ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου"

Transcript

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών Συντονισμός έκδοσης: Χρίστος Παρπούνας, Συντονιστής Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων Έκδοση 2011 ISBN ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αντιστοιχία-Συνάρτηση Εξερεύνηση Στο βιβλιάριο υγείας κάθε παιδιού υπάρχει το διπλανό διάγραμμα που παρουσιάζει τη φυσιολογική ανάπτυξη ενός αγοριού από τη γέννηση του μέχρι τους 36 μήνες. Όταν το ύψος του παιδιού, καθώς μεγαλώνει, βρίσκεται μεταξύ των καμπυλών Α και Γ, τότε το παιδί θεωρείται φυσιολογικό. Να ερμηνεύσετε το διάγραμμα; Διερεύνηση 1 Με βάση την πιο πάνω εξερεύνηση τι ύψος πρέπει να έχει ένα παιδί στους 24 μήνες, για να θεωρείται φυσιολογικό; Να μελετήσετε τον πιο κάτω πίνακα και να εξηγήσετε κατά πόσο η ανάπτυξη ενός παιδιού με βάση τις πιο πάνω γραφικές παραστάσεις ήταν φυσιολογική. Μήνας Γένν Ύψος Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

4 Διερεύνηση 2 Έξι παιδιά μιας γειτονιάς σημείωσαν την ηλικία τους και το ύψος τους στον πιο κάτω πίνακα και στο αντίστοιχο βελοειδές διάγραμμα. Κάποιοι αριθμοί έχουν σβηστεί. Μπορείτε να τους συμπληρώσετε; Αυξάνεται το ύψος των παιδιών όσο αυξάνεται η ηλικία σύμφωνα με τα πιο πάνω στοιχεία; Τι ύψος έχει το παιδί με ηλικία 6 ετών; Παίρνω το ένα παιδί με ηλικία 9 ετών, τι ύψος έχει; Μπορείτε να πείτε τι ύψος έχει ένα παιδί ηλικίας πιο πάνω δεδομένα; ετών χρησιμοποιώντας τα Διερεύνηση 3 Ένας ποδηλάτης στη δίωρη προπόνησή του κινείται με σταθερή ταχύτητα κάθε λεπτά. Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα. Πόση απόσταση διένυσε ο ποδηλάτης ύστερα από μια ώρα; Πόσο χρόνο χρειάζεται, για να διανύσει ; 2 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

5 Στη διπλανή μηχανή εισάγουμε ένα αριθμό. Η μηχανή μετατρέπει τον αριθμό μέσω ενός κανόνα σε αριθμό Να βρείτε τις τιμές των αριθμών σε σχέση με τους αριθμούς, συμπληρώνοντας τον πιο κάτω πίνακα: αριθμοί αριθμοί 30 Διατεταγμένο Ζεύγος (6,41) Να βρείτε ποιο θα είναι το αποτέλεσμα που θα μας δώσει η μηχανή, αν βάλουμε στη μηχανή διαδοχικά τους αριθμούς και ; Τι πρέπει να ξέρετε Αντιστοιχία λέγεται ένας κανόνας που συνδέει τα στοιχεία ενός συνόλου με τα στοιχεία ενός συνόλου. Ο κανόνας αυτός ονομάζεται με κάποιο γράμμα του λατινικού αλφαβήτου π.χ.. Το ονομάζεται σύνολο αφετηρίας. Το ονομάζεται σύνολο άφιξης. Συμβολικά έχουμε: Η σχέση μεταξύ των στοιχείων των δυο συνόλων Α και Β, εκτός από το βελοειδές διάγραμμα που φαίνεται πιο πάνω, μπορεί να δοθεί και με άλλους τρόπους: περιγραφικά και συμβολικά: Περιγραφικά Συμβολικά Το γ αντιστοιχίζεται με το 2 και το 3. και Το δ δεν αντιστοιχίζεται με κανένα στοιχείο του Β. Το β αντιστοιχίζεται με το 6. Το ε αντιστοιχίζεται με το 3. σαν σύνολο διατεταγμένων ζευγών: { }. Το σύνολο ονομάζεται γράφημα της αντιστοιχίας. 3 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

6 Συνάρτηση είναι ειδική περίπτωση αντιστοιχίας, στην οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α απεικονίζεται σε μόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β. Αυτή η σχέση μεταξύ των στοιχείων των δυο συνόλων Α και Β μπορεί να δοθεί: με βελοειδές διάγραμμα: Το σύνολο { } ονομάζεται Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης. Το σύνολο { } ονομάζεται Πεδίο Τιμών της συνάρτησης, ή εικόνα του, και αποτελείται από τις εικόνες των στοιχείων του και συμβολίζεται με. περιγραφικά ή συμβολικά, όπως φαίνεται στον πιο κάτω πίνακα: Περιγραφικά Συμβολικά Διαβάζεται Το κ απεικονίζεται ΜΟΝΟ με το 7. Η τιμή της συνάρτησης του κ είναι ίση με 7. Το μ απεικονίζεται ΜΟΝΟ με το 9. Η τιμή της συνάρτησης του μ είναι ίση με 9. Το τ απεικονίζεται ΜΟΝΟ με το 6. Η τιμή της συνάρτησης του τ είναι ίση με 6. Το γ απεικονίζεται ΜΟΝΟ με το 1. Η τιμή της συνάρτησης του γ είναι ίση με 1. 4 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

7 Δραστηριότητες Παραδείγματα Να εξετάσετε ποιές από τις πιο κάτω αντιστοιχίες είναι συναρτήσεις. Λύση: i. ii. iii. iv. i. Η αντιστοιχία είναι συνάρτηση, γιατί κάθε στοιχείο του συνόλου Α (πεδίο ορισμού της συνάρτησης ) απεικονίζεται σε ένα και μόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β. ii. Η αντιστοιχία δεν είναι συνάρτηση γιατί το στοιχείο β απεικονίζεται στο 5 και στο 4. Για να ήταν συνάρτηση θα έπρεπε να απεικονίζεται σε ένα μόνο στοιχείο του συνόλου Β. iii. Η αντιστοιχία δεν είναι συνάρτηση γιατί το στοιχείο γ δεν απεικονίζεται σε στοιχείο του συνόλου Β. Για να ήταν συνάρτηση θα έπρεπε κάθε στοιχείο του συνόλου Α να απεικονίζεται σε ένα στοιχείο του συνόλου Β. iv. Η αντιστοιχία είναι συνάρτηση, γιατί κάθε στοιχείο του συνόλου Α απεικονίζεται σε ένα και μόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β. Πιο κάτω δίνεται η γραφική παράσταση του συνόλου των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ. Να εξετάσετε κατά πόσο οι συντεταγμένες των σημείων ορίζουν συνάρτηση, με σύνολο αφετηρίας το σύνολο των τετμημένων και σύνολο άφιξης το σύνολο των τεταγμένων. 5 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

8 Λύση: Δεν είναι συνάρτηση γιατί στην τιμή αντιστοιχούν δύο τιμές του, και. Αυτό μπορούμε να το διαπιστώσουμε εύκολα αν μετακινήσουμε το μολύβι μας κάθετα πάνω στον άξονα των τετμημένων. Θα διαπιστώσουμε ότι καθώς περνάει από το, θα καλύψει δύο σημεία, το Γ(1,2) και το Δ(1,0). Τα σημεία αυτά έχουν την ίδια τετμημένη αλλά διαφορετική τεταγμένη. 1. Να εξετάσετε κατά πόσο τα πιο κάτω βελοειδή διαγράμματα ορίζουν συνάρτηση: (α) (β) (γ) (δ) 2. Δίνεται το διπλανό βελοειδές διάγραμμα: (α) Είναι η αντιστοιχία συνάρτηση; (β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα (γ) Να τοποθετήσετε τα σημεία ( ) σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. 6 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

9 3. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών συνόλων σημείων. Να εξετάσετε κατά πόσο οι συντεταγμένες των σημείων ορίζουν συνάρτηση, με σύνολο αφετηρίας το σύνολο των τετμημένων και σύνολο άφιξης το σύνολο των τεταγμένων. (α) (β) (γ) 4. (α) Να παραστήσετε το γράφημα { }. i. με τη χρήση πίνακα τιμών ii. με τη χρήση βελοειδούς διαγράμματος iii. με τη χρήση γραφικής παράστασης (β) Ορίζει συνάρτηση η αντιστοιχία που δίνεται με τους πιο πάνω τρόπους; Να εξηγήσετε. 7 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

10 5. Η Κατερίνα αμείβεται 30 ευρώ την εβδομάδα για την επίβλεψη των παιδιών μιας οικογένειας. i. Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τα χρήματα που αμείβεται η Κατερίνα σε συνάρτηση με τον αριθμό των εβδομάδων που εργάζεται. Εβδομάδες, Αμοιβή, ii. Να δώσετε έναν τύπο που να εκφράζει την πιο πάνω συνάρτηση. 6. Ο πίνακας παρουσιάζει τους ποδοσφαιριστές της Εθνικής Κύπρου με τις περισσότερες συμμετοχές. Στη στήλη Πρώτη εμφάνιση καταγράφεται η χρονιά που έκαναν την πρώτη τους εμφάνιση στην ομάδα. # Όνομα Πρώτη εμφάνιση Συμμετοχές Εν ενεργεία το Γιάννης Οκκάς Ναι 2 Πάμπος Πίττας Όχι 3 Νίκος Παναγιώτου Οχι 4 Γιώργος Θεοδώτου Οχι 5 Γιαννάκης Γιαγκουδάκης Όχι 6 Μάριος Χαραλάμπους Οχι 7 Μιχάλης Κωνσταντίνου Ναι 8 Γιασεμής Γιασεμάκης Οχι 9 Δημήτρης Ιωάννου Οχι 10 Γιώργος Σαββίδης Όχι Είναι η αντιστοιχία, που συνδέει τη χρονιά που έκαναν πρώτη εμφάνιση οι ποδοσφαιριστές με τον αριθμό συμμετοχών τους, συνάρτηση; Να εξηγήσετε. 7. Μια εταιρεία παραγωγής φυσικών χυμών έχει υπολογίσει ότι από κάθε κιλό πορτοκάλια που παίρνει από τον παραγωγό, παράγει 0,4 λίτρα χυμό. i. Πόσα λίτρα χυμό θα παράξει, αν πάρει από τον παραγωγό 500 κιλά πορτοκάλια; ii. Να εκφράσετε την ποσότητα (σε λίτρα χυμού) που παράγεται, ως συνάρτηση της ποσότητας των κιλών πορτοκαλιών (με τη χρήση τύπου). iii. Πόσα κιλά πορτοκάλια πρέπει η εταιρεία να χρησιμοποιήσει, ώστε να παράξει 300 λίτρα χυμό; 8 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

11 Γραμμική Συνάρτηση Ευθεία Εξερεύνηση Η διπλανή γραφική παράσταση δείχνει τη θερμοκρασία του νερού καθώς το θερμαίνουμε σε μία κατσαρόλα σε σχέση με το χρόνο θέρμανσης (σε λεπτά). Να περιγράψετε πώς μεταβάλλεται η θερμοκρασία του νερού κατά τη διάρκεια των 5 λεπτών που δείχνει η γραφική παράσταση. Τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά; Διερεύνηση 1 Η μηχανή δέχεται αριθμούς και τους μετατρέπει σε αριθμούς, σύμφωνα με τον κανόνα. Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τέσσερις τυχαίες τιμές του και να υπολογίσετε τα αντίστοιχα με βάση τον τρόπο λειτουργίας της μηχανής. 9 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

12 Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήστε το λογισμικό GeoGebra ή το Cabri II plus για τις πιο κάτω κατασκευές: Να τοποθετήσετε τα σημεία σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Βρίσκονται τα σημεία στην ίδια ευθεία; Να πάρετε δύο τυχαία σημεία Α, Β και να τα τοποθετήσετε στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, Β είναι συνευθειακά με τα προηγούμενα σημεία; Τι πρέπει να συμβαίνει για να ανήκουν τα σημεία Α και Β στην ίδια ευθεία με τα αρχικά σημεία. Αν τοποθετήσουμε στη μηχανή τον αριθμό το αντίστοιχο σημείο που θα προκύψει, θα ανήκει στην ίδια ευθεία με τα αρχικά σημεία; Διερεύνηση 2 Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο, όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Τι θα συμβεί αν σημειώσουμε πολύ περισσότερα σημεία που προκύπτουν από τη μηχανή στους άξονες; Τι σχήμα θα κατασκευαστεί αν γίνουν άπειρα αυτά τα σημεία. Να εξετάσετε κατά πόσο οι συντεταγμένες των σημείων αυτών ορίζουν συνάρτηση. Διερεύνηση 3 Να συμπληρώσετε τον πίνακα και να τοποθετήσετε τα σημεία σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων με βάση τις πληροφορίες της μηχανής. Είναι τα σημεία συνευθειακά; (Τεχνολογία: Μπορείτε να χρησιμοποιήστε το λογισμικό GeoGebra ή το Cabri II plus) 10 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

13 Τι πρέπει να ξέρετε Μια συνάρτηση της μορφής, όπου, ονομάζεται γραμμική συνάρτηση. H γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο είναι μια ευθεία γραμμή. Για παράδειγμα η παριστάνεται στη διπλανή γραφική παράσταση με ευθεία γραμμή. Αντίστροφα κάθε ευθεία γραμμή (εκτός από την ευθεία που είναι κάθετη στον άξονα των ) μπορεί να γραφεί ως συνάρτηση με τύπο. Παραδείγματα Δραστηριότητες Να εξετάσετε ποια από τα σημεία A(0,-1), B(1,1), Γ(-1,0) και Δ(-4,5) ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης Λύση: Τεχνολογία: Γραφική Λύση Να ανοίξετε το λογισμικό GeoGebra. Στο πεδίο «Εισαγωγή» να καταχωρήσετε την εξίσωση της ευθείας και να πατήσετε ENTER. Στο πεδίο «Εισαγωγή» να καταχωρήσετε διαδοχικά τα σημεία «A=(0,-1)», «B=(1,1)», «Γ=(-1,0)» και «Δ=(-2,5)», πατώντας κάθε φορά ENTER. Από τη γραφική παράσταση δίπλα συμπεραίνουμε ότι τα σημεία Α και Β ανήκουν στην ευθεία ενώ τα σημεία Γ και Δ δεν ανήκουν στην ευθεία. Αλγεβρική λύση: Τοποθετούμε στον πιο κάτω πίνακα τις τετμημένες ( ) των σημείων Α, Β, Γ και Δ. Υπολογίζουμε τις τιμές και ελέγχουμε κατά πόσο αυτές ταυτίζονται με τις αντίστοιχες τεταγμένες ( ) των σημείων. 11 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

14 1 = Συμπεραίνουμε ότι τα σημεία Α και Β ανήκουν στην ευθεία, ενώ τα σημεία Γ και Δ δεν ανήκουν στην ευθεία. Γενικά όταν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μίας συνάρτησης, τότε το σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ή η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το συγκεκριμένο σημείο. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η συνάρτηση τέμνει τους άξονες. Λύση: Η συνάρτηση διέρχεται από ένα σημείο πάνω στον άξονα των τετμημένων (τέμνει τον άξονα των τετμημένων). Το σημείο αυτό έχει τεταγμένη Για Άρα, η συνάρτηση τέμνει τον άξονα των τετμημένων στο σημείο. Η συνάρτηση, επίσης, περνά από ένα σημείο πάνω στον άξονα των τεταγμένων (τέμνει τον άξονα των τεταγμένων). Το σημείο αυτό έχει τετμημένη. Για. Άρα, η συνάρτηση τέμνει τον άξονα των τεταγμένων στο σημείο. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο. Λύση: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι ευθεία γραμμή. Δύο σημεία ορίζουν μια ευθεία. Επομένως, αρκεί να βρούμε δύο σημεία της ευθείας για να κατασκευάσουμε τη γραφική της παράσταση Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

15 Να βρείτε την εξίσωση της γραμμικής συνάρτησης που περνά από τα σημεία και (1,5). Λύση: Τα σημεία επαληθεύουν την εξίσωση της γραμμικής συνάρτησης. Κάθε γραμμική συνάρτηση μπορεί να γραφεί στη μορφή. Χρησιμοποιώντας τα σημεία που δίνονται, υπολογίζουμε τις άγνωστες παραμέτρους και ώστε να γίνει συγκεκριμένη η εξίσωση της ζητούμενης συνάρτησης. Το ανήκει στην ευθεία Άρα, η εξίσωση της ζητούμενης γραμμικής συνάρτησης είναι. 1. Να γράψετε την συνάρτηση με τύπο στην μορφή όπου. 2. Δίνεται η συνάρτηση. i. Να βρείτε 5 σημεία που ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. ii. Να εξετάσετε κατά πόσο τα σημεία ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. 3. Να εξετάσετε κατά πόσο τα δεδομένα που δίνονται στον πιο κάτω πίνακα συνδέονται με γραμμική σχέση Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο, και να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα για διάφορες τιμές του β. 13 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

16 1 (0,1) i. Nα παρατηρήσετε πώς μεταβάλλεται το σημείο τομής της συνάρτησης με τον άξονα των τεταγμένων καθώς αλλάζει το. ii. Να αποδείξετε ότι το σημείο (0,β) ανήκει πάντοτε στη γραφική παράσταση της γραμμικής συνάρτησης με εξίσωση (όπου. 5. Ένα τμήμα ενός Γυμνασίου επισκέπτεται ένα μουσείο, που χρεώνει είσοδο για κάθε μαθητή. Για τη μεταφορά των μαθητών στο μουσείο, η εταιρεία των λεωφορείων χρεώνει συνολικά. Να βρείτε και να περιγράψετε τον τύπο που να υπολογίζει το κόστος της επίσκεψης των μαθητών. 6. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο. 7. Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες της γραμμικής συνάρτησης με τύπο και να κατασκευάσετε τη γραφική της παράσταση. 8. Να κατασκευάσετε τις γραφικές παραστάσεις των πιο κάτω γραμμικών συναρτήσεων: i. ii. iii. iv. v. 9. Να βρεθεί ο τύπος της γραμμικής συνάρτησης που περνά από τα σημεία: i. ii. 10. Δίνεται η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης. Να βρείτε: i. Τα σημεία τομής της συνάρτησης με τους άξονες. ii. Δύο άλλα σημεία που ανήκουν στην ευθεία. iii. Δύο σημεία που δεν ανήκουν στην ευθεία iv. Το τύπο της συνάρτησης. 14 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

17 Ειδικές Περιπτώσεις Ευθείας Διερεύνηση Χρήση τεχνολογίας: Να ανοίξετε το αρχείο i. Να μετακινήσετε το δρομέα β, ώστε να πάρει την τιμή 0. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας; Από πού περνά η ευθεία αυτή σε σχέση με τους άξονες; Να μετακινήσετε το δρομέα α και να παρατηρήσετε τι συμβαίνει. ii. Να μετακινήσετε το δρομέα β ώστε να πάρει την τιμή 2 και το δρομέα α, ώστε να πάρει την τιμή 0. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας; Ποιο είναι το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της ευθείας αυτής; Από πού περνά η ευθεία αυτή σε σχέση με τον άξονα των y; Να μετακινήσετε το δρομέα και να παρατηρήσετε τι συμβαίνει. Ποια εξίσωση έχει ο άξονας των x; iii. Να πατήσετε το κουμπί, για να μην φαίνεται η ευθεία και ακολούθως να πατήσετε το κουμπί, για να εμφανιστεί μια άλλη ευθεία. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας; Ποιο είναι το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της ευθείας αυτής; Ορίζει η ευθεία αυτή συνάρτηση; Από πού περνά η ευθεία αυτή σε σχέση με τον άξονα των ; Να μετακινήσετε το δρομέα κ και να παρατηρήσετε τι συμβαίνει. Ποια εξίσωση έχει ο άξονας των ; 15 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

18 Τι πρέπει να ξέρετε Η γραφική παράσταση της την αρχή των αξόνων (ορίζει συνάρτηση) είναι ευθεία που περνά από π.χ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης περνά από την αρχή των αξόνων. Η γραφική παράσταση της στον άξονα των στο σημείο (ορίζει σταθερή συνάρτηση) είναι ευθεία κάθετη π.χ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κάθετη στον άξονα των στο σημείο Η γραφική παράσταση της ευθείας κάθετη στον άξονα των στο σημείο. (δεν ορίζει συνάρτηση) είναι ευθεία π.χ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κάθετη στον άξονα των τετμημένων στο σημείο Ο άξονας των έχει εξίσωση. Ο άξονας των έχει εξίσωση (δεν ορίζει συνάρτηση). 16 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

19 Δραστηριότητες Παραδείγματα Να βρείτε τους τύπους των πιο κάτω γραφικών παραστάσεων: (α) (β) (γ) Λύση: (α) Είναι της μορφής. Περνά από το Άρα είναι η (β) Είναι της μορφής, γιατί περνά από το. Περνά όμως και από το. Άρα είναι η. (γ) Είναι της μορφής. Περνά από το Άρα είναι η 1. Να αντιστοιχίσετε τις γραφικές παραστάσεις με τις εξισώσεις των ευθειών. Α. i. ii. iii. Β. iv. v. Γ. vi. 17 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

20 2. Να βρείτε τους τύπους των ευθειών που σχηματίζουν το διπλανό τρίγωνο: 3. Δίνεται η συνάρτηση. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο. i. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της. ii. Να υπολογίσετε την τιμή του. 4. Δίνεται η συνάρτηση. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. iii. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια ευθεία που διέρχεται πάντοτε από το σημείο: iv. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (1, 2), τότε: v. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (2,1), τότε: vi. vii. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (-1, 2), τότε: Αν α = 3, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο: 18 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

21 Κλίση Γραμμικής Συνάρτησης- Ευθείας Εξερεύνηση Σε μια σχολή για δεξιότητες με πατίνι (skateboard), οι μαθητές πρέπει να εξασκηθούν σε μια από τις τέσσερεις διαφορετικές ράμπες που φαίνονται πιο κάτω. Α. Β. Γ. Δ. 2m 3m 2m 4m 3m 2m 4m 6m O διευθυντής της σχολής, για λόγους ασφάλειας, είπε στους αρχάριους μαθητές να επιλέξουν τη ράμπα που είναι λιγότερο ανηφορική. Να βρείτε ποια είναι αυτή και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Διερεύνηση 1 Χρήση τεχνολογίας: Να ανοίξετε το αρχείο:. 19 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

22 Να μετακινήσετε τους δρομείς α και β για να κατασκευάσετε την εξίσωση της ευθείας που φαίνεται στην πρώτη στήλη του πίνακα. Ακολούθως να μετακινήσετε επίσης τα σημεία Α και Β, για να συμπληρώσετε τον πίνακα: Εξίσωση Σημείο Σημείο Οριζόντια Κατακόρυφη ευθείας Α Β μεταβολή μεταβολή Να παρατηρήσετε τον πιο πάνω πίνακα και να απαντήστε τις πιο κάτω ερωτήσεις: Αλλάζει ο λόγος:, όταν πάρουμε διαφορετικά σημεία για την ίδια ευθεία; Συνδέεται ο λόγος: με κάποιο στοιχείο του τύπου της ευθείας; 20 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

23 Διερεύνηση 2 Να επιλέξετε τρία σημεία Α,Β,Γ πάνω στην ευθεία. Να βρείτε την κλίση της ΑΒ της ΑΓ και της ΒΓ. Τι παρατηρείτε; Τι πρέπει να ξέρετε Έστω ότι θέλουμε να μετακινηθούμε από ένα σημείο Α σε ένα σημείο Β μιας ευθείας της μορφής. Τότε θα έχουμε μια οριζόντια μετακίνηση (μεταβολή) και μια κατακόρυφη μετακίνηση (μεταβολή). Κλίση μιας ευθείας είναι ο λόγος της κατακόρυφης μεταβολής, (από ένα σημείο Α σε ένα σημείο Β της ευθείας), προς την οριζόντια μεταβολή. Η κλίση συμβολίζεται με το γράμμα λ, δηλαδή αυτό είναι ο ρυθμός μεταβολής της ευθείας. Αν η εξίσωση δίνεται στη μορφή τότε. Για την ευθεία και Α,Β όπως στο διπλανό σχήμα, δηλαδή ο συντελεστής του. 21 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

24 Δραστηριότητες Παραδείγματα Να βρείτε την κλίση των ευθειών που έχουν εξίσωση: i. ii. iii. iv. Λύση: i. ii. iii.. iv. ( ) v. (άξονας των x) Να βρείτε την κλίση και την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία και Λύση: Βρίσκουμε πρώτα την κλίση: Τοποθετούμε τα σημεία και σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Φέρουμε ευθεία που περνά από τα δύο σημεία. Υπολογίζουμε το λόγο της κατακόρυφης προς την οριζόντια μεταβολή. η εξίσωση της ευθείας δίνεται στην μορφή με. Άρα. Για τον προσδιορισμό του β παίρνουμε ένα σημείο πάνω στην ευθεία π.χ. το και το αντικαθιστούμε στην εξίσωση (αφού την επαληθεύει). Έτσι έχουμε: Η εξίσωση της ευθείας δίνεται από τον τύπο: ή 22 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

25 Να δείξετε ότι δεν ορίζεται η κλίση της ευθείας τις κλίσεις των ευθειών,.. Στη συνέχεια να εξετάσετε Λύση: Έστω ότι η ευθεία περνά από δύο σημεία κλίση της υπολογίζεται ως εξής:. Η Η ευθεία είναι της μορφής άρα η κλίση της δεν ορίζεται. Η ευθεία (άξονας των y) είναι της μορφής. Άρα η κλίση της δεν ορίζεται. 1. Να βρείτε την κλίση των ευθειών: i. ii. iii. 2 iv. v. vi. 2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας αν : i. περνά από τα σημεία Α( 0, 0) και Β( 0, -3). ii. περνά από το σημείο Γ( -1, 3) και έχει κλίση λ =3. iii. περνά από το σημείο και έχει κλίση. iv. περνά από το σημείο και έχει κλίση. 3. Στις πιο κάτω προτάσεις δίνονται γραμμικές συναρτήσεις με τύπο της μορφής. Να αναγνωρίσετε την κλίση, και την παράμετρο και να εξηγήσετε τη σημασία τους σε κάθε περίπτωση. i. Ο πληθυσμός μιας πόλης δίνεται από την σχέση, όπου το αντιπροσωπεύει τον πληθυσμό και το αντιπροσωπεύει το χρόνο σε έτη από το 2000 μέχρι σήμερα. ii. Ένας σταλακτίτης μεγαλώνει σύμφωνα με τη σχέση, όπου αντιπροσωπεύει το μήκος του σταλακτίτη σε και τον χρόνο σε έτη από την πρώτη μέτρηση του μήκους του σταλακτίτη. iii. Το κέρδος σε ευρώ από την πώληση προϊόντων δίνεται από τη σχέση. iv. Μια τηλεφωνική εταιρεία χρεώνει τους πελάτες της με βάση τη σχέση, όπου είναι η μηνιαία χρέωση σε ευρώ και ο χρόνος ομιλίας σε λεπτά. 23 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

26 4. Αντιστοιχήστε κάθε εικόνα της στήλης Α με μία πρόταση της στήλης Β και δικαιολογήστε την απάντηση σας. Α Β α. i. Η κλίση δεν ορίζεται β. ii. Θετική κλίση ( ) γ. iii. Αρνητική κλίση ( ) iv. Μηδενική κλίση ( ) δ. 5. Στη διπλανή γραφική παράσταση παρουσιάζεται ο τραπεζικός λογαριασμός του Κώστα σε ένα έτος. i. Να εξηγήσετε πόσα είχε στην αρχή του χρόνου ο λογαριασμός και πώς μεταβάλλεται από μήνα σε μήνα. ii. Ποια είναι η κλίση της συνάρτησης και τι αντιπροσωπεύει. iii. Να βρείτε την εξίσωση της συνάρτησης. 24 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

27 6. Ο Μάριος γέμισε τη μοτοσυκλέτα του με 5 λίτρα βενζίνη. Στη γραφική παράσταση φαίνεται ότι απέμειναν 3 λίτρα βενζίνης στη μοτοσυκλέτα, όταν ο Μάριος κάλυψε 40 χιλιόμετρα. i. Να βρείτε την κλίση της συνάρτησης. ii. Να εξηγήσετε την σημασία της. iii. Πόσα χιλιόμετρα θα καλύψει με τα 5 λίτρα βενζίνης; Δραστηριότητες ενότητας 1. Να εξετάσετε, αν οι πιο κάτω αντιστοιχίες είναι συναρτήσεις: i. { } ii. iii. iv. 2. H σχέση που συνδέει τους βαθμούς Φαρενάιτ ( ) με τους βαθμούς Κελσίου ( ) είναι. Αν οι ενδείξεις ενός θερμομέτρου Φαρενάιτ ήταν κατά σειρά ποιες ήταν οι αντίστοιχες θερμοκρασίες ενός θερμομέτρου Κελσίου; 25 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

28 3. Ο πιο κάτω πίνακας παρουσιάζει το ύψος μιας φασολιάς σε μια περίοδο τριών εβδομάδων. Στην αρχή το ύψος του φυτού ήταν 5. Εβδομάδα Ύψος (σε cm) Να γράψετε μια εξίσωση που να εκφράζει το ύψος ( ) του φυτού συναρτήσει του αριθμού των εβδομάδων ( ). Να προβλέψετε το ύψος του φυτού ύστερα από δέκα εβδομάδες 5. Τα πιο κάτω διατεταγμένα ζεύγη αναπαριστούν τη σχέση μεταξύ του χρόνου μελέτης της Ελένης στα Μαθηματικά, στα Φυσιογνωστικά και στα Νέα Ελληνικά με τα αντίστοιχα αποτελέσματα στις εξετάσεις των μαθημάτων. Για παράδειγμα το διατεταγμένο ζεύγος δηλώνει ότι με 6 ώρες μελέτη στα Μαθηματικά πήρε βαθμό 68 στις εξετάσεις. Να εξετάσετε κατά πόσο η σχέση αυτή είναι συνάρτηση. { } 6. Ο Αλέξης φεύγει από το σπίτι με τα πόδια για το σχολείο. Η διαδρομή του Αλέξη περιγράφεται από τη σχέση όπου είναι η απόσταση από το σχολείο σε μέτρα και είναι ο χρόνος του σε λεπτά. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση που περιγράφει την πιο πάνω σχέση. 7. Η εταιρεία που ανέλαβε τη φωτογράφηση της τελετής αποφοίτησης του σχολείου Α χρεώνει για το βασικό πακέτο και για κάθε επιπρόσθετη φωτογραφία. Να χρησιμοποιήσετε την εξίσωση, όπου είναι το συνολικό κόστος και ο αριθμός των επιπρόσθετων φωτογραφιών, για να κατασκευάσετε έναν πίνακα που να παρουσιάζει το συνολικό κόστος παραγγελίας μέχρι επιπρόσθετων φωτογραφιών. 8. (α) Να εξετάσετε κατά πόσο τα δεδομένα του πιο κάτω πίνακα συνδέονται με γραμμική σχέση. (β) Αν ναι, να υπολογίσετε την κλίση, να βρείτε το σημείο τομής της γραμμικής συνάρτησης με τον άξονα των τεταγμένων και να γράψετε την εξίσωσή της Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

29 9. Να αντιστοιχίσετε τις γραφικές παραστάσεις της πρώτης στήλης με τις περιγραφές της δεύτερης στήλης του πίνακα και να επεξηγήσετε σε κάθε περίπτωση τι αναπαριστά η κλίση της γραφικής παράστασης. Γραφική παράσταση. Περιγραφή Α. Ι. Ένας υπάλληλος πληρώνεται την ώρα και επιπλέον για κάθε προϊόν που κατασκευάζει κάθε ώρα. Β. ΙΙ. Ένα άτομο πληρώνει την εβδομάδα σε ένα φίλο του, για να αποπληρώσει ένα δάνειο αξίας. Γ. ΙΙΙ. Ένας επαγγελματίας οδηγός εισπράττει καθημερινά για φαγητό και επιπλέον για κάθε χιλιόμετρο που καλύπτει. Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Σε ένα ζαχαροπλαστείο ο βοηθός ζαχαροπλάστης ετοιμάζει 6 γλυκά την ώρα. Ο ζαχαροπλάστης ετοιμάζει 10 γλυκά την ώρα, αλλά ξεκινά να εργάζεται δύο ώρες μετά από το βοηθό ζαχαροπλάστη. Οι δύο ζαχαροπλάστες πρέπει να ετοιμάσουν συνολικά 92 γλυκά. Σε πόσες ώρες, από τη στιγμή που θα ξεκινήσει να εργάζεται ο βοηθός ζαχαροπλάστης, θα έχουν τελειώσει; Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης, η οποία υπολογίζει τον αριθμό των γλυκών που ετοιμάζονται σε ώρες. 27 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

30 2. Στο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου δύο αυτοκινήτων Α και Β. i. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει την ταχύτητα με το χρόνο για τα δύο αυτοκίνητα και να αναφέρετε κατά πόσο αυτή είναι γραμμική. ii. Να περιγράψετε την κίνηση των δύο αυτοκινήτων (με ποια ταχύτητα ξεκινά το καθένα, με ποιο ρυθμό μεταβάλλεται η ταχύτητα τους, σε ποια χρονική στιγμή έχουν την ίδια ταχύτητα, ποιο αυτοκίνητο κινείται πιο γρήγορα και σε ποιό χρονικό διάστημα). 3. Χρήση τεχνολογίας: Να ανοίξετε το αρχείο: Bgym_En4sel27_PO_PT.ggb Να μετακινήσετε το σημείο Α και να βρείτε: i. Τις τιμές και ii. Το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης. iii. Το Πεδίο Τιμών της συνάρτησης. 28 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

31 4. Μιχάλης και ο Αντώνης αναχωρούν με το ποδήλατο από το σπίτι τους για το σχολείο την ίδια ώρα. Οι αποστάσεις (σε μέτρα) των θέσεων του Μιχάλη και του Αντώνη από το σχολείο συναρτήσει του χρόνου (σε λεπτά) δίνονται από τους τύπους και. Με τη βοήθεια κατάλληλης γραφικής παράστασης, να βρείτε ποιος από τους δύο θα φτάσει πρώτος στο σχολείο. Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή που τα δύο αγόρια θα ισαπέχουν από το σχολείο; 5. Να εξετάσετε κατά πόσο οι πιο κάτω γραφικές παραστάσεις αναπαριστούν συνάρτηση. (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) 29 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

32

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

y x y x+2y=

y x y x+2y= ΜΕΡΟΣ Α 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 59 3. 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση α+β=γ Λύση μιας εξίσωσης α + β = γ ονομάζεται κάθε ζεύγος αριθμών (, ) που την επαληθεύει. Για παράδειγμα η

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες Ασκήσεις. Λύση

Λυμένες Ασκήσεις. Λύση ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y = αx + β Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο ίδιο σύστημα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις ευθείες με εξισώσεις y = 1 x, y = 1 x +, y = 1 x Η εξίσωση y = 1 x για x = δίνει y = 1 Επομένως

Διαβάστε περισσότερα

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0

4. 1 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX 2 ME A 0 ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 5. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=AX ME A 0 Ορισμοί Ονομάζουμε συνάρτηση την διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής αντιστοιχίζουμε μια μόνο τιμή της μεταβλητής. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο Α(,.

4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το σημείο Α(,. 1. Τι ξέρετε για τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων της μορφής ; Πώς ονομάζεται το ; Η γραφική παράσταση των συναρτήσεων της μορφής, είναι ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Το ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες

Σημεία τομής της ευθείας αx+βy=γ με τους άξονες ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η ευθεία με εξίσωση y=αx+β. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=αx+β Η γραφική παράσταση της y = αx + β, β 0 είναι µια ευθεία παράλληλη της ευθείας µε εξίσωση y = αx, που διέρχεται από το σημείο β του άξονα y'y.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) = Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** α) Να αποδείξετε ότι αν τα όρια lim - f () - f - είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο. ( ) και β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f () = lim + στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2.

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. iv) f(x)= v) f(x)= ln(x 2-4) vi) f(x) =, v) f(x) = 6 x 5. vi) vii) f(x) = ln(x 2-2) viii) f(x) = lnx 2. Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ : y = α.x ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Δίνεται η ευθεία y = 3x. α) Να υπολογίσετε την κλίση της ευθείας. β) Να κάνετε την γραφική της παράσταση. 2. Μια ευθεία διέρχεται από την αρχή των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

10. Η επιδίωξη της μέγιστης χρησιμότητας αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς του καταναλωτή στη ζήτηση αγαθών.

10. Η επιδίωξη της μέγιστης χρησιμότητας αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς του καταναλωτή στη ζήτηση αγαθών. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : Η ΖΗΤΗΣΗ Να σημειώσετε το σωστό ή το λάθος στο τέλος των προτάσεων: 1. Όταν η ζήτηση ενός αγαθού είναι ελαστική, η συνολική δαπάνη των καταναλωτών για το αγαθό αυτό μειώνεται καθώς αυξάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

lim lim lim f (x) δ) lim lim lim lim 1- x 1- lim lim lim lim lim Ερωτήσεις ανάπτυξης

lim lim lim f (x) δ) lim lim lim lim 1- x 1- lim lim lim lim lim Ερωτήσεις ανάπτυξης Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: α) γ) ε) ζ) - f () β) f () δ) f () f () στ) - - - f () f () f () - y

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα 1. α) β) γ) δ)

Δραστηριότητα 1. α) β) γ) δ) Α13. Μοντελοποιούν και επιλύουν (γραφικά και αλγεβρικά) προβλήματα με συναρτήσεις της μορφής y= α x + β. Μοντελοποιούν καθημερινά προβλήματα Επιλύουν αλγεβρικά και γραφικά Δραστηριότητα 1 Στον παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ 1. Δύο αμαξοστοιχίες κινούνται κατά την ίδια φορά πάνω στην ίδια γραμμή. Η προπορευόμενη έχει ταχύτητα 54km/h και η επόμενη 72km/h. Όταν βρίσκονται σε απόσταση d, οι μηχανοδηγοί αντιλαμβάνονται

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΑΔΙΠΠΟΥ Σχολική Χρονιά ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ Τάξη: Β Χρόνος: 2 ώρες Υπογραφή Καθηγητή :...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΑΔΙΠΠΟΥ Σχολική Χρονιά ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ Τάξη: Β Χρόνος: 2 ώρες Υπογραφή Καθηγητή :... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΑΔΙΠΠΟΥ Σχολική Χρονιά 0-0 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 0 Μάθημα: Μαθηματικά Βαθμολογία:... Ημερομηνία: /0/0 Ολογράφως:... Τάξη: Β Χρόνος: ώρες Υπογραφή Καθηγητή :..... Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο 1ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Κεφάλαιο ο Ανάλυση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx

Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx Παιδαγωγικό σενάριο : Μελέτη της συνάρτησης y=αx Στόχος: Το παιδαγωγικό σενάριο αναφέρεται στη μελέτη της συνάρτησης y=αx και στη κατανόηση της κλίσης ευθείας. Λογισμικό: Για την εφαρμογή του σεναρίου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολική Χρονιά: 015-016 Ασκήσεις Επανάληψης για την B Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί Αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα 1. Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα πιο κάτω: 1) ².³ = ) (³) 5 = 3) 5 : 8 = 4) ( 5. 7 ) :

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 + Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ - ΠΛΑΤΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 015 ΒΑΘΜΟΣ : ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμητικά.. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 1/6/015 ΒΑΘΜΟΣ:... ΤΑΞΗ: Α Ολογράφως:... ΧΡΟΝΟΣ: ώρες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x 1 4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f () A Ομάδας Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 164 167 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η ευθεία = + = 3 1 i = + 1 iv) = 3 + εφω = 1 ω = 45 ο εφω = 3 ω = 60 ο i εφω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 6. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤ ΕΠΙΠΕ ΘΕΩΡΙΑ. Σύστηµα καθέτων ηµιαξόνων: Είναι δύο κάθετες µεταξύ τους ηµιευθείες µία οριζόντια και µία κατακόρυφη. Την οριζόντια την ονοµάζουµε και την λέµε ηµιάξονα των ή ηµιάξονα

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Δημήτρης Στεφανάκης Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) χρησιμοποιείται για την κατασκευή της γραφικής παράστασης που περιγράφει ένα φαινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1) Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ+βψ=γ, όπου α,β,γr. α) Λύση της γραμμικής αυτής εξίσωσης λέγεται κάθε ζεύγος (χ,ψ)=(χ 0,ψ 0 ) που την

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

8. Η ζήτηση ενός αγαθού µεταβάλλεται προς την αντίθετη κατεύθυνση µε τη µεταβολή της τιµής του υποκατάστατου αγαθού.

8. Η ζήτηση ενός αγαθού µεταβάλλεται προς την αντίθετη κατεύθυνση µε τη µεταβολή της τιµής του υποκατάστατου αγαθού. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : Η ΖΗΤΗΣΗ Να σηµειώσετε το σωστό ή το λάθος στο τέλος των προτάσεων: 1. Η επιδίωξη της µέγιστης χρησιµότητας αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της συµπεριφοράς του καταναλωτή στη ζήτηση αγαθών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος

Γραμμικά Συστήματα. δεν είναι λύση του συστήματος. β) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη είναι λύση του συστήματος 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y 4, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το 4, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στις κινήσεις

Ασκήσεις στις κινήσεις Ασκήσεις στις κινήσεις 1. Αμαξοστοιχία κινείται με ταχύτητα 72km/h και διασχίζει σήραγγα μήκους 900m. Ο χρόνος που μεσολάβησε από τη στιγμή που το μπήκε η μηχανή μέχρι να βγει και το τελευταίο βαγόνι από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΘΕΜΑΤΑ Α Α. ΚΙΝΗΣΗ - ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΧΡΟΝΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Στις ακόλουθες προτάσεις να διαλέξετε την σωστή απάντηση: 1. Ένα σημειακό αντικείμενο κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΟΔΗΓΙΕΣ: α) Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. β) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού. γ) Να γράφετε μόνο με μπλε μελάνι. (Για τα σχήματα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β. 0και 4 x 3 0. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ )

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) Έχουμε δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή 0. Από ένα σημείο Μ του επιπέδου φέρνουμε τις κάθετες στους δύο άξονες x x και y y. Ονομάζουμε τετμημένη του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

y είναι πάντα σταθερός και ίσος µε α, δηλα- y x 0.O λόγος αυτός λέγεται κλίση της ευθείας y = αx. x ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

y είναι πάντα σταθερός και ίσος µε α, δηλα- y x 0.O λόγος αυτός λέγεται κλίση της ευθείας y = αx. x ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α Ποσά ανάλογα- Η συνάρτηση =α Δύο ποσά λέγονται ανάλογα, όταν πολλαπλασιάζοντας τις τιµές του ενός ποσού µε έναν αριθµό, τότε και οι αντίστοιχες τιµές του άλλου πολλαπλασιάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η διαδικασία, µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σ ένα ακριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 6 Θέμα Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 6.3 Ασκήσεις: όλες Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση f, με x 5x+ 6 f ( x) =. x 3 α) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός εφαπτομένης καμπύλης Αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(x, f(x )) την

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

[TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

[TΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνεται η συνάρτηση α) Να υπολογίσετε το άθροισμα (Μονάδες 10) β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της f με τους άξονες.

Διαβάστε περισσότερα