Παλεπηζηήκην Παηξψλ-Σκήκα Μαζεκαηηθψλ. Πξνπηπρηαθή Γηπισκαηηθή Δξγαζία. Θέκα: Ακέραιος Προγραμμαηιζμός

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παλεπηζηήκην Παηξψλ-Σκήκα Μαζεκαηηθψλ. Πξνπηπρηαθή Γηπισκαηηθή Δξγαζία. Θέκα: Ακέραιος Προγραμμαηιζμός"

Transcript

1 Παλεπηζηήκην Παηξψλ-Σκήκα Μαζεκαηηθψλ Πξνπηπρηαθή Γηπισκαηηθή Δξγαζία Θέκα: Ακέραιος Προγραμμαηιζμός Φνηηήηξηα: Ρσκαιέα Ρεληδή Δπηβιέπσλ θαζεγεηήο: Νίθνο Σζάληαο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 1

2 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 2

3 Πεξηερφκελα Πεξίιεςε... 5 Δηζαγσγή... 6 Ιςτορικι Αναδρομι... 6 Επιχειρθςιακι Ζρευνα... 6 Γραμμικόσ Προγραμματιςμόσ... 6 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ... 7 Μακθματικά Μοντζλα... 8 Πρακτικά Προβλιματα Ακεραίου Προγραμματιςμοφ Δυςκολίεσ και προβλιματα ςτθν επίλυςθ π.α.π Κυριότερεσ τεχνικζσ Μέζνδνο Κιάδνπ-Φξαγήο Λογικό διάγραμμα τθσ μεκόδου κλάδου-φραγισ Προβλιματα Πρόβλθμα 1: Ζνα π.α.π 2 μεταβλθτών Πρόβλθμα 2: Ζνα μικτό π.α.π. μεγιςτοποίθςθσ 2 μεταβλθτών Πρόβλθμα 3: Ζνα π.α.π. μεγιςτοποίθςθσ 4 μεταβλθτών Πρόβλθμα 4: Ζνα μικτό π.α.π. μεγιςτοποίθςθσ 4 μεταβλθτών Πρόβλθμα 5: Ζνα 0-1 π.α.π. μεγιςτοποίθςθσ 4 μεταβλθτών Πρόβλθμα 6: Ζνα μικτό π.α.π. ελαχιςτοποίθςθσ 5 μεταβλθτών Πρόβλθμα 7: Τελικό πρόβλθμα Μέζνδνη πεξηνξηζκνχ ηνπ εθηθηνχ ρψξνπ Κιαζκαηηθνί Αιγφξηζκνη Ειςαγωγικά Αλγόρικμοσ Simplex Αλγόρικμοσ Δυικισ Simplex Αλγόρικμοσ Δυικισ Simplex με νζο ςυμβολιςμό Δυικόσ κλαςματικόσ ακζραιοσ προγραμματιςμόσ Ο αλγόρικμοσ τθσ μεκόδου Ιδιότθτεσ των περιοριςμών του Gomory Δυικόσ κλαςματικόσ μικτόσ ακζραιοσ προγραμματιςμόσ Ο αλγόρικμοσ τθσ μεκόδου Ιδιότθτεσ των περιοριςμών του Gomory Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 3

4 Αθέξαηνη Αιγφξηζκνη Ειςαγωγικά Δυικόσ ακζραιοσ προγραμματιςμόσ Ο αλγόρικμοσ τθσ μεκόδου Ιδιότθτεσ των περιοριςμών του Gomory Πρωτεφον ακζραιοσ προγραμματιςμόσ Ο αλγόρικμοσ RPA Ο αλγόρικμοσ SPA Βηβιηνγξαθία Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 4

5 ΠΔΡΙΛΗΦΗ Ο Αθέξαηνο Πξνγξακκαηηζκφο είλαη θιάδνο ηνπ Γξακκηθνχ Μαζεκαηηθνχ Πξνγξακκαηηζκνχ, θαη απνηειεί ηκήκα ηεο ζπλδηαζηηθήο βειηηζηνπνίεζεο. ηφρνο ηεο ρξήζεο ηνπ είλαη ε βειηηζηνπνίεζε ζπζηεκάησλ παξαγσγήο ή δηνίθεζεο. Ο Αθέξαηνο Πξνγξακκαηηζκφο ρξεζηκνπνηείηαη γηα ηελ επίιπζε πξαθηηθψλ πξνβιεκάησλ, φπσο: Υξνλνδηαγξάκκαηα (Scheduling) ρεδηαζκφο παξαγσγήο Παξάιιειε εθηέιεζε εξγαζηψλ Σειεπηθνηλσλίεο Μπνξεί λα θαίλεηαη φηη ηα πξνβιήκαηα αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ είλαη εχθνιν λα ιπζνχλ. Παξ φι απηά, θάηη ηέηνην δελ ηζρχεη, δηφηη νη αζηξνλνκηθά κεγάινη αθέξαηνη αξηζκνί, θαζψο επίζεο θαη ε ζηξνγγπινπνίεζε θαη αθαίξεζε κε αθεξαίσλ ιχζεσλ απφ έλα πξφβιεκα γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ νδεγνχλ ζε πξνβιήκαηα θαη ιαλζαζκέλα ζπκπεξάζκαηα. Οη θπξηφηεξεο ηερληθέο Αθεξαίνπ Πξνγξακκαηηζκνχ είλαη νη εμήο: Μέζνδνο θιάδνπ θαη θξαγήο (Branch and Bound) Σερληθέο πεξηνξηζκνχ ηνπ εθηθηνχ ρψξνπ (Cutting Planes) Μέζνδνη απαξίζκεζεο Γηακεξηζηηθνί αιγφξηζκνη Αιγφξηζκνη βαζηζκέλνη ζηε ζεσξία νκάδσλ (Gomory) Ζ πξνπηπρηαθή απηή δηπισκαηηθή εξγαζία έρεη ζηφρν λα παξνπζηάζεη δχν απφ απηέο ηηο ηερληθέο ιεπηνκεξψο, ηελ κέζνδν θιάδνπ θαη θξαγήο θαη ηερληθέο πεξηνξηζκνχ ηνπ εθηθηνχ ρψξνπ, θαη λα θάλεη θαηαλνεηή ηε ρξεζηκφηεηα ησλ αιγνξίζκσλ απηψλ κέζα απφ παξαδείγκαηα πνπ αθνξνχλ πξνβιήκαηα αθέξαηνπ πξνγξακκαηηζκνχ. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 5

6 ΔΙΑΓΧΓΗ Ηζηνξηθή αλαδξνκή Δπηρεηξεζηαθή Έξεπλα Ζ Δπηρεηξεζηαθή Έξεπλα γελλήζεθε θαηά ηε δηάξθεηα ηνπ Β Παγθνζκίνπ Πνιέκνπ, φπνπ γηα πξψηε θνξά εθαξκφζζεθαλ επηζηεκνληθέο κέζνδνη γηα ηε βέιηηζηε θαηαλνκή ησλ ζηξαηεπκάησλ θαη εθνδίσλ ζηνλ επξσπατθφ ρψξν, έηζη ψζηε λα ειαρηζηνπνηεζεί ν ρξφλνο πξφζβαζεο ζηηο εζηίεο ησλ καρψλ θαη λα βειηησζεί γεληθά ν ζπληνληζκφο ηνπ πνιέκνπ. Ολνκάζζεθε ζηελ αγγιηθή γιψζζα Operations Researh (USA) ή Operational Research (Αγγιία), θαη ζήκαηλε έξεπλα ζηξαηησηηθψλ επηρεηξήζεσλ ή αιιηψο έξεπλα πνιέκνπ. Πεξηερφκελφ ηεο ζήκεξα είλαη ε κειέηε θαη επίιπζε ησλ εκπνξηθψλ πξνβιεκάησλ ησλ ζεκεξηλψλ επηρεηξήζεσλ. Γξακκηθφο Πξνγξακκαηηζκφο Ο Γξακκηθφο Πξνγξακκαηηζκφο είλαη ε ηερληθή κε ηελ νπνία γίλεηαη ε βέιηηζηε θαηαλνκή ησλ πεπεξαζκέλνπ πιήζνπο πφξσλ ζε δξαζηεξηφηεηεο. Ζ θχξηα κέζνδνο επίιπζεο πξνβιεκάησλ γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ είλαη ε κέζνδνο Simplex, ε νπνία δεκηνπξγήζεθε ην 1947 απφ ηνλ G.B. Dantzig, θαη απνηέιεζε ην πην ζεκαληηθφ απνηέιεζκα ζην ρψξν ηεο επηρεηξεζηαθήο έξεπλαο. Παξ φια απηά, ν Dantzig δελ ηηκήζεθε κε βξαβείν Νφκπει, δηφηη ε Αθαδεκία Δπηζηεκψλ ηεο νπεδίαο ζεψξεζε φηη ην έξγν ηνπ είλαη πνιχ καζεκαηηθφ γηα λα ηηκεζεί κε Νφκπει Οηθνλνκίαο, θαη σο γλσζηφ δελ απνλέκεηαη βξαβείν Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 6

7 καζεκαηηθψλ. Σν 1976 ε Αθαδεκία Δπηζηεκψλ ησλ Ζ.Π.Α. ηνπ απέλεηκε ην Εθνικό Μεηάλλιο Επιζηημών. Ζ κνξθή ελφο πξνβιήκαηνο γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ είλαη ε εμήο: Max z = φηαλ = = = 0, j = 1,...,n φπνπ,, είλαη ηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο, θαη νη κεηαβιεηέο απνηεινχλ ηνπο αγλψζηνπο ηνπ πξνβιήκαηνο, γηα i = 1,...,m, j = 1,...,n φηαλ πξφθεηηαη γηα πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο, ελψ γηα πξφβιεκα ειαρηζηνπνίεζεο γξάθνπκε ζηε ζέζε ηνπ max ην min, θαη φια ηα ππφινηπα κέλνπλ σο έρνπλ. Αθέξαηνο Πξνγξακκαηηζκφο Ο αθέξαηνο πξνγξακκαηηζκφο, φπσο θαη ν γξακκηθφο θαη ν δηθηπσηφο είλαη ηκήκαηα ηεο ζσνδιαζηικής βεληιζηοποίηζης (combinatorial optimization). Σα αληηθείκελα πνπ εμεηάδνληαη ζε ηέηνηνπ είδνπο πξνβιήκαηα είλαη πεπεξαζκέλνπ αιιά ζπρλά πνιχ κεγάινπ πιήζνπο. Ο γξακκηθφο πξνγξακκαηηζκφο θαιχπηεη έλα επξχ ζχλνιν πξνβιεκάησλ, φκσο ππάξρνπλ θαη πξνβιήκαηα πνπ γηα λα έρεη λφεκα ε ιχζε ηνπο, πξέπεη φιεο ή κέξνο ησλ κεηαβιεηψλ ηνπο λα παίξλνπλ Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 7

8 αθέξαηεο ηηκέο. Γηα παξάδεηγκα, ζε φ,ηη έρεη λα θάλεη κε αλζξψπηλν δπλακηθφ, κεραλήκαηα ή νρήκαηα, δελ κπνξνχκε λα πξνηείλνπκε κε αθέξαηεο ιχζεηο, δηφηη θαλέλα απφ ηα παξαπάλσ δελ κπνξεί λα ππνδηαηξεζεί ζε φκνηα. Αλ ν πεξηνξηζκφο πνπ ζέηνπκε, φιεο νη κεηαβιεηέο λα είλαη αθέξαηεο, είλαη ν κφλνο ιφγνο γηα ηνλ νπνίν δηαθνξνπνηείηαη ζηε δηαηχπσζε έλα πξφβιεκα γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ (π.γ.π.), ηφηε ην πξφβιεκα απηφ νλνκάδεηαη πξφβιεκα αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ (παπ). Σν δε π.γ.π. νλνκάδεηαη αληίζηνηρν γξακκηθφ πξφβιεκα ραιάξσζεο (γ.π.ρ.). Μαζεκαηηθά κνληέια Σν καζεκαηηθφ κνληέιν ηνπ π.α.π. είλαη ην ίδην κε ην κνληέιν ηνπ π.γ.π., κε ηελ πξνζζήθε ηνπ επηπιένλ πεξηνξηζκνχ νη κεηαβιεηέο λα είλαη αθέξαηεο. Αλ ν πεξηνξηζκφο απηφο πθίζηαηαη κφλν γηα θάπνηεο απφ ηηο κεηαβιεηέο ηνπ πξνβιήκαηνο, ελψ γηα φιεο ηηο ππφινηπεο κεηαβιεηέο ηζρχεη ε αξρή ηεο δηαηξεηφηεηαο (δερφκαζηε θιαζκαηηθέο ιχζεηο), ην κνληέιν αλαθέξεηαη σο κεηθηφο αθέξαηνο πξνγξακκαηηζκφο (κ.α.π.). Σν κνληέιν π.α.π. είλαη ην αθφινπζν: Max z = φηαλ = = = 0, j = 1,...,n αθέξαηνη, j = 1,...,n Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 8

9 θαη δηαθνξνπνηείηαη ειάρηζηα ζηελ πεξίπησζε πξνβιήκαηνο κεηθηνχ αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ σο εμήο: Max z = φηαλ = = = 0, j = 1,...,n αθέξαηνη γηα θάπνηα j Σν πξψην κνληέιν, γηα λα ην μερσξίδνπκε απφ ην δεχηεξν, ζα ην ιέκε γλήζην/θαζαξφ (pure) π.α.π. Ίζσο ε κεγαιχηεξεο ζεκαζίαο πεξηνρή εθαξκνγήο ηνπ αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ (Α.Π.) είλαη ηα πξνβιήκαηα απφθαζεο λαη ή φρη. Γηα παξάδεηγκα, ζα πξέπεη λα γίλεη κηα ζπγθεθξηκέλε επέλδπζε; Οη κεηαβιεηέο πνπ νξίδνληαη γηα ηελ επίιπζε ηέηνηνπ είδνπο πξνβιεκάησλ παίξλνπλ ηηο ηηκέο αληίζηνηρα 1 ή 0. Έηζη, ε j λαη ή φρη απφθαζε ζπκβνιίδεηαη κε θαη έρνπκε: = { ν ν ν ν ν Απηέο νη κεηαβιεηέο θαινχληαη 0-1 κεηαβιεηέο, θαη ηα π.α.π. πνπ πεξηέρνπλ κφλν 0-1 κεηαβιεηέο θαινχληαη 0-1 πξνβιήκαηα αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ (0-1 π.α.π.). Αλ κφλν θάπνηεο απφ ηηο κεηαβιεηέο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 9

10 παίξλνπλ δπαδηθέο ηηκέο, ελψ νη ππφινηπεο δελ έρνπλ ηέηνην πεξηνξηζκφ, ην πξφβιεκα ιέγεηαη κεηθηφ πξφβιεκα 0-1 αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ (0-1 κ.π.α.π.). Σν κνληέιν ελφο 0-1 παπ είλαη ην: Max z = φηαλ = = = 0, j = 1,...,n ={, j = 1,...,n Πξαθηηθά πξνβιήκαηα αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ 1. Υξνλνδηάγξακκα ηξαίλνπ Γξνκνιφγηα ηξαίλσλ επαλαιακβάλνληαη αλά ζπγθεθξηκέλν ρξνληθφ δηάζηεκα, θαη γλσξίδνπκε ην ρξφλν πνπ απέρνπλ κεηαμχ ηνπο νη ζηαζκνί θαη ην ρξφλν δηαιείκαηνο ζε θάζε ζηαζκφ, θαη δεηάκε ηε δηαθνξά ηνπ ρξφλνπ αλαρψξεζεο δχν ηξαίλσλ απφ ηελ αθεηεξία, ψζηε λα γίλεηαη ε αληαπφθξηζε ησλ επηβαηψλ κε επηηπρία θαη ηαπηφρξνλα λα κελ ππάξρεη κεγάινο ρξφλνο αλακνλήο. 2. Υξνλνδηάγξακκα πιεξψκαηνο αεξνπνξηθήο εηαηξίαο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 10

11 Γνζέληνο ηνπ πξνγξάκκαηνο πηήζεσλ θαη αλ γλσξίδνπκε φηη ππάξρνπλ πεξηνξηζκνί φζσλ αθνξά ζηνλ αξηζκφ ηνπ πιεξψκαηνο, ηηο ζπλνιηθέο ψξεο εξγαζίαο ηνπο, ηηο ψξεο μεθνχξαζεο, ηε ζπλνιηθή δηάξθεηα πηήζεσλ θ.ν.θ., ζηφρνο καο είλαη ε ειαρηζηνπνίεζε ηνπ κηζζνχ ηνπ πιεξψκαηνο. 3. ρεδηαζκφο παξαγσγήο ηε ζπλάληεζε ησλ ζηειερψλ κηαο εηαηξίαο πξέπεη λα απνθαζηζηεί ε πνζφηεηα πξντφλησλ πνπ ζα παξαρζνχλ απφ έλα ζχλνιν 100 πξντφλησλ, πνπ παξάγνληαη ζε 4 δηαθνξεηηθά εξγνζηάζηα θαη δηαλέκνληαη ζε 20 κεγάιεο πφιεηο, έηζη ψζηε λα κεγηζηνπνηεζνχλ ηα θέξδε ηεο εηαηξίαο. 4. Παξαγσγή ειεθηξηθήο ελέξγεηαο Γηαζέηνπκε γελλήηξηεο παξαγσγήο ειεθηξηθνχ ξεχκαηνο θαη ζέινπκε λα βξνχκε ην βέιηηζην ζρέδην ιεηηνπξγίαο ηνπο, ψζηε λα θαιχπηεηαη ε ζπλνιηθή δήηεζε ησλ γχξσ πεξηνρψλ, λα ππάξρεη ε δπλαηφηεηα θάιπςεο ησλ αλαγθψλ ζε πεξίπησζε μαθληθήο αχμεζεο ηεο δήηεζεο, θαη ε δπλαηφηεηα αληηθαηάζηαζεο ζε πεξίπησζε βιάβεο ρσξίο επηπηψζεηο ζηελ ζπλνιηθή δηάζεζε ξεχκαηνο. 5. Σειεπηθνηλσλίεο Με ηελ ζπλερή άπμεζε ηεο δήηεζεο γηα κεηαθνξά δεδνκέλσλ θαη ήρνπ, θαη έρνληαο εθηηκήζεηο γηα ηηο απαηηήζεηο, ηνλ αξηζκφ ησλ ππαξρνπζψλ ζέζεσλ θαη ην θφζηνο εγθαηάζηαζεο λέσλ ζέζεσλ, επηδεηνχκε ηελ ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θφζηνπο, ιακβάλνληαο πάληα ππ φςε καο ηελ πηζαλφηεηα βιάβεο. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 11

12 6. Λεσθνξεία γηα άηνκα κε εηδηθέο αλάγθεο (Dial-a-Ride) Εεηάκε έλαλ βέιηηζην πξνγξακκαηηζκφ ησλ δξνκνινγίσλ ησλ ιεσθνξείσλ, γηα ηε κεηαθνξά ηνπ κέγηζηνπ αξηζκνχ αηφκσλ κε εηδηθέο αλάγθεο απφ έλα κέξνο ζε έλα άιιν ζε ζπγθεθξηκέλν ρξφλν. 7. Δδαθηθή παξακνλή αεξνζθάθνπο Έρνληαο ζηε δηάζεζή καο κηα ιίζηα αεξνδξνκίσλ, πηήζεσλ, θαηξηθψλ ζπλζεθψλ γηα θάπνηεο κέξεο, θαη ιακβάλνληαο ππ φςε ηνλ αξηζκφ ησλ επηβαηψλ θνθ, ζηφρνο είλαη ε ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θφζηνπο απφ ηε κε απνγείσζε ησλ αεξνζθαθψλ θαη ηεο δπζαλαζρέηεζεο ησλ επηβαηψλ. 8. Πξνβιήκαηα θνςίκαηνο Σν πξφβιεκα είλαη λα αθνινπζεζνχλ επαθξηβψο ζπγθεθξηκέλνη θαλφλεο θνςίκαηνο (ραξηηνχ απφ ξνιά, πιαζηηθνχ, θαζφλ απφ ξνχρα), ψζηε λα ηθαλνπνηεζεί ε δήηεζε θαη λα ειαρηζηνπνηεζνχλ ηα πεξηζεχκαηα. Γπζθνιίεο θαη πξνβιήκαηα ζηελ επίιπζε π.α.π. Μπνξεί λα θαίλεηαη φηη ηα πξνβιήκαηα αθεξαίνπ πξνγξακκαηηζκνχ είλαη πνιχ εχθνιν λα ιπζνχλ, αθνχ ηα πξνβιήκαηα γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ κπνξνχλ λα ιπζνχλ πνιχ απνηειεζκεηηθά κε ηε κέζνδν Simplex, θαη ε κφλε δηαθνξά ηνπο κε ηα π.α.π. είλαη φηη ηα π.α.π. έρνπλ πνιχ ιηγφηεξεο ιχζεηο, αθνχ πεξηνξηδφκαζηε κφλν ζε αθέξαηνπο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 12

13 αξηζκνχο. Απνδεηθλχεηαη, κάιηζηα, φηη γλήζηα π.α.π. κε νξηνζεηεκέλεο εθηθηέο πεξηνρέο έρνπλ πεπεξαζκέλν αξηζκφ εθηθηψλ ιχζεσλ. ε απηή ηελ αηηηνιφγεζε ππάξρνπλ δχν κεγάιεο απάηεο. Σν γεγνλφο φηη ν αξηζκφο ησλ εθηθηψλ ιχζεσλ είλαη πεπεξαζκέλνο δελ ζεκαίλεη φηη έλα π.α.π. είλαη επηιχζηκν, δηφηη νη πεπεξαζκέλνη αξηζκνί κπνξεί λα είλαη αζηξνλνκηθά κεγάινη. ηελ απιή πεξίπησζε ησλ 0-1 π.α.π., κε n κεηαβιεηέο ππάξρνπλ ιχζεηο. Καηά ζπλέπεηα, θάζε θνξά πνπ ν αξηζκφο n ησλ κεηαβιεηψλ απμάλεηαη θαηά κία κνλάδα, ν αξηζκφο ησλ ιχζεσλ δηπιαζηάδεηαη. Απηφ αλαθέξεηαη σο εθζεηηθή αχμεζε ηεο δπζθνιίαο ηνπ πξνβιήκαηνο, θαη είλαη ε κία απφ ηηο δχν απάηεο. Κάηη ηέηνην θαζηζηά ζρεδφλ αδχλαηε ηε ιχζε πξνβιεκάησλ κε πάλσ απφ 100 αθέξαηεο ή δπαδηθέο κεηαβιεηέο, αθνχ γηα n=10 ππάξρνπλ πάλσ απφ ιχζεηο (1.024), γηα n=20 ππάξρνπλ πάλσ απφ 1 εθαηνκκχξην θ.ν.θ., θαη ζίγνπξα αθφκα θαη νη πην γξήγνξνη ππνινγηζηέο δελ κπνξνχλ λα αληαπεμέιζνπλ ζε ηέηνηνπο αζηξνλνκηθνχο ππνινγηζκνχο. Ζ δεχηεξε απάηε ζε φιε απηή ηελ ηζηνξία είλαη φηη αθαηξψληαο ηηο κε αθέξαηεο εθηθηέο ιχζεηο απφ έλα π.γ.π., ζα γίλεη πην εχθνιν ζηε ιχζε. Αληηζέησο, ε χπαξμε φισλ απηψλ ησλ κε αθεξαίσλ ιχζεσλ είλαη πνπ εγγπάηαη φηη ππάξρεη βαζηθή εθηθηή ιχζε πνπ ζα είλαη βέιηηζηε γηα ην πξφβιεκα. ε απηφ νθείιεη ηελ απνδνηηθφηεηά ηεο θαη ε κέζνδνο Simplex. Παξ φιν πνπ δελ είλαη ζπρλφ θαηλφκελν ε βέιηηζηε ιχζε ηνπ π.γ.π. ραιάξσζεο λα είλαη αθέξαηνο, ππάξρνπλ ζπγθεθξηκέλα π.α.π. γηα ηα νπνία ηζρχεη απηφ. Σα πην ζπλεζηζκέλα είλαη ην πξφβιεκα ηεο κεηαθνξάο, ην πξφβιεκα αλάζεζεο, ην πξφβιεκα κεηαθφξησζεο, ην πξφβιεκα ηεο ζπληνκφηεξεο δηαδξνκήο θαη ην πξφβιεκα ηεο κέγηζηεο ξνήο, θαη απηά ηα πξνβιήκαηα κπνξνχλ λα ζεσξεζνχλ π.γ.π. θαη λα ιπζνχλ κε ηε κέζνδν Simplex. Γεληθά ζηνλ Α.Π. πξνζπαζνχκε λα Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 13

14 εθκεηαιιεπηνχκε νπνηαδήπνηε ηδηαίηεξε γλσζηή κνξθή ελφο πξνβιήκαηνο. Έηζη, ε δπζθνιία ππνινγηζκνχ ζε έλα π.α.π. θαζνξίδεηαη απφ θάπνηα ηδηαίηεξε δνκή θαη απφ ηνλ αξηζκφ ησλ αθέξαησλ κεηαβιεηψλ. Δδψ ν αξηζκφο ησλ ελεξγψλ πεξηνξηζκψλ δελ είλαη πνιχ πην ζεκαληηθφο ζε ζρέζε κε ηνλ αξηζκφ ησλ κεηαβιεηψλ. ε έλα κ.π.α.π. ζεκαληηθφ ξφιν παίδεη κφλν ν αξηζκφο ησλ αθέξαησλ κεηαβιεηψλ, αθνχ νη ππφινηπεο κεηαβιεηέο δελ παίδνπλ νπζηαζηηθφ ππνινγηζηηθφ ξφιν ζηελ έπξεζε ιχζεο. Λφγσ ηεο δπζθνιίαο ησλ π.α.π. ζε ζρέζε κε ηα π.γ.π., πνιιέο θνξέο κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί ε κέζνδνο Simplex γηα ηελ επίιπζε ηνπ π.γ.π. ραιάξσζεο, θαη χζηεξα ε ζηξνγγπινπνίεζε ηεο ιχζεο ζε αθέξαηνπο αξηζκνχο. Παξ φιν πνπ απηή ε πξνζέγγηζε κπνξεί λα θαλεί ρξήζηκε φηαλ νη ηηκέο ησλ κεηαβιεηψλ είλαη αξθεηά κεγάιεο, ππάξρνπλ δχν ζεκεία ζηα νπνία κπνξεί θαλείο λα πέζεη έμσ. Μηα βέιηηζηε ιχζε π.γ.π. δελ είλαη απαξαίηεηα εθηθηή κεηά ηε ζηξνγγπινπνίεζή ηεο. Αιιά αθφκα θαη αλ είλαη βέιηηζηε γηα ην π.γ.π., δελ κπνξεί θαλείο λα εγγπεζεί φηη ζα είλαη βέιηηζηε θαη γηα ην π.α.π. ηελ πξαγκαηηθφηεηα, ε ιχζε απηή κπνξεί λα απέρεη θαηά πνιχ απφ ηε βέιηηζηε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο. Γηα λα απνθεπρζνχλ φιεο απηέο νη δπζθνιίεο κε ηε ζηξνγγπινπνίεζε, έρεη γίλεη κεγάιε πξφνδνο ζηελ αλάπηπμε ησλ απνηειεζκαηηθψλ αιγνξίζκσλ heuristics. Αθφκα θαη ζε πνιχ κεγάια π.α.π., απηνί νη αιγφξηζκνη ζα βξνπλ αξθεηά γξήγνξα εθηθηέο ιχζεηο, νη νπνίεο δελ είλαη βέιηηζηεο κελ, είλαη δε θαιχηεξεο απφ απηέο πνπ ζα παίξλακε απφ ηε ζηξνγγπινπνίεζε. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 14

15 Κπξηφηεξεο ηερληθέο Οη θπξηφηεξεο ηερληθέο πνπ πηνζεηνχληαη γηα ηελ επίιπζε π.α.π., θαη θάπνηεο απφ ηηο νπνίεο ζα πεξηγξάςνπκε ζηε ζπλέρεηα, είλαη νη εμήο: 1) Μέζνδνη θιάδνπ θαη θξαγήο (Branch and bound) Ζ ιχζε εδψ έξρεηαη χζηεξα απφ ηε ιχζε κηαο ζεηξάο ππνπξνβιεκάησλ, ηα νπνία ζπλδένληαη κεηαμχ ηνπο κε θιαδηά. 2) Σερληθέο πεξηνξηζκνχ ηνπ εθηθηνχ ρψξνπ (cutting planes) Γεκηνπξγία ζπκπιεξσκαηηθψλ αληζνηήησλ γηα πεξηνξηζκφ ηνπ ρψξνπ ησλ ιχζεσλ ψζηε ην πξφβιεκα λα έρεη αθέξαηεο κεηαβιεηέο. 3) Μέζνδνη απαξίζκεζεο ε απηέο ηηο κεζφδνπο εληνπίδνληαη ζχκθσλα κε θάπνηα θξηηήξηα φιεο νη εθηθηέο ιχζεηο θαη επηιέγεηαη απηή πνπ κεγηζηνπνηεί ηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε. 4) Γηακεξηζηηθνί αιγφξηζκνη Δπίιπζε ελφο κ.π.α.π. κέζσ ηεο επίιπζεο κηαο ζεηξάο π.γ.π. θαη π.α.π. 5) Αιγφξηζκνη βαζηζκέλνη ζηε ζεσξία νκάδσλ (Gomory) Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 15

16 ΜΔΘΟΓΟ ΚΛΑΓΟΤ-ΦΡΑΓΗ Ζ βαζηθή ηδέα ηνπ αιγνξίζκνπ θιάδνπ-θξαγήο είλαη ην «διαίρει και βαζίλεσε», αθνχ ην αξρηθφ πξφβιεκα είλαη πνιχ δχζθνιν λα ιπζεί, θαη άξα ν κφλνο ηξφπνο λα ιπζεί εχθνια θαη απνηειεζκεηηθά είλαη λα ρσξηζηεί ζε φιν θαη κηθξφηεξα ππνπξνβιήκαηα, κέρξη ηα ππνπξνβιήκαηα απηά λα κπνξνχλ λα επηιπζνχλ. ε απηή ηελ ελφηεηα ζα κειεηήζνπκε ηε κέζνδν θιάδνπ-θξαγήο. πγθεθξηκέλα, ζα παξνπζηάζνπκε ην ινγηθφ δηάγξακκα ηεο κεζφδνπ, θαζψο επίζεο θαη ην δηάγξακκα ξνήο, θαη ζα επηιχζνπκε κε ηε ρξήζε ηνπ αιγνξίζκνπ αιιά θαη γξαθηθά έλα π.α.π. 2 κεηαβιεηψλ θαη έλα αληίζηνηρν κ.π.α.π., έλα π.α.π. κε 4 κεηαβιεηέο, έλα π.α.π. 0-1 κε 4 κεηαβιεηέο, έλα κ.π.α.π. κε 4 κεηαβιεηέο θαη έλα π.α.π. ειαρηζηνπνίεζεο κε πνιιέο κεηαβιεηέο. Σέινο ζα επηρεηξήζνπκε λα ιχζνπκε έλα πξφβιεκα κε πξαγκαηηθά δεδνκέλα. Λνγηθφ δηάγξακκα ηεο κεζφδνπ θιάδνπ-θξαγήο Βήμα 1: Λχλνπκε ην π.γ.π. ραιάξσζεο ηνπ π.α.π. ή κ.π.α.π. Αλ ην π.γ.π. ραιάξσζεο δίλεη αθέξαηεο ιχζεηο γηα ηηο κεηαβιεηέο πνπ ζέινπκε λα είλαη αθέξαηεο, ηφηε απηή είλαη θαη ε ιχζε ηνπ π.α.π. ή κ.π.α.π. ε πξνβιήκαηα κεγηζηνπνίεζεο, ε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο ηνπ π.γ.π. ραιάξσζεο απνηειεί έλα άλσ θξάγκα γηα ηελ ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο ηνπ π.α.π. ή κ.π.α.π. Βήμα 2: Δμεηάδνπκε ηηο κεηαβιεηέο νη νπνίεο δελ πιεξνχλ ηνλ πεξηνξηζκφ λα είλαη αθέξαηεο. Δπηιέγνπκε απηή κε ην κεγαιχηεξν δεθαδηθφ κέξνο, έζησ. ε απηφ ην ζεκείν πξέπεη λα αλαθεξζεί φηη ν θαλφλαο επηινγήο ηεο κεηαβιεηήο κε ην κεγαιχηεξν δεθαδηθφ κέξνο είλαη Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 16

17 απζαίξεηνο. Σα ίδηα απνηειέζκαηα ζα είρακε αλ επηιέγακε ηελ κε αθέξαηα κεηαβιεηή κε ην κηθξφηεξν δεθαδηθφ κέξνο. Σν ζεκαληηθφ είλαη ζε θάζε βήκα ν θαλφλαο επηινγήο λα κέλεη ν ίδηνο πάληα. Βήμα 3: ρεκαηίδνπκε δχν ππνπξνβιήκαηα κε βάζε απηή ηελ κεηαβιεηή, πξνζζέηνληαο ηνπο πεξηνξηζκνχο [ ] θαη Ґ. Λχλνπκε ηα δχν λέα π.γ.π. Βήμα 4: Αλ νη ιχζεηο πιεξνχλ ηνπο πεξηνξηζκνχο γηα ηηο αθέξαηεο κεηαβιεηέο, ηφηε ε βέιηηζηε ιχζε είλαη απηή πνπ δίλεη κεγαιχηεξε ηηκή ζηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε. Βήμα 5: Αλ ε ιχζε ζην έλα ππνπξφβιεκα πιεξεί ηνπο πεξηνξηζκνχο, θαη επίζεο δίλεη ηε κεγαιχηεξε ηηκή ζηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε, ηφηε απηή είλαη ε βέιηηζηε ιχζε ηνπ πξνβιήκαηνο. Βήμα 6: Αλ θαλέλα απφ ηα ππνπξνβιήκαηα δελ δίλεη αθέξαηεο ιχζεηο, ηφηε επηιέγνπκε απηφ πνπ δίλεη κεγαιχηεξε ηηκή ζηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε θαη πεγαίλνπκε ζην Βήκα 2. Βήμα 7: Ζ βέιηηζηε ιχζε ζα βξεζεί φηαλ ζα βξνχκε έλα ππνπξφβιεκα ηνπ νπνίνπ ε ιχζε ζα είλαη αθέξαηα, θαη ε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο ζα είλαη κεγαιχηεξε απφ φια ηα άιια ππνπξνβιήκαηα πνπ δίλνπλ εθηθηέο ή κε εθηθηέο ιχζεηο. Αληίζηνηρα δνπιεχνπκε ζε πξνβιήκαηα ειαρηζηνπνίεζεο, κφλν πνπ ε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο ηνπ π.γ.π. ραιάξσζεο απνηειεί θάησ θξάγκα, θαη θάζε θνξά επηθεληξσλφκαζηε ζην πξφβιεκα πνπ δίλεη ηελ κηθξφηεξε ηηκή ζηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 17

18 Δικόνα 1: Γιάγραμμα ροής κλάδοσ-θραγής Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 18

19 Πξνβιήκαηα Έλα π.α.π. 2 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 1: Έλα εξγνζηάζην θαηαζθεπήο παηρληδηψλ θηηάρλεη δχν παηρλίδηα, ηξεινκπαιάθηα θαη πιαζηηθά θνξηεγάθηα. Κάζε ηξεινκπαιάθη απαηηεί γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ 1 ψξα ζηελ πξέζζα θαινχπσζεο, 1 ψξα ζην κεράλεκα ρξσκαηηζκνχ θαη 1 ψξα ζην κεράλεκα ιείαλζεο. Κάζε θνξηεγάθη απαηηεί 1 ψξα ζηελ πξέζζα θαινχπσζεο, 4 ψξεο ζην κεράλεκα ρξσκαηηζκνχ θαη 9 ψξεο ζην κεράλεκα ιείαλζεο. Ζ πξέζζα θαινχπσζεο είλαη δηαζέζηκε 5 ψξεο ηελ εκέξα, ην κεράλεκα ρξσκαηηζκνχ 6 ψξεο ηελ εκέξα θαη ην κεράλεκα ιείαλζεο 10 ψξεο ηελ εκέξα. Σν θέξδνο απφ ηελ πψιεζε ελφο ηξειφκπαινπ είλαη 2 επξψ, θαη ην θέξδνο απφ ην έλα θνξηεγάθη είλαη 13 επξψ. Ζ πνζφηεηα πνπ παξάγεηαη απφ θάζε παηρλίδη ηελ εκέξα είλαη αθέξαηνο αξηζκφο. Εεηάκε ηελ πνζφηεηα πνπ πξέπεη λα θαηαζθεπαζηεί απφ θάζε παηρλίδη, ψζηε λα κεγηζηνπνηεζεί ην ζπλνιηθφ θέξδνο ηνπ εξγνζηαζίνπ. Λχζε Καη αξρήλ, ζα πξέπεη λα γξάςνπκε ην πξφβιεκα ζηε κνξθή ελφο πξνβιήκαηνο γξακκηθνχ πξνγξακκαηηζκνχ. Αο είλαη = ην πιήζνο ησλ ηξειφκπαισλ, θαη = ην πιήζνο ησλ πιαζηηθψλ θνξηεγψλ πνπ θαηαζθεπάδνληαη. Σν θέξδνο απφ ηελ πψιεζε ησλ ηξειφκπαισλ ζα είλαη 2, θαη ην θέξδνο απφ ηα θνξηεγάθηα ζα είλαη 13. Σν ζπλνιηθφ θέξδνο ζα είλαη Πεξηνξηζκνί ππάξρνπλ δηφηη: ε πξέζζα θαινχπσζεο είλαη δηαζέζηκε 5 ψξεο ηελ εκέξα, δειαδή + 5 (1) Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 19

20 ην κεράλεκα ρξσκαηηζκνχ είλαη δηαζέζηκν 6 ψξεο ηελ εβδνκάδα, δειαδή +4 6 (2) ην κεράλεκα ιείαλζεο είλαη δηαζέζηκν 10 ψξεο ηελ εβδνκάδα, δειαδή (3). Φπζηθά είλαη, 0 θαη ηα, είλαη αθέξαηνη αξηζκνί. Σειηθά ην πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο είλαη ην εμήο: maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) (3), 0, αθέξαηνη Σν πξψην βήκα γηα ηε ιχζε ηνπ π.α.π. απηνχ είλαη ε ιχζε ηνπ π.γ.π. ραιάξσζεο, δειαδή ηνπ πξνβιήκαηνο ρσξίο ηνλ πεξηνξηζκφ ηα, λα είλαη αθέξαηνη. Απηφ έρεη ιχζε = 2.8, = 0.8, z = 16. Δικόνα 2:Δθικηή περιοτή π.γ.π. ταλάρφζης Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 20

21 ην δεχηεξν βήκα, ζα δεκηνπξγήζνπκε δχν ππνπξνβιήκαηα απφ ην αξρηθφ, μεθηλψληαο απφ ηε κε αθέξαηε κεηαβιεηή κε ην κεγαιχηεξν δεθαδηθφ κέξνο. Δπεηδή εδψ θαη νη δχν κεηαβιεηέο έρνπλ ην ίδην δεθαδηθφ κέξνο, επηιέγνπκε ηπραία ηελ, ηεο νπνίαο ην δεθαδηθφ κέξνο είλαη 0.8, θαη ζα επηθεληξσζνχκε ζε απηήλ. Δπεηδή ε κεηαβιεηή δελ είλαη απνδεθηή, ζα εμεξεπλήζνπκε ηηο δχν πηζαλέο επηινγέο, δειαδή ηελ 2 θαη ηελ 3, αθνχ δελ ππάξρεη άιινο αθέξαηνο κεηαμχ ηνπ 2 θαη ηνπ 3. Έηζη δεκηνπξγνχκε δχν λέα π.γ.π. ηα νπνία θαη ζα επηιχζνπκε. Τποπρόβλημα 2 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) (3) 2 Τποπρόβλημα 3, 0 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) (3) 3, 0 ην επφκελν βήκα ιχλνπκε ηα ππνπξνβιήκαηα 2 θαη 3 γξαθηθά ή κε Simplex θαη νη ιχζεηο γηα ην Τπ 2 είλαη: = 2, =0.89, z = 16 θαη γηα ην Τπ 3 είλαη: =3, =0.75, z = 16. Αθνχ ε ηηκή θαη ζηα δχν Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 21

22 ππνπξνβιήκαηα είλαη ε ίδηα, ζα δεκηνπξγήζνπκε ππνπξνβιήκαηα θαη απφ ηα δχν απηά ππνπξνβιήκαηα, κε ηε ρξήζε ηεο κεηαβιεηήο, αθνχ απηή δελ είλαη αθέξαηα. ην γξάθεκα θαίλνληαη νη δχν λένη εθηθηνί ρψξνη πνπ δεκηνπξγνχληαη κε ηελ πξνζζήθε απηψλ ησλ δχν πεξηνξηζκψλ, θαζψο επίζεο θαη ηα αθέξαηα δεχγε ηηκψλ πνπ ελδερνκέλσο λα απνηειέζνπλ ιχζεηο ηνπ ηειηθνχ πξνβιήκαηνο. Δικόνα 3:Δθικηές περιοτές σποπροβλημάηφν 2 και 3 Τποπρόβλημα 4 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) (3) 2 0, 0 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 22

23 Τποπρόβλημα 5 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) (3) 2 1, 0 Τποπρόβλημα 6 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) (3) 3 0, 0 Τποπρόβλημα 7 maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) (3) 3 1, 0 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 23

24 Ζ ιχζε ηνπ Τπ 4 είλαη = 2, = 0, z = 4, ηνπ Τπ 5 είλαη =1, = 1, z = 15, ηνπ Τπ 6 =5, =0, z = 10 θαη ην Τπ 7 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. ε απηφ ην ζεκείν αμίδεη λα ζεκεηψζνπκε φηη νη ηηκέο ησλ Τπ 2 θαη 3 απνηεινχλ έλα άλσ θξάγκα γηα ηα ππνπξνβιήκαηα πνπ πξνθχπηνπλ απφ απηά. Δπίζεο, αθνχ έρνπκε πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο, δερφκαζηε ηελ κεγαιχηεξε ηηκή αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο. Δδψ ην Τπ 5 καο δίλεη ηελ βέιηηζηε ιχζε, ε νπνία είλαη αθέξαηα θαη είλαη ε εμήο: =1, = 1, z = 15. Δικόνα 4:Τελική εθικηή περιοτή-βέληιζηη λύζη Γειαδή, ην εκεξήζην ζπλνιηθφ θέξδνο ηνπ εξγνζηαζίνπ είλαη 15 επξψ, θαη επηηπγράλεηαη αλ θαηαζθεπάδεη ηελ εκέξα 1 ηξεινκπαιάθη θαη 1 πιαζηηθφ θνξηεγάθη. Φπζηθά ζην πξφβιεκα κπνξνχκε λα πξνζζέζνπκε φζα κεδεληθά ζέινπκε, θαη λα ππνινγίζνπκε πνζφηεηεο θαη ρξεκαηηθέο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 24

25 κνλάδεο ζε εθαηνληάδεο, ρηιηάδεο θνθ γηα λα θαίλεηαη πην ξεαιηζηηθφ. Παξ φια απηά, ζθνπφο καο εδψ ήηαλ λα παξνπζηάζνπκε ηα βήκαηα ηεο κεζφδνπ αλαιπηηθά. πλνςίδνληαο, κπνξνχκε λα παξνπζηάζνπκε ηα απνηειέζκαηα απηά ζε έλα γξάθεκα κε θφκβνπο. Δικόνα 5:Γράθημα ηοσ προβλήμαηος 1 Έλα κηθηφ π.α.π. κεγηζηνπνίεζεο 2 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 2: Έζησ ην πξνεγνχκελν πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο, κε ηε δηαθνξά φηη εδψ ζέινπκε κφλν ε κία κεηαβιεηή λα είλαη αθέξαηνο. maximize z = (2 +13 ) θάησ απφ ηνπο πεξηνξηζκνχο + 5 (1) +4 6 (2) (3), 0 αθέξαηνο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 25

26 Λχζε Αξρηθά ιχλνπκε ην γξακκηθφ πξφβιεκα ραιάξσζεο, θαη θαηαιήγνπκε ζηελ ίδηα ιχζε κε πξηλ, δειαδή ζηελ = 2.8, = 0.8, z = 16. Αθνχ ζέινπκε ε κεηαβιεηή λα είλαη αθέξαηνο, ζα αζρνιεζνχκε κε απηήλ. Γεκηνπξγνχκε ηα δχν ππνπξνβιήκαηα 1 θαη 2, φκσο νη ιχζεηο δίλνληαη κε πξνζέγγηζε ηξηψλ δεθαδηθψλ ςεθίσλ, θαη είλαη γηα ην Τπ2 = 2, =0.889, z =15.6 θαη γηα ην Τπ3 =3, =0.75, z =15.8. Οη ιχζεηο θαη ησλ δχν ππνπξνβιεκάησλ δίλνπλ αθέξαηα ηηκή ζηε κεηαβιεηή, φκσο επηιέγνπκε σο βέιηηζηε απηή κε ηε κεγαιχηεξε ηηκή αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο, αθνχ έρνπκε πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο. Άξα εδψ ε ιχζε ηνπ κ.π.α.π. είλαη ε =3, =0.75, z =15.8. Γξαθηθά θαίλεηαη ν πεξηνξηζκφο ε κεηαβιεηή λα είλαη αθέξαηνο, ελψ ε δελ έρεη πεξηνξηζκφ σο πξνο ηηο ηηκέο πνπ κπνξεί λα πάξεη. Δικόνα 6: Δθικηές περιοτές σποπροβλημάηφν 2 και 3 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 26

27 Έλα π.α.π. κεγηζηνπνίεζεο 4 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 3: Hillier-Lieberman 1995 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 αθέξαηνη Λχζε Αξρηθά ιχλνπκε ην γξακκηθφ πξφβιεκα ραιάξσζεο κε Simplex, θαη ε ιχζε πνπ παίξλνπκε είλαη (,,, ) = (0, 2.7, 0, 1) θαη z = Δπεηδή έρνπκε πξφβιεκα κεγηζηνπνίεζεο, ην 17.5 απνηειεί έλα άλσ θξάγκα γηα ην πξφβιεκα, δειαδή φιεο νη ηηκέο ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο πνπ ζα πξνθχςνπλ κε ηε δηαδηθαζία θιάδνπ-θξαγήο ζα είλαη κηθξφηεξεο απφ Δπεηδή ην δελ είλαη αθέξαηνο, έρνπκε 2 ή 3. Έηζη δεκηνπξγνχληαη ηα ππνπξνβιήκαηα 2 θαη 3. Τποπρόβλημα 2 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 27

28 Τποπρόβλημα 3 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Ζ ιχζε ηνπ Τπ2 είλαη (,,, ) = (0.33, 2, 0, 1) θαη z=17, θαη ηνπ Τπ3 είλαη (,,, ) = (0, 3, 0, 0.5) θαη z=17. Θα δεκηνπξγήζνπκε λένπο θιάδνπο θαη απφ ηα δχν ππνπξνβιήκαηα, αθνχ θαλέλα απφ ηα δχν δελ έδσζε αθέξαηα ιχζε, θαη ε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο είλαη ε ίδηα, νπφηε δελ κπνξνχκε λα απνξξίςνπκε θάπνηα ιχζε. Απφ ην Τπ2 δεκηνπξγνχκε ηα ππνπξνβιήκαηα 4 θαη 5 κε 0 θαη 1, θαη απφ ην Τπ3 ηα 6 θαη 7 κε 0 θαη 1. Τποπρόβλημα 4 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 28

29 Τποπρόβλημα 5 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 6 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 7 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 29

30 Οη ιχζεηο ησλ ππνπξνβιεκάησλ είλαη: Τπ4 (,,, ) = (0, 2, 0, 1) θαη z=14, Τπ5 (,,, ) = (1, 0.8, 0, 0.8) θαη z=16.2, Τπ6 (,,, ) = (0, 3.3, 0, 0) θαη z=16,5 θαη ην Τπ7 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. Σν Τπ4 δίλεη αθέξαηα ιχζε (,,, ) = (0, 2, 0, 1) z=14, αιιά νη ηηκέο ησλ αληηθεηκεληθψλ ζπλαξηήζεσλ ησλ Τπ5 θαη Τπ6 είλαη κεγαιχηεξεο (16.2 θαη 16.5 αληίζηνηρα), άξα επηιέγνπκε λα ζπλερίζνπκε κε ηε δεκηνπξγία θιαδηψλ ζην Τπ6 πνπ έρεη ηε κεγαιχηεξε ηηκή αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο. Δδψ έρνπκε 3 θαη 4, θαη έηζη δεκηνπξγνχληαη ηα ππνπξνβιήκαηα 8 θαη 9. Τποπρόβλημα 8 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 9 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 30

31 Με ηε κέζνδν Simplex βξίζθνπκε ηε ιχζε ζην Τπ8, (,,, ) = (0.17, 3, 0, 0) θαη z=16.5, ελψ ην Τπ9 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. πλερίδνπκε δεκηνπξγψληαο κε ηελ δχν ππνπξνβιήκαηα απφ ην Τπ8, ηα 10 θαη 11. Τποπρόβλημα 10 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 11 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Ζ ιχζε ζην Τπ10 είλαη (,,, ) = (0, 3, 0, 0) θαη z=15 ελψ ην Τπ11 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. Σν ππνπξφβιεκα 10 έδσζε αθέξαηα ιχζε, αιιά ε ηηκή z=15 ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο είλαη κηθξφηεξε απφ απηή ηνπ ππνπξνβιήκαηνο 5 (z=16.2), άξα ζπλερίδνπκε δεκηνπξγψληαο θιάδνπο απφ ην Τπ5, κε 0 θαη 1. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 31

32 Τποπρόβλημα 12 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 13 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Ζ ιχζε ζην Τπ12 είλαη (,,, ) = (1, 1.3, 0, 0) θαη z=15.5 ελψ ην Τπ13 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. πλερίδνπκε δεκηνπξγψληαο θιάδνπο απφ ην Τπ12, κε 1 θαη 2. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 32

33 Τποπρόβλημα 14 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Τποπρόβλημα 15 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 Ζ ιχζε ζην Τπ14 είλαη (,,, ) = (1.17, 1, 0, 0) θαη z=15.5 ελψ ην Τπ15 δελ έρεη εθηθηή ιχζε. Καη ηα δχν ππνπξνβιήκαηα πνπ δεκηνπξγνχληαη απφ ην Τπ14 δελ έρνπλ εθηθηέο ιχζεηο, θαη άξα θαηαιήγνπκε φηη ε βέιηηζηε ιχζε είλαη απηή ηνπ ππνπξνβιήκαηνο 10, δειαδή (,,, ) = (0, 3, 0, 0) θαη z=15. Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 33

34 Δικόνα 7:Γράθημα ηοσ προβλήμαηος 3 Έλα κηθηφ π.α.π. κεγηζηνπνίεζεο 4 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 4: Hillier-Lieberman 1995 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4, αθέξαηνη Λχζε Αθνινπζψληαο ηελ ίδηα δηαδηθαζία κε πξηλ, παξαηεξνχκε φηη θηάλνληαο ζην Τπ3, έρνπκε κία εθηθηή ιχζε, αθνχ (,,, ) = (0, 3, 0, 0.5), ε νπνία είλαη θαη ε βέιηηζηε δηφηη έρεη ηελ κεγαιχηεξε ηηκή (z=17) ζε Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 34

35 ζρέζε κε απηέο ησλ ππνπξνβιεκάησλ 4 θαη 5. Άξα εδψ ε βέιηηζηε ιχζε είλαη ε (,,, ) = (0, 3, 0, 0.5) θαη ε βέιηηζηε ηηκή είλαη z=17. Δικόνα 8:Γράθημα ηοσ προβλήμαηος 4 Έλα 0-1 π.α.π. κεγηζηνπνίεζεο 4 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 5: Hillier-Lieberman 1995 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = {, i = 1,2,3,4 Λχζε Δδψ νη κφλεο ηηκέο αθεξαίσλ πνπ κπνξνχλ λα πάξνπλ νη κεηαβιεηέο είλαη 0 ή 1, γηα i = 1,2,3,4. Απηφ θάλεη ην ζπγθεθξηκέλν πξφβιεκα πην Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 35

36 εχθνιν θαη γξήγνξν ζηε ιχζε, ζπγθξηηηθά κε ην π.α.π. πνπ ιχζακε πξνεγνπκέλσο. Ζ ιχζε ηνπ πγπ ραιάξσζεο είλαη ε ίδηα κε πξηλ, δειαδή (,,, ) = (0, 2.7, 0, 1) θαη z = Βιέπνπκε φηη ε κεηαβιεηή δελ έρεη ηηκή 0 ή 1, άξα δεκηνπξγνχκε 2 θιάδνπο κε βάζε απηή ηελ παξαηήξεζε, κε = 0 θαη = 1. Έηζη έρνπκε: Τποπρόβλημα 2 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 0 = {, i = 1,3,4 Τποπρόβλημα 3 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 1 = {, i = 1,3,4 Ζ ιχζε ζην Τπ2 είλαη (,,, ) = (1.7, 0, 0, 0) θαη z=15, θαη ζην Τπ3 (,,, ) = (0.8, 1, 0, 1) θαη z=16.5. Δπεηδή ζην Τπ3 επηηπγράλεηαη κεγαιχηεξε ηηκή ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο, Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 36

37 ζπλερίδνπκε κε ηε δεκηνπξγία θιάδσλ απφ απηφ, θαη ζπλερίδνπκε κε ηελ κεηαβιεηή. Οκνίσο κε πξηλ, έρνπκε = 0 θαη = 1. Τποπρόβλημα 4 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 1 = 0 = {, i = 3,4 Τποπρόβλημα 5 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 1 = 1 = {, i = 3,4 Ζ ιχζε ηνπ Τπ4 είλαη (,,, ) = (0, 1, 0, 1) θαη z=9, θαη ηνπ Τπ5 είλαη (,,, ) = (1, 1, 0, 0.5) θαη z = 16. Ζ ηηκή ηνπ Τπ5 είλαη Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 37

38 κεγαιχηεξε απφ ηελ ηηκή ηνπ Τπ2, νπφηε ζπλερίδνπκε ζην Τπ5 κε ηελ κεηαβιεηή, κε = 0 θαη = 1. Τποπρόβλημα 6 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 1 = 0 = 0 = {, i = 3 Τποπρόβλημα 7 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 1 = 0 = 1 = {, i = 3 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 38

39 Σν Τπ7 δελ έρεη εθηθηή ιχζε, ελψ ε ιχζε ηνπ Τπ6 είλαη (,,, ) = (1, 1, 0.2, 0) θαη z=15.2. πλερίδνπκε κε ηελ κεηαβιεηή πνπ απέκεηλε, δειαδή ηελ, θαη έρνπκε ηα παξαθάησ ππνπξνβιήκαηα: Τποπρόβλημα 8 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 1 = 0 = 0 = 0 Τποπρόβλημα 9 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 1 = 0 = 0 = 1 Σν Τπ9 δελ έρεη εθηθηή ιχζε, ελψ ην Τπ8 έρεη ιχζε (,,, ) = (1, 1, 0, 0) θαη z = 14. Ζ ηηκή z = 14 είλαη κηθξφηεξε απφ ηελ ηηκή πνπ δίλεη Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 39

40 γηα ηελ αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε ην Τπ2, άξα επηζηξέθνπκε ζην Τπ2 θαη δεκηνπξγνχκε λένπο θιάδνπο. Τποπρόβλημα 10 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 0 = 0 = {, i = 3,4 ηνπ νπνίνπ ε ιχζε είλαη ε κεδεληθή θαη δελ ιακβάλεηαη ππ φςε Τποπρόβλημα 11 max ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4 = 0 = 1 = {, i = 3,4 ηνπ νπνίνπ ε ιχζε είλαη (,,, ) = (1, 0, 0.8, 0) θαη z = Απφ ην Τπ11 πξνθχπηνπλ ηα ηειεπηαία ππνπξνβιήκαηα, εθ ησλ νπνίσλ ην Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 40

41 έλα δελ έρεη εθηθηή ιχζε, ελψ ην άιιν έρεη ιχζε (,,, ) = (1, 0, 0, 0) θαη z = 9, πνπ είλαη κηθξφηεξε απφ απηή ηνπ Τπ8. Άξα ηειηθά θαηαιήγνπκε φηη ε βέιηηζηε ιχζε ηνπ αξρηθνχ καο πξνβιήκαηνο είλαη ε (,,, ) = (1, 1, 0, 0) θαη z = 14. Δικόνα 9:Γράθημα ηοσ προβλήμαηος 5 Έλα κηθηφ π.α.π. ειαρηζηνπνίεζεο 5 κεηαβιεηψλ Πξφβιεκα 6: Έζησ ην πξφβιεκα: min ( ) φηαλ , i = 1,2,3,4,5 αθέξαηνο γηα i = 1,2,3 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 41

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάλαιο 1. Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ. Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ. Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger

Κεθάλαιο 1. Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ. Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ. Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger Κεθάλαιο 1 Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΛΑΝΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Κεθάιαην 1: Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ Σπγγξαθείο: Δξ. Andrea Grimm, Δξ.

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΜΑΚΔΓΟΝΗΑ ΣΔΗ ΓΤΣΗΚΖ ΜΑΚΔΓΟΝΗΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΣΑΠΣΤΦΙΑΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ ΣΜΗΜΑΣΟ ΕΥΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΥΟΡΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Δθπφλεζε δηπισκαηηθήο εξγαζίαο κε ζέκα Οηθολοκηθές εθαρκογές θαη

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

Παλεπηζηήκην Πεηξαηψο Σκήκα Πιεξνθνξηθήο

Παλεπηζηήκην Πεηξαηψο Σκήκα Πιεξνθνξηθήο Παλεπηζηήκην Πεηξαηψο Σκήκα Πιεξνθνξηθήο Πξφγξακκα Μεηαπηπρηαθψλ πνπδψλ «Πιεξνθνξηθή» Μεηαπηστιακή Γιαηριβή Σίηινο Γηαηξηβήο Ολνκαηεπψλπκν Φνηηεηή Παηξψλπκν Ακέραιος Προγραμματισμός Δήλια Κων/να Ιωάννης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ

ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ β. ΣΟ ΠΝΕΤΜΑΣΙΚΟ ΜΑ ΚΕΝΣΡΟ γ. Η ΠΑΝΟΡΑΜΙΚΗ ΘΕΗ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ. Η Εθθιεζία ηνπ ρσξηνύ καο, ε Αγία Άλλα, είλαη θηηζκέλε πξηλ πνιιά

Διαβάστε περισσότερα

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Οη Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα εθαξκόδνληαη γηα ηελ απνξξνθνύκελε ελέξγεηα από Αηνιηθά Πάξθα πνπ είλαη ζπλδεδεκέλα ζην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ιήμεο 11.00 Κάπνηνο άξρηζε λα δηαβάδεη έλα βηβιίν ηελ 1 ε Δεθεκβξίνπ. Κάζε κέξα δηάβαδε ηνλ ίδην αξηζκό ζειίδσλ

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Καηαζθεπάδνπκε έλα νγθνκεηξηθό δνρείν από πιαζηηθό κπνπθάιη λεξνύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΝΕΤΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΣΤΑ. E w

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΝΕΤΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΣΤΑ. E w ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 κνλάδεο) ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΝΕΤΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΣΤΑ Σελικέρ εξετάσειρ Παπασκεςή 18 Ιοςνίος 2010 18:00-21:00 Έζησ φηη έλα απζαίξεην

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα.

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα. Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα Γηαθξάγκαηα Δξγαιεία Καηαζθεπέο 2 Η θαηαζθεπή πεξηγξάθεηαη ζηελ αληίζηνηρε ελόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67)

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Γηα λα επαλαθέξεηε ην FritzBox Fon WLAN 7140 ζηηο πξνεπηιεγκέλεο ηνπ ξπζκίζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Προγράμμαηα θωηογραθικών μηχανών Επιλογέας προγραμμάηων Μαο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα ειέγμνπκε ην άλνηγκα δηαθξάγκαηνο θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1. ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird

1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird 1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird 1.1 Εγκαηάζηαζη ηυν οδηγών ηηρ έξςπνηρ κάπηαρ ζηο λογιζμικό Mozilla Thunderbird

Διαβάστε περισσότερα

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 10 ε : ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΜΔΡΟ Β ΠΙΔΗ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Καξέθια θαθίξε Όξγαλα Τιηθά Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ.

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ. ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΟΑIΤΜΘΔΘ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ 11V11 ΗΚΘΙΘΑ 6-10 ΤΠΞΜΩΜ ΛΕΘΞΜΕΙΗΛΑΑ ΞΣ ΟΑΘΤΜΘΔΘΞΣ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ ΓΘΑ ΟΑΘΙΕΡ ΗΚΘΙΘΑΡ 6-10 ΕΩΜ Η ΔΘΑΔΠΞΛΗ ΑΟΞ Η ΛΘΑ ΕΡΘΑ ΡΗΜ ΑΚΚΗ ΕΘΜΑΘ ΛΕΓΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Α ο υ ι ς ε κ ς ξ μ ι κ ή ρ ύ μ θ ε ρ η 6 Τ ξ μ έ α π ΘΘΘ, X ώ ο ξ π κ α ι Δ π ι κ ξ ι μ χ μ ί α Η έ μ α : Διδάρκξμςεπ: Τξ εύοξπ ςξσ ξοίξσ Ιεοαμεικόπ

Διαβάστε περισσότερα

Α Καθοπιζμόρ απμοδιοηήηυν - 1 επικεθαλήρ 1. Γ Αςηοτία ζηη ζήπαγγα Β 1 επικεθαλήρ εξ. ζηελεσορ. Ε Ποζοηική ανάλςζη Γ 3 εξ.

Α Καθοπιζμόρ απμοδιοηήηυν - 1 επικεθαλήρ 1. Γ Αςηοτία ζηη ζήπαγγα Β 1 επικεθαλήρ εξ. ζηελεσορ. Ε Ποζοηική ανάλςζη Γ 3 εξ. Άσκηση cash flow tunnel Δίζηε επικεθαλήρ ηηρ ομάδαρ διασείπιζηρ κινδύνος πος αζσολείηαι με ηη λειηοςπγική ανάλςζη κινδύνυν μεγάληρ εηαιπείαρ διασείπιζηρ αςηοκινηηοδπόμυν. Έσεηε να παπαδώζεηε μελέηη πος

Διαβάστε περισσότερα

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H )

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H ) Ξ G O O G L E S C H O L A R Α Ο Ξ Ε Κ Ε Θ Λ Θ Α Λ Η Τ Α Μ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η Ρ Οξαγκαηνπνηώληαο αλαδήηεζε ζην GoogleScholar (http://scholar.google.com/) ν ρξήζηεο κπνξεί λα εληνπίζεη πιηθό αθαδεκαϊθνύ θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΝΚΑΓΑ Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΩΣΟΤ- ΙΑΘΟΤ 1. Γηα έλα αγαζό όηαλ ε ζηαζεξά γ είλαη ίζε κε ην κεδέλ ηόηε ε θακπύιε πξνζθνξάο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ 1) Υξηζηνπγελληάηηθα ειαηάθηα θάξηα ή θαδξάθη θάξηα ή θαδξάθη Τιηθά πνπ ζα ρξεηαζηνύκε: Υαξηί θάλζνλ καύξν γηα ην θόλην, πξάζηλν γηα ηα ειαηάθηα, θόθθηλν γηα ηα αζηεξάθηα Απιό

Διαβάστε περισσότερα

Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com Ώρες διδασκαλίας: 16:00 19:15 μμ

Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com Ώρες διδασκαλίας: 16:00 19:15 μμ ΠΑΙΓΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΙΣΟΤΣΟ ΚΤΠΡΟΤ Πξόγξακκα Δπηκόξθσζεο Τπνςεθίσλ Καζεγεηώλ Σερλνινγίαο Γελάξεο 2011 ΗΛΔΚΣΡΟΝΙΚΑ Ι (Ύιε Γπκλαζίνπ) Διδάσκων: Σαββίδης Σάββας Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά:

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά: ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ Η Μηκή θαη ν Νηίλνο αλαξσηήζεθαλ πνην αληειηαθό πξντόλ παξέρεη ηελ θαιύηεξε πξνζηαζία ζην δέξκα ηνπο. Τα αληειηαθά πξντόληα έρνπλ έλα δείθηε αληειηαθήο πξνζηαζίαο (SPF), ν νπνίνο δείρλεη πόζν

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1379/50 1. Όηαλ ινηπόλ ήξζαλ [νη πξέζβεηο ζηελ Αζήλα], αθνύ ζπλέιαβαλ νη Αζελαίνη θαη ηνπο πξέζβεηο σο ππνθηλεηέο ζηάζεο θαη όζνπο έπεηζαλ [νη πξέζβεηο], ηνπο ζπγθέληξσζαλ γηα αζθάιεηα ζηελ Αίγηλα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ

ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ ΠΟΛΤΜΕΡΙΜΟ - ΠΕΣΡΟΥΗΜΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣΑ Ο πολσμεριζμός Πολσμεριζμός είναι η τημική ανηίδραζη καηά ηην οποία πολλά μόρια ίδιων ή διαθορεηικών οργανικών ενώζεων, ποσ ονομάζονηαι μονομερή, ενώνονηαι και ζτημαηίζοσν

Διαβάστε περισσότερα

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα «ην θνηλό θαη ην θύξην» (Γ.νισκόο) γηα λα ρηίδω πάληα κε ηνλ ίδηνλε ηξόπν, κε ηηο ίδηεο θαηαζθεπαζηηθέο θαη πιαζηηθέο πξννπηηθέο, κε ηελ ίδηαλε πάληνηε πίζηε θαη αγάπε.. Α.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΠΔΙΡΑΙΩ ΣΜΗΜΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ & ΑΦΑΛΙΣΙΚΗ ΔΠΙΣΗΜΗ ΗΜΔΙΩΔΙ ΠΑΡΑΓΟΔΩΝ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ «ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κνχηξαο Μ. Μπνχηζηθαο ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ 2011

ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΠΔΙΡΑΙΩ ΣΜΗΜΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ & ΑΦΑΛΙΣΙΚΗ ΔΠΙΣΗΜΗ ΗΜΔΙΩΔΙ ΠΑΡΑΓΟΔΩΝ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ «ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κνχηξαο Μ. Μπνχηζηθαο ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ 2011 ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΠΔΙΡΑΙΩ ΣΜΗΜΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ & ΑΦΑΛΙΣΙΚΗ ΔΠΙΣΗΜΗ ΗΜΔΙΩΔΙ ΠΑΡΑΓΟΔΩΝ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ «ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΙΙ» Μ Κνύηξαο Μ Μπνύηηθαο ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο Σεεηψεηο παξαδφεσλ

Διαβάστε περισσότερα

Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB

Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB. ςνάπηηζη μεηαθοπάρ Γηα ηε κειέηε ελόο ζπζηήκαηνο κε ην Matlab απαξαίηεηε πξνϋπόζεζε είλαη λα δεκηνπξγήζνπκε έλα κνληέιν, ώζηε λα εμεηάζνπκε ηα ραξαθηεξηζηηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1382/153 1. Καη όηαλ έγηλε ε ππνρώξεζε αξγά ην απόγεπκα, επεηδή θνβήζεθαλ νη νιηγαξρηθνί κήπσο νη δεκνθξαηηθνί, αθνύ θάλνπλ επίζεζε, θαηαιάβνπλ

Διαβάστε περισσότερα

ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ

ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ Πεξηερόκελα Σερληθά Υαξαθηεξηζηηθά Καηαγξαθή Ώξαο πγρξνληζκόο πζηήκαηνο Παξνπζίαζε πζηήκαηνο Πηζαλά ελάξηα Υξήζεο 2 Σερληθά Υαξαθηεξηζηηθά

Διαβάστε περισσότερα

Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο

Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο Τν crossover καλώδιο ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα ζπλδεζνύλ δπν ππνινγηζηέο κεηαμύ ηνπο θαη αλ θηηάμνπλ έλα κηθξό ηνπηθό δίθηπν(lan). Έλα LAN κπνξεί λα είλαη ηόζν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ ΔΝΝΟΙΔ ΚΑΙ ΟΡΙΜΟΙ ΠΑΡΟΤΙΑΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ ΔΦΑΡΜΟΓΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ

ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ ΔΝΝΟΙΔ ΚΑΙ ΟΡΙΜΟΙ ΠΑΡΟΤΙΑΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ ΔΦΑΡΜΟΓΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ ΜΑΘΗΜΑ 2T2 41 ΓΟΜΙΚΗ ΦΤΙΚΗ ΗΥΟΜΟΝΩΗ - ΗΥΟΠΡΟΣΑΙΑ ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ ΠΑΡΟΤΙΑΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ ΔΦΑΡΜΟΓΗ ΣΟΤ ΚΑΝΟΝΙΜΟΤ ΜΟΝΑΓΔ ΑΚΟΤΣΙΚΗ ΚΑΣΗΓΟΡΙΔ ΑΚΟΤΣΙΚΗ ΑΝΔΗ ΠΑΡΑΜΔΣΡΟΙ ΑΚΟΤΣΙΚΗ ΑΝΔΗ ΚΡΙΣΗΡΙΑ ΗΥΟΜΟΝΩΗ - ΗΥΟΠΡΟΣΑΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 Κα ακαθένεηε 5 εονςπασθέξ πώνεξ θαη κα βνείηε ημ είδμξ ημο μνοθημύ ημοξ πιμύημο. Πμημη πανάγμκηεξ επηηνέπμοκ ηεκ θαηαζθεοή μεγάιςκ ηεπκηθώκ ένγςκ; Ε ελόνολε (ελαγςγή

Διαβάστε περισσότερα

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n . ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr Επιλεγμένες Ασκήσεις. α) Έζησ η.δ. Ep. Να δεηρζεί όηη ε T,..., ~, 0

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ Κιηληθή ηαμηλόκεζε ηνπ βαζκνύ ηεξεδνληθήο βιάβεο ηωλ νπώλ θαη ζρηζκώλ καζεηηθώλ επηθαλεηώλ θαηά ICDAS 1 νο Βαζκόο

Διαβάστε περισσότερα

Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ

Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ ΤΕΙ Δσηικής Μακεδονίας Τμήμα Βιομητανικού Στεδιαζμού Εργαζηήριο C 3 www.c3.teiwm.gr C 3 LAB www.c3.teiwm.gr 1 Εηζαγσγή Πεπιεσόμενα ύκβνια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1.

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1. Άσκηση 1 ΠΛΗ36 1. Η κόλε πεξίπησζε λα έρνπκε ζύγθξνπζε κεηαμύ παθέησλ ησλ δύν θόκβσλ είλαη λα ζηείιεη ν δεύηεξνο πξηλ πξνιάβεη λα πιεξνθνξεζεί γηα ηελ θαηάιεςε ηνπ δηάπινπ από ηνλ άιιν. Από ηε ζηηγκή πνπ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγτος Ορθογραθίας - Γραμμαηικής. Ορθογραθικός και Γραμμαηικός Έλεγτος

Έλεγτος Ορθογραθίας - Γραμμαηικής. Ορθογραθικός και Γραμμαηικός Έλεγτος 3.6 Έλεγτος Ορθογραθίας - Γραμμαηικής Ορθογραθικός και Γραμμαηικός Έλεγτος Πνιιέο θνξέο, θαζώο γξάθνπκε ζην Word, βιέπνπκε θπκαηηζηέο θόθθηλεο θαη πξάζηλεο ππνγξακκίζεηο λα εκθαλίδνληαη θάησ από νξηζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουοριακά Σσστήματα Διοίκησης: Excel (γραυήματα, τάσεις, σενάρια)

Πληρουοριακά Σσστήματα Διοίκησης: Excel (γραυήματα, τάσεις, σενάρια) : Excel (γραυήματα, τάσεις, σενάρια) Εσθύμιος Ταμπούρης tambouris@uom.gr Μαρία Ζώτοσ mzotou@uom.gr Πιεξνθνξηαθά Σπζηήκαηα Γηνίθεζεο HLOOKUP θαη VLOOKUP Γηα λα αλαδεηήζνπκε πιεξνθνξίεο από κηα βάζε δεδνκέλσλ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ ΘΕΜ 1 ο (2.5 κνλάδεο) ΠΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΚΕΔΟΝΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜ ΕΦΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ Σελικέρ εξετάσειρ Σετάπτη 21 Ιανοςαπίος 2009 13:00-16:00 Έζησ ν θόζκνο ηεο ειεθηξηθήο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ

ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ Α. Αεπόβια ικανόηηηα: ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ 1. Φόλλοος ζηα δύο καλάθια: νη αζιεηέο είλαη απέλαληη από ηα ηακπιώ ζε δπν γξακκέο. Οη πξώηνη έρνπλ από κηα κπάια. Με ην ζύλζεκα θάλνπλ θόιιννπ

Διαβάστε περισσότερα

ΙNCOFRUIT - (HELLAS).

ΙNCOFRUIT - (HELLAS). Πξνο ΟΛΑ ΤΑ ΜΔΛΗ Κε Σπλάδειθε Θέκα: Ιζπαλία & Γεξκαλία 5 ε ΔΒΓΟΜΑΓΑ 2011 (31 Ιαλ έσο 30 Φεβξ.2011) Παξαζέηνπκε θαησηέξσ: Αλαζθόπεζε ηεο 4 εο εβδνκάδνο 2011 κε ηηο ηηκέο ησλ εζπεξηδνεηδώλ πνπ δηακνξθώζεθαλ

Διαβάστε περισσότερα

Γραφεύα Επικοινωνύασ & Ενημϋρωςησ ϋρρεσ, Τψηλϊντου 4 3οσ Όροφοσ ΣΗΛ 2321023640 ΥΑΦ 2321051861

Γραφεύα Επικοινωνύασ & Ενημϋρωςησ ϋρρεσ, Τψηλϊντου 4 3οσ Όροφοσ ΣΗΛ 2321023640 ΥΑΦ 2321051861 Οπγάνωζη και διοίκηζη ηοςπιζηικών επισειπήζεων (ξενοδοσεία, ηοςπιζηικά γπαθεία ) Α) ΑΔΙ ΣΔΙ και Β) ΑΠΟΦΟΙΣΟΙ ΤΠΟΥΡΔΩΣΙΚΗ ΓΔΤΣΔΡΟΒΑΘΜΙΑ και ΜΔΣΑΓΔΤΣΔΡΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ Ρν πξόγξακκα απηό ζρεδηάζηεθε γηα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΔΝΑΚ θαη ιέβεηεο. Ζκεξίδα 20/11/2010. Σσηήξεο Καηζηκίραο Γξ. Μεραλνιόγνο Μεραληθόο. Γεληθόο Γξακκαηέαο β ΔΝ.Δ.ΔΠΙ.Θ.Δ. Αζήλα 20.11.

ΚΔΝΑΚ θαη ιέβεηεο. Ζκεξίδα 20/11/2010. Σσηήξεο Καηζηκίραο Γξ. Μεραλνιόγνο Μεραληθόο. Γεληθόο Γξακκαηέαο β ΔΝ.Δ.ΔΠΙ.Θ.Δ. Αζήλα 20.11. Ζκεξίδα 2/11/21 ΚΔΝΑΚ θαη ιέβεηεο Σσηήξεο Καηζηκίραο Γξ. Μεραλνιόγνο Μεραληθόο Γεληθόο Γξακκαηέαο β ΔΝ.Δ.ΔΠΙ.Θ.Δ. Αζήλα 2.11.21 Πεγέο ελέξγεηαο Σπλ. Πξσηνγελήο Δλέξγεηα = Σ Καηαλ. Δλέξγεηα θαπζίκνπ x Σπλη.

Διαβάστε περισσότερα

Δεςηέπα 18/05/2015. Απόνηερ : 1) Γεκόπνπινο Υξήζηνο 2) Καπώλεο πήιηνο 3) Κπξηαθόπνπινο Κπξηάθνο 4) Παλαγόπνπινο Βαζίιεο

Δεςηέπα 18/05/2015. Απόνηερ : 1) Γεκόπνπινο Υξήζηνο 2) Καπώλεο πήιηνο 3) Κπξηαθόπνπινο Κπξηάθνο 4) Παλαγόπνπινο Βαζίιεο 1 ΕΝΩΗ ΠΟΔΟΦΑΙΡΙΚΩΝ ΩΜΑΣΕΙΩΝ ΗΛΕΙΑ ΕΣΟ ΙΔΡΤΕΩ 1969 ΕΔΡΑ: ΠΤΡΓΟ Οδόο: Γξαγαηζαλίνπ 34 & Παπαθιέζζα Σει: 26210 33311 e-mail:epsilia@otenet.gr Φαμ: 26210 34004 Ππακηικό 35 ηρ ζςνεδπίαζηρ ηος Δ ηηρ ΕΠ Ηλείαρ

Διαβάστε περισσότερα

Σπληήξεζε ηξνθίκσλ ρσξίο ρεκηθά πξόζζεηα PROJECT B ΛΥΚΕΙΟΥ 2 014-15

Σπληήξεζε ηξνθίκσλ ρσξίο ρεκηθά πξόζζεηα PROJECT B ΛΥΚΕΙΟΥ 2 014-15 Σπληήξεζε ηξνθίκσλ ρσξίο ρεκηθά πξόζζεηα PROJECT B ΛΥΚΕΙΟΥ 2 014-15 Εηζαγσγή Οη ηερληθέο ζπληήξεζεο ηξνθίκσλ έρνπλ ζθνπό : α) λα παξεκπνδίζνπλ αλεπηζύκεηεο κεηαβνιέο ζηα ραξαθηεξηζηηθά (γεύζε - ρξώκα -

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Σχολικό έτος: 2011-2012 Καθηγήτριες: Κεφαλληνού Λουκία- Καλλία Αθηνά ΙΙ. ΟΙ ΑΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΑΠΟ ΣΟΤ ΠΡΟΙΣΟΡΙΚΟΤ ΥΡΟΝΟΤ ΕΩ ΚΑΙ ΣΟ Μ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟ 1. ΕΛΛΗΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΔΡΟΜΟ ΠΡΟ ΣΟ «ΑΕΙΦΟΡΟ ΧΟΛΕΙΟ» ένα φωτογπαφικό ταξίδι

Ο ΔΡΟΜΟ ΠΡΟ ΣΟ «ΑΕΙΦΟΡΟ ΧΟΛΕΙΟ» ένα φωτογπαφικό ταξίδι Ο ΔΡΟΜΟ ΠΡΟ ΣΟ «ΑΕΙΦΟΡΟ ΧΟΛΕΙΟ» ένα φωτογπαφικό ταξίδι ηα Δθπαηδεπηήξηα Πάλνπ ππνζηεξίδνπκε ηελ άπνςε όηη ην «αεηθόξν ζρνιείν» είλαη έλα όξακα εθηθηό. Η εθπαίδεπζε γηα ηελ αεηθνξία δελ είλαη κάζεκα, αιιά

Διαβάστε περισσότερα

Η. ΣΟΗΥΔΗΑ ΠΟΤ ΓΗΑΣΖΡΟΤΝΣΑΗ

Η. ΣΟΗΥΔΗΑ ΠΟΤ ΓΗΑΣΖΡΟΤΝΣΑΗ Αγαπεηέ αξρεγέ, Τν λέν ζύζηεκα ησλ playoff πνπ πηινηηθά ζα εθαξκνζηεί ζηε θεηηλή πεξίνδν 2013 14 απνηειεί κηα βειηίσζε ηνπ πθηζηάκελνπ ζπζηήκαηνο πνπ κε επηηπρία εθαξκόζηεθε ζηηο πξώηεο έμη δηνξγαλώζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ. Δρώτηση 1

ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ. Δρώτηση 1 ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ Πνιινί άλζξσπνη πηζηεύνπλ όηη ν άλεκνο ζα έπξεπε λα αληηθαηαζηήζεη ην πεηξέιαην θαη ην θάξβνπλν σο πεγή ελέξγεηαο γηα ηελ παξαγσγή ειεθηξηζκνύ. Οη θαηαζθεπέο πνπ θαίλνληαη ζηελ εηθόλα είλαη

Διαβάστε περισσότερα

Αναμόπθωζη Ππογπάμμαηορ Πποπηςσιακών Σποςδών

Αναμόπθωζη Ππογπάμμαηορ Πποπηςσιακών Σποςδών Αναμόπθωζη Ππογπάμμαηορ Πποπηςσιακών Σποςδών Ζ Σπλέιεπζε (Σ) ηνπ Τκήκαηνο Βηνκεραληθήο Γηνίθεζεο θαη Τερλνινγίαο ηεο 18/5/2015 ελέθξηλε ηελ αλακόξθσζε ηνπ Πξνγξάκκαηνο Πξνπηπρηαθώλ Σπνπδώλ. Παξαθαινύληαη

Διαβάστε περισσότερα

DOM. Γηδάζθνληεο: Π. Αγγειάηνο, Γ. Εήλδξνο Δπηκέιεηα δηαθαλεηώλ: Π. Αγγειάηνο. Σρνιή Ζιεθηξνιόγωλ Μεραληθώλ θαη Μεραληθώλ Υπνινγηζηώλ

DOM. Γηδάζθνληεο: Π. Αγγειάηνο, Γ. Εήλδξνο Δπηκέιεηα δηαθαλεηώλ: Π. Αγγειάηνο. Σρνιή Ζιεθηξνιόγωλ Μεραληθώλ θαη Μεραληθώλ Υπνινγηζηώλ DOM Γηδάζθνληεο: Π. Αγγειάηνο, Γ. Εήλδξνο Δπηκέιεηα δηαθαλεηώλ: Π. Αγγειάηνο Σρνιή Ζιεθηξνιόγωλ Μεραληθώλ θαη Μεραληθώλ Υπνινγηζηώλ Σηόρνο ηεο ώξαο Δμνηθείωζε κε ην DOM Γέληξν DOM: Γηάζρηζε Τξνπνπνίεζε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Θεματικές Ενότητες 1. Απιέο έλλνηεο θβαληηθήο κεραληθήο θαη ην ζύζηεκα δύν θβαληηθώλ θαηαζηάζεωλ. 2. Qubit θαη θβαληηθόο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Ελληνικής τεχνολογίας μηχανών ηλεκτροπαραγωγής ORC

Ανάπτυξη Ελληνικής τεχνολογίας μηχανών ηλεκτροπαραγωγής ORC Εθνικό Συνέδριο «Γεωθερμική Ηλεκτροπαραγωγή» Ξενοδοχείο Divani Caravel Αθήνα 20 Νοεμβρίου 2013 Ανάπτυξη Ελληνικής τεχνολογίας μηχανών ηλεκτροπαραγωγής ORC Α.Μπένου, Ι. Χωροπανίτης Τμήμα Γεωθερμικής Ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ Να σαπακηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ, πος ακολοςθούν, υρ ππορ ηην οπθόηηηά ηοςρ, με ηην ένδειξη Σωστό ή Λάθος 1. ηελ αξραία Ρώκε νη πιεβείνη δελ είραλ αξρηθά

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD

Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD Γηα ηε δηεπθόιπλζή ζαο θαηά ην switch-off ηεο πεξηνρήο ηεο Πεινπνλλήζνπ έρνπκε πξνζζέζεη ζηνπο ςεθηαθνύο καο δέθηεο κία λέα,

Διαβάστε περισσότερα

Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο

Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο Η Αξιολόγηζη ηηρ Πεπίλητηρ Κειμένος Παιδαγυγικό Ινζηιηούηο Οδηγίες για ηη διδαζκαλία ηων θιλολογικών μαθημάηων ζηο Ενιαίο Λύκειο (απόζπαζμα) Αθήνα 2001 ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ Α. Τν πεξηερόκελν ηεο πεξίιεςεο (0-12

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΡΓΑΣΙΑ 1 Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν στον

Διαβάστε περισσότερα

Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα. Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι

Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα. Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι Πξώην εξγαζηεξηαθό κάζεκα Αξρηηεθηνληθή Η/Υ Ι Σςζηήμαηα αναπαπάζηαζηρ Έλα αξηζκεηηθό ζύζηεκα αλαπαξάζηαζεο δεδνκέλσλ, απνηειείηαη από έλα ζπγθεθξηκέλν αξηζκό ραξαθηήξσλ (π.ρ. ζηελ πεξίπησζε ηνπ δεθαδηθνύ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ

ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ Έζησ : R R κηα ζπλάξηεζε πνιιώλ κεηαβιεηώλ. ε θάζε κηα από ηηο αθόινπζεο πεξηπηώζεηο ε θαζώο θαη όιεο νη ζπλαξηήζεηο πνπ νξίδνληαη ζεσξνύληαη θιάζεο ηνπιάρηζηνλ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )

Διαβάστε περισσότερα

Οινθιεξωκέλεο ιύζεηο γηα ηελ γαιαθηνβηνκεραλία

Οινθιεξωκέλεο ιύζεηο γηα ηελ γαιαθηνβηνκεραλία ΧΗΜΙΚΑ ΠΡΟΪΟΝΤΑ Α.Ε Οινθιεξωκέλεο ιύζεηο γηα ηελ γαιαθηνβηνκεραλία Πνηνί είκαζηε Η ΜΙΝΔΡΑΛ ΥΗΜΙΚΑ ΠΡΟΪΟΝΣΑ Α.Δ. μεθίλεζε ηελ πνξεία ηεο ην 1976. Από ηελ αξρή ζπλεξγαζηήθακε κε πξωηνπόξνπο εηαηξείεο ζηνλ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΤΟΛΕΣ WINDOWS ΚΑΙ UNIX

ΕΝΤΟΛΕΣ WINDOWS ΚΑΙ UNIX ΕΝΤΟΛΕΣ WINDOWS ΚΑΙ UNIX Σηότοι εργαζηηρίοσ Σην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ, νη θνηηεηέο ζα εμνηθεησζνύλ κε βαζηθέο εληνιέο δηθηπαθώλ πξσηνθόιισλ νη νπνίεο βξίζθνπλ εθαξκνγή ζε πεξηβάιινληα Windows

Διαβάστε περισσότερα

Πνηα λνκίδεηο όηη ζα είλαη ε ζπλνιηθή αληίζηαζε κηαο ζπλδεζκνινγίαο δύν αληηζηαηώλ ζπλδεδεκέλεο ζε ζεηξά; Γηαηί;...

Πνηα λνκίδεηο όηη ζα είλαη ε ζπλνιηθή αληίζηαζε κηαο ζπλδεζκνινγίαο δύν αληηζηαηώλ ζπλδεδεκέλεο ζε ζεηξά; Γηαηί;... ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Ιζοδύναμη ανηίζηαζη ζύνδεζηρ ανηιζηαηών Η δηδαζθαιία ηεο ηζνδύλακεο αληίζηαζεο γηα ζύλδεζε αληηζηαηώλ ζε ζεηξά θαη παξάιιεια ππάξρεη ζην Αλαιπηηθό Πξόγξακκα Σπνπδώλ ζηα καζήκαηα Φπζηθήο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c.

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c. ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) y y z z t t Σν νπνίν νδεγεί ζην όηη = - π.(άηνπν), αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mikelson-Morley είλαη =. Δπίζεο y = y, z = z, t = t Σν νπνίν ( t

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη

Διαβάστε περισσότερα

ACTA A.E. Αριςτο Σέλεια Πιςτοποίηςη. Ανθρώπινου Δυναμικοφ. «ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΤ ΔΤΝΑΜΙΚΟΤ Εξελίξεισ - Προοπτικέσ»

ACTA A.E. Αριςτο Σέλεια Πιςτοποίηςη. Ανθρώπινου Δυναμικοφ. «ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΤ ΔΤΝΑΜΙΚΟΤ Εξελίξεισ - Προοπτικέσ» ACTA A.E. Αριςτο Σέλεια Πιςτοποίηςη Ανθρώπινου Δυναμικοφ «ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟΤ ΔΤΝΑΜΙΚΟΤ Εξελίξεισ - Προοπτικέσ» Εταιρεία Ένταςησ Γνώςησ Αριςτοτελείου Πανεπιςτημίου Θεςςαλονίκησ Δια Βίου Μάθηςη Νόκνο:

Διαβάστε περισσότερα

Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger

Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger 1 θύιιν ζθνιηάηαο 2 πξάζα 150 γξ. bacon 150 γξ. θέηα ΓΧΓΧΝΗ 100 γξ. γξαβηέξα ΓΧΓΧΝΗ 1 θ.ζ. ειαηόιαδν Κόβνπκε ηα πξάζα ζε ιεπηέο ξνδέιεο. Κόβνπκε ην bacon

Διαβάστε περισσότερα

Το φως θερμαίνει - Ψυχρά και Θερμά χρώματα

Το φως θερμαίνει - Ψυχρά και Θερμά χρώματα ΥΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ 8 Το φως θερμαίνει - Ψυχρά και Θερμά χρώματα Α. Ψυχρά και Θερμά χρώματα Ο Ήλιος ο Ηλιάτορας Ο πετροπαιχνιδιάτορας... φωτιά ναι το πηγούνι του χρυσάφι το πηρούνι του Οδ. Ελύτης Σα χρώματα στη

Διαβάστε περισσότερα

1 ορ ΣΚΟΠΟΣ (1 Ο μάθημα) Αλάπηπμε θηλεηηθώλ δεμηνηήησλ θαη ηθαλνπνηεηηθή εθηέιεζε νξηζκέλσλ από απηέο Σηόχορ :1 ορ και 4 ορ

1 ορ ΣΚΟΠΟΣ (1 Ο μάθημα) Αλάπηπμε θηλεηηθώλ δεμηνηήησλ θαη ηθαλνπνηεηηθή εθηέιεζε νξηζκέλσλ από απηέο Σηόχορ :1 ορ και 4 ορ 1 ΣΚΟΠΟΣ (1 Ο μάθημα) Αλάημε θηλεηηθώλ δεμηηήησλ θαη ηθαληεηηθή εθηέιεζε ξηζκέλσλ α αηέ Σηχ :1 και 4 Γλώζε ηε άζα κε δάηια ζηελ εηζθαίξηζε. Ειδιώξει Πειεχμεα Χ 1. Τα αηδηά λα κάζλ ηελ άζα κε δάηια. 1.

Διαβάστε περισσότερα

10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ

10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ 10). ΣΤΠΟΠΟΙΗΜΕΝΕ ΠΑΡΟΥΕ ΜΣ ΚΑΙ ΥΣ Σσποποιημένες παροτές ΥΣ Γηα ηελ ειεθηξνδόηεζε θάζε εζωηεξηθήο εγθαηάζηαζεο θαηαζθεπάδεηαη κία από ηηο «ηππνπνηεκέλεο» παξνρέο πνπ αλαθέξνληαη παξαθάηω. Γηα θάζε ηππνπνηεκέλε

Διαβάστε περισσότερα

1 Είζοδορ ζηο Σύζηημα ΣΔΕΔ ή BPMS

1 Είζοδορ ζηο Σύζηημα ΣΔΕΔ ή BPMS ΟΤΑ Επισειπηζιακή Νοημοζύνη: Οδεγίεο πξνο ηνπο εθπαηδεπόκελνπο γηα ηε ζύλδεζε κε ην ύζηεκα Γηαρείξηζεο Δπηρεηξεζηαθώλ Γηαδηθαζηώλ γηα ηελ εθηέιεζε ηωλ Πξαθηηθώλ Αζθήζεωλ ηωλ ππν(δλνηήηωλ) Bc1.1.4, Bc1.1.5,

Διαβάστε περισσότερα

Η απνξξόθεζε ηνπ νξαηνύ θσηόο γίλεηαη κέζσ ρξσζηηθώλ νπζηώλ πνπ νλνκάδνληαη τλωροθύλλες.

Η απνξξόθεζε ηνπ νξαηνύ θσηόο γίλεηαη κέζσ ρξσζηηθώλ νπζηώλ πνπ νλνκάδνληαη τλωροθύλλες. ΦΩΣΟΤΝΘΔΗ Δλαιιαθηηθή δηεξγαζία παξαγσγήο ελέξγεηαο Υξεζηκνπνηείηαη από ηνπο νλνκαδόκελνπο θσηνζπλζεηηθνύο νξγαληζκνύο Οπζηαζηηθά ε αληίζηξνθε δηεξγαζία ηεο αλαπλνήο πλίζηαηαη ζηελ δέζκεπζε ειηαθήο ελέξγεηαο

Διαβάστε περισσότερα