8.1.7 υσκαμψία υπό γραμμικές συνθήκες

Transcript

1 Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης υσκαμψία υπό γραμμικές συνθήκες Γεώργιος Εμμ. Μυλωνάκης Καθηγητής Γεωτεχνικής Μηχανικής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Π.Π. Θεόδωρος Χατζηγώγος Καθηγητής Γεωτεχνικής Μηχανικής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Α.Π.Θ.

2 Περιεχόμενα Περιγραφή του προβλήματος Ιστορική αναδρομή Μεταβολή της εδαφικής στιφρότητας & απόσβεσης με το βάθος Προσομοίωμα Winkler: Εξίσωση κίνησης Ενεργειακή λύση για ανομοιογενές έδαφος Αποτελέσματα Συντελεστές δυσκαμψίας Συντελεστές απόσβεσης Παραδείγματα Συμπεράσματα

3 Περιγραφή προβλήματος

4 Ορισμός υσκαμψίας Πασσάλου Πακτωμένη βάση

5 Ορισμός υσκαμψίας Πασσάλου Αρθρωτή βάση

6 υναμική δυσκαμψία πασσάλων διαθέσιμες απλές λύσεις Novak και συνεργάτες (197 s) Nogami και συνεργάτες (198 s) Dobry et al (1982) Gaetas (1991) Pender (1993) Mylonakis (1995)

7 Μεταβολή εδαφικής στιφρότητας με το βάθος M P α n E s () / E sd 1 L a d 1 E s () = E sd {α + (1 - α) /d} n / d n > 1 E p, β p n = Homogeneous n = 1 Linear n < 1 Parabolic

8 υναμικό προσομοίωμα Winkler Εξίσωση κίνησης 4 Y EI p p km i c Y Για αρμονικές κινήσεις d () ( ) d όπου και ( t, ) ( ) e it 2 k i c m 4EI p p 1 4 Κυματικός αριθμός [L] -1

9 Μεταβολή εδαφικής στιφρότητας και απόσβεσης Μεταβολή εδαφικής στιφρότητας με βάθος ks( ) ksd 1 d n Μεταβολή εδαφικής απόσβεσης με βάθος 1/ n Es E sd cr( ) crd 1 d n/2 Παράμετρος ανομοιογένειας

10 Θεώρηση συναρτήσεων σχήματος Ενεργειακή λύση ( ), ( ) Μοναδιαία μετάθεση κεφαλής υπό μηδενική στροφη Μοναδιαία περιστροφή κεφαλής υπό μηδενική μετάθεση ( ) e (sin cos ) e ( ) sin Mylonakis (1995) 1 L a (, ) d L a παράμετρος σχήματος

11 Συναρτήσεις σχήματος χ() φ()

12 υναμική δυσκαμψία πασσάλου L L 2 K EI d k ic m d ij p p i j i j όπου: 1 2 k k i E E i p p s 1 2 s Πραγματικό μέρος: 2 L L L K EI d k dm d ij p p i j i j i j Φανταστικό μέρος: 2 pei p p L 2 L L s Cij i j d k i j d c r i j d

13 Αποτελέσματα ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΥΣΚΑΜΨΙΑΣ Γραμμικά μεταβαλλόμενο Ε s (n =1,α = τυχαίο) 3k 3 sd K [1 (2 hh EpIp d 1)] 2 8d 3 ksd Krr EpIp [1 ( d 1)] 4 2 8d k 2 sd K [3 (4 hr EpIp d 3)] 3 16d d 4 4 [( d) ( d L L 1 ) ] 5 d 4 L ( 1) E 2 p L d E sd.2

14 Αποτελέσματα ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΥΣΚΑΜΨΙΑΣ Παραβολικά μεταβαλλόμενο Ε s (n = τυχαίο, α = ) n 53n 3n 3 1 (1 n) 2 2 Khh EpIp ksd 2 2 2sin (1 n) d 4 n 93n 5n 3 1 (1 n) 2 2 Krr EpIp ksd 2 2 4cos 3 (1 n) 2 d 4 n 93n 5n 2 1 (1 n) 2 2 Khr EpIp ksd 2 2 4cos 2 (1 n) 4sin (1 n) d 4 4 n 4 L 4 4 n d d.2 Ep L 2d E d sd ksd 4EI p p 1 4

15 Αποτελέσματα ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΥΣΚΑΜΨΙΑΣ Γραμμικά μεταβαλλόμενο Ε s (n =1, α = ) μεχρι βάθος c e c [(1 2 c)(2 cos 2 c) 2 c sin 2 c] Khh 4EpIp k 2 8c e c [ c(cos2c sin2c 2) sin2c 1] K 2 2 rr EpIp k 4 8c 2c 2c 2 e [3e 4 c cos2 c (1 4 c)sin2 c 2] Khr 2EpIp k 3 16c 4 ( L ) L 5 c c L E 1.5d ~ E p s.25 ~ E s E s c 1 2 L

16 Αποτελέσματα ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΥΣΚΑΜΨΙΑΣ Παραβολικά μεταβαλλόμενο Ε s (n =1/2, α = ) μεχρι βάθος c K hh EI p p 1 4 c 12c 9c 4c 6c 2k 3 c L 3 15L 13L 11L 9L 7L k ( L) (2 3L 13 L ) K K 8 ( L ) L 9 c c rr c c c 6 35L EI p p 3 1 c 4c 6c 4c 2kc L 7 15L 13L 11L 9L k ( L) (15 5 L L ) hr c c c 4 15L EI p p c 7c 8c 2c 2c 2k 2 c L 5 15L 13L 11L 9L 7L k ( L) (6 55L 11 L ) c c c 5 21L L E 1.5d ~ E υσκαμψία υπό γραμμικές συνθήκες p s.25 ~ E s E s c 1 3 L

17 Αποτελέσματα ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ Γραμμικά μεταβαλλόμενο Ε s (n =1, α = ) sksd C hh 2 pepip c 2 rd 2 sin 4 13 d 4 d sksd C rr 3 pepip c 4 rd 2 cos 4 17 d 4 3 d sksd C hr 2 pepip c 3 rd 2 cos sin 17 8d 4 2 d L 4 d 1 4 5d L.2 E k p sd L 2d d E sd 4EI p p 1 4 c 5d V 5d rd s sd s E sd 2(1 ) s

18 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ Παραβολικά μεταβαλλόμενο Ε s (n =τυχαίο, α = ) 1 3n 1n 3 1 (1 n) 2 2 Chh 2pEpIp 2 2 sin (1 n) sksd d 4 c rd n n n 5 3n n n sin d n 3n 1 (1 n) 2 2 Crr 3pEpIp 2 2 2cos 3 (1 n) sksd d 4 c rd n n n 9 3n n n cos 3 d n 3n (1 n) n Chr 3pEpIp sin 2 sksd d 4 c rd n n 9 3n n n sin 2 d 8 n υσκαμψία υπό γραμμικές συνθήκες n 4 L 4 4 n d E p L 2d E sd c 5d V 5d ksd d 4EI rd s sd s p p E sd d (1 ) s

19 Πολύστρωτο εδαφικό προφίλ Συντελεστές δυσκαμψίας sin 2 cos2 2 E I K N p p hh e i i i1 sin 2 cos2 2 E I K N p p rr 3 e i i 2 i1 K E I Συντελεστές απόσβεσης N c e sin 2 cos2 2 i1 4 i 2 C hh bi, ti, sin 2 2 N p p hr 2 e i i i1 N c e sin 2 cos2 2 i1 8 bi, i 2 Crr 3 C hr ti, N ci 2 e sin i1 4 bi, ti, bi, ti, 1 L N a i1 La hi 1 bi, ti, bi, ti, Παράμετρος σχήματος i d

20 L a / d Ενεργό μήκος πασσάλου Σύγκριση επιλεγμένων σχέσεων από βιβλιογραφία Davies & Budhu (1986,1987) Gaetas (1991) Fleming et al (1993) Syngros (24) 1 Homogeneous soil E p / E sd Inhomogeneous soil E p / E sd Γενική μορφή εξισώσεων: La E p d Esd n

21 Με βάση τη μορφή απόκρισης σε μετάθεση του πασσάλου, K hh, και τον ορισμό του ενεργού μήκους προκύπτει η ακόλουθη αδιάστατη εξίσωση: p p L a 2 2 EI d k d a 3 2 EI p p k d ε, παράμετρος σφάλματος (μεταξύ ) Αριθμητική επίλυση L Γενική εξίσωση με εφαρμογή τόσο σε ομοιογενή όσο και ανομοιογενή εδάφη Επιλύσιμη και για τις υπόλοιπες μορφές ταλαντωσης

22 25 2 approximate Numerical solution Επιρροή παραμέτρου σφάλματος, ε, στο ενεργό μήκος πασσάλου, L a L a / d 15 1 E p / E s = 1 1 Εφαρμογή γραμμικής ανάλυσης παλινδρόμησης: tolerance parameter, ε Προσεγγιστική σχέση: La.1.7 E d Es p log.25

23 Επιρροή αδιάστατης παραμέτρου Winkler στο ενεργό μήκος πασσάλου 25 2 Homogeneous soil L a / d ε =1 2 δ = E p / E s

24 Επίδραση παραμέτρων ανομοιογένειας α και n στο ενεργό μήκος πασσάλου 2 Linear profile Parabolic profile L a / d E p / E sd = E p / E sd = ε =1 2,5 1 inhomogeneity parameter α ε =1 2,5 1 inhomogeneity exponent n

25 Παράδειγμα 1 ΧΑΛΥΒ ΙΝΟΣ ΠΑΣΣΑΛΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΩΛΗΝΑ ΕΜΠΕ ΩΜΕΝΟΣ ΣΕ Ε ΑΦΟΣ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΣΤΙΦΡΟΤΗΤΑ d=1m, L=2m, E p = kpa, E sd = kpa, P=1 kn, M= 15kNm Μέτρο Young ισοδύναμου συμπαγούς πασσάλου: Ē p = kpa Ενεργό μήκος: L a = 9 m Παράμετρος Winkler: d =.318 m 1 Παράμετρος σχήματος: =.44 m 1 Συντελεστές δυσκαμψίας: K hh = kn / m, K rr = knm, K hr = kn u 1 P K M 1 K K K K K 1 rr hr 2 hh rr K K hr hr Khh υσκαμψία υπό γραμμικές συνθήκες u 4 mm 1.7 mrad

26 Παράδειγμα 2 ΚΥΛΙΝ ΡΙΚΟΣ ΠΑΣΣΑΛΟΣ ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ ΕΜΠΕ ΩΜΕΝΟΣ ΣΕ Ε ΑΦΟΣ ΜΕ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΣΤΙΦΡΟΤΗΤΑΣ d=.75m, L=2m, E p = kpa, E sd =25MPa, P=1 kn, M=-15kNm Παραβολικό προφίλ Es() Esd d Ενεργό μήκος: L a = 7.5 m Παράμετρος Winkler: d =.373 m 1 Παράμετρος σχήματος: =.44 m 1 Συντελεστές δυσκαμψίας: K hh = kn / m, K rr = knm, K hr = kn u 4.1 mm 2.1 mrad υσκαμψία υπό γραμμικές συνθήκες 1/2

27 Συμπεράσματα Η ενεργειακή μέθοδος επιτρέπει την εξαγωγή κλειστών λύσεων για τη δυναμική δυσκαμψία και παρέχει πολύτιμη εποπτεία της φυσικής του προβλήματος Είναι εφικτός ο υπολογισμός των συντελεστών δυσκαμψίας και απόσβεσης για οποιοδήποτε εδαφικό προφίλ Ο υπολογισμός του ενεργού μήκους πασσάλου είναι δυνατός για οποιοδήποτε παράμετρο ανοχής και εδαφική ανομοιογένεια

28