B Γυμνασίου. Ενότητα 9

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "B Γυμνασίου. Ενότητα 9"

Transcript

1 B Γυμνασίου Ενότητα 9

2 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση (2) Δίνεται το παραλληλόγραμμο με, και. Αν η περίμετρο του είναι, να υπολογίσετε την τιμή του, χρησιμοποιώντας εξίσωση. Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο Β_En9_Exisoseis.ggb και να διερευνήσετε το πλήθος των λύσεων του πιο πάνω προβλήματος. Τι πρέπει να ξέρετε Κάθε εξίσωση της μορφής είναι γραμμική εξίσωση μίας μεταβλητής. Κάθε εξίσωση της μορφής με, έχει μία μοναδική λύση, τη. Μία εξίσωση που δεν έχει καμία λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ( ) λέγεται αδύνατη εξίσωση στο σύνολο. Όταν, η γραμμική εξίσωση παίρνει τη μορφή, με και είναι αδύνατη. Μία εξίσωση που έχει ως λύση κάθε πραγματικό αριθμό λέγεται αόριστη εξίσωση στο σύνολο (άπειρες λύσεις). Όταν και η γραμμική εξίσωση παίρνει τη μορφή και είναι αόριστη. 1 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

3 Παραδείγματα 1. Nα λύσετε την εξίσωση: Λύση: Απαλοιφή παρονομαστών: κάνουμε ομώνυμα τα κλάσματα και διαγράφουμε ( ) Κάνουμε τις πράξεις τους παρονομαστές. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. Άρα η εξίσωση είναι αόριστη. Παρατήρηση Στην πιο πάνω περίπτωση δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το συντελεστή του αγνώστου διότι είναι μηδέν! Παρατηρούμε ότι η εξίσωση επαληθεύεται για όλες τις τιμές του. Άρα έχει άπειρες λύσεις. Για παράδειγμα: ( ) ( ) 2. Να προσδιορίσετε τον αριθμό, έτσι ώστε η εξίσωση ( ) να είναι αδύνατη. Λύση: Όπως αναφέραμε, κάθε αδύνατη εξίσωση έχει τη μορφή με μεταβλητή και. ( ) Κάνουμε τις πράξεις εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους. ( ) Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων, εφαρμόζοντας την επιμεριστική ιδιότητα. 2 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

4 Άρα, θέτουμε το συντελεστή του στην εξίσωση ( ) ίσο με το μηδέν:. Παρατήρηση Αν αντικαταστήσουμε το λ=3 τότε η εξίσωση γίνεται αδύνατη. και επαληθεύεται ότι είναι 3. Ένας πατέρας είναι σήμερα χρονών. Ο γιος του έχει τη μισή ηλικία της κόρης του. Να βρείτε την ηλικία του γιού του, αν γνωρίσετε ότι σε χρόνια ο πατέρας θα έχει ηλικία όσο το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών του. Λύση: Έστω η σημερινή ηλικία της κόρης. Μπορούμε να οργανώσουμε τα δεδομένα του προβλήματος σε έναν πίνακα: Σημερινές ηλικίες Μετά από 10 χρόνια Πατέρας Κόρη Γιος Επιλύουμε την εξίσωση: Άρα σήμερα η ηλικία της κόρης είναι 30 χρονών και ο γιος σήμερα είναι 15 χρονών. 3 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

5 1. Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις: Δραστηριότητες α) γ) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) ε) ( ) ( ) ( ) στ) ( ) ( ) ζ) η) θ) ι) ια) ( ) ( ) ( ) 2. Να εξετάσετε την ορθότητα σε καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις διαγράφοντας ότι δεν ισχύει, στη διπλανή στήλη του πίνακα: α) είναι αόριστη έχει άπειρες λύσεις γ) είναι αδύνατη δ) έχει μια λύση ε) δεν έχει λύση 3. Να εξετάσετε αν ένας από τους πιο κάτω αριθμούς και είναι λύση της εξίσωσης. 4. Να επαληθεύσετε ότι ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης: ( ) ( ). 5. Να εξετάσετε αν οι πιο κάτω εξισώσεις έχουν μία λύση, καμία λύση ή άπειρες λύσεις: α) 6. Να προσδιορίσετε τον αριθμό έτσι ώστε η εξίσωση ( ) να είναι αόριστη. 7. Σε μια εκδρομή το κανονικό εισιτήριο ήταν ενώ για τους συνταξιούχους ήταν. Οι συνταξιούχοι ήταν λιγότεροι από τους υπόλοιπους. Αν συνολικά πλήρωσαν, να βρείτε πόσοι ήταν οι συνταξιούχοι. 4 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

6 8. Ένα Γυμνάσιο έχει συνολικά μαθητές. Η τάξη έχει διπλάσιους μαθητές από τη τάξη και η τάξη έχει μαθητές περισσότερους από τo τριπλάσιο της τάξης. Πόσους μαθητές έχει κάθε τάξη; 9. Να βρείτε το μέτρο μιας γωνιάς, αν γνωρίζετε ότι τα του μέτρου της συμπληρωματικής της και τα άθροισμα. του μέτρου της παραπληρωματικής της έχουν 10. Κόβουμε ένα σύρμα μήκους και φτιάχνουμε ένα τετράγωνο και ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Αν η πλευρά του ισόπλευρου τριγώνου είναι κατά μεγαλύτερη από την πλευρά του τετραγώνου, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου και την περίμετρο του τριγώνου. 11. Σήμερα ο Πέτρος είναι χρόνια μεγαλύτερος από το Γιάννη. Πριν χρόνια η ηλικία του Πέτρου ήταν τετραπλάσια από την ηλικία του Γιάννη. Ποιες είναι οι σημερινές τους ηλικίες; 5 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

7 Ανισώσεις Διερεύνηση (1) Πιο κάτω φαίνονται τρείς πινακίδες: (Στον Ζωολογικό Κήπο) ΚΑΤΑΛΛΗΛΟ ΓΙΑ ΑΤΟΜΑ ΑΝΩ ΤΩΝ 18 Με βάση την 1 η πινακίδα αν ο Κώστας στάθμευσε λεπτά, είναι μέσα στον επιτρεπόμενο χρόνο; Αν ένας οδηγός τρέχει μέσα στην πόλη με ταχύτητα, ξεπερνά το πιο πάνω όριο ταχύτητας ή όχι; Να δηλώσετε τρεις ηλικίες παιδιών που πρέπει να συνοδεύονται στον ζωολογικό κήπο και τρεις ηλικίες παιδιών που δεν πρέπει να συνοδεύονται. Είναι κατάλληλο το πρόγραμμα με την πιο πάνω ένδειξη για τους μαθητές της Μέσης Εκπαίδευσης; Να διατυπώστε μία μαθηματική πρόταση για την κάθε πινακίδα. Διερεύνηση (2) Ένας φωτογράφος εργάζεται σε ένα περιοδικό. Κάθε μήνα παίρνει βασικό μισθό και για κάθε φωτογραφία που δημοσιεύεται στο περιοδικό, πληρώνεται επιπλέον την μια. Πόσες φωτογραφίες πρέπει να δημοσιεύονται στο περιοδικό για να πάρει μισθό μεγαλύτερο από ; 6 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

8 Τι πρέπει να ξέρετε Στην καθημερινή ζωή πολλές φορές χρειάζεται να συγκρίνουμε δυο μεγέθη με μια σχέση ισότητας ή ανισότητας, χρησιμοποιώντας τα σύμβολα. Αν και στα δύο μέλη μιας ανισότητας προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει μια νέα ανισότητα με την ίδια φορά. Για παράδειγμα: και Προσθέτουμε και στα δύο μέλη Παρατηρούμε ότι και διατηρείται η φορά της ανισότητας. Γενικά: Αν τότε ισχύει και Αν τότε ισχύει και Αν και τα δύο μέλη μιας ανισότητας πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο θετικό αριθμό, τότε προκύπτει μια νέα ανισότητα με την ίδια φορά. Για παράδειγμα: και Πολλαπλασιάζουμε με και τα δύο μέλη Παρατηρούμε ότι και διατηρείται η φορά της ανισότητας. Γενικά: Αν και τότε ισχύει και Αν και τότε ισχύει και Αν και τα δύο μέλη μιας ανισότητας πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, τότε προκύπτει μια νέα ανισότητα με αντίθετη φορά. Για παράδειγμα: ( ) και ( ) Παρατηρούμε ότι άρα η νέα ανισότητα έχει αντίθετη φορά. Γενικά: Αν και τότε ισχύει και Αν και τότε ισχύει και Η ανισότητα που περιέχει μεταβλητή ονομάζεται ανίσωση. Για παράδειγμα: 7 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

9 Λύση της ανίσωσης είναι κάθε αριθμητική τιμή που την κάνει αληθή. Για κάθε ανίσωση ορίζεται ένα σύνολο λύσεων, του οποίου κάθε στοιχείο επαληθεύει την ανίσωση. Το σύνολο αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί με διάφορους τρόπους όπως πιο κάτω: Συμβολικά Γραφικά Λεκτικά Το μεγαλύτερο από το. Το μεγαλύτερο ή ίσο με το Το μικρότερο του. To μικρότερο ή ίσο του Παραδείγματα 1. Να λυθεί η ανίσωση και να παρασταθεί γραφικά η λύση της. Λύση Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους Αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου όρου, δηλαδή το. Ο συντελεστής είναι αρνητικός άρα θα προκύψει ανίσωση με αντίθετη φορά. Επίλυση ανίσωσης i. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους. ii. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. iii. Διαιρούμε το συντελεστή του αγνώστου όρου. Αν ο συντελεστής είναι θετικός η ανισότητα δεν αλλάζει φορά, ενώ αν είναι αρνητικός πρέπει να αλλάξουμε την φορά. Η ανίσωση είναι αληθής για κάθε τιμή της μεταβλητής με τον αριθμό. που είναι μεγαλύτερη ή και ίση 8 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

10 2. Να λυθεί η ανίσωση ( ). Λύση ( ) ( ) ( ) Πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το Ε.Κ.Π. δηλαδή τον αριθμό ( ) ( ) ( ) Κάνουμε τις πράξεις Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους Αναγωγή ομοίων όρων Διαιρούμε με τον συντελεστή του άγνωστου όρου Η ανίσωση είναι αληθής για κάθε τιμή της μεταβλητής μικρότερη ή ίση από το. 3. Να λυθεί η ανίσωση Λύση: 8 Παρατηρούμε ότι η ανίσωση δεν αληθεύει για καμία τιμή της μεταβλητής. Δηλαδή η ανίσωση είναι αδύνατη. 4. Να λυθεί η ανίσωση Λύση: 8 Παρατηρούμε ότι η ανίσωση είναι αληθής για κάθε τιμή της μεταβλητής. 9 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

11 Δραστηριότητες 1. Δίνεται η ανίσωση α) Να δώσετε πέντε αριθμούς που επαληθεύουν την πιο πάνω ανίσωση. Να δώσετε τις τρεις μικρότερες ακέραιες λύσεις της ανίσωσης. γ) Ο αριθμός είναι λύση της ανίσωσης; δ) Πόσες λύσεις έχει η παραπάνω ανίσωση; 2. Δίνονται οι γραφικές λύσεις ανισώσεων. Να επιλέξετε τις αντίστοιχες αλγεβρικές τους λύσεις: I. α) γ) δ) II. α) γ) δ) III. α) γ) δ) IV. α) γ) δ) 3. Να επιλύστε τις πιο κάτω ανισώσεις και να παραστήσετε γραφικά τη λύση τους στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. ) ) ) 4. Ποιος είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός που είναι λύση της ανίσωσης ; 5. Να βάλετε σε κύκλο τους αριθμούς που επαληθεύουν την ανίσωση : 6. Δίνεται η ανίσωση α) Να λύσετε την ανίσωση. Να δώσετε τρεις τιμές του που επαληθεύουν την ανίσωση. 7. Να λύσετε την ανίσωση ( ) ( ). Ποιος είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός που επαληθεύει την ανίσωση; 10 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

12 8. Να λύσετε τις ανισώσεις: α) ( ) γ) ( ) δ) ( ) ε) ( ) ( ) 9. Ένας διανομέας εργάζεται σε μια επιχείρηση με προμήθεια. Κάθε μήνα παίρνει βασικό μισθό και για κάθε προϊόν που πωλεί πληρώνεται επιπλέον το ένα. Πόσα προϊόντα πρέπει να πωλήσει για να πάρει μισθό μεγαλύτερο από ; 10. Ο κύριος Λιμνιώτης διαθέτει μια δεξαμενή χωρητικότητας για αποθήκευση νερού. Η δεξαμενή ήταν κενή. Γεμίζει τη δεξαμενή με ρυθμό νερού ανά ώρα. Να βρείτε: α) Πόσο νερό θα υπάρχει στην δεξαμενή αν η παροχή νερού παραμείνει ανοικτή για ώρες. Σε πόσες ώρες πρέπει να κλείσει την παροχή νερού ώστε η δεξαμενή να μην υπερχειλίσει. 11 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

13 Αλγεβρικές παραστάσεις Απλοποίηση Αλγεβρικής Παράστασης Διερεύνηση Πιο κάτω παρουσιάζεται ένα σύνολο αλγεβρικών πλακιδίων που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση αριθμών και μεταβλητών όπως φαίνεται στον πίνακα. Πλακίδιο Αναπαριστά Πλακίδιο Αναπαριστά τον αριθμό. τον αριθμό. τη μεταβλητή το αντίθετο της μεταβλητής. το τετράγωνο της μεταβλητής. το αντίθετο του τετράγωνου της μεταβλητής. Τα ακόλουθα πλακίδια παρουσιάζουν την αλγεβρική παράσταση. Μετά την ανακατάταξη των πλακιδίων και την εξουδετέρωση των θετικών με τα αρνητικά πλακίδια αντίστοιχου μεγέθους η αλγεβρική παράσταση απλοποιείται στην. Να περιγράψετε με περισσότερη λεπτομέρεια την πιο πάνω διαδικασία; Αν το πάρει την τιμή 5 να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης και ακολούθως την αριθμητική τιμη της απλοποιημένης μορφής. Υπάρχει διαφορά στο αποτέλεσμα; Με βάση το μοντέλο με τα πλακίδια ή με άλλο τρόπο μπορείτε να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση. 12 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

14 Τι πρέπει να ξέρετε Μια μαθηματική έκφραση που περιλαμβάνει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παράσταση. Για παράδειγμα:,,,, Μια μαθηματική έκφραση που περιλαμβάνει πράξεις μόνο με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Για παράδειγμα: Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικατασταθούν οι μεταβλητές με συγκεκριμένους αριθμούς και εκτελεστούν οι πράξεις, τότε το αποτέλεσμα ονομάζεται αριθμητική τιμή ή τιμή της αλγεβρικής παράστασης. Για παράδειγμα η τιμή της αλγεβρικής παράστασης, για και, είναι Μια αλγεβρική παράσταση που περιλαμβάνει μόνο την πράξη του πολλαπλασιασμού μεταξύ πραγματικού αριθμού και μεταβλητών και οι μεταβλητές της έχουν εκθέτη μη αρνητικό ακέραιο ονομάζεται μονώνυμο. Για παράδειγμα:,,,,, -5 Σε ένα μονώνυμο (στην πιο απλή μορφή) ο αριθμητικός παράγοντας ονομάζεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο των μεταβλητών του ονομάζεται κύριο μέρος. Τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος ονομάζονται όμοια. Πολυώνυμο ονομάζεται το άθροισμα μονωνύμων και το κάθε μονώνυμο ονομάζεται όρος του πολυωνύμου. Π.χ. Η αλγεβρική παράσταση ( ) ( ) ( ) ( ), συνήθως γράφεται Οι όροι της αλγεβρικής παράστασης με το ίδιο κύριο μέρος ονομάζονται όμοιοι όροι. τέσσερις όρους. και αποτελείται από Μια αλγεβρική παράσταση απλοποιείται αν κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων, δηλ. αν αντικαταστήσουμε τους όμοιους όρους με το άθροισμά τους. Π.χ. 13 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

15 Παράδειγμα Δίνεται η αλγεβρική παράσταση. α) Από πόσους όρους αποτελείται η αλγεβρική παράσταση; Ποιοι είναι οι όροι της, ποιο το κύριο μέρος και ποιος ο συντελεστής του καθενός; γ) Ποιοι είναι όμοιοι όροι; δ) Να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση. ε) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της αν και. Λύση: α) H αλγεβρική παράσταση αποτελείται από 7 όρους. όρος κύριο μέρος συντελεστής γ) Όμοιοι όροι:,,,, δ). ε) Η αλγεβρική παράσταση για έχει αριθμητική τιμή: ( ) ( ). Σημείωση: Την ίδια αριθμητική τιμή θα βρούμε αν αντικαταστήσουμε στην αρχική μορφή της αλγεβρικής παράστασης. 14 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

16 Δραστηριότητες 1. Να σημειώσετε στο κουτί διπλα από κάθε μια απο τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις που είναι μονώνυμα. 2. Ποια από τα παρακάτω μονώνυμα είναι όμοια ; 3. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Μονώνυμο Συντελεστής Κύριο μέρος 4. Ποιο από τα πιο κάτω είναι ισοδύναμο με : Α: Β: Γ: Δ: 5. Δίνεται η αλγεβρική παράσταση. α) Από πόσους όρους αποτελείται η αλγεβρική παράσταση; Ποιοι όροι είναι όμοιοι; γ) Να απλοποιήσετε την αλγεβρική παράσταση. δ) Να βρείτε την αριθμητική τιμή της αν και. 6. Να απλοποιήσετε τις ακόλουθες αλγεβρικές παραστάσεις και ακολούθως να βρείτε την αριθμητική τους τιμή για : 15 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

17 Πρόσθεση Αφαίρεση Πολυωνύμων Διερεύνηση (1) Τα ακόλουθα πλακίδια παρουσιάζουν το άθροισμα των πολυωνύμων και. Μπορείτε να περιγράψετε την πιο πάνω διαδικασία; Διερεύνηση (2) Δύο μαθητές εργάστηκαν με τα μοντέλα των πλακιδίων ως εξής: Μαθητής 1: Αφαίρεσε το πολυώνυμο από το πολυώνυμο. Μαθητής 2: Πρόσθεσε στο πολυώνυμο το πολυώνυμο. Να συγκρίνετε τις δύο διαδικασίες και τα αποτελέσματα τους. Τι συμπεράσματα μπορείτε να εξάγετε; 16 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

18 Τι πρέπει να ξέρετε Ένα πολυώνυμο με δύο όρους ονομάζεται διώνυμο και ένα πολυώνυμο με τρεις όρους ονομάζεται τριώνυμο. Για παράδειγμα: διώνυμο: τριώνυμο: Για να ονομάσουμε ένα πολυώνυμο χρησιμοποιήσουμε συνήθως γράμματα του ελληνικού ή λατινικού αλφαβήτου και σε παρένθεση τις μεταβλητές που περιλαμβάνει το πολυώνυμο. Για παράδειγμα:,, ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ) Παρατήρηση: Με ( ) συμβολίζουμε την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου ( ) για. Δηλ. ( ) Η πρόσθεση πολυωνύμων εκτελείται κάνοντας αναγωγή των όμοιων όρων του πολυωνύμου που προκύπτει. Η αφαίρεση ενός πολυωνύμου από ένα πολυώνυμο μπορεί να εκτελεστεί ως πρόσθεση των αντίθετων όρων του πολυωνύμου με το πολυώνυμο. Παράδειγμα Δίνεται το τριώνυμο και το διώνυμο. Να υπολογίσετε: α) γ) Λύση: α) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) 17 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

19 Δραστηριότητες 1. Ποιο από τα πιο κάτω πολυώνυμα είναι ίσο με ( ) ( ): Κανένα από τα προηγούμενα. 2. Να εξετάσετε την ορθότητα σε καθεμιά από τις παρακάτω πράξεις διαγράφοντας ότι δεν ισχύει, στη διπλανή στήλη του πίνακα: α) ( ) ( ) γ) ( ) δ) ( )( ) ε) ( ) στ) ( )( ) 3. Να κάνετε τις ακόλουθες πράξεις πολυωνύμων: α) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) ( ) δ) ( ) ( ) ε) ( ) ( ) στ) ( ) ζ) ( ) ( ) η) ( ) ( ) 4. Δίνονται τα πολυώνυμα ( ), ( ) και ( ). Να βρείτε τα εξής: α) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) δ) ( ) 18 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

20 5. Μια μηχανή κόβει σιδερένιες ράβδους σε διάφορα μεγέθη μήκους ρυθμίζοντας κάθε φορά την παράμετρο. Επίσης χαράσσει τη ράβδο σε σημείο Β έτσι ώστε. α) Να βρείτε το μήκος του μ (συναρτησει του ). Αν να βρείτε το μήκος του και του. 6. Μια μηχανή κατασκευάζει διαφορετικού μεγέθους πλαστικά ορθογώνια με διαστάσεις και. Το μέγεθος μεταβάλλεται σύμφωνα με τη ρύθμιση της μεταβλητής. Στον περίγυρο του πλαστικού αυτού ορθογωνίου η μηχανή κολλάει μια πλαστική μεμβράνη. α) Να βρείτε (συναρτήσει του ) το μήκος της μεμβράνης που χρειάζεται για κάθε ένα τέτοιο πλαστικό ορθογώνιο. Αν η μηχανή ρυθμιστεί ώστε το να πάρει την τιμή, ποιο το μήκος της μεμβράνης που θα χρειαστεί για κάθε ένα ορθογώνιο; γ) Αν ο επιστάτης ζητήσει να κατασκευαστούν ορθογώνια, αλλά με, πόσο είναι το μήκος της μεμβράνης που θα χρειαστεί η μηχανή; 19 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

21 Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμων Διερεύνηση (1) Στο μοντέλο πολλαπλασιασμού πολυωνύμων τα αλγεβρικά πλακίδια καλύπτουν επιφάνεια ως εξής: Πλακίδιο Καλύπτει τετράγωνο με πλευρά μονάδα ορθογώνιο με διαστάσεις και μονάδες τετράγωνο με πλευρά μονάδες Για την εύρεση του γινομένου ( ) χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο με τα αλγεβρικά πλακίδια ως εξής: Βήμα 1: Το γινόμενο ( ) αντιστοιχεί σε ορθογώνιο με διαστάσεις και ( ). Βήμα 2: Καλύπτουμε την επιφάνεια του ορθογωνίου με τα αντίστοιχα πλακίδια. Άρα ( ). Να εξηγήσετε γιατί καλύπτεται η επιφάνεια με τα συγκεκριμένα πλακίδια που φαίνονται στην εικόνα; Ένας μαθητής εργάστηκε όπως φαίνεται στη διπλανή εικόνα. Να εξηγήσετε ποια ιδιότητα χρησιμοποίησε και πως αυτή αντιστοιχεί με το προηγούμενο μοντέλο. 20 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

22 Διερεύνηση (2) Τεχνολογία: Να ανοίξετε το αρχείο Bgym_En9_PolPolyonimon.ggb. Να μετακινήσετε τους δρομείς ώστε να πετύχετε τις διαστάσεις του ορθογωνίου που φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Ακολούθως να καλύψετε την επιφάνεια του ορθογωνίου με τα αντίστοιχα πλακίδια για να βρείτε το αποτέλεσμα του γινομένου των διαστάσεων. Να συμπληρώσετε τον πίνακα. Διάσταση 1 Διάσταση 2 Γινόμενο Αποτέλεσμα ( ) ( ) ( )( ) Να εκτελέσετε τους πιο πάνω πολλαπλασιασμούς χρησιμοποιώντας κατάλληλη ιδιότητα των πράξεων και να εξηγήσετε την αντιστοιχία με το μοντέλο των πλακιδίων. Τι πρέπει να ξέρετε Για τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμου με πολυώνυμο γίνεται χρήση ιδιοτήτων των πράξεων και των δυνάμεων. 21 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

23 Παράδειγμα Να κάνετε τους πιο κάτω πολλαπλασιασμούς πολυωνύμων: α) ( ) γ) δ) ( ) ε) ( ) στ) ( ) ζ) ( )( ) η) ( )( ) Λύση: α) ( ) γ) δ) ε) ( ) στ) ( ) ζ) αντ στοιχη διαδικασ α με χρήση π νακα: η) ( )( ) 22 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

24 Δραστηριότητες 1. Να εξετάσετε την ορθότητα σε καθεμιά από τις παρακάτω πράξεις διαγράφοντας ότι δεν ισχύει, στη διπλανή στήλη του πίνακα: α) ( ) ( ) γ) ( ) δ) ( )( ) ε) ( ) στ) ( )( ) 2. Μια σωλήνα έχει μήκος μέτρα. Το μήκος μιας σωλήνας είναι φορές μεγαλύτερο από την. Να βάλετε σε κύκλο την ορθή απάντηση. Α: μέτρα Β: μέτρα Γ: μέτρα Δ: μέτρα 3. Να κάνετε τους πιο κάτω πολλαπλασιασμούς πολυωνύμων: α) γ) ( ) δ) ( ) ε) ( ) στ) ( ) ζ) ( )( ) η) ( )( ) 5. Μια μηχανή κατασκευάζει διαφορετικού μεγέθους πλαστικά ορθογώνια με διαστάσεις και. Το μέγεθος μεταβάλλεται σύμφωνα με τη ρύθμιση της μεταβλητής. Στην άνω επιφάνεια αυτού του ορθογωνίου η μηχανή κολλάει μια έγχρωμη μεμβράνη. α) Να βρείτε (συναρτήσει του ) το εμβαδό της μεμβράνης που χρειάζεται για κάθε ένα τέτοιο πλαστικό ορθογώνιο. Να βρείτε το εμβαδό της μεμβράνης που χρειάζεται αν η μηχανή ρυθμιστεί ώστε το να πάρει τιμές, και. 23 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

25 Δραστηριότητες Ενότητας 1. Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις: α) ( ) α ( α ) γ) ( ) δ) ε) ( ) στ) ζ) η) θ) α ι) 2. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις: και ( ) έχουν κοινή λύση. 3. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( ). Αν η γωνία είναι κατά μικρότερη από την να υπολογίσετε τις γωνίες του. 4. Ένας μαθητής απάντησε σε ερωτήματα και πήρε μονάδες για κάθε σωστή απάντηση, ενώ έχασε μονάδα για κάθε λανθασμένη απάντηση. Αν τελικά ο μαθητής συγκέντρωσε μονάδες, να βρείτε πόσα ερωτήματα απάντησε σωστά. 5. Να βρείτε το μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό που το τριπλάσιο του μειωμένο κατά είναι μικρότερο του αριθμού αυτού. 6. Να επιλύστε τις πιο κάτω ανισώσεις και να παραστήσετε γραφικά τη λύση τους στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. α) γ) ( ) ( ) δ) 7. Να γράψετε μια ανίσωση που να καθορίζει αν μια επίδοση στο άλμα εις ύψος δίνει σε έναν αθλητή το εισιτήριο για τους ολυμπιακούς αγώνες, αν είναι γνωστό ότι από τους πιο κάτω αθλητές το εισιτήριο πήραν μόνο οι αθλητές και. Αθλητής Μέγιστη επίδοση 24 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

26 8. Nα βρείτε για ποια τιμή του ο αριθμός ( ) είναι αρνητικός αριθμός. 9. Να κάνετε τις πράξεις: α) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) δ) ( )( ) ε) ( )( ) στ) ( ) ζ) ( ) ( ) η) ( )( ) 10. Δίνονται τα πολυώνυμα ( ), ( ) και ( ). Να υπολογίσετε: α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) ( ) δ) ( ) 11. Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι. Να βρείτε τις διαστάσεις του και το εμβαδόν του. 12. Ένα πρότυπο σχέδιο κήπου σχήματος ορθογωνίου έχει μια διάσταση ίση με μέτρα και την άλλη διάσταση διπλάσια αυξημένη κατά μέτρα. Να γράψετε μια αλγεβρική παράσταση που να εκφράζει το εμβαδόν και μια την περίμετρο του σχεδίου. 13. Να εξετάσετε κατά πόσο το διπλανό ορθογώνιο είναι τετράγωνο και να βρείτε το εμβαδόν του. 25 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

27 Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις και ( )( ) έχουν μία κοινή λύση. 2. Να εξετάσετε αν το είναι λύση της εξίσωσης: ( )( ) ( )( ). 3. Να εξετάσετε αν οι πιο κάτω εξισώσεις έχουν μία λύση, καμία λύση ή άπειρες λύσεις: α) ( )( ) ( )( ) 4. Ο κ. Πέτρος έχει ένα ορθογώνιο κήπο διαστάσεων επί. Θέλει να κατασκευάσει διάδρομο από μπετόν, ίσου πλάτους ( ) περιμετρικά από τον κήπο. α) Κατασκευάστε ένα διάγραμμα του κήπου και του διαδρόμου. Να γράψετε μια αλγεβρική παράσταση που να εκφράζει το εμβαδό του διαδρόμου; 5. Μια εταιρεία πουλά ένα συγκεκριμένο ψυγείο αξίας και εκτιμά ότι σε ένα χρόνο θα πουλήσει ψυγεία. Αν αυξήσει την τιμή κατά ( ), εκτιμάται ότι θα χάσει πελάτες. Να γράψετε την αλγεβρική παράσταση που εκφράζει τις εισπράξεις της εταιρείας μετά την αύξηση της τιμής. Να υπολογίσετε τις εισπράξεις αν πουληθούν και ψυγεία, με την αύξηση τιμής και χωρίς την αύξηση τιμής και να σκεφτείτε αν συμφέρει η αύξηση ή όχι. 6. Να γράψετε ένα πολυώνυμο που να παριστάνει: α) την περίμετρο και το εμβαδό της σκιασμένης επιφάνειας. 26 Ενότητα 9: Εξισώσεις / Ανισώσεις / Αλγεβρικές Παραστάσεις.

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Όταν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις αx+βy=γ και α x+β y=γ και ζητάμε τις κοινές λύσεις τους, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις.

Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μαθηματικά B Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Εξισώσεις-Ανισώσεις. Μέρος Α.- Θεωρία. 1. Τι λέμε αλγεβρική και τι αριθμητική παράσταση; 2. Τι λέμε αναγωγή ομοίων όρων; 3. Τι λέμε εξίσωση α βαθμού; 4. Τι λέμε πρώτο

Διαβάστε περισσότερα

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Μονώνυμα. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Μονώνυμα Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πράξεις με μονώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι να μάθουν

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα

Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα ΜΕΡΟΣ Α. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ. ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΝΩΝΥΜΑ Β Αλγεβρικές Παραστάσεις-Μονώνυμα Πολλές φορές στην προσπάθειά μας να λύσουμε ένα πρόβλημα, καταλήγουμε σε εκφράσεις που περιέχουν μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί Ενδεικτικός Προγραμματισμός ΕΝΟΤΗΤΑ 2: Πραγματικοί Αριθμοί 12 περίοδοι Δείκτες επιτυχίας: Ορίζουν την έννοια της νιοστής ρίζας ενός αριθμού α και αποδεικνύουν τις ιδιότητες ριζών, όταν ν N, ν 0, 1, α R

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Στην πρώτη στήλη του παρακάτω πίνακα δίνονται κάποιες προτάσεις στην φυσική τους γλώσσα. Να συμπληρώσετε την δεύτερη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος 6. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα

Τεύχος 6. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 6 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Σελίδα 17: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α.7.8. Δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 3. Δίνεται ο πίνακας: 3 3 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ ο. Ένα κουτί περιέχει άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες. Οι άσπρες είναι 5, οι μαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες μαζί είναι 6. Επιλέγουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σχολική Χρονιά: Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ενότητα 1: Σύνολα 1. Με τη βοήθεια του πιο κάτω διαγράμματος να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: Ω A 5. 1. B Ω =. 6. 4. 3. 7. 8.. Από το διπλανό διάγραμμα, να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: 3. Δίνεται το

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά A Γυμνασίου

Μαθηματικά A Γυμνασίου Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη

Α Τάξη Γυμνασίου Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. Ι. Διδακτέα ύλη Α Τάξη Γυμνασίου Από το βιβλίο «Μαθηματικά Α Γυμνασίου» των Ιωάννη Βανδουλάκη, Χαράλαμπου Καλλιγά, Νικηφόρου Μαρκάκη, Σπύρου Φερεντίνου, έκδοση 01. Κεφ. 1 ο : Οι φυσικοί αριθμοί 1. Πρόσθεση, αφαίρεση και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ασκήσεις Επανάληψης: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σχολική Χρονιά: 015-016 Ασκήσεις Επανάληψης για την B Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί Αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα 1. Να γράψετε σε μορφή δύναμης τα πιο κάτω: 1) ².³ = ) (³) 5 = 3) 5 : 8 = 4) ( 5. 7 ) :

Διαβάστε περισσότερα

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 59 1. 4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο Ο πολλαπλασιασμός μονώνυμου με πολυώνυμο γίνεται ως εξής: Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1 1. Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ MΟΝΩΝΥΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αριθµητική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών. Αλγεβρική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Β Περιφερειακό Γυμνάσιο Λευκωσίας Σχολική Χρονιά: Επαναληπτικές ασκήσεις Β Γυμνασίου

Β Περιφερειακό Γυμνάσιο Λευκωσίας Σχολική Χρονιά: Επαναληπτικές ασκήσεις Β Γυμνασίου Β Περιφερειακό Γυμνάσιο Λευκωσίας Σχολική Χρονιά: 014-015 Επαναληπτικές ασκήσεις Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί αριθμοί 1. Να υπολογίσετε τις πιο κάτω παραστάσεις: α) 5 = β) (-10) - = γ) + 3 δ) ( 7

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Προσομοιωμένο διαγώνισμα απολυτήριων εξετάσεων στα Μαθηματικά της Γ Γυμνασίου ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 01-01 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 16950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ

1.1. 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β ΘΕΜΑΤΑ 1.1 16950 Β (ΑΝΑΡΤΗΘΗΚΕ 08-11-14) α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δυο εξισώσεων µε δυο αγνώστους µε συντελεστές διάφορους του µηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ 6 1) Να εκφράσετε τον αριθμό 48 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων με δενδροδιάγραμμα. 2) Να συγκρίνετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 12. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με πέντε μονάδες.

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 12. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με πέντε μονάδες. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΟ ΔΟΚΙΜΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α : Από τις 15 ασκήσεις να λύσετε μόνο τις 1. Κάθε άσκηση βαθμολογείται με πέντε μονάδες. 1. Να κάνετε τις πράξεις: (α) 4αβ +10αβ αβ = (β) 3χψ4χ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

YΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Γυμνασίου A Tεύχος ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

YΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ Γυμνασίου A Tεύχος ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ YΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου A Tεύχος ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου A Τεύχος ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 51 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολυώνυμα Όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο όμοιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα A Γυμνασιου

Μαθηματικα A Γυμνασιου Μαθηματικα A Γυμνασιου Θεωρια & παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 45 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4 ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Η συνδρομή για την συμμετοχή στον όμιλο κολύμβησης είναι 15 τον μήνα και 5 για κάθε φορά που χρησιμοποιούμε την πισίνα. Αν τον προηγούμενο μήνα πληρώσαμε 75, πόσες

Διαβάστε περισσότερα