Σηµειώσεις στις ακολουθίες

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σηµειώσεις στις ακολουθίες"

Transcript

1 Σηµειώσεις στις κολουθίες Η έννοι της κολουθίς Ας ρίξουµε µι µτιά στην επόµενη πράθεση ριθµών: 7,, 5, 9,, 7,, Όπως κτλβίνει κνείς, υπάρχουν άπειροι ριθµοί που διδέχοντι ο ένς τον άλλο, µε κάποι λογική σειρά Συγκεκριµέν, κάθε ριθµός προκύπτει π τον προηγούµενό του ν προσθέσουµε σ υτόν το 4 Έτσι ο όγδοος ριθµός, ο οποίος δεν νγράφετι είνι το 5, ο έντος το 9 κοκ Στο επόµενο πράδειγµ θεωρούµε τους πρώτους ριθµούς, δηλδή τους θετικούς κερίους που διιρούντι µόνον πό τον ευτό τους κι τη µονάδ :,, 5, 7,,, 7, 9,, Κτ ρχάς υπάρχουν άπειροι πρώτοι ριθµοί; Η πάντηση είνι νι κι η πόδειξή της είνι γνωστή πό την ρχιότητ κι οφείλετι στον Ευκλείδη Αν κι στ προηγούµεν πρδείγµτ χρησιµοποιήσµε µόνον κέριους ριθµούς, κτλβίνει κνείς πως υτό δεν είνι ο κνόνς Έτσι, µπορούµε ν θεωρήσουµε την άπειρη διδοχή ριθµών:,,, 4, Τί είνι λοιπόν µι κολουθί; Μι κολουθί είνι µι άπειρη διδοχή ριθµών Κάθε ριθµός λέγετι όρος της κολουθίς Οι τελείες στο τέλος της γρφής, πχ της 7,, 5, 9,, 7,, δηλώνουν πως κολουθούν κι άλλοι (άπειροι) όροι κι συνεπώς, η διδικσί υτή δεν έχει τέλος Ότν σ έν µθηµτικό πρόβληµ είµστε υποχρεωµένοι ν νφερθούµε σε µι συγκεκριµένη κολουθί πολλές φορές, ο συµβολισµός µε νγρφή ορισµένων ρχικών όρων είνι εξιρετικά δύσχρηστος Γιτί δεν είνι πάντοτε εύκολο ν βρεί κνείς τον επόµενο όρο, φού δεν υπάρχει πάντ κάποιος κλά κθορισµένος κνόνς γι την εύρεσή του Έτσι υιοθετούµε κριβέστερους κι συντοµότερους συµβολισµούς Μι κολουθί θ συµβολίζετι µε κάποιο γράµµ του ελληνικού ή λτινικού λφβήτου, πχ, β, c, ω κτλ Είνι σφές ότι ν σε έν πρόβληµ έχουµε ν ντιµετωπίσουµε Ο ριθµός, πρ όλο που έχει υτή την ιδιότητ, δεν θεωρείτι πρώτος Είνι προφνές πως υτός δεν είνι υστηρός ορισµός της κολουθίς

2 περισσότερες πό µί κολουθίες, τότε χρησιµοποιούµε διφορετικό σύµβολο γι κάθε µι π υτές Κάθε όρος της κολουθίς ορίζετι πό δύο πράγµτ: Την κολουθί στην οποί νήκει κι τη θέση που κτλµβάνει στην κολουθί υτή Έτσι, ν ονοµάσουµε την κολουθί,,,,, ο πρώτος όρος (το ) θ 4 συµβολίζετι µε, ο δεύτερος (το ) µε, ο τρίτος (το ) µε κοκ Ο ριθµός που δηλώνει τη θέση του όρου µέσ σε µι κολουθί λέγετι δείκτης Συνήθως δεν ενδιφερόµστε γι κάποιον συγκεκριµένο όρο, λλά γι τον οποιονδήποτε όρο µις κολουθίς Έτσι υιοθετούµε έν σύµβολο (συνήθως το ) γι ν πρστήσουµε τον γενικό δείκτη Ο γενικός ή -στός όρος της κολουθίς είνι ο Στο προηγούµενο πράδειγµ έχουµε Αυτός είνι ο γενικός τύπος της κολουθίς, δηλδή µι σχέση που µς πρέχει άµεσ τον -στό όρο συνρτήσει του δείκτη Στην περίπτωση υτή γράφουµε: η κολουθί,,, (πχ η κολουθί,,, ) ή η κολουθί ( ) ή πιο πλά, η κολουθί ( ) Ας συµπληρώσουµε την ορολογί που θ χρησιµοποιήσουµε στις κολουθίες: Ο επόµενος του όρος είνι προφνώς ο όρος που βρίσκετι στην επόµενη θέση, δηλδή ο + Αν τώρ >, τότε ο προηγούµενος του Στην κολουθί είνι ο όρος, 4,, 4,, 64,, κάθε όρος προκύπτει πό τον προηγούµενο ν τον πολλπλσιάσουµε επί κι στη συνέχει προσθέσουµε το Αυτό συµβολικά µετφράζετι στη σχέση + + Έτσι, ν γνωρίζουµε τον ρχικό όρο (που στην περίπτωσή µς είνι ο ) βρίσκουµε τον επόµενο όρο πό τη σχέση κι τον + 4+ κοκ Λέµε ότι η κολουθί ορίζετι µε βάση την ρχική συνθήκη κι την νδροµική σχέση + + Αν λλάξουµε την ρχική συνθήκη κι θέσουµε πχ 4, τότε διτηρώντς την ίδι νδροµική σχέση +, θ πάρουµε µι άλλη κολουθί: 4,,, 95, +

3 Όριο κολουθίς Θεωρούµε την κολουθί µε γενικό τύπο: + 4( ) + Πρκάτω δίνουµε ένν + πίνκ µε τους ρχικούς όρους της κολουθίς υτής (µε κρίβει 6 δεκδικών):,8574,8 4,4986 5,956 6,7555 7,9644 8,97 9,9764,6554,984,456, ,4 5,997 6,769 7,996 8,8745 9,99459,56 Πρτηρούµε ότι οι όροι της κολουθίς υτής πλησιάζουν ολοέν κι περισσότερο προς τον ριθµό Στην περίπτωση υτή λέµε ότι η κολουθί συγκλίνει στο ή ότι το όριό της είνι ο ριθµός (Ισοδύνµες εκφράσεις: η κολουθί «τείνει» στο ή «προσεγγίζει» το ) Ας δούµε έν άλλο πράδειγµ: b κι b+ b + Με έν πλό πρόγρµµ b µπορούµε ν βρούµε ρκετούς όρους της κολουθίς ( b ) b b,5 b, b 4, b 5, b 6, b 7, b 8, «Φίνετι» ότι η κολουθί ( b ) προσεγγίζει τχύττ κάποιον ριθµό, φού τ ρχικά ψηφί των όρων της στθεροποιούντι πολύ γρήγορ εν γνωρίζουµε όµως ποιος είνι υτός ο ριθµός κι γιτί συµβίνει υτό Με την ριθµοµηχνή του υπολογιστή µς βρίσκουµε ότι, Υπάρχουν λοιπόν κάτι πρπάνω πό βάσιµες υπόνοιες ότι ο ριθµός υτός πρέπει ν είνι ο!! Κι πάλι όµως δεν είµστε σε θέση ν εξηγήσουµε γιτί συµβίνει υτό Επειδή µάλιστ φράσεις όπως «φίνετι», «βάσιµες υπόνοιες» κι άλλ γκρίζ κι σκοτεινά δεν έχουν θέση στ µθηµτικά, θ προσπθήσουµε ν ξεκθρίσουµε το τοπίο

4 Χρειζόµστε ένν κριβή ορισµό του τι σηµίνει «όριο κολουθίς» γι ν µπορούµε ν δουλέψουµε µε σφάλει Μι πρώτη πόπειρ θ ήτν ν πούµε ότι ένς ριθµός είνι όριο µις κολουθίς ( ) ότν η πόστση των όρων της κολουθίς ( ) πό το συνεχώς µικρίνει Αλλά τι πάει ν πει «συνεχώς µικρίνει»; Ίσως ότι η πόστση + του επόµενου όρου + πό το είνι µικρότερη πό την πόστση του πό το ηλδή, + < Ένς τέτοιος «ορισµός» θ ήτν τυχής γι πολλούς λόγους: Θ πέκλειε τις στθερές κολουθίες, επειδή η πόστση των όρων µις τέτοις κολουθίς πό το προφνές όριο είνι στθερή (ίση µε µηδέν) Θ επέτρεπε την ύπρξη πολλών ορίων σε µι κολουθί, κάτι που η διίσθησή µς δεν το επιτρέπει Ας δούµε το πρκάτω σχήµ: 4 5 Στο σχήµ υτό πριστάνοντι ορισµένοι πό τους όρους της κολουθίς,,, Είνι σφές (σύµφων µε το σχήµ) ότι η κολουθί τείνει στο Η πόστση συνεχώς µικρίνει, λλά κι η πόστση των όρων της κολουθίς πό το επίσης µικρίνει!! (κι πό κάθε ριθµό που βρίσκετι δεξιότερ του ) Αλλά το δεν µπορεί ν είνι όριο! Γιτί άργε το δεν µπορεί ν είνι όριο της πρπάνω κολουθίς; Γιτί, µπορεί µεν η πόστση ν µικρίνει, ποτέ όµως δεν γίνετι µικρότερη του (ή πχ του,5) Τίθετι λοιπόν το ρώτηµ: πόσο µικρή πιτείτι ν γίνει η πόστση των όρων της κολουθίς πό το υποψήφιο όριο ; Η πάντηση είνι άµεση: όσο θέλουµε! Τί εννοούµε µε υτό; Εννοούµε ότι όσο µικρή κι ν πιτήσουµε ν γίνει η πόστση, λόγου χάρη, µικρότερη πό ε, (ή κλύτερ, έν σύλληπτ µικρό νούµερο), θ υπάρχει όρος της κολουθίς που ν πέχει πό το πόστση µικρότερη κι πό υτόν τον τόσο µικρό ριθµό ε Άργε µς ρκεί ν βρούµε ένν µόνον τέτοιο όρο; Αν οι επόµενοι όροι δεν πέχουν πό το το πολύ το ίδιο µικρή πόστση, θ είµστε ικνοποιηµένοι; Ας δούµε το εξής πράδειγµ: Η κολουθί ( ),,, πίρνει τις τιµές (γι τ µονά ) κι (γι τ ζυγά ) Μπορούµε ν βρούµε όρους της κολουθίς που ν πέχουν πό το πολύ µικρή πόστση, 4

5 γι την κρίβει ν τυτίζοντι µε το Αλλά τι ν το κάνουµε ότν, πχ ο επόµενος του (ή του 4 ή του 6 ) εκτινάσσετι σε πόστση πό το ίση µε ; Θ πιτήσουµε λοιπόν πό το υποψήφιο όριο: Όσο µικρή πόστση ε > (µεγάλη προσέγγιση) κι ν θεωρήσουµε, θ υπάρχει όρος της κολουθίς ( ) ο οποίος, τόσο υτός όσο κι οι επόµενοι π υτόν όροι, ν πέχουν πό το πόστση µικρότερη πό ε Ορισµός Θεωρούµε µι κολουθί ( ) Έστω ένς πργµτικός ριθµός Θ λέµε ότι η κολουθί ( ) τείνει ή συγκλίνει στο, ότν γι κάθε ε > (οσοδήποτε µικρό) υπάρχει θετικός κέριος, τέτοιος ώστε < ε, γι όλους τους θετικούς κερίους Αυτό το γεγονός το πριστάνουµε συµβολικά ως εξής: Είνι µονδικό το όριο; Η διίσθησή µς λέει ότι το όριο, ν υτό υπάρχει, πρέπει ν είνι µονδικό Ίσως υτό ν φίνετι προφνές, λλά όσο προφνές κι ν φίνετι, θ πρέπει ν πορρέει πό τον ορισµό που µόλις τώρ δώσµε Αυτό θ ενισχύσει την πεποίθησή µς ότι η επιλογή του συγκεκριµένου ορισµού ήτν επιτυχής Στόχος µς λοιπόν είνι ν ποδείξουµε την επόµενη πρότση: Πρότση (Μονδικότητ του ορίου) Έστω ότι κι Τότε Απόδειξη: Μπορούµε ν υποθέσουµε ότι < Θ κτλήξουµε σε άτοπο Γι το λόγο υτό, θεωρούµε έν ε > τέτοιο, ώστε οι περιοχές ( ε, + ε ) κι ( ε, + ε ) ν µην έχουν κοινό σηµείο +ε -ε ε ε -ε +ε 5

6 Εύκολ µπορεί ν δείξει κνείς ότι ο µεγλύτερος τέτοιος ε, όπως φίνετι στο σχήµ, είνι ίσος µε (Το µισό της πόστσης του πό το ) Εφόσον, πό τον ορισµό του ορίου, υπάρχει µε < ε, γι κάθε Οµοίως, υπάρχει µε < ε, γι κάθε Έστω m mx{, } ( ο µεγλύτερος πό τους κι ) Τότε, κάθε όρος της κολουθίς, ο οποίος έπετι του m (δηλδή m), θ έπετι κι του (δηλδή ), κι του (δηλδή ) Εποµένως θ ληθεύουν τυτόχρον οι σχέσεις: < ε κι < ε, δηλδή ( ε, + ε ) κι ( ε, + ε ) Αλλά τ διστήµτ ( ε, + ε ) κι ( ε, + ε ) δεν έχουν κνέν κοινό σηµείο Έτσι πετυχίνουµε λογική ντίφση Με λγεβρικό τρόπο θ µπορούσε κνείς ν πει ότι ε ( ) ( ) + < ε + ε ε, δηλδή ε < ε, άτοπο Πρτήρηση Η προηγούµενη πρότση µς επιτρέπει ν µιλάµε γι το όριο µις κολουθίς κι όχι πλά γι έν όριο υτής Το όριο (ν σφλώς υπάρχει) µις κολουθίς ( ) συµβολίζετι µε lim Πρδείγµτ (πλοί υπολογισµοί ορίων) Ας θεωρήσουµε την κολουθί µε γενικό τύπο Θ ποδείξουµε ότι lim Απόδειξη: Σύµφων µε τον ορισµό που δώσµε, ρκεί ν ποδείξουµε ότι γι κάθε ε > υπάρχει θετικός κέριος µε την ιδιότητ < ε γι κάθε Η σχέση < ε είνι ισοδύνµη µε την < Θεωρούµε τον ελάχιστο θετικό κέριο µε ε υτή την ιδιότητ Όπως γνωρίζουµε, υτός είνι ο + ε, όπου ε είνι το κέριο 6 µέρος του ριθµού ε (Γι πράδειγµ, ν 6 ε,, τότε ε 6

7 ,, οπότε + ε < ε ε κι εποµένως + 4 ε ) Θέτουµε λοιπόν ε < κι εποµένως, ν, θ ισχύει ε ε < < Άρ Τότε Πράγµτι λοιπόν, έχουµε lim Σηµείωση: Μι κολουθί µε όριο το µηδέν λέγετι µηδενική Άρ η κολουθί του πρδείγµτoς είνι µηδενική Ας θεωρήσουµε τις κολουθίες µε γενικούς τύπους ποδείξουµε ότι οι κολουθίες ( β ) κι ( γ ) είνι µηδενικές β κι γ Θ Απόδειξη: ) Η κολουθί ( β ): Αρχικά, θ ποδείξουµε ότι > γι κάθε 4 Γι 4 έχουµε Έστω ότι > Τότε 4 6 κι 4 Άρ η πρότση ισχύει γι 4 ( ) + + > κι άρ η πρότση ισχύει γι κάθε 4 Εποµένως β <, γι κάθε 4 Έστω λοιπόν ε > Από το προηγούµενο πράδειγµ προκύπτει ότι υπάρχει µε την ιδιότητ < ε γι κάθε Αν λοιπόν mx{,4}, τότε θ έχουµε β < < ε γι κάθε β) Η κολουθί ( γ ): Έστω ε > Η σχέση γ < ε είνι ισοδύνµη µε τη σχέση < Θέτουµε ε + ε κι τελειώσµε Ας θεωρήσουµε την κολουθί µε γενικό τύπο δ + Τότε limδ Απόδειξη: Κτ ρχάς έχουµε: δ < < + (+ ) (+ ) ε < Έστω ε > Τότε κι ε > Άρ υπάρχει µε την ιδιότητ < ε γι κάθε 7 7 Εποµένως δ < < 7ε ε, γι κάθε 7

8 Σηµείωση: Αν στο προηγούµενο πράδειγµ πίρνµε ε ντί σχέση της µορφής ορισµό) ήτν δ δ < ε ε ε, θ κτλήγµε σε µι 7 < 7ε Αυτό όµως που έπρεπε ν ποδείξουµε (σύµφων µε τον 4 Ας θεωρήσουµε την κολουθί µε γενικό τύπο d + Τότε lim d Θ δείξουµε ότι η κολουθί υτή είνι µηδενική Απόδειξη: Πρτηρούµε ότι < + + Έστω ε > Επειδή ( ) ( ) + + d κι προφνώς d > (Γιτί + > ) lim, (βλέπε πράδειγµ (β)) υπάρχει µε την ιδιότητ < ε, γι κάθε Άρ κι d d < < ε, γι κάθε 5 Η κολουθί ( ),,, που θεωρήσµε στη σελίδ δεν συγκλίνει Απόδειξη: Πράγµτι, ν η ( ) συνέκλινε σ ένν πργµτικό ριθµό, τότε γι ε, θ υπήρχε µε την ιδιότητ ( ) < γι κάθε Αλλά ν, τότε + θ έχουµε + > Θ ισχύουν λοιπόν οι σχέσεις: ( ) < κι ( ) < Εποµένως ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) < + Αλλά, ( ) ( ) + ( ) ( ( )) ( ) Συνεπώς <, άτοπο Άλυτες σκήσεις Ν ποδείξετε µε τη βοήθει του ορισµού του ορίου ότι οι πρκάτω κολουθίες είνι µηδενικές: i) +, ii)!, iii) + Ν βρείτε µε τη βοήθει του ορισµού του ορίου τ όρι: i) lim +, ii) lim Ν ποδείξετε ότι η κολουθί (( ) ) δεν συγκλίνει, iv) lim ( 4 + ) 8

9 Ορισµός Φργµένες κολουθίες i) Μι κολουθί ( ) λέγετι άνω φργµένη ν υπάρχει κάποιος πργµτικός ριθµός s µε την ιδιότητ s, γι κάθε,, Ο ριθµός s λέγετι άνω φράγµ της κολουθίς ( ) ii) Μι κολουθί ( ) λέγετι κάτω φργµένη ν υπάρχει κάποιος πργµτικός ριθµός t µε την ιδιότητ ( ) t, γι κάθε,, Ο ριθµός t λέγετι κάτω φράγµ της κολουθίς iii) Μι κολουθί ( ) λέγετι φργµένη ν είνι άνω κι κάτω φργµένη, δηλδή υπάρχουν πργµτικοί ριθµοί t κι s µε την ιδιότητ t s, γι κάθε,, Πρτήρηση Το άνω φράγµ, ν υπάρχει δεν είνι µονδικό Αν ο s είνι έν άνω φράγµ, τότε κι κάθε ριθµός µεγλύτερος του s είνι επίσης έν άνω φράγµ της κολουθίς ( ) Οµοίως, το κάτω φράγµ µις κάτω φργµένης κολουθίς δεν είνι µονδικό Πρδείγµτ Η κολουθί,,, είνι άνω φργµένη κι έν άνω φράγµ είνι ο ριθµός Είνι δε κι κάτω φργµένη κι έν κάτω φράγµ είνι το Εποµένως η ( ) είνι φργµένη Η κολουθί b cos,,, είνι φργµένη γιτί cos γι κάθε,, Η κολουθί c,,, είνι κάτω φργµένη (πχ πό το ) εν είνι όµως άνω φργµένη, κθώς το µπορεί ν πάρει οσοδήποτε µεγάλες τιµές 4 Ορισµός Μι κολουθί ( ) λέγετι πολύτως φργµένη ν υπάρχει πργµτικός (µη ρνητικός) ριθµός l µε την ιδιότητ l, γι κάθε,, 9

10 5 Πρότση Μι κολουθί είνι φργµένη ν κι µόνον ν είνι πολύτως φργµένη Απόδειξη: Επειδή l l l, µι πολύτως φργµένη κολουθί είνι φργµένη s t t O s s t -t mx{ s, t } Αποµένει ν δείξουµε ότι µι φργµένη κολουθί είνι κι πολύτως φργµένη Έστω t s, γι κάθε,, Θέτουµε l mx{ s, t } Τότε l t t κι συνεπώς l t Επίσης, l s s Άρ l l l Η επόµενη πρότση συνδέει την έννοι της συγκλίνουσς κολουθίς µε υτήν της φργµένης 6 Πρότση Μι κολουθί που συγκλίνει σ ένν πργµτικό ριθµό είνι φργµένη Απόδειξη: Υποθέτουµε ότι Ας θεωρήσουµε έν ε > (πχ ε ) Τότε υπάρχει µε την ιδιότητ < ε, γι κάθε Εποµένως ε < < ε ε + < < ε +, γι κάθε Έστω l mx{,,, ε, + ε } Αν, τότε l Έστω τώρ Τότε, η σχέση l ε + ε (πό τον ορισµό του l) συνεπάγετι ότι l ε + Αλλά γνωρίζουµε ότι ε + <, γι κάθε Εποµένως l < Οµοίως, έχουµε l + ε + ε >, δηλδή < l Εποµένως l l l 7 Πρτήρηση Το ντίστροφο της πρότσης 6 δεν ισχύει Γι πράδειγµ, η κολουθί ( ),,, είνι φργµένη (εφόσον ) λλά, όπως είδµε στο πράδειγµ 5 δεν συγκλίνει

11 8 Πρδείγµτ Ν ποδειχθεί ότι οι κολουθίες µε γενικούς τύπους + + i) β είνι φργµένες κι ii) ( ) ( ) ( ) Απόδειξη: i) Έχουµε + ( ) + >, γι κάθε,, Εποµένως + +, γι κάθε,, Η ( ) είνι λοιπόν κάτω φργµένη Θ δείξουµε ότι είνι κι άνω φργµένη: Αν σ, γι κάποιον ριθµό σ, τότε σ ( + ) ( σ ) ( σ + ) + σ Γι Θέτουµε σ 6 Θ ποδείξουµε ότι πίρνουµε σ Έχουµε ( + ) 7+ 4 Τώρ, το τριώνυµο x 7x 4 + έχει ρίζες το κι το 4 < Εποµένως, γι θ έχουµε 7+ 4>, ενώ γι έχουµε ii) Ξέρουµε ότι ( ) ( ) ( ) β Εποµένως ( ) ( ) ( ) ( ) β 4 + ( ) + < + ίνοντι οι νδροµικές κολουθίες: + i) + κι ii) κι Ν δειχθεί ότι υτές είνι φργµένες Απόδειξη: i) Κτ ρχάς >, γι κάθε,, Ακόµη, < Έστω < Τότε < + + < + Εποµένως > <, γι κάθε,, ii) Έστω ότι < σ Γι ν είνι το σ έν άνω φράγµ θ πρέπει κι + + < σ Εφόσον + < + σ, ρκεί ν έχουµε: ( σ )( σ + ) σ σ σ σ σ +

12 Θέτουµε λοιπόν σ Πρτηρούµε ότι: < σ Αν τώρ <, τότε + + < + Άρ <, γι κάθε,, Άλυτες σκήσεις ίνοντι οι κολουθίες + + κι β + + ( ),,, Ν 9 δείξετε ότι είνι φργµένες 5 + ίνοντι οι κολουθίες που ορίζοντι πό τις σχέσεις: i) + + 5, κι ii) β + + β, β Ν δείξετε ότι είνι φργµένες 4 Κνόνες υπολογισµού ορίων κολουθιών Το ν υπολογίζει κνείς όρι κολουθιών µε βάση τον ορισµό του ορίου, είνι συνήθως µι ρκετά επίπονη διδικσί Στην πράγρφο υτή θ γνωρίσουµε κάποιους βσικούς κνόνες, οι οποίοι πλουστεύουν τ πράγµτ 4 Πρότση i) Αν γι κάθε,,, τότε lim ii) Αν lim κι lim β β, τότε lim( + β) + β iii) Αν lim iv) Αν lim τότε lim κι λ, τότε lim( λ ) λ Απόδειξη: i) Η πόδειξη είνι άµεση, φού < ε γι κάθε,, ii) Πρτηρούµε ότι ( + β ) ( + β) ( ) + ( β β) + β β Έστω ε > Θ πρέπει ν επιλέξουµε το, ώστε + β β < ε, γι κάθε ρκούντως µεγάλο Αν κθένς πό τους όρους κι β β είνι µικρότερος του ε /, τότε θ έχουµε επιτύχει το επιθυµητό ποτέλεσµ Γι υτό, θέτουµε ε ε /> Εφόσον lim, υπάρχει θετικός κέριος µε < ε, γι κάθε Οµοίως υπάρχει θετικός κέριος µε β β < ε γι κάθε

13 Αν mx{, }, τότε γι κάθε, θ ισχύουν τυτόχρον οι σχέσεις < ε κι β β < ε Με πρόσθεση κτά µέλη πίρνουµε + β β < ε + ε ε, γι κάθε iii) Έστω ε > Τότε υπάρχει θετικός κέριος µε < ε γι κάθε σχέση προκύπτει ότι < ε γι κάθε Από τη iv) Αν λ τότε lim( λ ) lim λ ε Αν λ, θεωρούµε ε > Τότε ε > κι υπάρχει θετικός κέριος µε λ < ε, γι κάθε Εποµένως λ λ λ < λ ε ε, γι κάθε 4 Λήµµ Αν η κολουθί ( ) είνι φργµένη κι η κολουθί ( β ) είνι µηδενική, τότε η κολουθί ( β ) είνι µηδενική Απόδειξη: Εφόσον η ( ) είνι φργµένη, υπάρχει l > µε l γι κάθε,, ε Θεωρούµε έν ε > Τότε ε > Επειδή η ( β ) είνι µηδενική, υπάρχει, τέτοιο l ώστε β < ε, γι κάθε Εποµένως β β < lε ε, γι κάθε 44 Πρότση i) Αν lim κι lim β β, τότε lim( β ) β ii) Αν lim κι lim β β, µε β κι β, τότε lim β β iii) Αν lim, µε, γι κάθε,, κι, τότε lim Γενικότερ, ν είνι ένς στθερός θετικός κέριος, τότε lim Απόδειξη: i) Η ( ) είνι συγκλίνουσ κι άρ φργµένη (πρότση 6) Εφόσον β β, η ( β β ) είνι µηδενική Από το λήµµ 4 συµπερίνουµε ότι lim[ ( β β)] Επίσης, lim[( ) β] β lim[ ] (πρότση 4vi) Εποµένως lim( β β) lim[ ( β β)] + lim[( β ) ] + κι άρ lim( β ) β

14 *[ii) Πρτηρούµε ότι β β Το όριο του ριθµητή είνι β β β β β β ((ii) κι (iv) της πρότσης 4) κι συνεπώς, ο ριθµητής µπορεί ν γίνει όσο θέλουµε µικρός Η ύπρξη όµως του β στον πρνοµστή δηµιουργεί δυσκολίες κθώς, γι ν είνι το κλάσµ µικρότερο του ε, θ πρέπει το β ν είνι µεγλύτερο πό κάποιον ριθµό Ας δούµε το επόµενο σχήµ: β - β / β β / O Εφόσον lim β β, οι όροι της κολουθίς ( β ) συσσωρεύοντι σε έν νοικτό διάστηµ που δεν περιέχει το µηδέν Μι ικνή πόστση πό το µηδέν είνι ο ριθµός β > Εφόσον λοιπόν lim β β, υπάρχει, τέτοιο ώστε β β < β /, γι κάθε Αλλά β β β β β β κι εποµένως β β < β / β /< β, γι κάθε Τώρ συνυπολογίζουµε κι το γεγονός ότι β β Υπάρχει λοιπόν, τέτοιο ώστε β β β ε / < (Η χρήση του συντελεστή β / δικιολογείτι στη συνέχει) Αν λοιπόν, όπου mx{, }, τότε β ε / β β < ε κι β β β β β β τελειώσµε iii) Εδώ δικρίνουµε δύο περιπτώσεις: ) : Έστω ε > Eφόσον,, υπάρχει µε < ε < ε, γι κάθε Άρ lim β) > : Χρησιµοποιούµε την τυτότητ: Αν θέσουµε x κι x y ( x y)( x + x y+ x y + + xy + y ) y, θ πάρουµε: ( )( ) Εφόσον lim, θ υπάρχει, τέτοιο ώστε <, γι κάθε Από τη σχέση υτή πίρνουµε, όπως στο όριο πηλίκου, >, γι κάθε Αν λοιπόν i είνι ένς κέριος πό έως, τότε θ έχουµε: 4

15 >, γι κάθε i i i i i i µεγλώνουµε > τον προνοµστή Εποµένως, , π όπου κι εποµένως, γι κάθε Σχεδόν τελειώσµε! Έστω τώρ ε > Υπάρχει, τέτοιο ώστε < ε, γι κάθε Θέτουµε mx{, } Τότε, γι κάθε θ έχουµε: ε < ε ] Η συνθήκη στο iii) της πρότσης 44 είνι περιττή, όπως προκύπτει πό την επόµενη πρότση: 45 Πρότση Υποθέτουµε ότι β, γι κάθε m κι lim β β, τότε β, όπου m στθερός θετικός κέριος Αν lim β Απόδειξη: Υποθέτουµε ότι < β Θέτουµε ε > (δείτε την πόδειξη της πρότσης ) Εφόσον lim, υπάρχει ένς, τέτοιος ώστε < ε, γι κάθε Πρόµοι, υπάρχει ένς τέτοιος ώστε β β < ε γι κάθε Θέτουµε mx{,, m} Τότε, γι κάθε, θ συνληθεύουν οι σχέσεις: < ε, β β < ε κι β Αλλά, πό τις σχέσεις < ε κι β β < ε προκύπτουν ντίστοιχ οι σχέσεις < + ε κι ε + β < β Εποµένως β > β ε ε β ε Άρ β >, το οποίο όµως είνι άτοπο γιτί ξέρουµε ότι β, γι κάθε m Αν θέσουµε β στην πρότση 45, θ πάρουµε lim Η συνθήκη λοιπόν στο iii) της πρότσης 44 είνι περιττή Η επόµενη πρότση µς επιτρέπει ν συµπεράνουµε τη σύγκλιση µις κολουθίς, ότν υτή εγκλωβίζετι µετξύ δύο ισοσυγκλινουσών κολουθιών 5

16 46 Πρότση (Κριτήριο πρεµβολής) Έστω ότι γ β γι κάθε m, όπου m στθερός θετικός κέριος Υποθέτουµε επίσης ότι κι β Τότε, γ Απόδειξη: Έστω ε > Εφόσον lim, υπάρχει ένς, τέτοιος ώστε < ε γι κάθε Άρ, ν mx{, m}, τότε γ > ε Εφόσον lim β, υπάρχει ένς, τέτοιος ώστε β < ε γι κάθε Άρ γ β β < ε, γι κάθε mx{, m} Αν τώρ mx{,, m} κι, τότε θ ισχύουν τυτόχρον οι σχέσεις γ > ε κι γ < ε, δηλδή ε < γ < ε γ < ε 47 Πρδείγµτ Ν υπολογιστεί το lim, όπου θετικός κέριος Λύση: Έχουµε < Γνωρίζουµε όµως πό το πράδειγµ ότι lim Σύµφων µε το κριτήριο πρεµβολής, θ έχουµε lim cos Ν υπολογιστεί το lim Λύση: Έχουµε cos, γι κάθε,,, δηλδή η κολουθί (cos ) είνι φργµένη Επειδή η κολουθί είνι µηδενική, έπετι ότι κι η κολουθί cos είνι µηδενική cos (λήµµ 4), δηλδή, lim Ν υπολογιστούν τ πρκάτω όρι: 7 4 i) lim , ii) lim + 4 +, iii) 6 + lim, + + iv) lim, v) ( ) lim, vi) lim +, cos + si 4 vii) lim, 4 + viii) lim, ix) 9 + lim 7, 8 + x) lim( ) + +, xi) lim ( + ) xii) lim ( ) + +, lim + xiii) ( ) Λύση: i) Γι ν υπολογίσουµε το όριο lim θ πρέπει ν εφρµόσουµε τον κνόν του πηλίκου Επειδή όµως οι κολουθίες ( 7 + 4) κι ( + ) δεν συγκλίνουν, 6

17 (πειρίζοντι ρνητικά κι θετικά ντίστοιχ) χρειάζετι µι µικρή τροποποίηση στο κλάσµ Έχουµε λοιπόν: lim lim lim Επειδή lim lim, (είνι lim γιτί lim, σύµφων µε το (iv) της πρότσης 4 lim ) lim lim lim + lim + + ii) Την ίδι µέθοδο κολουθούµε κι εδώ: lim + lim + lim lim lim lim lim +, γιτί lim 4+ 4 (πράδειγµ 47) lim lim iii) lim lim lim + lim iv) lim lim lim 9 ( + ) v) Γνωρίζουµε ότι Εποµένως, lim lim ( + ) + ( + ) + + lim lim Σηµείωση: Όπως είδµε στ πρδείγµτ (i)-(v), το όριο ρητής πράστσης του, όπου ο βθµός του ριθµητή κι του προνοµστή είνι ίσοι, είνι ίσο µε το πηλίκο των συντελεστών των µεγιστοβάθµιων όρων ( ) ( ) vi) lim lim Επειδή η κολουθί ( ),,, είνι φργµένη ( ) κι η,,, µηδενική, θ έχουµε lim (λήµµ 4) Εποµένως ( ) lim ( ) lim lim 7

18 cos si 4 cos si 4 + lim + lim cos + si 4 vii) lim lim Επειδή οι κολουθίες lim (cos ) κι (si 4 ) είνι φργµένες κι η µηδενική, θ έχουµε cos si 4 cos + si 4 + lim lim Εποµένως lim Σηµείωση: Αν στο πρπάνω κλάσµ διιρούσµε ριθµητή κι προνοµστή µε το ντί του, τότε, πίρνοντς το όριό τους, κι οι δύο όροι του κλάσµτος θ µηδενίζοντν, µε ποτέλεσµ ν πάρουµε κλάσµ της µορφής που δεν ορίζετι (προσδιοριστί) 4 4 viii) lim lim (πρότση 4 (iii)) Τώρ, lim σύµφων µε τη σηµείωση µετά το πράδειγµ (v) Άρ lim lim ix) lim x) Εδώ εφρµόζουµε το τέχνσµ του πολλπλσισµού µε τη συζυγή πράστση: ( ) ( + ) ( + ) ( + + )( ) lim + + lim ( + ) ( + ) lim lim lim lim lim lim lim lim lim + lim lim lim lim xi) ( ) ( ) ( )( ) lim + lim + lim ( ) lim lim lim lim , 8

19 lim lim + + ( + ) ( ) + xii) + ( + ) ιιρούµε ριθµητή κι προνοµστή µε κι πίρνουµε x y xiii) Εδώ χρησιµοποιούµε την τυτότητ: x y, όπου x + κι y x + xy + y Έχουµε: ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) lim + lim ( + ) lim lim ( ) ( ) ( + ) ( ) lim lim lim lim lim ( ) 4 Ν δειχθεί ότι: lim Απόδειξη: Έχουµε: Επίσης, φορές φορές Πρτηρούµε ότι lim lim κι lim lim Με βάση λοιπόν το κριτήριο πρεµβολής πίρνουµε: 9

20 lim Άλυτες σκήσεις Ν υπολογίσετε τ επόµεν όρι: + i) lim, ii) lim + + +, iii) lim + v) lim( ) iv) lim κι vi) lim ( + ) ( + ) ( ) Ν υπολογίσετε τ επόµεν όρι: 5 i) lim + 6, ii) lim + +, iii) lim iv) 4 lim v) lim + +, vi) + 4 lim, + vii) + 5 lim +, viii) ( ) lim 4 ix) si( ) cos( ) lim 6 x) lim xi) lim + xii) lim , xiv) lim ( ) xiii) lim + ( + ) xv) + 4 lim + Ν βρεθεί το όριο: lim ( + ) ( + ) ( ) 4 Ν βρεθεί το όριο: lim

21 5 Ειδικές µορφές ορίων Η νισότητ του Beroulli (πράδειγµ 85), πίζει σηµντικό ρόλο στον υπολογισµό ορίων ειδικής µορφής 5 Πρότση Υποθέτουµε ότι ο θ είνι ένς πργµτικός ριθµός µε θ > Τότε, γι κάθε,, ισχύει: ( + θ ) + θ 5 Πρότση Έστω x ένς πργµτικός ριθµός µε x < Τότε lim( x ) Απόδειξη: Αν x, τότε x, γι κάθε,, Άρ lim( x ) Έστω x > Εφόσον x < θ έχουµε θετικός Έχουµε: x > Εποµένως ο ριθµός θ είνι x ( + θ ) + θ > θ, σύµφων µε την νισότητ του Beroulli Άρ x < x < Αλλά θ lim lim Με βάση το κριτήριο πρεµβολής, θ θ πίρνουµε lim x Αυτό, π τον ορισµό του ορίου είνι ισοδύνµο µε το ότι lim( x ) 5 Πρδείγµτ ( 5) Ν υπολογιστούν τ όρι: i) lim + 4 κι ii) + + lim ( ) + Λύση: i) lim lim lim + + lim ii) ιιρούµε ριθµητή κι προνοµστή µε τη δύνµη µε τη µεγλύτερη βάση Έχουµε: 5 5 lim lim + ( 5) lim lim ( ) lim 7 7

22 Θεωρούµε την κολουθί ( ), που ορίζετι πό την νδροµική σχέση + + κι την ρχική συνθήκη Ν βρεθεί το όριό της Λύση: Θέτουµε στο διδοχικά τις τιµές,,,, κι πίρνουµε τις επόµενες σχέσεις: Πολλπλσιάζουµε την προτελευτί σχέση µε, την µέσως προηγούµενη µε ( ) προηγούµενη π υτή µε ( ) πολλπλσιάσουµε µε ( ) κι την πρώτη µε ( ), την κτλ, γι ν κτλήξουµε στη δεύτερη σχέση που θ την (Ο κνόνς είνι: ο εκθέτης του συν τον δείκτη του όρου στο δεξί µέλος της ντίστοιχης σχέσης ν ισούτι µε ) Πίρνουµε έτσι τις σχέσεις: ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) + + Προσθέτοντς κτά µέλη κι διγράφοντς τους κοινούς όρους, πίρνουµε Θέτοντς ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + + ( ) + + ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) ντί, πίρνουµε ( ) ( ) ( ) + ( ) + lim( ) lim ) Εποµένως, lim lim( ) + (επειδή ( ) ίνετι η κολουθί ( ), η οποί ορίζετι πό τις σχέσεις: Ν βρεθεί το lim, β κι

23 Λύση: Έχουµε Αν θέσουµε δ +, θ πάρουµε δ + δ δ+ δ Η ( δ ) είνι λοιπόν γεωµετρική πρόοδος µε λόγο κι πρώτο όρο δ β Ο γενικός τύπος της είνι δ ( β ) ( ) + ( ) + + ( ) + δ + δ + + δ + Ακόµη, ( β ) + ( β ) + + ( β ) + ( β ) ( β ) + Συνεπώς lim lim ( β ) + β + ( β ) + ( β ) + 4 ίνετι η κολουθί του Fibocci: κι Ν υπολογιστεί το όριο lim + Λύση: Υπάρχουν διάφορες τεχνικές γι τον υπολογισµό του γενικού όρου µις τέτοις κολουθίς Εµείς εδώ θ επιστρτεύσουµε κάποι στοιχεί Γρµµικής Άλγεβρς Στον τύπο επισυνάπτουµε τον µάλλον «θώο» (κι τετριµµένο) τύπο + +, γι ν πάρουµε το σύστηµ: , το οποίο, σε µορφή πινάκων γράφετι: Αν θέσουµε H κι A, θ πάρουµε την νδροµική σχέση H AH + Ο τύπος υτός µοιάζει µε τον νδροµικό τύπο της γεωµετρικής προόδου, µόνο που, ντί γι ριθµούς έχουµε δινύσµτ κι ντί γι τον λόγο λ, έχουµε τον πίνκ Α Όπως στην γεωµετρική πρόοδο, έτσι κι δω θ πάρουµε (µε µι πλή επγωγή) τον τύπο H A H,

24 όπου H Εποµένως το πρόβληµ νάγετι στον υπολογισµό της δύνµης του πίκ Α, κλσσικό πρόβληµ Γρµµικής Άλγεβρς λ Βρίσκουµε το χρκτηριστικό πολυώνυµο του πίνκ Α: φλ ( ) λ λ µε λ ρίζες ρ κι ρ (Άρ ο πίνκς διγωνιοποιείτι, εφόσον έχει διφορετικές ιδιοτιµές) Αν ρ είνι κάποι πό τις ιδιοτιµές ρ κι ρ, τότε γι το x ντίστοιχο ιδιοδιάνυσµ y θ έχουµε: x ρx ( ρ) x+ y ( ρ) x+ y y ρy x ρy x ρy Από τη η εξίσωση του συστήµτος µε ντικτάστση στην πρώτη πίρνουµε τυτότητ, γιτί ( ρρ ) y+ y ( ρ ρ + ) y ( ρ ρ ) y, εφόσον το ρ είνι ρίζ της εξίσωσης ρ λ λ Η σχέση x ρ y πρέχει τ ιδιοδινύσµτ y, y Συµπερίνουµε ότι ρ ρ ρ ρ ν θέσουµε P, τότε P AP ρ κι άρ A P P ρ ρ Εποµένως, A P P Άρ η σχέση H A H γράφετι ρ + ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρρ ρρ ρ ρ + ρρ ρρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ + ρρ ρρ ρ ( ρ) ( ρ) ρ ρ ρ ρ ( ρ) ( ρ) ρ Εφόσον ρ+ ρ, έπετι ότι ρ ρ κι ρ ρ ρ Εποµένως, ρ κι άρ ρ ρ ρ ρ ( ρ ρ) ρ ρ 5 ρ Προφνώς ρ > ρ κι άρ ρ < Εποµένως, 4

25 ρ ρ ρ ρ ρ ρlim + + ρ ρ + ρ ρ ρ ρ + 5 lim lim lim ρ ρ ρ ρ ρ lim ρ ρ Σηµείωση: Ο ριθµός lim είνι γνωστός πό την ρχιότητ κι πριστάνει τον περίφηµο λόγο της χρυσής τοµής Συµβολίζετι διεθνώς µε το γράµµ φ Έχει πάρ πολλές εφρµογές στην Τέχνη, την Αρχιτεκτονική (πχ οι διστάσεις του Πρθενών έχουν λόγο χρυσής τοµής) λλά κι την ίδι τη φύση (Λέγετι ότι έν νθρώπινο σώµ µε ιδνικές νλογίες χωρίζετι πό τον οµφλό σε λόγο χρυσής τοµής!) Η σύνδεσή του µε την κολουθί του Fibocci µάλλον δεν είνι τυχί Τ µικροσκοπικά νθάκι που ποτελούν το κέντρο της µργρίτς σχηµτίζουν δεξιόστροφες κι ριστερόστροφες ελικοειδείς γρµµές Οι ριθµοί των γρµµών υτών είνι πάντ διδοχικοί όροι της κολουθίς Fibocci! Το ίδιο φινόµενο πρτηρείτι στον κώνο του κουκουνριού, στις φολίδες του κρπού του ννά κι στ φύλλ πολλών δένδρων + 5 Έστω ( ) µι κολουθί µε γι κάθε,, Αν lim <, ν δειχθεί ότι η κολουθί ( ) είνι µηδενική + Απόδειξη: Έστω r lim Τότε r + r < < (Οι σχέσεις r + r < κι r + < προκύπτουν άµεσ πό τη σχέση r < ) r+ r + Αν ε r >, τότε υπάρχει θετικός κέριος µε την ιδιότητ r < ε, + + r + r + γι κάθε Άρ r r < < κι εποµένως r + + <, γι κάθε m r+ r+ r+ Aν λοιπόν, τότε < < < < m Αλλά m m m r+ r+ r+ r+ lim lim Από το m m r+ m < κριτήριο πρεµβολής πίρνουµε lim lim 6 Ν υπολογιστούν τ όρι: i) lim( x ), όπου x < κι ii) lim! Προς τιµή του Φειδί 5

26 Λύση: i) Αν x, τότε προφνώς Έστω x Πρτηρούµε ότι το προηγούµενο πράδειγµ, θ έχουµε: lim( x ) ii) Πρτηρούµε ότι lim! lim( x ) + ( + ) x lim x lim x x + < Σύµφων µε x + ( + )! lim lim Σύµφων µε το πράδειγµ 5, θ έχουµε: +! 7 Έστω ( ) µι κολουθί µε γι κάθε,, Αν lim <, ν δειχθεί ότι η κολουθί ( ) είνι µηδενική r + Απόδειξη: Έστω r lim < Τότε r < < r+ r Αν ε r >, τότε υπάρχει θετικός κέριος µε την ιδιότητ r < ε, r r + r + γι κάθε Άρ r r < < κι εποµένως <, γι κάθε Επειδή r + lim, προκύπτει ότι lim Άλυτες σκήσεις Ν υπολογιστούν τ όρι: lim 5 κι lim Ν βρείτε τ όρι της κολουθιών που ορίζοντι π τις σχέσεις: i) +, κι β + 7 ii) β +, β 5 ίνετι η κολουθί: + +, κι Αφού βρείτε το γενικό της τύπο ν υπολογίσετε το όριό της 4 ίνετι η κολουθί: , Ν υπολογίσετε το όριο lim + 5 Ν υπολογιστούν τ όρι: lim 4, (!) lim ( )!,! lim (!) κι lim 6 Υποθέτουµε ότι η κολουθί ( ) ικνοποιεί την νδροµική σχέση Ν δείξετε ότι υτή είνι µηδενική 6

27 54 Πρότση i) Έστω ένς θετικός πργµτικός ριθµός Τότε lim( ) ii) Ισχύει lim( ) Απόδειξη: i) Αρχικά υποθέτουµε ότι Εποµένως, γι κάθε,, Θέτουµε θ Αρκεί ν δείξουµε ότι limθ Από τη σχέση θ πίρνουµε + θ κι άρ ( + θ ) Εφρµόζουµε τώρ την νισότητ Beroulli κι πίρνουµε: ( + θ) + θ > θ Άρ θ < Αλλά lim οπότε, πό το κριτήριο πρεµβολής προκύπτει lim θ Έστω τώρ ότι < < Τότε > Εποµένως lim Αλλά lim lim ii) Έχουµε κι εποµένως, Προσοχή! εν θέτουµε τώρ θ, λλά πρτηρούµε πρώτ ότι Τώρ θέτουµε θ Από τη σχέση θ πίρνουµε ( + θ) + θ > θ Εποµένως θ < Αλλά lim οπότε, πό το κριτήριο πρεµβολής πίρνουµε limθ Συνεπώς lim lim lim (Τι θ συνέβινε ν είχµε θέσει θ, κι άρ ( ) ντί θ ;) 55 Πρδείγµτ Ν υπολογιστούν τ όρι: i) lim +, ii) + + κι iii) lim lim Λύση: i) + + ( ) Αλλά + ( ) Επίσης, lim ii) + +, οπότε, πό το κριτήριο πρεµβολής, lim lim ( ) + + < Ακόµη, + + ( ) > γι Τελικά έχουµε: 5 < + + <, γι κάθε Υπολογίζουµε τ όρι lim 5 κι lim 7

28 ( ) κι lim lim lim Από το κριτήριο lim 5 lim 5 lim πρεµβολής προκύπτει ότι κι lim + + iii) Εφρµόζουµε το κριτήριο λόγου (πράδειγµ 55) < Εποµένως lim lim + + / + ( )/ lim Υποθέτουµε ότι η κολουθί ( ) τείνει στο Τότε κι ο ριθµητικός µέσος τείνει κι υτός στο *Απόδειξη: Έστω ε > Επειδή lim, υπάρχει µε <, γι κάθε Εποµένως, ν τότε ( ) + ( ) + + ( ) + ( + ) + + ( ) ( ) ε + < + < + + ε + + < + Αλλά lim Υπάρχει λοιπόν µε + + ε την ιδιότητ <, γι κάθε Έστω τώρ mx{, } + + ε ε ε Τότε, γι κάθε θ έχουµε: < + < + ε ε Ν βρεθεί το όριο lim Λύση: Είνι lim Σύµφων µε τo προηγούµενο πράδειγµ, έχουµε lim x 4 Αν lim( x+ x) ν ποδειχθεί ότι κι lim ( x x) + ( x x) + + ( x+ x) Λύση: Με βάση πράδειγµ 55, lim Αλλά ( x x) + ( x x) + + ( x+ x) x+ x+ x x+ x+ lim lim lim + lim lim x Άρ lim + κι x x+ x lim lim + + lim lim + 8

29 5 Υποθέτουµε ότι η κολουθί ( ) ποτελείτι πό θετικούς όρους κι τείνει στο > Τότε κι ο γεωµετρικός µέσος γ τείνει στο Απόδειξη: Εφόσον, έχουµε Με βάση πράδειγµ 55, κι εποµένως Από την νισότητ του Cuchy έχουµε: Επειδή lim πίρνουµε lim lim, πό το κριτήριο πρεµβολής! 6 Ν βρεθεί το όριο lim 59 (4 + )! Λύση: 59 (4 + ) Αλλά lim 4, οπότε, σύµφων µε το πράδειγµ 555 κι ο γεωµετρικός µέσος ! τείνει στο 4 Εποµένως lim 59 (4 + ) lim 4 Άλυτες σκήσεις Ν υπολογίσετε τ όρι: i) lim, ii) lim , iii) iv) lim κι v) lim + 5 lim, [( )!] Ν υπολογίσετε τ όρι: lim κι 4 lim + + Ν υπολογίσετε τ όρι: i) lim , ii) lim 69 () ( + )! 9

ΣΥΝΟΛΑ Σηµείωση. Γράφουµε νν ντί του ν κι µόνον ν.. Προλεγόµεν. Σε ότι κολουθεί, ο νγνώστης θ έρθει σε επφή µε έννοιες πό την Μθηµτική Λογική, την Θεωρί Συνόλων, κι την Άλγεβρ. Σύµφων µε την Πλτωνική ντίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΞΕΠΑΠΑΔΕΑΣ ΓΙΑΝΝΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν Α κι Β είνι δύο σύνο ν ποδείξετε ότι Α Β c BB Α c B Εφρμόζοντς την επιμεριστική ιδιότητ της ένωσης

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Άλγερα και πράξεις: (ή το µυστικό της επιτυχίας) - Όταν ένα γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Νώντας Κεχαγιάς Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Ιωαννίνων Ιωάννινα, 2008 ii Περιεχόµενα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...................... vii 1.1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΥΤΕΡΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ......... vii

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 3 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 3

Διαβάστε περισσότερα

Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις

Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις Κεϕάλαιο 1 Προτάσεις, Σύνολα, Απεικονίσεις Το κεϕάλαιο αυτό είναι εισαγωγικό και έχει σκοπό να υπενθυµίσει και να γενικεύσει κάποιες εν µέρει γνωστές έννοιες καθώς και τη σχετική ορολογία και το συµβολισµό.

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατική ανάλυση Κεφάλαιο 1 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα

ιανυσµατική ανάλυση Κεφάλαιο 1 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα Κεφάλαιο 1 ιανυσµατική ανάλυση 1.1 ιανυσµατική άλγεβρα 1.1.1 Πράξεις µε διανύσµατα Αν περπατήσετε 4 µίλια προς τον βορρά και µετά 3 µίλια προς την ανατολή (Σχ. 1.1), θα έχετε διανύσει συνολικά 7 µίλια,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Υλικών Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Νίκος Λαζαρίδης Για το µάθηµα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά (ΤΕΤΥ 116) Αναθεώρηση, συµπληρώσεις : Μαρία Καφεσάκη 1 Κεφάλαιο 1: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95

Αθ.Κεχαγιας. Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Θ. Κεχαγιας. Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Σηµειωσεις Αναλυτικης Γεωµετριας Θ. Κεχαγιας Σεπτεµβρης 2009, υ.0.95 Περιεχόµενα Εισαγωγη 1 Επιπεδα στον Τρισδιαστατο Χωρο 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Λυµενες Ασκησεις..............................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α] ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: ΟΙ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α] ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: ΟΙ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α] ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: ΟΙ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β] ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: Mathematics The Man Made Universe, SHERMAN K. STEIN, 1963 Α] ΒΑΒΥΛΩΝΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2-1 ΚΑΠΟΙΑ ΙΣΤΟΡΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014

Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήσ τος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Σημειώσεις μαθήματος Μ1113 Επίπεδο και Χώρος Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Εισαγωγή Θα συμπληρωθεί 1 Κεφάλαιο 1 Γεωμετρικά διανύσματα στο επίπεδο Ενα γεωμετρικό διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων

1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων . Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Με σκοπό την καλύτερη μελέτη τους και ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους, τα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ & ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Δρ. ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΜΠΑΚΑΡΕΖΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΓΕΘΟΣ ΣΥΜΒΟΛΟ ΜΟΝΑΔΕΣ S.. Φορτίο, q oulomb, Ηλεκτρικό ρεύμα, i Ampére, A Ηλεκτρικό δυναμικό olt, Ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικά και Κλασσικά Ανάλογα της Σύγχρονης Φυσικής

Μηχανικά και Κλασσικά Ανάλογα της Σύγχρονης Φυσικής ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Μεταπτυχιακή Ειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστηµών ιπλωµατική Εργασία της Ευθυµίας- Βικτωρίας Σιούτα Σύµβουλος Καθηγητής: ΣΠΥΡΟΣ ΕΥΣΤ. ΤΖΑΜΑΡΙΑΣ Μηχανικά και Κλασσικά Ανάλογα

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

= A. 2 z1 ( 1. γνωστός ως κύκλος του Απολλωνίου.

= A. 2 z1 ( 1. γνωστός ως κύκλος του Απολλωνίου. ΤΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟ ΕΠΙΠΕ Ο Επί του επιπέδου θεωρούµε ένα ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων Oxy, και σε κάθε σηµείο P(x, y) του επιπέδου αντιστοιχίζουµε τον µιγαδικό αριθµό = x+ y Η αντιστοιχία αυτή είναι µία ένα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σηµειώσεις Φυσικής Γ Λυκείου

Πρόχειρες Σηµειώσεις Φυσικής Γ Λυκείου Πρόχειρες Σηµειώσεις Φυσικής Γ Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου MSc Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης 2η Εκδοση - Ιούλης 2013 2 Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου Περιεχόµενα 1 Ταλαντώσεις

Διαβάστε περισσότερα