Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 ΣΥΝΟΛΑ Σηµείωση. Γράφουµε νν ντί του ν κι µόνον ν.. Προλεγόµεν. Σε ότι κολουθεί, ο νγνώστης θ έρθει σε επφή µε έννοιες πό την Μθηµτική Λογική, την Θεωρί Συνόλων, κι την Άλγεβρ. Σύµφων µε την Πλτωνική ντίληψη του Κόσµου, οι έννοιες υτές θεωρούµε ότι προϋπάρχουν κι ότι δεν είνι κενές περιεχοµένου. Μί οντότης γι µς εδώ, είνι το περιεχόµενο µιάς έννοις. Το ενδιφέρον µς θ επικεντρώνετι στις σχέσεις που νπτύσσοντι νάµεσ στις οντότητες που θεωρούµε. Έτσι, τ ερωτήµτ που θέτουµε, είνι του τύπου τι ιδιότητες έχει κάτι κι όχι του τύπου τι είνι κάτι. γι πράδειγµ, δεν θέτουµε το ερώτηµ τι είνι η µονάς λλά τι ιδιότητες θ πρέπει ν έχει κάποι οντότης, γι ν την ονοµάσουµε µονάδ. Τις οντότητες τις σηµειώνουµε µε σύµβολ. Προσοχή όµως! Το ίδιο σύµβολο χρησιµοποιείτι συχνά γι ν σηµειώσει διφορετικές οντότητες. Ενδιφερόµεθ συνεπώς, γι τον προσδιορισµό σχέσεων µετξύ συµβόλων, των οποίων την ύπρξη δεχόµεθ, κι γι την εξγωγή συµπερσµάτων, τ οποί θ φορούν τ σύµβολά µς, κι µόνον υτά, κι τ οποί συµπεράσµτ θ στηρίζοντι στις πρπάνω σχέσεις κι στην ποδεκτή λογική. Το σύνολο των ρχικά χρησιµοποιουµένων συµβόλων κι σχέσεων κλείτι Αξιωµτικό σύστηµ. Εφόσον στ χρησιµοποιούµεν σύµβολ επισυνάπτουµε οικείες έννοιες θ λέµε ότι, το σύνολο υτών των εννοιών, ποτελεί έν µοντέλο το οποίο νπριστά το ξιωµτικό µς σύστηµ. Επειδή, τώρ, µε ορισµέν µοντέλ έχουµε µεγάλη οικειότητ, τ σύµβολ του ξιωµτικού µς συστήµτος λβίνουν ονοµσίες, που εµπνέοντι πό το ιδιίτερο υτό µοντέλο. Έν ξιωµτικό σύστηµ πρέπει ν είνι: ) Συµβτό. Μέσ σ υτό, δηλδή, δεν υπάρχει ζεύγος ντιφτικών προτάσεων, που ν µπορούν κι οι δύο ν εξχθούν µε την ποδεκτή λογική, πό τ ξιώµτ του συστήµτος. β) Ανεξάρτητο. Τούτο σηµίνει, ότι το σύνολο των ρχικών σχέσεων, που κλούντι κι ξιώµτ (= ιτήµτ) του συστήµτος, δεν προυσιάζουν πλεονσµούς. Κνέν δηλδή ξίωµ δεν προκύπτει, µε την ποδεκτή λογική, πό τ υπόλοιπ. γ) Πλήρες. Τούτο σηµίνει ότι, γι κάθε σχέση που γράφετι γι τ σύµβολά µς, είµστε σε θέση ν ποφνθούµε ν κι κτά πόσον η σχέση υτή συνάγετι πό προτάσεις του ξιωµτικού µς συστήµτος. Ερχόµστε, τώρ, στην έννοι σύνολο. εχόµεθ τ πρκάτω ως προς την δυντότητά µς ν θεωρούµε σύνολ. Τ σύνολά µς τξινοµούντι σε επίπεδ. Μηδενικό επίπεδο: Περιέχει τις οντότητες. Πρώτο επίπεδο: Περιέχει συλλογές πό οντότητες. εύτερο επίπεδο: Περιέχει συλλογές πό ντικείµεν που νήκουν είτε στο πρώτο, είτε στο µηδενικό, είτε κι στ δύο προηγούµεν επίπεδ. Τρίτο επίπεδο: Περιέχει συλλογές στοιχείων, που νήκουν είτε στο δεύτερο, είτε στο πρώτο, είτε στο µηδενικό επίπεδο, είτε σε οιονδήποτε συνδυσµό π τ προηγούµεν. Τ επίπεδ κτά τον τρόπο υτόν υξάνουν. Σύνολο κλείτι το στοιχείο του τυχόντος k-επιπέδου. Κλάσης κλείτι ότι δεν είνι σύνολο. Συνέπει υτής της τξινοµήσεως, είνι ότι το σύνολο όλων των συνόλων είνι κλάσης, κι όχι σύνολο. Ιστορική σηµείωση. Η τξινόµησης υτή των συνόλων, έγινε πό τον Russell στο Prnpa Mathemata γι ν ποφύγει την νάπτυξη πρδόξων ορισµένου τύπου (βλέπε Χρονικό, στο τέλος της ενότητς υτής). Η κτσκευή υτή των συνόλων, είνι γνωστή ως umulatve theory of types ή ως umulatve type struture.. Το ξιωµτικό σύστηµ των Zermelo-Fraenkel. Τις οντότητες του µηδενικού επιπέδου θ τις κλούµε στοιχεί κι θ τις συµβολίζουµε µε µικρά γράµµτ. Τις οντότητες του πρώτου επιπέδου θ τις κλούµε σύνολ κι θ τις συµβολίζουµε, συνήθως, µε κεφλί γράµµτ. Οντότητες του δευτέρου επιπέδου θ συµβολίζοντι µε κεφλί κλλιγρφικά γράµµτ.

2 Εισάγουµε, τώρ, µι συµβολική γλώσσ, µε την βοήθει της οποίς θ χειριζόµστε τ στοιχεί κι τ σύνολ. ), διάβζε, το είνι έν στοιχείο του Α. Α, διάβζε, το δεν νήκει στο Α. β), διάβζε, γι κάθε., διάβζε, υπάρχει. :, διάβζε, τέτοιο ώστε. γ), (ή ), διάβζε συνεπάγετι. (ή ) διάβζε διπλή συνεπγωγή. δ), διάβζε κι., διάβζε είτε.!, διάβζε έν κι µόνον έν. Οποιοσδήποτε λογικός συνδυσµός των πρπάνω συµβόλων, ποτελεί µί λογική πρότση φ. Μί πρότση, που φορά την οντότητ x, την συµβολίζουµε µε το φ(x). Με φ(x), ή φ(x) ή ~φ(x) συµβολίζετι η άρνησης της λογικής προτάσεως φ(x). Αν θέλουµε ν δηλώσουµε ότι το σύνολο Α ποτελείτι πό τ στοιχεί, β, κ.ο.κ., γράφουµε Α = {, β}, κ.ο.κ. Αν τ, β, κ.ο.κ. είνι στοιχεί, δηλδή οντότητες του µηδενικού επιπέδου, τότε το {, β} είνι µί οντότης του πρώτου επιπέδου. Ιδιίτερ, στο πρώτο επίπεδο νήκουν τ σύνολ της µορφής {}. Εξ ορισµού είνι, {, } = {}. Το δεύτερο επίπεδο είνι δυντόν, σύµφων µε την πρπάνω εκτεθείσ θεωρί των τύπων, ν περιέχει κάποιο συνδυσµό πό οντότητες του τύπου, β, είτε {}, {β}, είτε {, β}, είτε {}, {, β}. Το σύνολο λοιπόν {, {}, {, β}} είνι µί οντότης του δεύτερου επιπέδου. Α. Αξίωµ κενού συνόλου. Υπάρχει έν σύνολο, χωρίς στοιχεί. Το σύνολο υτό το συµβολίζουν µε το, κι κλείτι κενό σύνολο. Κάνοντς χρήση της πρπάνω γλώσσς, το ξίωµ υτό είνι δυντόν ν γρφεί κι ως εξής: x(x ). Εξ ορισµού το περιέχετι σε κάθε σύνολο. Α. υντότητ σχηµτισµού υποσυνόλων. Έστω E κάποιο σύνολο, κάποιου επιπέδου, το οποίο πό δω κι στο εξής θ θεωρούµε ότι υτό περιέχει τις οντότητες µε τις οποίες πρόκειτι ν σχοληθούµε. Έν υποσύνολο τότε Χ του E, ορίζετι πό µι λογική πρότση φ. Έχουµε, δηλδή, ότι Χ z(z X z E φ(z)). Έν υποσύνολο που ορίζετι πό την φ(z), θ το συµβολίζουµε πλά ως Χ = {z φ(z)}. Χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό Α Β, γι ν δηλώσουµε ότι το Α ορίζετι ως εξής: Α = {z z Β}. Γράφουµε κι Β Α. 3. Τ σύνολ Α κι Β τυτίζοντι, γράφουµε Α = Β, ν κι µόνον ν, ποτελούντι πό τ ίδι στοιχεί. Χρησιµοποιώντς την συµβολική µς γλώσσ, το Α3 γράφετι κι ως εξής: z(z X z Y) X = Y. Ισχύει φνερά κι η Χ = Υ z(z X z Y). Ισχύει, λοιπόν, ότι {, β} = {β, }. γι ν ποδείξουµε ότι δύο σύνολ Α κι Β τυτίζοντι, ρκεί ν δείχνουµε µφότερες τις σχέσεις Α Β κι Α Β. Γράφουµε Α Β, ν δεν έχουµε Α = Β. Αν Α Β, λλά Α Β, γράφουµε Α Β. Α4. Σύµφων µε την θεωρί των τύπων, το σύνολο των υποσυνόλων ενός συνόλου Χ, είνι σύνολο. Το συµβολίζουµε µε το X = P(X). Το σύνολο όλων των συνόλων, δεν είνι σύνολο. 5. υντότητ ενώσεως κι τοµής δύο συνόλων. Το ξίωµ υτό εξσφλίζει ότι τ Α Β κι Α Β είνι σύνολ. Αυτά ορίζοντι ως εξής: Α Β = {z z z B} κι Α Β = {z z z B}. Σηµειώνουµε την δυντότητ θεωρήσεως συνόλων της µορφής W = {{z}}. Επειδή τ z, {z} κι {{z}} νήκουν σε διφορετικά επίπεδ, το ξίωµ υτό µς δίδει την δυντότητ ν θεωρούµε κάθε φορά το κτάλληλο επίπεδο γι το σύνολο E. Α6. Αξίωµ ντικτστάσεως. Σύνολ σχηµτίζοντι κι ως εξής: Χ = {x z!(z E φ(x,z))}. Το ξίωµ υτό, µς δίδει την δυντότητ ν ντιστοιχίζουµε το πολύ έν z σε κάθε x, µέσω κάποις λογικής προτάσεως φ.

3 3 Ιστορική σηµείωση. Τ πρπάνω ξιώµτ, τ οποί ουσιστικά κθορίζουν τ επιτρεπτά σύνολ, διµορφώθηκν πό τους Zermelo (98) - Fraenkel (9) - Skolem (93). Α7. Αξίωµ της επιλογής. Έστω S τυχόν µη κενό σύνολο, κι Ρ(S) το σύνολο των υποσυνόλων του. Μπορούµε ν θεωρούµε τότε το σύνολο C = {z!z(z P(S) z Z)}. Το C ποτελείτι δηλδή, πό στοιχεί z, γι τ οποί είµστε βέβιοι, ότι υπάρχει έν κι µόνο υποσύνολο Ζ του Μ, που ν το περιέχει. 3. Άλγεβρ των Συνόλων. Στις πρκάτω σχέσεις, τ χρησιµοποιούµεν σύνολ, είνι όλ υποσύνολ του E. ) Γι τ σύνολ Α, Β, Γ ισχύουν ότι: ) Α Α β) Α Β Β Α Α = Β γ) Α Β Β Γ Α Γ. ) γι κάθε σύνολο S ισχύει ότι: ) S β) S ν κι µόνον ν S =. 3) {x} S ν κι µόνον ν x S. 4) Γι τ σύνολ Α, Β, Γ ισχύουν ότι: ) Α Α = Α = Α Α. β) Α Β = Β Α κι Α Β = Β Α. γ) Α (Β Γ) = (Α Β) Γ = Α Β Γ κι Α (Β Γ) = (Α Β) Γ = Α Β Γ. δ) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) κι Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). ε) Α Α Β Β Α Β Α Β κι Α Α Β Β Α Β Α Β. στ) Α Β Α Α Β ζ) Α Β = Α Α Β κι Α Β = Α Β Α. η) Α = Α = Α κι Α = Α = Α θ) Α Β = Α = Β =. 5) Ορίζετι το συµπλήρωµ του Β ως προς το Α πό την σχέση: Α = {x x B}. Γράφουµε κι Α = Α Β. γι τ σύνολ Α, Β, Γ ισχύουν ότι: ) Α Β Α. β) Α Β = Α Α Β =. γ) Α Β = Α Β. δ) Α Β = Α (Α Β) κι Α Β = Α (Α Β). ε) (Α Β) Γ = (Α Γ) (Β Γ). στ) (Α Β) Γ = (Α Γ) (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) = Α (Β Γ). ζ) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) = (Α Β) Γ. η) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). 6) Γι το συµπλήρωµ του Α ως προς το E έχουµε τις σχέσεις, ) E = κι = E. β) ( ) =. γ) = E. δ) =. ε) στ) B B κι 7) Νόµοι του de Morgan. ) B= B. B B ( B) = B κι β) ( B) = B 8) Η συµµετρική διφορά δύο συνόλων Α κι Β ορίζετι πό την σχέση Α Β= ( Α Β) ( Β Α) Όλες οι πρπάνω σχέσεις νάµεσ στ σύνολ, πεικονίζοντι γρφικά, στο διάγρµµ του Venn:

4 4 E B B 4. υϊκές σχέσεις. Έστω τ σύνολ Α κι Β. Το διτετγµένο ζεύγος (, β) όπου Α κι β Β ορίζετι ως το σύνολο (, β) = {, {, β}}. Φνερά, (, β) (β, ). Το κρτεσινό γινόµενο Α Β ορίζετι ως το σύνολο {(, β) Α β Β}. Πρδείγµτ. ) γι κάθε σύνολο S ισχύει ότι, S = S =. Αντίστροφ, ν Α Β =, τότε είτε Α =, είτε Β =. ) {} {β} = {(, β)}. 3) Αν Α Γ κι Β, τότε κι Α Β Γ. 4) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). 5) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). Έν υποσύνολο R Β κλείτι δυϊκή σχέση εκ του Α εις το Β. Ιδιίτερ ενδιφερόµεθ γι την περίπτωση που είνι Β = Α, οπότε η R κλείτι δυϊκή σχέση επί του Α. Θ λέµε ότι η R ληθεύει γι το στοιχείο (, β) Α Β, ν κι µόνον ν (, β) R. Αντί του (, β) R γράφουµε πλά, Rβ. Συνώνυµ: δυϊκή σχέση = διµελής σχέση = δυδική σχέση. Πρδείγµτ. ) Το ως υποσύνολο του Α Β ορίζει την κενή δυϊκή σχέση. ) Το Α Β ως υποσύνολο του ευτού του ορίζει την τετριµµένοι δυϊκή σχέση. 3) Έστω R µί δυϊκή σχέση εκ του Α εις το Β κι Α, Β υποσύνολ των Α κι Β ντίστοιχ. Το υποσύνολο R = R (Α Β ) κλείτι περιορισµός της R επί του Α Β. Η ντίστροφος σχέσης της δυϊκής σχέσεως R ορίζετι ως το σύνολο R = {(β, ) (, β) R}. Πρδείγµτ. ) = ) ( ) ) β) Q = Q R = R 3) Αν έχουµε δύο δυϊκές σχέσεις Q κι R επί το Α, τότε ισχύουν : R ν κι µόνον ν Q = R κι R ν κι µόνον ν Q R. 5. Σχέση ισοδυνµίς. Μί δυϊκή σχέση κλείτι σχέση ισοδυνµίς επί του Α, ν κι µόνον ν, υτή είνι υτοπθής (ή νκλστική), συµµετρική κι µετβτική. ηλδή, ν κι µόνον ν,, β Α, R, Rβ βr κι Rβ βrγ Rγ. Την σχέση ισοδυνµίς την δηλώνουµε µε το. Η σχέση ισοδυνµίς λέγετι σχέση ισότητς = ν κι µόνον ν, ισχύει επιπλέον ότι, Α!β Α (, β) R. Έστω ότι, µς δίδετι το µη κενό σύνολο Α, κι µί σχέση ισοδυνµίς R έπ υτού. Τότε, µε το τυχόν στοιχείο του Α, θεωρούµε κι όλ τ ισοδύνµ προς υτό στοιχεί. Αυτά, ποτελούν το σύνολο, (λέµε την κλάση) C. Φνερά, C µί κι C φού. Είνι λοιπόν x C, ν κι µόνον ν, x. Πρτηρούµε ότι, το σύνολο Α, µερίζετι σε

5 5 τάξεις ισοδυνάµων στοιχείων. Μερίζετι δηλδή σε υποσύνολ C, έχουν νά δύο τοµή κενή, κι η ένωση όλων ν είνι το Α. Πράγµτι, ν C C β, κι γ C Cβ, τότε, γ C κι όµως, γ κι επειδή το γ είνι κι στοιχείο του C β, γ β. Άρ κι µι κι υτό, περιέχει όλ τ ισοδύνµ προς το β στοιχεί. είξµε έτσι ότι, C C. β Με τον ίδιο τρόπο ποδεικνύετι κι η C C. Άρ είνι C = C. β C β, κλπ., τέτοι ώστε, ν γ Cβ. Γι κάθε εν µπορούµε λοιπόν, ν έχουµε διφορετικές κλάσεις, µε τοµή µη κενή. Ξεκινάµε λοιπόν, πό το τυχόν στοιχείο του Α. Σχηµτίζουµε την κλάση τυτίζετι µε το Α, λβίνουµε το στοιχείο β Α µε προς υτό στοιχεί. Αυτά, φνερά, δεν θ νήκουν στο C C β β β, οπότε, C είνι Cβ C. Αν υτή δεν β κι θεωρούµε όλ τ ισοδύνµ C C, κι ποτελούν την C β. Αν, λβίνουµε εκείνο το στοιχείο γ του Α, που δεν νήκει στην προηγούµενη ένωση, κ.ο.κ. Με τον τρόπο υτό, επιτυγχάνουµε τον µερισµό του Α. Σύνολο Πηλίκο ονοµάζουµε το σύνολο εκείνο, που έχει σν στοιχεί του, τις κλάσεις ισοδυνµίς του Α. Το συµβολίζουµε µε Α / R. 6. Συνρτησική σχέση. Μί δυϊκή σχέση F B κλείτι συνρτησική σχέση εκ του Α εις το Β, ή πλά συνάρτηση ή πεικόνιση µε πεδίον ορισµού το Α κι πεδίον τιµών το Β, ν κι µόνον ν x (!y B (x, y) F). Συµβολίζουµε µε f(x) το µονδικό υτό y, γι το οποίο (x, y) F, κι γράφουµε y = f(x). Το y κλείτι τιµή ή εικόν του x δι της f. Χρησιµοποιούµε κι τον συµβολισµό f: B ή τον x a y. Στην περίπτωση που το σύνολο τιµών Υ της f είνι διάφορο του Β η f κλείτι εντός. Αν όµως είνι Υ = Β η f κλείτι επί. Η f κλείτι έν-έν ν κι µόνον ν κι η F είνι συνάρτηση. Λόγω των ξιωµάτων Α6 κι Α7 µπορούµε ν θεωρούµε συνρτήσεις επιλογής. Μπορούµε, δηλδή, ν θεωρούµε την F: P(S) S η οποί ορίζει µί ντιστοιχί, που στο τυχόν υποσύνολο Α P(S) ντιστοιχεί το στοιχείο Α. Πάντ, F, F({ }) =. Έχουµε, δηλδή, P(S), F() =, όπου Α. Το F(P(S)) είνι λοιπόν έν σύνολο, γι το οποίο είµστε βέβιοι, ότι κάθε στοιχείο του, νήκει σε έν κι µόνο υποσύνολο, (στοιχείο) του P(S). Πρδείγµτ. ) Η σχέση ισότητς I επί του Α, είνι µί πεικόνιση έν-έν του Α επί το Α. Αυτή κλείτι τυτοτική πεικόνιση του Α. ) Η κενή σχέση είνι συνάρτηση, ν κι µόνον ν Α =. 3) Η σχέση F = {(x, y) x y {y}} = {y} είνι µί συνάρτηση, η οποί κλείτι στθερά επί του Α. 4) Έστω N m = {,,..., m} N, όπου N το σύνολο των φυσικών ριθµών. Κάθε σύνολο S, το οποίο πεικονίζετι έν-έν επί του υποσύνολου N m του N, κλείτι πεπερσµένο σύνολο. Συνρτήσεις = πεικονίσεις = µετσχηµτισµοί, κλπ. Με τον όρο συνάρτηση πό το σύνολο Α στο σύνολο Β κλύπτουµε εκείνον τον µηχνισµό, που ορίζει την συνρτησική σχέση επί του B. Κι τον µηχνισµό υτόν, τον πριστάνουµε µε f, g, κλπ. Ώστε, γι ν µπορούµε ν λέµε ότι έχουµε µί συνάρτηση, θ πρέπει ν πληρούντι τ κόλουθ: ) Ν έχουν δοθεί δύο σύνολ Α κι Β (, χωρίς ν ποκλείουµε Β = Α). ) Ν γνωρίζουµε, γι κάθε x, το µονδικό y Β, που ντιστοιχεί µέσω κάποιου συγκεκριµένου µηχνισµού, σ υτό. 3) Γι ν είνι κλά ορισµένη η f, θ πρέπει ν ποδείξουµε την µονδικότητ του f(x). Θ πρέπει δηλδή, ν ποδείξουµε ότι, η σχέση f(x ) f(x ) x x. Θεωρούµε κι το σύνολο f (B ) = {x f (x) B B}, που κλείτι, ντίστροφη εικόν του συνόλου Β. Στην

6 6 περίπτωση που, το f ({y}) = f (y) είνι µονοσύνολο, ορίζετι η συνάρτηση f : B, που κλείτι, ντίστροφη συνάρτηση της f. Με f δηλώνουµε το γεγονός ότι, η f ορίζετι πάνω στο Α. Ο περιορισµός g της f επί του υποσυνόλου Α Χ, είνι εκείνη η g: Y, γι την οποί ισχύει ότι g(x) = f(x), x. Συνήθως, τον περιορισµό της f τον συµβολίζουµε µε το ίδιο σύµβολο (δηλδή το f). Στην περίπτωση υτή, η f λέγετι κι επέκτση της g. Injetve (ενίσιµος) κλείτι µί έν-έν πεικόνιση f:u V. Αν δηλδή, x,x U,f (x) = f (x ) x= x. Surjetve κλείτι κάθε επί πεικόνιση. Bjetve κλείτι η f, νν είνι έν-έν κι επί. Αυτοµορφισµοί κλούντι οι πεικονίσεις ενός συνόλου επί τον ευτό του. Αν οι πεικονίσεις υτές είνι κι έν-έν, τότε ονοµάζοντι µετθέσεις. Φνερά, η f είνι συνάρτηση, νν η f είνι έν-έν. Θεωρούµε y f(u) το σύνολο f (y). Είνι, Uf ( y) = U κι γι y y, f ( y) f ( y ) =. y f ( U) Το σύνολο U, µερίζετι συνεπώς πό τ υποσύνολ ισοδυνµίς R:,x R f (x ) f (x ) x = ( V f (y), κι η f εισάγει στο U την σχέση Το σύνολο f ), όπου V f(u) ορίζετι ως το σύνολο f ( V ) = {x U f(x) V }. Το σύνολο f V ) υπάρχει, νεξάρτητ πό το ν η f είνι έν-έν ή όχι. ( Έστω η f: X Y κι Α, οι σχέσεις : ) f (f ())., I, υποσύνολ του Χ κι B, B j, j J υποσύνολ του Υ. Ισχύουν = ) f (f (B)) f (B). ) f (B) f (B f (X)) v) f v) f U I U I = U f ( ) I = U I f ( ) v) f I If ( I I v) f I I ) Θεωρούµε τις πεικονίσεις f: U V κι g: f(u) W. Μπορούµε ν ορίσουµε την πεικόνιση fg: U W πό την σχέση, x U, x(fg) = (xf)g = g(f(x)). Η h = fg κλείτι γινόµενο ή σύνθεση των f κι g. Γι ν δηλώσουµε την σύνθεση των συνρτήσεων, χρησιµοποιούµε τ ντιµετθετικά διγράµµτ: f Το γινόµενο δύο συνρτήσεων, δεν ορίζετι βέβι πάντοτε, πολύ δε U V g περισσότερο, δεν ισχύει πάντ ότι gf = fg. Οπότε σηµειώνουµε πάντως h στ πρκάτω την σύνθεση δύο συνρτήσεων, θ υποθέτουµε, χωρίς ν W το λέµε, ότι υτή ορίζετι. f Γι τρεις πεικονίσεις που συντίθεντι, ισχύει ο προσετιριστικός νόµος. Είνι δηλδή, (fg)h = f(gh), ως προκύπτει πό το U V gh g διάγρµµ που εµφνίζετι πρπλεύρως. fg Z Η σύνθεση έν προς έν πεικονίσεων, είνι, φνερά έν προς W h έν πεικόνιση. Θεωρούµε, τώρ, έν σύνολο Ε, κι µί σχέση ισοδυνµίς R πάνω σ υτό. Στη συνέχει, θεωρούµε κι το σύνολο πηλίκο Ε/R. Ορίζετι τότε, η συνάρτηση p του Ε επί το Ε/R πό την σχέση, x a C x όπου x E κι Cx E/R η κλάση ισοδυνµίς στην οποί το x νήκει. Η p είνι κλά ορισµένη, µι κι όπως δείξµε (βλ. σελ. ) δεν υπάρχουν κλάσεις ισοδυνµίς µε κοινά στοιχεί. Υποθέτουµε κόµ, ότι έχουµε κι κάποιο άλλο σύνολο S, κι την πεικόνιση f: E S, τέτοι ώστε, η σχέση (x,y) R f(x) = f(y). = I I f ( )

7 7 p ΘΕΩΡΗΜΑ. Υπάρχει η g: E/R S κι είνι µονδική, έτσι ώστε, το E E/R δίπλ διάγρµµ, ν κθίσττι ντιµετθετικό. Επιπλέον, ν f g surjeton, η g είνι bjeton. f Απόδειξη. Θ πρέπει ν δείξουµε ότι, f = pg. Πράγµτι, πό υπόθεση, S η f πεικονίζει όλ τ ισοδύνµ στοιχεί του Ε, σε έν στοιχείο s S. Αν λοιπόν ορίσουµε την g έτσι ώστε C a s = f(x), το πιο πάνω διάγρµµ κθίσττι ντιµετθετικό. Η g είνι έν-έν, γιτί ν είχµε ότι x C x a s κι C y a s µε C C, οπότε κι το x δεν θ είνι ισοδύνµο του y, τότε θ έπρεπε λόγω του τρόπου µε τον οποίον ορίστηκε η f, ν έχουµε κι f(x) f(y), πράγµ δύντον, µί κι f = pg. ηλδή, g(p(x)) = g(p(y)) = s νν x y. 7. Εσωτερικές πράξεις - οµές. Μί πεικόνιση f: (Α ) κλείτι εσωτερική πράξη επί του Α. Αντί ν σηµειώνουµε µε το f(,β) την εικόν του στοιχείου (,β) Α Α, γράφουµε fβ. Στην γρφή υτή, ντί του συµβόλου f, που δηλώνει την πράξη µς, χρησιµοποιούµε σύµβολ, ως τ + (πρόσθεση), (πολλπλσισµός), ή. Συνήθως, το πολλπλσιστικό σύµβολο νάµεσ σε δύο στοιχεί του Α, πρλείπετι. Το (Α, ) κλείτι δοµή µιάς εσωτερικής πράξεως. Μί εσωτερική πράξη λέγετι προσετιριστική, ν κι µόνον ν, (β)γ = (βγ) οπότε γράφουµε πλά βγ, γι κάθε,β,γ Α. Οµδοειδές κλείτι µί δοµή µιάς εσωτερικής πράξεως. Ηµιοµάδ κλείτι µί δοµή µιάς προσετιριστική εσωτερικής πράξεως. Έν στοιχείο e, ν υπάρχει, κι γι το οποίο ισχύει ότι Α, e =, κλείτι ριστερά µονδιίο στοιχείο του Α. Φνερός είνι ο ορισµός του δεξιά µονδιίου στοιχείου. Ουδέτερο στοιχείο του Α είνι το e, νν είνι τυτόχρον ριστερά κι δεξιά µονδιίο στοιχείο. Συµβολίζουµε το e µε το ή το, ότν βέβι δεν υπάρχει η πιθνότητ συγχύσεως του ουδετέρου στοιχείου e µε τον ριθµό, ή το. Μί ηµιοµάδ µε ουδέτερο στοιχείο, την κλούµε επίσης κι ηµιοµάδ µε µονάδ. Αριστερά ντίστροφο στοιχείο, του τυχόντος στοιχείου µιάς ηµιοµάδς µε ουδέτερο στοιχείο, κλείτι το στοιχείο γι το οποίο ισχύει ότι, = e. Ανάλογ ορίζετι το δεξιά ντίστροφο στοιχείο. Στην περίπτωση, που το είνι κι ριστερά κι δεξιά ντίστροφο στοιχείο του, κλείτι πλά ντίστροφο στοιχείο n n n m n+ m m n του. Θέτουµε =. Ισχύει ότι, = =. Μορφισµοί ή οµοµορφισµοί κλούντι γενικώς, οι συνρτήσεις, που διτηρούν την δοµή του πεδίου ορισµού τους. Αν δηλδή φ : B ένς µορφισµός της δοµής (, ) επί την δοµή ( B, ), ισχύει τότε το ντιµετθετικό διάγρµµ : (a, b) a a b φ φ φ() φ() ( φ(a), φ(b)) a φ(a) φ(b) Έχουµε συνεπώς, την ισότητ: φ ( a b) = φ(a) φ(b). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Η πεικόνιση λογάριθµος log R + R των θετικών πργµτικών ριθµών εντός του συνόλου των πργµτικών ριθµών, είνι ένς µορφισµός της δοµής ( R +, ) εντός της δοµής ( R, + ) κι, πράγµτι, ισχύει ότι, log( ab) = log a+ log b. Ο πολλπλσισµός συνεπώς δύο ριθµών, ντικθίσττι πό την πρόσθεση των λογρίθµων τους. Με την λογική υτή, λειτουργεί ο λογριθµικός κνών. x y

8 8 Επιµορφισµοί, λέγοντι οι µορφισµοί f : B, που είνι επί, δηλδή, f(α) = Β. Ενδοµορφισµοί, οι µορφισµοί f, που είνι εντός, δηλδή, f(α) Β. Μονοµορφισµοί, κλούντι οι µορφισµοί, που είνι έν-έν πεικονίσεις. Ισοµορφισµοί, κλούντι οι επιµορφισµοί που, είνι επιπλέον κι µονοµορφισµοί (είνι δηλδή, bjetve). Πρότση. Αν φ : B ισοµορφισµός, ισχύουν τότε οι πρκάτω σχέσεις: ) Η πεικόνιση φ : B είνι κι υτή ισοµορφισµός. Αφού η φ είνι έν έν κι επί κι η φ είνι έν έν κι επί. Συνεπώς, γι τ τυχόντ b, b B υπάρχουν µονδικά a, a, τέτοι ώστε, φ ( a) = b, φ(a ) = b. Όµως, φ ( aa ) = φ(a) φ(a ) = bb άρ κι, φ ( bb) = aa = φ (b) φ (b) ) Η σύνθεση δύο ισοµορφισµών είνι ισοµορφισµός. Πράγµτι, φού οι πεικονίσεις φ : B, φ : B Γ είνι έν έν κι επί, κι η φ φ= φ3 : Γ θ είνι έν έν κι επί. Έστω τ a, a. Είνι τότε, φ φ( aa ) = φ( φ(aa )) = φ( φ(a) φ(a )) = φ ( φ(a)) φ ( φ(a )) = φ φ(a) φ φ(a ) 3) Αν η δοµή Α έχει µονδιίο στοιχείο e, το φ (e) είνι µονδιίο στοιχείο της δοµής Β. Απόδειξη. Έστω ότι φ ( e) = b, κι y= φ(x). Τότε κι, by = φ (e) φ(x) = φ(ex) = φ(x) = y. 4) Αν η δοµή Α έχει ντίστροφο στοιχείο του στοιχείου a, τότε κι,. Απόδειξη. φ (e) = φ(a a) = φ(a ) φ(a) = b. Το φ (a ) είνι συνεπώς το ντίστροφο στοιχείο του φ (a). 8. Το θεώρηµ των Cantor Bernsten. Το ξίωµ 3 (σελ. ) ορίζει πότε δύο σύνολ Α κι Β τυτίζοντι. Μέσω των έν-έν κι επί συνρτήσεων, ορίζουµε πότε δύο σύνολ είνι ισοδύνµ. Γράφουµε B κι λέµε ότι το σύνολο Α είνι ισοδύνµο µε το σύνολο Β, νν υπάρχει bjeton g : B. Φνερά η σχέση όπως ορίσθηκε, είνι µί σχέση ισοδυνµίς. Ισχύει επιπλέον το ΘΕΩΡΗΜΑ των Cantor-Bernsten. ίδοντι δύο µη κενά σύνολ Α κι Β, γι τ οποί υπάρχουν συνρτήσεις έν-έν κι εντός, (njetons) f : B κι g : B. Είνι, τότε, B. g Απόδειξη. Έχουµε ότι, f () B g(b) = Y κι g(b). Θέτουµε f Y= g(b). Η συνάρτηση B g s= g(f()) : ορίζετι, κι είνι έν-έν κι εντός, κι επιπλέον, s() Y. f() Το θεώρηµ θ έχει ποδειχθεί, f ν ορίσουµε µι έν-έν κι επί συνάρτηση σ : B. Θέτουµε Z= B f () κι S= g(z) s() s () K. Την συνάρτηση σ την ορίζουµε ως εξής: f (x) γι x S σ (x) = f (s(x)) γι x S ) Η σ είνι επί.. Είνι = S ( S), κι συνεπώς, σ() = σ(s) σ( S) = f (S) f ( S).

9 9 Όµως, f (S) = f (g(z)) f (s()) f (s ()) K, άρ κι, f (S) = f (g(z)) s(s). Άρ κι σ (Α) = f (g(z)) s(s) f ( S) = f (g(z)) f () = B. β) Η σ είνι έν-έν. Επειδή όλες οι συνρτήσεις που χρησιµοποιήσµε είνι έν-έν, ρκεί ν δείξουµε ότι, σ (S) σ( S) =. Είνι, όµως, σ (S) = f (S) κι σ( S) = f ( S) = f () f (S) Φνερά, δύο σύνολ που τυτίζοντι, είνι ισοδύνµ. Κτόπιν τούτου, κι του προηγου- µένου θεωρήµτος, δικιούµεθ ν γράφουµε πλά = ντί του γι ν δηλώσουµε την ισότητ ή την ισοδυνµί δύο συνόλων. Πρτήρηση. Υπάρχουν σύνολ, τ οποί είνι ισοδύνµ προς κάποιο υποσύνολό τους. Πράδειγµ το σύνολο N των φυσικών ριθµών. Η σχέση n N, na n είνι µί bjeton του συνόλου N στο υποσύνολό του που περιλµβάνει τους ρτίους φυσικούς. Η ιδιότης υτή µάλιστ, χρκτηρίζει τ άπειρ σύνολ. 9. Σχέσεις διτάξεως. Μί δυϊκή σχέση κλείτι σχέση διτάξεως επί του Α, νν, υτή είνι υτοπθής (ή νκλστική), ντισυµµετρική κι µετβτική. ηλδή, ν κι µόνον ν,, β Α, R, Rβ βr = β κι Rβ βrγ Rγ. Την σχέση διτάξεως την δηλώνουµε µε το. Γράφουµε < β, ν κι µόνον ν β κι β. Χρησιµοποιούµε επίσης κι τον συµβολισµό κι > µε το προφνές νόηµ. ύο στοιχεί, που νήκουν στην R λέγοντι συγκρίσιµ. Αν γι τ, β Α ισχύει ότι είτε (, β) R είτε (β, ) R, τότε η σχέση διτάξεως R λέγετι ολική. Αν η R είνι ολική, ισχύει ότι R R =. Κάθε ολικά διτετγµένο υποσύνολο ενός συνόλου κλείτι άλυσσος. Το σύνολο N των φυσικών ριθµών είνι άλυσσος. Την σχέση διτάξεως την πεικονίζουµε µε έν επίπεδο διάγρµµ, θέτοντς το ριστερά του ευρισκόµενο στοιχείο κάτω πό το δεξιά του ευρισκόµενο στοιχείο, κι συνδέοντς τ δύο υτά στοιχεί µε έν ευθύγρµµο τµήµ. Υποτίθετι, βέβι, ότι γι την του διγράµµτος, ισχύει ότι, ν x z< y, τότε z= x. ( ιάγρµµ του Hasse). Μί άλλη µέθοδος νπρστήσεως µις σχέσης διτάξεως επί ενός συνόλου, είνι µέσω της κτσκευής του συνηµµένου πίνκος (adjaeny matrx). Ο πίνκς υτός περιέχει το στοιχείο r= ή το r=, νάλογ µε το ν τ στοιχεί που γρµµής / κολώνς που ορίζουν την θέση του r νήκουν ή όχι στην εν λόγω διάτξη. Πρδείγµτ. Στο σύνολο των υποσυνόλων ενός συνόλου, η σχέση ποτελεί µιά σχέση διτάξεως πάνω σ υτό. Το σύνολο {, } έχει σν σύνολο υποσυνόλων το {, {}, {}, {, }}. Επίσης, το σύνολο {,, 3} έχει σν σύνολο υποσυνόλων το {, {}, {}, {3}, {, }, {, 3}, {, 3}, {,, 3}}. Τ διγράµµτ της σχέσεως πάνω στ δύο υτά σύνολ είνι τ πρκάτω. {, } {} {} { } {,,3} {,} {,3} {,3} {} {} {3} { } Το υποσύνολο {, {}, {,}, {,,3}} ποτελεί µί (πεπερσµένη) άλυσσο του Ρ({,,3}). Ο συνηµµένος πίνκς που ορίζει η σχέση διτάξεως στο σύνολο των υποσυνόλων του {,, 3} είνι

10 {} {} {3} {, } {,3} {, 3} {,,3} {} {} {3} {, } {,3} {, 3} {,,3} ο πίνκς. Έστω P κι Q σχέσεις διτάξεως επί των συνόλων Α κι Β ντίστοιχ, κι f: B µί πεικόνιση εκ του Α εις το Β. Θ λέµε ότι η f διτηρεί την διάτξη ν κι µόνον ν, (, β) P (f(), f(β)) Q. Ένς ισοµορφισµός της διάτξης θ λέγετι η f, ν υτή είνι έν-έν κι επί, διτηρεί την διάτξη, κι η f διτηρεί την διάτξη. Πρδείγµτ. ) Μί συνάρτηση που διτηρεί την διάτξη, µετσχηµτίζει λύσσους σε λύσσους. Μί συνάρτηση που διτηρεί την διάτξη κι ορίζετι πάνω σε µί άλυσσο είνι ισοµορφισµός, ν είνι έν-έν. Μί άλυσσος µε διάτξη την λέγετι ύξουσ. Με διάτξη την λέγετι φθίνουσ. ) Κάθε Α S που έχει ισόµορφο εικόν το N m = {,,..., m}, είνι µί πεπερσµένη άλυσσος. Κάθε Α S που έχει ισόµορφο εικόν το N είνι µί άλυσσος.. Φράγµτ. Αξεπέρστ στοιχεί. Θεωρούµε έν σύνολο S κι Α κάποιο υποσύνολό του. Υποθέτουµε ότι το S έχει την διάτξη. Έν στοιχείο x S λέγετι άνω φράγµ του Α, ν κι µόνον ν, Α, x. Το x κλείτι κάτω φράγµ του S, νν Α, x. Στην περίπτωση, που Α =, το x S είνι κι άνω κι κάτω φράγµ του Α. Κάθε άνω φράγµ x του Α ως προς την είνι κάτω φράγµ ως προς την. γι κάθε πρότση, που φορά την κι τ κάτω φράγµτ, έχουµε µί δυϊκή πρότση, που φορά την κι τ άνω φράγµτ. Έν άνω φράγµ του Α, είνι άνω φράγµ κι κάθε υποσυνόλου του Α. (Ανάλογ ισχύουν γι τ κάτω φράγµτ). Μί συνάρτηση που διτηρεί την διάτξη, µετφέρει τ άνω (ντ. κάτω) φράγµτ σε άνω (ντ. κάτω) φράγµτ. Το πολύ έν στοιχείο του Α είνι δυντόν ν είνι άνω φράγµ του Α. Πράγµτι, ν τ στοιχεί, j Α ήτν κι τ δύο άνω φράγµτ του Α, τότε θ ίσχυν µφότερες οι σχέσεις κι. Άρ νγκίως είνι, =. Το µονδικό υτό στοιχείο του Α, κλείτι j j µέγιστο στοιχείο του Α. Ανάλογ, έχουµε κι τον ορισµό του µονδικού ελχίστου στοιχείου του Α. j

11 Αν το Α είνι φργµένο, κι το σύνολο των άνω φργµάτων του έχει στοιχείο ελάχιστο, τότε το στοιχείο υτό, κλείτι νώτερο πέρς του Α. Το συµβολίζουµε µε sup. Αν το σύνολο των κάτω φργµάτων του Α έχει στοιχείο µέγιστο, το στοιχείο υτό κλείτι κτώτερο πέρς του Α. Το συµβολίζουµε µε nf. Αν το Β είνι κάποιο υποσύνολο του Α κι τ sup, supb υπάρχουν, τότε supb sup. Οι πρκάτω σχέσεις είνι ισοδύνµες: ) x y. β) sup{x,y} = y. γ) nf{x,y} = x. Έν στοιχείο του Α S λέµε ότι είνι ξεπέρστο προς τ επάνω εν Α, ν δεν υπάρχει στοιχείο του Α που είνι > του. Ανάλογ έχουµε τ ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί του Α. Πρδείγµτ. ) Έστω S= {x,x,x 3,x 4,,, 3, 4} µε την διάτξη που εµφνίζετι στο πρκάτω διάγρµµ. Α= {,, 3, 4} S. Τ στοιχεί x 3, x 4 είνι άνω φράγµτ του Α, που δεν νήκουν στο Α. Το 4 είνι άνω φράγµ του Α, που νήκει στο Α. Τ στοιχεί x, x είνι κάτω φράγµτ του Α, που δεν νήκουν στο Α. Το είνι κάτω φράγµ του Α, που νήκει στο Α. Το υποσύνολο Χ = {x,x } δεν έχει κάτω φράγµ. Το υποσύνολο Χ = {x 3,x 4} δεν έχει άνω φράγµ. Το 4 είνι το µέγιστο στοιχείο του Α κι το το ελάχιστο στοιχείο του Α. x Το σύνολο { 4, x 3,x 4 } είνι σύνολο άνω φργµάτων του Α κι έχει 3 x4 ελάχιστο στοιχείο το 4. Είνι λοιπόν, sup = 4. Όµοι, nf =. Εδώ, τ sup κι nf του Α είνι κι στοιχεί του Α. Αυτό όµως δεν συµβίνει πάντοτε. 4 Αν Α = {,, 3 }, τότε τ στοιχεί, 3 είνι ξεπέρστ προς τ επάνω στοιχεί του Α. Το είνι στοιχείο ξεπέρστο προς τ κάτω. 3 4 ) Έν υποσύνολο N m N, έχει µέγιστο στοιχείο, το m. 3) Έν στοιχείο Α είνι ξεπέρστο προς τ επάνω, ν κι µόνον ν, x, x = x. Αν το Α έχει έν µονδικό στοιχείο ξεπέρστο προς τ επάνω, τότε υτό είνι κι το µέγιστο στοιχείο του Α. Αν το x Β Α είνι ξεπέρστο προς τ επάνω στοιχείο του Α, είνι τότε, κι ξεπέρστο στοιχείο του Β. Ένς x x ισοµορφισµός της διτάξεως µετσχηµτίζει ξεπέρστ στοιχεί σε ξεπέρστ στοιχεί. Πρότση. Κάθε διτετγµένο πεπερσµένο µη κενό σύνολο S, έχει στοιχεί ξεπέρστ προς τ επάνω. Απόδειξη. Αν S = {x}, το x είνι κι στοιχείο ξεπέρστο προς τ επάνω του S. Έστω τώρ, ότι το S έχει m+ στοιχεί, κι ότι η πρότση ισχύει γι το υποσύνολο εκείνο Α του S, που έχει m το πλήθος στοιχεί. Έστω x S. Αν το x είνι ξεπέρστο προς τ επάνω εν S, δεν έχουµε τίποτ ν δείξουµε. Έστω, λοιπόν, ότι το x δεν είνι ξεπέρστο προς τ επάνω εν S, κι Α = S {x}. Υπάρχουν τότε στοιχεί εν S, x, µε > x. Όµως, Α, κι το Α πό υπόθεση έχει στοιχεί ξεπέρστ προς τ επάνω. Υπάρχουν, λοιπόν, στοιχεί Α, τέτοι ώστε,, <. Άρ κι x <. Όµως, S, κι η προηγούµενη νισότητ δείχνει ότι, τ είνι κι ξεπέρστ στοιχεί του S. Κκώς, λοιπόν, υποθέσµε ότι το S δεν έχει ξεπέρστ στοιχεί προς τ επάνω. Αν το Α είνι µί άλυσσος, τότε ν έχει στοιχείο ξεπέρστο προς τ επάνω, υτό θ είνι κι µέγιστο στοιχείο του Α. Πόρισµ. Κάθε µη κενή πεπερσµένη άλυσσος, έχει µέγιστο στοιχείο. Πρότση. Κάθε άλυσσος µε m στοιχεί, είνι ισόµορφος ως προς την διάτξη, µε κάποιο N m.

12 Απόδειξη. Αν m =, δεν έχουµε τίποτ ν δείξουµε. Υποθέτουµε ότι η πρότση ισχύει γι m = m, κι έστω µί άλυσσος Α µε m στοιχεί. Έστω το µέγιστο στοιχείο της Α. Η άλυσσος Α {} έχει m το πλήθος στοιχεί. Άρ υτή είνι ισόµορφος του N m, µέσω κάποιου ισοµορφισµού φ. Θέτουµε a m+. Η πεικόνιση φ, τώρ, η οποί επί του Α {} συµπίπτει µε τον ισοµορφισµό φ κι έχει φ () = m+, ορίζει τον ζητούµενο ισοµορφισµό.. Συνθήκες µεγίστου-ελχίστου. Θεώρηµ. Έστω S διτετγµένο σύνολο. Οι πρκάτω προτάσεις είνι ισοδύνµες. ) Υπάρχει µη κενό υποσύνολο του S, που ν είνι ύξουσ άλυσσος. β) Υπάρχει µη κενό υποσύνολο του S, που δεν έχει ξεπέρστ προς τ άνω στοιχεί. Απόδειξη. Έστω ότι ισχύει η β). Ότι, δηλδή, το µη κενό υποσύνολο Α του S δεν έχει ξεπέρστ προς τ άνω στοιχεί. Θεωρούµε την συνάρτηση επιλογής F, που ορίζετι πάνω στο P(S), κι έστω ότι F() =, Α. Επειδή το Α δεν έχει στοιχεί ξεπέρστ προς τ επάνω, το σύνολο Α = {x x < x} είνι σίγουρ µη κενό. Έστω F( Α ) =, Α, κι γι τους ίδιους λόγους, το Α = {x x Α < x} είνι µη κενό. Η διδικσί υτή ορίζει το σύνολο {,,... }, που εκ κτσκευής, είνι µί ύξουσ άλυσσος. Άρ η β) ). Έστω ότι το µη κενό υποσύνολο Α του S είνι µί ύξουσ άλυσσος. Είνι τότε ισόµορφο του N. Άρ δεν έχει ξεπέρστ προς τ επάνω στοιχεί. Άρ η ) β). Πόρισµ. Έστω S διτετγµένο σύνολο. Οι πρκάτω προτάσεις είνι ισοδύνµες. ) εν υπάρχει µη κενό υποσύνολο του S, που ν είνι ύξουσ άλυσσος. Ή: Κάθε ύξουσ άλυσσος του S είνι πεπερσµένη. β) Κάθε µη κενό υποσύνολο του S, έχει ξεπέρστ προς τ άνω στοιχεί. ) εν υπάρχει µη κενό υποσύνολο του S, που ν είνι φθίνουσ άλυσσος. Ή: Κάθε φθίνουσ άλυσσος του S είνι πεπερσµένη. β ) Κάθε µη κενό υποσύνολο του S, έχει ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί. Οι προτάσεις του πορίσµτος υτού, είνι η άρνησης των προτάσεων του προηγουµένου θεωρήµτος. Η ) κλείτι συνθήκη της υξούσης λύσσου. (Η ) κλείτι συνθήκη της φθινούσης λύσσου.) Η β) κλείτι συνθήκη του µεγίστου. (Η β ) κλείτι συνθήκη του ελχίστου.) Πόρισµ. Αν το S πληροί µί πό τις πρπάνω συνθήκες, κι κάθε υποσύνολό του θ την πληροί. Πράδειγµ. Το σύνολο N των φυσικών ριθµών, πληροί την συνθήκη του ελχίστου. Αρχή της επγωγής. Έστω ότι το διτετγµένο σύνολο S έχει τις ιδιότητες: ) Όλ τ ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί του (εφ όσον υπάρχουν) πληρούν την πρότση φ. β) Αν η φ πληρούτι πό κάθε x <, πληρούτι κι πό το S. Συµπέρσµ. Η φ πληρούτι πό όλ τ στοιχεί του S. Θεώρηµ. Η συνθήκη του ελχίστου (β ), η συνθήκη της φθίνουσς λύσσου ( ) κι η συνθήκη της επγωγής (γ), είνι προτάσεις ισοδύνµες. Έχουµε δείξει την ισοδυνµί ( ) (β ). Θ δείξουµε την (β ) (γ) κι στην συνέχει, την (γ) ( ). Απόδειξη. ) Η συνθήκη της επγωγής έπετι πό την συνθήκη του ελχίστου. Έστω διτετγµένο σύνολο S, το οποίο πληροί την συνθήκη του ελχίστου, κι τις προϋποθέσεις της επγωγής. Έστω ότι η φ δεν ισχύει γι όλ τ στοιχεί του S. Θεωρούµε, εκείνο το υποσύνολο Α του S, που είνι βέβι, γι το οποίο δεν ισχύει η φ. Αυτό έχει έν

13 3 ξεπέρστο προς τ κάτω στοιχείο. Από υπόθεση όµως, γι το στοιχείο υτό ισχύει η φ. Άτοπο. Άρ Α =, δηλδή, η φ ισχύει γι όλ τ στοιχεί του S. β) Η συνθήκη της φθίνουσς λύσσου, έπετι πό την ρχή της επγωγής. Έστω διτετγµένο σύνολο S, το οποίο πληροί την ρχή της επγωγής. Λβίνουµε ως φ την πρότση ( ): Κάθε φθίνουσ άλυσσος του S είνι πεπερσµένη. Αρκεί ν δείξουµε ότι, η φ πληροί τις προϋποθέσεις της επγωγής. Πράγµτι, τ ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί του S, ποτελούν πό µόν τους πεπερσµένες λύσσους. εξ άλλου, ν η φ πληρούτι πό το x <, πληρούτι κι πό το, µιά κι το {x, } ποτελεί πεπερσµένη άλυσσο. Ισχύει, λοιπόν η φ πντού εν S.. Κλή διάτξης. Λήµµ Zorn. Έν ολικά διτετγµένο σύνολο, το οποίο πληροί την συνθήκη του ελχίστου κλείτι κλά διτετγµένο. Το σύνολο N, όπως κι κάθε ισόµορφη εικόν του, είνι, λοιπόν, έν κλά διτετγµένο σύνολο. Έστω S διτετγµένο σύνολο κι Α τυχόν υποσύνολό του. Θ κλούµε το Α ρχικό τµήµ, ή πλά τµήµ, ν κι µόνον ν, Α x S (x x ). Λήµµ. Έστω κλά διτετγµένο σύνολο Α, κι C έν τµήµ. Υπάρχει τότε κάποιο Α, τέτοιο ώστε C = {x x x < }. Απόδειξη. Αρκεί ν λάβουµε = το ελάχιστο στοιχείο του Α C. Λήµµ. Έστω έν σύνολο πό κλά διτετγµέν σύνολ. Αν Α, µε Α συµβολίζουµε την κλή διάτξη του Α. Έστω ότι, γι κάθε Α, Β, είτε το Α είνι έν τµήµ του Β ως προς τον περιορισµό της είτε ντίστροφ. Υπάρχει τότε, µί διάτξη * επί του συνόλου Α * = U, τέτοι ώστε: Β ) Το Α * είνι κλά διτετγµένο ως προς την *. β) Ο περιορισµός της * πάνω σε κάθε Α, συµπίπτει µε την Α. γ) Κάθε Α, είνι έν τµήµ του Α *. Απόδειξη. Έστω τ, β Α *, µε Α, β Β, όπου Α, Β, κι το Α είνι τµήµ του Β. Οιδήποτε, συνεπώς, δύο τµήµτ του Α, ευρίσκοντι στο ίδιο σύνολο Β. Επιπλέον, ν µφότερ τ, β C, C, τότε η C είνι ο περιορισµός της B επί του C. Μπορούµε, συνεπώς, ν ορίσουµε την * ως εξής:, β Β, * β β. Η * διτάσει κλώς το Α *, κι συµπίπτει µε την Α γι κάθε Α. Έστω x Α, κι y *, τέτοιο ώστε, y * x. Κι πάλι, τ x, y είνι δυντόν ν θεωρηθεί ότι νήκουν σε κάποιο Β, τέτοιο ώστε, το Α ν είνι τµήµ του Β. Άρ y B x, κι επειδή το Α τµήµ, y Α. Άρ το Α τµήµ του Α *. Θ δείξουµε ότι, (γ) (). Έστω Τ Α *, µιά ισόµορφη εικόν του N. Αρκεί ν δείξουµε ότι Τ = N, δηλδή, ότι Α * Τ. Το Α * Τ είνι τµήµ. Αν λοιπόν Α * Τ, τότε, λόγω κτσκευής του (Α *, * ) το άνω φράγµ του N. Άτοπο. Το τυχόν σύνολο, είνι δυντόν ν θεωρηθεί ως σύνολο Α *. Το σύνολο Α *, κλά διτετγµένο µε την διάτξη *, κλείτι µεγίστη άλυσσος. Κάθε µί πό τις πρκάτω προτάσεις, είνι ισοδύνµος προς το ξίωµ της επιλογής. Θεώρηµ του Zermelo. Κάθε σύνολο µπορεί ν διτχθεί κλά. Θεώρηµ του Hausdorff. Κάθε άλυσσος διτετγµένου συνόλου S, περιέχετι σε µί µεγίστη άλυσσο. Θεώρηµ των Kuratowsk-Zorn. Αν κάθε άλυσσος του S είνι άνω φργµένη, τότε κάθε στοιχείο του S, είνι κι στοιχείο µιάς µεγίστης λύσσου. B

14 4 Αξίωµ επιλογής Θεώρηµ Zermelo Απόδειξη. Θεωρούµε την συνάρτηση επιλογής F: P(S) { } S. Το σύνολο f(p(s) { }) είνι τέτοιο ώστε, κάθε = f(α) f(p(s) { }) ν περιέχετι σε έν κι µόνο υποσύνολο Α P(S) { }. Θ λέµε το µη κενό υποσύνολο Α του S διφοροποιηµένο πό το, ν µπορεί ν διτχθεί κλά κτά τέτοιο τρόπο, ώστε Α το = f(s Α ) όπου Α έν τµήµ του Α ως προς την διάτξη, που διτάσει κλά το Α. Τέτοι υποσύνολ του S υπάρχουν. Είνι γι πράδειγµ όλ τ µονοσύνολ του S. Έστω κι δύο διφοροποιηµέν πό το υποσύνολ του S. Αµφότερ έχουν το κοινό στοιχείο κι συνεπώς έχουν έν τµήµ κοινό. Η ένωση Γ όλων των κοινών τµηµάτων των συνόλων υτών, είνι κοινό τµήµ υτών. Θ δείξουµε ότι, η ένωση υτή, συµπίπτει µε το κι το. Πράγµτι, ν η ένωση υτή Γ ήτν έστω διφορετική πό το, τότε το στοιχείο f(s Γ) θ προσδιόριζε εν έν τµήµ, που θ περιείχε το Γ. Άτοπο. Τ σύνολ συνεπώς κι είνι έτσι ώστε, το έν ν είνι τµήµ του άλλου. Θεωρούµε, τώρ, την ένωση όλων των διφοροποιηµένων συνόλων του S. Αυτή είνι έν διφοροποιηµένο σύνολο Λ. Πράγµτι, ν, β Λ µε Α, β Β, τ Α, Β Λ, τότε µφότερ τ, β, κείντι στο µεγλύτερο πό τ Α, Β, έστω το Α. Θέτοντς β εν Λ ν κι µόνον ν β εν Λ, επεκτείνουµε την κλή διάτξη εν Λ. Τέλος, µε κάθε Λ, το περιέχετι σε κάποιο διφοροποιηµένο υποσύνολο Α, κι προσδιορίζει εν Λ κι εν Α το ίδιο τµήµ Α, όπου = f(s Α ). Το Λ τέλος τυτίζετι µε το S, µιά κι σε άλλη περίπτωση, θ µπορούσµε ν κτσκευάσουµε έν διφοροποιηµένο σύνολο εν S µεγλύτερο πό το Λ, πράγµ άτοπο. Θεώρηµ Zermelo Θεώρηµ Hausdorff. Απόδειξη. Το τυχόν σύνολο, είνι δυντόν ν θεωρηθεί ότι ποτελείτι πό υποσύνολ Α, κάθε έν πό τ οποί, λόγω του θεωρήµτος του Zermelo, διτάσσετι κλά πό κάποι διάτξη Α. Από το λήµµ όµως, έπετι ότι, το είνι δυντόν ν θεωρηθεί ως µί µεγίστη άλυσσος Α *, µε διάτξη την *. Θεώρηµ Hausdorff Θεώρηµ Kuratowsk-Zorn. Απόδειξη. Έστω S έν διτετγµένο σύνολο, του οποίου κάθε άλυσσος έχει άνω φράγµ. Έστω το στοιχείο S. Η άλυσσος {} περιέχετι πό υπόθεση, σε µί µεγίστη άλυσσο C. Αν άνω φράγµ της C, τότε. Το είνι κι ξεπέρστο προς τ επάνω στοιχείο του S. Η C {} είνι άλυσσος περιέχουσ την C. Άτοπο. Άρ C, λλά κι κάθε x S µε x, νήκει στο C, µιά κι κάθε υποσύνολο του C είνι τµήµ. Θεώρηµ Kuratowsk-Zorn Αξίωµ της επιλογής. Απόδειξη. Έστω τυχόν σύνολο. Υπάρχουν υποσύνολ Α του, πάνω στ οποί είνι δυντόν ν ορισθεί µί συνάρτηση επιλογής. Π.χ. τ µονοσύνολ του. Θεωρούµε όλ τ τέτοιου τύπου υποσύνολ του, κι έστω Φ όλες οι δυντές συνρτήσεις επιλογής, που ορίζοντι πάνω σ υτά. Το σύνολο Φ διτάσσετι ως εξής: F F, ν κι µόνον ν, Σ Σ όπου F, F συνρτήσεις επιλογής, που ορίζοντι πάνω σε σύνολ υποσυνόλων Σ, Σ του. Έστω τυχούσ άλυσσος Γ µέσ στο σύνολο Φ. Αν F τ στοιχεί της Γ, κι Σ τ σύνολ επί των οποίων ορίζοντι οι F, θεωρούµε το Σ = U Σ, κι πάνω σ υτό, ορίζουµε τη F, η οποί συµπίπτει µε κάθε µί F επί κάθε ενός F. Φνερά F Φ, κι είνι άνω φράγµ της Γ. Από υπόθεση, η Γ περιέχετι σε µεγίστη άλυσσο. Αν, τώρ, το Σ, πάνω σ υτό, είνι δυντόν ν ορίσουµε µί συνάρτηση F β, έτσι ώστε, F β ( Σ) Σ Όµως, στην περίπτωση υτή, η Γ { F β } θ ήτν µί άλυσσος που θ περιείχε την µεγίστη άλυσσο Γ. Άτοπο. Βιβλιογρφί. General lgebra,.g. Kurosh, έκδοση Chelsea, σελίς 6.

15 5 3. Σύντοµο χρονικό της Θεωρίς συνόλων. Η θεωρί συνόλων ξεκίνησε µε τις εργσίες του Georg Cantor το 894. (Υπάρχουν στην βιβλιοθήκη, µετφρσµένες στ γγλικά, στις εκδόσεις Dover, µε τίτλο Contrbutons to the foundaton of the Theory of Transfnte Numbers). Η πρώτη ξιωµτική θεµελίωση της θεωρίς των συνόλων δόθηκε πό τον Zermelo το 98. Στ ξιώµτ υτά, περιλµβάνετι κι το ξίωµ της επιλογής. Η τελική µορφή των ξιωµάτων υτών δόθηκε πό τους Fraenkel κι Solem το 9. Η εισγωγή των ξιωµάτων υτών πό τον Zermelo, έγινε στην προσπάθειά του ν ντιµετωπίσει τις ντινοµίες που προέκυψν µέσ στην θεωρί των συνόλων, κι που ήτν γνωστές ήδη πό το 879 (ντινοµί Bural-Fort). Η ντινοµί υτή µελετήθηκε πό τον Russell, πό τον οποίο κι διτυπώθηκε στην πρκάτω µορφή: Όπως είδµε, υπάρχουν σύνολ, τ οποί είνι ισοδύνµ προς κάποιο υποσύνολό τους. Ας θεωρήσουµε εµείς, το σύνολο όλων των συνόλων, (το πριστάνουµε µε S), που δεν είνι ισοδύνµ προς κάποιο υποσύνολό τους. Μπορούµε άργε ν θεωρούµε έν τέτοιο σύνολο; Η πάντηση είνι ρνητική. Πράγµτι, το S είτε θ είνι έν σύνολο που είνι ισοδύνµο προς κάποιο υποσύνολό του, είτε δεν θ είνι κάποιο τέτοιο σύνολο. Στην ) περίπτωση, που το S είνι ισοδύνµο προς κάποιο υποσύνολό του, η σχέση S S οδηγεί σε άτοπο, µι κι το S είνι εξ ορισµού το σύνολο όλων των συνόλων, που δεν είνι ισοδύνµ προς κάποιο υποσύνολό τους. Στην περίπτωση β), που το S είνι έν σύνολο που δεν είνι ισοδύνµο προς κνέν υποσύνολό του, οδηγούµεθ κι πάλι σε άτοπο, µι κι το S θ έπρεπε ν περιέχετι στο S, λόγω κριβώς του τρόπου µε τον οποίο ορίσµε το S. Οι Russell κι Whtehead πρτήρησν ότι ο ορισµός των συνόλων εκείνων που οδηγούν σε ντινοµίες, κτστρτηγεί την ρχή του Φύλου Κύκλου. Σύµφων µε την ρχή υτή, έν στοιχείο, του οποίου ο ορισµός πιτεί το σύνολο των στοιχείων ενός συνόλου, δεν είνι δυντόν ν νήκει στο σύνολο. Οι Russell κι Whtehead γι ν ποφύγουν την ρχή υτή, επινόησν την Θεωρί των Τύπων, η οποί εκτίθετι εν εκτάσει στο σύγγρµµά τους Prnpa Mathemata. Βιβλιογρφί. N. Bourbak, Éléments de Mathématque. Théore des Ensembles, Chaptre 4. Jean Deudonné, bregé d Hstore des Mathématques. 4. Πληθάριθµος συνόλου. Πρδεχόµεθ ότι τ σύµβολ,, κλπ. συµβολίζουν σύνολ που περιέχουν έν, δύο, κλπ. Αντικείµεν. = {,, K} το σύνολο των φυσικών ριθµών. N Ορισµός. Ονοµάζουµε έν σύνολο Α ριθµήσιµο νν υπάρχει ντιστοιχί s έν έν κι επί νάµεσ σ' υτό κι το N. Πεπερσµένο κλείτι το Α νν υπάρχει ντιστοιχί s έν έν κι εντός του N. Την εικόν του συνόλου Α, συνήθως, την γράφουµε υπό την µορφή κολουθίς ( a ) I, I N Το πολύ ριθµήσιµο, νν είνι ή πεπερσµένο ή ριθµήσιµο. Ο πληθάριθµος ενός ριθµησίµου συνόλου είνι ο ριθµός που ντιστοιχεί στο πλήθος των στοιχείων του συνόλου. Συµβολίζετι µε το P (). Αν το σύνολο Α έχει ν το πλήθος στοιχεί, είνι, τότε, P () = ν. Πρότση. Γι τ σύνολ Α κι Β, ισχύει η σχέση, P( B) = P() + P(B) P( B) κι P( B) = P() + P(B) P( B). Γι µι κολουθί πεπερσµένων συνόλων, n n N, ισχύει η σχέση P U = P( ) P( j) + P( j k ) K = = < j < j< k n n κι η P I = P( ) P( j) + P( j k ) K = = < j < j< k

16 6 Λήµµ. Κάθε µη κενό υποσύνολο ριθµησίµου συνόλου είνι το πολύ ριθµήσιµο. Απόδειξη. Αφού το σύνολο είνι ριθµήσιµο, µπορεί ν γρφεί σν κολουθί. Φνερά, κάθε υποσύνολό του µπορεί ν γρφεί σν υπκολουθί υτής της κολουθίς. Άρ, είνι ή πεπερσµένο ή ριθµήσιµο. Λήµµ. Το N N είνι ριθµήσιµο. Απόδειξη. (G. Cantor). Πριστάνουµε µε (µ,ν) το τυχόν στοιχείο του N N. ίνουµε στο µ+ν, διδοχικά, τις τιµές, 3,.... Γιά κάθε φυσικό n, το µ (ντ. ν) µπορεί ν πάρει, το πολύ, n- διφορετικές τιµές. Άρ, η ως προς (µ,ν) εξίσωση µ+ν = n έχει πεπερσµένο πλήθος λύσεων. που, εποµένως, το σύνολό τους µπορεί ν γρφεί σν µιά πεπερσµένη κολουθί. Από υτό έπετι, µε τελεί επγωγή, ότι, το σύνολο των ( µ, ν) N N µπορεί ν γρφτή σν άπειρη κολουθί. κι, εποµένως, είνι ριθµήσιµο. Σχόλιο. ιτυπώσµε την πόδειξη του G. Cantor µε τρόπο, που ν υπογρµµίζετι το ότι είνι "κτσκευστική", δηλδή, µετά πό κάποιες συµφωνίες ως προς τις υπ' όψη πεπερσµένες κολουθίες, µπορούµε, γι κάθε (µ,ν), ν βρίσκουµε µε ποιόν όρο της τελικής (άπειρης) κολουθίς υτό συµπίπτει. Πορίσµτ των πρπάνω δύο ληµµάτων είνι τ επόµεν κλσικά ποτελέσµτ (G. Cantor). Ορολογί. Μιά οικογένει ( ) I κλείτι ριθµήσιµη ότν, κι µόνον ότν, το Ι είνι ριθµήσιµο. Αντ. γι το, "το πολύ ριθµήσιµο". Λήµµ 3. Η ένωση µιάς το πολύ ριθµήσιµης κολουθίς πό το πολύ ριθµήσιµ σύνολ είνι το πολύ ριθµήσιµη. Απόδειξη. Λόγω του Λήµµτος, ρκεί ν ποδείξουµε το Λήµµ 3 γι µιά ριθµήσιµη ένωση πό ριθµήσιµ σύνολ. Τώρ, φού η οικογένει είνι ριθµήσιµη, µπορεί ν γρφεί σν κολουθί. επίσης, κι το κθέν πό τ σύνολ υτά. Άρ, το σύνολο των στοιχείων της ενώσεως µπορεί ν γρφτή σν { µ, ν )}, όπου ( µ, ν) N N. Τώρ, η ντιστοίχηση του ( µ, ν ) στο (µ,ν) εγκθιστά, φνερά, µιά ντιστοιχί - νάµεσ στην ένωση, που θεωρούµε, κι το N. Άρ, η ένωση υτή ποτελεί ριθµήσιµο σύνολο. N Πόρισµ. Το σύνολο Q µ =, µ, ν N των ρητών ριθµών είνι ριθµήσιµο. ν Είνι όλ τ σύνολ ριθµήσιµ; Όχι, κθώς πέδειξε ο G. Cantor. Λήµµ 4. Το σύνολο των πείρων κολουθιών πό δύο διφορετικά γράµµτ δεν είνι ριθµήσιµο. Απόδειξη. Ας είνι κι β υτά τ γράµµτ. Έστω ότι το υπ' όψη σύνολο είνι ριθµήσιµο. Τότε, µπορεί ν γρφεί σν κολουθί Α, Α,.... όπου: Α η κολουθί,,... όπου, j = είτε, j = β Α η κολουθί,,... όπου, j = είτε, j = β Γι ν φτάσουµε σε άτοπο, ρκεί ν δείξουµε ότι υπάρχει άπειρη κολουθί πό τ γράµµτ κι β που δεν συµπίπτει µε κµιά πό τις Α, Α,.... Φνερά, µιά τέτοι κολουθί είνι η γ, γ,..., που ορίζετι έτσι: Γι κάθε φυσικό ν, γ ν. νν δηλδή, ν νν =, γ ν = β κι ν νν = β, γ ν =. Με τον τρόπο που ορίστηκε η γ, γ,..., διφέρει πό την Α ν, τουλάχιστον ως προς τον ν-οστό όρο της. κι υτό γι κάθε φυσικό ν. Εποµένως, το υπ' όψη σύνολο δεν είνι ριθµήσιµο.

17 7 Σχόλιο. Ο λόγος που ρχίσµε µε υτό το ποτέλεσµ, είνι πως δείχνει κθρά ότι η µη ριθµησιµότητ οφείλετι στην πειρί των υθιρέτων εκλογών τιµών ή β κι όχι σε λόγους "ριθµο-θεωρητικού" κλπ. τύπου. Πόρισµ. Το σύνολο των πργµτικών ριθµών είνι µη ριθµήσιµο. Απόδειξη. Λβίνουµε πιο πάνω = κι β = κι τους εκφράζουµε, στο δυδικό σύστηµ.

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις ακολουθίες

Σηµειώσεις στις ακολουθίες Σηµειώσεις στις κολουθίες Η έννοι της κολουθίς Ας ρίξουµε µι µτιά στην επόµενη πράθεση ριθµών: 7,, 5, 9,, 7,, Όπως κτλβίνει κνείς, υπάρχουν άπειροι ριθµοί που διδέχοντι ο ένς τον άλλο, µε κάποι λογική

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ 1 3.1 σκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 144 146 Ο Σ 1. Έν κουτί έχει τρεις µπάλες, µι άσπρη, µι µύρη κι µι κόκκινη. άνουµε το εξής πείρµ : πίρνουµε πό το κουτί µι µπάλ, κτγράφουµε το χρώµ της κι την ξνάζουµε στο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α.

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. 1. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: επνεπίσκεψη. Η εξής πρτήρηση γι τις (μονομερείς) διμελείς σχέσεις, εξυπηρετεί την τξινόμησή τους: τ ζεύγη μις οποιδήποτε τέτοις σχέσης εμπίπτουν σε τρείς κτηγορίες:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011

Γιώργος Χ. Παπαδημητρίου. 8 Ιουλίου 2011 Λογισμός των Μετβολών Γιώργος Χ. Ππδημητρίου 8 Ιουλίου 2011 Οι προύσες σελίδες είνι μί χλρή εισγωγή στον λογισμό των μετβολών κι στις κυριότερες χρήσεις τους. Σκοπός τους είνι φ' ενός ν κλύψουν ρκετές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία.

Α5. Με καρυότυπο μπορεί να διαγνωστεί α. η β-θαλασσαιμία β. ο αλφισμός γ. το σύνδρομο Down δ. η οικογενής υπερχοληστερολαιμία. Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν 2 0 1 5 ΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 22/05/2015 ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμίς πό τις πρκάτω ημιτελείς

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) A. Εστω f μι συνεχης συνρτηση σε εν διστημ [, β].

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1 Ευκλείδεια Γεωµετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου ΟΕ Β (παραγ. 6.4) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ότν σιγά σιγά άρχισ ν ενηµερώνοµι γύρω πό τις µθηµτικές γνώσεις των ρχίων Ελλήνων µθηµτικών κι µελετητών, ένοιωσ µεγάλη έκπληξη τόσο γι την ποιότητ κι ποσότητ των γνώσεών τους, όσο κι γι τη δική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ημιτελείς προτάσεις Α1 έως Α5 κι δίπλ το γράμμ που

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Αθαν. ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Καθηγητής: Κων/νος Α.

Ιωάννης Αθαν. ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμα Μαθηματικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών. ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Καθηγητής: Κων/νος Α. Ιωάννης Αθν ΘΕΟΔΩΡΟΥ Τμήμ Μθημτικών Σχολή Θετικών Επιστημών Πνεπιστήμιο Πτρών ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ (Επιβλέπων Κθηγητής: Κων/νος Α Δρόσος) ΠΑΤΡΑ 005 "So fa as aws of mathematcs efe to eaty they ae ot ceta

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ (Επλήψεις Συμπληρώσεις) Εισγωγή Στο Γυμάσιο μάθμε ότι οι πργμτικοί ριθμοί ποτελούτι πό τους ρητούς κι τους άρρητους ριθμούς κι πριστάοτι με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΓ ΓΔ ΠΥΘΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜ Στο διπλνό ορθοώνιο τρίωνο, έχουμε φέρει πλά το ύψος που κτλήει στην υποτείνουσ. Είνι προφνές ότι, με υτό τον τρόπο, το μεάλο ορθοώνιο τρίωνο χωρίστηκε σε δύο μικρότερ ορθοώνι, τ κι. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ»

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mαρτίου 2011 ΘΕΜΑ: «Ι ΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μ. Κ.: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ» ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ηράκλειο, 3 Mρτίου Aρ. πρ. 66 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ. Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµουλος Μθηµτικών Τχ. /νση

Διαβάστε περισσότερα

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη κι Έλκουσ Κµπύλη ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σ. Σ. Μ. 1. ΑΛΥΣΟΕΙ ΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΙΣΤΟΡΙΑ Μι πό τις ιστορικές κι ονοµστές κµπύλες, του επιπέδου που µελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός

Θεωρία και Πολιτική της. Οικονομικής Μεγέθυνσης. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις. Θεόδωρος Παλυβός Πνεπιστήμιο Μκεδονίς Τμήμ Οικονομικών Επιστημών Θερί κι Πολιτική της Οικονομικής Μεγέθυνσης Πνεπιστημικές Πρδόσεις Θεόδρος Πλυβός Ενότητ Εισγγή στη Γενική Ισορροπί κι την Οικονομική της Ευημερίς Mare-Esrt-Léon

Διαβάστε περισσότερα

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου H Ευκλείδει Γεωµετρί είνι κι εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου (EΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ, Τ. 73,010) ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μθηµτικών dimitrmp@sch.gr Περίληψη Η µελέτη των κωνικών τοµών η οποί γίνετι,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν.

ΘΕΜΑ: Φορολογική μεταχείριση των μερισμάτων που λαμβάνουν νομικά πρόσωπα από την κοινοπραξία στην οποία συμμετέχουν. ΑΔΑ: 6ΩΗΩΗ 5ΓΡ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήν, 15 Ιουνίου 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑ ΔΗΜΟΣΙΩΝ ΕΣΟΔΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΦΟΡΟΛΟΓΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΑΜΕΣΗΣ ΦΟΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ: Β Τχ.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΙΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ συγκέντρωση Μόλυνση ονομάζετι η είσοδος ενός πθογόνου μικροίου στον οργνισμό. Χρονικά, προηγείτι η είσοδος του μικροίου κι κολουθεί η ενεργοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

Η Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ

Η Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΜΣ «ιδκτική κι Μεθοδολογί των Μθηµτικών» ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΙΑρχωβίτης ιπλωµτική Εργσί Η Ι ΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ ΑΝΤΙΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 =

τετραγωνικό εκατοστόµετρο 1 cm 2 1 10000 m2 = 3.5 ΜΟΝΑ ΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μονάδες µέτρησης µήκους Βσική µονάδ το µέτρο. Συµβολίζετι m Υποδιιρέσεις του µέτρου : δεκτόµετρο dm = 0 m = 0, m Πολλπλάσιο του µέτρου : εκτοστόµετρο cm = 00 m = 0,0 m χιλιοστόµετρο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Μθημτικά θετικής & τεχνολογικής κτεύθυνσης Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 94 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 88 Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 59 Α4. ) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών

Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Ανθρωπιστικών και Κοινωνικών Επιστημών Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Πνεπιστήμιο Πτρών Σχολή Ανθρωπιστικών κι Κοινωνικών Επιστημών Πιδγωγικό Τμήμ Δημοτικής Εκπίδευσης Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών Mετπτυχική Εργσί Πεποιθήσεις κι κίνητρ. Μι ερευνητική προσέγγιση σε πολιτισμικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02

Π Ι Σ Τ Ο Π Ο Ι Η Σ Η Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 02 Ε Π Α Ρ Κ Ε Ι Α Σ Τ Η Σ ΕΛΛΗΝΟΜΑΘΕΙΑΣ Κ Α Τ Α Ν Ο Η Σ Η Γ Ρ Α Π Τ Ο Υ Λ Ο Γ Ο Υ ΔΕΥΤΕΡΗ ΣΕΙΡΑ Δ Ε Ι Γ Μ Α Τ Ω Ν 2 0 Μ 0 Ν Α Δ Ε Σ 1 Y Π Ο Υ Ρ Γ Ε Ι Ο Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ Κ Α Ι Θ Ρ Η Σ Κ Ε Υ Μ Α Τ Ω Ν Κ Ε Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 4 IOYNIOY 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.1.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Δημήτρης Ι. Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μθημτικών dimitrmp@sch.gr Ηράκλειο, 18 Δεκεμβρίου 009 ΓΕΝΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρινού Γιώργος. Δεκέμβριος 2007. ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Βασίλειος Χατζής

Σταυρινού Γιώργος. Δεκέμβριος 2007. ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Βασίλειος Χατζής ΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΗ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΣΥΛΛΟΓΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ, ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005 ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005 ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ 70 ΑΣΚΑΛΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείµενο» Κυρική 10-4-2005 Α.

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργαλείο κατανόησης βασικών εννοιών στο Γυµνάσιο

Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργαλείο κατανόησης βασικών εννοιών στο Γυµνάσιο Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργλείο κτνόησης σικών εννοιών στο Γυµνάσιο ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΟΝΤΟΓΕΩΡΓΟΣ Μθηµτικός-Υπεύθυνος του Μθηµτικού Εργστηρίου του Λυκείου Ελληνικού kontod@yahoo.gr ΚΩΝ/ΝΟΣ ΜΑΡΑΓΚΟΣ Μθηµτικός -Κθ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ. Μιλτιάδης Γ. Ζώης Α.Μ.: 200113

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ. Μιλτιάδης Γ. Ζώης Α.Μ.: 200113 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΥΡΗΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩ ΩΝ ΣΩΜΑΤΙΩΝ Μιλτιάδης Γ. Ζώης Α.Μ.: 00113 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΝΕΤΡΙΝΩΝ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΑΝΙΧΝΕΥΤΗ ΤΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ MINOS

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α A ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α Β ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21)

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21) È Ö Ñ Ø Ä Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑ ÖÒ ¾½ÆÓ Ñ ÖÓÙ¾¼¼ È Ö ØÛÔ Ö Ð Ñ ÒÓÒØ Ñ Ö ÔÖÓØ Ñ Ö Ð ÑÑ Ø ÕÖ Ñ È ÖÐ Ý Ø Ü Ø ØÓÑ Ñ Ø ÙÒ Ø ³ÄÙ ÓÙº Σημειωση Αν κποι προτση πο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειζετι ποδειξη. Εξιρεση ποτελουν

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια

Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Θεωρία & Σχόλια Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Άλγερ κι Στοιχεί Πιθοτήτω Θεωρί & Σχόλι 014 015 ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 3 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 3

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΡΑΔΙΕΝΕΡΓΕΣ ΥΛΕΣ ΚΛΑΣΗ 7

ΡΑΔΙΕΝΕΡΓΕΣ ΥΛΕΣ ΚΛΑΣΗ 7 ΧΟΗ ΕΠΑΓΓΕΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΗ ΜΕΤΑΦΟΡΕΩΝ ΕΚOMEE (ΑDR) ΘΕΑΙΑ & ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΑΔΟ ΓΡΑΦΕΙΑ & ΑΙΘΟΥΕ ΔΙΔΑΚΑΙΑ: ΚΟΥΤΑΡΕΙΑ 12 ΜΕΙΑOΝΟ (ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΠΕΙΡΑΙΩ) Τ.Κ.: 38333 ΒΟΟ ΤΗ.: 24210 34944 / 6977 280182

Διαβάστε περισσότερα