ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ"

Transcript

1 ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΦΟΥΝΤΟΥΚΙΔΗΣ Γ. ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΔΡ. ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΣ ΑΘΗΝΑ 011

2 ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Οι σπουδές στα ΤΕΙ οργανώνονται με βάση τα εξάμηνα. Κάθε διδακτικό έτος περιλαμβάνει δύο εξάμηνα, το χειμερινό και το εαρινό. Κάθε διδακτικό εξάμηνο περιλαμβάνει 15 εβδομάδες για διδασκαλία και δύο εξεταστικές περιόδους Α και Β, διάρκειας δύο εβδομάδων η κάθε μία. Για τα χειμερινά εξάμηνα η Α εξεταστηκή διενεργείται στο διάστημα Ιανουάριος-Φεβρουάριος και η Β τον Σεπτέμβριο. Για τα εαρινά εξάμηνα η Α εξεταστική γίνεται τον Ιούνιο και η Β τον Σεπτέμβριο. Σε κάθε περίπτωση, εάν ο αριθμός των ωρών διδασκαλίας που πραγματοποιήθηκαν σε ένα μάθημα είναι μικρότερος των 13 εβδομάδων για όλο το εξάμηνο, το μάθημα αυτό θεωρείται ότι δεν διδάχτηκε. Για την επιτυχή παρακολούθηση εργαστηριακού μαθήματος ή του εργαστηριακού μέρους μεικτού μαθήματος απαιτείται ο σπουδαστής να έχει διεξαγάγει με επιτυχία το 80% των ασκήσεων που πραγματοποιήθηκαν κατά την διάρκεια του εξαμήνου. Η κλίμακα βαθμολογίας είναι Ο σπουδαστής θεωρείται ότι περάτωσε επιτυχώς θεωρητικό ή εργαστηριακό μάθημα, καθώς και θεωρητικό ή εργαστηριακό μέρος μικτού μαθήματος εάν επιτύχει βαθμό τουλάχιστον 5. Σε περίπτωση επιτυχούς παρακολούθησης ενός μόνο μέρους μεικτού μαθήματος, ο βαθμός του μέρους αυτού κατοχυρώνεται και το μάθημα επαναλαμβάνεται μόνο ως προς το άλλο μέρος. Ο τελικός βαθμός μεικτού μαθήματος προκύπτει από τον συνυπολογισμό των βαθμών του θεωρητικού και εργαστηριακού μέρους, με συντελεστές που κυμαίνονται μεταξύ 0,40 και 0,60 και έχουν άθροισμα 1. ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ Τα μαθήματα της Χημικής Τεχνολογίας και της περιβαλλοντικής Χημείας είναι μεικτά και διδάσκονται στο πρώτο εξάμηνο των Τμημάτων Μηχανολογίας και Πολιτικών Δομικών Έργων αντίστοιχα. Περιλαμβάνουν το Θεωρητικό μέρος και το Εργαστηριακό μέρος. Επίσης για την υποστήριξη του μαθήματος προβλέπεται και Φροντιστήριο. ΘΕΩΡΙΑ: Απαιτούνται 13 τουλάχιστον εβδομάδες μαθημάτων για να θεωρηθεί ότι το μάθημα έχει διδαχθεί. Αν για οποιοδήποτε λόγο δεν γίνουν 13 μαθήματα τότε δεν πραγματοποιούνται οι εξετάσεις και το μάθημα επαναλαμβάνεται σε επόμενο εξάμηνο. Ο βαθμός για την θεωρία προκύπτει από μία γραπτή εξέταση κατά την διάρκεια των εξεταστικών περιόδων.

3 3 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ: Απαιτούνται 13 τουλάχιστον εβδομάδες μαθημάτων για να θεωρηθεί ότι το εργαστήριο έχει διδαχθεί. Αν για οποιοδήποτε λόγο δεν γίνουν 13 μαθήματα τότε το εργαστήριο χάνεται για όλους και επαναλαμβάνεται σε επόμενο εξάμηνο. Στο εργαστήριο λαμβάνονται παρουσίες. Πρακτικά ο σπουδαστής αποτυγχάνει στο εργαστήριο αν έχει περισσότερες από δύο απουσίες. ΠΡΟΣΟΧΗ : Λόγω της επικινδυνότητας συσκευών, διεργασιών και ουσιών απαιτείται η προσοχή των σπουδαστών και η πιστή εφαρμογή των οδηγιών που δίνουν οι καθηγητές για την αποφυγή ατυχημάτων. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ: Υποστηρίζει την θεωρία και το εργαστήριο. Λύνονται ασκήσεις και θέματα παρόμοια με τα θέματα των εξετάσεων στην θεωρία και των διαγωνισμάτων στα εργαστήρια και δίνονται απαντήσεις σε απορίες σπουδαστών. Το φροντιστήριο είναι προαιρετικό και δεν καταλήγει σε αξιολόγηση της επίδοσης των σπουδαστών. Υποχρεώσεις των σπουδαστών και διαδικασία αξιολόγησης στο Εργαστήριο Οι σπουδαστές γνωρίζουν την σειρά εκτέλεσης των εργαστηριακών ασκήσεων και οφείλουν να έχουν μελετήσει την άσκηση που πρόκειται να πραγματοποιηθεί. Στην έναρξη του εργαστηριακού διώρου γίνεται σύντομη παρουσίαση της άσκησης και απαντώνται ερωτήσεις σπουδαστών. Στη συνέχεια οι σπουδαστές, χωρισμένοι σε ομάδες, εκτελούν το πειραματικό μέρος της άσκησης. Οι σπουδαστές πρέπει να παραδίδουν για κάθε εργαστηριακό μάθημα γραπτή εργασία σε τετράδιο μεγέθους Α4, ή σε φάκελο εάν η εργασία είναι γραμμένη σε Η/Υ. Στο εξώφυλλο θα υπάρχουν τα στοιχεία του σπουδαστή: Ονοματεπώνυμο, Αριθμός Μητρώου, Τμήμα (πχ Μηχανολογίας), Εργαστηριακό δίωρο (πχ Τρίτη 1-14) Η εργασία θα περιλαμβάνει: - Αριθμό, τίτλο εργαστηριακής άσκησης και ημερομηνία διεξαγωγής της. - Πειραματικό μέρος: Περιγραφή των πειραμάτων. Καταγραφή των πρωτογενών πειραματικών μετρήσεων σε πίνακες, όπου είναι δυνατόν. - Επεξεργασία μετρήσεων - Αποτελέσματα: Απαντήσεις σε όλα τα ερωτήματα του φυλλαδίου σημειώσεων για την αντίστοιχη εργαστηριακή άσκηση. Όπου ζητούνται διαγράμματα πρέπει να γίνονται σε χαρτί μιλιμετρέ, ή με Η/Υ. - Συμπεράσματα-Παρατηρήσεις κατά την διεξαγωγή της άσκησης, εάν προκύπτουν. Η παράδοση της άσκησης πρέπει να γίνεται στο αμέσως επόμενο εργαστηριακό μάθημα, διαφορετικά δεν θα γίνεται δεκτή. Οι εργασίες διορθώνονται και στο τέλος του διώρου οι σπουδαστές παραλαμβάνουν τα τετράδια. Αν στο τετράδιο υπάρχουν διαγραφές, ερωτηματικά ή παρατηρήσεις του καθηγητή, ο σπουδαστής πρέπει να διορθώσει τα μέρη της

4 4 εργασίας που έχουν πρόβλημα ή να ξαναγράψει την εργασία στην περίπτωση που δεν έγινε δεκτή και να την φέρει στο επόμενο εργαστήριο. Εάν κάποιος σπουδαστής δεν φέρει εργασία ή δεν κάνει τις διορθώσεις που του έχουν υποδειχθεί θα θεωρείται απών για την συγκεκριμένη άσκηση. Το τετράδιο εργασιών δεν βαθμολογείται χωριστά, αλλά η συνολική εικόνα του συμβάλλει στην διαμόρφωση του προφορικού βαθμού. Ο σπουδαστής θα πρέπει να είναι σε θέση να εξηγεί και να αιτιολογεί το περιεχόμενο των γραπτών εργασιών του κατά την προφορική εξέταση. Στην διάρκεια του εξαμήνου θα πρέπει ο σπουδαστής να έχει τουλάχιστον δύο προφορικές εξετάσεις. Η πρώτη θα γίνεται μεταξύ του 3 ου και του 5 ου εργαστηριακού μαθήματος, ενώ η δεύτερη μεταξύ του 7 ου και του προτελευταίου. Στην προφορική εξέταση, εξεταστέα ύλη είναι η ύλη όλων των προηγούμενων ασκήσεων καθώς και η ύλη της άσκησης που πραγματοποιείται την ημέρα της εξέτασης. Εάν με ευθύνη του σπουδαστή δεν υπάρχει δεύτερος προφορικός βαθμός, λαμβάνεται σαν δεύτερος το μηδέν. Υπάρχει δυνατότητα και τρίτης προφορικής εξέτασης για κάποιον που θέλει να βελτιώσει τον τελικό προφορικό του βαθμό, ο οποίος τότε προκύπτει από τον μέσο όρο των δύο καλλιτέρων. Η προφορική εξέταση γίνεται με διαφορετικό επιβλέποντα καθηγητή κάθε φορά. Ο τελικός βαθμός στο εργαστήριο διαμορφώνεται ως εξής: - Ο μέσος όρος των δύο καλλίτερων προφορικών βαθμών έχει συντελεστή βαρύτητας 30%. - Η 1 η γραπτή εξέταση (διάρκεια 0 λεπτά), στο 6 εργαστηριακό μάθημα, περιλαμβάνει την ύλη των ασκήσεων 1-5 και έχει συντελεστή βαρύτητας 30%. - Η τελική γραπτή εξέταση σε όλη την ύλη του εργαστηρίου (διάρκεια ώρες), στο τελευταίο μάθημα, έχει συντελεστή βαρύτητας 40%. Εάν κάποιος σπουδαστής έχει χάσει το εργαστήριο με βαθμό 4, μόνο για το αμέσως επόμενο εξάμηνο που θα διδαχθεί το μάθημα μπορεί, εάν δεν ξαναπαρακολουθήσει κανονικά το εργαστήριο: α) Να συμμετέχει μόνο στις δύο γραπτές εξετάσεις που θα έχουν συντελεστή βαρύτητας 50% η κάθε μία (δεν λαμβάνεται υπόψη ο προηγούμενος προφορικός βαθμός). β) Να παρακολουθήσει μόνο τις ασκήσεις τις οποίες θεωρεί ότι δεν έχει κατανοήσει και να συμμετέχει στις δύο γραπτές εξετάσεις. Στην περίπτωση αυτή η υποβολή εργασιών είναι προαιρετική. Ο βαθμός του υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως στην περίπτωση της α Εάν και πάλι ο σπουδαστής αποτύχει στο εργαστήριο με βαθμό μικρότερο του 4, στο επόμενο εξάμηνο πρέπει να παρακολουθήσει κανονικά το εργαστήριο. Εάν αποτύχει και πάλι με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4, μπορεί να ακολουθήσει ξανά

5 5 την διαδικασία των περιπτώσεων των α ή β. Ο τελικός βαθμός στο μάθημα της Χημικής Τεχνολογίας προκύπτει από τον μέσο όρο των βαθμών του εργαστηρίου και της θεωρίας με την προϋπόθεση ότι οι βαθμοί και στα δύο μέρη του μαθήματος είναι τουλάχιστον 5. Εάν ένας σπουδαστής περάσει το ένα μέρος του μαθήματος (θεωρία ή εργαστήριο) και αποτύχει στο άλλο, κατοχυρώνει τον βαθμό του μέρους του μαθήματος που πέρασε και στο επόμενο εξάμηνο παρακολουθεί μόνο το άλλο μέρος του μαθήματος.

6 6 Κανόνες Ασφαλείας 1. Κατά την χρήση χημικών ουσιών πρέπει να είναι γνωστές οι επικίνδυνες ιδιότητες της χημικής ουσίας και να λαμβάνονται τα κατάλληλα μέτρα προστασίας.. Προτού χρησιμοποιήσετε κάποιο αντιδραστήριο να διαβάζετε καλά την ετικέτα του. 3. Η χρήση αντιδραστηρίων που εκλύουν τοξικούς ατμούς γίνεται πάντα στον απαγωγό. 4. Μετά το τέλος κάθε εργασίας ή πειράματος να πλύνετε καλά με σαπούνι τα χέρια σας και να ξεπλύνετε με άφθονο νερό. 5. Να ξεπλένετε αμέσως και με άφθονο νερό τα μάτια ή τα χέρια σας μετά από επαφή με οποιοδήποτε αντιδραστήριο. 6. Σε περίπτωση προσβολής από οξύ: Πλύσιμο με άφθονο νερό, μετά με κορεσμένο διάλυμα όξινου ανθρακικού νατρίου και πάλι με άφθονο νερό. Σε περίπτωση δημιουργίας χημικού εγκαύματος η παραπάνω διαδικασία συμπληρώνεται με χρήση αντισηπτικού υγρού, στέγνωμα και επάλειψη με ειδική αλοιφή. 7. Σε περίπτωση προσβολής από αλκάλια: Πλύσιμο με άφθονο νερό, μετά με 1% οξικό οξύ ή βορικό οξύ και πάλι με νερό. Σε περίπτωση εγκαύματος ακολουθείται η ίδια με την παραπάνω συμπληρωματική διαδικασία. 8. Για προστασία των ματιών από κάθε είδους κίνδυνο πρέπει να φοράτε τα ειδικά προστατευτικά γυαλιά. 9. Να ενημερωθείτε για τη θέση των πυροσβεστήρων και την λειτουργία τους. 10. Εάν συμβεί ανάφλεξη υγρού χρησιμοποιείστε τον πυροσβεστήρα. 11. Εάν συμβεί ανάφλεξη των ρούχων σας τυλιχθείτε με την αντιπυρική κουβέρτα ή ένα βαρύ παλτό. Χρησιμοποιείστε, αν υπάρχει, τον καταιωνιστήρα νερού. 1. Να βεβαιώνεστε ότι οι ηλεκτρικές συσκευές είναι γειωμένες. 13. Να αναφέρετε οποιοδήποτε ατύχημα που συνέβη. 14. Να επιθεωρείτε το Εργαστήριο σχολαστικά πριν φύγετε από αυτό, να τακτοποιείτε τις συσκευές, τα σκεύη και τα αντιδραστήρια και να κλείνετε τους διακόπτες ρεύματος, υγραερίου, νερού.

7 7 ΑΣΚΗΣΗ 1 η ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Α. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ 1.1 Σφάλματα Κατά την παρασκευή ενός προϊόντος σε μια βιομηχανία, πολλά χαρακτηριστικά του προϊόντος διαφέρουν τόσο σε κάθε παρτίδα παραγωγής, όσο και στην ίδια παρτίδα ή σε κάθε συσκευασία. Οι διαφορές αυτές των χαρακτηριστικών οφείλονται σε πολλούς παράγοντες, όπως στην πρώτη ύλη, στη μέθοδο, τα μηχανήματα, την εξειδίκευση του προσωπικού κ.τ.λ.. Κατά τον ποιοτικό έλεγχο του προϊόντος παραγωγής μιας βιομηχανίας τα αποτελέσματα των αναλύσεων, ή των μετρήσεων, σπάνια συμφωνούν απόλυτα μεταξύ τους, παρόλο που χρησιμοποιείται η ίδια μέθοδος ανάλυσης ή μέτρησης ή αξιολόγησης. Κατά τον έλεγχο της περιεκτικότητας σε σίδηρο σε ένα ορυχείο σιδήρου, λαμβάνονται δείγματα του μεταλλεύματος από τυχαίες θέσεις και μετρείται η περιεκτικότητα. Παρατηρούμε ότι οι μετρήσεις διαφέρουν μεταξύ τους. Η διακύμανση των μετρήσεων οφείλεται σε πολλές αιτίες. Για παράδειγμα διαφορετικές τοποθεσίες μέσα στο ορυχείο αναμένεται να δίνουν διαφορετικά αποτελέσματα. Άλλες πιθανές αιτίες διακύμανσης μπορεί να οφείλονται στον αναλυτή (αν είναι περισσότεροι από ένας), ή στην ώρα της ημέρας που έγινε η μέτρηση (ένας εργαζόμενος αποδίδει καλύτερα στην αρχή του ωραρίου του παρά στο τέλος που είναι κουρασμένος) κλπ. Από τα ανωτέρω συνάγεται ότι στα αποτελέσματα των μετρήσεων υπεισέρχονται κάποια σφάλματα. Για να ελέγξουμε την ολική ποιότητα ενός προϊόντος ή την ακρίβεια των μετρήσεων πρέπει να καθορίσουμε το μέγεθος του σφάλματος που αναπόφευκτα υπάρχει σε κάθε μέτρηση. Στις περιπτώσεις αυτές εφαρμόζουμε στατιστικές μεθόδους για να μπορούμε να ελέγξουμε την αξιοπιστία των αποτελεσμάτων. Τα σφάλματα αναλόγως της προέλευσής των μπορεί να είναι : Τυχαία σφάλματα ( Random errors) : Οφείλονται σε παράγοντες που δε γνωρίζουμε ή που δεν μπορούμε να ελέγξουμε και γι αυτό τα ονομάζουμε τυχαία. Στην περίπτωση που έχουμε τυχαία σφάλματα οι μετρήσεις μας κατανέμονται ομοιόμορφα γύρω από τη μέση τιμή, ακολουθώντας την κανονική κατανομή (βλ ----). Η έννοια του τυχαίου σφάλματος είναι σχετική και εξαρτάται από την διαθέσιμη

8 8 μετρητική διάταξη. Για παράδειγμα σε ένα ζυγό ακριβείας τα τυχόν ρεύματα αέρα προκαλούν σφάλματα που τα θεωρούμε τυχαία. Αντίθετα σε έναν άλλο ζυγό ακριβείας, όπου ο δίσκος ζύγισης κλείνει με παραθυράκια, τα τυχόν ρεύματα αέρα δεν προκαλούν σφάλματα. Συστηματικά σφάλματα (Systematic errors) : Τα συστηματικά σφάλματα επηρεάζουν κατά το ίδιο μέτρο τις μετρήσεις μας, οι οποίες κατανέμονται γύρω από τη μέση τιμή, που είναι όμως διάφορη της πραγματικής. Αυτά τα σφάλματα οφείλονται (όπως άλλωστε δηλώνει και η ονομασία τους) σε κάποιο συστηματικό λάθος που γίνεται κατά τη διάρκεια του πειράματος. Για παράδειγμα το όργανο των μετρήσεων δεν έχει ρυθμιστεί σωστά και μας δίνει συνεχώς τιμές μεγαλύτερες ή μικρότερες της πραγματικής ή η πειραματική διαδικασία, αν και ορθή, δεν ακολουθείται επακριβώς ή η μεθοδολογία μέτρησης είναι αφ εαυτής λανθασμένη. Λοιπά σφάλματα (Gross errors) : Ονομάζονται όλα τα υπόλοιπα σφάλματα που μπορεί να οφείλονται σε σοβαρά λάθη που έγιναν κατά το πείραμα ή σε κάποιο ατύχημα, όπως η καταστροφή ενός κρίσιμου δείγματος ή η βλάβη ενός οργάνου. Είναι στην πλειοψηφία τους οφθαλμοφανή λάθη και ο μόνος τρόπος για να τα εξαλείψουμε είναι να ξανακάνουμε το πείραμα από την αρχή. 1. Συλλογή και παρουσίαση στατιστικών στοιχείων Η συλλογή των στατιστικών στοιχείων γίνεται με διάφορες μεθόδους, όπως η απογραφή και η δειγματοληψία. Στην απογραφή συγκεντρώνονται στοιχεία από όλες τις μονάδες του πληθυσμού που θέλουμε να μελετήσουμε σε μια χρονική περίοδο. Στη δειγματοληψία εξετάζουμε ένα μικρό μέρος (δείγμα) του πληθυσμού, το οποίο επιλέγουμε κατά τέτοιο τρόπο, ώστε οι πληροφορίες, οι εκτιμήσεις και τα συμπεράσματα που θα πάρουμε από αυτό, να έχουν ισχύ για όλο το σύνολο του πληθυσμού στον οποίον ανήκει το δείγμα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το δείγμα είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού. Ορίζουμε τις παρακάτω στατιστικές έννοιες: Πληθυσμός: Είναι το σύνολο των μετρήσεων ή γενικά των παρατηρήσεων, οι οποίες αναφέρονται σε ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα των μονάδων του συνόλου που εξετάζουμε. Για πειραματικές μετρήσεις, ο πληθυσμός θεωρητικά, είναι ο άπειρος αριθμός μετρήσεων που μπορούν να εκτελεστούν. Μεταβλητή: Είναι το χαρακτηριστικό ή η ιδιότητα των στατιστικών μονάδων ως προς τo οποίo εξετάζουμε ένα πληθυσμό. Για πειραματικές μετρήσεις είναι το

9 9 αριθμητικό αποτέλεσμα της πειραματικής μέτρησης, δηλαδή η πειραματική τιμή (xi) i=1,,...,ν Δείγμα: Η λήψη όλων των δυνατών τιμών μιας μεταβλητής (απογραφή) είναι δαπανηρή και πολλές φορές αδύνατη (πειραματικές μετρήσεις). Για το λόγο αυτό στην πράξη παίρνουμε έναν περιορισμένο αριθμό ν τιμών μιας μεταβλητής xi που ονομάζουμε δείγμα (το ν είναι το μέγεθος του δείγματος). Το δείγμα για να είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού από τον οποίο προέρχεται πρέπει να έχει επιλεγεί με επιστημονικές μεθόδους δειγματοληψίας. Η παρουσίαση των στατιστικών στοιχείων γίνεται με τους στατιστικούς πίνακες και με τα διαγράμματα. Η παρουσίαση των στατιστικών στοιχείων σε πίνακες γίνεται με την κατάλληλη τοποθέτηση των στατιστικών πληροφοριών σε στήλες και γραμμές, κατά τρόπο που να διευκολύνεται η σύγκριση των στοιχείων και η καλύτερη ενημέρωση για τη δομή του πληθυσμού που ερευνάται. Μετά τη συγκέντρωση των στατιστικών στοιχείων οι τιμές της μεταβλητής κατατάσσονται και ομαδοποιούνται συστηματικά. Σημαντικό βήμα στη στατιστική ανάλυση είναι η οργάνωση των στατιστικών δεδομένων με τη μορφή μιας κατανομής συχνοτήτων ή πίνακα συχνοτήτων. Για την κατασκευή του πίνακα συχνοτήτων τα δεδομένα ταξινομούνται σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις. Οι κλάσεις συνήθως έχουν το ίδιο εύρος και είναι διαστήματα κλειστά αριστερά και ανοικτά δεξιά δηλαδή [, ). Ο αριθμός των ομάδων μπορεί να ορίζεται αυθαίρετα από τον ερευνητή αλλά εξαρτάται από το μέγεθος του δείγματος. Καλό είναι να ακολουθείται ο παρακάτω πίνακας. Πίνακας 1.1: Πίνακας επιλογής αριθμού κλάσεων Μέγεθος δείγματος ν Αριθμός κλάσεων κ Μέγεθος δείγματος ν Αριθμός κλάσεων κ Μικρότερο του Αφού επιλεγεί ο αριθμός των κλάσεων προσδιορίζεται το εύρος κάθε κλάσης διαιρώντας το εύρος του δείγματος (ανώτερη κατώτερη τιμή) με τον αριθμό των κλάσεων. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τη κατανομή των μετρήσεων της πυκνότητας ενός διαλύματος 3Μ NaCl από μία ομάδα ν = 50 σπουδαστών σ ένα εργαστήριο.

10 10 Πίνακας 1.: Πίνακας κατανομής Συχνοτήτων α/α Πυκνότητα διαλύματος Αριθμός φοιτητών 3Μ NaCl (gr/ml) Συχνότητα ν i 1 1,09-1,10 4 1,10-1, ,11-1, ,1-1, ,13-1, ,14-1,15 5 Σν i = ν = 50 Εάν θέλαμε να συγκρίνουμε τα παραπάνω αποτελέσματα, με τα αποτελέσματα των μετρήσεων της πυκνότητας ενός διαλύματος 3Μ NaCl από μία άλλη ομάδα 10 σπουδαστών σ ένα άλλο εργαστήριο, τα αποτελέσματα που θα προέκυπταν από τους δύο πίνακες κατανομής συχνοτήτων, δεν θα ήταν άμεσα συγκρίσιμα. Ορίζουμε ένα άλλο στατιστικό μέγεθος, την σχετική συχνότητα (f i ), που δίνεται από την σχέση: ν i f i = (1.1) Σν i Ο Πίνακας 1. της κατανομής συχνοτήτων, μπορεί τώρα να πάρει τη παρακάτω μορφή, εάν τις τιμές της μεταβλητής που είναι σε τάξεις, τις αντικαταστήσουμε με τις κεντρικές τιμές κάθε τάξης και τις συχνότητες με τις σχετικές συχνότητες κάθε τάξης. Πίνακας 1.3: Πίνακας κατανομής Σχετικών Συχνοτήτων ή Πιθανότητας Πυκνότητα διαλύματος 3Μ NaCl (gr/ml) Κεντρικές τιμές x i Σχετική Συχνότητα ή Πιθανότητα f i 1,09-1,10 1,095 4:50 = 0,08 1,10-1,11 1,105 6:50 = 0,1 1,11-1,1 1,115 13:50 = 0,6 1,1-1,13 1,15 15:50 = 0,30 1,13-1,14 1,135 7:50 = 0,14 1,14-1,15 1,145 5:50 = 0,10 Σ f i = Σν i /ν = 1

11 11 Η σχετική συχνότητα ταυτίζεται με τη μαθηματική πιθανότητα. Αν εκτελέσουμε ένα πείραμα τύχης ν φορές και το ενδεχόμενο Α εμφανισθεί ν i φορές, τότε η πιθανότητα Ρ(Α) να εμφανισθεί το ενδεχόμενο Α είναι : i ( A) (1.) Επομένως ο Πίνακας 1.3 ονομάζεται και πίνακας κατανομής πιθανότητας. Τα διαγράμματα είναι καλύτερο μέσο παρουσίασης των στατιστικών στοιχείων, γιατί δίνουν στους αριθμούς συγκεκριμένη μορφή που μας διευκολύνει να έχουμε μία πλήρη εικόνα του φαινομένου που μελετάμε. Υπάρχουν πολλοί τύποι στατιστικών διαγραμμάτων όπως: Ιστοδιαγράμματα, Κυκλικά διαγράμματα, Ακιδωτά διαγράμματα, Αθροιστικά διαγράμματα κ.λ.π. Η γραφική απεικόνιση της κατανομής των Συχνοτήτων ν i δίνεται στο παρακάτω διάγραμμα: 0 ν i ,0 1,09 1,10 1,11 1,1 1,13 1,14 1,15 Πυκνότητα διαλύματος Χ Σχήμα 1.1 : Ιστόγραμμα Συχνοτήτων Η γραφική απεικόνιση της κατανομής Σχετικών Συχνοτήτων f i ή Πιθανότητας δίνεται στο παρακάτω διάγραμμα:

12 1 0,40 0,30 f i 0,0 0,10 0,0 1,09 1,10 1,11 1,1 1,13 1,14 1,15 Πυκνότητα διαλύματος Χ Σχήμα 1. : Ιστόγραμμα Σχετικών Συχνοτήτων Παρατηρούμε ότι η μορφή του διαγράμματος δεν αλλάζει, απλά στον άξονα των Ψ η συχνότητα ν i έχει αντικατασταθεί με την σχετική συχνότητα f i = ν i / ν. Εάν ενώσουμε τα μέσα της άνω πλευράς των ορθογωνίων που έχουν σχηματιστεί προκύπτει μια τεθλασμένη γραμμή που μπορεί να αντικαταστήσει διαγραμματικά το ιστόγραμμα. Η γραμμή αυτή δημιουργεί το λεγόμενο πολύγωνο συχνοτήτων. 0,4 0,3 f i 0, 0,1 0,0 1,09 1,10 1,11 1,1 1,13 1,14 1,15 Πυκνότητα διαλύματος Χ Σχήμα 1.3 : Το πολύγωνο συχνοτήτων

13 13 Επειδή το πολύγωνο συχνοτήτων δημιουργεί ίσα τρίγωνα, το συνολικό εμβαδόν των ορθογωνίων, είναι ίσο με το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της τεθλασμένης γραμμής και του άξονα των Χ. Στα δεδομένα του Πίνακα η μεταβλητή που εξετάσαμε (πυκνότητα διαλύματος) μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή ακέραια ή δεκαδική. Άρα πρόκειται για συνεχή μεταβλητή. Όταν το πλήθος των δεδομένων είναι αρκετά μεγάλο, το εύρος των τάξεων μπορεί να μικρύνει και η τεθλασμένη γραμμή της κατανομής συχνοτήτων τείνει να πάρει τη μορφή καμπύλης, η οποία ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων. Οι καμπύλες συχνοτήτων έχουν μεγάλη σημασία στη στατιστική, γιατί με αυτές εξάγονται χρήσιμα συμπεράσματα. 1.3 Μέτρα θέσης και διασποράς Μετά την παρουσίαση των στατιστικών δεδομένων προσπαθούμε να αντικαταστήσουμε το σύνολο των δεδομένων, με ορισμένους αντιπροσωπευτικούς αριθμούς, που συνοψίζουν τα χαρακτηριστικά των παρατηρήσεών μας. Μέσος όρος ( x ): Κατά την διεξαγωγή των μετρήσεων υπεισέρχονται ν αναπόφευκτα τυχαία σφάλματα και γι' αυτό τα αποτελέσματα χαρακτηρίζονται από κάποιο βαθμό αβεβαιότητας. Είναι γνωστό ότι στην πράξη η προσπάθεια να αναπαραχθεί μία μέτρηση οδηγεί σε διαφορετικό αποτέλεσμα. Γι' αυτό κατά την διεξαγωγή των πειραμάτων, λαμβάνεται μία σειρά μετρήσεων (δείγμα μεγέθους ν) και για να εξαλειφθεί κατά το δυνατό η επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων, το αποτέλεσμα εκφράζεται με τον μέσο όρο : x x1 x x3... x xi (1.3) Διακύμανση (S ) : Διακύμανση ενός πλήθους παρατηρήσεων ονομάζεται το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιμών της μεταβλητής από το μέσο όρο της, διαιρούμενο με ν-1. Η διακύμανση εκφράζεται σε μονάδες, οι οποίες είναι τα τετράγωνα των αρχικών μονάδων της μεταβλητής. Για παράδειγμα αν η μεταβλητή εκφράζεται σε εκατοστά, η διακύμανση εκφράζεται σε εκατοστά στο τετράγωνο. Η διακύμανση δίνεται από το τύπο : S = xi x v 1 (1.4) Τυπική απόκλιση (S ν-1 ): Για να έχουμε ένα δείκτη ο οποίος να μετράει τη

14 14 διασπορά και να εκφράζεται στις ίδιες μονάδες που εκφράζεται η μεταβλητή μας, παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Το μέτρο αυτό ονομάζεται τυπική απόκλιση και είναι το μέτρο της διασποράς που χρησιμοποιείται συνήθως στην πράξη. Όσο μεγαλύτερη είναι η τυπική απόκλιση, τόσο μεγαλύτερη είναι η διασπορά των παρατηρήσεων από το μέσο όρο. Η τυπική απόκλιση δίνεται από το τύπο : S ν-1 = xi v x 1 (1.5) όταν ν τότε S v-1 σ δηλαδή στην πραγματική τυπική απόκλιση σ του πληθυσμού. Συντελεστής μεταβλητότητας (C.V.): Είναι ένα μέτρο διασποράς των τιμών της μεταβλητής από το μέσο όρο. Ορίζεται ως ο λόγος της τυπικής απόκλισης (S ν-1 ) δια του μέσου όρου ( x ν ) και συνήθως εκφράζεται ως ποσοστό επί τοις %. S ν-1 C.V. (x) =. 100 x (1.6) Είναι καθαρός αριθμός απαλλαγμένος από τις μονάδες μέτρησης της μεταβλητής και μέτρο της σχετικής διασποράς των τιμών. Όσο μικρότερος είναι ο συντελεστής μεταβλητότητας, τόσο ποιό ομοιογενές είναι το δείγμα. Γενικά δεχόμαστε ότι ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές εάν ο C.V. είναι μικρότερος του 10%. 1.4 Σημαντικά ψηφία Σημαντικά ψηφία ενός αριθμού είναι όλα τα ψηφία για τα οποία είμαστε βέβαιοι συν ένα ακόμα που είναι αβέβαιο και προκύπτει από εκτίμηση. Με αυτό τον τρόπο δείχνουμε την αβεβαιότητα μιας μέτρησης. Για παράδειγμα, όταν εκφράζουμε μία μέτρηση μάζας ως,05 g (τρία σημαντικά ψηφία) είμαστε βέβαιοι για τα δύο πρώτα (,0) αλλά αμφιβάλλουμε για το τελευταίο (5), που προέκυψε από εκτίμηση. Για να αποφεύγεται η σύγχυση είναι καλό να εκφράζουμε τους αριθμούς στην τυποποιημένη τους μορφή, σαν δύναμη του 10. Για παράδειγμα στον αριθμό δεν γνωρίζουμε αν τα τελευταία μηδενικά είναι σημαντικά ψηφία ή απλώς εκφράζουν την τάξη μεγέθους του αριθμού. Εάν γράψουμε,5.10 4

15 15 δηλώνουμε ότι ο αριθμός έχει μόνο δύο σημαντικά ψηφία (το είναι βέβαιο και το 5 είναι το πρώτο αβέβαιο). Εάν γράψουμε, δηλώνουμε ότι ο αριθμός έχει τέσσερα σημαντικά ψηφία (τα πρώτα τρία είναι βέβαια ενώ το τελευταίο 0 είναι το πρώτο αβέβαιο ψηφίο). Επίσης, τα μηδενικά στον αριθμό 0,0063 δεν είναι σημαντικά, γιατί ο αριθμός γράφεται, και έχει τρία σημαντικά ψηφία. Όταν προσθέτουμε μηδενικά στο τέλος ενός αριθμού και μετά την υποδιαστολή, δηλώνουμε ότι είναι σημαντικά, αλλιώς δεν θα έπρεπε να έχουν γραφεί. Ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων σε μετρήσεις, εξαρτάται από την ευαισθησία του οργάνου μέτρησης. Στα αναλογικά όργανα, αν η βελόνα του οργάνου βρίσκεται μεταξύ δύο ενδείξεων π.χ. μεταξύ 10,4 και 10,5 τα εκατοστά προκύπτουν κατ εκτίμηση. Δίνουμε για παράδειγμα σαν αποτέλεσμα τον αριθμό 10,47 όπου το 7 είναι το πρώτο αβέβαιο ψηφίο. Προφανώς ο αριθμός 10,47 έχει τέσσερα σημαντικά ψηφία. Στα ψηφιακά όργανα το τελευταίο δεξιά ψηφίο που διαβάζουμε στην οθόνη του οργάνου, είναι αβέβαιο ψηφίο. Για παράδειγμα αν διαθέτουμε ένα ψηφιακό ΡΗμετρο με ευαισθησία εκατοστό του ΡΗ και μετρώντας το ΡΗ ενός διαλύματος διαβάζουμε την ένδειξη 3,58, το 8 είναι το πρώτο αβέβαιο ψηφίο. Προφανώς ο αριθμός 3,58 έχει τρία σημαντικά ψηφία. 1.5 Στρογγυλοποίηση αριθμών Το τελικό αποτέλεσμα που εξάγεται από σειρά υπολογισμών συνήθως έχει περισσότερα ψηφία, από αυτά που μπορεί να δικαιολογηθούν από την αβεβαιότητα στη μέτρηση των πειραματικών δεδομένων. Στην περίπτωση αυτή παρουσιάζουμε το αποτέλεσμα στρογγυλοποιημένο στα σημαντικά του ψηφία (όλα τα βέβαια συν το πρώτο αβέβαιο). Έστω ότι θέλουμε να παρουσιάσουμε τον αριθμό 6,3547 με τρία σημαντικά ψηφία. Η στρογγυλοποίηση αρχίζει από το τέλος. Εάν ο τελευταίος αριθμός είναι μικρότερος του 5 απαλείφεται και μετά το πρώτο βήμα γράφουμε 6,3547. Εάν ο τελευταίος αριθμός είναι μεγαλύτερος του 5 ο προτελευταίος αυξάνεται κατά μία μονάδα, άρα στο δεύτερο βήμα γράφουμε 6,355. Εάν ο τελευταίος αριθμός είναι 5, ο προτελευταίος, εάν είναι ζυγός παραμένει ως έχει, εάν είναι μονός αυξάνεται κατά μία μονάδα. Έτσι γράφουμε διαδοχικά 6,35 6,35 και τελικά 6,4. Όταν κάνουμε πράξεις μεταξύ αριθμών εφαρμόζουμε την αρχή, ότι η πράξη μεταξύ δύο ψηφίων δίνει βέβαιο αποτέλεσμα, μόνο αν και τα δύο παράγωγα του

16 16 αποτελέσματος ψηφία, είναι βέβαια. Πρόσθεση (αφαίρεση) : Το άθροισμα (διαφορά) των τιμών δεν πρέπει να περιέχει περισσότερα σημαντικά ψηφία προς τα δεξιά του, από όσα περιέχει ο λιγότερο ακριβής παράγοντας του αθροίσματος (διαφοράς) π.χ 14,8 + 0,053 = 14,853 που στρογγυλοποιείται στο 14,8 δηλαδή: 14,800 Τα υπογραμμισμένα ψηφία είναι αβέβαια. + 0, ,853 Τα προερχόμενα ψηφία από πρόσθεση βέβαιου με αβέβαιο είναι αβέβαιο ψηφίο. Τα τρία δεκαδικά ψηφία του αθροίσματος είναι αβέβαια. Άρα θα πρέπει να εκφράσουμε το αποτέλεσμα στρογγυλοποιημένο με τέσσερα σημαντικά ψηφία: 14,8 Πολλαπλασιασμός (διαίρεση): Το γινόμενο (πηλίκο) των διαφόρων τιμών δεν πρέπει να περιέχει περισσότερα σημαντικά ψηφία, από αυτά που περιέχονται στον παράγοντα του γινομένου (πηλίκου) με τα λιγότερα σημαντικά ψηφία. Παραδείγματα: Πολ/σμός 113, Χ 1,43 = 161,876 που στρογγυλοποιείται στο 16 Διαίρεση 113, : 1,43 = 79, που στρογγυλοποιείται στο 79, Αρκετά χρόνια νωρίτερα, όταν η χρήση υπολογιστικών μηχανών (κομπιουτεράκια) δεν ήταν γενικευμένη, για λόγους ταχύτητας στον απαιτούμενο χρόνο υπολογισμών, οι μηχανικοί συνήθως τηρούσαν του κανόνες των σημαντικών ψηφίων και έκαναν στρογγυλοποίηση σε κάθε ενδιάμεση πράξη. Σήμερα, αν επιθυμούμε ακρίβεια στους υπολογισμούς, είναι εύκολο στις ενδιάμεσες πράξεις να κρατάμε πολλά ψηφία και να κάνουμε στρογγυλοποίηση μόνο στο τελικό αποτέλεσμα. Για παράδειγμα έστω ότι κατά την εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων (βλπ. Άσκηση ), χωρίς στρογγυλοποιήσεις στις ενδιάμεσες πράξεις, βρίσκουμε τα αποτελέσματα: a = 13, b = 0, r = 0, Επειδή είναι καλό για να έχουμε γενικά αποδεκτή ακρίβεια, να δίνουμε τα αποτελέσματα με τουλάχιστον τρία σημαντικά ψηφία, παρουσιάζουμε τα τελικά

17 17 αποτελέσματα στρογγυλοποιώντας στα τρία σημαντικά ψηφία: a = 13,7 b = 0,00038 r = 0, Και άλλες στατιστικές έννοιες Ορίζουμε τις παρακάτω στατιστικές έννοιες: Αληθινή τιμή (Τ ή μ) : Είναι η πραγματική αριθμητική τιμή ενός μεγέθους. Προσεγγίζεται από τον μέσο όρο μεγάλου αριθμού πειραματικών μετρήσεων (θεωρητικά άπειρος αριθμός μετρήσεων). Δηλαδή x μ όταν ν Απόλυτο σφάλμα : x i T (1.7) Απόλυτο σφάλμα του μέσου : x ν T (1.8) Σχετικό σφάλμα : ( x ν T) / T (1.9) Σχετικό σφάλμα % : (( x T ) / T ) 100 (1.10) Ορθότητα (Accuracy): Ορθότητα έχουν οι μετρήσεις μας όταν είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες γύρω από το σωστό αποτέλεσμα. Δηλαδή, ο μέσος όρος των μετρήσεων ( x ν ) συμπίπτει ή είναι πολύ κοντά στην αληθινή τιμή (μ). Μέτρο της ορθότητας είναι το απόλυτο σφάλμα του μέσου. Ακρίβεια (Precision): Ακρίβεια έχουν οι μετρήσεις μας, όταν είναι κατανεμημένες πολύ στενά γύρω από τον μέσο όρο των μετρήσεων (που μπορεί να είναι διαφορετικός από την αληθινή τιμή). Μέτρο της ακρίβειας είναι η τυπική απόκλιση. Επαναληψιμότητα (Repeatability): Επαναληψιμότητα έχουν οι μετρήσεις μας όταν στην ίδια δειγματοληψία τα αποτελέσματα χαρακτηρίζονται από ακρίβεια. Αναπαραγωγισιμότητα (Reproducibility) : Αναπαραγωγισιμότητα έχουν οι μετρήσεις μας όταν τα αποτελέσματά μας πάλι έχουν ακρίβεια, αλλά σε διαφορετικές δειγματοληψίες. Ευαισθησία (Sensitivity): Ευαισθησία είναι η ελάχιστη μεταβολή στο μετρούμενο μέγεθος, που μπορεί να δείξει το όργανο μέτρησης. Αναγνωσιμότητα (Readability): Αναγνωσιμότητα είναι η ελάχιστη

18 18 μεταβολή που μπορούμε να διαβάσουμε στην κλίμακα ανάγνωσης του οργάνου. Χρονική σταθερά απόκρισης (Time constant): Είναι ο χρόνος που απαιτείται για να φθάσει η ανάγνωση σε όργανο μέτρησης το 63,% της τελικής τιμής, μετά από βαθμωτή (απότομη) μεταβολή του ερεθίσματος. Διακρίβωση (Calibration) : Διακρίβωση ονομάζουμε όλες τις εργασίες που αποσκοπούν στο να προσδιοριστούν οι τιμές των σφαλμάτων μετρητικού οργάνου. 1.7 Κατανομές Συχνοτήτων Όπως είδαμε, στα δεδομένα του Πίνακα 1.3, η μεταβλητή που εξετάσαμε (πυκνότητα διαλύματος), μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή ακέραια ή δεκαδική. Άρα πρόκειται για συνεχή μεταβλητή. Όταν το πλήθος των δεδομένων είναι μεγάλο, το εύρος των κλάσεων (dx) μπορεί να μικρύνει. Εάν στον άξονα των Ψ μετράμε αντί για την σχετική συχνότητα f i το f i / dx, τότε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι (f i / dx). dx και το εμβαδόν όλων των παραλληλογράμμων είναι : Σ(f i / dx). dx = Σf i = 1 Επομένως και το εμβαδόν που περικλείεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον άξονα των Χ είναι ίσον με 1. f i / dx Σχήμα 1.4 : Η καμπύλη συχνοτήτων Χ

19 19 Όταν το πλήθος των δεδομένων είναι μεγάλο (ν ), το πλήθος των κλάσεων μπορεί να μεγαλώσει και επομένως το εύρος των κλάσεων (dx) μπορεί να μικρύνει (dx 0 ) και το πολύγωνο συχνοτήτων, τείνει να πάρει τη μορφή λείας καμπύλης, η οποία ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων. Το εμβαδόν μεταξύ της καμπύλης συχνοτήτων και του άξονα των χ είναι ίσον με 1. Οι καμπύλες συχνοτήτων έχουν μεγάλη σημασία στη στατιστική, γιατί με την βοήθειά τους εξάγονται χρήσιμα συμπεράσματα Κανονική Κατανομή Σε πάρα πολλές περιπτώσεις ένα σύνολο πειραματικών μετρήσεων ακολουθεί μια συγκεκριμένη καμπύλη σε ένα διάγραμμα συχνότητας που ονομάζεται κανονική κατανομή (Normal Distribution) ή κατανομή του Gauss. Αν και κανένα δείγμα δεν είναι ακριβώς κανονικά κατανεμημένο η κανονική κατανομή αποτελεί μια εξαιρετική προσέγγιση της διακύμανσης των δεδομένων. Ο λόγος που κάνει την κανονική κατανομή τόσο σημαντική από πρακτική και θεωρητική άποψη, είναι ότι, ανεξάρτητα από τις καμπύλες κατανομής κάθε μιας από τις πιθανές αιτίες που προκαλούν τη διακύμανση, το άθροισμα των αιτιών αυτών τείνει να ακολουθήσει την κανονική κατανομή. Η κανονική κατανομή ή κατανομή του Gauss εκφράζεται από τη σχέση : 1 x 1 f ( x) e (1.11) όπου x : συνεχής μεταβλητή στο διάστημα (, ) μ : μέση ή αληθινής τιμής x -μ : το μέγεθος της απόκλισης, δηλ. η διαφορά μεταξύ της τιμής x και της αληθινής τιμής μ σ : η τυπική απόκλιση e :,7183 η βάση των φυσικών λογαρίθμων π : 3,14 Μια κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και τυπική απόκλιση σ συμβολίζεται και σαν Ν(μ,σ).

20 0 Η κατανομή των τυχαίων σφαλμάτων ακολουθεί το νόμο της κανονικής κατανομής του Gauss. Στο Σχήμα 5 δίνεται το σχήμα της κανονικής κατανομής κατά Gauss. Κ α νο νικ ή Κ α τα νο μή 0,09 0,08 0,07 0,06 Συχνότητα 0,05 0,04 0,03 0,0 0, Δεδομένα μετρήσεω ν, x i Ε=x-μ z = x Σχήμα 5 : Η κανονική κατανομή κατά Gauss. Από τις τρεις κλίμακες της τετμημένης, η πρώτη παριστά την πειραματική τιμή x, η δεύτερη την κατανομή της απόκλισης Ε=x-μ και η τρίτη μια νέα μεταβλητή z, που προέρχεται από γραμμικό μετασχηματισμό. Σε απόσταση σ γύρω από το μέσο αριθμητικό, δηλ. όταν ισχύει x περιλαμβάνεται το 68,7% των τιμών. Σε απόσταση σ από το μέσο αριθμητικό ( x ) περιλαμβάνεται το 95,45% των τιμών. Σε απόσταση 3σ ( 3 x 3 ) περιλαμβάνεται το 99,73% των τιμών. Τα βασικά χαρακτηριστικά της κανονικής κατανομής είναι :

21 1 α) Η μέση τιμή (μ) για το άπειρο αριθμό μετρήσεων, συμπίπτει με την αληθινή τιμή και αντιστοιχεί στη μέγιστη πιθανότητα. β) Η τεταγμένη της μέγιστης τιμής είναι άξονας συμμετρίας της καμπύλης, η δε τυπική απόκλιση (σ) είναι η απόσταση των σημείων καμπής από τον άξονα συμμετρίας. γ) Λόγω της συμμετρίας της καμπύλης τα θετικά και τα αρνητικά σφάλματα είναι εξίσου πιθανά. δ) Η πιθανότητα των μεγάλων σφαλμάτων είναι μικρή, ενώ τα μικρά σφάλματα είναι πιο πιθανά. ε) Το πλάτος της κανονικής καμπύλης κατανομής υποδηλώνει την ακρίβεια των μετρήσεων. Όσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια τόσο μικρότερο είναι το (σ) άρα και το άνοιγμα της καμπύλης. στ) Η αληθινή τιμή μ επηρεάζει την καμπύλη κατανομής από πλευράς θέσης, η δε τυπική απόκλιση (σ) από άποψη σχήματος. ζ) Το εμβαδόν κάτω από την κανονική καμπύλη από έως και ισούται με τη μονάδα. Το εμβαδόν υπολογίζεται με το ορισμένο ολοκλήρωμα: 1 e 1 dx 1 (1.1) Ο υπολογισμός της πιθανότητας μια τυχαία μεταβλητή x που ακολουθεί την κανονική κατανομή να πάρει π.χ. τιμή : a x δίνεται από το ολοκλήρωμα P a x 1 e 1 dx (1.13) Για κάποιο γνωστό ζεύγος παραμέτρων μ και σ, θα χρειασθεί να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα της παραπάνω μορφής. Ο υπολογισμός όμως του παραπάνω ολοκληρώματος για κάθε μία κανονική κατανομή, παρουσιάζει μεγάλες δυσκολίες στις εφαρμογές. Για να αντιμετωπίσουμε τις δυσκολίες αυτές, κάνουμε τον παρακάτω γραμμικό μετασχηματισμό, αντικαθιστώντας τη μεταβλητή x με νέα μεταβλητή z: x z= (1.14) Οι μονάδες του z είναι καθαροί αριθμοί. Αποδεικνύεται ότι αν μία τυχαία μεταβλητή x ακολουθεί την κανονική κατανομή που έχει μέσο αριθμητικό μ και τυπική απόκλιση σ τότε η τυχαία μεταβλητή z

22 ακολουθεί την κανονική κατανομή που έχει μέσο αριθμητικό 0 και τυπική απόκλιση 1. Αυτή η κανονική κατανομή που έχει μέσο αριθμητικό 0 και τυπική απόκλιση 1, λέγεται τυποποιημένη κανονική κατανομή και συμβολίζεται σαν Ν(0, 1). Επειδή η κατανομή της μεταβλητής z είναι ανεξάρτητη από τις παραμέτρους μ και σ μπορούμε να κατασκευάσουμε πίνακες που μας δίνουν για z από 5 μέχρι 5 τις διάφορες τιμές των εμβαδών που περικλείονται μεταξύ της συνάρτησης κατανομής και του άξονα του z για κάθε τιμή του z (βλέπε πίνακα κανονικής κατανομής) Επίπεδα αξιοπιστίας ή διάστημα εμπιστοσύνης Η παρουσίαση του αποτελέσματος πειραματικών μετρήσεων με το μέσο όρο και την τυπική απόκλιση, συμπληρώνεται με τον καθορισμό ενός διαστήματος μέσα στο οποίο βρίσκεται η αληθινή τιμή και με κάποια βεβαιότητα. Το διάστημα αυτό ορίζεται από δύο τιμές οι οποίες λέγονται όρια αξιοπιστίας (confidence limits). Τα όρια αξιοπιστίας προσδιορίζονται : α) από το μέγεθος του δείγματος β) από τη στατιστική διακύμανση γ) από το βαθμό αξιοπιστίας με την οποία θέλουμε να δώσουμε το αποτέλεσμα. Ο βαθμός αξιοπιστίας ή η πιθανότητα (Ρ) εκφράζεται είτε επί τοις % από το 0 έως 100 είτε από 0 έως 1. Η αβεβαιότητα (α) λέγεται επίπεδο σημαντικότητας και εκφράζεται είτε επί τοις % από 0 έως 100 είτε από 0 έως 1. Για παράδειγμα αν δίνεται ότι Ρ = 95% ή Ρ=0,95 τότε επειδή Ρ + α = 100% ή Ρ + α = 1 το α = 5% ή α = 0, Κενρικό οριακό θεώρημα Αν μία τυχαία μεταβλητή x κατανέμεται κανονικά, τότε οι μέσοι όροι των δειγμάτων x κατανέμονται κανονικά με μέσο αριθμητικό ίσο με το μέσο αριθμητικό του πληθυσμού: και διακύμανση ίση με τη διακύμανση του πληθυσμού αφού x διαιρεθεί με το μέγεθος του δείγματος: (1.15) n Αυτό όμως δεν ισχύει όταν η κατανομή του πληθυσμού δεν είναι κανονική. Ανεξάρτητα όμως από τη μορφή της κατανομής του γεννήτορα πληθυσμού, αν το

23 3 μέγεθος του δείγματος είναι αρκετά μεγάλο (ν>30), τότε η κατανομή των μέσων δειγμάτων τείνει να γίνει κανονική, όσο αυξάνει το μέγεθος του δείγματος με μέσο x και τυπική απόκλιση (1.16) n Το θεώρημα αυτό ονομάζεται κεντρικό οριακό θεώρημα και ισχύει για συνεχείς και ασυνεχείς κατανομές Κατανομή Χ Η κατανομή Χ είναι παράγωγος της κανονικής κατανομής και ορίζεται ως εξής: Έστω οι τυχαίες μεταβλητές x 1,x,.x ν που είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους και ότι κάθε μία κατανέμεται κανονικά με μέση τιμή 0 και διακύμανση 1. Αν όμως πάρουμε το άθροισμα των τετραγώνων των παραπάνω μεταβλητών δηλ. x x 1 x n x i i1... x (1.17) τότε το άθροισμα αυτό δεν κατανέμεται όπως η κανονική κατανομή, αλλά ακολουθεί μία άλλη κατανομή που λέγεται x τετράγωνο και γράφεται Χ. Η κατανομή Χ εξαρτάται από τους βαθμούς ελευθερίας και παίρνει μόνο θετικές τιμές: 0 < x < και έχει συνήθως ασύμετρη μορφή. Αν από έναν κανονικό πληθυσμό πάρουμε ένα τυχαίο δείγμα x 1,x,.x ν τότε x και το παρακάτω άθροισμα x x x i ακολουθεί την κατανομή Χ δηλαδή: xi x αλλά επειδή 1 x i x s ( v 1 s όπου σ η διακύμανση του πληθυσμού (1.18) ) Οι πίνακες Χ που χρησιμοποιούνται στην πράξη δίνουν την πιθανότητα η μεταβλητή Χ να υπερβεί μία ορισμένη τιμή (βλέπε πίνακα κατανομής Χ ) Κατανομή t του student H κατανομή t είναι παράγωγος κατανομή της κανονικής κατανομής και την

24 4 ορίζουμε ως εξής: Αν η τυχαία μεταβλητή z ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και διακύμανση 1 τότε και Υ, μία άλλη μεταβλητή, ανεξάρτητη της Χ, που ακολουθεί την κατανομή x με ν = n-1 βαθμούς ελευθερίας, τότε η τυχαία μεταβλητή : ακολουθεί την κατανομή t με ν βαθμούς ελευθερίας. x n 1 s Αν στην παραπάνω σχέση θέσουμε z και n x τότε θα έχουμε: t v με t (1.19) s n Για τις πρακτικές εφαρμογές υπάρχει πίνακας της κατανομής t-student. Είναι πίνακας διπλής εισόδου με τους βαθμούς ελευθερίας να βρίσκονται στην πρώτη στήλη και τα επίπεδα σημαντικότητας α στην πρώτη γραμμή. t v z Y v Χρήσεις Κατανομών Οι εφαρμογές των κατανομών είναι πολλές. Θα περιοριστούμε σε περιπτώσεις που έχουν εφαρμογή στον έλεγχο ποιότητας: Ι. Κανονική κατανομή Χρήση : Όταν είναι γνωστή η σ του πληθυσμού α) Εύρεση κάτω ορίου νια μεμονωμένες τιμές (x i ): x i ; = x i,min ; μ - z. σ, αν μ γνωστή (1.0) x i ; = x i,min ; x - z.σ, αν μ άγνωστη (1.1) β) Εύρεση κάτω ορίου για μέσους όρους ( x ): x ; = x, min ; = μ min ; μ - z 1/ Αν μ άγνωστο, τότε στη σχέση (3) μ = x, αν μ γνωστή (1.) ΙΙ. Κατανομή Χ Χρήση : Εύρεση ορίων για την τυπική απόκλιση α) Αν σ άγνωστο (S v-1 γνωστό από δείγμα πλήθους ν)

25 5 Εύρεση άνω ορίου σ > σ max ; πάνω από το οποίο αναμένεται να βρίσκεται το α% των υπολογιζόμενων S v-1 από ν-άδες δειγμάτων. σ max ν 1 ; s ν 1 (1.3) Χ (, (ν-1)) β) Αν σ γνωστό. Εύρεση άνω ορίου S v-1 ; > S max ; πάνω από το οποίο αναμένεται να βρίσκεται το α% των υπολογιζόμενων S v-1 από ν-άδες δειγμάτων. Χ ((1 α), (ν1)) sν 1 ; smax ; σ (1.4) ν 1 Τα Χ (α, (ν-1)) ή Χ ((1-α), (ν-1)) είναι στατιστικοί δείκτες της κατανομής Χ. Η τιμή του Χ (α, (ν-1)) ή Χ ((1-α), (ν-1)) προκύπτει από τον πίνακα τηςκατανομής Χ, που είναι πίνακας διπλής εισόδου. Ο πίνακας αυτός έχει στην πρώτη στήλη τους βαθμούς ελευθερίας και στην πρώτη σειρά την αβεβαιότητα (α) %. Η τιμή του Χ (α, (ν-1)) προκύπτει από την διασταύρωση της στήλης με τιμή α% και της σειράς με (ν-1) βαθμούς ελευθερίας. Η τιμή του Χ ((1-α), (ν-1)) προκύπτει από την διασταύρωση της στήλης με τιμή 1-α και της σειράς με (ν-1) βαθμούς ελευθερίας. Προσοχή! Αν α = 5% ή α=0,05 τότε 1-α=0,95 ή 95 %. Από τον πίνακα της Χ βρίσκω το Χ (95%, ν- 1 ) και όχι το Χ (5%, ν-1). ΙΙΙ. Κατανομή t του student Χρήση: Όταν είναι άγνωστη η σ και την εκτιμώ από δείγμα με πλήθος ν μετρήσεων (βρίσκω το S v-1 ) α) Εύρεση κάτω ορίου για μεμονωμένες τιμές (xi) x i ; = x i,min ; x - t (a, (v - 1 ) ). S v-1 (1.5) β) Εύρεση κάτω ορίου για μέσους όρους ( x ): x ; = S 1 x, min ; = μ min ; x - t ν (a, (v - 1 ) ). 1/ (1.6) ν γ) Διάστημα εμπιστοσύνης μέσης τιμής (με πιθανότητα Ρ)

26 6 S x - t 1 (a/, (v-1)). 1/ S 1 ν μ x + t ν (a/, (v-1)). (1.7) 1/ ν ν π.χ. αν Ρ=95% ή Ρ=0,95 => α=5% ή α=0,05 και α/=0,05 ή α/=,5% Τα t (a, (v - 1 ) ) ή t (a/, (v-1)) είναι στατιστικοί δείκτες της κατανομής student που αντιστοιχούν σε αβεβαιότητα α ή α/ και (ν-1) βαθμούς ελευθερίας. Η τιμή του t (a, (v - 1 ) ) ή t (a/,(v-1)) προκύπτει από τον πίνακα κατανομής student, που είναι πίνακας διπλής εισόδου. Ο πίνακας αυτός έχει στην πρώτη στήλη τους βαθμούς ελευθερίας και στην κάτω σειρά την αβεβαιότητα (α) ή το μισό της δηλ. το α/. Η τιμή του t (a, (v - 1 ) ) προκύπτει από την διασταύρωση της στήλης με τιμή α και της σειράς με (ν-1) βαθμούς ελευθερίας. Η τιμή του t (a/, (v-1)) προκύπτει από την διασταύρωση της στήλης με τιμή α/ και της σειράς με (ν-1) βαθμούς ελευθερίας. Παράδειγμα 1.1 Μία συνεχή τυχαία μεταβλητή x ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο αριθμητικό 10 (μ=10) και τυπική απόκλιση (σ=). Να υπολογισθεί η πιθανότητα α) P(x <1) β) P( 7 10 ) γ) P(x>11) Λύση: Θα χρησιμοποιήσουμε το γραμμικό μετασχηματισμό : z = x και έχουμε x 1 10 α) P(x 1) = P Pz 1 Από τον πίνακα τυποποιημένης κατανομής βρίσκουμε ότι για z = ±1, Α = 0,687 και 1-Α = 0,3173 Επομένως P(z<1) = Α + (1-Α)/ = 0,687+ 0,3173/ = 0,84135 ή Ρ = 84,135% x1 x x β) P(7 χ<10) = P = P z =

27 7 P(-1,5 z 0) Από τον πίνακα τυποποιημένης κατανομής βρίσκουμε ότι για z = ±1,5 Α = 0,8664 Επομένως P(-1,5 z 0) = Α/ = 0,8664 / = 0,433 ή Ρ = 43,3% 1110 γ) P(x>11) = P P z 0,5 Από τον πίνακα τυποποιημένης κατανομής βρίσκουμε ότι για z = ±0,5 1-Α = 0,6171 z 0,5 = (1-Α)/ = 0,6171/ = 0,30855 ή Ρ = 30,855% Επομένως P Παράδειγμα 1. Έγινε προσδιορισμός νικελίου σε άγνωστο δείγμα τέσσερις φορές και έδωσε τα παρακάτω αποτελέσματα : X : 10,1 9,8 10, και 9,9 σε ppm. Να υπολογιστεί το διάστημα εμπιστoσύνης της μέσης τιμής (μ) με πιθανότητα 95%. Λύση: Ο μέσος όρος και η τυπική απόκλιση είναι: xi (x i - x ) 10,1 xi 40,0 (10,1-10) x 10,0 9,8 v 4 ( 9,8-10) 10, ( 10,-10) 9,9 (9,9-10) xi 40, 0 ( xi x) 0, 10 s = xi x v ,18 3 ppm Το διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκεται από τον τύπο (1.7) :

28 8 S x - t 1 (a/,(v-1)). 1/ S 1 ν μ x + t ν (a/,(v-1)). 1/ ν ν Όπου x = 10,0 ppm, S v-1 =0,18 ppm, v = 4, η πιθανότητα είναι 95% δηλ. Ρ=95% ή Ρ=0,95 και η αβεβαιότητα α=5% ή α=0,05 οπότε α/ =,5% ή α/ = 0,05. Οι βαθμοί ελευθερίας θα είναι ν-1 = 4-1 = 3. Από τον πίνακα κατανομής του student: t (a/,(v-1)) = t (0.05, 3) = 3,18 οπότε: 9,71 < μ < 10,9 Αυτό σημαίνει ότι η πραγματική μέση τιμή μ βρίσκεται μεταξύ 10,9 με πιθανότητα 95%. 9,71 έως Παράδειγμα 1.3 Κυβικά δοκίμια σκυροδέματος ελέγχονται για αντοχή σε θλίψη. Σε ένα δείγμα 10 δοκιμίων (ν=10) βρίσκεται ο μέσος όρος x = 30 ΜΡα, ενώ είναι γνωστή η τυπική απόκλιση σ=3μρα του πληθυσμού από τον οποίο προέρχεται το δείγμα. α) Να βρεθεί το όριο x i,min κάτω από το οποίο αναμένεται να βρίσκεται το 5% (α=0,05) των μεμονωμένων τιμών x i. β) Να βρεθεί το όριο x, min κάτω από το οποίο αναμένεται να βρίσκεται το 5% (α=0,05) των άπειρων μέσων όρων x που μπορεί να προκύψουν από άπειρες επαναλήψεις της δειγματοληψίας. γ) Να βρεθεί το όριο S max πάνω από το οποίο αναμένεται να βρίσκεται το 5% (α=0,05) των τυπικών αποκλείσεων S v-1 που μπορεί να υπολογισθούν από επαναλήψεις της δειγματοληψίας. Λύση: α) Επειδή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι γνωστή (σ=30), θα χρησιμοποιήσω την κανονική κατανομή: Επειδή α = z=1,645. Ισχύει ο τύπος (1.1) : 1 =0,05 προκύπτει Α=0,9 και από πίνακα βρίσκω x i,min ; x - z.σ = 30-1,645.3 = 5,06 ΜΡα

29 9 β) Ισχύει ο τύπος (1.) : x,min = x - z 1/ 3 = 30 1,645. 1/ 10 = 8,44 ΜΡα γ) Θα χρησιμοποιήσω την Χ Επειδή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού είναι γνωστή (σ=30), ισχύει ο τύπος (1.4) : s max σ Χ ((1 α), (ν1)) ν 1 = σ Χ ( 95%, ν 1 9) = 3 16, = 4,11 ΜΡα Παράδειγμα 1.4 Κυβικά δοκίμια σκυροδέματος ελέγχονται για αντοχή σε θλίψη. Σε ένα δείγμα 10 δοκιμίων (ν=10) βρίσκεται ο μέσος όρος x = 30 ΜΡα και η τυπική απόκλιση S v-1 =3 ΜΡα του δείγματος. α) Να βρεθεί το όριο x i,min κάτω από το οποίο αναμένεται να βρίσκεται το 5% (α=0,05) των μεμονωμένων τιμών x i. β) Να βρεθεί το όριο x, min κάτω από το οποίο αναμένεται να βρίσκεται το 5% (α=0,05) των άπειρων μέσων όρων x που μπορεί να προκύψουν από άπειρες επαναλήψεις της δειγματοληψίας. γ) Να βρεθεί το όριο σ max πάνω από το οποίο αναμένεται να βρίσκεται το 5% (α=0,05) των τυπικών αποκλείσεων S v-1 που μπορεί να υπολογισθούν από επαναλήψεις της δειγματοληψίας. Λύση: α) Επειδή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού (σ) είναι άγνωστη, θα χρησιμοποιήσω την κατανομή t του student. Ισχύει ο τύπος (1.5) : x i,min x - t (a, (v - 1 ) ). S v-1 = x - t (5%, 9 ). S v-1 = 30 1,833.3 = 4,50 ΜΡα β) Ισχύει ο τύπος (1.6) : S x,min x - t ν 1 3 (a, (v - 1 ) ). = 30 1,833. 1/ 1/ ν 10 = 8,6 ΜΡα

30 30 γ) Θα χρησιμοποιήσω την Χ Επειδή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού (σ) είναι άγνωστη, ισχύει ο τύπος (1.3): ν 1 Χ ν 1 = Χ σ max s ν 1 s ν 1 (, (ν-1)) (5%, 9) 9 3 = 4,93 ΜΡα 3,33 Παράδειγμα 1.5 Κυβικά δοκίμια σκυροδέματος ελέγχονται για αντοχή σε θλίψη. Σε ένα δείγμα 10 δοκιμίων (ν=10) βρίσκεται ο μέσος όρος x = 30 ΜΡα και η τυπική απόκλιση S v-1 =3 ΜΡα του δείγματος. α) Να βρεθεί το ποσοστό (α) των μεμονωμένων τιμών (x i ) που αναμένεται να είναι μικρότερες από x i,min = 4,50 ΜΡα. β) Να βρεθεί το ποσοστό (α) των μέσων όρων x που μπορεί να προκύψουν από επαναλήψεις της δειγματοληψίας, που αναμένεται να είναι μικρότεροι από την τιμή x, min = 8,6 ΜΡα. γ) Να βρεθεί το ποσοστό (α) των τυπικών αποκλισεων S v-1, που μπορεί να προκύψουν από επαναλήψεις της δειγματοληψίας, που αναμένεται να είναι μεγαλύτερες από την τιμή σ max = 4,93 ΜΡα. Λύση: α) Επειδή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού (σ) είναι άγνωστη, θα χρησιμοποιήσω την κατανομή t του student. Ισχύει ο τύπος (1.5) : x i,min x - t (a, (v - 1 ) ). S v-1 = 30 - t (a, 9). 3 = 4,50 ΜΡα από όπου προκύπτει t (a, 9) = 1,833 και από πίνακα βρίσκω α = 0,05 ή 5% β) Ισχύει ο τύπος (1.6) : S x,min x - t ν 1 3 (a, (v - 1 ) ). = 30 t (a, 9). 1/ 1/ ν 10 από όπου προκύπτει t (a, 9) = 1,833 και από πίνακα βρίσκω α = 0,05 ή 5% = 8,6 ΜΡα γ) Θα χρησιμοποιήσω την Χ

31 31 Επειδή η τυπική απόκλιση του πληθυσμού (σ) είναι άγνωστη, ισχύει ο τύπος (1.3): ν 1 ή 4,93 Χ σ max s ν 1 (, (ν-1)) Χ (, 9) από όπου προκύπτει Χ (, 9) = 3,33 και από πίνακα βρίσκω α = 5% Β. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ Εκτελούνται επαναλαμβανόμενες μετρήσεις μιας μεταβλητής σύμφωνα με τις οδηγίες του καθηγητή. Υπολογίζονται, για κάθε περίπτωση, η μέση τιμή, η τυπική απόκλιση και το διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής με δεδομένη πιθανότητα. 1.8 Ζύγιση σε αναλυτικό ζυγό Ο αναλυτικός ζυγός έχει ευαισθησία (Sensitivity) τέταρτου ή πέμπτου δεκαδικού ψηφίου του γραμμαρίου. Όταν θέλουμε να ζυγίσουμε ένα αντικείμενο (π.χ. κέρμα) δεν αρκούμεθα σε μια μόνο ζύγιση, αλλά πραγματοποιούμε περισσότερες και υπολογίζουμε τον μέσο όρο των μετρήσεων. Με αυτό τον τρόπο περιορίζουμε την επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων (π.χ. μικροδονήσεις κ.λ.π.) στο αποτέλεσμα Πειραματική διάταξη Η πειραματική διάταξη αποτελείται από αναλυτικό ψηφιακό ζυγό τύπου Metler, με ευαισθησία πέμπτο δεκαδικό ψηφίο του γραμμαρίου. Ο ζυγός, για να μην επηρεάζεται η ζύγιση από ρεύματα αέρα, έχει παραθυράκια που ανοίγουν για να τοποθετήσουμε στον δίσκο το προς ζύγιση αντικείμενο, ενώ όταν μηδενίζουμε τον ζυγό ή πραγματοποιούμε την ζύγιση, τα παραθυράκια πρέπει να είναι κλειστά.

32 Πειραματική διαδικασία Με κλειστά τα παραθυράκια του ζυγού, ενεργοποιούμε τον ζυγό και μηδενίζουμε την ένδειξη του ζυγού. Ακολούθως ανοίγουμε το πλευρικό παράθυρο και τοποθετούμε το προς ζύγιση αντικείμενο (π.χ. κέρμα) στον δίσκο του ζυγού. Κλείνουμε το πλευρικό παράθυρο και περιμένουμε να σταθεροποιηθεί η ένδειξη του ζυγού. Καταγράφουμε την ένδειξη και απενεργοποιούμε τον ζυγό. Επαναλαμβάνομε την ίδια διαδικασία ν = 10 φορές, όπου ν το μέγεθος του δείγματος. Σημειώνουμε ότι ο χειρισμός του κέρματος γίνεται με την βοήθεια λαβίδας, ώστε το κέρμα να μην έρχεται σε επαφή με τα δάκτυλα, που μπορεί να αφήσουν στο κέρμα ίχνη ιδρώτα ή λίπους και έτσι να αλλοιωθεί το αποτέλεσμα της ζύγισης Επεξεργασία μετρήσεων Υπολογίζονται η μέση τιμή ( x ), η τυπική απόκλιση (S ν-1 ) και το διάστημα ν εμπιστοσύνης της μέσης τιμής (με την βοήθεια της κατανομής STUDENT ), με πιθανότητα Ρ = 90%. Δίνεται από τον καθηγητή η αληθής τιμή Τ του αντικειμένου, οπότε υπολογίζεται και το απόλυτο σφάλμα του μέσου ( x ν T ). Για διευκόλυνση των υπολογισμών κατασκευάζουμε τον ακόλουθο πίνακα: Πίνακας 1.1 ν x i (gr) x ν x ν - x i ( x ν - x i ) 1.. ν

33 Μέτρηση ΡΗ διαλύματος Η έννοια του ΡΗ αναπτύσσεται στην 3 η Άσκηση στην παράγραφο 3.8. Το ΡΗ μετρείται με ειδικό όργανο το Πεχάμετρο (ΡΗμετρο). Περισσότερες πληροφορίες για το ΡΗμετρο και την αρχή λειτουργίας του, αναφέρονται στο πειραματικό μέρος της ης Άσκησης. Το ΡΗμετρο έχει ευαισθησία (Sensitivity) δεύτερου δεκαδικού ψηφίου του ΡΗ. Όταν θέλουμε να μετρήσουμε το ΡΗ ενός διαλύματος, δεν αρκούμεθα σε μια μόνο μέτρηση, αλλά πραγματοποιούμε περισσότερες και υπολογίζουμε τον μέσο όρο των μετρήσεων. Με αυτό τον τρόπο περιορίζουμε την επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων στο αποτέλεσμα Πειραματική διάταξη Η πειραματική διάταξη αποτελείται από ένα ψηφιακό ΡΗμετρο με ευαισθησία εκατοστό του ΡΗ, και το ηλεκτρόδιό του. Για να επιτύχουμε ορθότητα στις μετρήσεις μας, δηλαδή για να εξαλείψουμε τυχόν συστηματικά σφάλματα, ακολουθούμε την διαδικασία της διακρίβωσης (Calibration). Ρυθμίζουμε δηλαδή το ΡΗμετρο αρχικά με ρυθμιστικό διάλυμα σταθερού ΡΗ = 7, κάνοντας τους κατάλληλους χειρισμούς. Ακολούθως, εάν πρόκειται να μετρήσουμε σε όξινη περιοχή, κάνουμε δεύτερη ρύθμιση με την βοήθεια όξινου ρυθμιστικού διαλύματος ορισμένου ΡΗ (π.χ. ΡΗ=4). Εάν πρόκειται να μετρήσουμε σε βασική περιοχή, κάνουμε την δεύτερη ρύθμιση με την βοήθεια βασικού ρυθμιστικού διαλύματος ορισμένου ΡΗ (π.χ. ΡΗ=11) Πειραματική διαδικασία Ξεπλύνουμε το ηλεκτρόδιο του ΡΗμέτρου με απιονισμένο νερό που υπάρχει στον υδροβολέα, και το σκουπίζουμε με καθαρό απορροφητικό χαρτί. Ενεργοποιούμε το ΡΗμετρο με τον επιλογέα στην θέση ΡΗ. Βυθίζουμε το ηλεκτρόδιο στο δοχείο που περιέχει το διάλυμα, το ΡΗ του οποίου θέλουμε να μετρήσουμε και περιμένουμε να σταθεροποιηθεί η ένδειξη του οργάνου. Καταγράφουμε την ένδειξη και απενεργοποιούμε το ΡΗμετρο. Επαναλαμβάνομε την ίδια διαδικασία ν = 8 φορές, όπου ν το μέγεθος του δείγματος.

34 34 Σημειώνουμε ότι ο χειρισμός του ηλεκτροδίου πρέπει να γίνεται με προσοχή, ώστε να αποφευχθεί ο κίνδυνος καταστροφής του (θραύση) Επεξεργασία μετρήσεων Υπολογίζονται η μέση τιμή ( x ), η τυπική απόκλιση (S ν-1 ) και το διάστημα ν εμπιστοσύνης της μέσης τιμής (με την βοήθεια της κατανομής STUDENT ), με πιθανότητα Ρ = 95%. Για διευκόλυνση των υπολογισμών κατασκευάζουμε τον ακόλουθο πίνακα: Πίνακας 1. ν x i (PH) x ν x ν - x i ( x ν - x i ) 1.. ν

35 35 ΑΣΚΗΣΗ η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ. ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Α. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ.1 Υπολογισμός Παραμέτρων Όταν πιστεύεται ότι δύο φυσικά μεγέθη μπορεί να σχετίζονται μεταξύ τους, είναι συχνά ωφέλιμο να περιγραφεί η σχέση τους, με ένα μαθηματικό μοντέλο. Η απλούστερη περίπτωση που θα εξετάσουμε θα είναι αυτή της ευθύγραμμης σχέσης. Έστω ότι παρατηρούμε την εξέλιξη ενός φαινομένου και καταγράφουμε τις πειραματικές τιμές δύο φυσικών μεγεθών x και ψ, σαν ζεύγη τιμών (x i, ψ i ). Αν η σχέση που συνδέει τα x και ψ, είναι γνωστό από την θεωρία ότι είναι ευθύγραμμη, ή από την τοποθέτηση των πειραματικών τιμών (x i, ψ i ) σε διάγραμμα, παρατηρούμε ότι τα οριζόμενα από τα ζεύγη των πειραματικών τιμών σημεία βρίσκονται περίπου σε ευθεία γραμμή, ζητείται να προσδιορισθεί η σχέση ψ = α + bx. Ζητείται δηλαδή να βρεθούν οι τιμές της κλίσης b και της αποτέμνουσας α της ευθείας. Μία λύση του προβλήματος μπορεί να δοθεί κατά προσέγγιση γραφικά. Τοποθετούμε τα πειραματικά ζεύγη τιμών (x i, ψ i ) σε διάγραμμα ψ ως προς x και χαράσσουμε την ευθεία φροντίζοντας να διέρχεται όσο το δυνατόν πλησιέστερα από τα πειραματικά σημεία. Στη συνέχεια προσδιορίζουμε γραφικά τα α και b. Η επίλυση του προβλήματος, με αυτό τον τρόπο, είναι όμως υποκειμενική και οι τιμές των α και b θα είναι διαφορετικές ανάλογα με τον παρατηρητή. Υπάρχει μία αντικειμενική μέθοδος προσδιορισμού της ζητούμενης ευθείας που δίνει την καλύτερη λύση και καταλήγει σε μονοσήμαντο αποτέλεσμα, βασιζόμενη σε στατιστική ανάλυση. Πρόκειται για την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων που βασίζεται στην αρχή, ότι η καλύτερη ευθεία είναι εκείνη για την οποία το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων μεταξύ θεωρητικών και πειραματικών τιμών είναι ελάχιστο. Εάν δηλαδή για x i η αντίστοιχη πειραματική τιμή είναι η ψ i, ενώ η αντίστοιχη θεωρητική τιμή είναι η Ψˆ i = α + bx i τότε:

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Χημική Τεχνολογία. Εργαστηριακό Μέρος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Χημική Τεχνολογία. Εργαστηριακό Μέρος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Εργαστηριακό Μέρος Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Οι σπουδές στα ΤΕΙ οργανώνονται µε βάση τα εξάµηνα. Κάθε διδακτικό έτος περιλαµβάνει δύο εξάµηνα, το χειµερινό και το εαρινό. Κάθε διδακτικό εξάµηνο περιλαµβάνει 15 εβδοµάδες για διδασκαλία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΧΗΜΕΙΑΣ ΦΟΥΝΤΟΥΚΙΔΗΣ Γ. ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΔΡ. ΧΗΜΙΚΟΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΧΗΜΙΚΗΣ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Επιστημονικές Εκδόσεις Εργαστηριακές Ασκήσεις Χημικής και Περιβαλλοντικής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Μαρία Κατσικίνη E-mal: katsk@auth.gr Web: users.auth.gr/katsk Τηλ: 0 99800 Γραφείο : Β όροφος, Τομέας Φυσικής Στερεάς Κατάστασης Σειρά των ασκήσεων Θεωρία : Σφάλματα Θεωρία :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΕΪΖΕΡ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ.

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΕΪΖΕΡ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΛΕΪΖΕΡ http://www.physicslab.tuc.gr https://www.eclass.tuc.gr/courses/sci123/ Επιμέλεια παρουσίασης: Ά.Καλλιατάκη,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

1. Πειραματικά Σφάλματα

1. Πειραματικά Σφάλματα . Πειραματικά Σφάλματα Σκοπός της εκτέλεσης ενός πειράματος στη Φυσική είναι ο προσδιορισμός ποσοτικός ή/και ποιοτικός- κάποιων φυσικών μεγεθών που περιγράφουν ένα συγκεκριμένο φαινόμενο. Ο ποιοτικός προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου Το σφάλμα αυτό αναφέρεται σε αβεβαιότητες στη μέτρηση που προκαλούνται από τις πεπερασμένες ιδιότητες του οργάνου μέτρησης και/ή από τις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων Σφάλματα Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ. Αρκετές φορές τα πειραματικά δεδομένα πρέπει να απεικονίζονται υπό μορφή γραφικών παραστάσεων σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων καρτεσιανών συντεταγμένων. Με τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2

ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2 ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Περιεχόμενα 1. Στρογγυλοποίηση.... 2 1.1 Γενικά.... 2 1.2 Κανόνες Στρογγυλοποίησης.... 2 2. Σημαντικά ψηφία.... 2 2.1 Γενικά.... 2 2.2 Κανόνες για την

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Πειραματικό σχέδιο και ANOVA Η βασική διαφορά μεταξύ των πειραματικών σχεδίων είναι ο τρόπος με τον οποίο ταξινομούνται ή κατατάσσονται οι πειραματικές μονάδες (πειραματικά τεμάχια) Σε όλα τα σχέδια

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ x 2. 6x x. 1B. Α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις:

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ x 2. 6x x. 1B. Α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 ΘΕΜΑ 1 Ο 1Α. α). Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Κανονισμός Λειτουργίας του Εργαστηρίου Φυσικής. Κανόνες Λειτουργίας των Εργαστηρίων Φυσικής

Κανονισμός Λειτουργίας του Εργαστηρίου Φυσικής. Κανόνες Λειτουργίας των Εργαστηρίων Φυσικής Εργαστήριο: ΦΥΣΙΚΗΣ Υπεύθυνη εργαστηρίου: Μ.Πηλακούτα Αίθουσα: Κτίριο Β, Αίθουσα Β 111, Β 227 Κανονισμός Λειτουργίας του Εργαστηρίου Φυσικής Προσαρμοσμένος στον Εσωτερικό κανονισμό του Τ.Ε.Ι. Πειραιά.

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 6: Θέματα σχετικά με τη διδασκαλία των ολοκληρωμάτων. Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Ένας μαθητής κατά την μελέτη της ολοκλήρωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Τι λέγεται ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων σχετικών συχνοτήτων; Ιστόγραμμα αθροιστικών απολύτων ή σχετικών συχνοτήτων είναι μια σειρά από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός

i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακoλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 7: Κανονική Κατανομή Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ 1 Μ.ΠΗΛΑΚΟΥΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ 1 Μ.ΠΗΛΑΚΟΥΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΗΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΣΠΟΥΔΑΣΤΩΝ ΣΤΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 1 ΤΥΠΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β)

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β) ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 04 ΘΕΜΑ ο Α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ονομάζονται ασυμβίβαστα;

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΤ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Σκοπός της άσκησης 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με τα σφάλματα που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών

Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών Φυσική Α Γενικού Λυκείου Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών (Μετρήσεις, αβεβαιότητα, επεξεργασία δεδομένων) Υποστηρικτικό υλικό 20 Οκτωβρίου 2016 Μαρίνα Στέλλα, Υπεύθυνη ΕΚΦΕ Σχολικό Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

x 2,, x Ν τον οποίον το αποτέλεσμα επηρεάζεται από

x 2,, x Ν τον οποίον το αποτέλεσμα επηρεάζεται από Στη θεωρία, θεωρία και πείραμα είναι τα ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ... υπό ισχυρή συμπίεση ίδια αλλά στο πείραμα είναι διαφορετικά, A.Ensten Οι παρακάτω σημειώσεις περιέχουν τα βασικά σημεία που πρέπει να γνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β;

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; σελ 1 από 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; 1. Σ-Λ Η σχέση με:, είναι συνάρτηση. 2. Σ-Λ Η σχέση είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ.

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. π.χ. Βαθμολογία διαγωνίσματος σε τμήματα: Α : 7, 11,16, 16,,. Β : 11, 13, 16, 16, 17, 17. Παρατήρηση : Για τέτοιους λόγους χρειάζεται και η εξέταση κάποιων μέτρων διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ 5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ Μετρούμε αλλά και υπολογίζουμε Στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το μέτρο, αλλά και άλλα όργανα με τα οποία μετρούμε το μήκος. Το σχήμα που μετρούμε με το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ 2. Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική εκπομπή είναι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2017-2018 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις 01 Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 31 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία (ορισμός), σελίδα 18-19 σχολικού βιβλίου Α3. Θεωρία, (ορισμός), σελίδα 96 σχολικού βιβλίου Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος

Μαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος =================================================================== ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 06 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Εργαστήριο Φυσικής

Γενικό Εργαστήριο Φυσικής http://users.auth.gr/agelaker Γενικό Εργαστήριο Φυσικής Γενικό Εργαστήριο Φυσικής Σφάλματα Μελέτη φυσικού φαινομένου Ποσοτική σχέση παραμέτρων Πείραμα Επαλήθευση Καθιέρωση ποσοτικής σχέσης Εύρεση τιμής

Διαβάστε περισσότερα