Μαθηματικές Συναντήσεις

Transcript

1 Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ 7ο / ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 4-ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 5 ΜΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΚΑΙ ΤΙΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ (4α θέματα) Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Τ α θέματα μαθηματικών που συμπεριλάβαμε στο 7ο Σημείωμα των "Μαθηματικών Συναντήσεων" είναι ένα τμήμα δουλειάς που εκπονήθηκε στο πλαίσιο έργου του Ι.Ε.Π., ντάσσονται στην ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών της Β τάξης Γενικού Λυκείου. Τα εν λόγω θέματα προτείνονται για διδασκαλία σε τάξεις, καθώς εκτιμούμε ότι αναδεικνύουν πτυχές ουσιαστικής γνώσης ν δυνάμει μπορούν να συμβάλλουν στην εξέλιξη της γόνιμης μαθηματικής παρατηρητικότητας και της δημιουργικής σκέψης των μαθητών δύο στοιχεία που αποτελούν και το ποιοτικό ζητούμενο της μαθηματικής εκπαίδευσης.

2

3 Μαθηματικές Συναντήσεις / Σημείωμα 7ο, Νοέμβριος 4 - Ιανουάριος 5 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΘΕΜΑ 4 [] Κατά τη διάρκεια μιας αεροναυτικής άσκησης ένα αεροσκάφος πετάει επί της ευθείας ΑΒ του παρακάτω σχήματος με φορά από το σημείο Α προς το σημείο Β, παράλληλα προς την επιφάνεια της θάλασσας και σε ύψος Km από αυτήν. A ψ B Km O χ Τη στιγμή που το αεροσκάφος διέρχεται από το Α εκτοξεύει ένα τροχιοδεικτικό βλήμα με σκοπό να πετύχει μια ακατοίκητη βραχονησίδα Ο, την οποία στο πρόβλημά μας θεωρούμε ως ένα σημείο στην επιφάνεια της θάλασσας. Υποθέτουμε ότι το βλήμα κινείται ευθύγραμμα και πετυχαίνει τη βραχονησίδα όταν η τροχιά του σχηματίζει με το τμήμα ΑΒ γωνία 3. α) Στην περίπτωση που ο σκοπός επιτυγχάνεται: i) να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο ΟΒ ΟΑ (Μονάδες ) ii) να βρείτε την εξίσωση της τροχιάς του βλήματος στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων που έχει αρχή το Ο και το Β είναι σημείο του θετικού ημιάξονα Οψ. β) Αν το αεροσκάφος τη στιγμή που περνούσε από το Α εκτόξευε βλήμα που, κινούμενο ευθύγραμμα, περνούσε από το μέσον του τμήματος ΟΒ, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ της επιφάνειας της θάλασσας στο οποίο θα έπεφτε το βλήμα. 3

4 Μαθηματικές Συναντήσεις / Σημείωμα 7ο, Νοέμβριος 4 - Ιανουάριος 5 ΘΕΜΑ 4 [] Δίνονται τα διανύσματα ΟA= ( 4, ) και ΟB= (,) αξόνων. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΟA και ΟΒ είναι κάθετα., όπου Ο είναι η αρχή των (Μονάδες 4) β) Αν Γ( χ, ψ ) είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, τότε: i) να αποδείξετε ότι: AB= ( 3,4) ii) να αποδείξετε ότι: 4χ+ 3ψ= και AΓ = ( χ 4, ψ+ ) iii) αν επιπλέον τα διανύσματα ΟΓ και AB είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 4 [3] Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB= ( λ, λ+ ), AΓ = ( 3 λ, λ ) Μ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ= λ, λ α) Να αποδείξετε ότι ( ), όπου λ και λ, και β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα AΜ είναι κάθετο στο διάνυσμα α =, λ λ γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ (Μονάδες ) 4

5 Μαθηματικές Συναντήσεις / Σημείωμα 7ο, Νοέμβριος 4 - Ιανουάριος 5 ΘΕΜΑ 4 [4] Δίνονται οι ευθείες ε : χ ψ λ+ 6 = :χ+ ψ λ 4=, όπου λ R α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ οι ευθείες ε τέμνονται, και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους M β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ το σημείο M ανήκει στην ευθεία ε:8χ+ ψ 6= γ) Αν η ευθεία ε τέμνει τους άξονες χχ και ψψ στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων ίναι παράλληλη προς την ευθεία AB ii) αν Κ είναι τυχαίο σημείο της ευθείας ζ, να αποδείξετε ότι ( ) ΚΑΒ = 9 4 ΘΕΜΑ 4 [5] Δίνεται η ευθεία ε: χ 4ψ 7 = και τα σημεία Α(,4) και B (,6) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου M της ευθείας ε το οποίο ισαπέχει από τα σημεία A και B β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ( χ, ψ ) για τα οποία ισχύει ( ΚΑΒ) = ( ΜΑΒ) ανήκουν στις ευθείες με εξισώσειςχ ψ 5= και χ ψ+ 5= 5

6 Μαθηματικές Συναντήσεις / Σημείωμα 7ο, Νοέμβριος 4 - Ιανουάριος 5 ΘΕΜΑ 4 [6] Δίνεται η εξίσωση: = χ χψ ψ χ ψ α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά δύο ευθείες γραμμές ε οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους. β) Αν ε : χ+ ψ = : χ ψ 4 + =, να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ε των ε γ) Αν Α είναι σημείο της ευθείας ε με τεταγμένη το και Β σημείο της ευθείας ε με τετμημένη το, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων A και Β (Μονάδες 3) ii) να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας ε έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο. ΘΕΜΑ 4 [7] Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ για το οποίο είναι A (,3), Γ ( 5,7) και BΓ = (,) α) Να βρείτε τις συντεταγμένες ( χ, ψ ) της κορυφής B του τριγώνου. β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ γ) Αν ε είναι η ευθεία που διέρχεται από την κορυφή B ίναι παράλληλη προς την πλευρά ΑΓ, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε ii) Να υπολογίσετε την απόσταση των παράλληλων ευθειών ε και ΑΓ 6

7 Μαθηματικές Συναντήσεις / Σημείωμα 7ο, Νοέμβριος 4 - Ιανουάριος 5 ΘΕΜΑ 4 [8] Δίνονται τα σημεία Α (,) και Β ( 7,8) α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ( χ, ψ ) για τα οποία ισχύει ( ΜΑΒ ) = 3 ανήκουν στις παράλληλες ευθείες ε : χ ψ= : χ ψ+ = β) Να υπολογίσετε την απόσταση των ε (Μονάδες ) γ) Να βρείτε σημείο Ν της ευθείας ε που ισαπέχει από τα σημεία Α και Β ΘΕΜΑ 4 [9] 3 Δίνονται τα σημεία Α,, B(, ) και μ 4 Γ μ,, όπου μ R α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων AB και ΒΓ β) Να αποδείξετε ότι για κάθε μ R το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β γ) Να βρείτε την τιμή του μ έτσι, ώστε μ ΒΓ = AB δ) Για την τιμή του μ που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι ( ΟΒΓ ) =, όπου O είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 3) 7

8 Μαθηματικές Συναντήσεις / Σημείωμα 7ο, Νοέμβριος 4 - Ιανουάριος 5 ΘΕΜΑ 4 [] Δίνονται οι ευθείες ε :3χ+ ψ+ 3= : χ+ ψ 4= α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα ψψ στο σημείο Β και η ευθεία ε τέμνει τον άξονα χχ στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ ii) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ( χ, ψ ) για τα οποία ισχύει ( ΚΒΓ) = ( ΑΒΓ) ανήκουν σε δύο παράλληλες ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ 4 [] Δίνονται τα σημεία Α ( 3,4), B ( 5,7) και Γ( μ,3μ ) +, όπου μ R α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων AB και AΓ και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, B και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ. β) Να αποδείξετε ότι: i) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δεν εξαρτάται από το μ. ii) για κάθε τιμή του μ το σημείο Γ ανήκει σε ευθεία ε, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του μ; 8

9 Μαθηματικές Συναντήσεις / Σημείωμα 7ο, Νοέμβριος 4 - Ιανουάριος 5 ΘΕΜΑ 4 [] Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που είναι παράλληλο προς την ευθεία ε: ψ χ =, με Α( χ, ψ ), (, ) Β χ ψ και χ< χ Αν το σημείο Μ ( 3,5) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων Α και Β ισούται με 5, τότε: α) να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. β) να αποδείξετε ότι ( ΟΑΒ ) = 4, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 3) γ) να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ( χ, ψ ) για τα οποία ισχύει ( ΚΑΒ) = ( ΟΑΒ) ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: χ ψ = και χ ψ+ 6= ΘΕΜΑ 4 [3] Δίνονται τα διανύσματα α, β και γ για τα οποία ισχύουν: κ α =, β =, ( α, β ) = 6 και γ= α β, όπου κ R α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α β β) Αν ισχύει β γ= κ, τότε: i) να αποδείξετε ότι: κ= (Μονάδες 4) ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3α+ γ και β γ είναι κάθετα. 9

10 Μαθηματικές Συναντήσεις / Σημείωμα 7ο, Νοέμβριος 4 - Ιανουάριος 5 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΜΑ 4 [4] Στο καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε τα σημεία M( x, y ) για τα οποία ισχύει η + = 9 6 ισότητα AM BM ( OA OB), όπου ( 3,) A και ( 3,) B. α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία M ανήκουν στον κύκλο C : x + y = 5 (Μονάδες ) β) Αν Γ και Δ είναι τα σημεία τομής του κύκλου C με τον άξονα xx, τότε: i) να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C η οποία έχει μεγάλο άξονα το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ στίες τα σημεία A και B. ii) να παραστήσετε γραφικά τον κύκλο C και την έλλειψη C (Μονάδες ) (Μονάδες 4) ΘΕΜΑ 4 [5] Έστω η εξίσωση: ( x λ+ 6) + ( y λ) = λ + 8λ ( ), όπου λ R α) Τι παριστάνει γεωμετρικά σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy η εξίσωση ( ) όταν λ= και τι όταν λ= 6; β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του λ από το διάστημα (,6 ) η εξίσωση ( ) στο καρτεσιανό επίπεδο Oxy παριστάνει κύκλο. γ) Καθώς το λ μεταβάλλεται στο διάστημα (,6 ), να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων οι οποίοι προκύπτουν από την εξίσωση ( ) ανήκουν σε ένα ευθύγραμμο τμήμα από το οποίο εξαιρούνται τα άκρα του.

11 Μαθηματικές Συναντήσεις / Σημείωμα 7ο, Νοέμβριος 4 - Ιανουάριος 5 ΘΕΜΑ 4 [6] Στο καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε τον κύκλο C : x y 4 + = και μία τυχούσα διάμετρό του AB με A( x, y ) και (, ) B x y. α) Να δικαιολογήσετε γιατί ισχύει x = x και y = y; β) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων (, ) N κ λ για τα οποία ισχύει NA NB= 5 είναι ο κύκλος C : x + y = 9. (Μονάδες ) γ) Στο καρτεσιανό επίπεδο να προσδιορίσετε τη θέση των σημείων M( x, y ) για τα οποία ισχύει: +. 4 x y 9 ΘΕΜΑ 4 [7] Στο καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε κύκλο C ο οποίος έχει το κέντρο του στην ευθεία ε: x y = Έστω επίσης A ( 5,3) και (,5) α) Να αποδείξετε ότι C ( x ) y B δύο σημεία του κύκλου C : + = 5 β) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής C που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων στία το κέντρο του κύκλου C γ) Αν M και M είναι τα σημεία τομής των C και C, τότε: i) να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ε της παραβολής C στα σημεία αυτά. ii) να αποδείξετε ότι οι ε τέμνονται σε σημείο που ανήκει στον κύκλο C (Μονάδες 4)

12 Μαθηματικές Συναντήσεις / Σημείωμα 7ο, Νοέμβριος 4 - Ιανουάριος 5 ΘΕΜΑ 4 [8] Στο καρτεσιανό επίπεδο Oxy θεωρούμε κύκλο C ο οποίος διέρχεται από τα σημεία A (,), B(,4) και (,6) Γ. : + 4 = 4. α) Να αποδείξετε ότι C x ( y ) (Μονάδες ) β) Από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε εκείνες που εφάπτονται του κύκλου C. γ) Αν M και M είναι τα σημεία επαφής του κύκλου C με τις εφαπτόμενες του ερωτήματος β), να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και διέρχεται από τα σημεία M και M ΘΕΜΑ 4 [9] Δίνονται ο κύκλος C : x + y = 4 και η έλλειψη : x C + y =. 4 α) Σε καρτεσιανό επίπεδο Oxy να παραστήσετε γραφικά τον κύκλο C, την έλλειψη C και μια κατακόρυφη ευθεία ε: x= x, με < x<. β) Αν Λ και Μ είναι τα σημεία του πρώτου τεταρτημορίου στα οποία η ευθεία ε τέμνει τον κύκλο C και την έλλειψη C αντίστοιχα, τότε: i) να αποδείξετε ότι Λ( x, 4 x ) και Μ x, 4 x (Μονάδες 4) ii) να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων ε του κύκλου C και της έλλειψης C στα σημεία Λ και Μ αντίστοιχα, και να προσδιορίσετε το σημείο τομής Ν των εφαπτομένων αυτών. iii) Να αποδείξετε ότι ( ΛΜ) 4 + = ( OΝ)