ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΜΕ ΔΙΑΤΑΞΙΜΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΜΕ ΔΙΑΤΑΞΙΜΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗΣ"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΥΝΑΦΕΙΑΣ ΜΕ ΔΙΑΤΑΞΙΜΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗΣ Μαρία Α. Παπαδοπούλου Διπλωματική Εργασία που υποβλήθηκε στο Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στην Εφαρμοσμένη Στατιστική Πειραιάς Ιούνιος 2007

2 H παρούσα Διπλωματική Εργασία εγκρίθηκε ομόφωνα από την Τριμελή Εξεταστική Επιτροπή που ορίσθηκε από τη ΓΣΕΣ του Τμήματος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς στην υπ αριθμ... συνεδρίασή του σύμφωνα με τον Εσωτερικό Κανονισμό Λειτουργίας του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών στην Εφαρμοσμένη Στατιστική Τα μέλη της επιτροπής ήταν: -.(Επιβλέπων) Η έγκριση της Διπλωματικής Εργασίας από το Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα.

3 UNIVERSITY OF PIRAEUS DEPARTMENT OF STATISTICS AND INSURANCE SCIENCE POSTGRADUATE PROGRAM IN APPLIED STATISTICS ANALYSIS OF MULTIWAY CONTINGENCY TABLES WITH ORDINAL VARIABLES OF CLASSIFICATION By Maria Α. Papadopoulou MSc Dissertation Submitted to the Department of Statistics and Insurance Science of the University in partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science in Applied Statistics Piraeus, Greece June 2007

4 Στον Στέφανο, τη Νίκη, τους γονείς μου, τη γιαγιά μου και τον παππού μου

5 Ευχαριστίες Θα ήθελα να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες προς την κα Κατέρη Μαρία, Επίκουρη Καθηγήτρια του τμήματος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς για την πολύ σημαντική καθοδήγηση, βοήθεια, υποστήριξη και υπομονή κατά τη διάρκεια υλοποίησης της παρούσας εργασίας. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κο Πολίτη Κωνσταντίνο, Επίκουρο Καθηγητή του τμήματος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς και τον κο Πιτσέλη Γεώργιο, Επίκουρο Καθηγητή του τμήματος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης του Πανεπιστημίου Πειραιώς, για την συμμετοχή τους στην τριμελή επιτροπή. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους τους φίλους μου για την αμέριστη συμπαράστασή τους. Παπαδοπούλου Μαρία Πειραιάς Ιούνιος 2007

6 Μετά το τέλος του 2 ου Περίληψη παγκόσμιου πολέμου, ξεκίνησε η ανάπτυξη των μεθόδων ανάλυσης δεδομένων. Στη δεκαετία του 60, άρχισε η μελέτη των (διατάξιμων) κατηγορικών δεδομένων σε πολυδιάστατους πίνακες συνάφειας και συγκεκριμένα η προσπάθεια μοντελοποίησής των, παραμετρικά και απαραμετρικά. Πρωτεργάτης σε αυτή την προσπάθεια θεωρείται ο Leo Goodman. Σημαντική εργασία έχει γίνει επίσης και στο πεδίο των γραφικών αναπαραστάσεων της δομής και των σχέσεων που διέπουν τα κατηγορικά δεδομένα. Στην παρούσα εργασία, θα ασχοληθούμε με την ανάλυση (διατάξιμων) κατηγορικών δεδομένων για πολυδιάστατους πίνακες συνάφειας. Στο πρώτο κεφάλαιο, παρατίθεται μια ιστορική αναδρομή στην ανάλυση κατηγορικών δεδομένων και στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται γραφικές αναπαραστάσεις των κατηγορικών δεδομένων με την βοήθεια των μωσαϊκών αλλά και των γραφικών αναπαραστάσεων συνάφειας. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα λογαριθμογραμμικά μοντέλα συνάφειας για τρεις μεταβλητές, καθώς και ένας αλγόριθμος επιλογής βέλτιστου μοντέλου. Στο τέταρτο κεφάλαιο ορίζονται τα γραφήματα συνάφειας και δίνεται μια σύντομη αναφορά στα γραφικά μοντέλα. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα μοντέλα λανθανουσών μεταβλητών και στο έκτο κεφάλαιο η ανάλυση ομοιογένειας (ή πολλαπλή ανάλυση αντιστοιχιών) και δίνεται μια εφαρμογή αυτής βήμα προς βήμα.

7 Abstract The development of methods of data analysis had started after the end of the second world war. The beginning of the study of (ordinal) categorical data and especially an attempt of modeling them, parametrically and non parametrically, is placed at sixties. Leo Goodman is considered as a main contributor toward this direction. Serious effort has been made in the field of graphical representations of the structure and the relationships underlying categorical data. In this thesis, we focus our interest on the analysis of (ordinal) categorical data for multiple-way contingency tables. In the first chapter, a history of analysis of categorical data is represented and in the second chapter, we build graphical representations for categorical data, i.e. mosaics and association plots. In the third chapter, three variables loglinear association models are presented and also, an algorithm for model selection. In the forth chapter, we define association graphs and a brief report for graphical models is given. In the fifth chapter, we discuss latent variables models and in the sixth chapter, we present homogeneity analysis (or multiple correspondence analysis) and a detailed example.

8 Περιεχόμενα Περίληψη Abstract. Ιστορική Αναφορά στην Ανάλυση Κατηγορικών Δεδομένων.0 Εισαγωγή. To παρελθόν.2 Το παρόν 4.3 Το μέλλον 6 2. Γραφικές Απεικονίσεις Κατηγορικών Δεδομένων Εισαγωγή 7 2. Μωσαϊκά Παράδειγμα μωσαϊκού για πίνακα συνάφειας διπλής εισόδου Γενίκευση του μωσαϊκού σε πίνακα πολλαπλής εισόδου 2.2 Παράδειγμα μωσαϊκού για πίνακα συνάφειας τριπλής εισόδου Κλασικές παραμετρικές μέθοδοι για κατηγορικά δεδομένα και ανάλυση της σχέσης τους με τα μωσαϊκά Ανάλυση Αντιστοιχιών Λογαριθμογραμμικά μοντέλα Βασικές ιδιότητες των στατιστικών γραφημάτων Μαθηματική θεμελίωση των μωσαϊκών Χρήσιμα συμπεράσματα για τα μωσαϊκά Γραφικές αναπαραστάσεις συνάφειας Χρήσιμα συμπεράσματα για τις γραφικές αναπαραστάσεις συνάφειας Κατασκευή των μωσαϊκών και των γραφικών αναπαραστάσεων συνάφειας με τη βοήθεια εντολών της R 33 vii ix xii

9 3. Μοντέλα Συνάφειας για περισσότερες από δύο Κατηγορικές Μεταβλητές Εισαγωγή Συμβολισμοί Λογαριθμογραμμικά ιεραρχικά μοντέλα για τρεις μεταβλητές Λογαριθμογραμμικά μοντέλα 4 ης τάξης και άνω-μειονεκτήματα Μοντελοποίηση σε πίνακες συνάφειας τριπλής εισόδου με τη βοήθεια των local odds ratio Λογαριθμοπολλαπλασιαστικά μοντέλα συνάφειας για τρεις μεταβλητές Ανάλυση μοντέλων συνάφειας χωρίς τον όρο τριπλής αλληλεπίδρασης Ανάλυση μοντέλων συνάφειας με όρο τριπλής αλληλεπίδρασης Eκτιμήσεις Αλγόριθμος επιλογής βέλτιστου μοντέλου Παράδειγμα Ανακεφαλαίωση Γραφήματα Συνάφειας και Γραφικά Μοντέλα Εισαγωγή Γράφημα συνάφειας Ορισμός των γραφημάτων συνάφειας Χρησιμότητα των γραφημάτων συνάφειας Παράδειγμα Γραφικά μοντέλα με τη βοήθεια των γραφημάτων συνάφειας Χρησιμότητα των γραφικών μοντέλων Ορισμός γραφικού μοντέλου μέσω γραφήματος συνάφειας Συμπέρασμα για τα γραφικά μοντέλα 68 xiii

10 5. Μοντέλα Συνάφειας Λανθανουσών Μεταβλητών Εισαγωγή 7 5. Γραφικά μοντέλα λανθανουσών μεταβλητών Moντέλα με μια λανθάνουσα μεταβλητή ανά δείκτη Περιορισμοί προσδιορισμού-κλίμακας για μoντέλα με μια λανθάνουσα μεταβλητή ανά δείκτη Μοντέλα με πολλαπλές λανθάνουσες μεταβλητές ανά δείκτη Μοντέλα με ασυσχέτιστες λανθάνουσες μεταβλητές Μοντέλα με συσχετισμένες λανθάνουσες μεταβλητές Ομοιογενή και ετερογενή μοντέλα λανθανουσών μεταβλητών Κατασκευή μοντέλων λανθανουσών μεταβλητών από τα γραφήματα συνάφειας Συμπέρασμα-Πλεονεκτήματα των μοντέλων λανθανουσών μεταβλητών Ανάλυση Ομοιογένειας ή Πολλαπλή Ανάλυση Αντιστοιχιών Εισαγωγή 8 6. Ιστορική αναδρομή Το σύστημα Gifi Ανάλυση Ομοιογένειας Εισαγωγή Αρχές ομοιογένειας Γεωμετρική εισαγωγή στην Ανάλυση Ομοιογένειας/Διμερές Γράφημα Μαθηματική θεμελίωση της Ανάλυσης Ομοιογένειας Βασικές ιδιότητες της λύσης HOMALS Σύγκριση της Ανάλυσης Ομοιογένειας με άλλες τεχνικές ανάλυσης δεδομένων Σύγκριση με την Ανάλυση Αντιστοιχιών Σύγκριση με τη μέθοδο Multidimensional Scaling Σύγκριση με την Ανάλυση Συστάδων Σύγκριση με τη Διαχωριστική Ανάλυση και την Ανάλυση Διασποράς 92 xiv

11 6.5 Πολλαπλή Ανάλυση Αντιστοιχιών Ορισμός της Πολλαπλής Ανάλυσης Αντιστοιχιών Η Ανάλυση Ομοιογένειας(Πολλαπλή Ανάλυση Αντιστοιχιών) ως ένα πρόβλημα Ιδιοτιμών και Singular Value Decomposition Γεωμετρική ερμηνεία της πολλαπλής ανάλυσης αντιστοιχιών Παράδειγμα Σχολιασμός των γραφημάτων Ανάλυση με τη βοήθεια του πίνακα Burt Iδιότητες της ανάλυσης με τη βοήθεια του πίνακα Burt Αλγόριθμος υλοποίησης της πολλαπλής ανάλυσης αντιστοιχιών βάσει του πίνακα Burt-εφαρμογή στο παράδειγμα Διόρθωση στις ιδιοτιμές της πολλαπλής ανάλυσης αντιστοιχιών Από κοινού Ανάλυση Αντιστοιχιών Σύντομη ιστορική αναφορά στην απλή ανάλυση αντιστοιχιών- Σχέση της ανάλυσης αντιστοιχιών με την πολλαπλή ανάλυση αντιστοιχιών και τα λογαριθμογραμμικά μοντέλα Εναλλακτικοί τρόποι αντιμετώπισης της ανάλυσης ομοιογένειας (ή πολλαπλής ανάλυσης αντιστοιχιών) Το σύστημα κωδικοποίησης του πίνακα δείκτη-πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα 6.4 Συμπέρασμα-Μειονεκτήματα της πολλαπλής ανάλυσης αντιστοιχιών 6.5 Πολλαπλή ανάλυση αντιστοιχιών με τη χρήση υπολογιστικών προγραμμάτων 2 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A 5 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ B 6 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 23 xv

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Ιστορική Αναφορά στην Ανάλυση Κατηγορικών Δεδομένων.0 Εισαγωγή Η ιστορική αναφορά στην ανάλυση κατηγορικών δεδομένων (Categorical Data Analysis- CDA) θεωρείται απαραίτητη διότι είναι πολύ σημαντικό για έναν ερευνητή να γνωρίσει και να κατανοήσει την εξέλιξη των μεθόδων ανάλυσης των κατηγορικών δεδομένων. Κατά αυτόν τον τρόπο, θα συνειδητοποιήσει πώς έφτασαν στα χέρια του αυτές οι μέθοδοι ανάλυσης που χρησιμοποιεί ακόμα και σήμερα και τελικά θα μπορέσει να συλλάβει το τι ακριβώς θα πρέπει να περιμένει στο μέλλον. Και όλα αυτά διότι ο τομέας της ανάλυσης των κατηγορικών δεδομένων είναι δυναμικός και διαρκώς εξελισσόμενος, εξαιτίας και των εφαρμογών του σε άλλα ερευνητικά πεδία, όπως θα διαπιστώσουμε στη συνέχεια.. To παρελθόν Όπως αναφέρει ο Α.Αgresti στο βιβλίο του Categorical Data Analysis (2002), μετά το τέλος του 2 ου παγκοσμίου πολέμου, άρχισε η ανάπτυξη της θεωρητικής θεμελίωσης των πινάκων συνάφειας. O H.Cramer διατύπωσε ποικίλες εκφράσεις όσον αφορά σε κατανομές για μεγάλα δείγματα και ο C.R.Rao (957, 963) πραγματοποίησε σχετική εργασία με αυτές. Το 949, ο στατιστικός Νeyman, ο οποίος είχε ήδη παρουσιάσει σημαντική εργασία στον έλεγχο υποθέσεων και στις μεθόδους εκτίμησης διαστημάτων εμπιστοσύνης, μαζί με τον Ε.S.Pearson, παρουσίασε την οικογένεια βέλτιστων ασυμπτωτικά κανονικών εκτιμητών (Best Asymptotically Normal-ΒΑΝ), η οποία περιλαμβάνει εκτιμητές σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων. Η απλότητα στους υπολογισμούς, τους κάνει να συγκρίνονται με τους εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας (Μaximum Likelihood-ΜL) και αποτελεί μια σημαντική διαπίστωση πριν την επινόηση των σύγχρονων υπολογιστικών συστημάτων. Στις αρχές της δεκαετίας του 950, ο W.Cochran εξέδωσε εργασίες που αφορούσαν σε μια ποικιλία από σημαντικά θέματα στην ανάλυση κατηγορικών δεδομένων: μοντελοποίησε Poisson και διωνυμικές αποκρίσεις με μετασχηματισμούς διακύμανσης(940), αναγνώρισε και μελέτησε τρόπους που ασχολούνται με την υπερμεταβλητότητα (overdispersion) (943)

13 και παρουσίασε μια γενίκευση του ελέγχου ΜcNemar (Cochran s Q) για σύγκριση ποσοστών κατά ζεύγη (950). Το κλασικό άρθρο του (954) εισάγει νέες μεθοδολογίες για την εφαρμοσμένη στατιστική. Επίσης, έδωσε κατευθυντήριες γραμμές για Χ 2 προσεγγίσεις σε μεγάλα δείγματα ώστε να «δουλέψουν» καλά για τη στατιστική συνάρτηση Χ 2 και τόνισε τη σημασία της διαμέρισης του στατιστικού X 2 σε συνιστώσες. Τέλος, ο Cochran πρότεινε έναν έλεγχο για υπό συνθήκη ανεξαρτησία σε διάφορους 2 2 πίνακες συνάφειας, που σχετίζεται πολύ με τον έλεγχο των Mantel-Haenszel (959). Η εργασία του Bartlett για τη δομή αλληλεπίδρασης σε πίνακες συνάφειας είχε μάλλον μικρό αντίκτυπο για τα επόμενα 20 χρόνια, αλλά από τα μέσα της δεκαετίας του 950 και αρχές της δεκαετίας του 60, η εργασία του Bartlett επεκτάθηκε με διάφορους τρόπους για πίνακες πολλαπλής εισόδου, από τους: Darroch (962), Good (963), Goodman (964b), Plackett (962), Roy&Kastenbaum (956) και Roy&Μitra (956). Τα άρθρα αυτά, καθώς και τα άρθρα του Μ.W.Birch (963, 964a,b, 965) αποτελούν την γένεση της έρευνας για τα λογαριθμογραμμικά μοντέλα κατά τα έτη 965 έως 975. Ο Βirch έδειξε με ποιο τρόπο λαμβάνουμε εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας των συχνοτήτων των κελιών σε πίνακες τριπλής εισόδου υπό από διάφορες συνθήκες και έδειξε την ισοδυναμία τους για Poisson και πολυωνυμικά δείγματα. Μαζί με τον Watson (959), επέκτειναν τα θεωρητικά αποτελέσματα των Cramer και Rao για κατανομές μεγάλων δειγμάτων για μοντέλα πινάκων συνάφειας. Ο Mantel συζήτησε πρώιμα αποτελέσματα και διασαφήνισε την τυποποίηση των λογαριθμογραμμικών μοντέλων. Ο Caussinus (966) παρουσίασε την quasi-συμμετρία σε τετραγωνικούς πίνακες. Τις επόμενες δεκαετίες, πραγματοποιήθηκε αρκετή έρευνα πάνω στα λογαριθμογραμμικά μοντέλα και στα μοντέλα logit σε τρία πανεπιστήμια της Αμερικής: το πανεπιστήμιο του Σικάγο, το Χάρβαρντ και το πανεπιστήμιο της Βόρειας Καρολίνας. Στο πανεπιστήμιο του Σικάγο, ο L.Goodman έγραψε μια σειρά από άρθρα που αφορούσαν στα εξής θέματα: διαμερισμός του X 2, μοντέλα για τετραγωνικούς πίνακες (quasi-ανεξαρτησία), stepwise διαδικασία για logit και λογαριθμογραμμικά μοντέλα, παραγωγίσιμες ασυμπτωτικά διασπορές, εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας λογαριθμογραμμικών παραμέτρων, μοντέλα λανθανουσών μεταβλητών (latent variables), μοντέλα συσχέτισης, ανάλυση αντιστοιχιών και μοντέλα συνάφειας. Ο Goodman (969b) έγραψε επίσης άρθρα για περιοδικά κοινωνικών επιστημών, που συνέβαλλαν ουσιαστικά στο να γίνουν δημοφιλείς λογαριθμογραμμικές και logit μέθοδοι για σχετικές εφαρμογές. Tα τελευταία 50 χρόνια, ο Goodman ήταν o πιο σημαντικός ερευνητής στην ανάπτυξη μεθόδων ανάλυσης κατηγορικών δεδομένων. Το πεδίο 2

14 της στατιστικής του οφείλει τεράστια ευγνωμοσύνη για το σημαντικό και τεράστιο όγκο της εργασίας του. Μαθητές του Goodman στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο με τις εργασίες τους, συνέβαλλαν επίσης σημαντικά στον τομέα της στατιστικής, όπως ο Ηaberman το 970 όπου ολοκλήρωσε τη διδακτορική διατριβή του με το αναπτύξει και να μελετήσει τα λογαριθμικά μοντέλα και τα λογαριθμογραμμικά μοντέλα για διατάξιμες μεταβλητές ταξινόμησης. Μερικά από τα θέματα που ασχολήθηκε ήταν η ανάλυση καταλοίπων, η ύπαρξη εκτιμητών μέγιστης πιθανοφάνειας, τα λογαριθμογραμμικά μοντέλα για διατάξιμες μεταβλητές και θεωρητικά μοντέλα στα οποία ο αριθμός των παραμέτρων αυξάνει καθώς αυξάνει το μέγεθος του δείγματος. Ο C.Clogg ακολούθησε τα βήματα στην εργασία του Goodman, όσον αφορά στις κοινωνικές επιστήμες, στα μοντέλα συνάφειας, στη δημογραφία, στην απογραφή, στα μοντέλα για ποσοστά και άλλα παρόμοια θέματα. Ταυτόχρονα με την εργασία του Goodman, σχετική έρευνα σε μεθόδους μέγιστης πιθανοφάνειας για λογαριθμογραμμικά και logit μοντέλα πραγματοποιήθηκε στο Χάρβαρντ από τους μαθητές του F.Mosteller, όπως ο S.Fienberg, και του W.Cochran. Mεγάλο μέρος της εργασίας αυτής εμπνεύστηκε από τα προβλήματα που προέκυψαν στην ανάλυση πολυμεταβλητών συνόλων δεδομένων στη μελέτη για μια αναισθητική ουσία (Νational Halothane Study). Αυτή η μελέτη εξετάζει εάν η ουσία αυτή είναι πιο πιθανή να προκαλέσει θάνατο από άλλα αναισθητικά λόγω βλάβης στο συκώτι. Μια αναφορά από τον Mosteller (968) στην American Statistical Association περιγράφει πρώιμες χρήσεις των λογαριθμογραμμικών μοντέλων για εξομάλυνση πολυδιάστατων διακριτών συνόλων δεδομένων. Ο Fienberg και οι δικοί του μαθητές επέκτειναν την εργασία του Mosteller. Με το βιβλίο του «Διακριτή Πολυμεταβλητή Ανάλυση» (Discrete Multivariate Analysis) (975) συνέβαλε κατά πολύ στην παρουσίαση των λογαριθμογραμμικών μοντέλων στον ευρύτερο κόσμο της στατιστικής και παραμένει ακόμη μια άριστη αναφορά. Έρευνα στην Βόρεια Καρολίνα από τον G.Koch και διάφορους μαθητές και συνεργάτες του, επηρέασε σε μεγάλο βαθμό τις βιο-ιατρικές επιστήμες. Ο Koch ανέπτυξε μεθόδους σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων για μοντέλα κατηγορικών δεδομένων και, το 969, το άρθρο του μαζί με τους J.Grizzle και F.Starmer έκανε δημοφιλή αυτήν την προσέγγιση. Ο Κοch και οι συνάδελφοί του την επέκτειναν σε επόμενα άρθρα, σε μια εντυπωσιακή ποικιλία προβλημάτων, συμπεριλαμβανομένων προβλημάτων για τα οποία η μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας είναι περίεργο να χρησιμοποιηθεί, όπως η ανάλυση κατηγορικών δεδομένων επαναλαμβανόμενων μετρήσεων (977). Το 966, ο V.Bhapkar 3

15 έδειξε ότι ο εκτιμητής σταθμισμένων ελαχίστων τετραγώνων ταυτίζεται συχνά με τον εκτιμητή του Νeyman(Νeyman s minimum modified chi-squared estimator). Αρχικά, η βιβλιογραφία στα λογαριθμογραμμικά μοντέλα αντιμετώπιζε όλες ταξινομήσεις ως ποιοτικές. Ο Haberman (974b) και ο Simon (974) μελέτησαν τον τρόπο χειρισμού της διαταξιμότητας των μεταβλητών στα λογαριθμογραμμικά μοντέλα. Αυτή η εργασία επεκτάθηκε σε διάφορα άρθρα από τον Goodman (979a, 98a, b, 983, 985, 986). Οι επεκτάσεις αυτές περιλαμβάνουν τα μοντέλα συνάφειας (association models), που αντικαθιστούν τα διατεταγμένα σκορς στα λογαριθμογραμμικά μοντέλα με παραμέτρους. Ο Goodman επίσης ασχολήθηκε (985, 986, 996) και με τα μοντέλα συσχέτισης (correlation models), αλλά και μελέτησε μια προοπτική που στηρίζεται σε μεθόδους της ανάλυσης αντιστοιχιών (correspondence analysis). Στην ανάλυση αντιστοιχιών και την πολλαπλή ανάλυση αντιστοιχιών ή ανάλυση ομοιογένειας θα αναφερθούμε λεπτομερώς στο κεφάλαιο 6. Ωστόσο, τα μοντέλα συνάφειας, αλλά και τα μοντέλα (κανονικής) συσχέτισης δεν χρησιμοποιήθηκαν ευρέως, όπως συνέβη στα μοντέλα παλινδρόμησης. Τέλος, συγκεκριμένα λογαριθμογραμμικά μοντέλα με δομή υπό συνθήκη ανεξαρτησίας, παρέχουν γραφικά μοντέλα (graphical models) για πίνακες συνάφειας, τα οποία σχετίζονται και με τα γραφήματα συνάφειας (association graphs). Με αυτά ασχολήθηκαν πρώτοι οι Darroch et all(980). Επίσης, τα μοντέλα λανθανουσών μεταβλητών συνδέθηκαν αρκετά με τα γραφικά μοντέλα, κυρίως από τους Wermunt&Cox (998), Anderson&Bockenholt (2000), Anderson&Vermunt (2000), Anderson (2002)..2 Το παρόν Η πιο ενεργή περιοχή της νεότερης έρευνας στην ανάλυση κατηγορικών δεδομένων, κυρίως την τελευταία δεκαετία, αφορά στην μοντελοποίηση των δεδομένων κατά συστάδες (cluster analysis), όπως συμβαίνει στης διαχρονικές (longitudinal) μελέτες και σε άλλες μορφές επαναλαμβανόμενων μετρήσεων. Εδώ, υπάρχει μια ποικιλία από μεθόδους μοντελοποίησης, καθώς μετράται η συσχέτιση μεταξύ των αποκρίσεων στην ίδια συστάδα. Στις μεθόδους αυτές χρησιμοποιούνται εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας, αλλά η προσαρμογή τους σε ορισμένα μοντέλα είναι αρκετά δύσκολη υπολογιστικά. Τα λογαριθμογραμμικά μοντέλα και τα μοντέλα λογιστικής παλινδρόμησης, όπως προαναφέρθηκε, μελετήθηκαν από τις αρχές της δεκαετίας το 60. Ωστόσο, στη δεκαετία του 80 ιδιαίτερη προσοχή δόθηκε στα αθροιστικά (cumulative) logit μοντέλα από τους McCullach (980) και Goodman (979). Eπίσης, για διατάξιμες μεταβλητές αναπτύχθηκε το logit μοντέλο διαδοχικών κατηγοριών (adacent categories) από τον Simon (974) και Goodman (983). Ο τις 4

16 Becker (990) πρότεινε εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας για γενικευμένα μοντέλα συνάφειας και ο Becker (989), αλλά και οι Βecker&Clogg (989) πρόσθεσαν συμμεταβλητές στα μοντέλα συνάφειας. Οι Bartolucci&Forcina (2003) επέκτειναν τα μοντέλα συνάφειας με το μοντελοποιήσουν ταυτόχρονα τις περιθώριες κατανομές με διάφορα διατάξιμα logit μοντέλα. Ακόμη, αναπτύχθηκαν μέθοδοι εκτίμησης που στηρίζονται στις γενικευμένες εξισώσεις εκτίμησης (Generalized Estimating Equations-GEE), οι οποίες αφορούσαν αρχικά σε περιθώρια μοντέλα (marginal models) με μονομεταβλητές κατανομές, αλλά επεκτάθηκαν και σε άλλα αθροιστικά logit μοντέλα (Lipsitz και άλλοι, 994) και αθροιστικά probit μοντέλα (Τoledano&Gatsonis, 996) για επαναλαμβανόμενες διατάξιμες αποκριτικές μεταβλητές. Πιθανές επεκτάσεις των περιθωριακών μοντέλων ώστε να περιλαμβάνουν και πολυμεταβλητές περιπτώσεις στην ουσία υλοποιούνται με τη μέθοδο GEE (βλέπε Qu et all, 995). Μια προσέγγιση γενικευμένων γραμμικών mixed μοντέλων (Generalized Linear Mixed Models- GLMMs), μπορούμε να αναζητήσουμε στους Hedeker&Gibbons (994) και στον Fielding (999). Σήμερα, ένας από τους σημαντικότερους ερευνητές στον τομέα της ανάλυσης κατηγορικών δεδομένων, θεωρείται ο Αlan Αgresti, του οποίου το βιβλίο Categorical Data Analysis, Wiley (2002), αποτελεί σημείο αναφοράς για οποιονδήποτε μελετητή. Τέλος, η ανάπτυξη της μπεϋζιανής (bayesian) προσέγγισης στην ανάλυση κατηγορικών δεδομένων είναι μια συνεχώς αναπτυσσόμενη και ενεργή περιοχή, αλλά η πολυπλοκότητα των παραμέτρων περιπλέκει την μπεϋζιανή μοντελοποίηση. Ωστόσο, για πρώιμη χρήση της μπεϋζιανής εκτίμησης παραμέτρων, μπορούμε να αναζητήσουμε στον Good (965) και τον Lindley (964). To σχετικό άρθρο του Good εξελίχθηκε προφανώς από την εργασία του κατά τη διάρκεια του 2 ου παγκοσμίου πολέμου όπου μαζί με τον Alan Turing στο Βletchley Park της Αγγλίας «έσπαγαν» κωδικούς των Ναζί. Μπεϋζιανές προσεγγίσεις μπορούμε να αναζητήσουμε στους Tan et all(999), Chen&Dey(2000) και Qiu et all(2002). Οι Johnson&Albert(999) επικεντρώθηκαν σε μπεϋζιανές προσεγγίσεις σχετικά με διατάξιμες αποκριτικές μεταβλητές. Για επιπλέον μπεϋζιανές προσεγγίσεις, βλέπε Chipman&Hamada(996), Lang(999), Johnson(996), Albert&Chib (993), Cowles et all(996), Chib&Greenberg(998), Qu&Tan(998), Bradlow&Zaslavsky(999), Tan et all(999), Chen&Shao(999), Chib(2000), Ιshwaran&Gatsonis(2000), Ishwaran(2000), Xie et all(2000), Rossi et all(200), Βiswas&Das (2002), Webb&Forster(2004), Agresti&Hitchcock(2004). 5

17 .3 Το μέλλον Το να προβλέπει κανείς το μέλλον είναι πάντοτε ριψοκίνδυνο. Ωστόσο, o μεγαλύτερος όγκος εργασίας σχετικά με τα (διατάξιμα) κατηγορικά δεδομένα είναι πολύ πιθανό να επικεντρωθεί σε υπολογιστικές μεθόδους, όπως στα γενικευμένα γραμμικά mixed μοντέλα. Άλλο φλέγον θέμα είναι η ανάπτυξη αλγοριθμικών μεθόδων για τεράστια σύνολα δεδομένων με μεγάλο αριθμό μεταβλητών, που βρίσκεται πολύ μακριά από την παραδοσιακή μοντελοποίηση. Τέτοιες μέθοδοι, που συχνά αναφέρονται ως data mining, ασχολούνται με το χειρισμό περίπλοκων δομών δεδομένων, πλεονεκτώντας στη δύναμη της πρόβλεψης, αλλά θυσιάζοντας την απλότητα και την ερμηνεία της δομής. Σημαντικές περιοχές εφαρμογής αυτών είναι η γενετική, όπως η ανάλυση διακριτών DNA ακολουθιών με τη μορφή πολύ μεγάλης διάστασης πινάκων συνάφειας και εφαρμογές σε επιχειρήσεις όπως credit scoring και μεθόδους με δομή «δένδρου» (tree) για την πρόβλεψη μελλοντικής συμπεριφοράς πελατών. Σύμφωνα με την άποψη της Μ.Κατέρη (βλέπε Liu&Agresti, Discussion, 2005), το μέλλον των διατάξιμων κατηγορικών δεδομένων βρίσκεται στην ανάλυση των επαναλαμβανόμενων μετρήσεων ή γενικότερα σε συσχετισμένα δεδομένα. Επίσης, αναμένεται να αναπτυχθούν μη παραμετρικές μέθοδοι, ιδιαίτερα για προβλήματα υψηλότερης διάστασης, όπου να μπορούν να συγκριθούν ως προς τη δυναμική με τις αντίστοιχες παραμετρικές μεθόδους. Ωστόσο, το μέλλον των κατηγορικών δεδομένων και γενικότερα της στατιστικής τοποθετείται στην μπεϋζιανή ανάλυση, η οποία απαιτεί μικρού μεγέθους δείγματα που σημαίνει λιγότερες υπολογιστικές απαιτήσεις. 6

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο Γραφικές Απεικονίσεις Κατηγορικών Δεδομένων 2.0 Εισαγωγή Οι στατιστικές μέθοδοι για κατηγορικά δεδομένα, όπως τα λογαριθμογραμμικά μοντέλα και η λογιστική παλινδρόμηση, είναι τεχνικές ανάλυσης δεδομένων ανάλογες της ανάλυσης διακύμανσης και των μεθόδων παλινδρόμησης για συνεχείς αποκριτικές μεταβλητές. Τα κατηγορικά δεδομένα αναπαρίστανται πιο συχνά σε πίνακες συνάφειας και οι αναλύσεις που χρησιμοποιούν λογαριθμογραμμικά μοντέλα και λογιστική παλινδρόμηση αναπαρίστανται πιο συχνά με όρους εκτίμησης παραμέτρων. Διάφορα σχήματα για γραφική αναπαράσταση πινάκων συνάφειας στηρίζονται στο γεγονός ότι αν οι μεταβλητές των γραμμών και των στηλών είναι ανεξάρτητες, οι αναμενόμενες συχνότητες των κελιών είναι το γινόμενο των αθροισμάτων των γραμμών και των στηλών διαιρεμένο με το συνολικό άθροισμα. Τότε, κάθε κελί του πίνακα συνάφειας μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα ορθογώνιο του οποίου το εμβαδόν δείχνει τη συχνότητα του κελιού ή την απόκλιση από την ανεξαρτησία. Παρόλο που οι τεχνικές γραφικής απεικόνισης είναι κοινό επακόλουθο της ανάλυσης διακύμανσης και της ανάλυσης παλινδρόμησης, οι μέθοδοι για την γραφική αναπαράσταση δεδομένων σε πίνακα συνάφειας δεν χρησιμοποιούνται στην πράξη τόσο ευρέως. Από την δεκαετία του 90, οι Hartigan and Kleiner, ο Friendly et all, ανέπτυξαν καινοτόμες μεθόδους απεικόνισης κατηγορικών δεδομένων, σχεδιασμένες ώστε να προσφέρουν απεικονίσεις ανάλογες με αυτές που χρησιμοποιούνται στα συνεχή δεδομένα όπου η φυσική ερμηνεία είναι άμεση. Στην παρούσα εργασία, θα ασχοληθούμε κυρίως με τα μωσαϊκά (mosaic plots), αλλά θα αναφερθούμε και στις γραφικές αναπαραστάσεις συνάφειας (association plots). 2. Μωσαϊκά Τα μωσαϊκά αναπαριστούν τις συχνότητες ενός πίνακα συνάφειας με ορθογώνια πλακίδια (tiles), των οποίων το μέγεθος είναι ανάλογο της συχνότητας του κελιού. Αυτή η γραφική απεικόνιση για τα κατηγορικά δεδομένα γενικεύεται εύκολα σε πίνακες πολλαπλής εισόδου. Τα μωσαϊκά εισήχθησαν από τους Hartigan and Kleiner (98, 984), οι οποίοι 7

19 υποστήριξαν ότι το μοτίβο των ορθογωνίων πλακιδίων που υπάρχουν σε αυτά είναι χρήσιμο για να διατυπωθούν υποθέσεις, να γίνουν οπτικές συγκρίσεις μεταξύ τμημάτων (υποπίνακες) ενός πίνακα συνάφειας και να δοθεί έμφαση σε κελιά με μεγάλες ή μικρές συχνότητες. Ο Friendly (994) επέκτεινε την χρήση των μωσαϊκών ως ένα εργαλείο ανάλυσης δεδομένων με τον εξής τρόπο: για συγκεκριμένη απεικόνιση, προσάρμοσε ένα βασικό μοντέλο ανεξαρτησίας ή μερική ανεξαρτησίας και χρησιμοποίησε χρώμα και σκίαση των ορθογώνιων πλακιδίων για να αποδώσει την αποχώρηση από την ανεξαρτησία. Για μη διατάξιμες μεταβλητές, για να δώσει μια ιδέα για το μοτίβο της συνάφειάς τους, αναδιέταξε τις κατηγορίες, κυρίως βασιζόμενος στην Singular Value Decomposition (SVD) των καταλοίπων της ανεξαρτησίας. Για πολλαπλούς πίνακες εισόδου, θεώρησε χρήσιμο να εξετάσει μια ακολουθία από μωσαϊκά για περιθωριακούς υποπίνακες ως διαδοχικές μεταβλητές. Παρόλο που οποιοδήποτε λογαριθμογραμμικό μοντέλο μπορεί να προσαρμοστεί σε ολόκληρο τον πίνακα, μια κλάση από μοντέλα της από κοινού ανεξαρτησίας παρέχει μια γραφική αναπαράσταση μια διαμέρισης του ολικού λόγου πιθανοφάνειας G 2 της πλήρης ανεξαρτησίας σε ολόκληρο τον πίνακα, σε μέρη που συμβάλλουν στη διατύπωση υποθέσεων για τους περιθωριακούς υποπίνακες. Στόχος των γραφικών αυτών μεθόδων είναι: Να παρέχουν μεθόδους απεικόνισης για διερεύνηση της δομής των κατηγορικών δεδομένων και προσαρμογή μοντέλων συγκρίσιμη με αυτή που χρησιμοποιείται στα συνεχή δεδομένα. Να υλοποιούν τις μεθόδους αυτές με ευανάγνωστο λογισμικό. 2.. Παράδειγμα μωσαϊκού για πίνακα συνάφειας διπλής εισόδου Θα παρουσιάσουμε σύντομα την γραφική απεικόνιση με μωσαϊκά για δισδιάστατους πίνακες συνάφειας, ώστε να γίνει πιο εύκολα κατανοητή η γενίκευσή τους στη συνέχεια για πολυδιάστατους πίνακες συνάφειας. Για το σκοπό αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα που συνδέουν το χρώμα μαλλιών και χρώμα ματιών 592 σπουδαστών στο μάθημα της στατιστικής (Πίνακας 2.), τα οποία συλλέχθηκαν από τον Snee (974) και αναλύθηκαν από τον Friendly (994). 8

20 Χρώμα Μαλλιών Χρώμα Μαύρα Καστανά Κόκκινα Ξανθά Σύνολο Ματιών Καφέ Μπλε Φουντουκί Πράσινα Σύνολο Πίνακας 2. Δεδομένα για χρώμα ματιών και χρώμα μαλλιών Η στατιστική συνάρτηση X 2 του Pearson για τον έλεγχο καλής προσαρμογής του μοντέλου ανεξαρτησίας είναι 38.3 με 9 βαθμούς ελευθερίας, που δηλώνει ουσιαστική απομάκρυνση από την ανεξαρτησία. Το ζητούμενο, ωστόσο, είναι να κατανοήσουμε τη φύση της συνάφειας μεταξύ του χρώματος μαλλιών και ματιών. Για αυτό το σκοπό, ο Friendly κατασκεύασε και μελέτησε τα αντίστοιχα μωσαϊκά. Στα μωσαϊκά αυτά, για οποιοδήποτε πίνακα συνάφειας, οι αναμενόμενες συχνότητες υπό την συνθήκη της ανεξαρτησίας αναπαριστώνται με ορθογώνια των οποίων τα μήκη είναι ανάλογα με τη συνολική συχνότητα της κάθε στήλης και τα πλάτη είναι ανάλογα με την υπό συνθήκη συχνότητα για κάθε γραμμή δοθείσης της συχνότητα της κάθε στήλης. Το εμβαδόν κάθε ορθογωνίου είναι ανάλογο με τη συχνότητα κάθε κελιού του πίνακα συνάφειας. Η μορφή του γραφήματος που δικαιολογεί την ονομασία μωσαϊκό είναι αυτή του γραφήματος 2., και μοιάζει με ένα διαιρεμένο ραβδόγραμμα. Τα μήκη των ορθογωνίων εξακολουθούν και είναι ανάλογα με τη συνολική συχνότητα της κάθε στήλης, αλλά τα πλάτη είναι ανάλογα με την υπό συνθήκη συχνότητα για κάθε γραμμή (χρώμα ματιών) δοθείσης της συχνότητα της κάθε στήλης (χρώμα μαλλιών), έτσι ώστε το εμβαδόν του κάθε ορθογωνίου να είναι ανάλογο με τη συχνότητα του κελιού και η ανεξαρτησία να φαίνεται γραφικά όταν όλα τα ορθογώνια έχουν το ίδιο πλάτος. 9

21 Hair Μαύρα Καστανά ΞανθάΚόκκινα HairColorEyeColor Kαφέ Μπλέ Φουντουκί Πράσινα Eye Γράφημα 2. Μωσαϊκό για τις μεταβλητές Ηair, Eye. Όπως διαπιστώνουμε από το γράφημα 2., το χρώμα ματιών και το χρώμα μαλλιών δεν είναι ανεξάρτητες μεταβλητές. Επίσης, η πιο διαδεδομένη κατηγορία, όσοι έχουν χρώμα μαλλιών καστανό, έχουν κυρίως καφέ ή φουντουκί χρώμα ματιών και η λιγότερο διαδεδομένη κατηγορία, οι ξανθοί έχουν κυρίως καφέ ή μπλε μάτια. Επίσης, όσοι έχουν πράσινα μάτια, συνήθως έχουν και καστανά μαλλιά. 0

22 2..2 Γενίκευση του μωσαϊκού σε πίνακα πολλαπλής εισόδου H παραπάνω μορφή του μωσαϊκού γενικεύεται εύκολα για πολυδιάστατους πίνακες συνάφειας. Στη συνέχεια, θα περιγράψουμε με βήματα την κατασκευή ενός μωσαϊκού για πίνακα συνάφειας τριπλής εισόδου για τις μεταβλητές A, B, C με συχνότητες n ik, i=,, I, =,, J, k=,, K. Η γενίκευση σε πίνακες ν-οστής εισόδου είναι άμεση. Η δομή του μωσαϊκού στηρίζεται στη διαταξιμότητα των μεταβλητών. Η διαίρεση σε ορθογώνια συνήθως εναλλάσσεται κατακόρυφα και οριζόντια με την παρακάτω σειρά:. Πρώτα, η διαθέσιμη περιοχή του γραφήματος διαιρείται σε κατακόρυφες λωρίδες που το εμβαδόν τους είναι ανάλογο με τα περιθώρια αθροίσματα της μεταβλητής Α, έτσι ώστε τα μήκη να είναι ανάλογα στη συχνότητα n i.., όπου η τελεία συμβολίζει ότι το άθροισμα ως προς τον δείκτη αυτό. 2. Kάθε κατακόρυφη λωρίδα κατόπιν υποδιαιρείται οριζόντια ανάλογα με τις από κοινού συχνότητες με τη δεύτερη μεταβλητή, n i.. Αυτό σημαίνει ότι κάθε ορθογώνιο έχει πλάτος ανάλογο με την υπό συνθήκη συχνότητα της δεύτερης μεταβλητής δοθείσης της πρώτης μεταβλητής, n i. /n i.. και εμβαδόν ανάλογο της n i. 3. Kάθε IJ ορθογώνιο διαιρείται καθέτως ανάλογα με τη n ik., δίνοντας μήκη ανάλογα του n ik. /n i.., κ.ο.κ. Στη συνέχεια, παραθέτουμε μερικές επιπλέον ιδιότητες που μπορεί να έχουν τα μωσαϊκά και να μας παρέχουν επιπρόσθετες πληροφορίες για τη δομή των δεδομένων και τη συνάφεια μεταξύ των μεταβλητών. i. Διακεκομμένες γραμμές (spacings) H διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω δίνει ένα μωσαϊκό με IJK ορθογώνια χωρίς όμως διακεκομμένες γραμμές, όπου κελιά με μικρές συχνότητες είναι δύσκολο να εντοπιστούν. Σύμφωνα με τους Hartigan και Kleiner (98), η καλύτερη λύση είναι τα ορθογώνια να διαχωρίζονται με διακεκομμένες γραμμές σε προηγούμενες υποδιαιρέσεις, ώστε να τονίζονται τα κελιά με μικρές συχνότητες. Για παράδειγμα, στον πίνακα τριπλής εισόδου με κατακόρυφο διαχωρισμό στις διαστάσεις Ι και Κ, οι διαιρέσεις της πρώτης μεταβλητής διαχωρίζεται ανάλογα με το /(Ι-). Οι διαιρέσεις μεταξύ των επιπέδων της τρίτης μεταβλητής διαχωρίζονται ανάλογα με το /(ΙΚ-). ii. Προσαρμόζοντας λογαριθμογραμμικά μοντέλα Όταν παρουσιάζονται τρεις ή περισσότερες μεταβλητές σε ένα μωσαϊκό, μπορούμε να προσαρμόσουμε διαφορετικά μοντέλα ανεξαρτησίας και να αναπαραστήσουμε τα κατάλοιπα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή 1. Γενικά... 25 2. Έννοια και Είδη Μεταβλητών... 26 3. Κλίμακες Μέτρησης Μεταβλητών... 29 3.1 Ονομαστική κλίμακα... 30 3.2. Τακτική κλίμακα... 31 3.3 Κλίμακα ισοδιαστημάτων... 34 3.4

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΧΡΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΠΑΚΕΤΩΝ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Η χρησιμοποίηση των τεχνικών της παλινδρόμησης για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων έχει διευκολύνει εξαιρετικά από την χρήση διαφόρων στατιστικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

Kruskal-Wallis H... 176

Kruskal-Wallis H... 176 Περιεχόμενα KΕΦΑΛΑΙΟ 1: Περιγραφή, παρουσίαση και σύνοψη δεδομένων................. 15 1.1 Τύποι μεταβλητών..................................................... 16 1.2 Κλίμακες μέτρησης....................................................

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» Τριανταφυλλίδου Ιωάννα Μαθηματικός ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ «ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΕ ΤΟ SPSS To SPSS θα: - Κάνει πολύπλοκη στατιστική ανάλυση σε δευτερόλεπτα -

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για τους Μέσους - Εξαρτημένα Δείγματα (Paired samples t-test) Το κριτήριο Paired samples t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πιθανότητες. Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Πιθανότητες 1.1 Πιθανότητες και Στατιστική... 5 1.2 ειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 7 1.3 Ορισμοί και νόμοι των πιθανοτήτων... 10 1.4 εσμευμένη πιθανότητα Ολική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγήτριας του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΘΗΝΑ, 2001 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ iii ix ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1 1.1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ»

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ» ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΛΙΑΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ στη «ΝΑΥΤΙΛΙΑ» ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ Α. ΓΕΝΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΕΚΠΟΝΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014

Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Ποσοτική & Ποιοτική Ανάλυση εδομένων Βασικές Έννοιες Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη 2013-2014 Περιγραφική και Επαγωγική Στατιστική Η περιγραφική στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση........................................... 13 Πρόλογος στην πρώτη έκδοση............................................ 17 Εισαγωγή................................................................

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης Περιγραφική Στατιστική Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο Κ. Πολίτης 1 2 Η στατιστική ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση πληροφοριών. Οι πληροφορίες αυτές, πολύ συχνά αριθμητικές,

Διαβάστε περισσότερα

Η προέλευση του Sketchpad 1

Η προέλευση του Sketchpad 1 Η προέλευση του Sketchpad 1 Το The Geometer s Sketchpad αναπτύχθηκε ως μέρος του Προγράμματος Οπτικής Γεωμετρίας, ενός προγράμματος χρηματοδοτούμενου από το Εθνικό Ίδρυμα Ερευνών (ΝSF) υπό τη διεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ ΠΕΡΙΕΧOΜΕΝΑ Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση Πρόλογος στην πρώτη έκδοση Εισαγωγή Τι είναι η μεθοδολογία έρευνας Οι μέθοδοι έρευνας ΜEΡOΣ A : ΓNΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜOΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙO 1: Γενικά για την επιστημονική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Η Παραγοντική Ανάλυση των Αντιστοιχιών µέσω του λογισµικού CHIC Analysis

Η Παραγοντική Ανάλυση των Αντιστοιχιών µέσω του λογισµικού CHIC Analysis Η Παραγοντική Ανάλυση των Αντιστοιχιών µέσω του λογισµικού Άγγελος Μάρκος, Γεώργιος Μενεξές, Γιάννης Παπαδηµητρίου Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής, Πανεπιστήµιο Μακεδονίας Εισαγωγή Το C.HI.C. (Correspondence

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Χ 2 (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις

Έλεγχος Χ 2 (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις Έλεγχος Χ -Προβλήματα και Ασκήσεις Έλεγχος Χ (καλής προσαρμογής, ανεξαρτησίας και ομογένειας) Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Στη βιβλιογραφία αναφέρεται ότι τα ποσοστά των ομάδων αίματος Α, Β, ΑΒ και Ο σε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ Τµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής Βοήθεια στην Ερµηνεία των Αποτελεσµάτων της Παραγοντικής Ανάλυσης των Αντιστοιχιών & Αλγόριθµοι Κατασκευής και Ανάλυσης Ειδικών Πινάκων Εισόδου Η

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ: Β06Σ03 «Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική» ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ:

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ: Β06Σ03 «Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική» ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2011-2012 ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ: Β06Σ03 «Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική» Διδάσκων: Κ. Χρήστου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 4: ΔΙΑΛΕΞΗ 04 Μαρί-Νοέλ Ντυκέν Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας & Περιφερειακής Ανάπτυξης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ: ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΣΕΝΑΡΙΟ ΤΙΤΛΟΣ ΣΕΝΑΡΙΟΥ Μέτρα διασποράς - Συντελεστής μεταβολής ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΣΕΝΑΡΙΟΥ ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ: Καραγιάννης Βασίλης ΑΜ: 201118 Οικονόμου Κυριάκος AM: 201102 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ: Στατιστική Γ Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα

Εργασία. στα. Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Εργασία στα Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Μ. Παρζακώνης ΜΕΣ/ 06015 Ο παρακάτω πίνακας δίνει τα αποτελέσματα 800 αιτήσεων για δάνειο σε μία τράπεζα. Ο πίνακας παρουσιάζει τον αριθμό των δανείων που εγκρίθηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ 3 Ηλίας Αθανασιάδης Αναπληρωτής καθηγητής Π.Τ..Ε. Παν. Αιγαίου 1.8. Αθροιστική κα τα νο μή Σε ορισμένες κατανομές παρουσιάζει ενδιαφέρον να παρακολουθούμε πώς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική

Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Μάστερ στην Εφαρµοσµένη Στατιστική Πρότυπο Πρόγραµµα Master Εξάµηνο Σπουδών Κωδικός Τίτλος Μαθήµατος ιδακτικές Μονάδες 1 ο Εξάµηνο ΜΑΣ650 Μαθηµατική Στατιστική 10 ΜΑΣ655 ειγµατοληψία 10 ΜΑΣ658 Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 475 ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΝΤΑΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΠΟΥ ΔΗΜΙΟΥΡΓΕΙΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑΚΑ ΦΟΡΤΙΑ Μαστρογιάννης Αθανάσιος Εκπαιδευτικός Δευτεροβάθμιας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΛΕΓΧΩΝ (STUDENT S T).. 21 (Basic Sampling Techniques and Questionnaire Analysis using

Διαβάστε περισσότερα

Γρηγόρης Θ. Παπανίκος Αντιπρόεδρος του ΠΣΑΟΣ & Επίτιμος Καθηγητής Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Στέρλιγκ (University of Stirling), Η.Β.

Γρηγόρης Θ. Παπανίκος Αντιπρόεδρος του ΠΣΑΟΣ & Επίτιμος Καθηγητής Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Στέρλιγκ (University of Stirling), Η.Β. Γρηγόρης Θ. Παπανίκος Αντιπρόεδρος του ΠΣΑΟΣ & Επίτιμος Καθηγητής Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Στέρλιγκ (University of Stirling), Η.Β. Ξένοι Ποδοσφαιριστές και Ευρωπαϊκές Επιδόσεις: Η Περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος»

Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Ερευνητική Εργασία με θέμα: «Ερευνώντας τα χρονικά μυστικά του Σύμπαντος» Σωτήρης Τσαντίλας (PhD, MSc), Μαθηματικός Αστροφυσικός Σύντομη περιγραφή: Χρησιμοποιώντας δεδομένα από το διαστημικό τηλεσκόπιο

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------

----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ----------Εισαγωγή στη Χρήση του SPSS for Windows ------------- Σελίδα: 0------------ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο 8.1 Συντελεστές συσχέτισης: 8.1.1 Συσχέτιση Pearson, και ρ του Spearman 8.1.2 Υπολογισµός του συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο πρόβλεψης αγοραίων αξιών ακινήτων βάσει των μεθόδων OLS και GWR με χρήση GIS Η περίπτωση του Δήμου Θεσσαλονίκης

Μοντέλο πρόβλεψης αγοραίων αξιών ακινήτων βάσει των μεθόδων OLS και GWR με χρήση GIS Η περίπτωση του Δήμου Θεσσαλονίκης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΣΤΕΛΕΧΗ (EMBA) Διατριβή μεταπτυχιακού Μοντέλο πρόβλεψης αγοραίων αξιών ακινήτων

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων

Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Εκπαιδευτική Έρευνα: Μέθοδοι Συλλογής και Ανάλυσης εδομένων Έλεγχοι Υποθέσεων Ένα Ερευνητικό Παράδειγμα Σκοπός της έρευνας ήταν να διαπιστωθεί εάν ο τρόπος αντίδρασης μιας γυναίκας απέναντι σε φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων.

POWERPOINT 2003. Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. POWERPOINT 2003 1. Τι είναι το PowerPoint (ppt)? Είναι το δημοφιλέστερο πρόγραμμα παρουσιάσεων. 2. Τι δυνατότητες έχει? Δημιουργία παρουσίασης. Μορφοποίηση παρουσίασης. Δημιουργία γραφικών. Δημιουργία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα