ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΦΟΡΤΙΖΟΜΕΝΟΥ ΠΑΣΣΑΛΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ p-y

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΛΥΣΗ ΓΙΑ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΦΟΡΤΙΖΟΜΕΝΟΥ ΠΑΣΣΑΛΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ p-y ΙΑΤΡΙΒΗ ΓΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΙΠΛΩΜΑ ΕΙ ΙΚΕΥΣΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΨΑΡΟΥ ΑΚΗΣ Πολιτικός Μηχανικός ιπλωματούχος ημοκρίτειου Πανεπιστημίου Θράκης Επιβλέπων: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΜΥΛΩΝΑΚΗΣ, Αναπλ. Καθηγητής ΠΑΤΡΑ, ΙΟΥΛΙΟΣ 013

2

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα Καθηγητή, κ. Γεώργιο Μυλωνάκη για την πολύτιμη βοήθεια και συνεχή καθοδήγηση του η οποία αποτέλεσε καθοριστικό παράγοντα για την διεκπεραίωση της παρούσας διατριβής. Ευχαριστώ, επίσης, τους Καθηγητές κ. Γεώργιο Α. Αθανασόπουλο και κ. ημήτριο Κ. Ατματζίδη, για την καθοριστική βοήθεια που μου προσέφεραν τα δύο χρόνια της φοίτησης μου στο Πανεπιστήμιο Πατρών. Ακόμη, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Αναπληρωτή Καθηγητή της Σχολής ΑΣΠΑΙΤΕ, Παναγιώτη Πελέκη, για την υποστήριξη και καθοδήγηση που μου προσέφερε σε όλα τα στάδια εκπόνησης της παρούσας διατριβής. Ιδιαίτερα, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους συναδέλφους και φίλους μου, Αναστάσιο Μπατίλα, Βασίλειο Βλαχάκη, Κωνσταντίνο Θωμά, Παναγιώτη Κλουκίνα, και Γιάννη Πανταζόπουλο, για την συμπαράσταση, την αβίαστη διαθεσιμότητά τους και την επιστημονική βοήθεια που μου προσέφεραν απλόχερα. Τέλος, ευχαριστώ την οικογένειά μου και όλους τους φίλους μου που στάθηκαν δίπλα μου στη διάρκεια εκπόνησης της διατριβής μου, χωρίς την ηθική υποστήριξη των οποίων, δεν θα είχε φτάσει σε πέρας. Ευχαριστώ για την υπομονή που έδειξαν και την ενθάρρυνσή τους σε στιγμές κούρασης και απογοήτευσης. Εμμανουήλ Ψαρουδάκης ~ iii ~

4 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Εξώφυλλο... i Ευχαριστίες.... iii Πίνακας Περιεχομένων... iv Ορισμοί Συμβόλων.. viii Κατάλογος Σχημάτων. x Κατάλογος Πινάκων xix Περίληψη xxi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Μέθοδοι ανάλυσης Πασσάλων που υπόκεινται σε πλευρική φόρτιση Γενικά Προσομοίωση του εδάφους με βάση τη θεώρηση ιδεώδους εδάφους Winkler είκτης εδάφους Κρίσιμο μήκος (Active Length) Μέθοδος Matlock και Reese (1956, 1960) Πάσσαλος με ελεύθερη κεφαλή Πάσσαλος πακτωμένης κεφαλής Μέθοδος Davisson και Gill (1963) Πάσσαλος με ελεύθερη κεφαλή Πάσσαλος πακτωμένης κεφαλής Μόρφωση καμπύλων p-y Προέλευση διαφορικής εξίσωσης Επίλυση απλοποιημένης μορφής της διαφορικής εξίσωσης Λύση της διαφορικής εξίσωσης με τη μέθοδο των πεπερασμένων ~ iv ~

5 διαφορών ιάτμηση και ροπή στην κεφαλή του πασσάλου ιάτμηση και στροφή στην κεφαλή του πασσάλου ιάτμηση και δέσμευση της στροφής στην κεφαλή του πασσάλου Ροπή και μετατόπιση στην κεφαλή του πασσάλου Προσομοίωση του εδάφους ως ελαστικός ισότροπος ημίχωρος Εξιδανίκευση προβόλου Μέθοδος Broms (Μέθοδος Οριακής Ισορροπίας) Βραχύς ελεύθερα στρεπτής κεφαλής πάσσαλος Κοντός δεσμευμένης κεφαλής πάσσαλος Μακρύς ελεύθερα στρεπτής κεφαλής πάσσαλος Μακρύς δεσμευμένης κεφαλής πάσσαλος Μετατόπιση πασσάλων ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Προσομοίωση εδάφους με χρήση καμπυλών p-y Γενικά Προσδιορισμός καμπυλών p-y σε αργιλικά εδάφη Απόκριση μαλακών έως μέσης συνεκτικότητας αργίλων Απόκριση στιφρών αργίλων πάνω από τη στάθμη υπόγειου υδάτινου ορίζοντα Απόκριση στιφρών αργίλων κάτω από τη στάθμη υπόγειου υδάτινου ορίζοντα Προσδιορισμός καμπυλών p-y σε αμμώδη εδάφη Ηλεκτρονικά φύλλα υπολογισμού καμπυλών p-y.. 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Ενεργειακή Λύση για Συμπεριφορά πλευρικά φορτιζόμενου πασσάλου Γενικά... 6 ~ v ~

6 3. Θεωρία Winkler Ενεργό μήκος Συσχέτιση των ελατηρίων Winkler με την εδαφική στιφρότητα Εξίσωση Ισορροπίας Πασσάλου Μητρώο Στιφρότητας Συντελεστές υσκαμψίας για διάφορα εδαφικά προφίλ ίστρωτο εδαφικό προφίλ Πολύστρωτο εδαφικό προφίλ Ομοιογενείς Εδαφικές Στρώσεις Ανομοιογενείς Εδαφικές Στρώσεις Γραμμικό εδαφικό προφίλ Παραβολικό εδαφικό προφίλ Γενικευμένο παραβολικό εδαφικό προφίλ Συντελεστές υσκαμψίας σε συνδυασμό με ελατήρια p-y Παραδείγματα Παράδειγμα 1 ο Παράδειγμα ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Περιγραφή λειτουργίας και οδηγός χρήσης του λογισμικού EPile Γενικά Εισαγωγή δεδομένων ιαδικασία εκτέλεσης ( ιάγραμμα Ροής) Εφαρμογές Παράδειγμα Παράδειγμα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αξιολόγηση αποτελεσμάτων και εφαρμογές Γενικά οκιμές 1 ~ vi ~

7 5..1 οκιμή στατικής οριζόντιας φόρτισης (Κωμοδρόμος,009 ) οκιμή στατικής οριζόντιας φόρτισης (Γέφυρα Ρίου-Αντιρίου,004 ) οκιμή στατικής οριζόντιας φόρτισης (Σύγκριση με COM63 σε Αργιλικό Έδαφος) οκιμή στατικής οριζόντιας φόρτισης (Σύγκριση με COM63 σε Αμμώδες Έδαφος) οκιμή στατικής οριζόντιας φόρτισης (Κωμοδρόμος,009 ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συμπεράσματα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: εδομένα και Αποτελέσματα των λογισμικών COM63 και FLAC 3D για οκιμή Οριζόντιας Στατικής Φόρτισης (Κωμοδρόμος,009 ). 169 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: εδομένα και Αποτελέσματα του λογισμικού COM63 για οκιμή Οριζόντιας Στατικής Φόρτισης σε Αργιλικό Έδαφος ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ: εδομένα και Αποτελέσματα του λογισμικού COM63 για οκιμή Οριζόντιας Στατικής Φόρτισης σε Αμμώδες Έδαφος.. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Οδηγός χρήσης λογισμικού COM ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ. 60 ~ vii ~

8 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ Ε s p y y p M N V, V ν, Q X,z E p I p ult y 50 γ c u C a J d Ε 50 Z cr, L c,l a y c y s k s, k pys, k pyc z : Μέτρο αντίστασης πασσάλου υπό οριζόντια φόρτιση : Αντίσταση του εδάφους : Οριζόντια μετακίνηση πασσάλου : Οριζόντια μετακίνηση στην κεφαλή πασσάλου : Καμπτική ροπή πασσάλου : Αξονικό φορτίο πασσάλου : Τέμνουσα πασσάλου : ιάσταση κατά μήκος πασσάλου : Καμπτική δυσκαμψία πασσάλου : Μέγιστη αντίσταση εδάφους : Οριζόντια μετακίνηση που αντιστοιχεί στο 50% της μέγιστης αντίστασης του εδάφους : Υπό άνωση ειδικό βάρος εδάφους : Αστράγγιστη διατμητική αντοχή εδάφους : Μέση αστράγγιστη διατμητική αντοχή εδάφους πάνω από το βάθος της σφήνας : Συντελεστής ίσος με 0,5 για μαλακές αργίλους και 0,5 για αργίλους μέσης συνεκτικότητας : ιάμετρος πασσάλου : Παραμόρφωση που αντιστοιχεί στο 50% της μέγιστης αντοχής του εδάφους : Κρίσιμο βάθος : Οριζόντια μετακίνηση μετά από Ν κύκλους φόρτισης : Οριζόντια μετακίνηση σε στατικές συνθήκες : Συντελεστής ανάλογα με συνθήκες εξεταζόμενης δράσης (s: Στατικές c: Ανακυκλικές) : Βάθος από την επιφάνεια του εδάφους K 0 : Συντελεστής ωθήσεων ηρεμίας ίσος με 0,4 K α φ p s A B RQD : Συντελεστής ενεργητικών ωθήσεων : Γωνία εσωτερικής τριβής εδάφους : Οριακή πλευρική αντίσταση : Συντελεστής σύμφωνα με το σχήμα.1 (Α s : στατική φόρτιση, Α c : ανακυκλιζόμενη) : Συντελεστής σύμφωνα με το σχήμα.13 (Β s : στατική φόρτιση, Β c : ανακυκλιζόμενη) : Συντελεστής Ποιότητας Πετρώματος φ : Ενεργή γωνία εσωτερικής τριβής εδάφους c : Ενεργή συνοχή εδάφους Ε Γ-1,lab σ c x r : Μέτρο ελαστικότητας βραχώδους πυρήνα : Μονοαξονική θλιπτική αντοχή βράχου (πυρήνας) : Βάθος από επιφάνεια βράχου ~ viii ~

9 k m : Σταθερά κυμαινόμενη από 0,0005 έως 0,00005 E p M d V d N d k hh k rr k hr : Μέτρο ελαστικότητας σκυροδέματος πασσάλου : Ροπή κάμψης σχεδιασμού : Τέμνουσα σχεδιασμού : Αξονική δύναμη σχεδιασμού : Συντελεστής δυσκαμψίας σε μετάθεση (πλευρική μετατόπιση της κεφαλής του πασσάλου υπό μηδενική περιστροφή) : Συντελεστής δυσκαμψίας σε λικνισμό (στροφή της κεφαλής του πασσάλου υπό μηδενική μετακίνηση) : Συντελεστής δυσκαμψίας σε σύζευξη πλευρικής μετατόπισης στροφής k : O δείκτης εδάφους I : Ροπή αδράνειας του πασσάλου λ : Παράμετρος Winkler ( 1 Length ) E sd : Μέτρο ελαστικότητας του εδάφους σε βάθος μία διαμέτρου x, n : Αδιάστατες σταθερές δ : Αδιάστατος συντελεστής y o θ o P o Μ o μ z t,i z b,i ψ(x), φ(x) N n : Η μετακίνηση στην κεφαλή του πασσάλου : Η στροφή στην κεφαλή του πασσάλου : Η οριζόντια δύναμη που ασκείται στην κεφαλή του πασσάλου : Η ροπή που ασκείται στην κεφαλή του πασσάλου : Παράμετρος σχήματος : Το βάθος του άνω ορίου : Το βάθος του κάτω : Οι συναρτήσεις ελαστικής γραμμής πασσάλου : Ο αριθμός των στρώσεων μέχρι το κρίσιμο βάθος L a : Συντελεστής που παίρνει τιμές ανάλογα με τον τύπο του προφίλ ~ ix ~

10 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.1: Προσομοίωμα του εδάφους κατά το μοντέλο Winkler Σχήμα 1. : Κατανομή εντατικών μεγεθών, y, S, M t, Q, και p με το βάθος z Σχήμα 1.3 : Στοιχείο δοκού (κατά Hetenyi 1946) Σχήμα 1.4: Συμβάσεις θετικής φοράς Σχήμα 1.5: Συνοριακές συνθήκες στην κορυφή του πασσάλου Σχήμα 1.6: Λύση για το κρίσιμο μήκος (active length) Σχήμα 1.7: Πάσσαλος που έχει εκτραπεί Σχήμα 1.8: Πρώτη περίπτωση συνοριακών συνθηκών στην κορυφή του πασσάλου Σχήμα 1.9: εύτερη περίπτωση συνοριακών συνθηκών στην κορυφή του πασσάλου Σχήμα 1.10: Τρίτη περίπτωση συνοριακών συνθηκών στην κορυφή του πασσάλου Σχήμα 1.11: Τέταρτη περίπτωση συνοριακών συνθηκών στην κορυφή του πασσάλου Σχήμα 1.1: Ορισμός της τιμής p c και G c Σχήμα 1.14: Γενικευμένες καμπύλες πλευρικής μετατόπισης και προφίλ ροπής κάμψης για καμπτική φόρτιση Σχήμα 1.15: Γενικευμένες καμπύλες πλευρικής μετατόπισης και προφίλ ροπής κάμψης για εγκάρσια φόρτιση πασσάλου πακτωμένης κεφαλής Σχήμα 1.16: Μοντέλα αστοχίας πασσάλου ελεύθερης κεφαλής: α) Κοντός πάσσαλος, β) Μακρύς πάσσαλο Σχήμα 1.17: Μοντέλα αστοχίας πασσάλου δεσμευμένης κεφαλής: α) Καμία πλαστική άρθρωση, β) μία πλαστική άρθρωση, γ) δύο πλαστικές αρθρώσεις Σχήμα 1.18: Κατανομή εδαφικής πίεσης και καμπτικής ροπής κοντών πασσάλων με ελεύθερη κεφαλή σε συνεκτικό έδαφος ~ x ~

11 Σχήμα 1.19: ιαγράμματα υπολογισμού οριζόντιου οριακού φορτίου κοντών πασσάλων, άστρεπτης και ελευθέρως στρεπτής κεφαλής, σε συνεκτικό έδαφος Σχήμα 1.0: Κατανομή εδαφικής πίεσης και καμπτικής ροπής κοντών πασσάλων δεσμευμένης κεφαλής σε συνεκτικό έδαφος Σχήμα 1.1: Κατανομή εδαφικής πίεσης και καμπτικής ροπής μακρών πασσάλων ελεύθερα στρεπτής κεφαλής σε συνεκτικό έδαφος Σχήμα 1.: Κατανομή εδαφικής πίεσης και καμπτικής ροπής ενδιάμεσου μήκους πασσάλων, δεσμευμένης κεφαλής, σε συνεκτικό έδαφος Σχήμα 1.3: Κατανομή εδαφικής πίεσης και καμπτικής ροπής μακρών πασσάλων δεσμευμένης κεφαλής σε συνεκτικό έδαφος Σχήμα 1.4: ιαγράμματα υπολογισμού οριζόντιου οριακού φορτίου μακρών πασσάλων, άστρεπτης και ελευθέρως στρεπτής κεφαλής, σε συνεκτικό έδαφος Σχήμα.1: Καμπύλη απόκρισης και τέμνον μέτρο αντίδρασης πασσάλου σε οριζόντια φόρτιση Σχήμα. : ιαφοροποίηση της πλευρικής απόκρισης του πασσάλου με το βάθος και το επίπεδο φόρτισης Σχήμα.3 : Απεικόνιση των δυνάμεων ισορροπίας σε πεπερασμένο στοιχείο ελαστικής δοκού (κατά Hetenyi,1946) Σχήμα.4 : Kαμπύλες p-y μαλακών εώς μέσης συνεκτικότητας αργίλων σε στατική φόρτιση (Matlock, 1970) Σχήμα.5 : Kαμπύλες p-y μαλακών έως μέσης συνεκτικότητας αργίλων σε ανακυκλιζόμενη φόρτιση (Matlock, 1970) Σχήμα.6 : Καμπύλες p-y στιφρών αργίλων σε στατική φόρτιση (Reese & Welch, 197) Σχήμα.7 : Καμπύλες p-y στιφρών αργίλων σε ανακυκλιζόμενη φόρτιση (Reese & Welch, 197) Σχήμα.8 : Καμπύλες p-y στιφρών αργίλων κάτω από τη στάθμη του υπόγειου υδάτινου ορίζοντα σε στατική φόρτιση (Reese κ.α.1975) ~ xi ~

12 Σχήμα.9 : Καμπύλες p-y στιφρών αργίλων κάτω από τη στάθμη υπόγειου υδάτινου ορίζοντα σε ανακυκλιζόμενη φόρτιση (Reese et al.,1975) Σχήμα.10 : Μεταβολή σταθερών A s και A c σε σχέση με το ανηγμένο βάθος ως προς την διάμετρο του πασσάλου (z/d) Σχήμα.11 : Καμπύλες p-y άμμων σε στατική (z=z ) και ανακυκλιζόμενη φόρτιση (z=z 1 ) σύμφωνα με Reese et al. (1974) Σχήμα.1 : Μεταβολή σταθερών A s και A c με το ανηγμένο βάθος ως προς τη διάμετρο του πασσάλου Σχήμα.13 : Μεταβολή σταθερών Β s και Β c με το ανηγμένο βάθος ως προς τη διάμετρο του πάσαλο Σχήμα.14 : Φύλλο υπολογισμού καμπυλών p-y για αργίλους μαλακές ως μέσης συνεκτικότητας υπό στατική φόρτιση Σχήμα.15 : Φύλλο υπολογισμού καμπυλών p-y για αργίλους μαλακές ως μέσης συνεκτικότητας υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση Σχήμα.16 : Φύλλο υπολογισμού καμπυλών p-y για στιφρές έως σκληρές αργίλους υπό στατική φόρτιση χωρίς παρουσία Υ.Υ.Ο Σχήμα.17 : Φύλλο υπολογισμού καμπυλών p-y για στιφρές έως σκληρές αργίλους υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση χωρίς παρουσία Υ.Υ.Ο Σχήμα.18 : Φύλλο υπολογισμού καμπυλών p-y για στιφρές έως σκληρές αργίλους υπό στατική φόρτιση με παρουσία Υ.Υ.Ο Σχήμα.19 : Φύλλο υπολογισμού καμπυλών p-y για στιφρές έως σκληρές αργίλους υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση με παρουσία Υ.Υ.Ο Σχήμα.0 : Φύλλο υπολογισμού καμπυλών p-y για άμμους υπό στατική φόρτιση με/χωρίς παρουσία Υ.Υ.Ο Σχήμα.1 : Φύλλο υπολογισμού καμπυλών p-y για άμμους υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση με/χωρίς παρουσία Υ.Υ.Ο Σχήμα. : Φύλλο υπολογισμού καμπυλών p-y για μαλακό βράχο ~ xii ~

13 Σχήμα 3.1 : Ενεργό μήκος για πασσάλους σε ομοιογενές έδαφος Σχήμα 3. : Ενεργό μήκος για πασσάλους σε ανομοιογενές έδαφος Σχήμα 3.3 : Συνάρτηση ψ(x) Σχήμα 3.4 : Συνάρτηση φ(x) Σχήμα 4.1 : Εισαγωγική Φόρμα Λογισμικού Σχήμα 4. : Κύρια Φόρμα Λογισμικού Σχήμα 4.3 : Γραμμή Εργαλείων Σχήμα 4.4 : Στοιχεία Ελέγχου Κύριας Καρτέλας Σχήμα 4.5 : Εισαγωγή Χαρακτηριστικών Πασσάλου Σχήμα 4.6 : Εισαγωγή Χαρακτηριστικών Εδάφους Σχήμα 4.7 : Εισαγωγή Καμπύλης p-y οριζόμενη από τον χρήστη Σχήμα 4.8 : Εκτέλεση βημάτων έως την επιβολή της συνολικής φόρτισης Σχήμα 4.9 : Τύποι φόρτισης Σχήμα 4.10 : Θετική Προσήμανση Ροπής και ύναμης Σχήμα 4.11: Συνάρτηση ψ(x) (4.1) Σχήμα 4.1: Συνάρτηση φ(x) (4.13) Σχήμα 4.13 : Αντικατάσταση συστήματος πασσάλου εδάφους με ισοδύναμα ελατήρια Σχήμα 4.14: Τμήμα Πασσάλου με τα φορτία στην κεφαλή του και τις εδαφικές αντιδράσεις κατά μήκος του Σχήμα 4.15 : Τμήμα πασσάλου Σχήμα 4.16 : ιάγραμμα Ροπών Καμπυλοτήτων ~ xiii ~

14 Σχήμα 4.17 : ιαγράμματα Ροπών Καμπυλοτήτων κατά μήκος τμήματος πασσάλου Σχήμα 4.18 : Θετική Προσήμανση Μετακίνησης και Στροφής Σχήμα 4.19: Συνάρτηση ψ(x) (4.5) Σχήμα 4.0: Συνάρτηση φ(x) (4.6) Σχήμα 4.1 : Αντικατάσταση συστήματος Πασσάλου Εδάφους με ισοδύναμα ελατήρια Σχήμα 4. : Τμήμα πασσάλου Σχήμα 4.3 : Τμήμα απειρομήκους Πασσάλου με τα φορτία στην κεφαλή του και τις εδαφικές αντιδράσεις κατά μήκος του Σχήμα 4.4 : ιάγραμμα Ροπών Καμπυλοτήτων Σχήμα 4.5 : ιαγράμματα Ροπών Καμπυλοτήτων κατά μήκος τμήματος Πασσάλου Σχήμα 4.6 : Σκαρίφημα Πασσάλου Σχήμα 4.7 : Από την Αρχική κάρτα επιλέγεται ο τύπος προβλήματος Prescribed Force and Moment Σχήμα 4.8 : Από την κάρτα Soil Data επιλέγεται ο τύπος Εδάφους Σχήμα 4.9 : Από την κάρτα Pile Properties επιλέγονται τα χαρακτηριστικά του Πασσάλου Σχήμα 4.30 : Μη Γραμμικότητες Μοντέλου Σχήμα 4.31 : Επιλογή Ενεργού Μήκους Σχήμα 4.3 : Επιλογή Εντατικών μεγεθών στην Κεφαλή του Πασσάλου Σχήμα 4.33 : Επιλογή Τρόπου Επιβολής του Φορτίου και αριθμού κύκλων Σύγκλισης Σχήμα 4.34 : Στροφή και Μετακίνηση στην Κεφαλή του Πασσάλου ~ xiv ~

15 Σχήμα 4.35 : Συντελεστές υσκαμψίας Πασσάλου Σχήμα 4.36 : Επιλογή εμφανιζόμενου ιαγράμματος Σχήμα 4.37 : Επιλογή εμφανιζόμενων Σχημάτων και ιαγραμμάτων Σχήμα 4.38 : ιάγραμμα Εδαφικών Ελατηρίων με το Βάθος Σχήμα 4.39 : ιάγραμμα Ροπών με το Βάθος Σχήμα 4.40 : ιάγραμμα Τεμνουσών με το Βάθος Σχήμα 4.41: ιάγραμμα Εδαφικών Πιέσεων με το Βάθος Σχήμα 4.4 : ιάγραμμα Μετακινήσεων με το Βάθος Σχήμα 4.43 : ιάγραμμα Στροφών με το Βάθος Σχήμα 4.44 : Από την Αρχική Κάρτα επιλέγεται ο τύπος προβλήματος Prescribed Force and Moment Σχήμα 4.46 : Από την κάρτα p-y Curve καμπύλη p-y για Stiff Clay above Water Table σε βάθος: m Σχήμα 4.47 : Ενεργοποίηση Μη Γραμμικοτήτων Σχήμα 4.48 : Από την κάρτα Pile Properties επιλέγονται τα χαρακτηριστικά του Πασσάλου Σχήμα 4.49 : Επιλογή Ενεργού Μήκους Σχήμα 4.50 : Επιλογή Εντατικών μεγεθών στην Κεφαλή του Πασσάλου Σχήμα 4.51 : Επιλογή Τρόπου Επιβολής του Φορτίου και αριθμού κύκλων Σύγκλισης Σχήμα 4.5 : Σημεία διαγράμματος Ροπών-Καμπυλοτήτων Σχήμα 4.53 : ιάγραμμα Ροπών-Καμπυλοτήτων (με κόκκινο χρώμα το διγραμικό, με πράσινο χρώμα το υπερβολικό) Σχήμα 4.54 : Ενεργοποίηση χρήσης Υπερβολικού ιαγράμματος Ροπών-Καμπυλοτήτων ~ xv ~

16 Σχήμα 4.55 : Επιλογή ταυτόχρονης αύξησης του Οριζόντιου Φορτίου και της Ροπής στην Κεφαλή Σχήμα 4.56 : Στροφή και Μετακίνηση στην Κεφαλή του Πασσάλου Σχήμα 4.57 : Συντελεστές υσκαμψίας Πασσάλου Σχήμα 4.58 : Σκαρίφημα Μετακίνησης Πασσάλου Σχήμα 4.59 : Επιλογή εμφανιζόμενου ιαγράμματος Σχήμα 4.60 : Επιλογή εμφανιζόμενων Σχημάτων και ιαγραμμάτων Σχήμα 4.61: ιάγραμμα Εδαφικών Ελατηρίων με το Βάθος Σχήμα 4.6: ιάγραμμα Ροπών με το Βάθος Σχήμα 4.63: ιάγραμμα Τεμνουσών με το Βάθος Σχήμα 4.64: ιάγραμμα Εδαφικών Πιέσεων με το Βάθος Σχήμα 4.65: ιάγραμμα Μετακινήσεων με το Βάθος Σχήμα 4.66: ιάγραμμα Στροφών με το Βάθος Σχήμα 4.67 : ιάγραμμα ύναμης στην Κεφαλή Μετακίνησης στην Κεφαλή για τα 10 βήματα φόρτισης Σχήμα 4.68 : ιάγραμμα Μετακίνησης στην Κεφαλή Αριθμός Κύκλου για τους Κύκλους Σύγκλισης του κάθε Βήματος Σχήμα 4.69 : ιάγραμμα Στροφής στην Κεφαλή Αριθμός Κύκλου για τους Κύκλους Σύγκλισης του κάθε Βήματος Σχήμα 4.70 : Προειδοποίηση ιαρροής ιατομής Σχήμα 5.1 : Σχηματική απεικόνιση της οριζόντιας δοκιμαστικής φόρτισης και της εδαφικής τομής Σχήμα 5. : Καμπύλη φορτίου μετακίνησης από δοκιμαστική φόρτιση ~ xvi ~

17 Σχήμα 5.3 : Καμπύλες φορτίου μετακίνησης από δοκιμαστική φόρτιση και αριθμητικές αναλύσεις Σχήμα 5.4 : Αποτελέσματα φόρτισης από το λογισμικό EPile Σχήμα 5.5 : Αποτελέσματα φόρτισης από το λογισμικό EPile με/χωρις μη γραμμικότητα πασσάλου Σχήμα 5.6 : Συγκεντρωτικό γράφημα αποτελεσμάτων φόρτισης πασάλου Σχήμα 5.7 : ιαγράμματα ροπών με το βάθος για διάφορα ποσοστά του φορτίου Broms Σχήμα 5.8 : ιαγράμματα τεμνουσών με το βάθος για διάφορα ποσοστά του φορτίου Broms Σχήμα 5.9 : ιάταξη φόρτισης πασσάλων Σχήμα 5.10: ιάταξη πασσάλων για τη διεξαγωγή δοκιμαστικής φόρτισης με πλευρικό φορτίο Σχήμα 5.11 : Εδαφική τομή στη θέση διεξαγωγής της δοκιμαστικής φόρτισης Σχήμα 5.1 : Καμπύλη φορτίου μετακίνησης από δοκιμαστική φόρτιση Σχήμα 5.13 : Καμπύλες φορτίου μετακίνησης από δοκιμαστική φόρτιση και αριθμητικές αναλύσεις Σχήμα 5.14 : Αποτελέσματα φόρτισης από το λογισμικό EPile Σχήμα 5.15 : Αποτελέσματα φόρτισης από το λογισμικό EPile με/χωρίς μη γραμμικότητα πασσάλου Σχήμα 5.16 : Συγκεντρωτικό γράφημα αποτελεσμάτων φόρτισης πασάλου Σχήμα 5.17 : ιαγράμματα ροπών με το βάθος για διάφορα ποσοστά του φορτίου Broms Σχήμα 5.18 : ιαγράμματα τεμνουσών με το βάθος για διάφορα ποσοστά του φορτίου Broms Σχήμα 5.19 : ιάταξη Ελατηρίων p-y κατά μήκος του πασσάλου Σχήμα 5.0 : Καμπύλες p-y για άργιλο Σχήμα 5.1 : Αποτελέσματα φόρτισης από το λογισμικό COM63 Σχήμα 5. : Αποτελέσματα φόρτισης από το λογισμικό EPile ~ xvii ~

18 Σχήμα 5.3 : Συγκεντρωτικό γράφημα αποτελεσμάτων φόρτισης πασάλου Σχήμα 5.4 : ιαγράμματα ροπών με το βάθος για διάφορα ποσοστά του φορτίου Broms Σχήμα 5.5 : ιαγράμματα τεμνουσών με το βάθος για διάφορα ποσοστά του φορτίου Broms Σχήμα 5.6 : ιάταξη Ελατηρίων p-y κατά μήκος του πασσάλου Σχήμα 5.7 : Καμπύλες p-y για άμμο Σχήμα 5.8 : Αποτελέσματα φόρτισης από το λογισμικό COM63 Σχήμα 5.9 : Αποτελέσματα φόρτισης από το λογισμικό EPile Σχήμα 5.30 : Συγκεντρωτικό γράφημα αποτελεσμάτων φόρτισης πασάλου Σχήμα 5.31 : ιαγράμματα ροπών με το βάθος για διάφορα ποσοστά του φορτίου Broms Σχήμα 5.3 : ιαγράμματα τεμνουσών με το βάθος για διάφορα ποσοστά του φορτίου Broms Σχήμα 5.33 : Σχηματική απεικόνιση της οριζόντιας δοκιμαστικής φόρτισης και της εδαφικής τομής Σχήμα 5.34 : Καμπύλη φορτίου μετακίνησης από δοκιμαστική φόρτιση Σχήμα 5.35 : Καμπύλες φορτίου μετακίνησης από δοκιμαστική φόρτιση και αριθμητικές αναλύσεις Σχήμα 5.36 : Αποτελέσματα φόρτισης από το λογισμικό EPile Σχήμα 5.37 : Συγκεντρωτικό γράφημα αποτελεσμάτων φόρτισης πασάλου Σχήμα 5.38 : ιαγράμματα ροπών με το βάθος για διάφορα ποσοστά του φορτίου Broms Σχήμα 5.39 : ιαγράμματα τεμνουσών με το βάθος για διάφορα ποσοστά του φορτίου Broms ~ xviii ~

19 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας.1 : Τυπικές τιμές του ε 50 για κανονικά στερεοποιημένες αργίλους Πίνακας. : Τυπικές τιμές του ε 50 για προστερεοποιημένες αργίλους Πίνακας.3 : Τυπικές τιμές του k py για προστερεοποιημένες αργίλους Πίνακας.4 : Τυπικές τιμές του k py για αμμώδη εδάφη Πίνακας 3.1 : Προτεινόμενες τιμές των σταθερών x και n για την εύρεση του ενεργού μήκους Πίνακας 4.1 : Προτεινόμενες τιμές συντελεστών s και n ανάλογα με τον τύπο του εδάφους Πίνακας 4. : Προτεινόμενες τιμές συντελεστών x και n ανάλογα με τον τύπο του εδάφους Πίνακας 5.1 : Εδαφικά χαρακτηριστικά Πίνακας 5. : Χαρακτηριστικά πασσάλου Πίνακας 5.3 : Χαρακτηριστικά ανάλυσης Πίνακας 5.4 : Φορτία ανάλυσης Πίνακας 5.5 : Χαρακτηριστικά πασσάλου (ενεργοποιημένη μη γραμμικότητα) Πίνακας 5.6 : Ιδιότητες εδαφικών στρωμάτων Πίνακας 5.7 : Εδαφικά χαρακτηριστικά Πίνακας 5.8 : Χαρακτηριστικά πασσάλου Πίνακας 5.9 : Χαρακτηριστικά ανάλυσης Πίνακας 5.10 : Φορτία ανάλυσης Πίνακας 5.11 : Χαρακτηριστικά πασσάλου (ενεργοποιημένη μη γραμμικότητα) Πίνακας 5.1 : Εδαφικά χαρακτηριστικά ~ xix ~

20 Πίνακας 5.13 : Χαρακτηριστικά πασσάλου Πίνακας 5.14 : Χαρακτηριστικά ανάλυσης Πίνακας 5.15 : Φορτία ανάλυσης Πίνακας 5.16 : Χαρακτηριστικά πασσάλου (ενεργοποιημένη μη γραμμικότητα) Πίνακας 5.17 : Εδαφικά χαρακτηριστικά Πίνακας 5.18 : Χαρακτηριστικά πασσάλου Πίνακας 5.19 : Χαρακτηριστικά ανάλυσης Πίνακας 5.0 : Φορτία ανάλυσης Πίνακας 5.1 : Χαρακτηριστικά πασσάλου (ενεργοποιημένη μη γραμμικότητα) Πίνακας 5. : Εδαφικά χαρακτηριστικά Πίνακας 5.3 : Χαρακτηριστικά πασσάλου Πίνακας 5.4 : Χαρακτηριστικά ανάλυσης Πίνακας 5.5 : Φορτία ανάλυσης Πίνακας 5.6 : Χαρακτηριστικά πασσάλου (ενεργοποιημένη μη γραμμικότητα) ~ xx ~

21 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Αντικείμενο της παρούσας διατριβής αποτελεί η ανάλυση της συμπεριφοράς πασσάλου υπό πλευρική φόρτιση, η οποία οδηγεί σε αστοχία τόσο το περιβάλλον έδαφος όσο και τον πάσσαλο στην κεφαλή και σε βάθος. Συγκεκριμένα, εξετάζονται οι συντελεστές στατικής δυσκαμψίας σε μετάθεση και στροφή της κεφαλής εύκαμπτου κατακόρυφου μοναχικού πασσάλου εμπεδωμένου σε ομοιογενές ή πολυστρωματικό έδαφος τυχαίας γεωμετρίας και μηχανικών ιδιοτήτων. Για την επίλυση του προβλήματος αναπτύσσεται απλή αναλυτική μέθοδος βασισμένη στο κλασικό προσομοίωμα ελαστοπλαστικής δοκού τύπου Euler-Bernoulli, επαυξημένου μέσω πλευρικών, μη-γραμμικών ελατηρίων Winkler με τυχαίο διάγραμμα δύναμηςμετατόπισης. Η μη-γραμμική συμπεριφορά του πασσάλου περιγράφεται, σε επίπεδο διατομής, μέσω διαγράμματος ροπής-καμπυλότητας τυχούσας μορφής. Το προσομοίωμα χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με την αρχή των δυνατών έργων και κατάλληλες συναρτήσεις σχήματος, οι οποίες περιγράφουν αξιόπιστα την ελαστική γραμμή του πασσάλου σε πλευρική φόρτιση αυξανόμενης έντασης. Με επαναληπτική εφαρμογή της μεθόδου επιτυγχάνεται ικανοποιητική ακρίβεια στις τιμές της δυσκαμψίας σε οριζόντια μετακίνηση, λικνισμό και σύζευξη μετάθεσης-λικνισμού. Ο αριθμός των επαναλήψεων είναι σχετικά μικρός αν το επίπεδο της έντασης στο σύστημα δεν αυξηθεί σημαντικά συγκριτικά με το προηγούμενο βήμα φόρτισης. Αντίθετα με τις κλασικές αριθμητικές λύσεις, η προτεινόμενη μέθοδος δεν απαιτεί διακριτοποίηση του πασσάλου σε πεπερασμένα στοιχεία (και στη συνέχεια επίλυση ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων μεγάλης τάξης), παρά μόνο σε "κελιά" με στόχο την ολοκλήρωση με το βάθος. Έτσι οι παραγόμενοι πίνακες δεν ξεπερνούν σε διαστάσεις το επί, και είναι διαχειρίσιμοι ακόμα και μέσω φύλλου εργασίας ή υπολογιστή τσέπης. Η μέθοδος προγραμματίστηκε σε περιβάλλον Visual Basic 010, κυρίως για την δυνατότητα γραφικής παρουσίασης των αποτελεσμάτων και τη σύγκρισή τους με αντίστοιχα αποτελέσματα από άλλες μεθόδους. Παρουσιάζονται συγκρίσεις με έναν ικανό αριθμό από δοκιμαστικές φορτίσεις πασσάλων όπως επίσης και με αριθμητικές αναλύσεις πεπερασμένων διαφορών με το πρόγραμμα COM63. Τα αποτελέσματα της μεθόδου κρίνονται ως ιδιαίτερα ενθαρρυντικά, καθώς συγκλίνουν πολύ ικανοποιητικά με αυτά των αυστηρότερων μεθόδων, χωρίς περίπλοκη αριθμητική ανάλυση η οποία να ξεφεύγει από τις δυνατότητες του Γεωτεχνικού Μηχανικού. ~ xxi ~

22 ABSTRACT In the present thesis the behavior of a pile submitted to large range lateral loading is analyzed, which may lead to failure of both the surrounding soil and the pile itself either at the head or in depth. Namely, we examine the static stiffness coefficients for displacement and rotation of a flexible pile, vertically embedded in a homogeneous or multilayer soil of random geometry and mechanical properties. To solve the problem, a simple analytical method is developed, based on Euler Bernoulli classic beam model, incremented with non linear Winkler Springs. The nonlinear behaviour of the pile is described in a cross-sectional plane through momentcurvature diagram. The model is used in combination with the principle of work and suitable shape functions, which describe reliably the elastic line of the pile when the lateral load is gradually increasing. By iterative implementation of the method, realistic predictions are achieved in the stiffness coefficients in swaying, rocking and cross-swaying-rocking. The number of iterations is relatively small if the stress level of the system is not significantly increased compared with the previous load step. Unlike classic numerical solutions, the proposed method does not require discretization of the pile into finite elements (resulting to solve a system of linear equations), but only in "cells", to integrate with depth. In this way, results can be generated throughout a simple worksheet or even a calculator. The method was implemented in a Visual Basic 010 environment, mainly for reasons of graphical presentation and comparison of the results to other coming from relevant methods. The results of the aforementioned method are considered satisfactory, as they converge fairly well with those coming from more rigorous methods based on complicated numerical analyses. The results of the herein proposed method are also compared to experimental in situ results relatively successfully. ~ xxii ~

23 1 Μέθοδοι ανάλυσης Πασσάλων που υπόκεινται σε πλευρική φόρτιση 1.1 Γενικά Οι κατασκευές που εδράζονται σε βαθιές θεμελιώσεις συχνά δέχονται πλευρικά φορτία ή μετακινήσεις σε συνδυασμό με τα κατακόρυφα φορτία. Οι οριζόντιες δυνάμεις μπορεί να είναι αποτέλεσμα ανεμοπιέσεων, σεισμικών δράσεων ή φορτίσεων κατά μήκος της παράπλευρης επιφάνειας τους όπως στην περίπτωση πασσαλότοιχων. Οι πιο συνηθισμένες μέθοδοι είναι η ανάλυση με οριζόντια γραμμικά / μη γραμμικά ελατήρια (θεωρία του δείκτη εδάφους Winkler), καθώς και η μέθοδος προσομοίωσης του εδάφους ως ελαστικό ισότροπο ημίχωρο, όπου εφαρμόζεται η θεωρία της ελαστικότητας. 1. Προσομοίωση του εδάφους με βάση τη θεώρηση ιδεώδους εδάφους Winkler 1..1 Δείκτης εδάφους Η τιμή του δείκτη εδάφους επηρεάζει σημαντικά τα αποτελέσματα πολλών από τις μεθόδους υπολογισμού. Επομένως, απαραίτητος καθίσταται ο προσδιορισμός του δείκτη εδάφους (k) ανάλογα με τον εκάστοτε τύπο εδάφους. Θεωρώντας ότι το έδαφος αποτελείται από γραμμικά ελατήρια και ότι ο δείκτης εδάφους αντιστοιχεί στην ακαμψία ~ 1 ~

24 των ελατηρίων, γίνεται η παραδοχή ότι η πλευρική πίεση επί του πασσάλου συνδέεται με την αντίστοιχη πλευρική μετατόπισή του μέσω της ακόλουθης σχέσης: k p / y Όπου : p : η πλευρική πίεση στην επιφάνεια του πασσάλου y : η μετατόπιση του πασσάλου k : ο δείκτης εδάφους (1.1) Η παραδοχή αυτή βασίζεται σε δοκιμαστικές φορτίσεις, στις οποίες έχει παρατηρηθεί ότι η επιβολή σχετικά μικρών οριζόντιων φορτίων προκαλεί πλευρική μετατόπιση, η οποία αυξάνει σχεδόν αναλογικά με την αύξηση του φορτίου Ο δείκτης εδάφους k h είναι ανάλογος του μέτρου ελαστικότητας του εδάφους, το οποίο με τη σειρά του εξαρτάται από τη σχετική πυκνότητα του εδάφους καθώς και την ενεργό τάση των υπερκείμενων γαιών. Συνεπώς, ο δείκτης εδάφους k θα αυξάνεται με το βάθος σύμφωνα με τη σχέση: k n z nh (1.) d Όπου : z : το βάθος d : η διάμετρος του πασσάλου n h : σταθερά η οποία εκφράζει την ταχύτητα αύξησης του k h με το βάθος σε μονάδες δύναμη/μήκος 3. Ο δείκτης εδάφους μεταβάλλεται γραμμικά στην περίπτωση κανονικά φορτισμένων αργίλων (n=1) και εκθετικά για μη συνεκτικά εδάφη (n =0,5 1). Η χρήση του εκθετικού νόμου μεταβολής του δείκτη k αποτελεί προσπάθεια ορισμένων ερευνητών να προσεγγίσουν τη μη γραμμικότητα των σχέσεων φορτίου-μετατόπισης στα πραγματικά εδάφη. Η σταθερά n h για τα συνεκτικά εδάφη εξαρτάται από την ταχύτητα αυξήσεως της διατμητικής αντοχής με το βάθος και παίρνει τιμές 1- t/ft 3 ( kn/m 3 ) για μαλακές, κανονικά στερεοποιημένες αργίλους. Στην περίπτωση κανονικά στερεοποιημένης αργίλου, όπου η διατμητική αντοχή και ακολούθως το μέτρο ελαστικότητας αυξάνεται με το βάθος, αντίστοιχη αναμένεται να είναι και η αύξηση του δείκτη εδάφους. Αντιθέτως, κατά τη μελέτη υπερστερεοποιημένης αργίλου μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο δείκτης παραμένει σταθερός σε όλο το βάθος, καθώς σταθερή θεωρείται και η αστράγγιστη διατμητική αντοχή. ~ ~

25 Αναφέρουμε ότι συγκεκριμένοι ερευνητές χρησιμοποιούν στις αναλύσεις τους στη θέση του δείκτη εδάφους k, το μέτρο του δείκτη εδάφους K για το οποίο ισχύει η εξής σχέση: K k d (1.3) Όπου : d : είναι η διάμετρος του πασσάλου Το μέτρο αυτό εκφράζεται σε μονάδες πίεσης και αντιστοιχεί κατά προσέγγιση στο μέτρο ελαστικότητας Ε (kpa). Ο υπολογισμός του δείκτη εδάφους γίνεται, εκτός από δοκιμαστικές φορτίσεις πασσάλων και με δοκιμαστικές φορτίσεις πλακών και χρήση κατάλληλων εμπειρικών συσχετίσεων ανάλογα με τον τύπο του εδάφους καθώς και με εμπειρικούς συσχετισμούς αποτελεσμάτων εργαστηριακών ή επί τόπου δοκιμών. Τέλος, σημειώνεται ότι απαιτείται γραμμική συσχέτιση μεταξύ τάσεων-μετακινήσεων για την εφαρμογή μεθόδων αναλύσεως που θεωρούν το έδαφος ως ελαστικό μέσον. Για το λόγο αυτό, ο Terzaghi δέχεται ότι οι σχέσεις που προτείνει για την εκτίμηση του δείκτη εδάφους k ισχύουν μόνο στην περίπτωση που οι επιβαλλόμενες τάσεις από τον πάσσαλο στο έδαφος δεν υπερβαίνουν το 50% της φέρουσας ικανότητας του εδάφους έναντι θραύσεως. 1.. Κρίσιμο μήκος (active length) Η ανάλυση της απόκρισης πασσάλων υπό εγκάρσια φόρτιση αντιμετώπισε αρχικά το έδαφος ως μια σειρά από ελατήρια κατά μήκος του πασσάλου γνωστό και ως μοντέλο Winkler, (Σχήμα 1.1). Η ακαμψία του ελατηρίου k, όπως έχει ήδη αναφερθεί, ορίζεται ως το μέτρο του δείκτη εδάφους, εκφράζοντας το φορτίο που επιβάλλεται ανά μονάδα μήκους του πασσάλου για μοναδιαία πλευρική μετατόπιση. Αν θεωρηθεί ότι ο δείκτης εδάφους k παραμένει σταθερός ανεξαρτήτως βάθους, τότε αναλυτικές λύσεις δίνουν την παραμορφωμένη μορφή του πασσάλου καθώς και την κατανομή τεμνουσών δυνάμεων και καμπτικών ροπών κατά μήκος του (Matlock και Reese, 1960). Για έναν πάσσαλο με δεδομένο μέτρο ελαστικότητας Ε p και ροπή αδράνειας Ι σε έδαφος με δείκτη εδάφους k υπάρχει ένα κρίσιμο μήκος (ενεργό μήκος / active length) πέραν του οποίου ο πάσσαλος συμπεριφέρεται σαν να ήταν απείρως μακρύς. Το κρίσιμο μήκος (active length) υπολογίζεται από την εξίσωση: ( E I) / 1 4 L a 4 p k (1.4) ~ 3 ~

26 Η επίδραση του φορτίου που εφαρμόζεται στην κορυφή του πασσάλου είναι μηδενική από κάποια συγκεκριμένη τιμή του βάθους και μετά. Στην πραγματικότητα, η πλειοψηφία των πασσάλων που συναντώνται στην πράξη συμπεριφέρονται ως εύκαμπτοι. Για αυτούς τους πασσάλους, η οριζόντια μετατόπιση, u, και η στροφή, θ, στην επιφάνεια του εδάφους, λόγω φορτίου, H, και καμπτικής ροπής, M, υπολογίζονται από τους τύπους: 1 a M L a H L u (1.5) k 4 k 4 a M L a 3 H L (1.6) k 4 k 4 Παρόμοιες εκφράσεις για το κρίσιμο μήκος και για την οριζόντια μετατόπιση μπορούν να ληφθούν για τις περιπτώσεις όπου η τιμή του συντελεστή k ποικίλλει ανάλογα με το βάθος και ιδιαίτερα όταν αυτός μεταβάλλεται αναλογικά με το βάθος (Reese και Matlock, 1956). Για τις περιπτώσεις όπου ο δείκτης εδάφους μεταβάλλεται γραμμικά με το βάθος, το κρίσιμο μήκος, L a, μπορεί να εκτιμηθεί από τη σχέση: ( E I) / 1 5 L a 4 p k (1.7) Οι αντίστοιχες παραμορφώσεις στην επιφάνεια του εδάφους υπολογίζονται από τους τύπους: a M L a 3 H L u (1.8) k 4 k 4 3 a M L a 4 H L (1.9) k 4 k 4 Σχήμα 1.1 : Προσομοίωμα του εδάφους κατά το μοντέλο Winkler ~ 4 ~

27 Οι σύγχρονες υπολογιστικές τεχνικές επέτρεψαν την επέκταση της παραπάνω προσέγγισης ώστε να μπορούν να συμπεριληφθούν μη-γραμμικά ελατήρια στην προσομοίωση του εδάφους. Στη θέση του συντελεστή k καθορίζεται μία πλήρης καμπύλη φορτίου-μετατόπισης (p-y). Τυπικές μορφές καμπύλων p-y έχουν παρουσιαστεί για πασσάλους σε άμμο από τους Reese et al.(1974) και για πασσάλους σε άργιλο από τους Matlock (1970), Dunnavant και O'Neill (1989) Μέθοδος Matlock και Reese (1956, 1960) Αποτελεί μία γενική μέθοδο προσδιορισμού της μετατόπισης, της στροφής, της ροπής κάμψης, της τέμνουσας δύναμης καθώς και των εδαφικών αντιδράσεων επί κατακόρυφου πασσάλου σε οριζόντιο έδαφος Winkler, ο οποίος καταπονείται από εγκάρσιο συγκεντρωμένο φορτίο (Η) και ροπή (Μ t ) στην κεφαλή του. Η μέθοδος προϋποθέτει δείκτη εδάφους k γραμμικά μεταβαλλόμενο με το βάθος και εφαρμόζεται σε περιπτώσεις κανονικά φορτισμένων αργίλων και άμμων Πάσσαλος με ελεύθερη κεφαλή Για την περίπτωση πασσάλου με ελεύθερη κεφαλή, τα προαναφερθέντα εντατικά μεγέθη προσδιορίζονται από τις παρακάτω εξισώσεις: Μετατόπιση: Κλίση: 3 3 Ay H T ByM T y (1.10) E I E I p p 3 3 As H T BsM T s (1.11) E I E I p p Ροπή: M A H T B M (1.1) m m t ιατμητική δύναμη: Bv M t Q Am H (1.13) T Ap H B p M t Εδαφική αντίδραση: p (1.14) T T E p I Όπου: T 5 (1.15) n h ~ 5 ~

28 Το Τ αντιστοιχεί στο «ελαστικό μήκος», σύμφωνα με το οποίο ορίζεται η σχετική ακαμψία του συστήματος πασσάλου-εδάφους, Α y, B y συντελεστές μετατοπίσεως, A s, B s συντελεστές κλίσεως, A m, B m συντελεστές ροπής κάμψεως, A v, B v συντελεστές διατμητικής δυνάμεως και A p, B p συντελεστές εδαφικής αντιδράσεως Πάσσαλος πακτωμένης κεφαλής Οι εξισώσεις που προσδιορίζουν την κατανομή των εντατικών μεγεθών πασσάλουεδάφους με το βάθος για την περίπτωση πασσάλου πακτωμένης κεφαλής είναι οι εξής: Μετατόπιση: y F 3 Fy H T (1.16) E I p Ροπή: Εδαφική αντίδραση: M F Fm H T (1.17) H pf Fp T (1.18) Όπου F y, F m, F p, αδιάστατοι συντελεστές μετατοπίσεως, ροπής κάμψεως και εδαφικής αντιδράσεως, οι οποίοι υπολογίζονται με τη βοήθεια διαγραμμάτων κατά Matlock και Reese. Σχήμα 1. : Κατανομή εντατικών μεγεθών, y, S, M t, Q, και p με το βάθος z ~ 6 ~

29 1..4 Μέθοδος Davisson και Gill (1963) Η συγκεκριμένη μέθοδος αφορά την ανάλυση του πασσάλου ως ελαστική δοκός σε ελαστικό έδαφος, του οποίου ο δείκτης εδάφους κατά την οριζόντια διεύθυνση k είναι σταθερός σε όλο το βάθος Πάσσαλος με ελεύθερη κεφαλή Προκειμένου να πραγματοποιηθεί ο υπολογισμός των καμπτικών ροπών και των οριζόντιων μετατοπίσεων κατά μήκος πασσάλου με ελεύθερη κεφαλή γίνεται χρήση ενός συντελεστή σχετικής ακαμψίας, R καθώς και ενός αδιάστατου συντελεστή βάθους, Ι=z/R, όπου z το βάθος. Με τη βοήθεια των συντελεστών αυτών και αντίστοιχων διαγραμμάτων γίνεται εφικτή η εύρεση των συντελεστών μετατόπισης, y m και καμπτικής ροπής, M m, οι οποίοι με τη σειρά τους χρησιμοποιούνται στις εξισώσεις υπολογισμού της μετατόπισης, y, και της καμπτικής ροπής, Μ, (εξισώσεις ). Τα διαγράμματα αφορούν πασσάλους ελεύθερα στρεφόμενης κεφαλής, οι οποίοι φέρουν στην κεφαλή τους είτε ροπή, Μ και μηδενικό οριζόντιο φορτίο είτε οριζόντιο φορτίο, H, και μηδενική ροπή. Οι εξισώσεις εφαρμογής της συγκεκριμένης μεθόδου είναι οι παρακάτω: Για ροπή, Μ και μηδενικό οριζόντιο φορτίο: Μετατόπιση: y o R M ym (1.19) E I p Ροπή: M M M (1.0) o m Για οριζόντιο φορτίο, Η και μηδενική ροπή: Μετατόπιση: y o R Hym (1.1) E I p Ροπή: M o H M h R (1.) Όπου, ο συντελεστής ακαμψίας, R, υπολογίζεται από τη σχέση: R E p 4 (1.3) k d I Όπου: d : διάμετρος πασσάλου ~ 7 ~

30 k : δείκτης εδάφους κατά την οριζόντια διεύθυνση, kt k για αργίλους 1.5d kt : δείκτης εδάφους κατά Terzaghi, όπως προκύπτει από την κατακόρυφη φόρτιση τετραγωνικής πλάκας πλάτους 1ft Στην περίπτωση πασσάλων μήκους, L, με ελεύθερη κεφαλή, τα κριτήρια ακαμψίας που χρησιμοποιούνται είναι τα εξής: L< R, ο πάσσαλος θεωρείται άκαμπτος, L> 3.5R, ο πάσσαλος θεωρείται εύκαμπτος Πάσσαλος πακτωμένης κεφαλής Η περίπτωση πασσάλου πακτωμένης κεφαλής μπορεί να επιλυθεί με τον ίδιο τρόπο που επιλύθηκε η περίπτωση πασσάλου ελεύθερης κεφαλής. Αρχικά υπολογίζονται οι μετατοπίσεις, y, με τη μεθοδολογία που περιγράφηκε παραπάνω. Στη συνέχεια, επιβάλλεται μία ιδεατή ροπή στην κεφαλή του πασσάλου, τέτοια ώστε να μηδενιστεί η στροφή. Οι μετατοπίσεις που προκαλούνται εξαιτίας αυτής της καμπτικής ροπής αφαιρούνται απ αυτές που υπολογίστηκαν αρχικά με τη μεθοδολογία πασσάλου ελεύθερης στρεπτής κεφαλής Μόρφωση καμπύλων p-y Μία μέθοδος ανάλυσης της εγκάρσιας φόρτισης του πασσάλου αποτελεί η προσομοίωση του εδάφους σύμφωνα με το προσομοίωμα Winkler καθώς και το συμβιβαστό των παραμορφώσεων σε όλη την παράπλευρη επιφάνεια μεταξύ πασσάλου και εδάφους. Προκειμένου να πραγματοποιηθεί η επίλυση, ο πάσσαλος θεωρείται ως δοκός επί ελαστικού εδάφους και αναλύεται βάσει αυτής της θεωρήσεως. Η εξίσωση δοκού πρέπει να λυθεί ώστε να διαμορφωθούν οι ζητούμενες καμπύλες εδαφικής αντίδρασης (p) μετατόπισης (y), οι οποίες εκτιμούν το οριακό φορτίο που αντιστοιχεί στη μέγιστη επιτρεπόμενη μετατόπιση του εκάστοτε εξεταζόμενου συστήματος. ~ 8 ~

31 Προέλευση διαφορικής εξίσωσης Στις περισσότερες περιπτώσεις, η αξονική δύναμη σε έναν πάσσαλο υπό εγκάρσια φόρτιση έχει σχετικά μικρή επίδραση στη ροπή κάμψης. Ωστόσο, υπάρχουν περιπτώσεις όπου είναι επιθυμητός ο υπολογισμός του φορτίου λυγισμού του πασσάλου. Συνεπώς, το αξονικό φορτίο συμμετέχει στην εξίσωση. Στη συγκεκριμένη εργασία η επίδραση του αξονικού φορτίου θεωρείται μηδενική, επομένως δεν εξετάζεται. Για λόγους πληρότητας, οι εξισώσεις θα παρουσιαστούν στη γενική τους μορφή, δηλαδή θα συμπεριλαμβάνουν τους όρους λόγω της επίδρασης του αξονικού φορτίου. Η λύση του προβλήματος της δοκού επί ελαστικού εδάφους δόθηκε από τον Hetenyi (1946) καθώς και από άλλους ερευνητές, με τη βοήθεια της γνωστής διαφορικής εξισώσεως τετάρτης τάξεως κατά την οποία ο πάσσαλος αποτελεί μία γραμμικά ελαστική δοκό και οι ανά μονάδα μήκους εδαφικές αντιδράσεις αντιπροσωπεύονται από μία γραμμική φόρτιση q(x). Γίνεται η υπόθεση ότι η δοκός υποβάλλεται σε οριζόντια φόρτιση και ένα ζεύγος θλιπτικών δυνάμεων, P x, ασκείται στο κέντρο βάρους των ακραίων διατομών της δοκού. Εάν ένα απείρως μικρό, μη φορτισμένο στοιχείο, οριοθετημένο από οριζόντιες ευθείες, απόστασης dx μεταξύ τους αποκοπεί από τη δοκό (Σχήμα 1.3), η ισορροπία ροπών (αγνοώντας φαινόμενα δευτέρας τάξης) οδηγεί στην εξίσωση: ( M dm ) M P d V d 0 (1.4) x y v x ή dm dx P x dy dx V v 0 (1.5) Παραγωγίζοντας αυτή την εξίσωση ως προς x έχουμε: d M dx d y dvv Px 0 (1.6) dx dx Σημειώνονται οι παρακάτω ταυτότητες: d M dx 4 d y E p I (1.7) 4 dx dv v dx p (1.8) p E s y (1.9) ~ 9 ~

32 Πραγματοποιώντας τις αντικαταστάσεις έχουμε: 4 d y d y E p I P E y 0 4 x s (1.30) dx dx Όπου : E p : το μέτρο ελαστικότητας του υλικού του πασσάλου I : η ροπή αδράνειας (ανάλογα με τη διεύθυνση κάμψεως) y : οι πλευρικές μετατοπίσεις, κοινές στον πάσσαλο και στο έδαφος E s : το μέτρο ελαστικότητας του εδάφους από την καμπύλη p y Η κατεύθυνση της διατμητικής δύναμης, V v, φαίνεται στο Σχήμα 1.3. Η διατμητική δύναμη σε επίπεδο κάθετο προς τη γραμμή μετατόπισης υπολογίζεται ως: V n V cos S P sin S (1.31) v x Επειδή η τιμή της στροφής, S, είναι συνήθως μικρή, ισχύει ότι cos(s)=1 και sin(s)=tan(s)= dy / dx. Έτσι διαμορφώνεται η εξίσωση V n dy Vv Px (1.3) dx Η δύναμη, V n, θα χρησιμοποιηθεί περισσότερο στους υπολογισμούς, αλλά η δύναμη, V v, μπορεί να υπολογιστεί από την παραπάνω εξίσωση όπου dy/dx ισούται με τη στροφή S. Σχήμα 1.3 : Στοιχείο δοκού (κατά Hetenyi 1946) ~ 10 ~

33 Η δυνατότητα να θεωρηθεί ένα κατανεμημένο φορτίο W ανά μονάδα μήκους για το πάνω τμήμα του πασσάλου βοηθάει στη λύση πολλών πρακτικών προβλημάτων. Η διαφορική εξίσωση επομένως υπολογίζεται: 4 d y d y E p I P p W 0 4 x (1.33) dx dx Όπου: P x : αξονικό φορτίο στον πάσσαλο y : πλευρική μετατόπιση του πασσάλου σε σημείο x κατά μήκος του πασσάλου p : αντίδραση εδάφους ανά μονάδα μήκους E p I : δυσκαμψία του πασσάλου W : κατανεμημένο φορτίο κατά μήκος του πασσάλου. Άλλες εξισώσεις δοκού που χρειάζονται στην ανάλυση πασσάλων υπό εγκάρσια φόρτιση είναι: E p 3 d y I P 3 dx x dy dx V (1.34) E p dy dx d y I dx S M (1.35) (1.36) Όπου : V : τέμνουσα δύναμη στον πάσσαλο Μ : ροπή κάμψης και S : κλίση του παραμορφωμένου σχήματος του πασσάλου που οριοθετείται από τον άξονά του Εάν εξαιρέσουμε το αξονικό φορτίο P x το συμβιβαστό των παραμορφώσεων είναι αντίστοιχο με αυτό των δοκών στη μηχανική, με τη διαφορά ότι ο άξονας του πασσάλου είναι στραμμένος κατά 90 ο σε σχέση με τον άξονα της δοκού σύμφωνα με τη φορά του ρολογιού. Το αξονικό φορτίο συνήθως δεν εμφανίζεται στην εξίσωση δοκού. Οι θετικές συμβάσεις παρουσιάζονται γραφικά στο Σχήμα 1.4. Οι παραδοχές της λύσης του προβλήματος είναι οι εξής: ~ 11 ~

34 1. Ο πάσσαλος είναι ευθύς με σταθερή διατομή. Ο πάσσαλος έχει ένα διάμηκες επίπεδο συμμετρίας, πάνω στο οποίο βρίσκονται φορτία και αντιδράσεις 3. Το υλικό του πασσάλου είναι ομοιογενές και ισότροπο 4. Το όριο διαρροής του υλικού του πασσάλου δεν υπερβαίνεται 5. Το μέτρο ελαστικότητας του υλικού του πασσάλου είναι το ίδιο σε εφελκυσμό και θλίψη 6. Οι διατμητικές παραμορφώσεις του πασσάλου είναι μικρές 7. Ο πάσσαλος δεν υποβάλλεται σε δυναμική φόρτιση και 8. Οι μετακινήσεις λόγω διατμητικών τάσεων είναι μικρές Σχήμα 1.4 : Συμβάσεις θετικής φοράς Η παραδοχή 8 ικανοποιείται με τη συμμετοχή περισσοτέρων όρων στη διαφορική εξίσωση, αλλά συνήθως τα σφάλματα που σχετίζονται με την παράλειψη αυτών των όρων είναι μικρά. ~ 1 ~

35 Σημείωση: όλες οι αντιδράσεις του πασσάλου και του εδάφους είναι σχεδιασμένες βάσει της σύμβασης θετικής φοράς (F = δύναμη, L = μήκος) Επίλυση απλοποιημένης μορφής της διαφορικής εξίσωσης Μία απλούστερη μορφή της διαφορικής εξίσωσης διαμορφώνεται από την εξίσωση 1.33 εάν υποτεθεί πρώτον ότι δεν ασκείται αξονικό φορτίο, δεύτερον ότι η δυσκαμψία E p I είναι σταθερή κατά μήκος του πασσάλου και τέλος ότι η εδαφική αντίδραση E s είναι σταθερή και ίση με α. Η λύση που αναφέρεται σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζεται για δύο σημαντικούς λόγους. Καταρχάς, οι τελικώς διαμορφωμένες εξισώσεις περιλαμβάνουν παράγοντες που είναι κοινοί σε κάθε λύση και επομένως αποκαλύπτεται η φύση του προβλήματος. Επιπλέον, η κλειστής μορφής λύση επιτρέπει τον έλεγχο της ακρίβειας των αριθμητικών λύσεων. Εάν εφαρμοστούν οι παραπάνω παραδοχές και η ταυτότητα στην εξίσωση 1.37 προκύπτει η απλοποιημένη μορφή της διαφορικής εξίσωσης (εξίσωση:1.38): 4 4 E p I (1.37) 4 d y 4 4 y 0 (1.38) 4 dx της οποίας η λύση είναι: y e x x ( q cos x q sin x) e ( q3 cos x q4 sin ) 1 x (1.39) Οι συντελεστές q 1, q, q 3 και q 4 πρέπει να υπολογιστούν για τις διάφορες συνοριακές συνθήκες απαιτείται να προσομοιωθούν. Εάν θεωρηθεί μακρύς πάσσαλος, διαμορφώνονται απλοποιημένες εξισώσεις. Μία εφαρμογή της παραπάνω εξίσωσης δείχνει ότι οι συντελεστές q 1 και q πρέπει να είναι σχεδόν μηδενικοί για ένα μακρύ πάσσαλο, ενώ ο όρος e μx θα είναι μεγάλος για μεγάλες τιμές του x. Οι συνοριακές συνθήκες της κορυφής του πασσάλου που εφαρμόζονται για τη λύση της απλοποιημένης μορφής της διαφορικής εξίσωσης φαίνονται στα σκαριφήματα του Σχήματος 1.5. Οι συνοριακές συνθήκες που επιλέγονται για την κορυφή ενός πασσάλου μεγάλου μήκους (Σχήμα 1.5a) είναι οι εξής: Για x 0 d y dx M E I p (1.40) ~ 13 ~

36 και 3 d y 3 dx E P t p I (1.41) Σχήμα 1.5 : Συνοριακές συνθήκες στην κορυφή του πασσάλου Μέσω της εξίσωσης 1.39 και αντικαθιστώντας από την εξίσωση 1.40 υπολογίζεται: q 4 M t (1.4) E I p ενώ αντικαθιστώντας την Εξίσωση 1.41 έχουμε: q 3 Pt q4 (1.43) 3 E I p Οι εξισώσεις 1.4 και 1.43 χρησιμοποιούνται στη διαμόρφωση εκφράσεων που αφορούν τη μετατόπιση y, την κλίση S, τη ροπή κάμψης Μ, την τέμνουσα V και την εδαφική αντίδραση p για ένα μακρύ πάσσαλο, Εξισώσεις ( ). y x e Pt cos x M E p I (cos x sin ) x t (1.44) ~ 14 ~

37 ~ 15 ~ x I E M x x a P e S p t t x cos ) cos (sin (1.45) ) cos (sin sin x x M x P e M t t x (1.46) x M x x P e V t t x sin ) sin (cos (1.47) ) sin (cos cos x x M x P e p t t x (1.48) Προκειμένου να απλοποιηθούν οι παραπάνω μορφές των εξισώσεων, προσδιορίζονται ορισμένοι συντελεστές: ) sin (cos 1 x x e A x (1.49) ) sin (cos 1 x x e B x (1.50) x e C x cos 1 (1.51) x e D x sin 1 (1.5) Με βάση τους παραπάνω συντελεστές, οι εξισώσεις ( ) μετατρέπονται στις ακόλουθες: B I E M C a P y p t t (1.53) C I E M A a P S p t t (1.54) 1 A 1 M D P M t t (1.55) 1 D 1 M B P V t t (1.56) 1 1 B M C P p t t (1.57) Για ένα πάσσαλο μεγάλου μήκους, δεσμευμένου στροφής στην κεφαλή, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.5b, η λύση υπολογίζεται με την εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών που υπολογίζονται στις εξισώσεις 1.58 και 1.59 Για 0 x, 0 dx dy (1.58)

38 3 d y 3 dx E P t p I (1.59) Χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που ακολουθήθηκε για την πρώτη ομάδα συνοριακών συνθηκών, υπολογίζονται: q 3 Pt q4 (1.60) 3 3E I p Η λύση για μακρύ πάσσαλο τελικά υπολογίζεται από τις εξισώσεις : P y t A 1 (1.61) a S M V Pt D 1 (1.6) E I p Pt B1 (1.63) PC t 1 (1.64) p P (1.65) t A 1 Μερικές φορές είναι σκόπιμο να έχουμε μία λύση μέσω ενός τρίτου συνόλου συνοριακών συνθηκών, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.5c. Αυτές οι συνθήκες δίνονται στις παρακάτω εξισώσεις: Για x 0, d y E p I dx dy dx M S t t (1.66) 3 d y 3 dx E P t p I (1.67) Εφαρμόζοντας αυτές τις συνοριακές συνθήκες, υπολογίζονται οι συντελεστές q 3 και q 4 για το μακρύ πάσσαλο και παρουσιάζονται στις εξισώσεις 1.68, Για λόγους απλοποίησης, η αντίδραση έναντι στροφής, M t /L t, αντικαθίσταται από το σύμβολο k θ. ~ 16 ~

39 q q 3 4 Pt ( E p I k ) (1.68) 3 E I( a 4 k ) p Pt k (1.69) 3 E I( a 4 k ) p Αυτές οι εκφράσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην εξίσωση 1.39 και μετά από τις κατάλληλες παραγωγίσεις και αντικαταστάσεις των εξισώσεων 1.49 έως 1.5 θα ορίσουν ένα νέο σύνολο εκφράσεων για τον μακρύ πάσσαλο, όμοιες με αυτές των εξισώσεων 1.53 έως 1.57 και 1.61 έως Ο Timoshenko (1941) ισχυρίστηκε ότι η λύση του προβλήματος για ένα μακρύ πάσσαλο είναι ικανοποιητική όπου ισχύει ότι μl 4. Ωστόσο, υπάρχουν περιπτώσεις όπου η λύση της απλοποιημένης διαφορικής εξίσωσης απαιτείται για πασσάλους οι οποίοι έχουν αδιάστατο μήκος μικρότερο από 4. Η λύση για οποιοδήποτε μήκος L του πασσάλου μπορεί να επιτευχθεί με την εφαρμογή των παρακάτω συνοριακών συνθηκών στην αιχμή του πασσάλου. Για: Για: x L, d y 0 dx x L, 3 d y 0 3 dx (Μ=0 στην αιχμή του πασσάλου) (1.70) (V=0 στην αιχμή του πασσάλου) (1.71) Όταν οι παραπάνω συνοριακές συνθήκες, μαζί με αυτές της κεφαλής του πασσάλου εφαρμοστούν, πραγματοποιείται ο υπολογισμός των συντελεστών q 1, q, q 3 και q 4. Η επιρροή του μήκους του πασσάλου στη μετατόπιση στο επίπεδο της επιφάνειας του εδάφους φαίνεται στο Σχήμα 1.6. Το Σχήμα 1.6α απεικονίζει έναν πάσσαλο στον οποίο ασκείται αξονικό φορτίο, με την υπόθεση όμως ότι έχει μικρή τιμή. Το μήκος του πασσάλου θα ορισθεί από το εγκάρσιο φορτίο, P t, και τη ροπή, M t. Πραγματοποιούνται υπολογισμοί για στατική φόρτιση και σταθερή διατομή πασσάλου, του οποίου το αρχικό μήκος τον καθιστά «μακρύ». Οι υπολογισμοί συνεχίζονται με σταδιακή μείωση της τιμής του αρχικώς ορισμένου μήκους. Η μετατόπιση στην επιφάνεια του εδάφους υπολογίζεται συναρτήσει του επιλεγμένου μήκους, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.6b. Σύμφωνα με το Σχήμα 1.6b, η μετατόπιση στην επιφάνεια του εδάφους μεταβάλλεται (μειώνεται) μέχρι το μήκος του πασσάλου να φτάσει την τιμή του κρίσιμου μήκους. Σημειώνεται σημαντική αύξηση της μετατόπισης όσο το μήκος μειώνεται κάτω από το κρίσιμο. Ο σχεδιαστής επιλέγει κατά την κρίση του το μήκος εκείνο που εξασφαλίζει τον κατάλληλο συντελεστή ασφαλείας ώστε η τιμή της μετατόπισης να μην ξεπεράσει τη μέγιστη επιτρεπόμενη (αστοχία). Η ακρίβεια της λύσης θα εξαρτηθεί από ~ 17 ~

40 το κατά πόσο οι καμπύλες αντίδρασης του εδάφους αντιπροσωπεύουν την πραγματική συμπεριφορά του εδάφους. Η απλοποιημένη μορφή της διαφορικής εξίσωσης κανονικά δεν θα χρησιμοποιηθεί για την εύρεση λύσεων σχεδιασμού. Ωστόσο, μέσω αυτής καθίσταται εφικτή η ευκρινής παρουσίαση του μεγέθους επιρροής του μήκους του πασσάλου, L, της ακαμψίας του καθώς και άλλων παραμέτρων. Σχήμα 1.6 : Λύση για το κρίσιμο μήκος (active length) Λύση της διαφορικής εξίσωσης με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών Η λύση της εξίσωσης 1.33 είναι επιθυμητή και απαραίτητη για αναλύσεις που συναντώνται στην πράξη. Η μορφοποίηση της διαφορικής εξίσωσης σε αριθμητικούς όρους και μία λύση μέσω επαναλήψεων επιτρέπουν βελτιώσεις στις λύσεις που περιγράφηκαν στις προηγούμενες παραγράφους. Οι τελικές εξισώσεις διαμορφώνουν τη βάση για ένα υπολογιστικό πρόγραμμα. Η επίδραση του αξονικού φορτίου στη μετατόπιση και στη ροπή κάμψης θα ληφθεί υπόψη και τα προβλήματα λυγισμού του πασσάλου μπορούν να λυθούν. ~ 18 ~

41 ~ 19 ~ Η ακαμψία E p I του πασσάλου μπορεί να διαφοροποιείται κατά μήκος του πασσάλου. Τελευταίο και κυριότερο, η εδαφική αντίδραση E s μπορεί να ποικίλει ανάλογα με την μετατόπιση του πασσάλου και με την απόσταση κατά μήκος του πασσάλου. Εάν ο πάσσαλος υποδιαιρεθεί σε τμήματα ύψους h, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.7, η εξίσωση 1.33 σε μορφή πεπερασμένων διαφορών γίνεται: 0 ) ( 4 ( ) ( h W R y P h R R y h E P h R R R y P h R R y R y m m m x m m m pym x m m m m x m m m m m (1.7) Όπου : R m =(E p I) m : η ακαμψία του πασσάλου στο σημείο m Σχήμα 1.7 : Πάσσαλος που έχει εκτραπεί Εάν ο πάσσαλος διαιρεθεί σε n τμήματα, μπορούν να διαμορφωθούν n+1 εξισώσεις όπως την εξίσωση 1.7. Θα υπάρχουν n+5 άγνωστοι επειδή θα εισαχθούν δύο πλασματικά σημεία στην κεφαλή και δύο στην αιχμή του πασσάλου. Εάν εκφραστούν δύο συνοριακές συνθήκες για το πάνω και δύο για το κάτω μέρος του πασσάλου, θα υπάρξουν n+5 εξισώσεις, οι οποίες θα δώσουν αποτελέσματα για όλους τους αγνώστους.

42 Οι δύο συνοριακές συνθήκες που εφαρμόζονται για το χαμηλότερο σημείο του πασσάλου βασίζονται στη ροπή και στη διάτμηση. Εφόσον η ύπαρξη ενός αξονικού φορτίου που προκαλεί ροπή στην αιχμή του πασσάλου αγνοηθεί, η ροπή σ αυτό το σημείο είναι μηδενική. Η υπόθεση μηδενικής καμπτικής ροπής θεωρείται ότι δεν προκαλεί σφάλμα, εκτός από την περίπτωση κοντών, άκαμπτων πασσάλων που μεταφέρουν τα φορτία τους στην αιχμή. Η περίπτωση όπου υπάρχει ροπή στην αιχμή του πασσάλου είναι ασυνήθιστη και δεν αντιμετωπίζεται από τις διαδικασίες που παρουσιάζονται σε αυτή την εργασία. Επομένως, μία συνοριακή συνθήκη στην αιχμή του πασσάλου είναι η εξής: y yo y 0 (1.73) 1 1 Η εξίσωση αυτή εκφράζει την κατάσταση όπου ισχύει ότι Μ=0 για x=l, που συνεπάγεται ότι E p I(d y/d x)=0. Η δεύτερη συνοριακή συνθήκη για τη χαμηλότερη διατομή του πασσάλου περιλαμβάνει τη διάτμηση. Γίνεται η υπόθεση ότι, λόγω διατμητικών τάσεων, μπορεί να αναπτυχθεί εδαφική αντίδραση στην αιχμή ενός κοντού πασσάλου κατά τη μετατόπιση. Επιπλέον, υποθέτουμε ότι μπορούμε να εξάγουμε πληροφορίες που επιτρέπουν τη διάτμηση στην άκρη του πασσάλου V o, να γίνει γνωστή συναρτήσει της y o. Με αυτόν τον τρόπο, η δεύτερη συνοριακή συνθήκη στην αιχμή του πασσάλου διαμορφώνεται ως: R h P o x ( y y y y ) ( y y ) V o (1.74) h Όπου: R o : η ακαμψία στην αιχμή του πασσάλου Η εξίσωση εκφράζει τη σχέση V=V o που συνεπάγεται ότι για x=l: 3 d y dy E pi Px Vo dx 3 dx (1.75) Η τιμή της V o πρέπει να εξισωθεί με το μηδέν όσο αφορά μακρύ πάσσαλο με δύο ή περισσότερα σημεία μηδενικής μετατόπισης. Όπως αναφέρθηκε νωρίτερα, απαιτούνται δύο συνοριακές εξισώσεις στην κορυφή του πασσάλου. Εξισώσεις έχουν εκφραστεί για τέσσερις ομάδες συνοριακών συνθηκών, η κάθε μία με δύο εξισώσεις. Ο χρήστης καλείται να επιλέξει την ομάδα που ταιριάζει περισσότερο στο εκάστοτε πρόβλημα. ~ 0 ~