Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu"

Transcript

1 17. VEKORI I KVADRANE MARICE 17.1 Opcenito o vektorim Vektor je usmjeren duzin i zto im: pocetk (hvtiste), krj i smjer. Vektor se ozncv s oznkom n pr.: rpq,, Duzin PQ ili r nziv se duzin vektor, intenzitet ili norm vektor PQ ili r. Prvc n kojem lezi vektor je nosc vektor. Kolinerni vektori su oni, koji leze n prlelnim prvcim. Z njih vrijedi k b ili ko su suprotni vektori, td vrijedi k b. Vrijednost k je sklr. Sklr je ktegorij, broj, koji nem krkteristike vektor. Nul-vektor je vektor s duzinom 0 i kolinern je s svkim vektorom. Jedinicni vektor (ort) je vektor s intenzitetom Dv vektor su jednk ko imju jednku duzinu i smjer (orijentciju). Zbroj dv vektor je vektor: + b c. Zbroj se dobije ulncvnjem dv vektor. N krj prvog trnslcijom se dod pocetk drugog vektor. Rezultt je vektor koji im duzinu od pocetk prvog do krj drugog vektor. Oduzimnje vektor je dno izrzom: b + ( b) c. Oduzimnje se izvodi tko sto se n pocetk prvog vektor trnslcijom dod pocetk drugog vektor. Rezultt, vektor c, im duzinu od krj drugog do krj prvog vektor (vidi zdtk u nstvku) Kolinerni vektori su linerno zvisni. Linerno nezvisni vektori su oni vektori z koje vrijedi: λ + λ Linerno nezvisni vektori cine bzu vektorskog prostor: V z rvninu i V z prostor. Bz vektorskog prostor dn je s tri uredjen jedinicn vektor i, j, k koji su linerno nezvisni. 3 Svki vektor se moze rstviti n komponente. Z prostor V im oblik: xi + y j + zk ( x, y, z) Sklrni umnozk vektor je sklr: b b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor i b. Z ϕ 0 ili b ( xi + y j + zk) ( bxi + by j + bzk) xbx + yby + zbz i i j j k k 1 i j j k k i 0 Vektorski umnozk dv vektor je vektor: b c koji je okomit n i b. Vektori b, i ccine desni sustv. c b b sin b, Vektori i mtrice 1

2 Vektorski umnozk jedinicnih vektor u desnom sustvu: ixi 0 jxj 0 kxk 0 ixj k jxk i kxi j jxi k kxj i ixk j i j k b b x y z S sinϕ b b b b x y z Apsolutn vrijednost vektorskog produkt dv vektor jednk je povrsini prlelogrm sto g ztvrju zdni vektori. Mjesoviti umnozk vektor ozncv se s bc,, ( b c) ( b) c b c b c V b c b b b sinϕ cosψ x y z x y z c c c x y z Apsolutn vrijednost mjesovitog umnosk vektor, jednk je volumenu prizme koju ztvrju vektori. 17. Osnovne opercije s vektorim 1. ock S je sjeciste dijgonl prlelogrm ABCD. Izrcunj vektorski zbroj SA + SB + SC + SD. Iz slike je vidljivo, d je SA SC i SB SD SA + SB + SC + SD 0 Vektrorski zbroj zdnih vektor jednk je nuli.. U prvilnom sesterokutu ABCDEF, poznti su vektori AB m i BC n. Izrzi vektore CD, DE, EF, FA, AC, AD i AE pomocu vektor m i n. Iz slike je vidljivo, d je: CD BS BA + AS m + n DE m EF n FA CD m n AC m + n AD n AE AD + AD m n Vektori i mtrice

3 3. Zdni su vektori prem slici. Izrcunj zbroj vektor AB + AC+ AD Vidljivo je, d je AB + AD AC dijgonl prvokutnik ABCD Prem tome je: AB + AD + AC AC + AC AC AC 4. Zdn su tri jedinicn vektor koji zdovoljvju uvjet + b+ c 0 Izrcunj zbroj b + b c + c Iz zdnog uvjet proizilzi, d zdni vektori cine jednkostrnicn trokut. Kut izmedju vektor je u tom slicju 10. Dlje slijedi: 1 b b cos cos10 cos( ) sin 30 1 b c b c cos cos10 cos( ) sin 30 1 c c cos cos10 cos( ) sin b + b c + c 3 Vektori i mtrice 3

4 5. Zdn je trokut ABC i teziste u tocki. Odredi zbroj vektor A + B+ C Ndopunimo li trokut AC u prlelogrm ACD mozemo postviti: A + B + C A + C + B D + B 0 D Vektori D i B su suprotni i njihov je zbroj nul. 6. Zdn si tri vektor koji cine trokut: BC, b CA i c AB. Izrcunj vektore tezisnic trokut AF, BD i CE Iz ABF immo: BF Iz AFC immo: AF b + c + b Iz BCD immo: BD + b c c c b c BD c c b b b CE b + c b CE b 7. Iz vrh C trokut povucen je tezisnic C n bzu trokut ABC u tocki. Izrzi vektor tezisnice C ko linernu kombinciju vektor strnic CA i CB. Iz ABC immo: () 1 C CA+ A ( ) C CB+ B zbrojimo ( 1) i C CA+ A + CB+ B iz slike vidimo: A B CA + CB CA CB C CA + CB C + Vektori i mtrice 4

5 8. Iz tocke C povucen su tri vektor b, i c. Krjevi vektor leze n prvcu p, s pripdjucim tockm A, B i. ock dijeli duzinu izmedju A i B u omjeru x: y, uz uvjet d je x+ y 1. Dokzi d je c x+ yb. 1 Iz zdtk 7. znmo, ko tock lezi n polovistu bze c ( + b). U ovom slucju je: c CB+ B b + x b x+ 1 x b x yb 9. Zdn je trpez ABCD. Dokzi d su vektori dijgonl AC i DB kolinerni s vektorom bze AB. Iz slike je vidljivo: AC AD+ DC AD+ λ AB DB AB AD AC + DB AD + λ AB + AB AD λ + 1 AB 10. Zdn je trpez ABCD. Dokzi d je sredisnjic trpez jednk polovici zbroj 1 prlelnih strnic S ( AB+ DC) Iz slike je vidljivo: AP + PQ + QB AB AP DP AB + DC DP + PQ + QC DC zbrojimo PQ AB + DC PQ S Vektori i mtrice 5

6 11. Zdni su vektori 3i + 4 j i b i j. Odredi intenzitet i smjer vektor, b, + b i. ( b ) ϕ ϕ 3 5 Z 3i 4 j immo: tn cos ϕ Z b i j immo: b tnϕ cos ϕ b 5 ϕ Z + b immo: 3i + 4 j + i j 5i + 3 j; + b tnϕ cos ϕ ϕ b 34 Z b immo: i j 3i + 4 j i 5 j; b tnϕ 5 cosϕ ϕ b 6 1. Vektori u i v su kolinerni. Odredi broj x tko, d vektori ( x 1 ) u + v i b 3u + x+ 1 v budu kolinerni. Iz uvjet kolinernosti dobijemo: x 1 u + v + 3u + x+ 1 v 0 x u + v +v + u 0 x ( u + v) ( u + v) Uvrstimo u zdni izrz: 1 u + v 3u + v b 3u v 3u v b Z x immo: 1 u + v u + v b 3u v 3 u + v 3 b 3 Vektori i mtrice 6

7 13. Vektor rstvi n vektorske komponente okomite i prlelne vektoru b. Rstsvimo vektor n komponente x i y : x+ y x mb Iz uvjet okomitosti: y b 0 y x mb b b y b ( mb) b b m b 0 m odnosno: x mb b b b b b y mb b Sklr je projekcij vektor n vektor b. b b b b Vektor je vektorsk projekcij vektor n vektor b. b b 14. Vektori i b su nekolinerni. Odredi relni broj x tko, d vektori m ( x+ ) + b i n x+ ( x 1 ) b postnu kolinerni suprotnog smjer. Iz uvjet kolinernosti: m k n immo: x 1 i x odnosno; Z x 1: m 1+ + b + b n b b klinerni i suprotni Z x : m + + b 4+ b n + 1 b 4 + b vektori su jednki 15. Vektor 4i + 3 j rstvi n vektore 1 prleln i okomit vektoru b 3 i + j. b Iz rnijeg zdtk br.13 immo m b ( ) Sd je: 1 mb ( 3i + j ) i + j ( 4i + 3j) i + j i + j Vektori i mtrice 7

8 16. Odredi vektor k tko, d z vektore i j i b 3i + j vrijedi: k 7 i b k 7. Ozncimo k mi + nj i upisimo sklrni umnozk dv vektor k ( i j)( mi + nj) : k ( i j )( mi + nj ) mi i + ni j m j i n j j m n 7 Vektori i mtrice Z drugi dio zdtk immo: b k 3i + j mi + nj 3mi i + 3ni j + m j i + n j j 3m+ n Rijesim te dvije jedndzbe s dvije nepoznnice: m n 7 3m+ n 7 m 3; n 1 rzeni vektor im oblik: k mi + nj 3 i j. 17. Izrcunj umnozk 3 ko je, 3 i, b 3 ( b) ( + b) b ( b) ( b ) ( b ) b b bb b b 1 3b 3 bcos( 10 ) ( 3 b + 9 ) ( b ) 3π 18. Odredi duzinu vektor k 3+ b ko je, b i (, b). 4 D bi odredili duzinu vektor k, mormo izrcunti njegovu psolutnu vrijednst: k 3 + b b + b 9 + 1b + 4b 9 ( k) 3π b + 4 1b 1 b cos k Odredi kut izmedju dijgonl prlelogrm ABCD ko je AB 4i 3 j i AD b 6 i + j. Iz slike je vidljivo d je: AC + b 4i 3 j + 6i + j 10i j AC BD b ( 6i + j ) ( 4i 3j) i + 4 j BD b Iz sklrnog umnosk dobijemo: b b cosϕ ϕ rcos b AC BD AC BD + AC BD i i j j ϕ r cos r cos r cos

9 0. Vektori 7 5 b i + 3 b, su medjusobno okomiti ko i 7 b i 4 b. Izrcunj kut izmedju vektor i b. Iz uvjet okomitosti: ( 7 5b)( + 3b) 7 5b 1b 15 b 0 i 7 b 4b 7 b 8b + 8 b 0 sredimo i zbrojimo b 15b b + 8 b 0 oduzmimo drugu od prve jedndzbe b 3 b 0 b b b b cosϕ b cosϕ ϕ Vektori + kb i b medjusobno su okomiti. Izrcunj fktor k ko je kut izmedju vektor i b, ϕ 10 i b. Iz uvjet okomitosti: ( + kb)( b) 0 + ( k 1) b k b 0 nkon zmjene b i b b cos ( k 1) b 4k 0 + ( k 1)( ) 4 k ( -5k) 0 k 5. Izrcunj + b i b ko je poznt kut izmedju vektor (, b) 60 i ko je 5, b b +b + b + b cosϕ + b b 109 b b + b b cs o ϕ + b 5 b Vektori i mtrice 9

10 3. Izrcunj ( 4 b)( + 3 b) ko je, b 3 i kut izmedju i b iznosi 10. ( 4 b)( + 3b) 8 +1b b + 3b b bcosϕ ( b)( b ) 4. Zdni su vektori AB 3i j i AC 7i + 4 j. Dokzi d trokut ABC koji cine vektori prvokutn. BC AC AB 7i + 4j 3i j 4i + 6j Iz uvjet okomitosti: AB BC 0 AB BC 3i j 4i + 6 j 1ii + 18ij 8ij 1 jj Vektori su okomiti i trokut je prvokutn. π 5. Zdni su vektori m α+ 17 b i n 3 b uz, b 5 i (, b). 3 Izrcunj koeficijent α tko d vektori budu okomiti. Iz uvjet okomitosti: m n 0 ( α+ 17b) ( 3 b) 0 b α+ 17b 3 b 3α αb + 51b 17 b 3α + 51 α 17 5 π 1 b b cos ( α+ 17b) ( 3 b) 1α + ( 5)( 51 α) 45 17α α Vektori i mtrice 10

11 6. Zdni su vektori i + 1 j k i b αi + j + k. Izrcunj koeficijent α tko d vektori budu okomiti. ( α ) Iz uvjet okomitosti: b 0 b + b + b 0 α i i j j k k α α ( α ) 3α 3 α 1 7. Vektor i + α j + βk okomit je n vektore b i j + k i c i + j + k. Izrcunj koeficijente α i β. Iz uvjet okomitosti: b 0 b i i+ jbj+ kbk β 0 c 0 b + b + b β 0 i i j j k k Rijesimo te dvije jedndzbe: 1 α + 0 α β Izrcunj vektor c koji je okomit n vektor 3i + j k i vektor b 4i j + 3 k. i j k i j k Iz vektorskog umnosk immo: c xb 3 1 x y z b b b x y z Determinntu rijesimo skrcenim postupkom: i j k i j k i j i1+ 4 j + k3 1 1k4 1 i 3j i 17 j 7k Sd mozemo ispitti okomitost prov vektor: c c i i + cjj + ckk c b cb + c b + c b 14 + i i j j k k ( 17)( 1) + ( 7) Vektori i mtrice 11

12 9. Izrcunj povrsinu prlelogrm odredjenog s vektorim 3i j + k i b i + j k. i j k i j k Iz vektorskog umnosk immo: c xb 3 1 x y z b b b x y z 1 1 Determinntu rijesimo skrcenim postupkom: i j k i j k i j i 1+ j1 1 + k 1 i j i + j + k xb Povrsin prlelogrm iznosi 35 kvdrtnih jedinic 30. Izrcunj kut izmedju dijgonl prelelogrm kojeg cine vektori i + j k i b i 3 j + k. Iz slike vidimo: AC d1 + b i + j k + i 3 j + k 3i j DB d b i + j k ( i 3j + k ) i + 4j k dxd 1 Kut medju dijgonlm iznosi: sin ϕ d d 1 i j k i j k i j dxd i + 1k + k + 6 j 4i + 6 j+ 14k dxd d1 3 + ( ) 13 d ( ) 1 dxd sin ϕ ϕ rcsin 65.8 d d Vektori i mtrice 1

13 31. Izrcunj povrsinu prelelogrm koji im z dijgonle vektore d1 m n i d 3m 4 n i ko su m i n jedinicni vektori pod kutem od ϕ dxd 1 P d1 d dxd m n x 3m 4n 3 mxm 4 mx ( ) ( ) ( n ) + ( nxm ) + ( nxn ) ( mxn) ( nxm) ( mxn) dxd dxd 1 ( mxn) nxm n msin P d d Izrcunj povrsinu prelelogrm koji im strnice m+ n i b m 3 n i ko je m 5 i n 3 i kut medju njim α 30. P xb b sinϕ xb ( m + n) x ( m 3n) ( mxm) 3( mxn) + ( nxm) 6( nxn) 3 ( mxn ) + nxm xb 3 nxm + nxm 5 nxm nxm 1 75 P xb 5( nxm) 5 n m sin Izrcunj xb ko je poznto: 3i j + k i b i + 3 j k i j k c xb 3 1 i j + k c i ( 1)( 1) ( 3) j 3 ( 1) + k 3 3 ( 1) 5i + 7j + 11k Vektori i mtrice 13

14 34. Izrcunj povrsinu trokut s vrhovim u A,3,5, B(4,,-1), C(3,6,4). 1 Povrsin trokut jednk je P xb Strnice trokut rcunmo prem: AB ( 4 ) i + ( 3) j + ( 1 5) k i j 6k AC ( 3 ) i + ( 6 3) j+ ( 4 5) k i + 3j k i j k P xb P 1 6 i j + k i j + k P Izrcunj volumen prlelopiped s strnicm 3i - j ; b j + k ; c i + 5 j + 4 k. Volumen prizme je jednk povrsini bze pomnozene s visinom: Ozncimo li visinu s vektorom, td je povrsin bze jednk vektorskom produktu vektor b i c. i j k i j k Volumen iznosi: V b c b b b b b b Zmijenimo: i j k i j k i j k i j k i j k V b c b b b i j k c c c c c c ci cj ck P rvilo vrijedi i kd vektori zmijene mjest: b c b c c b Vektori i mtrice 14

15 36. Izrcunj jedndzbu plohe koj lezi n vrhovim rdij-vektor. Vrhovi rdij-vektor imju koordinte: A(3,1,-), B(-1,,4), C(,-1,-1). Vektori koji spjju vrhove zdnih rdij-vektor cine trokut koji lezi n trzenoj rvnini. Ozncimo vektor, strnicu R1R r - r1 ; b R1R3 r3 - r1 ; c R1R r- r1 Posto vektori leze n rvnini, vrijedi: RR RR RR 0 ( r- r ) ( r ) ( r-r1) ( r-r1) ( r-r ) i j 1 k i j k ( r -r ) ( r -r ) ( r -r ) -r r -r 0 r -r r -r r -r i 3 1 j 3 1 k x x y y z z x x y y z z x x y y z z Odredimo rdij-vektore: r xi + yj + zk r1 3i + j k r i + j + 4k r3 i j + k r r x i + y j + z+ k ( - 1 ) ( 3) ( -1) ( r -r1) 4i + j + 6k ( r3 -r1) i j + 3k ( r-r1) ( r -r1) ( r3 -r1) {( x ) i ( y ) j ( z ) k} { i j k} { i j k} i j k r-r r -r r -r x 3 i + y-1 j + z+ k { } ( r-r1) ( r -r1) ( r3 -r1) {( x 3) i + ( y-1) j + ( z+ ) k} { 15i + 6j + 9k} 0 {( x ) i ( y ) j ( z ) k} { i j k} ( x ) ( y ) ( z ) x+ y+ 3z 11 0 je trzen jedndzb rvnine. Drugi ncin rjesvnj je koristenje rnije spomenute jedndzbe u obliku determinnte: x x y y z z x x y y z x 3 y 1 z+ z x x y y z z x y z+ 0 Jedndzb rvnine: 5x+ y+ 3z 11 0 Vektori i mtrice 15

16 37. Vektori i + j k i b i 3 j + k cine dijgnle prlelogrm. Izrcunj kut medju dijgonlm. Prv dijgonl: d1 + b i + j k + i 3 j + k 3i j Drug dijgonl: d b i + j k ( i 3 j + k) i + 4j k i j k 3 0 d1 d 1 4 d d bsinϕ sin ϕ 1 dd i+6j+14k sinϕ ϕ tn Zdni su vektori: i + j ; b i 3 j + k i c 4 j 3 k. Izrcunj: ( b) c; ( b c) i zkljuci jesu li t dv produkt jednk. i j k b i 1 0 j k 3 i j 5 k 3 1 i j k b c i j 5k 4j 3k { } i j k 4 0 b c 3i + 3 j + 4 k i j k b c 3 1 i 9 4 j k 8 0 5i + 6j + 8 k i j k b c i + j 5i + 6j + 8k i 8 0 j k 6 5 { } ( ( b c) 8i 8j + k Zkljucujemo d je : c b c ) Vektori i mtrice 16

17 39. Izrcunj jedinicni vektor p0 koji lezi n rvnini sto g cine vektori b i c okomit je n vektor. i j + k ; b i + j k; c i + j k rzeni vektor: p p i + p j + p k lezi n rvnini koju cine i b. Znci vrijedi: x y z px py pz px py pz b c p 0 b b b x y z cx cy cz 1 1 p px ( 4+ 1) py ( + 1) + pz ( 1 ) 3px + py pz 0 Iz uvjet p slijedi: p 0 p + p + p p 1p + 1p 0 x x y y z z x y z 3 0 Rijesimo sistem jedndzbi : px + py pz p x 0 p y px 1py + 1pz 0 Jedinicni vektor: p0 p x + p y + p z 0 + p y + p y p y py p j + k p Z zdne vektore: i j + k ; b 3 i + k; c j k izrcunj ( + b)( b + c) c Zdtk mozemo izrcunti n dv ncin: 0 p z 0 1. ( + b)( b + c) c ( + b) b c + c c + b b c b c + b b c x y z ( + b)( b + c) c ( b c) bx by bz c c c Uvedimo vektor: u + b i j + k + i + j k 4i j + k v b + c i + j k + i + j k i + j Zmijenimo: ( ) ( ) 3 x y z ux uy uz 4 + b b + c c u v c u v c v v v u v c x y z c c c x y z Vektori i mtrice 17

18 17.3 Opcenito o kvdrtnim mtricm Mtric je uredjen tblic relnih brojev. Sstoji se od element gdje je s i ozncen broj retk s j broj stupc. Kvdrtn mtric drugog red im dv red i dv stupc Mtric se ozncv n slijedeci ncin: A 1 - je cln u prvom redu i prvom stupcu - je cln u prvom redu i drugom stupcu je cln u drugom redu i prvom stupcu - je cln u drugom redu i drugom stupcu 1 x Mtric s smo jednim stupcem nziv se vektor mtric: V y z Dvije mtrice su jednke ond i smo ond ko su im odgovrjuci clnovi jednki: b b A B b b ( ) A B b, b, b, b rnsponirn mtric A, mtrice A, se dobije tko, d se u mtricu A upisu u redove clnovi stupc mtrice A. A A Mtric A oblik mxn postje A oblik ij ji Zbroj mtric: Dvije mtrice se zbrjju tko, d se zbroje odgovrjuci clnovi mtrice b11 b b b1 Rezultt se upisuje u mtricu istog red: 1 + b1 b 1 + b1 + b Umnozk broj i mtrice: Broj se mnozi mtricom tko, d se svki elemet mtrice pomnozi s 11 1 λ11 λ1 tim brojem. Rezultt je mtric istog red: λ λ λ Nul-mtric je mtric koj im sve clnove jednke nuli Zbrjnje mtric istog red, svodi se n poznte zkone zbrjnj uz uvjet, d se rcunske opercije vrse s istim clnovim mtrice. Rezultt je uvijek mtric jednkog red: ( ) ( A+B) + + ( + ) ( A+ B) A+ B ( + ) A A+ A A ( A) A B B A A B A B C A B C λ λ λ λ µ λ µ λµ λ µ ij nxm Mnozenje mtric: Mnozenjem dviju mtric A i B dobije se opet mtric, C. Mnozenje se vrsi n slijedeci ncin: Prvi cln rezultntne mtrice, c dobije se tko, d se clnovi prvog red mtrice A pomnoze 11 sklrno s prvim stupcem mtrice B. Drugi cln c se dobije sklrnim mnozenjem prvog red mtrice A s drugim stupcem mtrice B, itd. 1 Vektori i mtrice 18

19 b b ( ) c ( ) ( b + b ) c ( b + b ) c b b b b b1 b c Mnozenje mtric nije komuttivno: AB nije jednko BA Regulrn ili invertibiln mtric je on mtric z koju vrijedi: AB BA I Ako nije invertibiln, mtric je singulrn Inverzn mtric se ozncv s A i zdovoljv uvjet: AB BA A A A A I Inverzn mtric zdovoljv mtricnu jedndzbu AX B A A ( AX) A B ( A A) X A B X A B b Inverzn mtric z kvdrtnu mtricu drugog red A rcun se ovko: c d 1. Izrcunmo determinntu deta i ko je A regulrn, tj. deta 0, postoji inverzn mtric A -1 1 d b. Inverzn mtric jednk je izrzu: A det A c Inverzn mtric z kvdrtnu mtricu treceg red A rcun se ovko: 1. Izrcunmo determinntu deta i ko je A regulrn, tj. deta 0, postoji inverzn mtric A. Izrcunmo trnsponirnu mricu mtrice A tko sto izrcunmo pod-determinntu svkog cln mtrice A: Pdet11 Pdet 3 1 Pdet Pdet 1 Pdet Pdet Pdet31 Pdet3 Pdet Pdet Pdet Pdet rnsponirn mtric im oblik: A Pdet Pdet Pdet Pdet Pdet Pdet Inverzn mtric jednk je izrzu: A 4. A se dobije tko d se elementi mtrice zmi dijgonlne osi A det A jene njest preslikvnjem oko glvne Vektori i mtrice 19

20 17.4 Rjesvnje kvdrtnih mtric 1. Npisi mtricu 3. red kojoj je opci cln dn izrzom i j A ij. Izrcunj 3. Izrcunj ( 1) ( 6) Izrcunj A+ B C z A 0 1 3, B 0 1 1, C A B C ( 1) ( 5) 3+ ( 1) ( 3) ( 3) Izrcunj ( 1) Izrcunj Izrcunj Vektori i mtrice 0

21 B A I I A A A A A A B 5A 3I Izrcunj 5 3 ko je A jedinicn mtric Izrcunj trnsponirnu mtricu A z A A Izrcunj A+B ko je A 1, B B B A+ B Vektori i mtrice 1

22 3 11. Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A 1 Determinnt deta: det A Inverzn mtric postoji. Inverzn mtric A -1 1 d b det A c Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A 4 Determinnt deta: det A Inverzn mtric postoji. Inverzn mtric A d b det A c Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A Determinnt deta: det A Inverzn mtric postoji. Inverzn mtric A d b det A c i Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A i imgintn jedinic, i -1 Determinnt deta: det A postoji. Inverzn mtric A A -1-1 A i + i i+ i i i+ i i + i 1 + i 1 1 d b 1 1+ i 1 i ( 1+ i) i+ i det A c i( 1 + i) 0 i i 0 i( 1+ i) ( i 1) 1 i 1 + i i+ 1 i 1 + i i i i i + 1 ( i 1)( i+ 1) 4 i i( i+ 1) 1 + i 1 + i sin x cos x 15. Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A cos x sin x Determinnt deta: det A sin x sin x+ cos xcos x 1 0. Inverzn mtric postoji. sin cos sin cos -1 1 d b x x x x Vektori Inverzn i mtrice mtric A 1 det A c cos x sin x cos x sin x

23 sin cos sin cos -1 1 d b x x x x Inverzn mtric A 1 det A c cos x sin x cos x sin x Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A Izrcunjmo determinntu A: det A det 1 0 ( )( 1) Pod-determinnte mtrice izgledju ovko: Pdet ( ) Pdet Pdet { } 1 13 Pdet Pdet 1 { ( ) ( ) } Pdet Pdet Pdet Pdet { ( ) } ( )( ) { ( ) } ( 1) Mtric prije trnsponirnj im oblik: Pdet Pdet Pdet A Pdet Pdet Pdet Pdet Pdet Pdet rnsponirjmo mtricu A: A Vektori i mtrice 3

24 A det A Inverzn mtric A Izrcunj inverznu mtricu, mtrice A Izrcunjmo: det A det A Pod-determinnte mtrice izgledju ovko: Pdet { } Pdet Pdet { } Pdet Pdet { } Pdet Pdet { } Pdet Pdet Vektori i mtrice 4

25 Mtric prije trnsponirnj im oblik: Pdet Pdet Pdet A Pdet Pdet Pdet Pdet Pdet Pdet rnsponirjmo mtricu A: 6 3 A A det A Rijesi mtricnu jedndzbu AX B ko je A i B Rjesiti jedndzbu znci: AX B X A B Odredimo nj prije A d b 1 det A det A 3 7 det A c X A B Rijesi mtricnu jedndzbu AXB C ko je A B i C Prvi kork rjesenj se svodi n: 1 AXB C XB A C d b 1 det A det A 3 det A c XB A C X X X CD D C 1 Vektori i mtrice 5

26 Inverzn mtric D : det D D X CD Pomnozi: AB Vektori i mtrice 6

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?

x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka? MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje

VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje sklr VEKTORI (m h) velčn ko e potpuno određen relnm roem (sklrom) Prmer ms, energ, tempertur, rd, sng, oum tel vektor dužn kod koe e određeno ko e nen run točk početn, ko vršn nv se usmeren dužn l vektor

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.

Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 5ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 401-500 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Λύση Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι διάφορη του μηδενός =

Λύση Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι διάφορη του μηδενός = 7. Άσκηση 1 2 1 Εστω ο πίνακας A = 1 3 2. Να δειχθεί ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιμοςκαιστησυνέχειαναυπολογιστείοαντίστροφος. 1 0 1 Για να είναι αντιστρέψιμος θα πρέπει η ορίζουσα του πίνακα να είναι

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2. 3 upisana je kocka. Nađite brid kocke.

( ) 2. 3 upisana je kocka. Nađite brid kocke. Zdtk 00 (Tomislv, tehničk škol) Kugli polumje upisn je kok. Nđite id koke. Rješenje 00 ko je kugli upisn kok, ond je pomje kugle jednk postonoj dijgonli koke: =. Poston dijgonl koke čun se fomulom: D =.

Διαβάστε περισσότερα

R A D N I M A T E R I J A L I

R A D N I M A T E R I J A L I Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα

B) VEKTORSKI PRODUKT 1. 1) Pravilo desnega vijaka

B) VEKTORSKI PRODUKT 1. 1) Pravilo desnega vijaka B) VEKTORSKI PRODUKT 1 1) Prvilo desneg vijk Vsi smo že videli vijk, nekteri kkšneg privili, tisti, ki teg še niste storili, p prosite kog, ki se n vijke spozn, d vm pokže privijnje vijk. Večin vijkov

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu

Διαβάστε περισσότερα

Το άτομο του Υδρογόνου

Το άτομο του Υδρογόνου Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες

Διαβάστε περισσότερα

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064)

Matematika za ekonomiste Časlav Pejdić, (064) Mtemtik z ekonomiste Čslv Pejdić, (06) 09 0 SADRŽAJ SADRŽAJ UVOD DEO RELACIJE I FUNKCIJE DEO ALGEBRA 6 DEO NIZOVI I REDOVI DEO NEPREKIDNOST I DIFERENCIJABILNOST FUNKCIJE 7 5 DEO LIMESI I IZVODI 9 6 DEO

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη

Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Άσκηση 8 Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Δ. Φ. Αναγνωστόπουλος Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Ιωάννινα 2013 Άσκηση 8 ii Αλληλεπίδραση ακτίνων-χ με την ύλη Πίνακας περιεχομένων

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA I Što valja zapamtiti 9 3. STATIKA FLUIDA. p (izražava ravnotežu masenih sila i sila tlaka).

MEHANIKA FLUIDA I Što valja zapamtiti 9 3. STATIKA FLUIDA. p (izražava ravnotežu masenih sila i sila tlaka). MENIK FLUID I Što vlj zpmtiti 9. STTIK FLUID snovn jedndžb sttike (slučj i ) p fi ili f rdp (izržv rvnotežu mseni sil i sil tlk). i Iz osnovne jedndžbe sttike imjući n umu svojstv rdijent zključuje se:

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N. Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu

Διαβάστε περισσότερα

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr

Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mthemtic.gr. Η επιλογή και η φροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mthemtic.gr. Μετατροπές

Διαβάστε περισσότερα

Primjene odreženog integrala

Primjene odreženog integrala VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te

Διαβάστε περισσότερα

,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )

,, #,#, %&'(($#(#)&*& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) !! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nstvni mterijli nmijenjeni su studentim u svrhu lkšeg prćenj i boljeg rzumijevnj predvnj iz kolegij mtemtik. Ovi mterijli čine suštinu nstvnog grdiv p, uz obveznu literturu, mogu poslužiti studentim

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 5. Εισαγωγή στη διανυσματική άλγεβρα Φ. Καραντώνη, Δρ. Πολ. Μηχανικός Επίκουρος Καθηγήτρια 1 Σημαντική σημείωση Δεδομένου ότι θα διδαχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A

ΚEΦΑΛΑΙΟ 1. Πίνακες. Από τα παραπάνω γίνεται αντιληπτό ότι κάθε γραµµή και στήλη ενός πίνακα A ορίζει µονοσήµαντα τη θέση κάθε στοιχείου A ΚEΦΑΛΑΙΟ Πίνακες Εστω και είναι το σώµα των πραγµατικών και των µιγαδικών αριθµών αντιστοίχως Στο εξής όταν γράφουµε F θα εννοούµε είτε το είτε το Ορισµός Eστω F = ή και m, Κάθε ορθογώνια διάταξη m A F

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584 Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 101-00 Αφιερωμέν σε κάθε μαθητή πυ ασχλείται ή πρόκειται να ασχληθεί με Μαθηματικύς διαγωνισμύς

Διαβάστε περισσότερα

! " #$% & '()()*+.,/0.

!  #$% & '()()*+.,/0. ! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5

Διαβάστε περισσότερα

Η ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ

Η ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΉΜΩΝ ΑΓΩΓΉΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ, ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ &

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

Masa, Centar mase & Moment tromosti

Masa, Centar mase & Moment tromosti FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y . ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

! " #! $ % & $ ' ( % & # ) * +, - ) % $!. /. $! $

!  #! $ % & $ ' ( % & # ) * +, - ) % $!. /. $! $ [ ] # $ %&$'( %&#) *+,-) %$./.$ $ .$0)(0 1 $( $0 $2 3. 45 6# 27 ) $ # * (.8 %$35 %$'( 9)$- %0)-$) %& ( ),)-)) $)# *) ) ) * $ $ $ %$&) 9 ) )-) %&:: *;$ $$)-) $( $ 0,$# #)$.$0#$ $8 $8 $8 $8,:,:,:,: :: ::

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΘΕ ΑΝ4 / 2 0. α) β) f(x) f ( x) cos x

( ) ΘΕ ΑΝ4 / 2 0. α) β) f(x) f ( x) cos x Η ΑΝΕΠ Η Η Ν Ω Ν Ω ΑΘΗ Α ΑΝIV Ε ε ά ει Ν επ ε β ί 5 (3-9-5) Επώ : Ό α: ΑΝ Ν: ΘΕ ΑΝ Τα π α Chebyshev T ( ) α π ω μ ( ) y y y (,,, ) π [,] Η ω α α α π α μ / d d T ( ) Tm ( ) [ T ( )] Α απ f ( ) 3, [,], α

Διαβάστε περισσότερα

n n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna

n n su realni brojevi, a n, koji mora biti cjelobrojna Aproksmrnje podtk Aproksmrnje podtk krvuljom Aproksmrnje podtk krvuljom (engl. curve ttng), nzv se još regresjsk nlz (engl. regresson nlss), je postupk uklpnj unkcje u skup točk koje predstvljju određene

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ

ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Τμήμα Φυσικής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΓΕΝΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ IV: ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Ι. ΑΡΒΑΝΙΤΙ ΗΣ jarvan@physcs.auth.gr 2310 99 8213 ΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ ΣΥΜΒΟΛΗ ΠΕΡΙΘΛΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ Γ ΜΑΘΗΜΑ 2 Ισοδύναμο Ηλεκτρικό Κύκλωμα Σύγχρονων Μηχανών Ουρεϊλίδης Κωνσταντίνος, Υποψ. Διδακτωρ Υπολογισμός Αυτεπαγωγής και αμοιβαίας επαγωγής Πεπλεγμένη μαγνητική ροή συναρτήσει των

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Zbirka zadataka

Matematika Zbirka zadataka Matematika Zbirka zadataka Kristina Devčić Božidar Ivanković Veleučilište Nikola Tesla u Gospiću Uvod Unaprijed se zahvaljujemo na svakom komentaru o propustima i nedosljednostima, a svaka primjedba glede

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΤΕΥΧΟΣ 6ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 501-600 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski

Διαβάστε περισσότερα

Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων Φροντιστήριο Κανονικές Μορφές

Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων Φροντιστήριο Κανονικές Μορφές ΗΥ-360 Αρχεία και Βάσεις Δεδομένων Φροντιστήριο Κανονικές Μορφές 1 Κλειστότητα Συναρτησιακών Eξαρτήσεων: Πώς συμβολίζεται: F + Τι σημαίνει : Το ΣΥΝΟΛΟ των Σ.Ε. που μπορούν να παραχθούν από ένα σύνολο εξαρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

x y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k

x y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k Σύνοψη Κεφαλαίου 3: Προβολική Γεωμετρία Προοπτική. Εάν π και π 2 είναι δύο επίπεδα που δεν περνάνε από την αρχή O στο R 3, λέμε οτι τα σημεία P στο π και Q στο π 2 βρίσκονται σε προοπτική από το O εάν

Διαβάστε περισσότερα

OILGEAR TAIFENG. (ml/rev) (bar) (bar) (L/min) (rpm) (kw)

OILGEAR TAIFENG. (ml/rev) (bar) (bar) (L/min) (rpm) (kw) PVWW!"#$ PVWW!"#$%&'()*+!"#$% 12!"#$%&'()*!!"#$%&'(!"#$!"#$%&'()*+!"#$%!!"#!$%&'()*+!"#$%!"!"#$%&'!"#$%&'!"#!"#$%!" SE!"!"#$%&'!"#!"#$%&'!"#$%&'!"#$!"#$!"#$%&'!"#$%&'!"#$%&!"#$%&'!"!"#$%&!"#$%&!"!"#$%!"#$%!"#$%&'(!"#$%&'!!"#!"#!"#$%&!"#$%&'(

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

( A = A = 3 5 A 2 + B 2.

( A = A = 3 5 A 2 + B 2. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Χειμερινό Εξάμηνο 25 Ασκήσεις Για πίνακες A R m n και B R p q ορίζονται οι πίνακες AB και BA και ισχύει AB = BA Τι συμπεραίνετε για τα m, n, p, q; 2 Για A, B R n n : (α Δείξτε ότι (A

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1]

( [T]. , s 1 a as 1 [T] (derived category) Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter 4. [I] XI ). Gelfand Manin [GM1] 1 ( ) 2007 02 16 (2006 5 19 ) 1 1 11 1 12 2 13 Ore 8 14 9 2 (2007 2 16 ) 10 1 11 ( ) ( [T] 131),, s 1 a as 1 [T] 15 (, D ), Lie, (derived category), ( ) [T] Gelfand Manin [GM1] Chapter III, [GM2] Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά

Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά Πολλά φυσικά μεγέθη είναι διανυσματικά (π.χ. δύναμη, ταχύτητα, επιτάχυνση, γωνιακή ταχύτητα, ροπή, στροφορμή ) Συμβολισμός του διανύσματος: Συμβολισμός του μέτρου

Διαβάστε περισσότερα

cz+d d (ac + cd )z + bc + dd c z + d

cz+d d (ac + cd )z + bc + dd c z + d T (z) = az + b cz + d ; a, b, c, d C, ad bc 0 ( ) a b M T (z) = (z) az + b c d cz + d (T T )(z) = T (T (z) (T T )(z) = az+b a + cz+d b c az+b + = (aa + cb )z + a b + b d a z + b cz+d d (ac + cd )z + bc

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ

Διαβάστε περισσότερα