Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος"

Transcript

1 Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 1 Εισαγωγή Ο Νικόμαχος ο Γερασηνός στην πραγματεία του «Αριθμητική Εισαγωγή» αναφέρει ότι χαρακτηριστικά γνωρίσματα των όντων είναι το πλήθος και το μέγεθος. Το ορισμένο πλήθος αποτελεί το ποσό και το ορισμένο μέγεθος είναι το πηλίκο. Με το πλήθος, δηλαδή τον απόλυτο αριθμό, ασχολείται η Αριθμητική, η πρώτη από τις τέσσερις αδελφές επιστήμες. Με το πηλίκον, δηλαδή τον σχετικό αριθμό, ασχολείται η Αρμονική (=Μουσική), η τέταρτη από τις τέσσερις αδελφές επιστήμες. Ο Νικόμαχος, όπως και όλοι οι αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί, δεν θεωρούσαν το λόγο δύο μεγεθών ως αριθμό, διότι ως αριθμούς θεωρούσαν μόνον το Φυσικόν χύμα, δηλαδή μόνον τους θετικούς ακεραίους αριθμούς, με άλλα λόγια αυτό που σήμερα ονομάζουμε σύνολο των φυσικών αριθμών. Θεωρούσαν τη μονάδα ως αρχή κάθε αριθμού (αρχοειδής μονάς), που αυξάνεται ανά μονάδα κατά μία διεύθυνση. Έτσι, διάστημα πρώτα συναντούμε στο 2, μετά στο 3 κ.ο.κ., διότι διάστημα είναι αυτό που υπάρχει μεταξύ δύο αριθμών 1 «δυοίν αριθμών μεταξύτης». Στην Αριθμητική την γραμμικότητα εκφράζει μια οποιαδήποτε αναλογία κατά ποσότητα, δηλαδή μια οποιαδήποτε αριθμητική πρόοδος π.χ. το Φυσικόν χύμα ή αλλιώς η σειρά των φυσικών αριθμών (1, 2, 3, 4,...). και τη λογαριθμηκότητα εκφράζει μια οποιαδήποτε αναλογία κατά ποιότητα, δηλαδή μια οποιαδήποτε γεωμετρική πρόοδος π.χ. η 1, ω, ω 2, ω 3,, ω k 1, η οποία έχει πρώτον όρο τη μονάδα και λόγο τον ακέραιο αριθμό ω 2. Στην αριθμητική πρόοδο το μεν διάστημα μεταξύ των διαδοχικών όρων είναι 2 4 σταθερό (2 1 = 1, 4 3 = 1 κ.λ.π.) 3, ο δε λόγος τους όχι > κ.λ.π.. Στη 1 3 γεωμετρική πρόοδο το μεν διάστημα μεταξύ των διαδοχικών όρων είναι μη «Διάστημα γαρ εστι δυoίν όρων το μεταξύ θεωρούμενον». Αυτόθι, Βιβλίον β, 6. Η Αριθμητική των αρχαίων Ελλήνων στην πλειονότητά της είναι Αριθμητική των ακεραίων αριθμών. Εξού αναλογία κατά ποσότητα.

2 Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 2 ( κ. λ. π. ) σταθερό ω 1 < ω ω = ω ( ω 1), ο δε λόγος τους είναι σταθερός 3 ω ω = = ω κ. λ. π ω Από πολύ παλιά, πριν τον 6 ον π.χ. αιώνα κατά τον οποίον έζησε ο φιλόσοφος Πυθαγόρας, οι πρόγονοί μας είχαν αντιμετωπίσει το μουσικό διάστημα με γραμμικό τρόπο και ο Πυθαγόρας, έχοντας επισημάνει τις μεγάλες αδυναμίες αυτού του γραμμικού τρόπου αντιμετωπίσεως του μουσικού διαστήματος, όρισε το μουσικό διάστημα ως λόγο δύο ομοειδών μεγεθών, εισηγούμενος έτσι αυτό που σήμερα θα λέγαμε τον λογαριθμικό τρόπο αντιμετωπίσεως του μουσικού διαστήματος. Η έννοια «διάστημα» ως σχέσεως δύο αριθμών προς αλλήλους. (Λογαριθμική αντιμετώπιση του μουσικού διαστήματος). Κατά την Πυθαγόρειο άποψη το κάθε μουσικό διάστημα ορίζεται από δύο αριθμούς. Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών στη Πυθαγόρειο θεωρία της Μουσικής και σε αυτήν ακόμη την πραγματεία του Ευκλείδου με τίτλο «Κατατομή Κανόνος» εκαλείτο «διάστημα» 5. Δύο σχόλια του Πορφυρίου στην περί της αρμονίας διδασκαλία του Πτολεμαίου άναφέρουν «καὶ τῶν κανονικῶν 6 δὲ καὶ πυθαγορείων οἱ πλείους τὰ διαστήματα ἀντὶ τῶν λόγων λέγουσιν» και «τὸν λόγον καὶ τὴν σχέσιν τῶν πρὸς ἀλλήλους ὅρων τὸ διάστημα καλοῦσι» γεγονός που σημαίνει ότι στην Πυθαγόρειο μουσική θεωρία, η οποία θεμελιούται πειραματικά επί του μονοχόρδου, οι έννοιες «διάστημα (= διάσταση)» και «λόγος (= αριθμητική σχέση ή αναλογία)» είναι ταυτόσημες ή εναλλάσσονται ισοδυνάμως. Αυτό πρέπει να σημειωθεί ότι συμβαίνει και στην «Κατατομή Κανόνος» του Ευκλείδου, η οποία αναφέρεται επίσης σε μονόχορδο όργανο, τον κανόνα, δηλαδή αντί της λέξεως «λόγος (= αριθμητική σχέση ή αναλογία)» χρησιμοποιείται πάντοτε η λέξη «διάστημα (= διάσταση)». Ο Ευκλείδης, χρησιμοποιώντας τον μονόχορδο κανόνα, ασχολείται διεξοδικώτατα με τον δυϊσμό του μουσικού διαστήματος, δηλαδή αντιμετωπίζει το μουσικό διάστημα αφενός μεν ως μία σχέση δύο αριθμών προς αλλήλους, αφετέρου δε ως μία απόσταση μεταξύ δύο σημείων επί του κανόνος. Έχει καταστεί πλέον συνείδηση ότι η αντιμετώπιση των μουσικών διαστημάτων με τους λόγους είναι περισσότερον «εύπλαστη» κατά τη μαθηματική της επεξεργασία και προτιμάται από τους Μαθηματικούς, ενώ η αντιμετώπιση των μουσικών διαστημάτων με τις αποστάσεις μεταξύ σημείων είναι περισσότερον «κατανοητή» από τους μη κατέχοντες μαθηματικές γνώσεις μουσικούς εκτελεστές. Έτσι, Ο Ευκλείδης επιλέγει να αντιμετωπίσει 4 Εξού αναλογία κατά ποιότητα. 5 Αργότερα η σχέση μεταξύ δύο αριθμών στην Αριθμητική και τη Γεωμετρία πήρε το όνομα «λόγος». 6 Αυτοί που πειραματίζονται χρησιμοποιώντας τον κανόνα.

3 Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 3 πρώτα 7 τα μουσικά διαστήματα ως σχέσεις αριθμητικών δυάδων. Στη συνέχεια, προκειμένου να δείξει την ισχύν του δυϊσμού των μουσικών διαστημάτων, αντιμετωπίζει τα ίδια μουσικά διαστήματα ως αποστάσεις μεταξύ δύο σημείων επί του κανόνος 8. Οι θεωρητικοί της Μουσικής αυτής της περιόδου, όταν η μουσική καθίσταται πλέον πολυφωνική και τα όργανα αποκτούν πολλές χορδές, ενδιαφέροντο κυρίως για τα ονομαζόμενα σύμφωνα ή εύφωνα διαστήματα ή συμφωνίες εκ του συμφωνέω_ῶ, συμφωνία, σύμφωνος (σὺν+φωνὴ) φωνῶ ὁμοῦ, ὁ συμφωνῶν κατὰ τὸν ἦχον, μουσικὴ συμφωνία (ἁρμονία). Τώρα καθίσταται επιτακτική η ανάγκη έκφρασης των μουσικών διαστημάτων ως λόγων ακεραίων αριθμών. Πρέπει να σημειωθεί ότι τα εύφωνα διαστήματα που αναγνώριζαν οι Πυθαγόρειοι όταν τα αντιμετώπιζαν γραμμικά, τα ονόμαζαν δια πασών, δια πέντε, δια τεσσάρων, διαπασών και διαπέντε και δις διαπασών, ενώ όταν τα αντιμετώπιζαν ως λόγους, τα ονόμαζαν διπλάσιον, ημιόλιον, επίτριτον, τριπλάσιον και τετραπλάσιον, αντίστοιχα 9. Η έννοια «διάστημα» ως αποστάσεως δύο σημείων ή «ευθυγράμμου τμήματος». (Γραμμική αντιμετώπιση του μουσικού διαστήματος). Ο Αριστόξενος τον 4 ον αιώνα π.χ. εναντιούμενος στη λογαριθμηκότητα των μουσικών διαστημάτων επιστρέφει στη γραμμικότητα αυτών. Καταργεί τις όποιες Πυθαγόρειες ανισότητες μεταξύ των συνωνύμων διαστημάτων, εισηγούμενος για πρώτη φορά στην ιστορία της Μουσικής τον ίσο συγκερασμό 10. Γι αυτόν η διαπασών (=οκτάβα) διαιρείται σε έξι ίσους μεταξύ τους τόνους και ο τόνος διαιρείται σε δύο ίσα μεταξύ τους ημιτόνια, σε τρία ίσα μεταξύ τους τρίτα και σε τέσσερα ίσα μεταξύ τους τέταρτα. Σήμερα θα λέγαμε ότι ο Αριστόξενος εισηγήθηκε τον συγκερασμό στα 24, δηλαδή τον χωρισμό της οκτάβας σε 24 ίσα μεταξύ τους μουσικά διαστήματα. Η γραμμικότητα σε όλο της το μεγαλείο. Μια γραμμικότητα που φωλιάζει μόνο στη φαντασία του Αριστόξενου, διότι δεν συναντάται στη μουσική πρακτική. Ο Αριστόξενος ονομάζει μουσικό διάστημα την απόσταση ανάμεσα σε δύο φθόγγους διαφορετικού μουσικού ύψους. Πρέπει να σημειωθεί ότι η έννοια φθόγγος είναι συνώνυμη και της θέσεως που πατάει στο μάνικο μουσικού οργάνου το δάκτυλο του μουσικού εκτελεστού, προκειμένου να παραχθεί ένας ήχος συγκεκριμένου μουσικού ύψους. Με άλλα λόγια το διάστημα παρουσιάζεται ως μια διαφορά μεταξύ δύο πατημάτων επί του μάνικου του 7 Η αντιμετώπιση αυτή γίνεται στις Προτάσεις ς, ζ, η, θ. 8 Η αντιμετώπιση αυτή γίνεται στις Προτάσεις ι, ια, 12, 13, 14, 15, Τις οποίες εξέφραζαν με τις αριθμητικές σχέσεις 2, 3, 4, =, και 4, αντίστοιχα Κακώς διδάσκεται ότι εισηγητής του ίσου συγκερασμού είναι ο J. S. Bach το 1722.

4 Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 4 μουσικού οργάνου. Όσο μεγαλύτερη είναι αυτή η διαφορά, δηλαδή η απόσταση αυτή των δύο πατημάτων επί του μάνικου του μουσικού οργάνου, τόσο μεγαλύτερο είναι το διάστημα. Με το σκεπτικό αυτό ευθυγραμμίζεται ο W. Burkert, που αναφέρει με σύγχρονους όρους το εξής απλό μεν, αλλά πολύ σημαντικό: «Για μας, τους μουσικούς της Ευρωπαϊκής μουσικής, και λόγω της μουσικής σημειογραφίας και λόγω του πληκτρολογίου του πιάνου καθίσταται ιδιαίτερα καταληπτή η έννοια του μουσικού διαστήματος ως αποστάσεως, ως ευθυγράμμου τμήματος». Κατά τον Κλεονίδη μουσικό διάστημα είναι η απόσταση που περιλαμβάνεται ανάμεσα σε δύο φθόγγους διαφορετικούς στο ύψος και στο βάθος. Τον ίδιο ορισμό δίνει και ο Βακχείος. Ο Ανώνυμος του Bellermann λέει ότι διάστημα είναι εκείνο που περιλαμβάνεται ανάμεσα σε δύο φθόγγους (ή περικλείεται από δύο φθόγγους) διαφορετικούς στο ύψος, από τους οποίους ο ένας είναι υψηλότερος και ο άλλος χαμηλότερος 11. Σε ένα απόσπασμα χειρογράφου (Vincent Notices 234) βρίσκουμε τον εξής ορισμό για το διάστημα: Διάστημα είναι η έκταση της φωνής, που περιέχεται ανάμεσα σε δύο φθόγγους 12. Ο Νικόμαχος γράφει «διάστημα δ ἐστὶ δυοῖν φθόγγων μεταξύτης», όπου με τον όρο μεταξύτης εννοεί «ό,τι περιέχεται ή ό,τι βρίσκεται ανάμεσα». Σε όλους αυτούς τους ορισμούς, θεωρώντας την έννοια φθόγγος με τη σημασία «θέση πατήματος επί του μάνικου του μουσικού οργάνου», το διάστημα αποκτά τη σημασία ενός ευθυγράμμου τμήματος κατά μήκος της χορδής του μονοχόρδου μουσικού οργάνου. Άρα, λοιπόν, η λέξη «διάστημα» στη μουσική θεωρία είχε διττή δημασία, διότι εσήμαινε «απόσταση μεταξύ δύο θέσεων πατήματος του δακτύλου του μουσικού εκτελεστού επί του μάνικου του μουσικού οργάνου 13», αλλά και «λόγο δύο αριθμών (αριθμητική σχέση ή αναλογία) 14». 11 Πράγματι, κρατώντας τον κανόνα κατακορύφως η σχετική θέση δύο τάστων (=φθόγγος) είναι η μία ψηλότερα του άλλου ή η μία χαμηλότερα του άλλου. 12 Με τον όρο φθόγγος υπονοείται (i) η νότα, (ii) το τάστο (=μπερντές, fret), (iii) το μη ηχούν τμήμα της χορδής, (iv) το δονούμενο τμήμα της χορδής. Εδώ γίνεται αντιληπτό ότι υπονοείται το τάστο ή πάτημα, διότι από το ένα πάτημα μέχρι το άλλο προσδιορίζεται το μουσικό διάστημα. Άρα, υπονοείται και το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής ανάμεσα στα δύο πατήματα. 13 Γραμμική αντιμετώπιση των μουσικών διαστημάτων. 14 Λογαριθμική αντιμετώπιση των μουσικών διαστημάτων.

5 Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 5 Πυθαγόρειο πείραμα Ακουστικής κατά Γαυδέντιο. Εικόνα 1: Σύγχρονο εργαστηριακό μονόχορδο για τη μελέτη των νόμων των χορδών. Ο Γαυδέντιος (4ος αιώνας μ.χ.) αναφέρει ένα πείραμα Ακουστικής, σωστό από άποψη Φυσικής, με το οποίο ο Πυθαγόρας εφηύρε τις αριθμητικές σχέσεις των μουσικών συμφωνιών. Κατεσκεύασε ένα μονόχορδο τεντώνοντας μια χορδή επί ενός κανόνος 15 (χάρακα) διηρημένου και αριθμημένου σε 2 ίσα τμήματα. Έθεσε σε ταλάντωση ολόκληρο το μήκος της χορδής (2 μονάδες μήκους) και στη συνέχεια το μισό μήκος αυτής (1 μονάδα μήκους) με τη βοήθεια ενός κινητού καβαλάρη, του υπαγωγέα, (Εικόνα 2). Εικόνα 2: Απόδοση του διαστήματος της δια πασών επί του κανόνος. Διεπίστωσε ότι από τους παραχθέντες δύο ήχους σχηματίσθηκε η διαπασών 2 συμφωνία. 1 Υπάρχει η άποψη ότι ο πυθαγόρειος κανών και το μονόχορδο είναι κατοπινές εφευρέσεις και ότι μετρήσεις επί του κανόνος έγιναν κατά τη μετα-αριστοξένεια εποχή, γύρω στο 300 π.χ. Την άποψη αυτή στηρίζουν στο ότι (i) οι συγγραφείς του 5ου και του 4ου π.χ. αιώνα (ii) τα ψευδο-αριστοτελικά μουσικά προβλήματα δεν αναφέρουν την ονομασία «κανών». 15

6 Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 6 Εικόνα 3 Από το εξώφυλλο του βιβλίου του F. Gafurio «Theorica Musicae» (1492). Ξυλογραφία που παριστάνει πειράματα του Πυθαγόρα (το πείραμα στο Χαλκοτυπείο με τα σφυριά, πείραμα με καμπάνες, πείραμα με ηχητικούς σωλήνες, πείραμα με χορδές και αυλούς) Κατόπιν διήρεσε κι αρίθμησε ολόκληρο το μήκος του κανόνος σε 3 ίσα τμήματα. Έθεσε σε ταλάντωση ολόκληρο το μήκος της χορδής (3 μονάδες μήκους) και στη συνέχεια τα 3 2 του μήκους αυτής (2 μονάδες μήκους) (Εικόνα 4). Εικόνα 4: Απόδοση του διαστήματος δια πέντε επί του κανόνος.

7 Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 7 Διεπίστωσε ότι από τους παραχθέντες δύο ήχους σχηματίσθηκε η δια πέντε 3 συμφωνία. 2 Τέλος, διήρεσε κι αρίθμησε ολόκληρο το μήκος του κανόνος σε 4 ίσα τμήματα. Έθεσε σε ταλάντωση ολόκληρο το μήκος της χορδής (4 μονάδες μήκους) και στη συνέχεια τα 4 3 του μήκους αυτής (3 μονάδες μήκους) (Εικόνα 5). Εικόνα 5: Απόδοση του διαστήματος δια τεσσάρων επί του κανόνος. Διεπίστωσε ότι από τους παραχθέντες δύο ήχους σχηματίσθηκε η δια 4 τεσσάρων συμφωνία. 3 Σ αυτό το τριπλό πείραμα ΠΑΝΤΟΤΕ ετίθετο σε ταλάντωση πρώτα ολόκληρο το μήκος της χορδής (ΒΑ) και στη συνέχεια ένα τμήμα αυτής (ΓΑ). Αυτό σημαίνει ότι ένα τμήμα (=μόριον) (ΓΑ) της χορδής επάλλετο και παρήγε ήχο («ηχούν» τμήμα της χορδής), ενώ το υπόλοιπο (ΒΓ) τμήμα (=μόριον) της ηρεμούσε και, ως εκ τούτου, παρέμενε «βωβό» («μη ηχούν» τμήμα της χορδής). Το παραπάνω πείραμα αφενός μεν απαιτεί την ύπαρξη τριών διαφορετικού μήκους υποδιαιρέσεων του κανόνος,,, αφετέρου επιτρέπει μόνον την παραγωγή μεμονωμένων μουσικών συμφωνιών και όχι και των τριών πλην της τελευταίας περιπτώσεως, στην οποίαν με τον κινητό καβαλάρη (υπαγωγέα) στις θέσεις 4 και 3 παράγεται η δια τεσσάρων συμφωνία, στις θέσεις 3 και 2 παράγεται η δια πέντε συμφωνία και στις θέσεις 4 και 2 παράγεται η δια πασών συμφωνία. Πρέπει να επισημανθεί ότι μόνον με αυτήν την αλληλουχία θέσεων του

8 Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 8 κινητού καβαλάρη (υπαγωγέα) και με καμιά άλλη παράγονται οι τρεις μουσικές συμφωνίες. Αξιοσημείωτο είναι ότι το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής καθορίζεται στην περίπτωση της δια πασών με τους αριθμούς 4 και 2 του κανόνος, στην περίπτωση της δια τεσσάρων συμφωνίας με τους αριθμούς 4 και 3 και στην περίπτωση της δια πέντε συμφωνίας με τους αριθμούς 3 και 2. Βλέπουμε ότι Γεωμετρικά στη συγκεκριμένη περίπτωση το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής στην περίπτωση της δια πασών συμφωνίας ισούται με το άθροισμα των μη ηχούντων τμημάτων της χορδής στην περίπτωση της δια τεσσάρων συμφωνίας και στην περίπτωση της δια πέντε συμφωνίας, επαληθεύοντας τη ρήση του Φιλολάου ότι "ἁρμονίας (=διὰ πασῶν) δὲ μέγεθός ἐστι συλλαβὰ καὶ δι' ὀξειᾶν 16 ". Είναι πολύ πιθανόν με τέτοια πειράματα Ακουστικής επάνω σε αρχέγονο κανόνα υποδιηρημένο σε τέσσερα μόνο μέρη να δημιουργήθηκε η μυθική σημασία της ιεράς τετρακτύος των Πυθαγορείων. Οι πηγές μας αναφέρουν τη διαίρεση του κανόνος σε 12 ίσα μέρη, όπου 12 είναι το Ε.Κ.Π. των αριθμών 2, 3 και 4 (Εικόνα 6). Εικόνα 6: Ο εις 12 ίσα μέρη διηρημένος και αριθμημένος κανών για την απόδοση των συμφωνιών δια πασών, δια πέντε και δια τεσσάρων. 16 Από τη γραμμική αντιμετώπιση των μουσικών διαστημάτων συνεπάγεται ότι οι έννοιες «ἁρμονία (=διὰ πασῶν)», «συλλαβὰ» και «δι' ὀξειᾶ» σχετίζονται με μήκη μη ηχούντων τμημάτων χορδής. Από αυτήν τους τη συσχέτιση προκύπτουν και οι ονομασίες τους «δια πέντε» και «δια τεσσάρων», διότι αυτά τα μήκη των μη ηχούντων τμημάτων χορδής περιορίζοντο ανάμεσα σε πέντε και ανάμεσα σε τέσσερα τάστα (=πατήματα), αντίσοτιχα.

9 Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 9 Με τον κανόνα διηρημένον στα 12 ίσα τμήματα είναι δυνατόν να παραχθούν και οι τρεις συμφωνίες δια πασών, δια τεσσάρων και δια πέντε θέτοντας τον κινητό καβαλάρη (υπαγωγέα) στις θέσεις (12, 6), (12, 9) και (12, 8), αντίστοιχα. Από εδώ βλέπουμε ότι το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής στην περίπτωση της δια τεσσάρων συμφωνίας περιορίζεται μεταξύ των αριθμών 12 και 9, στην περίπτωση της δια πέντε συμφωνίας περιορίζεται μεταξύ των αριθμών 12 και 8, ενώ στην περίπτωση της διαπασών συμφωνίας περιορίζεται μεταξύ των αριθμών 12 και 6. Τούτο σημαίνει ότι η διαφορά των εν λόγω δύο μηκών των μη ηχούντων τμημάτων της χορδής περιορίζεται μεταξύ των αριθμών 9 και 8 17 (Εικόνα 7). Γενικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι «διάστημα» ήταν αυτό καθαυτό το μουσικό διάστημα το σχηματιζόμενο από δύο φθόγγους προερχομένους από την ταλάντωση δύο διαφορετικού μήκους τμημάτων χορδής και το οποίο αφενός μεν μπορούσε να γίνει αντιληπτό και να καθορισθεί ακουστικά, αφετέρου δε να καταστεί και ορατό επάνω στον Κανόνα ως η διαφορά των μηκών των μη ηχούντων τμημάτων της χορδής των εν λόγω δύο φθόγγων. Εικόνα 7: Απόδοση των συμφωνιών δια πασών, δια τεσσάρων και δια πέντε επάνω στον εις 12 ίσα μέρη διηρημένο και αριθμημένο κανόνα. 17 Αυτό άλλωστε αναφέρει και το η θεώρημα της Κατατομής Κανόνος του Ευκλείδου: "Ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος ἐπίτριτον διάστημα ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν καταλείπεται ἐπόγδοον".

10 Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 10 Σχήμα 1: Προσδιορισμός των αριθμητικών σχέσεων των μουσικών συμφωνιών στο μονόχορδο. Πράξεις μεταξύ των διαστημάτων Εάν διασαφηνισθεί το πώς η έννοια «διάστημα» ήταν δυνατό να σημαίνει συγχρόνως «απόσταση μεταξύ δύο σημείων ή μεταξύ δύο φθόγγων», αλλά και «λόγο δύο αριθμών (αριθμητική σχέση ή αναλογία)» θα έχουν ισχύ όλα όσα διδάσκονται στην Άλγεβρα των μουσικών διαστημάτων και ιδιαιτέρως ο ορισμός του μουσικού διαστήματος ως λόγου συχνοτήτων. 1. Πρόσθεση δύο διαστημάτων. Έστω ότι μας δίδονται δύο σημεία, τα Α και Β. Τα σημεία αυτά μπορεί να θεωρηθούν ότι είναι τα πέρατα ενός ευθυγράμμου τμήματος, του ΑΒ και ότι με την απόστασή τους ορίζουν το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Εικόνα 8: Πρόσθεση διαστημάτων επάνω στον εις 12 ίσα μέρη διηρημένο και αριθμημένο κανόνα.

11 Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 11 Έστω ότι στον κανόνα της εικόνας 8, που είναι διηρημένος και αριθμημένος σε 12 ίσα τμήματα, θέτω σε ταλάντωση ολόκληρο το μήκος της χορδής ΒΑ, που είναι 12 μονάδες μήκους. Στη συνέχεια τοποθετώ τον κινητό καβαλάρη (υπαγωγέα) στη θέση Δ (υποδιαίρεση 8 του κανόνα) και θέτω σε ταλάντωση το τμήμα της χορδής ΑΔ, μήκους 8 μονάδων μήκους. Το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής είναι ίσο με το ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ, μήκους 4 μονάδων μήκους. Από την ταλάντωση των δύο διαφορετικού μήκους ηχούντων τμημάτων της χορδής ακούσθηκε το δια πέντε διάστημα. Αυτό το μουσικό διάστημα ως μήκος μεν χαρακτηρίζεται από το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής ΒΔ, ως σχέση αριθμών δε χαρακτηρίζεται από ΒΑ 12 το λόγο των μηκών των δύο ηχούντων τμημάτων της χορδής =. Α 8 Ακολούθως, εκτελώ ως προς αυτό ένα συνημμένο διάστημα δια τεσσάρων. Προς τούτοις με τον κινητό καβαλάρη στη θέση Δ (υποδιαίρεση 8 του κανόνα) θέτω σε ταλάντωση το τμήμα ΔΑ της χορδής και μετά, αφού μετατοπίσω τον καβαλάρη στη θέση Γ (υποδιαίρεση 6 του κανόνα), θέτω σε ταλάντωση το τμήμα ΓΑ της χορδής, που έχει μήκος 6 μονάδων μήκους. Το μη ηχούν τμήμα της χορδής τώρα είναι το ΔΓ και έχει μήκος 2 μονάδων μήκους. Από την ταλάντωση των δύο διαφορετικού μήκους ηχούντων τμημάτων της χορδής ακούσθηκε το δια τεσσάρων διάστημα. Αυτό το μουσικό διάστημα ως μήκος μεν χαρακτηρίζεται από το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής ΔΓ, ως σχέση αριθμών δε χαρακτηρίζεται από το λόγο Α 8 των μηκών των δύο ηχούντων τμημάτων της χορδής =. ΓΑ 6 Τέλος, εκτελώ το διάστημα δια πασών θέτοντας σε ταλάντωση ολόκληρο το μήκος της χορδής ΒΑ του κανόνα, μήκους 12 μονάδων και το τμήμα ΓΑ της χορδής, μήκους 6 μονάδων μήκους. Το μη ηχούν τμήμα της χορδής τώρα είναι το ΒΓ και έχει μήκος 6 μονάδων μήκους. Αυτό το μουσικό διάστημα (δια πασών) ως μήκος μεν χαρακτηρίζεται από το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής ΒΓ, ως σχέση αριθμών δε χαρακτηρίζεται από ΒΑ 12 το λόγο των μηκών των δύο ηχούντων τμημάτων της χορδής =. ΓΑ 6 Παρατηρώ ότι το άθροισμα των μηκών των μη ηχούντων τμημάτων της χορδής στα διαστήματα δια πέντε και δια τεσσάρων ισούται με το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής στο διάστημα της δια πασών, δηλαδή ΒΓ=ΒΔ+ΔΓ. Πράγματι η δια πασών είναι το άθροισμα του δια πέντε και του δια τεσσάρων ή, όπως λέει ο Φιλόλαος "ἁρμονίας (=διὰ πασῶν) δὲ μέγεθός ἐστι συλλαβὰ καὶ δι' ὀξειᾶν". Εάν στη θέση των μηκών αυτών των μη ηχούντων τμημάτων της χορδής, που αντιπροσωπεύουν τα διαστήματα, τοποθετήσω τους αντιστοίχους λόγους των μηκών των ηχούντων τμημάτων χορδής, που επίσης αντιπροσωπεύουν τα διαστήματα, οδηγούμαι στη διαδικασία της προσθέσεως των μουσικών ΑΒ ΑΒ Α διαστημάτων ως λόγων μεγεθών, δηλαδή =. Η σχέση αυτή για ΑΓ Α ΑΓ να υφίσταται ως αληθής, θα πρέπει η διαδικασία, η συμβολιζομένη με το

12 Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 12 σύμβολο, να συμπίπτει με τη διαδικασία του γνωστού πολλαπλασιασμού 18 (Λογαριθμική αντιμετώπιση των μουσικών διαστημάτων). Συμπερασματικά λέμε ότι: α. για να προσθέσουμε συνημμένα διαστήματα, που αντιπροσωπεύονται στον κανόνα με διαδοχικά μήκη μη ηχούντων τμημάτων της χορδής, προσθέτουμε αυτά τα διαδοχικά μη ηχούντα τμήματα της χορδής, οπότε το άθροισμά τους δίδει το μηκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής για το ολικό διάστημα. β. για να προσθέσουμε συνημμένα διαστήματα, που αντιπροσωπεύονται στον κανόνα με λόγους ηχούντων τμημάτων της χορδής, πολλαπλασιάζουμε αυτούς τους λόγους των ηχούντων τμημάτων της χορδής και βρίσκουμε το λόγο των ηχούντων τμημάτων της χορδής για το ολικό διάστημα. 2. Αφαίρεση δύο διαστημάτων. Εικόνα 9: Αφαίρεση διαστημάτων επάνω στον εις 12 ίσα μέρη διηρημένο και αριθμημένο κανόνα. Έστω ότι στον κανόνα της εικόνας 9 που είναι διηρημένος και αριθμημένος σε 12 ίσα τμήματα θέτω σε ταλάντωση ολόκληρο το μήκος της χορδής ΒΑ, που είναι 12 μονάδες μήκους. Στη συνέχεια τοποθετώ τον κινητό καβαλάρη (υπαγωγέα) στη θέση Δ (υποδιαίρεση 8 του κανόνα) και θέτω σε ταλάντωση το τμήμα της χορδής ΔΑ, μήκους 8 μονάδων μήκους. Το μήκος 18 (12, 8)+(8, 6)=(12, 6) κατά τη γραμμική αντιμετώπιση των μουσικών διαστημάτων = = κατά τη λογαριθμική αντιμετώπιση των μουσικών διαστημάτων. Το γεγονός ότι η δεύτερη σχέση προκύπτει αβίαστα από την πρώτη μπορεί να το επικαλεσθεί κανείς για να υποστηρίξει ότι ο γραμμικός τρόπος αντιμετωπίσεως των μουσικών διαστημάτων υπήρχε προτού ο Πυθαγόρας εισηγηθεί, ύστερα από πειραματισμούς επί του μονοχόρδου, την λογαριθμική αντιμετώπιση των μουσικών διαστημάτων.

13 Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 13 του μη ηχούντος τμήματος της χορδής είναι ίσο με το ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ, μήκους 4 μονάδων μήκους. Από την ταλάντωση των δύο διαφορετικού μήκους ηχούντων τμημάτων της χορδής ακούσθηκε το δια πέντε διάστημα. Αυτό το μουσικό διάστημα ως μήκος μεν χαρακτηρίζεται από το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής ΒΔ, ως σχέση αριθμών δε χαρακτηρίζεται από ΒΑ 12 το λόγο των μηκών των δύο ηχούντων τμημάτων της χορδής =. Α 8 Στη συνέχεια θέτω σε ταλάντωση ολόκληρο το μήκος της χορδής ΒΑ, που είναι 12 μονάδες μήκους. Μετά τοποθετώ τον κινητό καβαλάρη (υπαγωγέα) στη θέση Γ (υποδιαίρεση 9 του κανόνα) και θέτω σε ταλάντωση το τμήμα της χορδής ΓΑ, μήκους 9 μονάδων μήκους. Το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής είναι ίσο με το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ, μήκους 3 μονάδων μήκους. Από την ταλάντωση των δύο διαφορετικού μήκους ηχούντων τμημάτων της χορδής ακούσθηκε το δια τεσσάρων διάστημα. Αυτό το μουσικό διάστημα ως μήκος μεν χαρακτηρίζεται από το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής ΒΓ, ως σχέση αριθμών δε χαρακτηρίζεται από ΒΑ 12 το λόγο των μηκών των δύο ηχούντων τμημάτων της χορδής =. ΓΑ 9 Ακολούθως, θα εκτελέσω το επόγδοο διάστημα. Προς τούτοις με τον κινητό καβαλάρη στη θέση Δ (υποδιαίρεση 8 του κανόνα) θέτω σε ταλάντωση το τμήμα ΔΑ της χορδής και μετά, αφού μετατοπίσω τον καβαλάρη στη θέση Γ (υποδιαίρεση 9 του κανόνα), θέτω σε ταλάντωση το τμήμα ΓΑ της χορδής, που έχει μήκος 9 μονάδων μήκους. Το μη ηχούν τμήμα της χορδής τώρα είναι το ΓΔ=ΒΔ-ΒΓ και έχει μήκος 1 μονάδα μήκους. Από την ταλάντωση των δύο διαφορετικού μήκους ηχούντων τμημάτων της χορδής ακούσθηκε το επόγδοον διάστημα. Αυτό το μουσικό διάστημα ως μήκος μεν χαρακτηρίζεται από το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής ΓΔ, ως σχέση αριθμών δε χαρακτηρίζεται από το λόγο των μηκών των δύο ηχούντων τμημάτων της ΓΑ 9 χορδής =. Α 8 Παρατηρώ ότι η διαφορά των μηκών των μη ηχούντων τμημάτων της χορδής στα διαστήματα δια πέντε και δια τεσσάρων ισούται με το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής στο επόγδοον διάστημα, δηλαδή ΓΔ=ΒΔ- ΒΓ 19. Πράγματι, όπως άλλωστε αναφέρει και το η θεώρημα της Κατατομής Κανόνος του Ευκλείδου: "Ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος ἐπίτριτον διάστημα ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν καταλείπεται ἐπόγδοον". Εάν στη θέση των μηκών αυτών των μη ηχούντων τμημάτων της χορδής, που αντιπροσωπεύουν τα διαστήματα, τοποθετήσω τους αντιστοίχους λόγους των μηκών των ηχούντων τμημάτων χορδής, που αντιπροσωπεύουν τα ίδια διαστήματα, οδηγούμαι στη διαδικασία της αφαιρέσεως των μουσικών διαστημάτων ως λόγων μεγεθών, δηλαδή ΓΑ ΒΑ ΒΑ = Θ. Η σχέση αυτή για να υφίσταται ως αληθής, θα πρέπει η Α Α ΓΑ διαδικασία, η συμβολιζομένη με το σύμβολο Θ, να συμπίπτει με τη διαδικασία της γνωστής διαιρέσεως Γραμμική αντιμετώπιση των μουσικών διαστημάτων. 20 (12, 8)-(12, 9)=(9, 8) κατά τη γραμμική αντιμετώπιση των μουσικών διαστημάτων.

14 Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 14 Συμπερασματικά λέμε ότι: α. για να αφαιρέσουμε δύο διαστήματα που αντιπροσωπεύονται στον κανόνα με δύο μήκη μη ηχούντων τμημάτων της χορδής, που έχουν κοινή αρχή, αφαιρούμε αυτά τα δύο μη ηχούντα τμήματα της χορδής και βρίσκουμε το μη ηχούν τμήμα της χορδής του διαστήματος της διαφοράς. β. για να αφαιρέσουμε δύο διαστήματα, που αντιπροσωπεύονται στον κανόνα με λόγους ηχούντων τμημάτων της χορδής, διαιρούμε το λόγο του μειωτέου δια του λόγου του αφαιρετέου και βρίσκουμε το λόγο των ηχούντων τμημάτων της χορδής για το διάστημα της διαφοράς. Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε ότι επί παραδείγματι οι σχέσεις 8:6 και 12:9 εκφράζουν τον επίτριτο λόγο (=λόγος μηκών ηχούντων τμημάτων χορδής) και ταυτοχρόνως εκφράζουν την δια τεσσάρων συμφωνία (=μήκος μη ηχούντος τμήματος χορδής). Οι σχέσεις 9:6 και 12:8 εκφράζουν τον ημιόλιο λόγο (=λόγος μηκών ηχούντων τμημάτων χορδής) και ταυτοχρόνως εκφράζουν την δια πέντε συμφωνία (=μήκος μη ηχούντος τμήματος χορδής). Συνεπώς ο όρος λόγος περιγράφεται με μια πολλαπλάσια ή επιμόρια κ.λπ. σχέση και εκφράζει λόγο μηκών ηχούντων τμημάτων χορδής. Ο όρος συμφωνία περιγράφεται π.χ. ως δια τεσσάρων, δια πέντε, δια πασών κ.λπ. και εκφράζει μήκος μη ηχούντος τμήματος χορδής. Λόγω, λοιπόν, του δυισμού του μουσικού διαστήματος, που προαναφέρθηκε, ένα και το αυτό μουσικό διάστημα, εν γένει, ονομάζεται με διαφορετικό όνομα, το οποίο προδίδει τόν τρόπο αντιμετωπίσεώς του, δηλαδή με βάση τα ηχούντα ή τα μη ηχούντα τμήματα χορδής. Κι αντιστρόφως, ο τρόπος αντιμετωπίσεως ενός και του αυτού μουσικού διαστήματος, εν γένει, δηλαδή με βάση τα ηχούντα ή τα μη ηχούντα τμήματα χορδής, προσδίδει στο μουσικό διάστημα διαφορετικό όνομα (βλέπε Πίνακα Ι) = Θ = : = κατά τη λογαριθμική αντιμετώπιση των μουσικών διαστημάτων. Και εδώ, επίσης, το γεγονός ότι η δεύτερη σχέση προκύπτει αβίαστα από την πρώτη μπορεί να το επικαλεσθεί κανείς για να υποστηρίξει ότι ο γραμμικός τρόπος αντιμετωπίσεως των μουσικών διαστημάτων υπήρχε προτού ο Πυθαγόρας εισηγηθεί, ύστερα από πειραματισμούς επί του μονοχόρδου, την λογαριθμική αντιμετώπιση των μουσικών διαστημάτων.

15 Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 15 Πίνακας Ι: Ονομασία των μουσικών διαστημάτων με βάση τον τρόπο αντιμετωπίσεώς τους, δηλαδή με βάση τα ηχούντα ή τα μη ηχούντα τμήματα χορδής. Μουσικό Διάστημα Αντιμετωπιζόμενο με βάση τα ηχούντα τμήματα χορδής παίρνει το όνομα: Αντιμετωπιζόμενο με βάση τα μη ηχούντα τμήματα χορδής παίρνει το όνομα: 4 1 τετραπλάσιον δὶς διὰ πασῶν 2 1 διπλάσιον διὰ πασῶν 3 1 = ἡμιόλιον διὰ πέντε 4 1 = ἐπίτριτον διὰ τεσσάρων 9 1 = ἐπόγδοον τονιαῖον

«Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;»

«Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;» «Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;» Η έννοια «διάστημα» ως σχέσεως δύο αριθμών προς αλλήλους. Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών στη Πυθαγόρειο θεωρία της Μουσικής και σ αυτήν ακόμη την Κατατομή Κανόνος του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κατασκευή: Το μονόχορδο του Πυθαγόρα 2005-2006 Τόλιας Γιάννης Α1 Λ Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Α. Τσαγκογέωργα Περιεχόμενα: Τίτλος Εργασίας Σκοπός Υπόθεση (Περιγραφή Κατασκευής) Ορισμός Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ

ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ Στον τομέα της μουσικής η έρευνα του Αριστόξενου ήταν επαναστατική. Παραμέρισε τις έρευνες των πυθαγορείων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5. 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5. 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8 1.1. Περιοδική κίνηση Περιοδικά φαινόμενα 9 1.2. Ταλάντωση - Ταλαντούμενα

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

«Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός»

«Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός» «Μουσικός Διανυσματικός Λογισμός» Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Διευθυντής Εργαστηρίου Μουσικής Ακουστικής Τεχνολογίας, Τμήμα Μουσικών Σπουδών, Φιλοσοφική Σχολή, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Κουρδίσµατα (περίληψη)

Κουρδίσµατα (περίληψη) Κουρδίσµατα (περίληψη) Ι. Αρµονική στήλη Κάθε νότα που παράγεται µε φυσικά µέσα είναι ένα πολύ σύνθετο φαινόµενο. Ως προς το τονικό ύψος, συνιστώσες του ("αρµονικοί") είναι η συχνότητα που ακούµε ("θεµελιώδης")

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Σε οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα, με βάση τον αριθμό Β, ένας ακέραιος αριθμός με πλήθος ψηφίων ν, εκφράζεται ως ακολούθως: α ν-1 α ν-2 α 1 α 0 = α ν-1 Β ν-1 + α ν-2 Β ν-2 + + α 1

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881

Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881 Οι κλίµακες της Βυζαντινής Mουσικής, κατά την Μουσική Επιτροπή του 1881 του Παναγιώτη. Παπαδηµητρίου panayiotis@analogion.net, α έκδοση: 4 Οκτωβρίου 2005 Το Οικουµενικό Πατριαρχείο στα 1881 συγκρότησε

Διαβάστε περισσότερα

Μουσικές Νότες και Κλίμακες Κλίμακες και Ηχοχρώματα (συγκερασμός) Η Πυθαγόρεια Κλίμακα Ισο συγκερασμένη Κλίμακα Ανορθόδοξες Κλίμακες

Μουσικές Νότες και Κλίμακες Κλίμακες και Ηχοχρώματα (συγκερασμός) Η Πυθαγόρεια Κλίμακα Ισο συγκερασμένη Κλίμακα Ανορθόδοξες Κλίμακες Η Φυσική της Μουσικής Τ.Ε.Ι. Ιονίων Νήσων Διάλεξη 10 Μουσικές Νότες και Κλίμακες Κλίμακες και Ηχοχρώματα (συγκερασμός) Η Πυθαγόρεια Κλίμακα Ισο συγκερασμένη Κλίμακα Ανορθόδοξες Κλίμακες Επανάληψη της Διάλεξης

Διαβάστε περισσότερα

Δόμηση Χροών: Άλλο Θεωρία και άλλο πράξη

Δόμηση Χροών: Άλλο Θεωρία και άλλο πράξη Δόμηση Χροών: Άλλο Θεωρία και άλλο πράξη Κυρίες και κύριοι Σύνεδροι, στην Τετράβιβλο του Γεωργίου Παχυμέρη και συγκεκριμένα στο κεφάλαιο Ε μπορεί να διαβάσει κανείς για τα γένη των τετραχόρδων και τις

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 5.2 Ασκήσεις: 1-17 Θεωρία ως και την 5.3 Ασκήσεις: 18-24 Άσκηση 1 Θεωρούμε την ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή

τον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

«Ευθέα και Αντίστροφα δικτυωτά»

«Ευθέα και Αντίστροφα δικτυωτά» «Ευθέα και Αντίστροφα δικτυωτά» Χαράλαμπος Χ. Σπυρίδης Καθηγητής Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής Διευθυντής Εργαστηρίου Μουσικής Ακουστικής Τεχνολογίας, Τμήματος Μουσικών Σπουδών, Φιλοσοφικής Σχολής,

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ελικών. Μαρίας Χ. Παπαδοπούλου, Μαθηματικού, Μουσικολόγου, υποψηφίας διδάκτορος, Τμήμα Μουσικών Σπουδών, Πανεπιστήμιο Αθηνών

Ο Ελικών. Μαρίας Χ. Παπαδοπούλου, Μαθηματικού, Μουσικολόγου, υποψηφίας διδάκτορος, Τμήμα Μουσικών Σπουδών, Πανεπιστήμιο Αθηνών Ο Ελικών Μαρίας Χ. Παπαδοπούλου, Μαθηματικού, Μουσικολόγου, υποψηφίας διδάκτορος, Τμήμα Μουσικών Σπουδών, Πανεπιστήμιο Αθηνών Χαράλαμπου Χ. Σπυρίδη, Καθηγητού Μουσικής Ακουστικής, Πληροφορικής, Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Αριθμητικοί τελεστές Οι αριθμητικοί τελεστές είναι: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση +,-,*,/ ύψωση σε δύναμη ^ πηλίκο ακέραιης διαίρεσης δύο ακεραίων αριθμών div υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Γεωμετρίας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Β Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές στην προσπάθειά μας να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων.

Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Γεωμετρία Β Λυκείου Θεωρήματα διχοτόμων Αρμονικά συζυγή Ομοιότητα τριγώνων. Καρδαμίτσης Σπύρος «Τὰ ὅμοια πολύγωνα εἴς τε ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ πολύγωνον

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α! ΤΑΞΗΣ 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ -- ΑΛΓΕΒΡΑΣ Κεφάλαιο 1 ο : Οι Φυσικοί αριθμοί Α. 1. 1 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί και ποια είναι η χαρακτηριστική

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κλινική χρήση των ήχων

Κλινική χρήση των ήχων Κλινική χρήση των ήχων Ήχοι και ακουστότητα Κύματα υπερήχων Ακουστικά κύματα, Ήχοι, Είδη ήχων Ήχους υπό την ευρεία έννοια καλούμε κάθε κύμα πίεσης που υπάρχει και διαδίδεται στο εσωτερικό των σωμάτων.

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω:

Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ. Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω: Ο ΦΙΜΠΟΝΑΤΣΙ ΚΑΙ Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ Διαβάζουµε από το βιβλίο «Liber Abaci» κεφάλαιο 5ο «Για την διαίρεση των ακεραίων», ανάµεσα σε άλλα, και τα παρακάτω: - «Όταν κανείς επιθυµεί να ξέρει να διαιρεί οποιονδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά

Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά ΜΕΡΟΣ. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 61 Ορισμοί. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ Ημίτονο γωνίας Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου

Διαβάστε περισσότερα

2 (Μέγαρο Μουσικής Αθηνών) Μαθηματική Δομή της Αρχαίας Ελληνικής Μουσικής: ΚΥΒΟΣ

2 (Μέγαρο Μουσικής Αθηνών) Μαθηματική Δομή της Αρχαίας Ελληνικής Μουσικής: ΚΥΒΟΣ (Μέγαρο Μουσικής Αθηνών) Μαθηματική Δομή της Αρχαίας Ελληνικής Μουσικής: ΚΥΒΟΣ «Ἐν ἀρχῇ ἦν ὁ λόγος καὶ ὁ λόγος ἦν πρὸς τὴν συμμετρίαν καὶ συμμετρία ἦν ὁ λόγος» Πυθαγόρειοι Ο Θέων ο Σμυρναίος στο έργο του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

a -j a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0, a -1 a -2 a -3

a -j a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0, a -1 a -2 a -3 ΑΣΚΗΣΗ 5 ΑΘΡΟΙΣΤΕΣ - ΑΦΑΙΡΕΤΕΣ 5.1. ΣΚΟΠΟΣ Η πραγματοποίηση της αριθμητικής πρόσθεσης και αφαίρεσης με λογικά κυκλώματα. 5.2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ: Κάθε σύστημα αρίθμησης χαρακτηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

Α.2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΚΛΑΣΜΑΤΑ Α.. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟ Αν ο αριθμητής ενός κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον παρανομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το. Αν ο αριθμητής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

καλύπτει πολλά πεδία του επιστητού, ασχέτως του εάν στην Ελλάδα δεν διδάσκεται στο Λύκειο ως τμήμα της Φυσικής.

καλύπτει πολλά πεδία του επιστητού, ασχέτως του εάν στην Ελλάδα δεν διδάσκεται στο Λύκειο ως τμήμα της Φυσικής. ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ H ιστορία των μουσικών οργάνων είναι τόσο παλιά, όσο ο πολιτισμός του ανθρώπου. Το ενδιαφέρον των «επιστημόνων» για τα μουσικά όργανα χρονολογείται από την εποχή του Πυθαγόρα (τουλάχιστον)

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.4 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.5 ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Μήκος κύκλου) Το μήκος του κύκλου (Ο, R) συμβολίζεται με L. Ο Ιπποκράτης ο Χίος απέδειξε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Ποιο από τα δύο σχήματα Α, Β έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν; ΜΕΡΟΣ Β. ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ-ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 05. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Ορισμός Το εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ένας θετικός αριθμός, που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Χρήσιμες έννοιες Κίνηση (σχετική κίνηση) ενός αντικειμένου λέγεται η αλλαγή της θέσης του ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. Τροχιά σώματος ονομάζουμε τη νοητή γραμμή που δημιουργεί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ ΣΧ. ΧΡΟΝΙΑ 2015-16 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΥΧΟΣ Α ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΣΥΝΟΛΑ (Σελ. 25 42) Η Έννοια του Συνόλου Σχέσεις Συνόλων Πράξεις Συνόλων ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΡΙΘΜΟΙ (Σελ. 46 83)

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική Πληροφορική. Δ. Πολίτης, Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ, 2015

Μουσική Πληροφορική. Δ. Πολίτης, Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ, 2015 Μουσική Πληροφορική Δ. Πολίτης, Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ, 2015 Άδεια Χρήσης 2 Άδεια Χρήσης 3 Άδεια Χρήσης 4 Ήχος Κλίμακες Β & Γ Δ. Πολίτης 2 ο Μάθημα Περιεχόμενα Μέρος Α : Ανατομία και φυσιολογία του αυτιού

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα