x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "x y 2 9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?"

Transcript

1 MATEMATIKA Zdci s držvne mture viš rzin Brojevi i lgebr Funkcije Jedndžbe i nejedndžbe Geometrij Trigonometrij LINEARNA FUNKCIJA 1. Uz koji uvjet jedndžb A+By+C=0 predstvlj prvc?. Koje je znčenje broj k u jedndžbi y=k+l, koje znčenje im l? 3. Jesu li prvci -3y=7 i -6y-16=0 prlelni? Dokži! 4. Jesu li prvci =y+1 i =-y+1 okomiti? Dokži! 5. Kko se definir kut izmeďu dvju prvc? 6. Točke A(-5, 5), B(4, -5) i C(1, ) leže n istom prvcu. Odredi: ) d(a, B), b) koeficijent smjer prvc odreďenog točkm A i B, c) kut što g prvc AB ztvr s pozitivnim smjerom osi, d) vrijednost relnog broj. 7. Odredi jedndžbu simetrle dužine AB ko je A(-3, ), B(5, - 8). 8. Koliki je kut izmeďu prvc: 4 + y=3 i y 4 7? 9. Udljenost točke n osi y od prvc 4+3y=1 jednk je 4. Koj je to točk? Prvc y prikži u segmentnom obliku, ncrtj grf i izrčunj površinu 3 4 koji prvc ztvr s koordintnim osim. 11. Ncrtj prvc odreďen jedndžbom: y Izrčunj: ) udljenost točke (5, 6) od prvc -4y+8=0. b) kut što g prvc -3y-7=0 ztvr s pozitivnom zrkom osi. 13. Zdn je skup svih točk koje su jednko udljene od točk A(-4, 3) i B(, 1). Npiši jedndžbu tog skup i ncrtj grf. 14. Odredite koordinte točk u kojim grf funkcije f()=+b siječe koordintne osi! (, b R). 1

2 15. Zdn je skup svih točk koje su jednko udljene od točke T(4, 0) i prvc =-4. Npiši jedndžbu tog skup i ncrtj grf. 16. Zdne su točke A(9, ) i B(5, 6) i C(-3, -). Odredi udljenost točke C od simetrle dužine AB. 17. Zdn je skup svih točk koje su od točke T(, 4) udljene z 3. Npiši jedndžbu tog skup i ncrtj grf. 18. Odredite udljenost točke T(, 3) od prvc y Zdne su točke A(6, 5) i B(, -3). Odredi jedndžbu simetrle dužine AB. 0. Odredi skup svih vrijednosti (sliku) funkcije f ( ) 1 3. Ncrtj grf! 1. Npiši jedndžbu prvc koji prolzi točkom T(6, 3) i sjecištem prvc 3+4y-4=0 i y Točke A(3, 4), B(, -1) i C(-3, y) leže n istom prvcu. Odredi y! 3. Zdn je prvc -5y-17=0. Odredi jedndžbu prvc koji je okomit n njeg i siječe g u točki s ordintom y=3. y 4. Odredi koeficijent smjer (ngib) prvc Zdn je prvc y 4. Odredi udljenost ishodišt od tog prvc! 1 6. Odredi prvc koji prolzi točkom (4, 0) i usporedn je s prvcem y Prvc je zdn jedndžbom y=+3. Odredi mjeru kut koji ztvr s pozitivnom zrkom osi i nctrj grf! 8. Npišite jedndžbu prvc koji prolzi točkom (6, 3) i sjecištem prvc 3+4y-4=0 i y Odredite jedndžbu prvc koji prolzi točkm A(, 5) i B(6, -). 30. Odredi kut izmeďu prvc y=3 + i 3y + 4= 0. EKSPONENCIJALNA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA (jedndžbe i nejedndžbe) 1 1. Odredi domenu funkcije f ( ) log Ncrtj grf funkcije f ( ). 3. Koji je reln broj rješenje jedndžbe log b log, gdje su >0, b>0 i 0?

3 4. Kiselost otopine (ph) odreďuje se po formuli ph=-log C, gdje je C koncentrcij vodikovih ion u otopini (u molim po litri). Kiselost otopine ph zokružuje se n jednu decimlu. 5 ) Odredite ph otopine u kojoj je koncentrcij vodikovih tom C mol po litri. b) Odredite koncentrciju vodikovih ion u čistoj vodi kojoj je ph jednk Riješite jedndžbu Čemu je jednko log 1, gdje su b>0, >0 i b 1, 1? b 7. Zdn je funkcij f ( ) log( 1) log(3 ). ) odredite domenu funkcije. b) rješite jedndžbu f()=0. 8. Koj jednkost povezuje, y, z ko je log y z, gdje su, y>0 i 1? 9. Primjenom pesticid kontrolir se populcij komrc oko jezer. Procjenjuje se d je t broj komrc opisn formulom B ,gdje je t vrijeme korištenj pesticid izrženo u godinm. ) Koliko godin treb koristiti pesticid d bi se broj komrc prepolovio? b) Pesticidi su n tom jezeru primjenjivni 0 godin, godinu dn nkon tog više nisu. Te godine se populcij komrc povećl z 30%. Koliko je komrc bilo n krju te godine? 10. Koliko relnih rješenj im jedndžb log ( ) log ( 3) log ( 3)? 11. Odredite koordinte točk u kojim grf funkcije f ( ) 3 6 sječe koordintne osi! log 3 log 6 1. Koliko je zokruženo n četiri decimle? log Riješite sljedeće zdtke 3 1 ) 4 8 b) Zdn je funkcij f ( ) 3. ) odredite skup svih vrijednosti (sliku) funkcije. b) koliko rješenj im jedndžb f()=-3? 15. Zdn je funkcij f ( ) log (5 1). ) odredite područje definiciej funkcije f! b) odredite nul točke funkcije f! c) izrčunjte f(5). Rezultt zokružite n tri decimle! 3

4 16. Odredi područje definicije i nul točke funkcije f ( ) 8. Izrčunjte f(-5) i rezultt zokružite n tri decimle! 17. Rješite nejedndžbu log (-)> Ako je log i log 3 y, koliko je log 4? 19. Rješite sustv jedndžbi log 5 (8) 1 log 5 4 y 5 0. Prem zkonu zborvljj, ko je neko grdivo nučeno s uspješnosti Uo, td t mjeseci nkon tog uspješnost U rješvnj tog grdiv zdovoljv jedndžbu log U log U 0 c log( t 1), gdje je c konstnt koj ovisi o vrsti grdiv.uspješnost U mjeri se brojem postignutih bodov n ispitu. Brijo je n ispitu iz mtemtike postigo 8 bod (čudo neviďeno). Nkon godinu dn ponovo će pisti ispit iz istog grdiv. Koliko bi bodov prem ovom zkonu postigo ko je c=0,3? log 3( 3), 1. Riješite jedndžbe: Odredite domenu funkcije f ( ) log log( ). 3. Riješite nejedndžbu log ( 1) log ( 3) Koliki je zbroj rješenj jedndžbe Odredi domenu funkcije f() = log (+4). 6. Pojednostvi izrz log 4 log. 7. Riješite jedndžbu Odredite domenu funkcij g( ) log ( 4), log 5 ( 4) h( ) Ako je log s i log y t, koliko je log? y 30. Koliki je umnožk rješenj jedndžbe Riješite jedndžbu

5 KOMPLEKSNI BROJEVI 1. Zpiši broj z i i 4i u trigonometrijskome i stnddnom obliku!. Zpiši broj z=5+5i u trigonometrijskome obliku. 3. Reln dio kompleksnog broj 6 bi z jednk je 4. Koliki je b? 1 i 4. Riješite sljedeće zdtke s kompleksnim brojevim. i ) Odredite relni dio kompleksnog broj z, gdje je R. i 5 5 b) Zdni su brojevi z 1 6cos i sin i z cos i sin. Odredi broj z1 z i zpši g u trigonometrijskome obliku. z 5. Riješite sljedeće zdtke s kompleksnim brojevim. ) Zdn je kompleksn broj z i 7 ( i), gdje je R. Zpiši g u stndrdnom obliku (z=+iy). b) Zdni su brojevi z 1 cos isin i z 3 cos i sin. Odredi broj z z 1 z i zpiši g u trigonometrijskome obliku. 6. Riješite sljedeće zdtke s kompleksnim brojevim. ) Zdn je kompleksn broj z ( i), gdje je R. Zpiši g u stndrdnom i obliku (z=+iy). b) Odredi psolutnu vrijednost broj z cos i sin Rješite sljedeće zdtke s kompleksnim brojevim. 10 ) Izrčunjte ( 1 i) i pojednostvnite. i b) Z koji relni broj imginrni dio kompleksnog broj iznosi 1. 1 i 8. Koliko im kompleksnih brojev z koje vrijedi z i i z 4i Ako je z=1-i, koliko iznosi imginrni dio broj 6 z ) Nek je z=3+i. Koliko je ( iz z)? b) Kompleksn broj z=i prikži u trigonometrijskome obliku. 6 c) Koliki je modul kompleksnog broj ( 1 i)? 3i 11. ) Čemu je jednk kompleksn broj z. 3 i 5

6 b) Kompleksn broj ( i 3 1 ) zpiši u obliku +bi. c) Z kompleksn broj z=-3+5i odredi z z 6 4i d) Čemu je jednk kompleksn broj z. 1 i 1. ) Broj 009 z 1 i 3 zpiši u obliku +ib. b) Broj 3 c) Izrčunjte z 1 i zpiši u obliku +ib. ( 1 i 007 ). 13. U kompleksnoj rvnini zdn je broj z. Odredi bro 1/z Im z z 3 Re z 14. Ako je z=1+4i, koliko iznosi reln dio broj z z z? TRIGONOMETRIJA 1. Prvc n kojem su točke A i B ztvr s rvninom kut 3 0 1'. Duljin dužine AB je 1 cm. Kolikje duljin ortogonlne projekcije dužine ABn tun rvninu? 0 0. Zdn je trokut ABC. Kut u vrhu A je 46, kut u vrhu C je 60. Simetrl kut u vrhu C sječe trokutu opisnu kružnicu u točkm C i D. Koliki je kut u vrhu B? U trokutu MNK su zdni kutovi u vrhovim N ( 6 ) i M ( 4 ) i strnic MK =50 cm. Kolik je duljin strnice KN? 4. Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu strnic 7 cm, 8 cm i 9 cm? 5. Kolik je površin trokut kojemu je jedn strnic duljine 5 cm, mjere kutov uz tu strnicu ' i 55? 6

7 6. U trokutu ABC duljin strnice AB je 1 cm, mjer kut u vrhu A je Strnic BC je dvostruko dulj od strnice AC. Kolik je mjer kut u vrhu B i kolik je duljin strnice AC? 7. Odredite temeljni period funkcije f ( ) sin! 4 8. Kolik je mksimln vrijednost funkcije g ( ) 3sin 9? 9. Koliki je zbroj rješenj jedndžbe tg tg 3 3 n intervlu, 0? 10. Koje je rješenje jedndžbe sin( )sin( ) 3cos( 3 )cos( 4 ) u intervlu,? 11. Uz koji uvjet z relni broj m 0 jedndžb m sin 1 0 im rješenje? 1. Odredi sv rješenj jedndžbe cos sin n intervlu 0,. 13. Rješi jedndžbu cos sin 0; 0,! 14. Rješi jedndžbu cos cos 0! Rješi jedndžbu cos ;,! 16. Koliko rješenj im jedndžb sin(3 ) 1 0 n intervlu, 0? tg( 15 ) 5tg 17. Čemu je nkon pojednostvljenj jednk izrz? ctg ctg( 18 ) 18. Odredi rješenj jedndžbe f()=0, ko je zdn funkcij f ( ) sin(3)! 19. Odredi iz jedndžbe sin =0.8 uz uvjet,! 0. Z koju vrijednost iz intervl 0, funkcij f ( ) tg nije definirn? 3 sin cos 1. Ako je tg, izrčunjte. sin cos 3. Nek je sin t 0. 6 i t,. Koliko je sin t? 3. Odredite mplitudu i period funkcije f ( ) sin te sve nultočke iz intervl 0,6. 4. Odredite rješenj jedndžbe cos cos 0 0,. iz intervl 7

8 5. Kolik je mjer njvećeg kut trokut s strnicm 3, 8 i 9 cm? 6. U trokutu ABC strnic je dvostruko već od strnice b. Mjer kut nsuprot strnice 0 je 74. Kolik je mjer kut nsuprot strnice b? 7. Jednog ljetnog dn tempertur u pustinji mijenjl se po formuli t 15 T ( t) 16 cos 3, gdje je t vrijeme od 0 do 4 st, T tempertur u 0 C. 1 ) Kolik je bil tempertur u 7 sti ujutro? b) U koliko sti poslije podne je tempertur bil 41 0 C? DERIVACIJE 1. Odredi derivciju funkcije f()=+sin(3).. Odredi jedndžbu tngente n grf funkcije f ( ) 3 u točki s psisom Odredi derivciju funkcije f ( ) sin. 4. Derivirjte funkcije: 4 f ( ) g( ) sin(3 11) 5. Odredi koeficijent smjer (ngib) tngente n grf funkcije h ( ) 3 1 u točki grf s pscisom. 6. Dervirjte funkciju f()=sin(5). 7. Koliki je koeficijent smjer (ngib) tngente n grf funkcije g( ) u točki T(1, 3)? 3 8. Z koji reln broj funkcij h ( ) 9 15 postiže loklni minimum? 9. Dervirjte funkciju f ( ) cos. 10. Kolik je derivcij funkcije g() u točki s pscisom 6, ko je 3 g ( ) ( 3) Z koji reln broj funkcij h ( ) 5 postiže loklni minimum? Z koji reln broj funkcij h ( ) 3 5 postiže loklni mksimum? 13. Odredi prvu derivciju funkcije f ( ) Odredi prvu derivciju funkcije f ( ) sin Z koji reln broj funkcij h ( ) 6 postiže loklni minimum? Zdn je funkcij f ( ) 3 ) Odredi nul točke funkcije! b) Derivirj funkciju! c) Odredi loklne ekstreme funkcije! d) Odredi jedndžbu tngente u točki T(-1, y)! e) Ncrtj grf! 8

9 1 17. Zdn je funkcij f ( ) ( 3)( 4). 8 ) Odredi koordinte sjecišt grf funkcije s osi psic! (nul točke) b) Derivirj funkciju! c) Odredi loklne ekstreme funkcije! d) Odredi jedndžbu tngente u točki T(-4, y)! e) Ncrtj grf! 18. Zdn je funkcij f ( ) ( 5 4)( 1). ) Odredi sjecište grf s kordintnim osim! b) Derivirj funkciju! c) Odredi loklne ekstreme funkcije! d) Ncrtj grf! Zdn je funkcij f ( ) ( 16)( 1). 4 ) Odredi nul točke funkcije! b) Derivirj funkciju! c) Odredi loklne ekstreme funkcije! d) Odredi intervle rst funkcije! e) Ncrtj grf! Zdn je funkcij f ( ) ( 15). 5 ) Odredi nul točke funkcije! b) Derivirj funkciju! c) Odredi loklne ekstreme funkcije! d) Odredi jedndžbu tngente u točki T(-1, y)! e) Ncrtj grf! VEKTORI 1. Zdni su vektori i 3 j i b i 7 j. Kolik je mjer kut izmeďu vektor c i d gdje su vektori zdni: c b i d b?. Odredite površinu trokut ABC ko je točk O ishodište koordintnog sustv, vektor OA i j, vektor AB 5i 3 j, vektor AC je usporedn s vektorom i, sklrni umnožk AB BC 0. Npomen: Po potrebi skicirjte problem u koordintnom sustvu. 3. Zdne su točke M(-, -3), N(1, 1) i P (-1, ). Vektor MN NP prikžite ko linernu kombinciju jediničnih vektor i i j. 4. Početn točk vektor AB 8i 6 j je A(-, 3). Odredite koordinte točke B. 5. Odredite duljinu vektor b ko su i 4 j i b 5i 10 j. 9

10 6. Točke A(3, -3), B(, 1) i C( -3, ) odreďuju tokut ABC. Izrčunj mjeru kut u vrhu C i vektor AB prikži ko linernu kombinciju jediničnih vektor i i j. 7. Točke A(, 1) i B(6, 10) odreďuju vektor. AB prikži ko linernu kombinciju jediničnih vektor i i j. 8. Točke A(, 1) i B(3, 5) odreďuju vektor. AB jediničnih vektor i i j. prikži ko linernu kombinciju 9. Izrčunj ( i 3 j) ( i 4 j). 10. Odredi tko d vektori i 3 j i b i 4 j budu okomiti. 11. Odredi kut izmeďu vektor 3i 4 j i b 3i 4 j. ANALITIČKA GEOMETRIJA 1. Zdn je kružnic k s središtem u točki S(3, -1.5). Prvci t 1... y i t... y 7 su tngente kružnice k. Odredite površinu četverokut omeďenog zdnim prvcim, osi y i promjerom kružnice k okomitim n prvc t 1.. Točke T(7, 18) leži n prboli y. Koliko je točk T udljen od rvnlice (direktrise) te prbole? 3. Odredite jedndžbu kružnice koj dir os y i kojoj je središte u točki (-3, )! 4. Luk n ulzu u tunel im oblik poluelipse. Pri zemlji je širok 1 m, mksimln visin mu je 4.5 m.iznd točke n zemlji, koj je udljen m od desnog rub tunel, n luku je postvljen sigurnosn kmer. N kojoj se visini nlzi kmer? 5. Zdn je jedndžb kružnice ( 1) ( y 3) 5. NĎite jedndžbu tngent koje su usporedne s prvcem y Hiperbol je zdn jedndžbom 9 4y Izrčunjte koordinte žrišt i jedndžbe simptot. 7. Cest prolzi ispod ndvožnjk koji je u obliku poluelipse. Širin ndvožnjk u rzini ceste je 7 m. Koliko njviše može biti visok kmion širine.6 m d bi prošo ispod ndvožnjk? Njviš točk ndvožnjk je 4. m. Smtr se d kmion može proći ispod ndvožnjk ko je vertikln udljenost izmeďu krov kmion i ndvožnjk njmnje pol metr. 8. Poprečni presjek rkete je u obliku elipse kojoj je velik os 4.8 m, ml 4. m. U nju treb stviti meteorološki stelit koji je u presjeku prvokutnog oblik. Koliko njviše stelit može biti širok ko mu je duljin 4.4 m? 10

11 9. Zdn je skup svih točk koje su od točke (, 4) udljene z 3. Npiši jedndžbu tog skup! 10. Tijelo kreće iz točke A(4, -5) i gib se po kružnici s središtem u S(3, ) u pozitivnom smjeru do točke B(, y). Duljin kružnog luk točke B! AB 5. Odredi koordinte 11. Točk T(10, y) leži n krivulji y 5. Koliko je t točk udljen od žrišt krivulje? 1. Odredi koordinte fokus krivulje zdne jedndžbom ²-8y²=. 13. Odredi jedndžbu hiperbole kojoj je simptot prvc y= i koj prolzi točkom T(5, 8). 14. Putnj Zemlje oko Sunc je elips s Suncem u jednom žrištu. Udljenost Zemlje od Sunc u perihelu (točk u kojoj je Zemlj njbliže Suncu) približno iznosi 147 milijun kilometr, udljenost u felu (točk u kojoj je Zemlj njudljenij od Sunc) iznosi 15 milijun kilometr. Koliki je numerički ekscentricitet ε Zemljine putnje? e Npomen: Numerički ekscentricitet rčun se po formuli. 15. Hlleyev komet gib se oko Sunc po eliptičnoj putnji kojoj je numerički ekscentricitet Sunce se nlzi u fokusu te elipse. Nhmnj udljenost 10 komet od Sunc je m. Koliko iznosi njveć udljenost Hlleyev komet od Sunc? 16. Kružnic u prvom kvdrntu im polumjer 4 i dir os ordint u točki A(0, 5). Npiši jedndžbu te kružnice! 17. Točk T(6, 5) nlzi se n elipsi čij je velik poluos 9 Odredi jedndžbu elipse i udljenost meďu fokusim! 18. Kružnic k prolzi točkom T(-3, ) i im isto središte ko i kružnic zdn jedndžbom ( ) ( y 5) 0. Koliki je polumjer kružnice k? 19. Kko glsi jedndžb kružnice kojoj su zdne koordinte rubnih točk promjer A(- 3, ) i B(1, 4). 0. ) Prbol zdn jedndžbom y p prolzi točkom T(3, 3). Odredi p! b) Prbol je zdn jedndžbom y 1. Odredi udljenost fokus od prvc y 5. c) Prbol zdn jedndžbom y p im fokus F(1, 0) i prolzi točkom A(, -3). Odredi jedndžbu tngente n tu prbolu u njezinoj točki A. 11

12 1. Točk S(-, 3) je središte kružnice koj prolzi ishodištem koordintnog sustv. Kko glsi jedndžbe te kružnice?. Kružnic je zdn jedndžbom ( 1) ( y ) 5.. Odredi točku T(-1, y) zdne kružnice z koju je y>0. b. Odredi jedndžbu tngente u točki A(, 6). 3. Odredi fokus elipse zdne jedndžbom 3 8y Odredi središte S i polumjer kružnice r zdne jedndžbom y 6 8y Elips je zdn jedndžbom 3 4y 48.. odredi duljinu velike i mle poluosi. b. Odredi jedndžbu tngente elipse u njezinoj točki T(-, 3). 4. Kružnic je zdn jedndžbom ( 1) ( y 3) 17. c. Točk A(, y) pripd kružnici. Odredi y. d. Odredi jedndžbu tngente n kružnicu u točki A. 5. Asimptot hiperbole je prvc y=. N hiperboli je točk (5, 8). Odredi jedndžbu hiperbole. 6. Usporedno s prvcem y 8 0 povučene su tngente n kružnicu ( y 1) 0. Odredite njihove jedndžbe. ELEMENTARNA GEOMETRIJA PLANIMETRIJA 1. U trokutu KLM prvi kut je u vrhu L. Duljin strnice KM je 5 cm, mjer kut u vrhu M je 7. Kolik je duljin njkrće strnice tog trokut?. N skici je prikzn prlelogrm ABCD u kojemu je strnic ABduljine 5 cm, visin n tu strnicu 8 cm. Točk S je sjecište njegovih dijgonl, točk T polovište dužine BS. Izrčunjte površinu trokut ABT. D C v S A B 3. Kolik je mjer njmnjeg kut u trokutu kojemu su strnice duljin, 7, 8, i 9 cm? 4. Kolik je površin trokut kojemu je jedn strnic duljine 5 cm, mjere kutov uz tu strnicu 4 36' i 55. T 1

13 5. N skici je prikzn konveksn četverokut ABCD u kojemu je 180. Prvci AB i CD sijeku se u točki T. Točk T je 3 cm udljen od točke A, 6 cm od točke D i 10 cm od od točke C. Kolik je duljin strnice AB? C γ D δ α β T A B 6. Ljestve duljn 4. m i 5.6 m nslonjene su n zid i dosežu istu visinu. Podnožje duljih ljestv je z 1.96 m udljenije od zid nego podnožje krćih ljestv. Koliko je podnožje krćih ljestv udljeno od zid? N kojoj su visini od pod ljestve nslonjene n zid? 7. Površin tupokutnog trokut je 8.67 cm². Duljine dviju krćih strnic tog trokut su 7 i 10 cm. Kolik je mjer tupog kut? 8. U trokutu ABC duljine strnic su c=8 cm, b=10 cm i = 1 cm. N strnici nlzi se BD točk D tko d vrijedi. Koliko su udljene točke A i D? DC 9. Kolik je mjer njmnjeg kut u prvokutnome trokutu čije su duljine ktet 1 i 6 cm? 10. Mjere kutov u trokutu se odnose ko 3:5:4. Njdulj strnic tog trokut je duljine 15 cm. Kolik duljin je njkrće strnice? 11. N skici je prikzn kružnic i njezine tetive AB i CD. Duljine dužin su: DE =7 cm, BE =6 cm, CE =3 cm i AE = cm. Koliko je? Točk E je sjecište dužin AB i CD. A E C B 13

14 D 1. U trokutu MNK mjere kutov su: 6 u vrhu N i 4 u vrhu M. Duljin strnice MK = 50 cm. Kolik je duljin strnice KN? 13. U trokutu ABC duljin strnic su =0 cm i b=30 cm, duljin težišnice iz vrh A je t =5 cm. Kolik je duljin strnice c tog trokut? 14. Mjere kutov trpez su 0 i 15. Odredite mjere preostlih dvju kutov trpez. 15. Prvc n kojem su točke A i B s rvninom ztvr kut 3 1'. Duljin dužine AB je 1 cm. Kolik je duljin ortogonlne projekcije dužine AB n tu rvninu? 16. Zdn je trokut ABC. Mjer kut u vrhu A je 46, kut u vrhu C je 60. Simetrl kut u vrhu C siječe trokutu opisnu kružnicu u točkm C i D. Kolik je mjer kut u vrhu B? 17. Izrčunj površinu prvilnog peterokut čij je strnic duljine 6 cm. 18. Kolik je mjer njvećeg kut trokut ko su mu strnice duljine 3, 8 i 9 cm? 19. Četverokut ABCD upisn je u kružnicu tko d je dijgonl AC ujedno i promjer kružnice. Dijgonle AC i BDsu meďusobno okomite. Ako je BD 10 cm i CD 5 5 cm, kolik je duljin dijgonle AC? 0. U prvokutnom trokutu jedn ktet je duljine 5 cm, kut nsuprot njoj im mjeru 30. Odredi ostle kutove i strnice trokut! 1. Etikete z omtnje mliječnih proizvod izrezne su iz reciklirnog krton oblik kružnog vijenc. Dimenzije jedne etikete su l cm, l cm i d=9.3 cm ( d r r1, gdje su r1 i r rdijusi pripdnih koncentričnih kružnic). Koliko kvdrtnih centimetr krton je ostlo nkon što je iz kružnog vijenc izrezn mksimlni broj etiket? S l 1 l l 14

15 . Kvdrt ABCD n skici im strnice duljine 7 cm, kvdrt BEFG strnice duljine 5 cm. Kolik je duljin dužine DE. Odredi omjer dužin BH i HG. Točk H je sjecište dužin DE i BC. D C G F A E B 3. N slici je prikzn trokut ABC kojemu je AD=1.1 cm jedn težišnic. Kolike su duljine dužin BD i AC, ko je dužin AB=10.80 cm? Kut u vrhu B jednk je 1. C D A B 4. Duljine strnic trokut iznose 1.5, 10 i 18.5 cm. Duljin njduže strnice njemu sličnog trokut iznosi 0 cm. Koliki je omjer površin zdnog i njemu sličnog trokut? 5. Duljin osnovice jednkokrčnog trokut je 10 cm, krk 14 cm. Kolik je duljin visine tog trokut? 6. U trokutu ABC duljin strnice AB je 1 cm, mjer kut u vrhu je 35. Strnic BC je dvostuko dulj od strnice AC. Kolik je mjer kut u vrhu B i duljin strnice AC? 7. Dužin AB im duljinu 80 cm. Točk C je polovište dužine AB. Trokuti ACD i CBG su jednkokrčni. Duljin visine iz vrh D n strncu AC iznosi 30 cm, visin iz vrh G n strnicu CB je 1 cm. Koliki je opseg trokut GDC? D G 15

16 A C B 8. Mjere dvju kutov trokut su 36 i 75. Duljin njkrće strnice tog trokut je 10 cm. Kolik je duljin njduže strnce tog trokut? 9. Duljine strnic trokut su 1.5 cm, 10 cm i 8.5 cm. Rzlik duljin njdulje i njkrće strnice njemu sličnog trokut iznosi 4.8 cm. Koliko iznosi duljin treće strnice sličnog trokut? 30. Slik prikzuje oblik zemljišt i neke njegove mjere. Izrčunj udljenost točk A i C! Izrčunj mjeru kut u vrhu A! Kolik je površin zemljišt s slike? 47 m C D m 55 m A 40 B 31. Zdn je prvokutni trokut s hipotenuzom duljine 7.5 cm. Izrčunj duljinu ktete nsuprot kutu α= Opseg prvokutnik n slici iznosi 54 cm. Kolik je površin trokut ABC? C A +3 B 33. Kolik je mjer oznčenog kut α n slici? 3. cm 6.4 cm α 78.8 cm 5.6 cm 34. U trokutu ABC n slici omjer kutov je α : β: γ = 3 : : 13, z duljine strnic vrijedi b =3 cm. Kolik je duljin njkrće strnice tog trokut? C b γ α β 16

17 A c B 35. U trokutu ABC je mjer kut α = 0º, AB=36 cm i AC =18 cm. Odredi duljinu strnice BC i izrčunj kut β pri vrhu B. 36. Mjere kutov trokut su u omjeru 1 : 10 : 4. Njdulj strnic im duljinu 1 cm. Kolik je td duljin njkrće strnice? 37. Odredi polumjer kružnice, ko istknute dužine n slici imju duljine 1 cm i 7 cm. 38. Duljine osnovic jednkokrčnog trpez su 0 cm i 6 cm, površin mu je 31. cm². Kolik je duljin krk trpez? 39. Prvokutn i jednkokrčn trokut (ABC) imju zjednički vrh C. Odredi mjeru šiljstog kut α u prvokutnom trokutu n slici. Odredi mjeru kut β uz osnovicu jednkokrčnog trokut ABC. B 64º α C β A 40. U trokutu ABC zdne su strnice c=13 cm, =9 cm i mjer kut β=4º. Odredi duljinu strnice b i površinu tog trokut. STEREOMETRIJA 41. Koliki je obujm kuglice polumjer cm? Koliki će biti polumjer kugle ko se 1 željeznih kuglic polumjer cm tljenjem preoblikuju u tu kuglu? 4. Zdn je stožc kojemu je bz krug polumjer 4 cm, duljin izvodnice 5 cm. Koliki je obujm tog stošc? Plšt tog usprvnog stošc rzvijen u rvnini je kružni isječk. Kolik je mjer središnjeg kut tog kružnog isječk? 43. Obujm prvilne šesterostrne prizme je cm³, visin prizme je 10 cm. Koliko je oplošje te prizme? 17

18 44. Mjer šiljstog kut prvokutnog trpez je 50. Duljine njegovih osnovic iznose 4 cm i 6 cm. Koliki je obujm tijel koje se dobije rotcijom zdnog trpez oko dulje osnovice? (str 33) 45. Koliko je oplošje prvilne trostrne pirmide (tetredr) kojoj su svi bridovi duljine 3 cm? 46. Zdn je prviln usprvn šesterostrn pirmid kojoj je duljin osnovnog brid 4 cm, bočnog 11.7 cm. Koliki je obujm zdne pirmide? 47. Blok debljine 6.5 mm sstoji se od 100 listov ppir dimenzij 1.5 cmx9.7 cm. Gustoć ppir je 1.0 g/cm³. Kolik je ms jednog list ppir u tom bloku? 48. Vljk je upisn u usprvnu prvilnu peterostrnu prizmu kojoj je osnovni brid duljine 6 cm, visin 8 cm. Koliki je obujm vljk? 49. Zdn je prviln četverostrn pirmid kojoj duljine svih bridov iznose cm. Kolik je mjer kut izmeďu bze (osnovke) i strne (pobočke)? 50. Duljin prostorne dijgonle drvene kocke je 4 cm. Iz kocke je izrezn vljk njvećeg mogućeg obujm. Koliki je obujm tog vljk? 51. Osnovk (bz) usprvne četverostrne pirmide je kvdrt. Duljin visine pirmide je 8 cm. Mjer kut izmeďu bočnog brid i rvnine osnovke je 55. Odredi oplošje pirmide! 5. Metln kugl im obujm 88 π cm³. Koliki joj je polumjer? 53. Kuglu polumjer 5 cm treb pretopiti u vljk. Ako će polumjer bze vljk biti 4 cm, odredi visinu vljk zokruživši rezultt n dvije decimle. 54. Duljin hipotenuze prvokutnog trokut je 9 cm. Izrčun obujm stošc koji nstje rotcijom tog trokut oko ktete duljine 4 cm. 18

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N.

Rješenje: F u =221,9 N; A x = F u =221,9 N; A y =226,2 N. Osnove strojrstv Prvilo izolcije i uvjeti rvnoteže Prijeri z sostlno rješvnje 1. Gred se, duljine uležišten je u točki i obješen je n svoje krju o horizontlno uže. Izrčunjte horizontlnu i vertiklnu koponentu

Διαβάστε περισσότερα

Osnove inženjerskog proračuna

Osnove inženjerskog proračuna Osnove inženjerskog prorčun Skript z studente Sveučilišt Sjever Ktrin Pisčić, UNIN 04. Kut Kut je dio rvnine omeđen s dv prvc koj se sijeku. Obično se obilježv kružnim lukom među prvcim. Ako je duljin

Διαβάστε περισσότερα

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n

Διαβάστε περισσότερα

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )

1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH ) .RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2. 3 upisana je kocka. Nađite brid kocke.

( ) 2. 3 upisana je kocka. Nađite brid kocke. Zdtk 00 (Tomislv, tehničk škol) Kugli polumje upisn je kok. Nđite id koke. Rješenje 00 ko je kugli upisn kok, ond je pomje kugle jednk postonoj dijgonli koke: =. Poston dijgonl koke čun se fomulom: D =.

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD

ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA. školska 2013./2014. godina TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD ZAVRŠNI ISPIT NA KRAJU OSNOVNOG OBRAZOVANJA I ODGOJA školsk 0./04. godin TEST MATEMATIKA UPUTE ZA RAD Test koji trebš riješiti im 0 zdtk. Z rd je predviđeno 0 minut. Zdtke ne morš rditi prem redoslijedu

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 17. VEKORI I KVADRANE MARICE 17.1 Opcenito o vektorim Vektor je usmjeren duzin i zto im: pocetk (hvtiste), krj i smjer. Vektor se ozncv s oznkom n pr.: rpq,, Duzin PQ ili r nziv se duzin vektor, intenzitet

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA

Nacionalni centar za vanjsko vrednovanje obrazovanja MATEMATIKA Ncioli cetr z vjsko vredovje orzovj MATEMATIKA viš rzi KNJIŽICA FORMULA VIŠA VIŠA RAZINA RAZINA Kopleks roj: i i Mtetik Kopleks roj: Kopleks roj: i z i i z i i z R Kjižic forul VIŠA (cos RAZINA si Kopleks

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov

Formule iz Matematike II. Mandi Orlić Tin Perkov Formule iz Mtemtike II Mndi Orlić Tin Perkov INTEGRALI NEODREDENI INTEGRALI Svojstv 1. (f(x) ± g(x)) = ± g(x) 2. = Tblic integrl f(x) F(x) + C x + C x x +1 +1 + C 1 x ln x + C 1 x+b ln x + b + C e x e

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Primjene odreženog integrala

Primjene odreženog integrala VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) x y

( ) ( ) ( ) ( ) x y Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko

Διαβάστε περισσότερα

ALFA List - 1. Festival matematike "Split 2013." Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013.

ALFA List - 1. Festival matematike Split 2013. Otvoreno ekipno natjecanje učenika osnovnih i srednjih škola Split, 10. svibnja 2013. ALFA List - 1 Točan odgovor: 10 bodova Pogrešan odgovor: 5 bodova Bez odgovora: 0 bodova 1. Ako je (x+ 3): 4=( x ):3, onda je x jednako: A) 1 B) 1 C) 17 D) 17 E) 6. Kut od 1º30' gleda se kroz povećalo

Διαβάστε περισσότερα

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku. . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

1. Trigonometrijske funkcije

1. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y . ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je

Διαβάστε περισσότερα

PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA:

PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ MATEMATIKE ZA ZANIMANJA: elektrotehičr tehičr z rčulstvo tehičr z elektroiku tehičr z električe strojeve s primijejeim rčulstvom. rzred BROJEVI - rčuske opercije s prirodim,

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE

PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE . 0.: 0.0 0. 0.0 je: 5000 0.0 5 0.00. Izračunajte 0.% od : 0. 4 0. 0.0 0.00 0.. Skratite razlomak a a a 4a + 4 + a a a a a a 0.77 4. Rješenje jednadžbe =. 5 je -

Διαβάστε περισσότερα

I. dio. Zadaci za ponavljanje

I. dio. Zadaci za ponavljanje I. dio Zadaci za ponavljanje ZADACI ZA PONAVLJANJE. BROJEVI: Prirodni, cijeli, racionalni i realni brojevi. Izgradnja skupova N, Z, Q, R.. Odredi najveću zajedničku mjeru M(846, 46).. Napiši broj u sustavu

Διαβάστε περισσότερα

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= *

POPIS ZADATAKA: 1.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=4+3i 2.Riješi zadatak:izi= * POPIS ZADATAKA:.Odredi modul IZI iz kompleksnog broja Z=+i i i.riješi zadatak:izi= * i i.izračunaj:(8+6i)(8-6i)=.odredi realne brojeve i y za koje vrijedi:(-i)+(+i)y=i.riješi kvadratnu jednadžbu :9²-=0

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja.

mogućih vrijednosti rs3. Za m, n N, mn+1 m 2 +n 2 m2 + n 2 mn + 1 je kvadrat prirodnog broja. r1. Neka je n fiksan prirodan broj. Neka je k bilo koji prirodan broj ne veći od n i neka je S skup nekih k različitih prostih brojeva. Ivica i Marica igraju naizmjenično sljedeću igru. Svako od njih bira

Διαβάστε περισσότερα

R A D N I M A T E R I J A L I

R A D N I M A T E R I J A L I Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijski trikovi i metode bez imena

Geometrijski trikovi i metode bez imena Geometrijski trikovi i metode bez imena Matija Bašić lipanj 2016. U ovom tekstu želimo na jednom mjestu navesti vrlo klasične ideje u rješavanju planimetrijskih zadataka. Primjeri variraju od jednostavnih

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.

0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4. Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine

Διαβάστε περισσότερα

3. KRIVULJE DRUGOG REDA

3. KRIVULJE DRUGOG REDA 3. KRIVULJE DRUGOG REDA U realnoj projektivnoj ravnini konike ili krivulje drugog reda definiraju se ovako: Definicija 3.1. Skup svih točaka projektivne ravnine čije koordinate zadovoljavaju algebarsku

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =

2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P = Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje

VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje sklr VEKTORI (m h) velčn ko e potpuno određen relnm roem (sklrom) Prmer ms, energ, tempertur, rd, sng, oum tel vektor dužn kod koe e određeno ko e nen run točk početn, ko vršn nv se usmeren dužn l vektor

Διαβάστε περισσότερα

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji.

Specijalna vrsta nepravih integrala jesu oni koji sadrze potencije ili geometrijski red u podintegralnoj funkciji. Mt Vijug: Rijsni zdci iz vis mtmti 9. NEPRAVI INTEGRALI 9. Opcnito o nprvim intgrlim Intgrl oli f d s nziv nprviln o: ) jdn ili oj grnic intgrcij nisu oncn vc soncn:, ) pod intgrln funcij f j prinut u

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**

Διαβάστε περισσότερα

Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu

Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Ratko Višak 1. Uvod Na osnovu poučka o obodnom i središnjem kutu izvedene su relacije kada točka nije na kružnici, nego je izvan ili unutar nje. Relacije

Διαβάστε περισσότερα

Radni materijal 17 PRIZME

Radni materijal 17 PRIZME Radni materijal 17 PRIZME Odreži i zalijepi slike u bilježnicu, izvedi formule za oplošje i obujam, označi i izvedi formule za plošne i prostorne dijagonale. Oplošje OBP = + Volumen ili obujam V = Bv slika

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nstvni mterijli nmijenjeni su studentim u svrhu lkšeg prćenj i boljeg rzumijevnj predvnj iz kolegij mtemtik. Ovi mterijli čine suštinu nstvnog grdiv p, uz obveznu literturu, mogu poslužiti studentim

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

REPETITORIJ MATEMATIKE za studente elektrotehnike

REPETITORIJ MATEMATIKE za studente elektrotehnike REPETITORIJ MATEMATIKE z studente elektrotehnike Bojn Kovčić Luk Mrohnić Tihn Strmečki Tehničko veleučilište u Zgrebu Predgovor Ovj priručnik nmijenjen je studentim 1. godine stručnih studij elektrotehnike

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore

MEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz velike otvore MEANIKA FLUIDA Isticnje krz velike tvre 1.zdtk. Krz veliki ptvr u bčn zidu rezervr blik rvnkrkg trugl snve i keficijent prtk µ, ističe vd. Odrediti prtk krz tvr k su pznte veličine 1 i (v.sl.). Eleentrni

Διαβάστε περισσότερα

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010. ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.

ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla. Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi

Διαβάστε περισσότερα

Matematika - usmeni dio ispita Pitanja i rješenja

Matematika - usmeni dio ispita Pitanja i rješenja Mtemtik - usmei dio ispit itj i rješej. itgori poučk c vrijedi smo z prvokuti trokut Dokz: potoji mogo dokz itgoriog poučk/teorem, 69 dokz možete ći ovdje: HTUhttp://www.cut-the-kot.org/pthgors/ UTH Geometrijski

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

d(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ]

d(o,1) = i = 1. Uvođenjem koordinatizacije operacije s vektorima sveli smo na operacije s brojevima: ako je [ ] [ ] -- 71 -- 7.2. KOORDINATNI SISTEM-KOORDINATIZACIJA Podsjetimo se pojmov dimenzij i bz prostor: ''Njveći'' broj linerno nezvisnih vektor u nekom vektorskom prostoru zovemo dimenzijom tog prostor. Ako je

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi

MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu

Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Proširenje na poučku o obodnom i središnjem kutu Ratko Višak 1. Uvod Na osnovu poučka o obodnom i središnjem kutu izvedene su relacije kada točka nije na kružnici, nego je izvan ili unutar nje. Relacije

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

MEHANIKA FLUIDA I Što valja zapamtiti 9 3. STATIKA FLUIDA. p (izražava ravnotežu masenih sila i sila tlaka).

MEHANIKA FLUIDA I Što valja zapamtiti 9 3. STATIKA FLUIDA. p (izražava ravnotežu masenih sila i sila tlaka). MENIK FLUID I Što vlj zpmtiti 9. STTIK FLUID snovn jedndžb sttike (slučj i ) p fi ili f rdp (izržv rvnotežu mseni sil i sil tlk). i Iz osnovne jedndžbe sttike imjući n umu svojstv rdijent zključuje se:

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Priprema za ispit znanja trigonometrija pravokutnog trokuta

Priprema za ispit znanja trigonometrija pravokutnog trokuta Pipem z ispit znnj tigonometij pvokutnog tokut 1. Zoj duljin ktet pvokutnog tokut jednk je 12 m, jedn kut tokut iznosi 58⁰. Kolik je duljin hipotenuze ovog tokut? + = 12 = 58⁰ =? S oziom d se u zdnim podim

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

4 Elementarne funkcije

4 Elementarne funkcije 4 Elementarne funkcije 4. Polinom Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra

Analitička geometrija i linearna algebra 1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Akademska 2012/13.

Univerzitet u Zenici Mašinski fakultet Akademska 2012/13. Univerzitet u Zenici Mšinski fkultet Akdemsk /. Svesk s vježbi iz Mtemtike II (II dio) Odsjeci: Inžinjerski dizjn proizvod, Inžinjersk ekologij, Mendžment proizvodnim tehnologijm, Održvnje Zbirke zdtk

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 5. GEOMETRIJA 5.1 Opcenito o kutevima Poznate su slijedece vrste kuteva: siljasti kut α < 90 pravi kut α = 90 tupi kut 90 < α < 180 ravni kut α = 180 izboceni kut 180 < α < 360 puni kut α = 360 Komplementi

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja izmjeničnih krugova

Metode rješavanja izmjeničnih krugova Strnic: V - u,i u(t) i(t) etode rešvn izmeničnih kruov uf(t) konst if(t)konst etod konturnih stru etod npon čvorov hevenin-ov teorem Norton-ov teorem illmn-ov teorem etod superpozicie t Strnic: V - zdtk

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke

Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................

Διαβάστε περισσότερα

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske

Algebra Vektora. pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske Algebra Vektora 1 Algebra vektora 1.1 Definicija vektora pri rješavanju fizikalnih problema najčešće susrećemo skalarne i vektorske veličine za opis skalarne veličine trebamo zadati samo njezin iznos (npr.

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole

Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b

Διαβάστε περισσότερα