ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

Transcript

1 ΞΕΠΑΠΑΔΕΑΣ ΓΙΑΝΝΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

2 ΛΥΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν Α κι Β είνι δύο σύνο ν ποδείξετε ότι Α Β c BB Α c B Εφρμόζοντς την επιμεριστική ιδιότητ της ένωσης ως προς την τομή έχουμε: c c B B B B B B c c Πρόμοι είνι B B B Αν Α κι Β είνι δύο σύνο ν ποδείξετε ότι ισχύουν οι πρκάτω σχέσεις νόμοι De Morgn: Α Β c Α c Β c κι Α Β c Α c Β c c B ν κι μόνο ν B Β c Η δεύτερη σχέση ποδεικνύετι πρόμοι ή κι Β ή c κι Θεωρήστε δύο σύνο Α κι Β Ν ποδείξετε ότι ΑΒ Α Β ΑΒ ΒΑ γ ΑΒ ΒΑΑ ΒΑ Β c B B B B c B B c B B c c B B B B c c B B c c γ B B B B c c c [ B B] [ B ] c c c c [ B B B ] [ B ] c c B B ντιμετθετική ιδιότητ προσετιριστική ιδιότητ προσετιριστική ιδιότητ επιμεριστική ιδιότητ ομοίως B B c B B νόμος de Morgn διφορά συνόων Αν Α κι Β είνι δύο σύνο ν δείξετε ότι ισχύουν οι σχέσεις: Α Β c c Α c Β κι Α Β c c Α c Β Εφρμόζοντς τους νόμους de Morgn έχουμε: c c c c c B B B c

4 c c c c c B B B c Έν σύνοο Α έχει n στοιχεί κι τρί υποσύνοά του Α Α κι Α έχουν n n κι n στοιχεί ντίστοιχ Επίσης είνι γνωστό ότι τ σύνο Α Α Α Α Α Α Α κι Α Α έχουν v v v κι v στοιχεί ντίστοιχ Ν ρείτε το πήθος των στοιχείων των πρκάτω συνόων: Α Α Α Α Α κι Α Α Με τη οήθει του διγράμμτος Venn προκύπτει ότι κτά τον προσδιορισμό του πήθους των στοιχείων της ένωσης Α Α Α έχουμε πάρει πό δύο φορές τ στοιχεί της τομής i j ij κι i j Γι το όγο υτό φιρούμε τ στοιχεί υτά v v v πό το άθροισμ n n n Επειδή όμως έτσι φιρούμε τ v στοιχεί της τομής Α Α Α μί επιπέον φορά προσθέτουμε το πήθος v στο τεικό άθροισμ κι έτσι το πήθος των στοιχείων της ένωσης Α Α Α είνι n n n -v -v -v v Πρόμοι το πήθος των στοιχείων της ένωσης Α Α είνι n n -v κι της ένωσης Α Α είνι n n v ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ν υποογίσετε τις πρκάτω δυνάμεις: 7/ 7 / γ -/ 7 / 7 / 7 8 / / 7 9 γ

5 Ν ποδείξετε τις πρκάτω σχέσεις: n n n n γ δ ν κι μόνο ή ή που ισχύει Επγωγικά ποδεικνύετι ότι n n- n n Πρόμοι ποδεικνύετι ότι n n γ με άση το ερώτημ δ με άση το ερώτημ Ν εξετάσετε ν τ πρκάτω σύνο είνι φργμέν κάτω ή άνω κι όπου είνι δυντό ν ρείτε το μέγιστο κι το εάχιστο στοιχείο τους το εάχιστο άνω φράγμ τους κι το μέγιστο κάτω φράγμ τους Α{: >} B{ ν } Το σύνοο Α είνι φργμένο κάτω με μέγιστο κάτω φράγμ infimum το Το σύνοο Β είνι φργμένο κάτω με μέγιστο κάτω φράγμ infimum το κι φργμένο άνω με μέγιστο στοιχείο το ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ν υποογίσετε τις πρκάτω τιμές: e iπ iπ / e iπ / e γ Αν ρe iθ o γράφετι σε μορφή ποικών συντετγμένων ως iπ ρ συνθ iημθ Γι e είνι ρ κι θπ οπότε συν π iημ π i Πρόμοι ν e π π οπότε συν iημ i iπ / γ Αν e είνι ρ κι θπ/ iπ / είνι ρ κι θπ/

6 π π οπότε συν iημ i 8 z Αν z C ν ποδείξετε ότι z z Αν z i τότε z i Επομένως z z z z z z z i i z Αν k είνι ένς οποιοδήποτε κέριος ριθμός κι kn n < ν ν n i ν n ποδείξετε ότι: i ν n i ν n k n k n Είνι i i i i i k i n k i n i i ν n ν n ν n ν n 8 Έστω η εξίσωση z z π z Ν ποδείξετε ότι ν ο ριθμός z C είνι ύση της εξίσωσης τότε κι ο συζυγής του z είνι επίσης ύση Αν ο z είνι ύση της εξίσωσης τότε z z π z οπότε z z π z 8 8 ή z z π z Άρ κι ο z είνι ύση της εξίσωσης 8 8 ή z z π z ΑΣΚΗΣΕΙΣ Στο σύνοο των πργμτικών ριθμών R ορίζετι η διμεής σχέση R «έτσι ώστε»ν ποδείξετε ότι η σχέση R είνι νκστική κι συμμετρική ενώ δεν είνι ντισυμμετρική κι μεττική Ανκστική: R σημίνει που ισχύει Συμμετρική: Αν R δηδή τότε είνι κι δηδή R Η σχέση R δεν είνι ντισυμμετρική γιτί κι δε συνεπάγετι Γι πράδειγμ κι ά Τέος η σχέση δεν είνι μεττική Πράγμτι ν πχ κι γ τότε γ ά γ< 7

7 Στο σύνοο των πργμτικών ριθμών R ορίζετι η διμεής σχέση R «έτσι ώστε <» Ν ποδείξετε ότι η σχέση R είνι μόνο συμμετρική Είνι προφνές ότι η σχέση είνι συμμετρική φού ν < τότε κι < Δεν είνι νκστική γιτί Δεν είνι μεττική γιτί ν πχ κι γ τότε είνι < κι γ< ενώ γ> Στο σύνοο R ορίζετι η διμεής σχέση R γ δ «<γ ή γ κι δ» Ν ποδείξετε ότι η σχέση υτή είνι σχέση πήρους διάτξης στο R Θ δείξουμε ότι η σχέση είνι νκστική μεττική κι ντισυμμετρική Είνι προφνές ότι η R είνι νκστική Επίσης έστω Rγδ κι γδrεζ Τότε είνι: <γ ή γ κι δ κι γ<ε ή γδ κι δ ζ Εξετάζοντς όες τις περιπτώσεις κτήγουμε ότι είνι <ε ή ε κι ζ οπότε Rεζ κι η σχέση είνι μεττική Τέος η R είνι ντισυμμετρική γιτί ν Rγδ κι γδr δηδή ν <γ ή γ κι δ κι τυτόχρον γ< ή γ κι δ τότε είνι γ κι δ δηδή γδ Στο σύνοο των πργμτικών ριθμών R ορίζετι η διμεής σχέση R «η διφορά είνι ποπάσιο του» Ν ποδείξετε ότι η σχέση R είνι σχέση ισοδυνμίς Θ δείξουμε ότι η R είνι νκστική μεττική κι συμμετρική Η σχέση είνι νκστική γιτί R σημίνει ότι η διφορά είνι ποπάσιο του που ισχύει Η σχέση είνι μεττική γιτί ν R κι Rγ τότε: Η διφορά είνι ποπάσιο του κι μπορεί ν γρφεί κ k Z Η διφορά γ είνι ποπάσιο του κι μπορεί ν γρφεί γμ μ Z Με πρόσθεση κτά μέη προκύπτει γκμ δηδή κι η διφορά γ είνι ποπάσιο του Τέος η σχέση R είνι συμμετρική γιτί ν R δηδή ν κ k Z τότε είνι κ οπότε R Επομένως η R είνι σχέση ισοδυνμίς ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8

8 Ν εξετάσετε ν οι πρκάτω συνρτήσεις είνι ντιστρέψιμες Γι κάθε συνάρτηση που είνι ντιστρέψιμη ν ρείτε την ντίστροφή της f [ g e R γ h R δ u [ Η f είνι ντιστρέψιμη γιτί γι κάθε του πεδίου τιμών της υπάρχει έν μόνο του πεδίου ορισμού της το Πεδίο ορισμού της f είνι το σύνοο των γι τ οποί [ δηδή ή [ Πρόμοι η g είνι ντιστρέψιμη γιτί σε κάθε του πεδίου τιμών της ντιστοιχεί έν μόνο του πεδίου ορισμού της το ln Πεδίο ορισμού της g είνι το γ Η h δεν είνι ντιστρέψιμη γιτί πχ hh δ Η u είνι ντιστρέψιμη γιτί σε κάθε του πεδίου τιμών της που είνι το διάστημ [ ντιστοιχεί έν μόνο το Πεδίο ορισμού της u - είνι το πεδίο τιμών της u δηδή το [ Δίνοντι οι συνρτήσεις f κι g Ν ρείτε τη συνάρτηση g f Πεδίο ορισμού της f είνι το σύνοο R{} Γι ν ορίζετι η g f πρέπει ν είνι f δηδή Επομένως η g f ορίζετι στο σύνοο R{ } κι έχει τύπο g o f g[ f ] f Δίνετι η συνάρτηση f Ν ρείτε τη συνάρτηση f f Η συνάρτηση f f ορίζετι στο R κι έχει τύπο: f o f f f f [ ] [ ] Ν ποδείξετε ότι ln ln ln ln ln ln Ν ύσετε την εξίσωση log log log log ή log [ ] ή ή που έχει ρίζες ή 9 η οποί πορρίπτετι Άρ 9

9 Ν ύσετε την εξίσωση ή ln999 ln ή ln ln ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Έστω έν κθοικό σύνοο S κι δύο υποσύνοά του Α κι Β Ν ποδείξετε ότι: ν B τότε B c c ν B τότε BB γ B B δ B c c B ε B c c B Αν B τότε Α ΒΑ κι Α Β c Α c οπότε c B c Α c που σημίνει ότι B c c Αν B τότε BΒ οπότε B B B B B c c γ Αν B τότε οπότε B Επομένως B B δ B B B B c c c c c c c ε B B B B B c c c c c c c Έστω έν κθοικό σύνοο S κι τρί υποσύνοά του Α Β κι C Ν ποδείξετε ότι: BCB C BCB C γ BC c BC δ Α ΒCΑC ΒC C B C B C B C B C B c c c c c C B C B C B C B c c c c C B C B c γ C B C B C B C B C B c c c δ C B C C B C C B C B c c c Θεωρήστε τ πρκάτω υποσύνο του συνόου των φυσικών ριθμών Ν: X i { N i-< i i Ν} Ν ποδείξετε ότι τ υποσύνο X i ποτεούν διμερισμό του Ν

10 U i X i Θ δείξουμε ότι γι κάθε i N κι j N με i j είνι X X κι ότι N Χωρίς άη της γενικότητς ς υποθέσουμε ότι i<j Τότε i j οπότε i j Έστω ένς φυσικός ριθμός k X i Τότε θ είνι i<k i Επειδή όμως i j θ είνι κι k j οπότε k X j Επομένως X X Γι ν ποδείξουμε ότι U i X i i N θ δείξουμε ότι οποιοσδήποτε φυσικός ριθμός k θ νήκει σε κάποιο σύνοο X i με i N Πράγμτι οποιοσδήποτε k N μπορεί ν γρφεί ως kπυ όπου π είνι το πηίκο της διίρεσης του k με το κι υ το υπόοιπο υ< Αν υ> τότε είνι π<k π κι ο k νήκει στο σύνοο X π Διφορετικά ν υ τότε kπ κι ο k νήκει στο σύνοο X π j i j Έστω s έν άνω φράγμ ενός συνόου Α Ν ποδείξετε ότι s sup ν κι μόνο ν γι κάθε ε> υπάρχει Α τέτοιο ώστε >s Α ε Έστω κι B δύο μη κενά υποσύνο του R Θεωρήστε το σύνοο C{b κι b B} Ν ποδείξετε ότι supcsupsupb Έστω s sup Προφνώς s γι κάθε Επίσης γι κάθε ε> η διφορά s Α ε<s Α δεν είνι άνω φράγμ γι το σύνοο Α οπότε υπάρχει Α τέτοιο ώστε >s Α ε Αντίστροφ ν s κι γι κάθε ε> υπάρχει Α τέτοιο ώστε >s Α ε τότε το s είνι το εάχιστο άνω φράγμ του Α Πράγμτι έστω ότι υπάρχει Μ τέτοιο ώστε Μ κι Μ<s Τότε ν θέσουμε εs Μ> υπάρχει Α τέτοιο ώστε >s Α s Μ ή >Μ που είνι άτοπο γιτί το Μ είνι άνω φράγμ Έστω s sup s B supb κι cb έν οποιοδήποτε στοιχείο του συνόου C Τότε s κι b s κι κάθε ε> θ υπάρχουν Α κι b B τέτοι ώστε >s Α ε κι b >s B ε Προσθέτοντς κτά μέη έχουμε cb s s B κι b >s s B ε ή c >s s B ε θέσμε c b κι ε ε Επομένως το s s B είνι το εάχιστο άνω φράγμ supremum του συνόου C Έστω έν σύνοο R το οποίο είνι φργμένο άνω Θεωρήστε το σύνοο B{ R } Ν ποδείξετε ότι infbsup Έστω ssup Τότε γι κάθε Α είνι s οπότε s Αν τότε B κι s γι κάθε B Άρ το s είνι κάτω φράγμ γι το σύνοο Β Επειδή ssup γι κάθε ε> υπάρχει τέτοιο ώστε >sε οπότε >sε έπε προηγούμενη άσκηση Αν τότε B κι >sε οπότε το s είνι το μέγιστο κάτω φράγμ infimum του συνόου Β Ν εξετάσετε ν τ πρκάτω σύνο είνι φργμέν κάτω ή άνω κι όπου είνι δυντό ν ρείτε το μέγιστο κι το εάχιστο στοιχείο τους n { n N} B { n N} n γ C U [n n ] n

11 Το σύνοο Α{} είνι φργμένο κάτω με εάχιστη τιμή κι φργμένο άνω με μέγιστη τιμή Το σύνοο B { } είνι φργμένο κάτω με μέγιστο κάτω φράγμ 9 infimum το κι φργμένο άνω με μέγιστη τιμή το γ Το σύνοο C [ ] [] [7] είνι φργμένο κάτω με εάχιστη τιμή το 7 Ν γράψετε τους πρκάτω μιγδικούς ριθμούς σε μορφή κρτεσινών συντετγμένων: 8e iπ / iπ / e γ e iπ / δ συν π i ημ π Αν ρe iθ ο ριθμός γράφετι σε μορφή κρτεσινών συντετγμένων ως i όπου ρσυνθ κι ρημθ Αν 8e iπ / π π είνι ρ8 κι θπ/ οπότε 8συν κι 8ημ Άρ 8i8 Αν e iπ / π είνι ρ κι θπ/ οπότε συν κι π ημ Άρ i 8 iπ / γ Πρόμοι είνι e i7 7 δ συν π i ημ π συν π i ημ π i Ν γράψετε τους πρκάτω μιγδικούς ριθμούς σε μορφή ποικών συντετγμένων: 8 i i Αν i ο γράφετι σε μορφή ποικών συντετγμένων ως εξής: ρσυνθiημθ όπου ρ συνθ κι ημθ Αν 8 i είνι ρ 8 συνθ/ κι ημθ 8 /

12 Αν i i είνι ρ 7 συνθ 7 κι ημθ 7 9 Αν ρ συνθ iημθ κι ρ συνθ iημθ ν ποδείξετε ότι [ συνθ θ i ημθ θ ] ρρ ρ ρ [ συνθ θ i ημθ θ ] Οι κι γράφοντι σε τριγωνομετρική μορφή ως ρ e iθ κι ρ e iθ i θ θ ρρ e κι σε μορφή ποικών συντετγμένων είνι ρρ [ συνθ θ i ημθ θ ] ντίστοιχ Είνι Πρόμοι είνι i θ θ ρ ρ e ρ ή [ συνθ θ i ημθ θ ] ρ Αν ρe iθ ν ποδείξετε ότι Είνι iθ ρe ρe iθ ή ρσυνθiημθ Ο συζυγής είνι ρσυνθiημθ ρσυνθiρημθ Επειδή συνθσυνθ κι ημθ ημθ είνι ρσυνθiρημθ οπότε iθ ρe Έστω μι σχέση R σε έν σύνοο S Αν η R είνι σχέση σθενούς διάτξης κι σχέση ισοδυνμίς ν ποδείξετε ότι γι κάθε S R ν κι μόνο ν Έστω R Επειδή η R είνι σχέση ισοδυνμίς είνι συμμετρική οπότε R Άρ γιτί η R είνι κι ντισυμμετρική ως σχέση σθενούς διάτξης Αντίστροφ ν τότε ισχύει R γιτί η R είνι νκστική ως σχέση σθενούς διάτξης Έστω Α έν μη κενό σύνοο κι f μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α Θεωρήστε τη σχέση R{ Α κι Α με ff} Ν ποδείξετε ότι η R είνι σχέση ισοδυνμίς στο Α κι ν ρείτε τις κάσεις ισοδυνμίς Η σχέση R είνι: Ανκστική γιτί ff γι κάθε Α Μεττική γιτί ν ff κι ffz τότε είνι κι ffz Συμμετρική γιτί R σημίνει ff ή ff δηδή R Επομένως η R είνι σχέση ισοδυνμίς Κάθε τιμή c που νήκει στο πεδίο τιμών της f προσδιορίζει μι κάση ισοδυνμίς στην οποί νήκουν ό τ στοιχεί του Α γι τ οποί fc

13 Ν εξετάσετε ν οι πρκάτω συνρτήσεις είνι ντιστρέψιμες Γι κάθε συνάρτηση που είνι ντιστρέψιμη ν ρείτε την ντίστροφή της f R g log γ h R δ u [ Η f είνι - γιτί f f ν κι μόνο ν Πεδίο τιμών της f είνι το R Η f είνι ντιστρέψιμη Έστω Είνι ν f ν < Η g έχει πεδίο τιμών το σύνοο R κι είνι ντιστρέψιμη Αν log τότε ή Αν δη ν τότε ν < τότε Διφορετικά γ Πεδίο τιμών της h είνι το διάστημ Η h είνι ντιστρέψιμη γιτί είνι - κι επί Πράγμτι h h ν κι μόνο ν κι γι κάθε υπάρχει R τέτοιο ώστε h Αν τότε log log κι h log log δ Η u είνι - στο διάστημ [ γιτί u u ν κι μόνο ν στο διάστημ υτό Η u έχει πεδίο τιμών το διάστημ [ Γι κάθε [ υπάρχει [ τέτοιο ώστε u Πράγμτι ν τότε είνι Επομένως η u είνι ντιστρέψιμη έχει πεδίο ορισμού το διάστημ [ κι τύπο u Το μέσο ημερήσιο κόστος θέρμνσης ή ψύξης ενός κτιρίου ότν η θερμοκρσί είνι T θμοί Κεσίου δίνετι πό τη συνάρτηση CT T Η μέση ημερήσι θερμοκρσί σχετίζετι με τον ριθμό των ημερών t που έχουν περάσει πό την η Ινουρίου κι δίνετι πό τη t 8 συνάρτηση T 9 ημπ Ποιο είνι το κόστος 9 ημέρες μετά την η Ινουρίου; Το κόστος 9 ημέρες πό την ρχή του έτους είνι C[T9] Η θερμοκρσί είνι T 9 9 ημπ 7 οπότε το κόστος είνι C77 8 χρημτικές μονάδες

14 Αν log 8 ν ρείτε το log log log log log / log Ν ύσετε την εξίσωση Πίρνοντς τους ογάριθμους των δύο μεών έχουμε: ln ln ln ή lnln ή ln-lnln ή ln/ ln 7 Ν ποποιήσετε την πράστση e lne e ln lne e e ln ln e ln ln e 8 Έστω η συνάρτηση f 7 Ν ρείτε την ντίστροφή της Πεδίο ορισμού της f είνι το R κι πεδίο τιμών της το διάστημ 7 Η f είνι - γιτί f f ν κι μόνο ν Αν f 7 τότε έχουμε: 7 Πίρνοντς ογάριθμους με άση έχουμε: log log log 7 ή log 7 ή log 7 9 Επομένως η f ορίζετι στο σύνοο 7 κι ο τύπος της δίνετι πό τη σχέση

15

16 ΛΥΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

17 Ασκήσεις Ν ποδείξετε τ πρκάτω: Μί ε-περιοχή ενός σημείου του R ν είνι έν νοιχτό σύνοο Η ένωση κι η τομή δύο νοιχτών συνόων είνι νοιχτά σύνο γη τομή δύο κειστών συνόων είνι κειστό σύνοο δ Η ένωση κι η τομή δύο φργμένων συνόων είνι φργμέν σύνο Έστω Ν ε μι ε-περιοχή του R ν κι έν οποιοδήποτε σημείο της περιοχής υτής Τότε είνι < ε Αν θέσουμε ε- δ> τότε το περιμάνετι σε μι νοιχτή σφίρ Βδ Επομένως η περιοχή Ν ε είνι νοιχτό σύνοο Αν Α κι Β είνι δύο νοιχτά σύνο κι Α Β τότε Α ή Β οπότε το είνι εσωτερικό σημείο του Α ή του Β Αν το είνι εσωτερικό σημείο πχ του Α τότε οπωσδήποτε είνι κι εσωτερικό σημείο του ευρύτερου συνόου Α Β Αν B τότε το είνι εσωτερικό σημείο κι του Α κι του Β Επομένως υπάρχουν σφίρες Βε κι Βε τέτοιες ώστε Βε Α κι Βε Β Αν θέσουμε εmin{ε ε } τότε Β ε Α Β οπότε κι η τομή είνι νοιχτό σύνοο γ Αν Α κι Β είνι δύο κειστά σύνο θ δείξουμε πρώτ ότι το συμπήρωμ Α Β c είνι νοιχτό σύνοο Πράγμτι είνι Α Β c Α c Β c Εφόσον τ σύνο Α κι Β είνι κειστά τ συμπηρώμτά τους c κι B c είνι νοιχτά Άρ έπε κι το σύνοο c B c Α Β c είνι νοιχτό οπότε το συμπήρωμά του Α Β είνι κειστό δ Έστω δύο φργμέν σύνο Α κι Β Τότε μπορούμε ν ρούμε μί νοιχτή σφίρ Βr τέτοι ώστε Α Βr κι Β Βr Τ σύνο Α Β κι Α Β επίσης περιμάνοντι στη σφίρ υτή γιτί πχ ν Α Β τότε Α κι Β οπότε Βr Επομένως κι τ δύο σύνο Α Β κι Α Β είνι φργμέν Ένς κτνωτής γοράζει δύο γθά σε ποσότητες κι Το σύνοο των συνδυσμών που είνι διτεθειμένος ν γοράσει είνι { R L > L > } όπου L κι L είνι οι εάχιστες ποσότητες των δύο γθών που ο κτνωτής θεωρεί ότι πρέπει ν γοράσει Οι συνδυσμοί των δύο γθών που μπορεί ν γοράσει ο κτνωτής με το εισόδημ που διθέτει προσδιορίζονι πό το σύνοο B { R p p M} όπου p κι p είνι οι τιμές των δύο γθών κι M το εισόδημ του κτνωτή Ν εξετάσετε ν η τομή Α Β είνι: κειστό σύνοο φργμένο σύνοο Το σύνοο Α Β προυσιάζετι γρφικά στο πρκάτω διάγρμμ:

18 L L p p M Είνι φνερό ότι το σύνοο υτό είνι κειστό κι φργμένο Γι κάθε έν πό τ πρκάτω σύνο ρείτε ν είνι κειστό νοιχτό ή συμπγές R i i κι { } { R i i κι < } γ { R } δ { R i i κι < } ε { R } στ { R κι } ζ { R < < κι } η { R < κι ln } θ { R < } ι { R } ι { R > } Το είδος κάθε συνόου διπιστώνετι εύκο κάνοντς το διάγρμμά του Το σύνοο είνι κειστό γιτί περιέχει ό τ σημεί συσσώρευσής του τ οποί είνι το τόξο του κύκου με κέντρο το σημείο κι κτίν το οποίο ρίσκετι στο πρώτο τετρτημόριο Το σύνοο είνι συμπγές γιτί είνι κι φργμένο Το σύνοο δεν είνι κειστό γιτί περιμάνει κάποι σημεί συσσώρευσης πχ το ά δεν τ περιμάνει ό πχ δεν περιμάνει το σημείο Επίσης το σύνοο είνι φργμένο γ Το σύνοο είνι κειστό ά όχι φργμένο φργμένο δ Το σύνοο δεν είνι ούτε νοιχτό ούτε κειστό γιτί περιμάνει ορισμέν σημεί συσσώρευσης πχ το σημείο ά όχι ό πχ δεν περιμάνει τ σημεί της κμπύης

19 ε Το σύνοο είνι ο κύκος με κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν οπότε είνι συμπγές στ Το σύνοο είνι κειστό γιτί περιμάνει ό τ σημεί συσσώρευσής του που είνι τ σημεί της κμπύης Δεν είνι συμπγές γιτί δεν είνι φργμένο ζ Το σύνοο είνι νοιχτό γιτί δεν περιμάνει τ σημεί συσσώρευσης κι Επίσης είνι φργμένο γιτί περιμάνετι εντός του κύκου με κέντρο κι κτίν η Το σύνοο είνι το χωρίο που είνι κάτω πό την κμπύη ln κι περικείετι πό τις ευθείες κι Προφνώς το σύνοο είνι συμπγές θ Το σύνοο είνι νοιχτό γιτί δεν περιμάνει τ σημεί συσσώρευσής του που είνι τ σημεί της υπεροής ι Το σύνοο είνι κειστό γιτί περιμάνει ό τ σημεί συσσώρευσής του δηδή τ σημεί της προής Επίσης το σύνοο είνι φργμένο άρ είνι συμπγές ι Το σύνοο είνι νοιχτό γιτί είνι το συμπήρωμ του συνόου του ερωτήμτος ι το οποίο είνι κειστό Ασκήσεις Ν ρείτε τ πρκάτω όρι: lim n 7 n n n n n n n lim lim n n n n n lim lim 7 n n 7 n lim n n lim lim n lim lim n n n n n n n n n n lim n n n n n lim n n n lim n n n lim n n n n n lim lim lim n n n n n n Ν ρείτε τ πρκάτω όρι: lim δ lim ε lim lim γ lim[ ] στ 7 7 lim

20 lim 8 lim γ lim[ ] lim δ Είνι Γι είνι ε Είνι Γι είνι lim οπότε lim lim 9 [ ] [ ] lim στ Είνι Γι είνι lim οπότε lim οπότε f Αν lim c όπου c R ν ρείτε το lim f 9 Έστω f g Τότε γι κι είνι f g 9 9 lim f lim g lim Αν lim f 8 ν ρείτε το lim 9 lim c f [ f ] κι f lim [ f ] [ ] limf limf Ν ρείτε τ πρκάτω όρι:

21 lim lim Είνι Γι είνι κι 8 ] [ lim lim Πρόμοι ποδεικνύετι ότι lim lim Ασκήσεις Ν ρείτε τ όρι: lim 9 9 lim 8 γ lim Είνι Γι > είνι οπότε lim 8 lim Είνι Επειδή 8 lim 8 lim 8 > κι γι >8 είνι 89> θ είνι: 9 9 lim 8-89 lim 8 γ Είνι κι lim lim lim

22 Αν lim f κι g ν ρείτε το lim g[ f ] Η συνάρτηση g είνι συνεχής ως πουωνυμική οπότε [ f ] lim g g [ lim f ] g 9 < Δίνετι η συνάρτηση f c > Ν ρείτε γι ποιες τιμές των πρμέτρων κι η f είνι συνεχής στο Γι ν είνι η f συνεχής στο πρέπει : lim f lim f f δηδή c ή ή c c Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ή Επομένως γι ν είνι η f συνεχής στο πρέπει ν είνι κι c ή κι c Γι κάθε μι πό τις πρκάτω συνρτήσεις ν ρείτε το πεδίο ορισμού της κι ν προσδιορίσετε τ σημεί στ οποί η συνάρτηση είνι συνεχής: ln f g γ h ln Η f έχει πεδίο ορισμού το σύνοο { R } κι είνι συνεχής στο σύνοο υτό ως πηίκο συνεχών συνρτήσεων Η g έχει πεδίο ορισμού το σύνοο B R Ομοίως η g είνι συνεχής στο σύνοο υτό ως πηίκο συνεχών συνρτήσεων γ Η h έχει πεδίο ορισμού το σύνοο Γ { R > ± } συνεχής γι κάθε Γ κι κι είνι Ν μεετήσετε ως προς τη συνέχει τη συνάρτηση: ν f ν Γι κάθε R είνι: - f lim f lim f Άρ η f είνι συνεχής στο R ν ν 7

23 Δίνετι η συνάρτηση f ν ν Ν δείξετε ότι η συνάρτηση προυσιάζει συνέχει στο σημείο Αν υποογίσουμε το όριο της f στο γι έχουμε: lim lim Αν τώρ υποογίσουμε το όριο στο γι έχουμε: lim lim Εφόσον τ δύο πρπάνω όρι διφέρουν δεν υπάρχει το όριο της f στο οπότε η συνάρτηση δεν είνι συνεχής στο σημείο υτό Ν ποδείξετε ότι κάθε πουώνυμο περιττού θμού έχει μί τουάχιστον πργμτική ρίζ n n Έστω το πουώνυμο P n n γι το οποίο μπορούμε ν υποθέσουμε χωρίς άη της γενικότητς ότι n Επειδή ο n είνι περιττός είνι lim P κι lim P Επομένως υπάρχουν πργμτικοί ριθμοί κι τέτοιοι ώστε PP< οπότε σύμφων με το θεώρημ Bolzno υπάρχει τέτοιος ώστε P 8 Έστω μι συνάρτηση f: [ ] [ ] γι την οποί ισχύει f f < γι κάθε [ ] με Ν ποδείξετε ότι υπάρχει σημείο στο [ ] τέτοιο ώστε f Η συνάρτηση f είνι συνεχής σε κάθε [] Πράγμτι είνι f f < κι ν τότε f f Εφόσον η f είνι συνεχής η συνάρτηση g με τύπο gf είνι κι υτή συνεχής Γι τη g είνι gf κι gf γιτί η f έχει πεδίο τιμών το [] Αν g ή g τότε ή ντίστοιχ Διφορετικά ν g> κι g< τότε σύμφων με το θεώρημ Bolzno υπάρχει τέτοιο ώστε g f ή f ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Έστω S d ένς μετρικός χώρος κι έστω p S Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f : S R με τύπο fd p είνι συνεχής στο S 8

24 Έστω S Επειδή η d είνι πόστση ικνοποιεί την τριγωνική νισότητ οπότε d p d d ή d p d p d Αά p lim d οπότε lim d p d p ή lim f f Έστω μί συνεχής συνάρτηση f : R R Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g : :R R γι την οποί ισχύει gf - είνι συνεχής στο R Είνι lim g lim f f g γιτί η f είνι συνεχής Δηδή lim g g οπότε κι η g είνι συνεχής Ν ποδείξετε ότι υπάρχει πργμτικός ριθμός ο οποίος είνι μεγύτερος πό τον κύο του κτά Θ δείξουμε ότι υπάρχει R τέτοιο ώστε Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f με τύπο f η οποί είνι συνεχής στο R ως πουωνυμική Είνι f< κι f> Επομένως υπάρχει τέτοιο ώστε f ή Δίνοντι η συνάρτηση ζήτησης Dp κι η συνάρτηση προσφοράς Sp ενός προϊόντος: p ν p > Dp 7 p ν p Sp p Ν ρείτε ν υπάρχει σημείο ισορροπίς στην γορά του προϊόντος Τι πρτηρείτε; Αγερικά προκύπτει ότι η συνάρτηση προσφοράς τέμνει τον πρώτο κάδο της Dp γι p που πορρίπτετι γιτί ο πρώτος κάδος ισχύει γι p> κι το δεύτερο κάδο γι p που επίσης πορρίπτετι γιτί ο κάδος υτός ισχύει γι p Επομένως δεν υπάρχει σημείο ισορροπίς Στο ίδιο συμπέρσμ οδηγούμστε ν πρστήσουμε γρφικά τις συνρτήσεις προσφοράς κι ζήτησης Η πουσί σημείου ισορροπίς οφείετι στην συνέχει της συνάρτησης D στο p Η κυέρνηση φοροογεί το εισόδημ κάθε φοροογούμενου με συντεεστή % γι ετήσιο εισόδημ μεγύτερο των Ευρώ Γι ν υξήσει τ έσοδ πό τη φοροογί χωρίς ν επιρύνει τους οικονομικά σθενέστερους η κυέρνηση σκέπτετι ν επιάει πρόσθετη φοροογί ίση με Ευρώ 9

25 γι όσους έχουν ετήσιο εισόδημ τουάχιστον Ευρώ Ν προσδιορίσετε τη συνάρτηση πό την οποί προκύπτει το κθρό εισόδημ κάθε φοροογούμενου μετά την κτοή του φόρου Τι επιπτώσεις νμένετι ν έχει η επιοή της πρόσθετης φοροογίς σε όσους έχουν υψηά εισοδήμτ; Έστω N το εισόδημ μετά τη φοροογί ενός φοροογούμενου με ετήσιο εισόδημ Ευρώ Αν < ο φοροογούμενος πάσσετι του φόρου οπότε N Αν < το εισόδημ πάνω πό τ Ευρώ φοροογείτι με συντεεστή % οπότε N7 Τέος ν τότε επιάετι πρόσθετη φοροογί Ευρώ οπότε N 7 Έτσι η συνάρτηση του κθρού εισοδήμτος είνι: N ν < ν < ν Είνι φνερό ότι η συνάρτηση προυσιάζει συνέχει στο γιτί lim N ενώ lim N N Αποτέεσμ υτής της συνέχεις είνι ότι οι φοροογούμενοι με ετήσιο εισόδημ που πησιάζει τ Ευρώ δεν έχουν ουσιστικό κίνητρο ν προσπθήσουν ν υξήσουν το εισόδημά τους πάνω πό τ Ευρώ γιτί υτό θ συνεπάγετι μείωση του κθρού εισοδήμτός τους κτά Ευρώ - Έστω οι συνρτήσεις f κι g Ν ρείτε ν υπάρχουν τ όρι των συνρτήσεων υτών κθώς το τείνει στο Επίσης ν ρείτε ν υπάρχει το όριο της συνάρτησης hf g κθώς το τείνει στο Τι πρτηρείτε; Αν υποογίσουμε το όριο της f γι έχουμε lim f lim Το όριο υτό δεν υπάρχει γιτί lim ενώ lim Πρόμοι ποδεικνύετι ότι δεν υπάρχει το όριο της g κθώς το τείνει στο Το άθροισμ των δύο συνρτήσεων είνι h γι κι έχει όριο το κθώς το τείνει στο

26 ΛΥΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

27 Ασκήσεις Ν ρείτε ποι πό τ πρκάτω σύνο είνι κυρτά { R 9} { R < κι } { R κι } { R κι } S S γ S δ S ν ε S R ν i i ν στ S R ν i i ν ζ S 7 ν R i i Τ σύνο των περιπτώσεων δ μπορεί ν πρστθούν διγρμμτικά Είνι εύκοο ν διπιστώσουμε ότι κνέν πό τ σύνο υτά δεν είνι κυρτό Το σύνοο περιέχει τ σημεί Α9 κι Β9 ά όχι κι το σημείο Γ που είνι το μέσο του ευθύγρμμου τμήμτος ΑΒ Το σύνοο περιέχει τ σημεί Α κι Β ά όχι κι το μέσο του ευθύγρμμου τμήμτος ΑΒ που είνι το σημείο γ Το σύνοο περιέχει τ σημεί Α κι Β ά όχι κι το σημείο Γ που είνι το μέσο του ευθύγρμμου τμήμτος ΑΒ δ Στο σύνοο νήκουν τ σημεί Α κι Β ά όχι κι η ρχή των ξόνων που είνι το μέσο του ευθύγρμμου τμήμτος ΑΒ ε Έστω τ σημεί κι τ οποί νήκουν στο σύνοο S Ας θεωρήσουμε το σημείο z γι δηδή το σημείο z Επειδή z S το σύνοο S δεν είνι κυρτό στ Έστω κι δύο σημεί του συνόου S κι z με [] Τότε είνι i κι ή i κι i i Αν ποπσιάσουμε τ μέη της πρώτης νίσωσης με της δεύτερης με - όπου [] κι προσθέσουμε κτά μέη τότε έχουμε: Γι το σημείο z του μετρικού χώρου R ν είνι: z τριγωνική νισότητ κι

28 Οπότε είνι κι z Επομένως z S γι κάθε [] άρ το σύνοο είνι κυρτό ζ Τ σημεί κι νήκουν στο σύνοο S 7 Το σημείο z γι δηδή το σημείο z δεν νήκει στο σύνοο υτό Επομένως το σύνοο S 7 δεν είνι κυρτό Αν { R } B { R κι } κι κι Ν ρείτε το σύνοο Α Β Ν ρείτε έν υπερεπίπεδο το οποίο χωρίζει το Α πό το Β Το σύνοο περιμάνει τ σημεί του σκισμένου τετργώνου κθώς κι τ σημεί του ευθύγρμμου τμήμτος με άκρ τ σημεί κι Έν πό τ άπειρ υπερεπίπεδ που χωρίζουν το Α πό το Β είνι το υπερεπίπεδο δηδή η ευθεί Ν ποδείξετε τις πρκάτω προτάσεις: i Αν έν σύνοο S είνι κυρτό τότε κι το σύνοο W{ S} είνι κυρτό γι κάθε R ii Αν δύο σύνο S κι S είνι κυρτά τότε κι το σύνοο V{ z S z S } είνι κυρτό iii Η τομή κυρτών συνόων είνι κυρτό σύνοο Δώστε έν πράδειγμ συνόων Α κι Β τ οποί είνι κυρτά ενώ η ένωση Α Β δεν είνι

29 i Έστω κι δύο σημεί του W κι [] Τότε υπάρχουν κι στο S τέτοι ώστε κι Γι το σημείο z έχουμε: [ ] z Το σημείο z νήκει στο S γιτί το S είνι κυρτό οπότε κι το z νήκει στο W Επομένως το W είνι κυρτό σύνοο ii Έστω κι δύο σημεί του V κι [] Τότε υπάρχουν στο S κι z z στο S τέτοι ώστε z κι z Γι το σημείο έχουμε: z z z z z Τ σημεί κι z νήκουν στ σύνο S κι S ντίστοιχ οπότε κι το νήκει στο σύνοο V Επομένως το V είνι κυρτό σύνοο iii Έστω B Τότε το σημείο z με [] νήκει στο σύνοο Α γιτί το Α είνι κυρτό σύνοο Πρόμοι το z νήκει κι στο σύνοο Β γιτί κι το Β είνι κυρτό Έτσι το z νήκει στην τομή B η οποί είνι κυρτό σύνοο Η ένωση Α Β δεν είνι πρίτητ κυρτή Γι πράδειγμ ν Α[ ] κι Β[ ] η ένωση Α Β δεν περιμάνει τ σημεί του διστήμτος οπότε δεν είνι κυρτό σύνοο Ν ρείτε το κυρτό κέυφος του συνόου S{ : } Το σύνοο περιμάνει τ σημεί της υπεροής γι τ οποί είνι Το κυρτό του κέυφος είνι το μικρότερο κυρτό σύνοο που περιμάνει ό τ σημεί του S δηδή το χωρίο που περικείετι πό την ευθεί κι την κμπύη Ασκήσεις Ποιες πό τις πρκάτω συνρτήσεις είνι κυρτές κι ποιες κοίες; Επιειώστε την πάντησή σς εέγχοντς το διάγρμμ της συνάρτησης

30 γ δ ε στ ζ η f e f log f f f f f f log Α Β γ Δ ζ η Γι τις συνρτήσεις των οποίων δίνοντι οι γρφικές πρστάσεις μπορούμε ν διπιστώσουμε διγρμμτικά ν είνι κυρτές ή κοίες Κυρτές είνι οι συνρτήσεις των ερωτημάτων κι ζ κι κοίες οι συνρτήσεις των ερωτημάτων γ κι η Η συνάρτηση του ερωτήμτος δ δεν είνι ούτε κοίη ούτε κυρτή Ο έεγχος στ ερωτήμτ ε κι στ γίνετι νυτικά ως εξής: ε Έστω κι δύο οποιδήποτε σημεί του πεδίου ορισμού της f κι z με [] Θ δείξουμε ότι f [ ] f f Πράγμτι μετά πό πράξεις είνι f [ ] f f γι κάθε [] Άρ η f είνι κυρτή στ Πρόμοι μπορούμε ν ποδείξουμε ότι

31 f [ ] f f Η πράστση υτή άζει πρόσημο νάογ με τις τιμές των i κι i Γι πράδειγμ ν κι η πράστση είνι θετική ενώ ν i i γι ό τ i είνι ρνητική Επομένως η συνάρτηση δεν είνι ούτε κυρτή ούτε κοίη Θεωρήστε μι συνάρτηση g:r* R με τύπο gt t κι t> Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι κυρτή Θεωρήστε μι συνάρτηση f:r R τέτοι ώστε f > γι κάθε Αν η συνάρτηση f είνι κοίη ν ποδείξετε ότι η f είνι κυρτή Θ ποδείξουμε ότι το σύνοο S { t > g t } είνι κυρτό γι κάθε > Πράγμτι έστω t S κι t S Είνι κι ή t t t κι t γιτί t t κι θετικά Τότε έχουμε: t t ή t t ή t t δηδή g[ t t ] Επομένως το σύνοο S είνι κυρτό κι η συνάρτηση g κυρτή Πρόμοι θ ποδείξουμε ότι το σύνοο S { } είνι κυρτό f γι κάθε > Έστω S κι S δηδή κι ή f f f κι f Προσθέτοντς κτά μέη έχουμε f f Επειδή η f είνι κοίη είνι: f [ ] f f οπότε κι f [ ] ή οπότε το σημείο f [ ] νήκει στο S Επομένως το σύνοο S είνι κυρτό οπότε κι η συνάρτηση /f είνι κυρτή Δείξτε ότι ν η f είνι κυρτή κι ορίζετι σ έν κυρτό σύνοο C τότε δείξτε ότι γι < p < q < r κι u ισχύει: f qu f pu f pu f q p p Ι κι

32 f ru f qu f pu f r q p ΙΙ Έστω u> Τότε πό τη σχέση I έχουμε ισοδύνμ: pf qu pf pu qf pu qf pf pu pf Ή pf qu qf pu qf pf Έστω τ σημεί Α f Bqu fqu κι Γpu fpu σχήμ Y f?? G? pu qu X Η ευθεί ΑΒ έχει εξίσωση Y f qu f X qu Επειδή το σημείο Μupu Y M νήκει στην ΑΒ θ είνι Y M Ή f qu f f u pu qu f qu f Y M f p q Επειδή η f είνι κυρτή θ είνι Υ Μ >Υ Γ δηδή f qu f f p f pu q Απ όπου προκύπτει η σχέση Πρόμοι εργζόμστε κι ότν u< Η σχέση II προκύπτει ν εφρμόσουμε τη σχέση I γι τ σημεί Kpu fpu Λqu fqu κι Mru fru 7

33 Θεωρήστε τη συνάρτηση οιονεί κοίη οιονεί κυρτή Τι πρτηρείτε; f e Ν εξετάσετε ν η συνάρτηση είνι: Η συνάρτηση είνι οιονεί κοίη γιτί το σύνοο S { : e } είνι κυρτό γι κάθε > Πράγμτι ν S κι S τότε είνι e κι e ή e κι e χ Ποπσιάζοντς κτά μέη έχουμε e δηδή το S είνι κυρτό οπότε η f είνι οιονεί κοίη Πρόμοι ποδεικνύετι ότι η f είνι κι οιονεί κυρτή Επομένως μι συνάρτηση μπορεί ν είνι κι οιονεί κυρτή κι οιονεί κοίη Ν εξετάσετε ποιες πό τις πρκάτω συνρτήσεις είνι οιονεί κυρτές ή οιονεί κοίες: f g γ h Ο έεγχος γίνετι με τη οήθει των συνόων S { R : f } κι S { R : f } Στην περίπτωση τ σύνο υτά σχετίζοντι με υπεροές της μορφής Μπορεί ν διπιστώσουμε εύκο ότι ούτε το S ούτε το S είνι κυρτά οπότε η f δεν είνι ούτε οιονεί κυρτή ούτε οιονεί κοίη Στην περίπτωση τ σύνο S κι S σχετίζοντι με κύκους με κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν Το σύνοο S { R : } είνι κυρτό οπότε η g είνι οιονεί κυρτή Το σύνοο S δεν είνι κυρτό οπότε η g δεν είνι οιονεί κοίη Η συνάρτηση h είνι οιονεί κοίη γιτί η ντίθετή της η g είνι οιονεί κυρτή Ν ποδείξετε ότι μι κοίη συνάρτηση είνι κι οιονεί κοίη Επειδή η f είνι κοίη είνι f [ ] f f κι το σύνοο S { : f } είνι κυρτό γι R Αν f κι f τότε f f οπότε το S είνι κυρτό κι η f είνι οιονεί κοίη ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Αν C{ ν : i i ν} είνι ο χώρος κτνάωσης ενός κτνωτή p p p ν οι ντίστοιχες τιμές των γθών κι υπηρεσιών κι I το εισόδημ του κτνωτή ν ποδείξετε ότι το σύνοο B p I είνι κυρτό { } 8

34 Έστω B κι z με [] Τότε είνι p I κι p I οπότε p I κι p I Προσθέτοντς κτά μέη έχουμε: pp I ή p [ ] I ή p I δηδή z B Επομένως το σύνοο Β είνι κυρτό Θεωρήστε μι συνάρτηση χρησιμότητς U που ορίζετι σε έν χώρο κτνάωσης C{ ν : i i ν} κι P { C: U U } το σύνοο των σημείων κτνάωσης που είνι τουάχιστον τόσο επιθυμητά όσο έν συγκεκριμένο σημείο C Αν το είνι συνορικό σημείο του κυρτού κεύφους του P ν ποδείξετε ότι ν u u τότε υπάρχει διάνυσμ τιμών p p p ν τέτοιο ώστε p p Από το θεώρημ Minkowski προκύπτει ότι γι το κυρτό σύνοο [ P ] conv κι το συνορικό σημείο του υπάρχει υπερεπίπεδο στήριξης Η τέτοιο ώστε b κι i i b ή i i i oi γι κάθε conv [ P ] i είνι i i p p ή p p i i i i oi i i Αν θέσουμε pii τότε Ν ποδείξετε ότι το κυρτό κέυφος ενός φργμένου συνόου είνι φργμένο σύνοο Έστω S έν φργμένο σύνοο Τότε υπάρχει σημείο κι r> τέτοι ώστε S Br οπότε κι convs conv[br] Επειδή όμως η σφίρ B r είνι κυρτό σύνοο είνι conv[br] Br Επομένως conv[br] Br δηδή το convs είνι φργμένο i oi Αν f κι g είνι κυρτές συνρτήσεις ορισμένες σε έν κυρτό σύνοο C ν ποδείξτε ότι η συνάρτηση fg είνι επίσης κυρτή γι κι Επειδή οι f κι g είνι κυρτές είνι: f [ ] f f κι g[ ] g g Ποπσιάζοντς τ μέη της πρώτης νίσωσης με της δεύτερης με κι προσθέτοντς κτά μέη έχουμε: f [ ] g[ ] f f g g ή f g[ ] f g f g Οπότε η fg είνι κυρτή 9

35 Αν μι συνάρτηση f ορισμένη σε έν κυρτό σύνοο C είνι κυρτή κι μι συνάρτηση ϕ : R R είνι ύξουσ κι κυρτή ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση ϕ f είνι κυρτή Επειδή η f είνι κυρτή είνι: f [ ] f f Επειδή η φ είνι ύξουσ είνι : φ{ f [ ]} φ[ f f ] Επειδή η φ είνι κυρτή είνι φ[ f f ] φ[ f ] φ[ f ] Από τις σχέσεις κι προκύπτει: φ o f [ ] φ o f φ o f Επομένως η φ f είνι κυρτή Θεωρήστε μι συνάρτηση f με τύπο f κι μι συνάρτηση g με τύπο < g Ν δείξετε ότι οι f κι g είνι οιονεί κοίες Ν εξετάσετε ν η συνάρτηση fg είνι οιονεί κοίη Μπορούμε ν ποδείξουμε διγρμμτικά ότι τόσο η f όσο κι η g είνι οιονεί κοίες Το άθροισμ fg έχει τύπο: < f g Η fg δεν είνι οιονεί κοίη γιτί πχ fg<fg ά fg<fg Επομένως ενώ το άθροισμ κοίων συνρτήσεων είνι κοίη συνάρτηση το άθροισμ οιονεί κοίων συνρτήσεων δεν είνι πριτήτως οιονεί κοίη συνάρτηση 7 Έστω μι συνάρτηση u η οποί είνι οιονεί κοίη κι μι άη συνάρτηση g η οποί είνι ύξουσ Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g u είνι οιονεί κοίη Επειδή η u είνι οιονεί κοίη είνι u[ ] min{ u u } Επειδή η g είνι ύξουσ είνι: g{ u[ ]} g[min{ u u }] ή g o u[ ] min{ g[ u ] g[ u ]} ή

36 g o u[ ] min{ g o u g o u } Επομένως η g u είνι οιονεί κοίη 8 Η συνάρτηση χρησιμότητς ενός κτνωτή είνι u όπου οι ποσότητες δύο γθών Ν σχεδιάσετε τις κμπύες διφορίς κι ν τις συγκρίνετε με τις κμπύες διφορίς ενός κτνωτή ο οποίος έχει συνάρτηση χρησιμότητς u min{ } Οι κμπύες διφορίς της u είνι ευθείες με κίση Γι πράδειγμ ν u C η κμπύη διφορίς είνι η ευθεί C Οι κμπύες διφορίς της συνάρτησης u είνι κι υτές ευθείες με κίση Συγκεκριμέν ν C> τότε η κμπύη διφορίς είνι η ευθεί C ενώ ν C τότε η κμπύη είνι η ευθεί C Επομένως οι δύο συνρτήσεις έχουν πρόμοιες κμπύες διφορίς 9 Ένς κτνωτής Κ έχει συνάρτηση χρησιμότητς u όπου είνι οι ποσότητες δύο γθών Ενδιφέρετι ν συνεργστεί με κάποιον κτνωτή με πρόμοιες προτιμήσεις Υποψήφιοι γι τη συνεργσί είνι οι πρκάτω: Συνεργάτης Α με συνάρτηση χρησιμότητς u Συνεργάτης Β με συνάρτηση χρησιμότητς Α u Β Συνεργάτης Γ με συνάρτηση χρησιμότητς u Γ Συνεργάτης Δ με συνάρτηση χρησιμότητς Ποιον πό τους συνεργάτες Α-Δ θ προτιμήσει; u Δ Είνι προφνές ότι ο κτνωτής θ επιέξει ως συνεργάτη κάποιον με πρόμοι συνάρτηση χρησιμότητς Δε θ επιέξει τον Α γιτί κθώς η συνάρτηση χρησιμότητς του Κ υξάνει η συνάρτηση u μειώνετι Επίσης δε θ επιέξει το Δ γιτί κθώς η ποσότητ του γθού υξάνει η χρησιμότητ του Κ υξάνει ενώ η u Δ μειώνετι Ο κτνωτής Κ θ επιέξει το Β ή το Γ γιτί κι οι δύο έχουν συνρτήσεις χρησιμότητς που είνι μονότονες συνρτήσεις ως προς τη χρησιμότητ u του Κ

37

38 ΛΥΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

39 Ασκήσεις Έστω η συνάρτηση f:r R με τύπο f Ν εξετάσετε ν η f είνι πργωγίσιμη στο σημείο f f f f Είνι οπότε lim Άρ f Δίνετι η συνάρτηση f Ν εξετάσετε ν είνι > πργωγίσιμη στο σημείο f f Γι < είνι f f Άρ l im f f Γι > είνι f f Άρ l im Επομένως η f δεν είνι πργωγίσιμη στο Έστω η συνάρτηση f Ν ρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της συνάρτησης στο σημείο Η κίση της ευθείς είνι: f f f l im lim lim[ ] Επειδή η εφπτομένη διέρχετι πό το σημείο Α[ f]α η εξίσωσή της είνι 8 ή 8 Ασκήσεις Ν ρείτε την πράγωγο των πρκάτω συνρτήσεων: f g h

40 u 7 v 9 w f g h 7 u v w 8 Ν ρείτε την πράγωγο των πρκάτω συνρτήσεων f g 9 h e ln u ln v e w df d dg d 9 9 dh 7e d

41 du d dv d dw d ln e 9 9 Ν ρεθεί η πράγωγος d/d f u u όπου u f u u u όπου u g γ f u u όπου u g δ f u u όπου u g ε f u u u όπου u g στ f u u όπου u g ζ f u u όπου u g d d d d γ d d d δ d d ε d d στ d ζ d d 8 7 Ασκήσεις Ν υποογίσετε τ όρι: ln lim

42 e lim e γ lim e δ lim e ε lim e στ lim Τ όρι υποογίζοντι με εφρμογή του κνόν L Hospitl ln lim lim lim το οποίο δεν υπάρχει γιτί lim ενώ lim e e lim lim e γ lim e lim e e lim lim e e δ lim lim e lim ε lim e e lim e e ln στ Είνι e κι lim ln ln lim lim lim Επειδή η e είνι συνεχής είνι lim e e e lim lim

43 Ασκήσεις Γι κάθε μι πό τις πρκάτω συνρτήσεις ν εκτιμήσετε πόσο μετάετι η τιμή της ότν το μετάετι πό την τιμή κτά d: f ln γι κι d f e γι κι d γ f γι κι d δ f 7 ln γι κι d ε f γι κι d στ f γι κι d Σε κάθε περίπτωση η μετοή στην τιμή της συνάρτησης ότν το μετάετι κτά d υποογίζετι προσεγγιστικά ως Δ f f d f f d df Είνι df d Γι κι d είνι Δf df e d Γι κι d είνι Δf e 98 γ df d Γι κι d είνι Δf 88 δ df d 7 Γι κι d είνι Δf ε df d Γι κι d είνι Δf στ df d Γι κι d είνι Δf Δίνοντι οι συνρτήσεις f ln κι προσέγγιση των τιμών f κι g g Ν ρείτε μί Οι ζητούμενες τιμές μπορεί ν υποογιστούν προσεγγιστικά με τη οήθει των διφορικών των συνρτήσεων Συγκεκριμέν είνι: f f df f d κι g g dg g d 8

44 Ασκήσεις Ν ποδείξετε ότι ν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν διάστημ Δ κι είνι f γι κάθε Δ τότε η συνάρτηση είνι στθερή στο Δ Έστω τυχόν Δ Τότε γι κάθε Δ με ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήμτος Μέσης Τιμής στο [ ] ή στο [ ] Άρ υπάρχει [ ] ή [ ] τέτοιο ώστε f f f Αά f οπότε ff δηδή η f είνι στθερή στο διάστημ Δ Έστω μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημ [ 8] γι την οποί είνι f Αν η συνάρτηση είνι πργωγίσιμη κι ν f γι κάθε 8 ποι είνι η μικρότερη τιμή που μπορεί ν πάρει η συνάρτηση στο σημείο 8; f 8 Με άση το Θεώρημ Μέσης Τιμής υπάρχει 8 τέτοιο ώστε f Η μικρότερη τιμή που μπορεί ν πάρει η f είνι f Άρ η μικρότερη τιμή του f8 είνι Ν ποδείξετε ότι: ν > τότε ln ν > τότε < ln < Η συνάρτηση f με τύπο fln κι πεδίο ορισμού το σύνοο ικνοποιεί τις συνθήκες του Θεωρήμτος Μέσης Τιμής σε κάθε διάστημ [ ] με < < Δικρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: i Αν > υπάρχει τέτοιο ώστε ln Επειδή > είνι < οπότε < ή ln< f f f ή ii Αν << υπάρχει τέτοιο ώστε ln ln ln Επειδή < είνι > οπότε > ή επειδή < ln< iii Αν τότε ln Επομένως γι κάθε > είνι ln ln f f f ή 7

45 Έστω η συνάρτηση g με τύπο gln Η g ικνοποιεί τις συνθήκες του Θεωρήμτος Μέσης Τιμής σε κάθε διάστημ [ ] με Επομένως γι κάθε > υπάρχει τέτοιο ώστε g g g ή ln Επειδή < < είνι < < κι < < < ln < ln ή < < ή Ασκήσεις Ν προσδιορίσετε τ διστήμτ μονοτονίς των πρκάτω συνρτήσεων f 9 f γ f δ f 9 ε f Είνι f Η συνάρτηση είνι υστηρά φθίνουσ στο ] κι υστηρά ύξουσ στο [ Είνι f Η f είνι υστηρά φθίνουσ στο ] κι υστηρά ύξουσ στο [ κι στο γ Είνι f Η f είνι υστηρά ύξουσ στο ] κι υστηρά φθίνουσ στο [ δ Είνι f Η f είνι ύξουσ σε όο το πεδίο ορισμού της που είνι το σύνοο [ ε Είνι f 9 8 οπότε η f είνι υστηρά ύξουσ στο R Αν > b > c > ν ρείτε τις τιμές του γι τις οποίες η f είνι: i Αύξουσ ii Φθίνουσ iii Κοίη iv Κυρτή f b f b c γ f 8

46 δ f b - ε f στ f b - c Είνι f > κι f Η f είνι υστηρά ύξουσ κυρτή κι κοίη στο R b Είνι f b κι f > Η f είνι υστηρά φθίνουσ στο ] b υστηρά ύξουσ στο [ κι υστηρά κυρτή στο R γ Είνι f κι f Η f είνι υστηρά ύξουσ στο R κοίη στο ] κι κυρτή στο [ δ Είνι f < κι f Η f είνι υστηρά φθίνουσ κυρτή κι κοίη στο R b ε Είνι f b κι f < Η f είνι υστηρά ύξουσ στο ] b υστηρά φθίνουσ στο [ κι υστηρά κοίη στο R στ Είνι f κι f Η f είνι υστηρά φθίνουσ στο ] υστηρά ύξουσ στο [ κι κυρτή στο R Ν ρείτε τ σημεί κμπής των πρκάτω συνρτήσεων: f 7 f 8 γ f δ f e ε f ln Είνι f Επειδή η f άζει πρόσημο εκτέρωθεν των κι η f προυσιάζει σημεί κμπής στ σημεί υτά Είνι f Πρόμοι με το η f προυσιάζει σημείο κμπής στο γ Είνι f οπότε η f ότν κι f > γι κάθε > Επειδή όμως η f δεν ορίζετι γι < το δεν είνι σημείο κμπής της f δ Είνι f e > γι R οπότε η f δεν έχει σημεί κμπής ε Πρόμοι η f έχει πεδίο ορισμού το κι είνι f > γι κάθε > Η f δεν έχει σημεί κμπής Ν μεετήσετε τις συνρτήσεις: 9

47 f e f e γ f Είνι f e κι f e Η f μηδενίζετι γι κι κι η f γι κι Επειδή f > κι f e < η f έχει τοπικό εάχιστο στο κι τοπικό μέγιστο στο Τέος είνι lim e κι lim e Τ ποτεέσμτ υτά συνοψίζοντι στον πρκάτω πίνκ μετοών f f f - Σ κμπής Τμ Σκ Τε Πεδίο ορισμού είνι το R Είνι f e κι / f e e Η f μηδενίζετι γι Γι είνι f e 89 < Άρ η f έχει τοπικό μέγιστο στο Η f μηδενίζετι γι 7 Τέος lim [ e ] lim e Τ ποτεέσμτ υτά συνοψίζοντι στον πρκάτω πίνκ μετοών 7 f f f Τμ Σκ 8 γ Πεδίο ορισμού της f είνι το R Είνι f κι 7 7 f Η f μηδενίζετι γι 9 κι 9 ενώ η f μηδενίζετι γι κι ± ± Είνι κόμ lim f ± Η μονοτονί τ κρόττ η κυρτότητ κι τ σημεί κμπής της f φίνοντι στον πρκάτω πίνκ:

48 f f f Σκ Τε Σκ Τμ Σκ Ν μεετήσετε τη συνάρτηση f:[] R με τύπο f 8 Είνι f κι f Η πρώτη πράγωγος μηδενίζετι στ σημεί / που πορρίπτετι γιτί είνι εκτός του πεδίου ορισμού της f Γι / είνι f 8< άρ η f έχει τοπικό μέγιστο στο / H f είνι ύξουσ στο [ ] κι φθίνουσ στο [ ] Επίσης είνι f f/88 κι f7 Επομένως το τοπικό μέγιστο είνι κι οικό μέγιστο Τέος στο η f έχει εάχιστο Επειδή f < γι κάθε [] η f είνι κοίη Τ συμπεράσμτ υτά συνοψίζοντι στον πρκάτω πίνκ μετοών: / f f f Τμ 7 Το συνοικό κόστος πργωγής q μονάδων πό έν προϊόν περιγράφετι πό την συνάρτηση: C q q όπου C είνι το συνοικό κόστος σε χρημτικές μονάδες Πόσες μονάδες πρέπει ν πρχθούν γι ν εχιστοποιηθεί το μέσο κόστος; Ποιο είνι το εάχιστο μέσο κόστος; γ Ποιο είνι τ συνοικό κόστος σ υτό το επίπεδο πργωγής; Το μέσο κόστος είνι dc Είνι dq q C C q q q που μηδενίζετι ότν q Επειδή είνι 7 C > το μέσο κόστος είνι εάχιστο ότν q q ddq Το εάχιστο μέσο κόστος είνι Cq χρημτικές μονάδες γ Το ντίστοιχο συνοικό κόστος είνι Cq Cq q 7 χρημτικές μονάδες

49 Ασκήσεις 7 Γι κάθε μι πό τις πρκάτω συνρτήσεις ν ρείτε το πουώνυμο Tlor θμού n γι ν προσεγγίσετε τις τιμές της συνάρτησης γύρω πό το σημείο f γι n κι f e γι n κι γ f γι n κι Σε κάθε περίπτωση ν υποογίσετε το άθος της προσέγγισης f f f f f f!!!! Όπου f p! R ν με p μετξύ κι Είνι f κι f 9 R ν f κι f 7 f κι f 8 7 f κι f 8 8 f f R όπου R p Είνι f f e κι f e κι e / f e f e e

50 f f e e κι f e f f f f f R!!! e Όπου R γ f κι e p f f f f f e e f f f f 8 e R f f f f f f Rν!!!! Όπου R 8 R 9 p Ν προσεγγίσετε τη συνάρτηση fln με έν πουώνυμο κι ν υποογίσετε τον ριθμό ln με κρίει δεκδικών ψηφίων f f κι f f κι f f κι f

51 f f κι f Κι γενικά f Είνι R ν f ν ν ν ν! ν p ν ν ν! ν ν ν ν! Όπου p p ν! ν p ν ν ν ν Γι ν είνι R ν πρέπει ή π όπου ν ν p ν προκύπτει ν Επομένως είνι f f f f f R ή!!! f R κι f R 9 R Με R 97 κι p p p Η πργμτική τιμή του ln είνι Ν ρείτε το πουώνυμο Mclurin ου θμού γι την προσέγγιση της συνάρτησης f Είνι f f κι f f κι f f f κι f 8 κι f 8

52 f 8 f! Με R R R f p! p Ν υποογίσετε προσεγγιστικά τους πρκάτω ριθμούς: e Έστω f f κι Τότε είνι f κι f f f f f f Τότε είνι f f f f R 88 R!! όπου R p p με p 8 Έστω ge κι Τότε είνι g g e g g e g κοκ Επομένως είνι: g R κι g R 77 R p g p e όπου R με p 7 7

53 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Ν ρείτε την πράγωγο d/d f u u όπου u g f u u όπου u g u γ f u e όπου u g u δ f u e όπου u g ε f u lnu όπου u g στ f u ln u γ δ ε d d d d όπου u g d e d d d d d e d στ d Ν ρείτε τ κρίσιμ σημεί των πρκάτω συνρτήσεων κι ν προσδιορίσετε το είδος τους f 7 f γ f δ f ln ε f ln στ f ln ζ f Είνι f 7 κι f 9 7 Τ κρίσιμ σημεί είνι Επειδή f 7< f f > η f έχει τοπικό μέγιστο στο κι τοπικό εάχιστο στ σημεί κι

54 Είνι που μηδενίζετι γι Επειδή f f f f κι f η f προυσιάζει σημείο κμπής στο γ Είνι f που μηδενίζετι γι Επειδή f < η f έχει τοπικό μέγιστο στο δ Είνι f ln κι f Η f έχει ύση το f > η f προυσιάζει τοπικό εάχιστο στο e e ε f κι f Η f έχει ύση το f < Άρ η f προυσιάζει τοπικό μέγιστο στο στ f κι f Είνι f γι f > οπότε η f προυσιάζει τοπικό μέγιστο στο κι επειδή e κι κι ζ f κι f Στάσιμ σημεί είνι τ σημεί κι Επειδή f > κι f < η f προυσιάζει τοπικό εάχιστο στο κι τοπικό μέγιστο στο Ν ρείτε τ όρι: ln lim ln lim γ δ lim lim e e ε lim e στ lim ln ln lim lim 7

55 ln lim lim e e γ lim lim δ lim e lim lim e e e e ε lim e lim lim lim e στ lim lim lim ln ln ln Ν ρείτε με προσεγγίσεις τις τιμές : 99 γ ln δ ln Οι τιμές υποογίζοντι προσεγγιστικά με άση την έννοι του διφορικού ως εξής: f Δ f df f f d Είνι f οπότε f Γι κι d είνι 99 Είνι f οπότε γ Είνι h ln οπότε ln 99 f Γι κι d είνι h Γι κι d είνι δ Πρόμοι γι κι d είνι ln ln 8

56 Δίνετι η συνάρτηση f Ν εκτιμήσετε τη μετοή της τιμής της κθώς το υξάνει πό το στο κι ν συγκρίνετε την εκτίμησή σς με την πργμτική μετοή της f Είνι f Γι κι d είνι: f f f 9 Η πργμτική τιμή της συνάρτησης είνι f δηδή διφέρει πό την εκτίμησή μς στο ο δεκδικό ψηφίο Γι την συνάρτηση f που προυσιάζετι στο πρκάτω γράφημ εντοπίστε γι ποιες τιμές του : i Είνι ύξουσ ii Είνι φθίνουσ iii Δεν είνι ύξουσ ή φθίνουσ iv Προυσιάζει σημείο κμπής v Είνι Κοίη vi Είνι Κυρτή Τ χρκτηριστικά της f συνοψίζοντι στον πρκάτω πίνκ: b c d e f g h i j k Μονοτονί Κυρτή Κοίη Σημεί κμπής 9

57 7 Ν μεετήσετε τις συνρτήσεις: ln f f γ f e * Πεδίο ορισμού της f είνι το R Είνι f f> γι > κι f< γι ln ln Επίσης είνι f κι f Η πρώτη πράγωγος μηδενίζετι γι e κι f e < Άρ η f έχει τοπικό μέγιστο γι e Επίσης η f e έχει σημείο κμπής στο e / 8 Τέος lim f κι lim f Τ ποτεέσμτ υτά συνοψίζοντι στον πρκάτω πίνκ μετοών: e e / f f f Τμ Σκ Πεδίο ορισμού της f είνι το R Είνι f> γι κάθε R f κι f < γι κάθε R οπότε η f είνι υστηρά φθίνουσ Επίσης είνι / f > οπότε η f είνι κυρτή Τέος είνι lim f lim [ ] lim κι lim f γ Πεδίο ορισμού είνι το R Είνι f e κι f e Η f μηδενίζετι γι ενώ η f μηδενίζετι γι Επειδή είνι f < η f προυσιάζει τοπικό μέγιστο στο Επίσης είνι f γι κι f γι οπότε η f είνι κοίη στο ] κυρτή στο [ κι προυσιάζει σημείο κμπής στο Τέος είνι lim f lim lim κι lim e e f Τ ποτεέσμτ υτά συνοψίζοντι στον πρκάτω πίνκ μετοών: f f f Τμ Σκ 8 Μι επιχείρηση ντιμετωπίζει την πρκάτω συνάρτηση κόστους γι την πργωγή q μονάδων ενός συγκεκριμένου προϊόντος: C 7q q όπου C είνι το συνοικό κόστος σε δρχμές Πόσες μονάδες πρέπει ν πρχθούν γι ν εχιστοποιηθεί το μέσο κόστος; Ποιο είνι το εάχιστο μέσο κόστος;

58 γ Ποιο είνι τ συνοικό κόστος σ υτό το επίπεδο πργωγής; Το μέσο κόστος είνι dc dq q C 7 q Η πρώτη πράγωγος είνι: q που μηδενίζετι γι q 8 d C Είνι 7q > οπότε το μέσο κόστος εχιστοποιείτι γι dq q 8 Το εάχιστο μέσο κόστος είνι C898 χρημτικές μονάδες γ Το ντίστοιχο συνοικό κόστος είνι CCq97 χρημτικές μονάδες 9 Ν προσεγγίσετε κάθε μι πό τις πρκάτω συνρτήσεις με έν πουώνυμο το πού ου θμού: f ln e f ln γ f Αν τότε fln κι e f e f e e f f e e f f e Το προσεγγιστικό πουώνυμο είνι: f f f P!!! 8 Αν τότε fln κι f ln f f f f f f Το προσεγγιστικό πουώνυμο είνι:

59 P γ Αν τότε f κι f f / / f f 8 Το προσεγγιστικό πουώνυμο είνι: P 8 f f 8

60 ΛΥΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

61 Ασκήσεις Το στθερό κόστος μις επιχείρησης είνι χρημτικές μονάδες ενώ το μετητό κόστος της δίνετι πό τη συνάρτηση VC Q όπου Q είνι η Q ποσότητ του πργόμενου προϊόντος Ν ρείτε τη συνάρτηση συνοικού κόστους κι τη συνάρτηση ορικού κόστους Ν υποογίσετε το ορικό κόστος που ντιστοιχεί σε ποσότητ Q μονάδων κι ν εκτιμήσετε τη μετοή του συνοικού κόστους ότν η πργόμενη ποσότητ υξάνετι κτά μονάδες πό το επίπεδο των μονάδων Το συνοικό κόστος είνι TC Q VC Q Q Το ορικό κόστος είνι MC στθερό Ότν η πργόμενη ποσότητ μετάετι κτά μονάδες πό το επίπεδο των μονάδων το συνοικό κόστος μετάετι κτά ΔCMC χμ Μι επιχείρηση πράγει έν προϊόν χρησιμοποιώντς έν μόνο πργωγικό συντεεστή Η ποσότητ Q του πργόμενου προϊόντος δίνετι πό τη συνάρτηση b Q όπου είνι η ποσότητ του χρησιμοποιούμενου πργωγικού συντεεστή > κι b> Αν w η τιμή του πργωγικού συντεεστή κι C το στθερό κόστος: Ν προσδιορίσετε τη συνάρτηση συνοικού κόστους κι τη συνάρτηση ορικού κόστους της επιχείρησης Ν ποδείξετε ότι ότν η συνάρτηση πργωγής είνι κυρτή κοίη τότε η συνάρτηση συνοικού κόστους είνι κοίη κυρτή Η συνάρτηση συνοικού κόστους είνι TCC w Από τη συνάρτηση πργωγής / b / b b Q Q Q προκύπτει ότι οπότε TC C w Το ορικό κόστος είνι Επίσης είνι dq d b w b Q / b MC b b κι d Q b b d b ενώ d TC dq dmc w b Q / b dq b b Η συνάρτηση πργωγής είνι κυρτή κοίη ότν b> b< οπότε η συνάρτηση κόστους είνι κοίη κυρτή Ότν το ορικό κόστος υξάνετι το μέσο κόστος επίσης υξάνετι Συμφωνείτε με την πρότση υτή; Σε κάθε περίπτωση ν δικιοογήσετε την πάντησή σς

62 Αν TCQ είνι η συνάρτηση κόστους τότε η συνάρτηση ορικού κόστους είνι dtc TC Q MC Q κι η συνάρτηση μέσου κόστους είνι C Q Επίσης είνι: dq Q dc dq MC C Q Επομένως το μέσο κόστος υξάνετι ότν το ορικό κόστος υπερίνει το μέσο κόστος MC>C Ότν το ορικό κόστος πώς υξάνετι δεν υξάνετι πρίτητ κι το μέσο κόστος Γι πράδειγμ ν TCQQ Q με > κι > τότε MCQQ> κι dc C Q Q οπότε Αν κι το ορικό κόστος υξάνετι γι κάθε Q dq Q Q το μέσο κόστος μειώνετι γι Q < Επομένως η πρότση είνι νθσμένη Έστω η συνάρτηση Q γ δ όπου Q είνι η πργόμενη ποσότητ ενός προϊόντος κι η χρησιμοποιούμενη ποσότητ ενός πργωγικού συντεεστή Ποιες συνθήκες πρέπει ν ικνοποιούν οι στθερές γ κι δ προκειμένου η συνάρτηση ν είνι συνάρτηση πργωγής μις επιχείρησης; Κτ ρχήν πρέπει δ γιτί δεν μπορεί ν υπάρξει πργωγή χωρίς χρήση του πργωγικού συντεεστή Η συνάρτηση ορικού προϊόντος είνι MPQ γ Από την οικονομική θεωρί είνι γνωστό ότι το ορικό προϊόν μεγιστοποιείτι ότν το dmp συνοικό προϊόν προυσιάζει σημείο κμπής Στο σημείο υτό είνι ή d π όπου προκύπτει Γι ν έχουμε μέγιστο στο σημείο υτό πρέπει d MP < ή < οπότε γι ν είνι > πρέπει > Τέος το ορικό d προϊόν γι πρέπει ν είνι μη ρνητικό δηδή MPγ Επομένως οι συνθήκες είνι < > κι γ Ασκήσεις Έστω QfP η συνάρτηση ζήτησης ενός γθού κι RPQ η συνάρτηση εσόδων Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση εσόδων είνι: ύξουσ ότν η ζήτηση είνι εστική φθίνουσ ότν η ζήτηση είνι νεστική dq P Η εστικότητ ζήτησης είνι η Η πράγωγος των εσόδων ως προς την dp Q ποσότητ είνι: dr dq d PQ dq dp Q dq P Από την ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης Pf - Q είνι dp οπότε dq dq / dp

63 dr dq dr < dq Q P P P dq / dp dq P η dp Q dr Αν η ζήτηση είνι εστική τότε η > δηδή η< ή > οπότε > η dq Αν η ζήτηση είνι νεστική τότε η < δηδή <η< ή < οπότε η Έστω η συνάρτηση ζήτησης QP Ν ρείτε τις τιμές γι τις οποίες η συνάρτηση ζήτησης είνι εστική νεστική ή έχει μονδιί εστικότητ Ν ρείτε την τιμή στην οποί μεγιστοποιούντι τ συνοικά έσοδ dq P P Η εστικότητ ζήτησης είνι η dp Q P 8 Η ζήτηση είνι εστική ότν η > ή P > P ή P > Πρόμοι η 8 8 ζήτηση είνι νεστική ότν P < κι έχει μονδιί εστικότητ ότν P Τ συνοικά έσοδ μεγιστοποιούντι στο σημείο μονδιίς εστικότητς δηδή 8 ότν P Έστω η συνάρτηση ζήτησης Q Ν ρείτε την εστικότητ ζήτησης P ότν η τιμή είνι P κι ότν είνι P κι ν εκτιμήσετε τη μετοή στ συνοικά έσοδ κθώς η τιμή μετάετι μετξύ υτών των δύο ορίων dq P Η εστικότητ ζήτησης είνι η στθερή γι κάθε P Η πράγωγος dp Q των εσόδων ως προς την τιμή είνι: dr d d PQ P dp dp dp P Κθώς η τιμή μετάετι πό το στο τ έσοδ μετάοντι κτά dr ΔR dp 77 χρημτικές μονάδες χμ dp

64 Η πργμτική μετοή των εσόδων είνι RR χμ Έστω η συνάρτηση κτνάωσης CY Ποιες συνθήκες πρέπει ν ικνοποιούν οι πράμετροι κι ; Ν ρείτε την εστικότητ κτνάωσης ως προς το εισόδημ κι ν ποδείξετε ότι η κτνάωση είνι νεστική γι κάθε επίπεδο εισοδήμτος Από την οικονομική θεωρί προκύπτει ότι πρέπει ν ισχύει > κι << Η εστικότητ κτνάωσης ως προς το εισόδημ είνι ε C dc dy Y C Υ < άρ η κτνάωση είνι νεστική Υ Ασκήσεις Έστω το υπόδειγμ προσδιορισμού του εισοδήμτος μις κειστής οικονομίς στην οποί δεν υπάρχουν διεθνείς συνγές YCIG Η συνάρτηση κτνάωσης είνι C7Y d οι επενδύσεις I η κρτική δπάνη G κι οι φόροι T Ν ρείτε το επίπεδο ισορροπίς του εισοδήμτος Πώς θ μετηθεί το επίπεδο ισορροπίς του εισοδήμτος ν η ορική ροπή γι κτνάωση γίνει 9; γ Ν ρείτε τον ποπσιστή των επενδύσεων κι τον ποπσιστή των φόρων Τι πρτηρείτε; δ Αν τ φοροογικά έσοδ είνι το % του εισοδήμτος ν ρείτε το νέο επίπεδο ισορροπίς του εισοδήμτος κι το νέο ποπσιστή των επενδύσεων Αν c είνι η ορική ροπή γι κτνάωση τότε είνι Y c Y T I G ή c T I G Y c Γι c 7 I G κι T είνι Y7 Γι c 9 είνι Y γ Ο ποπσιστής επενδύσεων είνι: dy di c dy c Ο ποπσιστής φόρων είνι dt c dy dy Γι c 7 είνι κι di dt Ο ποπσιστής επενδύσεων είνι θετικός ενώ ο ποπσιστής φόρων ρνητικός I G δ Αν TtY τότε Y d t Y κι Y c t Y I G ή Y c t

65 dy Γι c 7 κι t είνι 7 di Γι I κι G είνι Y9 Θεωρήστε το υπόδειγμ προσδιορισμού του εισοδήμτος της προηγούμενης άσκησης «Αν η κρτική δπάνη G κι η φοροογί T υξηθούν κτά το ίδιο ποσό το επίπεδο ισορροπίς του εισοδήμτος πρμένει μετάητο γιτί τ κρτικά έσοδ υξάνοντι όσο κι οι κρτικές δπάνες» Συμφωνείτε με την πρότση υτή; Ν δικιοογήσετε την πάντησή σς c T I G Είνι Y c Y T I G ή Y Αν η φοροογί κι η c κρτική δπάνη υξηθούν κτά το ίδιο ποσό dgdt η μετοή στο εισόδημ θ είνι c dg dg dg Άρ το εισόδημ θ υξηθεί κτά dg c Ασκήσεις Ένς επενδυτής διθέτει έν ποσό Α κι θέει ν το τοποθετήσει σε τρπεζικό ογρισμό γι μήνες Μπορεί ν το τοποθετήσει σε κάποι πό τέσσερις τράπεζες με τους όρους που νφέροντι στον πρκάτω πίνκ: Τράπεζ Αντοκισμός Ονομστικό επιτόκιο Τ νά τρίμηνο % Τ νά έτος % Τ νά εξάμηνο % Τ πός τόκος 7% Ποι τράπεζ θ προτιμήσει ώστε ν έχει το μέγιστο υπόοιπο; Στο τέος του ου μήν το ποσό σε κάθε τράπεζ θ είνι: Τ : S 9 Τ : S Τ : S 8 7 Τ : S Ο επενδυτής θ προτιμήσει την τράπεζ Τ

66 Ένς εεύθερος επγγεμτίς οφείει στην Εφορί ποσό Ευρώ Αν εξοφήσει το ποσό μέσως θ έχει έκπτωση % Ενκτικά μπορεί ν το εξοφήσει σε τέσσερις ίσες εξμηνιίες δόσεις η πρώτη πό τις οποίες πρέπει ν κτηθεί σε έξι μήνες Τι συμφέρει ν κάνει ο εεύθερος επγγεμτίς ν μπορεί επίσης ν κτθέσει τ χρήμτά του σε ογρισμό με επιτόκιο % κι τριμηνιί κεφιοποίηση; Υποθέστε ότι οι δόσεις κτάοντι σε στιγμές κεφιοποίησης Αν ο οφειέτης πηρώσει μέσως θ κτάει ποσό 8 Ευρώ Το ισοδύνμο επιτόκιο της εξμηνιίς κεφιοποίησης είνι τέτοιο ώστε i οπότε i% Η προύσ ξί των τεσσάρων εξμηνιίων δόσεων είνι: PV 77 Ευρώ Επομένως συμφέρει η πηρωμή σε δόσεις Κάποιος γόρσε έν διμέρισμ πριν πό χρόνι ντί ποσού χιιάδων Ευρώ Στη συνέχει νοίκισε το διμέρισμ με ενοίκιο Ευρώ το μήν Μετά τ χρόνι πούησε το διμέρισμ ντί ποσού 8 χιιάδων Ευρώ Αν κτά τη διάρκει της τριετίς το επιτόκιο κτθέσεων ήτν % με εξμηνιί κεφιοποίηση ήτν συμφέρουσ η γορπωησί του διμερίσμτος; Αν η κεφιοποίηση γίνετι στο τέος κάθε εξμήνου τότε σε κάθε στιγμή κεφιοποίησης θ κεφιοποιούντι τ ενοίκι των προηγούμενων μηνών δηδή ποσό ή 7787 Ευρώ Έτσι ουσιστικά θ έχουμε εξμηνιίες κτοές ποσού Α συν τ έσοδ πό την πώηση του διμερίσμτος που θ εισπρχθούν στο τέος της τριετίς Αν θεωρήσουμε το έτος γοράς του διμερίσμτος ως έτος άσης τότε η προύσ ξί των εισροών υτών είνι: 8 PV 89 Ευρώ Εφόσον η ξί των εισροών είνι μικρότερη πό το κόστος γοράς δεν είνι συμφέρουσ η γορά του διμερίσμτος Έστω ότι κτέχετε μι ντίκ της οποίς η σημερινή ξί είνι 8 Ευρώ Κάποιος ειδικός εκτιμά ότι η ξί της ντίκς υξάνετι με ρυθμό Ευρώ νά έτος 7

67 Αν το τρπεζικό επιτόκιο είνι % νά έτος με συνεχή ντοκισμό ν ρείτε τη χρονική στιγμή κτά την οποί συμφέρει ν πουήσετε την ντίκ Η ξί της ντίκς τη χρονική στιγμή t θ είνι V t 8 t Η προύσ ξί της ν πουηθεί τη χρονική στιγμή t θ είνι: PV t V t e t 8 t e Η πράγωγος της PVt είνι: dpv dt t t e 8 t κι μηδενίζετι γι t7 Η δεύτερη πράγωγος γι t7 είνι: d PV 7 e 7 7 < dt Επομένως η προύσ ξί μεγιστοποιείτι ν η ντίκ πουηθεί σε t7 έτη Ασκήσεις Μι επιχείρηση έχει εκτιμήσει ότι η ζήτηση γι έν προϊόν μετάετι νάογ με την τιμή με την οποί χρεώνει το προϊόν της σύμφων με την σχέση: Q 8 P όπου Q είνι η ποσότητ που ζητείτι πό την επιχείρηση κι P η τιμή του προϊόντος Το συνοικό ετήσιο κόστος πό την πργωγή Q μονάδων ισούτι με: C Q Q Βρείτε πόσες μονάδες Q πρέπει ν πρχθούν έτσι ώστε ν μεγιστοποιηθούν τ κέρδη της επιχείρησης Σε ποι τιμή θ πρέπει ν διτίθετι το προϊόν; γ Ποι θ είνι τ κέρδη της επιχείρησης; δ Αν μέγιστη δυντή πργόμενη ποσότητ είνι μονάδες ποι θ είνι η νέ άριστη ποσότητ που θ μεγιστοποιήσει τ κέρδη της επιχείρησης; Συγκρίνετε την νέ ποσότητ με υτή του ερωτήμτος Από τη συνάρτηση ζήτησης προκύπτει ότι Η συνάρτηση κέρδους είνι: Q P 7 Q Π PQ C 7Q Q Q Q Q Η πρώτη πράγωγος είνι: dπ 8Q dq d Π Μηδενίζετι γι Q Είνι 8 < οπότε το κέρδος είνι μέγιστο dq γι Q 8

68 Το προϊόν θ διτίθετι στην τιμή P 7 7 χρημτικές μονάδες χμ γ Τ μέγιστ κέρδη είνι Π9 χμ δ Επειδή η συνάρτηση κέρδους είνι ύξουσ στο διάστημ [ ] έχει μέγιστο στο άνω άκρο του διστήμτος υτού δηδή γι Q που είνι Π9 χμ Το συνοικό κόστος C κι έσοδ R γι έν προϊόν είνι: C Q Q Q R Q Q Ν ρεθεί το επίπεδο του προϊόντος που μεγιστοποιεί το κέρδος Ποιο είνι το μέγιστο κέρδος; Η συνάρτηση κέρδους είνι: Π Q Q dπ d Π Η πρώτη πράγωγος Q μηδενίζετι γι Q Επειδή < dq dq το κέρδος μεγιστοποιείτι στο σημείο υτό Το μέγιστο κέρδος είνι Π79 χμ Μι ετιρί πουάει έν προϊόν στην τιμή Ευρώ νά μονάδ Το συνοικό κόστος γι την πργωγή Q χιιάδων μονάδων περιγράφετι σε εκτομμύρι Ευρώ πό την σχέση: C Q Q Q Ν ρεθεί το επίπεδο του προϊόντος που μεγιστοποιεί το κέρδος Ποι είνι το συνοικά έσοδ κόστος κι κέρδη σ υτό το επίπεδο πργωγής; Η συνάρτηση κέρδους είνι Π Q Q Q Προυσιάζει μέγιστο γι Q/ Τ έσοδ είνι 7 9 χμ το κόστος 9 χμ κι το κέρδος 7 7 χμ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Μί επιχείρηση έχει τις πρκάτω συνρτήσεις μέσου κόστους κι ζήτησης: C q q κι p q q όπου q είνι η ποσότητ ΑC το μέσο κόστος κι p η τιμή πώησης Ν εξηγήσετε γιτί τ πρόσημ στη συνάρτηση μέσου κόστους πρέπει ν είνι με τη σειρά κι 9

69 Ν ρείτε την ποσότητ προϊόντος η οποί μεγιστοποιεί τ κέρδη της επιχείρησης Ποι είνι η εστικότητ ζήτησης που ντιστοιχεί σ υτή την ποσότητ; Η συνάρτηση συνοικού κόστους είνι TC C q q q q Τ πρόσημ είνι με τη συγκεκριμένη σειρά γιτί: i Το κόστος γι μηδενική πργωγή πρέπει ν είνι θετικό ii Το ορικό κόστος πρέπει ν προυσιάζει εάχιστο iii Το ορικό κόστος γι μηδενική πργωγή πρέπει ν είνι θετικό Η συνάρτηση κέρδους της επιχείρησης είνι: Π q pq TC q q q Η πρώτη πράγωγος είνι Π q q q κι μηδενίζετι γι q/ Η δεύτερη πράγωγος είνι Π q q q < οπότε η συνάρτηση κέρδους προυσιάζει μέγιστο στο σημείο q/ Η ντίστοιχη εστικότητ ζήτησης είνι: η dq dp p q 7 Το πρκάτω σχήμ προυσιάζει τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων κόστους Cq κι εσόδων Rq Τι οικονομική σημσί έχει η επιογή γι πργωγή στ διφορετικά επίπεδ q; Στ επίπεδ πργωγής q κι q το ορικό έσοδο ισούτι με το ορικό κόστος γιτί οι εφπτόμενες στις κμπύες Rq κι Cq έχουν την ίδι κίση Στο σημείο q είνι d π d [ R q C q] R q C q > γιτί η συνάρτηση Rq είνι κυρτή κι η dq dq Cq κοίη Επομένως το κέρδος εχιστοποιείτι