Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη"

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ ριθμώ στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι ώστε έχου τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο με το μηδέ είι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έ το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού Υπάρχει έ στοιχείο τέτοιο ώστε Κάθε στοιχείο του γράφετι κτά μοδικό τρόπο με τη μορφή όπου Τι οομάζουμε πργμτικό τι φτστικό μέρος εός μιγδικού κι πώς το συμολίζουμε; Η έκφρση είι κριώς ότι λέμε μιγδικό ριθμό Είι η σύθεση δύο ριθμώ του πργμτικού κι του το οποίο οομάζουμε φτστικό ριθμό Ο λέγετι πργμτικό μέρος του κι σημειώετι Re εώ ο λέγετι φτστικό μέρος του κι σημειώετι Im 3 Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί + κι γ+δ είι ίσοι; Δύο μιγδικοί ριθμοί κι γ δ είι ίσοι κι μόο γ κι δ γ δ 4 Πότε ές μιγδικός ισούτι με μηδέ ; Επειδή έχουμε : κι γ κι δ 5 Υπάρχει διάτξη στο σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Δηλδή ισχύει: Στη επέκτση πό το στο εώ οι πράξεις κι οι ιδιότητες υτώ που ισχύου στο εξκολουθού ισχύου κι στο ε τούτοις η διάτξη κι οι ιδιότητές της δε μετφέροτι 6 Τι οομάζετι εικό εός μιγδικού ριθμού; Kάθε μιγδικό ριθμό μπορούμε το τιστοιχίσουμε στο σημείο M εός κρτεσιού επιπέδου Αλλά κι τιστρόφως κάθε σημείο M του κρτεσιού υτού επιπέδου μπορούμε το τιστοιχίσουμε στο μιγδικό Το σημείο M λέγετι εικό του μιγδικού A θέσουμε τότε το σημείο M μπορούμε το συμολίζουμε κι με M Ές μιγδικός πριστάετι επίσης κι με τη διυσμτική κτί M του σημείου M M ή Μ Ο a 7 Τι οομάζουμε μιγδικό επίπεδο τι πργμτικό κι το φτάστικό άξο; Έ κρτεσιό επίπεδο του οποίου τ σημεί είι εικόες μιγδικώ ριθμώ θ φέρετι ως μιγδικό επίπεδο Ο άξος λέγετι πργμτικός άξος φού ήκου σε υτό τ σημεί M που είι εικόες τω πργμτικώ ριθμώ εώ ο άξος λέγετι φτστικός άξος φού ήκου σε υτό τ σημεί M που είι εικόες τω φτστικώ Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 Πως ορίζοτι οι πράξεις στους μιγδικούς ; Γι τη πρόσθεση τω Γι τη φίρεση τω κι γ δ έχουμε: γ δ γ δ κι γ δ έχουμε: γ δ γ δ Γι το πολλπλσισμό δυο μιγδικώ έχουμε: γ δ γ δ δ γ Γι το πηλίκο γ δ έχουμε: γ δ γ δ γ δ γ δ γ δ 9 Πως ορίζετι η δύμη μιγδικού ; Ορίζουμε: κι γεικά γι κάθε κέριο με Α ορίζουμε γι κάθε θετικό κέριο Ισχύει : 3 Γεικά : 4 ρυ 4 ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ - υ υ υ υ 3 Πως ερμηεύοτι γεωμετρικά η πρόσθεση κι η φίρεση μιγδικώ ; Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ διυσμτικώ κτίω τους Η διυσμτική κτί της διφοράς τω μιγδικώ διυσμτικώ κτίω τους Τι οομάζουμε συζυγή εός μιγδικού κι πώς το συμολίζουμε; κι γ δ είι το άθροισμ τω κι γ δ είι η διφορά τω Ο ριθμός λέγετι συζυγής του κι συμολίζετι με Δηλδή Επειδή είι κι οι λέγοτι συζυγείς μιγδικοί Ποιές είι οι ιδιότητες τω συζυγώ ; Γι δύο συζυγείς μιγδικούς ριθμούς κι ισχύου: 3 Α κι γ δ είι δυο μιγδικοί ριθμοί τότε: Στο μιγδικό επίπεδο οι εικόες M κι M δύο συζυγώ μιγδικώ κι είι σημεί συμμετρικά ως προς το πργμτικό άξο 3 Ποιές είι οι ρίζες κάθε εξίσωσης δεύτερου θμού με πργμτικούς συτελεστές Δ< ; Ποιές σχέσεις τις συδέου ; Ο M M Οι λύσεις είι : Δ κι ισχύει : γ κι 4 Πως ορίζετι το μέτρο μιγδικού ; Έστω M η εικό του μιγδικού =+ στο μιγδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του τη πόστση του Μ πό τη ρχή δηλδή M Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 5 Ποιες είι οι ιδιότητες του μέτρου ; = = - = - = 3 = 4 Γεικά ποδεικύετι ότι: κι ειδικότερ: τριγωική ισότητ 6 Τι εκφράζει γεωμετρικά ο ριθμός - μιγδικώ ριθμώ; Α είι μιγδικοί ριθμοί κι Μ Μ οι εικόες τους τότε: = δηλδή το μέτρο της διφοράς δύο Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ είι ίσο με τη πόστση τω εικόω τους Δηλδή: M M = - 7 Τι πριστάου γεωμετρικά οι εξισώσεις: - =ρ ρ> κι - - ; Η εξίσωση ρ ρ πριστάει το κύκλο με κέτρο το σημείο K κι κτί ρ εώ η εξίσωση τη μεσοκάθετο του τμήμτος με άκρ τ A κι B ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 8 Τι οομάζετι συάρτηση ; Έστω Α έ υποσύολο του R Οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί με τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ μόο πργμτικό ριθμό Το οομάζετι τιμή της στο κι συμολίζετι με 9 Τι οομάζετι σύολο τιμώ μις συάρτησης ; Το σύολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της σε όλ τ A λέγετι σύολο τιμώ της κι συμολίζετι με A Είι δηλδή: A { γι κάποιο A} ΠΡΟΣΟΧΗ Οτ θ λέμε ότι Η συάρτηση είι ορισμέη σ έ σύολο Β θ εοούμε ότι το Β είι υποσύολο του πεδίου ορισμού της Στη περίπτωση υτή με B θ συμολίζουμε το σύολο τω τιμώ της σε κάθε B Είι δηλδή: B { γι κάποιο B} Τι είι η συτομογρφί μις συάρτησης; Γι οριστεί μι συάρτηση ρκεί δοθού δύο στοιχεί: το πεδίο ορισμού της κι η τιμή της γι κάθε του πεδίου ορισμού της Συήθως όμως φερόμστε σε μι συάρτηση δίοτς μόο το τύπο με το οποίο εκφράζετι το Σε μι τέτοι περίπτωση θ θ ε ω ρ ο ύ μ ε σ υμ τ ι κ ά ότι το πεδίο ορισμού της είι το σύολο όλω τω πργμτικώ ριθμώ γι τους οποίους το έχει όημ Τι οομάζετι γρφική πράστση συάρτησης; Έστω συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο Το σύολο τω σημείω M του επιπέδου γι τ οποί ισχύει δηλδή το σύολο τω σημείω M A λέγετι γρφική πράστση της κι συμολίζετι με C Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 Πως ρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α το σύολο τιμώ A κι τη τιμή της στο A ότ δίετι η γρφική πράστση C μις συάρτησης Το πεδίο ορισμού της είι το σύολο Α τω τετμημέω τω σημείω της C Το σύολο τιμώ της είι το σύολο A τω τετγμέω τω σημείω της C γ Η τιμή της στο A είι η τετγμέη του σημείου τομής της ευθείς κι της C C Α C = C A Α γ 3 Πως ρίσκουμε τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω - κι ότ δίετι η γρφική πράστση C μις συάρτησης Η γρφική πράστσης της συάρτησης είι συμμετρική ως προς το άξο της γρφικής πράστσης της γιτί ποτελείτι πό τ σημεί M που είι συμμετρικά τω M ως προς το άξο Μ Μ = = Η γρφική πράστση της ποτελείτι πό τ τμήμτ της C που ρίσκοτι πάω πό το άξο κι πό τ συμμετρικά ως προς το άξο τω τμημάτω της ρίσκοτι κάτω πό το άξο υτό C που = = 4 Πότε δυο συρτήσεις λέγοτι ίσες; Δύο συρτήσεις κι λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει Έστω δύο συρτήσεις με πεδί ορισμού Α Β τιστοίχως κι Γ έ υποσύολο τω Α κι Β Α γι κάθε Γ ισχύει τότε λέμε ότι οι συρτήσεις κι είι ίσες στο σύολο Γ Ο Γ B A 5 Πως ορίζοτι οι πράξεις μετξύ συρτήσεω ; Ορίζουμε ως άθροισμ διφορά γιόμεο κι πηλίκο τίστοιχ δύο συρτήσεω τις συρτήσεις με τύπους: Το πεδίο ορισμού τω κι είι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α κι Β τω συρτήσεω κι τιστοίχως εώ το πεδίο ορισμού της B με } είι το σύολο Δ= { A κι Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 6 Τι οομάζετι σύθεση συρτήσεω ; Α είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α Β τιστοίχως τότε οομάζουμε σύθεση της με τη κι τη συμολίζουμε με o τη συάρτηση με τύπο: o Το πεδίο ορισμού της o ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το ήκει στο πεδίο ορισμού της Δηλδή είι το σύολο A { A B} A A A B B Είι φερό ότι η o ορίζετι A δηλδή A B 7 Πότε μι συάρτηση λέγετι γησίως ύξουσ κι πότε γησίως φθίουσ σε έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συάρτηση λέγετι : γησίως ύξουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της ότ γι οποιδήποτε Δ με ισχύει: γησίως φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της ότ γι οποιδήποτε Δ με ισχύει: Α μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ ή γησίως φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της τότε λέμε ότι η είι γησίως μοότοη στο Δ 8 Πότε μι συάρτηση λέγετι ύξουσ κι πότε φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της; Μι συάρτηση λέγετι πλώς ύξουσ σ έ διάστημ Δ ότ γι οποιδήποτε Δ με ισχύει φθίουσ σ έ διάστημ Δ ότ γι οποιδήποτε Δ με ισχύει Α μι συάρτηση είι ύξουσ ή φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της τότε λέμε ότι η είι μοότοη στο Δ 9 Πότε μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο κι πότε ελάχιστο ; Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο το ότ γι κάθε A Προυσιάζει στο A ολικό ελάχιστο το ότ γι κάθε A Το ολικό μέγιστο κι το ολικό ελάχιστο μις συάρτησης λέγοτι ολικά κρόττ της 3 Πότε μι συάρτηση λέγετι -; Μι συάρτηση : A R λέγετι συάρτηση ότ γι οποιδήποτε A ισχύει η συεπγωγή: τότε Ισοδύμος ορισμός: Μι συάρτηση : A R είι συάρτηση κι μόο γι οποιδήποτε A ισχύει : τότε Από το πρπάω ορισμό προκύπτει ότι μι συάρτηση είι κι μόο : Γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ της η εξίσωση έχει κριώς μι λύση ως προς Δε υπάρχου σημεί της γρφικής της πράστσης με τη ίδι τετγμέη Αυτό σημίει ότι Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 κάθε οριζότι ευθεί τέμει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έ σημείο Σχ A B = γ συάρτηση - συάρτηση όχι - Α μι συάρτηση είι γησίως μοότοη τότε προφώς είι συάρτηση " " Έτσι οι 3 συρτήσεις 3 κι 4 lo είι συρτήσεις Υπάρχου όμως συρτήσεις που είι λλά δε είι γησίως μοότοες όπως γι πράδειγμ η συάρτηση Σχγ 3 Τι οομάζετι τίστροφη συάρτηση; Έστω μι συάρτηση : A R Tότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ A της υπάρχει μοδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει Επομέως ορίζετι μι συάρτηση : A R με τη οποί κάθε A τιστοιχίζετι στο μοδικό A γι το οποίο ισχύει H λέγετι τίστροφη συάρτηση της κι συμολίζετι με Επομέως έχουμε A οπότε: κι A 3 Τι γωρίζετε γι τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω κι - ; Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι ευθεί που διχοτομεί τις γωίες κι είι συμμετρικές ως προς τη 33 Γιτί οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι - είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί = που διχοτομεί τις γωίες κι Ας πάρουμε μι - συάρτηση κι ς θεωρήσουμε τις γρφικές πρστάσεις C κι C τω κι της στο ίδιο σύστημ ξόω Επειδή έ σημείο M ήκει στη γρφική πράστση C της τότε το σημείο θ ήκει στη γρφική πράστση της κι τιστρόφως Τ σημεί όμως υτά είι συμμετρικά ως προς τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες κι Επομέως: Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες κι C C = M C M Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ποιες είι οι άμεσες συέπειες του ορισμού του ορίου ; h h 35 Πως συδέετι το όριο με τ πλευρικά όρι ; Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής τότε ισχύει η ισοδυμί: ΣΧΟΛΙΟ Γι ζητήσουμε το όριο της στο πρέπει η ορίζετι όσο θέλουμε κοτά στο δηλδή η είι ορισμέη σ έ σύολο της μορφής: ή ή Το μπορεί ήκει στο πεδίο ορισμού της συάρτησης ή μη ήκει σ υτό Η τιμή της στο ότ υπάρχει μπορεί είι ίση με το όριό της στο ή διφορετική πό υτό Αποδεικύετι ότι το είι εξάρτητο τω άκρω τω διστημάτω κι στ οποί θεωρούμε ότι είι ορισμέη η Έτσι γι πράδειγμ θέλουμε ρούμε το όριο της συάρτησης στο περιοριζόμστε στο υποσύολο = του πεδίου ορισμού της στο οποίο υτή πίρει τη μορφή: Επομέως όπως φίετι κι πό το διπλό σχήμ το ζητούμεο όριο είι ΣΥΜΒΑΣΗ Ότ λέμε ότι μι συάρτηση έχει κοτά στο μι ιδιότητ Ρ θ εοούμε ότι ισχύει μι πό τις πρκάτω τρεις συθήκες: Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής κι στο σύολο υτό έχει τη ιδιότητ Ρ Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής έχει σ υτό τη ιδιότητ Ρ λλά δε ορίζετι σε σύολο της μορφής γ Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής έχει σ υτό τη ιδιότητ Ρ λλά δε ορίζετι σε σύολο της μορφής Γι πράδειγμ η συάρτηση π π κι είι θετική σε υτό = ημ είι θετική κοτά στο φού ορίζετι στο σύολο 36 Ποιες ισότητες ισχύου στ όρι ; όριο κι διάτξη Α τότε εώ τότε κοτά στο Α οι συρτήσεις έχου όριο στο κι ισχύει κοτά στο τότε 37 Ποιες είι οι ιδιότητες τω ορίω το τείει στο ; Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι στο τότε: κ κ γι κάθε κ R Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

8 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ εφόσο 5 6 k k ότ κοτά στο 7 [ ] N * 38 Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεμολής Έστω οι συρτήσεις h Α h κοτά στο κι h τότε Πράδειγμ γι έχουμε: ημ κι επειδή σύμφω με το πρπάω κριτήριο έχουμε: ημ 39 Ποι είι τ σικά τριγωομετρικά όρι ; C C C h ημ συ Σημείωση : ημ γι κάθε η ισότητ ισχύει μόο ότ 4 Πως υπολογίζουμε το όριο σύθετης συάρτησης ; Γι υπολογίσουμε το εργζόμστε ως εξής: της σύθετης συάρτησης στο σημείο τότε Θέτουμε u κι υπολογίζουμε το u κι το u υπάρχου Αποδεικύετι ότι u κοτά στο τότε το ζητούμεο όριο είι ίσο με δηλδή ισχύει: uu u uu 4 Ποιες είι οι ιδιότητες τω μη πεπερσμέω ορίω στο R; Α τότε εώ τότε κοτά στο Α τότε εώ τότε Α ή τότε Α κι κοτά στο τότε τότε εώ κοτά στο Α ή τότε κι τότε k Βσικά όρι: Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

9 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 9 * κι γεικά κι γεικά εώ δε υπάρχει στο μηδέ το όριο της * κι * Οριο θροίσμτος κι γιομέου το όριο της είι: R R - - κι το όριο της είι: τότε το όριο της το όριο της είι: κι το όριο της είι: τότε το όριο της είι: είι: - - ; ; > < > < ; ; Στους πίκες τω πρπάω θεωρημάτω όπου υπάρχει ερωτημτικό σημίει ότι το όριο υπάρχει εξρτάτι κάθε φορά πό τις συρτήσεις που πίρουμε Στις περιπτώσεις υτές λέμε ότι έχουμε προσδιόριστη μορφή Δηλδή προσδιόριστες μορφές γι τ όρι θροίσμτος κι γιομέου συρτήσεω είι οι: κι κι προσδιόριστες μορφές γι τ όρι της διφοράς κι του πηλίκου συρτήσεω είι οι: κι 4 Ποιες είι οι ιδιότητες τω ορίω συάρτησης στο άπειρο; Γι τ όρι στο ισχύου οι γωστές ιδιότητες τω ορίω στο με τη προϋπόθεση ότι: οι συρτήσεις είι ορισμέες σε κτάλληλ σύολ της μορφής ή κι δε κτλήγουμε σε προσδιόριστη μορφή Γι το υπολογισμό του ορίου στο ή εός μεγάλου ριθμού συρτήσεω χρειζόμστε τ πρκάτω σικά όρι: * άρτιος κι * κι - περιττός 43 Ποιο είι το όριο πολυωυμικής κι ρητής συάρτησης το τείει στο ; Γι τη πολυωυμική συάρτηση P με ισχύει: P κι P Γι τη ρητή συάρτηση κ κ κ κι κ κ κ κ ισχύει: κ κ 44 Ποιο είι το όριο εκθετικής κι λογριθμικής συάρτησης το τείει στο ; Α τότε: lo lo Α τότε: lo lo Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 45 Τι οομάζετι κολουθί; Ακολουθί οομάζετι κάθε πργμτική συάρτηση * : 46 Ν διτυπώσετε το ορισμό του πεπερσμέου όριου κολουθίς Θ λέμε ότι η κολουθί έχει όριο το κι θ γράφουμε ότ γι κάθε ε υπάρχει * τέτοιο ώστε γι κάθε ισχύει: ε 47 Πότε η λέγετι συεχής στο του πεδίου ορισμού της; Εστω μι συάρτηση κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η είι συεχής στο ότ: 48 Πότε μι συάρτηση δε είι συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της; Μι συάρτηση δε είι συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της ότ: Δε υπάρχει το όριό της στο ή Υπάρχει το όριό της στο λλά είι διφορετικό πό τη τιμή της στο σημείο 49 Πότε η συάρτηση λέγετι συεχής στο πεδίο ορισμού της; Θ λέμε ότι η είι συεχής στο πεδίο ορισμού της ότ η είι συεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της Α δηλδή ότ ισχύει: γι κάθε Α 5 Ποιες συρτήσεις είι συεχείς; Κάθε πολυωυμική συάρτηση Ρ είι συεχής φού γι κάθε ισχύει: P P P P P Κάθε ρητή συάρτηση είι συεχής φού ισχύει: Q Q Q γι κάθε του πεδίου ορισμού της Οι συρτήσεις ημ κι συ είι συεχείς φού γι κάθε ισχύει: Οι συρτήσεις ημ ημ κι lo κι συ συ είι συεχείς 5 Τι γωρίζετε γι τις πράξεις μετξύ συεχώ συρτήσεω; Α οι συρτήσεις κι είι συεχείς στο τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις: c όπου c R κι με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστημ που περιέχει το Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση είι συεχής στο σύθεσή τους o είι συεχής στο 5 Πότε η λέγετι συεχής σε έ οικτό διάστημ ; τότε η Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του 53 Πότε η λέγετι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [] ; Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [ ] ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του κι επιπλέο : κι Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

11 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 54 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Bolano Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [ ] Α η είι συεχής στο [ ] κι επιπλέο ισχύει τότε υπάρχει έ τουλάχιστο τέτοιο ώστε 55 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Bolano Στο διπλό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συεχούς συάρτησης στο [ ] Επειδή τ σημεί A κι B ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο η γρφική πράστση της τέμει το άξο σε έ τουλάχιστο σημείο ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημ του Bolano προκύπτει ότι: Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι σ υτό τότε υτή ή είι θετική γι κάθε Δ ή είι ρητική γι κάθε Δ δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ Σχ > a a Α B a a < Μι συεχής συάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό το διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της γ ρ + ρ ρ 3 + ρ 4 + ρ 5 56 Πως μπορούμε προσδιορίσουμε το πρόσημο μις συεχούς συάρτησης ; Ο προσδιορισμός του προσήμου συεχούς συάρτησης γίετι ως εξής: Βρίσκουμε τις ρίζες της Σε κθέ πό τ υποδιστήμτ που ορίζου οι διδοχικές ρίζες επιλέγουμε τυχί έ σημείο κι ρίσκουμε το πρόσημο της τιμής Το πρόσημο υτό είι κι το πρόσημο της στο τίστοιχο διάστημ Α μι συάρτηση δε είι συεχής στο διάστημ [ ] τότε όπως φίετι κι στο διπλό σχήμ δε πίρει υποχρεωτικά όλες τις εδιάμεσες τιμές Με τη οήθει του θεωρήμτος εδιμέσω τιμώ ποδεικύετι ότι: Η εικό Δ εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης είι διάστημ η a a =η Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

12 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 57 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέγιστης - ελάχιστης τιμής Α είι συεχής συάρτηση στο [ ] τότε η πίρει στο [ ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή υπάρχου [ ] τέτοι ώστε m κι M ισχύει : m M γι κάθε [ ] ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημ Μέγιστης - ελάχιστης τιμής κι το θεώρημ εδιάμεσω τιμώ προκύπτει ότι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης με πεδίο ορισμού το [ ] είι το κλειστό διάστημ [ m M ] όπου m η ελάχιστη τιμή κι Μ η μέγιστη τιμή της Δηλδή: [] = [ m M ] 58 Ποιο είι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης ορισμέης σε διάστημ ; A μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α Β όπου: Α κι B Α όμως η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ B A Αάλογ συμπεράσμτ έχουμε κι ότ μι συάρτηση είι συεχής κι γησίως μοότοη σε διστήμτ της μορφής [ ] [ κι ] ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 59 Πως ορίζετι η εφπτομέη στο σημείο A της C ; Έστω μι συάρτηση κι A έ σημείο της C Α υπάρχει το κι είι ο πργμτικός ριθμός τότε ορίζουμε ως εφπτομέη της C στο σημείο της Α τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ= Επομέως η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο A είι : ' 6 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο κι τι οομάζουμε πράγωγο της στο ; Μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο του πεδίου ορισμού της υπάρχει το κι είι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της στο κι συμολίζετι με Δηλδή: 6 Ποιος είι ο συμολισμός του Lebn κι ποιος του Larane γι τη πράγωγο της στο Ο Lebn συμολίσε τη πράγωγο στο με μετγεέστερος κι οφείλετι στο Larane d d ή Ο συμολισμός είι d d Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

13 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 6 Τι οδήγησε το Lebn συμολίσει τη πράγωγο στο με Α στη ισότητ θέσουμε h τότε έχουμε: d d ή d d h h h Πολλές φορές το h συμολίζετι με Δ εώ το h Δ Δ συμολίζετι με Δ οπότε ο πρπάω τύπος γράφετι: Δ Δ d Η τελευτί ισότητ οδήγησε το Lebn συμολίσει τη πράγωγο στο με d ή d d 63 Τι λέγετι στιγμιί τχύτητ εός κιητού τη χροική στιγμή t ; Η στιγμιί τχύτητ εός κιητού τη χροική στιγμή t είι η πράγωγος της συάρτησης θέσης St τη χροική στιγμή t Δηλδή είι: υ t S t 64 Ποι είι η γεωμετρική ερμηεί του πράγωγου ριθμού σε έ σημείο ο ο της γρφικής πράστσης C μι συάρτησης; Ο συτελεστής διεύθυσης της εφπτομέης ε της γρφικής πράστσης C μις πργωγίσιμης συάρτησης στο σημείο A είι η πράγωγος της στο 65 Τι οομάζετι κλίση της γρφικής πράστσης μις πργωγίσιμης συάρτησης σε έ σημείο της Α ο ο ; Τη κλίση της εφπτομέης ε στο A θ τη λέμε κι κλίση της γρφικής πράστσης C στο Α ή κλίση της στο 66 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ; Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού έ σύολο Α Θ λέμε ότι: H είι πργωγίσιμη στο Α ή πλά πργωγίσιμη ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A 67 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ του πεδίου ορισμού της; Η είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ του πεδίου ορισμού της ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο 68 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [] του πεδίου ορισμού της; Η είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [ ] του πεδίου ορισμού της ότ είι πργωγίσιμη στο κι επιπλέο ισχύει: + 69 Τι οομάζετι πρώτη πράγωγος συάρτησης ; - R κι - - = - R - Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι A τo σύολο τω σημείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιμη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο ορίζουμε τη συάρτηση : A R ώστε : η οποί οομάζετι πρώτη πράγωγος της ή πλά πράγωγος + h - της Ο τύπος της συάρτησης είι: = A h h d H πρώτη πράγωγος της συμολίζετι κι με d Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 7 Τι οομάζετι δεύτερη πράγωγος κι τι ιοστή πράγωγος συάρτησης ; Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι A τo σύολο τω σημείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιμη κι η πρώτη πράγωγος της Α υποθέσουμε ότι το Α είι διάστημ ή έωση διστημάτω τότε η πράγωγος της υπάρχει λέγετι δεύτερη πράγωγος της κι συμολίζετι με Επγωγικά ορίζετι η ιοστή πράγωγος της με 3 κι συμολίζετι με Δηλδή: [ ] 3 7 Πως πργωγίζετι μι σύθετη συάρτηση ; Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι η είι πργωγίσιμη στο τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει 7 Τι είι ο κός της λυσίδς; Α μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σε έ διάστημ Δ κι η είι πργωγίσιμη στο Δ τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει: Δηλδή u τότε: u u u Με το συμολισμό του Lebn u κι u έχουμε το τύπο που είι γωστός ως κός της λυσίδς ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ d d d du du d d Το σύμολο δε είι πηλίκο Στο κό της λυσίδς πλά συμπεριφέρετι ως πηλίκο d πράγμ που ευκολύει τη πομημόευση του κό 73 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ =c Συάρτηση c = Πράγωγος = = = - = = κ κ κ- κ - =κ = - - = =ln ln = =lo a lo = ln = ln ln = Διάστημ που πργωγίζετι η [ με > με < Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

15 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 = = =e e = e = > = ln =ημ ημ = συ =συ συ =-ημ =εφ εφ = =+εφ συ Α={ / κπ+ π κ } =σφ σφ = - =-+ σφ ημ Α={ / κπ κ } 74 Τι οομάζετι ρυθμός μετολής του ως προς το στο σημείο ότ = κι είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο ; Α δύο μετλητά μεγέθη συδέοτι με τη σχέση ότ είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο τότε οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο τη πράγωγο 75 Τι λέγετι επιτάχυση του κιητού τη χροική στιγμή t ; Ο ρυθμός μετολής της τχύτητς υ ως προς το χρόο t τη χροική στιγμή t είι η πράγωγος υ t της τχύτητς υ ως προς το χρόο t τη χροική στιγμή t Η πράγωγος υ t λέγετι επιτάχυση του κιητού τη χροική στιγμή t κι συμολίζετι με t Είι δηλδή: υ t S t t 76 Τι λέγετι ορικό κόστος στο ορική είσπρξη στο κι ορικό κέρδος στο Στη οικοομί το κόστος πργωγής Κ η είσπρξη Ε κι το κέρδος Ρ εκφράζοτι συρτήσει της ποσότητς του πργόμεου προϊότος Έτσι η πράγωγος Κ πριστάει το ρυθμό μετολής του κόστους Κ ως προς τη ποσότητ ότ κι λέγετι ορικό κόστος στο Αάλογ ορίζοτι κι οι έοιες ορική είσπρξη στο κι ορικό κέρδος στο 77 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Rolle Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [ ] πργωγίσιμη στο οικτό κι ισχύει τότε υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο Μξξ Α Β ώστε: ξ ξ ξ 78 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Rolle Το Θεώρημ Rolle γεωμετρικά σημίει ότι υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε η εφπτομέη της C στο M ξ ξ είι πράλληλη στο άξο τω Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού ΘΜΤ Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [ ] κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ Β Mξξ τότε υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε: ξ A 8 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού Ο a ξ ξ Γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής σημίει ότι υπάρχει έ τουλάχιστο ξ τέτοιο ώστε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της στο σημείο M ξ ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ όπου Α κι Β ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ως άμεσες συέπειες του ΘΜΤ προκύπτου: Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι = γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Έστω δυο συρτήσεις ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι είι συεχείς στο Δ κι = γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε υπάρχει στθερά c τέτοι ώστε γι κάθε єδ ισχύει: =+c 3 Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο διάστημ Δ τότε ισχύει η ισοδυμί: = = c e cєr 4 Έστω μι συάρτηση η οποί είι συεχής σε έ διάστημ Δ Α > σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι γ ύξουσ σε όλο το Δ Α < σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι γ φθίουσ σε όλο το Δ 8 Τι οομάζετι τοπικό μέγιστο κι τι τοπικό ελάχιστο της ; Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο ότ υπάρχει δ τέτοιο ώστε : γι κάθε A δ δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου εώ το τοπικό μέγιστο της Μί συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο ότ υπάρχει δ τέτοιο ώστε : γι κάθε A δ δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου εώ το τοπικό ελάχιστο της Έ τοπικό μέγιστο μπορεί είι μικρότερο πό έ τοπικό ελάχιστο Σχ 3 4 a ma mn a 3 4 Α μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο τότε υτό θ είι το μεγλύτερο πό τ τοπικά μέγιστ εώ προυσιάζει ελάχιστο τότε υτό θ είι το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

17 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 7 Το μεγλύτερο όμως πό τ τοπικά μέγιστ μίς συάρτησης δε είι πάτοτε μέγιστο υτής Επίσης το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ μίς συάρτησης δε είι πάτοτε ελάχιστο της συάρτησης 8 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Fermat Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό τότε: 83 Ποιες είι οι πιθές θέσεις τω τοπικώ κροτάτω μις συάρτησης ; Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της 84 Ποι είι τ κρίσιμ σημεί μις συάρτησης ορισμέης σε έ διάστημ Δ; Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ λέγοτι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ 85 Πως σχετίζετι η με τ τοπικά κρόττ; κριτήριο ης πργώγου Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ με εξίρεση ίσως έ σημείο του στο οποίο όμως η είι συεχής Α στο κι στο τότε το είι τοπ μέγιστο της Α στο κι στο τότε το είι τοπ ελάχιστο της A η διτηρεί πρόσημο στο τότε το δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο 86 Πότε μι συάρτηση οομάζετι κυρτή ή κοίλη σ έ διάστημ Δ; Έστω μί συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο Δ η είι γησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ η είι γησίως φθίουσ στο εσωτερικό του Δ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Α μι συάρτηση είι κυρτή κοίλη σε έ διάστημ Δ τότε η γρφική της πράστση ρίσκετι πάω κάτω πό τη εφπτομέη σε κάθε σημείο єδ με εξίρεση το σημείο επφής 87 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά τη έοι κυρτή ή κοίλη συάρτηση σε διάστημ Δ Εποπτικά μί συάρτηση είι κυρτή τιστοίχως κοίλη σε έ διάστημ Δ ότ έ κιητό που κιείτι πάω στη C γι διγράψει το τόξο που τιστοιχεί στο διάστημ Δ πρέπει στρφεί κτά τη θετική τιστοίχως ρητική φορά + + C 88 Πως σχετίζετι η δεύτερη πράγωγος με τη κυρτότητ ; Εστω μι συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Α γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι κυρτή στο Δ Α γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η είι κοίλη στο Δ Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

18 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τι οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ; Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ με εξίρεση ίσως έ σημείο του Α η είι κυρτή στο κι κοίλη στο ή τιστρόφως κι η C έχει εφπτομέη στο σημείο A τότε το σημείο A οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της 9 Πως σχετίζετι η με το σημείο κμπής ; Α το A είι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιμη τότε Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ κι πρόσημο εκτέρωθε του κι ορίζετι εφπτομέη της τότε το A είι σημείο κμπής C στο A Α η λλάζει 9 Τι οομάζετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ; Α έ τουλάχιστο πό τ όρι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της είι ή τότε η ευθεί λέγετι 9 Τι οομάζετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ; Α τιστοίχως τότε η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο 93 Τι οομάζετι σύμπτωτη πλάγι της γρφικής πράστσης της ; Η ευθεί λ λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο [ λ ] κι στο [ λ ] 94 Πως υπολογίζουμε τ λ κι ώστε η ευθεί =λ+ είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο Η ευθεί λ είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο κι μόο : κι [ ] τιστοίχως κι [ ] Αποδεικύετι ότι: Οι πολυωυμικές συρτήσεις θμού μεγλύτερου ή ίσου του δε έχου σύμπτωτες Οι ρητές συρτήσεις P Q με θμό του ριθμητή P μεγλύτερο τουλάχιστο κτά δύο του θμού του προομστή δε έχου πλάγιες σύμπτωτες Σύμφω με τους πρπάω ορισμούς σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ζητούμε: Στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε ορίζετι Στ σημεί του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε είι συεχής Στο εφόσο η συάρτηση είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής τιστοίχως Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

19 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ποιοι είι οι κόες De l Hosptal ; ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή Α R { } κι υπάρχει το πεπερσμέο ή άπειρο τότε: ΘΕΩΡΗΜΑ ο μορφή Α R { } κι υπάρχει το πεπερσμέο ή άπειρο τότε: Το θεώρημ ισχύει κι γι τις μορφές Τ πρπάω θεωρήμτ ισχύου κι γι πλευρικά όρι κι μπορούμε χρειάζετι τ εφρμόσουμε περισσότερες φορές ρκεί πληρούτι οι προϋποθέσεις τους ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 96 Τι οομάζετι Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ ; Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ οομάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει: F γι κάθε Δ 97 ΠΙΝΑΚΑΣ ΚΥΡΙΟΤΕΡΩΝ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ συάρτηση πράγουσ F σύθετη συάρτηση πράγουσ c +c +c +c + + +c + + +c +c +c ημ -συ+c ημ -συ+c συ ημ+c συ ημ+c συ εφ+c συ εφ+c ημ -σφ+c ημ -σφ+c Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

20 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ e e +c e e +c ln +c ln +c ln +c ln +c 98 Τι οομάζετι εμδό του επίπεδου χωρίου Ω Έστω μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [ ] = με γι κάθε [ ] κι Ω το χωρίο που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της το άξο τω κι τις ευθείες ξ Γι ορίσουμε το εμδό του χωρίου Ω εργζόμστε Ω ξ k ως εξής: ξ ξ Χωρίζουμε το διάστημ [ ] σε ισομήκη = ξ ξ k - ξ k k - ξ = υποδιστήμτ μήκους Δ με τ σημεί a Δ v Σε κάθε υποδιάστημ [ κ κ ] επιλέγουμε υθίρετ έ σημείο ξ κ κι σχημτίζουμε τ ορθογώι που έχου άση Δ κι ύψη τ ξ κ Το άθροισμ τω εμδώ τω ορθογωίω υτώ είι: S ξ Δ ξ Δ ξ Δ [ ξ ξ ] Δ Yπολογίζουμε το S Αποδεικύετι ότι το S υπάρχει στο κι είι εξάρτητο πό τη επιλογή τω σημείω ξ κ Το όριο υτό οομάζετι εμδό του επιπέδου χωρίου Ω κι συμολίζετι με Ε Ω Είι φερό ότι Ε Ω 99 Τι οομάζετι ορισμέο ολοκλήρωμ της συεχούς συάρτησης πό το στο Έστω μι συάρτηση σ υ ε χ ή ς στο [ ] Με τ σημεί χωρίζουμε το διάστημ [ ] σε ισομήκη υποδιστήμτ μήκους Δ Στη συέχει ξ k επιλέγουμε υθίρετ έ ξ κ [ κ κ ] γι a= ξ ξ v- ξ v v= κάθε κ { } κι σχημτίζουμε το άθροισμ: S ξ Δ ξ Δ ξ Δ ξ Δ το οποίο συμολίζετι σύτομ ως εξής: S κ κ ξ κ Δ Το άθροισμ υτό οομάζετι έ άθροισμ RIEMANN Aποδεικύετι ότι Το όριο του θροίσμτος S δηλδή το ξ κ Δ υπάρχει στο κι κ είι εξάρτητο πό τη επιλογή τω εδιάμεσω σημείω ξ κ Το πρπάω όριο οομάζετι ορισμέο ολοκλήρωμ της συεχούς συάρτησης πό το στο συμολίζετι με d κι διάζετι ολοκλήρωμ της πό το στο Δηλδή d ξ Δ κ κ Οι ριθμοί κι οομάζοτι όρι της ολοκλήρωσης = Γ/ΣΙΟ-ΛΤ ΛΑΡΥΜΝΑΣ

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πως ορίζετι το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρία & Σχόλια Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θετικής & Τεχολογικής Κτεύθυσης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θεωρί & Σχόλι 4 5 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις

Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Η Θεωρί σε 99 Ερωτήσεις Ορισμοί, Θεωρήμτ 4 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις Μ Ππγρηγοράκης Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης : Σελίδ πό 45 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλει - Κ Μυλωάκης Ν δείξετε ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ i γ δi γ δ δ γ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: i γ δi γ δi i γ δi γ δi γi i δi γ δi γi δi γ δi γi δ γ δ

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης :

Η θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης : Σελίδ πό 5 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εμδό προλικού χωρίου Έστω ότι θέλουμε ρούμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών

Μαθηματικά Γ Λυκείου 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. Το Σύνολο των Μιγαδικών Αριθµών Μθημτικά Γ Λυκείου Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Το Σύολο τω Μιγδικώ Αριθµώ Το σύολο τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του

Διαβάστε περισσότερα

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αποδείξεις Θεωρίς Γ Λυκείου Κτεύθυσης Θέμ 1 ο [σελ 167 σχ. Βιβλίου] P 1 Έστω το πολυώυμο Έχουμε 1 1 1 lim P lim... AΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ. 5-6 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ http://cutemathswordpresscom/ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ;

ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ. Πόσα είδη ορίων υπάρχουν; Τι είναι το +, - ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά ή περιοχή του x o ; Τι ονοµάζουµε γειτονιά του +, - ; ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ Πόσ είδη ορίω υπάρχου; Υπάρχει όριο στο κι είι πργµτικός ριθµός (πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο κι είι, - (µη πεπερσµέο) Υπάρχει όριο στο ή - κι είι πργµτικός ριθµός. Υπάρχει όριο στο ή -

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

α β α < β ν θετικός ακέραιος.

α β α < β ν θετικός ακέραιος. Τυτότητες ( ± ) ± ( ± ) ± ± ( ± ) m (γ) γ γγ - (-)() - (-)( ) - (-)( - - - - ) Α. Βσικές γώσεις ()( - ) ()( - - - - - - ) ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΠΕΡΙΤΤΟ. γ --γ-γ [(-) (-γ) (γ-) ] γ -γ (γ)[(-) (-γ) (γ-) ] Αισώσεις. Οι

Διαβάστε περισσότερα

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

1.7 OΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στ πράτω σχήμτ έχουμε τις γρφιές πρστάσεις τριώ συρτήσεω, g, h σε έ διάστημ της μορφής, 8 l a C g C g h γ C h Πρτηρούμε ότι θώς το υξάετι περιόριστ με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ

Φροντιστήρια 2001-ΟΡΟΣΗΜΟ Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Επιμέλει: Σεμσίρης Αριστείδης -- Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ - - Φροτιστήρι -ΟΡΟΣΗΜΟ Άλγεβρ Β Λυκείου Περιέχει Συοπτική Θεωρί Μεθοδολογί Ασκήσεω Λυμέες Ασκήσεις Λυμέ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό.

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό. Ε. 5. Γεωμετρική Πρόοδος Απρίτητες γώσεις Θεωρίς Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη 43890-43

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΕΜΕ ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 0 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Αργύρης Φελλούρης Απληρωτής Κθηγητής ΕΜΠ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Στο Κεφάλιο υτό θεωρούμε γωστές τις σικές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συχ = συθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z Βσικές τριγ. εξισώσεις ηµx = 0

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει: Ν γωρίζει τις συρτήσεις f( )=, f( )= log, τις βσικές τους ιδιότητες κι μπορεί τις σχεδιάζει. Ν μπορεί επιλύει εκθετικές εξισώσεις, ισώσεις κι εκθετικά

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών Τύποι και ιδιότητες Βασική μεθοδολογία

Ορισμοί των εννοιών Τύποι και ιδιότητες Βασική μεθοδολογία Θάση Π. Ξέου Απρίτητο βοήθημ γι κάθε μθητή Λυκείου Ορισμοί τω εοιώ Τύποι κι ιδιότητες Βσική μεθοδολογί ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Πρόλογος Τ ο βιβλιράκι που κρτάς στ χέρι σου, μοδικό στη ελληική βιβλιογρφί, θ σου φεί

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,

Διαβάστε περισσότερα

( 0) = lim. g x - 1 -

( 0) = lim. g x - 1 - ν ν ΘΕΜΑ Η πολυωνυµική συνάρτηση ν + ν + + + έχει όριο στο R κι ισχύει lim ν ν Έχουµε lim + + + lim ν ν ν ν lim ν + lim ν + ν ν ν lim + ν lim + + lim + lim ν ν ν + ν + + Εποµένως, lim ΘΕΜΑ Η ρητή συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Θετική & Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Ειίου Λυκείου Θετική & Τεχολογική Κτεύθυση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Αδρεδάκης Στυλιός Κτσργύρης Βσίλειος Μέτης Στέφος Μπρουχούτς Κω/ος Ππστυρίδης Στύρος Πολύζος Γεώργιος Κθηγητής Πεπιστημίου Αθηώ

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ

ν παραγοντες 1 ( ) β β α β α α α γ + β γ = α+ γ γ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ υάµεις Ορισµός =... πργοτες 1 = = 1µε Ιδιότητες µ = µ : = µ ( ) = = = ( ) µ µ + µ = µε µε, Αλγερικές πρστάσεις Επιµεριστική ιδιότητ γωγή οµοίω όρω. γ + γ = + γ ( ) Χρήσιµες ιδιότητες τω πράξεω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.5. ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ.

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία της Α Λυκείου

Η θεωρία της Α Λυκείου Η θεωρί της Α Λυκείου Τι λέγετι σύολο; Σύολο είι κάθε συλλογή τικειμέω, που προέρχοτι πό τη εμπειρί μς ή τη διόησή μς, είι κλά ορισμέ κι δικρίοτι το έ πό το άλλο. Τ τικείμε υτά, που ποτελού το σύολο, οομάζοτι

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μαθηματικά Γ Λυκείου Θεωρία ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Θετικής - Τεχλγικής Κτεύθυσης Μθημτικά Γ Λυκείυ Θεωρί ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: inf@iliasks.gr www.iliasks.gr Τ σύλ C τω μιγδικώ ριθμώ Τ σύλ C τω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ [f(x) + g(x)] = f (x) + g (x) (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) 3 f g (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω f φ(x) τότε:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου

Εργαστήριο Άλγεβρας Συμπληρωματικές Προτάσεις και Αποδείξεις στην Άλγεβρα της Α Λυκείου Συμπληρωμτικές Προτάσεις κι Αποδείξεις στη Άλγεβρ της Α Λυκείου Μπορεί πρχθεί κι διεμηθεί ελεύθερ ρκεί διτηρηθεί η μορφή του. Προλεγόμε Η διδσκλί ποδείξεω στη Άλγεβρ της Α Τάξης μπορεί υποβοηθηθεί ο δάσκλος

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΤΕΤΑΡΤΗ 20 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΕΤΑΡΤΗ 0 MAΪΟΥ 01 Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει α είαι σε θέση: 1 Να μπορεί α βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύολο τιμώ της τη τιμή της σε έα σημείο x 2

Διαβάστε περισσότερα

ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β)

ταυτότητες διάταξη α 2 +β 2 = (α+β) 2-2αβ (α+β) 2 = α 2 +β 2 +2αβ (α+β) 3 = α 3 +β 3 +3α 2 β+3αβ 2 =α 3 +β 3 +3αβ(α+β) α 3 +β 3 = (α+β) 3-3αβ(α+β) οι άσεις στ µθηµτικά (www. sonom.gr) τυτότητες (+) + + (+) + + + + +(+) + (+) + (+) (+) (+)() + (+)( + ) ()( ++ ) (++γ) + +γ ++γ+γ + +γ γ (++γ)( () +(γ) +(γ) ) (++γ)( + +γ γγ) ()( + + + ) Ν + (+)( + +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2 - 7 - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ίνετι η συνάρτηση f η οποί είνι συνεχής στο διάστηµ [, ]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, τέτοιο, ώστε: ξ f(d=ξf(ξ. ( Θ. Rolle στην F(= f( d. ίνετι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ 355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμος Μια ακολουθια ονομαζεται αριθμητικη προοδος, αν και μονο αν, υπαρχει ω, τετοιος ωστε για κάθε ν να ισχυει: α. ν ν

Ορισμος Μια ακολουθια ονομαζεται αριθμητικη προοδος, αν και μονο αν, υπαρχει ω, τετοιος ωστε για κάθε ν να ισχυει: α. ν ν AΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Α κ ο λ ο υ θ ι ε ς Ορισμος. Ν δειχτει οτι + 0 0. Ποτε ισχυει το ισο; Κθε συρτηση. A :, β * θετικοι οομζετι, συγκριετι κολουθι τους ριθμους πργμτικω Α = ριθμω. + β, Β = β + β. * Η τιμη

Διαβάστε περισσότερα

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;

1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες; ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ()

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Ταυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Δ/ση Β /θµις Εκπ/σης Φλώρις Κέτρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Τυτότητες ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Τυτότητ ποκλείτι η ισότητ άµεσ σε δύο λγερικές πρστάσεις, η οποί ληθεύει γι όλες τις τιµές τω µετλητώ πό τις οποίες ε- ξρτώτι οι λγερικές

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία 1 Αποδείξτε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους.

Θεωρία 1 Αποδείξτε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους. Θεωρί - Αποδείξεις Θεωρί Αποδείξτε ότι η δινσμτική κτίν το θροίσμτος των μιδικών κι δ είνι το άθροισμ των δινσμτικών κτίνων τος. Αν Μ κι Μ δ είνι οι εικόνες των κι δ ντιστοίχως στο μιδικό επίπεδο τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ 355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμβουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R. a: Ν* R

Ορισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R. a: Ν* R 64 Aκοουθίες Ορισμός : Ακοουθί οομάζετι κάθε συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύοο Ν* τω θετικώ κερίω κι πίρει τιμές στο R. a: Ν* R H τιμή μί κοουθίς στο συμβοίζετι με Αδρομικός Τύπος Ακοουθίς: Οομάζετι μί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ B ΤΑΞΗΣ 355 ΕΕΡΡΩΤΤΗΣΣΕΕΙΙΣΣ ΑΑΠΟ ΤΤΗΝ ΥΥΛΛΗ ΤΤΗΣΣ ΤΤΑΑΞΞΗΣΣ Οι πέτε κλύτεροι φίλοι σς είι το Τι, ιτί, Πού, Πότε κι Πώς. Ότ χρειάζεστε συμβουλές, ρτείστε Τι; ρτείστε ιτί; ρτείστε Πού; Πότε κι Πώς κι μη ρτάτε κέ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.1.Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

1.1.Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Ζωοδόχου Πηγς Σλμί Τηλ 466- /4644..Οι πράξεις ι οι ιδιότητές τους i Στο προομστεός λάσμτος ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ έχουμε το μηδέ γιτί το λάσμ δε ορίζετι.,.π.χ: δε ορίζετι i Ότ ο ριθμητς εός λάσμτος είι ίσος με το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης

Βασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης ΜΑΘΗΜΑ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() ΘΕΩΡΙΑ. Θεώρηµ f ()d Βσικό θεώρηµ της πράγουσς Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις Αν η f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε διάστηµ κι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη.

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκέτη. Με την οήει των ορίων κι των δυνάμεων με ρητό εκέτη ορίζετι κι η δύνμη, με > 0 κι. Ισχύουν κι σε υτή την περίπτωση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α} 1997 ΘΕΜΑΤΑ 1 ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη κι δεύτερη πράγωγο κι πργµτικός ριθµός Θέτουµε Α f() g(), που γι κάθε Έστω κι Β f () Α g () Αν φ g() είνι πργµτική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα