ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ"

Transcript

1 ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β) ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Γ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Δ) 47-7 ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Τα παρακάτω θέματα είναι ένα μέρος από μια μεγάλη συλλογή ΓΕΝΙΚΩΝ-ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ.Για την επιλογή τους άφησα το ένστικτο και την εμπειρία να με οδηγήσουν.το παρόν mini-book δεν έχει σαν στόχο να πιάσει θέματα στις εξετάσεις..μου έχει συμβεί πολλες φορές στο παρελθόν.αλλά να αφυπνήσει και να εθίσει τον μαθητή σε βασικές μαθηματικές μπλόφες και συσχετισμούς βασικών εννοιών. Λίγες μέρες πριν τις εξετάσεις,πιστεύω ότι μια συλλογή με Γενικά Θέματα είναι αρκετή για μια τελευταία Επανάληψη Κατά την μελέτη τους οι μαθητές να προσέχουν τις αλληλεπιδράσεις ΕΝΝΟΙΩΝ - ΕΝΕΡΓΕΙΩΝ - ΒΑΣΙΚΩΝ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ Με χαρά θα δεχθώ κάθε παρατήρηση υπόδειξη - διόρθωση Β.Α.Νικολακάκης ΤΗΛ ΠΗΓΕΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΘΕΜΑΤΟΓΡΑΦΙΑ-ΑΡΧΕΙΟ (Βαγγέλη Α Νικολακάκη) ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ (Γιώργος Μιχαηλίδης) ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ- TO 4 0 ΘΕΜΑ (Γιάννης Μπαιλάκης) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Αναστάσιος Μπάρλας) ΓΙΑΝΝΗ ΜΑΝΤΑ-ΟΛΗ Η ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ-ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΩΜΑΣ ΡΑΙΚΟΦΤΣΑΛΗΣ-ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MATHEMATICA ΣΥΛΛΟΓΕΣ ΓΕΝΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΩΣΤΑΣ ΜΑΛΛΙΑΚΑΣ (Μεθοδολογίες) Δ. ΚΑΠΠΟΥ (ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ) SPIVAK - Calculus (980) SPIVAK (ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) APOSTOL - Calculus - (969)

3 0 ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΣΥΝΘΗΚΩΝ ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΩΝ 3

4 4

5 ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ 0 Α. α) Έστω η συνάρτηση R και ισχύει f (x) χ f (x) α ln χ α με R και 0. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο β) Έστω οι συναρτήσεις f, g συνεχείς σε ένα διάστημα Δ για τις οποίες ισχύει f ' (x)=g ' (x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε να ισχύει f(x)=g(x)+c για κάθε xδ. γ) Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α. Να δώσετε τον ορισμό του ελαχίστου της f στο x o του Α. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό ή Λάθος. α) Αν μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α έχει αντίστροφη, τότε είναι γνησίως μονότονη στο Α. β) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x o και f(x o )>0, τότε f(x)>0 για τις τιμές του x κοντά στο x o. γ) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο [α,β] τότε υπάρχει x o (α,β) τέτοιος ώστε να ισχύει f ' (x o )>0. δ) Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή στο διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη σε αυτό. Τότε ισχύει f '' (x)>0 για κάθε xδ. ε) Αν f συνεχής στο [α,β] με f(x) 0 και ισχύει f ( x) dx >0, τότε υπάρχει x o [α,β] τέτοιος ώστε f(x o )>0. στ) Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν είναι παντού ίση με το μηδέν στο [α,β] και ισχύει f ( x) dx =0 τότε η f παίρνει δύο τουλάχιστον εταιρόσημες τιμές. ΘΕΜΑ 0 Α. α. Έστω η συνάρτηση f(x) ln x με R. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f (x) x β. Στις παρακάτω προτάσεις επιλέξτε την σωστή απάντηση: Γράψτε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση. Αν f(χ) = ημχ, χ ε R τότε (fof) ( ) είναι ίσο με: Α.: συν, Β.: 0, Γ.:, Δ.: ημ Αν f (χ) = συνχ, χ ε R και f(0) = τότε: Α.: f(χ) = ημχ +, Β.: f(χ) = ημχ, Γ.: f(χ) = συνχ + Δ.: f(χ) = -ημχ + Αν f(χ) = ημχ, χ ε R και i η μονάδα των φανταστικών αριθμών τότε η τιμή της παράστασης (f ( ) + if( )) 004 είναι: 4 4 Α.: -, Β.:, Γ.: i, Δ.: -i B. Δίνεται η συνάρτηση : 0, x f ώστε f ( x) x x e x 0 5

6 α. Δείξτε ότι: f β. Υπολογίστε το ( x) x xx xe / x lim x0 f ( x) x ΘΕΜΑ 3 0 Α. Τ ι ονομάζουμε μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z; (Να δώσετε τον ορισμό με γεωμετρικό και αλγεβρικό τρόπο) Β. Δίνονται οι μιγαδικοί z, z. Να αποδείξετε ότι: z z z z. Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν z τότε οι εικόνες των μιγαδικών z, z, i z z μοναδιαίου κύκλου. β. Αν lim f ( x) f ( x ) τότε η f είναι συνεχής στο xx 0 x o x o., -z είναι σημεία του γ. Αν lim f ( x) τότε η γραφική παράσταση της f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία x=. δ. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα με συνεχή παράγωγο. Αν f (x) 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του, τότε η f είναι γνησίως μονότονη σε όλο το Δ. ε. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα με συνεχή παράγωγο και f(α) = 0, με α ε Δ, τότε ισχύει: ΘΕΜΑ 4 0 f x) f ( t) dt ( για κάθε x ε Δ. x a A. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο Δ. Αν,η f είναι συνεχής στο Δ, με f (x) 0 για κάθε εσωτερικό του Δ, να δειχθεί ότι η f είναι σταθερή στο Δ. Β. Πότε η y=λx+β λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +. Γ. Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω προτάσεις Σωστές ή Λάθος. α) Αν z,z μιγαδικοί τότε ισχύει πάντα z z z z z z Σ. β) Μια συνάρτηση f είναι «-» αν και μόνο αν για κάθε x,x ισχύει x =x τότε f(x )=f(x ). lim f x g x f x g x γ) Αν f, g έχουν συνεχή πρώτη παράγωγο τότε xx0 0 0 δ) Αν συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] και υπάρχει x o(a,β) τέτοιο ώστε f(x o )=0 τότε κατ ανάγκη θα ισχύει f(α)f(β)<0. ΘΕΜΑ 5 0 A. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μία παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι: α. όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) = F( x) c, c ΙR είναι παράγουσες της f στο Δ και β. κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G(x) = F( x) c, c ΙR. Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. 6

7 α. Υπάρχει συνάρτηση f για την οποία ισχύουν συγχρόνως οι προυποθέσεις των θεωρημάτων Bolzano και Rolle στο, β. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεσ η ίσως ένα σημείο του x 0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f (x) > 0 στο (α, x 0 ) και f (x) < 0 στο (x 0, β), τότε το f (x 0 ) είναι τοπικό ελάχιστο της f. γ. Μία συνάρτηση f : Α ΙR είναι συνάρτηση x A ισχύει η συνεπαγωγή:αν x = x, τότε f(x ) = f(x ). Γ. Πότε μία ευθεία x = x 0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f ;, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε x, ΘΕΜΑ 6 0 A. Έστω μία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι f(t)dt G(β) - G( α) β Β. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στ ο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες. β. Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσ ταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. γ. β Το ολοκλήρωμα είναι ίσο με το άθροισμα α των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται πάνω από τον άξονα x x μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x x. δ. Αν α, β πραγματικοί αριθμοί, τότε: α+βi=0 α=0 ή β=0 ε. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα σύνολο της μορφής (α, x 0 ) (x 0, β) και ένας πραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim xx 0 f(x) l lim (f(x) l) 0 xx 0 α 7

8 ΤΟ Β ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ 0 Δίνεται η παράσταση 4 f(z)= iz i z i Θέτουμε α =z-i και β=f(z)-i (α) Να δείξετε ότι αβ= -3+4i () (β) Να βρείτε τον α αν είναι α=β (γ) Να λύσετε την εξίσωση f(z)=-i με z ε C-{i}. iz 4i iz 4i iz i (α) Εϊναι (z i)(f(z) i) (z i) i (z i) z i z i z i z i 0) (β) Αν α=β τότε από () 3 4i () Έστω x i. Από () (x i) 3 4i (x ) xi 3 4i x 3 (x ) 9 () x 3 x 4 (3) (x) 6 (x ) 5 x 3. Έτσι έχουμε τα συστήματα x 5 x 3 ( ) x x x (Σ ) x 5 ( ) 8 4 Όμως από (3) έχουμε ότι x, είναι ομόσημοι. x x i Κατά συνέπεια i x 3 (Σ ) φανερά είναι αδύνατο x 5 iz 4i (γ)έχουμε f(z) i = i iz 4i (z i)( i) z i iz 4i z zi i i zi z 5i (i )z 5i 5i ( 5i)( i) i 5i 0i z z i ( i)( i) ( ) z 3 f(z) i έχει λύση την z i 5 5 iz 4i iz 4i (δ) Είναι f(z) ε R f(z) f(z) z i z i iz 4i iz 4i ( iz 4i)(z i) (iz 4i)(z i) z i z i iz z i z z i 4iz 4i iz i z z i 4iz 4i izz z z 4i(z z) 0 (4) Όμως z x i οπότε η σχέση (4) γράφεται ισοδύναμα 3 4i (Είναι 3i Άρα η εξίσωση 5 8

9 i(x ) i 4i(x) 0 i(x 4x ) 0 x 4x 0 (5) Η (5) παριστάνει κύκλο με κεντρο, και ακτίνα 7 από τον οποίο όμως εξαιρείται το σημείο Α(0,), αφού z 0 i ΘΕΜΑ 0 Δίνεται η παράσταση ( z i)(z i) (α) Να γίνουν όλες οι δυνατές πράξεις και να απλοποιήσετε την παράσταση Π. (β) Να λυθεί στο C η εξίσωση z iz 5 0 (γ) Αν z, z οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης με Re( z ) 0 και Α, Β οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο και Γ είναι η εικόνα του μιγαδικού z i, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο (δ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(χ,ψ) για τα οποία ισχύει ( ) ( ) ( ) Re(z) (ε) Αν w iim( z) να δείξετε ότι w i Re(z) 4 4 (α) Είναι ( z i)(z i) = z iz 5 () (β) Είναι z () z i 0 z i iz 5 0 (z i)(z i) 0 z i 0 z i (γ) Είναι Α(-,-), Β(, -) και Γ(0, ) οπότε έχουμε AB (4,0) (3,) Οπότε έχουμε 3( ) 3 0 κατά συνέπεια o (,3). Άρα ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ( 90 ). (δ) Είναι Μ(χ,ψ) οπότε ( ) ( ) ( ) ) ( ) + ( x ) ( ) x ( ) ( x x 4x 4 x 4x 4 x Re(z) (ε) Είναι w iim(z ) i( ) i i Re(z ) 4 4 ΘΕΜΑ 3 0 Δίνεται η συνάρτηση f : R 3 R για την οποία ισχύει : f x f x x 0 () για κάθε x R. α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι -. β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. 3 f x x f 3 3x γ) Να λυθεί η εξίσωση 9

10 ΘΕΜΑ 4 0 Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει : fx f 3 x x f x 3 () για κάθε x R.Αν lim x0 x α) Να δείξετε ότι η α=. β) Να βρείτε τα όρια fx ffx f x x i) lim ii) lim iii) lim x0 x x0 x x x 3x τότε : 0

11 ΘΕΜΑ 5 0 Έστω η συνάρτηση f και οι μιγαδικοί z if(x) και w x if (x) α. Αν f(x)=lnx,x>0 τότε i)να υπολογίσετε το ελάχιστο μέτρο του z και στη συνέχεια να βρείτε τον z. ii) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μια μόνο τιμή του πραγματικού αριθμού χ για την οπία ο μιγαδικός z-iw είναι πραγματικός. Β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f για την οποία ισχύουν f()=0 και, Re(zw)=0 f(x) 0 για κάθε χ

12 ΘΕΜΑ 6 0 Α. Έστω η συνάρτηση x w e i. R και οι μιγαδικοί αριθμοί z x i x f ( x) x e, x και α. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β. Να βρεθεί ο xr ώστε το γινόμενο των μιγαδικών z και w να είναι φανταστικός. 3 x x Β. Δίνεται η συνάρτηση f( x). Αν η C f έχει στο ασύμπτωτη την x ευθεία : y ( ) x 4, να βρεθούν τα R, *. Α. α. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f '( x) e x e ( x ) e x x x. x - f ' f ελάχιστο Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ) ενώ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x το f ( ) 0. Το τοπικό ελάχιστο είναι και ολικό αφού β. ( ) x x lim f ( x) lim ( x e ) lim ( ) lim ( ) x x x x e e x x x lim f ( x) lim ( xe ). x x z w ( x x i)( e i) x x e x i x i e i x x e x i x i e x x e x i( e x) άρα πρέπει x x e f x x 0 ( ) 0. Β. Αν η C f έχει στο ασύμπτωτη την ευθεία : y ( ) x 4 έχουμε: f( x) lim a και lim[ f ( x) ( a) x] 4. Επειδή x x x 3 3 f ( x) ax ax lim lim lim πρέπει και x x 3 x 3 x και

13 3 x x lim [ f ( x) ( a) x] lim [ f ( x) ] lim ( x) x x x x 3 x x x ( x ) x x x lim [ ] lim ( ) lim x x x x x x x πρέπει 4 ΘΕΜΑ 7 0 iz 4i ίνεται η συνάρτηση f (z),z i zi ) Να βρείτε το σύνολο των σηµείων M(z), όταν Imf (z) 0 ) Αν u z i,w f (z) i να βρεθεί το μέτρο του μιγαδικού uw 3) Να δείξετε ότι αν τα σηµεία M(z) ανήκουν στον κύκλο C µε κέντρο K(i) και ακτίνα, τα σηµεία N(f (z)) ανήκουν σε κύκλο C µε το ίδιο κέντρο και ακτίνα που πρέπει να βρείτε. Πότε οι κύκλοι αυτοί Για z x yi, x, y και z i (x, y) (0,), έχουμε: ix y 4i ( y i(4 x))(x i(y )) f (z) x i(y ) (x i(y ))(x i(y )) x(y ) (4 x)(y ) x(x 4) (y )(y ) i. x (y ) x (y ) ) Για (x, y) (0,) έχουμε ότι: Im(f (z)) 0 x(x 4) (y )(y ) 0 x y 4x y 0, όπου 4 4( ) 5 0. Συνεπώς ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού είναι ο κύκλος 5 κέντρου K, και ακτίνας R εκτός του σημείου. ) Για z i έχουμε ότι: iz 4i uw (z i)(f (z) i) (z i) i z i iz 4i zi i (z i) 4i 3 4i, z i οπότε uw ( 3) ) Ισχύει z i 0 5, οπότε από το () ερώτημα προκύπτει ότι: f (z) i 5 f (z) i, οπότε οι εικόνες του f (z) ανήκουν στον κύκλο κέντρου K(i) και ακτίνας 5. Οι δύο κύκλοι ταυτίζονται όταν

14 ΘΕΜΑ 8 0 Δίνεται η εξίσωση : i) Να δείξετε ότι. ii) Να δείξετε ότι k k z z και z z 0 με η οποία έχει ρίζες τους z,z με z,z. z z k k I για κάθε * k. iii) Aν z, τότε : α) Να βρείτε την τιμή του. β) Να λύσετε την εξίσωση. γ) Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: (w z ) (w z ) 0, n. n n * i) Αφού η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες θα είναι: ii. Αν είναι οι ρίζες της εξίσωσης τότε k k k k k z z z z Re z R z z z z Im z I k k k k k iii. α) Είναι z z z z z 4 β) Με η εξίσωση γίνεται: 46 z 3i z 3i z 3i, n n ) w z w z 0 w z w z n Άρα οι εικόνες των ανήκουν στη μεσοκάθετο του τμήματος με A, 3 και B, 3 n. Όμως τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα, οπότε οι εικόνες των ανήκουν στην ευθεία με εξίσωση y 0 ΘΕΜΑ 9 0 Δίνεται ο μιγαδικός f(z)= z 4 + z +z + z 4, με zc, z 0. α) Αν f(z) ν.δ.ο. z * ή z =. β) Αν z=x πραγματικός διάφορος του μηδενός και η f έχει σύνολο τιμών το διάστημα (4, ) να δείξετε ότι η εξίσωση f(z)=α έχει ακριβώς μια πραγματική λύση στο διάστημα (,). γ) Αν f(z)=0 και z = ν.δ.ο. η εικόνα του w= z 5 +z + κινείται σε κύκλο κέντρου (0,0) και ακτίνας ρ=. α) f(z) f(z)= f (z) z 4 + +z+ z 4 = z z + z 4 z z +z= + z z z z z - +z- z =0 -( z -z)=0 ( z -z)(-z z )=0 (z= z ή z =) z z zz z * αφού z 0 ή z = 4

15 β) z=x * και 4 f(x) f (x) a f(z)=f(x)=x 4 + x +x+x 4 =x 4 + x +x 4 α f(x)=α x 4 + x +x=α x 5 +x -αx+=0 θεωρώ h(x)=x 5 +x -αx+ h συνεχής στο [,] h()=4-α 0 h()=69-α 0 γιατί 4 α 8 α 4-4 -α α h() 6 Άρα : h()h() 0. για κάθε x 0(,) τέτοιο ώστε h(x 0 )=0 μοναδικότητα: h ' (x)=0x 4 +x-α x x x 4 60 i) x 4 ii) - -α -4 iii) Από i),ii),iii) έχουμε + 0 h ' (x) 60 Άρα : h στο (,) η ρίζα μοναδική γ) f(z)=0 z 4 + z +z+ z 4 =0 z 5 ++z +z z 4 =0 z 5 +z += -z z z 3 z 5 +z += - z z z = z = ΘΕΜΑ 0 0 5

16 ΘΕΜΑ 0 6

17 7

18 3 ΤΟ Γ ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ 0 Δίνεται ο μιγαδικός z α βi με α,β R :α,β > και η συνάρτηση f με τύπο f(x) xz i x,x 0. Αν για κάθε x 0 ισχύει α) Η εξίσωση f(x) 0 xz β xz i να δείξετε ότι: έχει μοναδική λύση τη χ=0 z z και z iz ισχύει α β) Για τους μη μηδενικούς z z i z z i z z γ) Ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του ΘΜΤ (διαφορικού λογισμού) για τη συνάρτηση f στο διάστημα z, z και υπάρχει μιγαδικός z 0 για τον οποίο να ισχύει z z β z z i 0 0 α) Φανερή λύση χ=ο αφου f (0)... 0 f(x) x i i x... x x x με x 0 Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, ως πράξεις παραγωγίσιμων με Είναι x x x z x xz i f (x) 0 x x x x xz i αφού zx i 0 και από υπόθεση είναι Οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο β) z z οπότε z z ( >) α z Είναι z iz οπότε z iz = i z = z z xz β xz i f οπότε z z i z z i z z 0, και κατά συνέπεια η λύση χ=0 είναι μοναδική z z f z f z... γ)η f με τύπο f(x) x x x είναι συνεχής στο 0, (ως παραγωγίσιμη) άρα είναι συνεχής και στο z, z. Επίσης η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, άρα παραγωγίσιμη και στο z, z υπάρχει z 0 C με z0 z, z ώστε fz0 f z f z z z z, z Από (α) ερώτημα είναι z x z z0 z z0 f (x) 0 f ( z 0 ) 0 xz i z0 z i z0 z i.κατά συνέπεια από ΘΜΤ στο... z z β z z i 0 0 8

19 ΘΕΜΑ 0 z +z z -z Έστω z, zμιγαδικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει ότι. i Αν W Ζ Ζ, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του W. χ z g χ i και z iβ g όπου β 0 είναι δύο μιγαδικοί που ικανοποιούν το ii Αν ερώτημα i και g είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R με δείξετε ότι β e. i ii Αν fχ Imw ότι e και για την f ισχύει το θ.rolle στο g g e g 0 0 και 0, να δείξετε g 0 0,να ΘΕΜΑ 3 0 9

20 A) z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 0 z z z z 0 4Re z z 0 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι το ημιεπίπεδο για τα x 0 Β) Αφού οι z αυτούς Όμως f x i και z f x i ικανοποιούν τη σχέση του ερωτήματος Α θα ισχύει για Re z z 0. z z i f x i f x i i i f x f x f x f x f x Οπότε f x Re zz 0 f x 0. Θεωρώ με. Τότε έχουμε. Δηλαδή η παρουσιάζει μέγιστο στο. Επιπλέον η παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων με.. Από Θεώρημα Fermat λοιπόν θα ισχύει, άρα παραγωγίσιμη και στο Όμως, οπότε. Συνεπώς ισχύει. Γ) Για την έχουμε:. Η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο και συνεπώς η συνεχής στο, παραγωγίσιμη στο αντίστοιχο ανοιχτό διάστημα και. Οπότε ΘΕΜΑ 4 0 με 0

21

22 ΘΕΜΑ 5 0

23 ΘΕΜΑ 6 0 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e Inx, x>0 i)να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α ώστε η συνάρτηση g(x)= '' ' x f (x) xf (x), x(0,) (,+ ) να είναι σταθερή. f(x) ii)για την τιμή του α που βρήκατε στο i)ερώτημα να υπολογίσετε το εμβαδό Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) και g(x) μεταξύ των ευθειών : x=, x=λ με λ> iii)να υπολογίσετε το όριο lim i) για 0<x< είναι lnx<0 ln x ln x ln x ln x οπότε f(x)=e e = x για x> είναι lnx>0 ln x ln x ln x ln x οπότε f(x)=e e ln x e x Για x=, lnx=ln=0 f (x) e 0 ( ) x,0 x Άρα f(x), x x Η f είναι συνεχής στο (0,+ ) στο (0,) η f είναι φορές παραγωγίσιμη με f (x)=x, f (x)= 3

24 x x άρα g(x)= g(x), x (0,) x επίσης η f είναι φορές παραγωγίσιμη στο (, + ) 6 με f (x)= -, f (x)= 3 x x 4 6 x x( ) 4 3 άρα g(x) = x x g(x) 6, x, x (0,) άρα g(x) = 6, x (, ) x (, ) Η g είναι σταθερή στο Α g αν ισχύει : +α=6-α Τότε g(x)=4, x ( 0,) (, ) ii) E(λ)= f (x) g(x)dx 4dx 4 0 4x x x - 4x 0 4x x x 4 Άρα για x είναι x x x x 7 =(4λ+ ) τ.μ. ( ) 7 iii) 4 ( ) άρα lim οπότε Ε(λ)= ( 4 )dx 4dx ( )dx 4( ) x x ΘΕΜΑ 7 0 Έστω η συνάρτηση f :R R,δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με 3 f x f x 0 () για κάθε x R. i) Να μελετήσετε την f ως προς τα κυρτά, κοίλα και τα σημεία καμπής ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας στο σημείο καμπής iii) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την iv) Αν g x f να βρείτε την ασύμπτωτη της C g στο και να x x υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την παραπάνω ασύμπτωτη και τις ευθείες x και x e f C g την 4

25 5

26 ΘΕΜΑ 8 0 Έστω συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο,4 για την οποία ισχύουν: e f x 3f' xf'' x () για κάθε x<4, ' x 0 α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο,4 f για κάθε x<4 και f()=0,f ()=, να βρείτε το πρόσημο της f και να αποδείξετε ότι η c f τέμνει τον x ' x σε ένα μόνο σημείο. β) Να δείξετε ότι 3f'' x f' x και κατόπιν να δείξετε ότι η f στρέφει τα κοίλα άνω στο,4 f x 0 γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός x 0 0, : x (3) f ' x δ) Να βρείτε τον τύπο της f(x) για x<4 0 ε) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f και να δειχθεί ότι η εξίσωση x,4 για κάθε στ) Να βρείτε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της f. ζ) Να κάνετε πίνακα μεταβολών για την f. 0 f έχει μία μόνο λύση στο α) Εφόσον η f ' x είναι συνεχής στο,4 και f ' x 0 για κάθε x<4, η f ' διατηρεί πρόσημο στο,4 επειδή f ' 0 συμπεραίνουμε ότι f ' x 0 για κάθε x<4, οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο,4 x< έχουμε f(x)<f() f (x) 0 και για <x<4 έχουμε f(x)>f() f(x)>0 Ισχύει 0 f και x ' x μόνο στο σημείο (,0) f στο,4,οπότε η εξίσωση x 0 β) Πολλαπλασιάζουμε την () με ' x 0 f και έχουμε f (x) f (x) 3 f (x) f'(x)e 3(f'(x)) f''(x) (e )' [(f'(x)) ]' e f Για x= : 3 0 e (f'()) c e c c 0 Άρα e f (x) (f '(x)) () 3 3f '(x)f ''(x) (f '(x)) Παρατηρούμε ότι 3f'' x f'(x) 0 στο,4. 3 και. Για f έχει μοναδική ρίζα την x=,οπότε η c f τέμνει τον f '(x) 0 (f'(x)) 3 c 3f''(x) (f'(x)) () για κάθε x (,4), δηλαδή f ''(x) 0 οπότε η f στρέφει τα κοίλα άνω γ) (3) x 0f '(x 0 ) f (x 0 ) 0. Οπότε θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) xf(x). Η g είναι συνεχής στο [0,] ως γινόμενο των συνεχών συναρτήσεων f(x) (υπόθεση), x Η g είναι παραγωγίσιμη στο (0,) με g'(x) f (x) xf'(x). Ισχύει g(0) 0f (0) 0 και g() f () 0. Ισχύουν οι προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x0 (0,) : g'(x0 ) 0 x0f '(x0 ) f (x0 ) 0 f ''(x) x δ) () x c (f '(x)) 3 f '(x) 3 f '(x) 3 4 x 4 x 4 3 Για x= : c c Άρα f '(x), x f '(x) 3 3 f '(x) 3 4 x Επομένως f '(x) ( 3ln(4 x))' f (x) 3ln(4 x) c Για x= : f () 3ln 3 c c 3ln 3 3 Αρα f (x) 3ln(4 x) 3ln 3 3(ln 3 ln(4 x)) f (x) 3ln, x 4 4 x 3 ε) lim f (x) lim 3ln = 3lim ln u 3 3 u lim x4 x4 4 x u 4 x x4 4 x 3 lim f (x) lim 3ln 3 lim ln v x 4 x x v0 6

27 Επομένως f (,4) lim f (x),lim f (x) (, ) x x4 3 3 v= lim 0 4 x x 4 x Εφόσον το κ ανήκει στο σύνολο τιμών της f η εξίσωση f (x) έχει μία τουλάχιστον λύση στο,4 για κάθε και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, η λύση είναι μοναδική. στ) lim f (x).άρα η ευθεία x = 4 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της c f ζ) x4 y 4 f '' + f ' + f ΘΕΜΑ 9 0 Α.Έστω η συνάρτηση f(x) = x 3 3x συνα + xσυν α + ημ α, xκαι α. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του α η γραφική παράσταση της f έχει μόνο ένα σημείο καμπής, το οποίο για τις διάφορες τιμές του α ανήκει σε παραβολή. Β. Να αποδείξετε ότι : α) Η συνάρτηση f(x) = x 3 +x ημx, x, είναι γνησίως αύξουσα. β) Η εξίσωση x 3 +x = ημx έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα (0, ). Α.Για κάθε xείναι : f (x) = 3x 6xσυνα + συν α και f (x) = 6x - 6συνα. Έχουμε f (x) = 0 6x - 6συνα = 0 x = συνα, f (x) > 0 x > συνα, f (x) < 0 x < συνα. Άρα για οποιαδήποτε τιμή του α η C f έχει ένα μόνο σημείο καμπής, το Α(συνα,f(συνα)). Όμως : f(συνα) = συν 3 α - 3συν 3 α + συν 3 α + ημ α = ημ α,οπότε Α(συνα, ημ α). Έστω Α(x, y). Τότε x = συνα και y = ημ α = - συν α = -x. Οι συντεταγμένες του A επαληθεύουν την εξίσωση y =-x, που είναι εξίσωση παραβολής, άρα το Α ανήκει σε παραβολή (για τις διάφορες τιμές του α). Β.α) Για κάθε xείναι f (x) = 3x + συνx = 3x +( συνx) 0, αφού συνx και x 0. Το = ισχύει μόνο όταν είναι συγχρόνως : x = 0 και συνx = 0, το οποίο συμβαίνει μόνο για x = 0. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο. β) Η εξίσωση x 3 +x = ημx είναι ισοδύναμη με την f(x) = 0. Αρκεί να δείξουμε ότι η f(x) = 0 έχει μία μόνο ρίζα στο (0, ). Η f είναι συνεχής στο [0, ] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων και f(0)f() = (- )( ημ) < 0 αφού ημ <. Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η f(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0, ). Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, ), η f(x) = 0 θα έχει το πολύ μία ρίζα στο (0, ). Άρα τελικά η f(x) = 0 έχει μία μόνο ρίζα στο (0, ). 7

28 ΘΕΜΑ 0 0 8

29 ΘΕΜΑ 0 Α. Β. 9

30 Β. ΘΕΜΑ 0 30

31 3

32 ΘΕΜΑ 3 0 3

33 ΘΕΜΑ

34 ΘΕΜΑ

35 35

36 ΘΕΜΑ 6 0 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [0, 4] R για την οποία ισχύει: f(0)=0, f() =, f(4)= f παραγωγίσιμη στο ( 0, 4) f ' συνεχής στο ( 0, 4) Να δείξετε ότι : α) Υπάρχει x ( 0, 4) ώστε f (x ) = β) Υπάρχει ξ ( 0, 4) τέτοιο ώστε f (ξ) = 4 γ) Αν f δύο φορές παραγωγίσιμη να δείξετε ότι υπάρχει x 0 ( 0, 4): f ( x 0 ) 0. α) f συνεχής στο [ 0, ] f παρ/μη στο ( 0, ). Άρα ισχύει το ΘΜΤ για την f στο [ 0, ] και επομένως υπάρχει x ( 0, ) ( 0, 4) τέτοιο ώστε f ' f () f (0) ( x ) = = = 0 β) f συνεχής στο [, 4] f παρ/μη στο (, 4) f() =f (4) = Αρα ισχύει το Θ.R. για την f στο [, 4] και επομένως υπάρχει x (, 4) τέτοιο ώστε f ' (x ) = 0. Άρα η f ' παίρνει τις τιμές 0 και και επειδή f ' συνεχής στο [ x, x ] ( 0, 4) σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών αφού το /4 είναι μεταξύ του 0 και του θα υπάρξει ξ ( x, x ) ( 0, 4) ώστε f ' (ξ) = /4. γ) f δυο φορές παρ/μη στο [ 0, 4]. Αρα η f ' παρ/μη στο [ 0, 4].Επομένως ισχύει το Θ.Μ.Τ για την f ' στο [ x, ξ ] ( 0, 4) x ξ x 4 Άρα υπάρχει x 0 ( x, ξ ) ( 0, 4) τέτοιο ώστε f '' ( x 0 ) = ' f ( ) f x ' ( x ) / 4 = = x 3/ 4 x 0 ΘΕΜΑ

37 37

38 ΘΕΜΑ 8 0 Α.α) Έστω η συνάρτηση f ορισμένη στο [α, β].αν η f είναι αντιστρέψιμη και έχει συνεχή πρώτη παράγωγο στο [α, β], να δείξετε ότι : f ( ) f ( x) dx + f ( x) dx = βf(β) αf(α). f ( ) β) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x +x 5. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : e f ( x) dx. Β.α) Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο Α και γνησίως αύξουσα στο Α. Αποδείξτε ότι : ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης f(x) = f ( x ) αν και μόνο αν ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης f(x) = x. x β) Αν f(x) = x + e 004 t dt, x, να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και να λύσετε την εξίσωση : f(x) = f ( x ). f ( ) Α.α) Για το ολοκλήρωμα f ( x) dx θέτουμε x = f(t), t[α, β], οπότε f ( ) dx = f (t)dt. Για x = f(α) παίρνουμε t = α, ενώ για x = f(β) παίρνουμε f ( ) t = β ( η f είναι ). Το f ( x) dx είναι καλώς ορισμένο αφού η f ( ) f είναι συνεχής ( f συνεχής C f συνεχής γραμμή f C συνεχής γραμμή, αφού οι C f, C είναι συμμετρικές ως προς την y = x f συνεχής ). Έτσι είναι f ( ) f f ( ) f ( x) dx = f ( ) tf ( t) dt. Επομένως : f ( x) dx + f ( x) dx = ( f ( t) tf ( t)) dt = [ tf(t)] = βf(β) αf(α). f ( ) β) f (x) = e x + 5x 4 > 0, για κάθε x. Άρα η f είναι και σύμφωνα με e το (α) θα είναι : f f () ( x) dx = f ( x) dx = f() 0f(0) f ( x) dx = f (0) Β.α) Έστω ότι ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης f(x) = f (x). Τότε θα είναι f(ρ) = f ( ) () και θα δείξουμε ότι f(ρ) = ρ. Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και η f γνησίως αύξουσα (αν α < β θα είναι f (α) < f (β), διότι αν είχαμε f (α) f (β) f(f (α))f(f (β)) α β, άτοπο ). Αν f(ρ) > ρ τότε f (f(ρ)) > f (ρ) ρ > f (ρ) ρ > f(ρ) (άτοπο). Αν f(ρ) < ρ τότε f (f(ρ)) < f (ρ) ρ < f () (ρ) ρ < f(ρ) (άτοπο). Άρα f(ρ) = ρ. Έστω ότι ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης f(x) = x. Τότε θα είναι f(ρ) = ρ () () 0 38

39 β) f (x) = + και θα δείξουμε ότι f(ρ) = f ( ). Από την () προκύπτει f ( ) = ρ f ( ) = f(ρ). x e > 0, για κάθε x. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. Σύμφωνα με το (α) έχουμε : f(x) = f ( x ) f(x) = x () x x + e 004 t dt x = x e 004 t dt = 0 x = 004, αφού αν x > 004 τότε x t e 004 dt > 0, ενώ αν x ΘΕΜΑ

40 ΘΕΜΑ

41 4

42 ΘΕΜΑ 0 4

43 ΘΕΜΑ 0 43

44 44

45 ΘΕΜΑ

46 46

47 4 ΤΟ Δ ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ 0 47

48 ΘΕΜΑ 0 48

49 ΘΕΜΑ

50 ΘΕΜΑ

51 5

52 ΘΕΜΑ 5 0 5

53 53

54 ΘΕΜΑ

55 ΘΕΜΑ

56 56

57 ΘΕΜΑ

58 58

59 ΘΕΜΑ

60 ΘΕΜΑ

61 6

62 ΘΕΜΑ 0 6

63 63

64 ΘΕΜΑ 0 64

65 65

66 ΘΕΜΑ

67 67

68 ΘΕΜΑ 4 0 ln x. Τότε x α) Η συνεχής στο ως πηλίκο συνεχών και παραγωγίσιμη με f x ln x f x 0 0 x e x και παρουσιάζει μέγιστο για το f x 0 0 x e, ενώ. Η λοιπόν είναι γνησίως αύξουσα στο και γνησίως φθίνουσα στο και f (0,e] (lim f x,f e ] (, ] x0 e αφού β) Η συνεχής και γνησίως αύξουσα στο και συνεπώς. Επιπλέον η συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο και συνεπώς ln x αφού lim f x lim lim 0, x x x x x όπου στο τελευταίο όριο έγινε χρήση. Άρα τελικά f Df f (0,e] f [e, ) (, ] (0, ] (, ] e e e γ) Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την. Οπότε για η εξίσωση έχει μοναδική λύση, για η εξίσωση έχει δύο λύσεις, για μοναδική λύση και για η εξίσωση είναι αδύνατη δ) 68

69 . Για x 0,, η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, συνεπώς είναι. Άρα f x f x x x. Δηλαδή x ε) Η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο της είναι 4 τότε έχουμε. Αν αυτή διέρχεται από το σημείο. Θεωρώ τη συνάρτηση. Η συνεχής ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμη με για κάθε. Συνεπώς η γνησίως αύξουσα στο και το σύνολο τιμών της είναι, το οποίο είναι και μοναδικό λόγω μονοτονίας, τέτοιο ώστε το ζητούμενο. Επειδή λοιπόν το, υπάρχει που είναι και στ) Έχουμε. Θεωρώ τη συνάρτηση η οποία είναι παραγωγίσιμη με. Από θεώρημα μέσης τιμής για την στο, υπάρχει, τέτοιο ώστε ισχύει αφού. Οπότε η ζητούμενη ανισότητα γίνεται που γιατί η γνησίως φθίνουσα για ζ) Με κριτήριο παρεμβολής στην σχέση παίρνουμε ότι αφού 69

70 ΘΕΜΑ

71 7

72 ΘΕΜΑ 6 0 (to day) Δίνονται η συνάρτηση f,παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο R, η gx x με x R μιγαδικοί z f t dt i f t dt Κ(,) και Λ(,4) f A. Aν f xdx 0, τότε : f i Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα g ii Να βρείτε το ΓΤ των είκόνων του z. Β. Δίνεται η συνάρτηση hx x x f t dt x f t dt και οι.δίνεται ακόμη ότι η C f διέρχεται από τα σημεία f t dt i Να δείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο πάνω στη γραφική παράσταση της C h έτσι ώστε η εφαπτόμενη σε αυτό να είναι παράλληλη στον άξοναα χ χ. ii Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης της C h στο χ 0 =. x x Γ. Να βρείτε το όριο lim e e f t dt x x.δοκιμάστε να τη λύσετε (είναι σχετικά απλή ) Η λύση της θα αναρτηθεί σε -3 ημέρες μαζί με τις απαντήσεις του ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΕΙΩΣΗΣ- 7

73 Προσέχουμε και αυτά!!. Ανεπιθύμητες παρενέργειες : Τα παραπάνω ίσως περιορίσουν τη σκέψη μας, κυρίως εφόσον αυτή στηριχθεί μόνον σ αυτά.!!!! Συμβουλή: Αφήνουμε τη σκέψη μας «ελεύθερη». Μια άσκηση μαθηματικών λύνεται εφόσον έχουμε τις απαραίτητες γνώσεις, το θάρρος και την ικανότητα να δημιουργούμε μόνοι μας την λύση της. Αυτή η ικανότητα δεν είναι έμφυτη Αφήνουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης να μας οδηγήσουν. Ερμηνεύουμε σωστά τα δεδομένα. Ερμηνεύουμε σωστά τα ζητούμενα. Συσχετίζουμε τα δεδομένα και τα ζητούμενα με τις γνώσεις τις οποίες έχουμε. Εφαρμόζουμε διάφορες τεχνικές, αρκεί αυτές να συμφωνούν με τη λογική και με τις γνώσεις μας. Ελέγχουμε τα αποτελέσματα. Είναι φυσικό να κάνουμε κάποια λάθη τα οποία πρέπει να αναζητάμε και να τα διορθώνουμε. Προσέχουμε κάποια κρυφά σημεία των δεδομένων ζητούμενων. Σε μια άσκηση με πολλά ερωτήματα, το κάθε ερώτημα ίσως να αποτελεί συνέχεια του προηγούμενου. Τι γίνεται όμως αν κάτι δεν πάει καλά στη λύση μιας άσκησης ; Δεν μας πιάνει πανικός.περισσότερο πρέπει να ανησυχούμε όταν όλα πάνε καλά!!! Ελέγχουμε τις πράξεις μας...ένα μικρό λαθάκι μπορεί να έχει δημιουργήσει πρόβλημα. Αν παρόλα αυτά η λύση δεν προχωρά αλλάζω στρατηγική λύσης και ίσως και τρόπο σκέψης g x f x και δεν προκύπτει λύση λχ λόγω Πχ αν κάνω χρήση Θ Βοlzano για την έλλειψης δεδομένων δεν συνεχίζω ελπίζοντας να πάρω κάποια μόρια Αλλάζω τακτική και δοκιμάζω Θ Rolle για την παράγουσα της G x. Αν η συνεχής συνάρτηση f δεν έχει γνωστό τύπο,τότε δοκιμάζω Θ Rolle για την παράγουσα της x G x f t dt x.. Στο γράψιμο είναι καλό να έχω συνεχή κίνηση με δοκιμές στο χαρτί,παίρνοντας βέβαια και κάποιες ανάσες. Σε καμιά περίπτωση δεν δεχόμαστε ότι δεν μπορούμε να λύσουμε την άσκηση. Καλή επιτυχία. 73

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x

ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. x 0. 2 x ΘΕΜΑ A ΘΕΜΑΤΑΚΙΑ ΓΕΝΙΚΑ. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f ( ) ln,,. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της αντίστροφής της.. Να δικαιολογήσετε ότι η εξίσωση f ( ) a, a,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

γ. H εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 2 Μονάδες 2 ε.

γ. H εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 2 Μονάδες 2 ε. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 7 ΜΑΪΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ o A. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής zi,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15 MAΪOY 14 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0.

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 1 ΛΥΣΗ. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται για w=0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Έστω (z) = z iz, z. α) Να λύσετε την εξίσωση : (z) = i. β) Αν (z) = να βρείτε το z. γ) Αν z = να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w=(z) είναι κύκλος

Διαβάστε περισσότερα

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΙ ΕΚΔΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 19 Μιγαδικός αριθμός λέγεται η έκφραση α + i, με α, ΙR. Φανταστικός αριθμός λέγεται η έκφραση i, με ΙR. Αν z = α + i, α, ΙR, το α λέγεται πραγματικό μέρος του z. Αν z = α + i, α, ΙR, το

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. α) Έστω η συνάρτηση f ( ) = a µε R και p a.να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f '( ) = a ln a. β) Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή"

Τομέας Mαθηματικών ρούλα μακρή Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή" ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Πρότυπου Εκπαιδευτικού Οργανισμού ρούλα μακρή ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, που κρατάς στα χέρια σου προέκυψε τελικά μέσα από την εμπειρία και διδακτική διαδικασία πολλών χρόνων στον Εκπαιδευτικό Όμιλο Άλφα. Είναι το αποτέλεσμα συγγραφής πολλών καθηγητών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β. ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Β ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ stergiu@otenet.gr Σελίδα από 4 Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ Αγαπητοί συνάδελφοι - Φίλοι μαθητές! Προσπάθησα να συγκεντρώσω ηλεκτρονικά μερικά γενικά επαναληπτικά θέματα που έφτιαξα ο ίδιος ή συνάντησα,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β. Β1. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως ρητή με πρώτη παράγωγο. x Μονοτονία της f oλικό ελάχιστο στο 0 το f(0)=0

ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β. Β1. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R ως ρητή με πρώτη παράγωγο. x Μονοτονία της f oλικό ελάχιστο στο 0 το f(0)=0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Χ.ΚΟΜΝΗΝΑΚΙΔΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ M.Sc. ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα 262. Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα 141

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β

Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι.7 0/01/014 Θέμα A Α 1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 191. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. ( t) f dt = G(β) G(α) A2. Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f λέμε ότι έχει:

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. ( t) f dt = G(β) G(α) A2. Πότε η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f λέμε ότι έχει: AΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 9 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 5o ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : Tέσσερις (4) ΘΕΜΑ A Α. Έστω f μια

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

1. Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής Κατεύθυνσης», σελίδα

1. Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής Κατεύθυνσης», σελίδα 6 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 16: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Σε όλη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πρακτικές και καινοτομίες στην εκπαίδευση και στην έρευνα. Χρόνης Χ. Παναγιώτης pachronis@gmail.com Περίληψη Στόχος της εργασίας αυτής είναι να καταδείξει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( )

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( ) Ασκήσεις Μαθηµατικών Όρια και Παράγωγος (4 ο θέµα) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) =, η οποία για κάθε, y R * ικανοποιεί τη σχέση ( y) = + ( y) ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό

= 1-3 i, να γράψετε στο τετράδιό ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ 1o A.1. ίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014

ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 9 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f παρουσιάζει τοπικό

Διαβάστε περισσότερα

( ) x( x ) ( ) 1.Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ. Είναι f x ( x ) οπότε. 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=

( ) x( x ) ( ) 1.Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι ΛΥΣΗ. Είναι f x ( x ) οπότε. 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= .Δίνεται η συνάρτηση Να αποδείξετε ότι Είναι ( ) () + 9 () + 9 + () ( ) + 9 + 9 + 9 () + 9 + () + 9 + + 9 ( )... οπότε. Δίνεται η συνάρτηση () + Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης g( ) ( ηµ ) ( ) (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΪΟΥ A Έστω μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ευτέρα, 8 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα