ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου"

Transcript

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 4: Συναρτήσεις Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών Συντονισμός έκδοσης: Χρίστος Παρπούνας, Συντονιστής Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων Έκδοση 2011 ISBN ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αντιστοιχία-Συνάρτηση Εξερεύνηση Στο βιβλιάριο υγείας κάθε παιδιού υπάρχει το διπλανό διάγραμμα που παρουσιάζει τη φυσιολογική ανάπτυξη ενός αγοριού από τη γέννηση του μέχρι τους 36 μήνες. Όταν το ύψος του παιδιού, καθώς μεγαλώνει, βρίσκεται μεταξύ των καμπυλών Α και Γ, τότε το παιδί θεωρείται φυσιολογικό. Να ερμηνεύσετε το διάγραμμα; Διερεύνηση 1 Με βάση την πιο πάνω εξερεύνηση τι ύψος πρέπει να έχει ένα παιδί στους 24 μήνες, για να θεωρείται φυσιολογικό; Να μελετήσετε τον πιο κάτω πίνακα και να εξηγήσετε κατά πόσο η ανάπτυξη ενός παιδιού με βάση τις πιο πάνω γραφικές παραστάσεις ήταν φυσιολογική. Μήνας Γένν Ύψος Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

4 Διερεύνηση 2 Έξι παιδιά μιας γειτονιάς σημείωσαν την ηλικία τους και το ύψος τους στον πιο κάτω πίνακα και στο αντίστοιχο βελοειδές διάγραμμα. Κάποιοι αριθμοί έχουν σβηστεί. Μπορείτε να τους συμπληρώσετε; Αυξάνεται το ύψος των παιδιών όσο αυξάνεται η ηλικία σύμφωνα με τα πιο πάνω στοιχεία; Τι ύψος έχει το παιδί με ηλικία 6 ετών; Παίρνω το ένα παιδί με ηλικία 9 ετών, τι ύψος έχει; Μπορείτε να πείτε τι ύψος έχει ένα παιδί ηλικίας πιο πάνω δεδομένα; ετών χρησιμοποιώντας τα Διερεύνηση 3 Ένας ποδηλάτης στη δίωρη προπόνησή του κινείται με σταθερή ταχύτητα κάθε λεπτά. Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα. Πόση απόσταση διένυσε ο ποδηλάτης ύστερα από μια ώρα; Πόσο χρόνο χρειάζεται, για να διανύσει ; 2 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

5 Στη διπλανή μηχανή εισάγουμε ένα αριθμό. Η μηχανή μετατρέπει τον αριθμό μέσω ενός κανόνα σε αριθμό Να βρείτε τις τιμές των αριθμών σε σχέση με τους αριθμούς, συμπληρώνοντας τον πιο κάτω πίνακα: αριθμοί αριθμοί 30 Διατεταγμένο Ζεύγος (6,41) Να βρείτε ποιο θα είναι το αποτέλεσμα που θα μας δώσει η μηχανή, αν βάλουμε στη μηχανή διαδοχικά τους αριθμούς και ; Τι πρέπει να ξέρετε Αντιστοιχία λέγεται ένας κανόνας που συνδέει τα στοιχεία ενός συνόλου με τα στοιχεία ενός συνόλου. Ο κανόνας αυτός ονομάζεται με κάποιο γράμμα του λατινικού αλφαβήτου π.χ.. Το ονομάζεται σύνολο αφετηρίας. Το ονομάζεται σύνολο άφιξης. Συμβολικά έχουμε: Η σχέση μεταξύ των στοιχείων των δυο συνόλων Α και Β, εκτός από το βελοειδές διάγραμμα που φαίνεται πιο πάνω, μπορεί να δοθεί και με άλλους τρόπους: περιγραφικά και συμβολικά: Περιγραφικά Συμβολικά Το γ αντιστοιχίζεται με το 2 και το 3. και Το δ δεν αντιστοιχίζεται με κανένα στοιχείο του Β. Το β αντιστοιχίζεται με το 6. Το ε αντιστοιχίζεται με το 3. σαν σύνολο διατεταγμένων ζευγών: { }. Το σύνολο ονομάζεται γράφημα της αντιστοιχίας. 3 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

6 Συνάρτηση είναι ειδική περίπτωση αντιστοιχίας, στην οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α απεικονίζεται σε μόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β. Αυτή η σχέση μεταξύ των στοιχείων των δυο συνόλων Α και Β μπορεί να δοθεί: με βελοειδές διάγραμμα: Το σύνολο { } ονομάζεται Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης. Το σύνολο { } ονομάζεται Πεδίο Τιμών της συνάρτησης, ή εικόνα του, και αποτελείται από τις εικόνες των στοιχείων του και συμβολίζεται με. περιγραφικά ή συμβολικά, όπως φαίνεται στον πιο κάτω πίνακα: Περιγραφικά Συμβολικά Διαβάζεται Το κ απεικονίζεται ΜΟΝΟ με το 7. Η τιμή της συνάρτησης του κ είναι ίση με 7. Το μ απεικονίζεται ΜΟΝΟ με το 9. Η τιμή της συνάρτησης του μ είναι ίση με 9. Το τ απεικονίζεται ΜΟΝΟ με το 6. Η τιμή της συνάρτησης του τ είναι ίση με 6. Το γ απεικονίζεται ΜΟΝΟ με το 1. Η τιμή της συνάρτησης του γ είναι ίση με 1. 4 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

7 Δραστηριότητες Παραδείγματα Να εξετάσετε ποιές από τις πιο κάτω αντιστοιχίες είναι συναρτήσεις. Λύση: i. ii. iii. iv. i. Η αντιστοιχία είναι συνάρτηση, γιατί κάθε στοιχείο του συνόλου Α (πεδίο ορισμού της συνάρτησης ) απεικονίζεται σε ένα και μόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β. ii. Η αντιστοιχία δεν είναι συνάρτηση γιατί το στοιχείο β απεικονίζεται στο 5 και στο 4. Για να ήταν συνάρτηση θα έπρεπε να απεικονίζεται σε ένα μόνο στοιχείο του συνόλου Β. iii. Η αντιστοιχία δεν είναι συνάρτηση γιατί το στοιχείο γ δεν απεικονίζεται σε στοιχείο του συνόλου Β. Για να ήταν συνάρτηση θα έπρεπε κάθε στοιχείο του συνόλου Α να απεικονίζεται σε ένα στοιχείο του συνόλου Β. iv. Η αντιστοιχία είναι συνάρτηση, γιατί κάθε στοιχείο του συνόλου Α απεικονίζεται σε ένα και μόνο ένα στοιχείο του συνόλου Β. Πιο κάτω δίνεται η γραφική παράσταση του συνόλου των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ. Να εξετάσετε κατά πόσο οι συντεταγμένες των σημείων ορίζουν συνάρτηση, με σύνολο αφετηρίας το σύνολο των τετμημένων και σύνολο άφιξης το σύνολο των τεταγμένων. 5 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

8 Λύση: Δεν είναι συνάρτηση γιατί στην τιμή αντιστοιχούν δύο τιμές του, και. Αυτό μπορούμε να το διαπιστώσουμε εύκολα αν μετακινήσουμε το μολύβι μας κάθετα πάνω στον άξονα των τετμημένων. Θα διαπιστώσουμε ότι καθώς περνάει από το, θα καλύψει δύο σημεία, το Γ(1,2) και το Δ(1,0). Τα σημεία αυτά έχουν την ίδια τετμημένη αλλά διαφορετική τεταγμένη. 1. Να εξετάσετε κατά πόσο τα πιο κάτω βελοειδή διαγράμματα ορίζουν συνάρτηση: (α) (β) (γ) (δ) 2. Δίνεται το διπλανό βελοειδές διάγραμμα: (α) Είναι η αντιστοιχία συνάρτηση; (β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα (γ) Να τοποθετήσετε τα σημεία ( ) σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. 6 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

9 3. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις τριών συνόλων σημείων. Να εξετάσετε κατά πόσο οι συντεταγμένες των σημείων ορίζουν συνάρτηση, με σύνολο αφετηρίας το σύνολο των τετμημένων και σύνολο άφιξης το σύνολο των τεταγμένων. (α) (β) (γ) 4. (α) Να παραστήσετε το γράφημα { }. i. με τη χρήση πίνακα τιμών ii. με τη χρήση βελοειδούς διαγράμματος iii. με τη χρήση γραφικής παράστασης (β) Ορίζει συνάρτηση η αντιστοιχία που δίνεται με τους πιο πάνω τρόπους; Να εξηγήσετε. 7 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

10 5. Η Κατερίνα αμείβεται 30 ευρώ την εβδομάδα για την επίβλεψη των παιδιών μιας οικογένειας. i. Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τα χρήματα που αμείβεται η Κατερίνα σε συνάρτηση με τον αριθμό των εβδομάδων που εργάζεται. Εβδομάδες, Αμοιβή, ii. Να δώσετε έναν τύπο που να εκφράζει την πιο πάνω συνάρτηση. 6. Ο πίνακας παρουσιάζει τους ποδοσφαιριστές της Εθνικής Κύπρου με τις περισσότερες συμμετοχές. Στη στήλη Πρώτη εμφάνιση καταγράφεται η χρονιά που έκαναν την πρώτη τους εμφάνιση στην ομάδα. # Όνομα Πρώτη εμφάνιση Συμμετοχές Εν ενεργεία το Γιάννης Οκκάς Ναι 2 Πάμπος Πίττας Όχι 3 Νίκος Παναγιώτου Οχι 4 Γιώργος Θεοδώτου Οχι 5 Γιαννάκης Γιαγκουδάκης Όχι 6 Μάριος Χαραλάμπους Οχι 7 Μιχάλης Κωνσταντίνου Ναι 8 Γιασεμής Γιασεμάκης Οχι 9 Δημήτρης Ιωάννου Οχι 10 Γιώργος Σαββίδης Όχι Είναι η αντιστοιχία, που συνδέει τη χρονιά που έκαναν πρώτη εμφάνιση οι ποδοσφαιριστές με τον αριθμό συμμετοχών τους, συνάρτηση; Να εξηγήσετε. 7. Μια εταιρεία παραγωγής φυσικών χυμών έχει υπολογίσει ότι από κάθε κιλό πορτοκάλια που παίρνει από τον παραγωγό, παράγει 0,4 λίτρα χυμό. i. Πόσα λίτρα χυμό θα παράξει, αν πάρει από τον παραγωγό 500 κιλά πορτοκάλια; ii. Να εκφράσετε την ποσότητα (σε λίτρα χυμού) που παράγεται, ως συνάρτηση της ποσότητας των κιλών πορτοκαλιών (με τη χρήση τύπου). iii. Πόσα κιλά πορτοκάλια πρέπει η εταιρεία να χρησιμοποιήσει, ώστε να παράξει 300 λίτρα χυμό; 8 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

11 Γραμμική Συνάρτηση Ευθεία Εξερεύνηση Η διπλανή γραφική παράσταση δείχνει τη θερμοκρασία του νερού καθώς το θερμαίνουμε σε μία κατσαρόλα σε σχέση με το χρόνο θέρμανσης (σε λεπτά). Να περιγράψετε πώς μεταβάλλεται η θερμοκρασία του νερού κατά τη διάρκεια των 5 λεπτών που δείχνει η γραφική παράσταση. Τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά; Διερεύνηση 1 Η μηχανή δέχεται αριθμούς και τους μετατρέπει σε αριθμούς, σύμφωνα με τον κανόνα. Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τέσσερις τυχαίες τιμές του και να υπολογίσετε τα αντίστοιχα με βάση τον τρόπο λειτουργίας της μηχανής. 9 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

12 Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήστε το λογισμικό GeoGebra ή το Cabri II plus για τις πιο κάτω κατασκευές: Να τοποθετήσετε τα σημεία σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Βρίσκονται τα σημεία στην ίδια ευθεία; Να πάρετε δύο τυχαία σημεία Α, Β και να τα τοποθετήσετε στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, Β είναι συνευθειακά με τα προηγούμενα σημεία; Τι πρέπει να συμβαίνει για να ανήκουν τα σημεία Α και Β στην ίδια ευθεία με τα αρχικά σημεία. Αν τοποθετήσουμε στη μηχανή τον αριθμό το αντίστοιχο σημείο που θα προκύψει, θα ανήκει στην ίδια ευθεία με τα αρχικά σημεία; Διερεύνηση 2 Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο, όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Τι θα συμβεί αν σημειώσουμε πολύ περισσότερα σημεία που προκύπτουν από τη μηχανή στους άξονες; Τι σχήμα θα κατασκευαστεί αν γίνουν άπειρα αυτά τα σημεία. Να εξετάσετε κατά πόσο οι συντεταγμένες των σημείων αυτών ορίζουν συνάρτηση. Διερεύνηση 3 Να συμπληρώσετε τον πίνακα και να τοποθετήσετε τα σημεία σε ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων με βάση τις πληροφορίες της μηχανής. Είναι τα σημεία συνευθειακά; (Τεχνολογία: Μπορείτε να χρησιμοποιήστε το λογισμικό GeoGebra ή το Cabri II plus) 10 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

13 Τι πρέπει να ξέρετε Μια συνάρτηση της μορφής, όπου, ονομάζεται γραμμική συνάρτηση. H γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο είναι μια ευθεία γραμμή. Για παράδειγμα η παριστάνεται στη διπλανή γραφική παράσταση με ευθεία γραμμή. Αντίστροφα κάθε ευθεία γραμμή (εκτός από την ευθεία που είναι κάθετη στον άξονα των ) μπορεί να γραφεί ως συνάρτηση με τύπο. Παραδείγματα Δραστηριότητες Να εξετάσετε ποια από τα σημεία A(0,-1), B(1,1), Γ(-1,0) και Δ(-4,5) ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης Λύση: Τεχνολογία: Γραφική Λύση Να ανοίξετε το λογισμικό GeoGebra. Στο πεδίο «Εισαγωγή» να καταχωρήσετε την εξίσωση της ευθείας και να πατήσετε ENTER. Στο πεδίο «Εισαγωγή» να καταχωρήσετε διαδοχικά τα σημεία «A=(0,-1)», «B=(1,1)», «Γ=(-1,0)» και «Δ=(-2,5)», πατώντας κάθε φορά ENTER. Από τη γραφική παράσταση δίπλα συμπεραίνουμε ότι τα σημεία Α και Β ανήκουν στην ευθεία ενώ τα σημεία Γ και Δ δεν ανήκουν στην ευθεία. Αλγεβρική λύση: Τοποθετούμε στον πιο κάτω πίνακα τις τετμημένες ( ) των σημείων Α, Β, Γ και Δ. Υπολογίζουμε τις τιμές και ελέγχουμε κατά πόσο αυτές ταυτίζονται με τις αντίστοιχες τεταγμένες ( ) των σημείων. 11 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

14 1 = Συμπεραίνουμε ότι τα σημεία Α και Β ανήκουν στην ευθεία, ενώ τα σημεία Γ και Δ δεν ανήκουν στην ευθεία. Γενικά όταν οι συντεταγμένες ενός σημείου επαληθεύουν την εξίσωση μίας συνάρτησης, τότε το σημείο ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ή η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το συγκεκριμένο σημείο. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η συνάρτηση τέμνει τους άξονες. Λύση: Η συνάρτηση διέρχεται από ένα σημείο πάνω στον άξονα των τετμημένων (τέμνει τον άξονα των τετμημένων). Το σημείο αυτό έχει τεταγμένη Για Άρα, η συνάρτηση τέμνει τον άξονα των τετμημένων στο σημείο. Η συνάρτηση, επίσης, περνά από ένα σημείο πάνω στον άξονα των τεταγμένων (τέμνει τον άξονα των τεταγμένων). Το σημείο αυτό έχει τετμημένη. Για. Άρα, η συνάρτηση τέμνει τον άξονα των τεταγμένων στο σημείο. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο. Λύση: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι ευθεία γραμμή. Δύο σημεία ορίζουν μια ευθεία. Επομένως, αρκεί να βρούμε δύο σημεία της ευθείας για να κατασκευάσουμε τη γραφική της παράσταση Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

15 Να βρείτε την εξίσωση της γραμμικής συνάρτησης που περνά από τα σημεία και (1,5). Λύση: Τα σημεία επαληθεύουν την εξίσωση της γραμμικής συνάρτησης. Κάθε γραμμική συνάρτηση μπορεί να γραφεί στη μορφή. Χρησιμοποιώντας τα σημεία που δίνονται, υπολογίζουμε τις άγνωστες παραμέτρους και ώστε να γίνει συγκεκριμένη η εξίσωση της ζητούμενης συνάρτησης. Το ανήκει στην ευθεία Άρα, η εξίσωση της ζητούμενης γραμμικής συνάρτησης είναι. 1. Να γράψετε την συνάρτηση με τύπο στην μορφή όπου. 2. Δίνεται η συνάρτηση. i. Να βρείτε 5 σημεία που ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. ii. Να εξετάσετε κατά πόσο τα σημεία ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. 3. Να εξετάσετε κατά πόσο τα δεδομένα που δίνονται στον πιο κάτω πίνακα συνδέονται με γραμμική σχέση Τεχνολογία: Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο, και να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα για διάφορες τιμές του β. 13 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

16 1 (0,1) i. Nα παρατηρήσετε πώς μεταβάλλεται το σημείο τομής της συνάρτησης με τον άξονα των τεταγμένων καθώς αλλάζει το. ii. Να αποδείξετε ότι το σημείο (0,β) ανήκει πάντοτε στη γραφική παράσταση της γραμμικής συνάρτησης με εξίσωση (όπου. 5. Ένα τμήμα ενός Γυμνασίου επισκέπτεται ένα μουσείο, που χρεώνει είσοδο για κάθε μαθητή. Για τη μεταφορά των μαθητών στο μουσείο, η εταιρεία των λεωφορείων χρεώνει συνολικά. Να βρείτε και να περιγράψετε τον τύπο που να υπολογίζει το κόστος της επίσκεψης των μαθητών. 6. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο. 7. Να βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες της γραμμικής συνάρτησης με τύπο και να κατασκευάσετε τη γραφική της παράσταση. 8. Να κατασκευάσετε τις γραφικές παραστάσεις των πιο κάτω γραμμικών συναρτήσεων: i. ii. iii. iv. v. 9. Να βρεθεί ο τύπος της γραμμικής συνάρτησης που περνά από τα σημεία: i. ii. 10. Δίνεται η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης. Να βρείτε: i. Τα σημεία τομής της συνάρτησης με τους άξονες. ii. Δύο άλλα σημεία που ανήκουν στην ευθεία. iii. Δύο σημεία που δεν ανήκουν στην ευθεία iv. Το τύπο της συνάρτησης. 14 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

17 Ειδικές Περιπτώσεις Ευθείας Διερεύνηση Χρήση τεχνολογίας: Να ανοίξετε το αρχείο i. Να μετακινήσετε το δρομέα β, ώστε να πάρει την τιμή 0. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας; Από πού περνά η ευθεία αυτή σε σχέση με τους άξονες; Να μετακινήσετε το δρομέα α και να παρατηρήσετε τι συμβαίνει. ii. Να μετακινήσετε το δρομέα β ώστε να πάρει την τιμή 2 και το δρομέα α, ώστε να πάρει την τιμή 0. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας; Ποιο είναι το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της ευθείας αυτής; Από πού περνά η ευθεία αυτή σε σχέση με τον άξονα των y; Να μετακινήσετε το δρομέα και να παρατηρήσετε τι συμβαίνει. Ποια εξίσωση έχει ο άξονας των x; iii. Να πατήσετε το κουμπί, για να μην φαίνεται η ευθεία και ακολούθως να πατήσετε το κουμπί, για να εμφανιστεί μια άλλη ευθεία. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας; Ποιο είναι το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της ευθείας αυτής; Ορίζει η ευθεία αυτή συνάρτηση; Από πού περνά η ευθεία αυτή σε σχέση με τον άξονα των ; Να μετακινήσετε το δρομέα κ και να παρατηρήσετε τι συμβαίνει. Ποια εξίσωση έχει ο άξονας των ; 15 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

18 Τι πρέπει να ξέρετε Η γραφική παράσταση της την αρχή των αξόνων (ορίζει συνάρτηση) είναι ευθεία που περνά από π.χ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης περνά από την αρχή των αξόνων. Η γραφική παράσταση της στον άξονα των στο σημείο (ορίζει σταθερή συνάρτηση) είναι ευθεία κάθετη π.χ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κάθετη στον άξονα των στο σημείο Η γραφική παράσταση της ευθείας κάθετη στον άξονα των στο σημείο. (δεν ορίζει συνάρτηση) είναι ευθεία π.χ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι κάθετη στον άξονα των τετμημένων στο σημείο Ο άξονας των έχει εξίσωση. Ο άξονας των έχει εξίσωση (δεν ορίζει συνάρτηση). 16 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

19 Δραστηριότητες Παραδείγματα Να βρείτε τους τύπους των πιο κάτω γραφικών παραστάσεων: (α) (β) (γ) Λύση: (α) Είναι της μορφής. Περνά από το Άρα είναι η (β) Είναι της μορφής, γιατί περνά από το. Περνά όμως και από το. Άρα είναι η. (γ) Είναι της μορφής. Περνά από το Άρα είναι η 1. Να αντιστοιχίσετε τις γραφικές παραστάσεις με τις εξισώσεις των ευθειών. Α. i. ii. iii. Β. iv. v. Γ. vi. 17 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

20 2. Να βρείτε τους τύπους των ευθειών που σχηματίζουν το διπλανό τρίγωνο: 3. Δίνεται η συνάρτηση. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο. i. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της. ii. Να υπολογίσετε την τιμή του. 4. Δίνεται η συνάρτηση. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. iii. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια ευθεία που διέρχεται πάντοτε από το σημείο: iv. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (1, 2), τότε: v. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (2,1), τότε: vi. vii. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο (-1, 2), τότε: Αν α = 3, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σημείο: 18 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

21 Κλίση Γραμμικής Συνάρτησης- Ευθείας Εξερεύνηση Σε μια σχολή για δεξιότητες με πατίνι (skateboard), οι μαθητές πρέπει να εξασκηθούν σε μια από τις τέσσερεις διαφορετικές ράμπες που φαίνονται πιο κάτω. Α. Β. Γ. Δ. 2m 3m 2m 4m 3m 2m 4m 6m O διευθυντής της σχολής, για λόγους ασφάλειας, είπε στους αρχάριους μαθητές να επιλέξουν τη ράμπα που είναι λιγότερο ανηφορική. Να βρείτε ποια είναι αυτή και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Διερεύνηση 1 Χρήση τεχνολογίας: Να ανοίξετε το αρχείο:. 19 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

22 Να μετακινήσετε τους δρομείς α και β για να κατασκευάσετε την εξίσωση της ευθείας που φαίνεται στην πρώτη στήλη του πίνακα. Ακολούθως να μετακινήσετε επίσης τα σημεία Α και Β, για να συμπληρώσετε τον πίνακα: Εξίσωση Σημείο Σημείο Οριζόντια Κατακόρυφη ευθείας Α Β μεταβολή μεταβολή Να παρατηρήσετε τον πιο πάνω πίνακα και να απαντήστε τις πιο κάτω ερωτήσεις: Αλλάζει ο λόγος:, όταν πάρουμε διαφορετικά σημεία για την ίδια ευθεία; Συνδέεται ο λόγος: με κάποιο στοιχείο του τύπου της ευθείας; 20 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

23 Διερεύνηση 2 Να επιλέξετε τρία σημεία Α,Β,Γ πάνω στην ευθεία. Να βρείτε την κλίση της ΑΒ της ΑΓ και της ΒΓ. Τι παρατηρείτε; Τι πρέπει να ξέρετε Έστω ότι θέλουμε να μετακινηθούμε από ένα σημείο Α σε ένα σημείο Β μιας ευθείας της μορφής. Τότε θα έχουμε μια οριζόντια μετακίνηση (μεταβολή) και μια κατακόρυφη μετακίνηση (μεταβολή). Κλίση μιας ευθείας είναι ο λόγος της κατακόρυφης μεταβολής, (από ένα σημείο Α σε ένα σημείο Β της ευθείας), προς την οριζόντια μεταβολή. Η κλίση συμβολίζεται με το γράμμα λ, δηλαδή αυτό είναι ο ρυθμός μεταβολής της ευθείας. Αν η εξίσωση δίνεται στη μορφή τότε. Για την ευθεία και Α,Β όπως στο διπλανό σχήμα, δηλαδή ο συντελεστής του. 21 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

24 Δραστηριότητες Παραδείγματα Να βρείτε την κλίση των ευθειών που έχουν εξίσωση: i. ii. iii. iv. Λύση: i. ii. iii.. iv. ( ) v. (άξονας των x) Να βρείτε την κλίση και την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία και Λύση: Βρίσκουμε πρώτα την κλίση: Τοποθετούμε τα σημεία και σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Φέρουμε ευθεία που περνά από τα δύο σημεία. Υπολογίζουμε το λόγο της κατακόρυφης προς την οριζόντια μεταβολή. η εξίσωση της ευθείας δίνεται στην μορφή με. Άρα. Για τον προσδιορισμό του β παίρνουμε ένα σημείο πάνω στην ευθεία π.χ. το και το αντικαθιστούμε στην εξίσωση (αφού την επαληθεύει). Έτσι έχουμε: Η εξίσωση της ευθείας δίνεται από τον τύπο: ή 22 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

25 Να δείξετε ότι δεν ορίζεται η κλίση της ευθείας τις κλίσεις των ευθειών,.. Στη συνέχεια να εξετάσετε Λύση: Έστω ότι η ευθεία περνά από δύο σημεία κλίση της υπολογίζεται ως εξής:. Η Η ευθεία είναι της μορφής άρα η κλίση της δεν ορίζεται. Η ευθεία (άξονας των y) είναι της μορφής. Άρα η κλίση της δεν ορίζεται. 1. Να βρείτε την κλίση των ευθειών: i. ii. iii. 2 iv. v. vi. 2. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας αν : i. περνά από τα σημεία Α( 0, 0) και Β( 0, -3). ii. περνά από το σημείο Γ( -1, 3) και έχει κλίση λ =3. iii. περνά από το σημείο και έχει κλίση. iv. περνά από το σημείο και έχει κλίση. 3. Στις πιο κάτω προτάσεις δίνονται γραμμικές συναρτήσεις με τύπο της μορφής. Να αναγνωρίσετε την κλίση, και την παράμετρο και να εξηγήσετε τη σημασία τους σε κάθε περίπτωση. i. Ο πληθυσμός μιας πόλης δίνεται από την σχέση, όπου το αντιπροσωπεύει τον πληθυσμό και το αντιπροσωπεύει το χρόνο σε έτη από το 2000 μέχρι σήμερα. ii. Ένας σταλακτίτης μεγαλώνει σύμφωνα με τη σχέση, όπου αντιπροσωπεύει το μήκος του σταλακτίτη σε και τον χρόνο σε έτη από την πρώτη μέτρηση του μήκους του σταλακτίτη. iii. Το κέρδος σε ευρώ από την πώληση προϊόντων δίνεται από τη σχέση. iv. Μια τηλεφωνική εταιρεία χρεώνει τους πελάτες της με βάση τη σχέση, όπου είναι η μηνιαία χρέωση σε ευρώ και ο χρόνος ομιλίας σε λεπτά. 23 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

26 4. Αντιστοιχήστε κάθε εικόνα της στήλης Α με μία πρόταση της στήλης Β και δικαιολογήστε την απάντηση σας. Α Β α. i. Η κλίση δεν ορίζεται β. ii. Θετική κλίση ( ) γ. iii. Αρνητική κλίση ( ) iv. Μηδενική κλίση ( ) δ. 5. Στη διπλανή γραφική παράσταση παρουσιάζεται ο τραπεζικός λογαριασμός του Κώστα σε ένα έτος. i. Να εξηγήσετε πόσα είχε στην αρχή του χρόνου ο λογαριασμός και πώς μεταβάλλεται από μήνα σε μήνα. ii. Ποια είναι η κλίση της συνάρτησης και τι αντιπροσωπεύει. iii. Να βρείτε την εξίσωση της συνάρτησης. 24 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

27 6. Ο Μάριος γέμισε τη μοτοσυκλέτα του με 5 λίτρα βενζίνη. Στη γραφική παράσταση φαίνεται ότι απέμειναν 3 λίτρα βενζίνης στη μοτοσυκλέτα, όταν ο Μάριος κάλυψε 40 χιλιόμετρα. i. Να βρείτε την κλίση της συνάρτησης. ii. Να εξηγήσετε την σημασία της. iii. Πόσα χιλιόμετρα θα καλύψει με τα 5 λίτρα βενζίνης; Δραστηριότητες ενότητας 1. Να εξετάσετε, αν οι πιο κάτω αντιστοιχίες είναι συναρτήσεις: i. { } ii. iii. iv. 2. H σχέση που συνδέει τους βαθμούς Φαρενάιτ ( ) με τους βαθμούς Κελσίου ( ) είναι. Αν οι ενδείξεις ενός θερμομέτρου Φαρενάιτ ήταν κατά σειρά ποιες ήταν οι αντίστοιχες θερμοκρασίες ενός θερμομέτρου Κελσίου; 25 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

28 3. Ο πιο κάτω πίνακας παρουσιάζει το ύψος μιας φασολιάς σε μια περίοδο τριών εβδομάδων. Στην αρχή το ύψος του φυτού ήταν 5. Εβδομάδα Ύψος (σε cm) Να γράψετε μια εξίσωση που να εκφράζει το ύψος ( ) του φυτού συναρτήσει του αριθμού των εβδομάδων ( ). Να προβλέψετε το ύψος του φυτού ύστερα από δέκα εβδομάδες 5. Τα πιο κάτω διατεταγμένα ζεύγη αναπαριστούν τη σχέση μεταξύ του χρόνου μελέτης της Ελένης στα Μαθηματικά, στα Φυσιογνωστικά και στα Νέα Ελληνικά με τα αντίστοιχα αποτελέσματα στις εξετάσεις των μαθημάτων. Για παράδειγμα το διατεταγμένο ζεύγος δηλώνει ότι με 6 ώρες μελέτη στα Μαθηματικά πήρε βαθμό 68 στις εξετάσεις. Να εξετάσετε κατά πόσο η σχέση αυτή είναι συνάρτηση. { } 6. Ο Αλέξης φεύγει από το σπίτι με τα πόδια για το σχολείο. Η διαδρομή του Αλέξη περιγράφεται από τη σχέση όπου είναι η απόσταση από το σχολείο σε μέτρα και είναι ο χρόνος του σε λεπτά. Να κατασκευάσετε τη γραφική παράσταση που περιγράφει την πιο πάνω σχέση. 7. Η εταιρεία που ανέλαβε τη φωτογράφηση της τελετής αποφοίτησης του σχολείου Α χρεώνει για το βασικό πακέτο και για κάθε επιπρόσθετη φωτογραφία. Να χρησιμοποιήσετε την εξίσωση, όπου είναι το συνολικό κόστος και ο αριθμός των επιπρόσθετων φωτογραφιών, για να κατασκευάσετε έναν πίνακα που να παρουσιάζει το συνολικό κόστος παραγγελίας μέχρι επιπρόσθετων φωτογραφιών. 8. (α) Να εξετάσετε κατά πόσο τα δεδομένα του πιο κάτω πίνακα συνδέονται με γραμμική σχέση. (β) Αν ναι, να υπολογίσετε την κλίση, να βρείτε το σημείο τομής της γραμμικής συνάρτησης με τον άξονα των τεταγμένων και να γράψετε την εξίσωσή της Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

29 9. Να αντιστοιχίσετε τις γραφικές παραστάσεις της πρώτης στήλης με τις περιγραφές της δεύτερης στήλης του πίνακα και να επεξηγήσετε σε κάθε περίπτωση τι αναπαριστά η κλίση της γραφικής παράστασης. Γραφική παράσταση. Περιγραφή Α. Ι. Ένας υπάλληλος πληρώνεται την ώρα και επιπλέον για κάθε προϊόν που κατασκευάζει κάθε ώρα. Β. ΙΙ. Ένα άτομο πληρώνει την εβδομάδα σε ένα φίλο του, για να αποπληρώσει ένα δάνειο αξίας. Γ. ΙΙΙ. Ένας επαγγελματίας οδηγός εισπράττει καθημερινά για φαγητό και επιπλέον για κάθε χιλιόμετρο που καλύπτει. Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Σε ένα ζαχαροπλαστείο ο βοηθός ζαχαροπλάστης ετοιμάζει 6 γλυκά την ώρα. Ο ζαχαροπλάστης ετοιμάζει 10 γλυκά την ώρα, αλλά ξεκινά να εργάζεται δύο ώρες μετά από το βοηθό ζαχαροπλάστη. Οι δύο ζαχαροπλάστες πρέπει να ετοιμάσουν συνολικά 92 γλυκά. Σε πόσες ώρες, από τη στιγμή που θα ξεκινήσει να εργάζεται ο βοηθός ζαχαροπλάστης, θα έχουν τελειώσει; Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης, η οποία υπολογίζει τον αριθμό των γλυκών που ετοιμάζονται σε ώρες. 27 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

30 2. Στο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου δύο αυτοκινήτων Α και Β. i. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει την ταχύτητα με το χρόνο για τα δύο αυτοκίνητα και να αναφέρετε κατά πόσο αυτή είναι γραμμική. ii. Να περιγράψετε την κίνηση των δύο αυτοκινήτων (με ποια ταχύτητα ξεκινά το καθένα, με ποιο ρυθμό μεταβάλλεται η ταχύτητα τους, σε ποια χρονική στιγμή έχουν την ίδια ταχύτητα, ποιο αυτοκίνητο κινείται πιο γρήγορα και σε ποιό χρονικό διάστημα). 3. Χρήση τεχνολογίας: Να ανοίξετε το αρχείο: Bgym_En4sel27_PO_PT.ggb Να μετακινήσετε το σημείο Α και να βρείτε: i. Τις τιμές και ii. Το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης. iii. Το Πεδίο Τιμών της συνάρτησης. 28 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

31 4. Μιχάλης και ο Αντώνης αναχωρούν με το ποδήλατο από το σπίτι τους για το σχολείο την ίδια ώρα. Οι αποστάσεις (σε μέτρα) των θέσεων του Μιχάλη και του Αντώνη από το σχολείο συναρτήσει του χρόνου (σε λεπτά) δίνονται από τους τύπους και. Με τη βοήθεια κατάλληλης γραφικής παράστασης, να βρείτε ποιος από τους δύο θα φτάσει πρώτος στο σχολείο. Υπάρχει κάποια χρονική στιγμή που τα δύο αγόρια θα ισαπέχουν από το σχολείο; 5. Να εξετάσετε κατά πόσο οι πιο κάτω γραφικές παραστάσεις αναπαριστούν συνάρτηση. (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) 29 Ενότητα 4: Συναρτήσεις.

32

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

10. Η επιδίωξη της μέγιστης χρησιμότητας αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς του καταναλωτή στη ζήτηση αγαθών.

10. Η επιδίωξη της μέγιστης χρησιμότητας αποτελεί βασικό χαρακτηριστικό της συμπεριφοράς του καταναλωτή στη ζήτηση αγαθών. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 : Η ΖΗΤΗΣΗ Να σημειώσετε το σωστό ή το λάθος στο τέλος των προτάσεων: 1. Όταν η ζήτηση ενός αγαθού είναι ελαστική, η συνολική δαπάνη των καταναλωτών για το αγαθό αυτό μειώνεται καθώς αυξάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6

Δ3. Ο χρόνος από τη στιγμή που η απόστασή τους ήταν d μέχρι τη στιγμή που ακουμπά η μία την άλλη. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ 1. Δύο αμαξοστοιχίες κινούνται κατά την ίδια φορά πάνω στην ίδια γραμμή. Η προπορευόμενη έχει ταχύτητα 54km/h και η επόμενη 72km/h. Όταν βρίσκονται σε απόσταση d, οι μηχανοδηγοί αντιλαμβάνονται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΡΧ. ΜΑΚΑΡΙΟΥ Γ - ΠΛΑΤΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 015 ΒΑΘΜΟΣ : ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμητικά.. ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 1/6/015 ΒΑΘΜΟΣ:... ΤΑΞΗ: Α Ολογράφως:... ΧΡΟΝΟΣ: ώρες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 6. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤ ΕΠΙΠΕ ΘΕΩΡΙΑ. Σύστηµα καθέτων ηµιαξόνων: Είναι δύο κάθετες µεταξύ τους ηµιευθείες µία οριζόντια και µία κατακόρυφη. Την οριζόντια την ονοµάζουµε και την λέµε ηµιάξονα των ή ηµιάξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2013-2014. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΛΑΝΤΖΙΑΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 013-014 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ: Α Γυμνασίου Χρόνος: ώρες Βαθμός: Ημερομηνία: Παρασκευή, 13 Ιουνίου 014 Υπογραφή καθηγητή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 + Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΟΔΗΓΙΕΣ: α) Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. β) Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού. γ) Να γράφετε μόνο με μπλε μελάνι. (Για τα σχήματα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ

Η συνάρτηση y = αχ 2 + βχ + γ Η συνάρτηση y αχ + βχ + γ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y αx + βx + γ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y αx + βx + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Δ (15732) Δύο ακίνητα σημειακά ηλεκτρικά φορτία 2 μc και 3 μc, βρίσκονται αντίστοιχα στις θέσεις 3 m και 6 m ενός άξονα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Δ1) Να υπολογίσετε το δυναμικό του ηλεκτρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/10/2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/10/2014 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 214-2 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ / Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 19/1/214 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Άρχων Μάρκος, Γεράσης Δημήτρης, Τζαγκαράκης Γιάννης ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ Σχολική Χρονιά 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011. Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Τάξη: A Ενιαίου Λυκείου Βαθμός:...

ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ Σχολική Χρονιά 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011. Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Τάξη: A Ενιαίου Λυκείου Βαθμός:... ΛΥΚΕΙΟ ΠΟΛΕΜΙΔΙΩΝ Σχολική Χρονιά 010-011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 011 Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ Τάξη: A Ενιαίου Λυκείου Βαθμός:... Ημερομηνία: 7/05/011 Διάρκεια: ώρες Ονοματεπώνυμο:... Τμήμα:...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013. Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ.

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013. Όνομα μαθητή /τριας: Τμήμα: Αρ. ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΑΘΑΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΤΑΞΗ: B ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 2 ώρες ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 12 / 6 / 2013 Βαθμός: Ολογράφως: Υπογραφή: Όνομα μαθητή

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h.

ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16-10- 2011. 1) α) Μονάδα μέτρησης ταχύτητας στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (S.I.) είναι το 1Km/h. ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 16- - 2011 ΘΕΜΑ 1 0 Για τις ερωτήσεις 1-5, αρκεί να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά από αυτόν, το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΝΤΕΛΗ. Κτίριο 1 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 13, Τηλ. 210 8048919 / 210 6137110 Κτίριο 2 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 17, Τηλ. 210 8100606 ΒΡΙΛΗΣΣΙΑ

ΠΕΝΤΕΛΗ. Κτίριο 1 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 13, Τηλ. 210 8048919 / 210 6137110 Κτίριο 2 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 17, Τηλ. 210 8100606 ΒΡΙΛΗΣΣΙΑ Τάξη Μάθημα Εξεταστέα ύλη Α Λυκείου Φυσική Ευθύγραμμη Κίνηση ΠΕΝΤΕΛΗ Κτίριο 1 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 13, Τηλ. 210 8048919 / 210 6137110 Κτίριο 2 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 17, Τηλ. 210 8100606 ΒΡΙΛΗΣΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Aν ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος είναι σταθερός, τότε το σώμα: (i) Ηρεμεί. (ii) Κινείται με σταθερή ταχύτητα. (iii) Κινείται με μεταβαλλόμενη

Διαβάστε περισσότερα

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο:

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Τι είναι το GeoGebra; Γρήγορη Εκκίνηση Λογισμικό Δυναμικών Μαθηματικών σε ένα - απλό στη χρήση - πακέτο Για την εκμάθηση και τη διδασκαλία σε όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης Συνδυάζει διαδραστικά γεωμετρία,

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ

Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ Δυνάμεις μεταξύ ηλεκτρικών φορτίων ΘΕΜΑ Δ 4_15580 Δύο σημειακά ηλεκτρικά φορτία Q 1 = μc και Q = 8 μc, συγκρατούνται ακλόνητα πάνω σε οριζόντιο μονωτικό δάπεδο, στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, σε απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 4. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Εισαγωγή Σε πολλά καθημερινά φαινόμενα εμφανίζονται δύο μεγέθη, τα οποία μεταβάλλονται έτσι, ώστε η τιμή του ενός να καθορίζει την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΘΟΛΙΚΗΣ ΛΕΜΕΣΟΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΘΕΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04 / 06 / 2013

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΘΟΛΙΚΗΣ ΛΕΜΕΣΟΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΘΕΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04 / 06 / 2013 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΘΟΛΙΚΗΣ ΛΕΜΕΣΟΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΘΕΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 04 / 06 / 2013 ΤΑΞΗ: A ΩΡΑ : 07:45-09:45 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ: ΑΡ. ΒΑΘΜΟΣ: ΥΠΟΓΡΑΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο.

Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. Κίνηση σε Ηλεκτρικό Πεδίο. 3.01. Έργο κατά την μετακίνηση φορτίου. Στις κορυφές Β και Γ ενόςισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ πλευράς α= 2cm, βρίσκονται ακλόνητα δύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία q 1 =2µC και q 2 αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1η εξεταστική περίοδος από 4/10/15 έως 08/11/15 γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Α Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να επιλέξετε τη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΔΟΜΕΤΙΟΥ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ: 2014-2015

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΔΟΜΕΤΙΟΥ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ: 2014-2015 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΓΙΟΥ ΔΟΜΕΤΙΟΥ ΣΧΟΛ. ΧΡΟΝΙΑ: 201-2015 ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΤΑΞΗ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05 / 06 / 2015 ΧΡΟΝΟΣ: 2 Ώρες Βαθμός:. Ολογρ.:.. Υπογραφή: Ονοματεπώνυμο:

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΑΡ.:...

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΑΡ.:... ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Α ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑ: Φυσική ΤΑΞΗ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΊΑ: 27 Μαίου 2011 ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΩΡΑ: 11.00 1.00 ΒΑΘΜΟΣ: Αριθμητικά:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 12. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με πέντε μονάδες.

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 12. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με πέντε μονάδες. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α : Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 1. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με πέντε μονάδες. 1. Να κάνετε τις πράξεις: (α) 4αβ +10αβ αβ = (β) 3χψ4χ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1 Να υολογίσετε τα όρια: 9 i) ii) ( ) 9 iii) 1 1 1 iv) 7 10 5 15 t t t 1 v) vi) t (t )(t ) 1 1 9 i) (ημ συν) ) 1 7 συν vii) 1 ημ viii) 1 5 i) ii) ημ 6 1 009, άν

Διαβάστε περισσότερα