι τα σημεία ενός στάσιμου κύματος μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι συμφασικά δε σημαίνει ότι έχουν κάθε στιγμή ίδια αομάκρυνση και ίδια ταχύτητα. Συμφασικά σημαίνει ότι διέρχονται ταυτόχρονα αό τη θέση ισορροίας με ταχύτητα ίδιας φοράς (όχι υοχρεωτικά και ίδιου μέτρου) ενώ ταυτόχρονα βρίσκονται και στις ακραίες θέσεις της ταάντωσης τους (δεν έχουν όμως υοχρεωτικά και το ίδιο μέτρο άτους). Τα σημεία ου βρίσκονται σε δύο διαδοχικές ατράκτους (δηαδή μεταξύ τους μεσοαβεί ένας δεσμός) φτάνουν ταυτόχρονα σε ακραία θέση, αά όταν το ένα φτάνει στην ακραία αρνητική του θέση, το άο φτάνει στην ακραία θετική του θέση. Οι τααντώσεις δύο τέτοιων σημείων έχουν διαφορά φάσης Δφ=ad στο στάσιμο κύμα. Έτσι, όταν ζητείται η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων μορούμε να βρούμε το ήθος των δεσμών μεταξύ των δύο αυτών σημείων και θα ισχύει: Αν μεταξύ των υό μεέτη σημείων δεν υάρχει κάοιος δεσμός ή υάρχει άρτιος αριθμός δεσμών, τότε οι τααντώσεις των υικών σημείων δεν εμφανίζουν διαφορά φάσης (Δφ=0 ad).

13 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ 3 Αν μεταξύ των υό μεέτη σημείων υάρχει εριττός αριθμός δεσμών, τότε οι τααντώσεις των υικών σημείων εμφανίζουν διαφορά φάσης ad (Δφ= ad). Ένας ος τρόος εύρεσης της διαφοράς φάσης δύο σημείων στα στάσιμα κύματα είναι και ο αρακάτω: Εέγχουμε το γινόμενο. και διακρίνουμε τις εριτώσεις: Αν. >0 δηαδή τα σημεία έχουν ομόσημες αομακρύνσεις(δηαδή μεταξύ τους δεν μεσοαβεί κάοιος δεσμός ή μεσοαβεί άρτιος αριθμός δεσμών), τότε Δφ=0 ad. Αν. <0 δηαδή τα σημεία έχουν ετερόσημες αομακρύνσεις(δηαδή βρίσκονται εκατέρωθεν ενός δεσμού ή μεσοαβεί μεταξύ τους εριττός αριθμός δεσμών), τότε Δφ= ad. Εφαρμογή Κατά μήκος μιας χορδής δημιουργείται στάσιμο κύμα ου εριγράφεται αό την εξίσωση: =4συν(χ/5). ημ0 (x, σε cm και σε s) Να βρείτε τη διαφορά φάσης των σημείων Α και Β ου αέχουν αό το άκρο της χορδής(χ=0) αοστάσεις χ Α =3cm και x B =4cm. Λύση 3 4 A B 4σσυ ημ0 4σσυ ημ ημ (0 ) συν συν ημ (0 ) συν συν Αφού συν 0 και συν 0 και έτσι τα σημεία έχουν συνεχώς ομόσημες 5 5 αομακρύνσεις δηαδή Δφ=0 ad. 6. Πώς σχεδιάζουμε το στιγμιότυο του στάσιμου κύματος ο βήμα: Βρίσκουμε ρώτα τις θέσεις των κοιιών και των δεσμών μεταξύ των σημείων ου θέουμε να σχεδιάσουμε το στιγμιότυο. ο βήμα: Υοογίζουμε την αομάκρυνση αό τη θέση ισορροίας ενός υικού σημείου για το οοίο διαθέτουμε τις αντίστοιχες ηροφορίες τη χρονική στιγμή ου θέουμε να σχεδιάσουμε το στιγμιότυο (συνήθως βοεύει να υοογίζουμε την αομάκρυνση μιας κοιίας.χ. της ρώτης(x=0) με την ροϋόθεση ότι στο x=0 σχηματίζεται κοιία). 3 ο βήμα: Σχεδιάζουμε το στιγμιότυο, φροντίζοντας η γραφική αράσταση να μην ξεερνάει το ου υοογίσαμε στο ο βήμα.

14 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ 4 Κατά το σχεδιασμό του στιγμιοτύου ροσέχουμε ότι: Τα υικά σημεία ου βρίσκονται σε δεσμούς δεν τααντώνονται, ενώ τα υικά σημεία ου βρίσκονται σε κοιίες τααντώνονται με μέγιστο άτος. Όα τα υικά σημεία ου τααντώνονται φτάνουν ταυτόχρονα σε μέγιστη αομάκρυνση, με τις διαδοχικές κοιίες να φτάνουν σε αντίθετες μέγιστες αομακρύνσεις. Όα τα υικά σημεία ου τααντώνονται ερνούν ταυτόχρονα αό τη θέση ισορροίας τους, με τις διαδοχικές κοιίες να ερνούν με αντίθετες, μέγιστες κατά μέτρο ταχύτητες. Εφαρμογή Σε γραμμικό εαστικό μέσο ου ταυτίζεται με τον άξονα χ Οχ δημιουργείται στάσιμο κύμα μέγιστου άτους 0, m και συχνότητας 5 Hz. Τη χρονική στιγμή =0 το υικό σημείο ου βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του με θετική ταχύτητα και στο σημείο αυτό σχηματίζεται κοιία. Να σχεδιάσετε σε βαθμοογημένους άξονες το στιγμιότυο του στάσιμου κύματος μεταξύ των σημείων Ο και Κ(χ Κ =+0,9m): α. τη χρονική στιγμή =0,3s β. τη χρονική στιγμή =0,35s γ. τη χρονική στιγμή 3 =0,4s δ. τη χρονική στιγμή 4 = 5 s Λύση: Βρίσκουμε ρώτα τις θέσεις των κοιιών και των δεσμών ου δημιουργούνται στο ευθύγραμμο τμήμα ΟΛ. Για τις κοιίες έχουμε: χ Κ Ν χκ 0,Ν με Ν=0,,, Δηαδή κοιίες σχηματίζονται στο ευθύγραμμο τμήμα ΟΛ στις θέσεις του άξονα: 0, +0,m, +0,4m, +0,6m και +0,8m Για τους δεσμούς έχουμε: χ δ ( Ν ) χκ (Ν ) 0, με Ν=0,,, 4 Δηαδή δεσμοί σχηματίζονται στο ευθύγραμμο τμήμα ΟΛ στις θέσεις του άξονα: +0,m, +0,3m, +0,5m, +0,7m και +0,9m(στο σημείο Λ είναι δεσμός) α. Αφού το υικό σημείο ου βρίσκεται στην αρχή Ο(χ=0) του άξονα τη χρονική στιγμή =0 διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του με θετική ταχύτητα, έχει εξίσωση ταάντωσης της μορφής: O =A ημω ή O =0,ημ(f) ή O =0,ημ(0) ενώ η χρονική εξίσωση της ταχύτητας ταάντωσής του θα είναι: u O =ωα συν(ω) ή u O =ωα συν(f) ή u O =συν(0) Τη χρονική στιγμή =0,3s είναι:

15 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ 5 και η ταχύτητα ταάντωσής του είναι: O() =0,ημ3=0 u O() =συν3=- m/s Άρα, τη χρονική στιγμή =0,3s το υικό σημείο Ο(χ=0) διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του με αρνητική ταχύτητα. Αυτό σημαίνει ότι όα τα υικά σημεία του μέσου ου τααντώνονται τη χρονική στιγμή =0,3s διέρχονται αό τη θέση ισορροίας τους (με τις διαδοχικές κοιίες να κινούνται ρος αντίθετες κατευθύνσεις). Το ζητούμενο στιγμιότυο φαίνεται στο εόμενο σχήμα. β. Τη χρονική στιγμή =0,35s είναι: 3 O() =0,ημ3,5=0,ημ =-0, m δηαδή το σημείο Ο στο οοίο σχηματίζεται κοιία βρίσκεται στην κάτω ακραία θέση της ταάντωσής του. Αφού μια κοιία βρίσκεται σε ακραία θέση της ταάντωσής της, όα τα σημεία του εαστικού μέσου ου τααντώνονται βρίσκονται σε ακραία θέση της ταάντωσής τους. Σχεδιάζουμε το στιγμιότυο, φροντίζοντας οι διαδοχικές κοιίες να βρίσκονται σε αντίθετες αομακρύνσεις.

16 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ: ΚΥΜΑΤΑ 6 γ. Τη χρονική στιγμή 3 = 5 s είναι: και η ταχύτητα ταάντωσής του είναι: 50 O(3) =0,ημ 0,ημ 4 0, m 6 50 u O(3) =συν συν 4 3 m/s 6 Τo ζητούμενο στιγμιότυο είναι το αρακάτω. Όταν ζητείται το στιγμιότυο μια χρονική στιγμή ου τα υικά σημεία του εαστικού μέσου βρίσκονται σε κίνηση, ρέει να σχεδιάσουμε και τη «φορά» της ταχύτητας των υικών σημείων. Πέτρος Καραέτρος Λυκειακές Τάξεις Μεσοβουνίων pkaapeos@homail.com