Οι Μιγαδικοί Αριθμοί

Transcript

1 Οι Μιγαδικοί Αριθμοί Οι μιγαδικοί αριθμοί αρχικά βοήθησαν στην επίλυση δευτεροβάθμιων εξισώσεων των οποίων η διακρίνουσα είναι αρνητική Το γενικότερο πρόβλημα βέβαια είναι ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός του οποίου μια άρτια δύναμη να είναι αρνητικός αριθμός Υποθέτουμε λοιπόν ότι υπάρχει ένα φανταστικό στοιχείο i, τέτοιο ώστε να ισχύει i = και ένα διευρυμένο σύνολο, το το σύνολο των πραγματικών αριθμών δηλ το σύνολο αυτό περιέχει τα εξής: που καλείται το σύνολο των μιγαδικών αριθμών και το οποίο περιέχει Συμβολικά το σύνολο των πραγματικών αριθμών a bi : a, b, τα στοιχεία bi, όπου b, που καλούνται φανταστικοί αριθμοί όλα τα στοιχεία (αθροίσματα) της μορφής a + bi, όπου a, b, a 0, b 0, που καλούνται μιγαδικοί αριθμοί Ισχύουν τα εξής: i i i Στο σύνολο ιδιότητες όπως και στο σύνολο ισχύουν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού με τις ίδιες Το μηδέν, 0 = 0 + 0i, είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το ένα, = + 0i είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού Συνήθως συμβολίζουμε τα στοιχεία του ως a bi, με ab, Δηλαδή, ένας μιγαδικός αριθμός αποτελείται από το συνδυασμό δύο αριθμών, ενός πραγματικού (του a) και ενός φανταστικού (του bi) Σημειώνουμε ότι ένας πραγματικός αριθμός a μπορεί να θεωρηθεί ως ο μιγαδικός a0i, ενώ ένας φανταστικός αριθμός bi μπορεί να θεωρηθεί ως ο μιγαδικός 0 bi

2 Μπορούμε, επίσης, να θεωρήσουμε τους μιγαδικούς αριθμούς σαν ζεύγη της μορφής (a, b) με ab,, αγνοώντας το στοιχείο i Με αυτό τον τρόπο αντιστοιχούμε το με το Το πραγματικό μέρος (δηλ ο αριθμός a) ενός μιγαδικού αριθμού a bi, συμβολίζεται ως Re( ) και το φανταστικό (δηλ το bi) ως Im( ) Σημειώνουμε ότι στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών δεν μπορούμε να συγκρίνουμε δύο μιγαδικούς αριθμούς και να αποφασίσουμε ποιος είναι μεγαλύτερος, δηλ δεν υπάρχει διάταξη (όπως στους πραγματικούς αριθμούς) Λέμε ότι δύο μιγαδικοί αριθμοί, a b i, a b i, ισούνται αν και μόνο αν a a και b b Για παράδειγμα, a bi 0 a 0 και b 0 Για να προσθέσουμε (ή να αφαιρέσουμε) δύο μιγαδικούς αριθμούς a b i, a b i, προσθέτουμε (ή αφαιρούμε) τα πραγματικά και τα φανταστικά τους μέρη, αντίστοιχα: a a b b i Το γινόμενο μεταξύ ενός πραγματικού αριθμού c και ενός μιγαδικού αριθμού a bi, είναι c ca cbi Για παράδειγμα, a bi Για να πολλαπλασιάσουμε δύο μιγαδικούς αριθμούς a b i, a b i, προχωρούμε ως εξής: a b i a b i a a a b i b ia b b i a a b b i a b b a Ο αντίστροφος ενός μιγαδικού αριθμού a bi 0 είναι μοναδικός και υπολογίζεται ως a bi a bi a b a bi i a bi a bi a bi a b a b a b Για να διαιρέσουμε δύο μιγαδικούς αριθμούς a b i, a bi 0 έχουμε a b i a b i a b i a a b b a b a b a b i a b i a b i a b a b Συνήθως, δεν αφήνουμε το στοιχείο i στον παρονομαστή (για τον ίδιο λόγο που αποφεύγουμε να έχουμε ρίζες στον παρονομαστή) i

3 Για τις δυνάμεις του i ισχύουν τα εξής: i 0 = i = i i = i 3 = i i = i i 4 = i i = Συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού a bi καλείται ο μιγαδικός αριθμός με το ίδιο πραγματικό μέρος αλλά με αντίθετο φανταστικό μέρος, δηλ a bi a bi Οι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί έχουν τις εξής ιδιότητες: Ο συζυγής του συζυγούς ενός μιγαδικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός, δηλ Το γινόμενο δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι πραγματικός αριθμός και είναι ίσος με το άθροισμα των τετραγώνων του πραγματικού και του φανταστικού μέρους, δηλ a bia bi a b Το άθροισμα δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι πραγματικός αριθμός και είναι ίσος με το διπλάσιο του πραγματικού μέρους του αριθμού, δηλ a Η διαφορά δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι φανταστικός αριθμός και είναι ίσος με το διπλάσιο του φανταστικού μέρους του αριθμού, δηλ bi Ο συζυγής του αθροίσματος μιγαδικών αριθμών ισούται με το άθροισμα των συζυγών, δηλ Το ίδιο ισχύει και για τη διαφορά και για το γινόμενο μιγαδικών αριθμών, δηλ και Ο συζυγής μιας δύναμης ενός μιγαδικού αριθμού ισούται με τη δύναμη του συζυγούς μιγαδικού αριθμού, δηλ Ο συζυγής του πηλίκου δύο μιγαδικών αριθμών ισούται με το πηλίκο των συζυγών, δηλ Το μέτρο (ή η απόλυτη τιμή) ενός μιγαδικού αριθμού a bi είναι πραγματικός αριθμός και ορίζεται ως 3

4 a bi a b Ισχύουν τα εξής: 0 0 Ένας μιγαδικός αριθμός a bi, με μέτρο r, αντιστοιχεί γραφικά στο πιο κάτω σχήμα Η γωνία θ [0, π) του πιο πάνω σχήματος καλείται βασικό όρισμα και συμβολίζεται ως Arg() Τότε, ο μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί και ως μορφή που καλείται τριγωνομετρική ή πολική μορφή του μιγαδικού αριθμού 4 a bi r cos isi,

5 Δύο μιγαδικοί αριθμοί r cos isi και r cos isi αν r = r και θ = θ Το γινόμενο δύο μιγαδικών αριθμών δίδεται από είναι ίσοι αν και μόνο si rr cos i Ο αντίστροφος ενός μη-μηδενικού μιγαδικού αριθμού r cos isi cos isi r Το πηλίκο δύο μιγαδικών αριθμών δίδεται από r cos isi r Ο συζυγής ενός μιγαδικού αριθμού είναι Ισχύουν επίσης τα εξής: r cos isi είναι = cos(0) + i si(0) i = cos(π/) + i si(π/) = cos(π) + i si(π) i = cos(3π/) + i si(3π/) 5