ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ. Ε. i) Να βρείτε τη σχετική θέση των τροχιών του 4ου και του 12ου μαθητή.

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ Θεωρούμε μια ομάδα 5 μαθητών Κάθε μαθητής χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό μ =,,,,5 και κινείται στο καρτεσιανό επίπεδο Ο xy διαγράφοντας τροχιά με εξίσωση: Cμ x y μx μy μ μ : = 0 Α i) Να αποδείξετε ότι μαθητές κινούνται κυκλικά και ένας μαθητής είναι ακίνητος ii) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κυκλικών τροχιών και το σημείο στο οποίο βρίσκεται ο ακίνητος μαθητής, είναι σημεία συνευθειακά Β i) Να βρείτε τη σχετική θέση των τροχιών του ου και του ου μαθητή ii) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που βρίσκεται η κοινή χορδή των τροχιών του ου και του ου μαθητή και το εμβαδόν που σχηματίζει η ευθεία αυτή με τους θετικούς ημιάξονες Γ i) Να βρείτε τη θέση του σημείου Λ ( 0,) ως προς την τροχιά του ου μαθητή ii) Να βρείτε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο Λ ( 0,) και ορίζει στην τροχιά του ου μαθητή, χορδή μήκους 8 Δ i) Να βρείτε τη θέση του σημείου στο οποίο βρίσκεται ο ακίνητος μαθητής ως προς την τροχιά του ου μαθητή ii) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της τροχιάς του ου μαθητή, που διέρχονται από το σημείο στο οποίο βρίσκεται ο ακίνητος μαθητής iii) Να εξετάσετε αν οι ευθείες που βρήκατε στο προηγούμενο υποερώτημα, εφάπτονται και στις άλλες κυκλικές τροχιές Ε i) Να βρείτε τη σχετική θέση των τροχιών του ου και του ου μαθητή ii) Να βρείτε τις εξισώσεις των κοινών εφαπτομένων των τροχιών του ου και του ου μαθητή

2 Α i) Η εξίσωση γράφεται: ΛΥΣΗ x + y μx μy+ μ + 6μ 6= 0 x x y y μ + μ + μ + μ = μ 6μ+ ( x μ) ( y μ) ( μ 8) + = Για μ 8 η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ μ ( μ,μ) και ακτίνα ρμ = μ 8, ενώ για μ = 8 η εξίσωση ( ) παριστάνει το σημείο Κ 8 ( 8,6 ) 6 ii) Έστω Κ ( x, y) μ Είναι: x = μ μ = x y = μ y = x Οι συντεταγμένες του σημείου Κ 8,6 8 επαληθεύουν την εξίσωση y = x, συνεπώς τα κέντρα των κυκλικών τροχιών και το Κ 8 ανήκουν στην ευθεία ζ : y = x Β i) Ο κύκλος C έχει κέντρο Κ, και ακτίνα ρ = κέντρο = Είναι: (, ) 6, ενώ ο κύκλος C έχει = + = 5 και επειδή ρ ρ < 5 < ρ+ρ, συμπεραίνουμε ότι οι κύκλοι τέμνονται ii) - Οι εξισώσεις των κύκλων C και C είναι: x + y x y = 0 και x + y x 8y 6 = 0 και με αφαίρεση κατά μέλη δίνουν x+ y 8 = 0 x+ y = 0 Η εξίσωση είναι η ζητούμενη, αφού: Αν Α ( x, y ) είναι το ένα από τα δύο κοινά σημεία των δύο κύκλων, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τις εξισώσεις και των δύο κύκλων,

3 άρα επαληθεύουν και την εξίσωση ( ) που προκύπτει από την κατά μέλη αφαίρεση τους, δηλαδή η ευθεία ε : x+ y = 0 διέρχεται από το σημείο Α Με το ίδιο τρόπο προκύπτει ότι η ευθεία ε διέρχεται και από το άλλο κοινό σημείο Β των κύκλων, δηλαδή είναι η ευθεία που ορίζουν τα κοινά τους σημεία Α, Β - Η ευθεία ε : x+ y = 0, τέμνει τους θετικούς ημιάξονες στα σημεία ( Ρ,0 και Ρ 0,) Άρα το εμβαδόν του τριγώνου ΡΡΟ είναι: ( ΡΡΟ ) = = 9 τετραγωνικές μονάδες Γ i) Ο κύκλος C έχει κέντρο (, 6 ) = 5 Είναι: ΚΛ = = 8 και επειδή 8 < ρ, συμπεραίνουμε ότι το Λ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου C ii) Οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο ( 0,) Λ είναι η κατακόρυφη x = 0 και οι μη κατακόρυφες y = λx λx y+ = 0 - Η x = 0 τέμνει τον κύκλο C στα σημεία που έχουν συντεταγμένες τις λύσεις του συστήματος: x + y 6x y 0= 0, x = 0 δηλαδή στα σημεία Ν ( 0, ) και Ν ( 0,0) Είναι ( ΝΝ ) = 8, οπότε η x = 0 είναι μία από τις ζητούμενες ευθείες - Αν d η απόσταση του κέντρου Κ (, 6) από την ευθεία λx y+ = 0 και κ το μήκος της κ χορδής, τότε ισχύει ρ = d + Όμως ρ = 5 και κ = 8, οπότε προκύπτει d = Άρα είναι:

4 d λ 6+ = = λ = λ + λ + λ = λ + λ = λ + λ λ λ λ + = + = 0 Επομένως η ζητούμενη μη κατακόρυφη ευθεία είναι η y = Δ i) Ο κύκλος έχει κέντρο = Είναι: C (,) 8 = = 5 και επειδή 5 > ρ, συμπεραίνουμε ότι το Κ 8 είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου C Κ είναι η κατακόρυφη η : x = 8 ε : y 6 = λ x 8 λx y+ 6 8 λ = 0 ii) Οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο ( 8,6 8 ) και οι μη κατακόρυφες - Η η απέχει από το Κ (,) απόσταση = ρ, οπότε εφάπτεται του κύκλου C - Η ε είναι εφαπτομένη του κύκλου C, αν και μόνο αν: λ + 6 8λ, ε) = ρ = λ + λ = λ + ( λ) = λ + λ+ λ = λ + λ = Επομένως η ε : x y+ 8 6 = 0 x y+ 0=0 είναι η ζητούμενη μη κατακόρυφη εφαπτομένη iii) Είναι: μ 8 μ, η ) = = ρμ και μ 8μ+ 0 μ, ε) = = + 5μ + 0 = = μ 8 = ρμ, επομένως οι ευθείες η :x = 8 και 5 ε : x y + 0= 0 εφάπτονται στις κυκλικές τροχιές

5 Ε i) Ο κύκλος έχει κέντρο κέντρο C (,8) (, και ακτίνα =, ενώ ο κύκλος έχει Κ ) ρ = Είναι: = + 8 = 0 και επειδή 0 > ρ + ρ, συμπεραίνουμε ότι ο ένας κύκλος είναι εξωτερικός του άλλου ii) Οι κύκλοι έχουν κοινές εφαπτομένες, δύο εσωτερικές και δύο εξωτερικές - Οι δύο εσωτερικές εφαπτομένες είναι οι ευθείες η :x = 8 και ε : x y + 0= 0, γιατί τέμνονται στο σημείο ( 8,6) που είναι εσωτερικό της διακέντρου Κ Κ - Είναι ρ = ρ8, οπότε οι κοινές εξωτερικές εφαπτομένες είναι οι ευθείες που απέχουν απόσταση ρ = 8 και έχουν ως μεσοπαράλληλο την ευθεία ζ : y = x που ορίζουν τα κέντρα των δύο κύκλων Καθεμία από τις δύο εξωτερικές εφαπτομένες απέχει από τη ζ απόσταση ίση με ρ =, οπότε ένα σημείο ( x, y) d Μ ανήκει σε μια από αυτές, αν και μόνο αν: x y Μ, = = x y = 5 5 ( ζ ) x y 5 = 0 ή x y+ 5 = 0 Επομένως οι εξωτερικές εφαπτομένες των δύο κύκλων είναι οι: ε :x y 5= 0 και ε :x y+ 5= 0 C ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΥΓΓΡΑΦΗΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ