B Γυμνασίου. Ενότητα 9
|
|
- Ῥαχήλ Λαιμός
- 9 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 B Γυμνασίου Ενότητα 9
2 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση (2) Δίνεται το παραλληλόγραμμο με, και. Αν η περίμετρο του είναι, να υπολογίσετε την τιμή του, χρησιμοποιώντας εξίσωση. Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο Β_En9_Exisoseis.ggb και να διερευνήσετε το πλήθος των λύσεων του πιο πάνω προβλήματος. Τι πρέπει να ξέρετε Κάθε εξίσωση της μορφής είναι γραμμική εξίσωση μίας μεταβλητής. Κάθε εξίσωση της μορφής με, έχει μία μοναδική λύση, τη. Μία εξίσωση που δεν έχει καμία λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ( ) λέγεται αδύνατη εξίσωση στο σύνολο. Όταν, η γραμμική εξίσωση παίρνει τη μορφή, με και είναι αδύνατη. Μία εξίσωση που έχει ως λύση κάθε πραγματικό αριθμό λέγεται αόριστη εξίσωση στο σύνολο (άπειρες λύσεις). Όταν και η γραμμική εξίσωση παίρνει τη μορφή και είναι αόριστη. 1 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
3 Παραδείγματα 1. Nα λύσετε την εξίσωση: Λύση: Απαλοιφή παρονομαστών: κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα και διαγράφουμε ( ) Κάνουμε τις πράξεις τους παρονομαστές. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. Άρα η εξίσωση είναι αόριστη. Παρατήρηση Στην πιο πάνω περίπτωση δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το συντελεστή του αγνώστου διότι είναι μηδέν! Παρατηρούμε ότι η εξίσωση επαληθεύεται για όλες τις τιμές του. Άρα έχει άπειρες λύσεις. Για παράδειγμα: ( ) ( ) 2. Να προσδιορίσετε τον αριθμό, έτσι ώστε η εξίσωση ( ) να είναι αδύνατη. Λύση: Όπως αναφέραμε, κάθε αδύνατη εξίσωση έχει τη μορφή με μεταβλητή και. ( ) Κάνουμε τις πράξεις εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους. ( ) Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων, εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα. 2 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
4 Άρα, θέτουμε το συντελεστή του στην εξίσωση ( ) ίσο με το μηδέν:. Παρατήρηση Αν αντικαταστήσουμε το λ=3 τότε η εξίσωση γίνεται αδύνατη. και επαληθεύεται ότι είναι 3. Ένας πατέρας είναι σήμερα χρονών. Ο γιος του έχει τη μισή ηλικία της κόρης του. Να βρείτε την ηλικία του γιού του, αν γνωρίσετε ότι σε χρόνια ο πατέρας θα έχει ηλικία όσο το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών του. Λύση: Έστω η σημερινή ηλικία της κόρης. Μπορούμε να οργανώσουμε τα δεδομένα του προβλήματος σε έναν πίνακα: Σημερινές ηλικίες Μετά από 10 χρόνια Πατέρας Κόρη Γιος Επιλύουμε την εξίσωση: Άρα σήμερα η ηλικία της κόρης είναι 30 χρονών και ο γιος σήμερα είναι 15 χρονών. 3 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
5 1. Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις: Δραστηριότητες α) γ) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) ε) ( ) ( ) ( ) στ) ( ) ( ) ζ) η) θ) ι) ια) ( ) ( ) ( ) 2. Να εξετάσετε την ορθότητα σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις διαγράφοντας ότι δεν ισχύει, στη διπλανή στήλη του πίνακα: α) είναι αόριστη έχει άπειρες λύσεις γ) είναι αδύνατη δ) έχει μια λύση ε) δεν έχει λύση 3. Να εξετάσετε αν ένας από τους πιο κάτω αριθμούς και είναι λύση της εξίσωσης. 4. Να επαληθεύσετε ότι ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης: ( ) ( ). 5. Να εξετάσετε αν οι πιο κάτω εξισώσεις έχουν μία λύση, καμία λύση ή άπειρες λύσεις: α) 6. Να προσδιορίσετε τον αριθμό έτσι ώστε η εξίσωση ( ) να είναι αόριστη. 7. Σε μια εκδρομή το κανονικό εισιτήριο ήταν ενώ για τους συνταξιούχους ήταν. Οι συνταξιούχοι ήταν λιγότεροι από τους υπόλοιπους. Αν συνολικά πλήρωσαν, να βρείτε πόσοι ήταν οι συνταξιούχοι. 4 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
6 8. Ένα Γυμνάσιο έχει συνολικά μαθητές. Η τάξη έχει διπλάσιους μαθητές από τη τάξη και η τάξη έχει μαθητές περισσότερους από τo τριπλάσιο της τάξης. Πόσους μαθητές έχει κάθε τάξη; 9. Να βρείτε το μέτρο μιας γωνιάς, αν γνωρίζετε ότι τα του μέτρου της συμπληρωματικής της και τα άθροισμα. του μέτρου της παραπληρωματικής της έχουν 10. Κόβουμε ένα σύρμα μήκους και φτιάχνουμε ένα τετράγωνο και ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Αν η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου είναι κατά μεγαλύτερη από την πλευρά του τετραγώνου, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου και την περίμετρο του τριγώνου. 11. Σήμερα ο Πέτρος είναι χρόνια μεγαλύτερος από το Γιάννη. Πριν χρόνια η ηλικία του Πέτρου ήταν τετραπλάσια από την ηλικία του Γιάννη. Ποιες είναι οι σημερινές τους ηλικίες; 5 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
7 Ανισώσεις Διερεύνηση (1) Πιο κάτω φαίνονται τρείς πινακίδες: (Στον Ζωολογικό Κήπο) ΚΑΤΑΛΛΗΛΟ ΓΙΑ ΑΤΟΜΑ ΑΝΩ ΤΩΝ 18 Με βάση την 1 η πινακίδα αν ο Κώστας στάθμευσε λεπτά, είναι μέσα στον επιτρεπόμενο χρόνο; Αν ένας οδηγός τρέχει μέσα στην πόλη με ταχύτητα, ξεπερνά το πιο πάνω όριο ταχύτητας ή όχι; Να δηλώσετε τρεις ηλικίες παιδιών που πρέπει να συνοδεύονται στον ζωολογικό κήπο και τρεις ηλικίες παιδιών που δεν πρέπει να συνοδεύονται. Είναι κατάλληλο το πρόγραμμα με την πιο πάνω ένδειξη για τους μαθητές της Μέσης Εκπαίδευσης; Να διατυπώστε μία μαθηματική πρόταση για την κάθε πινακίδα. Διερεύνηση (2) Ένας φωτογράφος εργάζεται σε ένα περιοδικό. Κάθε μήνα παίρνει βασικό μισθό και για κάθε φωτογραφία που δημοσιεύεται στο περιοδικό, πληρώνεται επιπλέον την μια. Πόσες φωτογραφίες πρέπει να δημοσιεύονται στο περιοδικό για να πάρει μισθό μεγαλύτερο από ; 6 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
8 Τι πρέπει να ξέρετε Στην καθημερινή ζωή πολλές φορές χρειάζεται να συγκρίνουμε δυο μεγέθη με μια σχέση ισότητας ή ανισότητας, χρησιμοποιώντας τα σύμβολα. Αν και στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει μια νέα ανισότητα με την ίδια φορά. Για παράδειγμα: και Προσθέτουμε και στα δύο μέλη Παρατηρούμε ότι και διατηρείται η φορά της ανισότητας. Γενικά: Αν τότε ισχύει και Αν τότε ισχύει και Αν και τα δύο μέλη μιας ανισότητας πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει μια νέα ανισότητα με την ίδια φορά. Για παράδειγμα: και Πολλαπλασιάζουμε με και τα δύο μέλη Παρατηρούμε ότι και διατηρείται η φορά της ανισότητας. Γενικά: Αν και τότε ισχύει και Αν και τότε ισχύει και Αν και τα δύο μέλη μιας ανισότητας πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει μια νέα ανισότητα με αντίθετη φορά. Για παράδειγμα: ( ) και ( ) Παρατηρούμε ότι άρα η νέα ανισότητα έχει αντίθετη φορά. Γενικά: Αν και τότε ισχύει και Αν και τότε ισχύει και Η ανισότητα που περιέχει μεταβλητή ονομάζεται ανίσωση. Για παράδειγμα: 7 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
9 Λύση της ανίσωσης είναι κάθε αριθμητική τιμή που την κάνει αληθή. Για κάθε ανίσωση ορίζεται ένα σύνολο λύσεων, του οποίου κάθε στοιχείο επαληθεύει την ανίσωση. Το σύνολο αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί με διάφορους τρόπους όπως πιο κάτω: Συμβολικά Γραφικά Λεκτικά Το μεγαλύτερο από το. Το μεγαλύτερο ή ίσο με το Το μικρότερο του. To μικρότερο ή ίσο του Παραδείγματα 1. Να λυθεί η ανίσωση και να παρασταθεί γραφικά η λύση της. Λύση Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους Αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου όρου, δηλαδή το. Ο συντελεστής είναι αρνητικός άρα θα προκύψει ανίσωση με αντίθετη φορά. Επίλυση ανίσωσης i. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους. ii. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. iii. Διαιρούμε το συντελεστή του αγνώστου όρου. Αν ο συντελεστής είναι θετικός η ανισότητα δεν αλλάζει φορά, ενώ αν είναι αρνητικός πρέπει να αλλάξουμε την φορά. Η ανίσωση είναι αληθής για κάθε τιμή της μεταβλητής με τον αριθμό. που είναι μεγαλύτερη ή και ίση 8 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
10 2. Να λυθεί η ανίσωση ( ). Λύση ( ) ( ) ( ) Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το Ε.Κ.Π. δηλαδή τον αριθμό ( ) ( ) ( ) Κάνουμε τις πράξεις Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους Αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του άγνωστου όρου Η ανίσωση είναι αληθής για κάθε τιμή της μεταβλητής μικρότερη ή ίση από το. 3. Να λυθεί η ανίσωση Λύση: 8 Παρατηρούμε ότι η ανίσωση δεν αληθεύει για καμία τιμή της μεταβλητής. Δηλαδή η ανίσωση είναι αδύνατη. 4. Να λυθεί η ανίσωση Λύση: 8 Παρατηρούμε ότι η ανίσωση είναι αληθής για κάθε τιμή της μεταβλητής. 9 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
11 Δραστηριότητες 1. Δίνεται η ανίσωση α) Να δώσετε πέντε αριθμούς που επαληθεύουν την πιο πάνω ανίσωση. Να δώσετε τις τρεις μικρότερες ακέραιες λύσεις της ανίσωσης. γ) Ο αριθμός είναι λύση της ανίσωσης; δ) Πόσες λύσεις έχει η παραπάνω ανίσωση; 2. Δίνονται οι γραφικές λύσεις ανισώσεων. Να επιλέξετε τις αντίστοιχες αλγεβρικές τους λύσεις: I. α) γ) δ) II. α) γ) δ) III. α) γ) δ) IV. α) γ) δ) 3. Να επιλύστε τις πιο κάτω ανισώσεις και να παραστήσετε γραφικά τη λύση τους στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. ) ) ) 4. Ποιος είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός που είναι λύση της ανίσωσης ; 5. Να βάλετε σε κύκλο τους αριθμούς που επαληθεύουν την ανίσωση : 6. Δίνεται η ανίσωση α) Να λύσετε την ανίσωση. Να δώσετε τρεις τιμές του που επαληθεύουν την ανίσωση. 7. Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( ). Ποιος είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός που επαληθεύει την ανίσωση; 10 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
12 8. Να λύσετε τις ανισώσεις: α) ( ) γ) ( ) δ) ( ) ε) ( ) ( ) 9. Ένας διανομέας εργάζεται σε μια επιχείρηση με προμήθεια. Κάθε μήνα παίρνει βασικό μισθό και για κάθε προϊόν που πωλεί πληρώνεται επιπλέον το ένα. Πόσα προϊόντα πρέπει να πωλήσει για να πάρει μισθό μεγαλύτερο από ; 10. Ο κύριος Λιμνιώτης διαθέτει μια δεξαμενή χωρητικότητας για αποθήκευση νερού. Η δεξαμενή ήταν κενή. Γεμίζει τη δεξαμενή με ρυθμό νερού ανά ώρα. Να βρείτε: α) Πόσο νερό θα υπάρχει στην δεξαμενή αν η παροχή νερού παραμείνει ανοικτή για ώρες. Σε πόσες ώρες πρέπει να κλείσει την παροχή νερού ώστε η δεξαμενή να μην υπερχειλίσει. 11 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
13 Αλγεβρικές παραστάσεις Απλοποίηση Αλγεβρικής Παράστασης Διερεύνηση Πιο κάτω παρουσιάζεται ένα σύνολο αλγεβρικών πλακιδίων που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση αριθμών και μεταβλητών όπως φαίνεται στον πίνακα. Πλακίδιο Αναπαριστά Πλακίδιο Αναπαριστά τον αριθμό. τον αριθμό. τη μεταβλητή το αντίθετο της μεταβλητής. το τετράγωνο της μεταβλητής. το αντίθετο του τετράγωνου της μεταβλητής. Τα ακόλουθα πλακίδια παρουσιάζουν την αλγεβρική παράσταση. Μετά την ανακατάταξη των πλακιδίων και την εξουδετέρωση των θετικών με τα αρνητικά πλακίδια αντίστοιχου μεγέθους η αλγεβρική παράσταση απλοποιείται στην. Να περιγράψετε με περισσότερη λεπτομέρεια την πιο πάνω διαδικασία; Αν το πάρει την τιμή 5 να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης και ακολούθως την αριθμητική τιμη της απλοποιημένης μορφής. Υπάρχει διαφορά στο αποτέλεσμα; Με βάση το μοντέλο με τα πλακίδια ή με άλλο τρόπο μπορείτε να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση. 12 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
14 Τι πρέπει να ξέρετε Μια μαθηματική έκφραση που περιλαμβάνει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παράσταση. Για παράδειγμα:,,,, Μια μαθηματική έκφραση που περιλαμβάνει πράξεις μόνο με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Για παράδειγμα: Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικατασταθούν οι μεταβλητές με συγκεκριμένους αριθμούς και εκτελεστούν οι πράξεις, τότε το αποτέλεσμα ονομάζεται αριθμητική τιμή ή τιμή της αλγεβρικής παράστασης. Για παράδειγμα η τιμή της αλγεβρικής παράστασης, για και, είναι Μια αλγεβρική παράσταση που περιλαμβάνει μόνο την πράξη του πολλαπλασιασμού μεταξύ πραγματικού αριθμού και μεταβλητών και οι μεταβλητές της έχουν εκθέτη μη αρνητικό ακέραιο ονομάζεται μονώνυμο. Για παράδειγμα:,,,,, -5 Σε ένα μονώνυμο (στην πιο απλή μορφή) ο αριθμητικός παράγοντας ονομάζεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο των μεταβλητών του ονομάζεται κύριο μέρος. Τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος ονομάζονται όμοια. Πολυώνυμο ονομάζεται το άθροισμα μονωνύμων και το κάθε μονώνυμο ονομάζεται όρος του πολυωνύμου. Π.χ. Η αλγεβρική παράσταση ( ) ( ) ( ) ( ), συνήθως γράφεται Οι όροι της αλγεβρικής παράστασης με το ίδιο κύριο μέρος ονομάζονται όμοιοι όροι. τέσσερις όρους. και αποτελείται από Μια αλγεβρική παράσταση απλοποιείται αν κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων, δηλ. αν αντικαταστήσουμε τους όμοιους όρους με το άθροισμά τους. Π.χ. 13 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
15 Παράδειγμα Δίνεται η αλγεβρική παράσταση. α) Από πόσους όρους αποτελείται η αλγεβρική παράσταση; Ποιοι είναι οι όροι της, ποιο το κύριο μέρος και ποιος ο συντελεστής του καθενός; γ) Ποιοι είναι όμοιοι όροι; δ) Να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση. ε) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της αν και. Λύση: α) H αλγεβρική παράσταση αποτελείται από 7 όρους. όρος κύριο μέρος συντελεστής γ) Όμοιοι όροι:,,,, δ). ε) Η αλγεβρική παράσταση για έχει αριθμητική τιμή: ( ) ( ). Σημείωση: Την ίδια αριθμητική τιμή θα βρούμε αν αντικαταστήσουμε στην αρχική μορφή της αλγεβρικής παράστασης. 14 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
16 Δραστηριότητες 1. Να σημειώσετε στο κουτί διπλα από κάθε μια απο τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις που είναι μονώνυμα. 2. Ποια από τα παρακάτω μονώνυμα είναι όμοια ; 3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Μονώνυμο Συντελεστής Κύριο μέρος 4. Ποιο από τα πιο κάτω είναι ισοδύναμο με : Α: Β: Γ: Δ: 5. Δίνεται η αλγεβρική παράσταση. α) Από πόσους όρους αποτελείται η αλγεβρική παράσταση; Ποιοι όροι είναι όμοιοι; γ) Να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση. δ) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της αν και. 6. Να απλοποιήσετε τις ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις και ακολούθως να βρείτε την αριθμητική τους τιμή για : 15 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
17 Πρόσθεση Αφαίρεση Πολυωνύμων Διερεύνηση (1) Τα ακόλουθα πλακίδια παρουσιάζουν το άθροισμα των πολυωνύμων και. Μπορείτε να περιγράψετε την πιο πάνω διαδικασία; Διερεύνηση (2) Δύο μαθητές εργάστηκαν με τα μοντέλα των πλακιδίων ως εξής: Μαθητής 1: Αφαίρεσε το πολυώνυμο από το πολυώνυμο. Μαθητής 2: Πρόσθεσε στο πολυώνυμο το πολυώνυμο. Να συγκρίνετε τις δύο διαδικασίες και τα αποτελέσματα τους. Τι συμπεράσματα μπορείτε να εξάγετε; 16 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
18 Τι πρέπει να ξέρετε Ένα πολυώνυμο με δύο όρους ονομάζεται διώνυμο και ένα πολυώνυμο με τρεις όρους ονομάζεται τριώνυμο. Για παράδειγμα: διώνυμο: τριώνυμο: Για να ονομάσουμε ένα πολυώνυμο χρησιμοποιήσουμε συνήθως γράμματα του ελληνικού ή λατινικού αλφαβήτου και σε παρένθεση τις μεταβλητές που περιλαμβάνει το πολυώνυμο. Για παράδειγμα:,, ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ) Παρατήρηση: Με ( ) συμβολίζουμε την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου ( ) για. Δηλ. ( ) Η πρόσθεση πολυωνύμων εκτελείται κάνοντας αναγωγή των όμοιων όρων του πολυωνύμου που προκύπτει. Η αφαίρεση ενός πολυωνύμου από ένα πολυώνυμο μπορεί να εκτελεστεί ως πρόσθεση των αντίθετων όρων του πολυωνύμου με το πολυώνυμο. Παράδειγμα Δίνεται το τριώνυμο και το διώνυμο. Να υπολογίσετε: α) γ) Λύση: α) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) 17 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
19 Δραστηριότητες 1. Ποιο από τα πιο κάτω πολυώνυμα είναι ίσο με ( ) ( ): Κανένα από τα προηγούμενα. 2. Να εξετάσετε την ορθότητα σε καθεμιά από τις παρακάτω πράξεις διαγράφοντας ότι δεν ισχύει, στη διπλανή στήλη του πίνακα: α) ( ) ( ) γ) ( ) δ) ( )( ) ε) ( ) στ) ( )( ) 3. Να κάνετε τις ακόλουθες πράξεις πολυωνύμων: α) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) ε) ( ) ( ) στ) ( ) ζ) ( ) ( ) η) ( ) ( ) 4. Δίνονται τα πολυώνυμα ( ), ( ) και ( ). Να βρείτε τα εξής: α) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) δ) ( ) 18 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
20 5. Μια μηχανή κόβει σιδερένιες ράβδους σε διάφορα μεγέθη μήκους ρυθμίζοντας κάθε φορά την παράμετρο. Επίσης χαράσσει τη ράβδο σε σημείο Β έτσι ώστε. α) Να βρείτε το μήκος του μ (συναρτησει του ). Αν να βρείτε το μήκος του και του. 6. Μια μηχανή κατασκευάζει διαφορετικού μεγέθους πλαστικά ορθογώνια με διαστάσεις και. Το μέγεθος μεταβάλλεται σύμφωνα με τη ρύθμιση της μεταβλητής. Στον περίγυρο του πλαστικού αυτού ορθογωνίου η μηχανή κολλάει μια πλαστική μεμβράνη. α) Να βρείτε (συναρτήσει του ) το μήκος της μεμβράνης που χρειάζεται για κάθε ένα τέτοιο πλαστικό ορθογώνιο. Αν η μηχανή ρυθμιστεί ώστε το να πάρει την τιμή, ποιο το μήκος της μεμβράνης που θα χρειαστεί για κάθε ένα ορθογώνιο; γ) Αν ο επιστάτης ζητήσει να κατασκευαστούν ορθογώνια, αλλά με, πόσο είναι το μήκος της μεμβράνης που θα χρειαστεί η μηχανή; 19 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
21 Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμων Διερεύνηση (1) Στο μοντέλο πολλαπλασιασμού πολυωνύμων τα αλγεβρικά πλακίδια καλύπτουν επιφάνεια ως εξής: Πλακίδιο Καλύπτει τετράγωνο με πλευρά μονάδα ορθογώνιο με διαστάσεις και μονάδες τετράγωνο με πλευρά μονάδες Για την εύρεση του γινομένου ( ) χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο με τα αλγεβρικά πλακίδια ως εξής: Βήμα 1: Το γινόμενο ( ) αντιστοιχεί σε ορθογώνιο με διαστάσεις και ( ). Βήμα 2: Καλύπτουμε την επιφάνεια του ορθογωνίου με τα αντίστοιχα πλακίδια. Άρα ( ). Να εξηγήσετε γιατί καλύπτεται η επιφάνεια με τα συγκεκριμένα πλακίδια που φαίνονται στην εικόνα; Ένας μαθητής εργάστηκε όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Να εξηγήσετε ποια ιδιότητα χρησιμοποίησε και πως αυτή αντιστοιχεί με το προηγούμενο μοντέλο. 20 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
22 Διερεύνηση (2) Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο Bgym_En9_PolPolyonimon.ggb. Να μετακινήσετε τους δρομείς ώστε να πετύχετε τις διαστάσεις του ορθογωνίου που φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Ακολούθως να καλύψετε την επιφάνεια του ορθογωνίου με τα αντίστοιχα πλακίδια για να βρείτε το αποτέλεσμα του γινομένου των διαστάσεων. Να συμπληρώσετε τον πίνακα. Διάσταση 1 Διάσταση 2 Γινόμενο Αποτέλεσμα ( ) ( ) ( )( ) Να εκτελέσετε τους πιο πάνω πολλαπλασιασμούς χρησιμοποιώντας κατάλληλη ιδιότητα των πράξεων και να εξηγήσετε την αντιστοιχία με το μοντέλο των πλακιδίων. Τι πρέπει να ξέρετε Για τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμου με πολυώνυμο γίνεται χρήση ιδιοτήτων των πράξεων και των δυνάμεων. 21 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
23 Παράδειγμα Να κάνετε τους πιο κάτω πολλαπλασιασμούς πολυωνύμων: α) ( ) γ) δ) ( ) ε) ( ) στ) ( ) ζ) ( )( ) η) ( )( ) Λύση: α) ( ) γ) δ) ε) ( ) στ) ( ) ζ) αντ στοιχη διαδικασ α με χρήση π νακα: η) ( )( ) 22 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
24 Δραστηριότητες 1. Να εξετάσετε την ορθότητα σε καθεμιά από τις παρακάτω πράξεις διαγράφοντας ότι δεν ισχύει, στη διπλανή στήλη του πίνακα: α) ( ) ( ) γ) ( ) δ) ( )( ) ε) ( ) στ) ( )( ) 2. Μια σωλήνα έχει μήκος μέτρα. Το μήκος μιας σωλήνας είναι φορές μεγαλύτερο από την. Να βάλετε σε κύκλο την ορθή απάντηση. Α: μέτρα Β: μέτρα Γ: μέτρα Δ: μέτρα 3. Να κάνετε τους πιο κάτω πολλαπλασιασμούς πολυωνύμων: α) γ) ( ) δ) ( ) ε) ( ) στ) ( ) ζ) ( )( ) η) ( )( ) 5. Μια μηχανή κατασκευάζει διαφορετικού μεγέθους πλαστικά ορθογώνια με διαστάσεις και. Το μέγεθος μεταβάλλεται σύμφωνα με τη ρύθμιση της μεταβλητής. Στην άνω επιφάνεια αυτού του ορθογωνίου η μηχανή κολλάει μια έγχρωμη μεμβράνη. α) Να βρείτε (συναρτήσει του ) το εμβαδό της μεμβράνης που χρειάζεται για κάθε ένα τέτοιο πλαστικό ορθογώνιο. Να βρείτε το εμβαδό της μεμβράνης που χρειάζεται αν η μηχανή ρυθμιστεί ώστε το να πάρει τιμές, και. 23 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
25 Δραστηριότητες Ενότητας 1. Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις: α) ( ) α ( α ) γ) ( ) δ) ε) ( ) στ) ζ) η) θ) α ι) 2. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις: και ( ) έχουν κοινή λύση. 3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( ). Αν η γωνία είναι κατά μικρότερη από την να υπολογίσετε τις γωνίες του. 4. Ένας μαθητής απάντησε σε ερωτήματα και πήρε μονάδες για κάθε σωστή απάντηση, ενώ έχασε μονάδα για κάθε λανθασμένη απάντηση. Αν τελικά ο μαθητής συγκέντρωσε μονάδες, να βρείτε πόσα ερωτήματα απάντησε σωστά. 5. Να βρείτε το μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό που το τριπλάσιο του μειωμένο κατά είναι μικρότερο του αριθμού αυτού. 6. Να επιλύστε τις πιο κάτω ανισώσεις και να παραστήσετε γραφικά τη λύση τους στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. α) γ) ( ) ( ) δ) 7. Να γράψετε μια ανίσωση που να καθορίζει αν μια επίδοση στο άλμα εις ύψος δίνει σε έναν αθλητή το εισιτήριο για τους ολυμπιακούς αγώνες, αν είναι γνωστό ότι από τους πιο κάτω αθλητές το εισιτήριο πήραν μόνο οι αθλητές και. Αθλητής Μέγιστη επίδοση 24 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
26 8. Nα βρείτε για ποια τιμή του ο αριθμός ( ) είναι αρνητικός αριθμός. 9. Να κάνετε τις πράξεις: α) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) δ) ( )( ) ε) ( )( ) στ) ( ) ζ) ( ) ( ) η) ( )( ) 10. Δίνονται τα πολυώνυμα ( ), ( ) και ( ). Να υπολογίσετε: α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) ( ) δ) ( ) 11. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι. Να βρείτε τις διαστάσεις του και το εμβαδόν του. 12. Ένα πρότυπο σχέδιο κήπου σχήματος ορθογωνίου έχει μια διάσταση ίση με μέτρα και την άλλη διάσταση διπλάσια αυξημένη κατά μέτρα. Να γράψετε μια αλγεβρική παράσταση που να εκφράζει το εμβαδόν και μια την περίμετρο του σχεδίου. 13. Να εξετάσετε κατά πόσο το διπλανό ορθογώνιο είναι τετράγωνο και να βρείτε το εμβαδόν του. 25 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
27 Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις και ( )( ) έχουν μία κοινή λύση. 2. Να εξετάσετε αν το είναι λύση της εξίσωσης: ( )( ) ( )( ). 3. Να εξετάσετε αν οι πιο κάτω εξισώσεις έχουν μία λύση, καμία λύση ή άπειρες λύσεις: α) ( )( ) ( )( ) 4. Ο κ. Πέτρος έχει ένα ορθογώνιο κήπο διαστάσεων επί. Θέλει να κατασκευάσει διάδρομο από μπετόν, ίσου πλάτους ( ) περιμετρικά από τον κήπο. α) Κατασκευάστε ένα διάγραμμα του κήπου και του διαδρόμου. Να γράψετε μια αλγεβρική παράσταση που να εκφράζει το εμβαδό του διαδρόμου; 5. Μια εταιρεία πουλά ένα συγκεκριμένο ψυγείο αξίας και εκτιμά ότι σε ένα χρόνο θα πουλήσει ψυγεία. Αν αυξήσει την τιμή κατά ( ), εκτιμάται ότι θα χάσει πελάτες. Να γράψετε την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει τις εισπράξεις της εταιρείας μετά την αύξηση της τιμής. Να υπολογίσετε τις εισπράξεις αν πουληθούν και ψυγεία, με την αύξηση τιμής και χωρίς την αύξηση τιμής και να σκεφτείτε αν συμφέρει η αύξηση ή όχι. 6. Να γράψετε ένα πολυώνυμο που να παριστάνει: α) την περίμετρο και το εμβαδό της σκιασμένης επιφάνειας. 26 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.
1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού
1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη
Διαβάστε περισσότεραΑ ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΝα επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β.
Ενότητα 1 Εξισώσεις Ανισώσεις α βαθμού Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε την εξίσωση αx + β = 0, με βάση τη γραφική παράσταση της ευθείας y = ax + β. Να επιλύουμε την ανίσωση
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΝα επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.
Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί
Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί
Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραεξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες
Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο
Διαβάστε περισσότεραΌταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Αν αβ τότε α+γβ+γ Αν αβ τότε α-γβ-γ Αν αβ τότε α γ α β γ β Αν αβ τότε γ γ με γ 0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός
Διαβάστε περισσότεραΑ Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία
Διαβάστε περισσότερα3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού
1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται,
Διαβάστε περισσότεραΠ.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ
Η θεωρία της Γ Γυμνασίου 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η
Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης
Διαβάστε περισσότεραΑ Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Συνοπτική Θεωρία Ασκήσεις της Τράπεζας Θεμάτων Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Συντακτική ομάδα mathp.gr Συντονισμός
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα
ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Β Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές στην προσπάθειά μας να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων
Διαβάστε περισσότεραΠεριληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:
Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις.
Μαθηματικά B Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μέρος Α.- Θεωρία. 1. Τι λέμε αλγεβρική και τι αριθμητική παράσταση; 2. Τι λέμε αναγωγή ομοίων όρων; 3. Τι λέμε εξίσωση α βαθμού; 4. Τι λέμε πρώτο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο Εξισώσεις και Προβλήματα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Εξίσωση με έναν άγνωστο λέγεται... 2. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης λέγεται...... 3. Επίλυση εξίσωσης
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η εξίσωση με και 0 ή 0 λέγεται γραμμική εξίσωση. Οι μεταβλητές είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής. Οι αριθμοί λέγονται συντελεστές των αγνώστων
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί
ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος
Διαβάστε περισσότεραΘέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ
Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
Διαβάστε περισσότεραΜονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
Μονώνυμα Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πράξεις με μονώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι να μάθουν
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος
Διαβάστε περισσότερα11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότερα5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y
. Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη. Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β.
Διαβάστε περισσότερα3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 2 = 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος.
. Δίνεται η εξίσωση λ + 4(λ ) = 0, με παράμετρο λ R α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R. γ) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω
Διαβάστε περισσότεραεξίσωση πρώτου βαθμού
κεφάλαιο 2 Α1 εξίσωση πρώτου βαθμού επίλυση της εξίσωσης πρώτου βαθμού Εξίσωση, είναι κάθε ισότητα που περιέχει κάποιον άγνωστο, την τιμή του οποίου καλούμαστε να προσδιορίσουμε. Ο βαθμός μιας εξίσωσης
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς
Διαβάστε περισσότεραΑ. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΝα γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;
Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις
2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 5 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ
ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ, ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ2.5 Αναπαριστούν, συγκρίνουν και σειροθετούν ομώνυμα κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς,
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΗ Έννοια της εξίσωσης:
Η Έννοια της εξίσωσης: Θεωρία και λυμένα παραδείγματα Εξίσωση με έναν άγνωστο λέμε μια ισότητα η οποία περιέχει αριθμούς και έναν άγνωστο γράμμα ( μεταβλητή). Εξισώσεις είναι οι: χ+=8, χ-21=4,χ+1, 8χ=26.
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)
6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει
Διαβάστε περισσότεραΣυνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου
Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 3 ΚΑΙ 4
ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 100 ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 3 ΚΑΙ 4 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ1.7 Αναπαριστούν εναδικά κλάσματα ( 1, 1, 1, 1, 1 ) ενός συνόλου ή μιας επιφάνειας, 2 3 4 6 8 χρησιμοποιώντας
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων
Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..
Διαβάστε περισσότεραI. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr
I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο «ΑΛΓΕΒΡΑ»
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΥ ΜΕΡΣ ο «ΑΛΓΕΒΡΑ». Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = ( + ) 4( ) 8, όταν = 0,45. Απλοποιούμε πρώτα την παράσταση : Α = ( + ) 4( ) 8 = = + 6 4 + 4 8
Διαβάστε περισσότεραΝα αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,
. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το
Διαβάστε περισσότερα1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες προτάσεις στην φυσική τους γλώσσα. Να συμπληρώσετε την δεύτερη στήλη
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί
Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R
Διαβάστε περισσότερα4. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = x 3 2x 2 + x 12 α) Να αιτιολογήσετε γιατί το διώνυμο x 3 είναι παράγοντας του P(x) β) Να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0
1. α) Να βρείτε το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης (x 3 6x 2 +11x 2) : (x 3) β) Αν P(x) = x 3 6x 2 +11x + λ να βρείτε το λ R ώστε η διαίρεση P(x) : (x 3) να έχει υπόλοιπο 0. 2. Δίνονται τα πολυώνυμα:
Διαβάστε περισσότερα4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ
1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΑνισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις
1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y
Διαβάστε περισσότερα1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Nα λυθούν οι ανισώσεις α) 4 β) 4. Nα λυθούν οι ανισώσεις ( )( ) α) + > - (+) β). Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ( ) ( ) 8 4 8 και
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι
Διαβάστε περισσότεραΤράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι
Διαβάστε περισσότερα7. α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 <4. β) Αν κάποιος αριθμός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήματος (α). x 1. Δίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους
οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει
Διαβάστε περισσότερα1ο Κεφάλαιο: Συστήματα
ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Δώστε ένα παράδειγμα σχετικό με την έννοια της μεταβλητής 2. Να αναφέρετε
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Άλγεβρα 1. Τι ονομάζεται ακέραια αλγεβρική παράσταση και τι είναι μονώνυμο; Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα; 3xa,, 5, x 3, 5 x a (σελ.
Διαβάστε περισσότερααριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;
Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού
ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί
Διαβάστε περισσότεραβ) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής
Διαβάστε περισσότεραΑνισώσεις. Κώστας Γλυκός. Τράπεζα θεμάτων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. εκδόσεις / 1 0 /
Ανισώσεις Κώστας Γλυκός Τράπεζα θεμάτων ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 5 / 1 0 / 0 1 6 εκδόσεις τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-300.88.88
Διαβάστε περισσότερα1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.
ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β
Διαβάστε περισσότεραΦεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)
Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Διαβάστε περισσότερα0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ( )( ) ( ). Να διερευνήσετε τις εξισώσεις i) ( ) ( 6) b, b 0. b. Ποιοι περιορισμοί πρέπει να ισχύουν για τα α και b ώστ
ΜΑΘΗΜΑ: Άλγεβρα ΤΑΞΗ: Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ: Εξισώσεις και Ανισώσεις Πρώτου Βαθμού Απόλυτη Τιμή - Ρίζες Α. Εξισώσεις Πρώτου Βαθμού. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 9(8 ) 0(9 ) ( ) 8 7y y i ( ) 0( ) 0 ( 0) iv) y. Να
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Παραστάσεις
Αλγεβρικές Παραστάσεις 1.2 Μονώνυμα-Πράξεις με Μονώνυμα 1 1.2 Μονώνυμα-Πράξεις με Μονώνυμα Α Άλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές για να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Γυμνασίου
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ασκήσεις Στέλιος Μιχαήλογλου Ασκήσεις. Δίνεται η παράσταση 7 : α) Να αποδείξετε ότι Α=8. β) Ο αριθμός Α είναι πρώτος ή σύνθετος; γ) Να αναλύσετε τον αριθμό Α σε γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΤάσος Αρβανίτης Σελίδα 1 από 28
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Θέμα 1 ο : α) Τι λέμε ταυτότητα; (ορισμό) β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ταυτότητες i) ( ) ii) ( ) γ) Πως πολλαπλασιάζουμε πολυώνυμο με πολυώνυμο; (ορισμό) Θέμα ο :
Διαβάστε περισσότερα1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
1 1. Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ MΟΝΩΝΥΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αριθµητική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών. Αλγεβρική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών
Διαβάστε περισσότερα