Παλεπηζηήκην Παηξψλ-Σκήκα Μαζεκαηηθψλ. Πξνπηπρηαθή Γηπισκαηηθή Δξγαζία. Θέκα: Ακέραιος Προγραμμαηιζμός
|
|
- Παμφιλος Αλαβάνος
- 10 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Παλεπηζηήκην Παηξψλ-Σκήκα Μαζεκαηηθψλ Πξνπηπρηαθή Γηπισκαηηθή Δξγαζία Θέκα: Ακέραιος Προγραμμαηιζμός Φνηηήηξηα: Ρσκαιέα Ρεληδή Δπηβιέπσλ θαζεγεηήο: Νίθνο Σζάληαο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 1
2 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 2
3 Πεξηερφκελα Πεξίιεςε... 5 Δηζαγσγή... 6 Ιςτορικι Αναδρομι... 6 Επιχειρθςιακι Ζρευνα... 6 Γραμμικόσ Προγραμματιςμόσ... 6 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ... 7 Μακθματικά Μοντζλα... 8 Πρακτικά Προβλιματα Ακεραίου Προγραμματιςμοφ Δυςκολίεσ και προβλιματα ςτθν επίλυςθ π.α.π Κυριότερεσ τεχνικζσ Μέζνδνο Κιάδνπ-Φξαγήο Λογικό διάγραμμα τθσ μεκόδου κλάδου-φραγισ Προβλιματα Πρόβλθμα 1: Ζνα π.α.π 2 μεταβλθτών Πρόβλθμα 2: Ζνα μικτό π.α.π. μεγιςτοποίθςθσ 2 μεταβλθτών Πρόβλθμα 3: Ζνα π.α.π. μεγιςτοποίθςθσ 4 μεταβλθτών Πρόβλθμα 4: Ζνα μικτό π.α.π. μεγιςτοποίθςθσ 4 μεταβλθτών Πρόβλθμα 5: Ζνα 0-1 π.α.π. μεγιςτοποίθςθσ 4 μεταβλθτών Πρόβλθμα 6: Ζνα μικτό π.α.π. ελαχιςτοποίθςθσ 5 μεταβλθτών Πρόβλθμα 7: Τελικό πρόβλθμα Μέζνδνη πεξηνξηζκνχ ηνπ εθηθηνχ ρψξνπ Κιαζκαηηθνί Αιγφξηζκνη Ειςαγωγικά Αλγόρικμοσ Simplex Αλγόρικμοσ Δυικισ Simplex Αλγόρικμοσ Δυικισ Simplex με νζο ςυμβολιςμό Δυικόσ κλαςματικόσ ακζραιοσ προγραμματιςμόσ Ο αλγόρικμοσ τθσ μεκόδου Ιδιότθτεσ των περιοριςμών του Gomory Δυικόσ κλαςματικόσ μικτόσ ακζραιοσ προγραμματιςμόσ Ο αλγόρικμοσ τθσ μεκόδου Ιδιότθτεσ των περιοριςμών του Gomory Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 3
4 Αθέξαηνη Αιγφξηζκνη Ειςαγωγικά Δυικόσ ακζραιοσ προγραμματιςμόσ Ο αλγόρικμοσ τθσ μεκόδου Ιδιότθτεσ των περιοριςμών του Gomory Πρωτεφον ακζραιοσ προγραμματιςμόσ Ο αλγόρικμοσ RPA Ο αλγόρικμοσ SPA Βηβιηνγξαθία Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 4
5 ΠΔΡΙΛΗΦΗ Ο Αθέξαηνο Πξνγξακκαηηζκφο είλαη θιάδνο ηνπ Γξακκηθνχ Μαζεκαηηθνχ Πξνγξακκαηηζκνχ, θαη απνηειεί ηκήκα ηεο ζπλδηαζηηθήο βειηηζηνπνίεζεο. ηφρνο ηεο ρξήζεο ηνπ είλαη ε βειηηζηνπνίεζε ζπζηεκάησλ παξαγσγήο ή δηνίθεζεο. Ο Αθέξαηνο Πξνγξακκαηηζκφο ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ επίιπζε πξαθηηθψλ πξνβιεκάησλ, φπσο: Υξνλνδηαγξάκκαηα (Scheduling) ρεδηαζκφο παξαγσγήο Παξάιιειε εθηέιεζε εξγαζηψλ Σειεπηθνηλσλίεο Μπνξεί λα θαίλεηαη φηη ηα πξνβιήκαηα αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ είλαη εχθνιν λα ιπζνχλ. Παξ φι απηά, θάηη ηέηνην δελ ηζρχεη, δηφηη νη αζηξνλνκηθά κεγάινη αθέξαηνη αξηζκνί, θαζψο επίζεο θαη ε ζηξνγγπινπνίεζε θαη αθαίξεζε κε αθεξαίσλ ιχζεσλ απφ έλα πξφβιεκα γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ νδεγνχλ ζε πξνβιήκαηα θαη ιαλζαζκέλα ζπκπεξάζκαηα. Οη θπξηφηεξεο ηερληθέο Αθεξαίνπ Πξνγξακκαηηζκνχ είλαη νη εμήο: Μέζνδνο θιάδνπ θαη θξαγήο (Branch and Bound) Σερληθέο πεξηνξηζκνχ ηνπ εθηθηνχ ρψξνπ (Cutting Planes) Μέζνδνη απαξίζκεζεο Γηακεξηζηηθνί αιγφξηζκνη Αιγφξηζκνη βαζηζκέλνη ζηε ζεσξία νκάδσλ (Gomory) Ζ πξνπηπρηαθή απηή δηπισκαηηθή εξγαζία έρεη ζηφρν λα παξνπζηάζεη δχν απφ απηέο ηηο ηερληθέο ιεπηνκεξψο, ηελ κέζνδν θιάδνπ θαη θξαγήο θαη ηερληθέο πεξηνξηζκνχ ηνπ εθηθηνχ ρψξνπ, θαη λα θάλεη θαηαλνεηή ηε ρξεζηκφηεηα ησλ αιγνξίζκσλ απηψλ κέζα απφ παξαδείγκαηα πνπ αθνξνχλ πξνβιήκαηα αθέξαηνπ πξνγξακκαηηζκνχ. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 5
6 ΔΙΑΓΧΓΗ Ηζηνξηθή αλαδξνκή Δπηρεηξεζηαθή Έξεπλα Ζ Δπηρεηξεζηαθή Έξεπλα γελλήζεθε θαηά ηε δηάξθεηα ηνπ Β Παγθνζκίνπ Πνιέκνπ, φπνπ γηα πξψηε θνξά εθαξκφζζεθαλ επηζηεκνληθέο κέζνδνη γηα ηε βέιηηζηε θαηαλνκή ησλ ζηξαηεπκάησλ θαη εθνδίσλ ζηνλ επξσπατθφ ρψξν, έηζη ψζηε λα ειαρηζηνπνηεζεί ν ρξφλνο πξφζβαζεο ζηηο εζηίεο ησλ καρψλ θαη λα βειηησζεί γεληθά ν ζπληνληζκφο ηνπ πνιέκνπ. Ολνκάζζεθε ζηελ αγγιηθή γιψζζα Operations Researh (USA) ή Operational Research (Αγγιία), θαη ζήκαηλε έξεπλα ζηξαηησηηθψλ επηρεηξήζεσλ ή αιιηψο έξεπλα πνιέκνπ. Πεξηερφκελφ ηεο ζήκεξα είλαη ε κειέηε θαη επίιπζε ησλ εκπνξηθψλ πξνβιεκάησλ ησλ ζεκεξηλψλ επηρεηξήζεσλ. Γξακκηθφο Πξνγξακκαηηζκφο Ο Γξακκηθφο Πξνγξακκαηηζκφο είλαη ε ηερληθή κε ηελ νπνία γίλεηαη ε βέιηηζηε θαηαλνκή ησλ πεπεξαζκέλνπ πιήζνπο πφξσλ ζε δξαζηεξηφηεηεο. Ζ θχξηα κέζνδνο επίιπζεο πξνβιεκάησλ γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ είλαη ε κέζνδνο Simplex, ε νπνία δεκηνπξγήζεθε ην 1947 απφ ηνλ G.B. Dantzig, θαη απνηέιεζε ην πην ζεκαληηθφ απνηέιεζκα ζην ρψξν ηεο επηρεηξεζηαθήο έξεπλαο. Παξ φια απηά, ν Dantzig δελ ηηκήζεθε κε βξαβείν Νφκπει, δηφηη ε Αθαδεκία Δπηζηεκψλ ηεο νπεδίαο ζεψξεζε φηη ην έξγν ηνπ είλαη πνιχ καζεκαηηθφ γηα λα ηηκεζεί κε Νφκπει Οηθνλνκίαο, θαη σο γλσζηφ δελ απνλέκεηαη βξαβείν Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 6
7 καζεκαηηθψλ. Σν 1976 ε Αθαδεκία Δπηζηεκψλ ησλ Ζ.Π.Α. ηνπ απέλεηκε ην Εθνικό Μεηάλλιο Επιζηημών. Ζ κνξθή ελφο πξνβιήκαηνο γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ είλαη ε εμήο: Max z = φηαλ = = = 0, j = 1,...,n φπνπ,, είλαη ηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο, θαη νη κεηαβιεηέο απνηεινχλ ηνπο αγλψζηνπο ηνπ πξνβιήκαηνο, γηα i = 1,...,m, j = 1,...,n φηαλ πξφθεηηαη γηα πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο, ελψ γηα πξφβιεκα ειαρηζηνπνίεζεο γξάθνπκε ζηε ζέζε ηνπ max ην min, θαη φια ηα ππφινηπα κέλνπλ σο έρνπλ. Αθέξαηνο Πξνγξακκαηηζκφο Ο αθέξαηνο πξνγξακκαηηζκφο, φπσο θαη ν γξακκηθφο θαη ν δηθηπσηφο είλαη ηκήκαηα ηεο ζσνδιαζηικής βεληιζηοποίηζης (combinatorial optimization). Σα αληηθείκελα πνπ εμεηάδνληαη ζε ηέηνηνπ είδνπο πξνβιήκαηα είλαη πεπεξαζκέλνπ αιιά ζπρλά πνιχ κεγάινπ πιήζνπο. Ο γξακκηθφο πξνγξακκαηηζκφο θαιχπηεη έλα επξχ ζχλνιν πξνβιεκάησλ, φκσο ππάξρνπλ θαη πξνβιήκαηα πνπ γηα λα έρεη λφεκα ε ιχζε ηνπο, πξέπεη φιεο ή κέξνο ησλ κεηαβιεηψλ ηνπο λα παίξλνπλ Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 7
8 αθέξαηεο ηηκέο. Γηα παξάδεηγκα, ζε φ,ηη έρεη λα θάλεη κε αλζξψπηλν δπλακηθφ, κεραλήκαηα ή νρήκαηα, δελ κπνξνχκε λα πξνηείλνπκε κε αθέξαηεο ιχζεηο, δηφηη θαλέλα απφ ηα παξαπάλσ δελ κπνξεί λα ππνδηαηξεζεί ζε φκνηα. Αλ ν πεξηνξηζκφο πνπ ζέηνπκε, φιεο νη κεηαβιεηέο λα είλαη αθέξαηεο, είλαη ν κφλνο ιφγνο γηα ηνλ νπνίν δηαθνξνπνηείηαη ζηε δηαηχπσζε έλα πξφβιεκα γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ (π.γ.π.), ηφηε ην πξφβιεκα απηφ νλνκάδεηαη πξφβιεκα αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ (παπ). Σν δε π.γ.π. νλνκάδεηαη αληίζηνηρν γξακκηθφ πξφβιεκα ραιάξσζεο (γ.π.ρ.). Μαζεκαηηθά κνληέια Σν καζεκαηηθφ κνληέιν ηνπ π.α.π. είλαη ην ίδην κε ην κνληέιν ηνπ π.γ.π., κε ηελ πξνζζήθε ηνπ επηπιένλ πεξηνξηζκνχ νη κεηαβιεηέο λα είλαη αθέξαηεο. Αλ ν πεξηνξηζκφο απηφο πθίζηαηαη κφλν γηα θάπνηεο απφ ηηο κεηαβιεηέο ηνπ πξνβιήκαηνο, ελψ γηα φιεο ηηο ππφινηπεο κεηαβιεηέο ηζρχεη ε αξρή ηεο δηαηξεηφηεηαο (δερφκαζηε θιαζκαηηθέο ιχζεηο), ην κνληέιν αλαθέξεηαη σο κεηθηφο αθέξαηνο πξνγξακκαηηζκφο (κ.α.π.). Σν κνληέιν π.α.π. είλαη ην αθφινπζν: Max z = φηαλ = = = 0, j = 1,...,n αθέξαηνη, j = 1,...,n Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 8
9 θαη δηαθνξνπνηείηαη ειάρηζηα ζηελ πεξίπησζε πξνβιήκαηνο κεηθηνχ αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ σο εμήο: Max z = φηαλ = = = 0, j = 1,...,n αθέξαηνη γηα θάπνηα j Σν πξψην κνληέιν, γηα λα ην μερσξίδνπκε απφ ην δεχηεξν, ζα ην ιέκε γλήζην/θαζαξφ (pure) π.α.π. Ίζσο ε κεγαιχηεξεο ζεκαζίαο πεξηνρή εθαξκνγήο ηνπ αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ (Α.Π.) είλαη ηα πξνβιήκαηα απφθαζεο λαη ή φρη. Γηα παξάδεηγκα, ζα πξέπεη λα γίλεη κηα ζπγθεθξηκέλε επέλδπζε; Οη κεηαβιεηέο πνπ νξίδνληαη γηα ηελ επίιπζε ηέηνηνπ είδνπο πξνβιεκάησλ παίξλνπλ ηηο ηηκέο αληίζηνηρα 1 ή 0. Έηζη, ε j λαη ή φρη απφθαζε ζπκβνιίδεηαη κε θαη έρνπκε: = { ν ν ν ν ν Απηέο νη κεηαβιεηέο θαινχληαη 0-1 κεηαβιεηέο, θαη ηα π.α.π. πνπ πεξηέρνπλ κφλν 0-1 κεηαβιεηέο θαινχληαη 0-1 πξνβιήκαηα αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ (0-1 π.α.π.). Αλ κφλν θάπνηεο απφ ηηο κεηαβιεηέο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 9
10 παίξλνπλ δπαδηθέο ηηκέο, ελψ νη ππφινηπεο δελ έρνπλ ηέηνην πεξηνξηζκφ, ην πξφβιεκα ιέγεηαη κεηθηφ πξφβιεκα 0-1 αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ (0-1 κ.π.α.π.). Σν κνληέιν ελφο 0-1 παπ είλαη ην: Max z = φηαλ = = = 0, j = 1,...,n ={, j = 1,...,n Πξαθηηθά πξνβιήκαηα αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ 1. Υξνλνδηάγξακκα ηξαίλνπ Γξνκνιφγηα ηξαίλσλ επαλαιακβάλνληαη αλά ζπγθεθξηκέλν ρξνληθφ δηάζηεκα, θαη γλσξίδνπκε ην ρξφλν πνπ απέρνπλ κεηαμχ ηνπο νη ζηαζκνί θαη ην ρξφλν δηαιείκαηνο ζε θάζε ζηαζκφ, θαη δεηάκε ηε δηαθνξά ηνπ ρξφλνπ αλαρψξεζεο δχν ηξαίλσλ απφ ηελ αθεηεξία, ψζηε λα γίλεηαη ε αληαπφθξηζε ησλ επηβαηψλ κε επηηπρία θαη ηαπηφρξνλα λα κελ ππάξρεη κεγάινο ρξφλνο αλακνλήο. 2. Υξνλνδηάγξακκα πιεξψκαηνο αεξνπνξηθήο εηαηξίαο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 10
11 Γνζέληνο ηνπ πξνγξάκκαηνο πηήζεσλ θαη αλ γλσξίδνπκε φηη ππάξρνπλ πεξηνξηζκνί φζσλ αθνξά ζηνλ αξηζκφ ηνπ πιεξψκαηνο, ηηο ζπλνιηθέο ψξεο εξγαζίαο ηνπο, ηηο ψξεο μεθνχξαζεο, ηε ζπλνιηθή δηάξθεηα πηήζεσλ θ.ν.θ., ζηφρνο καο είλαη ε ειαρηζηνπνίεζε ηνπ κηζζνχ ηνπ πιεξψκαηνο. 3. ρεδηαζκφο παξαγσγήο ηε ζπλάληεζε ησλ ζηειερψλ κηαο εηαηξίαο πξέπεη λα απνθαζηζηεί ε πνζφηεηα πξντφλησλ πνπ ζα παξαρζνχλ απφ έλα ζχλνιν 100 πξντφλησλ, πνπ παξάγνληαη ζε 4 δηαθνξεηηθά εξγνζηάζηα θαη δηαλέκνληαη ζε 20 κεγάιεο πφιεηο, έηζη ψζηε λα κεγηζηνπνηεζνχλ ηα θέξδε ηεο εηαηξίαο. 4. Παξαγσγή ειεθηξηθήο ελέξγεηαο Γηαζέηνπκε γελλήηξηεο παξαγσγήο ειεθηξηθνχ ξεχκαηνο θαη ζέινπκε λα βξνχκε ην βέιηηζην ζρέδην ιεηηνπξγίαο ηνπο, ψζηε λα θαιχπηεηαη ε ζπλνιηθή δήηεζε ησλ γχξσ πεξηνρψλ, λα ππάξρεη ε δπλαηφηεηα θάιπςεο ησλ αλαγθψλ ζε πεξίπησζε μαθληθήο αχμεζεο ηεο δήηεζεο, θαη ε δπλαηφηεηα αληηθαηάζηαζεο ζε πεξίπησζε βιάβεο ρσξίο επηπηψζεηο ζηελ ζπλνιηθή δηάζεζε ξεχκαηνο. 5. Σειεπηθνηλσλίεο Με ηελ ζπλερή άπμεζε ηεο δήηεζεο γηα κεηαθνξά δεδνκέλσλ θαη ήρνπ, θαη έρνληαο εθηηκήζεηο γηα ηηο απαηηήζεηο, ηνλ αξηζκφ ησλ ππαξρνπζψλ ζέζεσλ θαη ην θφζηνο εγθαηάζηαζεο λέσλ ζέζεσλ, επηδεηνχκε ηελ ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θφζηνπο, ιακβάλνληαο πάληα ππ φςε καο ηελ πηζαλφηεηα βιάβεο. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 11
12 6. Λεσθνξεία γηα άηνκα κε εηδηθέο αλάγθεο (Dial-a-Ride) Εεηάκε έλαλ βέιηηζην πξνγξακκαηηζκφ ησλ δξνκνινγίσλ ησλ ιεσθνξείσλ, γηα ηε κεηαθνξά ηνπ κέγηζηνπ αξηζκνχ αηφκσλ κε εηδηθέο αλάγθεο απφ έλα κέξνο ζε έλα άιιν ζε ζπγθεθξηκέλν ρξφλν. 7. Δδαθηθή παξακνλή αεξνζθάθνπο Έρνληαο ζηε δηάζεζή καο κηα ιίζηα αεξνδξνκίσλ, πηήζεσλ, θαηξηθψλ ζπλζεθψλ γηα θάπνηεο κέξεο, θαη ιακβάλνληαο ππ φςε ηνλ αξηζκφ ησλ επηβαηψλ θνθ, ζηφρνο είλαη ε ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θφζηνπο απφ ηε κε απνγείσζε ησλ αεξνζθαθψλ θαη ηεο δπζαλαζρέηεζεο ησλ επηβαηψλ. 8. Πξνβιήκαηα θνςίκαηνο Σν πξφβιεκα είλαη λα αθνινπζεζνχλ επαθξηβψο ζπγθεθξηκέλνη θαλφλεο θνςίκαηνο (ραξηηνχ απφ ξνιά, πιαζηηθνχ, θαζφλ απφ ξνχρα), ψζηε λα ηθαλνπνηεζεί ε δήηεζε θαη λα ειαρηζηνπνηεζνχλ ηα πεξηζεχκαηα. Γπζθνιίεο θαη πξνβιήκαηα ζηελ επίιπζε π.α.π. Μπνξεί λα θαίλεηαη φηη ηα πξνβιήκαηα αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ είλαη πνιχ εχθνιν λα ιπζνχλ, αθνχ ηα πξνβιήκαηα γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ κπνξνχλ λα ιπζνχλ πνιχ απνηειεζκεηηθά κε ηε κέζνδν Simplex, θαη ε κφλε δηαθνξά ηνπο κε ηα π.α.π. είλαη φηη ηα π.α.π. έρνπλ πνιχ ιηγφηεξεο ιχζεηο, αθνχ πεξηνξηδφκαζηε κφλν ζε αθέξαηνπο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 12
13 αξηζκνχο. Απνδεηθλχεηαη, κάιηζηα, φηη γλήζηα π.α.π. κε νξηνζεηεκέλεο εθηθηέο πεξηνρέο έρνπλ πεπεξαζκέλν αξηζκφ εθηθηψλ ιχζεσλ. ε απηή ηελ αηηηνιφγεζε ππάξρνπλ δχν κεγάιεο απάηεο. Σν γεγνλφο φηη ν αξηζκφο ησλ εθηθηψλ ιχζεσλ είλαη πεπεξαζκέλνο δελ ζεκαίλεη φηη έλα π.α.π. είλαη επηιχζηκν, δηφηη νη πεπεξαζκέλνη αξηζκνί κπνξεί λα είλαη αζηξνλνκηθά κεγάινη. ηελ απιή πεξίπησζε ησλ 0-1 π.α.π., κε n κεηαβιεηέο ππάξρνπλ ιχζεηο. Καηά ζπλέπεηα, θάζε θνξά πνπ ν αξηζκφο n ησλ κεηαβιεηψλ απμάλεηαη θαηά κία κνλάδα, ν αξηζκφο ησλ ιχζεσλ δηπιαζηάδεηαη. Απηφ αλαθέξεηαη σο εθζεηηθή αχμεζε ηεο δπζθνιίαο ηνπ πξνβιήκαηνο, θαη είλαη ε κία απφ ηηο δχν απάηεο. Κάηη ηέηνην θαζηζηά ζρεδφλ αδχλαηε ηε ιχζε πξνβιεκάησλ κε πάλσ απφ 100 αθέξαηεο ή δπαδηθέο κεηαβιεηέο, αθνχ γηα n=10 ππάξρνπλ πάλσ απφ ιχζεηο (1.024), γηα n=20 ππάξρνπλ πάλσ απφ 1 εθαηνκκχξην θ.ν.θ., θαη ζίγνπξα αθφκα θαη νη πην γξήγνξνη ππνινγηζηέο δελ κπνξνχλ λα αληαπεμέιζνπλ ζε ηέηνηνπο αζηξνλνκηθνχο ππνινγηζκνχο. Ζ δεχηεξε απάηε ζε φιε απηή ηελ ηζηνξία είλαη φηη αθαηξψληαο ηηο κε αθέξαηεο εθηθηέο ιχζεηο απφ έλα π.γ.π., ζα γίλεη πην εχθνιν ζηε ιχζε. Αληηζέησο, ε χπαξμε φισλ απηψλ ησλ κε αθεξαίσλ ιχζεσλ είλαη πνπ εγγπάηαη φηη ππάξρεη βαζηθή εθηθηή ιχζε πνπ ζα είλαη βέιηηζηε γηα ην πξφβιεκα. ε απηφ νθείιεη ηελ απνδνηηθφηεηά ηεο θαη ε κέζνδνο Simplex. Παξ φιν πνπ δελ είλαη ζπρλφ θαηλφκελν ε βέιηηζηε ιχζε ηνπ π.γ.π. ραιάξσζεο λα είλαη αθέξαηνο, ππάξρνπλ ζπγθεθξηκέλα π.α.π. γηα ηα νπνία ηζρχεη απηφ. Σα πην ζπλεζηζκέλα είλαη ην πξφβιεκα ηεο κεηαθνξάο, ην πξφβιεκα αλάζεζεο, ην πξφβιεκα κεηαθφξησζεο, ην πξφβιεκα ηεο ζπληνκφηεξεο δηαδξνκήο θαη ην πξφβιεκα ηεο κέγηζηεο ξνήο, θαη απηά ηα πξνβιήκαηα κπνξνχλ λα ζεσξεζνχλ π.γ.π. θαη λα ιπζνχλ κε ηε κέζνδν Simplex. Γεληθά ζηνλ Α.Π. πξνζπαζνχκε λα Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 13
14 εθκεηαιιεπηνχκε νπνηαδήπνηε ηδηαίηεξε γλσζηή κνξθή ελφο πξνβιήκαηνο. Έηζη, ε δπζθνιία ππνινγηζκνχ ζε έλα π.α.π. θαζνξίδεηαη απφ θάπνηα ηδηαίηεξε δνκή θαη απφ ηνλ αξηζκφ ησλ αθέξαησλ κεηαβιεηψλ. Δδψ ν αξηζκφο ησλ ελεξγψλ πεξηνξηζκψλ δελ είλαη πνιχ πην ζεκαληηθφο ζε ζρέζε κε ηνλ αξηζκφ ησλ κεηαβιεηψλ. ε έλα κ.π.α.π. ζεκαληηθφ ξφιν παίδεη κφλν ν αξηζκφο ησλ αθέξαησλ κεηαβιεηψλ, αθνχ νη ππφινηπεο κεηαβιεηέο δελ παίδνπλ νπζηαζηηθφ ππνινγηζηηθφ ξφιν ζηελ έπξεζε ιχζεο. Λφγσ ηεο δπζθνιίαο ησλ π.α.π. ζε ζρέζε κε ηα π.γ.π., πνιιέο θνξέο κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί ε κέζνδνο Simplex γηα ηελ επίιπζε ηνπ π.γ.π. ραιάξσζεο, θαη χζηεξα ε ζηξνγγπινπνίεζε ηεο ιχζεο ζε αθέξαηνπο αξηζκνχο. Παξ φιν πνπ απηή ε πξνζέγγηζε κπνξεί λα θαλεί ρξήζηκε φηαλ νη ηηκέο ησλ κεηαβιεηψλ είλαη αξθεηά κεγάιεο, ππάξρνπλ δχν ζεκεία ζηα νπνία κπνξεί θαλείο λα πέζεη έμσ. Μηα βέιηηζηε ιχζε π.γ.π. δελ είλαη απαξαίηεηα εθηθηή κεηά ηε ζηξνγγπινπνίεζή ηεο. Αιιά αθφκα θαη αλ είλαη βέιηηζηε γηα ην π.γ.π., δελ κπνξεί θαλείο λα εγγπεζεί φηη ζα είλαη βέιηηζηε θαη γηα ην π.α.π. ηελ πξαγκαηηθφηεηα, ε ιχζε απηή κπνξεί λα απέρεη θαηά πνιχ απφ ηε βέιηηζηε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο. Γηα λα απνθεπρζνχλ φιεο απηέο νη δπζθνιίεο κε ηε ζηξνγγπινπνίεζε, έρεη γίλεη κεγάιε πξφνδνο ζηελ αλάπηπμε ησλ απνηειεζκαηηθψλ αιγνξίζκσλ heuristics. Αθφκα θαη ζε πνιχ κεγάια π.α.π., απηνί νη αιγφξηζκνη ζα βξνπλ αξθεηά γξήγνξα εθηθηέο ιχζεηο, νη νπνίεο δελ είλαη βέιηηζηεο κελ, είλαη δε θαιχηεξεο απφ απηέο πνπ ζα παίξλακε απφ ηε ζηξνγγπινπνίεζε. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 14
15 Κπξηφηεξεο ηερληθέο Οη θπξηφηεξεο ηερληθέο πνπ πηνζεηνχληαη γηα ηελ επίιπζε π.α.π., θαη θάπνηεο απφ ηηο νπνίεο ζα πεξηγξάςνπκε ζηε ζπλέρεηα, είλαη νη εμήο: 1) Μέζνδνη θιάδνπ θαη θξαγήο (Branch and bound) Ζ ιχζε εδψ έξρεηαη χζηεξα απφ ηε ιχζε κηαο ζεηξάο ππνπξνβιεκάησλ, ηα νπνία ζπλδένληαη κεηαμχ ηνπο κε θιαδηά. 2) Σερληθέο πεξηνξηζκνχ ηνπ εθηθηνχ ρψξνπ (cutting planes) Γεκηνπξγία ζπκπιεξσκαηηθψλ αληζνηήησλ γηα πεξηνξηζκφ ηνπ ρψξνπ ησλ ιχζεσλ ψζηε ην πξφβιεκα λα έρεη αθέξαηεο κεηαβιεηέο. 3) Μέζνδνη απαξίζκεζεο ε απηέο ηηο κεζφδνπο εληνπίδνληαη ζχκθσλα κε θάπνηα θξηηήξηα φιεο νη εθηθηέο ιχζεηο θαη επηιέγεηαη απηή πνπ κεγηζηνπνηεί ηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε. 4) Γηακεξηζηηθνί αιγφξηζκνη Δπίιπζε ελφο κ.π.α.π. κέζσ ηεο επίιπζεο κηαο ζεηξάο π.γ.π. θαη π.α.π. 5) Αιγφξηζκνη βαζηζκέλνη ζηε ζεσξία νκάδσλ (Gomory) Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 15
16 ΜΔΘΟΓΟ ΚΛΑΓΟΤ-ΦΡΑΓΗ Ζ βαζηθή ηδέα ηνπ αιγνξίζκνπ θιάδνπ-θξαγήο είλαη ην «διαίρει και βαζίλεσε», αθνχ ην αξρηθφ πξφβιεκα είλαη πνιχ δχζθνιν λα ιπζεί, θαη άξα ν κφλνο ηξφπνο λα ιπζεί εχθνια θαη απνηειεζκεηηθά είλαη λα ρσξηζηεί ζε φιν θαη κηθξφηεξα ππνπξνβιήκαηα, κέρξη ηα ππνπξνβιήκαηα απηά λα κπνξνχλ λα επηιπζνχλ. ε απηή ηελ ελφηεηα ζα κειεηήζνπκε ηε κέζνδν θιάδνπ-θξαγήο. πγθεθξηκέλα, ζα παξνπζηάζνπκε ην ινγηθφ δηάγξακκα ηεο κεζφδνπ, θαζψο επίζεο θαη ην δηάγξακκα ξνήο, θαη ζα επηιχζνπκε κε ηε ρξήζε ηνπ αιγνξίζκνπ αιιά θαη γξαθηθά έλα π.α.π. 2 κεηαβιεηψλ θαη έλα αληίζηνηρν κ.π.α.π., έλα π.α.π. κε 4 κεηαβιεηέο, έλα π.α.π. 0-1 κε 4 κεηαβιεηέο, έλα κ.π.α.π. κε 4 κεηαβιεηέο θαη έλα π.α.π. ειαρηζηνπνίεζεο κε πνιιέο κεηαβιεηέο. Σέινο ζα επηρεηξήζνπκε λα ιχζνπκε έλα πξφβιεκα κε πξαγκαηηθά δεδνκέλα. Λνγηθφ δηάγξακκα ηεο κεζφδνπ θιάδνπ-θξαγήο Βήμα 1: Λχλνπκε ην π.γ.π. ραιάξσζεο ηνπ π.α.π. ή κ.π.α.π. Αλ ην π.γ.π. ραιάξσζεο δίλεη αθέξαηεο ιχζεηο γηα ηηο κεηαβιεηέο πνπ ζέινπκε λα είλαη αθέξαηεο, ηφηε απηή είλαη θαη ε ιχζε ηνπ π.α.π. ή κ.π.α.π. ε πξνβιήκαηα κεγηζηνπνίεζεο, ε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο ηνπ π.γ.π. ραιάξσζεο απνηειεί έλα άλσ θξάγκα γηα ηελ ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο ηνπ π.α.π. ή κ.π.α.π. Βήμα 2: Δμεηάδνπκε ηηο κεηαβιεηέο νη νπνίεο δελ πιεξνχλ ηνλ πεξηνξηζκφ λα είλαη αθέξαηεο. Δπηιέγνπκε απηή κε ην κεγαιχηεξν δεθαδηθφ κέξνο, έζησ. ε απηφ ην ζεκείν πξέπεη λα αλαθεξζεί φηη ν θαλφλαο επηινγήο ηεο κεηαβιεηήο κε ην κεγαιχηεξν δεθαδηθφ κέξνο είλαη Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 16
17 απζαίξεηνο. Σα ίδηα απνηειέζκαηα ζα είρακε αλ επηιέγακε ηελ κε αθέξαηα κεηαβιεηή κε ην κηθξφηεξν δεθαδηθφ κέξνο. Σν ζεκαληηθφ είλαη ζε θάζε βήκα ν θαλφλαο επηινγήο λα κέλεη ν ίδηνο πάληα. Βήμα 3: ρεκαηίδνπκε δχν ππνπξνβιήκαηα κε βάζε απηή ηελ κεηαβιεηή, πξνζζέηνληαο ηνπο πεξηνξηζκνχο [ ] θαη Ґ. Λχλνπκε ηα δχν λέα π.γ.π. Βήμα 4: Αλ νη ιχζεηο πιεξνχλ ηνπο πεξηνξηζκνχο γηα ηηο αθέξαηεο κεηαβιεηέο, ηφηε ε βέιηηζηε ιχζε είλαη απηή πνπ δίλεη κεγαιχηεξε ηηκή ζηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε. Βήμα 5: Αλ ε ιχζε ζην έλα ππνπξφβιεκα πιεξεί ηνπο πεξηνξηζκνχο, θαη επίζεο δίλεη ηε κεγαιχηεξε ηηκή ζηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε, ηφηε απηή είλαη ε βέιηηζηε ιχζε ηνπ πξνβιήκαηνο. Βήμα 6: Αλ θαλέλα απφ ηα ππνπξνβιήκαηα δελ δίλεη αθέξαηεο ιχζεηο, ηφηε επηιέγνπκε απηφ πνπ δίλεη κεγαιχηεξε ηηκή ζηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε θαη πεγαίλνπκε ζην Βήκα 2. Βήμα 7: Ζ βέιηηζηε ιχζε ζα βξεζεί φηαλ ζα βξνχκε έλα ππνπξφβιεκα ηνπ νπνίνπ ε ιχζε ζα είλαη αθέξαηα, θαη ε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο ζα είλαη κεγαιχηεξε απφ φια ηα άιια ππνπξνβιήκαηα πνπ δίλνπλ εθηθηέο ή κε εθηθηέο ιχζεηο. Αληίζηνηρα δνπιεχνπκε ζε πξνβιήκαηα ειαρηζηνπνίεζεο, κφλν πνπ ε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο ηνπ π.γ.π. ραιάξσζεο απνηειεί θάησ θξάγκα, θαη θάζε θνξά επηθεληξσλφκαζηε ζην πξφβιεκα πνπ δίλεη ηελ κηθξφηεξε ηηκή ζηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 17
18 Δικόνα 1: Γιάγραμμα ροής κλάδοσ-θραγής Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 18
19 Πξνβιήκαηα Έλα π.α.π. 2 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 1: Έλα εξγνζηάζην θαηαζθεπήο παηρληδηψλ θηηάρλεη δχν παηρλίδηα, ηξεινκπαιάθηα θαη πιαζηηθά θνξηεγάθηα. Κάζε ηξεινκπαιάθη απαηηεί γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ 1 ψξα ζηελ πξέζζα θαινχπσζεο, 1 ψξα ζην κεράλεκα ρξσκαηηζκνχ θαη 1 ψξα ζην κεράλεκα ιείαλζεο. Κάζε θνξηεγάθη απαηηεί 1 ψξα ζηελ πξέζζα θαινχπσζεο, 4 ψξεο ζην κεράλεκα ρξσκαηηζκνχ θαη 9 ψξεο ζην κεράλεκα ιείαλζεο. Ζ πξέζζα θαινχπσζεο είλαη δηαζέζηκε 5 ψξεο ηελ εκέξα, ην κεράλεκα ρξσκαηηζκνχ 6 ψξεο ηελ εκέξα θαη ην κεράλεκα ιείαλζεο 10 ψξεο ηελ εκέξα. Σν θέξδνο απφ ηελ πψιεζε ελφο ηξειφκπαινπ είλαη 2 επξψ, θαη ην θέξδνο απφ ην έλα θνξηεγάθη είλαη 13 επξψ. Ζ πνζφηεηα πνπ παξάγεηαη απφ θάζε παηρλίδη ηελ εκέξα είλαη αθέξαηνο αξηζκφο. Εεηάκε ηελ πνζφηεηα πνπ πξέπεη λα θαηαζθεπαζηεί απφ θάζε παηρλίδη, ψζηε λα κεγηζηνπνηεζεί ην ζπλνιηθφ θέξδνο ηνπ εξγνζηαζίνπ. Λχζε Καη αξρήλ, ζα πξέπεη λα γξάςνπκε ην πξφβιεκα ζηε κνξθή ελφο πξνβιήκαηνο γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ. Αο είλαη = ην πιήζνο ησλ ηξειφκπαισλ, θαη = ην πιήζνο ησλ πιαζηηθψλ θνξηεγψλ πνπ θαηαζθεπάδνληαη. Σν θέξδνο απφ ηελ πψιεζε ησλ ηξειφκπαισλ ζα είλαη 2, θαη ην θέξδνο απφ ηα θνξηεγάθηα ζα είλαη 13. Σν ζπλνιηθφ θέξδνο ζα είλαη Πεξηνξηζκνί ππάξρνπλ δηφηη: ε πξέζζα θαινχπσζεο είλαη δηαζέζηκε 5 ψξεο ηελ εκέξα, δειαδή + 5 (1) Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 19
20 ην κεράλεκα ρξσκαηηζκνχ είλαη δηαζέζηκν 6 ψξεο ηελ εβδνκάδα, δειαδή +4 6 (2) ην κεράλεκα ιείαλζεο είλαη δηαζέζηκν 10 ψξεο ηελ εβδνκάδα, δειαδή (3). Φπζηθά είλαη, 0 θαη ηα, είλαη αθέξαηνη αξηζκνί. Σειηθά ην πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο είλαη ην εμήο: maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) (3), 0, αθέξαηνη Σν πξψην βήκα γηα ηε ιχζε ηνπ π.α.π. απηνχ είλαη ε ιχζε ηνπ π.γ.π. ραιάξσζεο, δειαδή ηνπ πξνβιήκαηνο ρσξίο ηνλ πεξηνξηζκφ ηα, λα είλαη αθέξαηνη. Απηφ έρεη ιχζε = 2.8, = 0.8, z = 16. Δικόνα 2:Δθικηή περιοτή π.γ.π. ταλάρφζης Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 20
21 ην δεχηεξν βήκα, ζα δεκηνπξγήζνπκε δχν ππνπξνβιήκαηα απφ ην αξρηθφ, μεθηλψληαο απφ ηε κε αθέξαηε κεηαβιεηή κε ην κεγαιχηεξν δεθαδηθφ κέξνο. Δπεηδή εδψ θαη νη δχν κεηαβιεηέο έρνπλ ην ίδην δεθαδηθφ κέξνο, επηιέγνπκε ηπραία ηελ, ηεο νπνίαο ην δεθαδηθφ κέξνο είλαη 0.8, θαη ζα επηθεληξσζνχκε ζε απηήλ. Δπεηδή ε κεηαβιεηή δελ είλαη απνδεθηή, ζα εμεξεπλήζνπκε ηηο δχν πηζαλέο επηινγέο, δειαδή ηελ 2 θαη ηελ 3, αθνχ δελ ππάξρεη άιινο αθέξαηνο κεηαμχ ηνπ 2 θαη ηνπ 3. Έηζη δεκηνπξγνχκε δχν λέα π.γ.π. ηα νπνία θαη ζα επηιχζνπκε. Τποπρόβλημα 2 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) (3) 2 Τποπρόβλημα 3, 0 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) (3) 3, 0 ην επφκελν βήκα ιχλνπκε ηα ππνπξνβιήκαηα 2 θαη 3 γξαθηθά ή κε Simplex θαη νη ιχζεηο γηα ην Τπ 2 είλαη: = 2, =0.89, z = 16 θαη γηα ην Τπ 3 είλαη: =3, =0.75, z = 16. Αθνχ ε ηηκή θαη ζηα δχν Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 21
22 ππνπξνβιήκαηα είλαη ε ίδηα, ζα δεκηνπξγήζνπκε ππνπξνβιήκαηα θαη απφ ηα δχν απηά ππνπξνβιήκαηα, κε ηε ρξήζε ηεο κεηαβιεηήο, αθνχ απηή δελ είλαη αθέξαηα. ην γξάθεκα θαίλνληαη νη δχν λένη εθηθηνί ρψξνη πνπ δεκηνπξγνχληαη κε ηελ πξνζζήθε απηψλ ησλ δχν πεξηνξηζκψλ, θαζψο επίζεο θαη ηα αθέξαηα δεχγε ηηκψλ πνπ ελδερνκέλσο λα απνηειέζνπλ ιχζεηο ηνπ ηειηθνχ πξνβιήκαηνο. Δικόνα 3:Δθικηές περιοτές σποπροβλημάηφν 2 και 3 Τποπρόβλημα 4 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) (3) 2 0, 0 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 22
23 Τποπρόβλημα 5 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) (3) 2 1, 0 Τποπρόβλημα 6 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) (3) 3 0, 0 Τποπρόβλημα 7 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) (3) 3 1, 0 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 23
24 Ζ ιχζε ηνπ Τπ 4 είλαη = 2, = 0, z = 4, ηνπ Τπ 5 είλαη =1, = 1, z = 15, ηνπ Τπ 6 =5, =0, z = 10 θαη ην Τπ 7 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. ε απηφ ην ζεκείν αμίδεη λα ζεκεηψζνπκε φηη νη ηηκέο ησλ Τπ 2 θαη 3 απνηεινχλ έλα άλσ θξάγκα γηα ηα ππνπξνβιήκαηα πνπ πξνθχπηνπλ απφ απηά. Δπίζεο, αθνχ έρνπκε πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο, δερφκαζηε ηελ κεγαιχηεξε ηηκή αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο. Δδψ ην Τπ 5 καο δίλεη ηελ βέιηηζηε ιχζε, ε νπνία είλαη αθέξαηα θαη είλαη ε εμήο: =1, = 1, z = 15. Δικόνα 4:Τελική εθικηή περιοτή-βέληιζηη λύζη Γειαδή, ην εκεξήζην ζπλνιηθφ θέξδνο ηνπ εξγνζηαζίνπ είλαη 15 επξψ, θαη επηηπγράλεηαη αλ θαηαζθεπάδεη ηελ εκέξα 1 ηξεινκπαιάθη θαη 1 πιαζηηθφ θνξηεγάθη. Φπζηθά ζην πξφβιεκα κπνξνχκε λα πξνζζέζνπκε φζα κεδεληθά ζέινπκε, θαη λα ππνινγίζνπκε πνζφηεηεο θαη ρξεκαηηθέο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 24
25 κνλάδεο ζε εθαηνληάδεο, ρηιηάδεο θνθ γηα λα θαίλεηαη πην ξεαιηζηηθφ. Παξ φια απηά, ζθνπφο καο εδψ ήηαλ λα παξνπζηάζνπκε ηα βήκαηα ηεο κεζφδνπ αλαιπηηθά. πλνςίδνληαο, κπνξνχκε λα παξνπζηάζνπκε ηα απνηειέζκαηα απηά ζε έλα γξάθεκα κε θφκβνπο. Δικόνα 5:Γράθημα ηοσ προβλήμαηος 1 Έλα κηθηφ π.α.π. κεγηζηνπνίεζεο 2 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 2: Έζησ ην πξνεγνχκελν πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο, κε ηε δηαθνξά φηη εδψ ζέινπκε κφλν ε κία κεηαβιεηή λα είλαη αθέξαηνο. maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) (3), 0 αθέξαηνο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 25
26 Λχζε Αξρηθά ιχλνπκε ην γξακκηθφ πξφβιεκα ραιάξσζεο, θαη θαηαιήγνπκε ζηελ ίδηα ιχζε κε πξηλ, δειαδή ζηελ = 2.8, = 0.8, z = 16. Αθνχ ζέινπκε ε κεηαβιεηή λα είλαη αθέξαηνο, ζα αζρνιεζνχκε κε απηήλ. Γεκηνπξγνχκε ηα δχν ππνπξνβιήκαηα 1 θαη 2, φκσο νη ιχζεηο δίλνληαη κε πξνζέγγηζε ηξηψλ δεθαδηθψλ ςεθίσλ, θαη είλαη γηα ην Τπ2 = 2, =0.889, z =15.6 θαη γηα ην Τπ3 =3, =0.75, z =15.8. Οη ιχζεηο θαη ησλ δχν ππνπξνβιεκάησλ δίλνπλ αθέξαηα ηηκή ζηε κεηαβιεηή, φκσο επηιέγνπκε σο βέιηηζηε απηή κε ηε κεγαιχηεξε ηηκή αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο, αθνχ έρνπκε πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο. Άξα εδψ ε ιχζε ηνπ κ.π.α.π. είλαη ε =3, =0.75, z =15.8. Γξαθηθά θαίλεηαη ν πεξηνξηζκφο ε κεηαβιεηή λα είλαη αθέξαηνο, ελψ ε δελ έρεη πεξηνξηζκφ σο πξνο ηηο ηηκέο πνπ κπνξεί λα πάξεη. Δικόνα 6: Δθικηές περιοτές σποπροβλημάηφν 2 και 3 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 26
27 Έλα π.α.π. κεγηζηνπνίεζεο 4 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 3: Hillier-Lieberman 1995 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 αθέξαηνη Λχζε Αξρηθά ιχλνπκε ην γξακκηθφ πξφβιεκα ραιάξσζεο κε Simplex, θαη ε ιχζε πνπ παίξλνπκε είλαη (,,, ) = (0, 2.7, 0, 1) θαη z = Δπεηδή έρνπκε πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο, ην 17.5 απνηειεί έλα άλσ θξάγκα γηα ην πξφβιεκα, δειαδή φιεο νη ηηκέο ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο πνπ ζα πξνθχςνπλ κε ηε δηαδηθαζία θιάδνπ-θξαγήο ζα είλαη κηθξφηεξεο απφ Δπεηδή ην δελ είλαη αθέξαηνο, έρνπκε 2 ή 3. Έηζη δεκηνπξγνχληαη ηα ππνπξνβιήκαηα 2 θαη 3. Τποπρόβλημα 2 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 27
28 Τποπρόβλημα 3 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Ζ ιχζε ηνπ Τπ2 είλαη (,,, ) = (0.33, 2, 0, 1) θαη z=17, θαη ηνπ Τπ3 είλαη (,,, ) = (0, 3, 0, 0.5) θαη z=17. Θα δεκηνπξγήζνπκε λένπο θιάδνπο θαη απφ ηα δχν ππνπξνβιήκαηα, αθνχ θαλέλα απφ ηα δχν δελ έδσζε αθέξαηα ιχζε, θαη ε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο είλαη ε ίδηα, νπφηε δελ κπνξνχκε λα απνξξίςνπκε θάπνηα ιχζε. Απφ ην Τπ2 δεκηνπξγνχκε ηα ππνπξνβιήκαηα 4 θαη 5 κε 0 θαη 1, θαη απφ ην Τπ3 ηα 6 θαη 7 κε 0 θαη 1. Τποπρόβλημα 4 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 28
29 Τποπρόβλημα 5 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 6 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 7 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 29
30 Οη ιχζεηο ησλ ππνπξνβιεκάησλ είλαη: Τπ4 (,,, ) = (0, 2, 0, 1) θαη z=14, Τπ5 (,,, ) = (1, 0.8, 0, 0.8) θαη z=16.2, Τπ6 (,,, ) = (0, 3.3, 0, 0) θαη z=16,5 θαη ην Τπ7 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. Σν Τπ4 δίλεη αθέξαηα ιχζε (,,, ) = (0, 2, 0, 1) z=14, αιιά νη ηηκέο ησλ αληηθεηκεληθψλ ζπλαξηήζεσλ ησλ Τπ5 θαη Τπ6 είλαη κεγαιχηεξεο (16.2 θαη 16.5 αληίζηνηρα), άξα επηιέγνπκε λα ζπλερίζνπκε κε ηε δεκηνπξγία θιαδηψλ ζην Τπ6 πνπ έρεη ηε κεγαιχηεξε ηηκή αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο. Δδψ έρνπκε 3 θαη 4, θαη έηζη δεκηνπξγνχληαη ηα ππνπξνβιήκαηα 8 θαη 9. Τποπρόβλημα 8 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 9 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 30
31 Με ηε κέζνδν Simplex βξίζθνπκε ηε ιχζε ζην Τπ8, (,,, ) = (0.17, 3, 0, 0) θαη z=16.5, ελψ ην Τπ9 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. πλερίδνπκε δεκηνπξγψληαο κε ηελ δχν ππνπξνβιήκαηα απφ ην Τπ8, ηα 10 θαη 11. Τποπρόβλημα 10 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 11 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Ζ ιχζε ζην Τπ10 είλαη (,,, ) = (0, 3, 0, 0) θαη z=15 ελψ ην Τπ11 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. Σν ππνπξφβιεκα 10 έδσζε αθέξαηα ιχζε, αιιά ε ηηκή z=15 ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο είλαη κηθξφηεξε απφ απηή ηνπ ππνπξνβιήκαηνο 5 (z=16.2), άξα ζπλερίδνπκε δεκηνπξγψληαο θιάδνπο απφ ην Τπ5, κε 0 θαη 1. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 31
32 Τποπρόβλημα 12 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 13 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Ζ ιχζε ζην Τπ12 είλαη (,,, ) = (1, 1.3, 0, 0) θαη z=15.5 ελψ ην Τπ13 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. πλερίδνπκε δεκηνπξγψληαο θιάδνπο απφ ην Τπ12, κε 1 θαη 2. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 32
33 Τποπρόβλημα 14 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 15 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Ζ ιχζε ζην Τπ14 είλαη (,,, ) = (1.17, 1, 0, 0) θαη z=15.5 ελψ ην Τπ15 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. Καη ηα δχν ππνπξνβιήκαηα πνπ δεκηνπξγνχληαη απφ ην Τπ14 δελ έρνπλ εθηθηέο ιχζεηο, θαη άξα θαηαιήγνπκε φηη ε βέιηηζηε ιχζε είλαη απηή ηνπ ππνπξνβιήκαηνο 10, δειαδή (,,, ) = (0, 3, 0, 0) θαη z=15. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 33
34 Δικόνα 7:Γράθημα ηοσ προβλήμαηος 3 Έλα κηθηφ π.α.π. κεγηζηνπνίεζεο 4 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 4: Hillier-Lieberman 1995 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4, αθέξαηνη Λχζε Αθνινπζψληαο ηελ ίδηα δηαδηθαζία κε πξηλ, παξαηεξνχκε φηη θηάλνληαο ζην Τπ3, έρνπκε κία εθηθηή ιχζε, αθνχ (,,, ) = (0, 3, 0, 0.5), ε νπνία είλαη θαη ε βέιηηζηε δηφηη έρεη ηελ κεγαιχηεξε ηηκή (z=17) ζε Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 34
35 ζρέζε κε απηέο ησλ ππνπξνβιεκάησλ 4 θαη 5. Άξα εδψ ε βέιηηζηε ιχζε είλαη ε (,,, ) = (0, 3, 0, 0.5) θαη ε βέιηηζηε ηηκή είλαη z=17. Δικόνα 8:Γράθημα ηοσ προβλήμαηος 4 Έλα 0-1 π.α.π. κεγηζηνπνίεζεο 4 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 5: Hillier-Lieberman 1995 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = {, i = 1,2,3,4 Λχζε Δδψ νη κφλεο ηηκέο αθεξαίσλ πνπ κπνξνχλ λα πάξνπλ νη κεηαβιεηέο είλαη 0 ή 1, γηα i = 1,2,3,4. Απηφ θάλεη ην ζπγθεθξηκέλν πξφβιεκα πην Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 35
36 εχθνιν θαη γξήγνξν ζηε ιχζε, ζπγθξηηηθά κε ην π.α.π. πνπ ιχζακε πξνεγνπκέλσο. Ζ ιχζε ηνπ πγπ ραιάξσζεο είλαη ε ίδηα κε πξηλ, δειαδή (,,, ) = (0, 2.7, 0, 1) θαη z = Βιέπνπκε φηη ε κεηαβιεηή δελ έρεη ηηκή 0 ή 1, άξα δεκηνπξγνχκε 2 θιάδνπο κε βάζε απηή ηελ παξαηήξεζε, κε = 0 θαη = 1. Έηζη έρνπκε: Τποπρόβλημα 2 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 0 = {, i = 1,3,4 Τποπρόβλημα 3 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 1 = {, i = 1,3,4 Ζ ιχζε ζην Τπ2 είλαη (,,, ) = (1.7, 0, 0, 0) θαη z=15, θαη ζην Τπ3 (,,, ) = (0.8, 1, 0, 1) θαη z=16.5. Δπεηδή ζην Τπ3 επηηπγράλεηαη κεγαιχηεξε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο, Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 36
37 ζπλερίδνπκε κε ηε δεκηνπξγία θιάδσλ απφ απηφ, θαη ζπλερίδνπκε κε ηελ κεηαβιεηή. Οκνίσο κε πξηλ, έρνπκε = 0 θαη = 1. Τποπρόβλημα 4 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 1 = 0 = {, i = 3,4 Τποπρόβλημα 5 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 1 = 1 = {, i = 3,4 Ζ ιχζε ηνπ Τπ4 είλαη (,,, ) = (0, 1, 0, 1) θαη z=9, θαη ηνπ Τπ5 είλαη (,,, ) = (1, 1, 0, 0.5) θαη z = 16. Ζ ηηκή ηνπ Τπ5 είλαη Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 37
38 κεγαιχηεξε απφ ηελ ηηκή ηνπ Τπ2, νπφηε ζπλερίδνπκε ζην Τπ5 κε ηελ κεηαβιεηή, κε = 0 θαη = 1. Τποπρόβλημα 6 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 1 = 0 = 0 = {, i = 3 Τποπρόβλημα 7 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 1 = 0 = 1 = {, i = 3 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 38
39 Σν Τπ7 δελ έρεη εθηθηή ιχζε, ελψ ε ιχζε ηνπ Τπ6 είλαη (,,, ) = (1, 1, 0.2, 0) θαη z=15.2. πλερίδνπκε κε ηελ κεηαβιεηή πνπ απέκεηλε, δειαδή ηελ, θαη έρνπκε ηα παξαθάησ ππνπξνβιήκαηα: Τποπρόβλημα 8 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 1 = 0 = 0 = 0 Τποπρόβλημα 9 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 1 = 0 = 0 = 1 Σν Τπ9 δελ έρεη εθηθηή ιχζε, ελψ ην Τπ8 έρεη ιχζε (,,, ) = (1, 1, 0, 0) θαη z = 14. Ζ ηηκή z = 14 είλαη κηθξφηεξε απφ ηελ ηηκή πνπ δίλεη Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 39
40 γηα ηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε ην Τπ2, άξα επηζηξέθνπκε ζην Τπ2 θαη δεκηνπξγνχκε λένπο θιάδνπο. Τποπρόβλημα 10 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 0 = 0 = {, i = 3,4 ηνπ νπνίνπ ε ιχζε είλαη ε κεδεληθή θαη δελ ιακβάλεηαη ππ φςε Τποπρόβλημα 11 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 0 = 1 = {, i = 3,4 ηνπ νπνίνπ ε ιχζε είλαη (,,, ) = (1, 0, 0.8, 0) θαη z = Απφ ην Τπ11 πξνθχπηνπλ ηα ηειεπηαία ππνπξνβιήκαηα, εθ ησλ νπνίσλ ην Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 40
41 έλα δελ έρεη εθηθηή ιχζε, ελψ ην άιιν έρεη ιχζε (,,, ) = (1, 0, 0, 0) θαη z = 9, πνπ είλαη κηθξφηεξε απφ απηή ηνπ Τπ8. Άξα ηειηθά θαηαιήγνπκε φηη ε βέιηηζηε ιχζε ηνπ αξρηθνχ καο πξνβιήκαηνο είλαη ε (,,, ) = (1, 1, 0, 0) θαη z = 14. Δικόνα 9:Γράθημα ηοσ προβλήμαηος 5 Έλα κηθηφ π.α.π. ειαρηζηνπνίεζεο 5 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 6: Έζησ ην πξφβιεκα: min ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4,5 αθέξαηνο γηα i = 1,2,3 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 41
Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2
ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.
ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP
ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:
ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.
ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε
Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.
Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη
Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14
.1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.
ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ
ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή
Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ
Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Θέματα. Έζησ όηη ζε δείγκα 35 θαηνηθηώλ πνπ ελνηθηάδνληαη ζε θνηηεηέο ζηελ Κνδάλε βξέζεθε ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζηα 5 επξώ, ελώ ζην Ζξάθιεην ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζε
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη
Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση
Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ
H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη
ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ
ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο 1 ε Δξαζηεξηόηεηα Αλνίμηε ην αξρείν «Μεηαηόπηζε παξαβνιήο.ggb». Με ηε καύξε γξακκή παξηζηάλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=αx 2 πνπ ζα ηελ
iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH
ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε
Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ
Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο
Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν
Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ
Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.
Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress.
Αιγόξηζκνη 2.2.7.3 Γνκή επηινγήο Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ 1 Πνιιαπιή Δληνιή Δπηινγήο Αν ζπλζήθε_1 ηόηε εληνιέο_1 αλλιώς_αν ζπλζήθε_2 ηόηε εληνιέο_2...
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις
ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou
Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12
Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;
TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2
TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε
Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ
Κεθάλαιο 7 Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ 1 Προζθορά ανηαγωνιζηικού κλάδοσ Πώο πξέπεη λα ζπλδπαζηνύλ νη απνθάζεηο πξνζθνξάο ησλ πνιιώλ επηκέξνπο επηρεηξήζεσλ ελόο αληαγσληζηηθνύ θιάδνπ γηα λα βξνύκε ηελ θακπύιε πξνζθνξάο
x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12
ΑΚΖΔΗ ΤΜΝΑΗΟΤ - ΚΤΚΛΟ ΠΡΩΣΟ - - ηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα παξαθάησ θιάζκαηα δελ νξίδνληαη ; (Τπόδεημε : έλα θιάζκα νξίδεηαη αλ ν παξνλνκαζηήο είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο) - (-) - (-) - Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα
Κεθάλαιο 1. Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ. Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ. Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger
Κεθάλαιο 1 Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΛΑΝΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Κεθάιαην 1: Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ Σπγγξαθείο: Δξ. Andrea Grimm, Δξ.
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΦΥΕ 0 7 Ινπλίνπ 009 Απαντήσειρ στιρ ασκήσειρ τηρ τελικήρ εξέτασηρ στιρ Σςνήθειρ Διαυοπικέρ Εξισώσειρ Αγαπηηέ θοιηηηή/ηπια,
ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10
ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο
Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ
Αιγόξηζκνη 2.2.7.4 Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Εηζαγσγή ζηηο Αξρέο ηεο Επηζηήκεο ησλ Η/Υ 1 Άζθεζε 34 ζει 53 Έλα ςεθηαθό θσηνγξαθηθό άικπνπκ έρεη απνζεθεπηηθό ρώξν N Mbytes. Να αλαπηύμεηε
Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής
ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΟΜΟ Α Mάθημα 5: To παραγωγής σναρηήζεις κόζηοσς Η ζπλάξηεζε ζπλνιηθνύ θόζηνπο C FC VC Όπνπ FC= ην ζηαζεξό θόζηνο (ην θόζηνο γηα ηνλ ζηαζεξό παξαγσγηθό ζπληειεζηή) θαη VC= ην κεηαβιεηό
f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()
Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016
Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ (Δλδεηθηηθέο Απαληήζεηο) ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σωζηό β. Λάζνο
(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη 8-11-2015 Θέμα 1 ο : 1. Η εμίζωζε θίλεζεο ελόο θηλεηνύ πνπ θηλείηαη επζύγξακκα είλαη ε x = 5t. Πνηα
Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο
Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Επιμέλεια: Αγκανάκηρ Α. Παναγιώηηρ Επωηήζειρ Σωζηό- Λάθορ Να χαπακηηπίζεηε ηιρ παπακάηω πποηάζειρ ωρ ζωζηέρ ή λάθορ: 1. Η ηαιάλησζε είλαη
Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:
Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε
Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.
Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε
Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α
Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή
ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ. Οπιζμόρ 1: Έζηω d,n. Λέκε όηη ν d δηαηξεί ηνλ n (ζπκβνιηζκόο: dn) αλ. ππάξρεη c ηέηνην ώζηε n. Θεώπημα 2: Γηα d,n,m,α,b ηζρύνπλ:
ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ Οπιζμόρ 1: Έζηω,. Λέκε όηη ν δηαηξεί ηνλ (ζπκβνιηζκόο: ) αλ ππάξρεη c ηέηνην ώζηε c. Θεώπημα : Γηα,,m,α,b ηζρύνπλ: i), (άξα ) ii) 1, 1 iii) 0 iv) 0 0 v) m m m vi) α bm vii) α (άξα ) viii)
Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.
ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε
Constructors and Destructors in C++
Constructors and Destructors in C++ Σύνθεζη Πνιύ ζπρλά ζηε C++ κία θιάζε κπνξεί λα πεξηέρεη ζαλ κέιεδεδνκέλα αληηθείκελα άιισλ θιάζεσλ. Πνηα είλαη ε ζεηξά κε ηελ νπνία δεκηνπξγνύληαη θαη θαηαζηξέθνληαη
ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =
ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3
x x x x tan(2 x) x 2 2x x 1
ΘΕΡΙΝΟ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΕΡΟ Ι 1. Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. t ( i) e ( ii) ln( ) ( iii). Να βξεζεί ην Π.Ο., ν ηύπνο ηεο αλίζηξνθεο θαη ην Π.Τ. ησλ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ
ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ: έζησ έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο. αληίζηξνθνο ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ a b είλαη ν αξηζκόο Παπάδειγμα: έζησ.αληίζηξνθνο ηνπ αξηζκνύ : Μέηπο μιγαδικού απιθμού: αλ κέηξν δηαλύζκαηνο OM. b ή απόιπηε
Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ
Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο
ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ
ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ. Μία αθηίλα θωηόο πξνζπίπηεη κε κία γωλία ζ ζηε επάλω επηθάλεηα ελόο θύβνπ από πνιπεζηέξα ν νπνίνο έρεη δείθηε δηάζιαζεο ε =,49 (ζρήκα ). Βξείηε πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε γωλία
Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ
Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ
Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis
Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα
ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ
ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0
ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ. G. Mitsou
ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ηαηηθή ηωλ ξεπζηώλ (Τδξνζηαηηθή) Ση είλαη ηα ξεπζηά - Γεληθά Ππθλόηεηα Πίεζε Μεηαβνιή ηεο πίεζεο ζπλαξηήζεη ηνπ βάζνπο Αξρή ηνπ Pascal Τδξνζηαηηθή πίεζε Αηκνζθαηξηθή πίεζε Απόιπηε &
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΜΑΚΔΓΟΝΗΑ ΣΔΗ ΓΤΣΗΚΖ ΜΑΚΔΓΟΝΗΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΣΑΠΣΤΦΙΑΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ ΣΜΗΜΑΣΟ ΕΥΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Δθπφλεζε δηπισκαηηθήο εξγαζίαο κε ζέκα Οηθολοκηθές εθαρκογές θαη
ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2
ΑΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΙΑ ΛΤΔΙ ΙΑΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 1: Λάζος (είλαη ηζνζθειήο ππεξβνιή) Α2: Λάζος (ην ζεηηθό πξόζεκν ζεκαίλεη όηη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Δηζνδήκαηνο θαη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Πνζόηεηαο ήηαλ
ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ
ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ
Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους
Κεθάιαην 0 Ελαχιστοποίηση του κόστους Ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θόζηνπο Μηα επηρείξεζε ειαρηζηνπνηεί ην θόζηνο ηεο αλ παξάγεη νπνηνδήπνηε δεδνκέλν επίπεδν πξντόληνο y 0 ζην κηθξόηεξν δπλαηό ζπλνιηθό θόζηνο. Τν
Κβαντικοί Υπολογισμοί. Πέκπηε Γηάιεμε
Κβαντικοί Υπολογισμοί Πέκπηε Γηάιεμε Kπθισκαηηθό Mνληέιν Έλαο θιαζηθόο ππνινγηζηήο απνηειείηαη από αγσγνύο θαη ινγηθέο πύιεο πνπ απνηεινύλ ηνπο επεμεξγαζηέο. Σηνπο θβαληηθνύο ε πιεξνθνξία βξίζθεηαη κέζα
Αντισταθμιστική ανάλυση
Θεσξήζηε έλαλ αιγόξηζκν Α πνπ ρξεζηκνπνηεί κηα δνκή δεδνκέλσλ Γ : Καηά ηε δηάξθεηα εθηέιεζεο ηνπ Α ε Γ πξαγκαηνπνηεί κία αθνινπζία από πξάμεηο. Παξάδεηγκα: Θπκεζείηε ην πξόβιεκα ηεο εύξεζεο-έλσζεο Δίρακε
ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ
ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ (Θεοδώρα Γιώηη, Νικόλας Καραηάζιος- Τπεύθσνη εκ/κος Λ. Παπαηζίμπα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.., ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.// Σε ακαμίδην πνπ κπνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ
1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη
ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο
ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ
ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ β. ΣΟ ΠΝΕΤΜΑΣΙΚΟ ΜΑ ΚΕΝΣΡΟ γ. Η ΠΑΝΟΡΑΜΙΚΗ ΘΕΗ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ. Η Εθθιεζία ηνπ ρσξηνύ καο, ε Αγία Άλλα, είλαη θηηζκέλε πξηλ πνιιά
Σύνθετα Δίκτυα. com+plex: with+ -fold (having parts) Διδάζκων Δημήηριος Καηζαρός
Σύνθετα Δίκτυα com+plex: with+ -fold (having parts) Διδάζκων Δημήηριος Καηζαρός Διάλεξη 14η: 03/05/2017 1 Influence maximization Μεγιζηοποίηζη επιρροής 2 Κνηλσληθά δίθηπα θαη δηάδνζε επηξξνήο Σα θνηλσληθά
Ππογπαμμαηιζμόρ Ι (ΗΥ120)
Ππογπαμμαηιζμόρ Ι (ΗΥ120) Δηάιεμε 10: Ταμηλόκεζε Πίλαθα Αλαδήηεζε ζε Ταμηλνκεκέλν Πίλαθα Ππόβλεμα Δίλεηαη πίλαθαο t από Ν αθεξαίνπο. Ζεηνύκελν: λα ηαμηλνκεζνύλ ηα πεξηερόκελα ηνπ πίλαθα ζε αύμνπζα αξηζκεηηθή
ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ
Παλεπηζηήκην Πεηξαηψο Σκήκα Πιεξνθνξηθήο
Παλεπηζηήκην Πεηξαηψο Σκήκα Πιεξνθνξηθήο Πξφγξακκα Μεηαπηπρηαθψλ πνπδψλ «Πιεξνθνξηθή» Μεηαπηστιακή Γιαηριβή Σίηινο Γηαηξηβήο Ολνκαηεπψλπκν Φνηηεηή Παηξψλπκν Ακέραιος Προγραμματισμός Δήλια Κων/να Ιωάννης
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.
Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84
Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Οη Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα εθαξκόδνληαη γηα ηελ απνξξνθνύκελε ελέξγεηα από Αηνιηθά Πάξθα πνπ είλαη ζπλδεδεκέλα ζην
3ο Δπαναληπηικό διαγώνιζμα ζηα Μαθημαηικά καηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ Θέμα A Α1. Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα
wwwaskisopolisgr 3ο Δπνληπηικό διγώνιζμ ζη Μθημηικά κηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ 17-18 Θέμ A Α1 Έζησ κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλ δηάζηεκ β λ πνδείμεηε όηη: t dt G β G Α Πόηε κη ζπλάξηεζε ιέγεηη 1-1; Α3 Πόηε
Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν
Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Καηαζθεπάδνπκε έλα νγθνκεηξηθό δνρείν από πιαζηηθό κπνπθάιη λεξνύ
ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS
ηότοι εργαζηηρίοσ ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηεί ε δηαδηθαζία ηωλ ξπζκίζεωλ δηθηύνπ ζε ιεηηνπξγηθό ζύζηεκα Windows XP. Η δηαδηθαζία ζε γεληθέο γξακκέο
Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access)
Έρνπκε απνζεθεύζεη κηα ζπιινγή αξρείσλ ζε κηα ζπλδεδεκέλε ιίζηα, όπνπ θάζε αξρείν έρεη κηα εηηθέηα ηαπηνπνίεζεο. Μηα εθαξκνγή παξάγεη κηα αθνινπζία από αηηήκαηα πξόζβαζεο ζηα αξρεία ηεο ιίζηαο. Γηα λα
Να ζρεδηάζεηο ηξόπνπο ζύλδεζεο κηαο κπαηαξίαο θαη ελόο ιακπηήξα ώζηε ν ιακπηήξαο λα θσηνβνιεί.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Απλό ηλεκτπικό κύκλυμα Η δηδαζθαιία ηνπ απινύ ειεθηξηθνύ θπθιώκαηνο ππάξρεη ζην κάζεκα «Φπζηθά» ηεο Ε ηάμεο ηνπ δεκνηηθνύ θαη επαλαιακβάλεηαη ζην κάζεκα ηεο Φπζηθήο ζηε Γ ηάμε ηνπ Γπκλαζίνπ.
B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν.
B-Δέλδξα Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. Δέλδξα AVL n = 2 30 = 10 9 (πεξίπνπ). 30
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ιήμεο 11.00 Κάπνηνο άξρηζε λα δηαβάδεη έλα βηβιίν ηελ 1 ε Δεθεκβξίνπ. Κάζε κέξα δηάβαδε ηνλ ίδην αξηζκό ζειίδσλ
ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017
α: κολάδα β: κολάδες Σειίδα από 8 ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 7 ΘΔΜΑ Α Α Έζηω, κε Θα δείμνπκε όηη f ( ) f ( ) Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ΘΜΤ Επνκέλωο,
Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)
Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.
Γηάιεμε 7: Αλαδξνκή. Σηελ ελφηεηα απηή ζα κειεηεζνχλ ηα εμήο επηκέξνπο ζέκαηα:
Γηάιεμε 7: Αλαδξνκή Σηελ ελφηεηα απηή ζα κειεηεζνχλ ηα εμήο επηκέξνπο ζέκαηα: Η έννοια ηης αναδρομής Μη-αναδρομικός / Αναδρομικός Οριζμός Σσναρηήζεων Παραδείγμαηα Ανάδρομης: Παραγονηικό, Δύναμη, Αριθμοί
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και
ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013
ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό
ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΝΕΤΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΣΤΑ. E w
ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 κνλάδεο) ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΝΕΤΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΣΤΑ Σελικέρ εξετάσειρ Παπασκεςή 18 Ιοςνίος 2010 18:00-21:00 Έζησ φηη έλα απζαίξεην
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)
. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,, 6 4 4 4 5( ) 6( ). Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,,,6 7. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 ( )( ) ( ) 4. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 4 6 7 4. 5. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 59 ( )( ) ()( 5) 7 6.
Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:
1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.
5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη
5 η Δργαζηηριακή Άζκηζη Κσκλώμαηα Γσαδικού Αθροιζηή/Αθαιρέηη Σηα πιαίζηα ηεο πέκπηεο εξγαζηεξηαθήο άζθεζεο ζα ρξεζηκνπνηεζεί απνθιεηζηηθά ην πεξηβάιινλ αλάπηπμεο νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ IDL-800 Digital
7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο.
7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ση είλαη έλαο θαηαρσξεηήο; O θαηαρσξεηήο είλαη κηα νκάδα από flip-flop πνπ κπνξεί λα απνζεθεύζεη πξνζσξηλά ςεθηαθή πιεξνθνξία. Μπνξεί λα δηαηεξήζεη ηα δεδνκέλα ηνπ
Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα.
Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα Γηαθξάγκαηα Δξγαιεία Καηαζθεπέο 2 Η θαηαζθεπή πεξηγξάθεηαη ζηελ αληίζηνηρε ελόηεηα
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β )
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΘΕΜΑΣΩΝ Α.
Ανάπηςξη Δθαπμογών ζε Ππογπαμμαηιζηικό Πεπιβάλλον
Μάθημα 10 ( 2.4.2, 8.1, 8.1.1) Ανάπηςξη Δθαπμογών ζε Ππογπαμμαηιζηικό Πεπιβάλλον Δπγαζία 9 Α. Να βπεθεί η ηιμή πος θα έσει η μεηαβληηή Φ μεηά ηην εκηέλεζη καθεμιάρ από ηιρ παπακάηυ ενηολέρ εκσώπηζηρ. Οι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΦΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα: Πιθανόηηηες και Σηαηιζηική Διδάζκων: Σ. Γ.
ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Τρίπολη 06/07/2007 Τα θέμαηα 1-5 είναι σποτρεωηικά και έτοσν ηοσς ίδιοσς (ίζοσς) ζσνηελεζηές βαρύηηηας Το θέμα 6 δίνει επιπλέον βαθμούς με βαρύηηηα 10% για βεληίωζη ηης βαθμολογίας ΘΕΜΑΤΑ
Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.
ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ
ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις
ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις Ο Δηζνδεκαηίαο Σην ηειεπαηρλίδη «Ο Δηζνδεκαηίαο» ν Αξλανύηνγινπ γηα πξώηε θνξά δίλεη δύν επηινγέο: Να πάξεηο 50.000 Δπξώ θάζε ρξόλν
ΗΥ-150 Πξνγξακκατησκόο Ταμηλόκεσε θαη Αλαδήτεσε
ΗΥ-150 Πξνγξακκατησκόο Ταμηλόκεσε θαη Αλαδήτεσε To πξόβιεκα ηεο Αλαδήηεζεο Γνζέληνο δεδνκέλσλ, ι.ρ. ζε Πίλαθα (P) Χάρλσ λα βξσ θάπνην ζπγθεθξηκέλν ζηνηρείν (key) Αλ ν πίλαθαο δελ είλαη ηαμηλνκεκέλνο Γξακκηθή
1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s Β. π 2 = 0.02km/s Γ. π 3 = 36000m/h Γ. π 4 = 144km/h.
ΦΤΙΚΗ A ΛΤΚΔΙΟΤ ΓΙΑΡΚΔΙΑ: 10min ΣΜΗΜΑ:. ONOMA:. ΔΠΩΝΤΜΟ: ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: ΜΟΝΑΓΔ ΘΔΜΑ 1 ο ΘΔΜΑ ο ΘΔΜΑ 3 ο ΘΔΜΑ 4 ο ΤΝΟΛΟ ΘΔΜΑ A: 1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s
6 η Εργαζηηριακή Άζκηζη Επαλήθεσζη Λειηοσργίας Βαζικών Φλιπ-Φλοπ
6 η Εργαζηηριακή Άζκηζη Επαλήθεσζη Λειηοσργίας Βαζικών Φλιπ-Φλοπ Σηα πιαίζηα ηεο έθηεο εξγαζηεξηαθήο άζθεζεο ζα ρξεζηκνπνηεζεί απνθιεηζηηθά ην πεξηβάιινλ αλάπηπμεο νινθιεξσκέλσλ θπθισκάησλ IDL-800 Digital
Case Study. Παξαθάηω παξνπζηάδνπκε βήκα - βήκα κε screenshots έλα παξάδεηγκα ππνβνιήο κηαο εξγαζίαο θαη ηελ παξαγωγή ηνπ Originality Report.
Case Study Παξαθάηω παξνπζηάδνπκε βήκα - βήκα κε screenshots έλα παξάδεηγκα ππνβνιήο κηαο εξγαζίαο θαη ηελ παξαγωγή ηνπ Originality Report. Βήκα 1 ο : Login ζηο Turnitin. Κάλεηε είζνδν ζην Turnitin κε
Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο κεηά ηηο γηνξηέο ηνπ Πάζρα.
Οι Πανελλαδικέρ Δξεηάζειρ για ηην ειζαγωγή ζηην ηπιηοβάθμια εκπαίδεςζη θα ππαγμαηοποιηθούν ππιν ηιρ απολςηήπιερ ενδοζσολικέρ εξεηάζειρ ηων μαθηηών και ηων μαθηηπιών. Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο
Σρήκα Α. Γξάθνπκε ηα ζηνηρεία ηνπ Πξνκεζεπηή θαη παηάκε Δηζαγσγή. Σρήκα Β1
MENU ΜΗΤΡΩΑ Προμηθεστές Σε απηό ην ζεκείν ηεο εθαξκνγήο επεμεξγαδόκαζηε ηo κεηξών Πξνκεζεπηώλ. Κάλνληαο θιηθ κε ην πνληίθη πάλσ ζην Πξνζζήθε (βειάθη 1) ζα βγεη ε θόξκα γηα ηελ εηζαγσγή λέαο εγγξαθήο (Σρήκα