ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β) ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Δ) 47-7 ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Τα παρακάτω θέματα είναι ένα μέρος από μια μεγάλη συλλογή ΓΕΝΙΚΩΝ-ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ.Για την επιλογή τους άφησα το ένστικτο και την εμπειρία να με οδηγήσουν.το παρόν mini-book δεν έχει σαν στόχο να πιάσει θέματα στις εξετάσεις..μου έχει συμβεί πολλες φορές στο παρελθόν.αλλά να αφυπνήσει και να εθίσει τον μαθητή σε βασικές μαθηματικές μπλόφες και συσχετισμούς βασικών εννοιών. Λίγες μέρες πριν τις εξετάσεις,πιστεύω ότι μια συλλογή με Γενικά Θέματα είναι αρκετή για μια τελευταία Επανάληψη Κατά την μελέτη τους οι μαθητές να προσέχουν τις αλληλεπιδράσεις ΕΝΝΟΙΩΝ - ΕΝΕΡΓΕΙΩΝ - ΒΑΣΙΚΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ Με χαρά θα δεχθώ κάθε παρατήρηση υπόδειξη - διόρθωση Β.Α.Νικολακάκης vaggelisnikolakakis@hotmail.com ΤΗΛ ΠΗΓΕΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΘΕΜΑΤΟΓΡΑΦΙΑ-ΑΡΧΕΙΟ (Βαγγέλη Α Νικολακάκη) ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ (Γιώργος Μιχαηλίδης) ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ- TO 4 0 ΘΕΜΑ (Γιάννης Μπαιλάκης) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Αναστάσιος Μπάρλας) ΓΙΑΝΝΗ ΜΑΝΤΑ-ΟΛΗ Η ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ-ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΩΜΑΣ ΡΑΙΚΟΦΤΣΑΛΗΣ-ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MATHEMATICA ΣΥΛΛΟΓΕΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΩΣΤΑΣ ΜΑΛΛΙΑΚΑΣ (Μεθοδολογίες) Δ. ΚΑΠΠΟΥ (ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ) SPIVAK - Calculus (980) SPIVAK (ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) APOSTOL - Calculus - (969)

3 0 ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΩΝ 3

4 4

5 ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ 0 Α. α) Έστω η συνάρτηση R και ισχύει f (x) χ f (x) α ln χ α με R και 0. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο β) Έστω οι συναρτήσεις f, g συνεχείς σε ένα διάστημα Δ για τις οποίες ισχύει f ' (x)=g ' (x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε να ισχύει f(x)=g(x)+c για κάθε xδ. γ) Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α. Να δώσετε τον ορισμό του ελαχίστου της f στο x o του Α. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α έχει αντίστροφη, τότε είναι γνησίως μονότονη στο Α. β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x o και f(x o )>0, τότε f(x)>0 για τις τιμές του x κοντά στο x o. γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο [α,β] τότε υπάρχει x o (α,β) τέτοιος ώστε να ισχύει f ' (x o )>0. δ) Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή στο διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη σε αυτό. Τότε ισχύει f '' (x)>0 για κάθε xδ. ε) Αν f συνεχής στο [α,β] με f(x) 0 και ισχύει f ( x) dx >0, τότε υπάρχει x o [α,β] τέτοιος ώστε f(x o )>0. στ) Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση με το μηδέν στο [α,β] και ισχύει f ( x) dx =0 τότε η f παίρνει δύο τουλάχιστον εταιρόσημες τιμές. ΘΕΜΑ 0 Α. α. Έστω η συνάρτηση f(x) ln x με R. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f (x) x β. Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση: Γράψτε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση. Αν f(χ) = ημχ, χ ε R τότε (fof) ( ) είναι ίσο με: Α.: συν, Β.: 0, Γ.:, Δ.: ημ Αν f (χ) = συνχ, χ ε R και f(0) = τότε: Α.: f(χ) = ημχ +, Β.: f(χ) = ημχ, Γ.: f(χ) = συνχ + Δ.: f(χ) = -ημχ + Αν f(χ) = ημχ, χ ε R και i η μονάδα των φανταστικών αριθμών τότε η τιμή της παράστασης (f ( ) + if( )) 004 είναι: 4 4 Α.: -, Β.:, Γ.: i, Δ.: -i B. Δίνεται η συνάρτηση : 0, x f ώστε f ( x) x x e x 0 5

6 α. Δείξτε ότι: f β. Υπολογίστε το ( x) x xx xe / x lim x0 f ( x) x ΘΕΜΑ 3 0 Α. Τ ι ονομάζουμε μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z; (Να δώσετε τον ορισμό με γεωμετρικό και αλγεβρικό τρόπο) Β. Δίνονται οι μιγαδικοί z, z. Να αποδείξετε ότι: z z z z. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν z τότε οι εικόνες των μιγαδικών z, z, i z z μοναδιαίου κύκλου. β. Αν lim f ( x) f ( x ) τότε η f είναι συνεχής στο xx 0 x o x o., -z είναι σημεία του γ. Αν lim f ( x) τότε η γραφική παράσταση της f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία x=. δ. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα με συνεχή παράγωγο. Αν f (x) 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του, τότε η f είναι γνησίως μονότονη σε όλο το Δ. ε. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα με συνεχή παράγωγο και f(α) = 0, με α ε Δ, τότε ισχύει: ΘΕΜΑ 4 0 f x) f ( t) dt ( για κάθε x ε Δ. x a A. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν,η f είναι συνεχής στο Δ, με f (x) 0 για κάθε εσωτερικό του Δ, να δειχθεί ότι η f είναι σταθερή στο Δ. Β. Πότε η y=λx+β λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +. Γ. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω προτάσεις Σωστές ή Λάθος. α) Αν z,z μιγαδικοί τότε ισχύει πάντα z z z z z z Σ. β) Μια συνάρτηση f είναι «-» αν και μόνο αν για κάθε x,x ισχύει x =x τότε f(x )=f(x ). lim f x g x f x g x γ) Αν f, g έχουν συνεχή πρώτη παράγωγο τότε xx0 0 0 δ) Αν συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και υπάρχει x o(a,β) τέτοιο ώστε f(x o )=0 τότε κατ ανάγκη θα ισχύει f(α)f(β)<0. ΘΕΜΑ 5 0 A. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μία παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι: α. όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) = F( x) c, c ΙR είναι παράγουσες της f στο Δ και β. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G(x) = F( x) c, c ΙR. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 6

7 α. Υπάρχει συνάρτηση f για την οποία ισχύουν συγχρόνως οι προυποθέσεις των θεωρημάτων Bolzano και Rolle στο, β. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεσ η ίσως ένα σημείο του x 0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f (x) > 0 στο (α, x 0 ) και f (x) < 0 στο (x 0, β), τότε το f (x 0 ) είναι τοπικό ελάχιστο της f. γ. Μία συνάρτηση f : Α ΙR είναι συνάρτηση x A ισχύει η συνεπαγωγή:αν x = x, τότε f(x ) = f(x ). Γ. Πότε μία ευθεία x = x 0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ;, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε x, ΘΕΜΑ 6 0 A. Έστω μία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι f(t)dt G(β) - G( α) β Β. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στ ο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες. β. Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσ ταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. γ. β Το ολοκλήρωμα είναι ίσο με το άθροισμα α των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x x μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x x. δ. Αν α, β πραγματικοί αριθμοί, τότε: α+βi=0 α=0 ή β=0 ε. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής (α, x 0 ) (x 0, β) και ένας πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim xx 0 f(x) l lim (f(x) l) 0 xx 0 α 7

8 ΤΟ Β ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ 0 Δίνεται η παράσταση 4 f(z)= iz i z i Θέτουμε α =z-i και β=f(z)-i (α) Να δείξετε ότι αβ= -3+4i () (β) Να βρείτε τον α αν είναι α=β (γ) Να λύσετε την εξίσωση f(z)=-i με z ε C-{i}. iz 4i iz 4i iz i (α) Εϊναι (z i)(f(z) i) (z i) i (z i) z i z i z i z i 0) (β) Αν α=β τότε από () 3 4i () Έστω x i. Από () (x i) 3 4i (x ) xi 3 4i x 3 (x ) 9 () x 3 x 4 (3) (x) 6 (x ) 5 x 3. Έτσι έχουμε τα συστήματα x 5 x 3 ( ) x x x (Σ ) x 5 ( ) 8 4 Όμως από (3) έχουμε ότι x, είναι ομόσημοι. x x i Κατά συνέπεια i x 3 (Σ ) φανερά είναι αδύνατο x 5 iz 4i (γ)έχουμε f(z) i = i iz 4i (z i)( i) z i iz 4i z zi i i zi z 5i (i )z 5i 5i ( 5i)( i) i 5i 0i z z i ( i)( i) ( ) z 3 f(z) i έχει λύση την z i 5 5 iz 4i iz 4i (δ) Είναι f(z) ε R f(z) f(z) z i z i iz 4i iz 4i ( iz 4i)(z i) (iz 4i)(z i) z i z i iz z i z z i 4iz 4i iz i z z i 4iz 4i izz z z 4i(z z) 0 (4) Όμως z x i οπότε η σχέση (4) γράφεται ισοδύναμα 3 4i (Είναι 3i Άρα η εξίσωση 5 8

9 i(x ) i 4i(x) 0 i(x 4x ) 0 x 4x 0 (5) Η (5) παριστάνει κύκλο με κεντρο, και ακτίνα 7 από τον οποίο όμως εξαιρείται το σημείο Α(0,), αφού z 0 i ΘΕΜΑ 0 Δίνεται η παράσταση ( z i)(z i) (α) Να γίνουν όλες οι δυνατές πράξεις και να απλοποιήσετε την παράσταση Π. (β) Να λυθεί στο C η εξίσωση z iz 5 0 (γ) Αν z, z οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης με Re( z ) 0 και Α, Β οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο και Γ είναι η εικόνα του μιγαδικού z i, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο (δ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(χ,ψ) για τα οποία ισχύει ( ) ( ) ( ) Re(z) (ε) Αν w iim( z) να δείξετε ότι w i Re(z) 4 4 (α) Είναι ( z i)(z i) = z iz 5 () (β) Είναι z () z i 0 z i iz 5 0 (z i)(z i) 0 z i 0 z i (γ) Είναι Α(-,-), Β(, -) και Γ(0, ) οπότε έχουμε AB (4,0) (3,) Οπότε έχουμε 3( ) 3 0 κατά συνέπεια o (,3). Άρα ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ( 90 ). (δ) Είναι Μ(χ,ψ) οπότε ( ) ( ) ( ) ) ( ) + ( x ) ( ) x ( ) ( x x 4x 4 x 4x 4 x Re(z) (ε) Είναι w iim(z ) i( ) i i Re(z ) 4 4 ΘΕΜΑ 3 0 Δίνεται η συνάρτηση f : R 3 R για την οποία ισχύει : f x f x x 0 () για κάθε x R. α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι -. β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. 3 f x x f 3 3x γ) Να λυθεί η εξίσωση 9

10 ΘΕΜΑ 4 0 Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει : fx f 3 x x f x 3 () για κάθε x R.Αν lim x0 x α) Να δείξετε ότι η α=. β) Να βρείτε τα όρια fx ffx f x x i) lim ii) lim iii) lim x0 x x0 x x x 3x τότε : 0

11 ΘΕΜΑ 5 0 Έστω η συνάρτηση f και οι μιγαδικοί z if(x) και w x if (x) α. Αν f(x)=lnx,x>0 τότε i)να υπολογίσετε το ελάχιστο μέτρο του z και στη συνέχεια να βρείτε τον z. ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μια μόνο τιμή του πραγματικού αριθμού χ για την οπία ο μιγαδικός z-iw είναι πραγματικός. Β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f για την οποία ισχύουν f()=0 και, Re(zw)=0 f(x) 0 για κάθε χ

12 ΘΕΜΑ 6 0 Α. Έστω η συνάρτηση x w e i. R και οι μιγαδικοί αριθμοί z x i x f ( x) x e, x και α. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β. Να βρεθεί ο xr ώστε το γινόμενο των μιγαδικών z και w να είναι φανταστικός. 3 x x Β. Δίνεται η συνάρτηση f( x). Αν η C f έχει στο ασύμπτωτη την x ευθεία : y ( ) x 4, να βρεθούν τα R, *. Α. α. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f '( x) e x e ( x ) e x x x. x - f ' f ελάχιστο Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ) ενώ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x το f ( ) 0. Το τοπικό ελάχιστο είναι και ολικό αφού β. ( ) x x lim f ( x) lim ( x e ) lim ( ) lim ( ) x x x x e e x x x lim f ( x) lim ( xe ). x x z w ( x x i)( e i) x x e x i x i e i x x e x i x i e x x e x i( e x) άρα πρέπει x x e f x x 0 ( ) 0. Β. Αν η C f έχει στο ασύμπτωτη την ευθεία : y ( ) x 4 έχουμε: f( x) lim a και lim[ f ( x) ( a) x] 4. Επειδή x x x 3 3 f ( x) ax ax lim lim lim πρέπει και x x 3 x 3 x και

13 3 x x lim [ f ( x) ( a) x] lim [ f ( x) ] lim ( x) x x x x 3 x x x ( x ) x x x lim [ ] lim ( ) lim x x x x x x x πρέπει 4 ΘΕΜΑ 7 0 iz 4i ίνεται η συνάρτηση f (z),z i zi ) Να βρείτε το σύνολο των σηµείων M(z), όταν Imf (z) 0 ) Αν u z i,w f (z) i να βρεθεί το μέτρο του μιγαδικού uw 3) Να δείξετε ότι αν τα σηµεία M(z) ανήκουν στον κύκλο C µε κέντρο K(i) και ακτίνα, τα σηµεία N(f (z)) ανήκουν σε κύκλο C µε το ίδιο κέντρο και ακτίνα που πρέπει να βρείτε. Πότε οι κύκλοι αυτοί Για z x yi, x, y και z i (x, y) (0,), έχουμε: ix y 4i ( y i(4 x))(x i(y )) f (z) x i(y ) (x i(y ))(x i(y )) x(y ) (4 x)(y ) x(x 4) (y )(y ) i. x (y ) x (y ) ) Για (x, y) (0,) έχουμε ότι: Im(f (z)) 0 x(x 4) (y )(y ) 0 x y 4x y 0, όπου 4 4( ) 5 0. Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού είναι ο κύκλος 5 κέντρου K, και ακτίνας R εκτός του σημείου. ) Για z i έχουμε ότι: iz 4i uw (z i)(f (z) i) (z i) i z i iz 4i zi i (z i) 4i 3 4i, z i οπότε uw ( 3) ) Ισχύει z i 0 5, οπότε από το () ερώτημα προκύπτει ότι: f (z) i 5 f (z) i, οπότε οι εικόνες του f (z) ανήκουν στον κύκλο κέντρου K(i) και ακτίνας 5. Οι δύο κύκλοι ταυτίζονται όταν

14 ΘΕΜΑ 8 0 Δίνεται η εξίσωση : i) Να δείξετε ότι. ii) Να δείξετε ότι k k z z και z z 0 με η οποία έχει ρίζες τους z,z με z,z. z z k k I για κάθε * k. iii) Aν z, τότε : α) Να βρείτε την τιμή του. β) Να λύσετε την εξίσωση. γ) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: (w z ) (w z ) 0, n. n n * i) Αφού η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες θα είναι: ii. Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης τότε k k k k k z z z z Re z R z z z z Im z I k k k k k iii. α) Είναι z z z z z 4 β) Με η εξίσωση γίνεται: 46 z 3i z 3i z 3i, n n ) w z w z 0 w z w z n Άρα οι εικόνες των ανήκουν στη μεσοκάθετο του τμήματος με A, 3 και B, 3 n. Όμως τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα, οπότε οι εικόνες των ανήκουν στην ευθεία με εξίσωση y 0 ΘΕΜΑ 9 0 Δίνεται ο μιγαδικός f(z)= z 4 + z +z + z 4, με zc, z 0. α) Αν f(z) ν.δ.ο. z * ή z =. β) Αν z=x πραγματικός διάφορος του μηδενός και η f έχει σύνολο τιμών το διάστημα (4, ) να δείξετε ότι η εξίσωση f(z)=α έχει ακριβώς μια πραγματική λύση στο διάστημα (,). γ) Αν f(z)=0 και z = ν.δ.ο. η εικόνα του w= z 5 +z + κινείται σε κύκλο κέντρου (0,0) και ακτίνας ρ=. α) f(z) f(z)= f (z) z 4 + +z+ z 4 = z z + z 4 z z +z= + z z z z z - +z- z =0 -( z -z)=0 ( z -z)(-z z )=0 (z= z ή z =) z z zz z * αφού z 0 ή z = 4

15 β) z=x * και 4 f(x) f (x) a f(z)=f(x)=x 4 + x +x+x 4 =x 4 + x +x 4 α f(x)=α x 4 + x +x=α x 5 +x -αx+=0 θεωρώ h(x)=x 5 +x -αx+ h συνεχής στο [,] h()=4-α 0 h()=69-α 0 γιατί 4 α 8 α 4-4 -α α h() 6 Άρα : h()h() 0. για κάθε x 0(,) τέτοιο ώστε h(x 0 )=0 μοναδικότητα: h ' (x)=0x 4 +x-α x x x 4 60 i) x 4 ii) - -α -4 iii) Από i),ii),iii) έχουμε + 0 h ' (x) 60 Άρα : h στο (,) η ρίζα μοναδική γ) f(z)=0 z 4 + z +z+ z 4 =0 z 5 ++z +z z 4 =0 z 5 +z += -z z z 3 z 5 +z += - z z z = z = ΘΕΜΑ 0 0 5

16 ΘΕΜΑ 0 6

17 7

18 3 ΤΟ Γ ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ 0 Δίνεται ο μιγαδικός z α βi με α,β R :α,β > και η συνάρτηση f με τύπο f(x) xz i x,x 0. Αν για κάθε x 0 ισχύει α) Η εξίσωση f(x) 0 xz β xz i να δείξετε ότι: έχει μοναδική λύση τη χ=0 z z και z iz ισχύει α β) Για τους μη μηδενικούς z z i z z i z z γ) Ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του ΘΜΤ (διαφορικού λογισμού) για τη συνάρτηση f στο διάστημα z, z και υπάρχει μιγαδικός z 0 για τον οποίο να ισχύει z z β z z i 0 0 α) Φανερή λύση χ=ο αφου f (0)... 0 f(x) x i i x... x x x με x 0 Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, ως πράξεις παραγωγίσιμων με Είναι x x x z x xz i f (x) 0 x x x x xz i αφού zx i 0 και από υπόθεση είναι Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο β) z z οπότε z z ( >) α z Είναι z iz οπότε z iz = i z = z z xz β xz i f οπότε z z i z z i z z 0, και κατά συνέπεια η λύση χ=0 είναι μοναδική z z f z f z... γ)η f με τύπο f(x) x x x είναι συνεχής στο 0, (ως παραγωγίσιμη) άρα είναι συνεχής και στο z, z. Επίσης η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, άρα παραγωγίσιμη και στο z, z υπάρχει z 0 C με z0 z, z ώστε fz0 f z f z z z z, z Από (α) ερώτημα είναι z x z z0 z z0 f (x) 0 f ( z 0 ) 0 xz i z0 z i z0 z i.κατά συνέπεια από ΘΜΤ στο... z z β z z i 0 0 8

19 ΘΕΜΑ 0 z +z z -z Έστω z, zμιγαδικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι. i Αν W Ζ Ζ, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του W. χ z g χ i και z iβ g όπου β 0 είναι δύο μιγαδικοί που ικανοποιούν το ii Αν ερώτημα i και g είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με δείξετε ότι β e. i ii Αν fχ Imw ότι e και για την f ισχύει το θ.rolle στο g g e g 0 0 και 0, να δείξετε g 0 0,να ΘΕΜΑ 3 0 9

20 A) z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 0 z z z z 0 4Re z z 0 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι το ημιεπίπεδο για τα x 0 Β) Αφού οι z αυτούς Όμως f x i και z f x i ικανοποιούν τη σχέση του ερωτήματος Α θα ισχύει για Re z z 0. z z i f x i f x i i i f x f x f x f x f x Οπότε f x Re zz 0 f x 0. Θεωρώ με. Τότε έχουμε. Δηλαδή η παρουσιάζει μέγιστο στο. Επιπλέον η παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων με.. Από Θεώρημα Fermat λοιπόν θα ισχύει, άρα παραγωγίσιμη και στο Όμως, οπότε. Συνεπώς ισχύει. Γ) Για την έχουμε:. Η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο και συνεπώς η συνεχής στο, παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο ανοιχτό διάστημα και. Οπότε ΘΕΜΑ 4 0 με 0

21

22 ΘΕΜΑ 5 0

23 ΘΕΜΑ 6 0 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e Inx, x>0 i)να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α ώστε η συνάρτηση g(x)= '' ' x f (x) xf (x), x(0,) (,+ ) να είναι σταθερή. f(x) ii)για την τιμή του α που βρήκατε στο i)ερώτημα να υπολογίσετε το εμβαδό Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) και g(x) μεταξύ των ευθειών : x=, x=λ με λ> iii)να υπολογίσετε το όριο lim i) για 0<x< είναι lnx<0 ln x ln x ln x ln x οπότε f(x)=e e = x για x> είναι lnx>0 ln x ln x ln x ln x οπότε f(x)=e e ln x e x Για x=, lnx=ln=0 f (x) e 0 ( ) x,0 x Άρα f(x), x x Η f είναι συνεχής στο (0,+ ) στο (0,) η f είναι φορές παραγωγίσιμη με f (x)=x, f (x)= 3

24 x x άρα g(x)= g(x), x (0,) x επίσης η f είναι φορές παραγωγίσιμη στο (, + ) 6 με f (x)= -, f (x)= 3 x x 4 6 x x( ) 4 3 άρα g(x) = x x g(x) 6, x, x (0,) άρα g(x) = 6, x (, ) x (, ) Η g είναι σταθερή στο Α g αν ισχύει : +α=6-α Τότε g(x)=4, x ( 0,) (, ) ii) E(λ)= f (x) g(x)dx 4dx 4 0 4x x x - 4x 0 4x x x 4 Άρα για x είναι x x x x 7 =(4λ+ ) τ.μ. ( ) 7 iii) 4 ( ) άρα lim οπότε Ε(λ)= ( 4 )dx 4dx ( )dx 4( ) x x ΘΕΜΑ 7 0 Έστω η συνάρτηση f :R R,δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με 3 f x f x 0 () για κάθε x R. i) Να μελετήσετε την f ως προς τα κυρτά, κοίλα και τα σημεία καμπής ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας στο σημείο καμπής iii) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την iv) Αν g x f να βρείτε την ασύμπτωτη της C g στο και να x x υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την παραπάνω ασύμπτωτη και τις ευθείες x και x e f C g την 4

25 5

26 ΘΕΜΑ 8 0 Έστω συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο,4 για την οποία ισχύουν: e f x 3f' xf'' x () για κάθε x<4, ' x 0 α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο,4 f για κάθε x<4 και f()=0,f ()=, να βρείτε το πρόσημο της f και να αποδείξετε ότι η c f τέμνει τον x ' x σε ένα μόνο σημείο. β) Να δείξετε ότι 3f'' x f' x και κατόπιν να δείξετε ότι η f στρέφει τα κοίλα άνω στο,4 f x 0 γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός x 0 0, : x (3) f ' x δ) Να βρείτε τον τύπο της f(x) για x<4 0 ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και να δειχθεί ότι η εξίσωση x,4 για κάθε στ) Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της f. ζ) Να κάνετε πίνακα μεταβολών για την f. 0 f έχει μία μόνο λύση στο α) Εφόσον η f ' x είναι συνεχής στο,4 και f ' x 0 για κάθε x<4, η f ' διατηρεί πρόσημο στο,4 επειδή f ' 0 συμπεραίνουμε ότι f ' x 0 για κάθε x<4, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο,4 x< έχουμε f(x)<f() f (x) 0 και για <x<4 έχουμε f(x)>f() f(x)>0 Ισχύει 0 f και x ' x μόνο στο σημείο (,0) f στο,4,οπότε η εξίσωση x 0 β) Πολλαπλασιάζουμε την () με ' x 0 f και έχουμε f (x) f (x) 3 f (x) f'(x)e 3(f'(x)) f''(x) (e )' [(f'(x)) ]' e f Για x= : 3 0 e (f'()) c e c c 0 Άρα e f (x) (f '(x)) () 3 3f '(x)f ''(x) (f '(x)) Παρατηρούμε ότι 3f'' x f'(x) 0 στο,4. 3 και. Για f έχει μοναδική ρίζα την x=,οπότε η c f τέμνει τον f '(x) 0 (f'(x)) 3 c 3f''(x) (f'(x)) () για κάθε x (,4), δηλαδή f ''(x) 0 οπότε η f στρέφει τα κοίλα άνω γ) (3) x 0f '(x 0 ) f (x 0 ) 0. Οπότε θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) xf(x). Η g είναι συνεχής στο [0,] ως γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων f(x) (υπόθεση), x Η g είναι παραγωγίσιμη στο (0,) με g'(x) f (x) xf'(x). Ισχύει g(0) 0f (0) 0 και g() f () 0. Ισχύουν οι προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 (0,) : g'(x0 ) 0 x0f '(x0 ) f (x0 ) 0 f ''(x) x δ) () x c (f '(x)) 3 f '(x) 3 f '(x) 3 4 x 4 x 4 3 Για x= : c c Άρα f '(x), x f '(x) 3 3 f '(x) 3 4 x Επομένως f '(x) ( 3ln(4 x))' f (x) 3ln(4 x) c Για x= : f () 3ln 3 c c 3ln 3 3 Αρα f (x) 3ln(4 x) 3ln 3 3(ln 3 ln(4 x)) f (x) 3ln, x 4 4 x 3 ε) lim f (x) lim 3ln = 3lim ln u 3 3 u lim x4 x4 4 x u 4 x x4 4 x 3 lim f (x) lim 3ln 3 lim ln v x 4 x x v0 6

27 Επομένως f (,4) lim f (x),lim f (x) (, ) x x4 3 3 v= lim 0 4 x x 4 x Εφόσον το κ ανήκει στο σύνολο τιμών της f η εξίσωση f (x) έχει μία τουλάχιστον λύση στο,4 για κάθε και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, η λύση είναι μοναδική. στ) lim f (x).άρα η ευθεία x = 4 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της c f ζ) x4 y 4 f '' + f ' + f ΘΕΜΑ 9 0 Α.Έστω η συνάρτηση f(x) = x 3 3x συνα + xσυν α + ημ α, xκαι α. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του α η γραφική παράσταση της f έχει μόνο ένα σημείο καμπής, το οποίο για τις διάφορες τιμές του α ανήκει σε παραβολή. Β. Να αποδείξετε ότι : α) Η συνάρτηση f(x) = x 3 +x ημx, x, είναι γνησίως αύξουσα. β) Η εξίσωση x 3 +x = ημx έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα (0, ). Α.Για κάθε xείναι : f (x) = 3x 6xσυνα + συν α και f (x) = 6x - 6συνα. Έχουμε f (x) = 0 6x - 6συνα = 0 x = συνα, f (x) > 0 x > συνα, f (x) < 0 x < συνα. Άρα για οποιαδήποτε τιμή του α η C f έχει ένα μόνο σημείο καμπής, το Α(συνα,f(συνα)). Όμως : f(συνα) = συν 3 α - 3συν 3 α + συν 3 α + ημ α = ημ α,οπότε Α(συνα, ημ α). Έστω Α(x, y). Τότε x = συνα και y = ημ α = - συν α = -x. Οι συντεταγμένες του A επαληθεύουν την εξίσωση y =-x, που είναι εξίσωση παραβολής, άρα το Α ανήκει σε παραβολή (για τις διάφορες τιμές του α). Β.α) Για κάθε xείναι f (x) = 3x + συνx = 3x +( συνx) 0, αφού συνx και x 0. Το = ισχύει μόνο όταν είναι συγχρόνως : x = 0 και συνx = 0, το οποίο συμβαίνει μόνο για x = 0. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Η εξίσωση x 3 +x = ημx είναι ισοδύναμη με την f(x) = 0. Αρκεί να δείξουμε ότι η f(x) = 0 έχει μία μόνο ρίζα στο (0, ). Η f είναι συνεχής στο [0, ] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και f(0)f() = (- )( ημ) < 0 αφού ημ <. Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η f(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0, ). Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, ), η f(x) = 0 θα έχει το πολύ μία ρίζα στο (0, ). Άρα τελικά η f(x) = 0 έχει μία μόνο ρίζα στο (0, ). 7

28 ΘΕΜΑ 0 0 8

29 ΘΕΜΑ 0 Α. Β. 9

30 Β. ΘΕΜΑ 0 30

31 3

32 ΘΕΜΑ 3 0 3

33 ΘΕΜΑ

34 ΘΕΜΑ

35 35

36 ΘΕΜΑ 6 0 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [0, 4] R για την οποία ισχύει: f(0)=0, f() =, f(4)= f παραγωγίσιμη στο ( 0, 4) f ' συνεχής στο ( 0, 4) Να δείξετε ότι : α) Υπάρχει x ( 0, 4) ώστε f (x ) = β) Υπάρχει ξ ( 0, 4) τέτοιο ώστε f (ξ) = 4 γ) Αν f δύο φορές παραγωγίσιμη να δείξετε ότι υπάρχει x 0 ( 0, 4): f ( x 0 ) 0. α) f συνεχής στο [ 0, ] f παρ/μη στο ( 0, ). Άρα ισχύει το ΘΜΤ για την f στο [ 0, ] και επομένως υπάρχει x ( 0, ) ( 0, 4) τέτοιο ώστε f ' f () f (0) ( x ) = = = 0 β) f συνεχής στο [, 4] f παρ/μη στο (, 4) f() =f (4) = Αρα ισχύει το Θ.R. για την f στο [, 4] και επομένως υπάρχει x (, 4) τέτοιο ώστε f ' (x ) = 0. Άρα η f ' παίρνει τις τιμές 0 και και επειδή f ' συνεχής στο [ x, x ] ( 0, 4) σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών αφού το /4 είναι μεταξύ του 0 και του θα υπάρξει ξ ( x, x ) ( 0, 4) ώστε f ' (ξ) = /4. γ) f δυο φορές παρ/μη στο [ 0, 4]. Αρα η f ' παρ/μη στο [ 0, 4].Επομένως ισχύει το Θ.Μ.Τ για την f ' στο [ x, ξ ] ( 0, 4) x ξ x 4 Άρα υπάρχει x 0 ( x, ξ ) ( 0, 4) τέτοιο ώστε f '' ( x 0 ) = ' f ( ) f x ' ( x ) / 4 = = x 3/ 4 x 0 ΘΕΜΑ

37 37

38 ΘΕΜΑ 8 0 Α.α) Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο [α, β].αν η f είναι αντιστρέψιμη και έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο [α, β], να δείξετε ότι : f ( ) f ( x) dx + f ( x) dx = βf(β) αf(α). f ( ) β) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x +x 5. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : e f ( x) dx. Β.α) Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο Α και γνησίως αύξουσα στο Α. Αποδείξτε ότι : ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης f(x) = f ( x ) αν και μόνο αν ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης f(x) = x. x β) Αν f(x) = x + e 004 t dt, x, να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και να λύσετε την εξίσωση : f(x) = f ( x ). f ( ) Α.α) Για το ολοκλήρωμα f ( x) dx θέτουμε x = f(t), t[α, β], οπότε f ( ) dx = f (t)dt. Για x = f(α) παίρνουμε t = α, ενώ για x = f(β) παίρνουμε f ( ) t = β ( η f είναι ). Το f ( x) dx είναι καλώς ορισμένο αφού η f ( ) f είναι συνεχής ( f συνεχής C f συνεχής γραμμή f C συνεχής γραμμή, αφού οι C f, C είναι συμμετρικές ως προς την y = x f συνεχής ). Έτσι είναι f ( ) f f ( ) f ( x) dx = f ( ) tf ( t) dt. Επομένως : f ( x) dx + f ( x) dx = ( f ( t) tf ( t)) dt = [ tf(t)] = βf(β) αf(α). f ( ) β) f (x) = e x + 5x 4 > 0, για κάθε x. Άρα η f είναι και σύμφωνα με e το (α) θα είναι : f f () ( x) dx = f ( x) dx = f() 0f(0) f ( x) dx = f (0) Β.α) Έστω ότι ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης f(x) = f (x). Τότε θα είναι f(ρ) = f ( ) () και θα δείξουμε ότι f(ρ) = ρ. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και η f γνησίως αύξουσα (αν α < β θα είναι f (α) < f (β), διότι αν είχαμε f (α) f (β) f(f (α))f(f (β)) α β, άτοπο ). Αν f(ρ) > ρ τότε f (f(ρ)) > f (ρ) ρ > f (ρ) ρ > f(ρ) (άτοπο). Αν f(ρ) < ρ τότε f (f(ρ)) < f (ρ) ρ < f () (ρ) ρ < f(ρ) (άτοπο). Άρα f(ρ) = ρ. Έστω ότι ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης f(x) = x. Τότε θα είναι f(ρ) = ρ () () 0 38

39 β) f (x) = + και θα δείξουμε ότι f(ρ) = f ( ). Από την () προκύπτει f ( ) = ρ f ( ) = f(ρ). x e > 0, για κάθε x. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. Σύμφωνα με το (α) έχουμε : f(x) = f ( x ) f(x) = x () x x + e 004 t dt x = x e 004 t dt = 0 x = 004, αφού αν x > 004 τότε x t e 004 dt > 0, ενώ αν x ΘΕΜΑ

40 ΘΕΜΑ

41 4

42 ΘΕΜΑ 0 4

43 ΘΕΜΑ 0 43

44 44

45 ΘΕΜΑ

46 46

47 4 ΤΟ Δ ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ 0 47

48 ΘΕΜΑ 0 48

49 ΘΕΜΑ

50 ΘΕΜΑ

51 5

52 ΘΕΜΑ 5 0 5

53 53

54 ΘΕΜΑ

55 ΘΕΜΑ

56 56

57 ΘΕΜΑ

58 58

59 ΘΕΜΑ

60 ΘΕΜΑ

61 6

62 ΘΕΜΑ 0 6

63 63

64 ΘΕΜΑ 0 64

65 65

66 ΘΕΜΑ

67 67

68 ΘΕΜΑ 4 0 ln x. Τότε x α) Η συνεχής στο ως πηλίκο συνεχών και παραγωγίσιμη με f x ln x f x 0 0 x e x και παρουσιάζει μέγιστο για το f x 0 0 x e, ενώ. Η λοιπόν είναι γνησίως αύξουσα στο και γνησίως φθίνουσα στο και f (0,e] (lim f x,f e ] (, ] x0 e αφού β) Η συνεχής και γνησίως αύξουσα στο και συνεπώς. Επιπλέον η συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο και συνεπώς ln x αφού lim f x lim lim 0, x x x x x όπου στο τελευταίο όριο έγινε χρήση. Άρα τελικά f Df f (0,e] f [e, ) (, ] (0, ] (, ] e e e γ) Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την. Οπότε για η εξίσωση έχει μοναδική λύση, για η εξίσωση έχει δύο λύσεις, για μοναδική λύση και για η εξίσωση είναι αδύνατη δ) 68

69 . Για x 0,, η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, συνεπώς είναι. Άρα f x f x x x. Δηλαδή x ε) Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο της είναι 4 τότε έχουμε. Αν αυτή διέρχεται από το σημείο. Θεωρώ τη συνάρτηση. Η συνεχής ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμη με για κάθε. Συνεπώς η γνησίως αύξουσα στο και το σύνολο τιμών της είναι, το οποίο είναι και μοναδικό λόγω μονοτονίας, τέτοιο ώστε το ζητούμενο. Επειδή λοιπόν το, υπάρχει που είναι και στ) Έχουμε. Θεωρώ τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη με. Από θεώρημα μέσης τιμής για την στο, υπάρχει, τέτοιο ώστε ισχύει αφού. Οπότε η ζητούμενη ανισότητα γίνεται που γιατί η γνησίως φθίνουσα για ζ) Με κριτήριο παρεμβολής στην σχέση παίρνουμε ότι αφού 69

70 ΘΕΜΑ

71 7

72 ΘΕΜΑ 6 0 (to day) Δίνονται η συνάρτηση f,παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο R, η gx x με x R μιγαδικοί z f t dt i f t dt Κ(,) και Λ(,4) f A. Aν f xdx 0, τότε : f i Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα g ii Να βρείτε το ΓΤ των είκόνων του z. Β. Δίνεται η συνάρτηση hx x x f t dt x f t dt και οι.δίνεται ακόμη ότι η C f διέρχεται από τα σημεία f t dt i Να δείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο πάνω στη γραφική παράσταση της C h έτσι ώστε η εφαπτόμενη σε αυτό να είναι παράλληλη στον άξοναα χ χ. ii Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης της C h στο χ 0 =. x x Γ. Να βρείτε το όριο lim e e f t dt x x.δοκιμάστε να τη λύσετε (είναι σχετικά απλή ) Η λύση της θα αναρτηθεί σε -3 ημέρες μαζί με τις απαντήσεις του ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΕΙΩΣΗΣ- 7

73 Προσέχουμε και αυτά!!. Ανεπιθύμητες παρενέργειες : Τα παραπάνω ίσως περιορίσουν τη σκέψη μας, κυρίως εφόσον αυτή στηριχθεί μόνον σ αυτά.!!!! Συμβουλή: Αφήνουμε τη σκέψη μας «ελεύθερη». Μια άσκηση μαθηματικών λύνεται εφόσον έχουμε τις απαραίτητες γνώσεις, το θάρρος και την ικανότητα να δημιουργούμε μόνοι μας την λύση της. Αυτή η ικανότητα δεν είναι έμφυτη Αφήνουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης να μας οδηγήσουν. Ερμηνεύουμε σωστά τα δεδομένα. Ερμηνεύουμε σωστά τα ζητούμενα. Συσχετίζουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα με τις γνώσεις τις οποίες έχουμε. Εφαρμόζουμε διάφορες τεχνικές, αρκεί αυτές να συμφωνούν με τη λογική και με τις γνώσεις μας. Ελέγχουμε τα αποτελέσματα. Είναι φυσικό να κάνουμε κάποια λάθη τα οποία πρέπει να αναζητάμε και να τα διορθώνουμε. Προσέχουμε κάποια κρυφά σημεία των δεδομένων ζητούμενων. Σε μια άσκηση με πολλά ερωτήματα, το κάθε ερώτημα ίσως να αποτελεί συνέχεια του προηγούμενου. Τι γίνεται όμως αν κάτι δεν πάει καλά στη λύση μιας άσκησης ; Δεν μας πιάνει πανικός.περισσότερο πρέπει να ανησυχούμε όταν όλα πάνε καλά!!! Ελέγχουμε τις πράξεις μας...ένα μικρό λαθάκι μπορεί να έχει δημιουργήσει πρόβλημα. Αν παρόλα αυτά η λύση δεν προχωρά αλλάζω στρατηγική λύσης και ίσως και τρόπο σκέψης g x f x και δεν προκύπτει λύση λχ λόγω Πχ αν κάνω χρήση Θ Βοlzano για την έλλειψης δεδομένων δεν συνεχίζω ελπίζοντας να πάρω κάποια μόρια Αλλάζω τακτική και δοκιμάζω Θ Rolle για την παράγουσα της G x. Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν έχει γνωστό τύπο,τότε δοκιμάζω Θ Rolle για την παράγουσα της x G x f t dt x.. Στο γράψιμο είναι καλό να έχω συνεχή κίνηση με δοκιμές στο χαρτί,παίρνοντας βέβαια και κάποιες ανάσες. Σε καμιά περίπτωση δεν δεχόμαστε ότι δεν μπορούμε να λύσουμε την άσκηση. Καλή επιτυχία. 73