Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
|
|
- ramaic Βιλαέτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 17. VEKORI I KVADRANE MARICE 17.1 Opcenito o vektorim Vektor je usmjeren duzin i zto im: pocetk (hvtiste), krj i smjer. Vektor se ozncv s oznkom n pr.: rpq,, Duzin PQ ili r nziv se duzin vektor, intenzitet ili norm vektor PQ ili r. Prvc n kojem lezi vektor je nosc vektor. Kolinerni vektori su oni, koji leze n prlelnim prvcim. Z njih vrijedi k b ili ko su suprotni vektori, td vrijedi k b. Vrijednost k je sklr. Sklr je ktegorij, broj, koji nem krkteristike vektor. Nul-vektor je vektor s duzinom 0 i kolinern je s svkim vektorom. Jedinicni vektor (ort) je vektor s intenzitetom Dv vektor su jednk ko imju jednku duzinu i smjer (orijentciju). Zbroj dv vektor je vektor: + b c. Zbroj se dobije ulncvnjem dv vektor. N krj prvog trnslcijom se dod pocetk drugog vektor. Rezultt je vektor koji im duzinu od pocetk prvog do krj drugog vektor. Oduzimnje vektor je dno izrzom: b + ( b) c. Oduzimnje se izvodi tko sto se n pocetk prvog vektor trnslcijom dod pocetk drugog vektor. Rezultt, vektor c, im duzinu od krj drugog do krj prvog vektor (vidi zdtk u nstvku) Kolinerni vektori su linerno zvisni. Linerno nezvisni vektori su oni vektori z koje vrijedi: λ + λ Linerno nezvisni vektori cine bzu vektorskog prostor: V z rvninu i V z prostor. Bz vektorskog prostor dn je s tri uredjen jedinicn vektor i, j, k koji su linerno nezvisni. 3 Svki vektor se moze rstviti n komponente. Z prostor V im oblik: xi + y j + zk ( x, y, z) Sklrni umnozk vektor je sklr: b b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor i b. Z ϕ 0 ili b ( xi + y j + zk) ( bxi + by j + bzk) xbx + yby + zbz i i j j k k 1 i j j k k i 0 Vektorski umnozk dv vektor je vektor: b c koji je okomit n i b. Vektori b, i ccine desni sustv. c b b sin b, Vektori i mtrice 1
2 Vektorski umnozk jedinicnih vektor u desnom sustvu: ixi 0 jxj 0 kxk 0 ixj k jxk i kxi j jxi k kxj i ixk j i j k b b x y z S sinϕ b b b b x y z Apsolutn vrijednost vektorskog produkt dv vektor jednk je povrsini prlelogrm sto g ztvrju zdni vektori. Mjesoviti umnozk vektor ozncv se s bc,, ( b c) ( b) c b c b c V b c b b b sinϕ cosψ x y z x y z c c c x y z Apsolutn vrijednost mjesovitog umnosk vektor, jednk je volumenu prizme koju ztvrju vektori. 17. Osnovne opercije s vektorim 1. ock S je sjeciste dijgonl prlelogrm ABCD. Izrcunj vektorski zbroj SA + SB + SC + SD. Iz slike je vidljivo, d je SA SC i SB SD SA + SB + SC + SD 0 Vektrorski zbroj zdnih vektor jednk je nuli.. U prvilnom sesterokutu ABCDEF, poznti su vektori AB m i BC n. Izrzi vektore CD, DE, EF, FA, AC, AD i AE pomocu vektor m i n. Iz slike je vidljivo, d je: CD BS BA + AS m + n DE m EF n FA CD m n AC m + n AD n AE AD + AD m n Vektori i mtrice
3 3. Zdni su vektori prem slici. Izrcunj zbroj vektor AB + AC+ AD Vidljivo je, d je AB + AD AC dijgonl prvokutnik ABCD Prem tome je: AB + AD + AC AC + AC AC AC 4. Zdn su tri jedinicn vektor koji zdovoljvju uvjet + b+ c 0 Izrcunj zbroj b + b c + c Iz zdnog uvjet proizilzi, d zdni vektori cine jednkostrnicn trokut. Kut izmedju vektor je u tom slicju 10. Dlje slijedi: 1 b b cos cos10 cos( ) sin 30 1 b c b c cos cos10 cos( ) sin 30 1 c c cos cos10 cos( ) sin b + b c + c 3 Vektori i mtrice 3
4 5. Zdn je trokut ABC i teziste u tocki. Odredi zbroj vektor A + B+ C Ndopunimo li trokut AC u prlelogrm ACD mozemo postviti: A + B + C A + C + B D + B 0 D Vektori D i B su suprotni i njihov je zbroj nul. 6. Zdn si tri vektor koji cine trokut: BC, b CA i c AB. Izrcunj vektore tezisnic trokut AF, BD i CE Iz ABF immo: BF Iz AFC immo: AF b + c + b Iz BCD immo: BD + b c c c b c BD c c b b b CE b + c b CE b 7. Iz vrh C trokut povucen je tezisnic C n bzu trokut ABC u tocki. Izrzi vektor tezisnice C ko linernu kombinciju vektor strnic CA i CB. Iz ABC immo: () 1 C CA+ A ( ) C CB+ B zbrojimo ( 1) i C CA+ A + CB+ B iz slike vidimo: A B CA + CB CA CB C CA + CB C + Vektori i mtrice 4
5 8. Iz tocke C povucen su tri vektor b, i c. Krjevi vektor leze n prvcu p, s pripdjucim tockm A, B i. ock dijeli duzinu izmedju A i B u omjeru x: y, uz uvjet d je x+ y 1. Dokzi d je c x+ yb. 1 Iz zdtk 7. znmo, ko tock lezi n polovistu bze c ( + b). U ovom slucju je: c CB+ B b + x b x+ 1 x b x yb 9. Zdn je trpez ABCD. Dokzi d su vektori dijgonl AC i DB kolinerni s vektorom bze AB. Iz slike je vidljivo: AC AD+ DC AD+ λ AB DB AB AD AC + DB AD + λ AB + AB AD λ + 1 AB 10. Zdn je trpez ABCD. Dokzi d je sredisnjic trpez jednk polovici zbroj 1 prlelnih strnic S ( AB+ DC) Iz slike je vidljivo: AP + PQ + QB AB AP DP AB + DC DP + PQ + QC DC zbrojimo PQ AB + DC PQ S Vektori i mtrice 5
6 11. Zdni su vektori 3i + 4 j i b i j. Odredi intenzitet i smjer vektor, b, + b i. ( b ) ϕ ϕ 3 5 Z 3i 4 j immo: tn cos ϕ Z b i j immo: b tnϕ cos ϕ b 5 ϕ Z + b immo: 3i + 4 j + i j 5i + 3 j; + b tnϕ cos ϕ ϕ b 34 Z b immo: i j 3i + 4 j i 5 j; b tnϕ 5 cosϕ ϕ b 6 1. Vektori u i v su kolinerni. Odredi broj x tko, d vektori ( x 1 ) u + v i b 3u + x+ 1 v budu kolinerni. Iz uvjet kolinernosti dobijemo: x 1 u + v + 3u + x+ 1 v 0 x u + v +v + u 0 x ( u + v) ( u + v) Uvrstimo u zdni izrz: 1 u + v 3u + v b 3u v 3u v b Z x immo: 1 u + v u + v b 3u v 3 u + v 3 b 3 Vektori i mtrice 6
7 13. Vektor rstvi n vektorske komponente okomite i prlelne vektoru b. Rstsvimo vektor n komponente x i y : x+ y x mb Iz uvjet okomitosti: y b 0 y x mb b b y b ( mb) b b m b 0 m odnosno: x mb b b b b b y mb b Sklr je projekcij vektor n vektor b. b b b b Vektor je vektorsk projekcij vektor n vektor b. b b 14. Vektori i b su nekolinerni. Odredi relni broj x tko, d vektori m ( x+ ) + b i n x+ ( x 1 ) b postnu kolinerni suprotnog smjer. Iz uvjet kolinernosti: m k n immo: x 1 i x odnosno; Z x 1: m 1+ + b + b n b b klinerni i suprotni Z x : m + + b 4+ b n + 1 b 4 + b vektori su jednki 15. Vektor 4i + 3 j rstvi n vektore 1 prleln i okomit vektoru b 3 i + j. b Iz rnijeg zdtk br.13 immo m b ( ) Sd je: 1 mb ( 3i + j ) i + j ( 4i + 3j) i + j i + j Vektori i mtrice 7
8 16. Odredi vektor k tko, d z vektore i j i b 3i + j vrijedi: k 7 i b k 7. Ozncimo k mi + nj i upisimo sklrni umnozk dv vektor k ( i j)( mi + nj) : k ( i j )( mi + nj ) mi i + ni j m j i n j j m n 7 Vektori i mtrice Z drugi dio zdtk immo: b k 3i + j mi + nj 3mi i + 3ni j + m j i + n j j 3m+ n Rijesim te dvije jedndzbe s dvije nepoznnice: m n 7 3m+ n 7 m 3; n 1 rzeni vektor im oblik: k mi + nj 3 i j. 17. Izrcunj umnozk 3 ko je, 3 i, b 3 ( b) ( + b) b ( b) ( b ) ( b ) b b bb b b 1 3b 3 bcos( 10 ) ( 3 b + 9 ) ( b ) 3π 18. Odredi duzinu vektor k 3+ b ko je, b i (, b). 4 D bi odredili duzinu vektor k, mormo izrcunti njegovu psolutnu vrijednst: k 3 + b b + b 9 + 1b + 4b 9 ( k) 3π b + 4 1b 1 b cos k Odredi kut izmedju dijgonl prlelogrm ABCD ko je AB 4i 3 j i AD b 6 i + j. Iz slike je vidljivo d je: AC + b 4i 3 j + 6i + j 10i j AC BD b ( 6i + j ) ( 4i 3j) i + 4 j BD b Iz sklrnog umnosk dobijemo: b b cosϕ ϕ rcos b AC BD AC BD + AC BD i i j j ϕ r cos r cos r cos
9 0. Vektori 7 5 b i + 3 b, su medjusobno okomiti ko i 7 b i 4 b. Izrcunj kut izmedju vektor i b. Iz uvjet okomitosti: ( 7 5b)( + 3b) 7 5b 1b 15 b 0 i 7 b 4b 7 b 8b + 8 b 0 sredimo i zbrojimo b 15b b + 8 b 0 oduzmimo drugu od prve jedndzbe b 3 b 0 b b b b cosϕ b cosϕ ϕ Vektori + kb i b medjusobno su okomiti. Izrcunj fktor k ko je kut izmedju vektor i b, ϕ 10 i b. Iz uvjet okomitosti: ( + kb)( b) 0 + ( k 1) b k b 0 nkon zmjene b i b b cos ( k 1) b 4k 0 + ( k 1)( ) 4 k ( -5k) 0 k 5. Izrcunj + b i b ko je poznt kut izmedju vektor (, b) 60 i ko je 5, b b +b + b + b cosϕ + b b 109 b b + b b cs o ϕ + b 5 b Vektori i mtrice 9
10 3. Izrcunj ( 4 b)( + 3 b) ko je, b 3 i kut izmedju i b iznosi 10. ( 4 b)( + 3b) 8 +1b b + 3b b bcosϕ ( b)( b ) 4. Zdni su vektori AB 3i j i AC 7i + 4 j. Dokzi d trokut ABC koji cine vektori prvokutn. BC AC AB 7i + 4j 3i j 4i + 6j Iz uvjet okomitosti: AB BC 0 AB BC 3i j 4i + 6 j 1ii + 18ij 8ij 1 jj Vektori su okomiti i trokut je prvokutn. π 5. Zdni su vektori m α+ 17 b i n 3 b uz, b 5 i (, b). 3 Izrcunj koeficijent α tko d vektori budu okomiti. Iz uvjet okomitosti: m n 0 ( α+ 17b) ( 3 b) 0 b α+ 17b 3 b 3α αb + 51b 17 b 3α + 51 α 17 5 π 1 b b cos ( α+ 17b) ( 3 b) 1α + ( 5)( 51 α) 45 17α α Vektori i mtrice 10
11 6. Zdni su vektori i + 1 j k i b αi + j + k. Izrcunj koeficijent α tko d vektori budu okomiti. ( α ) Iz uvjet okomitosti: b 0 b + b + b 0 α i i j j k k α α ( α ) 3α 3 α 1 7. Vektor i + α j + βk okomit je n vektore b i j + k i c i + j + k. Izrcunj koeficijente α i β. Iz uvjet okomitosti: b 0 b i i+ jbj+ kbk β 0 c 0 b + b + b β 0 i i j j k k Rijesimo te dvije jedndzbe: 1 α + 0 α β Izrcunj vektor c koji je okomit n vektor 3i + j k i vektor b 4i j + 3 k. i j k i j k Iz vektorskog umnosk immo: c xb 3 1 x y z b b b x y z Determinntu rijesimo skrcenim postupkom: i j k i j k i j i1+ 4 j + k3 1 1k4 1 i 3j i 17 j 7k Sd mozemo ispitti okomitost prov vektor: c c i i + cjj + ckk c b cb + c b + c b 14 + i i j j k k ( 17)( 1) + ( 7) Vektori i mtrice 11
12 9. Izrcunj povrsinu prlelogrm odredjenog s vektorim 3i j + k i b i + j k. i j k i j k Iz vektorskog umnosk immo: c xb 3 1 x y z b b b x y z 1 1 Determinntu rijesimo skrcenim postupkom: i j k i j k i j i 1+ j1 1 + k 1 i j i + j + k xb Povrsin prlelogrm iznosi 35 kvdrtnih jedinic 30. Izrcunj kut izmedju dijgonl prelelogrm kojeg cine vektori i + j k i b i 3 j + k. Iz slike vidimo: AC d1 + b i + j k + i 3 j + k 3i j DB d b i + j k ( i 3j + k ) i + 4j k dxd 1 Kut medju dijgonlm iznosi: sin ϕ d d 1 i j k i j k i j dxd i + 1k + k + 6 j 4i + 6 j+ 14k dxd d1 3 + ( ) 13 d ( ) 1 dxd sin ϕ ϕ rcsin 65.8 d d Vektori i mtrice 1
13 31. Izrcunj povrsinu prelelogrm koji im z dijgonle vektore d1 m n i d 3m 4 n i ko su m i n jedinicni vektori pod kutem od ϕ dxd 1 P d1 d dxd m n x 3m 4n 3 mxm 4 mx ( ) ( ) ( n ) + ( nxm ) + ( nxn ) ( mxn) ( nxm) ( mxn) dxd dxd 1 ( mxn) nxm n msin P d d Izrcunj povrsinu prelelogrm koji im strnice m+ n i b m 3 n i ko je m 5 i n 3 i kut medju njim α 30. P xb b sinϕ xb ( m + n) x ( m 3n) ( mxm) 3( mxn) + ( nxm) 6( nxn) 3 ( mxn ) + nxm xb 3 nxm + nxm 5 nxm nxm 1 75 P xb 5( nxm) 5 n m sin Izrcunj xb ko je poznto: 3i j + k i b i + 3 j k i j k c xb 3 1 i j + k c i ( 1)( 1) ( 3) j 3 ( 1) + k 3 3 ( 1) 5i + 7j + 11k Vektori i mtrice 13
14 34. Izrcunj povrsinu trokut s vrhovim u A,3,5, B(4,,-1), C(3,6,4). 1 Povrsin trokut jednk je P xb Strnice trokut rcunmo prem: AB ( 4 ) i + ( 3) j + ( 1 5) k i j 6k AC ( 3 ) i + ( 6 3) j+ ( 4 5) k i + 3j k i j k P xb P 1 6 i j + k i j + k P Izrcunj volumen prlelopiped s strnicm 3i - j ; b j + k ; c i + 5 j + 4 k. Volumen prizme je jednk povrsini bze pomnozene s visinom: Ozncimo li visinu s vektorom, td je povrsin bze jednk vektorskom produktu vektor b i c. i j k i j k Volumen iznosi: V b c b b b b b b Zmijenimo: i j k i j k i j k i j k i j k V b c b b b i j k c c c c c c ci cj ck P rvilo vrijedi i kd vektori zmijene mjest: b c b c c b Vektori i mtrice 14
15 36. Izrcunj jedndzbu plohe koj lezi n vrhovim rdij-vektor. Vrhovi rdij-vektor imju koordinte: A(3,1,-), B(-1,,4), C(,-1,-1). Vektori koji spjju vrhove zdnih rdij-vektor cine trokut koji lezi n trzenoj rvnini. Ozncimo vektor, strnicu R1R r - r1 ; b R1R3 r3 - r1 ; c R1R r- r1 Posto vektori leze n rvnini, vrijedi: RR RR RR 0 ( r- r ) ( r ) ( r-r1) ( r-r1) ( r-r ) i j 1 k i j k ( r -r ) ( r -r ) ( r -r ) -r r -r 0 r -r r -r r -r i 3 1 j 3 1 k x x y y z z x x y y z z x x y y z z Odredimo rdij-vektore: r xi + yj + zk r1 3i + j k r i + j + 4k r3 i j + k r r x i + y j + z+ k ( - 1 ) ( 3) ( -1) ( r -r1) 4i + j + 6k ( r3 -r1) i j + 3k ( r-r1) ( r -r1) ( r3 -r1) {( x ) i ( y ) j ( z ) k} { i j k} { i j k} i j k r-r r -r r -r x 3 i + y-1 j + z+ k { } ( r-r1) ( r -r1) ( r3 -r1) {( x 3) i + ( y-1) j + ( z+ ) k} { 15i + 6j + 9k} 0 {( x ) i ( y ) j ( z ) k} { i j k} ( x ) ( y ) ( z ) x+ y+ 3z 11 0 je trzen jedndzb rvnine. Drugi ncin rjesvnj je koristenje rnije spomenute jedndzbe u obliku determinnte: x x y y z z x x y y z x 3 y 1 z+ z x x y y z z x y z+ 0 Jedndzb rvnine: 5x+ y+ 3z 11 0 Vektori i mtrice 15
16 37. Vektori i + j k i b i 3 j + k cine dijgnle prlelogrm. Izrcunj kut medju dijgonlm. Prv dijgonl: d1 + b i + j k + i 3 j + k 3i j Drug dijgonl: d b i + j k ( i 3 j + k) i + 4j k i j k 3 0 d1 d 1 4 d d bsinϕ sin ϕ 1 dd i+6j+14k sinϕ ϕ tn Zdni su vektori: i + j ; b i 3 j + k i c 4 j 3 k. Izrcunj: ( b) c; ( b c) i zkljuci jesu li t dv produkt jednk. i j k b i 1 0 j k 3 i j 5 k 3 1 i j k b c i j 5k 4j 3k { } i j k 4 0 b c 3i + 3 j + 4 k i j k b c 3 1 i 9 4 j k 8 0 5i + 6j + 8 k i j k b c i + j 5i + 6j + 8k i 8 0 j k 6 5 { } ( ( b c) 8i 8j + k Zkljucujemo d je : c b c ) Vektori i mtrice 16
17 39. Izrcunj jedinicni vektor p0 koji lezi n rvnini sto g cine vektori b i c okomit je n vektor. i j + k ; b i + j k; c i + j k rzeni vektor: p p i + p j + p k lezi n rvnini koju cine i b. Znci vrijedi: x y z px py pz px py pz b c p 0 b b b x y z cx cy cz 1 1 p px ( 4+ 1) py ( + 1) + pz ( 1 ) 3px + py pz 0 Iz uvjet p slijedi: p 0 p + p + p p 1p + 1p 0 x x y y z z x y z 3 0 Rijesimo sistem jedndzbi : px + py pz p x 0 p y px 1py + 1pz 0 Jedinicni vektor: p0 p x + p y + p z 0 + p y + p y p y py p j + k p Z zdne vektore: i j + k ; b 3 i + k; c j k izrcunj ( + b)( b + c) c Zdtk mozemo izrcunti n dv ncin: 0 p z 0 1. ( + b)( b + c) c ( + b) b c + c c + b b c b c + b b c x y z ( + b)( b + c) c ( b c) bx by bz c c c Uvedimo vektor: u + b i j + k + i + j k 4i j + k v b + c i + j k + i + j k i + j Zmijenimo: ( ) ( ) 3 x y z ux uy uz 4 + b b + c c u v c u v c v v v u v c x y z c c c x y z Vektori i mtrice 17
18 17.3 Opcenito o kvdrtnim mtricm Mtric je uredjen tblic relnih brojev. Sstoji se od element gdje je s i ozncen broj retk s j broj stupc. Kvdrtn mtric drugog red im dv red i dv stupc Mtric se ozncv n slijedeci ncin: A 1 - je cln u prvom redu i prvom stupcu - je cln u prvom redu i drugom stupcu je cln u drugom redu i prvom stupcu - je cln u drugom redu i drugom stupcu 1 x Mtric s smo jednim stupcem nziv se vektor mtric: V y z Dvije mtrice su jednke ond i smo ond ko su im odgovrjuci clnovi jednki: b b A B b b ( ) A B b, b, b, b rnsponirn mtric A, mtrice A, se dobije tko, d se u mtricu A upisu u redove clnovi stupc mtrice A. A A Mtric A oblik mxn postje A oblik ij ji Zbroj mtric: Dvije mtrice se zbrjju tko, d se zbroje odgovrjuci clnovi mtrice b11 b b b1 Rezultt se upisuje u mtricu istog red: 1 + b1 b 1 + b1 + b Umnozk broj i mtrice: Broj se mnozi mtricom tko, d se svki elemet mtrice pomnozi s 11 1 λ11 λ1 tim brojem. Rezultt je mtric istog red: λ λ λ Nul-mtric je mtric koj im sve clnove jednke nuli Zbrjnje mtric istog red, svodi se n poznte zkone zbrjnj uz uvjet, d se rcunske opercije vrse s istim clnovim mtrice. Rezultt je uvijek mtric jednkog red: ( ) ( A+B) + + ( + ) ( A+ B) A+ B ( + ) A A+ A A ( A) A B B A A B A B C A B C λ λ λ λ µ λ µ λµ λ µ ij nxm Mnozenje mtric: Mnozenjem dviju mtric A i B dobije se opet mtric, C. Mnozenje se vrsi n slijedeci ncin: Prvi cln rezultntne mtrice, c dobije se tko, d se clnovi prvog red mtrice A pomnoze 11 sklrno s prvim stupcem mtrice B. Drugi cln c se dobije sklrnim mnozenjem prvog red mtrice A s drugim stupcem mtrice B, itd. 1 Vektori i mtrice 18
19 b b ( ) c ( ) ( b + b ) c ( b + b ) c b b b b b1 b c Mnozenje mtric nije komuttivno: AB nije jednko BA Regulrn ili invertibiln mtric je on mtric z koju vrijedi: AB BA I Ako nije invertibiln, mtric je singulrn Inverzn mtric se ozncv s A i zdovoljv uvjet: AB BA A A A A I Inverzn mtric zdovoljv mtricnu jedndzbu AX B A A ( AX) A B ( A A) X A B X A B b Inverzn mtric z kvdrtnu mtricu drugog red A rcun se ovko: c d 1. Izrcunmo determinntu deta i ko je A regulrn, tj. deta 0, postoji inverzn mtric A -1 1 d b. Inverzn mtric jednk je izrzu: A det A c Inverzn mtric z kvdrtnu mtricu treceg red A rcun se ovko: 1. Izrcunmo determinntu deta i ko je A regulrn, tj. deta 0, postoji inverzn mtric A. Izrcunmo trnsponirnu mricu mtrice A tko sto izrcunmo pod-determinntu svkog cln mtrice A: Pdet11 Pdet 3 1 Pdet Pdet 1 Pdet Pdet Pdet31 Pdet3 Pdet Pdet Pdet Pdet rnsponirn mtric im oblik: A Pdet Pdet Pdet Pdet Pdet Pdet Inverzn mtric jednk je izrzu: A 4. A se dobije tko d se elementi mtrice zmi dijgonlne osi A det A jene njest preslikvnjem oko glvne Vektori i mtrice 19
20 17.4 Rjesvnje kvdrtnih mtric 1. Npisi mtricu 3. red kojoj je opci cln dn izrzom i j A ij. Izrcunj 3. Izrcunj ( 1) ( 6) Izrcunj A+ B C z A 0 1 3, B 0 1 1, C A B C ( 1) ( 5) 3+ ( 1) ( 3) ( 3) Izrcunj ( 1) Izrcunj Izrcunj Vektori i mtrice 0
21 B A I I A A A A A A B 5A 3I Izrcunj 5 3 ko je A jedinicn mtric Izrcunj trnsponirnu mtricu A z A A Izrcunj A+B ko je A 1, B B B A+ B Vektori i mtrice 1
22 3 11. Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A 1 Determinnt deta: det A Inverzn mtric postoji. Inverzn mtric A -1 1 d b det A c Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A 4 Determinnt deta: det A Inverzn mtric postoji. Inverzn mtric A d b det A c Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A Determinnt deta: det A Inverzn mtric postoji. Inverzn mtric A d b det A c i Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A i imgintn jedinic, i -1 Determinnt deta: det A postoji. Inverzn mtric A A -1-1 A i + i i+ i i i+ i i + i 1 + i 1 1 d b 1 1+ i 1 i ( 1+ i) i+ i det A c i( 1 + i) 0 i i 0 i( 1+ i) ( i 1) 1 i 1 + i i+ 1 i 1 + i i i i i + 1 ( i 1)( i+ 1) 4 i i( i+ 1) 1 + i 1 + i sin x cos x 15. Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A cos x sin x Determinnt deta: det A sin x sin x+ cos xcos x 1 0. Inverzn mtric postoji. sin cos sin cos -1 1 d b x x x x Vektori Inverzn i mtrice mtric A 1 det A c cos x sin x cos x sin x
23 sin cos sin cos -1 1 d b x x x x Inverzn mtric A 1 det A c cos x sin x cos x sin x Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A Izrcunjmo determinntu A: det A det 1 0 ( )( 1) Pod-determinnte mtrice izgledju ovko: Pdet ( ) Pdet Pdet { } 1 13 Pdet Pdet 1 { ( ) ( ) } Pdet Pdet Pdet Pdet { ( ) } ( )( ) { ( ) } ( 1) Mtric prije trnsponirnj im oblik: Pdet Pdet Pdet A Pdet Pdet Pdet Pdet Pdet Pdet rnsponirjmo mtricu A: A Vektori i mtrice 3
24 A det A Inverzn mtric A Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A Izrcunjmo: det A det A Pod-determinnte mtrice izgledju ovko: Pdet { } Pdet Pdet { } Pdet Pdet { } Pdet Pdet { } Pdet Pdet Vektori i mtrice 4
25 Mtric prije trnsponirnj im oblik: Pdet Pdet Pdet A Pdet Pdet Pdet Pdet Pdet Pdet rnsponirjmo mtricu A: 6 3 A A det A Rijesi mtricnu jedndzbu AX B ko je A i B Rjesiti jedndzbu znci: AX B X A B Odredimo nj prije A d b 1 det A det A 3 7 det A c X A B Rijesi mtricnu jedndzbu AXB C ko je A B i C Prvi kork rjesenj se svodi n: 1 AXB C XB A C d b 1 det A det A 3 det A c XB A C X X X CD D C 1 Vektori i mtrice 5
26 Inverzn mtric D : det D D X CD Pomnozi: AB Vektori i mtrice 6
c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Διαβάστε περισσότεραRijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραOSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
Διαβάστε περισσότεραdužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
Διαβάστε περισσότεραOdredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f
Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n
Διαβάστε περισσότεραA MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1
A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte
Διαβάστε περισσότερα= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
Διαβάστε περισσότεραOpćenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Διαβάστε περισσότερα1 Ekstremi funkcija više varijabli
1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,
Διαβάστε περισσότερα( ) p a. poklopac. Rješenje:
5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p
Διαβάστε περισσότεραγ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2
Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,
Διαβάστε περισσότεραSkalarni umnozak vektora je skalar: a b = a b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor a i b.
5. VEKTORI U PROSTORU 5. Opcenito o vektorima a Jedinicni vektor (ort) je vektor sa intenzitetom. a a a Zbroj dva vektora je vektor: a+ b c. Graficki, zbroj se dobije ulancavanjem dva vektora. Na kraj
Διαβάστε περισσότεραPoučak o kosinusu (kosinusov poučak) U trokutu ABC vrijede ove jednakosti b + c a a + c b a + b c.
Zdtk 4 (4, TUŠ) Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnie duljin 7 m, 8 m i 9 m? Rješenje 4 Trokut je dio rvnine omeñen s tri dužine Te dužine zovemo strnie trokut Nsuprot većoj strnii u trokutu
Διαβάστε περισσότεραd(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ]
-- 71 -- 7.2. KOORDINATNI SISTEM-KOORDINATIZACIJA Podsjetimo se pojmov dimenzij i bz prostor: ''Njveći'' broj linerno nezvisnih vektor u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostor. Ako je
Διαβάστε περισσότεραx y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?
MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj
Διαβάστε περισσότεραSpecijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.
Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u
Διαβάστε περισσότεραMimoilazni pravci. Ela Rac Marinić Kragić, Zagreb
Mimoilzni prvci El Rc Mrinić Krgić, Zgreb Dv se prvc u rvnini ili sijeku ili ne sijeku. Ako se sijeku, sjecište može biti jedn tok, prvci se mogu i poklpti. Ovj drugi sluj zjedno s slujem kd dv prvc nemju
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραPriprema za ispit - RJEŠENJA
Priprem z ispit - RJEŠENJA 1. Odredi duljinu strnie i kutove trokut ABC ko je = 16 m, = 11.2 m te + = 93⁰. = 16 m = 11.2 m + = 93⁰,,, =? Njprije ćemo izrčunti kut jer je = 180⁰ - ( + ) = 87⁰ No, sd znmo
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραOdred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
Διαβάστε περισσότεραKoliko sati toga dana je razina vode bila iznad 30 cm? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 13 Rješenje: E. Rješenje: A A) 1 B) 2 C) 6 4 D) 3 4 E) 2.
MATEMATIČKI KLOKAN S 6 700 000 sudionik u zemlji Europe, Amerike, Afrike i Azije Četvrtk,. ožujk 0. Trjnje 7 minut Ntjecnje z Student (IV. rzred SŠ) * Ntjecnje je pojedinčno. Rčunl su zbrnjen. * Svki zdtk
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1
PISMENI ISPIT IZ KLASIČNE MEHANIKE I 3.. 9. Zdtk Čestic mse m izbčen je s površine Zemlje pod kutem α brzinom v. Ako je otpor zrk proporcionln trenutnoj brzini konstnt proporcionlnosti je ), izrčunjte
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα( ) ( )
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 9. siječnj 05. 4. rzred-rješenj OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ
Διαβάστε περισσότεραα =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.
Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6
Διαβάστε περισσότερα1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότερα4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje
sklr VEKTORI (m h) velčn ko e potpuno određen relnm roem (sklrom) Prmer ms, energ, tempertur, rd, sng, oum tel vektor dužn kod koe e određeno ko e nen run točk početn, ko vršn nv se usmeren dužn l vektor
Διαβάστε περισσότεραVALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
Διαβάστε περισσότεραREPETITORIJ MATEMATIKE za studente elektrotehnike
REPETITORIJ MATEMATIKE z studente elektrotehnike Bojn Kovčić Luk Mrohnić Tihn Strmečki Tehničko veleučilište u Zgrebu Predgovor Ovj priručnik nmijenjen je studentim 1. godine stručnih studij elektrotehnike
Διαβάστε περισσότεραSLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραFormule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov
Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραKUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
Διαβάστε περισσότεραMetode rješavanja izmjeničnih krugova
Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότερα!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.
..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότεραΔιευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.
Διαβάστε περισσότεραIstosmjerni krugovi. 1. zadatak. Na trošilu će se trošiti maksimalna snaga u slučaju kada je otpor čitavog trošila jednak unutrašnjem otporu izvora.
Strnic: X stosmjerni krugovi Prilgođenje n mksimlnu sngu. Rješvnje linernih mrež: Strnic: X. zdtk Otpor u kominciji prem slici nlzi se u posudi u kojoj vld promjenjiv tempertur. Pri temperturi ϑ = 0 C,
Διαβάστε περισσότεραParts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραOsnove inženjerskog proračuna
Osnove inženjerskog prorčun Skript z studente Sveučilišt Sjever Ktrin Pisčić, UNIN 04. Kut Kut je dio rvnine omeđen s dv prvc koj se sijeku. Obično se obilježv kružnim lukom među prvcim. Ako je duljin
Διαβάστε περισσότεραC 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
Διαβάστε περισσότεραSINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
Διαβάστε περισσότεραΑυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.
Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
Διαβάστε περισσότεραhttp://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584
Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραPopis zadataka. 1. Odredi Re
Pops zdtk. Odred Re. Odred, ko vrjed: (-) +(-b) = (-b). Zbroj znmenk dvoznmenkstog broj jednk je, umnožk. Koj je to broj?. U koordntnom sustvu prkž grf funkcje f() = -(+)(-). Izrčunj vrjednost ostlh funkcj
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi
MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni
Διαβάστε περισσότεραМногоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла. Obele`i svaki mnogougao, a zatim napi{i kojoj vrsti po broju stranica pripada.
Многоугао Многоугао, странице и дијагонале. Број дијагонала многоугла 1 Obele`i svki mnogougo, ztim npi{i kojoj vrsti po broju strnic pripd. Petougo Ncrtj osmougo FGH. Obele`i wegov temen. ) Npi{i temen
Διαβάστε περισσότεραVektori u ravnini. - Nije bitan redoslijed AB ili BA
Vektor u rnn. Osnon pomo o ektorm Skup sh tok prc p zmeu ukluuu nh sme ne dužnu Ne tn redosled l e poetn tok e zršn tok odsek n prcu p Defnc: Usmeren odsek od toke ko poetne toke do toke ko zršne toke
Διαβάστε περισσότεραElektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:
tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραAlgebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske
Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.
Διαβάστε περισσότεραKinematika materijalne toke. 3. dio a) Zadavanje krivocrtnog gibanja b) Brzina v i ubrzanje a
Kinemik meijlne oke 3. dio ) Zdnje kiocnog gibnj b) Bzin i ubznje 1 Kiocno gibnje meijlne oke Položj meijlne oke u skom enuku emen možemo definii n slijedee nine: 1. Vekoski nin defininj gibnj (). Piodni
Διαβάστε περισσότεραΛύση Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι διάφορη του μηδενός =
7. Άσκηση 1 2 1 Εστω ο πίνακας A = 1 3 2. Να δειχθεί ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιμοςκαιστησυνέχειαναυπολογιστείοαντίστροφος. 1 0 1 Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραBudući da je u jednakokračnom pravokutnom trokutu visina osnovice jednaka polovini osnovice, vrijedi: a 2
Zdtk (Romn, gimnzij) Sdnji jdnkokčnog tpz im duljinu 5 ko su dijgonl mđusono okomit, kolik j njgo pošin? Rjšnj udući d j u jdnkokčnom pokutnom tokutu isin osnoi jdnk poloini osnoi, ijdi: x = + = x + y
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραNeodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
Διαβάστε περισσότεραТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
Διαβάστε περισσότεραFURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENI 2000/2001. TEHNIČKE FAKULTETE PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNU PRIPREMU PRIJEMNOG ISPITA NA
POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNU PRIPREMU PRIJEMNOG ISPITA NA TEHNIČKE FAKULTETE 000/00. Zdte riješili i grfiči obrdili * IANA i MLADEN SRAGA * Tehniči-fulteti 000./00. Zdci su uzeti iz
Διαβάστε περισσότεραPolinomijalna aproksimacija
1 Polinomijln proksimcij 1.1 Problem njbolje proksimcije Rzmotrimo ponovo problem u kojem je zdn tblic brojev x x 0 x 1 x x 3 x 4 x n y y 0 y 1 y y 3 y 4 y n (1.1) z koju treb nći funkciju f koju t tblic
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραIZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
Διαβάστε περισσότεραÈ http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron
À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß
Διαβάστε περισσότεραFunkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
Διαβάστε περισσότεραGRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραMarch 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
Διαβάστε περισσότερα