Οδηγίες για τη διδακτέα ύλη και τη διδασκαλία. κατά το σχολικό έτος

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Οδηγίες για τη διδακτέα ύλη και τη διδασκαλία. κατά το σχολικό έτος 2007-2008"

Transcript

1 Οδηγίες για τη διδακτέα ύλη και τη διδασκαλία των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ του ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ κατά το σχολικό έτος

2 Με απόφαση της ελληνικής κυβερνήσεως τα διδακτικά βιβλία του ηµοτικού, του Γυµνασίου και του Λυκείου τυπώνονται από τον Οργανισµό Εκδόσεως ιδακτικών Βιβλίων και διανέµονται δωρεάν.

3 3 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΜΗΜΑ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Οδηγίες για τη διδακτέα ύλη και τη διδασκαλία των ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ του ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ κατά το σχολικό έτος ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚ ΟΣΕΩΣ Ι ΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ - ΑΘΗΝΑ

4 4 Α ΕΚ ΟΣΗ (1997) Για τη σύνταξη των οδηγιών των Μαθηµατικών συνεργάστηκαν οι: 1. Αδαµόπουλος Λεωνίδας, Σύµβουλος Π.Ι.. Καραγεώργος ηµήτριος, Σύµβουλος Π.Ι. 3. Γαβαλάς ηµήτριoς, Καθηγητής Μαθηµατικών.Ε. 4. Γαβρίλης Κων/νος, Καθηγητής Μαθηµατικών.Ε. 5 αλιεράκη Ελισσάβετ. Καθηγήτρια Μαθηµατικών.Ε. 6. Κλαουδάτος Νικόλαος, ρ. Μαθηµατικών, Καθηγητής.Ε. 7. Πολύζος Γεώργιος, Καθηγητής Μαθηµατικών.Ε. 8. Σβέρκος Ανδρέας, Καθηγητής Μαθηµατικών.Ε. Β ΕΚ ΟΣΗ (1998) - Γ ΕΚ ΟΣΗ (1999) - ΕΚ ΟΣΗ (000) Ε ΕΚ ΟΣΗ (001) - ΣΤ ΕΚ ΟΣΗ (00) - Ζ ΕΚ ΟΣΗ (003) (ΑΝΑΘΕΩΡΗΜΕΝΕΣ) ΕΚ ΟΣΗ 007 Για την σύνταξη των οδηγιών για τα Μαθηµατικά των αναθεωρηµένων εκδόσεων Ε, ΣΤ και Ζ συνεργάστηκαν οι: Κοντογιάννης ηµήτρης Παπαδόπουλος Γεώργιος Σκούρας Αθανάσιος Πολύζος Γεώργιος Χιονίδου Μαρία Σύµβουλος Π.Ι. Σύµβουλος Π.Ι Πάρεδρος Π.Ι. Πάρεδρος ε.θ. Π.Ι. Πάρεδρος ε.θ. Π.Ι. Για τις αναφορές σε δραστηριότητες µε χρήση εκπαιδευτικών λογισµικών συνεργάστηκαν οι: Κορδάκη Μαρία Πετρέσκου Θεόδωρος Ιωάννου Στέλιος Μπιζά Ειρήνη Σχολικός σύµβουλος, Μέλος της οµάδας προσαρµογής του εκπ. Λογισµικού Cabri II ρ. Μαθηµατικών αποσπασµένος στο Π.Ι. Καθηγητής Μαθηµατικών.Ε. αποσπασ- µένος στο Π.Ι. Καθηγήτρια Μαθηµατικών.Ε. αποσπασµένη στο Π.Ι. Επίσης συνεργάστηκαν οι αποσπασµένοι εκπαιδευτικοί στο Π.Ι. καθηγητές Μαθηµατικών.Ε. Γκόβαρης Ηλίας και Παπανικολάου Θεοδόσης.

5 5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 7 Α. ΣΚΟΠΟΙ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ... 9 Β1.ΓΕΝΙΚΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΙ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ Β3. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ Γ. ΕΙ ΙΚΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ι. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΙ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ι. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΙ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΙΙΙ. ΛΟΓIΚΗ - ΘΕΩΡIΑ ΚΑI ΠΡΑΚΤIΚΗ ΕΣΠΕΡΙΝΑ ΛΥΚΕΙΑ

6 6

7 7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το τεύχος των οδηγιών που κρατάτε στα χέρια σας προέρχεται από αναµόρφωση της τελευταίας αναθεωρηµένης έκδοσης και περιλαµβάνει τη διδακτέα ύλη των Μαθηµατικών στη Γενική ευτεροβάθµια Εκπαίδευση καθώς και µεθόδους και τεχνικές για αποτελεσµατικότερη διαδικασία διδασκαλίας και µάθησης. Περιλαµβάνει, επίσης, τις αρχές, τους σκοπούς και τους στόχους της διδασκαλίας των Μαθηµατικών όπως αποτυπώθηκαν στην πρώτη έκδοση του 1997 όταν σχεδιάσθηκε το ισχύον πλαίσιο διδασκαλίας των Μαθηµατικών στη ευτεροβάθµια Εκπαίδευση. Με την παρούσα αναθεωρηµένη έκδοση, γίνεται προσπάθεια να αντιµετωπισθούν, στο µέτρο του δυνατού και στο µέτρο που επιτρέπεται από το ισχύον πλαίσιο διδασκαλίας των Μαθηµατικών, τα προβλήµατα που παρουσιάζονται στην καθηµερινή διδακτική πρακτική. Στην προσπάθεια αυτή, ιδιαιτέρως πολύτιµες ή- ταν οι παρατηρήσεις των συναδέλφων Σχολικών Συµβούλων και συναδέλφων Καθηγητών τους οποίους και ευχαριστούµε θερµά. Σε σχέση µε την τελευταία αναθεωρηµένη έκδοση στην οποία είχαν γίνει παρεµβάσεις, κυρίως, σχετικά µε τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου, η παρούσα έκδοση περιλαµβάνει περιορισµένες αλλαγές στην ύλη των Μαθηµατικών Κατεύθυνσης των Β και Γ τάξεων του Γενικού Λυκείου και των Μαθηµατικών Γενικής Παιδείας της Γ Τάξης του Γενικού Λυκείου. Σχετικά µε τον αριθµό ωρών διδασκαλίας που προτείνονται σε κάθε ενότητα ή παράγραφο, διευκρινίζεται ότι είναι µόνο ενδεικτικός. Ο χρονοπρογραµµατισµός της διδακτέας ύλης γίνεται µε ευθύνη του διδάσκοντα και µε οδηγό την αποτελεσµατικότητα και την ποιότητα της διδασκαλίας. Θα πρέπει, εποµένως, οι διδάσκοντες να ετοι- µάζουν έγκαιρα και µε ιδιαίτερη προσοχή τον προγραµµατισµό της διδασκαλίας και να φροντίζουν για την εφαρµογή του. Στην παρούσα έκδοση των οδηγιών, έχει αφαιρεθεί η παράγραφος 3 (σελίδα 35 της τελευταίας αναθεωρηµένης έκδοσης των οδηγιών) «ραστηριότητες µε ηλεκτρονικό υπολογιστή» και

8 8 γίνεται µια πιο συστηµατική προσπάθεια στην κατεύθυνση της αξιοποίησης των δυνατοτήτων που προσφέρουν οι νέες τεχνολογίες στη διαδικασία διδασκαλίας και µάθησης των Μαθηµατικών. Ειδικότερα, προτείνονται συγκεκριµένες δραστηριότητες που πραγµατοποιούνται µε εκπαιδευτικό λογισµικό ειδικά σχεδιασµένο για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών. Όπου είναι δυνατόν, γίνονται συγκεκριµένες αναφορές σε δραστηριότητες που περιλαµβάνονται στα συνοδευτικά εγχειρίδια των λογισµικών The Geometer s Sketchpad, Cabri II και Function Probe που έ- χουν πιστοποιηθεί από το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. Έτσι, οι συνάδελφοι που έχουν τις αναγκαίες γνώσεις και στα σχολεία τους υπάρχει ο αναγκαίος εξοπλισµός (υπολογιστές και λογισµικό) µπορούν να σχεδιάζουν τα µαθήµατά τους µε τρόπο που να τους επιτρέπει την εφαρµογή των δραστηριοτήτων που προτείνονται στις αντίστοιχες παραγράφους του παρόντος τεύχους οδηγιών. Επισηµαίνεται ότι η πραγµατοποίηση των δραστηριοτήτων αυτών δεν πρέπει να γίνει, ειδικά στο Λύκειο, σε βάρος της ολοκλήρωσης της διδακτέας ύλης αλλά αντίθετα θα πρέπει να γίνεται όταν ο διδάσκων κρίνει ότι συµβάλλουν στην καλύτερη εµπέδωση και ολοκλήρωση της ύλης.

9 9 Α. ΣΚΟΠΟΙ TOY ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ο γενικός σκοπός της διδασκαλίας των Μαθηµατικών είναι: α) Η µεθοδική άσκηση του µαθητή στην ορθολογική σκέψη, στην ανάλυση, στην αφαίρεση, στη γενίκευση, στην εφαρµογή, στην κριτική και στις λογικές διεργασίες, καθώς και η µύηση στη µαθηµατική αποδεικτική διαδικασία. β) Η γενικότερη πνευµατική καλλιέργεια και η συµβολή στην ολοκλήρωση της προσωπικότητας του µαθητή, καθόσον τα Μαθηµατικά αναπτύσσουν την παρατηρητικότητα, την προσοχή, τη δύναµη αυτοσυγκέντρωσης, την επιµονή, την πρωτοβουλία, τη δηµιουργική φαντασία, την πειθαρχηµένη σκέψη και συµπεριφορά, καλλιεργούν το αίσθηµα του ωραίου και του ηθικού και διεγείρουν το κριτικό πνεύµα. γ) Η ανάπτυξη ικανότητας για την ακριβή σύλληψη των εννοιών, των µεγεθών, των ιδιοτήτων και των µεταξύ τους σχέσεων και ιδιαιτέρως εκείνων που είναι απαραίτητες για την κατανόηση και επίλυση προβληµάτων της σύγχρονης ζωής και για την επαφή µε τη σύγχρονη τεχνική, οικονοµική και κοινωνική πραγµατικότητα. δ) Ο εθισµός των µαθητών στη διατύπωση των διανοηµάτων µε τη χαρακτηριστική στη µαθηµατική γλώσσα τάξη, σαφήνεια, ακρίβεια, αυστηρότητα, λιτότητα και κοµψότητα. ε) H κατανόηση του ρόλου των Μαθηµατικών στους διάφορους τοµείς της γνώσης και η επαρκής προπαρασκευή των µαθητών για τη συνέχιση των σπουδών τους. Ειδικότερα, µε τη διδασκαλία των Μαθηµατικών στο Γυµνάσιο, επιδιώκεται: α) Να εµπεδωθεί καλύτερα και να συµπληρωθεί η ύλη που διδάχτηκε στο ηµοτικό Σχολείο, ώστε οι µαθητές να εφοδιαστούν µε όλες τις µαθηµατικές γνώσεις που είναι απαραίτητες για τη ζωή και την περαιτέρω µελέτη και εκπαίδευση. β) Να εµπλουτιστούν οι εµπειρίες των µαθητών µε εφαρµογές από την καθηµερινή ζωή, την τεχνολογία και τις άλλες ε-

10 10 φαρµοσµένες επιστήµες, ώστε να αναπτυχθεί µια θετική στάση των µαθητών προς τα Μαθηµατικά. γ) Να εισαχθούν οι µαθητές στην αποδεικτική διαδικασία και να συνειδητοποιήσουν ότι αυτή αποτελεί χρήσιµο και άµεσο τρόπο για την επαλήθευση γενικών νόµων, ενώ, µε τη διδασκαλία των Μαθηµατικών στο Λύκειο επιδιώκεται: α) Να εµπεδωθούν και να διερευνηθούν σε θεωρητικότερο επίπεδο οι γνώσεις που απόκτησαν οι µαθητές στο Γυµνάσιο. β) Να µυηθούν και να εξοικειωθούν οι µαθητές στη διαδικασία της µαθηµατικής απόδειξης και να καλλιεργηθεί η «µαθηµατική σκέψη», γ) Να ασκηθούν οι µαθητές στο να χρησιµοποιούν τα Μαθη- µατικά όχι µόνο ως γνώση, αλλά και ως µέθοδο σκέψης και πράξης στην καθηµερινή ζωή. δ) Να έρθουν οι µαθητές σε επαφή µε τις ποικίλες εφαρµογές των Μαθηµατικών στις άλλες επιστήµες και στη σύγχρονη πραγµατικότητα.

11 11 B1. ΓΕΝΙΚΕΣ Ο ΗΓΙΕΣ Σε κάθε ώρα διδασκαλίας των Μαθηµατικών πρέπει να κυριαρχεί η προσωπική εργασία των µαθητών. Η τάξη πρέπει να είναι ένας τόπος, όπου οι µαθητές δεν θα είναι παθητικοί δέκτες, αλλά θα εξερευνούν καταστάσεις, θα ανακαλύπτουν νέες γνώσεις και θα προσπαθούν να ερµηνεύουν και να χρησιµοποιούν τις γνώσεις που απόκτησαν. Κάθε διδασκαλία πρέπει να προχωρεί από το γνωστό στο άγνωστο, από το συγκεκριµένο στο αφηρηµένο και από το απλό στο σύνθετο. Η σωστή προετοιµασία, η θεωρητική κατάρτιση και ο συνεχής προβληµατισµός του διδάσκοντος αποτελούν απαραίτητα στοιχεία για µια επιτυχή διδασκαλία. Γι' αυτό ο διδάσκων πρέπει στην αρχή του διδακτικού έτους να µελετήσει προσεκτικά καθένα από τα διδακτικά βιβλία που θα διδάξει και τις αντίστοιχες διδακτικές οδηγίες. Έτσι, θα ενηµερωθεί για το περιεχόµενο της διδασκαλίας του και για το «τι πρέπει να µάθει» ο µαθητής από τη διδασκαλία µιας συγκεκριµένης ενότητας, που χωρίς αµφιβολία είναι βασική προϋπόθεση για την επιτυχή οργάνωση της διδασκαλίας της ε- νότητας αυτής. Πιο συγκεκριµένα, οι διδάσκοντες πρέπει να έχουν υπόψη τους και τα εξής: 1. Κατά τη διδασκαλία πρέπει να χρησιµοποιούνται οι τελευταίες εκδόσεις των διδακτικών βιβλίων και να επιδιώκεται η ο- λοκλήρωση της διδασκαλίας της διδακτέας ύλης.. Η εµµονή σε ενότητες που ανήκουν µάλλον στην «ιστορία των Μαθηµατικών» και η επιλογή πολύπλοκων ασκήσεων, όχι µόνο δε συµβάλλει στην επίτευξη των σκοπών της διδασκαλίας, αλλά αντίθετα οδηγεί στη «µαθηµατικοφοβία», ενώ παράλληλα επιβραδύνει το ρυθµό της διδασκαλίας. Έτσι δε µένει χρόνος για τη διδασκαλία άλλων ενοτήτων, οι οποίες είναι χρήσιµες αν όχι απαραίτητες, για όλους τους µαθητές, ανεξάρτητα από τη δέσµη που θα ακολουθήσουν. 3. Ένας από τους βασικούς στόχους της διδασκαλίας είναι η ε- ξοκείωση µε το λογισµό και η ανάπτυξη των σχετικών µ αυτόν δεξιοτήτων του µαθητή. Όµως, για την επίτευξη του στόχου

12 1 αυτού δεν πρέπει να σπαταλάται πολύτιµος χρόνος µε εκτέλεση πολύπλοκων αριθµητικών ή αλγεβρικών υπολογισµών. Γενικά η αντιµετώπιση από το µαθητή τέτοιων περιπτώσεων (δύσκολες ή εξεζητηµένες ασκήσεις που υπερβαίνουν τη δυνατότητα του) έχει ελάχιστη χρησιµότητα στην προαγωγή του µαθηµατικού τρόπου σκέψης και αντιβαίνει στη σύγχρονη διδακτική των Μαθηµατικών. Αντίθετα απογοητεύει τους µαθητές, καλλιεργεί σ' αυτούς ένα αίσθηµα αποστροφής προς τα Μαθηµατικά και τους δηµιουργεί την εντύπωση ότι η κατανόηση των Μαθηµατικών προϋποθέτει ειδικές ικανότητες. 4. Ο µαθητής πρέπει να συνηθίσει στο να εκφράζεται µε σαφήνεια, ακρίβεια και πληρότητα. Έτσι, πρέπει να καταβληθεί προσπάθεια για την ευχερέστερη, ανετότερη και ταχύτερη κίνηση της σκέψης. Με το συµβολισµό αποφεύγεται η χρήση λέξεων, των οποίων η σηµασία έχει γίνει αµφίβολη και ρευστή από την κοινή χρήση. εν πρέπει όµως να γίνεται κατάχρηση συµβολισµού. Θα χρησιµοποιούνται µε προσοχή και φειδώ µόνο εκείνα τα σύµβολα που αναφέρονται στο διδακτικό βιβλίο. Σε καµία περίπτωση ο συµβολισµός δεν πρέπει να ενισχύει τη «σπουδαιοφάνεια» και την τάση «τα εύκολα να γίνονται δύσκολα». 5. Κατά την εισαγωγή νέων µαθηµατικών όρων, όπως π.χ. µειωτέος, διαιρετέος, εφαπτοµένη, συµµετρία κτλ. είναι σκόπιµο να αναφερόµαστε, όσο είναι δυνατό, και στην ετυµολογική σηµασία τους, παράλληλα µε τη λειτουργική σηµασία που έχουν στα Μαθηµατικά. Με αυτό τον τρόπο βοηθούµε το µαθητή στην κατανόηση, στη συγκράτηση και στην ορθή εννοιολογική χρήση των όρων. 6. Είναι γνωστή η παιδαγωγική αξία των σχηµάτων και γενικότερα των εποπτικών εικόνων γι' αυτό συνιστάται, όταν προσφέρεται η διδακτική ενότητα, η χρησιµοποίηση σχηµάτων, πινάκων κτλ. γιατί έτσι γίνονται κατανοητές και ερµηνεύονται καλύτερα οι έννοιες που πραγµατεύεται η ενότητα. Ιδιαίτερα στις γυµνασιακές τάξεις πρέπει να γίνεται συστηµατική χρήση των εποπτικών µέσων. Το ψαλίδι, το διαφανές χαρτί, τα γεωµετρικά όργανα και το τετραγωνισµένο χαρτί πρέπει να χρησιµοποιούνται σε κάθε βήµα της διδακτικής πορείας. Τα εποπτικά µέσα και οι κάθε είδους µετρήσεις και πειραµατισµοί πρέπει να µιλούν περισσότερο από το διδάσκοντα και να είναι αναπόσπαστα στοιχεία της µαθητικής εργασίας. 7. Τα παραδείγµατα που περιέχονται σε κάθε διδακτικό βιβλίο, έχουν ως σκοπό την καλύτερη κατανόηση και εµπέδωση της

13 ενότητας στην οποία αναφέρονται. Ο διδάσκων θα κρίνει κάθε φορά, πόσα και ποια απ αυτά θα χρησιµοποιήσει για την επίτευξη του σκοπού αυτού. Είναι προφανές ότι ο διδάσκων, αν το κρίνει σκόπιµο, µπορεί να χρησιµοποιήσει και άλλα παραδείγµατα, τα οποία ανταποκρίνονται περισσότερο στα ιδιαίτερα γνωρίσµατα της τάξης του (περιοχή στην ο- ποία βρίσκεται το σχολείο, κοινωνικό περιβάλλον, επίπεδο γνώσεων, ενδιαφέροντα µαθητών κτλ.) 8. Οι εφαρµογές και τα παραδείγµατα των βιβλίων µπορούν να χρησιµοποιούνται ως προτάσεις για τη λύση ασκήσεων ή την α- πόδειξη άλλων προτάσεων, αλλά δεν εξετάζονται ούτε ως θεωρία, ούτε ως ασκήσεις. Γενικότερα οι εφαρµογές και τα παραδείγµατα δεν αποτελούν εξεταστέα ύλη στις γραπτές εξετάσεις. Επίσης, στα θέµατα θεωρίας των γραπτών εξετάσεων, δεν πρέπει να ζητούνται οι αποδείξεις των προτάσεων που αναφέρονται στο βιβλίο χωρίς απόδειξη. Τέλος, το επαναληπτικό µέρος του βιβλίου που ανήκει σε πρόγραµµα προηγουµένων τάξεων, δεν αποτελεί εξεταστέα θεωρία. Η ύλη αυτή µπορεί βέβαια να χρησι- µοποιείται στις αποδείξεις θεωρηµάτων και στη λύση ασκήσεων. 9. Σε κάθε βιβλίο υπάρχει µεγάλη ποικιλία ασκήσεων από διάφορους τοµείς της ανθρώπινης δραστηριότητας, που καλύπτουν ένα µεγάλο φάσµα των δυνατοτήτων των µαθητών. Ο διδάσκων πρέπει κατά τη διδασκαλία µιας ενότητας να λαµβάνει υπόψη τις ατοµικές διαφορές των µαθητών και τα ιδιαίτερα γνωρίσµατα που µπορεί να έχει η τάξη του και κάθε φορά να επιλέγει τις κατάλληλες ασκήσεις τόσο για την κατανόηση της ενότητας, όσο και για την περαιτέρω εµβάθυνση της. Είναι βέβαια επιθυµητό, στα πλαίσια ενός ορθολογικού προγραµµατισµού της διδασκαλίας στο διαθέσιµο χρόνο, να µπορούν να λυθούν στην τάξη η στο σπίτι όσο το δυνατόν περισσότερες από τις ασκήσεις του σχολικού βιβλίου. Η πραγµατοποίηση του στόχου αυτού, σε καµιά περίπτωση δεν πρέπει να αποβεί σε βάρος της ολοκλήρωσης της διδασκαλίας της διδακτέας ύλης. Επισηµαίνεται ότι οι γενικές ασκήσεις και οι ασκήσεις Γ' οµάδας στο τέλος των κεφαλαίων και στο τέλος των βιβλίων, καθώς και τα θεωρητικά θέµατα που υπάρχουν στα παραρτήµατα των βιβλίων προορίζονται για µαθητές µε ιδιαίτερο ενδιαφέρον και δυνατότητες στα Μαθηµατικά. Για το λόγο αυτό δεν αποτελούν ύλη για εξέταση στις προφορικές ή γραπτές εξετάσεις των µαθητών. 13

14 Η επεξεργασία των ασκήσεων πρέπει να στηρίζεται σε «γνωστές» προτάσεις. Τέτοιες είναι όσες περιέχονται στη διδακτέα θεωρία και στις αντίστοιχες εφαρµογές που περιλαµβάνονται στα εγκεκριµένα διδακτικά βιβλία. Κάθε άλλη πρόταση που χρησιµοποιείται για τη λύση µιας άσκησης, πρέπει προηγουµένως να αποδεικνύεται. Κάθε απόδειξη (θεωρήµατος ή άσκησης) εφόσον στηρίζεται σε γνωστές προτάσεις είναι δεκτή, έστω και αν διαφέρει από εκείνη που υπάρχει στο διδακτικό βιβλίο. 11. Κάθε βιβλίο Μαθηµατικών συνοδεύεται από ξεχωριστό τεύχος µε τις λύσεις των ασκήσεων. Πρέπει να καταβληθεί ιδιαίτερη προσπάθεια από τους διδάσκοντες για τη σωστή χρησιµοποίηση του από τους µαθητές. Σχετικό προλογικό ση- µείωµα υπάρχει σε κάθε τεύχος λύσεων και είναι ανάγκη να αναλυθεί στους µαθητές το περιεχόµενό του. 1. Στο τέλος των περισσοτέρων κεφαλαίων των βιβλίων υπάρχουν ιστορικά σηµειώµατα που έχουν σκοπό να διεγείρουν το ενδιαφέρον και την αγάπη των µαθητών για τα Μαθηµατικά και να τους πληροφορήσουν για την ιστορική πορεία της µαθηµατικής σκέψης. Η αξιοποίηση των ιστορικών σηµειωµάτων στη διδασκαλία εξαρτάται σε µεγάλο βαθµό από τις πρωτοβουλίες και ιδέες που θα αναπτύξουν οι διδάσκοντες. Μια πρόταση που έχει µε επιτυχία δοκιµαστεί πειραµατικά σε άλλες χώρες, είναι διάθεση µιας διδακτικής ώρας µετά την ολοκλήρωση της ύλης ενός κεφαλαίου, για τη µελέτη του αντίστοιχου ιστορικού σηµειώµατος και ελεύθερη συζήτηση στην τάξη. Με αυτή την προοπτική έχουν γραφτεί ιδιαίτερα τα ι- στορικά σηµειώµατα για τη λογαριθµική συνάρτηση στο βιβλίο της Άλγεβρας της Β' Λυκείου. 13. Κατά τη διδασκαλία της Τριγωνοµετρίας και της Στατιστικής, οι διδάσκοντες πρέπει να ενθαρρύνουν τους µαθητές στη χρήση των υπολογιστικών µηχανών (calculators), ώστε να µη σπαταλάται χρόνος στη χρήση των τριγωνοµετρικών πινάκων και γενικότερα στον αριθµητικό λογισµό. Έτσι, θα έχουν τη δυνατότητα οι µαθητές, να ασχοληθούν µε µεγαλύτερη ποικιλία ασκήσεων και να διαθέσουν περισσότερο χρόνο στη διαδικασία λύσης των προβληµάτων και την ερµηνεία των αποτελεσµάτων. Είναι αυτονόητο, ότι το περιεχόµενο των ιστορικών σηµειω- µάτων, καθώς και τα σχετικά µε τις υπολογιστικές µηχανές, δεν αποτελούν ύλη για εξέταση.

15 15 B. ΜΕΘΟ ΟΙ Ι ΑΣΚΑΛΙΑΣ 1. Το «παραδοσιακό» διδακτικό µοντέλο και οι συνέπειές του. Από τις αρχές της δεκαετίας του '80, σε διεθνές επίπεδο, η Μαθηµατική Εκπαίδευση σταδιακά, αλλά συστηµατικά και µεθοδικά, υφίσταται µεταβολές που εκτείνονται σε όλες τις συνιστώσες της όπως για παράδειγµα στους σκοπούς και στους στόχους, στο περιεχόµενο, στις διδακτικές µεθόδους, στα είδη των δεξιοτήτων που πρέπει να αναπτύξουν οι µαθητές, στη διάρθρωση του Προγράµµατος Σπουδών και των διδακτικών βιβλίων, στις µεθόδους αξιολόγησης κτλ. Οι λόγοι που προκαλούν τις αλλαγές προκύπτουν τόσο από την εξέλιξη των σύγχρονων κοινωνιών και τον συνεχώς διευρυνόµενο ρόλο των νέων τεχνολογιών, όσο και από τα συµπεράσµατα των ερευνών της ιδακτικής των Μαθηµατικών σε ζητή- µατα Μαθηµατικής Εκπαίδευσης. Και στις δύο περιπτώσεις, οι συνέπειες συγκλίνουν στο να δούµε µε διαφορετικό τρόπο το ρόλο και τη θέση του καθηγητή των Μαθηµατικών µέσα στην τάξη, να δώσουµε ένα ευρύτερο περιεχόµενο στον όρο «ιδασκαλία των Μαθηµατικών» και να γίνουµε πιο ακριβείς στο τι µπορεί να σηµαίνει «Μαθαίνω Μαθηµατικά». Προκειµένου να γίνουµε πιο συγκεκριµένοι, ας ορίσουµε ως «παραδοσιακό» διδακτικό µοντέλο το ακόλουθο: Ο δάσκαλος των Μαθηµατικών αρχίζει τη διδασκαλία συνήθως µε την παρουσίαση µιας τεχνικής, ακολουθούν ασκήσεις για εξάσκηση και ασκήσεις και προβλήµατα για εφαρµογή. Το κέντρο βάρους ε- στιάζεται στην απόκτηση εκείνων ακριβώς των δεξιοτήτων που παρουσιάζει ο δάσκαλος στην τάξη, στην ταχύτητα και την ακρίβεια των απαντήσεων. Το µοντέλο λειτουργεί κάτω από την ακόλουθη υπόθεση: Το σύνολο των τεχνικών που διαθέτουν οι µαθητές για να λύνουν ασκήσεις είναι το σώµα των γνώσεων που πρέπει να κατέχουν. Εποµένως, η ευχέρεια στις τεχνικές αυτές εκφράζει το αν οι µαθητές έχουν µάθει τα Μαθηµατικά ή όχι. Στο µοντέλο αυτό η γνώση είναι προσωπική υπόθεση του κάθε µαθητή, ο οποίος εργάζεται µόνος του, και είναι ανεξάρτητη

16 16 από αυτόν. ηλαδή, ο µαθητής και η γνώση είναι δύο «πράγµατα» ξεχωριστά, εποµένως ο µαθητής δεν µπορεί να την επηρεάσει, το µόνο που του αποµένει είναι να τη µάθει. Τέλος, το πρόβληµα και ιδιαίτερα η Λύση Προβλήµατος, που αποτελεί την ουσία της Μαθηµατικής γνώσης, στο µοντέλο αυτό έχει έναν συγκεκριµένο και περιορισµένο χαρακτήρα, αποτελεί κριτήριο µάθησης: «Σου διδάσκω για παράδειγµα έναν αλγόριθµο και µετά, προκειµένου να διαπιστώσω αν τον έµαθες, θα πρέπει να είσαι ικανός να λύσεις µερικές ή και όλες τις ασκήσεις και τα προβλήµατα που βρίσκονται στο τέλος κάθε ενότητας ή κεφαλαίου». Η πρόσφατη έρευνα έχει αναδείξει τα σηµαντικά προβλήµατα που παρουσιάζει το «παραδοσιακό» διδακτικό µοντέλο. Για παράδειγµα, έχει διαπιστωθεί ότι η µακρόχρονη «θητεία» στην παραδοσιακή διδασκαλία προκαλεί την ανάπτυξη των ακόλουθων στάσεων και πεποιθήσεων στους µαθητές: Όλα τα προβλήµατα µπορούν να λυθούν το πολύ σε δέκα λεπτά. Αν δεν µπορέσεις να λύσεις ένα πρόβληµα σε δέκα λεπτά, τότε δεν µπορείς να το λύσεις, εποµένως πάψε να ασχολείσαι µε αυτό. Μετά από χρόνια αποµνηµόνευσης αλγορίθµων, κανόνων και τύπων, οι µαθητές θεωρούν τους εαυτούς τους ως παθητικούς δέκτες γνώσεων, που άλλοι πολύ πιο έξυπνοι από αυτούς τις έχουν βρει. Για πολλούς µαθητές, ιδιαίτερα όταν ασχολούνται µε τη Θεωρητική Γεωµετρία, η απόδειξη δεν είναι τίποτε άλλο παρά µία «τελετουργική» δραστηριότητα που έχει σκοπό να επιβεβαιώσει αυτό που ήδη είναι γνωστό χιλιάδες χρόνια πριν! Τα Μαθηµατικά δεν έχουν σχέση µε τον πραγµατικό κόσµο. Στο σηµείο αυτό πρέπει να υπενθυµίσουµε και την άποψη του Lakatos: «εν έχει γίνει επαρκώς αντιληπτό ότι η τρέχουσα µαθηµατική και επιστηµονική εκπαίδευση είναι το θερµοκήπιο ενός ύφους αυθεντίας και ο χειρότερος εχθρός της ανεξάρτητης και κριτικής σκέψης». Βλέπουµε λοιπόν ότι στις περισσότερες περιπτώσεις τα αποτελέσµατα της διδασκαλίας είναι ακριβώς τα αντίθετα από τους στόχους και τις επιδιώξεις µας. Η κατάσταση αυτή δεν είναι µόνον ελληνικό φαινόµενο. Είναι µια γενική διαπίστωση που παρουσιάζεται στις περισσότερες χώρες. Με ποιον τρόπο µπορούµε να αντιµετωπίσουµε την κατάσταση; Με ποιον τρόπο θα δώσουµε µια ισορροπηµένη εικόνα στους µαθητές µας και στο κοινωνικό σύνολο γενικότερα, για το

17 17 τι µπορούµε να κάνουµε µε τα Μαθηµατικά; Με ποιον τρόπο θα αποφύγουµε αντιλήψεις όπως: «Ο δάσκαλος γνωρίζει την απάντηση αλλά µας δίνει το πρόβληµα για να δει αν µπορούµε να τη βρούµε και εµείς»;. Προτάσεις για πιο «ενεργητικές» διδασκαλίες. Θα πρέπει να επισηµάνουµε από την αρχή ότι δεν υπάρχει ένα συγκεκριµένο µοντέλο διδασκαλίας το οποίο µας δίνει τη δυνατότητα να αποφύγουµε τις προηγούµενες «δυσάρεστες» καταστάσεις. Αντίθετα, υπάρχουν κάποιες γενικές αρχές µε τις οποίες µπορούµε να συγκροτήσουµε κατάλληλα µοντέλα διδασκαλίας. Μια σύγχρονη αντίληψη για τον τρόπο µε τον οποίο µαθαίνουν οι µαθητές, βασίζεται στις ακόλουθες παραδοχές: Η γνώση δε «µεταφέρεται» από το δάσκαλο στο µαθητή. Α- ντίθετα, η γνώση και ο µαθητής, είναι έννοιες αλληλοσυνδεόµενες: Ο µαθητής συµµετέχει ενεργά στην οικοδόµηση-ανάπτυξη της γνώσης του (Η υπόθεση της κατασκευής της γνώσης). Η αρχή αυτή δέχεται ότι ο κάθε µαθητής έχει το δικό του προσωπικό τρόπο πρόσβασης στη γνώση και βρίσκεται σε κατευθείαν αντίθεση µε την αντίστοιχη αρχή του «παραδοσιακού» µοντέλου, ότι ο µαθητής και η γνώση είναι δύο ξεχωριστές έννοιες. Η διαδικασία της µάθησης εξαρτάται από την ήδη υπάρχουσα γνώση: Κάθε τι που µαθαίνω εξαρτάται από το τί γνωρίζω. Εποµένως, ο δάσκαλος των Μαθηµατικών πρέπει να είναι ενήµερος για το γεγονός ότι θα υπάρχουν στην τάξη του µαθητές που δεν έχουν κατανοήσει τις προηγούµενες έννοιες προκειµένου να συµµετάσχουν στο νέο µάθηµα, και ότι θα υπάρχουν µαθητές που έχουν οικοδοµήσει µε λάθος τρόπο τις προηγούµενες γνώσεις. Και στις δύο περιπτώσεις θα συναντήσει δυσκολίες στην εξέλιξη του νέου µαθήµατος. Υπάρχει µια συνεχής αλληλεπίδραση ανάµεσα στο προσωπικό νόηµα, που οικοδοµεί ο κάθε µαθητής, και στην κοινωνική διάσταση της γνώσης στα πλαίσια της σχολικής τάξης. Τα προσωπικά νοήµατα συζητούνται µέσα στην τάξη προκειµένου να οµογενοποιηθούν και να γίνουν συµβατά και συνεπή µε ό,τι δέχεται η µαθηµατική κοινότητα (Η υπόθεση της αλληλεπίδρασης ή διάδρασης).

18 18 Προκειµένου να γίνει πραγµατικότητα η αρχή αυτή θα πρέπει η σχολική τάξη να λειτουργεί ως µικρή «µαθηµατική κοινότητα -εργαστήριο». 'Οποιος δάσκαλος των Μαθηµατικών αποδεχθεί τις αρχές αυτές, θα πρέπει να δει µε έναν διαφορετικό τρόπο τη θέση και το ρόλο του µέσα στην τάξη. Για παράδειγµα, θα πρέπει να οργανώνει την τάξη έτσι, ώστε µέσα από κατάλληλες δραστηριότητες να δώσει τη δυνατότητα και την ευκαιρία στους µαθητές του να οικοδοµήσουν τη γνώση, και παράλληλα να ελαττώσει το χρόνο που αφιερώνει για την παρουσίαση, από τον ίδιο, θεµάτων και εννοιών. Ουσιαστικά, η αποδοχή των παραπάνω αρχών µας οδηγεί στην υιοθέτηση «ενεργητικών µεθόδων» µάθησης. Με τον όρο αυτό εννοούµε µαθησιακές δραστηριότητες που περιλαµβάνουν ερευνητικές εργασίες, επίλυση προβληµάτων, εργασία σε µικρές οµάδες µαθητών. Τέτοιες δραστηριότητες µπορεί να είναι προσεκτικά σχεδιασµένα προβλήµατα που να οδηγούν τους µαθητές να κάνουν υποθέσεις και εικασίες, να ελέγχουν τις υποθέσεις τους, να παρατηρούν και να αναπτύσσουν ένα µοντέλο, να ακολουθούν προσεγγιστικές και αριθµητικές µεθόδους, να «µεταφράζουν» ένα µοντέλο από ένα αναπαραστασιακό σύστηµα σε ένα άλλο, για παράδειγµα από γλωσσική περιγραφή σε αλγεβρικό τύπο, από αλγεβρικό τύπο σε γραφική παράσταση, από πίνακα τιµών σε αλγεβρικό τύπο κτλ. Με τον ίδιο όρο εννοούµε επίσης, την ανάπτυξη µίας στάσης για ενεργητική νοητική δραστηριότητα, σε αντίθεση µε την παθητική που χαρακτηρίζεται από την αποµνηµόνευση και την εξάσκηση. Το ζητούµενο είναι η ανάπτυξη µιας ενεργητικής και ερευνητικής στάσης των µαθητών ως προς τα Μαθηµατικά. Η αποδοχή αυτού του στόχου τοποθετεί σε κεντρική θέση το πρόβληµα και τις διαδικασίες Λύσης Προβλήµατος. Συµπληρώνουµε λοιπόν τις προηγούµενες παραδοχές και µε την ακόλουθη: Το Πρόβληµα είναι «πηγή» νοήµατος της µαθηµατικής γνώσης. Τα αποτελέσµατα των νοητικών διεργασιών συνιστούν γνώση, µόνον όταν αποδειχθούν επαρκή και αξιόπιστα στην επίλυση προβληµάτων. (Η επιστηµολογική υπόθεση). Σύµφωνα µε την παραδοχή αυτή, το πεδίο «δοκιµασίας» της γνώσης ενός µαθητή είναι η επίλυση προβληµάτων και όχι η εξέταση αλγορίθµων, κανόνων και τύπων. Γενικότερα, κάθε δάσκα-

19 19 λος των Μαθηµατικών θα πρέπει να έχει υπόψη του ότι µε τα προβλήµατα: ικαιολογούµε την ίδια τη διαδικασία της διδασκαλίας, αποκαλύπτοντας την αξία και τη χρησιµότητα των Μαθηµατικών. ίνουµε κίνητρα στους µαθητές να ενδιαφερθούν για τα Μαθηµατικά. Εισάγουµε καλύτερα καινούριες έννοιες ή διδακτικές ενότητες. Βοηθούµε τους µαθητές να αναπτύξουν τις γνώσεις τους µε πιο αποτελεσµατικό τρόπο. Ελέγχουµε το βαθµό κατανόησης των µαθητών στις µαθηµατικές έννοιες. Αν τώρα επιχειρούσαµε να δώσουµε απάντηση στο ερώτηµα «τι σηµαίνει µαθαίνω Μαθηµατικά» θα µπορούσαµε να πούµε ότι «µαθαίνω Μαθηµατικά» σηµαίνει: Μαθαίνω τους αλγόριθµους και τις αποδεικτικές διαδικασίες. Μαθαίνω να διακρίνω σε ποια περίπτωση θα χρησιµοποιώ τον κάθε αλγόριθµο και την κατάλληλη αποδεικτική διαδικασία. Μαθαίνω να χρησιµοποιώ τους αλγόριθµους και τις αποδεικτικές διαδικασίες στην επίλυση προβληµάτων. Μαθαίνω να σκέπτοµαι µε µαθηµατικό τρόπο, δηλαδή να οικοδοµώ τη µαθηµατική δοµή ενός θέµατος ή µιας έννοιας και να εκφράζω τις σκέψεις µου µε τη γλώσσα και τα σύµβολα των Μαθηµατικών. 3. Προτάσεις για το σχεδιασµό διδασκαλίας Ένα από τα βασικά ζητήµατα της διδασκαλίας των Μαθηµατικών είναι ο τρόπος µε τον οποίο ο δάσκαλος µπορεί να βοηθήσει τους µαθητές του να κατασκευάσουν ιδέες και έννοιες που η µαθηµατική κοινότητα χρειάστηκε εκατοντάδες ή χιλιάδες χρόνια να αναπτύξει. Ταυτόχρονα, η εργασία του δασκάλου και αυτή του µαθητή χαρακτηρίζονται από αντίθετες τροχιές. Έτσι, από τη µια µεριά ο δάσκαλος θα πρέπει να τοποθετήσει τη γνώση σε κατάλληλα, οικεία για το µαθητή, πλαίσια, να την «προσωποποιήσει» κατά κάποιο τρόπο, ενώ από την άλλη ο µαθητής θα πρέπει να κάνει την αντίθετη τροχιά όπου από τα συγκεκριµένα πλαίσια µε διαδοχικές αφαιρέσεις και γενικεύσεις, θα κατακτήσει τη µαθηµατική δοµή του θέµατος. Τα «εργαλεία» µε τα οποία υλοποιούµε κάθε σχεδιασµό είναι τα προβλήµατα, µε τα οποία συνθέτουµε την υποθετική µαθησιακή τροχιά του µαθητή, δηλαδή την πρόβλεψη που κάνουµε για τον τρόπο µε τον οποίο θα

20 0 θέλαµε να «µετακινηθεί» η σκέψη του µαθητή προκειµένου να αναπτυχθεί η µάθηση, Ο σχεδιασµός που προτείνουµε αναφέρεται σε µια ολόκληρη διδακτική ενότητα, στην οποία θα έχουµε επισηµάνει τον κύριο στόχο, και µόνο µέσα από αυτό το σχεδιασµό αποκτά νόηµα ένα συγκεκριµένο µάθηµα. Ο σχεδιασµός µπορεί να έχει τρία µέρη. Στο πρώτο µέρος δίνουµε ένα πρόβληµα-ένα ερώτηµα, η επίλυση ή η απάντηση του οποίου θα οδηγήσει στην αναγκαιότητα της εισαγωγής της έννοιας που θέλουµε να διδάξουµε. Λέγοντας «επίλυση» στο µέρος αυτό, εννοούµε ότι οι µαθητές θα το προσεγγίσουν διαισθητικά προκειµένου να αναπτύξουν εικασίες ή υποθέσεις τις οποίες στη συνέχεια θα επιχειρήσουν να τις ελέγξουν επίσης διαισθητικά - εµπειρικά. Η ανάπτυξη εικασιών και υποθέσεων και η τάση για τον έλεγχο τους είναι ένα σαφές µήνυµα ότι έχουν αρχίσει να διαµορφώνουν την ενεργητική και ερευνητική στάση ως προς τα Μαθηµατικά. Μόνον αφού έχουν βρει τα δικά τους αποτελέσµατα και έχουν αναπτύξει τις εικασίες τους, οι µαθητές αρχίζουν να αναγνωρίζουν την αναγκαιότητα της γενίκευσης και της απόδειξης. Για την ακρίβεια, όταν οι µαθητές βρουν τα δικά τους αποτελέσµατα, τότε η απόδειξη µπορεί πραγµατικά να θεωρηθεί σηµαντική - γιατί τότε έχουµε ανάγκη να πειστούµε για πράγµατα που δεν είµαστε βέβαιοι, ενώ στις περισσότερες περιπτώσεις στο σχολείο παρουσιάζονται αποδείξεις για αποτελέσµατα που οι µαθητές θεωρούν ότι κανείς δεν µπορεί να έχει αµφιβολία! Στο δεύτερο µέρος θα γίνει η µετάβαση από τις εµπειρικές - διαισθητικές αντιλήψεις σε «αποδεικτικές» µεθόδους, χωρίς η έννοια της απόδειξης να παραπέµπει απαραίτητα στις γνωστές τυπικές µαθηµατικές µεθόδους. Αυτό εξαρτάται από το επίπεδο των µαθητών που αναφερόµαστε και το στόχο που έχουµε. Σε κάθε περίπτωση, το δεύτερο µέρος έχει σκοπό να αποσπάσει τη σκέψη του µαθητή από τα πλαίσια του συγκεκριµένου προβλήµατος και να τον εισάγει στη µαθηµατική δοµή του θέµατος που διαπραγµατεύεται. Στο τρίτο µέρος θεωρείται γνωστή η έννοια που διδάχθηκε και την οποία χρησιµοποιούµε για να λύσουµε προβλήµατα και εφαρ- µογές. Το µέρος αυτό χρησιµεύει στο να διευρύνει τις εµπειρίες των µαθητών για το πεδίο εφαρµογής της έννοιας. Γι' αυτό το λόγο θα πρέπει να γίνεται εδώ ένα είδος ανασκόπησης. Με τον όρο «ανασκόπηση» εννοούµε τη συζήτηση στο τέλος του µαθήµατος, όπου θα συνοψίζονται οι εφαρµογές της έννοιας έτσι όπως προκύψουν από τα προβλήµατα που λύθηκαν και θα συνδέεται η έννοια µε εκφράσεις της καθηµερινής γλώσσας, όπου αυτό είναι εφι-

21 1 κτό, νια παράδειγµα «οι συναρτήσεις του ηµίτονου και συνηµίτονου είναι κατάλληλες για να περιγράφουµε περιοδικά φαινόµενα». Από όσα έχουµε αναφέρει µέχρι τώρα είναι φανερό ότι ένα µεγάλο µέρος της προσοχής µας εστιάζεται στην επίλυση προβληµάτων. Όµως, µε τον όρο «πρόβληµα» δεν εννοούµε µόνον τα γνωστά προβλήµατα των σχολικών βιβλίων αλλά και τα λεγό- µενα «ανοικτά προβλήµατα». Γενικά, θα ονοµάσουµε ανοικτό το πρόβληµα που µπορεί να ερµηνευτεί µε πολλούς τρόπους και εποµένως δέχεται διαφορετικές λύσεις. Το γεγονός αυτό αναγκάζει το µαθητή να πάρει πρωτοβουλίες κατά τη διάρκεια της επίλυσης του. Για παράδειγµα, το πρόβληµα «Να σχεδιάσετε µια εκδροµή του σχολείου σας µε λεωφορεία» είναι ανοικτό. Αντίθετα, το πρόβληµα «Να βρείτε πόσα λεωφορεία θα χρειαστούν για να µετακινηθούν 300 µαθητές ενός σχολείου, όταν το κάθε λεωφορείο χωράει 50 µαθητές», είναι ένα κλειστό τυπικό σχολικό πρόβληµα. Σε πολλές περιπτώσεις, µια διαφορετική διατύπωση είναι αρκετή για να εισάγει ένα βαθµό πρωτοβουλίας στους µαθητές. Έτσι, αντί στο παρακάτω τρίγωνο να ζητήσουµε για παράδειγµα «να υπολογίσετε την πλευρά ΑΒ», η ερώτηση µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: «στο ακόλουθο σχήµα να υπολογίσετε όσα στοιχεία του τριγώνου µπορείτε. Φυσικά, τα όσα αναφέραµε αποτελούν µόνον νύξεις για το ενδιαφέρον αίτηµα του «ανοικτού προβλήµατος» και το ρόλο του στη διαδικασία της µάθησης. Από την άλλη µεριά, είναι σαφές ότι οι πιο πολλές ασκήσεις και τα προβλήµατα των σχολικών Βιβλίων είναι κλειστά. Όµως το να δίνουµε αερικές φορές, στους µαθητές µας ανοικτές δραστηριότητες αντί νια ασκήσεις των δύο ή τριών λεπτών, είναι ένα βήµα προς τη µεταφορά της υπευθυνότητας της διαδικασίας της µάθησης από το δάσκαλο στο µαθητή.

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 33 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΙΕΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1).

. Ερωτήσεις διάταξης. να διαταχθούν από τη µικρότερη προς τη µεγαλύτερη οι τιµές: f (3), f (0), f (-1), f (5), f (-2), f ( ), f (1). . Ερωτήσεις διάταξης. Οι συναρτήσεις f (x) = x, g (x) = x, h (x) = x, φ (x) = 3x, ρ (x) = 5x, t (x) = 7x έχουν κοινό πεδίο ορισµού το Α = [- 3, 3]. Να γράψετε τις συναρτήσεις σε µια σειρά έτσι ώστε η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Γραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις στα Μαθηµατικά Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος, ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Για τον υπολογισµό του βαθµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Παναγάκος Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Δημοτικής Εκπαίδευσης Βασικοί Στόχοι ενός Προγράμματος Σπουδών Ένα πρόγραμμα σπουδών επιδιώκει να επιτύχει δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα

Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά. Ε. Κολέζα Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας ενότητας στα Μαθηµατικά Ε. Κολέζα Α. Θεωρητικές αρχές σχεδιασµού µιας µαθηµατικής ενότητας: Βήµατα για τη συγγραφή του σχεδίου Β. Θεωρητικό υπόβαθρο της διδακτικής πρότασης

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422

----- Ταχ. Δ/νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180 Μαρούσι Ιστοσελίδα: www.minedu.gov.gr Πληροφορίες: Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο: 210-3443422 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά.

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. Γ. Οι μαθητές και τα Μαθηματικά. Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. ΠΙΝΑΚΑΣ 55 Στάση

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

210-344 3306 E-mail: t09tee07@minedu.gov.gr

210-344 3306 E-mail: t09tee07@minedu.gov.gr ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Β' Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ.-Πόλη: 15180 Μαρούσι ΠΡΟΣ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Μέτης Στέφανος Μπρουχούτας Κων/νος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού

Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων

Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά. Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Γράφοντας ένα σχολικό βιβλίο για τα Μαθηματικά Μαριάννα Τζεκάκη Αν. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Μ. Καλδρυμίδου Αν. Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Εισαγωγή Η χώρα μας απέκτησε Νέα Προγράμματα Σπουδών και Νέα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΤΠΕ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞ ΑΡΙΣΤΕΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚ ΔΕΞΙΩΝ ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: ΚΟΥΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ»

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΑΘΗΝΑ 1999 Οµάδα σύνταξης Συντονιστής: Γεώργιος Κιούσης,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01

Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών. Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πανεπιστημίου Πατρών Αθανασία Μπαλωμένου ΠΕ03 Βασιλική Ρήγα ΠΕ03 Λαμπρινή Βουτσινά ΠΕ04.01 Τα ερωτήματα που προκύπτουν από την εισαγωγή της Φυσικής στην Α γυμνασίου είναι :

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano»

«Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano» «Χρήση εκπαιδευτικού λογισμικού για τη διδασκαλία του θεωρήματος του Bolzano» Ιορδανίδης Ι. Φώτιος Καθηγητής Μαθηματικών, 2 ο Γενικό Λύκειο Πτολεμαΐδας fjordaneap@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το θεώρημα του Bolzano

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: ΔΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Σκοπός του Μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΦΑΚΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΦΑΚΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΦΑΚΕΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθηµα: Εφαρµοσµένη ιδακτική των Φυσικών Επιστηµών (Πρακτικές Ασκήσεις Γ Φάσης) ΜΙΧΑΗΛ ΣΚΟΥΜΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 2015-2016 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

α. η παροχή γενικής παιδείας, β. η καλλιέργεια των δεξιοτήτων του μαθητή και η ανάδειξη των

α. η παροχή γενικής παιδείας, β. η καλλιέργεια των δεξιοτήτων του μαθητή και η ανάδειξη των ΔΕΠΠΣ ΑΠΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ α. η παροχή γενικής παιδείας, β. η καλλιέργεια των δεξιοτήτων του μαθητή και η ανάδειξη των ενδιαφερόντων του, γ. η εξασφάλιση ίσων ευκαιριών και δυνατοτήτων μάθησης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Ακαδημαϊκό Έτος 2013-14. ΠΜΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 6 η

Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Ακαδημαϊκό Έτος 2013-14. ΠΜΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 6 η Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Ακαδημαϊκό Έτος 2013-14 ΠΜΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ 6 η Νέες Τεχνολογίες Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργασία στο Μαθήμα Σχεδίαση Εκπαιδευτικού

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ

Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Διδακτική της Πληροφορικής ΙΙ Ομάδα Γ Βότσης Ευστάθιος Γιαζιτσής Παντελής Σπαής Αλέξανδρος Τάτσης Γεώργιος Προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι αρχάριοι προγραμματιστές Εισαγωγή Προβλήματα Δυσκολίες Διδακτικό

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες

Η διάρκεια πραγματοποίησης της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής ήταν 2 διδακτικές ώρες ΣΧΟΛΕΙΟ Η εκπαιδευτική πρακτική αφορούσε τη διδασκαλία των μεταβλητών στον προγραμματισμό και εφαρμόστηκε σε μαθητές της τελευταίας τάξης ΕΠΑΛ του τομέα Πληροφορικής στα πλαίσια του μαθήματος του Δομημένου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές)

Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές) Διδακτικές Τεχνικές (Στρατηγικές) Ενδεικτικές τεχνικές διδασκαλίας: 1. Εισήγηση ή διάλεξη ή Μονολογική Παρουσίαση 2. Συζήτηση ή διάλογος 3. Ερωταποκρίσεις 4. Χιονοστιβάδα 5. Καταιγισμός Ιδεών 6. Επίδειξη

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω η συνάρτηση f() = 80 αν < < 0 αν 0 αν i ) Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης Α = f( ) + f(0) 5f() f + f( ) Αν Μ(, ) και Ν(, 0) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΜΝ i

Διαβάστε περισσότερα