ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης... 2"

Transcript

1 ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ, ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Περιεχόμενα 1. Στρογγυλοποίηση Γενικά Κανόνες Στρογγυλοποίησης Σημαντικά ψηφία Γενικά Κανόνες για την εύρεση των σημαντικών ψηφίων Κανόνες για τα σημαντικά ψηφία όταν κάνουμε πράξεις Σφάλματα και Αβεβαιότητες. Εισαγωγή Συστηματικά και τυχαία σφάλματα Ακρίβεια (accuracy) και Πιστότητα (precision) Αβεβαιότητα (uncertainty) και σφάλμα (error) Αβεβαιότητα (uncertainty) σε μία τιμή μέτρησης από την ανάγνωση του οργάνου (reading error) Αβεβαιότητα (uncertainty) λόγω υψηλού τυχαίου σφάλματος (επαναλαμβανόμενες μετρήσεις) Επιλογή της αβεβαιότητας δx (uncertainty) σε επαναλαμβανόμενη μέτρηση Σημαντικά ψηφία στην αβεβαιότητα Κανόνας για την τελική γραφή του αποτελέσματος της μέτρησης Τυπική απόκλιση σ (standard deviation). Η «επιστημονική» αβεβαιότητα Σύνοψη κανόνων για τον υπολογισμό και την γραφή της μέσης τιμής και της αβεβαιότητας μέτρησης Σχετική αβεβαιότητα και επί τοις εκατό αβεβαιότητα Διάδοση σφαλμάτων Το επί τοις εκατό «σφάλμα» Βιβλιογραφία Όμιλος Αριστείας στην Φυσική Σελ. 1 Συγγραφή Χ. Φανίδης, Φυσικός

2 1. Στρογγυλοποίηση. 1.1 Γενικά. Κατά την επεξεργασία αριθμών στην Φυσική αναγκαζόμαστε, πολλές φορές, να στρογγυλοποιήσουμε τους αριθμούς που χρησιμοποιούμε. Ως στρογγυλοποίηση νοείται η διαδικασία κατά την οποία κρατάμε στον αριθμό έναν συγκεκριμένο αριθμό ψηφίων είτε δεκαδικών είτε ακεραίων. Για παράδειγμα η στρογγυλοποίηση του αριθμού στις εκατοντάδες θα δώσει και του αριθμού 678,233 στα εκατοστά θα δώσει 678, Κανόνες Στρογγυλοποίησης. α) Αν το ψηφίο που θα παραλείψουμε είναι μικρότερο του 5 τότε δεν πειράζουμε το ψηφίο που θα μείνει τελευταίο. Για παράδειγμα > ή 456,2947 -> 456,29 β) Αν το ψηφίο που θα παραλείψουμε είναι μεγαλύτερο του 5 τότε αυξάνουμε κατά 1 το ψηφίο που θα μείνει τελευταίο. Για παράδειγμα > ή 456, > 456,30 γ) Αν το ψηφίο που θα παραλείψουμε είναι το 5 τότε (κανόνας των τραπεζιτών) γ1) αν το ψηφίο που θα μείνει τελευταίο είναι περιττός του προσθέτουμε 1. Για παράδειγμα > ή 456, > 456,21 γ2) αν το ψηφίο που θα μείνει τελευταίο είναι άρτιος το αφήνουμε ως έχει. Για παράδειγμα > ή 456, > 456,28 2. Σημαντικά ψηφία. 2.1 Γενικά. Σε κάθε μέτρηση μπορούμε από το όργανο μέτρησης να διαβάσουμε έναν ορισμένο αριθμό ψηφίων. Όταν για παράδειγμα μετράμε απόσταση με ένα μεταλλικό μέτρο που η μικρότερη υποδιαίρεση που έχει ένα χιλιοστό (1mm) μπορεί να πάρουμε ως αποτέλεσμα 1,000 m ή 1,340 m ή 1,864 m αλλά ποτέ δεν μπορεί να πάρουμε ως αποτέλεσμα 1,8643 m ή 1,8640 m αφού στο μέτρο πάνω δεν υπάρχει ένδειξη δεκάκις χιλιοστού. 2.2 Κανόνες για την εύρεση των σημαντικών ψηφίων. α) Αν ο αριθμός είναι δεκαδικός μικρότερος από την μονάδα τα μηδενικά που είναι στο αριστερό μέρος του αριθμού (στην αρχή) δεν είναι σημαντικά. Για παράδειγμα ο αριθμός 0,003 έχει ένα σημαντικό ψηφίο. Τα μηδενικά που είναι στο τέλος του δεκαδικού αριθμού είναι σημαντικά. Αυτό γιατί αν τα έγραψε κάποιος αυτό σημαίνει ότι τα μέτρησε. Για παράδειγμα ο αριθμός 0,8400 έχει τέσσερα σημαντικά και ο αριθμός 0,0520 τρία. Όμιλος Αριστείας στην Φυσική Σελ. 2 Συγγραφή Χ. Φανίδης, Φυσικός

3 β) Αν ο αριθμός είναι δεκαδικός μεγαλύτερος από την μονάδα όλα τα ψηφία είναι σημαντικά. Για παράδειγμα το 2300,740 έχει επτά σημαντικά ψηφία. (Εννοείται ότι αν κάποιος γράψει ,740 τα μηδενικά στην αρχή του αριθμού δεν μετρούν). γ) Αν ο αριθμός είναι ακέραιος: γ1) Αν δεν έχει μηδενικά στο τέλος όλα τα σημεία είναι σημαντικά. Για παράδειγμα ο αριθμός έχει πέντε σημαντικά ψηφία. γ2) Αν ο αριθμός στο τέλος του έχει μηδενικά τα οποία έχουν προκύψει από την ακρίβεια του οργάνου βάζουμε στο τέλος του αριθμού μια υποδιαστολή και θεωρούμε τα μηδενικά σημαντικά. Για παράδειγμα μετρώντας απόσταση με ένα μεταλλικό μέτρο, με μικρότερη υποδιαίρεση το 1 m, βρήκαμε ακριβώς 120 m. Γράφουμε λοιπόν 120, m. Τα σημαντικά ψηφία είναι τρία. γ3) Αν ο αριθμός στο τέλος του έχει μηδενικά τα οποία δεν έχουν προκύψει από την ακρίβεια του οργάνου τότε δεν είναι σημαντικά και δεν τα μετράμε ως τέτοια. Αν για παράδειγμα μετρήσαμε μια απόσταση 123 m με ένα δεκάμετρο ( η μικρότερη υποδιαίρεση είναι 10 m) τότε ως αποτέλεσμα θα γράψουμε 120 m. Εδώ τα σημαντικά ψηφία είναι δύο. 3. Κανόνες για τα σημαντικά ψηφία όταν κάνουμε πράξεις. Όταν χρειάζεται να επεξεργαστούμε τις μετρήσεις μας και κάνουμε πράξεις με αυτές, τότε στο τελικό αποτέλεσμα δεν πρέπει να έχουμε περισσότερα σημαντικά ψηφία από τα λιγότερα σημαντικά ψηφία οποιουδήποτε αριθμού που συμμετέχει στις πράξεις. Για παράδειγμα αν θέλω να βρω ταχύτητα και έχω μετρήσει Δx = 20,341 m (5 σημαντικά ψηφία) και Δt=2,71 s (3 σημαντικά ψηφία) από την διαίρεση θα πάρω:. Επειδή η μικρότερη ακρίβεια των αριθμών που μετέχουν στις πράξεις είναι 3 σημαντικά ψηφία πρέπει (μετά την στρογγυλοποίηση) να γράψουμε το αποτέλεσμα δηλ. με τρία σημαντικά ψηφία. Αν έχω να κάνω μία σειρά διαδοχικών πράξεων (π.χ. να υπολογίσω και κατόπιν ): Θεωρητικά θα πρέπει σε κάθε βήμα πράξεων να κρατώ τον σωστό αριθμό σημαντικών ψηφίων. Πρακτικά κάνω όλες τις πράξεις κρατώντας όλα τα ψηφία και στο τελικό αποτέλεσμα κρατώ τόσα σημαντικά ψηφία, όσα τα λιγότερα σημαντικά ψηφία οποιουδήποτε αριθμού που συμμετέχει στις πράξεις. Όμιλος Αριστείας στην Φυσική Σελ. 3 Συγγραφή Χ. Φανίδης, Φυσικός

4 4. Σφάλματα και Αβεβαιότητες. Εισαγωγή Error in a scientific measurement means the inevitable uncertainty that attends all measurements. As such, errors are not mistakes; you cannot eliminate them by being very careful. The best you can hope to do is to ensure that errors are as small as reasonably possible and to have a reliable estimate of how large they are. Taylor, John R. (John Robert), An introduction to error analysis. 2nd ed. «Το σφάλμα στις επιστημονικές μετρήσεις σημαίνει την αναπόφευκτη αβεβαιότητα που συνοδεύει όλες τις μετρήσεις. Ιδωμένα από αυτήν την σκοπιά τα σφάλματα δεν είναι λάθη. Δεν μπορείς να τα εξαλείψεις αν είσαι πολύ προσεκτικός. Το καλύτερο που μπορείς να ελπίζεις να κάνεις είναι να διασφαλίσεις ότι τα σφάλματα είναι τόσο μικρά, όσο είναι λογικά δυνατόν, και να έχουμε μια αξιόπιστη εκτίμηση πόσο μεγάλα είναι.» «Συνοψίζοντας λοιπόν μπορούμε να πούμε ότι ο όρος "σφάλμα" στην επιστημονική γλώσσα σημαίνει την αναπόφευκτη, αριθμητικά εκφρασμένη, έλλειψη ακρίβειας που υπάρχει στη μέτρηση ενός μεγέθους σ όλα τα πειράματα καθώς και τις τυχόν ατέλειες ή ελαττωματικότητας των οργάνων και των μεθόδων μας.» Εισαγωγή στην θεωρία σφαλμάτων. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ. 5. Συστηματικά και τυχαία σφάλματα. Η διάκριση ανάμεσα στα συστηματικά και τα τυχαία σφάλματα δεν είναι πάντα ξεκάθαρη και ένας παράγοντας που σε ένα πείραμα προκαλεί τυχαίο σφάλμα σε ένα άλλο προκαλεί τυχαίο (π.χ. το σφάλμα παράλλαξης). Συστηματικά σφάλματα είναι σφάλματα τα οποία δεν μπορούμε να εξαφανίσουμε αν αυξήσουμε τον αριθμό των μετρήσεων. Οφείλονται συνήθως σε προβληματικά όργανα ή σε κακή βαθμονόμηση του οργάνου. Τα συστηματικά σφάλματα ανιχνεύονται δύσκολα και υπολογίζονται δύσκολα. Τυχαία είναι τα σφάλματα που προκαλούνται από τυχαίους παράγοντες που επηρεάζουν τις μετρήσεις κατά την διεξαγωγή του πειράματος. Τα τυχαία σφάλματα υπολογίζονται και αυξάνοντας τον αριθμό των μετρήσεων μειώνουμε την επίδραση τους στο τελικό αποτέλεσμα. Αν δεν έχουμε συστηματικά σφάλματα οι μετρήσεις μας βρίσκονται γύρω από την πραγματική τιμή ενώ αν υπάρχουν συστηματικά οι μετρήσεις μας είναι όλες μετατοπισμένες (και διασκορπισμένες) προς μια κατεύθυνση, θετική ή αρνητική σε σχέση με την "πραγματική τιμή. Μεγάλο συστηματικό σφάλμα μας δίνει μικρή ακρίβεια στην μέτρηση και μεγάλο τυχαίο σφάλμα μας δίνει μικρή πιστότητα στην μέτρηση. Όμιλος Αριστείας στην Φυσική Σελ. 4 Συγγραφή Χ. Φανίδης, Φυσικός

5 6. Ακρίβεια (accuracy) και Πιστότητα (precision) Μία μέτρηση μπορεί να έχει α. Μεγάλη ακρίβεια και μικρή πιστότητα. β. Μικρή ακρίβεια και μεγάλη πιστότητα. γ. Μεγάλη ακρίβεια και μεγάλη πιστότητα. δ. Μικρή ακρίβεια και μικρή πιστότητα. Ακρίβεια ονομάζουμε την συμφωνία που παρουσιάζει μια μέτρηση με την πραγματική ή αποδεκτή τιμή. Η μικρή ακρίβεια σημαίνει μεγάλο συστηματικό σφάλμα. Πιστότητα ονομάζουμε την δυνατότητα μια μέτρηση να δίνει μικρή αβεβαιότητα σε σχέση με την μέση τιμή. Δηλ. η μέτρηση να μας δίνει περίπου πάντα την ίδια τιμή χωρίς κατ ανάγκην αυτή η τιμή να είναι η ορθή τιμή. Η μικρή πιστότητα σημαίνει μεγάλο τυχαίο σφάλμα. Για παράδειγμα αν το μήκος ενός μολυβιού είναι 8 cm τότε: α. Μέτρηση με μεγάλη ακρίβεια και μικρή πιστότητα β. Μέτρηση με μικρή ακρίβεια και μεγάλη πιστότητα. γ. Μέτρηση με μεγάλη ακρίβεια και μεγάλη πιστότητα. Όμιλος Αριστείας στην Φυσική Σελ. 5 Συγγραφή Χ. Φανίδης, Φυσικός

6 δ. Μέτρηση με μικρή ακρίβεια και μικρή πιστότητα 7. Αβεβαιότητα (uncertainty) και σφάλμα (error) Κάποιοι συγγραφείς χρησιμοποιούν τις δύο έννοιες ως ταυτόσημες. Κάποιοι άλλοι τις διαχωρίζουν. Θα ορίσουμε τις δύο έννοιες παρακάτω. Aβεβαιότητα δx της μέτρησης (για το φυσικό μέγεθος x) ονομάζεται το εύρος του διαστήματος των τιμών, σε σχέση με την πιο πιθανή τιμή, μέσα στο οποίο βρίσκονται οι μετρήσεις μας. Με σύμβολα γράφω ότι η μέτρησή μου βρίσκεται στο διάστημα. Δηλαδή αβεβαιότητα είναι η η ποσοτικοποίηση της αμφιβολίας μας για το αποτέλεσμα της μέτρησης. Για παράδειγμα στο σχήμα α) παραπάνω μπορούμε να γράψουμε l = 8,0 ± 2,5 cm. Σφάλμα της μέτρησης ονομάζουμε την διαφορά μιάς τιμής της μέτρησης από την πραγματική ή την αποδεκτή τιμή. Για παράδειγμα στο σχήμα α) υπάρχει η μέτρηση l = 8,8 cm. Για αυτή την μέτρηση σφάλμα = 8,8 8 =0,8 cm. 7.1 Αβεβαιότητα (uncertainty) σε μία τιμή μέτρησης από την ανάγνωση του οργάνου (reading error). Υπάρχουν κάποιες μετρήσεις για τις οποίες ο παρατηρητής βρίσκει την ίδια τιμή όσες φορές και να μετρήσει το φυσικό μέγεθος. Αυτές αρκεί να γίνουν μία φορά. Για παράδειγμα η μέτρηση του μήκους με ένα μέτρο, η ζύγιση μιας μάζας με ένα ηλεκτρονικό ζυγό, η μέτρηση της τάσης μια μπαταρίας με ένα ηλεκτρονικό βολτόμετρο. Σε αυτές τις μετρήσεις η αβεβαιότητα δx του φυσικού μεγέθους χ προκύπτει από την ανάγνωση του οργάνου (reading error). a) Αν το όργανο έχει αναλογική κλίμακα ορίζουμε ως αβεβαιότητα μέτρησης, σε αυτές τις μετρήσεις, το μισό της μικρότερης υποδιαίρεσης του οργάνου Όμιλος Αριστείας στην Φυσική Σελ. 6 Συγγραφή Χ. Φανίδης, Φυσικός

7 Το παραπάνω μολύβι έχει μήκος d=36 mm. Άρα δd = ±0,5 mm. Άρα πιθανή τιμή της μέτρησης από 35,5 mm έως 36,5 mm. Επομένως d ± δd =36,0 mm ± 0,5 mm. Πολλές φορές για ευκολία ορίζουμε ως αβεβαιότητα την μικρότερη υποδιαίρεση του οργάνου. β) Αν το όργανο έχει ψηφιακή κλίμακα ορίζουμε ως αβεβαιότητα, σε αυτές τις μετρήσεις, την μικρότερη υποδιαίρεση του οργάνου. Εδώ έχουμε τάση V = 12,34 ± 0,01 Volt 7.2 Αβεβαιότητα (uncertainty) λόγω υψηλού τυχαίου σφάλματος (επαναλαμβανόμενες μετρήσεις). Σε μία μέτρηση υπάρχει πιθανότητα το τυχαίο σφάλμα να είναι υψηλό (π.χ. λόγω του χρόνου αντίδρασης του παρατηρητή) και να επαναλαμβάνουμε την μέτρηση πολλές φορές για να το μειώσουμε. Σε αυτή την περίπτωση η αβεβαιότητα δεν προέρχεται κυρίως από το σφάλμα ανάγνωσης του οργάνου. Ας υποθέσουμε ότι πραγματοποιούμε μέτρηση χρόνου (για παράδειγμα περίοδος περιοδικού φαινομένου) με ψηφιακό χρονόμετρο όπου δt = ± 0,01 s. Έστω ότι μετρήσαμε τις παρακάτω τιμές Μέση Τιμή Μέση Τιμή με 4 σημαντικά 14,48s 14,37s 14,88s 14,90s 14,86s 15,00s 14,74833 s 14,75 s Η πιο πιθανή τιμή για το φυσικό μέγεθος x είναι η μέση τιμή των μετρήσεων. Η πιο πιθανή τιμή για το t από τις μετρήσεις μας είναι = 14,75 s Οι μετρήσεις έχουν δηλαδή μέση τιμή = 14,75 s, και κυμαίνονται από το 14,37 (=14,75 0,38) έως το 15,00 (=14,75 + 0,25). Έχουμε λοιπόν ένα δt max = 0,25 s, και ένα δt min = - 0,38 s. Προφανώς το σφάλμα ανάγνωσης 0,01 είναι πολύ μικρότερο από την αβεβαιότητα της μέτρησης, λόγω του χρόνου αντίδρασης του παρατηρητή, και δεν μας απασχολεί. Πως θα επιλέξουμε την αβεβαιότητα ανάμεσα στο δt max και δt min ; Όμιλος Αριστείας στην Φυσική Σελ. 7 Συγγραφή Χ. Φανίδης, Φυσικός

8 7.2.1 Επιλογή της αβεβαιότητας δx (uncertainty) σε επαναλαμβανόμενη μέτρηση. Στο παραπάνω παράδειγμα με την μέτρηση του χρόνου η απόσταση της μέσης τιμής από τις ακραίες τιμές είναι δt min = 0,38 s και δt max = +0,25 s. Πως θα επιλέξουμε την τιμή δt; a) Ένας πρακτικός κανόνας είναι να βρούμε την μέση τιμή των δύο ακραίων τιμών της αβεβαιότητας μέσω της σχέσης Δηλαδή στο παραπάνω παράδειγμα της μέτρησης χρόνου Επομένως με σύμβολα γράφω δt = 0,315 s γιατί Σημείωση: Η παραπάνω σχέση (1) μας δίνει την μέση τιμή των δύο ακραίων τιμών της αβεβαιότητας όπου 7.3 Σημαντικά ψηφία στην αβεβαιότητα. Επειδή η αβεβαιότητα υπολογίζεται κατά προσέγγιση ο κανόνας που εφαρμόζουμε είναι: Στην αβεβαιότητα κρατάμε ένα σημαντικό ψηφίο. Αν όμως αυτό το σημαντικό ψηφίο είναι ο αριθμός 1 ή το 2 τότε κρατάμε δύο σημαντικά ψηφία. Δηλαδή δt = 0,315 s θα δώσει τελικά δt = 0,3 s. Αν είχαμε δt = 0,14 s ή δt = 0,28 s θα κρατούσαμε και τα δύο σημαντικά. Επομένως στο πιο πάνω παράδειγμα θα γράψουμε. 8. Κανόνας για την τελική γραφή του αποτελέσματος της μέτρησης. Όταν έχουμε βρει την μέση τιμή και την αβεβαιότητα της μέτρησής μας γράφουμε το αποτέλεσμα ως. Ένας πρακτικός κανόνας που εφαρμόζουμε τώρα είναι ο εξής: Ο αριθμός των δεκαδικών στην μέση τιμή των τιμών από τις μετρήσεις πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των δεκαδικών στην αβεβαιότητα. Επομένως στο πιο πάνω παράδειγμα θα έχουμε Όμιλος Αριστείας στην Φυσική Σελ. 8 Συγγραφή Χ. Φανίδης, Φυσικός

9 9. Τυπική απόκλιση σ (standard deviation). Η «επιστημονική» αβεβαιότητα. Ένας πιο συστηματικός τρόπος για να υπολογιστεί η αβεβαιότητα είναι ο υπολογισμός της τυπικής απόκλισης σ (standard deviation). Η τυπική απόκλιση μας δίνει την μέση αβεβαιότητα των μετρήσεων. Η τυπική απόκλιση υπολογίζεται από τον τύπο Η σημασία της τυπικής απόκλισης είναι ότι αν κάνω πάρα πολλές μετρήσεις ενός φυσικού μεγέθους (ώστε να έχω κανονική κατανομή των μετρήσεων) τότε η πιθανότητα να βρεθεί η τιμή μιας μέτρησης στο εύρος τιμών είναι 68%, και στο εύρος τιμών είναι 95%. 10. Σύνοψη κανόνων για τον υπολογισμό και την γραφή της μέσης τιμής και της αβεβαιότητας μέτρησης. 1. Από κάθε μέτρηση έχουμε έναν αριθμό σημαντικών ψηφίων (βλ. 2.2 Κανόνες για την εύρεση των σημαντικών ψηφίων). 2. Όταν κάνω πράξεις, με τιμές από μετρήσεις, εκτελώ όλες τις πράξεις μέχρι το τελικό αποτέλεσμα κρατώντας όλα τα ψηφία. Στο τελικό αποτέλεσμα στρογγυλοποιώ και κρατώ τόσα σημαντικά ψηφία, όσα τα λιγότερα σημαντικά ψηφία οποιουδήποτε αριθμού που συμμετέχει στις πράξεις. 3. Την τιμή της αβεβαιότητας την υπολογίζουμε: 3α) Για την αβεβαιότητα δx από ανάγνωση του οργάνου μέσω της σχέσης 3α) Για την αβεβαιότητα δx από επαναλαμβανόμενες μετρήσεις 4. Στην τιμή της αβεβαιότητας κρατάμε ένα σημαντικό ψηφίο. Αν όμως αυτό το σημαντικό ψηφίο είναι ο αριθμός 1 ή το 2 τότε κρατάμε δύο σημαντικά ψηφία. 5. Ο αριθμός των δεκαδικών στην μέση τιμή των τιμών από τις μετρήσεις πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των δεκαδικών στην αβεβαιότητα. 6. Στην σχετική αβεβαιότητα (χρησιμοποιείτε στην διάδοση των σφαλμάτων βλ. παρακάτω) κρατάμε όσα σημαντικά μπορούμε. Όμιλος Αριστείας στην Φυσική Σελ. 9 Συγγραφή Χ. Φανίδης, Φυσικός

10 11. Σχετική αβεβαιότητα και επί τοις εκατό αβεβαιότητα. Την αβεβαιότητα Δx την ονομάζουμε και απόλυτη αβεβαιότητα. Σχετική αβεβαιότητα ονομάζουμε το πηλίκο Επί τοις εκατό αβεβαιότητα ονομάζουμε το πηλίκο Η τιμή της σχετικής αβεβαιότητας είναι πάντα μικρότερη από την μονάδα και σε αυτήν κρατάμε όσα δεκαδικά ψηφία μπορούμε. Για παράδειγμα είναι. 12. Διάδοση σφαλμάτων Όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε δύο φυσικά μεγέθη τότε η απόλυτη αβεβαιότητα του αθροίσματος ή της διαφοράς ισούται με το άθροισμα των απόλυτων αβεβαιοτήτων τους. Δηλ αν c = a τότε δc = δa Όταν πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε δύο φυσικά μεγέθη τότε η σχετική αβεβαιότητα του γινομένου ή του πηλίκου ισούται με το άθροισμα των σχετικών αβεβαιοτήτων τους. Δηλ αν c = a.b ή c = Όταν υψώνω σε δύναμη ένα φυσικό μέγεθος τότε η σχετική αβεβαιότητα του αποτελέσματος ισούται με το πολλαπλάσιο της σχετικής αβεβαιότητας. Δηλ αν c = a κ τότε Αν c = τότε Όμιλος Αριστείας στην Φυσική Σελ. 10 Συγγραφή Χ. Φανίδης, Φυσικός

11 13. Το επί τοις εκατό «σφάλμα» Πολλές φορές σε πειράματα στο ελληνικό σχολείο ζητείται το επί τοις εκατό σφάλμα. Αν η πειραματική τιμή είναι η x μ και η αναμενόμενη ή η θεωρητική ή η πραγματική είναι η x θ τότε το επί τοις εκατό σφάλμα είναι η επί τοις εκατό διαφορά των δύο τιμών δηλ. 14. Βιβλιογραφία 1. An introduction to Error Analysis. The study of uncertainties in physical measurements. John R. Taylor. 2 nd edition University Science Books. 2. Εισαγωγή στην θεωρία σφαλμάτων. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ, ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ. Όμιλος Αριστείας στην Φυσική Σελ. 11 Συγγραφή Χ. Φανίδης, Φυσικός

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός

ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός ΑΣΚΗΣΗ 3 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο σπουδαστής να μπορέσει να παρουσιάζει τα αποτελέσματα πειραματικών μετρήσεων σε μορφή. Τις περισσότερες φορές στις ασκήσεις του εργαστηρίου,

Διαβάστε περισσότερα

Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών

Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών Φυσική Α Γενικού Λυκείου Γνωριμία με το Σχολικό Εργαστήριο Φυσικών Επιστημών (Μετρήσεις, αβεβαιότητα, επεξεργασία δεδομένων) Υποστηρικτικό υλικό 20 Οκτωβρίου 2016 Μαρίνα Στέλλα, Υπεύθυνη ΕΚΦΕ Σχολικό Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

0,00620 = 6, ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ. Γενικοί Κανόνες για τα Σημαντικά Ψηφία

0,00620 = 6, ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ. Γενικοί Κανόνες για τα Σημαντικά Ψηφία ΣΗΜΑΝΤΙΚΑ ΨΗΦΙΑ Είναι απαραίτητο να πούμε μερικά πράγματα για μια επαναλαμβανόμενη πηγή προβλημάτων και δυσκολιών: τα σημαντικά ψηφία. Τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη όπου οι αριθμοί και οι σχέσεις μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Η μέτρηση ενός μεγέθους στο εργαστήριο μπορεί να είναι:

Η μέτρηση ενός μεγέθους στο εργαστήριο μπορεί να είναι: Μετρήσεις-Αβεβαιότητα-Σφάλματα. Η μέτρηση ενός μεγέθους στο εργαστήριο μπορεί να είναι: ΑΜΕΣΗ ή ΕΜΜΕΣΗ Στην άμεση μέτρηση το μέγεθος μετράται με κάποιο όργανο. Στην έμμεση μέτρηση το μέγεθος υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων

Σφάλματα Είδη σφαλμάτων Σφάλματα Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα μετράμε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΤ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Σκοπός της άσκησης 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με τα σφάλματα που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Διάδοση αβεβαιοτήτων

Κεφάλαιο 6 Διάδοση αβεβαιοτήτων Κεφάλαιο 6 Διάδοση αβεβαιοτήτων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται ο τρόπος με τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε την αβεβαιότητα σε μία σύνθετη μέτρηση. Αρχικά δίνονται προσεγγιστικοί τρόποι υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Τι μάθαμε μέχρι τώρα:

Τι μάθαμε μέχρι τώρα: Τι μάθαμε μέχρι τώρα: Η μέτρηση μπορεί να είναι: ΑΜΕΣΗ ή ΕΜΜΕΣΗ Κάθε μέτρηση έχει ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ. Παρουσιάζοντας τη μέτρηση σύμφωνα με τη θεωρία σφαλμάτων γράφω δυο αριθμούς: x ± δx ή x ± Σσχ ή x ± %Σσχ όπου

Διαβάστε περισσότερα

Η μέτρηση ενός μεγέθους στο εργαστήριο μπορεί να είναι:

Η μέτρηση ενός μεγέθους στο εργαστήριο μπορεί να είναι: Μετρήσεις-Αβεβαιότητα-Σφάλματα. Η μέτρηση ενός μεγέθους στο εργαστήριο μπορεί να είναι: ΑΜΕΣΗ ή ΕΜΜΕΣΗ Στην άμεση μέτρηση το μέγεθος μετράται με κάποιο όργανο. Στην έμμεση μέτρηση το μέγεθος υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

x 2,, x Ν τον οποίον το αποτέλεσμα επηρεάζεται από

x 2,, x Ν τον οποίον το αποτέλεσμα επηρεάζεται από Στη θεωρία, θεωρία και πείραμα είναι τα ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ... υπό ισχυρή συμπίεση ίδια αλλά στο πείραμα είναι διαφορετικά, A.Ensten Οι παρακάτω σημειώσεις περιέχουν τα βασικά σημεία που πρέπει να γνωρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων

Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Περί σφαλμάτων και γραφικών παραστάσεων Σφάλμα ανάγνωσης οργάνου Το σφάλμα αυτό αναφέρεται σε αβεβαιότητες στη μέτρηση που προκαλούνται από τις πεπερασμένες ιδιότητες του οργάνου μέτρησης και/ή από τις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται δύο κριτήρια απόρριψης απομακρυσμένων από τη μέση τιμή πειραματικών μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους και συγκεκριμένα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Εργαστήριο Φυσικής

Γενικό Εργαστήριο Φυσικής http://users.auth.gr/agelaker Γενικό Εργαστήριο Φυσικής Γενικό Εργαστήριο Φυσικής Σφάλματα Μελέτη φυσικού φαινομένου Ποσοτική σχέση παραμέτρων Πείραμα Επαλήθευση Καθιέρωση ποσοτικής σχέσης Εύρεση τιμής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties

Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Μετρήσεις και Σφάλματα/Measurements and Uncertainties Κατά την καταγραφή δεδοµένων, σε κάθε εγγραφή δεδοµένου θα πρέπει να δίδεται µαζί και το αντίστοιχο εκτιµώµενο σφάλµα ή αβεβαιότητα. Ο όρος σφάλµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Εισαγωγή Έννοια του σφάλματος...3. Συστηματικά και τυχαία σφάλματα...4

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ. Εισαγωγή Έννοια του σφάλματος...3. Συστηματικά και τυχαία σφάλματα...4 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Εισαγωγή... 2 Έννοια του σφάλματος...3 Συστηματικά και τυχαία σφάλματα...4 Εκτίμηση του σφάλματος κατά την ανάγνωση κλίμακας...8 Πολλαπλές μετρήσεις... 10 Περί του αριθμού των σημαντικών

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις

Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς. Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική για Επιστήμονες και Μηχανικούς Εισαγωγή Φυσική και μετρήσεις Φυσική Χωρίζεται σε έξι βασικούς κλάδους: Κλασική μηχανική Θερμοδυναμική Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική Σχετικότητα Κβαντική μηχανική είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, - Μαθηματικά Ε

Αρβανιτίδης Θεόδωρος,  - Μαθηματικά Ε Δεκαδικά κλάσματα Δεκαδικοί αριθμοί Μάθημα 7 ο Σε κάθε κλάσμα έχουμε : όροι του κλάσματος : αριθμητής παρονομαστής πόσα ίσα μέρη της ακέραιης μονάδας πήρα πόσα ίσα μέρη χώρισα την ακέραιη μονάδα Η κλασματική

Διαβάστε περισσότερα

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π.

Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, δέντρα κ.λ.π. Λέγονται οι αριθμοί που βρίσκονται καθημερινά στη φύση, γύρω μας. π.χ. 1 μήλο, 2 παιδιά, 5 αυτοκίνητα, 100 πρόβατα, 1.000 δέντρα κ.λ.π. Εκτός από πλήθος οι αριθμοί αυτοί μπορούν να δηλώσουν και τη θέση

Διαβάστε περισσότερα

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα.

Για τη δραστηριότητα χρησιμοποιούνται τέσσερεις χάρακες του 1 m. Στο σχήμα φαίνεται το πρώτο δέκατο κάθε χάρακα. Σημαντικά ψηφία Η ταχύτητα διάδοσης του φωτός είναι 2.99792458 x 10 8 m/s. Η τιμή αυτή είναι δοσμένη σε 9 σημαντικά ψηφία. Τα 9 σημαντικά ψηφία είναι 299792458. Η τιμή αυτή μπορεί να δοθεί και με 5 σημαντικά

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚO ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Μαρία Κατσικίνη E-mal: katsk@auth.gr Web: users.auth.gr/katsk Τηλ: 0 99800 Γραφείο : Β όροφος, Τομέας Φυσικής Στερεάς Κατάστασης Σειρά των ασκήσεων Θεωρία : Σφάλματα Θεωρία :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΕΚΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Δεκαδικοί Αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δεκαδικό κλάσμα λέγεται... Βάλε σε κύκλο τα κλάσματα που είναι δεκαδικά 3 7 13

Διαβάστε περισσότερα

1. Πειραματικά Σφάλματα

1. Πειραματικά Σφάλματα . Πειραματικά Σφάλματα Σκοπός της εκτέλεσης ενός πειράματος στη Φυσική είναι ο προσδιορισμός ποσοτικός ή/και ποιοτικός- κάποιων φυσικών μεγεθών που περιγράφουν ένα συγκεκριμένο φαινόμενο. Ο ποιοτικός προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Εργαστηριακές Ασκήσεις Εργαστήριο 4 Ορθότητα, Ακρίβεια και Θόρυβος (Accuracy, Precision and Noise) Φ. Πλέσσας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 2 Θεωρία Σφαλμάτων

ΑΣΚΗΣΗ 2 Θεωρία Σφαλμάτων ΑΣΚΗΣΗ 2 Θεωρία Σφαλμάτων Σκοπός Σκοπός είναι να κατανοηθεί η έννοια των σφαλμάτων, η σπουδαιότητά τους και η αναγκαιότητα υπολογισμού τους. Δίνονται επίσης οι βασικοί μαθηματικοί τύποι που επιτρέπουν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων. Μαθηματικός ορισμός του σφάλματος : σφάλμα=x-x όπου x & X είναι η μετρούμενη και η πραγματική τιμή αντίστοιχα.

Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων. Μαθηματικός ορισμός του σφάλματος : σφάλμα=x-x όπου x & X είναι η μετρούμενη και η πραγματική τιμή αντίστοιχα. Ε. Κ. Παλούρα 00 Ε. Κ. Παλούρα 00 Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων Εισαγωγή στη θεωρία σφαλμάτων Πείραμα Συστηματική παρατήρηση & μέτρηση φυσικών φαινομένων Επαλήθευση απλών νόμων Εκπαίδευση στον υπολογισμό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης: Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΕ1. Περιεχόμενα. Η φυσική. Υπόθεση και φυσικό μέγεθος

ΦΕ1. Περιεχόμενα. Η φυσική. Υπόθεση και φυσικό μέγεθος Περιεχόμενα ΦΕ1 ΤΑ ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΚΑΙ Η ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥΣ ΤΟ ΜΗΚΟΣ 2015-16 6 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΑΣ Τα φυσικά μεγέθη Η Μέτρηση των φυσικών μεγεθών Μια μονάδα μέτρησης για όλους Το φυσικό μέγεθος Μήκος Όργανα μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Γ ΤΑΞΗ) ΟΝΟΜΑ:. (ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΤΟΥΣ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ) ΤΑ ΔΕΚΑΔΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΑΤΕ ΝΑ ΣΚΕΦΤΟΥΜΕ ΜΑΖΙ: Υπάρχουν άραγε αριθμοί ανάμεσα στο 0 και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ-ΦΥΣΙΚΗ Ι, 2013-14 ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Με τη λέξη σφάλμα στις θετικές επιστήμες αναφερόμαστε στην αβεβαιότητα που υπάρχει στην εύρεση του αποτελέσματος που προκύπτει από μια μέτρηση. Το να εκτιμήσουμε και να βρούμε τα σφάλμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΡΟΣ 1ο : ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί, ποια ιδιότητα έχουν και πως χωρίζονται; Οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ

5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ 5ο Μάθημα ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΟΓΚΟΥ Μετρούμε αλλά και υπολογίζουμε Στο προηγούμενο μάθημα χρησιμοποιήσαμε το μέτρο, αλλά και άλλα όργανα με τα οποία μετρούμε το μήκος. Το σχήμα που μετρούμε με το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Μια απλοποιημένη θεωρία σφαλμάτων Γραφικές παραστάσεις

Εισαγωγή Μια απλοποιημένη θεωρία σφαλμάτων Γραφικές παραστάσεις Εισαγωγή Μια απλοποιημένη θεωρία σφαλμάτων Γραφικές παραστάσεις Ο άνθρωπος αρχίζει να αποκτά γνώση για τον φυσικό κόσμο γύρω του, από τη στιγμή που αρχίζει να καταγράφει τα φυσικά φαινόμενα και να τα επεξεργάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ. Μετρήσεις με Διαστημόμετρο και Μικρόμετρο ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΥΛΙΚΩΝ Σκοπός της άσκησης Σε αυτή την άσκηση θα μετρήσουμε διαστάσεις στερεών σωμάτων χρησιμοποιώντας όργανα ακριβείας και θα υπολογίσουμε την πυκνότητα τους. Θα κάνουμε εφαρμογή της θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά Ε Δημοτικού E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ E 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - Ε Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 2013, Εκδόσεις Κυριάκος Παπαδόπουλος Α.Ε., Γιάννης

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ. Γρήγορα τεστ. Μαθηματικά ΣT Δημοτικού ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Γρήγορα τεστ Μαθηματικά ΣT Δημοτικού 1 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΓΡΗΓΟΡΑ ΤΕΣΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΣΤ Δημοτικού No 1 Γιάννης Ζαχαρόπουλος Διόρθωση: Αντωνία Κιλεσσοπούλου 201, Εκδόσεις Κυριάκος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα 9: Ψηφιακή Αριθμητική Βασίλης Παλιουράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Ψηφιακή Αριθμητική Σκοποί ενότητας 2 Περιεχόμενα ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:

Δύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης: Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών

1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΑΝΗ Γ. ΛΑΥΡΕΝΤΗ Ο ΗΓΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗΣ ΑΠΟ ΟΣΗΣ ΚΤΗΡΙΩΝ Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση)

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Μέσο σφάλμα μεγέθους (που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση) Όταν το πρωτοείδα, κι εγώ δεν το συμπάθησα. Είναι, όμως, λάθος μας, καθώς πρόκειται για κάτι πολύ απλό και σίγουρο ως μέθοδος υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση μετρήσεων

Κεφάλαιο 4 Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση μετρήσεων Κεφάλαιο 4 Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση μετρήσεων Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες της στατιστικής ανάλυσης των μετρήσεων που υπόκεινται σε τυχαία σφάλματα. Παρουσιάζεται μέσω

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ...

Ύλη εξετάσεων Κλάσματα Δεκαδικοί Δυνάμεις Ρητοί Αριθμοί Διαιρετότητα ΕΚΠ ΜΚΔ... ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ύλη εξετάσεων...2 1. Κλάσματα...3 2. Δεκαδικοί...8 3. Δυνάμεις...11 4. Ρητοί Αριθμοί...13. Διαιρετότητα...16 6. ΕΚΠ ΜΚΔ...17 7. Εξισώσεις- υστήματα...19 8. Αναλογίες - Απλή μέθοδος των τριών...2

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ

Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Εργαστήριο Δομής της Ύλης και Φυσικής Λέιζερ Παρουσίαση οργάνωσης των Εργαστηρίων Φυσικής Ι Ακαδ. Έτους 2013-14 http://www.physicslab.tuc.gr physicslab@isc.tuc.gr

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 3: Σφάλμα - Προσέγγιση - Στρογγυλοποίηση Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα

Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα Πηγές σφαλμάτων ανακριβής θεωρία ανακριβείς μετρήσεις παραμέτρων μεταβλητότητα παραμέτρων ανακριβής μέθοδος υπολογισμού (σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΔΑΜΑΝΤΙΟΣ ΣΧΟΛΗ ΤΑΞΗ Δ ΟΝΟΜΑ α. Αντιμεταθετική ιδιότητα 1. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Π Ρ Ο Σ Θ Ε Σ Η Α. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 8 + 7 = 15 ή 7 + 8 = 15 346 ή 517 ή 82 + 517 + 82 + 346 82 346 517 945 945

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Θεωρία Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Θεωρία Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εισαγωγικό μάθημα Συστήματα μέτρησης, μετατροπές δυνάμεων, μονάδων και σφάλματα μέτρησης Εισαγωγή Η Φυσική είναι μια επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού

Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 9ο Aντώνης Σπυρόπουλος Σφάλματα στρογγυλοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 2: Δεκαδικοί αριθμοί, κλάσματα, δυνάμεις, ρίζες και ποσοστά Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

2ο ΓΕΛ ΑΓ.ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΕΠΠ ΘΕΟΔΟΣΙΟΥ ΔΙΟΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ

2ο ΓΕΛ ΑΓ.ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΕΠΠ ΘΕΟΔΟΣΙΟΥ ΔΙΟΝ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΣΤΑΘΕΡΕΣ είναι τα μεγέθη που δεν μεταβάλλονται κατά την εκτέλεση ενός αλγόριθμου. Εκτός από τις αριθμητικές σταθερές (7, 4, 3.5, 100 κλπ), τις λογικές σταθερές (αληθής και ψευδής)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ:

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΗΧΗΤΙΚΑ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΣΤΗ ΜΙΑ ΑΚΡΗ ΣΩΛΗΝΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΤΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 4 ο, Τμήμα Α Τι συμβαίνει όταν η περίοδος δεν ξεκινάει αμέσως μετά το κόμμα όπως συμβαίνει με τον αριθμό 3,4555 και θέλουμε να γραφεί σαν κλάσμα; 345 Υπήρχαν πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο 1 Εισαγωγή Έντυπα εγχειρίδια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΑΚΡΙΒΗΣ Γ.Δ., ΔΟΥΓΑΛΗΣ Β.Α. Αριθμητική ανάλυση με εφαρμογές σε matlab & mathematica,

Διαβάστε περισσότερα

Σχήμα 1 Διαστημόμετρο (Μ Κύρια κλίμακα, Ν Βερνιέρος)

Σχήμα 1 Διαστημόμετρο (Μ Κύρια κλίμακα, Ν Βερνιέρος) Άσκηση Μ1 Θεωρητικό μέρος Μήκος και μάζα (βάρος) Όργανα μέτρησης μήκους Διαστημόμετρο Με το διαστημόμετρο μετράμε μήκη μέχρι και μερικά μέτρα, σε χαμηλές απαιτήσεις ως προς την ακρίβεια. Το κύριο μέρος

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων

Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Οδύσσεια Τα απίθανα... τριτάκια! Tετάρτη τάξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗ Συμπεράσματα Ενοτήτων Πηγή πληροφόρησης: e-selides ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δ ΤΑΞΗΣ 1η ΕΝΟΤΗΤΑ (ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ) Δεν μπορώ να βρω το ζητούμενο ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ

1 ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Δ.Π.Θ. - Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2017-2018 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο A Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης 03 ΟΚΤ 2017 ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 1: Εισαγωγή Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 22/1/ :11 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. Τεχνολογίας

ΘΕΜΑ : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 22/1/ :11 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. Τεχνολογίας ΘΕΜΑ : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους 22/1/2010 10:11 καθ. Τεχνολογίας 22/1/2010 10:12 Παραδείγματα Τι ονομάζουμε αριθμητικό σύστημα? Το σύνολο από ψηφία (αριθμοί & χαρακτήρες). Που χρησιμεύουν

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Όργανα μέτρησης διαστάσεων-μάζας. Υπολογισμός πυκνότητας μεταλλικών σωμάτων

Όργανα μέτρησης διαστάσεων-μάζας. Υπολογισμός πυκνότητας μεταλλικών σωμάτων Όργανα μέτρησης διαστάσεων-μάζας. Υπολογισμός πυκνότητας μεταλλικών σωμάτων Συγγραφείς:. Τμήμα, Σχολή Εφαρμοσμένων Επιστημών, ΤΕΙ Κρήτης Περίληψη Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση μετρήσαμε τη διάμετρο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες: Όγκος σώματος - Ογκομετρικός κύλινδρος

Βασικές έννοιες: Όγκος σώματος - Ογκομετρικός κύλινδρος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 Ονομ/μο:.. Τμήμα: Βασικές έννοιες: Όγκος σώματος - Ογκομετρικός κύλινδρος Παρατηρώ - Πληροφορούμαι - Γνωρίζω Σε αυτή την άσκηση θα ασχοληθούμε με τη μέτρηση του όγκου υγρών και στερεών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Δx: απόλυτο σφάλμα του μεγέθους x. (Το Δx έχει τις ίδιες μονάδες με το x). Δx x Δx x

Κεφάλαιο 1. Δx: απόλυτο σφάλμα του μεγέθους x. (Το Δx έχει τις ίδιες μονάδες με το x). Δx x Δx x Κεφάλαιο 1 Σύνοψη Θεωρία Σφαλμάτων: Βασικές γνώσεις περί σφαλμάτων με στόχο την κατανόηση των διαφόρων πηγών σφάλματος πειραματικών μετρήσεων, του τρόπου ποσοτικής εκτίμησης της επίδρασής τους στην (αν-)ακρίβεια

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικά Συστήματα

Αριθμητικά Συστήματα Αριθμητικά Συστήματα Σε οποιοδήποτε αριθμητικό σύστημα, με βάση τον αριθμό Β, ένας ακέραιος αριθμός με πλήθος ψηφίων ν, εκφράζεται ως ακολούθως: α ν-1 α ν-2 α 1 α 0 = α ν-1 Β ν-1 + α ν-2 Β ν-2 + + α 1

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές σκέψεις σχετικά με το αποτέλεσμα μιας μέτρησης ή παρατήρησης

Μερικές σκέψεις σχετικά με το αποτέλεσμα μιας μέτρησης ή παρατήρησης 1 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝ/ΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΩΤ. ΣΑΚΚΟΠΟΥΛΟΣ Μερικές σκέψεις σχετικά με το αποτέλεσμα μιας μέτρησης ή παρατήρησης (Θεωρία σφαλμάτων, Σημαντικά ψηφία) ΠΑΤΡΑ 2016 2 Εισαγωγή Στη Φυσική, όπως αυτή εκτίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 4: Σφάλματα περικοπής (truncation) και η σειρά Taylor Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ

1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ 1 1.1 ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΙΑΤΑΞΗ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ 1. Φυσικοί αριθµοί : Είναι οι αριθµοί 0, 1, 2, 3,, 10000, 10001,.50000 2. Προηγούµενος επόµενος : Κάθε φυσικός αριθµός εκτός από το 0 έχει έναν προηγούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Μαθηματικά Ενότητα 1: Βασικές Γνώσεις Άλγεβρας Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα