Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ""

Transcript

1 ΣΥΝΟΛΑ Σηµείωση. Γράφουµε νν ντί του ν κι µόνον ν.. Προλεγόµεν. Σε ότι κολουθεί, ο νγνώστης θ έρθει σε επφή µε έννοιες πό την Μθηµτική Λογική, την Θεωρί Συνόλων, κι την Άλγεβρ. Σύµφων µε την Πλτωνική ντίληψη του Κόσµου, οι έννοιες υτές θεωρούµε ότι προϋπάρχουν κι ότι δεν είνι κενές περιεχοµένου. Μί οντότης γι µς εδώ, είνι το περιεχόµενο µιάς έννοις. Το ενδιφέρον µς θ επικεντρώνετι στις σχέσεις που νπτύσσοντι νάµεσ στις οντότητες που θεωρούµε. Έτσι, τ ερωτήµτ που θέτουµε, είνι του τύπου τι ιδιότητες έχει κάτι κι όχι του τύπου τι είνι κάτι. γι πράδειγµ, δεν θέτουµε το ερώτηµ τι είνι η µονάς λλά τι ιδιότητες θ πρέπει ν έχει κάποι οντότης, γι ν την ονοµάσουµε µονάδ. Τις οντότητες τις σηµειώνουµε µε σύµβολ. Προσοχή όµως! Το ίδιο σύµβολο χρησιµοποιείτι συχνά γι ν σηµειώσει διφορετικές οντότητες. Ενδιφερόµεθ συνεπώς, γι τον προσδιορισµό σχέσεων µετξύ συµβόλων, των οποίων την ύπρξη δεχόµεθ, κι γι την εξγωγή συµπερσµάτων, τ οποί θ φορούν τ σύµβολά µς, κι µόνον υτά, κι τ οποί συµπεράσµτ θ στηρίζοντι στις πρπάνω σχέσεις κι στην ποδεκτή λογική. Το σύνολο των ρχικά χρησιµοποιουµένων συµβόλων κι σχέσεων κλείτι Αξιωµτικό σύστηµ. Εφόσον στ χρησιµοποιούµεν σύµβολ επισυνάπτουµε οικείες έννοιες θ λέµε ότι, το σύνολο υτών των εννοιών, ποτελεί έν µοντέλο το οποίο νπριστά το ξιωµτικό µς σύστηµ. Επειδή, τώρ, µε ορισµέν µοντέλ έχουµε µεγάλη οικειότητ, τ σύµβολ του ξιωµτικού µς συστήµτος λβίνουν ονοµσίες, που εµπνέοντι πό το ιδιίτερο υτό µοντέλο. Έν ξιωµτικό σύστηµ πρέπει ν είνι: ) Συµβτό. Μέσ σ υτό, δηλδή, δεν υπάρχει ζεύγος ντιφτικών προτάσεων, που ν µπορούν κι οι δύο ν εξχθούν µε την ποδεκτή λογική, πό τ ξιώµτ του συστήµτος. β) Ανεξάρτητο. Τούτο σηµίνει, ότι το σύνολο των ρχικών σχέσεων, που κλούντι κι ξιώµτ (= ιτήµτ) του συστήµτος, δεν προυσιάζουν πλεονσµούς. Κνέν δηλδή ξίωµ δεν προκύπτει, µε την ποδεκτή λογική, πό τ υπόλοιπ. γ) Πλήρες. Τούτο σηµίνει ότι, γι κάθε σχέση που γράφετι γι τ σύµβολά µς, είµστε σε θέση ν ποφνθούµε ν κι κτά πόσον η σχέση υτή συνάγετι πό προτάσεις του ξιωµτικού µς συστήµτος. Ερχόµστε, τώρ, στην έννοι σύνολο. εχόµεθ τ πρκάτω ως προς την δυντότητά µς ν θεωρούµε σύνολ. Τ σύνολά µς τξινοµούντι σε επίπεδ. Μηδενικό επίπεδο: Περιέχει τις οντότητες. Πρώτο επίπεδο: Περιέχει συλλογές πό οντότητες. εύτερο επίπεδο: Περιέχει συλλογές πό ντικείµεν που νήκουν είτε στο πρώτο, είτε στο µηδενικό, είτε κι στ δύο προηγούµεν επίπεδ. Τρίτο επίπεδο: Περιέχει συλλογές στοιχείων, που νήκουν είτε στο δεύτερο, είτε στο πρώτο, είτε στο µηδενικό επίπεδο, είτε σε οιονδήποτε συνδυσµό π τ προηγούµεν. Τ επίπεδ κτά τον τρόπο υτόν υξάνουν. Σύνολο κλείτι το στοιχείο του τυχόντος k-επιπέδου. Κλάσης κλείτι ότι δεν είνι σύνολο. Συνέπει υτής της τξινοµήσεως, είνι ότι το σύνολο όλων των συνόλων είνι κλάσης, κι όχι σύνολο. Ιστορική σηµείωση. Η τξινόµησης υτή των συνόλων, έγινε πό τον Russell στο Prnpa Mathemata γι ν ποφύγει την νάπτυξη πρδόξων ορισµένου τύπου (βλέπε Χρονικό, στο τέλος της ενότητς υτής). Η κτσκευή υτή των συνόλων, είνι γνωστή ως umulatve theory of types ή ως umulatve type struture.. Το ξιωµτικό σύστηµ των Zermelo-Fraenkel. Τις οντότητες του µηδενικού επιπέδου θ τις κλούµε στοιχεί κι θ τις συµβολίζουµε µε µικρά γράµµτ. Τις οντότητες του πρώτου επιπέδου θ τις κλούµε σύνολ κι θ τις συµβολίζουµε, συνήθως, µε κεφλί γράµµτ. Οντότητες του δευτέρου επιπέδου θ συµβολίζοντι µε κεφλί κλλιγρφικά γράµµτ.

2 Εισάγουµε, τώρ, µι συµβολική γλώσσ, µε την βοήθει της οποίς θ χειριζόµστε τ στοιχεί κι τ σύνολ. ), διάβζε, το είνι έν στοιχείο του Α. Α, διάβζε, το δεν νήκει στο Α. β), διάβζε, γι κάθε., διάβζε, υπάρχει. :, διάβζε, τέτοιο ώστε. γ), (ή ), διάβζε συνεπάγετι. (ή ) διάβζε διπλή συνεπγωγή. δ), διάβζε κι., διάβζε είτε.!, διάβζε έν κι µόνον έν. Οποιοσδήποτε λογικός συνδυσµός των πρπάνω συµβόλων, ποτελεί µί λογική πρότση φ. Μί πρότση, που φορά την οντότητ x, την συµβολίζουµε µε το φ(x). Με φ(x), ή φ(x) ή ~φ(x) συµβολίζετι η άρνησης της λογικής προτάσεως φ(x). Αν θέλουµε ν δηλώσουµε ότι το σύνολο Α ποτελείτι πό τ στοιχεί, β, κ.ο.κ., γράφουµε Α = {, β}, κ.ο.κ. Αν τ, β, κ.ο.κ. είνι στοιχεί, δηλδή οντότητες του µηδενικού επιπέδου, τότε το {, β} είνι µί οντότης του πρώτου επιπέδου. Ιδιίτερ, στο πρώτο επίπεδο νήκουν τ σύνολ της µορφής {}. Εξ ορισµού είνι, {, } = {}. Το δεύτερο επίπεδο είνι δυντόν, σύµφων µε την πρπάνω εκτεθείσ θεωρί των τύπων, ν περιέχει κάποιο συνδυσµό πό οντότητες του τύπου, β, είτε {}, {β}, είτε {, β}, είτε {}, {, β}. Το σύνολο λοιπόν {, {}, {, β}} είνι µί οντότης του δεύτερου επιπέδου. Α. Αξίωµ κενού συνόλου. Υπάρχει έν σύνολο, χωρίς στοιχεί. Το σύνολο υτό το συµβολίζουν µε το, κι κλείτι κενό σύνολο. Κάνοντς χρήση της πρπάνω γλώσσς, το ξίωµ υτό είνι δυντόν ν γρφεί κι ως εξής: x(x ). Εξ ορισµού το περιέχετι σε κάθε σύνολο. Α. υντότητ σχηµτισµού υποσυνόλων. Έστω E κάποιο σύνολο, κάποιου επιπέδου, το οποίο πό δω κι στο εξής θ θεωρούµε ότι υτό περιέχει τις οντότητες µε τις οποίες πρόκειτι ν σχοληθούµε. Έν υποσύνολο τότε Χ του E, ορίζετι πό µι λογική πρότση φ. Έχουµε, δηλδή, ότι Χ z(z X z E φ(z)). Έν υποσύνολο που ορίζετι πό την φ(z), θ το συµβολίζουµε πλά ως Χ = {z φ(z)}. Χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό Α Β, γι ν δηλώσουµε ότι το Α ορίζετι ως εξής: Α = {z z Β}. Γράφουµε κι Β Α. 3. Τ σύνολ Α κι Β τυτίζοντι, γράφουµε Α = Β, ν κι µόνον ν, ποτελούντι πό τ ίδι στοιχεί. Χρησιµοποιώντς την συµβολική µς γλώσσ, το Α3 γράφετι κι ως εξής: z(z X z Y) X = Y. Ισχύει φνερά κι η Χ = Υ z(z X z Y). Ισχύει, λοιπόν, ότι {, β} = {β, }. γι ν ποδείξουµε ότι δύο σύνολ Α κι Β τυτίζοντι, ρκεί ν δείχνουµε µφότερες τις σχέσεις Α Β κι Α Β. Γράφουµε Α Β, ν δεν έχουµε Α = Β. Αν Α Β, λλά Α Β, γράφουµε Α Β. Α4. Σύµφων µε την θεωρί των τύπων, το σύνολο των υποσυνόλων ενός συνόλου Χ, είνι σύνολο. Το συµβολίζουµε µε το X = P(X). Το σύνολο όλων των συνόλων, δεν είνι σύνολο. 5. υντότητ ενώσεως κι τοµής δύο συνόλων. Το ξίωµ υτό εξσφλίζει ότι τ Α Β κι Α Β είνι σύνολ. Αυτά ορίζοντι ως εξής: Α Β = {z z z B} κι Α Β = {z z z B}. Σηµειώνουµε την δυντότητ θεωρήσεως συνόλων της µορφής W = {{z}}. Επειδή τ z, {z} κι {{z}} νήκουν σε διφορετικά επίπεδ, το ξίωµ υτό µς δίδει την δυντότητ ν θεωρούµε κάθε φορά το κτάλληλο επίπεδο γι το σύνολο E. Α6. Αξίωµ ντικτστάσεως. Σύνολ σχηµτίζοντι κι ως εξής: Χ = {x z!(z E φ(x,z))}. Το ξίωµ υτό, µς δίδει την δυντότητ ν ντιστοιχίζουµε το πολύ έν z σε κάθε x, µέσω κάποις λογικής προτάσεως φ.

3 3 Ιστορική σηµείωση. Τ πρπάνω ξιώµτ, τ οποί ουσιστικά κθορίζουν τ επιτρεπτά σύνολ, διµορφώθηκν πό τους Zermelo (98) - Fraenkel (9) - Skolem (93). Α7. Αξίωµ της επιλογής. Έστω S τυχόν µη κενό σύνολο, κι Ρ(S) το σύνολο των υποσυνόλων του. Μπορούµε ν θεωρούµε τότε το σύνολο C = {z!z(z P(S) z Z)}. Το C ποτελείτι δηλδή, πό στοιχεί z, γι τ οποί είµστε βέβιοι, ότι υπάρχει έν κι µόνο υποσύνολο Ζ του Μ, που ν το περιέχει. 3. Άλγεβρ των Συνόλων. Στις πρκάτω σχέσεις, τ χρησιµοποιούµεν σύνολ, είνι όλ υποσύνολ του E. ) Γι τ σύνολ Α, Β, Γ ισχύουν ότι: ) Α Α β) Α Β Β Α Α = Β γ) Α Β Β Γ Α Γ. ) γι κάθε σύνολο S ισχύει ότι: ) S β) S ν κι µόνον ν S =. 3) {x} S ν κι µόνον ν x S. 4) Γι τ σύνολ Α, Β, Γ ισχύουν ότι: ) Α Α = Α = Α Α. β) Α Β = Β Α κι Α Β = Β Α. γ) Α (Β Γ) = (Α Β) Γ = Α Β Γ κι Α (Β Γ) = (Α Β) Γ = Α Β Γ. δ) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) κι Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). ε) Α Α Β Β Α Β Α Β κι Α Α Β Β Α Β Α Β. στ) Α Β Α Α Β ζ) Α Β = Α Α Β κι Α Β = Α Β Α. η) Α = Α = Α κι Α = Α = Α θ) Α Β = Α = Β =. 5) Ορίζετι το συµπλήρωµ του Β ως προς το Α πό την σχέση: Α = {x x B}. Γράφουµε κι Α = Α Β. γι τ σύνολ Α, Β, Γ ισχύουν ότι: ) Α Β Α. β) Α Β = Α Α Β =. γ) Α Β = Α Β. δ) Α Β = Α (Α Β) κι Α Β = Α (Α Β). ε) (Α Β) Γ = (Α Γ) (Β Γ). στ) (Α Β) Γ = (Α Γ) (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) = Α (Β Γ). ζ) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) = (Α Β) Γ. η) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). 6) Γι το συµπλήρωµ του Α ως προς το E έχουµε τις σχέσεις, ) E = κι = E. β) ( ) =. γ) = E. δ) =. ε) στ) B B κι 7) Νόµοι του de Morgan. ) B= B. B B ( B) = B κι β) ( B) = B 8) Η συµµετρική διφορά δύο συνόλων Α κι Β ορίζετι πό την σχέση Α Β= ( Α Β) ( Β Α) Όλες οι πρπάνω σχέσεις νάµεσ στ σύνολ, πεικονίζοντι γρφικά, στο διάγρµµ του Venn:

4 4 E B B 4. υϊκές σχέσεις. Έστω τ σύνολ Α κι Β. Το διτετγµένο ζεύγος (, β) όπου Α κι β Β ορίζετι ως το σύνολο (, β) = {, {, β}}. Φνερά, (, β) (β, ). Το κρτεσινό γινόµενο Α Β ορίζετι ως το σύνολο {(, β) Α β Β}. Πρδείγµτ. ) γι κάθε σύνολο S ισχύει ότι, S = S =. Αντίστροφ, ν Α Β =, τότε είτε Α =, είτε Β =. ) {} {β} = {(, β)}. 3) Αν Α Γ κι Β, τότε κι Α Β Γ. 4) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). 5) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ). Έν υποσύνολο R Β κλείτι δυϊκή σχέση εκ του Α εις το Β. Ιδιίτερ ενδιφερόµεθ γι την περίπτωση που είνι Β = Α, οπότε η R κλείτι δυϊκή σχέση επί του Α. Θ λέµε ότι η R ληθεύει γι το στοιχείο (, β) Α Β, ν κι µόνον ν (, β) R. Αντί του (, β) R γράφουµε πλά, Rβ. Συνώνυµ: δυϊκή σχέση = διµελής σχέση = δυδική σχέση. Πρδείγµτ. ) Το ως υποσύνολο του Α Β ορίζει την κενή δυϊκή σχέση. ) Το Α Β ως υποσύνολο του ευτού του ορίζει την τετριµµένοι δυϊκή σχέση. 3) Έστω R µί δυϊκή σχέση εκ του Α εις το Β κι Α, Β υποσύνολ των Α κι Β ντίστοιχ. Το υποσύνολο R = R (Α Β ) κλείτι περιορισµός της R επί του Α Β. Η ντίστροφος σχέσης της δυϊκής σχέσεως R ορίζετι ως το σύνολο R = {(β, ) (, β) R}. Πρδείγµτ. ) = ) ( ) ) β) Q = Q R = R 3) Αν έχουµε δύο δυϊκές σχέσεις Q κι R επί το Α, τότε ισχύουν : R ν κι µόνον ν Q = R κι R ν κι µόνον ν Q R. 5. Σχέση ισοδυνµίς. Μί δυϊκή σχέση κλείτι σχέση ισοδυνµίς επί του Α, ν κι µόνον ν, υτή είνι υτοπθής (ή νκλστική), συµµετρική κι µετβτική. ηλδή, ν κι µόνον ν,, β Α, R, Rβ βr κι Rβ βrγ Rγ. Την σχέση ισοδυνµίς την δηλώνουµε µε το. Η σχέση ισοδυνµίς λέγετι σχέση ισότητς = ν κι µόνον ν, ισχύει επιπλέον ότι, Α!β Α (, β) R. Έστω ότι, µς δίδετι το µη κενό σύνολο Α, κι µί σχέση ισοδυνµίς R έπ υτού. Τότε, µε το τυχόν στοιχείο του Α, θεωρούµε κι όλ τ ισοδύνµ προς υτό στοιχεί. Αυτά, ποτελούν το σύνολο, (λέµε την κλάση) C. Φνερά, C µί κι C φού. Είνι λοιπόν x C, ν κι µόνον ν, x. Πρτηρούµε ότι, το σύνολο Α, µερίζετι σε

5 5 τάξεις ισοδυνάµων στοιχείων. Μερίζετι δηλδή σε υποσύνολ C, έχουν νά δύο τοµή κενή, κι η ένωση όλων ν είνι το Α. Πράγµτι, ν C C β, κι γ C Cβ, τότε, γ C κι όµως, γ κι επειδή το γ είνι κι στοιχείο του C β, γ β. Άρ κι µι κι υτό, περιέχει όλ τ ισοδύνµ προς το β στοιχεί. είξµε έτσι ότι, C C. β Με τον ίδιο τρόπο ποδεικνύετι κι η C C. Άρ είνι C = C. β C β, κλπ., τέτοι ώστε, ν γ Cβ. Γι κάθε εν µπορούµε λοιπόν, ν έχουµε διφορετικές κλάσεις, µε τοµή µη κενή. Ξεκινάµε λοιπόν, πό το τυχόν στοιχείο του Α. Σχηµτίζουµε την κλάση τυτίζετι µε το Α, λβίνουµε το στοιχείο β Α µε προς υτό στοιχεί. Αυτά, φνερά, δεν θ νήκουν στο C C β β β, οπότε, C είνι Cβ C. Αν υτή δεν β κι θεωρούµε όλ τ ισοδύνµ C C, κι ποτελούν την C β. Αν, λβίνουµε εκείνο το στοιχείο γ του Α, που δεν νήκει στην προηγούµενη ένωση, κ.ο.κ. Με τον τρόπο υτό, επιτυγχάνουµε τον µερισµό του Α. Σύνολο Πηλίκο ονοµάζουµε το σύνολο εκείνο, που έχει σν στοιχεί του, τις κλάσεις ισοδυνµίς του Α. Το συµβολίζουµε µε Α / R. 6. Συνρτησική σχέση. Μί δυϊκή σχέση F B κλείτι συνρτησική σχέση εκ του Α εις το Β, ή πλά συνάρτηση ή πεικόνιση µε πεδίον ορισµού το Α κι πεδίον τιµών το Β, ν κι µόνον ν x (!y B (x, y) F). Συµβολίζουµε µε f(x) το µονδικό υτό y, γι το οποίο (x, y) F, κι γράφουµε y = f(x). Το y κλείτι τιµή ή εικόν του x δι της f. Χρησιµοποιούµε κι τον συµβολισµό f: B ή τον x a y. Στην περίπτωση που το σύνολο τιµών Υ της f είνι διάφορο του Β η f κλείτι εντός. Αν όµως είνι Υ = Β η f κλείτι επί. Η f κλείτι έν-έν ν κι µόνον ν κι η F είνι συνάρτηση. Λόγω των ξιωµάτων Α6 κι Α7 µπορούµε ν θεωρούµε συνρτήσεις επιλογής. Μπορούµε, δηλδή, ν θεωρούµε την F: P(S) S η οποί ορίζει µί ντιστοιχί, που στο τυχόν υποσύνολο Α P(S) ντιστοιχεί το στοιχείο Α. Πάντ, F, F({ }) =. Έχουµε, δηλδή, P(S), F() =, όπου Α. Το F(P(S)) είνι λοιπόν έν σύνολο, γι το οποίο είµστε βέβιοι, ότι κάθε στοιχείο του, νήκει σε έν κι µόνο υποσύνολο, (στοιχείο) του P(S). Πρδείγµτ. ) Η σχέση ισότητς I επί του Α, είνι µί πεικόνιση έν-έν του Α επί το Α. Αυτή κλείτι τυτοτική πεικόνιση του Α. ) Η κενή σχέση είνι συνάρτηση, ν κι µόνον ν Α =. 3) Η σχέση F = {(x, y) x y {y}} = {y} είνι µί συνάρτηση, η οποί κλείτι στθερά επί του Α. 4) Έστω N m = {,,..., m} N, όπου N το σύνολο των φυσικών ριθµών. Κάθε σύνολο S, το οποίο πεικονίζετι έν-έν επί του υποσύνολου N m του N, κλείτι πεπερσµένο σύνολο. Συνρτήσεις = πεικονίσεις = µετσχηµτισµοί, κλπ. Με τον όρο συνάρτηση πό το σύνολο Α στο σύνολο Β κλύπτουµε εκείνον τον µηχνισµό, που ορίζει την συνρτησική σχέση επί του B. Κι τον µηχνισµό υτόν, τον πριστάνουµε µε f, g, κλπ. Ώστε, γι ν µπορούµε ν λέµε ότι έχουµε µί συνάρτηση, θ πρέπει ν πληρούντι τ κόλουθ: ) Ν έχουν δοθεί δύο σύνολ Α κι Β (, χωρίς ν ποκλείουµε Β = Α). ) Ν γνωρίζουµε, γι κάθε x, το µονδικό y Β, που ντιστοιχεί µέσω κάποιου συγκεκριµένου µηχνισµού, σ υτό. 3) Γι ν είνι κλά ορισµένη η f, θ πρέπει ν ποδείξουµε την µονδικότητ του f(x). Θ πρέπει δηλδή, ν ποδείξουµε ότι, η σχέση f(x ) f(x ) x x. Θεωρούµε κι το σύνολο f (B ) = {x f (x) B B}, που κλείτι, ντίστροφη εικόν του συνόλου Β. Στην

6 6 περίπτωση που, το f ({y}) = f (y) είνι µονοσύνολο, ορίζετι η συνάρτηση f : B, που κλείτι, ντίστροφη συνάρτηση της f. Με f δηλώνουµε το γεγονός ότι, η f ορίζετι πάνω στο Α. Ο περιορισµός g της f επί του υποσυνόλου Α Χ, είνι εκείνη η g: Y, γι την οποί ισχύει ότι g(x) = f(x), x. Συνήθως, τον περιορισµό της f τον συµβολίζουµε µε το ίδιο σύµβολο (δηλδή το f). Στην περίπτωση υτή, η f λέγετι κι επέκτση της g. Injetve (ενίσιµος) κλείτι µί έν-έν πεικόνιση f:u V. Αν δηλδή, x,x U,f (x) = f (x ) x= x. Surjetve κλείτι κάθε επί πεικόνιση. Bjetve κλείτι η f, νν είνι έν-έν κι επί. Αυτοµορφισµοί κλούντι οι πεικονίσεις ενός συνόλου επί τον ευτό του. Αν οι πεικονίσεις υτές είνι κι έν-έν, τότε ονοµάζοντι µετθέσεις. Φνερά, η f είνι συνάρτηση, νν η f είνι έν-έν. Θεωρούµε y f(u) το σύνολο f (y). Είνι, Uf ( y) = U κι γι y y, f ( y) f ( y ) =. y f ( U) Το σύνολο U, µερίζετι συνεπώς πό τ υποσύνολ ισοδυνµίς R:,x R f (x ) f (x ) x = ( V f (y), κι η f εισάγει στο U την σχέση Το σύνολο f ), όπου V f(u) ορίζετι ως το σύνολο f ( V ) = {x U f(x) V }. Το σύνολο f V ) υπάρχει, νεξάρτητ πό το ν η f είνι έν-έν ή όχι. ( Έστω η f: X Y κι Α, οι σχέσεις : ) f (f ())., I, υποσύνολ του Χ κι B, B j, j J υποσύνολ του Υ. Ισχύουν = ) f (f (B)) f (B). ) f (B) f (B f (X)) v) f v) f U I U I = U f ( ) I = U I f ( ) v) f I If ( I I v) f I I ) Θεωρούµε τις πεικονίσεις f: U V κι g: f(u) W. Μπορούµε ν ορίσουµε την πεικόνιση fg: U W πό την σχέση, x U, x(fg) = (xf)g = g(f(x)). Η h = fg κλείτι γινόµενο ή σύνθεση των f κι g. Γι ν δηλώσουµε την σύνθεση των συνρτήσεων, χρησιµοποιούµε τ ντιµετθετικά διγράµµτ: f Το γινόµενο δύο συνρτήσεων, δεν ορίζετι βέβι πάντοτε, πολύ δε U V g περισσότερο, δεν ισχύει πάντ ότι gf = fg. Οπότε σηµειώνουµε πάντως h στ πρκάτω την σύνθεση δύο συνρτήσεων, θ υποθέτουµε, χωρίς ν W το λέµε, ότι υτή ορίζετι. f Γι τρεις πεικονίσεις που συντίθεντι, ισχύει ο προσετιριστικός νόµος. Είνι δηλδή, (fg)h = f(gh), ως προκύπτει πό το U V gh g διάγρµµ που εµφνίζετι πρπλεύρως. fg Z Η σύνθεση έν προς έν πεικονίσεων, είνι, φνερά έν προς W h έν πεικόνιση. Θεωρούµε, τώρ, έν σύνολο Ε, κι µί σχέση ισοδυνµίς R πάνω σ υτό. Στη συνέχει, θεωρούµε κι το σύνολο πηλίκο Ε/R. Ορίζετι τότε, η συνάρτηση p του Ε επί το Ε/R πό την σχέση, x a C x όπου x E κι Cx E/R η κλάση ισοδυνµίς στην οποί το x νήκει. Η p είνι κλά ορισµένη, µι κι όπως δείξµε (βλ. σελ. ) δεν υπάρχουν κλάσεις ισοδυνµίς µε κοινά στοιχεί. Υποθέτουµε κόµ, ότι έχουµε κι κάποιο άλλο σύνολο S, κι την πεικόνιση f: E S, τέτοι ώστε, η σχέση (x,y) R f(x) = f(y). = I I f ( )

7 7 p ΘΕΩΡΗΜΑ. Υπάρχει η g: E/R S κι είνι µονδική, έτσι ώστε, το E E/R δίπλ διάγρµµ, ν κθίσττι ντιµετθετικό. Επιπλέον, ν f g surjeton, η g είνι bjeton. f Απόδειξη. Θ πρέπει ν δείξουµε ότι, f = pg. Πράγµτι, πό υπόθεση, S η f πεικονίζει όλ τ ισοδύνµ στοιχεί του Ε, σε έν στοιχείο s S. Αν λοιπόν ορίσουµε την g έτσι ώστε C a s = f(x), το πιο πάνω διάγρµµ κθίσττι ντιµετθετικό. Η g είνι έν-έν, γιτί ν είχµε ότι x C x a s κι C y a s µε C C, οπότε κι το x δεν θ είνι ισοδύνµο του y, τότε θ έπρεπε λόγω του τρόπου µε τον οποίον ορίστηκε η f, ν έχουµε κι f(x) f(y), πράγµ δύντον, µί κι f = pg. ηλδή, g(p(x)) = g(p(y)) = s νν x y. 7. Εσωτερικές πράξεις - οµές. Μί πεικόνιση f: (Α ) κλείτι εσωτερική πράξη επί του Α. Αντί ν σηµειώνουµε µε το f(,β) την εικόν του στοιχείου (,β) Α Α, γράφουµε fβ. Στην γρφή υτή, ντί του συµβόλου f, που δηλώνει την πράξη µς, χρησιµοποιούµε σύµβολ, ως τ + (πρόσθεση), (πολλπλσισµός), ή. Συνήθως, το πολλπλσιστικό σύµβολο νάµεσ σε δύο στοιχεί του Α, πρλείπετι. Το (Α, ) κλείτι δοµή µιάς εσωτερικής πράξεως. Μί εσωτερική πράξη λέγετι προσετιριστική, ν κι µόνον ν, (β)γ = (βγ) οπότε γράφουµε πλά βγ, γι κάθε,β,γ Α. Οµδοειδές κλείτι µί δοµή µιάς εσωτερικής πράξεως. Ηµιοµάδ κλείτι µί δοµή µιάς προσετιριστική εσωτερικής πράξεως. Έν στοιχείο e, ν υπάρχει, κι γι το οποίο ισχύει ότι Α, e =, κλείτι ριστερά µονδιίο στοιχείο του Α. Φνερός είνι ο ορισµός του δεξιά µονδιίου στοιχείου. Ουδέτερο στοιχείο του Α είνι το e, νν είνι τυτόχρον ριστερά κι δεξιά µονδιίο στοιχείο. Συµβολίζουµε το e µε το ή το, ότν βέβι δεν υπάρχει η πιθνότητ συγχύσεως του ουδετέρου στοιχείου e µε τον ριθµό, ή το. Μί ηµιοµάδ µε ουδέτερο στοιχείο, την κλούµε επίσης κι ηµιοµάδ µε µονάδ. Αριστερά ντίστροφο στοιχείο, του τυχόντος στοιχείου µιάς ηµιοµάδς µε ουδέτερο στοιχείο, κλείτι το στοιχείο γι το οποίο ισχύει ότι, = e. Ανάλογ ορίζετι το δεξιά ντίστροφο στοιχείο. Στην περίπτωση, που το είνι κι ριστερά κι δεξιά ντίστροφο στοιχείο του, κλείτι πλά ντίστροφο στοιχείο n n n m n+ m m n του. Θέτουµε =. Ισχύει ότι, = =. Μορφισµοί ή οµοµορφισµοί κλούντι γενικώς, οι συνρτήσεις, που διτηρούν την δοµή του πεδίου ορισµού τους. Αν δηλδή φ : B ένς µορφισµός της δοµής (, ) επί την δοµή ( B, ), ισχύει τότε το ντιµετθετικό διάγρµµ : (a, b) a a b φ φ φ() φ() ( φ(a), φ(b)) a φ(a) φ(b) Έχουµε συνεπώς, την ισότητ: φ ( a b) = φ(a) φ(b). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. Η πεικόνιση λογάριθµος log R + R των θετικών πργµτικών ριθµών εντός του συνόλου των πργµτικών ριθµών, είνι ένς µορφισµός της δοµής ( R +, ) εντός της δοµής ( R, + ) κι, πράγµτι, ισχύει ότι, log( ab) = log a+ log b. Ο πολλπλσισµός συνεπώς δύο ριθµών, ντικθίσττι πό την πρόσθεση των λογρίθµων τους. Με την λογική υτή, λειτουργεί ο λογριθµικός κνών. x y

8 8 Επιµορφισµοί, λέγοντι οι µορφισµοί f : B, που είνι επί, δηλδή, f(α) = Β. Ενδοµορφισµοί, οι µορφισµοί f, που είνι εντός, δηλδή, f(α) Β. Μονοµορφισµοί, κλούντι οι µορφισµοί, που είνι έν-έν πεικονίσεις. Ισοµορφισµοί, κλούντι οι επιµορφισµοί που, είνι επιπλέον κι µονοµορφισµοί (είνι δηλδή, bjetve). Πρότση. Αν φ : B ισοµορφισµός, ισχύουν τότε οι πρκάτω σχέσεις: ) Η πεικόνιση φ : B είνι κι υτή ισοµορφισµός. Αφού η φ είνι έν έν κι επί κι η φ είνι έν έν κι επί. Συνεπώς, γι τ τυχόντ b, b B υπάρχουν µονδικά a, a, τέτοι ώστε, φ ( a) = b, φ(a ) = b. Όµως, φ ( aa ) = φ(a) φ(a ) = bb άρ κι, φ ( bb) = aa = φ (b) φ (b) ) Η σύνθεση δύο ισοµορφισµών είνι ισοµορφισµός. Πράγµτι, φού οι πεικονίσεις φ : B, φ : B Γ είνι έν έν κι επί, κι η φ φ= φ3 : Γ θ είνι έν έν κι επί. Έστω τ a, a. Είνι τότε, φ φ( aa ) = φ( φ(aa )) = φ( φ(a) φ(a )) = φ ( φ(a)) φ ( φ(a )) = φ φ(a) φ φ(a ) 3) Αν η δοµή Α έχει µονδιίο στοιχείο e, το φ (e) είνι µονδιίο στοιχείο της δοµής Β. Απόδειξη. Έστω ότι φ ( e) = b, κι y= φ(x). Τότε κι, by = φ (e) φ(x) = φ(ex) = φ(x) = y. 4) Αν η δοµή Α έχει ντίστροφο στοιχείο του στοιχείου a, τότε κι,. Απόδειξη. φ (e) = φ(a a) = φ(a ) φ(a) = b. Το φ (a ) είνι συνεπώς το ντίστροφο στοιχείο του φ (a). 8. Το θεώρηµ των Cantor Bernsten. Το ξίωµ 3 (σελ. ) ορίζει πότε δύο σύνολ Α κι Β τυτίζοντι. Μέσω των έν-έν κι επί συνρτήσεων, ορίζουµε πότε δύο σύνολ είνι ισοδύνµ. Γράφουµε B κι λέµε ότι το σύνολο Α είνι ισοδύνµο µε το σύνολο Β, νν υπάρχει bjeton g : B. Φνερά η σχέση όπως ορίσθηκε, είνι µί σχέση ισοδυνµίς. Ισχύει επιπλέον το ΘΕΩΡΗΜΑ των Cantor-Bernsten. ίδοντι δύο µη κενά σύνολ Α κι Β, γι τ οποί υπάρχουν συνρτήσεις έν-έν κι εντός, (njetons) f : B κι g : B. Είνι, τότε, B. g Απόδειξη. Έχουµε ότι, f () B g(b) = Y κι g(b). Θέτουµε f Y= g(b). Η συνάρτηση B g s= g(f()) : ορίζετι, κι είνι έν-έν κι εντός, κι επιπλέον, s() Y. f() Το θεώρηµ θ έχει ποδειχθεί, f ν ορίσουµε µι έν-έν κι επί συνάρτηση σ : B. Θέτουµε Z= B f () κι S= g(z) s() s () K. Την συνάρτηση σ την ορίζουµε ως εξής: f (x) γι x S σ (x) = f (s(x)) γι x S ) Η σ είνι επί.. Είνι = S ( S), κι συνεπώς, σ() = σ(s) σ( S) = f (S) f ( S).

9 9 Όµως, f (S) = f (g(z)) f (s()) f (s ()) K, άρ κι, f (S) = f (g(z)) s(s). Άρ κι σ (Α) = f (g(z)) s(s) f ( S) = f (g(z)) f () = B. β) Η σ είνι έν-έν. Επειδή όλες οι συνρτήσεις που χρησιµοποιήσµε είνι έν-έν, ρκεί ν δείξουµε ότι, σ (S) σ( S) =. Είνι, όµως, σ (S) = f (S) κι σ( S) = f ( S) = f () f (S) Φνερά, δύο σύνολ που τυτίζοντι, είνι ισοδύνµ. Κτόπιν τούτου, κι του προηγου- µένου θεωρήµτος, δικιούµεθ ν γράφουµε πλά = ντί του γι ν δηλώσουµε την ισότητ ή την ισοδυνµί δύο συνόλων. Πρτήρηση. Υπάρχουν σύνολ, τ οποί είνι ισοδύνµ προς κάποιο υποσύνολό τους. Πράδειγµ το σύνολο N των φυσικών ριθµών. Η σχέση n N, na n είνι µί bjeton του συνόλου N στο υποσύνολό του που περιλµβάνει τους ρτίους φυσικούς. Η ιδιότης υτή µάλιστ, χρκτηρίζει τ άπειρ σύνολ. 9. Σχέσεις διτάξεως. Μί δυϊκή σχέση κλείτι σχέση διτάξεως επί του Α, νν, υτή είνι υτοπθής (ή νκλστική), ντισυµµετρική κι µετβτική. ηλδή, ν κι µόνον ν,, β Α, R, Rβ βr = β κι Rβ βrγ Rγ. Την σχέση διτάξεως την δηλώνουµε µε το. Γράφουµε < β, ν κι µόνον ν β κι β. Χρησιµοποιούµε επίσης κι τον συµβολισµό κι > µε το προφνές νόηµ. ύο στοιχεί, που νήκουν στην R λέγοντι συγκρίσιµ. Αν γι τ, β Α ισχύει ότι είτε (, β) R είτε (β, ) R, τότε η σχέση διτάξεως R λέγετι ολική. Αν η R είνι ολική, ισχύει ότι R R =. Κάθε ολικά διτετγµένο υποσύνολο ενός συνόλου κλείτι άλυσσος. Το σύνολο N των φυσικών ριθµών είνι άλυσσος. Την σχέση διτάξεως την πεικονίζουµε µε έν επίπεδο διάγρµµ, θέτοντς το ριστερά του ευρισκόµενο στοιχείο κάτω πό το δεξιά του ευρισκόµενο στοιχείο, κι συνδέοντς τ δύο υτά στοιχεί µε έν ευθύγρµµο τµήµ. Υποτίθετι, βέβι, ότι γι την του διγράµµτος, ισχύει ότι, ν x z< y, τότε z= x. ( ιάγρµµ του Hasse). Μί άλλη µέθοδος νπρστήσεως µις σχέσης διτάξεως επί ενός συνόλου, είνι µέσω της κτσκευής του συνηµµένου πίνκος (adjaeny matrx). Ο πίνκς υτός περιέχει το στοιχείο r= ή το r=, νάλογ µε το ν τ στοιχεί που γρµµής / κολώνς που ορίζουν την θέση του r νήκουν ή όχι στην εν λόγω διάτξη. Πρδείγµτ. Στο σύνολο των υποσυνόλων ενός συνόλου, η σχέση ποτελεί µιά σχέση διτάξεως πάνω σ υτό. Το σύνολο {, } έχει σν σύνολο υποσυνόλων το {, {}, {}, {, }}. Επίσης, το σύνολο {,, 3} έχει σν σύνολο υποσυνόλων το {, {}, {}, {3}, {, }, {, 3}, {, 3}, {,, 3}}. Τ διγράµµτ της σχέσεως πάνω στ δύο υτά σύνολ είνι τ πρκάτω. {, } {} {} { } {,,3} {,} {,3} {,3} {} {} {3} { } Το υποσύνολο {, {}, {,}, {,,3}} ποτελεί µί (πεπερσµένη) άλυσσο του Ρ({,,3}). Ο συνηµµένος πίνκς που ορίζει η σχέση διτάξεως στο σύνολο των υποσυνόλων του {,, 3} είνι

10 {} {} {3} {, } {,3} {, 3} {,,3} {} {} {3} {, } {,3} {, 3} {,,3} ο πίνκς. Έστω P κι Q σχέσεις διτάξεως επί των συνόλων Α κι Β ντίστοιχ, κι f: B µί πεικόνιση εκ του Α εις το Β. Θ λέµε ότι η f διτηρεί την διάτξη ν κι µόνον ν, (, β) P (f(), f(β)) Q. Ένς ισοµορφισµός της διάτξης θ λέγετι η f, ν υτή είνι έν-έν κι επί, διτηρεί την διάτξη, κι η f διτηρεί την διάτξη. Πρδείγµτ. ) Μί συνάρτηση που διτηρεί την διάτξη, µετσχηµτίζει λύσσους σε λύσσους. Μί συνάρτηση που διτηρεί την διάτξη κι ορίζετι πάνω σε µί άλυσσο είνι ισοµορφισµός, ν είνι έν-έν. Μί άλυσσος µε διάτξη την λέγετι ύξουσ. Με διάτξη την λέγετι φθίνουσ. ) Κάθε Α S που έχει ισόµορφο εικόν το N m = {,,..., m}, είνι µί πεπερσµένη άλυσσος. Κάθε Α S που έχει ισόµορφο εικόν το N είνι µί άλυσσος.. Φράγµτ. Αξεπέρστ στοιχεί. Θεωρούµε έν σύνολο S κι Α κάποιο υποσύνολό του. Υποθέτουµε ότι το S έχει την διάτξη. Έν στοιχείο x S λέγετι άνω φράγµ του Α, ν κι µόνον ν, Α, x. Το x κλείτι κάτω φράγµ του S, νν Α, x. Στην περίπτωση, που Α =, το x S είνι κι άνω κι κάτω φράγµ του Α. Κάθε άνω φράγµ x του Α ως προς την είνι κάτω φράγµ ως προς την. γι κάθε πρότση, που φορά την κι τ κάτω φράγµτ, έχουµε µί δυϊκή πρότση, που φορά την κι τ άνω φράγµτ. Έν άνω φράγµ του Α, είνι άνω φράγµ κι κάθε υποσυνόλου του Α. (Ανάλογ ισχύουν γι τ κάτω φράγµτ). Μί συνάρτηση που διτηρεί την διάτξη, µετφέρει τ άνω (ντ. κάτω) φράγµτ σε άνω (ντ. κάτω) φράγµτ. Το πολύ έν στοιχείο του Α είνι δυντόν ν είνι άνω φράγµ του Α. Πράγµτι, ν τ στοιχεί, j Α ήτν κι τ δύο άνω φράγµτ του Α, τότε θ ίσχυν µφότερες οι σχέσεις κι. Άρ νγκίως είνι, =. Το µονδικό υτό στοιχείο του Α, κλείτι j j µέγιστο στοιχείο του Α. Ανάλογ, έχουµε κι τον ορισµό του µονδικού ελχίστου στοιχείου του Α. j

11 Αν το Α είνι φργµένο, κι το σύνολο των άνω φργµάτων του έχει στοιχείο ελάχιστο, τότε το στοιχείο υτό, κλείτι νώτερο πέρς του Α. Το συµβολίζουµε µε sup. Αν το σύνολο των κάτω φργµάτων του Α έχει στοιχείο µέγιστο, το στοιχείο υτό κλείτι κτώτερο πέρς του Α. Το συµβολίζουµε µε nf. Αν το Β είνι κάποιο υποσύνολο του Α κι τ sup, supb υπάρχουν, τότε supb sup. Οι πρκάτω σχέσεις είνι ισοδύνµες: ) x y. β) sup{x,y} = y. γ) nf{x,y} = x. Έν στοιχείο του Α S λέµε ότι είνι ξεπέρστο προς τ επάνω εν Α, ν δεν υπάρχει στοιχείο του Α που είνι > του. Ανάλογ έχουµε τ ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί του Α. Πρδείγµτ. ) Έστω S= {x,x,x 3,x 4,,, 3, 4} µε την διάτξη που εµφνίζετι στο πρκάτω διάγρµµ. Α= {,, 3, 4} S. Τ στοιχεί x 3, x 4 είνι άνω φράγµτ του Α, που δεν νήκουν στο Α. Το 4 είνι άνω φράγµ του Α, που νήκει στο Α. Τ στοιχεί x, x είνι κάτω φράγµτ του Α, που δεν νήκουν στο Α. Το είνι κάτω φράγµ του Α, που νήκει στο Α. Το υποσύνολο Χ = {x,x } δεν έχει κάτω φράγµ. Το υποσύνολο Χ = {x 3,x 4} δεν έχει άνω φράγµ. Το 4 είνι το µέγιστο στοιχείο του Α κι το το ελάχιστο στοιχείο του Α. x Το σύνολο { 4, x 3,x 4 } είνι σύνολο άνω φργµάτων του Α κι έχει 3 x4 ελάχιστο στοιχείο το 4. Είνι λοιπόν, sup = 4. Όµοι, nf =. Εδώ, τ sup κι nf του Α είνι κι στοιχεί του Α. Αυτό όµως δεν συµβίνει πάντοτε. 4 Αν Α = {,, 3 }, τότε τ στοιχεί, 3 είνι ξεπέρστ προς τ επάνω στοιχεί του Α. Το είνι στοιχείο ξεπέρστο προς τ κάτω. 3 4 ) Έν υποσύνολο N m N, έχει µέγιστο στοιχείο, το m. 3) Έν στοιχείο Α είνι ξεπέρστο προς τ επάνω, ν κι µόνον ν, x, x = x. Αν το Α έχει έν µονδικό στοιχείο ξεπέρστο προς τ επάνω, τότε υτό είνι κι το µέγιστο στοιχείο του Α. Αν το x Β Α είνι ξεπέρστο προς τ επάνω στοιχείο του Α, είνι τότε, κι ξεπέρστο στοιχείο του Β. Ένς x x ισοµορφισµός της διτάξεως µετσχηµτίζει ξεπέρστ στοιχεί σε ξεπέρστ στοιχεί. Πρότση. Κάθε διτετγµένο πεπερσµένο µη κενό σύνολο S, έχει στοιχεί ξεπέρστ προς τ επάνω. Απόδειξη. Αν S = {x}, το x είνι κι στοιχείο ξεπέρστο προς τ επάνω του S. Έστω τώρ, ότι το S έχει m+ στοιχεί, κι ότι η πρότση ισχύει γι το υποσύνολο εκείνο Α του S, που έχει m το πλήθος στοιχεί. Έστω x S. Αν το x είνι ξεπέρστο προς τ επάνω εν S, δεν έχουµε τίποτ ν δείξουµε. Έστω, λοιπόν, ότι το x δεν είνι ξεπέρστο προς τ επάνω εν S, κι Α = S {x}. Υπάρχουν τότε στοιχεί εν S, x, µε > x. Όµως, Α, κι το Α πό υπόθεση έχει στοιχεί ξεπέρστ προς τ επάνω. Υπάρχουν, λοιπόν, στοιχεί Α, τέτοι ώστε,, <. Άρ κι x <. Όµως, S, κι η προηγούµενη νισότητ δείχνει ότι, τ είνι κι ξεπέρστ στοιχεί του S. Κκώς, λοιπόν, υποθέσµε ότι το S δεν έχει ξεπέρστ στοιχεί προς τ επάνω. Αν το Α είνι µί άλυσσος, τότε ν έχει στοιχείο ξεπέρστο προς τ επάνω, υτό θ είνι κι µέγιστο στοιχείο του Α. Πόρισµ. Κάθε µη κενή πεπερσµένη άλυσσος, έχει µέγιστο στοιχείο. Πρότση. Κάθε άλυσσος µε m στοιχεί, είνι ισόµορφος ως προς την διάτξη, µε κάποιο N m.

12 Απόδειξη. Αν m =, δεν έχουµε τίποτ ν δείξουµε. Υποθέτουµε ότι η πρότση ισχύει γι m = m, κι έστω µί άλυσσος Α µε m στοιχεί. Έστω το µέγιστο στοιχείο της Α. Η άλυσσος Α {} έχει m το πλήθος στοιχεί. Άρ υτή είνι ισόµορφος του N m, µέσω κάποιου ισοµορφισµού φ. Θέτουµε a m+. Η πεικόνιση φ, τώρ, η οποί επί του Α {} συµπίπτει µε τον ισοµορφισµό φ κι έχει φ () = m+, ορίζει τον ζητούµενο ισοµορφισµό.. Συνθήκες µεγίστου-ελχίστου. Θεώρηµ. Έστω S διτετγµένο σύνολο. Οι πρκάτω προτάσεις είνι ισοδύνµες. ) Υπάρχει µη κενό υποσύνολο του S, που ν είνι ύξουσ άλυσσος. β) Υπάρχει µη κενό υποσύνολο του S, που δεν έχει ξεπέρστ προς τ άνω στοιχεί. Απόδειξη. Έστω ότι ισχύει η β). Ότι, δηλδή, το µη κενό υποσύνολο Α του S δεν έχει ξεπέρστ προς τ άνω στοιχεί. Θεωρούµε την συνάρτηση επιλογής F, που ορίζετι πάνω στο P(S), κι έστω ότι F() =, Α. Επειδή το Α δεν έχει στοιχεί ξεπέρστ προς τ επάνω, το σύνολο Α = {x x < x} είνι σίγουρ µη κενό. Έστω F( Α ) =, Α, κι γι τους ίδιους λόγους, το Α = {x x Α < x} είνι µη κενό. Η διδικσί υτή ορίζει το σύνολο {,,... }, που εκ κτσκευής, είνι µί ύξουσ άλυσσος. Άρ η β) ). Έστω ότι το µη κενό υποσύνολο Α του S είνι µί ύξουσ άλυσσος. Είνι τότε ισόµορφο του N. Άρ δεν έχει ξεπέρστ προς τ επάνω στοιχεί. Άρ η ) β). Πόρισµ. Έστω S διτετγµένο σύνολο. Οι πρκάτω προτάσεις είνι ισοδύνµες. ) εν υπάρχει µη κενό υποσύνολο του S, που ν είνι ύξουσ άλυσσος. Ή: Κάθε ύξουσ άλυσσος του S είνι πεπερσµένη. β) Κάθε µη κενό υποσύνολο του S, έχει ξεπέρστ προς τ άνω στοιχεί. ) εν υπάρχει µη κενό υποσύνολο του S, που ν είνι φθίνουσ άλυσσος. Ή: Κάθε φθίνουσ άλυσσος του S είνι πεπερσµένη. β ) Κάθε µη κενό υποσύνολο του S, έχει ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί. Οι προτάσεις του πορίσµτος υτού, είνι η άρνησης των προτάσεων του προηγουµένου θεωρήµτος. Η ) κλείτι συνθήκη της υξούσης λύσσου. (Η ) κλείτι συνθήκη της φθινούσης λύσσου.) Η β) κλείτι συνθήκη του µεγίστου. (Η β ) κλείτι συνθήκη του ελχίστου.) Πόρισµ. Αν το S πληροί µί πό τις πρπάνω συνθήκες, κι κάθε υποσύνολό του θ την πληροί. Πράδειγµ. Το σύνολο N των φυσικών ριθµών, πληροί την συνθήκη του ελχίστου. Αρχή της επγωγής. Έστω ότι το διτετγµένο σύνολο S έχει τις ιδιότητες: ) Όλ τ ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί του (εφ όσον υπάρχουν) πληρούν την πρότση φ. β) Αν η φ πληρούτι πό κάθε x <, πληρούτι κι πό το S. Συµπέρσµ. Η φ πληρούτι πό όλ τ στοιχεί του S. Θεώρηµ. Η συνθήκη του ελχίστου (β ), η συνθήκη της φθίνουσς λύσσου ( ) κι η συνθήκη της επγωγής (γ), είνι προτάσεις ισοδύνµες. Έχουµε δείξει την ισοδυνµί ( ) (β ). Θ δείξουµε την (β ) (γ) κι στην συνέχει, την (γ) ( ). Απόδειξη. ) Η συνθήκη της επγωγής έπετι πό την συνθήκη του ελχίστου. Έστω διτετγµένο σύνολο S, το οποίο πληροί την συνθήκη του ελχίστου, κι τις προϋποθέσεις της επγωγής. Έστω ότι η φ δεν ισχύει γι όλ τ στοιχεί του S. Θεωρούµε, εκείνο το υποσύνολο Α του S, που είνι βέβι, γι το οποίο δεν ισχύει η φ. Αυτό έχει έν

13 3 ξεπέρστο προς τ κάτω στοιχείο. Από υπόθεση όµως, γι το στοιχείο υτό ισχύει η φ. Άτοπο. Άρ Α =, δηλδή, η φ ισχύει γι όλ τ στοιχεί του S. β) Η συνθήκη της φθίνουσς λύσσου, έπετι πό την ρχή της επγωγής. Έστω διτετγµένο σύνολο S, το οποίο πληροί την ρχή της επγωγής. Λβίνουµε ως φ την πρότση ( ): Κάθε φθίνουσ άλυσσος του S είνι πεπερσµένη. Αρκεί ν δείξουµε ότι, η φ πληροί τις προϋποθέσεις της επγωγής. Πράγµτι, τ ξεπέρστ προς τ κάτω στοιχεί του S, ποτελούν πό µόν τους πεπερσµένες λύσσους. εξ άλλου, ν η φ πληρούτι πό το x <, πληρούτι κι πό το, µιά κι το {x, } ποτελεί πεπερσµένη άλυσσο. Ισχύει, λοιπόν η φ πντού εν S.. Κλή διάτξης. Λήµµ Zorn. Έν ολικά διτετγµένο σύνολο, το οποίο πληροί την συνθήκη του ελχίστου κλείτι κλά διτετγµένο. Το σύνολο N, όπως κι κάθε ισόµορφη εικόν του, είνι, λοιπόν, έν κλά διτετγµένο σύνολο. Έστω S διτετγµένο σύνολο κι Α τυχόν υποσύνολό του. Θ κλούµε το Α ρχικό τµήµ, ή πλά τµήµ, ν κι µόνον ν, Α x S (x x ). Λήµµ. Έστω κλά διτετγµένο σύνολο Α, κι C έν τµήµ. Υπάρχει τότε κάποιο Α, τέτοιο ώστε C = {x x x < }. Απόδειξη. Αρκεί ν λάβουµε = το ελάχιστο στοιχείο του Α C. Λήµµ. Έστω έν σύνολο πό κλά διτετγµέν σύνολ. Αν Α, µε Α συµβολίζουµε την κλή διάτξη του Α. Έστω ότι, γι κάθε Α, Β, είτε το Α είνι έν τµήµ του Β ως προς τον περιορισµό της είτε ντίστροφ. Υπάρχει τότε, µί διάτξη * επί του συνόλου Α * = U, τέτοι ώστε: Β ) Το Α * είνι κλά διτετγµένο ως προς την *. β) Ο περιορισµός της * πάνω σε κάθε Α, συµπίπτει µε την Α. γ) Κάθε Α, είνι έν τµήµ του Α *. Απόδειξη. Έστω τ, β Α *, µε Α, β Β, όπου Α, Β, κι το Α είνι τµήµ του Β. Οιδήποτε, συνεπώς, δύο τµήµτ του Α, ευρίσκοντι στο ίδιο σύνολο Β. Επιπλέον, ν µφότερ τ, β C, C, τότε η C είνι ο περιορισµός της B επί του C. Μπορούµε, συνεπώς, ν ορίσουµε την * ως εξής:, β Β, * β β. Η * διτάσει κλώς το Α *, κι συµπίπτει µε την Α γι κάθε Α. Έστω x Α, κι y *, τέτοιο ώστε, y * x. Κι πάλι, τ x, y είνι δυντόν ν θεωρηθεί ότι νήκουν σε κάποιο Β, τέτοιο ώστε, το Α ν είνι τµήµ του Β. Άρ y B x, κι επειδή το Α τµήµ, y Α. Άρ το Α τµήµ του Α *. Θ δείξουµε ότι, (γ) (). Έστω Τ Α *, µιά ισόµορφη εικόν του N. Αρκεί ν δείξουµε ότι Τ = N, δηλδή, ότι Α * Τ. Το Α * Τ είνι τµήµ. Αν λοιπόν Α * Τ, τότε, λόγω κτσκευής του (Α *, * ) το άνω φράγµ του N. Άτοπο. Το τυχόν σύνολο, είνι δυντόν ν θεωρηθεί ως σύνολο Α *. Το σύνολο Α *, κλά διτετγµένο µε την διάτξη *, κλείτι µεγίστη άλυσσος. Κάθε µί πό τις πρκάτω προτάσεις, είνι ισοδύνµος προς το ξίωµ της επιλογής. Θεώρηµ του Zermelo. Κάθε σύνολο µπορεί ν διτχθεί κλά. Θεώρηµ του Hausdorff. Κάθε άλυσσος διτετγµένου συνόλου S, περιέχετι σε µί µεγίστη άλυσσο. Θεώρηµ των Kuratowsk-Zorn. Αν κάθε άλυσσος του S είνι άνω φργµένη, τότε κάθε στοιχείο του S, είνι κι στοιχείο µιάς µεγίστης λύσσου. B

14 4 Αξίωµ επιλογής Θεώρηµ Zermelo Απόδειξη. Θεωρούµε την συνάρτηση επιλογής F: P(S) { } S. Το σύνολο f(p(s) { }) είνι τέτοιο ώστε, κάθε = f(α) f(p(s) { }) ν περιέχετι σε έν κι µόνο υποσύνολο Α P(S) { }. Θ λέµε το µη κενό υποσύνολο Α του S διφοροποιηµένο πό το, ν µπορεί ν διτχθεί κλά κτά τέτοιο τρόπο, ώστε Α το = f(s Α ) όπου Α έν τµήµ του Α ως προς την διάτξη, που διτάσει κλά το Α. Τέτοι υποσύνολ του S υπάρχουν. Είνι γι πράδειγµ όλ τ µονοσύνολ του S. Έστω κι δύο διφοροποιηµέν πό το υποσύνολ του S. Αµφότερ έχουν το κοινό στοιχείο κι συνεπώς έχουν έν τµήµ κοινό. Η ένωση Γ όλων των κοινών τµηµάτων των συνόλων υτών, είνι κοινό τµήµ υτών. Θ δείξουµε ότι, η ένωση υτή, συµπίπτει µε το κι το. Πράγµτι, ν η ένωση υτή Γ ήτν έστω διφορετική πό το, τότε το στοιχείο f(s Γ) θ προσδιόριζε εν έν τµήµ, που θ περιείχε το Γ. Άτοπο. Τ σύνολ συνεπώς κι είνι έτσι ώστε, το έν ν είνι τµήµ του άλλου. Θεωρούµε, τώρ, την ένωση όλων των διφοροποιηµένων συνόλων του S. Αυτή είνι έν διφοροποιηµένο σύνολο Λ. Πράγµτι, ν, β Λ µε Α, β Β, τ Α, Β Λ, τότε µφότερ τ, β, κείντι στο µεγλύτερο πό τ Α, Β, έστω το Α. Θέτοντς β εν Λ ν κι µόνον ν β εν Λ, επεκτείνουµε την κλή διάτξη εν Λ. Τέλος, µε κάθε Λ, το περιέχετι σε κάποιο διφοροποιηµένο υποσύνολο Α, κι προσδιορίζει εν Λ κι εν Α το ίδιο τµήµ Α, όπου = f(s Α ). Το Λ τέλος τυτίζετι µε το S, µιά κι σε άλλη περίπτωση, θ µπορούσµε ν κτσκευάσουµε έν διφοροποιηµένο σύνολο εν S µεγλύτερο πό το Λ, πράγµ άτοπο. Θεώρηµ Zermelo Θεώρηµ Hausdorff. Απόδειξη. Το τυχόν σύνολο, είνι δυντόν ν θεωρηθεί ότι ποτελείτι πό υποσύνολ Α, κάθε έν πό τ οποί, λόγω του θεωρήµτος του Zermelo, διτάσσετι κλά πό κάποι διάτξη Α. Από το λήµµ όµως, έπετι ότι, το είνι δυντόν ν θεωρηθεί ως µί µεγίστη άλυσσος Α *, µε διάτξη την *. Θεώρηµ Hausdorff Θεώρηµ Kuratowsk-Zorn. Απόδειξη. Έστω S έν διτετγµένο σύνολο, του οποίου κάθε άλυσσος έχει άνω φράγµ. Έστω το στοιχείο S. Η άλυσσος {} περιέχετι πό υπόθεση, σε µί µεγίστη άλυσσο C. Αν άνω φράγµ της C, τότε. Το είνι κι ξεπέρστο προς τ επάνω στοιχείο του S. Η C {} είνι άλυσσος περιέχουσ την C. Άτοπο. Άρ C, λλά κι κάθε x S µε x, νήκει στο C, µιά κι κάθε υποσύνολο του C είνι τµήµ. Θεώρηµ Kuratowsk-Zorn Αξίωµ της επιλογής. Απόδειξη. Έστω τυχόν σύνολο. Υπάρχουν υποσύνολ Α του, πάνω στ οποί είνι δυντόν ν ορισθεί µί συνάρτηση επιλογής. Π.χ. τ µονοσύνολ του. Θεωρούµε όλ τ τέτοιου τύπου υποσύνολ του, κι έστω Φ όλες οι δυντές συνρτήσεις επιλογής, που ορίζοντι πάνω σ υτά. Το σύνολο Φ διτάσσετι ως εξής: F F, ν κι µόνον ν, Σ Σ όπου F, F συνρτήσεις επιλογής, που ορίζοντι πάνω σε σύνολ υποσυνόλων Σ, Σ του. Έστω τυχούσ άλυσσος Γ µέσ στο σύνολο Φ. Αν F τ στοιχεί της Γ, κι Σ τ σύνολ επί των οποίων ορίζοντι οι F, θεωρούµε το Σ = U Σ, κι πάνω σ υτό, ορίζουµε τη F, η οποί συµπίπτει µε κάθε µί F επί κάθε ενός F. Φνερά F Φ, κι είνι άνω φράγµ της Γ. Από υπόθεση, η Γ περιέχετι σε µεγίστη άλυσσο. Αν, τώρ, το Σ, πάνω σ υτό, είνι δυντόν ν ορίσουµε µί συνάρτηση F β, έτσι ώστε, F β ( Σ) Σ Όµως, στην περίπτωση υτή, η Γ { F β } θ ήτν µί άλυσσος που θ περιείχε την µεγίστη άλυσσο Γ. Άτοπο. Βιβλιογρφί. General lgebra,.g. Kurosh, έκδοση Chelsea, σελίς 6.

15 5 3. Σύντοµο χρονικό της Θεωρίς συνόλων. Η θεωρί συνόλων ξεκίνησε µε τις εργσίες του Georg Cantor το 894. (Υπάρχουν στην βιβλιοθήκη, µετφρσµένες στ γγλικά, στις εκδόσεις Dover, µε τίτλο Contrbutons to the foundaton of the Theory of Transfnte Numbers). Η πρώτη ξιωµτική θεµελίωση της θεωρίς των συνόλων δόθηκε πό τον Zermelo το 98. Στ ξιώµτ υτά, περιλµβάνετι κι το ξίωµ της επιλογής. Η τελική µορφή των ξιωµάτων υτών δόθηκε πό τους Fraenkel κι Solem το 9. Η εισγωγή των ξιωµάτων υτών πό τον Zermelo, έγινε στην προσπάθειά του ν ντιµετωπίσει τις ντινοµίες που προέκυψν µέσ στην θεωρί των συνόλων, κι που ήτν γνωστές ήδη πό το 879 (ντινοµί Bural-Fort). Η ντινοµί υτή µελετήθηκε πό τον Russell, πό τον οποίο κι διτυπώθηκε στην πρκάτω µορφή: Όπως είδµε, υπάρχουν σύνολ, τ οποί είνι ισοδύνµ προς κάποιο υποσύνολό τους. Ας θεωρήσουµε εµείς, το σύνολο όλων των συνόλων, (το πριστάνουµε µε S), που δεν είνι ισοδύνµ προς κάποιο υποσύνολό τους. Μπορούµε άργε ν θεωρούµε έν τέτοιο σύνολο; Η πάντηση είνι ρνητική. Πράγµτι, το S είτε θ είνι έν σύνολο που είνι ισοδύνµο προς κάποιο υποσύνολό του, είτε δεν θ είνι κάποιο τέτοιο σύνολο. Στην ) περίπτωση, που το S είνι ισοδύνµο προς κάποιο υποσύνολό του, η σχέση S S οδηγεί σε άτοπο, µι κι το S είνι εξ ορισµού το σύνολο όλων των συνόλων, που δεν είνι ισοδύνµ προς κάποιο υποσύνολό τους. Στην περίπτωση β), που το S είνι έν σύνολο που δεν είνι ισοδύνµο προς κνέν υποσύνολό του, οδηγούµεθ κι πάλι σε άτοπο, µι κι το S θ έπρεπε ν περιέχετι στο S, λόγω κριβώς του τρόπου µε τον οποίο ορίσµε το S. Οι Russell κι Whtehead πρτήρησν ότι ο ορισµός των συνόλων εκείνων που οδηγούν σε ντινοµίες, κτστρτηγεί την ρχή του Φύλου Κύκλου. Σύµφων µε την ρχή υτή, έν στοιχείο, του οποίου ο ορισµός πιτεί το σύνολο των στοιχείων ενός συνόλου, δεν είνι δυντόν ν νήκει στο σύνολο. Οι Russell κι Whtehead γι ν ποφύγουν την ρχή υτή, επινόησν την Θεωρί των Τύπων, η οποί εκτίθετι εν εκτάσει στο σύγγρµµά τους Prnpa Mathemata. Βιβλιογρφί. N. Bourbak, Éléments de Mathématque. Théore des Ensembles, Chaptre 4. Jean Deudonné, bregé d Hstore des Mathématques. 4. Πληθάριθµος συνόλου. Πρδεχόµεθ ότι τ σύµβολ,, κλπ. συµβολίζουν σύνολ που περιέχουν έν, δύο, κλπ. Αντικείµεν. = {,, K} το σύνολο των φυσικών ριθµών. N Ορισµός. Ονοµάζουµε έν σύνολο Α ριθµήσιµο νν υπάρχει ντιστοιχί s έν έν κι επί νάµεσ σ' υτό κι το N. Πεπερσµένο κλείτι το Α νν υπάρχει ντιστοιχί s έν έν κι εντός του N. Την εικόν του συνόλου Α, συνήθως, την γράφουµε υπό την µορφή κολουθίς ( a ) I, I N Το πολύ ριθµήσιµο, νν είνι ή πεπερσµένο ή ριθµήσιµο. Ο πληθάριθµος ενός ριθµησίµου συνόλου είνι ο ριθµός που ντιστοιχεί στο πλήθος των στοιχείων του συνόλου. Συµβολίζετι µε το P (). Αν το σύνολο Α έχει ν το πλήθος στοιχεί, είνι, τότε, P () = ν. Πρότση. Γι τ σύνολ Α κι Β, ισχύει η σχέση, P( B) = P() + P(B) P( B) κι P( B) = P() + P(B) P( B). Γι µι κολουθί πεπερσµένων συνόλων, n n N, ισχύει η σχέση P U = P( ) P( j) + P( j k ) K = = < j < j< k n n κι η P I = P( ) P( j) + P( j k ) K = = < j < j< k

16 6 Λήµµ. Κάθε µη κενό υποσύνολο ριθµησίµου συνόλου είνι το πολύ ριθµήσιµο. Απόδειξη. Αφού το σύνολο είνι ριθµήσιµο, µπορεί ν γρφεί σν κολουθί. Φνερά, κάθε υποσύνολό του µπορεί ν γρφεί σν υπκολουθί υτής της κολουθίς. Άρ, είνι ή πεπερσµένο ή ριθµήσιµο. Λήµµ. Το N N είνι ριθµήσιµο. Απόδειξη. (G. Cantor). Πριστάνουµε µε (µ,ν) το τυχόν στοιχείο του N N. ίνουµε στο µ+ν, διδοχικά, τις τιµές, 3,.... Γιά κάθε φυσικό n, το µ (ντ. ν) µπορεί ν πάρει, το πολύ, n- διφορετικές τιµές. Άρ, η ως προς (µ,ν) εξίσωση µ+ν = n έχει πεπερσµένο πλήθος λύσεων. που, εποµένως, το σύνολό τους µπορεί ν γρφεί σν µιά πεπερσµένη κολουθί. Από υτό έπετι, µε τελεί επγωγή, ότι, το σύνολο των ( µ, ν) N N µπορεί ν γρφτή σν άπειρη κολουθί. κι, εποµένως, είνι ριθµήσιµο. Σχόλιο. ιτυπώσµε την πόδειξη του G. Cantor µε τρόπο, που ν υπογρµµίζετι το ότι είνι "κτσκευστική", δηλδή, µετά πό κάποιες συµφωνίες ως προς τις υπ' όψη πεπερσµένες κολουθίες, µπορούµε, γι κάθε (µ,ν), ν βρίσκουµε µε ποιόν όρο της τελικής (άπειρης) κολουθίς υτό συµπίπτει. Πορίσµτ των πρπάνω δύο ληµµάτων είνι τ επόµεν κλσικά ποτελέσµτ (G. Cantor). Ορολογί. Μιά οικογένει ( ) I κλείτι ριθµήσιµη ότν, κι µόνον ότν, το Ι είνι ριθµήσιµο. Αντ. γι το, "το πολύ ριθµήσιµο". Λήµµ 3. Η ένωση µιάς το πολύ ριθµήσιµης κολουθίς πό το πολύ ριθµήσιµ σύνολ είνι το πολύ ριθµήσιµη. Απόδειξη. Λόγω του Λήµµτος, ρκεί ν ποδείξουµε το Λήµµ 3 γι µιά ριθµήσιµη ένωση πό ριθµήσιµ σύνολ. Τώρ, φού η οικογένει είνι ριθµήσιµη, µπορεί ν γρφεί σν κολουθί. επίσης, κι το κθέν πό τ σύνολ υτά. Άρ, το σύνολο των στοιχείων της ενώσεως µπορεί ν γρφτή σν { µ, ν )}, όπου ( µ, ν) N N. Τώρ, η ντιστοίχηση του ( µ, ν ) στο (µ,ν) εγκθιστά, φνερά, µιά ντιστοιχί - νάµεσ στην ένωση, που θεωρούµε, κι το N. Άρ, η ένωση υτή ποτελεί ριθµήσιµο σύνολο. N Πόρισµ. Το σύνολο Q µ =, µ, ν N των ρητών ριθµών είνι ριθµήσιµο. ν Είνι όλ τ σύνολ ριθµήσιµ; Όχι, κθώς πέδειξε ο G. Cantor. Λήµµ 4. Το σύνολο των πείρων κολουθιών πό δύο διφορετικά γράµµτ δεν είνι ριθµήσιµο. Απόδειξη. Ας είνι κι β υτά τ γράµµτ. Έστω ότι το υπ' όψη σύνολο είνι ριθµήσιµο. Τότε, µπορεί ν γρφεί σν κολουθί Α, Α,.... όπου: Α η κολουθί,,... όπου, j = είτε, j = β Α η κολουθί,,... όπου, j = είτε, j = β Γι ν φτάσουµε σε άτοπο, ρκεί ν δείξουµε ότι υπάρχει άπειρη κολουθί πό τ γράµµτ κι β που δεν συµπίπτει µε κµιά πό τις Α, Α,.... Φνερά, µιά τέτοι κολουθί είνι η γ, γ,..., που ορίζετι έτσι: Γι κάθε φυσικό ν, γ ν. νν δηλδή, ν νν =, γ ν = β κι ν νν = β, γ ν =. Με τον τρόπο που ορίστηκε η γ, γ,..., διφέρει πό την Α ν, τουλάχιστον ως προς τον ν-οστό όρο της. κι υτό γι κάθε φυσικό ν. Εποµένως, το υπ' όψη σύνολο δεν είνι ριθµήσιµο.

17 7 Σχόλιο. Ο λόγος που ρχίσµε µε υτό το ποτέλεσµ, είνι πως δείχνει κθρά ότι η µη ριθµησιµότητ οφείλετι στην πειρί των υθιρέτων εκλογών τιµών ή β κι όχι σε λόγους "ριθµο-θεωρητικού" κλπ. τύπου. Πόρισµ. Το σύνολο των πργµτικών ριθµών είνι µη ριθµήσιµο. Απόδειξη. Λβίνουµε πιο πάνω = κι β = κι τους εκφράζουµε, στο δυδικό σύστηµ.

ΣΥΝΟΛΑ Σημείωση. 1. Προλεγόμενα. οντότης Αξιωματικό σύστημα. μοντέλο Συμβατό. Ανεξάρτητο αξιώματα (= αιτήματα) Πλήρες Σύνολο Κλάσης

ΣΥΝΟΛΑ Σημείωση. 1. Προλεγόμενα. οντότης Αξιωματικό σύστημα. μοντέλο  Συμβατό. Ανεξάρτητο αξιώματα (= αιτήματα) Πλήρες Σύνολο Κλάσης ΣΥΝΟΛΑ Σημείωση. Τον νγνώστη, που ενδιφέρετι γι το περιεχόμενο των πργράφων 1 κι 2, τον πρπέμπουμε στ [Ζ1], σελ. Ε8-Ε26 κι [Ζ2], σελ. 211-243, [ΖΚ], σελ.178-185. Γράφουμε νν ντί του ν κι μόνον ν. 1. Προλεγόμεν.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ

Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Τ Ο Λ Ε Ξ Ι Λ Ο Γ Ι Ο Τ Η Σ Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Εισγωγή: Όπως στη κθημερινή μς ζωή, γι ν συνεννοηθούμε χρησιμοποιούμε προτάσεις, έτσι κι στ Μθημτικά χρησιμοποιούμε «Μθημτικές» προτάσεις. Γι πράδειγμ στη κθημερινή

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος

«Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου και ιδακτικές Εφαρµογές. Γεώργιος Κυριακόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ KΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες.

ΠΙΝΑΚΕΣ 1.1. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ. Ονοµάζουµε πίνακα Α n m µία διάταξη n m αριθµών και j = 1, 2,, m, σε n γραµµές και m στήλες. ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΠΙΝΑΚΩΝ - ΟΡΙΣΜΟΙ Ονοµάζουµε πίνκ Α n m µί διάτξη n m ριθµών κι j,,, m, σε n γρµµές κι m στήλες ηλδή: Α ( σµβ ij ) ορσ n n m m nm a ij όπου i,,, n Έτσι όπως γράφετι ο πίνκς Α, ο ριθµός a ij,

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του διανύσματος

Η έννοια του διανύσματος Η έννοι του δινύσμτος Από τη γεωμετρί είμστε εξοικειωμένοι με την έννοι του ευθυγράμμου τμήμτος: δύο διφορετικά σημεί Α κι Β μις ευθείς (ε), ορίζουν το ευθύγρμμο τμήμ ΑΒ Έν ευθύγρμμο τμήμ λέγετι προσντολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για

ν = 2, από τους οποίους όμως γνωρίζουμε μόνο 5, αυτούς που προκύπτουν για 165 4.5 ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Εισγωγή Δύο πό τ σημντικότερ ποτελέσμτ σχετικά με τους πρώτους ριθμούς ήτν γνωστά ήδη πό την ρχιότητ. Το γεγονός ότι κάθε κέριος νλύετι με μονδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων εμφνίζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις ακολουθίες

Σηµειώσεις στις ακολουθίες Σηµειώσεις στις κολουθίες Η έννοι της κολουθίς Ας ρίξουµε µι µτιά στην επόµενη πράθεση ριθµών: 7,, 5, 9,, 7,, Όπως κτλβίνει κνείς, υπάρχουν άπειροι ριθµοί που διδέχοντι ο ένς τον άλλο, µε κάποι λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

1. Injective Surjective Bijective

1. Injective Surjective Bijective 9 II Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Γενικά (Βλέπε κι σελ 3) Υπενθυµίζουµε µερικές έννοιες, που φορούν τις συνρτήσεις, ) Iecve κλείτι µί έν-ένπεικόνιση f:u V Αν δηλδή, x, x U, f ( x) f ( x ) x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής:

Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ. το σύνολο των μεταθέσεων (βλέπε σελ. 19) Ν. Την μετάθεση p [permutation] την συμβολίζουν ως εξής: III Ο Ρ Ι Ζ Ο Υ Σ Ε Σ Μετθέσεις Θεωρούμε έν σύνολο Ν με πεπερσμένο το πλήθος ντικείμεν Τ ριθμούμε υτά κτά κάποιο τρόπο, κι στη συνέχει, νφερόμεθ σ υτά με τον ριθμό τους Εστω, λοιπόν, Ν {,,, } το δοσμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση

Εκθετική - Λογαριθµική συνάρτηση Εκθετική - ογριθµική συνάρτηση Ορισµός δύνµης µε εκθέτη θετικό κέριο..., νν> ν 0 Ορίζουµε: ν πράγοντες,, γι 0., ν ν Αν ν θετικός κέριος, ορίζουµε: ν -ν. ν µ ν ν µ ν Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην προηγούµενη ενότητ συζητήσµε µετσχηµτισµούς της µορφής Y g( µίς τυχίς µετβλητής Όµως σε έν πολυµετβλητό φινόµενο ενδέχετι ν θέλουµε ν µετσχηµτίσουµε τις ρχικές

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές Συντεταγµένες

Καρτεσιανές Συντεταγµένες Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων

Διαβάστε περισσότερα

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το

Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ «Αρχή σοφίς φόος Κυρίου» ( Ψλµός 110, 10.) ΓΥΜΝΑΣΙΟ: ΤΑΞΗ : Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΜΑΘΗΤΗ: ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ι ΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΡΕΠΕΙ: Ν γνωρίζουν πότε µι ισότητ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Μθηµτικός Συγγρφές µέλος του Σ της ΕΜΕ Πρόεδρος της Συντκτικής Επιτροπής του περιοδικού «Ευκλείδης Β» ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου

Διαβάστε περισσότερα

Η θεωρία στα μαθηματικά της

Η θεωρία στα μαθηματικά της Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6.

Γ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6. Γ.3 3.3 Εξισώσεις ου θμού Απρίτητες νώσεις Θεωρίς Θεωρί 5. Τι ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού (ή δευτεροάθμι εξίσωση) μ ένν άνωστο κι τι δικρινουσά της; Ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού μ ένν άνωστο κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων

Κεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Η γενική µορφή της β βάθµις εξίσωσης + β + γ 0, 0. Οι λύσεις της β βάθµις εξίσωσης β 4γ Η εξίσωση + β + γ 0, 0 Ότν > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες, τις, Ότν 0 Έχει µί διπλή ρίζ,

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ 1 3.1 σκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 144 146 Ο Σ 1. Έν κουτί έχει τρεις µπάλες, µι άσπρη, µι µύρη κι µι κόκκινη. άνουµε το εξής πείρµ : πίρνουµε πό το κουτί µι µπάλ, κτγράφουµε το χρώµ της κι την ξνάζουµε στο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n

ΣΕΙΡΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. n 1 2 n. Για τη σύγκλιση της σειράς διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (i) Αν υπάρχει το lim σ n ΣΕΙΡΕΣ Έστω. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ μι κολουθί πργμτικών ριθμών. Η κολουθί ( σ ) με γενικό όρο: σ + + + i ονομάζετι κολουθί μερικών θροισμάτων της κολουθίς ( ), ή σειρά των ριθμών,,,, κι σημειώνετι με i + + +

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α

α β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν

Διαβάστε περισσότερα

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών»

«Ανάλυση χρονολογικών σειρών» Διτμημτικό Πρόγρμμ Μετπτυχικών Σπουδών των Τμημάτων Μθημτικών κι Μηχνικών Η/Υ & Πληροφορικής «Μθημτικά των Υπολογιστών κι των Αποφάσεων». (Κτεύθυνση: Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων κι Εφρμογές). Διπλωμτική

Διαβάστε περισσότερα

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η

δίνει την πυκνότητα νετρονίων ανά μονάδα ενέργειας. Αναφέρεται συνήθως στη βιβλιογραφία απλά ως «πυκνότητα νετρονίων» ενώ η ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Π2.2 Γι ν δούμε με ποιο τρόπο ο τύπος των τεσσάρων συντελεστών προκύπτει πό την (2.2.1) χρειάζετι πρώτ τ γενικεύσουμε τις έννοιες της πυκνότητς κι της ροής νετρονίων. ε κάθε θέση r της κρδιάς

Διαβάστε περισσότερα

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

Ένα εξαιρετικό υποψήφιο 3 ο ή 4 ο θέµα. Να µελετηθεί προσεκτικά. µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία του κύκλου. z z z z

Ένα εξαιρετικό υποψήφιο 3 ο ή 4 ο θέµα. Να µελετηθεί προσεκτικά. µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία του κύκλου. z z z z Έν εξιρετικό υποψήφιο ο ή 4 ο θέµ Ν µελετηθεί προσεκτικά ίνοντι οι µη µηδενικοί µιγδικοί ριθµοί,, των οποίων οι εικόνες A, Β, Γ στο µιγδικό επίπεδο είνι σηµεί του κύκλου y ( ( ( Ν ποδείξετε ότι Ν ποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής

3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής 6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

1) Υπόδειγµα Εντολέα - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου.

1) Υπόδειγµα Εντολέα - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου. ) Υπόδειγµ Εντολέ - Εντολοδόχου, η περίπτωση του Ηθικού Κινδύνου. Έστω ότι ο εντολοδόχος ελέγχει µί επιχείρηση της οποίς ιδιοκτήτες είνι διάφοροι µέτοχοι (ο εντολές). Στην γενική περίπτωση, ο εντολοδόχος

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ. 2 Με τον ίδιο υπονοούμενο τρόπο η έννοια της συνάρτησης εμφανίζεται στους λογαριθμικούς πίνακες που κατασκευάστηκαν 1 ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 191 Η έννοι της συνάρτησης ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Η έννοι της συνάρτησης, ως έκφρση μις εξάρτησης νάμεσ σε δύο συγκεκριμένες ποσότητες, εμφνίζετι μ ένν υπονοούμενο τρόπο ήδη πό την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία.

4.1 δες αντίστοιχη θεωρία 4.2. Α) ναι. Β) όχι. 4.3 δες αντίστοιχη θεωρία. 4.4 δες αντίστοιχη θεωρία 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ ,8 θεωρία. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4. Α) νι Β) όχι 4. δες ντίστοιχη θεωρί 4.4 δες ντίστοιχη θεωρί 4.5 Α Λ Β Σ Γ Σ Δ Σ 4. 6 f d f ()g()d f()g() f()g ()d f()d f () f()d f () () () f(g())d f(g( ())

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

για την εισαγωγή στο Λύκειο

για την εισαγωγή στο Λύκειο Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στη Φυσική εµφνίζοντι πολλά µεγέθη, όπως µεττοπίσεις, τχύτητες, ροπές, δυνάµεις, τ οποί γι ν προσδιοριστούν πλήρως δεν ρκεί µόνο ν είνι γνωστό το µέτρο τους, λλά πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ KΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Είνι γνωστό ότι γι πολλά ορισµέν ολοκληρώµτ δεν υπάρχουν νλυτικές µέθοδοι κριβούς επίλυσής τους. Ετσι λοιπόν έχουν νπτυχθεί προσεγγιστικές µέθοδοι υπολογισµού τέτοιων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α.

ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΑΤΑΞΗΣ, Α Α. 1. ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ: επνεπίσκεψη. Η εξής πρτήρηση γι τις (μονομερείς) διμελείς σχέσεις, εξυπηρετεί την τξινόμησή τους: τ ζεύγη μις οποιδήποτε τέτοις σχέσης εμπίπτουν σε τρείς κτηγορίες:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ [Κεφ: 3. 3.4 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πράδειγμ. Ν υολογισθούν τ ορισμέν ολοκληρώμτ: ΘΕΜΑ Β i. ii. (

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν. 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους

Διαβάστε περισσότερα