RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE

Transcript

1 RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradiva za kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputama predmetnog nastavnika dr. Josipa Matejaš. Zadatke je izabrala, pripremila i riješila Ksenija Pukšec (demonstratorica iz matematike na EF). Materijale je pregledala i recenzirala Martina Nakić (demonstratorica iz matematike na EF). Tehničku realizaciju materijala u programskom paketu L A TEX napravio je Krešimir Bokulić (demonstrator iz računarstva na PMF-MO).

2 MATRICE. Nadite sve vrijednosti parametra x R takve da za matricu vrijedi A = A T. [ ] A = x A A = I A = A T A A T = I [ ] [ A A T = x ] [ 3 3 = + x x ( 3 ) + x ] x 3 + x ( 3 ) 3 + = [ 6 + x + x ] + x 3 A A T = I [ 6 + x + x ] + x = [ ] 0 0 x = 3 ne odgovara jer 6 + x = x, = ± 3 + x = 0 x = x = 3 Konačno rješenje je x = 3

3 . Za koje vrijednosti parametra a R matrice A i parametra b R matrice B, matrice A i B tvore komutativni par u odnosu na množenje matrica, ako je: [ ] A = 0 a [ ] b B = 0 A B = B A [ ] [ ] [ ] [ ] b b b A B = = = 0 a 0 0 b + a a 0 a [ ] [ ] [ ] [ ] b b + 0 b + a b b + a B A = = = 0 0 a a 0 a A B = B A [ ] b = 0 a [ ] b b + a 0 a = b + a a = b, b R 3

4 3. Odredite sve matrice koje sa matricom M = obzirom na matrično množenje. [ ] 0 čine komutativan par s M X = X M [ ] a b X= c d [ ] [ ] [ ] [ ] a b a + c b + d a + c b + d M X = = = 0 c d 0 a + c 0 b + d c d [ ] [ ] [ ] [ ] a b a + b 0 a + b a a + b X M = = = c d 0 c + d 0 c + d c c + d M X = X M [ ] a + c b + d = c d [ ] a a + b c c + d a + c = a, c = 0 b + d = a + b, d = a c = c d = c + d, c = 0 [ ] a b X = X = [ a b 0 a c d ], a, b R

5 . Odredite sve antisimetrične matrice A M, koje s matricom B tvore komutativan par s obzirom na množenje ako je [ ] 0 B = 0 [ ] 0 x A = x 0 [ ] [ ] [ ] [ ] 0 x ( x) ( ) 0 + ( x) 0 x 0 A B = = = x 0 0 x ( ) x x [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 x x 0 ( x) + 0 x 0 B A = = = 0 x x ( x) x A B = B A [ ] [ ] x 0 x 0 = 0 x 0 x Svaka antisimetrična matrica s matricom B tvori komutativan par, tj. [ ] 0 x A =, x R x 0

6 . Odredite sve skalarne matrice A M, koje s matricom B tvore komutativan par ako je: [ ] 0 3 B = 3 0 A = [ ] x 0 0 x A B = B A [ ] [ ] [ ] [ ] x x x ( 3) x A B = = = 0 x x 3 0 ( 3) + x 0 3x 0 [ ] [ ] [ ] [ ] 0 3 x 0 0 x + ( 3) ( 3) x 0 3x B A = = = x 3 x x 3x 0 [ 0 3x 3x 0 A B = B A ] = [ 0 3x 3x 0 Svaka skalarna matrica s matricom B tvori komutativan par, tj. [ ] x 0 A =, x R 0 x ] 6

7 6. Odredite sve dijagonalne matrice A M, koje s matricom B tvore komutativan par s obzirom na množenje ako je, [ ] 0 B = 0 A = [ ] x 0 0 y A B = B A [ ] [ ] [ ] [ ] x 0 0 x x ( ) x A B = = = 0 y y 0 ( ) + y 0 y 0 [ ] [ ] [ ] [ ] 0 x 0 0 x + ( ) ( ) y 0 y B A = = = 0 0 y x y x 0 A B = B A [ ] [ ] 0 x 0 y = y 0 x 0 0 = 0 x = y y = x 0 = 0 [ ] x 0 A = 0 y [ ] x 0 A =, x R 0 x 7

8 7. Zadane su matrice, i A = [ ] t 0 B = (A + A T ) Odredite parametar t R takav da je matrica B skalarna. {[ ] [ ]} [ ] t 0 t t B = + = = 0 [ ] [ ] [ ] t t t = = + t + t + 8 t + = 8 t = t = t = t =, ne odgovara t + = 0 t = t = Konačno rješenje: t = 8

9 [ ] t 0 8. Zadane su matrice A = i B = A A. Odredite parametar t R takav da je matrica B dijagonalna. Koliki je tada tr(b)? B = A A [ ] [ ] [ ] t 0 t 0 t A 0 = A A = = t + [ ] [ ] t 0 t 0 A = = B = A A = [ ] t 0 t + [ ] [ ] t 0 t = t 0 t t = 0 t = t = [ ] 0 B = 0 tr(b) = + ( ) = 9

10 [ ] [ ] t 9. Zadani su vektori A = i B =. Odredite parametar t R takav da t su vektori A B i A+B medusobno okomiti. A B = A + B = [ ] t [ ] + t [ ] [ ] t = t [ ] t = [ ] + t [ ] [ ] t t = t [ ] t = (A B) T (A + B) = 0 [ ] + t [ t t ] = 0 t + ( t)( + t) + (t )(t + ) = 0 + t t t + t + 8t t 8 = 0 9t = 6 t = 3 [ ] + t t + 0

11 Odredite inverznu matricu matrice A = A = 0

12 0. Odredite rang matrice A ako je A = Radimo elementarne transformacije nad matricom r(a) = 3

13 . Odredite rang matrice A ako je A = Radimo elementarne transformacije nad matricom r(a) = 3

14 3. Odredite parametar x R tako da je r(a)= ako je x 8 A = x 8 8 x x x x x = 0 x =

15 . Kako rang matrice A = x ovisi o realnom parametru x? x 3 7 x x 0 0 x Ako je x = onda je r(a) =. Ako je x onda je r(a) = 3.

16 . Kako rang matrice H = 3 t 3 6 ovisi o paramteru t? Ako je t = onda je r(h) =. Ako je t onda je r(h) = 3. 3 t t t t 6

17 6. Gauss-Jordanovom metodom riješite sustav: x + 3y z = 8 x y + z = 9 3x y + 3z = x =, y =, z = 9 7

18 7. Riješite sustav linearnih jednadžbi, x + y 6z = 6 x + 8y z = y z = x + z = y z = x = z y = + z z R 8

19 8. Riješite sustav, 3x + y + z w = 0 3x + y z + 3w = x y + z w = x + w = y w = z w = x = w y = + w z = + w w R 9

20 9. Riješite sustav, x + y = x y = x + 3y = x = 3, y = 0

21 0. Riješite sustav, x y + z = 3 x + y 3z = 3x + y z = , sustav nema rješenja! r(a) =, r(a b) = 3 r(a) r(a b)

22 . Kako broj rješenja sustava ovisi o realnom parametru λ? x + x + λx 3 = 8 x + λx + x 3 = 3x + x + x 3 = λ 8 λ 8 λ 8 λ 0 λ λ 3 0 λ λ 3 3λ λ 9 0 λ λ λ 9 0 3λ λ λ λ 3λ ( λ) 3 9 Ako je 3λ 3λ 0 onda je r(a) = 3 i r(a b)=3 i sustav ima jedinstveno rješenje. Ako je 3λ 3λ = 0 onda je r(a) = i r(a b) = 3 i sustav nema rješenja. 3λ 3λ = 0 3λ( λ) = 0 3λ = 0 λ = 0 λ = 0 λ = Za λ {0, } sustav nema rješenja, u protivnom ima jedinstveno rješenje.

23 . Kako broj rješenja sustava ovisi o parametru t R? x + y + tz = x + y z = x + 3y + (t )z = 3 t t t 0 t 0 t 3 t 3 0 t n(broj nepoznanica) =3 r(a) = r(a b) = r(a) = r(a b) = < 3 Sustav ima beskonačno mnogo rješenja za svaki t R. 3

24 3. Kako broj rješenja sustava ovisi o parametru t R? x + y + tz = x + y z = x + 3y + (t )z = t t t 0 t 0 t 3 t 0 t r(a) =, r(a b) = 3 r(a) r(a b) Sustav nema rješenja za svaki t R.

25 . Tvornica proizvodi dvije vrste čamaca, čamac za jednu (T) i čamac za dvije osobe (T). Svaki čamac mora se obraditi u dva odjela, odjel za rezanje materijala i odjel za spajanje. Tehnološke karakteristike proizvodnje dane su u sljedećoj tablici: Broj radnih sati Broj radnih sati Kapacitet u po čamcu po čamcu satima T T Odjel za rezanje 3 0 Odjel za spajanje 70 Izračunajte količine proizvodnje za oba tipa čamca tako da se kapaciteti u potpunosti iskoriste. (UPUTA: problem treba svesti na sustav dvije jednadžbe s dvije nepoznanice). 3T + T = 0 T + T = 70 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] T = 0 T =

26 . Osoba ima na raspolaganju 000 kn koje ulaže u dionicu A s prinosom od 8% godišnje, u dionicu B sa prinosom od % godišnje i u dionicu C s prinosom od % godišnje. Koliko osoba mora uložiti u svaku dionicu da ostvari prinos od točno 30 kn? Takoder, strategija je osobe u dionicu C uložiti 000 kn manje nego u dionicu A. (UPUTA: problem treba svesti na sustav tri jednadžbe s tri nepoznanice gdje su nepoznanice ulaganja.) A + B + C = A + 0.0B + 0.0C = 30 A C = A = 0000 B = 6000 C =

27 6. Tvrtka reklamira svoj proizvod. Mogućnosti reklamiranja su: TV spot, radio spot i oglas u novinama. Tv spot stoji 6000 kn, radio spot 000 kn, oglas u novinama 8000 kn, a tvrtka ima na raspolaganju 9000kn, takoder, strategija tvrtke je da proizvod reklamira s dva puta više oglasa u novinama nego radio spotova. Nadalje, kada bi tvrtka novac koji će uložiti radio spotove oročila na dvije godine uz godišnji kamatnjak te godišnje složeno i dekurzivno ukamaćivanje, na kraju bi druge godine taj iznos vrijedio 600 kn. Koliko će TV spotova, koliko radio spotova i koliko oglasa u novinama tvrtka uplatiti tako da iskoristi raspoloživi budžet? Zadatak rješite Gauss- Jordanovim postupkom. x T V spot y radio spot z oglas 6000x + 000y z = 9000 z = y z y = 0 C o = C n r = 600 n.0 = = 000y 6000x + 000y z = 9000 y + z = 0 000y = 000 7

28 T V = 9 radio = novine = 0 8

29 7. Prikažite vektor B = (,, 3) kao linearnu kombinaciju vektora A = (,, ), A = (, 0, ) i A 3 = (0,, ) x = x = x 3 = 0 Linearna kombinacija B = x A + x A + x 3 A 3 B = A + A + 0 A 3 B = A + A 9

30 8. Izračunajte determinantu matrice = rješavamo po prvom stupcu jer u njemu imamo samo jedan element različit od 0. = ( ) + = ( ( ) ( )) = = ( 0 ( 8)) = ( 0 + 8) = ( ) = 30

31 9. Izračunajte detc ako je C M i znamo da je det ( C) = 8. det(αa) = α n deta, A M n ( det C ) = 8, C M ( ) detc = 8 6 detc = 8 / 6 detc = 6 8 detc = 3

32 30. Za koji je parametar t R matrica 0 0 t 0 regularna? Matrica A je regularna kad je deta t 0 = 0 0 t 0 = = ( ) +3 0 t = = ( ) (0 ( ) ( ) (t )) = ( t + ) = t t 0 t t R\{} 3

33 3. Za koji su parametar t R vektori a = linearno nezavisni?,a = 3, a 3 = t Vektori su linearno nezavisni kad je deta 0. 3 t = t = = ( ) t = ( )3 ( ( + t) ( 3) ) = = ( + t ( )) = t + 7 t t 7 t R\{ 7} 33

34 3. Izračunajte sve vrijednosti parametra t R da bi skup vektora {A,B,C} bio baza vektorskog parostora R 3 ako su A = (t, 3, ), B = (0, t 3, ),C = (0, 3, t ). Vektori čine bazu kad je deta 0. t t 3 3 = (t ) ( )+ t 3 3 t t = = (t ) ( ) [(t 3)(t ) 3] = (t ) (t t 3t + 3 3) = (t )(t t) = t(t )(t ) t(t )(t ) 0 t 0 t t t R\{0,, } 3

35 33. Da li vektori A, A, A 3 i A čine bazu od R ako su A =, A =, A 3 = ia = = = = ( ) 0 0 = 0 ( )3 0 0 = 0 = = 8 ( )3 = = 8 ( ( ) ) = 8 ( ) = 6 0 A, A, A 3 i A jesu baza od R. 3

36 3. Za koji parametar t R, je matrica A = 0 t 0 singularna? Matrica A je singularna kad je seta = 0. 0 t 0 = 0 t 0 = = ( ) +3 t = ( ) ( t) = ( t) = t t = 0 t = t = 36

37 0 3. Za koji su parametar t R vektori a =, a = 0, a 3 = t t t linearno zavisni? Vektori su linearno zavisni kad je deta = t t t = t ( )3+ = = t ( ) ( ( ) ) = = t ( )( ) = t( )( ) = t t = 0 t = 0 37

38 36. Za koji parametar t R vektori a =, a = bazu od R 3? Vektori ne čine bazu kad je deta = 0. i a 3 = 0 0 ne čine t 0 0 t = 0 0 t = = ( ) + t = ( )3 ( t ( ) ) = = ( ) ( ) ( t ( )) = ( t + ) = t + t + = 0 t = t = 38

39 37. Odredite sve skalarne matrice A M čija je determinanta jednaka 6. Napomena: determinanta dijagonalne te gornje i donje trokutaste matrice jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali. x A = 0 x x x x x x 0 = x x x x = x x A = x = 6 x, = ± A =

40 38. Odredite sve antisimetrične matrice A M čija je determinanta jednaka. A = [ ] 0 b b 0 0 b b 0 = 0 0 ( b) b = 0 ( b ) = b b = b = ± [ ] 0 A = 0 [ ] 0 A = 0 0

41 39. Ispitajte je li matrica A A T M regularna ako je A = [ ] 0 0 det(a A T ) 0 deta deta T 0 deta = deta T deta deta = 0 0 ( ) = deta deta = = 0 Matrica A A T je regularna.

42 0. Zadana je matrica A M 3 svojim elementima a ij = (i + j ). Je li ta matrica regularna? a a a 3 A = a a a 3 a 3 a 3 a 33 a = ( + ) = a = ( + ) = a 3 = ( + 3 ) = 9. 9 A = = = = 8 0 Matrica A je regularna.

43 . Rješite matričnu jednadžbu AX = B ako su 3 0 A = 0, B = A /AX = B A A X = A B I X = A B X = A B deta = A A = X = =

44 . Rješite matričnu jednadžbu AX + A = X gdje je 0 A = AX + A = X AX X = A AX IX = A (A I) /(A I)x = A (A I) (A I) X = (A I) ( A) I X = (A I) ( A) X = (A I) ( A) A I = = det(a I) = (A I) (A I) = X = =

45 Provjera: AX + A = X = = =

46 3. Izračunajte detx ako je AXB = C, gdje su [ ] [ ] [ ] 0 A =, B =, C = 0. AXB = C/det det(axb) = detc deta detx detb = detc/ : deta detb detc detx = deta detb 0 0 = 0 0 = = ( ) = = = 0 0 detx = ( ) detx = 0 6

47 . Zadana je matrica tehničkih koeficijenata jedne trosektorske ekonomije 0 A = Izračunajte outpute svih sektora tako da se zadovolji finalna potražnja 80 q = 0 0 T = I A T = = Q =

48 [ 3. Zadana je matrica tehnologije T = [ ] 9 q = tog gospodarstva. ] i vektor finalne potražnje jednog dvosektorskog gospodarstva. Sastavite input output tablicu [ 3 ] [ ] 9 [ ] [ ] [ ] [ ] 0 Q = 60 A = I T = [ ] 0 0 [ 3 ] = [ 3 ] 8

49 Q ij = a ij Q j Q = a Q = Q = a Q = Q = a Q = Q = a Q = 3 0 = 6 0 = 0 60 = 60 = 36 Q i Q ij q i

50 6. Zadana je[ inverzna ] matrica tehnologije jedne dvosektorske ekonomije T = 3. Kolika je količina outputa prvog sektora potrebna da se proizvede jedinica outputa istog sektora? [ ] a b T = c d [ ] T d b = ad bc c a T = = 3 { 3 [ A = I T = (T ) = T ]} ( ) [ ] = = 3 [ ] [ ] = [ ] 0 0 a = 0 [ ] = [ ] 0 0 0

51 i vektor finalne po- [ ] 3 7. Zadana je inverzna matrica tehnologije T = 3 [ ] 3 tražnje q =. Sastavite pripadnu I-O tablicu. 8 (T ) = T [ 3 ] T = 3 [ 3 ] [ ] [ ] [ ] [ ] Q = [ ] 0 A = I T = [ ]

52 Q ij = a ij Q j Q = a Q = 0 = Q = a Q = Q = a Q = 0 = 0 = Q = a Q = = 6 Q i Q ij q i

53 8. Napišite input-output tablicu ako je T = (T ) = T [ 3 ] T = [ ] 3 i Q = [ ] 0 30 A = I T = [ ] Q ij = a ij Q j Q = a Q = 0 = 6 Q = a Q = 0 = 8 Q = a Q = 30 = 6 Q = a Q = 30 = 6 q = = 8 q = = 6 Q i Q ij q i

54 9. Zadana je matrica tehničkih koeficijenata neke trosektorske privrede A = Napišite input-output tabelu ako je ukupni output prvog sektora 00, ukupni output drugog sektora 0, a finalna potražnja trećeg sektora 0 jedinica. 00 Q = 0, q q = q Q T = I A = T Q = q q = q Q Q 3 = q 60 0.Q 3 = q Q 3 = 0

55 Q 3 = 60 q = 36 q = 0 Q i Q ij q i

56 0. Zadana je input-output tabela neke trosektorske privrede Q i Q ij q i Napišite novu tabelu ako je novi ukupni output prvog sektora, drugog sektora 30 i trećeg sektora 3. A = Q = = Q i Q ij q i q = = 3. q = = 03. q 3 = = 6

57 . Zadana je input-output tabela neke dvosektorske ekonomije, Q i Q ij q i Napišite tabelu ako se ukupni output prvog sektora smanji za 0%, a ukupni output drugog sektora poveća za 0%. Q = = Q = = 0 00 A = [ [ ] 60 Q =, 0 ] = [ ] 7

58 Q ij = a ij Q j Q = a Q = = 6. Q i Q ij q i q = = q = = 8

59 . Zadana je input-output tablica Q i Q ij q i Ako se ukupni output prvog sektora smanji za 0%,a drugog poveća za 0%, za koliko se % promijeni finalna potražnja pojedinih sektora? Q = = Q = = A = [ ] = [ 3 ] T = I A = [ 3 ] T Q = q [ 3 ] [ ] [ ] 80 = Finalna potražnja. sektora smanjila se za 6 jedinica. x = 6 X = 70%. Finalna potražnja. sektora smanjila se za 70%. Finalna potražnja. sektora povećala se za 98 jedinica. x = 98 X = 98%. Finalna potražnja. sektora povećala se za 98%. 9

60 3. Zadana je input-output tablica neke dvosektorske ekonomije Q i Q ij q i Napišite novu I-O tablicu ako je novi vektor finalne potražnje q = [ ]. 0 A = T = I A = [ ] [ 3 3 ] [ 3 ] [ ] [ [ ] [ ] ] Q = [ ] 8 3 Q ij = a ij Q j Q = a Q = 8 = 7. Q i Q ij q i

61 . Zadana je input output tabela neke trosektorske privrede Q i Q ij q i Napišite novu tabelu ako se ukupni output prvog sektora poveća za 0%, drugog sektora za %, a finalna potražnja prvog sektora smanji se za 0%. Q = = Q = = 0 00 q = = 00 A = 80 Q = 0, q = q Q 3 q = T = I A =

62 T Q = q 80 0 = q Q 3 q 3 3 Q 3 = 30, q = 0, q 3 = 99 Q ij = a ij Q j Q = a Q Q = 80 = Q i Q ij q i

63 . Zadana je matrica tehničkih koeficijenata A = [ ]. Za koliko treba promijeniti ukupnu proizvodnju pojedinih [ ] sektora ako se očekuje promjena 0 finalne potražnje za vektor q = 0 T = I A = [ 7 7 ] Q = T q T = ( ) ( 7 ) [ 7 7 ] = [ ] Q = [ ] [ ] [ ] 0 = 0 63

64 6. Zadana je matrica tehničkih koeficijenata A = Za koliko se treba promijeniti vektor finalne potražnje ako se planira povećanje 30 proizvodnje za vektor Q = 0 i tehnološki uvjeti se ne mijenjaju da bi 0 promatrana trosektorska ekonomija ostala u ravnoteži? T Q = q T = I A = q = =