Μια φορά κι έναν καιρό ο Πυθαγόρας. By Δάφνη Μπουκουβάλα Δημήτρης Περράκης Λευτέρης Πάντος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μια φορά κι έναν καιρό ο Πυθαγόρας. By Δάφνη Μπουκουβάλα Δημήτρης Περράκης Λευτέρης Πάντος"

Transcript

1 Μια φορά κι έναν καιρό ο Πυθαγόρας By Δάφνη Μπουκουβάλα Δημήτρης Περράκης Λευτέρης Πάντος

2 Τα μαθηματικά της μουσικής κ η μουσική των μαθηματικών

3 Το μονόχορδο του Πυθαγόρα

4 Τα μαθηματικά και η μουσική είναι δυο επιστήμες που έχουν πολύ μεγάλη σχέση μεταξύ τους. Από την αρχαιότητα ακόμη οι δύο τέχνες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και η αλληλεπίδραση αυτή φτάνει ως τις μέρες μας...

5 Την πρώτη αυτή σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής την υλοποίησε ο Πυθαγόρας πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα. Ο Πυθαγόρας ήταν μαθηματικός και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής - σκέψης. Γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς πράγμα που του έδωσε τις βάσεις να δημιουργήσει το μονόχορδο. Μέχρι και στις μέρες μας οι επιστήμονες πιστεύουν ότι ο Πυθαγόρας μελέτησε την σχέση αυτή πάνω στο μονόχορδο.

6

7 Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο είναι ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρεί τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων.

8 Ονομάζονταν και "Πυθαγόρειος κανών" προς τιμή του Πυθαγόρα. Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί εργάσθηκαν για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων πάνω στον κανόνα, όπως ο Αρχύτας (εργάσθηκε στις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου στα τρία γένη, διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο και ανακάλυψε το λόγο της μεγάλης τρίτης στο εναρμόνιο γένος), ο Ερατοσθένης ο Δίδυμος (σ αυτόν αποδίδεται ο καθορισμός του "κόμματος του Διδύμου", που είναι η διαφορά μεταξύ του μείζονος τόνου (9/8) και του ελάσσονος (10/9) δηλαδή 81/80).

9 Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον αριθμό 10 τέλειο =10 γι αυτό του έδωσαν το όνομα «τετρακτύς».

10 Κατά τον Θέωνα το Σμυρναίο υπάρχουν έντεκα τετρακτύες που η κάθε μια εκφράζει ένα τομέα της φιλοσοφικής σκέψης στην αρχαιότητα, π.χ. η 4η τετρακτύς δηλώνει τα τέσσερα απλά στοιχεία φωτιά, αέρα, νερό και γη, η 6η αναφέρεται στα γεωμετρικά σχήματα: με 1 εκφράζεται το σημείο, με 2 το μήκος, με 3 η επιφάνεια και με 4 το στερεό, η 8η δίνει τα συστατικά του ζώου: τα 1,2,3 αντιστοιχούν με το λογιστικό, το θυμικό και το επιθυμητικό, δηλαδή εκφράζουν την ψυχή, ενώ το 4 το σώμα.

11 Ο Πυθαγόρας κατασκεύασε τη μυσική του κλίμακα με βάση τις αναλογίες του κύβου, ο οποίος εκφράζεται με τον αριθμό 4 της 5ης τετρακτύος (1 = τετράεδρο, 2 = οκτάεδρο, 3 = εικοσάεδρο, 4 = κύβος) και συμβολίζει τη γη και το συνδυασμό των στοιχείων της. Ο κύβος έχει 6 έδρες 8 κορυφές 12 ακμές

12 Οι αριθμοί 12 και 6 δίνουν την αναλογία 2/1 οι 8 και 6 την αναλογία 4/3 ε οι 12 και 8 την αναλογία 3/2 ο αριθμός 8 είναι το αρμονικό μέσο των 6 και 12 το αριθμητικό μέσο των αριθμών αυτών είναι ο 9 Ο αρμονικός και αριθμητικός μέσος δίνουν την αναλογία 9/8 Έτσι προκύπτουν οι μαθηματικές αναλογίες βάση των οποίων κατασκευάζεται η μουσική κλίμακα κατά τους Πυθαγόρειους. Οι αναλογίες αυτές αποδείχθηκαν και στην πράξη από τα πειράματα που έκανε ο Πυθαγώρας πάνω στο μονόχορδο το οποίο διαίρεσε σε 12 ίσα τμήματα (όσες και οι ακμές του κύβου).

13

14 -Ο δεύτερος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πρώτου (υπάτη) αν τον πολλαπλασιάσουμε με 9/8: 1 x 9/8 = 9/8 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 8/9 της χορδής. - Ο τρίτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του δεύτερου (9/8) αν και πάλι πολλαπλασιαστεί με 9/8: 9/8 x 9/8 = 81/64 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 64/81 της χορδής. - Ο έκτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πέμπτου (παραμέση) που πολλαπλασιάζεται με 9/8: 1:2/3 x 9/8 = 27/16 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 16/27 της χορδής. - Τέλος, ο έβδομος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του έκτου και πάλι πολλαπλασιαζόμενου με 9/8: 1:16/27 x 9/8 = 243/128 δηλαδή για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 128/243 της χορδής.

15

16 Χρειάστηκε να περάσουν αιώνες για να προστεθούν τα μουσικά διαστήματα της 3 ης και 6ης και η "ήπια" (συγκερασμένη) κλίμακα του Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ να "ξεκλειδώσει" με την σύνθεση Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο τους νέους ατραπούς που ακολούθησαν οι επόμενοι μεγάλοι "Κλασσικοί". Από την Α-Β-Γ-Δ- Ε- Ζ-Η των αρχαίων Ελλήνων και την ΠΑ-ΒΟΥ- ΓΑ-ΔΗ-ΚΕ-ΖΩ-ΝΗ των Βυζαντινών, στην ΝΤΟ- ΡΕ-ΜΙ-ΦΑ-ΣΟΛ-ΛΑ-ΣΙ-ΝΤΟ των Δυτικών.

17

18 Δάφνη Μπουκουβάλα 1 ο ΓΕΛ. Ν.Ηρακλείου Αττικής

19

20 Παρουσιαστής : : Δημήτρης Περράκης

21 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Οι ερευνητές πιστεύουν πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο.

22 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και "Πυθαγόρειος κανών" γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί εργάσθηκαν για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων πάνω στον κανόνα: Ο Αρχύτας (εξετάζοντας τις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου στα τρία γένη, διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο ανακάλυψε το λόγο της μεγάλης τρίτης στο εναρμόνιο γένος) Ο Ερατοσθένης ο Δίδυμος (σ αυτόν αποδίδεται ο καθορισμός του "κόμματος του Διδύμου", δηλαδή η διαφορά μεταξύ του μείζονος τόνου (9/8) και του ελάσσονος (10/9), 81/80).

23 Πειραματισμός των Πυθαγορείων στο μονόχορδο. για την ανάδειξη της σχέσης μαθηματικών και μουσικής Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή, και όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο Αν μειώσουμε λοιπόν το μήκος μιας χορδής ακριβώς στο μισό, τότε ο ήχος που παράγεται αν ξεκινήσουμε από το ντο είναι ακριβώς μία οκτάβα υψηλότερος, δηλαδή, ένα ντο πιο πάνω. (Μία οκτάβα είναι ένα ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι, ντο) - μας δίνει,.

24 Αν μειώσουμε το μήκος της χορδής κατά 1/3, τότε τα 2/3 της χορδής που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της πέμπτης (δηλαδή από το ντο στο λα). Αν μειώσουμε το μήκος κατά 1/4, τότε τα 3/4 που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της τετάρτης (από το ντο στο σολ). Ήταν ξεκάθαρο, λοιπόν, ότι τα μαθηματικά "κυβερνούν" τη μουσική. Το γεγονός ότι συνδυάζοντας αυτούς τους ήχους δημιουργείται ένα ευχάριστο συναίσθημα στον ακροατή, οδήγησε τους Πυθαγορείους στο συμπέρασμα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσματα ελέγχουν όχι μόνο τον άψυχο αλλά και τον έμψυχο κόσμο μέσω της μουσικής.

25 ΜΟΝΟΧΟΡΔΟ

26 ΠΥΘΑΓΟΡΙΟΙ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΚΤΥΕΣ Οι Πυθαγόρειοι θεωρούσαν τον αριθμό 10 τέλειο και επειδή αυτός προκύπτει από το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων αριθμών =10, του έδωσαν το όνομα «τετρακτύς». Κατά τον Θέωνα το Σμυρναίο υπάρχουν έντεκα τετρακτύες που η κάθε μια εκφράζει ένα τομέα της φιλοσοφικής σκέψης στην αρχαιότητα. Ενδεικτικά, η 4η τετρακτύς δηλώνει τα τέσσερα απλά στοιχεία φωτιά, αέρα, νερό και γη, η 6η αναφέρεται στα γεωμετρικά σχήματα: με 1 εκφράζεται το σημείο, με 2 το μήκος, με 3 η επιφάνεια και με 4 το στερεό, η 8η δίνει τα συστατικά του ζώου: τα 1,2,3 αντιστοιχούν με το λογιστικό, το θυμικό και το επιθυμητικό, δηλαδή εκφράζουν την ψυχή, ενώ το 4 το σώμα.

27 (~365 - ~300 π.χ.) ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Ο Ευκλείδης έχει μια γεωμετρική πρόταση για τα μουσικά διαστήματα. Θεωρεί ότι αντιστοιχούν σε ευθείες γραμμές, με μία όμως διαφορά: ενώ οι ευθείες γραμμές που παράγονται ως αριθμοί, ορίζονται με δύο γράμματα ένα στην αρχή και ένα στο τέλος τους, τα μουσικά διαστήματα δηλώνονται με ένα γράμμα.

28 Αρχιμήδης (~ π.χ.) Ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε με το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων. Τα ευρήματά του αποτέλεσαν τη βάση για τον Ολοκληρωτικό Λογισμό, ενώ υπολόγισε προσεγγιστικά και τον άρρητο αριθμό π.

29 ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΚΟΠΕΡΝΙΚΟΣ ( ) Ο Κοπέρνικος πραγματοποίησε στην πρώσικη πόλη Allenstein (σήμερα πολωνικά: Olsztyn), εκτεταμένες μελέτες για τον Ήλιο και τους πλανήτες και διαπίστωσε ότι το γεωκεντρικό σύστημα του αλεξανδρινού αστρονόμου Πτολεμαίου που ίσχυε για πολλούς αιώνες, δεν έδινε επαρκείς απαντήσεις στις μακροπρόθεσμες προβλέψεις για τη θέση των πλανητών.

30 ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΚΟΠΕΡΝΙΚΟΣ ( ) Το 1507 μελέτησε την ιδέα του Αρίσταρχου του Σάμιου σύμφωνα με την οποία ο Ήλιος αντί της Γης αποτελεί το «ακίνητο κέντρο» του πλανητικού συστήματος. Στη συνέχεια επεξεργάστηκε το ηλιοκεντρικό πλανητικό σύστημα, στο οποίο περιέγραψε τον ετήσιο κύκλο της Γης περί τον Ήλιο, πάλι σε κυκλικές τροχιές και εξήγησε την ημερήσια περιστροφή των απλανών αστέρων του ουρανού ως ιδιοπεριστροφή της Γης περί τον άξονά της.

31 Johannes Kepler ( ) Σύμφωνα με τον Κέπλερ το τετράγωνο του χρόνου που απαιτείται για να συμπληρώσει ένας Πλανήτης μία πλήρη περιφορά γύρω από τον Ήλιο (η περίοδος του πλανήτη) είναι ανάλογο του κύβου του μεγάλου ημιάξονα της ελλειπτικής του τροχιάς, και η σταθερά της αναλογίας είναι η ίδια για όλους τους πλανήτες.

32 Johannes Kepler ( ) Η αρμονία των σφαιρών, αναφέρει ότι κάθε πλανήτης εκπέμπει στην τροχιά του μια διαφορετική μουσική νότα. «Σαν κάποιος που ακούει ένα απαλό, μελωδικό τραγούδι και από τη συμπεριφορά του, τη φωνή του και το κράτημα του ρυθμού με το χέρι του ή με το πόδι του στο ρυθμό της μουσικής φανερώνει πως ακούει και χαίρεται την αρμονία, έτσι και η επίγεια φύση με την αξιοπρόσεκτη και φανερή συγκίνηση του εσωτερικού της Γης, γίνεται μάρτυρας των ίδιων αισθημάτων, ειδικότερα κατά τις εποχές που οι πλανήτες σχηματίζουν αρμονικές θέσεις με τη Γη»

33 Johannes Kepler ( ) Στο έργο του De Harmonice Mundi ο Κέπλερ σχεδίασε την παρτιτούρα επάνω στην οποία εκτελούσαν οι πλανήτες τη συμπαντική τους συναυλία. Πρόκειται για ένα βιβλίο ουράνιας μουσικής παρά Αστρονομίας, γιατί κάπου γράφει: «Ο Κρόνος και ο Δίας τραγουδούν ως μπάσοι, ο Άρης ως τενόρος, η Αφροδίτη και η Γη ως κοντράλτο και ο Ερμής ως σοπράνο».

34 Jean-Baptiste Baron de Fourier ( ) Η φήμη του Fourier στηρίζεται κυρίως στις μελέτες του στα Μαθηματικά και τη Μαθηματική Φυσική. Με την εργασία του «Αναλυτική θεωρία της Θερμότητας» διατύπωσε την ιδέα να χρησιμοποιηθούν τριγωνομετρικές σειρές, τις οποίες μεταγενέστεροι μαθηματικοί ανέπτυξαν στη μαθηματική μεθοδολογία που ονομάζεται σήμερα «Σειρές Fourier». Έτσι ο Fourier θεωρείται ιδρυτής του κλάδου της Θεωρητικής και Μαθηματικής Φυσικής. θα πάρουμε το ανάπτυγμα της f σε σειρά Fourier

35 Helmholtz Ο von Helmholtz ανεγνώρισε αμέσως την αξία αυτών που υποστήριζε ο Fourier. Ο Helmholtz κατασκεύασε μικρές σφαιρικές μπάλες από γυαλί με δύο οπές. Κάθε μια από τις γυάλινες αυτές σφαίρες μπορούσε να απομονώσει μία μόνο αρμονική συνιστώσα ενός μουσικού τόνου που εισήρχετο από τη μία οπή και με τον τρόπο αυτό εξήρχετο από την άλλη οπή η συγκεκριμένη αρμονική συνιστώσα. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η καμπύλη που παράγεται από τη νότα Ρε ενός φλάουτου.

36

37 Συμπερασματικά Η μουσική είναι, ίσως, το πρώτο ποιοτικό φαινόμενο το οποίο μαθηματικοποιεί ο άνθρωπος. Η μουσική θα έπρεπε να εκφραστεί με μετρήσιμα μεγέθη και αυτό γίνεται σταδιακά και συναρτάται μόνιμα με το είδος και το επίπεδο της Μαθηματικής γνώσης κάθε εποχής.

38 ΛΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΝΤΟΣ Θέμα εργασίας: η μουσική της Κίνας Ιαπωνίας Ινδίας

39 Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΚΙΝΑΣ Κίνα -> πλουσιότερος και αρχαιότερος μουσικός πολιτισμός μετά της Αιγύπτου Μουσική στην Κίνα -> συμμετοχή στις σημαντικότερες στιγμές της ζωής του λαού (γάμοι, κηδείες κ.α.) Σκοπός της κινέζικης μουσικής -> ψυχολογική προσέγγιση του ακροατή διαμόρφωση χαρακτήρα

40 Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΚΙΝΑΣ Σύνθεση μουσικής μόνο απ τον αυτοκράτορα 12 φθόγγοι (λου) Πεντατονικές κλίμακες που συμβόλιζαν την καλοσύνη, την δικαιοσύνη, τη ευπρέπεια, την συναίνεση και την χρηστότητα

41 Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΚΙΝΑΣ Τα όργανα χωρίζονταν σε οκτώ ομάδες Υλικά κατασκευής :το μέταλλο, το μετάξι, το ινδικό καλάμι, η κολοκύθα, το χώμα, το δέρμα και το ξύλο

42 Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΚΙΝΑΣ Η κινέζικη μουσική είναι μοναδική λόγω του οτι μιμείται τους ήχους της φύσης, χαρακτηρίζεται απο μελωδικότητα, αλλά είναι αρκετά μονότονη. Οι κινέζοι μουσικοί εμπνέονται από τη αρμονία της φύσης. Παράγουν ήχους που ακούν στη φύση: τον ήχο του αέρα στα φύλλα των δέντρων, στο χορτάρι, του νερού στο ρυάκι, το κελάηδημα των πουλιών κ.λ.π. Αυτή η μουσική έχει την ικανότητα να αγγίζει την ψυχή του ανθρώπου, να την εξυψώνει, να την απομακρύνει απο την ύλη και να την ηρεμεί, να την παρηγορεί, να της δίνει δύναμη και ενέργεια. Φέρνει τον άνθρωπο πιο κοντά στη φύση.

43 ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΚΙΝΑΣ TRA DITIONAL CHINESE MUSIC.mp4 Shop for HP TRA DITIONAL Supplies.lnk.mp4 CHINESE MUSIC.mp4

44 Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΙΑΠΩΝΙΑΣ Μουσική της Ιαπωνίας -. Σχετικά άγνωστη στον κόσμο Επιρροή από βουδιστικούς ψαλμούς και κλασσική μουσική Όργανα που χρησιμοποιήθηκαν: το λαούτο βίβα, τα τύμπανα ταίκο, φλάουτα, κρουστά και γκόγκος.

45 Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΙΑΠΩΝΙΑΣ Χρήση της Ιαπωνικής μουσικής στο θέατρο και σε τελετές Ζεν, πρίν δηλαδή μονομαχήσουν οι Σαμουράι.

46 Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΙΑΠΩΝΙΑΣ Στην σύγχρονη εποχή υπάρχουν τα λαΐκά τραγούδια της Ιαπωνίας. Τα θέματα τους είναι παρμένα από την φύση, από θρύλους και έχουν ένα ύφος νοσταλγίας. Επίσης την εποχή αυτή η Ιαπωνική μουσική επιρρεάστηκε πολύ από την δυτική και δημιουργήθηκε η μοντέρνα μουσική της Ιαπωνίας,η αποκαλούμενη Ένκα. Η Ένκα έιναι ένα είδος λαΐκών μουσικών της Ιαπωνίας που αναπτύχθηκε τον 20ο αιώνα. Είναι μπαλάντες και χρησιμοποιούν το πεντατονικό σύστημα όπως η ελληνική μουσική. Γι αυτό οι Έλληνες μπορούν εύκολα να ακούσουν

47 Η ονομασία Ένκα προήλθε από τα τραγούδια των ακριβιστών που ζητούσαν δημοκρατία και ελευθερία. Πέρασαν πολλά χρόνια από τό Οι τραγουδίστριες φορούν κυμονό και οι άντρες φορούν κοστούμι και γραβάτα ή αντρικά κυμονό. Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΤΗΣ ΙΑΠΩΝΙΑΣ Η ονομασία Ένκα προήλθε από τα τραγούδια των ακτιβιστών που ζητούσαν δημοκρατία και ελευθερία. Πέρασαν πολλά χρόνια από τότε τα Ένκα άλλαξαν. Δεν τραγουδούν ποια την πολιτική αλλά εκφράζουν την αγάπη τον χωρισμό, τα ταξίδια και άλλα. Αυτά τα τραγούδια παίζονται με ορχήστρα, με κιθάρα και με βιολί. Οι τραγουδιστές δεν παίζουν όργανα όταν ερμηνεύουν τα τραγούδια. Οι τραγουδίστριες φορούν κιμονό και οι άντρες φορούν κοστούμι και γραβάτα ή αντρικά κιμονό.

48 ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΗ ΓΙΑΠΩΝΕΖΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ Sakura - - Japanese Folk Music-1.mp4 Music.mp4

49 Η ΜΟΥΣΙΚΗ ] ΤΗΣ ΙΝΔΙΑΣ Μουσική της Ινδίας-> έχει τις ρίζες της 2000 χρόνια πριν Επιρροή από: Ισλαμικούς λαούς Μουσική χωρισμένη σε μουσική της Βόρειας και της Νότιας Ινδίας

50 Η ΜΟΥΣΙΚΗ ] ΤΗΣ ΙΝΔΙΑΣ Η μελωδία της ινδικής μουσικής είναι ένας συνδυασμός ο οποίος περιέχει ανοδική και καθοδική ηχώ και εξαρτάται από την εκτέλεση κάθε τραγουδιού, από την ψυχική κατάσταση που θέλει να φτάσει τον ακροατή της, από την φάση της σελήνης και από την εποχή του χρόνου. Το ρυθμικό σύστημα της ονομάζεται Τάλα και περιέχει εκφραστικό χαρακτήρα.

51 Η ΜΟΥΣΙΚΗ ] ΤΗΣ ΙΝΔΙΑΣ Βέδες: Είναι παραδοσιακοί ύμνοι και τραγούδια τα οποία συνόδευαν τις ιεροτελεστίες και τις θυσίες. Μιλούν για την ένωση και την επικοινωνία του ανθρώπου με το Θεό. Στόχος της ήταν να φτάσει την συνείδηση του ανθρώπου σε ανώτερα πνευματικά επίπεδα και συναισθήματα. Η προέλευση των Βέδων δεν μας είναι γνωστή ωστόσο κατάφερε να ζήσει μέσα από την βουδιστική και μουσουλμανική παράδοση.

52 Η ΜΟΥΣΙΚΗ ] ΤΗΣ ΙΝΔΙΑΣ Τα μουσικά όργανα της Ινδίας: τα κρουστά με παραδοσιακό τους το τάβλα το οποίο συνοδεύεται από το πνευστό σαράνγκι. Στη βόρεια Ινδία είναι κυρίως το σιτάρ και το σάντορ ενώ στη νότια είναι το βίνα και το μπιν. Τα τέσσερα αυτά μουσικά όργανα τα συνοδεύει το ταμπουρά.

53 Η ΜΟΥΣΙΚΗ ] ΤΗΣ ΙΝΔΙΑΣ Εκπρόσωπος της Ινδικής μουσικής είναι ο Ravi Shankar, είναι ο άνθρωπος που διέδωσε την μουσική της χώρας του στη Δύση. Ακόμα και ο George Harrison από τους Beatles τον είπε νονό της παγκόσμιας μουσικής.

54 Παραδοσιακή Ινδική Μουσική Rag Pahadi_ T raditional Indian music..mp4

55 Βιβλιογραφία: ΕΚΔΟΣΕΙΣ «ΓΙΟΒΑΝΗ», μεγάλη εγκυκλοπαίδεια στη δημοτική, Αθήνα 1977

56 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ by Ραφαήλ Κελαηδίτης Νικολοπούλου Αλεξάνδρα

57 Θέμα: Η ΜΕΛΙΣΣΑ ΓΝΩΡΙΖΕΙ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ! Παρουσιάστρια : Αλεξάνδρα Νικολοπούλου

58 Γιατί η μέλισσα επιλέγει το κανονικό εξάγωνο και όχι το ισόπλευρο τρίγωνο ή το τετράγωνο για την κατασκευή των κελιών της κερήθρας; Ιδού το ερώτημα! Αφενός μεν «κλείνει» επακριβώς το επίπεδο χωρίς κενά, αλλά είναι και το μοναδικό σχήμα με την μικρότερη περίμετρο. Δηλαδή η μέλισσα δαπανά λιγότερο κερί για την κατασκευή των κελιών της. Επιπλέον αποτελεί την καλύτερη διαμέριση για την αποθήκευση μέγιστου όγκου μελιού. Αποδεικνύεται με ανώτερα μαθηματικά, ότι αν θέλουμε να διαμερίσουμε ένα δοχείο, ώστε να περιέχεται όσο το δυνατόν μέγιστος όγκος στα κελιά της διαμέρισης αυτό επιτυγχάνεται με την επιλογή κανονικών εξαγώνων.

59 Γιατί η μέλισσα επιλέγει το κανονικό εξάγωνο και όχι το ισόπλευρο τρίγωνο ή το τετράγωνο για την κατασκευή των κελιών της κερήθρας; Ιδού το ερώτημα! Απ' όλα τα γεωμετρικά σχήματα που έχουν ίση περίμετρο, το μικρότερο όγκο κατά σειρά καταλαμβάνει ο κύκλος. Αν οι μέλισσες έφτιαχναν μεμονωμένα κελιά, το ιδανικότερο σχήμα θα ήταν ο κύκλος, γιατί με την ίδια ποσότητα κεριού θα εξοικονομούσαν περισσότερο χώρο. Όμως, κάθε κυψέλη αποτελείται από πολυάριθμα κελιά, τα οποία βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο. Αν τα κελιά ήταν κυκλικά στο σημείο όπου οι κύκλοι δε θα εφάπτονταν, θα έμενε ανεκμετάλλευτος χώρος. Το εξάγωνο είναι η χρυσή τομή για τις μέλισσες. Απαιτεί ελάχιστο κερί, αφού οι πλευρές κάθε κελιού είναι κοινές και για το γειτονικό τους. Επιπλέον, καταλαμβάνει το μικρότερο δυνατό όγκο σε σχέση με άλλα πολύγωνα, γιατί έχει άριστη αναλογία μεταξύ περιμέτρου και επιφανείας.

60 Ποιος έβαλε τις συγκεκριμένες γεωμετρικές πληροφορίες στα απειροελάχιστα εγκεφαλικά κύτταρα αυτού του ζουζουνιού;

61 Από όλα τα κανονικά επίπεδα σχήματα, εκείνα που η μέλισσα θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει για την κατασκευή των κελιών της, είναι τρία: Το ισόπλευρο τρίγωνο Το τετράγωνο και.. το κανονικό εξάγωνο Μόνον αυτά τα τρία γεωμετρικά σχήματα «κλείνουν» ακριβώς το επίπεδο χωρίς να αφήνουν κενά μεταξύ τους.

62 Παρατηρούμε ότι η επιλογή του εξαγωνικού σχήματος δεν είναι τυχαία. Η πλευρά του εξαγώνου (=0,62) σε σχέση με την πλευρά του ισοδυνάμου τετραγώνου (=1) έχουν σχέση χρυσής τομής. Ο νόμος της τέλειας αρμονίας σε όλο του το μεγαλείο! Oι πλευρές δηλαδή των ισοδυνάμων τετραγώνου και εξαγώνου σχηματίζουν το χρυσό ορθογώνιο στο οποίο ο λόγος των πλευρών ισούται με 1,62 ήτοι =φ(προς τιμήν του Φειδία). Αρκεί να αναφέρουμε ότι όλες οι αρμονικές σχέσεις στην φύση καθορίζονται από αυτόν το ιεροκρύφιο αριθμό.

63 Πώς λειτουργεί ο εγκέφαλος μιας μέλισσας; Ο μικροσκοπικός εγκέφαλος μιας μέλισσας : μπορεί να λύσει περίπλοκα μαθηματικά προβλήματα πιο γρήγορα και από τον ταχύτερο επεξεργαστή ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή, όπως αποκαλύπτουν τα αποτελέσματα έρευνας του Πανεπιστημίου του Λονδίνου (Royal Hollway). έχει ισχυρή μνήμη. της δίνει τη δυνατότητα να διερευνήσει και να ανακαλύψει την ταχύτερη διαδρομή, μεταξύ των λουλουδιών, που θα πρέπει να ακολουθήσει. Αυτό δεν είναι μικρό κατόρθωμα, ιδίως αν ληφθεί υπόψη το μικρό μέγεθος του εγκεφάλου των μελισσών. Τελικά, η νοημοσύνη δεν έχει σχέση με το μέγεθος του εγκεφάλου!!

64 Πώς δημιουργούνται οι κυψέλες; Η κυψέλη : φτιάχνεται από ουσίες που βγαίνουν από το σώμα των μελισσών. Οι μέλισσες χωρίς κεντρί παρασκευάζουν ένα μίγμα κεριού και πρόπολης, ανακατεμένο μερικές φορές με λάσπη, φύλλα ή άλλα υλικά που μπορούν να βρουν, και μ' αυτό αφ' ενός επενδύουν όλη τη φωλιά, αφ' ετέρου σφραγίζουν όλα τα ανοίγματα, εκτός από μία μικρή τρύπα, την οποία χρησιμοποιούν ως είσοδο.

65 Βιντεάκια. (BBC ο αόρατος κόσμος των μελισσών) (το πέταγμα της μέλισσας)

66 ΤΕΛΟΣ

67 Οι πρώτοι αριθμοί και τα τζιτζίκια

68 Πρώτοι αριθμοί και Βιολογία "Τα περιοδικά τζιτζίκια,ειδικότερα τα Magicicada septendecim, έχουν το μεγαλύτερο κύκλο ζωής από όλα τα άλλα έντομα. Ο μοναδικός αυτός κύκλος ζωής αρχίζει κάτω από το έδαφος, όπου οι νύμφες ρουφούν υπομονετικά το χυμό από τις ρίζες των δέντρων. Κατόπιν, ύστερα από 17 χρόνια αναμονής, τα ενήλικα τζιτζίκια βγαίνουν από το έδαφος, μαζεύονται και προσωρινά κατακλύζουν το τοπίο. Μέσα σε λίγες εβδομάδες ζευγαρώνουν, γεννούν τα αβγά τους και πεθαίνουν.

69 Γιατί ο κύκλος ζωής του τζιτζικιού είναι τόσο μακρύς; Σημαίνει άραγε, κάτι, το γεγονός ότι αυτός ο κύκλος ζωής είναι πρώτος αριθμός ετών; Ένα άλλο είδος, το Magicicada tredecim, συρρέει κατά σμήνη κάθε δεκατρία χρόνια, υποδηλώνοντας ότι ένας κύκλος ζωής που διαρκεί πρώτο αριθμό ετών προσφέρει κάποια προνόμια στην εξέλιξη. Μία θεωρία διατυπώνει την άποψη ότι το τζιτζίκι προσπαθεί να αποφύγει ένα παράσιτο με, επίσης, μεγάλο κύκλο ζωής. Αν το παράσιτο έχει κύκλο ζωής,λ.χ., δύο χρόνια, τότε το τζιτζίκι θέλει να αποφύγει έναν κύκλο ζωής που διαιρείται με το 2, αλλιώς το παράσιτο και το τζιτζίκι θα συμπίπτουν συχνά. Ομοίως αν το παράσιτο έχει κύκλο ζωής τρία χρόνια, το τζιτζίκι θέλει να αποφύγει έναν κύκλο ζωής που διαιρείται με το 3, αλλιώς επίσης θα συμπίπτουν συχνά. Τελικά, η καλύτερη στρατηγική του τζιτζικιού για να αποφύγει τις συναντήσεις με το παράσιτο είναι να έχει μακρύ κύκλο ζωής, που να διαρκεί πρώτο αριθμό ετών. Επειδή κανένας αριθμός δεν διαιρεί το 17, το Magicicada septendecim σπάνια θα συναντήσει το παράσιτό του. Αν το παράσιτο έχει κύκλο ζωής 2 χρόνια θα συναντιούνται μόνο κάθε 34 χρόνια, ενώ αν έχει μεγαλύτερο κύκλο ζωής, λ.χ. 16 χρόνια, θα συναντιούνται μόνο κάθε 272 (16x17) χρόνια.

70 Ο Κύκλος ζωής του τζιτζικιού Το παράσιτο, για να αντεπιτεθεί, διαθέτει μόνο δύο κύκλους ζωής που αυξάνουν τη συχνότητα σύμπτωσης -τον ετήσιο κύκλο και τον 17ετή κύκλο όπως το τζιτζίκι. Πάντως είναι απίθανο για το παράσιτο να επιβιώσει επανεμφανιζόμενο 17 χρόνια στη σειρά, αφού στις πρώτες 16 εμφανίσεις του δε θα υπάρχουν τζιτζίκια για να παρασιτήσει. Από την άλλη, με σκοπό να φτάσουν τον 17ετή κύκλο ζωής, οι γενιές των παρασίτων θα έπρεπε να εξελίσσονται κατά το 16ετή κύκλο ζωής. Αυτό θα σήμαινε ότι σε κάποιο στάδιο της εξέλιξης το παράσιτο και το τζιτζίκι δε θα συνέπιπταν για 272 χρόνια! Σε κάθε περίπτωση, ο μακρύς κύκλος πρώτων αριθμών ζωής του τζιτζικιού, το προστατεύει. Το γεγονός αυτό εξηγεί ίσως την αιτία που το υποτιθέμενο παράσιτο δεν έχει βρεθεί ποτέ! Στον αγώνα του να συμβαδίσει με το τζιτζίκι, το παράσιτο μπορεί να συνέχισε να επιμηκύνει τον κύκλο ζωής του, μέχρι που έφτασε το φράγμα των 16 ετών. Τότε απέτυχε να συμπέσει με το τζιτζίκι για 272 χρόνια και η μεγάλη αυτή έλλειψη σύμπτωσης το οδήγησε σε εξαφάνιση. Το αποτέλεσμα είναι ένα τζιτζίκι με 17ετή κύκλο ζωής, τον οποίο όμως δεν έχει πια ανάγκη, αφού το παράσιτό του έχει εξαφανιστεί.

71 Τα τζιτζίκια, όμως και συγκεκριμένα τα είδη Magicicada Septendecim και magicicada tredecim, παρουσίασαν ένα ακόμα χαρακτηριστικό για την εξήγηση του οποίου οι βιολόγοι ζήτησαν και πάλι τη βοήθεια των μαθηματικών. Και τα δυο αυτά είδη εμφανίζονται κάθε 17 και 13 χρόνια αντίστοιχα, ζευγαρώνουν, γεννούν τα αυγά τους και πεθαίνουν. Το υπόλοιπο διάστημα της ζωής τους παραμένουν ως νύμφες κάτω από το έδαφος. Σημασία εδώ έχει ότι ο κύκλος εμφάνισής τους είναι πάντοτε πρώτος αριθμός! Το γεγονός αυτό οδήγησε αρκετούς επιστήμονες στο συμπέρασμα ότι η μαθηματική αυτή ακρίβεια τα προστατεύει από κάποιο φυσικό κίνδυνο με παρόμοια χαρακτηριστικά περιοδικής εμφάνισης. Ένα σενάριο προέβλεπε ότι το τζιτζίκι επιχειρεί να αποφύγει κάποιο παράσιτο με παρόμοιο κύκλο ζωής. Αν, λόγου χάρη, το παράσιτο εμφανίζεται κάθε 4 χρόνια, το τζιτζίκι «αποφεύγει» έναν κύκλο που διαιρείται με το 4, αν εμφανίζεται κάθε 5 αποφεύγει έναν κύκλο που διαιρείτε με το 5 κ.ο.κ.

72 ΚελαΪδίτης Ραφαήλ Επιμέλεια:

73 Η μουσική των μαθηματικών By Γιώργος Καμάρας Νίκος Φιλιόπουλος Νίκος Ράπτης Ραφαέλα Κόνη Ηλιάννα Μαντούβαλου Κατερίνα Συμβουλίδου Κατερίνα Τσουκαλά Νίκος Χριστοφορίδης

74 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Επιμέλεια: Καμάρας Γεώργιος

75 ΟΡΙΣΜΟΣ Η χρυσή τομή ορίζεται ως το πηλίκο των θετικών αριθμών α, β όταν ισχύει: 1,618 Θεωρείται ότι δίνει αρμονικές αναλογίες Την εισήγαγε και την υπολόγισε ο Πυθαγόρας. Συμβολίζεται με το γράμμα φ προς τιμήν του Φειδία.

76 ΙΣΤΟΡΙΑ Χρυσός λόγος και άνθρωπος Πυθαγόρειοι και η πεντάλφα Έργα κλασσικής εποχής Παρθενώνας Έργα αναγεννησιακής εποχής - Λεονάρντο ντα Βίντσι Σήμερα - πλαστική χειρουργική Χρυσός λόγος και φύση. Ναυτίλος Ανθρώπινο σώμα - ανατομικές αναλογίες

77 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ Η χρυσή τομή παρατηρείται σχεδόν παντού στην φύση και αξιοποιείται ευρέως στις τέχνες.

78 Η χρυσή τομή στις τέχνες Εφαρμογές της χρυσής τομής συναντάμε στις τέχνες από την εποχή της Αναγέννησης μέχρι και στις μέρες μας.

79 ΤΕΧΝΕΣ Φωτογραφία Μουσική - Σονάτες του Μότσαρτ Γλυπτική Ζωγραφική - Έργα του Leonardo da Vinci Αρχιτεκτονική - Αρχιτεκτονική του Παρθενώνα

80 Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΦΥΣΗ Στο ανθρώπινο σώμα Στα όστρακα, στο σπειροειδές τους σχήμα (λογαριθμική σπείρα) Στο σύμπαν, συγκεκριμένα στις σπείρες των γαλαξιών Σε φυσικά φαινόμενα (π.χ. στο σχήμα των κυκλώνων)

81 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Φ = 1,618 Ο Χρυσός Αριθμός θεωρούταν από τους Αρχαίους Έλληνες ως η θεϊκή αναλογία όπου η εφαρμογή του σε καλλιτεχνικά δημιουργήματα και κατασκευές οδηγούσε σε «άριστα» και «ωραία» αποτελέσματα.

82 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΧΡΥΣΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Στην ιατρική (π.χ. στην οδοντιατρική και στην πλαστική χειρουργική) Στην αρχιτεκτονική Στο χρηματιστήριο Στη γεωμετρία των Φράκταλς Στη βίβλο του Ισλάμ (Κοράνι) Στον άνθρωπο

83 Η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ ΚΑΙ ΔΙΑΒΗΤΗ 1. Κατασκευάζουμε τετράγωνο πλευράς 1 2. Φέρουμε ευθεία παράλληλη προς τη μια βάση και χωρίζουμε το τετράγωνο σε δύο ίσα ορθογώνια (πλευρών 1 και 1/2) και φέρνουμε μία διαγώνιο. 3. Κατασκευάζουμε κύκλο με κέντρο το μέσο της μίας πλευράς του τετραγώνου και ακτίνα τη διαγώνιο του ορθογωνίου. 4. Προεκτείνουμε την πλευρά του τετραγώνου πάνω στην οποία βρίσκεται το κέντρο του κύκλου ως τον κύκλο. Το ευθύγραμμο τμήμα που αποτελείται από την πλευρά του τετραγώνου μαζί με την προέκταση έχει μήκος φ.

84 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ

85 Τι είναι η χρυσή τομή;

86 Χρυσή τομή x a-x a Tο μικρότερο στοιχείο είναι στο μεγαλύτερο ότι ο μεγαλύτερος είναι στο σύνολο x a-x a-x a ax = (a-x)(a-x) ax = a 2-2ax + x 2 x 2-3ax + a 2 = 0 a 1 =1, b 1 = - 3a, c 1 = a 2 Δ= (-3a) 2-4a 2 = 5a 2 X 1 = 3a - a 5 2 X 2 = 3a + a 5 2

87 Χρυσή τομή Άρα αναλογία : για x = 3a - a 5 2 a -x x = x -a = a 5 - a 2 = 1, = φ Ο Χρυσός αριθμός φ - σημαίνει ότι η αναλογία δύο μερών από το τμήμα, έχει παραχθεί με διαίρεση από τη χρυσή αναλογία

88 Πού εμφανίζεται; Εμφανίζεται στην φύση Στο ανθρώπινο σώμα Ακόμα και στην τέχνη

89 Στην φύση

90

91

92 Στο ανθρώπινο σώμα

93

94 Και τέλος Στην τέχνη

95

96

97 Τα μαθηματικά στην Τέχνη Leonardo Da Vinci-Salvador Dali- M.S. Escher-Picasso-Origami- Ισλαμική Τέχνη

98 Leonardo Da Vinci Ασχολήθηκε με τα μαθηματικά στην τέχνη και στη φύση με συστηματικές μελέτες πάνω στο ανθρώπινο σώμα και πρόσωπο. Χρησιμοποίησε στα έργα του χρυσές αναλογίες και σχήματα. Μελέτησε, διόρθωσε και ολοκλήρωσε τον Κανόνα των Αναλογιών(Βιτρούβιος Άνθρωπος). Έδωσε στη χρυσή τομή το σύμβολο Φ προς τιμήν του γλύπτη Φειδία.

99

100 Δεν απέδιδε πάντοτε τα αντικείμενα από συγκεκριμένη οπτική γωνία αλλά όλες οι διαστάσεις και οι όψεις τους είναι ορατές(κυβισμός). Δημιουργούσε διπλές και τριπλές εικόνες μέσω πανοραμικών προεκτάσεων (οφθαλμαπάτες). Χρήση γεωμετρικών και τοπολογικών στοιχείων, προσπάθεια απεικόνισης του τετρασδιάστατου χώρου σε δύο διαστάσεις. Συχνή διαστρέβλωση προοπτικών και διαστάσεων, αλλά και τέλεια γεωμετρική ακρίβεια. Salvador Dali

101

102 Πατέρας της μαθηματικής τέχνης, ερευνούσε μαθηματικές ιδέες μέσω των έργων του. Ψηφιδωτή τεχνική για τον χωρισμό του επιπέδου, π.χ. σε κυματιστές σειρές πουλιών, ψαριών κ.α. Έδειξε ενδιαφέρον για τον τρόπο αλληλεπίδρασης των σχημάτων στη δημιουργία εικόνων. Τα έργα του βασίζονται σε νόμους συμμετρίας, θεωρίας συνόλων, προοπτικής και τοπολογίας. Έφτιαξε τη διάσημη αναπαράσταση της κορδέλας του Moebius. M.S. Escher

103

104 Picasso Τεχνική σύνθεσης σε αφηρημένη μορφή, απόδοση σύνθετων σκηνών σε απλές γεωμετρικές φόρμες. Οι ανθρώπινες και οι άλλες μορφές παρουσιάζονται παραμορφωμένες, «κομματιασμένες» σε σχήματα. Μεταγενέστερα, οι φόρμες αυτές γίνονται μεγαλύτερες και πιο επίπεδες, συνοδευόμενες από έντονα και λαμπερά μοτίβα.

105

106 Origami Φτιάχνονται από ένα οποιοδήποτε τετράγωνο κομμάτι χαρτιού και κατατάσσονται στα δύσκολα και πολύπλοκα προβλήματα. Βοηθούν στην εκμάθηση και κατανόηση γεωμετρικών εννοιών και μαθηματικών σχέσεων, όπως οι γωνίες, τα τρίγωνα, η ομοιότητα, η συμμετρία, το κέντρο, το σημείο, τα κλάσματα κ.α. Έχουν εφαρμογές τόσο στα μαθηματικά όσο και στην αρχιτεκτονική και την ιατρική.

107

108 Ισλαμική Τέχνη Χαρακτηριστικά τα φυτικά και γεωμετρικά κοσμήματα που είτε μεμονωμένα είτε σε συνδυασμούς δημιουργούν πολύπλοκες γεωμετρικές συνθέσεις (αραβουργήματα). Τα σύνθετα σχέδια που δημιουργούνται από την επανάληψη των σχημάτων καλύπτουν μεγάλες ή μικρές επιφάνειες και μπορούν να επαναλαμβάνονται ατέρμονα. Ορισμένες γεωμετρικές παραστάσεις βασίζονται σε αρχές των μαθηματικών που ανακαλύφθηκαν αιώνες αργότερα από Δυτικούς μαθηματικούς, πράγμα που μαρτυρά διαισθητική κατανόηση σύνθετων μαθηματικών τύπων.

109 Θέμα : O Έλληνας μαθηματικός και μουσικός Ιάνης Ξενάκης.

110 Ο Ιάνης Ξενάκης χρησιμοποίησε ως βάση για τις περισσότερες συνθέσεις του μαθηματικά μοντέλα, με αποτέλεσμα να χαρακτηριστεί ως «νεοπυθαγόρειος». Αναλυτικότερα, οι πρωτοποριακές συνθετικές μεθόδοι που ανέπτυξε συσχέτιζαν τη μουσική και την αρχιτεκτονική με τα μαθηματικά και τη φυσική, μέσω της χρησιμοποίησης μοντέλων απο τη Θεωρία των Συνόλων, τη Θεωρία των Πιθανοτήτων, τη Θερμοδυναμική, τη Χρυσή Τομή, την Ακολουθία Φιμπονάτσι κ.ά. Παράλληλα, οι φιλοσοφικές τους ιδέες για τη μουσική έθεσαν καίρια το αίτημα για ενότητα φιλοσοφίας, επιστήμης και τέχνης, συμβάλλοντας στο γενικότερο προβληματισμό για την κρίση της σύγχρονης ευρωπαϊκής μουσικής των δεκαετιών του 1950 και 1960.

111 Το πρώτο έργο του που σηματοδοτεί την πρωτοποριακή κατεύθυνση είναι οι Μεταστάσεις.Κατευθύνθηκε σε μια «τυποποίηση» της μουσικής, με τη μαθηματική έννοια του όρου, εισάγοντας τον όρο «στοχαστική μουσική» (η μεταφορά στη μουσική των μαθηματικών θεωριών που σχετίζονται με τους νόμους των πιθανοτήτων).

112 Μέσα από τις διαδηλώσεις θέωρει ότι ο τέλειος ρυθμός διασπάται σε ένα τεράστιο ορμαθό χαοτικών ήχων, ο οποίος επίσης εξαπλώνεται στην ουρά. Οι στατιστικοί νόμοι των γεγονότων αυτών, απομονωμένοι από το πολιτικό και ηθικό τους πλαίσιο, είναι οι νόμοι της μετάβασης από την απόλυτη τάξη στην απόλυτη αταξία με έναν συνεχή ή εκρηκτικό τρόπο.<<είναι στοχαστικοί νόμοι>>. Με αυτή τη λογική, ο Ξενάκης κατασκευάζει συνολικά ηχητικά συμβάντα, τα οποία αποτελούνται από ένα μεγάλο πλήθος μεμονωμένων ήχων, με βάση τους στοχαστικούς νόμους.

113 Τέλος, ο Ξενάκης εφαρμόζει ακόμα ένα πλήθος από μαθηματικές θεωρίες στο έργο του, όπως: Η θεωρία των συνόλων, όπως την εφάρμοσε στο έργο του Έρμα για πιάνο. ( Όλη η έκταση του πιάνου θεωρείται ως σύνολο Α με τρία υποσύνολα, με αποτέλεσμα να προκύπτει ποικιλία ακουσμάτων). Η θεωρία των παιγνίων. Στα έργα που εφαρμόζει τη θεωρία αυτή (Duel και Στρατηγική), υπάρχουν δύο μαέστροι που αντιδρούν ο ένας στις επιλογές του άλλου. (Είναι τα μόνα έργα του Ξενάκη στα οποία υπάρχει το στοιχείο του αυτοσχεδιασμού). Η Άλγεβρα Μπουλ, σε συνδυασμό με τη θεωρία των συνόλων. Η θεωρία αυτή χρησιμοποιείται στα έργα Έρμα και Εόντα και ονομάζεται από τον Ξενάκη «Συμβολική μουσική». Φόρμες οργανικής εξέλιξης - δενδροειδείς διακλαδώσεις, όπως αυτές εφαρμόστηκαν στα έργα Eυρυάλη (για πιάνο) και Eρίχθων (κοντσέρτο για πιάνο).

114

115 Project 3 : Μαθηματικά και μουσική Φράκταλ

116 Τι είναι Φράκταλ ; Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο".

117 Ιδιότητες του Φράκταλ Χαρακτηριστική ιδιότητα: περίπλοκα ως προς τη μορφή τους τα τμήματά του έχουν το ίδιο σχήμα ή δομή με το σύνολο, εκτός από το ότι είναι σε διαφορετική κλίμακα. περιέχει διακριτά αντικείμενα σε διάφορες κλίμακες.

118 Self-similarity Στα fractals παρουσιάζεται self-similarity, σε όλες τις κλίμακες. Σαν self-similarity δεν εννοούμε επακριβώς την ίδια δομή σε όλες τις κλίμακες, αλλά τον ίδιο τύπο δομής.

119 Εικόνες Φράκταλ

120 Φυσικά Φράκταλς Τα Fractals περιγράφουν επίσης και πολλά αντικείμενα στον πραγματικό κόσμο, σύννεφα, βουνά, ακτές, που δεν αντιστοιχούν σε απλά μαθηματικά σχήματα.

121 Φυσικά Φράκταλς Παρόλο που συνήθως χρησιμοποιούμε απλοποιημένα μοντέλα, πολλές δομές στη φύση παρουσιάζουν περίπλοκη μορφή και self-similarity. Στη φύση, οι διαδοχικές διακλαδώσεις δεν μπορούν να συνεχίζονται επ άπειρο, όπως σε ένα μαθηματικό μοντέλο, αλλά για πχ 5 ή 10 επίπεδα, ανάλογα με τη βιολογική δομή

122 Παράδειγμα

123 Παράδειγμα

124 Τα μαθηματικά στον κινηματογράφο Μυστήρια ίντριγκες αλλά και πολύ δράμα

125 A BEAUTIFUL MIND JOHN NASH

126 ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Η θεωρία παιγνίων (game theory) ξεκίνησε σαν κλάδος των οικονομικών με το βιβλίο των Τζον φον Νόιμαν (John von Neumann) και Όσκαρ Μόργκενστερν (Oskar Morgenstern) Theory of Games and Economic Behaviour (Θεωρία Παιγνίων και Οικονομική Συμπεριφορά) πάνω σε παιχνίδια μηδενικού αθροίσματος (zerosum games). Το κύριο αντικείμενό της είναι η ανάλυση των αποφάσεων σε καταστάσεις (παιχνίδια) στρατηγικής αλληλεπίδρασης (strategic interdependence).

127 ΤΙ ΒΡΗΚΕ ΟΜΩΣ Ο ΝΑΣ; ο Τζων Φορμπς Νας (John Forbes Nash) (η ζωή του έγινε θέμα της ταινίας "ένας υπέροχος άνθρωπος"), ο οποίος γενίκευσε το πρόβλημα σε παιχνίδια μη μηδενικού αθροίσματος και πρόσφερε σαν λύση την ισορροπία Νας (Nash Equilibrium)

128 PROOF Μια ταινία που δείχνει μια κόρη με τα χαρίσματα του πατέρα της. Ο πατέρας, ο Ρομπερτ είναι μια μαθηματική διάνοια αλλά παράλληλα τρελός και μόλις 2 μέρες πριν είχε πεθάνει. Η Καθριν μαζί με τον Χαρολντ, φοιτητή στο μαθηματικό του Σικάγο όπου ήταν και η ίδια αλλά τα παράτησε για φροντίζει τον γέρο, τρελό πατέρα της ανακάλυψαν μέσα σε ένα βιβλίο του Ρομπερτ μια θεωρία που είχε αναπτυχθεί στο χαμένο μυαλό του που μέχρι σήμερα πολλοί άλλοι μεγάλοι μαθηματικοί δεν είχαν καταφέρει να σκεφτούν. Στην συγκεκριμένη θεωρία τη αρχική ιδέα είχε ο Ρομπερτ όπου ολοκληρώθηκε με την βοήθεια της κόρης του Καθριν.

129

130 Good Will Hunting Κυνήγι καλής θέλησης είναι η ακριβής μετάφραση του τίτλου της ταινίας η οποία μιλάει για έναν καθαριστή τον Γουίλ Χάντινγκ ο οποίος δουλεύει στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης μέσα όπου αποδεικνύεται ότι είναι ιδιοφυία

131

132 ΜΟΤΣΑΡΤ ΚΑΙ ΕΥΦΥΙΑ K. 448 Mozart Sonata for T wo Pianos in D major, I Allegro co.mp4

133 Φαινόμενο Μότσαρτ

134 Λίγα λογία για τον Μότσαρτ Όνομα:Wolfgang Amadeus Mozart Γεννήθηκε: Σάλτσμπουργκ /27 Ιανουαρίου 1756 Πέθανε: Βιέννη /5 Δεκεμβρίου 1791 Συνθέτης: κλασσικής μουσικής Συνέθεσε: περισσότερα από 600 έργα, μουσική δωματίου, συμφωνική, εκκλησιαστική μουσική, φαντασίες, σονάτες, άριες Θεωρείται: σημαντικός εκπροσώπους του λεγόμενου βιεννέζικου κλασικισμού

135 Αρχή του φαινόμενου Gordon Shaw & Xiaodan Leng : 1988 μετατρέπουν σήματα εγκέφαλου σε ήχους (ακούγονταν σαν μουσική) Ο Shaw: δούλεψε ανάποδα και παρακολούθησε τον τρόπο που ανταποκρίνεται ο εγκέφαλος στη μουσική Don Campbell: συγγραφέας του βιβλίου The Mozart Effect

136 Γιατί Μότσαρτ Campbell : η έκθεση σε Μότσαρτ έχει μεγαλύτερη επιρροή στη αντίληψη χώρου, από ότι η έκθεση σε μουσική άλλων δύναμη Μότσαρτ προέρχεται από: =>γεγονότα της γέννησης του (Frances Rauscher) =>εμβρυακές και εφηβικές του εμπειρίες αποτελούνταν μουσική(δύο γονείς μουσικοί) από =>έκθεση σε μουσική από μικρή ηλικία(βελτιώσεις στον εγκέφαλο του) Διαφωνία: πολλοί διάσημοι συνθέτες, όπως Bach και Beethoven, γεννήθηκαν σε παρόμοιο μουσικό περιβάλλον.

137 Η έρευνα Επιστήμονες: Frances Rauscher, Gordon Shaw & Katherine Ky διαδικασία εξέτασης: =>ακρόαση σονάτας Μότσαρτ (σονάτα για δύο πιάνα σε Ρε Ματζόρε, Κ 448) =>ακρόαση κασέτας με οδηγίες χαλάρωσης =>κατάσταση σιωπής

138 Αποτελέσματα έρευνας Αποτελέσματα Αποτελέσμ μούσικη χαλάρωση σιωπή

139 Rideout & Laubach (1996) Wilson & Brown (1997) Rideout & Taylor (1997) Rideout, Dougherty & Wernert (1998)

140 Ψυχολογική ερμηνεία της επίδρασης έκθεση στη μουσική=> δημιουργία της διάθεσης Μουσική Μότσαρτ=> δημιουργία διάθεση ενθουσιασμού διαφορές στη διάθεση =>επηρεάζουν δοκιμασίες γνώσεων Ερευνητές έχουν διαπιστώσει ότι η επίδραση Μότσαρτ, είναι στην πραγματικότητα προτίμησης στη μουσική του Μότσαρτ.

141 Ιδιαιτερότητα μουσικής Μότσαρτ σε σχέση με άλλες μουσικές 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 μουσική του 1930 Μότσαρτ Μπετόβεν

142 Τέλος Ηλιάνα Μαντούβαλου project 3

143 Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Βασίλης Ζβαρνιάς

144 Όταν λοιπόν κάποιος δει στο μικροσκόπιο μια νιφάδα του χιονιού θα θαυμάσει το συμμετρικό σχήμα της. Πρόκειται για ένα μικροσκοπικό εξαγωνικό κρύσταλλο, που αποτελείται από έξι σχεδόν όμοια πέταλα. Έτσι αν τον περιστρέψουμε κατά 60 ή κατά 120 μοίρες γύρω από το κέντρο του θα φαίνεται ακριβώς όμοιος. O κρύσταλλος δηλαδή παραμένει αναλλοίωτος κάτω από έναν τέτοιο μετασχηματισμό περιστροφής, γεγονός που χαρακτηρίζει τη συμμετρία του. ΧΙΟΝΟΝΥΦΑΔΑ

145 Συμμετρία είναι η ιδιότητα ενός αντικειμένου ή συστήματος, να παραμένει αναλλοίωτη μετά από ένα σύνολο αλλαγών (μετασχηματισμών) H έννοια της συμμετρίας ξεκίνησε από την εποχή του Πυθαγόρα, ο οποίος πίστευε ότι πίσω από την πολυπλοκότητα των καθημερινών γεγονότων ο κόσμος έχει μια αρμονία και ότι τα μαθηματικά είναι η γλώσσα με την οποία αυτή η αρμονία εκφράζεται. Από τις πυραμίδες και τον Παρθενώνα μέχρι τους καθεδρικούς ναούς και τον πύργο του Αϊφελ, τα διασημότερα αρχιτεκτονικά μνημεία της ανθρωπότητας εμφανίζουν, κατά κανόνα, κάποιου είδους συμμετρία.

146 Ένα πολύ απλό παράδειγμα συμμετρίας είναι η μετατόπιση στο χώρο: Οι νόμοι της Φυσικής παραμένουν αναλλοίωτοι σε μετατοπίσεις στο χώρο. Επίσης, παραμένουν αναλλοίωτοι σε περιστροφές γύρω από οποιονδήποτε άξονα που περνάει από κάποιο σημείο.

147 Αυθόρμητο σπάσιμο της συμμετρίας Πολλές φορές βρίσκουμε καταστάσεις, που ενώ είναι εσωτερικά συμμετρικές, κατά κάποιο τρόπο οδηγούν σε μη συμμετρικό αποτέλεσμα. Αυτό ονομάζεται αυθόρμητο σπάσιμο της συμμετρίας. Για παράδειγμα, όταν στρίψουμε ένα νόμισμα πετώντας το στον αέρα, αυτό έχει ίσες πιθανότητες να έρθει κορώνα ή γράμματα, καθώς στριφογυρίζει στον αέρα. Μ άλλα λόγια, όσο διάστημα το νόμισμα βρίσκεται στον αέρα, έχει ίσες πιθανότητες να έρθει κορώνα, ή, γράμματα. Εν τούτοις, μόλις το νόμισμα πέσει, η συμμετρία σπάει.

148 Συμμετρία υπάρχει επίσης και στον φυτικό κόσμο κυρίως στα φύλλα των φυτών και των δένδρων και σε μερικά λουλούδια όπως η μαργαρίτα και το ηλιοτρόπιο. Ας έρθουμε τώρα και στον ζωικό βασίλειο για να δούμε μερικά από τα άπειρα παραδείγματα συμμετρίας. Από τον ιστό της αράχνης στον αστερία της θάλασσας και στα ανοιγμένα φτερά του αετού και άλλων μεγάλων πουλιών.

149 ΑΡΜΟΝΙΑ ΤΩΝ ΣΦΑΙΡΩΝ

150 ΑΡΜΟΝΙΑ ΤΩΝ ΣΦΑΙΡΩΝ

151 Οι πλανήτες καθώς περιστρέφονται παράγουν διαφόρους ήχους Πυθαγόρας: είχε φτάσει σε τέτοιο επίπεδο ευαισθησίας ώστε ν ακούει την συμφωνία του ουρανού. Η μελωδία του σύμπαντος είναι τόσο ξεχωριστή, ώστε τα απλοΐκά αυτιά μας δεν μπορούν να την ακούσουν. Ωστόσο, πρόκειται για μία μουσική με τόση ισχύ,ώστε να καθορίζει όλους του κύκλους της ζωής.

152

153 Άγιος Αυγουστίνος: Πίστευε ότι οι άνθρωποι ακούν τελικά την μουσική των σφαιρών την στιγμή του θάνατού τους και ότι πρόκειται για ήχους που αποκαλύπτουν τη μέγιστη αλήθεια του σύμπαντος.

154 ΣΗΜΕΡΑ! Γνωρίζουμε ότι δεν υπάρχει γαλαξιακός αιθέρας με τον οπίο να έχουν τριβή οι πλανήτες. Γνωρίζουμε όμως επίσης ότι δεν υπάρχει πουθενά μέσα στο σύμπαν απόλυτο κενό.

155 7 πλανήτες αλλά γιατί με αυτήν την σειρά ; Κρόνος Δίας Άρης Ήλιος Ερμής Αφροδίτη Σελήνη

156 Πλανήτες σαν νότες, νότες σαν πλανήτες Διότι έχει σχέση με την θέση τους «έξω». για να το καταλάβουμε κάλύτερα όμως να δούμε τι υποστήριζε ο Νίκόμαχος: Πως τα ονόματα των επτά μουσικών φθόγγων βγήκαν απο τους επτά πλανήτες και την θέση τους σε σχέση με την Γη.

157 Και ένα παραδειγματάκι! Απο την κίνηση του κρόνου,που είναι ο πιο απομακρυσμένος απο μας πλανήτης,η χαμηλότερη νότα στην διαπασών ονμάστηκε υπάτη, γιατί ύπατος είναι ο πιο ψηλός.

158 Κρόνος-υπάτη Δίας παρυπάτη Άρης λιχανός Ήλιος μέση Ερμής παραμέση Αφροδίτη-παρανήτη σελήνη νήτη Γη

159 Πλάτωνας : Έλεγε ότι αυτά τα πολύεδρα είναι οι βασικοί δομικοί κρίκοι,τα πλέον σημαντικά δομικά στοιχεία. Αν τα δούμε απο γεωμετρική και μαθηματική πλευρά θα παρατηρήσουμε ότι υπάρχουν 5 συμμετρικά πολύεδρα στην δημιουργία του σύμπαντος. Κάτι που έχει επαληθευθεί απο σύγχρονους επιστήμονες,ότι δηλαδη συγκεκριμένες νότες αποδίδουν συγκεκριμένα γεωμετρικά σχήματαστερεά.

160 Τελικά όμως ισχυουν όλα αυτά ή είναι απλά ένας και μόνο μύθος; Ναι ισχύουν! Και έρχεται να μας το αποδίξει με πιο εξελιγμένα μέσα η ΝΑΣΑ έτη μετά,στο σήμερα, η σύγχρονη επιστήμη έχει αποδείξει,όλα όσα έλεγαν ο Πλάτων και ο Πυθαγόρας για την μουσική των ουράνιων σφαιρών.

161 επιμέλεια αρχισυνταξία Κατερίνα Συμβουλίδου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κατασκευή: Το μονόχορδο του Πυθαγόρα 2005-2006 Τόλιας Γιάννης Α1 Λ Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Α. Τσαγκογέωργα Περιεχόμενα: Τίτλος Εργασίας Σκοπός Υπόθεση (Περιγραφή Κατασκευής) Ορισμός Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Επιμέλεια: Μιχαηλίσιν Άννα- Μαρία, Τζιώτης Δημήτρης, Τσάτσα Κωνσταντίνα Η συμμετρία στο φυσικό κόσμο Η συμμετρία που κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013

Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013 Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013 Η Χρυσή τοµή στην καθηµερινότητά µας Η χρυσή τοµή δεν είναι µόνο ένας µαθηµατικός όρος, αλλά και µια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Υποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή

Υποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή Α Γενικό Λύκειο Τοσιτσειο Αρσάκειο Εκάλης Ερευνητική εργασία project :Τα μαθηματικά στην Ακρόπολη Υποομάδα 3 Θέμα: Χρυσός Αριθμός Φ- Χρυσή Τομή Μέλη ομάδας: Χρήστος Παπακωνσταντίνου Βασίλης Πελωριάδης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ

ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ Στον τομέα της μουσικής η έρευνα του Αριστόξενου ήταν επαναστατική. Παραμέρισε τις έρευνες των πυθαγορείων

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

Μουσικοθεωρητικό σύστημα - Αρμονική

Μουσικοθεωρητικό σύστημα - Αρμονική Μουσικοθεωρητικό σύστημα - Αρμονική Κλεονίδης, Εισαγωγή Αρμονική. Αρμονική εστίν επιστήμη θεωρητική και πρακτική. μέρη δε αυτής επτά. Περί φθόγγων Περί διαστημάτων Περί γενών Περί συστήματος Περί τόνου

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Α. Εισαγωγή Ερώτηση 1. Η τιμή της μάζας ενός σώματος πιστεύετε ότι συνοδεύει το σώμα εκ κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ 1 Οι ήχοι που χρησιμοποιούμε στη μουσική λέγονται νότες ή φθόγγοι και έχουν επτά ονόματα : ντο - ρε - μι - φα - σολ - λα - σι. Η σειρά αυτή επαναλαμβάνεται πολλές φορές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΦΑΙΔΡΑ ΚΟΥΡΒΙΣΙΑΝΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΤΣΑΝΤΩΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΣΙΜΑΤΗΣ Ερευνητικά Ερωτήματα Ποιοι είναι ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

1 Dodecaeder 3 7 5 11 9. 2 12 4 10 6. 8 Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Copyright 1998-2005 Gijs Korthals Altes www.korthalsaltes.com Dodecaeder Copyright 1998-2005 Gijs Korthals

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Πέτρου Αναστασία Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΑΘΗΝΑ 2013 Ο Πυθαγόρας (586 500 π.χ.) του Μνησάρχου και της «ωραίας υπέρ φύσιν» Πυθαϊδος γεννήθηκε στη Σάμο. Μικρός επισκέφθηκε τους Δελφούς,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Κατασκευή µαθηµατικών fractals ΕΥΣΤΑΘΙΟΥ ΑΓΓΕΛΙΚΗ ΣΦΑΕΛΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ 1. Η καµπύλη του Koch H καµπύλη του Κoch ή Νησί του Koch ή χιονονιφάδα του Koch περιγράφηκε για πρώτη φορά από το Σουηδό µαθηµατικό Helge

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη μουσική. Μουσικοκινητική Αγωγή. Α εξάμηνο Θεωρία 3. ΝΟΤΕΣ. 1. Μουσική 2. Μελωδία 3. Νότες 4. Ρυθμός

Εισαγωγή στη μουσική. Μουσικοκινητική Αγωγή. Α εξάμηνο Θεωρία 3. ΝΟΤΕΣ. 1. Μουσική 2. Μελωδία 3. Νότες 4. Ρυθμός Μουσικοκινητική Αγωγή Α εξάμηνο Θεωρία Μίχα Παρασκευή, PhD Μουσικολόγος, Μουσικοπαιδαγωγός 1 Μουσικοκινητική Αγωγή (Θ) ΜΙΧΑ Παρασκευή 1 Εισαγωγή στη μουσική 1. Μουσική 2. Μελωδία 3. Νότες 4. Ρυθμός 2 Μουσικοκινητική

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci»

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Μάθημα: Άλγεβρα Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Σκοτίδας Τάξη: Β Λυκείου Τμήμα Β2 Ονοματεπώνυμο: Λαμπρινή Μαρίνα Λάππα Σχολικό έτος: 2010 2011 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Ποιο πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα.

Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα. Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα. Η σκέψη του ήταν πως αν υπάρχει ένα ευθύγραμμο τμήμα και ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

«Διαστηµατικά» Εκεί που τα µαθηµατικά συναντούν τη µουσική.

«Διαστηµατικά» Εκεί που τα µαθηµατικά συναντούν τη µουσική. «Διαστηµατικά» Εκεί που τα µαθηµατικά συναντούν τη µουσική. Του καθηγητή µουσικής µουσικολόγου Δηµήτρη Γρίβα Web-site: http://users.sch.gr/dgrivas E-mail: dgrivas@sch.gr Τα µαθηµατικά και η µουσική είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Τα ερωτήματα Δύο σώματα έχουν το ίδιο σχήμα και τις ίδιες διαστάσεις με το ένα να είναι βαρύτερο του άλλου. Την ίδια στιγμή τα δύο σώματα αφήνονται ελεύθερα να πέσουν μέσα στον

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική Πληροφορική. Δ. Πολίτης, Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ, 2015

Μουσική Πληροφορική. Δ. Πολίτης, Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ, 2015 Μουσική Πληροφορική Δ. Πολίτης, Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ, 2015 Άδεια Χρήσης 2 Άδεια Χρήσης 3 Άδεια Χρήσης 4 Ήχος Κλίμακες Β & Γ Δ. Πολίτης 2 ο Μάθημα Περιεχόμενα Μέρος Α : Ανατομία και φυσιολογία του αυτιού

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέματα: - Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες - ισδιάστατη γεωμετρία - Γωνίες - Στερεομετρία - Συμμετρία/ μετασχηματισμοί 1 Έννοιες χώρου και καρτεσιανές συντεταγμένες 1. Ο χάρτης δείχνει

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου. ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Να γίνει η ανθυφαίρεση, μεταξύ της διαγωνίου δ και της πλευράς α ενός κανονικού πενταγώνου. Διαπραγμάτευση του προβλήματος: (Απευθύνεται σε αναγνώστη με ελάχιστες πρότερες γνώσεις) Το παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θυμάμαι σαν χθες (παρόλου που πέρασαν μερικά χρονάκια) τον Μαθηματικό μας, να μας λέει με δυνατή και σοβαρή φωνή:

Θυμάμαι σαν χθες (παρόλου που πέρασαν μερικά χρονάκια) τον Μαθηματικό μας, να μας λέει με δυνατή και σοβαρή φωνή: Τουρναβίτης Στέργιος Eπαναληπτικές ασκήσεις Γεωμετρίας Β Γυμνασίου Θυμάμαι σαν χθες (παρόλου που πέρασαν μερικά χρονάκια) τον Μαθηματικό μας, να μας λέει με δυνατή και σοβαρή φωνή: «Ένα καλό σχήμα σε άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58].

εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. εγγράφοντας κανονικά πολύγωνα σε τόρους, δηλαδή στερεούς δακτυλίους µε κυκλική τοµή, και επίσης τα µελετά µε πυραµίδες. [Β-4, σελ 58]. Η συνεισφορά του Kepler στα Αρχιµήδεια ήταν µεγάλη, γιατί αυτός απέδειξε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα

Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 2015. Εισαγωγικό σημείωμα Ενδεικτικές δοκιμασίες για την εισαγωγή στα Πρότυπα Γυμνάσια 015 Εισαγωγικό σημείωμα Σύμφωνα με τις οδηγίες της ΔΕΠΠΣ: Στα Μαθηματικά ελέγχονται οι ικανότητες των μαθητών/τριών στην κατανόηση και στην

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Κορδάτος Κωνσταντίνος Λισέβσκι Αντριάν Μακελαράκη Μελίνα Μιράντα Νίξον Μπελέρης Άρης Νεζεργιώτης Ιωάννης Παβλόβσκα Μάρτα Τάμπα Ιουλιάν

Κορδάτος Κωνσταντίνος Λισέβσκι Αντριάν Μακελαράκη Μελίνα Μιράντα Νίξον Μπελέρης Άρης Νεζεργιώτης Ιωάννης Παβλόβσκα Μάρτα Τάμπα Ιουλιάν ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΟΥ PROJECT Αντέμι Ορέστης Γκαντάλλα Μάρκος Γεωργακόπουλος Ευάγγελος Γιώργκο Σπύρο Καρούσης Στέφανος Κερμέζο Χριστίνα Κονιτόπουλος Πέτρος-Παύλος Κορδάτος Κωνσταντίνος Λισέβσκι Αντριάν Μακελαράκη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 11 12 (B - Γ Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Από την εικόνα μπορούμε να δούμε ότι: 1 + 3 + 5 + 7 = 4 4. Ποια είναι η τιμή του: 1 + 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής)

Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής) Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής) Από την εποχή που οι άνθρωποι σήκωσαν τα μάτια τους προς τον ουρανό και παρατήρησαν τον Ήλιο (τον θεό τους) και τα αστέρια, είχαν την πεποίθηση ότι η Γη είναι

Διαβάστε περισσότερα

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89...

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89... ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ: Β ΜΕΡΟΣ 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89... Οι παραπάνω αριθμοί ονομάζονται Ακολουθία Fibonacci το άθροισμα των 2 προηγουμένων αριθμών ισούται με τον επόμενο αριθμό στην ακολουθία. Το πηλίκο τον

Διαβάστε περισσότερα

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ)

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) (ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Περίμετρος ενός τριγώνου λέγεται το άθροισμα των μηκών των πλευρών του). Μια περίπτωση είναι οι πλευρές του να έχουν μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διατήρηση Ορμής Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός htt://hyiccore.wordre.co/ Βασικές Έννοιες Μέχρι τώρα έχουμε ασχοληθεί με την μελέτη ενός σώματος και μόνο. Πλέον

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë

ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔÔ Û Ì Î È ÔÈ ÎÈÓ ÛÂÈ ÙË Ë Tα βασικά σημεία του μαθήματος Η Γη είναι ένα ουράνιο σώμα, που κινείται συνεχώς στο διάστημα. Το σχήμα της είναι γεωειδές, δηλαδή είναι ελαφρά συμπιεσμένο στις κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON

ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON 1 ΔΥΝΑΜΗ, ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ NEWTON Τι είναι «δύναμη»; Θα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε ότι ο όρος «δύναμη» στη Φυσική έχει αρκετά διαφορετική σημασία από ότι στην καθημερινή γλώσσα. Εκφράσεις όπως «τον χτύπησε με δύναμη»,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλαιο 2: Αναλογίες - Ομοιότητα Κεφάλαιο 3: Πυθαγόρειο Θεώρημα (και μετρικές σχέσεις) Κεφάλαιο 4: Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Κεφάλαιο 2: Αναλογίες - Ομοιότητα Κεφάλαιο 3: Πυθαγόρειο Θεώρημα (και μετρικές σχέσεις) Κεφάλαιο 4: Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη Γεωμετρία της Β Λυκείου παρουσιάζονται θεωρήματα και προβλήματα που έχουν μεγάλη ιστορική και μαθηματική αξία. Αξιοποιείται η αναλυτικήσυνθετική μέθοδος και επιχειρείται μία πρώτη επαφή με

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΑΙΖΩ ΚΑΙ ΚΑΤΑΛΑΒΑΙΝΩ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1oς ΚΥΚΛΟΣ - ΠΑΙΖΟΥΜΕ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α Ενότητα Ανακαλύπτουμε τις ιδιότητες των υλικών μας, τα τοποθετούμε σε ομάδες και διατυπώνουμε κριτήρια ομαδοποίησης Οι μαθητές μαθαίνουν να αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007

2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης. Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 2 ο Εργαστήρι Λεσχών Ανάγνωσης Πάρος 2-6 Ιουλίου 2007 Περίληψη Η Αλίκη µισεί τα µαθηµατικά και θεωρεί πως δε χρησιµεύουν σε τίποτα. Μια µέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτοµο την προσκαλεί

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Χρυσή τομή. 3.1 Εισαγωγή

Χρυσή τομή. 3.1 Εισαγωγή Χρυσή τομή 3.1 Εισαγωγή Ίσως όλοι έχουμε την εντύπωση πως αυτό που λέγεται λόγος χρυσής τομής, είναι μία έμπνευση των αρχαίων Ελλήνων την οποία εκμεταλλεύτηκαν για να κατασκευάσουν κτίσματα ή να δημιουργήσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 1. Ο Άρης έφαγε 5 μιας σοκολάτας και ο Φίλιππος έφαγε 1 10 σοκολάτας περισσότερο από τον Άρη. Τι μέρος της σοκολάτας έμεινε;

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Μουσικές Νότες και Κλίμακες Κλίμακες και Ηχοχρώματα (συγκερασμός) Η Πυθαγόρεια Κλίμακα Ισο συγκερασμένη Κλίμακα Ανορθόδοξες Κλίμακες

Μουσικές Νότες και Κλίμακες Κλίμακες και Ηχοχρώματα (συγκερασμός) Η Πυθαγόρεια Κλίμακα Ισο συγκερασμένη Κλίμακα Ανορθόδοξες Κλίμακες Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων Διάλεξη 10 Μουσικές Νότες και Κλίμακες Κλίμακες και Ηχοχρώματα (συγκερασμός) Η Πυθαγόρεια Κλίμακα Ισο συγκερασμένη Κλίμακα Ανορθόδοξες Κλίμακες Επανάληψη της Διάλεξης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά

ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012. Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά ΑΓΓΛΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΩΤΗ ΤΑΞΗ Χρόνος: 1 ώρα και 30 λεπτά Να απαντήσετε σε ΟΛΕΣ τις ερωτήσεις. Όπου χρειάζεται να γίνουν πράξεις για να βρεθεί η απάντηση, να τις κάνετε

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

Ένα παιχνίδι των πολυγώνων

Ένα παιχνίδι των πολυγώνων Ένα παιχνίδι των πολυγώνων Το παιγνίδι αυτό, αναπτύχθηκε στα πλαίσια του μαθήματος πληροφορικής της Γ τάξης, στην ενότητα που αφορά στο σχεδιασμό πολυγώνων, απ όλα τα παιδιά, της Γ τάξης του σχολείου μας.

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

< > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ

< > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ Κ. Γ. ΝΙΚΟΛΟΥΔΑΚΗΣ 1 < > Ο ΚΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ, ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ Η ΕΞΗΓΗΣΗ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΕΙ ΕΝΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΠΝΕΥΜΑ Επαναλαμβάνουμε την έκπληξή μας για τα τεράστια συμπλέγματα γαλαξιών, τις πιο μακρινές

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Η προέλευση του Sketchpad 1

Η προέλευση του Sketchpad 1 Η προέλευση του Sketchpad 1 Το The Geometer s Sketchpad αναπτύχθηκε ως μέρος του Προγράμματος Οπτικής Γεωμετρίας, ενός προγράμματος χρηματοδοτούμενου από το Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΝSF) υπό τη διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

Μουσικά όργανα. Κουδουνίστρα. Υλικά κατασκευής: Περιγραφή κατασκευής: Λίγα λόγια γι αυτό:

Μουσικά όργανα. Κουδουνίστρα. Υλικά κατασκευής: Περιγραφή κατασκευής: Λίγα λόγια γι αυτό: Μουσικά όργανα Κουδουνίστρα Υλικά κατασκευής: 5 άδεια κουτιά από φωτογραφικό φιλμ ένα παλιό ξύλινο σκουπόξυλο 5 καρφάκια με κεφάλι σποράκια πετραδάκια, χάντρες σέγα σφυρί Περιγραφή κατασκευής: Με τη σέγα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Παράγοντας τον Τύπο της Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης Οι τεχνικές επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων εμφανίζονται τουλάχιστον πριν 4000 χρόνια, στην αρχαία Μεσοποταμία, σημερινό Ιράκ. Οι μέθοδοι πιθανόν προήλθαν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου)

Ζάντζος Ιωάννης. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β Γυμνασίου) Ζάντζος Ιωάννης Οι έννοιες του 'μήκους κύκλου' και της 'καμπυλότητας του κύκλου' μέσα από τη διαδικασία προσέγγισης του κύκλου με περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα. Περιληπτικά το σενάριο διδασκαλίας (Β

Διαβάστε περισσότερα